ankara ün vers tes fen bl mler enst tüsü yüksek l sans tez ağırlıklı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
AĞIRLIKLI UZAYLARDA SZASZ OPERATÖRLERİNİN
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ VE YAKINSAKLIK ORANI
Aslıhan ILIKKAN
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2005
Her hakkı saklıdır.
Doç. Dr. Ogün DOĞRU danışmanlığında, Arzu ALTUNBAŞ tarafından hazırlanan bu
çalışma 15/07/2005 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Başkan : Prof. Dr. Cihan ORHAN
Üye
: Doç. Dr. Ogün DOĞRU
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Meryem KAYA
Yukarıdaki sonucu onaylarım.
Prof. Dr. Ülkü MEHMETOĞLU
Enstitü Müdürü
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
AĞIRLIKLI UZAYLARDA SZASZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM
ÖZELLİKLERİ VE YAKINSAKLIK ORANI
Aslıhan ILIKKAN
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Ogün DOĞRU
Bu çalışmada Szasz operatörlerinin tüm IR + da ağırlıklı yaklaşım özellikleri incelenmiştir.
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde, lineer pozitif operatörler dizisinin tanımı verilmiş ve temel özellikleri elde
edilmiştir. Ayrıca Korovkin teoremi ve Baskakov teoremi ispatlarıyla birlikte verilmiştir.
İkinci bölümde, Szasz operatörlerinin sonlu aralıkta düzgün yakınsaklığı Korovkin teoremi
yardımıyla gösterilmiştir.
Üçüncü bölümde, sınırsız bölgelerde klasik Korovkin teoremlerinin kullanılamayacağı
gösterilmiş ve bu durumda yakınsaklık teoreminin nasıl olması gerektiği araştırılmıştır. Bu
teoremi verebilmek için A.Hacıyev tarafından ispatlanan bazı önermeler ve ispatları
verilmiştir.
Dördüncü bölümde, üçüncü bölümde elde edilen sonuçlar kullanılarak Szasz operatörlerinin
IR + da yaklaşım özellikleri incelenmiştir.
Son olarak beşinci bölümde, ağırlıklı uzaylardaki süreklilik modülü tanımlanmış ve özellikleri
incelenmiştir. Ayrıca süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar yardımıyla
Szasz operatörlerinin yaklaşım hızı elde edilmiştir.
2005, 35 sayfa
ANAHTAR KELİMELER: Korovkin tipli teoremler, lineer pozitif operatörler, Lipschitz
sınıfı,süreklilik modülü, ağırlıklı süreklilik modülü, Szasz operatörü.
i
ABSTRACT
Master Thesis
APPROXIMATION PROPERTIES AND CONVERGENCE RATES OF SZASZ
OPERATORS IN WEIGHTED SPACES
Aslıhan ILIKKAN
Ankara University
Graduate School of Natural
and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ogün DOĞRU
In this study weighted approximation properties of Szasz operators in all IR + were
investigated.
This thesis consists of five chapters.
In the first chapter, definition of sequence of linear positive operators is given and its
fundamental properties are obtained. Also, Korovkin theorem and Baskakov theorem are
given with their proofs.
In the second part, the uniform convergence of Szasz operators is obtained in finite interval
with the help of Korovkin theorem.
In the third part, it is shown that the classical Korovkin theorems can not be used in infinite
regions and how convergence theorem should be in this case is investigated. Some
propositions and proofs of A. Hacıyev are given in order to give this theorem.
In the fourth part, approximation properties of Szasz operators in IR + is investigated by using
the results obtained in the third chapter.
Finally, in the fifth part, modulus of continuity in weighted spaces is introduced and its
properties are investigated. In addition, rate of approximation of Szasz operators are obtained
with the help of modulus of continuity and Lipschitz class functions.
2005, 35 pages
KEYWORDS: Korovkin type theorems, positive linear operators, Lipschitz class, modulus of
continuity,weighted modulus of continuity, Szasz operators.
ii
TEŞEKKÜR
Beni çalışmamın her aşamasında büyük bir sabır ve özveriyle destekleyen, değerli katkılarını
hiçbir zaman esirgemeyen danışman hocam. Doç. Dr. Ogün DOĞRU’ya teşekkürü bir borç
bilirim.
Aslıhan ILIKKAN
Ankara, Haziran 2005
iii
SİMGELER DİZİNİ
C ρ (IR )
Tüm reel eksende tanımlı ve f (x ) ≤ M f ρ(x ) koşulunu sağlayan
fonksiyonların uzayı
Bir [a, b] aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli tüm reel değerli
fonksiyonların uzayı
B ρ (IR ) uzayındaki sürekli fonksiyonların uzayı
C ρ,K f [0, ∞ )
C ρ [0, ∞ )
B ρ (IR )
C[a, b]
f n (x )
f n (x ) →
→ f (x )
IN
Lip M (α )
L n (f; x )
S n (f; x )
Ω(f; δ )
⋅ C[a,b ]
⋅
ρ
dan
olan
ve
lim
x →∞
f (x )
= Kf < ∞
ρ (x )
koşulunu
sağlayan
fonksiyonların uzayı
n ∈ IN olmak üzere bir fonksiyon dizisi
{f n } fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaması
IN = {1,2,3, K} doğal sayılar kümesi
Lipschitz sınıfı fonksiyonlar
n ∈ IN olmak üzere bir operatör dizisi
Szasz operatörleri
f fonksiyonunun süreklilik modülü
C[a, b] uzayında ⋅
C [a, b ]
= max ⋅ ile tanımlı olan norm
a≤x≤b
C ρ (IR ) ve B ρ (IR ) uzaylarında ⋅
iv
ρ
= sup
x∈IR
⋅
ρ (x )
ile tanımlı olan norm
İÇİNDEKİLER
ÖZET …………………………………………………………………………………………i
ABSTRACT ………………………………………………………………………………….ii
TEŞEKKÜR …………………………………………………………………………………iii
SİMGELER DİZİNİ …………………………………………………………………………iv
GİRİŞ…... …………………………………………………………………………………...1
1. TEMEL KAVRAMLAR ……………..……………...………………..……………… 2
1.1. Giriş ………………………………………………………………….………………...2
1.2. Lineer Pozitif Operatör …………………..…………………………………………...2
1.2.1. Lineer Pozitif Operatörlerin Özellikleri ……………………………………………..2
1.3. Korovkin Teoremi ……………………………………………………………………..4
1.4. Baskakov Teoremi …………………………………………………………………….6
2. SZASZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ………..……………9
2.1. Szasz Operatörlerinin Sonlu Aralıkta Düzgün Yakınsaklığı ………………………….9
3. SINIRSIZ BÖLGELERDE KOROVKİN TİPLİ TEOREMLER.. …………………13
4. SZASZ OPERATÖRLERİNİN SINIRSIZ BÖLGELERDE DÜZGÜN
YAKINSAKLIĞI …………………………………….…………………………………20
5. SZASZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM HIZI …………………………………22
5.1. C[a, b] Uzayındaki Süreklilik Modülü ………………………………………………...22
5.1.1. C[a, b] Uzayındaki Süreklilik Modülünün Özellikleri ………………………………22
5.2. Ağırlıklı Uzaylardaki Süreklilik Modülü………………...…………………………….23
5.2.1. Ağırlıklı Uzaylardaki Süreklilik Modülünün Özellikleri ...…………………..….......24
5.3. Szasz Operatörlerinin Süreklilik Modülü ile Yaklaşma Hızı... ……………..…………28
5.4. Szasz Operatörlerinin Lipschitz Sınıfındaki Fonksiyonlar ile Yaklaşım Hızı ………...32
SONUÇ ………………………………………………………………………………………36
KAYNAKLAR ……………………...………………………………………………………37
ÖZGEÇMİŞ ………………………..……………………………………………………….38
v
GİRİŞ
1953 yılında Korovkin tarafından ispatlanan teorem, lineer pozitif operatörler
teorisinin gelişmesine önemli ölçüde katkı sağlamıştır. Bu teorem yardımıyla sonlu aralıktaki
lineer pozitif operatörlerin yaklaşım özellikleri incelenebilmiştir. Oysa Szasz operatörleri gibi
birçok operatör sınırsız aralıklarda tanımlandığından bunların ancak ağırlıklı uzaylarda
yaklaştırılması sağlanabilmektedir. Bu çalışmada da Szasz operatörlerinin ağırlıklı
uzaylardaki yaklaşımı ve yaklaşım hızı elde edilmeye çalışılacaktır.
1
1. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde öncelikle lineer pozitif operatörler tanıtılacak ve sahip olduğu temel
özellikler incelenecektir. Ayrıca daha sonraki bölümlerde kullanılacak bazı tanımlar verilecek,
bazı teoremler de ifade ve ispat edilecektir.
1.2. Lineer Pozitif Operatör
Fonksiyonu fonksiyona dönüştüren bağıntılara operatör denir.
Lineer Operatör:
X ve Y fonksiyon uzayları olmak üzere;
L : X → Y şeklindeki L operatörünü göz önüne alalım.
Eğer her f1 , f 2 ∈ X ve a 1 , a 2 ∈ IR için
L(a 1f1 + a 2 f 2 ) = a 1 L(f 1 ) + a 2 L(f 2 ) koşulu sağlanıyor ise L operatörüne lineer operatör denir.
Pozitif Operatör:
Eğer bir L operatörü pozitif değerli fonksiyonu yine pozitif değerli bir fonksiyona
dönüştürüyor ise yani f ≥ 0 iken L(f ) ≥ 0 oluyorsa L operatörüne pozitif operatör denir.
Hem lineerlik hem de pozitiflik şartlarını sağlayan operatörlere lineer pozitif operatörler
denir.
1.2.1. Lineer Pozitif Operatörlerin Özellikleri
Lemma 1.2.1. Lineer pozitif operatörler monoton artandır. Yani f ≤ g ⇒ L(f) ≤ L(g) eşitsizliği
sağlanır.
İspat: Kabul edelim ki f ≤ g olsun. Bu durumda g − f ≥ 0 olacağından ve L operatörünün
pozitifliğinden
L(g − f )≥0
(1.2.1)
yazabiliriz. Diğer yandan L operatörü lineer olduğundan
L(g − f )=L(g ) − L(f )
olup bunun (1.2.1) de kullanılmasıyla L(f )≤ L(g ) eşitsizliği sağlanır.
2
Lemma 1.2.2. . L lineer pozitif bir operatör ise o taktirde
L(f ) ≤ L( f
) eşitsizliği sağlanır.
İspat: Herhangi bir f fonksiyonu için
− f ≤f ≤ f
(1.2.2)
dir. L , lineer pozitif bir operatör olduğundan Lemma (1.2.1) den dolayı monoton artandır.
O halde (1.2.2) den
L(− f )≤ L(f )≤ L( f
)
(1.2.3)
yazılabilir. L lineer olduğundan
L(− f ) = − L( f
)
dir. Bu eşitliğin (1.2.3) de kullanılmasıyla
− L( f )≤ L(f )≤ L( f
)
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
Şimdi daha sonraki bölümlerde kullanılacak temel tanımları verelim.
Tanım 1.2.1. n ∈ IN olmak üzere f n (x ) ’e bir fonksiyon dizisi denir ve (f n ) ile gösterilir.
Tanım 1.2.2. n ∈ IN olmak üzere L n (f; x ) , L n operatörünün f ’e uygulandığını ve sonucun
x ’e bağlı olduğunu gösterir. L n (f; x ) ’e bir operatör dizisi denir ve (L n ) ile gösterilir.
Tanım 1.2.3. Kapalı bir [a,b] aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli tüm reel değerli
fonksiyonlardan oluşan kümeye C[a,b] fonksiyon uzayı denir. Bu uzaydaki norm:
f
C [a, b ]
= maks f(x) şeklinde tanımlanır. Bu norm ile birlikte
a ≤x ≤b
C[a,b], lineer normlu bir uzaydır.
Tanım 1.2.4. Tüm reel eksende tanımlı ve f(x) ≤ M f ρ(x) koşulunu sağlayan fonksiyonların
uzayına B ρ (IR ) fonksiyon uzayı denir. Yani
B ρ (IR ) = {f : f (x ) ≤ M f ρ(x )}
dir. Burada M f , f fonksiyonuna bağlı sabit bir sayıdır.
B ρ (IR ) uzayındaki sürekli fonksiyonların uzayına da C ρ (IR ) fonksiyon uzayı denir. Yani
C ρ (IR ) = {f : f ∈ B ρ (IR ) ve f sürekli }
dir. C ρ (IR ) , B ρ (IR ) uzaylarına ağırlıklı uzaylar denir.
Açıktır ki, C ρ (IR ) ⊂ B ρ (IR ) dir ve bu uzaylardaki norm:
3
f(x)
f ρ = sup
ρ(x)
x∈IR
şeklinde tanımlanır.
ρ(x ) monoton artan, sürekli, ρ(x ) ≥ 1 ve lim ρ(x ) = ∞ şartını sağlayan bir
Burada
x →∞
fonksiyondur ve bu fonksiyona ağırlık fonksiyonu denir. Yukarıda tanımlanan norm ile
birlikte B ρ (IR ) ve C ρ (IR ) lineer normlu uzaylardır.
Tanım 1.2.5. Bir (f n ) fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonuna C ρ (IR ) normunda düzgün
yakınsak olması için gerek ve yeter koşul lim f n - f
n →∞
C ρ (IR)
=0
ya da daha açık olarak;
lim sup
f n (x) − f(x)
n →∞ x∈IR
ρ(x)
= 0 eşitliğinin sağlanmasıdır.
Düzgün yakınsama f n (x) →
→ f(x) şeklinde gösterilir.
Tanım 1.2.6. L lineer operatörü X uzayından Y uzayına dönüşüm yapıyorsa,
L operatörünün normu;
L=L
X→Y
= sup L(f)
f
X
=1
Y
şeklinde tanımlanır.
1.3. P.P. Korovkin Teoremi (1953)
f ∈ C[a, b] ve tüm reel eksende
(1.3.1)
f(x) < M f
olsun. Eğer L n (f ; x ) lineer pozitif operatör dizisi her x∈[a , b] için:
→1
i.
L n (1; x ) →
→x
ii.
L n (t; x ) →
→ x2
iii.
Ln t 2; x →
koşullarını sağlıyorsa bu durumda [a , b] aralığında L n (f ; x ) →
→ f ( x ) dir.
(
)
İspat: Kabul edelim ki f ∈ C[a, b] olsun. f fonksiyonu sürekli olduğundan her pozitif ε
sayısına karşılık öyle bir
δ bulabiliriz ki,
t − x ≤δ olduğunda
f (t ) − f (x ) < ε
t − x >δ olduğunda ise (1.3.1) den ve üçgen eşitsizliğinden dolayı:
f (t ) − f (x ) ≤ f (t ) + f (x ) ≤ 2M f
(1.3.2)
yazabiliriz. Diğer taraftan
t − x >δ ise
t−x
δ
>1 olacağından;
4
olur.
(t − x )2
δ2
>1
(1.3.3)
sağlanır.
(1.3.2) ve (1.3.3) den:
f (t ) − f (x ) ≤ 2M f ≤ 2M f
(t − x )2
δ2
yazabiliriz. O halde;
t − x ≤δ için f (t ) − f (x ) <ε
t − x >δ için f (t ) − f (x ) < 2M f
(t − x )2
δ2
elde ettik. Dolayısıyla her t ∈ IR ve her x ∈ [a, b] için:
f (t ) − f (x ) < ε + 2M f
(t − x )2
(1.3.4)
δ2
dir. Şimdi (i), (ii) ve (iii) koşullarını sağlayan (L n ) operatör dizisinin,
lim L n (f ) − f
n →∞
C [a,b ]
=0
eşitliğini sağladığını gösterelim. Lineerlikten:
L n (f (t ); x ) − f (x ) = L n (f (t ); x ) − f (x ) + L n (f (x ); x ) − L n (f (x ); x )
= L n (f (t ); x ) − L n (f (x ); x ) + L n (f (x ); x ) − f (x )
= L n ((f (t ) − f (x )); x ) + f (x )(L n (1; x ) − 1)
dir. Burada üçgen eşitsizliğinin kullanılmasıyla
L n (f (t ); x ) − f (x ) ≤ L n ((f (t ) − f (x )); x ) + f (x ) L n (1; x ) − 1
yazılabilir. L lineer pozitif bir operatör olduğundan Lemma 1.2.2’den
L n (f (t ); x ) − f (x ) ≤ L n ( f (t ) − f (x ) ; x ) + f (x ) L n (1; x ) − 1
eşitsizliği sağlanır. (1.3.1) den
L n (f (t ); x ) − f (x ) ≤ L n ( f (t ) − f (x ) ; x ) + M f L n (1; x ) − 1
yazılabilir.
Lemma
1.2.1’den
dolayı (L n ) monoton
artan
olup,
burada
(1.3.4)’ün
kullanılmasıyla;
2M


2
L n (f (t ); x ) − f (x ) ≤ L n  ε + 2 f (t − x ) ; x  + M f L n (1; x ) − 1
δ


5
(1.3.5)
bulunur. Diğer taraftan L n ’in lineerliğinden
2M


 2M

2
2
L n  ε + 2 f (t − x ) ; x  = L n (ε; x ) + L n  2 f (t − x ) ; x 
δ


 δ

=εL n (1; x ) +
2M f
L n (t 2 − 2xt + x 2 ; x )
δ2
=εL n (1; x ) +
2M f
L n (t 2 ; x ) − x 2 − x 2 + 2x 2 − 2xL n (t; x ) + x 2 L n (1; x )
2
δ
=εL n (1; x ) +
2M f
L n (t 2 ; x ) − x 2 + 2x 2 − 2xL n (t; x ) + x 2 L n (1; x ) − x 2
2
δ
=εL n (1; x ) +
2M f
(L n (t 2 ; x ) − x 2 ) + 2x(x − L n (t; x )) + x 2 (L n (1; x ) − 1)
δ2
[
]
[
]
[
]
yazabiliriz. Bu son ifadenin (1.3.5)’de kullanılmasıyla;
L n (f (t ); x ) − f (x ) ≤ εL n (1; x ) +
[( (
)
)
]
2M f
L n t 2 ; x − x 2 + 2x (x − L n (t; x )) + x 2 (L n (1; x ) − 1)
δ2
(1.3.6)
+ M f L n (1; x ) − 1
elde edilir. Burada (i), (ii), (iii) koşullarının kullanılmasıyla
L n (f (t ); x ) − f (x ) < ε
bulunur. O halde;
lim maks L n (f (t ); x ) − f (x ) = 0
n →∞ a ≤ x ≤ b
dır. Bu da ispatı tamamlar.
1.4. Baskakov Teoremi (Baskakov, 1961)
f ∈ C [a , b] ve tüm reel eksende f(x) ≤ M f (1 + x 2 ) olsun. L n (f ; x ) lineer pozitif operatör
dizisi olmak üzere her x ∈ [a , b] ve n → ∞ için
→1
L n (1; x ) →
i.
→x
ii.
L n (t; x ) →
2
iii.
Ln t 2; x →
→x
(
)
koşullarının sağlanması için gerek ve yeter şart [a , b] aralığında n → ∞ iken
L n (f ; x ) →
→ f (x ) olmasıdır.
İspat:
1, x, x 2 fonksiyonları C[a, b] de olup
f (x ) ≤ M f (1 + x 2 )
(1.4.1)
6
koşulunu sağladıklarından dolayı L n (f; x ) →
→ f (x ) olması durumunda (i), (ii) ve (iii) koşulları
sağlanır. O halde (i-iii) nin sağlanması halinde
L n (f; x ) →
→ f (x ) olduğunu göstermek ispatı tamamlar.
f ∈ C[a, b] olsun. f fonksiyonu sürekli olduğundan
∀ ε > 0 için ∃ δ vardır öyle ki t − x < δ olduğunda
f (t ) − f (x ) < ε
(1.4.2)
sağlanır.
Eğer t − x ≥ δ ise
(t − x )2
δ2
t−x
δ
≥ 1 olup
≥ 1 eşitsizliği geçerlidir.
(1.4.1) den ve üçgen eşitsizliğinden dolayı
(
f (t ) − f (x ) ≤ M f 1 + t 2 + 1 + x 2
(
)
= M f 2 + (t − x + x ) + x 2
2
(
2
(
2
)
= M f 2 + (t − x ) + 2x (t − x ) + x 2 + x 2
≤ M f 2 + (t − x ) + 2x t − x + 2x 2
)
)
2
2
 2( t − x ) 2
(
t − x)
2
2 (t − x )

≤M f 
+ (t − x ) + 2x
+ 2x
2
δ
δ2
 δ
2x 2x 2
2 2
= M f (t − x )  2 + 1 +
+ 2
δ
δ
δ







= M f (t − x ) c (x )
2
(1.4.3)
Açıktır ki x ∈[a, b] için c(x ) sınırlıdır. ∀ ε > 0 için (1.4.2) ve (1.4.3) ten
f (t ) − f (x ) ≤ε + M f c(x )(t − x )
2
(1.4.4)
yazabiliriz.
L n operatörünün (1.4.4) eşitsizliğine uygulanmasıyla
7
L n (f (t ); x ) − f (x ) ≤ L n ( f (t ) − f (x ) ; x )
(
≤ L n (ε; x ) + M f c(x )L n (t − x ) ; x
[ (
2
)
)
= L n (ε; x ) + M f c(x ) L n t 2 ; x − 2xL n (t; x ) + x 2 L n (1; x ) − 2x 2 + 2x 2
[( (
)
]
)
]
= L n (ε; x ) + M f c(x ) L n t 2 ; x − x 2 − 2x (L n (t; x ) − x ) + x 2 (L n (1; x ) − 1)
O halde
[
]
L n (f (t ); x ) − f (x ) ≤ε(L n (1; x ) − 1) + ε + M f c(x ) (L n (t 2 ; x ) − x 2 ) − 2x (L n (t; x ) − x ) + x 2 (L n (1; x ) − 1)
(i-iii) den dolayı son eşitsizliğin sağ tarafı n → ∞ için ε olup bu da ispatı tamamlar.
8
2. SZASZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde Szasz operatörleri tanıtılarak Korovkin Teoremi yardımıyla yaklaşım
özellikleri incelenecektir.
2.1. Szasz Operatörlerinin Sonlu Aralıkta Düzgün Yakınsaklığı
Szasz operatörleri 1950 yılında Otto Szasz tarafından aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır
(Szasz, 1950).
Tanım 2.1.1. (Szasz Operatörleri).
∞
 k  (nx )
S n (f ; x ) =e − nx ∑ f  
k!
k =0  n 
k
(2.1.1)
şeklinde tanımlanan lineer pozitif operatörlere Szasz operatörleri denir.
Bu operatörlerin [0, A ] aralığındaki yakınsaklığını Bölüm 1 de verilen P.P. Korovkin
Teoremi yardımıyla gösterelim.
TEOREM 2.1.1. (2.1.1) ile verilen Szasz operatörleri A ∈IR + olmak üzere [0, A ] kapalı
aralığında sürekli ve tüm pozitif yarı eksende de sınırlı olan f fonksiyonuna bu aralıkta
düzgün yakınsar. Yani f ∈ C[0, A ] ise
S n (f; x ) →
→ f (x ) , x ∈ [0, A ]
dir.
İspat: Korovkin Teoremini kullanabilmek için
öncelikle S n (f; x ) ’in lineer ve pozitif bir operatör olduğunu gösterelim.
Lineerlik:
∀ a, b ∈ IR ve f, g ∈ C[0, A ] için,
∞
 k
 k   (nx )
S n (af (t ) + bg (t ); x ) = e − nx ∑  af   + bg  
n
 n   k!
k =0 
∞
∞
 k  (nx )
 k  (nx )
= e − nx ∑ (af ) 
+ e − nx ∑ (bg ) 
 n  k!
 n  k!
k =0
k =0
k
k
9
k
= ae
− nx
∞
 k  (nx )
 k  (nx )
f 
+ be − nx ∑ g 
∑
k!
k!
k =0  n 
k =0  n 
k
∞
k
= aS n (f (t ); x ) + bS n (g(t ); x )
olduğundan (S n ) lineer bir operatördür.
Pozitiflik:
k = 0,1,2, K , n ∈ IN
ve
x ∈ [0, A ] için e
− nx
(nx )k ≥ 0
k!
olduğundan f ≥0 ise S n (f; x )≥ 0
dır. Yani (S n ) pozitif operatördür.
Eğer
i.
ii.
iii.
S n (1; x )
S n (t; x )
→1
→
→x
→
2
→
Sn t ; x → x 2
(
)
olduğunu gösterirsek Korovkin Teoreminden dolayı S n (f; x ) →
→ f (x ) olduğunu ispatlamış
oluruz. Şimdi bunları gösterelim.
i. S n (1; x ) = e
− nx
∞
∑
k
nx )
(
1⋅
k =0
k!
= e − nx e nx
Yani
S n (1; x ) = 1
(2.1.2)
dir.
k (nx )
k!
k =0 n
∞
ii. S n (t; x ) = e − nx ∑
k
10
∞
k nkxk
k!
k =1 n
= e − nx ∑
n k −1 x k −1 x
, (k → k + 1)
k =1 (k − 1)!
∞
= e − nx ∑
∞
nkxk
k!
k =0
= xe −nx ∑
= xe − nx e nx
= x⋅
Yani
S n (t; x ) = x
(2.1.3)
dir.
(
k 2 (nx )
2
k!
k =0 n
∞
)
iii. Sn t 2 ; x = e − nx ∑
=e
− nx
k
∞
k2 nkxk
∑
2
k!
k =1 n
k n k −1 x k −1 x
(k − 1)!
k =1 n
∞
= e − nx ∑
=e
=e
− nx
− nx
k −1 k −1
 k −1 1  n x x
+ 

∑
n  (k − 1)!
k =1  n
∞
 ∞ k − 1 n k −1 x k −1 x ∞ 1 n k −1 x k −1 x 
 ∑

+
(k − 1)! ∑
(k − 1)! 
k =1 n
 k =1 n
 ∞ k − 1 n k −1 x k −1 x ∞ 1 n k −1 x k −1 x 

= e − nx  ∑
+
(k − 1)! ∑
(k − 1)! 
k =1 n
 k =2 n
=e
− nx
 ∞

∞

n k − 2 x k −2 x 2
1 n k −1 x k −1 x 
+
 ∑

(k − 2)! k =∑
n (k − 1)! 
1
 k =2
k
→
k
+
2
k
→
k
+
1


11
∞

nkxk x ∞ nkxk
= e −nx  x 2 ∑
+ ∑
n k =0 k!
 k = 0 k!
= x 2 e − nx e nx +
= x2 +
x
⋅
n
)
x
n



x − nx nx
e e
n
Yani
(
Sn t 2 ; x = x 2 +
(
(2.1.4)
)
2
olup, S n t 2 ; x →
→ x , (n → ∞ ) elde ederiz. Dolayısıyla (i), (ii) ve (iii) şartları sağlandığından
Korovkin Teoremi gereğince ∀ f ∈ C[0, A ] için [0, A ] aralığında
S n (f; x ) →
→ f (x ) , (n → ∞ )
olduğu gösterilmiş oldu.
12
3. SINIRSIZ BÖLGELERDE KOROVKİN TİPLİ TEOREMLER
Öncelikle belirtelim ki sınırsız bölgelerde tanımlanmış uzaylar için Baskakov teoremi
geçerli değildir. Bunu aşağıdaki örneği vererek gösterelim.
1

f (x + 1) − 2f (x ) + f (x − 1) , 0 ≤ x ≤ n
f (x ) +
L n (f; x ) = 
2n
f (x )
, n <x
şeklinde tanımlı lineer pozitif operatörler dizisi Baskakov teoreminin koşullarını sağladığı
halde f ∗ (x ) = x 2 cos πx fonksiyonuna tüm IR de düzgün olarak yakınsamaz (Hacısalihoğlu,
Hacıyev, 1995).
i
İspat: Öncelikle L n (t i ; x) →
→ x , i = 0,1,2 koşullarının sağlandığını gösterelim.
i. L n (1; x ) = 1 +
1
1 − 2 ⋅1 + 1 = 1
2n
ii. L n (t; x ) = x +
(
1
x + 1 − 2x + x − 1 = x
2n
)
iii) L n t 2 ; x = x 2 +
= x2 +
1
(x + 1)2 − 2x 2 + (x − 1)2
2n
1 2
1
x + 2x + 1 − 2x 2 + x 2 − 2x + 1 = x 2 +
2n
n
(
)
2
olup n → ∞ için L n t 2 ; x →
→ x dir.
x ∈ (− ∞, ∞ ) olmak üzere f ∗ (x ) = x 2 cos πx fonksiyonunu göz önüne alalım.
Açıktır
ki
f ∗ ≤ M f (1 + x 2 )
eşitsizliği
sağlanır.
Gerçekten
cos πx ≤ 1 olduğundan
f ∗ ≤ x 2 ≤ M f (1 + x 2 ) dir.
Böylece Baskakov teoreminin koşulları sağlanır.
(
)
L n f ∗ ; x − f ∗ (x ) =
1
(x + 1)2 cos(πx + π ) − 2x 2 cosπx + (x − 1)2 cos(πx − π )
2n
olur.
cos (πx + π ) = cos πx cos π − sin πx sin π = − cos πx
cos (πx − π ) = cos πx cos π + sin πx sin π = − cos πx
Bu eşitliklerin (3.1.1) de kullanılmasıyla ;
13
(3.1.1)
(
)
L n f ∗ ; x − f ∗ (x ) =
1
2
2
− (1 + x ) cos πx − 2x 2 cos πx − (x − 1) cos πx
2n
=−
cos πx
(x + 1)2 + 2x 2 + (x − 1)2
2n
=−
cos πx 2
4x + 2
2n
=−
cos πx
2x 2 + 1
n
(
)
elde edilir. O halde
(
)
L n f ∗; x − f ∗ (x ) =
cos πx
n
(2x
2
)
+1
olur.
Her iki tarafın 0 ≤ x ≤ n üzerinden supremumu alınırsa
(
)
sup L n f ∗ ; x −f ∗ (x ) =
0≤ x ≤ n
1
sup cos πx ⋅(2x 2 + 1)
n 0≤ x ≤ n
2n 2 + 1
=
n
2n 2 + 1
∗
elde edilir. lim
=∞ olduğundan L n f ∗ ; x →
→ f (x ) sağlanmaz. Bu da gösteriyor ki
n →∞
n
(
)
sınırsız bölgelerde Baskakov teoremi geçerli değildir.
O halde sınırsız bölgelerde yakınsaklık teoreminin nasıl olması gerektiğini araştıralım.
Bu teoremi verebilmek için A. Hacıyev tarafından ispatlanan bazı önermeleri ifade ve ispat
edelim (Bkz. [Hacısalihoğlu ve Hacıyev]).
ÖNERME 1: C ρ1 (IR ) de tanımlı lineer pozitif bir operatörün C ρ1 (IR ) den B ρ 2 (IR) ye
dönüşüm yapması için gerek ve yeter şart
L(ρ 1 ) ρ ≤ M 1 olacak şekilde bir M1>0 sabitinin
2
bulunmasıdır. Burada
ρ1 ( x ) ve ρ 2 ( x )
fonksiyonları 1 den büyük, monoton artan
fonksiyonlardır.
İspat
⇒:
L : C ρ1 →B ρ 2 bir dönüşüm olsun. O halde;
∀ f ∈ C ρ1 için L(f ; x )∈ B ρ 2 dir.
Ayrıca ρ1 (x) ≤ Mρ1 (x) sağlandığından ρ1 ( t ) ∈ C ρ1 dir.
14
⇒ L(ρ 1 (t); x )∈ B ρ 2
⇒ L(ρ1 (t); x ) ≤ M 1ρ 2 (x )
⇒
L(ρ1 (t); x )
ρ 2 (x)
≤ M1
Her iki tarafın x ∈ IR üzerinden supremumu alınırsa, sağ taraf x ten bağımsız olduğundan
sup
L(ρ1 (t); x )
ρ 2 (x)
x∈IR
≤ M1
olur ki bu da ispatın ilk kısmını tamamlar.
⇐: Şimdi kabul edelim ki L(ρ1 )
ρ2
≤ M 1 olsun.
L: C ρ1 → Bρ 2 olduğunu gösterirsek ispat tamamlanır.
∀f∈ C ρ1 için f ρ ≤ Mf = M vardır.
1
L lineer pozitif operatörü monoton olduğundan
 f

L(f; x ) ≤ L( f ; x ) = L
⋅ ρ1 (t); x 
 ρ1 (t)

≤ f
ρ1
L(ρ1 (t); x )
yazabiliriz. Dolayısıyla
L(f; x ) ≤ M L(ρ1 (t ); x )
elde edilir. Bu son eşitsizliğin ρ 2 (x ) e bölünmesiyle
L(f; x )
ρ 2 (x)
≤M
L(ρ1 (t); x )
ρ 2 (x)
elde edilir.
Her iki tarafın x ∈ IR üzerinden supremumu alınırsa
sup
x∈IR
L(f; x )
ρ 2 (x)
≤ M sup
x∈IR
L(ρ1 (t); x )
ρ 2 (x)
bulunur. O halde
L(f )
L(f )
ρ2
ρ2
≤ M L(ρ1 )
ρ2
olup, hipotezden
≤ M ⋅ M1
15
yazabiliriz. M ⋅ M1 = M 2 dersek
L(f )
ρ2
≤ M2
sağlanır. Yani
L(f; x )∈ B ρ 2 dir.
ÖNERME 2 : L : C ρ1 (IR ) → B ρ 2 (IR ) lineer pozitif bir operatör olsun. Bu durumda,
L
C ρ1 → Bρ 2
= L(ρ1 )
dir.
ρ2
İspat: L : C ρ1 (IR ) → B ρ 2 (IR ) lineer pozitif operatörü için
L
C ρ1 → Bρ 2
= sup L(f )
= sup
f ρ1 =1
= sup
f ρ1 =1
≤ L(ρ1 )
 f

⋅ ρ1 (t); x 
L
 ρ1 (t)

ρ 2 (x)
sup
x∈IR
f
ρ
sup
L(ρ1 (t); x )
ρ 2 (x)
x∈IR
1
L(ρ1 (t); x )
ρ 2 (x)
x∈IR
C ρ1 → Bρ 2
ρ 2 (x)
x∈IR
f ρ1 =1
= sup
L(f; x )
sup
≤ sup
L
ρ2
f ρ1 =1
yazılabilir. O halde
(3. 1. 2)
ρ2
eşitsizliği sağlanır. Ayrıca
L
C ρ1 → Bρ 2
= sup
f
ρ1
=1
L(f )
ρ2
≥
L(ρ1 )
sup
ρ1
ρ1
=1
= L(ρ1 )
ρ2
ρ2
olduğundan
L
C ρ1 → Bρ 2
≥ L(ρ1 )
(3.1.3)
ρ2
elde edilmiş olup (3.1.2) ve (3.1.3) ten L
C ρ1 → Bρ 2
16
= L(ρ1 ) ρ dir. Bu da ispatı tamamlar.
2
ÖNERME 3: Kabul edelim ki C ρ1 (IR ) den B ρ 2 (IR) ye dönüşüm yapan (L n ) lineer pozitif
operatörler dizisi için aşağıdaki şartlar geçerli olsun.
a) ∀ x∈ IR için ρ1 ( x ) ≤ Mρ 2 ( x ) olacak şekilde bir M sayısı mevcut olsun.
b) lim L n (ρ 1 ) − ρ 1
n →∞
= 0 sağlansın.
ρ2
O taktirde (L n ) düzgün sınırlıdır. Yani L n
≤ K olacak şekilde bir pozitif K sabiti
C ρ1 → B ρ 2
vardır.
İspat: lim L n (ρ 1 ) − ρ 1
n →∞
ρ2
= 0 ise
∀ ε > 0 için ∃ N = N(ε ) vardır öyle ki ∀ n ≥ N için
L n (ρ1 ) − ρ1
<ε
ρ2
olur.
Diğer yandan ρ1 (x) ≤ Mρ 2 ( x ) olduğundan ρ1
ρ2
≤ M dir.
Dolayısıyla ∀ n ∈ IN için, Önerme 2 den dolayı
Ln
C ρ1 → B ρ 2
= L n (ρ1 )
ρ2
= L n (ρ1 ) − ρ1 + ρ1
≤ L n (ρ1 ) − ρ1
ρ2
ρ2
+ ρ1
ρ2
< ε+M
yazılabilir.
{
K = maks L1
Ln
C ρ1 → Bρ 2
C ρ1 → B ρ 2
, L2
C ρ1 → B ρ 2
, ..., L N −1
C ρ1 → Bρ 2
}
, ε + M seçilirse
≤K
elde edilmiş olur ki bu da ispatı tamamlar.
ÖNERME 4: A n : C ρ1 → B ρ1 lineer pozitif operatörler dizisi düzgün sınırlı ve
ρ1 (x)
=0
x → ∞ ρ (x)
2
olsun.
lim
ϕ n (s) = sup
f
ρ1
=1
sup
x ≤s
A n (f; x )
ρ1 (x)
olmak üzere ∀s için lim ϕ n (s) = 0 ise o taktirde
n →∞
17
lim
n →∞
An
C ρ1 → B ρ
=0
2
dır.
ρ1 (x)
= 0 olduğundan ∀ ε > 0 için öyle bir s0 vardır ki
ρ 2 (x)
ρ1 (x)
|x| > s0 olduğunda
< ε olur.
ρ 2 (x)
İspat: lim
x→∞
ρ1 (x)
de süreklidir. Sürekli
ρ 2 (x)
ρ (x)
≤ C olacak şekilde bir C
her fonksiyon sonlu aralıkta sınırlı olacağından |x| ≤ s0 için 1
ρ 2 (x)
sabiti vardır. O halde
Ayrıca ρ1(x) ve ρ2(x) sürekli ve ρ 2 (x ) 1 den büyük olduğundan
An
C ρ1 → B ρ2
= sup
f
ρ1
=1
= sup
f
ρ1
f
ρ1
sup
=1
= sup
=1
A n (f)
x∈IR
ρ2
A n (f; x)
ρ 2 (x)
A n (f; x) 
A n (f; x)

+ sup
 sup

ρ 2 (x) 
x ≤s 0
 x >s 0 ρ 2 (x)
A n (f;x) ρ1(x) 
A n (f;x) ρ1(x) 


≤ sup  sup
⋅
⋅
 + sup  sup

ρ1(x) ρ 2 (x)  f ρ1 =1  x ≤s 0 ρ1(x) ρ 2 (x) 
f ρ =1  x > s 0
1
≤ An
C ρ1 → Bρ1
.ε + C .ϕ n (s 0 )
yazılabilir.
A n : C ρ1 → B ρ1 düzgün sınırlı olduğundan
An
C ρ1 → B ρ 2
≤ K ⋅ε + C ⋅ϕ n (s 0 )
bulunur. Ayrıca hipotezden lim ϕ n (s 0 ) = 0 dır ve dolayısıyla lim A n
n →∞
n →∞
C ρ1 → Bρ 2
= 0 elde edilir.
TEOREM 3.1.1. Kabul edelim ki L n : C ρ1 (IR ) → B ρ 2 (IR ) lineer pozitif operatörler dizisi,
C ρ1 (IR ) → B ρ1 (IR ) düzgün sınırlı ve lim
x →∞
ρ1 (x)
= 0 olsun.
ρ 2 (x)
Eğer her s için |x | ≤ s olmak üzere
lim L n (f; x) − f(x) = 0
(3.1.4)
n →∞
18
oluyorsa ∀ f ∈ C ρ1 (IR ) için
lim L n (f) − f
n →∞
ρ2
= 0 dır.
İspat : Önerme 4 te A n = L n − E alalım. Burada E, C ρ1 (IR) deki birim operatördür. Bu
durumda

(L n − E)(f; x) 
ϕ n (s ) = sup sup

ρ1 (x)
f ρ =1 x ≤s


1

(L n (f; x) - f(x) 
= sup sup

ρ1 (x)
f ρ =1 x ≤s


1
tir. Her bir x için ρ1 (x ) ≥ 1 olduğundan


ϕ n (s ) ≤ sup sup L n (f ; x ) − f ( x ) 
f ρ =1 x ≤ s

1
yazabiliriz. Burada (3.1.4) ün kullanılmasıyla lim ϕ n (s) = 0 elde edilir.
n →∞
O halde Önerme 4 ün sonucu olarak,
lim L n − E
n →∞
C ρ1 → B ρ 2
=0
(3.1.5)
yazılabilir. Diğer taraftan
L n (f ) − f
ρ2
= L n (f ) − E(f ) ρ
= (L n − E )(f ) ρ
2
2
f

= (L n − E ) ⋅ ρ1 
 ρ1

≤ f
ρ1
ρ2
⋅ (L n − E )(ρ1 ) ρ
2
olduğundan Önerme 2 den dolayı (L n − E) (ρ1 )
L n (f) − f
ρ2
≤ Ln − E
C ρ1 → Bρ 2
.f
= Ln − E
C ρ1 → Bρ 2
yazabiliriz. O halde
ρ1
olup (3.1.5) ten dolayı lim L n (f ) − f
n →∞
ρ2
ρ2
= 0 elde edilir.
Şimdi bu teorem yardımıyla (2.1.1) ile tanımlı Szasz operatörlerinin IR + da
yakınsaklığını gösterelim (Bkz. [Doğru]).
19
4.
SZASZ
OPERATÖRLERİNİN
SINIRSIZ
BÖLGELERDE
DÜZGÜN
YAKINSAKLIĞI
Bu kısımda 3. bölümde elde edilen sonuçlar kullanılarak IR + da Szasz operatörlerinin
yaklaşım özellikleri incelenecektir.
TEOREM 4.1.1. ρ 2 (x) ≥1 , x ∈ [0, ∞ ) sürekli ve monoton artan bir fonksiyon olmak üzere;
1+ x2
=0
x →∞ ρ (x)
2
lim
(4.1.1)
şartını sağlasın. Bu durumda ∀ f ∈ C1+ x 2 (IR + ) için lim S n (f ) − f
n →∞
ρ2
= 0 dır.
İspat: İspat için Szasz operatörlerinin Teorem 3.1.1’in koşullarını sağladığını gösterelim.
Bunun için öncelikle S n (f ; x ) in C ρ1 (IR + ) den B ρ 2 (IR + ) ye dönüşüm yapan lineer pozitif
operatör dizisi olduğunu göstermeliyiz.
S n (ρ1 ) ρ = sup
2
x∈IR +
(
Sn 1 + t 2 ; x
)
ρ 2 (x)
olup (2.1.4) ten
S n (ρ1 ) ρ = sup
2
x∈IR +
1+ x2 +
x
n
ρ 2 (x)
1 + x 2
x
1
= sup 
+
⋅ 
ρ 2 (x) n 
x∈IR +  ρ 2 (x)
(4.1.2)
yazılabilir. Diğer yandan 1 + x 2 ve ρ 2 (x) fonksiyonları sürekli ve ρ 2 (x)≥1 olduğundan
1+ x2
ρ 2 (x)
de süreklidir. Sürekli her fonksiyon sonlu aralıkta sınırlı olacağından 0 ≤ x ≤ N için
1+ x2
≤ M olacak şekilde bir M sabiti vardır. Ayrıca (4.1.1) den ve limit tanımından N < x
ρ 2 (x)
için
1+ x2
< ε sağlanır. Dolayısıyla her durumda
ρ 2 (x)
1+ x2
<M+ε
ρ 2 (x)
(4.1.3)
20
yazılabilir. Ayrıca 0 <
x
1+ x2
<
< M + ε ve dolayısıyla
ρ 2 (x) ρ 2 (x)
x
< M+ε
ρ 2 (x)
(4.1.4)
dir. (4.1.3) ve (4.1.4) ün (4.1.2) de kullanılmasıyla S n (ρ1 ) ρ 2 ≤ 2(M + ε )
bulunur. 2(M + ε ) = M 1 dersek
S n (ρ1 )
ρ2
≤ M1
eşitsizliği elde edilir. Böylece Önerme 1 den dolayı S n : C ρ1 (IR + ) → B ρ 2 (IR + ) dir.
Şimdi de S n : C ρ1 (IR + ) → B ρ1 (IR + ) düzgün sınırlı olduğunu gösterelim. Bunun için
Sn
Sn
C ρ1 → Bρ1
C ρ → B ρ1
≤ K olacak şekilde K sabitinin varlığını göstermeliyiz. Önerme 2 den dolayı
= S n (ρ1 )
= sup
ρ1
(
Sn 1 + t 2 ; x
)
1+ x2
x∈IR +
1+ x2 +
= sup
x
n
1+ x2
x∈IR +
x
1

= sup 1 +
⋅ 
2
1+ x n
x∈IR + 
(4.1.5)
yazılabilir. Diğer yandan x ≤ 1 + x 2 olduğundan
(4.1.5) te kullanılmasıyla S n
C ρ1 → Bρ1
x
1
≤ 1 ve
≤ 1 dir. Bu eşitsizliklerin
2
n
1+ x
≤ 2 elde edilir. Böylece K = 2 dir ve düzgün sınırlılık
sağlanır.
O
halde
x ≤s
için
f ∈ C1+ x 2 [0, s] ⊂ C[0, s]
olup
Korovkin
Teoreminden
lim max S n (f; x ) − f(x) = 0
n →∞ 0≤ x ≤ s
dır. Diğer yandan max S n (f; x ) − f(x) ≥ S n (f; x ) − f(x) ≥ 0 olduğu göz önünde bulundurulursa
0≤ x ≤s
lim S n (f; x ) − f (x ) = 0 elde edilir. Böylece Teorem 3.1.1 den lim S n (f ) − f
n →∞
n →∞
ulaşılır.
21
ρ2
= 0 sonucuna
5. SZASZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM HIZI
Biliyoruz ki, L n (f; x) keyfi bir lineer pozitif operatörler dizisi olmak üzere
L n (f) − f → 0, (n → ∞ ) olması L n (f; x) in f ( x ) e düzgün olarak yaklaştığını gösterir.
Yaklaşma hızı ise α n → 0 ,
(n → ∞ )
olmak üzere, L n (f; x ) − f(x) < cα n olacak şekilde
α n lerin belirlenmesi ile hesaplanır. α n ler L n operatörü ve f fonksiyonuna bağlı olarak
değişirler. Yaklaşma hızı problemi olarak adlandırılan bu hesaplama sonlu aralıkta genel
olarak ω(f; δ ) şeklinde gösterilen “Süreklilik Modülü” yardımıyla yapılır. Bu nedenle önce
C[a, b] uzayında süreklilik modülünü tanımlayalım.
5.1. C[a, b] Uzayındaki Süreklilik Modülü
f ∈ C[a, b] olsun. ∀ δ>0 için
ω(f; δ )= sup f (t ) − f (x )
x, t ∈ [a, b ]
t − x ≤δ
ile tanımlanan ω(f; δ ) ifadesine f fonksiyonunun “Süreklilik Modülü” denir.
5.1.1. C[a, b] Uzayındaki Süreklilik Modülünün Özellikleri
i. ω(f; δ )≥0
ii. δ1 ≤ δ 2 ise ω(f; δ1 ) ≤ ω(f; δ 2 )
iii. ∀ m ∈ IN için ω(f; mδ ) ≤ mω(f; δ )
iv. ∀ λ ∈ IR + için ω(f; λδ ) ≤ (λ + 1)ω(f; δ )
v. lim ω(f; δ ) = 0
δ →0
vi. f (t ) − f (x ) ≤ω(f; t − x )
 t−x

vii. f (t ) − f (x ) ≤
+ 1ω(f; δ )
 δ

Tanım 5.1.1.
C ρ [0, ∞ ) dan olan ve lim
x→∞
f(x)
= K f < ∞ koşulunu gerçekleyen fonksiyonların uzayı
ρ(x)
C ρ,K f [0, ∞ ) ile gösterelim.
22
5.2. Ağırlıklı Uzaylardaki Süreklilik Modülü
f (x + h ) − f(x)
f(x), f (x + h )∈ C ρ [0, ∞ )
e bakalım.
ρ(x) = 1 + x 2 seçimi ile
f(x)
olduğundan
≤ Mf
1+ x2
f(x) ≤ M f ρ(x)
(5.2.1)
dir.
Benzer şekilde;
f (x + h ) ≤ M f ρ(x + h ) ⇒
f (x + h )
1 + (x + h )
≤ M f dir.
2
(5.2.2)
Üçgen eşitsizliğinden;
f (x + h ) − f(x) ≤ f (x + h ) + f(x)
=
f (x + h )
1 + (x + h )
2
[
]
⋅ 1 + (x + h ) +
2
f(x)
1+ x2
(
⋅ 1+ x2
)
yazabiliriz. Burada (5.2.1) ve (5.2.2) nin kullanılmasıyla,
[(
) (
f (x + h ) − f(x) ≤ M f 1 + (x + h ) + 1 + x 2
2
)]
(5.2.3)
elde edilir.
Her a, b ∈ IR için (a + b ) ≤ 4(a 2 + b 2 ) olup a = x, b = h için
2
(x + h )2 ≤ 4(x 2 + h 2 ) dir. O halde
(1 + (x + h ) ) + (1 + x ) ≤ 1 + 4(x
2
2
2
)
+ h2 +1+ x2
(
)
(
)
= 5 1+ x2 + h2
)
≤ 1+ 4 x2 + h2 +1+ x2 + 3 + h2
= 5 + 5 x2 + h2
(
(
≤ 5 1 + x 2 + h 2 + x 2h 2
(
)(
= 51+ x2 1+ h2
(
) (
) (
)(
)
⇒ 1 + (x + h ) + 1 + x 2 ≤ 5 1 + x 2 1 + h 2
2
)
)
elde edilir.
23
ve
Bu eşitsizliğin (5.2.3) te kullanılmasıyla,
(
)(
f (x + h ) − f(x) ≤ M f .5 1 + x 2 1 + h 2
)
bulunur. Dolayısıyla;
(
)(
f (x + h ) − f(x) ≤ C f 1 + x 2 1 + h 2
)
olduğundan ∀ f ∈ C ρ,K f [0, ∞ ) için
Ω(f; δ ) = sup
x≥0
h ≤δ
f (x + h ) − f(x)
(1 + x 2 )(1 + h 2 )
ifadesi mevcuttur.
Tanım 5.1.2. (Süreklilik Modülü)
f ∈ C ρ,K f [0, ∞ ) olmak üzere
Ω(f; δ) = sup
x ≥0
h ≤δ
f(x + h) − f(x)
şeklinde tanımlı Ω(f; δ) fonksiyonuna f
(1 + x 2 )(1 + h 2 )
fonksiyonunun
C ρ,K f [0, ∞ ) uzayında “Süreklilik Modülü” denir. (Bkz. [Gadjieva ve Doğru]).
5.2.1. Ağırlıklı Uzaylardaki Süreklilik Modülünün Özellikleri
i. Ω(f; δ) ≥ 0
ii. δ1 ≤ δ 2 ise Ω(f; δ1 ) ≤ Ω(f; δ 2 )
iii. ∀ m ∈ N için Ω(f; mδ ) ≤ 4m(1 + δ 2 ) Ω(f; δ)
iv. ∀ λ ∈ IR + için Ω(f; λδ) ≤ 4(λ + 1)(1 + δ 2 ) Ω(f; δ)
v. ∀ f ∈ C ρ, K f [0, ∞ ), lim Ω(f; δ) = 0
δ →0
vi. f(t) − f(x) ≤ (1 + x 2 )(1 + (t − x) 2 ) Ω(f; t − x
)
 t−x

2
vii. f(t) − f(x) ≤ 4
+ 1 1 + x 2 1 + (t − x ) 1 + δ 2 Ω(f; δ )
 δ

(
)(
)(
)
İspat:
İspat (i) f (x + h) - f (x) ≥ 0
(1 + x 2 ) > 0, (1 + h 2 ) > 0 olduğundan süreklilik modülü tanımı gereğince Ω(f; δ)≥ 0 dır.
İspat (ii) δ1 ≤ δ 2 için h ≤ δ 2 bölgesi, h ≤ δ1 bölgesinden daha büyüktür. Bölge büyüdükçe
alınan supremum büyüyeceğinden Ω(f; δ1 ) ≤ Ω(f; δ 2 ) dir.
24
İspat (iii) Ω(f; δ) = sup
x≥0
h ≤δ
f(x + h) − f(x)
ifadesinde x + h = t dersek
(1 + x 2 )(1 + h 2 )
Ω(f; δ)= sup
t, x ≥ 0
t − x ≤δ
f(t) − f(x)
(
(1 + x 2 ) 1 + (t - x )
2
)
elde edilir.
f(t) − f(x)
O halde Ω(f; mδ )= sup
(1 + x 2 ) (1 + (t − x) 2 )
t, x ≥ 0
t − x ≤ mδ
t − x ≤ mδ ⇒ − mδ≤ t − x ≤ mδ
t = x + mh seçilirse h ≤ δ olup
Ω(f; mδ ) = sup
x≥0
h ≤δ
f(x + mh) − f(x)
(5.2.4)
(1 + x 2 )(1 + (mh) 2 )
yazılabilir.
Diğer yandan,
m
f(x + mh) − f(x) = ∑ [f(x + kh) − f(x + (k − 1)h)]
k =1
m
≤∑ f(x + kh) − f(x + (k − 1)h
k =1
m
=∑
k =1
f(x + kh) − f(x + (k − 1)h
(1 + h )(1 + (x + (k − 1)h) )
2
2
⋅ (1 + h 2 )(1 + (x + (k − 1)h) 2 )
eşitsizliği sağlanır. Her iki tarafın (1 + x 2 ) ⋅ (1 + (mh) 2 ) ifadesine bölünmesiyle,
f(x + mh) − f(x)
f(x + kh) − f(x + (k − 1)h)
(1 + h 2 )(1 + (x + (k − 1)h) 2 )
≤∑
⋅
(1 + x 2 )(1 + (mh) 2 ) k =1 (1 + h 2 )(1 + (x + (k − 1)h) 2 )
(1 + x 2 )(1 + (mh) 2 )
m
elde edilir.
Her iki tarafın h ≤ δ üzerinden supremumu alınırsa sol taraf (5.2.4) ten Ω(f; mδ ) ya eşit olup
1 + (x + (k − 1)h) 2 )
2
2
k =1 (1 + x )(1 + (mh) )
m
Ω(f; mδ ) ≤ Ω(f; δ)(1 + δ 2 ) ∑
elde edilir. Diğer yandan,
1 + (x + (k − 1)h) 2 ≤ 1 + 4(x 2 + ((k − 1)h) 2 )
≤ 1 + 4(x 2 + ((k − 1)h) 2 ) + 3
25
(5.2.5)
= 4(1 + x 2 + ((k − 1)h) 2 )
dir. k − 1 ≤ m olduğundan
1 + (x + (k − 1)h ) ≤ 4(1 + x 2 + (mh) 2 )
2
≤ 4(1 + x 2 + (mh) 2 + x 2 (mh) 2 )
= 4(1 + x 2 )(1 + (mh) 2 )
yazılabilir.
Yani,
1 + (x + (k − 1)h) 2
≤4
(1 + x 2 )(1 + (mh) 2 )
tür.
Bu eşitsizliğin (5.2.5) te kullanılmasıyla Ω(f; mδ ) ≤ 4m(1 + δ 2 ) Ω(f; δ) bulunur.
İspat (iv) λ ∈IR + sayısının tam kısmını [ λ ] ile gösterirsek
[ λ ] ≤ λ ≤ [ λ ] + 1 eşitsizliklerinin geçerli olduğu açıktır. Bu eşitsizliklerden ve (ii) özelliğinden
Ω(f; λδ) ≤ Ω (f; ([ λ ] + 1)δ ) yazılabilir.
[ λ ] + 1∈ IN olduğundan bu eşitsizliğin sağ tarafına (iii) özelliği uygulanarak,
Ω(f; λδ) ≤ Ω(f; ([ λ ] + 1)δ )
≤ 4([ λ ] + 1)(1 + δ )Ω(f; δ )
2
bulunur.
Ayrıca her λ ∈IR + için [ λ ] + 1≤ λ + 1 olduğu göz önünde bulundurulursa,
Ω(f; λδ) ≤ 4(λ + 1)(1 + δ 2 ) Ω(f; δ)
elde edilir.
İspat(v) f ∈ C ρ,K f [0, ∞ ) olduğundan f , [0, ∞ ) da sürekli ve
lim
x →∞
f(x)
= Kf <∞ .
ρ(x)
(5.2.6)
(5.2.6) dan ∀ ε > 0 için öyle bir x 0 bulunur ki tüm x> x 0 noktaları ve her reel h için
f(x)
ε f(x + h)
ε
− Kf < ,
− Kf <
ρ(x)
2 ρ(x + h)
2
(5.2.7)
sağlanır. O halde
26
Ω(f; δ) = sup
f(x + h) − f(x)
ρ(x + h)
x≥0
h ≤δ
= sup
f(x + h) − f(x) − ρ(x + h)K f + ρ(x + h)K f
ρ(x + h)
x≥0
h ≤δ
≤ sup
f(x + h) − ρ(x + h)K f
ρ(x + h)
x ≥0
h ≤δ
= sup
x≥0
h ≤δ
x ≥0
h ≤δ
f(x) − ρ(x + h)K f
ρ(x + h)
x ≥0
h ≤δ
f(x + h)
f(x) ρ(x)
− K f + sup
⋅
− Kf
ρ(x + h)
x ≥ 0 ρ(x) ρ(x + h)
h ≤δ
ρ monoton artan olduğundan
Ω(f; δ) ≤ sup
+ sup
ρ(x)
< 1 olup
ρ(x + h)
f(x + h)
f(x)
− K f + sup
− Kf
ρ(x + h)
x ≥ 0 ρ(x)
h ≤δ
yazılabilir. Burada (5.2.7) nin kullanılmasıyla
Ω(f; δ) <
ε ε
+ =ε
2 2
elde edilir. Yani, Ω(f; δ) < ε dir.
O halde, δ → 0 iken Ω(f; δ) → 0 dır.
İspat (vi) Ω(f; δ) ifadesinde δ = t − x seçilirse,
Ω(f; t − x ) = sup
x, t ≥ 0
f(t) − f(x)
(1 + x )(1 + (t − x) )
2
2
≥
f(t) − f(x)
(1 + x 2 )(1 + (t − x) 2 )
yazılabilir. Buradan
f(t) − f(x)
(1 + x 2 )(1 + (t − x) 2 )
≤ Ω(f; t − x )
olduğu görülür. Böylece
f(t) − f(x) ≤ (1 + x 2 )(1 + (t − x) 2 ) Ω(f; t − x )
eşitsizliği elde edilir.
27
İspat (vii) (vi) özelliğinden,
 t−x 
f(t) − f(x) ≤ (1 + x 2 )(1 + (t − x) 2 ) Ω f;
⋅ δ 
δ


(5.2.8)
yazılabilir.
Ayrıca
t−x
δ
∈ IR + olup (iv) özelliğinden dolayı
 t−x   t−x

Ω f;
⋅ δ  ≤ 4
+ 1 1 + δ 2 Ω(f; δ ) dır.
δ

  δ

(
)
Bu eşitsizliğin (5.2.8) de kullanılmasıyla
 t−x

2
f(t) − f(x) ≤ 4 
+ 1 1 + x 2 1 + (t − x ) 1 + δ 2 Ω(f; δ )
δ


)(
(
)(
)
bulunur.
5.3. Szasz Operatörlerinin Süreklilik Modülü ile Yaklaşma Hızı
Bu kısımda (2.1.1) de verilen Szasz operatörlerinin yaklaşma hızını Tanım (5.1.2) de
tanımlanan Süreklilik Modülü yardımıyla hesaplayacağız.
TEOREM 5.3.1. Eğer f ∈ C ρ,K f [0, ∞ ) ise
S n (f) − f
ρ2
 1 
≤ 40 Ω f;

n

(5.3.1)
eşitsizliği geçerlidir.
İspat:
∞
 k  (nx )
S n (f; x) = e −nx ∑ f  
k!
k =0  n 
k
olduğundan
∞
(nx )k
k =0
k!
S n (1; x) = e − nx ∑
=1
dir. Dolayısıyla lineerlikten
28
S n (f; x) − f(x) = e
− nx
∞
(nx )
 k  (nx )
− nx
−
f
f(x)
e


∑
∑
k!
k!
k =0  n 
k =0
∞
k
∞
 k
 (nx )
= e − nx ∑  f   − f(x) 
k =0   n 
 k!
bulunur. e
− nx
(nx )k
≥ 0,
k
k
≥ 0 olduğunu ve üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
k!
∞
(nx )
k
S n (f; x) − f(x) ≤ e − nx ∑ f   − f(x)
k!
k =0  n 
k
(5.3.2)
elde edilir. Süreklilik modülünün (vii) özelliğinde t =
 k

 −x

n
k

f   − f(x) ≤ 4
+ 1 1 + x 2


δ
n




(
)
k
seçilerek,
n
2
 k

1 +  − x   1 + δ 2 Ω(f; δ )
 n
 

(
)
yazılabilir. (5.3.2) de bu eşitsizlik kullanılırsa,
(
S n (f; x) − f(x) ≤ 4 1 + x 2


k
−x 
2

 k
 (nx )k − nx
n

2
 1 +  − x  
1 + δ Ω(f; δ ) ∑ 1 +
e
δ    n
  k!
k =0 




)(
)
∞
2
k
 ∞ (nx )k − nx ∞  k
 (nx ) − nx
= 4 1 + x 1 + δ Ω(f; δ )∑
e + ∑ − x
e
 k = 0 k!
 k!
k =0  n
(
2
)(
2
)
2
k
k
(
1 ∞ k
nx ) − nx 1 ∞ k
k
 (nx ) − nx 
+ ∑ −x
e + ∑ − x  − x
e 
δ k =0 n
k!
δ k =0 n

n
 k!
elde edilir.
∞
A =∑
K =0
k
(nx ) e −nx ve B = ∞ k − x  k − x  (nx ) e −nx
−x


∑
n
k!
n
 k!
k =0 n
2
k
diyelim.
∞
A =∑
k =0
 (nx )k − nx 
k
− x 
e 
n
k!


1
2
 (nx )k − nx 


 k! e 


1
2
şeklinde yazılabilir.
Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin uygulanmasıyla,
29
k
(5.3.3)
2
 ∞ k
(nx )k e −nx 

A≤  ∑  − x 
 k =0  n

 k!


1
2
k
 ∞ k
 (nx ) − nx 
= ∑  − x 
e
 k =0  n

k!



1
2
2
 ∞ (nx )k − nx 
⋅  ∑
e 
 k =0 k!

⋅ (S n (1; x ))
1
1
2
2
olup (2.1.2) den
2
k
 ∞ k
 (nx ) − nx 

A ≤ ∑ − x
e
 k =0  n

 k!


1
2
bulunur. Diğer yandan
k
k
2
k
k
 (nx ) −nx ∞  k
2  (nx )
e =∑  2 − 2x + x 
e −nx
 − x
∑
n
 k!
k =0  n
k =0  n
 k!
2
∞
∞
∞
(nx ) e −nx
k 2 (nx ) −nx
k (nx ) −nx
=∑ 2
e − 2x ∑
e + x2 ∑
k!
k!
k!
k =0 n
k =0 n
k =0
∞
k
(
k
k
)
=Sn t 2 ; x − 2xSn (t; x ) + x 2Sn (1; x )
tir. Bu eşitlikte daha önce hesaplanan (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) ün kullanılmasıyla,
∞
k

 − x
∑

k =0  n
2
(nx )k e − nx = x 2 + x − 2x.x + x 2 .1= x
k!
bulunur. Böylece A≤
n
(5.3.4)
n
x
(5.3.5)
n
dir.
Benzer şekilde,
∞
B =∑
k =0
1
2
k
 (nx )k −nx  2  k
k
  (nx ) − nx 


−x
e   − x 
e 
n
  k!
 k!
 n

1
2
yazılabilir.
Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden
2
k
 ∞ k
 (nx ) −nx 

B≤ ∑  − x 
e
 k =0  n

k!



1
2
4
k
 ∞ k

 ∑  − x  (nx ) e − nx 
 k =0  n

 k!


bulunur.
Ayrıca gösterilebilir ki
30
1
2
2
x
k
 (nx ) − nx 3x
−
x
e
=
+ 3


∑
2
n
n
 k!
k =0  n
4
∞
k
eşitsizliği geçerlidir.
Dolayısıyla
x  3x 2
x 
B≤
⋅  2 + 3 
n 
n  n
1
2
(5.3.6)
elde edilir.
(5.3.4), (5.3.5) ve (5.3.6) nın (5.3.3) te kullanılmasıyla
1
 x 1 x 1 x  3x 2
2

x


 2 + 3  
S n (f; x ) − f (x ) ≤ 4 1 + x 2 1 + δ 2 Ω(f; δ ) 1 + +
+
n  
 n δ n δ n  n

(
)(
)
(
bulunur. Buradan her iki tarafı 1 + x 2
S n (f; x ) − f (x )
(1 + x )
2 2
)
2
ifadesine bölersek
1
 1
x 1 1 1
x
1 1
x  3x 2 x  2 


≤ 4 1 + δ Ω(f; δ ) 
+
⋅ + ⋅
⋅
+ ⋅
⋅
+  
2
1 + x 2 n δ n 1 + x 2 δ n 1 + x 2  n 2 n 3  
1 + x

(
2
)
1
 1
x
1 1 1
x
1 1 1
x  2 x  2 
= 4 1 + δ Ω(f; δ ) 
+
⋅ + ⋅
+ ⋅
⋅ ⋅
 3x +  
2
n 
1+ x2 n δ n 1+ x2 δ n n 1+ x2 
1 + x

(
2
)
 1
x
1 1
x
1 1
x
≤ 4 1 + δ 2 Ω(f; δ ) 
+
+ ⋅
⋅
+ ⋅
⋅
3x 2 + x
2
2
2
2
δ n 1+ x
δ n 1+ x
1+ x
1 + x
(
)
(
)
1
2



(5.3.7)
elde ederiz. Diğer taraftan
1 ≤ 1 + x 2 olduğundan
1
≤1
1+ x2
(5.3.8)
x ≤ 1 + x 2 olduğundan
x
≤1
1+ x2
(5.3.9)
x < x ≤ 1 + x 2 olduğundan
x
≤1
1+ x2
(5.3.10)
eşitsizlikleri sağlanır. Ayrıca
(
x 3x 2 + x
1+ x2
)
1
2
≤2
(5.3.11)
eşitsizliği geçerlidir. Gerçekten,
31
(
x 3x 2 + x
1+ x2
x3
(1 + x )
2 2
)
1
2
=
(
x . 3x 2 + x
1+ x2
)=
3x 3 + x 2
(1 + x )
2 2
x2
x
x3
=
⋅
< 1⋅1 = 1 ⇒
1+ x2 1+ x2
1+ x2
(
(
x2 <1+ x 2 < 1+ x 2
(
)
1
(
)
1
x 3x 2 + x
1+ x2
x 3x 2 + x
1+ x2
2
2
)
2
x2
⇒
(1 + x )
2 2
3x 3
=
)
2
+
x2
(1 + x ) (1 + x )
2 2
2 2
< 1 ve
< 1 olduğundan
≤ 3 ⋅ 1 + 1 = 2 dir.
≤ 2 bulunur.
(5.3.7) de her iki tarafın x ≥ 0 üzerinden supremumunun alınması ve (5.3.8), (5.3.9), (5.3.10)
ve (5.3.11) in kullanılmasıyla
S n (f ) − f
ρ2
1 1
1 1


≤ 4 1 + δ 2 Ω(f; δ ) 1 + 1 + ⋅
⋅1 + ⋅
⋅ 2
δ n
δ n 

(
)
elde edilir. Burada δ =
S n (f ) − f
ρ2
1
n
seçimiyle
 1  1 
≤ 41 + Ω f;
{1 + 1 + 1 + 2}
n
 n 
 1 
≤ 40 ⋅ Ω f;

n

eşitsizliği bulunur. Böylece (5.3.1) elde edilmiş olur.
5.4. Szasz Operatörlerinin Lipschitz Sınıfındaki Fonksiyonlar ile Yaklaşım Hızı
Bu kısımda Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar için Szasz operatörlerinin f (x )
fonksiyonlarına yaklaşma hızını hesaplayacağız. Bu nedenle önce Lipschitz sınıfındaki
fonksiyonların tanımını verelim.
Tanım 5.4.1. (Lipschitz Sınıfındaki Fonksiyonlar):
0 <α ≤ 1 olmak üzere
f (t ) − f (x ) ≤ M t − x
α
koşulunu sağlayan fonksiyonlara Lipschitz sınıfındandır denir. M ye de
Lipschitz sabiti denir ve f ∈ Lip M (α ) ile gösterilir.
32
TEOREM 5.4.1.
Eğer f ∈ Lip M (α ), 0 < α ≤ 1 ise
S n (f ) − f
α


 1  2 
= O  
 n  


Cρ [0, ∞ )
dir.
İspat:
S n (1; x ) = e
− nx
∞
(nx )k
k =0
k!
∑
S n (f; x ) − f (x ) = e
olduğundan
∞
(nx )
 k  (nx )
f 
− f (x )e − nx ∑
∑
k!
k!
k =0  n 
k =0
∞
− nx
k
∞
 k
 (nx )
= e − nx ∑  f   − f (x )
k =0   n 
 k!
dir. e
− nx
≥ 0 ve
(nx )k
S n (f; x ) − f (x ) ≤ e
k
≥ 0 olduğu ve üçgen eşitsizliği kullanılarak
k!
− nx
k
(nx )
k
f   − f (x )
∑
k!
k =0  n 
∞
k
(5.4.1)
elde edilir. Diğer yandan
f ∈ Lip M (α ) ⇒ f (t ) − f (x ) ≤ M t − x
dir. t =
α
k
seçimiyle
n
k
k
f   − f (x ) ≤ M − x
n
n
α
yazabiliriz. Bu eşitsizlik (5.4.1) de kullanılırsa
∞
S n (f; x ) − f (x ) ≤ M ∑
k =0
elde edilir. Ayrıca
k
−x
n
α
(nx )k e −nx
(5.4.2)
k!
α 2−α
+
= 1 olduğundan
2
2
33
∞
k
∑ n −x
k =0
α
(nx )
k!
α
k
∞
e − nx = ∑
k =0
 (nx )k − nx  2  (nx )k − nx 
k
e  
e 
− x 
n
k!
k!

 

α
k
= ∑ − x
k =0 
n
∞
2
(nx )
α
2
  (nx )k − nx 
e − nx  
e 
k!
  k!

k
2 −α
2
2−α
2
yazılabilir. Bu eşitlik (5.4.2) de kullanılırsa
α
2
k
(nx )k e −nx  2  (nx )k e − nx 
S n (f; x ) − f (x ) ≤ M ∑  − x
 

k!
k =0 
  k!

n
∞
bulunur. p =
2− α
2
2
2
1 1
ve q =
için
+ = 1 olur. Hölder eşitsizliğinden
p q
α
2−α
α
2
∞ k
(nx )k e −nx  2
S n (f; x ) − f (x ) ≤ M ∑ − x

k!
 k =0 n

 k
= M ∑ − x
 k =0 n
∞
2
(nx )
 ∞ (nx )k −nx 
⋅ ∑
e 
k!
=
k
0


2 −α
2
α
2
2− α

e −nx  ⋅ (S n (1; x )) 2
k!

k
bulunur. (2.1.2) den
α
2
k
 ∞ k
 (nx ) − nx  2
e 
S n (f; x ) − f (x ) ≤ M ∑  − x 
 k!
 k =0  n

k
 −nx ∞  k 2
k
2  (nx )



= M e ∑  2 − 2 x + x 
n
k =0  n
 k!

α
2




k (nx )
k (nx )
(nx )
= M e − nx ∑ 2
− 2xe − nx ∑
+ x 2 e −nx ∑
k!
k!
k!
k =0 n
k =0 n
k =0

∞
( (
2
k
k
∞
)
)
= M S n t 2 ; x − 2xS n (t; x ) + x 2Sn (1; x )
olur. (2.1.2), (2.1.3) ve (2.1.4) ten
34
α
2
∞
k




α
2
α
x

2
S n (f; x ) − f (x ) ≤ M x 2 + − 2x 2 + x 2 
n


α
 x 2
= M 
n
elde edilir. Bu son eşitsizlikte her iki tarafın 1 + x 2 ifadesine bölünmesiyle
α
 x 2
 
S n (f; x ) − f (x )
n
≤M 2
2
1+ x
1+ x
(5.4.3)
α
=
M
n
α
2
x2
⋅
1+ x2
bulunur. Diğer yandan
α
2
0 ≤ x <1⇒ x <1
α
2
1 < x ⇒ x < x2
α
α
2
x2
olduğundan x < 1 + x 2 dir. Böylece
<1
1+ x2
(5.4.4)
yazılabilir.
(5.4.3) te her iki tarafın x ∈ IR + üzerinden supremumunun alınması ve (5.4.4) ün
kullanılmasıyla
α
S n (f ) − f
C ρ [0,∞ )
 1 2
≤ M ⋅ 
n
elde edilir. Yani
Sn (f ) − f
C ρ [0, ∞ )
α


 1 2 
= O   
 n  


bulunur ve ispat tamamlanır.
35
SONUÇ
S n (f; x ) = e
− nx
 k  (nk )
f 
∑
k = 0  n  k!
∞
k
Şeklinde tanımlı Szasz operatörlerinin [0, A ] aralığındaki yakınsaklığı Korovkin teoremi ile,
IR + daki yakınsaklığı ise Teorem 4.1.1. ile gösterildi. Szasz operatörlerinin ağırlıklı
uzaylarda Ω(f; δ ) =sup
x≥0
h ≤δ
f (x + h ) − f (x )
formuna sahip süreklilik modülü ile yaklaşım hızı,
(1 + x 2 )(1 + h 2 )
f ∈ C ρ,K f [0, ∞ ) olmak üzere S n (f ) − f
ρ2
 1 
≤ 40Ω f;
 şeklinde elde edildi.
n

Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar ile yaklaşım hızı ise, f ∈ Lip M (α ) ve 0 < α ≤ 1
α


1
  2 
olmak üzere S n (f ) − f C [0,∞ ) = O    olarak hesaplandı.
ρ
 n  


36
KAYNAKLAR
Baskakov, V. A. 1961 On a Construction of Converging Sequences of Linear Positive
Operators, Studies of Modern Problems of Constructive Theory of Functions, Fizmatgiz,
Moscow , 314-318.
Doğru, O. 2002 Weighted Approximation Properties of Szasz –type Operators. Intern. Math.
Journal, 2 (9); 889-895.
Gadjieva, E. A. and Doğru, O. 1998. Ağırlıklı Uzaylarda Szasz Tipinde Operatörler Dizisinin
Sürekli Fonksiyonlara Yaklaşımı, II. Uluslararası Kızılırmak Fen Bilimleri Kongresi;
(Kırıkkale) 29-36.
Hacısalihoğlu, H. and Hacıyev, A. 1995. Lineer Operatör Dizilerinin Yakınsaklığı. 1-94
Ankara.
Korovkin, P. P. 1960. Linear Operators and Approximation Theory. Delhi.
Szasz, O. 1950 Generalization of Bernstein’s Polynomials to The Infinite Interval , Journ. of
Research of The Nat. Bureau of Stand, 45, 239-245.
37
ÖZGEÇMİŞ
1980 yılında Niğde’de doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Niğde’de tamamladı. 1997 yılında
girdiği Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü’nden 2002 yılında Matematikçi
ünvanıyla mezun oldu. Ocak 2003 den beri Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans öğrenimine devam etmektedir.
38