AFĐN GRUP

www.ufukcevik.com
AFĐN GRUP
Bir ℜ cismi üzerinde tanımlanan n − boyutlu afin uzaylardan biri A olsun.
A(n, ℜ) = Ot ( A) = { f | f : A → A, afin otomorfizim ( afinite)}
kümesini ele alalım.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Otomorfizim (1-1 Örten izomorfizim): Bir kümedeki her öğeyi kümenin bir ve yalnız bir
öğesine eşleştiren ve tersi var olan dönüşüme denir. Eğer kümede toplama ve çarpma
işlemleri tanımlıysa otomorfizim bunu korur. Yani a ⇒ q (a ) olduğunda ∀a, b için
q (a + b) = q (a ) + q (b)
dir.
q (a.b) = q ( a ).q (b)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------A( n, ℜ) kümesinde otomorfizimlerin çarpımı işleminin bir grup işlemi olduğunu görelim;
f , g , h ∈ A( n, ℜ ) olsun o halde
( f .g ).h = f .( g .h)
birleşme özelliği sağlanıyor ,
f .e = e. f = f
e birim elemanı mevcut ,
f . f −1 = f −1 . f = e
f −1 ters elemanı mevcut.
olduğundan A( n, ℜ) kümesinde otomorfizimlerin çarpımı işlemi bir grup oluşturur. A da bir
afin koordinat sistemi tespit edilirse bu grup, A ∈ GL (n, ℜ ) ve C ∈ ℜ1n olmak üzere,


 A C ∈ ℜn +1
n +1
 0 1 
biçimindeki matrislerin grubu ile temsil edilebilir.
Tanım 1: ℜ cismi üzerinde n − boyutlu afin uzaylardan biri
A ∈ GL (n, ℜ ) ve C ∈ ℜ1n olmak üzere, elemanları
A
olsun.


 A C ∈ ℜn +1
n +1
 0 1 
olan matris grubuna afin grup denir ve A( n, ℜ) veya Ot ( A) ile gösterilir.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Afin grubu: Bir afin uzayın kendisine afin dönüşümlerinin oluşturduğu grup, afin
dönüşümler grubu.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bazı Özel Otomorfizimler
1. Merkezil Afin Otomorfizimler
Bir ℜ cismi üzerinde tanımlanan n − boyutlu afin uzaylardan biri A olsun. A nın bir
afin otomorfizimi belli bir noktayı sabit bırakırsa bu otomorfizime merkezil afin
-1-
www.ufukcevik.com
www.ufukcevik.com
otomorfizim (centroaffine) denir. Bu sabit nokta başlangıç noktası alınarak merkezil afin
otomorfizim A ∈ ℜ nn ve x ∈ ℜ1n olmak üzere,
X '= A X
(1)
n
ile ifade edilebilir. Bu ifade ℜ vektör uzayındaki bir lineer dönüşümün ifadesiyle aynıdır. O
halde merkezil afin otomorfizim için Tanım 1 de C = 0 olacaktır.
2. Radyal Dönüşüm (Dilation)
ℜ cismi üzerinde tanımlanan n − boyutlu afin uzaylardan biri A olsun. A ile birleşen
n − boyutlu vektör uzayı V olmak üzere
I :V → V
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Özdeşlik dönüşümü: Bir kümeden kendisine giden ve her elemanı yine bu elemana
dönüştüren dönüşüme verilen ad.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------özdeşlik dönüşümü ile c ∈ ℜ , c ≠ 0 , skalerinin çarpımı olan cI : V → V dönüşümüme A da
karşılık gelen merkezil afin dönüşüm bir merkezil otomorfizimdir. Bu dönüşümün ifadesi (1)
de A yerine cI n alınarak
X ' = cX
olur. Bu dönüşüm de, A da merkezil bir dönüşüm olup radyal dönüşüm (radial
transformation) adını alır. O halde radyal dönüşüm için Tanım 1 de A = cI n ve C = 0 dır.
3. Öteleme
ℜ cismi üzerinde tanımlanan n − boyutlu bir V vektör uzayı ile birleşen bir A afin
uzayında bir
f : A→ A
dönüşümüne V de karşılık gelen lineer dönüşüm özdeşlik dönüşümü ise f ye bir öteleme
(shift) denir. O halde öteleme için Tanım 1 de A = I n ve genel olarak C ≠ 0 dır. Buna göre
ötelemenin matris formu
 I n C 


 0 1 
dir.
Bir f ötelemesi için Pf ( P ) vektörü ∀P ∈ A noktası için V de sabit bir vektördür.
Gerçekten P, Q ∈ A ise
f : A→ A
afin dönüşümüne karşılık gelen
Ψ :V → V
lineer dönüşümünün tanımından
Ψ( PQ ) = f ( P ) f (Q)
dır. Ψ = I n olduğundan
f ( P ) f (Q ) = PQ
ve dolayısıyla afin aksiyomlarından (iii) den
Pf ( P) = Qf (Q)
-2-
www.ufukcevik.com
www.ufukcevik.com
elde edilir. Bu sabit vektör, f yi tamamen belirleyebildiği için, öteleme vektörü adını alır.
Teorem 1: ℜ cismi üzerinde n − boyutlu bir afin uzay A olsun. Bir O ∈ A noktası ve
bir
f : A→ A
afin otomorfizimi verildiğinde
f = kg
olarak yazılabilir, burada g dönüşümü O noktasını sabit bırakan
g : A→ A
biçimindeki merkezil bir otomorfizim ve
k : A→ A
dönüşümü de bir ötelemedir.
Đspat: O ∈ A noktası verilmiş olduğuna göre OF (O ) vektörü ile k ötelemesi belli
olur. O zaman k −1 dönüşümü O yu sabit bırakır, bu dönüşüme g denirse, yani g = k −1 f
alınırsa f = kg olur. Bu ifade şekli tektir. Çünkü
f (O ) = kg (O) = k (O )
dir. Dolayısıyla k dönüşümü OF (O ) vektörü ile belirli olan öteleme olmak zorundadır. O
halde k tek türlü belirlidir, dolayısıyla g = k −1 f g de tek türlü belirli olur.
Teorem 1 i matris formunda ifade edersek şu teoremi elde ederiz:
Teorem 2: A(n, ℜ ) afin grubunda herhangi bir matris
 A C 


 0 1 
ise tek türlü ifade ile
 A C  I n
 = 

 0 1   0
C 
 A 0 
 0 1 
1 

(2)
yazılabilir.
Sonuç: A(n, ℜ ) afin grubu ötelemeler grubu ile merkezil otomorfizimler grubunun
çarpımı olarak alınabilir.
4. Homoteti
ℜ cismi üzerinde n − boyutlu bir afin uzay A olsun. A ile birleşen n − boyutlu
vektör uzayı V olmak üzere
I :V → V
özdeşlik dönüşümü ile c ∈ ℜ , c ≠ 0 skalerinin çarpımı olan
cI : V → V
lineer dönüşümünde A da karşılık gelen afin dönüşüm (merkezil değil) bir afin
otomorfizimdir. Bu dönüşüm A daki radyal dönüşümden farklı olarak hiç bir noktayı sabit
bırakmaz ve dolayısıyla homoteti adını alır. Afin koordinat sistemine göre A daki
homotetinin matris formundaki ifadesi, Tanım 1 de A = hI n , C ≠ 0 alarak
-3-
www.ufukcevik.com
www.ufukcevik.com
hI n

 0
C 
 matrisini elde ederiz.
1 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Homoteti (Dilatasyon): Paralel doğruları paralel doğrulara resmeden, yönü koruyan bir
benzerlik dönüşümüdür. Ayrıca öteleme yapmayan homotetiye merkezil homoteti denir.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Teorem 3: Karakteristiği 2’den farklı olan bir ℜ cismi üzerinde tanımlanan bir vektör
uzayı V ve V ile birleşen afin uzaylardan biri A olsun. Bir;
birebir
f :A → A
örten
dönüşümü bir afin otomorfizimdir ⇔ ∀P, Q, R ∈ A için
PR = cPQ ⇒ f ( P ) f (Q ) = c f ( P ) f (Q )
(3)
Đspat:
Gereklilik Kısmı: Kabul edelim ki f : A → A dönüşümü bir afin otomorfizim olsun. Bu
takdirde f ye karşılık gelen bir Ψ :V → V lineer dönüşümü vardır ve
Ψ PR = Ψ cPQ = cΨ PQ
( )
(
)
( )
dır. Buradan da
f ( P ) f (Q ) = c f ( P) f (Q)
olur.
birebir
Yeterlilik Kısmı: ∀P, Q, R ∈ A ve f : A → A dönüşümü için
örten
PR = cPQ ⇒ f ( P ) f (Q ) = c f ( P ) f (Q )
olduğunu kabul edelim. Göstermemiz gereken f ye karşılık gelen Ψ :V → V dönüşümü
lineerdir. Bunun için de ∀α, β ∈ V ve ∀c ∈ ℜ ye karşılık
(i) Ψ (cα) = cΨ (α )
(ii) Ψ (α + β ) = Ψ (α ) + Ψ (β )
olduğunu göstermeliyiz.
Bir O ∈ A noktası sabit tutulduğunda OP = α, OQ = β ve OR = α + β olacak
şekilde P, Q, R ∈ A noktaları vardır. Buna göre cα = γ dersek γ = OS olacak şekilde bir
S ∈ A noktası vardır. O halde OS = cOP olur ve hipotezimiz olan (3) ifadesinden
OS = cOP ⇒ f (O ) f ( S ) = c f (O ) f ( S )
veya f ye karşılık gelen ve O ∈ A noktasını sabit tutan
Ψ 0 :V → V
dönüşümü için
f (O ) f ( S ) = c f (O) f ( S ) ⇒ Ψ 0 OS = cΨ 0 OP
( )
( )
Ψ 0 (cα ) = cΨ 0 (α )
elde edilir ki bu da (i) nin ispatını tamamlar.
-4-
www.ufukcevik.com
www.ufukcevik.com
Çünkü O ∈ A noktası sabit ve aynı zamanda keyfi olarak seçilmiş olduğundan
∀O ∈ A için doğru olan bu özellikten
Ψ (cα) = cΨ (α )
yazılabilir.
(ii) Ψ (α + β ) = Ψ (α ) + Ψ (β )
olduğunu göstermek için keyfi olarak seçilen ve sabit tutulan bir O ∈ A noktası için
Ψ 0 (α + β ) = Ψ 0 (α ) + Ψ 0 (β )
olduğunu görmeliyiz.
α + β = OR
olduğundan
Ψ 0 (α + β ) = Ψ 0 OR = f (O) f ( R)
( )
den hareket edelim.
Şekil 1 den
OR = 2OT
olacak şekilde bir T ∈ A noktası vardır ve (3) den
f (O ) f ( R ) = 2 f (O ) f (T )
olur ve
f (O ) f ( R ) = 2  f (O) f ( P) + f ( P ) f (T )


f (O ) f ( R ) = 2 f (O) f ( P ) + 2 f ( P) f (T )
elde edilir. Ayrıca yine Şekil 1 den
2 PT = PQ
olan hipotezimiz olan (3) den
2 PT = PQ ⇒ 2 f ( P) f (T ) = f ( P) f (Q)
olduğuna göre f (O ) f ( R ) nin son ifadesi
-5-
www.ufukcevik.com
www.ufukcevik.com
f (O ) f ( R ) = 2 f (O) f ( P) + f ( P ) f (Q)
veya
f (O ) f ( R ) = f (O ) f ( P ) + f (O ) f ( P ) + f ( P) f (Q)
birinci afin aksiyomundan son iki terimin toplamı
f (O ) f ( P ) + 2 f ( P ) f (Q) = f (O) f (Q)
olacağından
f (O ) f ( R ) = 2 f (O) f ( P) + f (O) f (Q)
olur ki bu da
Ψ 0 OR = Ψ 0 OP + Ψ 0 OQ
( )
( )
( )
veya
Ψ 0 (α + β ) = Ψ 0 (α ) + Ψ 0 (β )
olur.
-6-
www.ufukcevik.com