Matematik PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
A-TOPLANABİLME VE POZİTİF LİNEER OPERATÖRLER
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Onur GENÇ
Anabilim Dalı : Matematik
Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Özlem GİRGİN ATLIHAN
KASIM/2013
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ............................................................................................................... ii
SUMMARY .................................................................................................... iii
ÖNSÖZ ........................................................................................................... iv
1. GİRİŞ ........................................................................................................... 1
2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR ...................................................... 2
2.1 Lineer Pozitif Operatörler ....................................................................... 2
2.2 Temel Toplanabilme Kavramları ............................................................ 5
2.3 Süreklilik Modülü ................................................................................... 7
3. KOROVKIN TEOREMLERİ ................................................................... 9
4. TOPLANABİLME VE KOROVKIN TİPLİ TEOREMLER .............. 23
5. YAKINSAKLIK ORANI ......................................................................... 29
KAYNAKLAR .............................................................................................. 34
i
ÖZET
A – TOPLANABİLME VE POZİTİF LİNEER OPERATÖRLER
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde, temel tanım ve kavramlar tanıtılıp bunlara ilişkin bilinen
bazı
sonuçlar
hatrlatılmıştır.
Üçüncü
bölümde,
C  a, b , C2 ve
C  K  uzaylarında tanımlı lineer pozitif operator dizileri için Korovkin tipli
teoremler incelenmiştir. Dördüncü bölümde , toplam süreci metodu
kullanılarak geliştirilen korovkin tipli yaklaşım teoremleri incelenmiştir.
Beşinci bölümde, dördüncü bölümde verilen teoremler için yaklaşımın
oranı hesaplanmıştır.
Anahtar Kelimeler: Korovkin Teoremi, pozitif lineer operatörler,
A -toplanabilme
ii
SUMMARY
A – SUMMABILITY AND POSITIVE LINEAR OPERATORS
This thesis consists of five chapters. The first chapter has been devoted to
the introduction. In chapter two, the basic definitions and consepts have ben
recalled and some results concerning these concepts have also considered.
In chapter three, we obtain Korovkin type approximation theorems for
linear positive operators on C  a, b , C2 and C  K  . In chapter four,
Korovkin type approximation theorems developed with the help of
summation process has been analysed. In the final chapter, the rate of
convergence has been examined for theorems given in chapter four.
Keywords: Korovkin Theorem, positive linear operators, A Summabiltiy.
iii
ÖNSÖZ
Bu tez çalışmamda beni yönlendiren ve bana yardımcı olan çok değerli
hocam Yrd. Doç. Dr. Özlem GİRGİN ATLIHAN’a ve desteklerini benden
hiç esirgemeyen aileme teşekkür ederim.
Onur GENÇ
iv
1. GİRİŞ
Klasik Yaklaşım Teorisi, Alman matematikçi Karl Weierstrass‟ın sonlu
aralıkta sürekli olan her fonksiyona bu aralıkta yakınsayan bir polinom olacağını ispat
etmesiyle başlamıştır. Birçok matematikçi bunun ispatını farklı şekilde ele almıştır.
Örneğin Bernstein polinomlarının C 0,1 uzayındaki fonksiyonlara düzgün yakınsadığını
ispatlamıştır. Daha sonraları lineer pozitif operatör dizilerinin yaklaşım özellikleri üzerine
çalışılmıştır. Dolayısıyla  Ln n dizisinin sürekli bir fonksiyona düzgün yakınsak olması
için gerekli şartlar nelerdir sorusu akla gelmektedir. Bu sorunun cevabını iki matematikçi
Bohman (1952) ve Korovkin (1953) birbirinden bağımsız olarak bulmuşlardır. Bu
sonuçlar birçok matematikçinin bu yaklaşımları farklı uzaylara genişletmesine kaynak
sağlamıştır. Böylelikle Yaklaşım Teorisi‟nin özel bir dalı olan Korovkin Tipi Yaklaşım
Teorisi ortaya çıkmıştır.
Kompakt bir aralıkta sürekli fonksiyonların yaklaşımı hakkındaki klasik Korovkin
Teoremi,
bir
lineer
pozitif
operatör
dizisinin
birim
operatöre
yakınsayıp
yakınsamayacağına ilişkin şartları belirler. Burada pozitif lineer operatör dizisinin birim
operatöre yaklaşmaması durumunda yakınsaklık kaybını gidermek için Cesaro tipli
toplanabilme metotlarını kullanmak yarar sağlar (Bojanic ve Khan 1992). Fejer, Cesaro
metodunun sürekli periyodik fonksiyonların Fourier serisini yakınsak yapmada etkili
olduğunu göstermiştir.
Yaklaşım Teorisi‟nde son zamanlarda matris toplanabilme metodu kullanılarak lineer
pozitif operatör dizilerinin yakınsaklığı çalışılmaktadır. Bu tezde 1983 yılında T.
Nishishiraho tarafından bir matris toplanabilme yöntemi kullanılarak geliştirilen
Korovkin tipli yaklaşım teoremleri incelenmiştir.
1
2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR
Bu bölümde ihtiyaç duyacağımız temel tanım ve kavramları vereceğiz.
2.1. Lineer Pozitif Operatörler
Tanım 2.1.1. X boştan farklı bir küme, F reel veya kompleks sayıların bir
cismi olsun.
: XX  X
. : FX  X
fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa, X kümesine F cismi üzerinde bir
lineer uzay (vektör uzayı) denir.
x, y, z  X ve a, b  F için
L1  x  y  y  x ,
L2   x  y   z  x   y  z  ,
L3  x      x olacak şekilde   X vardır,
L4  x  X için x    x     x   x   olacak şekilde bir  x  X vardır,
L5  1.x  x,
L6  a  x  y   ax  ay,
L7   a  b x  ax  bx ,
L8  a bx    ab  x .
Tanım 2.1.2. Vektör uzayları üzerinde tanımlı dönüşümlere operatör denir.
2
Tanım 2.1.3. X ve Y aynı cisim üzerinde iki lineer uzay olmak üzere
L : X  Y operatörü verilmiş olsun. Eğer,
x, y  X ve a, b  F için L  ax  by   a.L  x   b.L  y 
şartları sağlanıyorsa L ' ye lineer operatör denir Maddox[14].
Tanım 2.1.4. X, Y vektör uzayları ve L : X  Y lineer operatör olsun.
operatörünün
noktasındaki değeri L  f ; x   g  x  şeklinde gösterilir.
uzayından alınan her f  0 fonksiyonu için L  f   0 ise
operatörüne
pozitif operatör denir.
Tanım 2.1.3 ve Tanım 2.1.4‟ü sağlayan L operatörüne lineer pozitif operatör
denir.
Teorem 2.1.5. X , Y vektör uzayları , L : X  Y lineer pozitif operatör olsun. Bu
taktirde,
a) L operatörü monoton artandır.
b) L( f )  L( f )
koşulları sağlanır.
İspat
a) f  g olsun.
f  g  g  f  0  L( g )  L( f )  0  L  g   L  f 
elde edilir. Böylece
operatörünü monoton artandır.
b) L( f )  L( f )  L( f ) olduğunu gösterirsek istenilen elde edilir.
 f  f  f  L( f )  L( f )  L( f )
 L( f )  L( f )  L( f )
3
 L( f )  L( f )
Tanım 2.1.6. X kompleks veya reel vektör uzayı olmak üzere
: X 
fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa bu fonksiyona X üzerinde bir norm
ve  X ,
 ikilisine de normlu uzay denir. x, y  X
ve   F olsun.
N1  x  0  x   ,
N2   x   . x ,
N3  x  y  x  y .
Tanım 2.1.7. X boştan farklı bir küme ve d : X  X   fonksiyonu, aşağıdaki
özellikleri sağlıyorsa bu fonksiyona X üzerinde bir metrik ve  X , d  ikilisine de
metrik uzay denir. x, y, z  X olsun.
M1  d  x, y   0  x  y ,
M 2  d  x, y   d  y, x 
M3  d  x, y   d  x, z   d  z, y  [14].
Tanım 2.1.8.  X , d  metrik uzay ve  xn  bu uzayda bir dizi olsun.   0 için
m, n  n0 olduğunda d  xn , xm    olacak şekilde bir n  n0   varsa
 xn 
dizisine Cauchy dizisi denir.
Tanım 2.1.9.  X , d  metrik uzay ve  xn  bu uzayda bir dizi ve x  X olsun.
  0 için n  n0 olduğunda d  xn , x    olacak şekilde bir n  n0   varsa
 xn 
dizisine yakınsaktır denir.
Tanım 2.1.10.  X , d  metrik uzayındaki her Cauchy dizisi X ' in bir elemanına
yakınsıyorsa  X , d  ‟ye tam metrik uzay denir. [14].
4
Tanım 2.1.11. Tam ve normlu bir lineer uzaya Banach uzayı denir.
Tanım 2.1.12.  X , d1  ve Y , d2  iki metrik uzay ve f : X  Y bir fonksiyon
a  X olsun.   0 sayısı için d1  x, a    olduğunda d2  f  x  , f  a    
olacak şekilde   0 sayısı varsa f fonksiyonu a noktasında süreklidir denir.
Eğer, f fonksiyonu x  X için sürekli ise f „ye X uzayında süreklidir,
kısaca süreklidir denir.
2.2. Temel Toplanabilme Kavramları
Bu kısımda tezde ihtiyaç duyacağımız matris toplanabilme metodundan ve
buna ilişkin bazı sonuçlardan söz edeceğiz. Öncelikle matris toplanabilme
metodunu hatırlatacağız sonra da A - toplanabilme kavramı ile ilgili bazı bilgiler
vereceğiz.
Tanım 2.2.1.
A :  ank  , k , n  1,2,3,... sonsuz matris ve bir x   xk  dizisi
verilsin. Reel ya da kompleks terimli x dizisinin “ A  dönüşüm “ dizisi
Ax :   Ax n  ile gösterilir. Ayrıca

 Ax n   ank xk
k 1
şeklinde tanımlanır. (Burada her bir n için seri yakınsak kabul edilmektedir.)
Eğer,
lim  Ax n  L
n 
koşulu gerçekleniyorsa x dizisi L değerine “ A  toplanabilir ” denir. Eğer her
yakınsak
 xn 
dizisi için
lim xn  L
n 
olduğunda
sağlanıyorsa A regüler matris adını alır [14], [5].
5
lim  Ax n  L
n 
koşulu
A   ank  matrisinin regüler olması aşağıdaki Silverman-Toeplitz Teoremi ile
karakterize edilir.
Teorem 2.2.2. Bir A   ank  matrisinin regüler olması için gerek ve yeter koşul

i ) sup  ank   ,
n
k 1
ii) Her k için ak  lim ank  0 ,
n

iii  lim  ank  1
n  k 1
koşullarının sağlanmasıdır [5],[14].
Bell[2], ve Steiglitz[22] Tanım 2.2.1‟ deki düşünceyi kullanarak A   ank 
   
matrisi yerine A : A n  akj n matris dizisini alarak daha genel olan aşağıdaki
tanımı vermişlerdir.
   
n
n
Tanım 2.2.3. A : A   akj  , k , j  1, 2,3,... sonsuz matrislerin bir dizisi
olmak üzere, verilen bir x   x j  dizisi için

lim  akj n  x j  L , ( n ‟ye göre düzgün)
k  j 1
koşulu gerçekleniyorsa
x 
j
dizisi L değerine “A toplanabilir “ denir [2],
[22].
Eğer n  için A( n )  A ise A toplanabilme klasik matris toplanabilmeyi
verir.
I birim matris olmak üzere, n  için A( n)  I ise A  toplanabilme klasik
yakınsaklığa indirgenir.
6
2.3. Süreklilik Modülü
Bu kısımda 4. Bölümde yakınsaklık oranı olarak adlandırılan hesaplamayı
yaparken kullanılacak olan süreklilik modülü kavramı ve özellikleri verilecektir.
Tanım 2.3.1. f  C a, b olsun. f fonksiyonunun süreklilik modülü w f ,  
şeklinde gösterime sahip olup
w f ,  
sup
xa ,b , x t 
f  x   f t 
şeklinde tanımlıdır Altimore[1].
Teorem 2.3.2. Süreklilik modülü aşağıdaki özellikleri sağlar.
(i)
w f ,   0
(ii)
1   2  w f , 1   w  f ,  2 
(iii)
w f  g,    w f ,    w  g,  
(iv)
w f , m   m.w f ,  
(v)
  R için w f ,      1 .w f ,  
(vi)
w  f , t  x   f t   f  x 
(vii)
 tx

f t   f  x   
 1 .w  f ,  
 

İspat.
(i)
w  f ,    0 olduğu açıktır.
(ii)
1   2
ise
t  x  1 , t  x   2
kümesi
tarafından
Dolayısıyla supremum özelliğinden w  f , 1   w  f ,  2  bulunur.
(iii)
w f  g,    w f ,    w  g,   olduğu açıktır.
7
kapsanır.
(iv)
w  f , m   sup f  t   f  x 
t  x  m .
t , x a ,b 
w  f ; m.   sup f  x  mh   f  x 
h 
m 1
 sup   f  x   k  1 h   f  x  kh  
h  k  0
h a ,b 
m 1
 sup  f  x   k  1 h   f  x  kh 
h  k  0
 w  f ;    w  f ;    ...  w  f ;  
 m.w  f ;  
(v)
    için       1    1

 w  f ;    w f ;    1 

    1 .w  f ;  
    1 .w  f ;  
(vi)
w  f ; t  x   sup f  t   f  x   f  t   f  x 
t  x 
x ,t a ,b 
elde edilir.
(vii)
 tx   tx

f t   f  x   w  f ;
.   
 1 .w  f ;  


  

şeklindedir.
8
3. KOROVKIN TEOREMLERİ
Bu bölümde yaklaşımlar teorisinde önemli bir yeri olan 1953‟te Korovkin[10]
tarafından verilen yaklaşım teoremlerini ve bu teoremlerin ispatlarını vereceğiz.
Burada kullanılan C  a, b uzayı  a, b aralığında tanımlı reel değerli sürekli
fonksiyonlar uzayı olup
f
Ca ,b
 sup f  x 
xa ,b
normuna göre Banach Uzayı‟dır.
Teorem 3.1. Ln : C a, b  C a, b lineer pozitif operatörlerin dizisi olsun.
fi t   t i , i  0,1, 2 olmak üzere aşağıdaki önermeler denktir.
i 
f  C a, b için lim Ln f  f
 ii 
lim Ln  fi   fi  0 [10].
n
C  a ,b 
 0.
n
İspat. Yeterliliğin ispatı açıktır. Çünkü, f  C a, b için eşitlik sağlandığına
göre f1 t   1, f2 t   t , f3 t   t 2 ile verilen fonksiyonlar C  a, b uzayının
elemanı olduğundan istenen eşitlik sağlanır.
Şimdi gerekliliğin ispatına geçelim.
f  C a, b olduğundan   0 için t  x   koşulunu sağlayan t , x için
f  t   f  x    olacak şekilde    vardır öyle ki
t  x   ise
tx

t  x 
1
2
2
1
olur. Buradan,
f  t   f  x   f  t   f  x   2 M f  2M f
9
t  x 
2
2
elde edilir. Buna göre tüm  ‟de
t  x 
f  t   f  x     2M f
2
2
olduğu görülür.
Bulunan son eşitsizliğe Ln lineer pozitif operatörü uygulanırsa,
Ln

2


t  x

f  t   f  x  ; x  Ln    2M f
;
x

2








Ln f  t   f  x  ; x   Ln 1; x  
  Ln 1; x  
2M f
  Ln 1; x  
2M f



2

Ln  t  x  ; x
2

L t ; x   2 xL t; x   x L 1; x 
2
2
n
2
2
2.M f
n
n
 L t ; x   x 
2
2
n

2 x  Ln  t; x   x   x 2  Ln 1; x   1
     Ln 1; x   1 
 L t ; x   x 
2M f

2
2
n
2
2x  Ln t; x   x   x 2  Ln 1; x   1
    Ln 1; x   1 
2M f
2
 L t ; x   x
2
2 x Ln  t; x   x  x 2 Ln 1; x   1
    Ln1  1 
2M f

2
 Lt
n
2
2
n

 x 2  2b Lnt  x  b 2 Ln1  1

elde edilir. Burada n   için limit alınırsa


Ln f  t   f  x  ; x  
10
(3.1)
bulunur. Şimdi de
Ln f  f  sup Ln ( f  t  ; x)  f  x   0,  n   
xa ,b
olduğunu gösterelim.
Ln  f  t  ; x   f  x   Ln  f  t  ; x   Ln  f  x  ; x   Ln  f  x  ; x   f  x 




 Ln f  t   f  x  ; x  f  x  Ln 1; x   1
 Ln f  t   f  x  ; x  f . Ln 1; x   1
eşitsizliği gerçeklenir.
Hipotez ve (3.1) nedeniyle
f  C a, b için lim sup Ln ( f (t ); x)  f  x   0
n
xa ,b
olduğu görülür.
Örnek 3.2. C 0,1 deki Bernstein operatörünün Korovkin teoreminin şartlarını
sağladığını gösteriniz.
Çözüm. C 0,1 de verilen Bernstein Operatörü
n
nk
 k  n
Bn  f ; x    f     x k 1  x 
k o
 n  k 
şeklinde tanımlı olup,
n
n
n
nk
Bn 1; x    1.   x k 1  x    x  1  x    1
k 0  k 
bulunur. O halde lim Bn1  1  0 olduğu açıktır.
n
11
k n k
nk
x 1  x 


k 0 n  k 
Bn  t; x   
n
k
n!
nk
x k 1  x 
k 1 n k ! n  k  !
n

 n  1! x k 1 1  x nk 1
 
k  0 k ! n  k  1 !
n 1
 x  1  x   x 
n 1

x
olduğundan
lim maks Bn  t; x   x  0
n
0 x 1
elde edilir.
n k2
k2  n k
n!
nk
nk
x
1

x

x k 1  x 



2  
2
k 0 n  k 
k 1 n k ! n  k  !
Bn  t 2 ; x   
n
 n  1! xk 1  x nk  n 1  n  1! xk 1  x nk
k 1

 
 
k  2 n  k  1 ! n  k  !
k 1 n  k  1! n  k !
n

 n  1! xk 2 1  x n2k  n1 1  n  1! xk 1 1  x n1k

 
 
k 0 n.k ! n  2  k  !
k 0 n k ! n  1  k  !
n2


n  1 2 n2  n  2  k
x n1  n  1 k
n  2 k
n 1 k
x 
x 1  x 
 
x 1  x 


k 0  k 
n
n k 0  k 
 x2 
x  x2
n
eşitliği gerçeklenir. O halde,
lim maks Bn  t 2 ; x   x 2  0 olduğu görülür.
n
0 x 1
12
Örnek 3.3. C 0, r  ’ de verilen Szasz Operatörünün Korovkin Teoreminin
şartlarını sağladığını gösteriniz.
Çözüm. C 0, r  ’ de verilen Szasz Operatörü
S n ( f ; x)  e
 nx
 k   nx 
f 

 n  k!
k 0

k
şeklinde tanımlı olup
Sn 1; x   e
 nx


 nx 
k
 e nx enx  1
k!
k 0
bulunur. O halde lim Sn1  1  0 olduğu açıktır.
n
Sn  t ; x   e
 nx
k  nx 

k!
k 0 n

k
nk 1 x k
k 1  k  1 !

 e nx 
n k x k 1
k!
k 1

 e  nx 
 x.e
 nx


 nx 
k 0
k
k!
x
olduğundan lim maks Sn  t ; x   x  0 elde edilir.
n
0 x  r
Sn  t ; x   e
2
 nx

k

 
k 0  n 

 e nx  k
k 1
13
2
 nx 
k!
nk 2 x k
 k  1!
k

 e nx   k  1
k 1
e
 nx

nk 2 x k
nk 2 x k
 e nx 
 k  1!
k 1  k  1 !

nk xk 2
n k 1 x k 1
 nx
e 

k!
k!
k 0
k 0

2  nx
x e
 x2 

n k x k x  nx  n k x k
 e 

n
k 0 k !
k 0 k !
x
n
eşitliği gerçeklenir. O halde, lim maks Sn  t 2 ; x   x 2  0 elde edilir.
n
0 x  r
Şimdi periyodik fonksiyonlar uzayında verilen Korovkin tipli yaklaşım teoremi
verelim.
Teorem 3.4. C 0, 2  , 2 periyotlu sürekli fonksiyonlar uzayı ve lineer pozitif
operatörlerin dizisi
Ln : C 0,2   C 0,2  olsun. Bu taktirde aşağıdaki
önermeler denktir.
i  f  C a, b için lim
n
Ln f  f
C0,2 
0.
ii  f1 t   1 , f2 t   sin t , f3 t   cos t
için lim Ln fi  fi  0 .
n
İspat. Yeterliliğin ispatı açıktır. f  C 0,2  için eşitlik sağlandığına göre
f1 t   1, f2 t   sin t , f3 t   cos t ile verilen fonksiyonlar için de istenen eşitlik
sağlanır.
Şimdi gerekliliğin ispatına geçelim.
f sürekli olduğundan   0 için   0 vardır öyle ki x  t   koşulunu
sağlayan x için
f  x   f t   
14
(3.2)
gerçeklenir. f ,  de sınırlı olduğundan
f  x   f  t   f  x   f  t   2M f
(3.3)
elde edilir.
Şimdi x  t   , 2  t    aralığını alalım.
t    x  t    2    x  t  2  
olur. Son olarak   x  t  2   aralığını alalım.

2

x t


x t
    sin  sin
2
2
2
2
x t
sin
2 1

sin

sin 2
sin

2
x t
2 1
2
(3.4)

2
elde edilir. Dolayısıyla (3.2) , (3.3) ve (3.4) ifadeleri nedeniyle,
f  x   f  t     2M f .1
   2M f .
sin 2
x t
sin 2
2
(3.5)

2
bulunur. Bu son eşitsizliğe Ln lineer pozitif operatörü uygulanırsa,


Ln  f ; x   f  x   Ln f  t   f  x  ; x  f  x  . Ln 1; x   1
 2 x t 
 sin 2

  .Ln 1; x   2M f .Ln 
; x   f  x  . Ln 1; x   1

 sin 2


2

15
(3.6)
olduğu görülür.
 x  t  1  cos  x  t 
sin 2 

2
 2 
ve sinüs ve cosinüs fonksiyonları 2 periyotlu
olduğundan sin  x  2k   sin  x  ve cos  x  2k   cos  x  eşitlikleri sağlanır.
Şimdi (3.5) eşitsizliğinde x  2k  x yazarsak,
f  x  2k   f  t     2M f .1    2M f .
sin 2
 x  2 k  t 
2
sin 2

ve
2
x   t   , 2  t   
x  2   2  t   , 4  t   
x  4   4 t   , 6  t   
...
x  2k   2k  t   ,  2k  2    t   
olduğundan
t   , 2  t   
kısıtlanmasında çalışmak yeterlidir. Şimdi (3.6)
eşitsizliğini tekrar ele alalım.
Ln  f ; x   f  x    .Ln 1; x   2M f .

x t ; x
Ln  sin 2

 
2

sin 2
2
1
+ f  x  . Ln 1; x   1
  .Ln 1; x   2M f .
  .Ln 1; x  2M f
 1 cos x.cos t  sin x.sin t 
Ln  
; x  + f  x  . Ln 1; x   1
2
2
2 


sin
2
1
1

  Ln 1; x   cos x.Ln  cos t; x   sin x.Ln  sin t; x   


sin 2  2
2
1
n   için limit alınırsa,  keyfi olduğundan
16
lim Ln f  f  0
n 
elde edilir.
Şimdi çift değişkenli lineer pozitif operatör dizileri için Klasik Korovkin
Teoremini verelim.
Burada I  a, b , J  c, d  ve K  I  J olmak üzere C  K  vektör uzayı
ise K üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonların uzayı ile gösterilecektir. Bu uzay
üzerindeki norm ise
f  sup f  x, y 
 x , y K
şeklinde tanımlıdır.
Teorem 3.5.
Ln 
, C  K  dan C  K  uzayına tanımlı pozitif lineer operatör
dizisi olsun. Eğer,
lim sup Ln 1; x, y   1  0,
n
x, y
lim sup Ln  t ; x, y   x  0,
n
x, y
lim sup Ln  ; x, y   y  0
n
x, y
ve
limsup Ln  t 2   2 ; x, y    x 2  y 2   0
n
x, y
koşulları gerçeklenirse, her f  C  K  için
limsup Ln  f  t ,  ; x, y   f  x, y   0
n
x, y
sağlanır.
İspat f  C  K  alalım. O halde   0 için    vardır 
koşulu sağlandığında
17
 x, y    t ,   
f  t ,    x, y   
eşitsizliği sağlanır.
 x, y    t ,  
 x, y    t ,     

1
 x  t    y  

2
2
1
2
elde edilir. Ayrıca f fonksiyonu sınırlı olduğundan
f  t ,   f  x, y   2.M f
eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla
f  t ,   f  x, y   2.M f
 x  t    y  
.
2
2
2
elde edilir. O halde tüm  kümesinde
f  t ,   f  x, y     2.M f
 x  t    y  
.
2
2
2
eşitsizliği gerçeklenir.
f  t ,    f  x, y    
2M f

2
.  x 2  y 2  2  xt  y   t 2   2 
eşitsizliğinin her iki tarafına Ln lineer pozitif operatörünü uygularsak,
Ln  f  t ,  ; x, y   Ln  f  x, y  ; x, y    .Ln 1; x, y  +
2M f
2
.  x 2  y 2  .Ln 1; x, y 
2x.Ln t; x, y   2 y.Ln  ; x, y   Ln  t 2   2 ; x, y  
olur. Bu eşitsizliği düzenlersek
18
Ln  f  t ,  ; x, y   Ln  f  x, y  ; x, y    .Ln 1; x, y  
2M f
.  x 2  y 2  .  Ln 1; x, y   1

2x. Ln t; x, y   x  2 y. Ln  ; x, y   y   Ln  t   2 ; x, y    x 2  y 2  

2
2

elde edilir. O halde eşitsizliğin son hali
Ln  f  t ,  ; x, y   Ln  f  x, y  ; x, y 
  . Ln 1; x, y  
2M f

2
 x 2  y 2  . Ln 1; x, y   1  2 x . Ln  t; x, y   x

2
2
2
2
 2 y . Ln  ; x, y   y + Ln  t   ; x, y    x  y  
şeklinde olup burada n   için limit alınırsa,
Ln  f  t ,  ; x, y   Ln  f  x, y  ; x, y   
(3.7)
eşitsizliği bulunur.
Ln  f  t ,  ; x, y   f  x, y   Ln  f  t ,  ; x, y   Ln  f  x, y  ; x, y 
 Ln  f  x, y  ; x, y   f  x, y   f  x, y  Ln 1; x, y  1
eşitsizliği gerçeklenir. (3.7) nedeniyle
Ln  f  t ,  ; x, y   f  x, y   
elde edilir.  yeterince keyfi olduğundan,
limsup Ln  f  t ,  ; x, y   f  x, y   0
n
x, y
bulunur.
Teorem 3.6.
   
n
n
A : A   akj  terimleri negatif olmayan reel terimli sonsuz
 
regüler matris, L j , C*  2
den C*   2  ye lineer pozitif opreratör dizisi,
f0 u, v   1, f1 u, v   cos u , f2 u, v   sin u , f3 u, v   cos v , f 4 u, v   sin v
19
olsun. Bu taktirde aşağıdaki önermeler denktir.
i  fi u, v   C*   2 
 ii  lim
n 
için lim Ln  fi   fi  0 .
n 
Ln  f   f  0 .
İspat. Yeter şartın ispatı aşikardır. Şimdi gerek şartın ispatına geçelim.
f  C *   2  ,
olmak
üzere
I ve J 2 uzunluğunda kapalı aralıklar olsun.
f
sürekli
olduğundan
  0
için
 x, y   I  J
  
vardır
 u  x   , v  y   olduğunda
f  u, v   f  x, y   
(5.1)
şeklindedir. Diğer yandan f  C *   2  olduğundan
f  u, v   f  x, y   2 f
eşitsizliği sağlanır.Şimdi 2 boyundaki
 x   , 2  x   
(5.2)
ve  y   , 2  y   
aralıkları düşünelim.
  x  u  2   

2

x u
2
 xu 
sin 2 

 2  1

 
sin 2  
2
ve benzer işlemlerle
 yv 
sin 2 

 2  1
 
sin 2  
2
elde edilir. u, v    x   , 2  x      y   , 2  y    için
20
f  u, v   f  x, y    
2 f
 
sin  
2
.  u, v 
(5.3)
2
bulunur. Burada
ux
2  yv 
  sin 

 2 
 2 
  u , v   sin 2 

1
 2  cos u.cos x  sin x.sin u  cos y.cos v  sin y.sin v
2
(5.4)
şeklindedir. (5.4)‟ e Ln lineer pozitif operatörü uygulanırsa,
Ln  ; x, y  
1
 2 Ln  f 0 ; x, y   cos x.Ln  f1; x, y   sin x.Ln  f 3 ; x, y 
2
 cos y.Ln  f 2 ; x, y   sin y.Ln  f 4 ; x, y  
(5.5)
elde edilir. Şimdi (5.3)‟e Ln lineer pozitif operatör uygulanırsa,
Ln   f ; x, y   f  x, y        f  . Ln  f 0 ; x, y   f 0  x, y  
2 f
 
sin  
2
Ln  ; x, y 
2
sağlanır. Bu eşitsizlikte (5.5) eşitliğini kullanırsak
Ln   f ; x, y   f  x, y  
+



2 f 
 Ln   f0 ; x, y   f 0  x, y  
     f 

2  
sin   

 2

f
 
sin  
2
2
 L  f ; x, y   f  x, y   L  f ; x, y   f  x, y 
n
1
1
n
2
+ Ln   f3 ; x, y   f3  x, y    Ln   f 4 ; x, y   f 4  x, y  
yazılabilir. Bu eşitsizliğin supremumu alınırsa
21
2

(5.6)
Ln f  f    B  Ln f 0  f 0  Ln f1  f1  Ln f 2  f 2  Ln f 3  f 3  Ln f 4  f 4

bulunur. Burada
B   f 
2 f
 
sin 2  
2
dır. Böylece elde edilen son eşitsizlikte n   için limit alınırsa istenen sonuç
elde edilir.
22
4. TOPLANABİLME VE KOROVKIN TİPLİ TEOREMLER
Bu bölümde Nishishiraho[17] tarafından A-Toplanabilme metodu kullanılarak
geliştirilen Korovkin tipli yaklaşım teoremleri ve bu teoremlerin ispatları
incelenmiştir.
 
Tanım 4.1. A  A n  {akj( n ) }, k , j  1, 2,3,... reel terimli sonsuz matris dizisi
olmak üzere, her j için Lj : C a, b  C a, b lineer pozitif operatör olsun. Eğer


her f  C a, b için L j  f  dizisi f fonksiyonuna A  Toplanabilir ise yani her
f  C a, b için
lim
k 
a
(n)
kj
L j  f   f  0 , ( n „ye göre düzgün)
j
koşulu gerçekleniyorsa L j  dizisine “A toplam süreci “ adı verilir.
L j , C  a, b uzayını C  a, b uzayına dönüştüren her bir n, k   için

 a 
j 1
L j 1  
n
kj
(4.1)
koşulunu sağlayan lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olsun. Bu durumda her
bir n, k   ve f  C a, b için

Bk( n ) ( f ; x)   akj( n ) L j ( f (t ); x ) , k  1, 2,3,...
j 1
ile tanımlı operatörü ele alalım.
Bk( n) ( f )  sup Bk( n) ( f ; x)
xa ,b
 sup

a
x a .b  j 1
23
(n)
kj

Lj f t  ; x

 sup

a
x a .b  j 1
 f sup
(n)
kj
Lj  f ; x

a
x a ,b  j 1
(n)
kj
L j 1; x 
 f . Bk n 1
elde edilir. Burada (4.1) koşulu nedeniyle Bk n  operatörü, her bir n, k için anlamlı
olup Bk( n) ( f )  B a, b olur.
Şimdi [17]‟deki toplam süreci yardımıyla geliştirilen Korovkin tipli teoremleri
ve bu teoremlerin ispatlarını verelim.
   
n
n
Teorem 4.2. A : A   akj  terimleri negatif olmayan reel terimli sonsuz
matrislerin bir dizisi olsun. L j , C  a, b den C  a, b ye dönüşüm yapan ve (4.1)
koşulunu sağlayan lineer pozitif opreratör dizisi, fi t   t i , i  0,1,2 olsun. Bu
taktirde aşağıdaki önermeler denktir.
i  f  C a, b için lim
k
 ii  lim
k
Bk n  f  f  0 , ( n‟ye göre düzgün ).
Bk n   fi   fi  0 , ( n‟ye göre düzgün ).
İspat. Yeterliliğin ispatı açıktır. Çünkü, f  C a, b için eşitlik sağlandığına
göre f1 t   1, f2 t   t , f3 t   t 2 ile verilen fonksiyonlar C  a, b uzayının
elemanı olduğundan istenen eşitlik sağlanır.
Şimdi gereklilik kısmını
ispatlayalım.
f  C a, b alalım. O halde   0 için t  x   iken t , x için
f t   f  x   
24
yazılır ve t  x   ise
tx
2
2
 1 olacağından ve f sınırlı olduğundan
f  t   f  x   f  t   f  x   2M f
t  x 
.
2
2
olduğu görülür. Bu durumda tüm  ‟de
f  t   f  x     2M f
t  x 
.
2
2
olur. Bk n  lineer pozitif operatör olduğundan
Bk( n) ( f (t ); x)  f  x   Bk( n ) ( f (t ); x)  Bk( n ) ( f ( x); x)  Bk( n ) ( f ( x); x)  f  x 
 Bk( n )  f (t )  f ( x) ; x   f ( x) . Bk( n) (1; x) 1
n
 Bk
2


t  x

;
x
   2M f .
  f ( x) . Bk( n ) (1; x)  1
2





  .Bk n  1; x  
2M f
  .Bk n  1; x  
2M f


2
2
2
Bk n   t  x  ; x   f ( x) . Bk( n) (1; x) 1


 Bk n   t 2 ; x  2 x.Bk n   t; x   x 2 .Bk( n ) 1; x  


 f ( x) . Bk( n) (1; x) 1
elde edilir. Bulunan son eşitsizlikte k   için limit alınırsa, 
keyfi
olduğundan,
f  C a, b için lim Bk n   fi   fi  0 ,  n ' ye göre düzgün)
n
olduğu görülür.
Şimdi çift değişkenli fonksiyonlar için Teorem 3.5 „te verilen Klasik
Korovkin Teoreminin toplam süreci kullanılarak geliştirilmiş hali olan aşağıdaki
teoremi ve bu teoremin ispatını inceleyelim.
25
 
Teorem 4.3. A : A n   akj n terimleri negatif olmayan reel terimli sonsuz
matrislerin bir dizisi olsun. Lj : C  K   C  K  olmak üzere (4.1) koşulunu
sağlayan lineer pozitif opreratörlerin bir dizisi olsun.
Bu taktirde n‟ye göre düzgün olarak
lim sup Bk( n )  Ln 1; x, y    1  0
k
x, y
lim sup Bk( n )  Ln  t ; x, y    x  0
k
x, y
lim sup Bk( n )  Ln  ; x, y    y  0
k
(n)
k
lim sup B
k
x, y
x, y
 L t
n
2

  2 ; x, y    x 2  y 2   0
koşulları gerçeklenirse, f  C  K  için
limsup Bk( n)  f  t ,  ; x, y   f  x, y   0 , (n‟ye göre düzgün )
k
x, y
dır.
İspat.
f  C  K  alalım.   0 için    vardır 
 x, y    t ,   
koşulunu sağlandığında
f  t ,    x, y   
elde edilir. Buradan
 x, y    t ,     
 x, y    t ,  

1
 x  t    y  

2
2
olduğu görülür. Ayrıca f fonksiyonu sınırlı olduğundan
f  t ,   f  x, y   2.M f
eşitsizliği sağlanır. O halde
26
2
1
f  t ,   f  x, y   2.M f
 x  t    y  
.
2
2
2
gerçeklenir, dolayısıyla tüm  kümesinde
f  t ,   f  x, y     2.M f
 x  t    y  
.
2
2
2
eşitsizliği sağlanır.
2M f
f  t ,    f  x, y    
2
.  x 2  y 2  2  xt  y   t 2   2 
eşitsizliğinin her iki tarafına Bk n  lineer pozitif operatörünü uygularsak,




Bk( n ) Ln  f  t ,  ; x, y   Bk( n ) Ln  f  x, y  ; x, y    .Bk( n)  Ln 1; x, y  
+
2M f
2
.  x 2  y 2  .Bk( n )  Ln 1; x, y   2x.Bk( n)  Ln t; x, y   2 y.Bk( n)  Ln  ; x, y  


 Bk( n ) Ln  t 2   2 ; x, y  

eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik düzenlenirse,




Bk( n ) Ln  f  t ,  ; x, y   Bk( n ) Ln  f  x, y  ; x, y    .Bk( n)  Ln 1; x, y  

2M f

2

.  x 2  y 2  .Bk n   Ln 1; x, y   1 2 x. Bk( n )  Ln  t ; x, y    x

  



 
2 y. Bk( n )  Ln  ; x, y    y  Bk( n) Ln t 2   2 ; x, y  x 2  y 2 

bulunur. Dolayısıyla eşitsizliğin son hali



Bk( n ) Ln  f  t ,  ; x, y   Bk( n ) Ln  f  x, y  ; x, y 
  . Bk( n)  Ln 1; x, y   +
2M f

2


.  x 2  y 2  . Bk( n )  Ln 1; x, y    1
 2 x . Bk( n )  Ln  t; x, y    x  2 x . Bk( n )  Ln  t; x, y    x
27
 
 
 2 y . Bk( n )  Ln  ; x, y    y  Bk( n) Ln t 2   2 ; x, y  x2  y 2

olur. Burada k   için limit alınırsa,




Bk( n ) Ln  f  t ,  ; x, y   Bk( n ) Ln  f  x, y  ; x, y   
(4.2)
eşitsizliği bulunur. Bu taktirde





Bk( n ) Ln  f  t ,  ; x, y   f  x, y   Bk( n ) Ln  f  t ,  ; x, y   Bk( n ) Ln  f  x, y  ; x, y 


 Bk( n ) Ln  f  x, y  ; x, y   f  x, y 
 f  x, y  Bk( n )  Ln 1; x, y    1
gerçeklenir. (4.2) nedeniyle bu son eşitsizlik


Bk( n ) Ln  f  t ,  ; x, y   f  x, y   
halini alır.   0 keyfi olduğuna göre,


limsup Bk( n ) Ln  f  t ,  ; x, y   f  x, y   0 ,  n ' ye
k
x, y
bulunur.
28
göre
düzgün)

5. YAKINSAKLIK ORANI
Daha önceki bölümlerde Ln  f  fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna belirli
koşullar
altında
yakınsamasına
ilişkin
teoremleri
incelemiştik.
Burada
Ln  f ; x   f  x  farkı sıfıra yakınsayan bir fonksiyon dizisi olarak göz önüne
alınabilir. Ln  f ; x   f  x   n eşitsizliğinde  n  0 olacak şekilde küçülen
 n dizisi bulunabiliyorsa  n ‟nin sıfıra yaklaşım hızı Ln  f  ‟in f ‟e yaklaşım
hızını değerlendirmemize yardımcı olur.
Bu bölümde [11] ve [20] kaynakları incelenmiştir ve süreklilik modülü
kullanılarak bulunan yaklaşım oranlarına dair olan teoremler verilmiştir.
Teorem 5.1. Ln : C  a, b  C c, d  ,
c, d   a, b lineer pozitif operatörlerin
dizisi olsun. x c, d  ise
Ln  f ; x   f  x   f  x  . Ln 1; x   1   Ln 1; x   Ln 1; x   .w  f ;  n ( x) 




eşitsizliği gerçeklenir. Burada  n2  x   Ln  t  x  ; x şeklindedir.
2
İspat Süreklilik modülünün özelliğinden
 tx  
tx 
f t   f  x   w  f ;
.   1 
 .w  f ;  

 

 
sağlanır. Burada eşitsizliğe Ln lineer pozitif operatörü uygulanırsa,
Ln  f ; x   f  x   Ln  f  t   f  x   ; x  Ln  f  x  ; x   f  x 


 Ln f  t   f  x  ; x  f  x  . Ln 1; x   1

Ln  t  x ; x  
 w  f ;   .  Ln 1; x  
  f  x  . Ln 1; x   1



bulunur. Bu eşitsizliğin sağ tarafına Cauchy-Schwartz eşitsizliği uygulanırsa,
29


1
1

 L  t  x 2 ; x  2  L 12 ; x   2 
n
n

 
 
Ln  f ; x   f  x   w  f ;    Ln 1; x   






+ f  x  . Ln 1; x   1


2
elde edilir. O halde  n  x    Ln  t  x  ; x 


1
2
alınırsa,

 n  x  Ln 1; x  

Ln  f ; x   f  x   w  f ;   .  Ln 1; x  



+ f  x  . Ln 1; x   1
   n alınırsa,
Ln  f ; x   f  x   w  f ;  n ( x)  .  Ln 1; x   Ln 1; x    f  x  . Ln 1; x   1


bulunur. Bu ise aranan sonuçtur.
Teorem 5.2. Ln : C 0, 2   C 0, 2  pozitif lineer operatörlerin bir dizisi ve
f  C 0, 2  olsun. Bu taktirde
Ln f  f  f . Ln 1  1  w  n  Ln 1  1
eşitsizliği gerçeklenir. Burada
 
 x  t  
n  x    .  Ln sin 2 
; x
 2  
 
dır.
İspat x 0, 2  alalım ve t  R  olsun.
  t  x    t  x   .sin
30
tx
2
1
2
şeklinde olup
 tx 
f t   f  x   w  t  x   w 
. 
 

 tx 
 .w  f ;  
 1  


 
  

  t  x 2 
 1 
 .w  f ;  
 

elde edilir.
 2
 t  x 
f  t   f  x   1  2 sin 2 
  .w  f ;  
 2  
 
olduğu görülür. Bu ise
t  x   ve t  x   olduğunda k Z olmak üzere
t  2k  x   eşitsizliğinin sağlandığını gösterir. Dolayısıyla tüm  ‟de
 2
 t  x 
f  t   f  x   1  2 sin 2 
  .w  f ;  
 2  
 
eşitsizliği gerçeklenir. Bu eşitsizlikte her iki tarafa Ln operatörü uygulanırsa,

Ln  f  t   f  x  ; x   Ln f  t   f  x  ; x



t  x 
2 

  Ln 1; x   2 Ln sin 2
; x   .w  f ;  

2






n2  x  

  Ln 1; x  
 .w  f ;  
 2 


bulunur. Burada n  0 ve   n alınırsa;
31
Ln  f  t   f  x  ; x   Ln 1; x   1.w  f ; n   f  x  . Ln 1; x   1
 w  n  . Ln 1  1  f  x  . Ln 1; x  1
elde edilir. Bu ise ispatı tamamlar.
Burada dikkat edilmelidir ki n   için  n  0 olduğundan
Ln  f  t  ; x   f  x   0
dır, bu da ispatı tamamlar.
Şimdi [20]‟de verilen teoremi inceleyelim.
   
n
n
Teorem 5.3. A : A   akj  terimleri negatif olmayan reel terimli sonsuz
matrislerin bir dizisi olsun. L j :C  a, b  C  a, b (4.1) koşulunu sağlayan lineer
pozitif opreratörlerin dizisi olsun. Bu taktirde
Bk n ( f )  f  f . Bk n (1)  1  w( k n ). Bk n  (1)  1
eşitsizliği gerçeklenir. Burada
kn  x   Bk n (t  x)2
dır.
İspat. Süreklilik modülünün özelliğinden
 tx  
tx
f t   f  x   w  f ;
.   1 



 

 .w  f ;  

olduğunu biliyoruz.
Bk( n) ( f (t ); x)  f  x   Bk( n) ( f (t ); x)  Bk( n) ( f ( x); x)  Bk( n) ( f ( x); x)  f  x 
 Bk( n)  f (t )  f ( x) ; x   f ( x) . Bk( n) (1) 1
32
  t  x 
 .w  f ,   ; x   f ( x) . Bk( n ) (1)  1
 Bk n 1  


   

 n
 Bk
  t  x 2 

1 
 .w  f ,   ; x   f ( x) . Bk( n ) (1)  1
 


2
 n


 
 n  t  x 
 w  f ,    Bk 1  Bk 
;
x
   f ( x) . Bk( n ) (1)  1
2



 



1
2


 w  f ,    Bk n  1  2 Bk n   t  x  ; x  + f ( x) . Bk( n ) (1)  1



elde edilir. Burada

 : k n  Bk n  t  x  ; x
2

alınırsa,
 
Bk n  f   f  w k n Bk n 1  1  f . Bk( n ) (1)  1
olduğu görülür. Bu da ispatı tamamlar.
33
KAYNAKLAR
[1]. Altomare, F. and Campiti, M., 1994: Korovkin type Approximation
Theory and its Application, Walter de gruyter publ., Berlin,
Germany.
[2]. Bell, H. T., 1973: Order summability and almost convergence. Proc.
Amer. Math. Soc., 38; 548-552.
[3]. Bohman, H., 1952: On approximation of continuous and analytic
functions. Ark. Mat., 2; 43-56.
[4]. Bojanic, R. and Khan, M. K., 1992: Summability of Hermite-Fejer
interpolation for functions of bounded variation. J. Nat. Sci.
Math., 32; 5-10.
[5]. Boos, J., 2000: Classical and Modern Methods in Summability. Oxford
Mathematical Monographs, Oxford Science Publ., London.
[6]. Freedman, A. R., Sember, J. J. and Raphel, M., 1978: Some Cesarotype summability spaces. Proc. London. Math. Lett. 18; 13391344.
[7]. Gadjiev A.D, 1976: Theorems of the type of P.P. Korovkin‟s theorems.
Mat. Zametki, 20; 781-786.
[8]. Hacıyev, A. ve Hacısalihoğlu, H. H., 1995: Lineer Pozitif Operator
Dizilerinin Yakınsaklığı. Ankara Üniversitesi Yayınları.
[9]. King, J. P. and Swetits, J. J., 1970: Positive linear operators and
summability. J. Austral. Math. Soc., 11; 281-290.
[10].Korovkin, P. P., 1953: On convergence of linear positive operators in the
space of continuos functions. Doklady Akad. Nauk SSSR. 90;
961-964.
[11]. Korovkin, P. P., 1960: Linear Operators and Theory of Approximation.
Hindustan publ. Co., Delhi.
[12]. Lorentz, G. G., 1948: A contribution to the theory of divergent
sequences. Acta Math., 80; 167-190.
[13]. Lorentz, G. G., 1986: Bernstein polynomials. Chelse Publ. Company.
New York.
34
[14]. Maddox, I. J., 1978: A new type of convergence. Math. Proc. Camb.
Phil. Soc., 83; 61-64.
[15]. Miller, H. I. and Orhan, C., 2001: On almost convergent and
statistically convergent subsequences. Acta Math. Hungar., 93;
135-151.
[16]. Mohapatra, R. N., 1977: Quantitative results on almost convergence of a
sequence of positive linear operators. J. Approx. Theory. 20;
239-250.
[17]. Nishishiraho, T., 1981: Quantitative theorems on linear approximation
processes of convolution operators in Banach spaces. Tohoku
Math. J., 33; 109-126.
[18]. Nishishiraho, T., 1983: Convergence of positive linear approximation
process. Tohoku Math. J., 33; 109-126.
[19]. Rudin, W., 1953: Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill
Book Company. New York, USA.
[20]. Swetits, J.J., 1979: On summability and positive linear oparators. J.
Approx. Theory, 25; 186-188.
[21]. Zygmund, A., 1979: Trigonometric Series. Cambridge University Press.
[22].Stieglitz, M., 1973: Eine verallgenmeinerung des begriftts festkonvergenz. Math. Japonica, 18; 53-70.
35