Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri

Öklid Uzayında
Diferansiyel
Geometri
Salim Yüce
Prof. Dr.
DİFERANSİYEL GEOMETRİ
ISBN 978-605-318-812-4
DOI 10.14527/9786053188124
Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© 2017, PEGEM AKADEMİ
Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik,
elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan
kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.
Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten
uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca tanınan
yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevrimiçi kamu
erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye'de kurulan Turcademy.com ve
Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda farklı
yazarlara ait 1000’in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı
bilgilere
http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir.
1. Baskı: Şubat 2017, Ankara
Yayın-Proje: Özlem Sağlam
Dizgi-Grafik Tasarım: Tuğba Kuşcuoğlu
Kapak Tasarımı: Pegem Akademi
Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.
İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA
(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA
Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.net
E-ileti: pegem@pegem.net
İçindekiler
iii
ÖN SÖZ
Kitabımı, bu ülke için canlarını feda eden
tüm 15 Temmuz şehitlerimiz nezdinde
mesai arkadaşım Prof. Dr. İlhan VARANK
kardeşime ithaf ediyorum.
Bu kitap, üniversitelerin Matematik, Matematik Mühendisliği, Matematik
Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmenliği ve Jeoloji Mühendisliği
bölümlerinde lisans ve lisansüstü düzeyde okutulan “Diferansiyel Geometri”
derslerinin kaynak kitabı olacağı düşüncesiyle kaleme alınmıştır. Bu kitap
sadece Öklid uzayı üzerine inşa edilmiştir. planlanan bir sonraki kitapta ise
sadece Manifoldların incelenmesi düşünülmektedir.
Bu bağlamda, kitabın birinci bölümünde temel kavram olarak Afin ve Öklid
uzayları tanıtılmış; ikinci bölümde, diferansiyellenebilir fonksiyonlar, tanjant
vektör-vektör alanı, yöne göre türev, kovaryant türev, Lie operatörü,
kotanjant vektör, 1 form, diferansiyel formlar, gradient-divergens-rotasyonel
fonksiyonlar ve türev dönüşümü verilmiş; üçüncü bölümde, 2 veya 3 veya nboyutlu Öklid uzaylarında ve Minkowski 3-uzayında eğriler teorisi
incelenmiş, ayrıca özel eğriler ve özel eğri çiftleri verilmiş; dördüncü
bölümde, n-boyutlu Öklid uzayında hiperyüzeyler ile 3-boyutlu Öklid
uzayında yüzeyler teorisi incelenmiş ve ayrıca yüzey üzerindeki eğrilerin
eğrilikleri ile yüzeyin eğrilikleri arasında bağıntılar elde edilmiştir. Beşinci
bölümde ise yüzeylerin dönüşümleri, global özellikleri, yüzeyler üzerinde
formlar ve Gauss Bonnet teoremi üzerinde durulmuş; altıncı bölümde özel
yüzeyler incelenmiş ve her biri için matlab çizimleri verilerek
örneklendirilmiştir.
Bunlara ek olarak her bölüm içerisinde konulara özel sorular çözülmüş ve
konu sonunda da alıştırmalar verilmiştir. En önemlisi de yedinci ve son
bölüm olan “Maple Uygulamaları” bölümünde kitap içerisinde anlatılan bazı
geometrik formüller için kodlar verilmiştir.
Kitabın tüm metnini titizlikle okuyarak yapıcı uyarı ve önerilerinde bulunan
Prof. Dr. Ertuğrul ÖZDAMAR Hocama, ayrıca kitabın yazımını gerçekleyen
Yrd. Doç. Dr. Nurten (BAYRAK) GÜRSES, Arş. Gör. G. Yeliz ŞENTÜRK,
Arş. Gör. Esra ERKAN, ve doktora öğrencim G. Kemal NALBANT ile
MAPLE kodlarını yazan Yrd. Doç. Dr. Mutlu AKAR nezdinde tüm geometri
grubu asistanlarıma teşekkür ederim.
iv
ÖklidUzayındaDiferansiyelGeometri
Son olarak, akademik hayatımın her noktasında yanımda olan Hocam Sayın
Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU’na emekleri için teşekkürlerimi sunarım.
Bana olan sevgi, güven ve yardımları ile her zaman yanımda olan sevgili
annem, babam, eşim, çocuklarım ve kardeşlerim bu kitabın gerçek
yazarlarıdır.
Prof. Dr.
Yıldız Teknik Üniversitesi
sayuce@yildiz.edu.tr
İçindekiler
v
İÇİNDEKİLER
Ön Söz .......................................................................................................................iii
İçindekiler.................................................................................................................. v
1. Bölüm
Temel Kavramlar
1.1. Afin Uzay ........................................................................................................... 2
1.2 Öklid Uzayı ......................................................................................................... 7
2. Bölüm
Diferansiyellenebilir Fonksiyonlar
2.1. k-yıncı Sınıftan Diferansiyellenebilir Fonksiyonlar ................................... 18
2.2. Tanjant Vektörler ve Tanjant Uzaylar ......................................................... 29
2.3. Vektör Alanları ve Vektör Alanlarının Uzayı ............................................. 34
2.4. Yöne Göre Türev ............................................................................................. 39
2.4.1. Yöne Göre Türevin Geometrik Yorumu .......................................... 42
2.4.2. Reel Değerli Fonksiyonların Bir Vektör Alanı
Yönündeki Türevi ................................................................................ 52
2.5. Bir Vektör Alanının Bir Diğer Vektör Alanına
Göre Kovaryant Türevi................................................................................... 58
2.6. Lie Operatörü .................................................................................................. 67
2.7. Kotanjant Vektör ve Kotanjant Uzay ........................................................... 87
vi
ÖklidUzayındaDiferansiyelGeometri
2.8. Diferansiyel Operatör (d Operatörü) ........................................................... 90
2.9. Grandient, Divergens ve Rotasyonel Fonksiyonlar .................................. 100
2.9.1. Gradient Fonksiyonu ........................................................................ 100
2.9.2. Divergens Fonksiyonu ...................................................................... 105
2.9.3. Rotasyonel Fonksiyon ....................................................................... 107
2.10. Diferansiyel Formlar................................................................................... 111
2.10.1. Alterne (Dış, Kutupsal, Anti-Simetrik) Çarpım .......................... 111
2.10.2. Dış Türev .......................................................................................... 118
2.10.3. Alterne Çarpımın Determinantla İlgisi ........................................ 126
2.11. Bir Dönüşümün Diferansiyeli ................................................................... 128
2.11.1. Türev Dönüşümünün Geometrik Yorumu ................................. 138
2.11.2. Türev Dönüşümünün Matrisi ....................................................... 146
3. Bölüm
Eğriler Teorisi
3.1. Eğri Tanımı .................................................................................................... 156
3.2. Hız Vektörü ................................................................................................... 161
3.3. Skalar Hız Fonksiyonu ve Skalar Hız ......................................................... 164
3.4. Parametre Değişimi ...................................................................................... 167
3.5. Düzlemde Eğriler .......................................................................................... 179
3.5.1. Düzlemde Eğrilerin Eğriliği ............................................................. 181
3.5.2. Açı Fonksiyonları .............................................................................. 187
3.5.3. Düzlemsel Eğriler İçin Frenet Formülleri ...................................... 192
3.5.4. E2 de Özel Eğriler ............................................................................... 198
3.5.5. Toplam İşaretli Eğrilik ...................................................................... 205
3.5.6. Bir Kapalı Eğrinin Dönme İndeksi ................................................. 208
İçindekiler
vii
3.6. En Uzayında Eğriler ....................................................................................... 212
3.6.1. Serret-Frenet Vektörleri ................................................................... 212
3.6.2. Bir Eğrinin Oskülatör Hiperdüzlemleri ......................................... 217
3.6.3. Frenet Formülleri ve Eğrilikler ........................................................ 219
3.7. E3 Uzayında Eğriler ....................................................................................... 224
3.7.1. Frenet Formülleri ve Eğrilikler ........................................................ 224
3.7.2. Özel Düzlemler .................................................................................. 235
3.7.3. κ ve
τ
Eğriliklerinin Geometrik Yorumu .................................. 237
3.7.4. Birim Hızlı Olmayan Eğriler İçin Frenet Formülleri
ve Eğrilikler ......................................................................................... 244
3
3.8. ! 1 Minkowski Uzayında Frenet Formülleri ve Eğrilikler ...................... 257
3.9. Özel Eğriler .................................................................................................... 261
3.9.1. Küresel Eğriler .................................................................................... 261
3.9.2. Oskülatör Küre................................................................................... 262
3.9.3. Helisler (Eğilim Çizgileri) ................................................................. 276
3.9.3.1. E3 Öklid Uzayında Eğilim Çizgileri ........................................ 277
3.9.4. İnvolut (Basit) ve Evolut (Mebsut).................................................. 284
3.9.4.1. E3 de İnvolut-Evolüt Eğri Çifti ................................................ 285
3.9.5. Bertrand Eğri Çifti ............................................................................. 288
3.9.5.1. E3 de Bertrand Eğri Çifti .......................................................... 288
3.10. Bir Eğrinin Küresel Göstergeleri ............................................................... 294
3.11. Bağ Formları ................................................................................................ 302
viii ÖklidUzayındaDiferansiyelGeometri
4. Bölüm
En de Hiperyüzeyler
4.1. Dik Koordinat Sisteminde Kapalı Denklem Yardımıyla
Yüzeyin Tanımı ............................................................................................. 310
4.2. E3 Öklid Uzayında Yüzey ............................................................................. 318
4.3. Hiperyüzeylerde Yönlendirme .................................................................... 329
4.4. Hiperyüzeyler Üzerinde Geodezik Eğriler................................................. 331
4.5. Hiperyüzeyler Üzerinde Şekil Operatörü
(Weingarten Dönüşümü) ............................................................................. 336
4.5.1. E3 de Bir M Yüzeyinin Şekil Operatörünün
Matrisinin Hesabı .............................................................................. 342
4.6. Gauss Dönüşümü .......................................................................................... 347
4.6.1. Gauss Dönüşümü ve Şekil Operatörü Arasındaki İlişki .............. 349
4.7. Temel Formlar ............................................................................................... 350
4.8. Yüzeyin Normlar Eğriliği ............................................................................. 352
4.9. Şekil Operatörünün Cebirsel Değişmezleri ............................................... 355
4.9.1. Asli Eğrilikler, Asli Doğrultular ....................................................... 357
4.9.2. Gauss Eğriliği ..................................................................................... 359
4.9.3. Ortalama Eğrilik ................................................................................ 365
4.9.4. Eğrilik Çizgisi (Asli Eğri) .................................................................. 369
4.10. Yüzeyler Üzerinde Eğrilerin Geodezik ve Normal Eğriliği ................... 384
4.11. Hiperyüzeylerin Global Özellikleri ........................................................... 390
4.11.1. Temel Formun Özellikleri .............................................................. 390
4.11.2. Hiperyüzeyler İçin Euler Teoremi ................................................ 391
4.11.3. Dupin Göstergesi ............................................................................. 396
4.12. Hiperyüzeyler Üzerinde Gauss Anlamında Kovaryant Türev.............. 398
4.12.1. Gauss Denklemlerinin Küresel Göstergelere Uygulanması ...... 402
4.13. Bazı Hiperyüzeyler ve Eğrilikleri .............................................................. 404
İçindekiler
ix
4.13.1. Hiperdüzlem .................................................................................... 404
4.13.2. Hiperküre ......................................................................................... 407
4.13.3. Hipersilindir ..................................................................................... 412
5. Bölüm
Yüzeylerin Dönüşümleri
5.1. Yüzeylerin Dönüşümleri .............................................................................. 418
5.2. Yüzeylerin Global Özellikleri ...................................................................... 437
5.3. Yüzeyler Üzerinde Formlar ......................................................................... 442
5.4. Gauss Bonnet Teoremi ................................................................................. 454
6. Bölüm
Özel Yüzeyler
6.1. Minimal Yüzeyler .......................................................................................... 472
6.2. Paralel Yüzeyler ............................................................................................. 476
6.3. Möbiüs Şeridi ................................................................................................. 484
6.4. Klein Şişesi ..................................................................................................... 485
6.5. Dönel Yüzeyler .............................................................................................. 486
6.6. Regle Yüzeyler ............................................................................................... 488
6.7. Tor Yüzeyi ...................................................................................................... 500
x
ÖklidUzayındaDiferansiyelGeometri
7. Bölüm
Maple Uygulamaları
7.1. Diferansiyellenebilir Fonksiyonlar İçin Maple Uygulamaları ................ 502
7.1.1. Tanjant Vektörü Yönünde Türev.................................................... 502
7.1.2. Reel Değerli Fonksiyonların Bir Vektör Alanı
Yönündeki Türevi .............................................................................. 505
7.1.3. Bir Vektör Alanının Bir Diğer Vektör Alanına Göre
Kovaryant Türevi ............................................................................. 506
7.1.4. Gradient Fonksiyonu ........................................................................ 507
7.1.5. Divergens Fonksiyonu ...................................................................... 508
7.1.6. Rotasyonel Fonksiyon ....................................................................... 509
7.1.7. Bir Dönüşümün Diferansiyeli .......................................................... 510
7.2. Eğriler Teorisi İçin Maple Uygulamalar .................................................... 511
7.3. Yüzeyler İçin Mapple Uygulamalar ............................................................ 533
Kaynaklar ............................................................................................................. 545
Dizin
............................................................................................................. 549
Temel Kavramlar
1
1. BÖLÜM
TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, Afin uzaylar ve Öklid uzayları ele alınacaktır. Her iki uzay
da, bir vektör uzayı ile ilişkilendirilmiş nokta kümeleridir. Böyle bir
ilişkilendirme sonucunda, vektör uzaylarının özellikleri yardımıyla
nokta uzayları ve o uzaylardaki geometrik biçimler incelendi.
2
Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri
Afin Uzay
Tanım 1.1 (Afin uzay):
A   bir küme ve V ,
reel sayılar cismi üzerinde n -boyutlu bir
vektör uzayı olsun. Eğer
f : A A  V
 P, Q   f  P, Q   PQ
fonksiyonu,
A1)  P, Q, R  A için
f  P, Q   f  Q, R   f  P, R  ( veya PQ  QR  PR )
A2)  P  A,  V için PQ  
olacak şekilde bir tek Q  A
vardır.
özelliklerini sağlıyorsa A ’ya V vektör uzayı ile birleşen n-boyutlu bir
Afin Uzay denir. Ayrıca A1) ve A2) özelliklerine ise afin aksiyomlar adı
verilir.
Örnek 1.1:
V
n
(vektör uzayı) ve A 
üzere A 
n
kümesi V 
n
n
(sıralı n -lilerin kümesi) olmak
vektör uzayı ile birleşen bir afin uzaydır.
Gösteriniz.
Çözüm
f:
n

n

n
 P, Q   f  P, Q   PQ  Q  P  OQ  OP
Temel Kavramlar
3
fonksiyonunu tanımlayalım.
A1) PQ  QR  PR olduğunu göstereceğiz.
f  P, Q   f  Q, R  =
 PQ  QR  Q  P  R  Q  R  P  PR  f (P, R)
P   p 1 , p 2 ,..., p n  
A2)
n
 A,    1 ,  2 ,...,  n  
PQ   q1  p1 , q2  p2 ,..., qn  pn   1 ,  2 ,...,  n 
n
 V için
olmak üzere
qi  pi  i ; i  1,2,..., n bulunur. O halde verilen i ve pi için qi ler
de tektir. Bu durumda
n
sıralı n -lilerin kümesi,
n
standart vektör
uzayı ile birleşen n -boyutlu bir afin uzaydır.
Afin Uzay ile Vektör Uzayının Karşılaştırılması

V vektör uzayında   0  0     olacak şekilde bir 0
vektörü varken afin uzayda benzer özelliğe sahip bir nokta
yoktur.

V vektör uzayının elemanları vektörler iken V ile birleşen A
afin uzayının elemanları bir kümenin sıradan elemanlarıdır. Bu
nedenle A afin uzayının elemanlarına noktalar denir. Bilindiği
gibi elemanları nokta diye adlandırılan bir küme uzay adını alır.
Afin Aksiyomlardan Elde Edilen Sonuçlar

boy V  boy A

A1) aksiyomu gereğince; afin uzayda iki nokta bir vektör belirtir.
4
Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri

A2) aksiyomu gereğince; afin uzayda bir nokta seçilirse uzaydaki
her nokta bir vektör belirtir.
Tanım 1.2 (Afin Çatı):
V n -boyutlu bir vektör uzayı ve A , V vektör uzayı ile birleşen bir afin
uzay olsun. P0 , P1 ,..., Pn  A noktaları için
P P , P P ..., P P 
0 1
0 2
0 n
vektör
sistemi V ’nin bir bazı ise P0 , P1 ,..., Pn  kümesine A afin uzayının bir
afin çatısı denir. P0 noktasına çatının başlangıç noktası, P1, P2 ,..., Pn
noktalarına da afin çatının uç noktaları denir.
Teorem 1.1:
A , V vektör uzayı ile birleşen n-boyutlu bir afin uzay olsun. A ’da belli
bir P0  A noktası tespit edildiğinde başlangıç noktası P0 olan bir afin
çatı vardır.
İspat:
boyV  n olmak üzere V ’nin bir bazı 1 ,  2 ...,  n  olsun. A afin
uzayında
gereğince
P0 noktasını tespit edelim. Böylece A2) afin aksiyomu
P0 Pi  i , 1  i  n
olacak şekilde bir tek Pi  A noktası
vardır. O halde P1 , P2 ,..., Pn  A noktaları elde edilir. i  sistemi V nin
bir bazı olduğundan P0 Pi  i için
P P , P P ..., P P  de
0 1
0 2
0 n
V ’nin bir
bazıdır. O halde afin çatı tanımından, P0 , P1 ,..., Pn  nokta kümesi A da
bir afin çatıdır.