III - UZAY − ZAMAN SİMETRİLERİ VE GRUP YAPISI

II - UZAY − ZAMAN SİMETRİLERİ VE GRUP YAPISI
II.A ) UZAYDA ÖTELEME VE E(1)
Sonsuz uzunlukta bir doğru üzerinde, keyfi seçilmiş bir O noktasına göre konum’u ifade
eden x , konum operatörü
x ’in özdeğeri olarak
x
yer alır. Tüm özdeğerleri reel olan
 
x x
dolayısıyla
bağıntıları geçerlidir.
D(a)
dolayısıyla üniter olan
olarak yazılabilir.

ve
denkleminde
x
x+
dx
x
x

=
x
1
‘Öteleme’ işleminde normu koruyan ve
k
operatörü hermitsel bir
 D a  


x  a
=
= x
hermitsel olarak seçilebileceği için
 x  x
D(a)
x
x
x
jeneratörü yardımıyla
eik
a
operatörlerinin Abelyen bir Lie grubu oluşturduğu
görülmektedir. Sonsuz küçük bir öteleme için
x
i dx
e k
=
x
k
x
= i 
x
(
1 + i k dx )
elde edilir ve
x
x=
x
sonucu bulunan
[
x,k]
denklemine
x
= i
(
1
x  dx
k

x
ilişkisi kurulur.
ile benzerlik dönüşümü uygulanması
=
 

  x , x   1
veya
i
biçiminde ifade edilecektir.
i dx
e k
1  i k dx ) x ( 1 + i k dx )
eşitliğinden

k  i 
Daha yüksek boyutlu uzaylarda
x
=
x
–
1 dx
denkleminden
komütasyon bağıntıları elde edilir.
Konum ve ‘momentum’ arasındaki belirsizlik bu bağıntıların doğal sonucudur.
i
e ka
x
i a
e k =
x
 a
1
oluşu Baker-Hausdorff Lemması ile de gösterilebilir.
1
e A B e A = B
Bu Lemma
1
[
3!
+
A,
[
A,[A,B]]]
 = 0
fonksiyonun
+ [
A,B]
+
+
1
[
2!
A,[A ,B ]]
...
olmasını öngörür. İspatı ise bir
 = 1
de değerlendirilmesine dayanır.
etrafında açılıp
Basit bir örnek olarak :
e sayısını bulmak için üstel fonksiyonun
e = 1 +  + 
1
1

2!
3!
e = 1+  + 
değerlendirerek
Hausdorff Lemma’sının kanıtı için
+
 = 0
etrafında
olarak açılıp, sonra da  = 1 ’de
1
1

bulunması hatırlanmalıdır. Baker3!
2!
e  A B e A
f() =
fonksiyonu kullanılır:
f (  ) = f ( 0 ) + f ' ( 0 ) f '' ( 0 ) f’ '''( 0 ) açılımına
f (0) = B
f ' (0) =
;
AB − BA = [A , B ]
;
…
ifadelerini yerleştirince
Baker-Hausdorff Lemma’sı elde edilir. Tek uzay boyutunda ötelemelere daha klasik bir
yaklaşım : herhangi bir
F fonksiyonunun
x F
 F ( x)
skalar çarpımı olarak
yazılmasına dayanır. Bu fonksiyonun
F ( x  a )  F ( a )  x F ( a ) 
Taylor açılımında
x ve a ’ nın yerlerini değiştirmenin bir sakıncası yoktur :
F ( x  a )  F ( x )  a F ( x ) 
Bu da
x2
x3
F  ( a ) 
F  ( a )  . . .
2!
3!
a2
a3
F  ( x ) 
F  ( x )  . . . .
2!
3!


d
a2 d 2
F (x  a)  1  a



 F ( x)
dx
2! dx 2


F(x) ’e etkiyen diferansiyel operatörün
F (x  a)
 e
a
d
dx
e
a
d
dx
biçiminde yazıldığında
olduğu görülür ve
elde edilir. Bu ifadeyi skalar çarpım gösteriminde
F (x)
yazarsak bra-vektörleri ile ilgili şu özellikleri görebiliriz:
x  a F

 e
x  a
a
d
dx
 e
x F
d 

i a  i

dx 

x  a

x

 e
x  a
a
d
dx

x

i a
x e k
.
2
i a
e k
Bu işlemi veya bunun eşdeğeri

x
x  a
denklemini daha somut
bir biçimde ve matrislerle ifade etmek istersek tek boyutumuza bir de ‘sahte’ boyut ekleyerek
1 a   x 
 x  a

0 1   1 
 1 

  


biçiminde yazmamız gerekir. Bu da
k
0 i 
0 0 



anlamına gelir.
II.B ) ZAMANDA ÖTELEME VE E(1)
Zamanda ötelemeyi sağlayan operatör de
ei kc
ct
ct  c
=
biçiminde tanımlanır. Sonsuz küçük bir öteleme için
(
ct
1ik

k
elde edilir ve dolayısıyla
k
 i

c t
c t  c dt
c dt ) =
ve
c t  k  i


c t
ct
operatörünün de zamana göre türeve eşdeğer olduğu görülür:
ko

0 i 
0 0 


.
II.C ) DÜZLEMDE DÖNME VE SO(2)
( x , y ) koordinat sisteminden γ açısı kadar saat yönünde döndürülmüş yeni bir
koordinat sistemi olan ( x ' , y ' ) koordinat sistemine dönüşümü sağlayan matris
olsun :
 x
 x '
R     
 y
 y '
x2  y 2  x '
r 
2
x2  y2
 y'
2
.
R
Şekilden de görülebileceği gibi
değeri bu dönüşüm altında değişmez.
olmak üzere
x  r cos  , y  r sin 
ve
3
x  r cos (    )
y  r sin (    )
,
cos 
 sin 

R=
özdeşlikler yardımıyla
sin  
cos  
yazılarak, trigonometrik
elde edilir.
y
y
x

x
 x '
 x
=
R
 y '
 y
 
 
bu denkleme de
x
yerleştirilince
 x
y R R   
 y
RR =1
olduğu görülür.
x '
ve
y ' 
x
 x
y  
 y
x
 x '
y '   
 y '
x '
r 2 değişmezi iki ayrı skalar çarpım şeklinde yazılıp :
x
y R
 x
y  
 y
özdeşlikleri
ve dolayısıyla
RR =
1
oluşu SO(2) Lie grubunun özelliğidir.
‘S’ : determinantın 1 olduğunu,
‘O’ :
R
=
Rsağlayan
bir ortogonal matris
olduğunu, ‘2’ ise 2 x 2 boyutlu bir matris olduğunu göstermektedir. Bu grubun elemanı
olan
R
’yi başka herhangi bir bilgi olmadan da bulmak mümkündür:
a c  a b 
1 0
b d   c d   0 1

 



ifadesi bize 3 denklem verir; ayrıca
Det = 1 koşulu
kullanılarak elde edilen 4 denklem :
a2  c2  1
;
ab  cd  0
;
b2  d
2
 1
;
a d  bc  1
kullanılarak bilinmeyenlerden ikisi elenebilir:
d  
ab
c

a2 
 b2  1  2   1  b   c
c 

 d 
a
4
Sonuçta karşımıza iki çeşit
1
Ancak
R
matrisi çıkar:
R
 a b
 b a 


=
a b 
 b a 


veya
.
 Grup olması gerektiğinden ikinci tür SO(2) grubunun bir elemanı olamaz;
dolayısıyla çözüm a 2  b 2  1 olmak üzere
R
=
 a b
 b a 


biçimindedir.
a ve b değerleri eğimin dönmeler altında nasıl dönüştüğüne bakarak bulunabilir.
dy
dx
m 
;
dy '
dx '
m' 
;
 m  tan  
m  0
Sonuç olarak gene
R=
cos 
 sin 

 a b   dx 
 dx
 b a   dy    dy

  
 
b
a

m 
am  b
a  bm
 b   sin  , a  cos 
sin  
cos  
ifadesine ulaşılır.
Tek değişkene bağlı bu dönme işlemi, bir diferansiyel operatörün bra-vektörüne etkisi olarak
yazılabilir.
x,y
L
R
= e
i L 
e i L =
varsayımıyla
x cos   y sin  , x sin   y cos 
.
’nin diferansiyel gösterimini bulmak için sonsuz küçük açı yaklaşımı yapılır ve
cos d 
x,y
 1 ve
(
sin d 
1 + i L d )
x , y i L d 
x, y iL  y
=
 d  kullanılarak
x  y d , y  x d
x  y d , y  x d

x , y  x d 
x  y d , y  x d  x , y  x d
 y d


 
x , y L   i x
 y
x 
 y
L


 x
x , y  x d 
x,y
x , y  x d  x , y
x d
x , y


 

i  x
 y
   i
x 

 y
olarak bulunur.
5
ei
Daha somut bir gösterim için
denklemindeki
cos 
 sin 

sin  
cos  
 y
 
matrisine uygulanan
0 i 
i 0 


L = L3 =
işlemi sonucu da
cos 
 sin 

L  x  =


sin    x 
 x 
  



cos    y 
 y
  0
ifadesine ulaşılır.
ei L  x e i L   x cos  + y sin 
ve
ei L  y e i L    x sin  + y cos 
denklemlerine Baker-Hausdorff
Lemma’sı ile de erişmek mümkündür. Gene aynı Lemma kullanılarak bu eşitlikler tüm
2 boyutlu vektörlere genellenebilir :
e i LVe i L=
V
cos  +
e i L Ve i L=  V sin 
V1 , V2
e i L  =
+
V
sin 
V
cos 
V1 cos   V2 sin  , V1 sin   V2 cos 
II.D ) UZAYDA DÖNME VE SO(3)
SO (2) grubunun jeneratörü olan
L
, z - ekseni etrafında dönme ile ilintiliydi. 3-boyutlu
uzayda 3 ayrı eksen etrafında dönme işlemlerinin jeneratörleri permütasyon kullanılarak
yazılır :
L2

L1



 
i  y
 z

y 
 z

 

i  z
 x

z 
 x
,
,
L3



 
i  x
 y

x 
 y
Bu jeneratörlerin komütasyon bağıntıları ve bunların sembolik kısa yazılımları
6
[L i,L j] = i

[L i,k j] = i

[L i,r j] = i

ijk
k
Lk

[L, L ]  iL
ijk
kk

[L , k ]  ik
ijk
rk

[L, r ]  ir
k
k
k
olarak elde edilir. Dönme işlemleri altında
adlandırılacaktır :
L , V 
 iV
gibi davranan her şey 3-vektör olarak
.
II.E ) E (3)
3-boyutlu uzayda öteleme ve dönme işlemlerinin jeneratörleri bir arada Euclid grubunun Lie
cebirini oluştururlar. Temel dönme işlemleri düzlemleri, yani koordinat çiftlerini içerdiği ve
N
sayıda nesneden
N ( N 1 )
2
N ( N 1 )
2
adet çift oluşturulabileceği için
SO (N)
grubunun
adet jeneratörü vardır. Bunlara N tane de öteleme jeneratörü eklersek,
E (N) grubu için
N ( N 1 )
2
grubunda 6 jeneratör vardır:
L
adet jeneratör elde etmiş oluruz. Bundan dolayı
ve
k
E (3)
.
II.F ) VEKTÖR VE SKALAR TANIMLARI
[L,k] = i k
elde edilmesinden sonra dönme işlemleri sonucunda
davranan her şeye 3-vektör deneceği belirtilmişti.
esinlenerek de dönme işlemleri sonucunda
k2
[ L , k2 ] = O
k
gibi
bağıntısından
gibi davranan her şeye Skalar denecektir.
7
II.G ) 1 BOYUTTA LORENTZ DÖNÜŞÜMLERİ VE SO (1,1)
R,
SO (2) grubunda
x2+y
biçimde SO (1,1) grubunda
2
ifadesini değişmez bırakan bir dönüşümdü. Benzer
ξηifadesini değişmez bırakmaktadır.
Ancak
bu tür bir ifadeyi skalar çarpıma benzer bir biçimde gösterebilmek için metrik kullanmak
gereklidir.

2
 
Dönüşüm
2
 
 '
     
 
 '
denklemi
   2   2
ve
1 0 
olacağından G = 

0 1
değişmez
ifade
metriği kullanılarak

 '
 '
 ' G   
 ' 

 
 G  
 

için en genel biçim
a b 
c d 


 a c  1 0   a b 
1 0 
b d  0 1  c d   0 1

 
 



Det = 1

 
 G  
 
  SO (1,1)
;
benimsenerek
ifadesinden 3 denklem elde edilir. Ayrıca
koşulu bunlara eklenince, oluşan 4 denklem :
a2  c2  1
ab
d 
c
ab  cd  0
;
 b
2
;
d
2
 b2  1
 a2

 2 1  1  b   c
 c

olarak çözülür ve için iki farklı form ortaya çıkar:
Ancak
 
  G    
 
G  G
biçiminde yazılır. Buradan çıkan sonuç
şeklindedir.


1
 
;
a d  bc  1
 d   a
a b 
 = 

b a 
a b
veya 
 .
 b a 
olması gerektiğinden ikinci tür SO(1,1) grubunun bir elemanı olamaz;
dolayısıyla çözüm a 2  b 2  1 olmak üzere
 =
a b 
b a 


biçimindedir.
a ve
b değerleri Hız’ın Lorentz dönüşümleri altında nasıl dönüştüğüne bakarak bulunacaktır.
8
II.H ) TEKRAR RELATİVİTE
Relativite gözlemcilerin eşdeğerliğine dayalı çok temel bir kavramdır :
i)
Eşdeğer gözlemciler değişmezler üzerinde aynı fikirdedirler.
ii)
Ancak detaylar hakkında çelişirler, ama bunları birbirlerine tercüme ederek
karşılıklı anlayış sağlayacak bir “ lugat ” vardır.
Galileo’ya göre birbirine göre sabit hızla hareket etmekte olan gözlemciler eşdeğer
gözlemcilerdir. Einstein buna ek olarak ışık hızının kaynak ve gözlemci hızından bağımsız
bir sabit olacağını öngörmüştür.
İncelediği dalgayı taşıyan ortama göre hareketsiz olan
gözlemcinin özel bir durumu olması doğaldır. Dünyamız sürekli hareket halinde olduğundan
bizim ne ölçüde özel gözlemci olduğumuz 19. yüzyıl sonlarında tartışıldığında,
elektromagnetik dalgaların taşıyıcısı olduğuna ve eter adı verilen ortama göre ne hızla hareket
ettiğimiz sorusu gündeme gelmiştir. Michelson-Morley deneyinin sonucu dünyanın eter
içinde hareketsiz olduğu yönündedir. Bu da eter’in yokluğuna işaret eder. Birbirine göre sabit
hızla giden iki gözlemcinin koordinat sistemleri tam çakıştığında orijinde anlık bir ışık
parlamasını ortak olarak yarattıklarını varsayalım: İki gözlemci de küresel bir ışık
x 2  y 2  z 2  c 2t 2 ;
yayılmasına tanık olacaktır :
Basitlik açısından sabit hızı
x-yönünde ve
y  y
,
x2  y2  z2  c 2t 2 .
z  z
ξηşeklinde bir değişmeze ulaşılır : c 2t 2  x 2  sabit .
yararlanılır. Koordinat sistemlerinin birbirine göre hızı
v
c
 0
u
o
olsun. Dönüşüm denklemi
olmak üzere
a b  c dt 
c dt 
 b a   dx    dx 

 



v = 0
Bu iki gözlemcinin
’yı bulmak için hız dönüşümü ilişkisinden
uyumunu sağlayan dönüşüm operatörü
a2 b2  1
kabul edilirse
a v  b
v
c

c
a  b v
c

ile verilir ve
özel hali için

v

c
bulunur. Son olarak da
b
a

uo
c
tanh  

uo
b 
1
uo
c

olmak üzere
c
uo2
,
1
a 
1
c2
cosh 
uo2
c2
sinh  
 = 

 sinh  cosh  
9
biçiminde yazılır. Bu ifadenin
 
c
limiti Galileo dönüşümüdür.
Lorentz dönüşümünü bra’lar üzerinden gerçekleştiren operatör
e i M =
ct, x
e i M
şeklindedir.
c t cosh   x sinh  , c t sinh   x cosh 
Küçük bir değişim için bu ifade
ct, x
(
1 + i M d )
c t  x d , x  c t d
=
şeklinde yazılabilir. Terimleri uygun şekilde açıp, gerekli işlemleri yaparak
ct, x
i
M
=
ct  x d , x  c t d  c t  x d , x

d
M1




 i  ct
 x

x
ct 



c t  x d , x  c t , x
d
ve permütasyonları şeklinde “İtme” adını
verdiğimiz diferansiyel operatörler elde edilir. Daha somut bir gösterim için
c t 
e i M    =
x


cosh η sinh η 
 sinh η cosh η


M
0 i 
= 

 i 0
cosh  sinh    c t 
c t 

 sinh  cosh    x 
 x 

  
 

η η = 0
matrisine uygulanan
denklemindeki
işlemi sonucu da
ifadesine ulaşılır.
II.I ) 3 BOYUTTA LORENTZ DÖNÜŞÜMLERİ VE
SO(3,1) LORENTZ GRUBU
SO(3,1) Lorentz Grubunun 3 (3+1) / 2 = 6 tane jeneratörü vardır.
Bunlar dönme jeneratörleri :
L
2

 
  i  z
 x

z 
 x
L
,
1


 
i  y
 z

y 
 z

L
3

,


 
i  x
 y

x 
 y
10
M2




 i  ct
 y

y
ct 





  i  ct
 x

x
ct 

M1
ve İtme jeneratörleri :
,
M3

,




 i  ct
 z

z
ct 

şeklindedir.
II.J ) E(3,1) POINCARE GRUBU
SO(3,1) Lorentz grubunun jeneratörleri ile birlikte uzay-zamanda ötelemenin jeneratörleri
ko

c t
= i
E(3,1)
; k1 =  i
Poincaré grubunun

x
10
; k2 =  i

y
;
k3
= i

z
jeneratörünü oluştururlar. Bu grup “Homojen olmayan
Lorentz Grubu” adıyla da bilinmektedir. Poincaré Grubunun Lie Cebiri aşağıdaki tabloda
verilmiştir:
[ , ]
L
M
k
ko
L
iL
M
k
ko
iM
ik
0
−i
L
−i
ko
0
−i
k
0
0
11
II.K ) 4-VEKTÖRLER VE LORENTZ SKALARLARI
( ko , k )
Lorentz dönüşümleri altında
[L,V] = i V
[ M , Vo ] =  i V
ko  k 
Lorentz dönüşümleri altında
[ L , ko  k  ] =
[ L , Vo ] = 0
,
[ M , V ] =  i Vo ,
0
[ L , Lorentz Skaları ] =
gibi davranan her şeye 4-vektör denir.
0
gibi davranan her şeye Lorentz Skaları denir.
,
[ M , ko  k  ]
,
[M
, Lorentz Skaları ] = 0
[ , ]
V
Vo
Skalar
L
iV
0
0
M
i Vo
i V
0
 x

 x
   x   a 
ct, r 

= 0
 xo , r 
konum
4-vektörünün Lorentz dönüşümü
biçiminde yeniden yazılır. E(3,1) grubunu matrislerle ifade
etmek için, yukarıdaki koordinat gösterimine sabit değerli sahte bir koordinat daha ekleyerek,
jeneratörler 5  5 matrisler olarak ifade edilebilir:
 x 


 1 
0
 

a   x 
1   1 
Operatörlerin matris gösterimi aşağıdaki gibidir:
12
Bahsi geçen gruplar arasında şu şekilde hiyerarşik bir düzen bulunmaktadır:
{

L , M , k , ko }
L, M

}
  SO (3,1)
E (3,1)
{
{
L , M , k , ko }

{L,
 
E (3,1)
k
  SO (3)

}

{L}
{
{
L3 }
  SO(2)
  E (2)
E (3)

L3 , k1 , k2 }
{
k1 }
  E (1)
II.L ) CASİMİR OPERATÖRLERİ
Lie cebiri elemanlarının keyfi kuvvetlerinin çarpımlarından oluşan küme elemanları ‘Zarf
Cebiri’ olarak adlandırılır. Lie cebirinin tüm elemanları ile komütatörü sıfır olan zarf cebiri
elemanlarına Casimir Operatörleri denir.
Casimir operatörleri
kve
kolaylıkla gösterilebileceği gibi
L ,
SO (3)’ün Casimir operatörü
k L
dir.
k, k
=
E(3,1)’in
E(3) ’ün
Casimir operatörlerinden biri
ko k  k
=
m2 c 2
2
’dır.
Elde edilmesi daha güç olan diğer Casimir operatörünü bulabilmek için E(3) grubunun
Casimir operatörlerinden birinin
kL
kL
oluşundan esinlenerek, sıfırıncı bileşeni
olan bir 4-vektör tanımlanır.
W
’yu bulmak için
komütasyon ilişkilerinden yararlanılır ve sonuçta
W
=
Wo
=
[
k o L  k  M
M , Wo ]
bulunur.
Bu yeni operatörün Poincaré grubunun jeneratörleriyle komütatör ilişkilerinin
L,W 
= iW
,
L,W 
M,W 
=  i Wo
,
M,W 
o
o
= 0
= i W
13
 k , W  = 0
,
 k , Wo  = 0
k
,
k
o
,W

= 0
o
, Wo

= 0
olduğunu göstermek zor değildir. Bu sonuçlar kullanılarak
W, W
 Wo2  W  W
ifadesinin de bir Casimir operatörü olduğu görülür.
Bu Lorentz skaları, parçacığın hareketsiz olduğu çerçevede
 W

 0 , 0
olduğu için
sıfır olacaktır. Ancak ileride görüleceği gibi, açısal momentumun cebirsel genelleştirilmesi :
L  J =L +S
W

W, W
k  J , k
 
o
olarak yapılınca
J k J
m2c 2
2
S2

W

 mc

 
, 0


Lorentz çerçevesinde
mc 

 0 ,
S


ve dolayısıyla
k
elde edilir. Bu sonuç temel parçacıkların sınıflandırılmasında
kütle ve spin’in önemini vurgulamaktadır.
II.M ) AYRIK SİMETRİLER : UZAY VE ZAMAN TERSİNMELERİ
uzayda tersinme,
zamanda tersinme operatörlerinin fiziksel ve matematiksel
etkileri aşağıdaki tabloda nedenleri ile birlikte gösterilmiştir.
r , t | 
r , t | 
 r , t |
 r , t |
;
;
2 
1
2 
1
14





Gerekçe
--------------------------------------------------
 (tanım gereği)
r

+
t
+

d
+
+

(tanım gereği)
d 
r  dr
r2
(
---------------------------------------------------

1
+
+
i


+
(antilineerlik: ’nın en dikkat çekici özelliği)

+

t
+

i 



t
+
+
i
---------------------------------------------------
v, p


p  mv  m
a,F

+
F  ma  m
po
+
+
m v2
po c 
2
L
+

L  r p

+
+
 
E

+
F  qE
B
+

F  q vB
dr
dt
dv
dt
dL
dt
15
d

+
po c   d  E

+

po c     B
Ao
+
+
E   c  Ao
A
Jo


B   A
+
+
 Ao  o J o
J


 A  o J
Zamanda tersinmenin antilineer oluşu momentumun zaman tersinmesi ile işaret değiştirme

’nin işaret değiştirmesi ancak
x
gereğinden doğar. Momentum operatörü  i
i ’nin işaret değiştirmesi ile sağlanır. Daha matematiksel bir yaklaşımla:
e  i c k   =
t  
0
 e 
 =
0
 e
t
 (ic

i c k  
i c k  
k o  )


=
 
i c
k o
k o k o

e  i c k   =
0


=
0
e
i c k 
 (  i ) i
elde edilir.
II.N) FİZİKSEL DEĞİŞKENLERİN AYRIK SİMETRİLERE GÖRE
16
SINIFLANDIRILMASI


+
po , J o , Ao , i
+
1 
ct
4-vektörlerin sıfırıncı bileşenleri


E , d , M
Polar 3-vektörler
B ,  , L
p , J , A ,  i
Sahte 3-vektörler
4-vektörlerin vektör kısmı
4-vektörlerin vektör kısmı dışındaki vektörler aslında antisimetrik tensör bileşenleridir.
Magnetik dipol momentinin açısal momentum ile aynı kutuda yer alması, iki değişken
arasındaki


e
L
2m
ilişkisini açıklamaktadır.
Birçok denklemi Lorentz skalarları olarak yazmak mümkündür:
W, , J
 0
:
Yük Korunumu
W, , A
 0
:
Lorentz Ayarı
W, , W
 W2 
D’Alambert (Dalga) Operatörü
W, , W   W2   0
p, , p
 m 2c 2

Dalga Denklemi
p  qA , , p  qA
 m 2c 2
:
En Yalın Genelleme İlkesi
17
II.O ) SONUÇ
Öncelikle deneyler arasında ayırım yapmak gerekir: malzemenin özelliklerini araştıran
Katıhal Fiziği deneyleri ile doğanın temel yapıtaşlarının sırlarını araştıran Yüksek Enerji
deneyleri bir tutulamaz. Doğanının yapıtaşlarını ve bunların Uzay-Zamanla olan ilişkilerini
inceleyen deneylerde
1. Yapılan bir deneyle yeni bir olgunun gözlemlenmesi,
2. Bunu açıklayan bir hipotez oluşturulması,
3. Bu hipotezin öngördüğü yeni olguların da deneyle doğrulanması
olarak özetlenen klasik yaklaşım geçerliliğini kaybeder. Temel fizikte rastlantıya dayanan
deneysel buluşlar dönemi geride kalmıştır. Milyarlarca dolarlık maliyetlerin söz konusu
olduğu deneylerde körebe metodu ile araştırma lüksü yoktur. Genel relativite göz ardı edilirse
doğanın temel ve kesin simetrisi Poincaré simetrisidir ve bilinen tüm parçacıklar bu simetrinin
indirgenemez temsilleridir. Yapılacak her deneyin Poincaré simetrisi gerçeğini göz önüne
alarak tasarlanması zorunludur. Sir Arthur Eddington’un yarı şaka olarak ifade ettiği ‘Teori
tarafından doğrulanmadıkça her ortaya atılan deneysel sonuca pek güvenmemek gerekir’
ilkesi uyarınca Poincaré simetrisini ihlal eden sonuçlara şüpheyle bakmak gerekir. Fiziğin bu
evresinde, Poincaré simetrisinin geçerli olmayacağı uç noktaların incelenmesi için büyük
kaynakları kumar masasına yatırmak yerine kozmoloji’den yararlanmak daha akılcı olur.
18
PROBLEMLER
P.II.1 ) Baker – Hausdorff Lemma’sını kullanarak
 cos 
 V1 
 
 
 V2  exp  i L 3      sin 
V 
  0
 3
 
exp  i L 3  
sin 
cos 
0
0
0

1
 V1 
V 
 2
 V3 





olduğunu ispatlayın.
P.II.2 )
L2
L
2
SO(3) jeneratörleri


m
 1
m
a)
L
b)
 L2 , V   2
3
, V

 V

operatörlerinin
L3
;
L,V
bağıntılarından ve
, L3
 iV
 m
m
m
sağlayan bir vektör operatörden yola çıkarak :
olduğunu ispatlayın,
V

L3  V3 L   V


V
c) Bu sonuçlara dayanarak
olduğunu ispatlayın,
1
 1 olduğunu gösterin,
L  diferansiyel operatörlerini kullanarak
d)
 Sabit
rˆ 0 0
 rˆ 

rˆ
olduğunu ispatlayın, sonra da

 sin  e i

olduğunu gösterin.
Bu sonuç normalize edilince

rˆ

1 
2
2 1 ( 2 ) !
sin  e i
4
! !

biçimini alır. ( Condon – Shortley gösterimi )
e)

m


1 
m
olduğunu ispatlayın.
19
P.II.3 )
L i , L + , L
P.II.4 ) a)
b)
UV
operatörlerini küresel polar koordinatlarda yazın.
ifadesinin bir skalar olduğunu gösterin ,
U × V ifadesinin bir vektör olduğunu gösterin.
P.II.5 ) İki Lorentz dönüşüm matrisini çarparak Einstein hız toplama kuralını oluşturun.
P.II.6 ) 5 M kütlesi hareketsiz durumdayken iki tane 2 M kütleli parçacığa bozunuyor.
Bozunma ürünlerinin bağıl hızını hesaplayın.
P.II.7 ) Laboratuarda hızlı elektronları hareketsiz elektron hedeflerine yollayarak
eeeeee'Çift
Yaratma'
deneyi
yapılıyor.
‘Laboratuar
Çerçevesi’nden ‘Kütle Merkezi’ çerçevesine taşıyan Lorentz dönüşümünü bulun.
Çift
yaratma eşik enerjisinde bu iki çerçevenin bağıl hızı nedir ?
P.II.8 )
L
vektörünün bir 4-Vektör’ün vektör kısmı olamayacağını gösterin.
L 1  L 2  L 3 
P.II.9 ) a)
M ,

ab
, c d

 i
g
M , M
ac
gösteriminde
b d  g a d b c  g b c a d  g b d a c  
 olduğunu gösterin,
b) Yukarıdaki denklemin
40 k0 , 41 k 1 ,42 k 2 ,
43 k3 gösteriminde de geçerli olması içinsözde koordinatın metriği
20
g 44
ne olmalıdır ?
x
P.II.10 ) Konum operatörü
relativistik olmayan fizikte bir operatör olduğu için
Galilei grubunun yapısı Poincaré grubundan farklıdır.
B
= exp ( i M G u o )
olarak tanımlanan ‘İtme’ operatörünün
x  exp ( i MG uo ) x exp (  i MG uo )  x  uo t
1
;
p  exp ( i MG uo ) p exp (  i MG uo )  p  m uo 1
denklemlerini sağlaması gerekir. Baker-Hausdorff lemma’sını kullanarak hermitsel bir
MG ( x , p
P.II.11 )
)
E (2)
jeneratörü oluşturun.
grubu
x-y düzleminde iki öteleme ve z-ekseni etrafında bir dönmeden
r   R 3   r  ro
oluşur.
;
 x
r   
 y
,
x 
a   o .
 yo 
a) Genel grup elemanını element 3  3 bir matris olarak oluşturun,
b)
k1 , k2 , L3
jeneratörlerini oluşturun.
c) Tüm komütasyon bağıntılarını elde edin ve bir tablo halinde özetleyin.
21