HİPERPOLİK VE KÜRESEL UZAYLARDA SİMPLEKSLERİN AYRIT
advertisement
PERPOL K VE KÜRESEL UZAYLARDA MPLEKSLER N AYRIT UZUNLUKLARINA BA LI HAC MLER Murat SAVA DOKTORA TEZ MATEMAT K GAZ ÜN VERS TES FEN B MLER ENST TÜSÜ TEMMUZ 2009 ANKARA Murat SAVA taraf ndan haz rlanan “H PERPOL K VE KÜRESEL UZAYLARDA MPLEKSLER N AYRIT UZUNLUKLARINA BA LI HAC MLER ” adl bu tezin Doktora tezi olarak uygun oldu unu onaylar m. Prof.Dr. Baki KARLI A ………………………………. Tez Dan man , Matematik Anabilim Dal Bu çal ma, jürimiz taraf ndan oy birli i ile Matematik Anabilim Dal nda Doktora tezi olarak kabul edilmi tir. Prof.Dr. H. Hilmi HACISAL HO LU ………………………………. Ankara Üniversitesi Prof.Dr. Baki KARLI A ………………………………. Gazi Üniversitesi Prof.Dr. Erdo an ES N ………………………………. Gazi Üniversitesi Prof.Dr. Sait HALICIO LU ………………………………. Ankara Üniversitesi Prof.Dr. Yusuf YAYLI ………………………………. Ankara Üniversitesi Tarih : 17 / 07 /2009 Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini onam r. Prof. Dr. Nail ÜNSAL Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü ………………………………. TEZ B LD Tez içindeki bütün bilgilerin etik davran ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu unu, ayr ca tez yaz m kurallar na uygun olarak haz rlanan bu çal mada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kayna na eksiksiz at f yap ld bildiririm. Murat SAVA iv PERPOL K VE KÜRESEL UZAYLARDA MPLEKSLER N AYRIT UZUNLUKLARINA BA LI HAC MLER (Doktora Tezi) Murat SAVA GAZ ÜN VERS TES FEN B MLER ENST TÜSÜ Temmuz 2009 ÖZET Bu tezde Lobachevski ve Schlafli diferensiyel formülünden farkl olarak küresel yada hiperbolik bir dörtyüzlünün sadece ayr t uzunluklar na ba hacim formüllleri elde edilmi tir. Bu formül gösterim olarak Schlafli diferensiyel formülüne benzer oldu undan ayr t uzunluklar na ba formülü olarak adland lm Schlafli diferensiyel r. Elde edilen formülün özel küresel ve hiperbolik dörtyüzlüler için formlar elde edilmi tir. Bunun yan ra özelde ideal regüler hiperbolik dörtyüzlü için bu ayr t uzunluklar na ba Schlafli diferensiyel formülü ve Lobachevski formülü ile yap lan hesaplamalar kar la lm olup elde edilen formülün do rulu u numeric olarak da gösterilmi tir. Küresel ve hiperbolik simplekslerin Feynman integralleriyle ili kileri, ayr t uzunluklar na ba Schlafli diferensiyel formülünün Feynman integrallerinin hesaplamalar ndaki uygulamalar verilmi tir. Bilim Kodu : 202.1.049 Anahtar Kelimeler : Hiperpolik ve küresel uzaylar, hacim, simpleks, Schlafli diferensiyel formülü Sayfa Adedi : 56 Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Baki KARLI A v THE SCHLAFLI DIFFERENTIAL FORMULA BASED ON EDGE LENGHTS OF SIMPLICES IN THE HIPERPOLIC AND SPHERICAL SPACES (Ph.D. Thesis) Murat SAVA GAZ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY July 2009 ABSTRACT Within this thesis, dominant formulas depending on only edge lengths of a spherical or hyperbolical tetrahedron which are different from Lobachevski and Schlafli differential formula are obtained. Since these formulas are similar to Schlafli differential formula, they are named as Schlafli differential formula depending on edge lengths. Forms of these formulas for particular spherical and hyperbolical tetrahedra are derived. Calculations with both Lobachevski formula and Schlafli differential formula depending on edge lengths were carried out for the ideal regular hyperbolical tetrahedron in order to make comparison also. So the formulas are validated numerically. The relations of spherical and hyperbolical simplices with Feynman integrals were given and the application of Schlafli differential formula depending on edge lengths on calculation of Feynman integrals was considered. Science Code : 204.1.049 Key Words :Hyperbolic and spherical spaces, volume, simplex, Schlafli differential formula Page Number : 56 Adviser : Prof. Dr. Baki KARLI A vi TE EKKÜR Bu tez çal mam boyunca bana her konuda yard m ve katk lar esirgemeyen hem bilimsel hem de insani vas flar ndan dolay kendisini rehber edindi im, beni yönlendiren de erli hocam Prof.Dr. Baki KARLI A’a, yine çal malar m s ras nda beni destekleyen ve yard mc olan Doç.Dr. Fethi SOYALP’a, Yrd. Doç. Dr. Atakan T. YAKUT’a, Dr. Mustafa Kemal ÖZTÜRK’e, Ahmet DEM RC ’ye, Hac ÖZI IK’a, Ümit TOKE ER’e te ekkür ediyorum ve ükranlar sunuyorum. Ayr ca çal malar m süresince ailemin bana gösterdi i ilgi ve verdi i destek için sonsuz te ekkür ederim. vii NDEK LER Sayfa ÖZET ..................................................................................................................... iv ABSTRACT ............................................................................................................ v TE EKKÜR ........................................................................................................... vi NDEK LER ...................................................................................................... vii EK LLER N L STES ........................................................................................ ixx 1. G .................................................................................................................. 1 2. TEMEL KAVRAMLAR ...................................................................................... 4 2.1. Küresel Uzay ................................................................................................. 4 2.2. Lorentz Uzay ................................................................................................ 5 2.3. Hiperbolik Uzay ............................................................................................ 7 2.4. Küresel ve Hiperbolik Uzayda Baz Tan mlar ................................................ 8 3.1. Hiperbolik Dörtyüzlünün Ayr t Matrisi .........................................................13 3.2. Regüler Hiperbolik Dörtyüzlü .......................................................................18 4. KÜRESEL DÖRTYÜZLÜ N AYRIT UZUNLUKLARINA BA LI SCHLAFL D FERENS YEL FORMÜLÜ ........................................................22 4.1. Küresel Dörtyüzlünün Ayr t Matrisi..............................................................23 4.2. Regüler Küresel Dörtyüzlü ...........................................................................28 5. KÜRESEL VE H PERBOL K DÖRTYÜZLÜLER N HAC M HESAPLAMALARININ FEYNMAN NTEGRALLER NE UYGULAMALARI............................................................................................................31 5.1. Öklidyen Simpleks, Feynman ntegrali ve Tepe Aç Aras ndaki li ki .......33 6. SONUÇ ..............................................................................................................39 EKLER ...................................................................................................................40 viii Sayfa KAYNAKLAR ..................................................................................................... 541 ÖZGEÇM ............................................................................................................54 ix EK LLER N L STES ekil Sayfa ekil 3.1. Hiperbolik dörtyüzlü ...............................................................................12 ekil 3.2. Regüler hiperbolik dörtyüzlü ...................................................................19 ekil 3.3. deal hiperbolik dörtyüzlü .......................................................................20 ekil 3.4. deal regüler hiperbolik dörtyüzlü ............................................................20 ekil 3.5. Regüler ideal hiperbolik dörtyüzlünün hacmi ..........................................21 ekil 4.1. Küresel dörtyüzlü ....................................................................................22 ekil 4.2. Regüler küresel dörtyüzlü ........................................................................29 ekil 5.1. 3-boyutlu uzayda Feynman diyagram .....................................................32 ekil 5.2. 2-boyutlu uzayda Feynman diyagram ve 12 aç ..................................34 ekil 5.3. 3-boyutlu uzayda Feynman diyagram ve tepe aç .................................35 1 1. G Hiperbolik ve küresel uzaylarda bir polihedran n hacminin hesaplanmas oldukça eski ve zor bir problemdir. Bu konuda bilinen ilk çal ma Lobachevski’ye ait olup hiperbolik 3-orto emaya ait hacmi; log 2sin u du (1.1) fonksiyonuyla hesaplam r[1]. 1852 y nda Schlafli, küresel simpleksler için hacim 0 formülünü vermi tir[2]. Keyfi boyutlu uzaylarda hiperbolik ve küresel simplekslerin hacimlerinin hesaplanmas nda Schlafli oynamaktad r. Schlafli, dihedral aç lara ba 1 KdV diferensiyel formülü önemli rol hacim fonksiyonunu(diferensiyelini) n 1 n 1 i, j Voln 2 ij d (1.2) ij 1 i j eklinde tan mlam r. 1936 y nda H. Kneser, Schlafli difereniyel formülünün hiperbolik ve küresel durumlar için ispat farkl bir yöntemde yapm r[3]. deal bir dörtyüzlünün hacim formülü Milnor taraf ndan elde edilmi tir[4]. Peiro, semiRiemannian hiperkuadratiklerden yararlanarak Schlafli diferensiyel formülünün hiperbolik ve küresel simpleksler için ispat yapm r[5]. Öklidyen durumda simplekslerin hacimleri hakk nda çok say da çal ma yap lm olup bu alanda farkl hacim formülleri elde edilmi tir[6-10]. Öklidyen uzaylarda genelde simplekslerin hacimleri hesaplan rken simpleks yap alt parçalara ayr lmalar ndan yararlan lmaktad r. Ancak hiperbolik ve küresel uzaylarda bu i lem bu kadar kolay olmad ndan, elementer hacim formülleri hala bilinmemektedir. Hiperbolik ve küresel dörtyüzlüler için dihedral aç lara ba sinüs teoremi ve buna ba olan hacim formülü Derevnin taraf ndan verilmi tir[11]. Di er taraftan hiperbolik ve küresel dörtyüzlülerin tepe aç lar için sinüs teoremi Karl a ve Yakut taraf ndan elde edilmi tir[12]. Bir ideal hiperbolik polihedronun hacmi Vinberg taraf ndan E . 2 1.2’deki Lobachevski fonksiyonu kullan larak hesaplanm r[13]. Kellerhals kesik orto emalar n hacimlerinin normal orto emalar n hacim formülleriyle ayn oldu unu ispatlam r. Kellerhals, Lambert kübünün de hacim formülünü elde etmi tir[14]. Özellikle hiperbolik dörtyüzlü için Kellerhals’ n kulland çal malar dilogaritma fonksiyonuna ba yöntemi baz alan ileri olarak [15-18] de yap lm r. Bu çal malar n ço unda elde edilen hacim formülleri daha çok dihedral aç lara ba , dilogaritma yada Lobachevski fonksiyonunun kombinasyonlar ndan meydana gelmektedir. Örne in W.Y. Hsiang taraf ndan hiperbolik polihedra için elde edilen hacim formülü Lobachevski ve dilogaritma fonksiyonlar na ba gösterim Cho ve Kim taraf ndan 1999 y nda yap lm r[15]. Benzer bir r[16]. Ayn hacim formülü, ideal dörtyüzlüden yararlan larak 2001 y nda Murakami ve Yano taraf ndan elde edilmi tir[17]. lk olarak ayr t uzunluklar na ba hacim formülü kuantum 6j- sembolü kullan larak [18] da verilmi tir. Ancak bu çal mada verilen hacim formülü kompleks de erlidir ve kullan de ildir. Bu çal may takip eden y llarda Derevnin ve Mednykh küresel ve hiperbolik dörtyüzlüler için dihedral aç lara ba hacim formüllerini farkl bir yöntem kullanarak elde etmi lerdir. Formüllerinin do rulu unu Schlafli diferensiyel formülüyle kar la rma yaparak göstermi lerdir[11, 19, 20]. Tez bu bölümle birlikte yedi ana bölümden olu maktad r. kinci bölümde tezde kullan lacak hiperbolik ve küresel uzaylardaki temel tan m, teorem ve özellikler verilmi tir. Tezin üçüncü bölümünde hiperbolik dörtyüzlülerin ayr t uzunluklar yla dihedral aç lar aras ndaki [21]’deki ba nt lardan yararlanarak sadece ayr t uzunluklar na ba Schlafli diferensiyel formülü elde edilmi tir[22]. Yine bu bölümde regüler ve ideal regüler hiperbolik dörtyüzlüler için hacim formülleri elde edilmi tir. Ayr ca bu bölümde ideal regüler hiperbolik dörtyüzlünün hacmi nümerik olarak hesaplanm ve [4]’de J. Milnor’un elde etti i sonuçla kar la lm r. Tezin dördüncü bölümünde ise küresel dörtyüzlülerin ayr t uzunluklar yla dihedral aç lar aras ndaki ba nt lardan yararlanarak Schlafli diferensiyel formülü elde 3 edilmi tir. Ayr ca regüler küresel dörtyüzlünün hacim formülü de ayr t uzunluluklar cinsinden bu bölümde verilmi tir. Tezin be inci bölümünde ayr t uzunluklar na ba Schlafli diferensiyel formülünün [23]’de verilen Feynman integrallerinin hesaplanmas ndaki uygulamalar yap lm r. 2, 3 ve 4-boyutlu uzaylarda Feynman integralinin hiperbolik ve küresel simplekslerin hacimleri aras ndaki ili ki ortaya konmu tur. Tezin alt nc bölümünde elde edilen sonuçlar, bu sonuçlar n küresel ve hiperbolik uzaylarda dörtyüzlülerin hacim hesaplamalar nda sa lad kolayl a yer verilmi tir. Gram matrisi ile Ayr t matrisi aras ndaki ili kiden yola ç larak tez konusuyla ilgili aç k problem tan mlanm r. Tezin son bölümünde ise üçüncü ve dördüncü bölümünde elde edilen ayr t uzunluklar na ba hacim formüllerinin ispat nda kullan lan bilgisayar hesaplamalar verilmi tir[22]. Bu tez çal mas nda ise temel hedef hiperbolik ve küresel uzaylarda dörtyüzlülerin sadece ayr t uzunluklar na ba , Schlafli diferensiyel formülü gibi kullan hacim formülü elde etmektir. Bu hedefe ula rken özellikle [21]’deki ayr t uzunluklar yla dihedral aç lar aras ndaki geçi ba nt ndan yararlan lm geçi ba nt uzunluklar yard bilinen hesaplanabilmektedir. bir r. Bu yla elde edilen yeni hacim formülüyle sadece kenar bir hiperbolik yada küresel dörtyüzlünün hacmi 4 2. TEMEL KAVRAMLAR 2.1. Küresel Uzay n-boyutlu küresel geometri için standart model; Sn x Rn 1 x ile tan mlanan R n d E x, y (2.1) 1 1 in S n birim küresidir. S n üzerindeki Öklidyen metrik; x y (2.2) ile verilir. Fakat bu metrik R n 1 in vektör yap na dayan larak verildi inden S n ’ye özgü bir metrik de ildir[24]. 2.1. Tan m x, y S n iki vektör ve bu iki vektör aras ndaki Öklidyen aç x, y olsun. x ve y aras ndaki küresel uzunluk; d S x, y x, y (2.3) eklinde bir reel say ve yeter art y r. Burada 0 x olmas d S x, y r. E er y ve d S x, y olmas için gerek x ise x ve y vektörlerine antipodaldir denir[24]. 2.1. Teorem d S küresel uzunluk fonksiyonu S n üzerinde bir metriktir[24]. 5 2.2. Tan m d S metri i ile birlikte S n uzay , küresel n-uzay olarak adland r[24]. 2.3. Tan m S n nin bir büyük çemberi R n 1 in 2-boyutlu alt vektör uzay ile S n nin arakesitidir. S n iki farkl nokta olsun. x, y lineer ba ms z ise R n x, y gösterilen 2-boyutlu bir alt uzay Sn gererler. Böylece S x, y 1 in V x, y ile V x, y kümesi x ve y yi içeren S n nin bir büyük çemberidir. S n nin jeodezikleri onun büyük çemberleridir[24]. 2.4. Tan m S n nin küresel 1-düzlemi onun küresel do rular , küresel (n-1)-düzlemi onun hiperdüzlemi olarak adland r[24]. 2.2. Lorentz Uzay n 1 e1 , e2 ,..., en V bir reel vektör uzay 1 xi ei , de V nin bir baz olsun. Her x i 1 n 1 yi ei vektörleri için y i 1 x, y L = x1 y1 xn y n xn 1 y n (2.4) 1 ile tan mlanan indefinit iç çarp ma Lorentzian iç çarp m, bu iç çarp mla birlikte V uzay na Lorentz uzay denir. Özel olarak V= R n Rn 1, 1 ve ikilisine Minkowski n 1 -uzay denir ve R1n uzay nda bir x vektörünün Lorentz normu; , Rn 1 1 in standart baz ise eklinde gösterilir. R1n 1 6 x | x, x L | 1 (2.5) 2 ile, x ve y vektörü aras ndaki Lorentzian uzakl k da d L ( x, y ) x y (2.6) ile tan mlan r[24]. 2.5. Tan m x R1n 1 için, x 0 ise x vektörüne uzay benzeri(space-like) vektör denir[24]. 2.6. Tan m x R1n 1 için, x 0 oluyorsa x vektörüne (time-like) vektör denir[24]. 2.1. Önerme R1n 1) 1 nin bir V alt vektör uzay Zaman benzeri olmas için gerek ve yeter art V nin en az bir zaman benzeri vektöre sahip olmas 2) n; r, Uzay benzeri olmas için gerek ve yeter art V deki s rdan farkl her vektörün uzay benzeri olmas 3) r, k benzeri olmas için gerek ve yeter art V deki s rdan farkl her vektör için x 0 olmas r[24]. 2.7. Tan m x ve y R1n 1 de pozitif(negatif) zaman benzeri iki vektör olsun. 7 x, y x y cosh ( x, y ) L (2.7) ( x, y ) reel say olacak ekilde negatif olmayan bir tek Lorentz zaman benzeri (time-like)aç vard r. x ve y aras ndaki ( x, y ) olarak tan mlan r[24]. 2.3. Hiperbolik Uzay H 0n x 1 R1n x, x denir. H 0n uzay 1 kümesine de n-boyutlu birim pseudo-hiperbolik uzay n iki ba lant bile eni H 0n, ve H 0n, olmak üzere, bu bile enlerin her biri n-boyutlu hiperbolik uzay n bir modeli olarak al nabilir. Biz literatüre ba kalarak hiperbolik uzay n modeli olarak pozitif bile eni göz önüne alaca z, yani; H on, Hn R1n 1 olarak alaca z[21]. 2.8. Tan m x, y Hn R1n 1 ve x ile y aras ndaki Lorentzian zaman benzeri aç ( x, y ) olsun. x ve y aras ndaki hiperbolik uzunluk; d H ( x, y) ( x, y) (2.8) eklinde tan ml bir reel say cosh d H ( x, y ) x, y r. x, y L x y cosh ( x, y ) oldu undan; L olur[24]. 2.2. Teorem d H hiperbolik uzunluk fonksiyonu H n üzerinde bir metriktir[24]. (2.9) 8 2.9. Tan m d H metri i ile birlikte H n uzay hiperbolik n-uzay olarak adland r[24]. 2.10. Tan m H n nin bir do rusu R1n 1 in iki boyutlu zaman benzeri alt vektör uzay ile H n nin arakesitidir. x, y H n vektörleri R n benzeri alt uzay gererler. Böylece, L(x ,y) = H n 1 in V(x ,y) ile gösterilen iki boyutlu bir zaman V(x ,y) , x, y den geçen H n nin bir do rusudur[24]. 2.11. Tan m H n nin bir m-düzlemi R1n 1 in (m+1) boyutlu zaman benzeri alt vektör uzay ile H n nin arakesitidir. H n nin bir hiperbolik 1-düzlemi onun hiperbolik do rular , hiperbolik (n-1)-düzlemi onun hiperdüzlemi olarak adland r[24]. 2.4. Küresel ve Hiperbolik Uzayda Baz Tan mlar Bu bölümde X = H n ve S n olarak al nacakt r. 2.12. Tan m X in bir alt kümesi C olsun. Her x, y C ayr k çifti için x ve y yi içeren do ru parças C de kal yorsa (X= S n için y -x ), C kümesine konveks küme denir[24, 25]. 9 2.13. Tan m X in bir H hiperdüzlemi, X uzay iki yar -uzaya böler. Bu yar -uzaylar n s hiperdüzlemdir[13]. 2.14. Tan m er x0 , x1 , , x n noktalar n’ den daha küçük boyutlu bir düzlemde kapsanm yorsa bu nokta kümesine genel durumludur denir[13]. 2.15. Tan m X de bir konveks polihedron, bo tan farkl sonlu say da H i kapal yar -uzaylar n arakesitinden olu ur ve; k P Hi (2.10) i 1 eklinde ifade edilir[13]. 2.16. Tan m X de n-boyutlu bir konveks polihedron P olsun. k=1,...,n+1 için P nin bir kyüzü(face), P nin (k+1) yüzünün bir kenar olarak tan mlan r[24]. 2.17. Tan m X de n-boyutlu bir konveks polihedron P olsun. P nin 0-yüzüne, P nin tepesi(vertex) denir[24]. 10 2.18. Tan m X in her bir A alt kümesi için, A y içeren X in bütün konveks alt kümelerinin arakesitine A n n konvekslik bölgesi denir[24, 26]. 2.19. Tan m X de n-boyutlu bir polihedron P olsun. E er P nin sonlu say da tepe noktas varsa ve P, bu tepelerin konvekslik bölgesi ise (P S n için antipodal noktalar içermezse) P ye çok tepeli (politop)denir[24]. 2.20. Tan m X de (n+1) tepe noktal , n-boyutlu bir politopa bir n-simpleks denir. 2-boyutlu simplekse üçgen, 3-boyutlu simplekse dörtyüzlü(tedrahedron) denir[24]. 2.21. Tan m , X’de v1 , v2 ,..., vn kar ndaki yüzde gösterilir( ii tepeli bir n-simpleks ve 1 i olsun. i j n-simpleksinin vi tepesinin üzerindeki aç ya dihedral aç denir ve ij ile )[21, 22]. 2.22. Tan m , H n ( S n ) de v1 , v2 ,..., vn hiperbolik ( ij arccos 1 tepeli bir n-simpleks olsun. uzakl k(küresel vi , v j ) eklindedir. uzakl k) ’n n tepeleri aras ndaki ij arccos h L hiperbolik n-simpleksinin (küresel n- simpleksinin) her hangi iki vi , v j tepesi aras ndaki uzakl a uzunlu u denir[21]. vi , v j n bir ayr t 11 2.23. Tan m , v1 , v2 ,..., vn tepeli hiperbolik veya küresel n-simpleks olsun. G 1 simetrik matrisine cos ij n n Gram matrisi denir[21, 22]. 2.24. Tan m , v1 , v2 ,..., vn tepeli 1 vi , v j M cosh hiperbolik(küresel) (M ij vi , v j cos n-simpleks olsun. ) simetrik matrisine ij hiperbolik(küresel) n-simpleksinin ayr t matrisi denir[21, 22]. [21]’de dihedral aç lar ayr t uzunluklar cinsinden ifade edildikten sonra literatürde Ayr t matrisine Gram matrisi, Gram matrisine de Aç sal Gram matrisi denilmeye ba lanm r[27-29]. 2.3. Teorem , X de v1 , v2 ,..., vn olsun. ij (0 i KdV ij i j j 1 tepeli bir n-simpleks( n 1 ) ve , i , j (n-1)-boyutlu yüzleri n n 2-e boyutlu yüzü, bu yüzdeki dihedral aç lar n 1 ) olmak üzere; 1 n 1 n 1 i, j Voln 2 ij d ij Vol0 ij : 1 1 i j Burada K uzay n e rili i ve V Voln hacim fonksiyonudur[5]. (2.11) 12 3. H PERBOL K DÖRTYÜZLÜ N AYRIT UZUNLUKLARINA BA LI SCHLAFL D FERENS YEL FORMÜLÜ Hn n 2 olmak üzere 1 i P1 ,..., Pn ij 1 i tepeli, j i n 2 , ’n n ei normalli düzlem içinde kalan yüzü yüzü, ij yüzündeki dihedral aç ij , n 1 olan bir hiperbolik simpleks olsun. H n deki tüm simplekslerin j kümesi üzerindeki V hacim formülünün diferensiyeli; 1 n1 Voln n 1 i, j 1 dVol 2 ij d ij Vol0 ij 1 (3.1) i j eklindedir. Burada ij de ij ij , ’n n 2-e boyutlu yüzünü, Voln 2 ij ij ’lerin hacmini, ’ler üzerindeki dihedral aç lar göstermektedir[5]. ekil 3.1. Hiperbolik dörtyüzlü Schlafli diferensiyel formülünü 3-boyutlu hiperbolik uzayda bir hiperbolik dörtyüzlü için indirgersek; 13 1 4 2 i, j 1 dVol ij d ij i j eklini al r. Burada ij , ’n n ayr t uzunluklar r[22]. 3.1. Hiperbolik Dörtyüzlünün Ayr t Matrisi , P1 ,..., P4 tepeli bir hiperbolik dörtyüzlü olsun. O halde; M cosh matrisi 1 cosh ij i , j 1,...,4 cosh cosh 12 13 14 cosh 1 cosh cosh ’n n ayr t matrisidir ve burada ij cosh cosh 12 1 cosh 23 24 ji , i 23 cosh cosh 34 cosh 1 13 14 24 34 j dir. M’nin 3 3 tipinde alt matrisleri i yinci sat r ve j yinci sütunun silinmesinden elde edilir. M’nin alt matrislerinin kofaktörleri ise M ij , st eklinde gösterilmektedir s, t 1,..., 4 [22]. 3.1. Teorem i j reel say ve i, j 1,..., n 1 olmak üzere n matrisinin a i) det M n n n 1 tane 2 ji eklindeki pozitif ’nin ayr t uzunlu u olmas için gerek ve yeter art M daki ko ullar sa lamas r. 0 ii) M 1 ’in tüm asli alt matrisleri pozitif tan ml iii) M ij ij 0 [21]. r. cosh ij 14 3.2. Teorem bir hiperbolik dörtyüzlü olsun. Buradan; i) det M ii) M ii iii) 0 0, i 1,..., 4 M kk M ll sinh ij sin kl det M , i, j, k , l 1,..., 4, i j, k l [20, 22]. 3.3. Teorem bir hiperbolik dörtyüzlü olsun. Buradan; sinh sin sinh 12 sin 34 12 burada S 34 sinh sin sinh 13 sin 24 13 24 sinh sin sinh 14 sin 23 14 23 S det M (3.2) M11M 22 M 33 M 44 [20, 22]. 3.4. Teorem bir hiperbolik dörtyüzlü olsun. dVol 1 4 Aij d 2 i, j 1 i j ij ’n n ayr t uzunluklar na ba hacim formülü (3.3) 15 dir. Burada ij M ij ,ij sinh it sinh 4 Aij jt M ss M is ,ij M ss sinh M it M it , jt M jt M it , jt M tt sinh st M is M is , js st M tt sinh ij M i , j , s ,t 1 i j,s t i , j s ,t is jt M tt M it ,ij M js M is , js js M ss sinh js M ss M ij , js it (3.4) M tt M ij , jt is M st M tt M is , js M ss M it , jt sinh ij M ss M tt M it , js M is , jt M ss M tt r[22]. spat bir hiperbolik dörtyüzlü olsun. Buna göre Schlafli diferensiyel formülü; 1 4 2 i, j 1 dVol ij d ij i j 1 2 12 d 12 13 d 13 14 d 14 23 d 23 24 d 24 34 d 34 (3.5) eklindedir. [21]’den hiperbolik dörtyüzlünün dihedral aç lar yla ayr t uzunluklar aras nda cos M ij ij ba nt dir. ij (3.6) M ii M jj n varl ’nin kl bilinmektedir. Burada ’ye göre total diferensiyeli; ij ij kl , k , l 1,..., 4 k l ve k l 16 d ij ij d ij d 12 12 ij 13 13 d ij 14 14 ij d 23 23 d ij d 24 24 34 34 (3.7) eklindedir. E .3.7, E . 3.5’te yerine yaz rsa; 2dV 13 12 12 14 12 12 14 13 13 12 12 14 14 14 14 13 12 12 23 14 23 23 13 12 12 24 14 24 24 13 12 12 34 14 34 34 34 34 34 d 14 d 23 d 24 d 34 24 24 24 34 34 34 24 23 23 13 23 24 24 24 14 13 34 34 23 23 23 d 14 24 24 23 14 13 34 34 14 23 23 12 13 24 24 14 14 13 34 34 13 23 23 d 12 24 24 13 14 13 34 12 23 23 13 34 24 24 12 14 13 13 23 12 13 12 12 23 14 13 34 (3.8) elde edilir. E . 3.6 denkleminden; cos M ij ij kl (3.9) M ii M jj kl yaz r ve buradan; M ii M jj ij kl M ij M ij kl sin M ii M jj kl ij M ii M jj smi türevleri elde edilir. Yine E . 3.6’dan (3.10) 17 M ij2 M ii M jj sin ij (3.11) M ii M jj bulunur. E . 3.9, E . 3.10’da yerine yaz rsa; M ii M ij M jj ij M jj kl 2M ii M jj denklemi i, j ve i, j M ii M jj bulunur. M M M ij kl kl 2 M ii M jj M ii M jj kl MI M ii K smi M türevlerin 12 13 M ij2 M cosh 2 sinh sinh sinh 12 12 34 12 st j, s t sinh 12 sinh 12 (3.14) 24 M 33 23 M 44 M 33 M 13,12 14 M 33 (3.15) M M 44 M 14,12 (3.16) M M 23 M13,23 M 33 M12,23 sinh 2 için M M 14 M 14,24 sinh (3.13) 1 M 12,12 M13 M13,23 sinh 12 23 i, j , s, t 1,..., 4 i [30]’dan s, t için bu özde lik; 12 14 sadele tirilmesinde Jacobi özde li i kullan rsa i, j formunu al r. E . 3.12 ve E . 3.13’den k 1 ve l 12 (3.12) 2 ij M (3.17) 18 24 sinh sinh 12 34 M 24 M 14,24 12 sinh 12 13 M 44 M 44 M 12,24 (3.18) M M 34 M 44 M13,23 M 33 M 14,24 sinh 12 12 M 33 M 44 M14,23 M 33 M 44 M 13,24 (3.19) M smi türevleri elde edilir. Bu e itlikler s ras yla 12 , 13 , 14 , 23 , 24 ve 34 ile çarp larak toplan rsa; 12 M 12,12 sinh A12 sinh 23 12 13 M 33 sinh 34 M 23 M 13,23 M 33 sinh M 34 M 13 M 13,23 M 33 M 13,14 14 M 44 sinh 24 M 33 M 12,23 24 M 24 M 14,24 M 44 sinh 14 M 34 M 44 M 13,23 M 33 M 14,24 sinh 12 M 14 M 14,24 M 44 M 14,12 23 M 44 M 12,24 14 M 33 M 44 M 14,23 M 13,24 M 33 M 44 (3.20) terimi elde edilir. uzunluklar na ba A12 terimi sadece hiperbolik dörtyüzlüsünün ayr t r. Benzer ekilde A13 , A14 , A23 , A24 ve A34 terimleri de elde edilir ve ispat tamamlan r. Hiperbolik dörtyüzlüye ait ayr t uzunluklar na ba hacim formülü elde edilirken di er terimlerin elde edilmesinde kullan lan hesaplamalar EK1’de verilmi tir. 3.2. Regüler Hiperbolik Dörtyüzlü 3.5. Teorem v1 , v2 , v3 ve v4 tepeli, tüm ayr t uzunluklar e it ve ayr t uzunlu u hiperbolik düzgün dörtyüzlü vard r. spat olan bir 19 M simetrik bir matris olmak üzere; 1 cosh cosh cosh M i) M 3cosh ii) M ii 1 M ii 1 M ii 1 olup M iii) i cosh 1 cosh cosh M jj1 kk M jj1 kk mm 1 cosh cosh 1 cosh 1 1 cosh 1 M 3 cosh cosh cosh 1 olup M 0 cosh ll M jj1 0 d r. 3cosh ll nn 1 1 1 cosh 2 0 2cosh 1 cosh 1 1 3cosh 0 bütün asli alt matrislerinin determinant pozitif tan ml j , i, j 1, 2,3, 4 olmak üzere M ij v1 , v2 , v3 ve v4 tepeli, cosh 1 cosh r[21]. 2 0 olup [21]’den ayr t uzunluklu bir hiperbolik düzgün dörtyüzlü vard r. M matrisi bu hiperbolik düzgün dörtyüzlünün ayr t matrisidir. ekil 3.2. Regüler hiperbolik dörtyüzlü 20 Sonuç 3.1. bir 12 regüler(düzgün) 13 14 23 ayr t uzunluklar na ba dVol 3 24 hiperbolik 34 dörtyüzlü t olmak üzere olsun. O halde hiperbolik dörtyüzlüsünün hacmi; t cosh t 1 dt 1 2cosh t 3cosh t 1 (3.21) r. ekil 3.3. deal hiperbolik dörtyüzlü ekil 3.4. dörtyüzlü deal regüler hiperbolik Sonuç 3.2. bir 12 Vol regüler 13 14 3 23 ideal 24 hiperbolik 34 t cosh t 1 dt 1 2cosh t 3cosh t 1 0 dörtyüzlü olsun. O halde t olmak üzere hiperbolik dörtyüzlünün hacmi; (3.22) 21 denklemiyle hesaplan r. Bu integralin nümerik de eri 1,0149416… olup bir hiperbolik dörtyüzlünün maksimum hacmidir. Bu sonuç Milnor’un [4]’deki Lobachevski formülünü kullanarak elde etti i sonuçla ayn ekil 3.5. Regüler ideal hiperbolik dörtyüzlünün hacmi r. 22 4. KÜRESEL DÖRTYÜZLÜ N AYRIT UZUNLUKLARINA BA LI SCHLAFL D FERENS YEL FORMÜLÜ Sn n 2 olmak üzere 1 i P1 ,..., Pn ij 1 tepeli, i j i n 2 , ’n n ei normalli düzlem içinde kalan yüzü yüzü, ij yüzündeki dihedral aç ij , n 1 olan bir küresel simpleks olsun. S n deki tüm simplekslerin kümesi j üzerindeki V hacim formülünün diferensiyeli; 1 dVol n 1 n 1 i, j Voln 2 ij d ij Vol0 ij 1 (4.1) 1 i j eklindedir. Burada ij de ij ij , ’n n 2-e boyutlu yüzünü, Voln 2 ’ler üzerindeki dihedral aç lar göstermektedir[5]. ekil 4.1. Küresel dörtyüzlü ij , ij ’lerin hacmini, 23 Schlafli diferensiyel formülünü 3-boyutlu küresel uzay için indirgersek; 1 4 2 i, j 1 dVol ij d (4.2) ij i j eklini al r. Burada ij , ’n n ayr t uzunluklar na kar k gelmektedir[22]. 4.1. Küresel Dörtyüzlünün Ayr t Matrisi , P1 ,..., P4 tepeli bir küresel dörtyüzlü olsun. O halde; M 1 cos cos matrisi ij i , j 1,...,4 cos cos 12 13 14 cos 1 cos cos 12 23 24 ’n n ayr t matrisidir ve burada cos cos 23 cos cos 1 cos 34 cos 1 ij ji 13 , i 14 24 34 j dir. M’nin 3 3 tipinde alt matrisleri i yinci sat r ve j yinci sütunun silinmesinden elde edilir. M’nin alt matrislerinin kofaktörleri ise M ij , st eklinde gösterilmektedir s, t 1,..., 4 [22]. 4.1. Teorem i j ve i, j 1,..., n 1 olmak üzere pozitif reel say M olmas cos ij r[21]. n n n n 1 tane 2 ij ji 0, 2 eklindeki ’nin ayr t uzunlu u olmas için gerek ve yeter ayr t matrisinin simetrik pozitif tan ml ve kö egen elemanlar art n1 24 4.2. Teorem bir küresel dörtyüzlü olsun. Buradan; i) det M ii) M ii iii) 0 0, i 1,..., 4 M kk M ll sinh ij sin kl det M , i, j , k , l 1,..., 4, i j, k l [20, 22]. 4.3. Teorem bir küresel dörtyüzlü olsun. Buradan; sinh sin sinh 12 sin 34 12 burada P 34 sinh sin sinh 13 sin 24 13 24 sinh sin sinh 14 sin 23 14 23 P det M (4.3) M 11M 22 M 33 M 44 [20, 22]. 4.4. Teorem bir küresel dörtyüzlü olsun. dVol 1 4 Aij d 2 i, j 1 i j dir. Burada ij ’n n ayr t uzunluklar na ba hacim formülü (4.4) 25 ij M ij ,ij sin sin 4 Aij it M jt M it , jt jt M ss M it , jt ij js M tt M ij , jt M tt sin sin M tt M it ,ij M tt sin it M st M tt M is , js M it M it , jt jt M ss M ij , js M ss sin st M ss M is ,ij M ss sin M js M is , js M i , j , s ,t 1 i j ,s t i , j s ,t M is M is , js st js ij is is M ss M tt M it , js M is , jt M ss M tt (4.5) eklindedir. spat bir küresel dörtyüzlü olsun. Buna göre Schlafli diferensiyel formülü; 1 4 2 i, j 1 dVol ij d ij i j 1 2 12 d 12 13 d 13 14 d 14 23 d 23 24 d 24 34 d (4.6) 34 eklindedir. [21]’den küresel dörtyüzlünün dihedral aç lar yla ayr t uzunluklar aras nda cos M ij ij ba nt dir. d ij (4.7) M ii M jj n varl ’nin ij ij 12 kl d bilinmektedir. Burada ij ij kl , k , l 1,..., 4 k l ve k l ’ye göre total diferensiyeli; ij 12 13 d ij 13 14 d ij 14 23 d ij 23 24 d ij 24 d 34 34 (4.8) 26 eklindedir. E . 4.8, E . 4.6’da yerine yaz rsa; 2dV 13 12 12 13 12 12 13 13 13 12 13 14 14 14 13 12 12 13 23 23 23 13 12 12 13 24 24 24 13 12 12 13 34 34 34 34 34 34 d 14 d 23 d 24 d 34 24 24 24 34 34 34 24 23 23 13 23 24 24 24 14 14 34 34 23 23 23 d 14 24 24 23 14 14 34 34 14 23 23 12 13 24 24 14 14 14 34 34 13 23 23 d 12 24 24 13 14 14 34 12 23 23 13 34 24 24 12 14 14 13 12 23 12 13 12 12 23 14 14 34 (4.9) elde edilir. E . 4.7 den; cos M ij ij kl (4.10) M ii M jj kl yaz r ve buradan; M ii M jj ij kl M ij M ij kl sin M ii M jj kl ij M ii M jj smi türevleri elde edilir. Yine E . 4.7’den (4.11) 27 M ij2 M ii M jj sin ij (4.12) M ii M jj bulunur. E . 4.12, E . 4.11’de yerine yaz rsa; M ii M ij M jj ij M jj kl denklemi bulunur. M M i, j ve i, j M ii M jj 2M ii M jj M ij kl 2 M ii M jj M ii M jj kl MI M ii kl M K smi türevlerin M ij2 M 1 cos 2 sin 12 12 sin 34 sin 12 sin 12 sin 12 (4.15) M 33 M 13,12 (4.16) M 24 M 33 M 14 M 14,24 M 44 M 14,12 (4.17) M 23 M 44 M 23 M13,23 M 33 M12,23 sin 2 için M M13 M13,23 sin 12 12 j, s t (4.14) st M 12,12 sin 12 23 i, j , s, t 1,..., 4 i [30]’den s, t için bu özde lik 12 14 sadele tirilmesinde Jacobi özde li i kullan rsa i, j formunu al r. E . 4.13 ve E . 4.14 den k 1 ve l 13 (4.13) 2 ij M 14 M 33 (4.18) 28 24 sin 12 sin 12 34 M 24 M 14,24 sin 12 13 M 44 M 12,24 (4.19) M 44 M M 34 M 44 M13,23 M 33 M 14,24 sin 12 M 33 M 44 M14,23 M 13,24 (4.20) M 12 M 33 M 44 smi türevleri elde edilir. Bu e itlikler s ras yla 12 , 13 , 14 , 23 , 24 ve 34 ile çarp larak toplan rsa; 12 M 12,12 sin A12 sin 23 12 13 M 13 M 13,23 M 33 M 13,14 M 33 sin 34 34 M 14 M 14,24 M 44 sin 24 M 23 M 13,23 M 33 M 12,23 M 33 sin M 14 24 M 24 M14,24 M 44 sin 14 M 34 M 44 M 13,23 M 33 M 14,24 sin 12 M 44 M14,12 23 M 44 M12,24 14 M 33 M 44 M 14,23 M 13,24 M 33 M 44 (4.21) terimi elde edilir. A12 terimi sadece ba küresel dörtyüzlüsünün ayr t uzunluklar na r. Benzer ekilde A13 , A14 , A23 , A24 ve A34 terimleri de elde edilir ve ispat tamamlan r. Küresel dörtyüzlüye ait ayr t uzunluklar na ba hacim formülü elde edilirken di er terimlerin elde edilmesinde kullan lan hesaplamalar EK-2’de verilmi tir. 4.2. Regüler Küresel Dörtyüzlü 4.5. Teorem v1 , v2 , v3 ve v4 tepeli, tüm ayr t uzunluklar e it ve ayr t uzunlu u düzgün dörtyüzlü vard r. olan bir küresel 29 ekil 4.2. Regüler küresel dörtyüzlü spat M bir simetrik matris olmak üzere; M 1 cos cos cos M 3cos M ii M ii 2 cos ll sin 2 cos 1 cos cos cos cos 1 cos cos cos cos 1 1 cos 1 cos 1 1 2 2 (4.22) 0 0 0 (4.23) (4.24) (4.25) olup M’nin bütün asli alt matrislerinin determinant pozitiftir. O halde M pozitif tan ml ve M, bir küresel regüler dörtyüzlüsünün ayr t matrisidir[21]. 30 4.1. Sonuç bir 12 regüler(düzgün) 13 14 uzunluklar na ba dVol r. 3 23 24 küresel 34 dörtyüzlü t olmak üzere olsun. O halde küresel dörtyüzlüsünün ayr t hacmi; t cos t 1 dt 1 2cos t 3cos t 1 (4.26) 31 5. KÜRESEL VE H PERBOL K DÖRTYÜZLÜLER N HAC M HESAPLAMALARININ FEYNMAN NTEGRALLER NE UYGULAMALARI Bir ilmikli n-noktal Feynman diyagram ile n-boyutlu Öklidyen simpleksin geometrik gösterimi aras ndaki do rudan ba lant , sabit e rilikli Öklidyen olmayan uzaylardaki (n-1)-boyutlu simpleksler yard yla Feynman parametrik gösterimiyle ili kilendirilerek [23] ve [31] de gösterilmi tir. n-boyutlu uzayda tüm kütle vektörleri ayn orijinden ç ks nlar ve uç noktalar ndan birle tirilsinler. Ortaya ç kan ekil temel bir Öklidyen simpleks belirtir ve Feynman diyagram olarak adland r. Öklidyen kütle vektörlerinin uzunluklar gösterilmek üzere j ve l -yinci kütle vektörleri aras ndaki aç jl mi ile olsun. Bu aç lar ai ler birim vektörler olmak üzere a j , al cos (5.1) jl eklinde elde edilir. l iken j jj 0 ve cos jj 1 dir. j ve l -yinci kütle vektörlerini birle tiren vektörler “momentum yüzü” olarak adland rlar ve bu vektörlerin uzunlu u; m2j ml2 2m j ml cos eklindedir. 1 2 jl k 2jl 1 2 (5.2) 32 ekil 5.1. 3-boyutlu uzayda Feynman diyagram Temel n-boyutlu simpleks 1 1 n n 1 yüze, n tane kütle yüzüne, n n 1 tane 2 2 momentum yüzüne ve n 1 tepe noktas na sahiptir. Tüm kütle yüzlerinin birle ti i noktaya M “kütle birle im noktas (mass meeting point)”, denir. . 5.1. deki bile enlerden olu an 1 cos G 12 cos 1 ... cos 1n ... c os matrisi cos cos 12 2n Öklidyen 1 n! ... ... 1n 2n (5.3) ... cnn Gram matrisidir[23]. Bu matrisin G ve j -inci sat r l -yinci sütunu at larak elde edilen alt matrisin minörü G (jln n 23 ... cos ... cos simpleksin determinant ; det G V ... c3n 13 1) ile gösterilmek üzere n-boyutlu simpleksin hacmi; n mi i 1 G (5.4) 33 eklindedir[23, 31]. j -inci kütle yüzünün at lmas yla elde edilen (n-1)-boyutlu indirgenmi hiperyüzeyin hacmi ise Vj n 1 1 n (n 1)! i j n 1 mi G jj (5.5) eklindedir. Bir ilmekli n-point Feynman diyagram na kar k gelen Feynman integralinin genel hali d nq J ( N ) n ; v1 , v2 ,..., vN N pi q 2 (5.6) vi 2 i m i 1 biçimindedir[23, 31]. n J ( n ) n ;1,1,...,1 i1 2n N ve vi 1, i 1,..., n durumunda bu integral; n 2 ekline dönü ür[23, 31]. kar n (n) 2 n! V ( n) (n) (5.7) , M mass meeting noktas ndaki tepe aç n ölçüsüne (n) ’nin bilinmesi k gelmektedir. E . 5.7’deki integralin hesaplanmas için gerekmektedir. (n) ise n-boyutlu Öklidyen simpleksde (n-1)-boyutlu küresel yada hiperbolik simpleksin hacmine kar k gelmektedir. 5.1. Öklidyen Simpleks, Feynman ntegrali ve Tepe Aç 2-boyutlu uzayda Feynman diyagram bir üçgene kar yüzü aras ndaki aç ya kar k gelir. Aras ndaki li ki k gelmektedir. 12 iki kütle 34 ekil 5.2. 2-boyutlu uzayda Feynman diyagram ve 12 aç ekil 5.1 deki verilere göre; 1 cos 2 G V (2) 12 1 m1m2 sin 2 sin 2 12 12 (2) 12 bile enleri elde edilir. Bu bile enler E . 5.7’de yerine yaz rsa; J (2) 2;1,1 i 12 m1m2 sin 12 (5.8) elde edilir. 3-boyutlu uzayda Feynman diyagram bir dört yüzlüye kar k gelir. Bu dört yüzlünün üç tane kütle yüzü ve üç tane de momentum yüzü vard r. Kütle yüzleri aras ndaki aç lar ise 12 , 13 ve 23 eklindedir. 3-boyutlu uzaydaki Öklidyen dörtyüzlünün hacmi; V (3) 1 m1m2 m3 G 6 (5.9) 35 formülü ile kolayca hesaplan r[23]. ekil 5.3. 3-boyutlu uzayda Feynman diyagram ve tepe aç Yukar daki ekilden görüldü ü gibi üçgenin alan na kar 12 , 13 ve 23 (3) tepe aç n ölçüsü bir küresel (hiperbolik) k gelmektedir. Bu üçgende 12 , 13 ve 23 ayr t uzunluklar , de erleri ise bu ayr tlar aras ndaki dihedral aç lard r. Üç boyutlu uzayda yukar daki dörtyüzlüye ait Gram matrisinin determinant ; G 1 cos cos cos 1 cos 12 13 12 cos 23 cos 1 13 23 1 cos 2 12 cos 2 13 cos 2 23 2 cos 12 co s 13 co s 23 (5.10) eklindedir. Küresel simpleksin ayr t uzunluklar ile dihedral aç lar aras ndaki cos M ij ij M ii M jj (5.11) hiperbolik simpleksin ayr t uzunluklar ile dihedral aç lar aras ndaki cos M ij ij M ii M jj (5.12) 36 ba nt lar vard r[21]. Küresel ve hiperbolik üçgenin dihedral aç lara ba alan formülleri ise s ras yla; (3) 12 13 (5.13) 23 (3) 12 13 (5.14) 23 eklindedir[24]. Buradan; arctan u arctan v arctan w arctan u v w uvw 1 uv uw vw (5.15) olup E . 5.11 ve E . 5.12’den s ras yla küresel ve hiperbolik üçgen için (3) (3) arctan M cos M arctan cos 12 1 cos 12 M cosh M ayr t uzunluklar na ba cos cosh 12 13 13 12 cos 23 1 cos cosh 1 cosh 13 23 (5.16) 1 cosh 23 1 cosh 23 13 1 (5.17) alan formülleri elde edilir[23]. Böylece kütle yüzleri aras ndaki aç bilinen bir Feynman diyagram nda M kütle birle im noktas ndaki tepe aç (kat aç ), ayr t uzunluklar ile dihedral aç lar aras ndaki geçi ba nt lar ndan yararlan larak hesaplan r. Sonuç olarak 3-boyutlu uzayda Feynman integrali; J (3) 3;1,1,1 i 2 2m1m2 m3 eklinde olur[23]. 3 (5.18) G 37 4-boyutlu uzayda Feynman diyagram 4-boyutlu Öklidyen simplekse kar k gelir. Bu simpleksin 4 kütle yüzü ve 6 tane momentum yüzü vard r. Ayr ca bu simpleks 5 tane tepeye ve 3-boyutlu hiperyüze sahiptir. 4-boyutlu uzayda; 4-boyutlu simpleksi m1 , m2 , m3 ve m4 kütle yüzleri ve yüzler aras ndaki 12 , 13 , 14 , 23 , 24 ve 34 aç lar yla tan mlayal m. Buna göre Öklidyen simpleksin hacmi; V (4) 1 m1m2 m3 m4 G 24 (5.19) eklinde hesaplan r[23]. Burada; G det 1 cos cos cos cos 1 12 cos cos 13 14 cos cos 12 1 cos 23 24 23 cos cos 34 cos 1 13 14 24 (5.20) 34 biçimindedir. Bu verilere göre 4-boyutlu uzayda Feynman integrali; J (4) 4;1,1,1,1 1 i 12 (4) 2 V (4) (4) 2i 2 m1m2 m3 m4 G (5.21) eklindedir[23, 31]. Fiziksel problemlerde bu integralin hesaplanmas nda temel problem (4) bile eninin nas l hesaplanaca 4-boyutlu uzayda noktas ndaki tepe aç (4) r. , 4-boyutlu Öklidyen simpleksin kütle yüzlerinin birle me n ölçüsüne kar k gelir. Bu tepe aç n ölçüsü küresel durumda bir 3-boyutlu küresel dörtyüzlünün hacmiyle, hiperbolik durumda da bir 3boyutlu hiperbolik dörtyüzlünün hacmi ile çak r. Öklidyen simplekse ait E . 5.20’deki kütle yüzleri aras ndaki matris kütle yüzlerinin birle im noktas ndaki küresel dörtyüzlünün ayr t matrisiyle çak r. Bu ise özellikle bu dörtyüzlünün hacminin hesaplanmas için büyük kolayl k sa lar. [23, 31] çal malar nda (4) nin 38 hesaplanmas için uzun ve karma k yöntemler tercih edilmi tir. Do rudan Schlafli ve Lobachevski formüllerine geçi yapmak için dörtyüzlülerin orto emalara ayr lmas ile hacim hesaplamalar na gidilmi tir. Ancak [21] deki dihedral aç larla ayr t uzunluklar uzunluklar na ba aras ndaki geçi ba nt lar ndan ve [22] deki sadece ayr t hacim formüllerinden do rudan durumda E . 4.4’deki; dVol 1 4 Aij d 2 i, j 1 ij i j formülünden, hiperbolik durumda ise E . 3.3’deki dVol 1 4 Aij d 2 i, j 1 ij i j formüllerinden kolayl kla yap labilir. (4) nin hesaplanmas küresel 39 6. SONUÇ Herkes taraf ndan bilindi i gibi kenar uzunluklar bilinen bir Öklidyen üçgenin alan hesaplamak için pratik bir formül bilinmektedir. Ancak hiperbolik ve küresel üçgenlerin sadece kenar uzunluklar na ba bir alan formülü bilinmemekteydi. Bu tezin olu umunda bu sorunun cevab aranm cevap daha da ileriye götürülerek ve bu formüller elde edilmi tir. Bu 2-simplekslerden, 3-simplekslere yani dörtyüzlülere geçilerek hiperbolik ve küresel dörtyüzlülerin hacimleri sadece ayr t uzunluklar na ba olarak elde edilmi tir. Bu formül Schlafli diferensiyel formülüne benzer oldu u için Ayr t Uzunluklar na Ba adland lm Schlafli Diferensiyel Formülü olarak r. Lobachevski ve Schlafli diferensiyel formüllerinde dihedral aç lar yada hem dihedral aç lar hem de ayr t uzunluklar bilinmeden hacim hesaplamak mümkün de ilken, bu tezde elde edilen formülle sadece ayr t uzunluklar bilinen bir dörtyüzlünün hacmi hesaplanabilmektedir. 3-boyutlu uzayda Gram matrisi ile Ayr t matrisi aras ndaki ili kiden elde edilen bu formülün daha yüksek boyutlu uzaylarda elde edilmesi oldukça zordur. Bu tezde de vurguland gibi simplekslere ait hacim formülleri ve bile enleri Gram matrisi ve Ayr t matrisi ile do rudan ili kilidir. Çal malar Gram ve Ayr t matrisleri aras ndaki ba nt lardan yararlanarak 3-boyutlu hiperbolik ve küresel uzayda sadece tepe aç lar bilinen bir simplekslerin hacim formüllerini elde etmek sürdürece iz. eklinde 40 EKLER 41 EK- 1 Hiperbolik Dörtyüzlü çin Hesaplamalar Hiperbolik dörtyüzlünün ayr t uzunluklar na ba Schlafli diferensiyel formülü elde edilirken kullan lan kofaktör ve kofaktörlerin k smi türevleri a da verilmi tir. M 11 = cosh 2 23 2 cosh 23 cosh 24 cosh 34 cosh 2 24 cosh 2 34 1 M 22 = cosh 2 13 2 cosh 13 cosh 14 cosh 34 cosh 2 14 cosh 2 34 1 M 33 = cosh 2 12 2 cosh 12 cosh 14 cosh 24 cosh 2 14 cosh 2 24 1 M 44 = cosh 2 12 2 cosh 12 cosh 13 cosh 23 cosh 2 13 cosh 2 23 1 M 12 = cosh 12 cosh M 13 = cosh 13 13 cosh M 14 = cosh 12 14 cosh M 23 = cosh 12 23 cosh M 24 = cosh 24 cosh M 34 = cosh = 0, 12 M 11 12 M 11 12 34 cosh M 11 12 cosh 13 cosh 23 cosh 14 cosh 24 cosh 24 cosh 34 cosh 14 cosh 23 cosh 12 cosh 23 cosh 14 cosh 34 cosh 24 cosh 34 cosh 14 cosh 23 cosh 12 cosh 24 cosh 13 cosh 34 cosh 23 cosh 34 cosh 13 cosh 23 cosh 12 cosh 13 cosh 24 cosh 34 cosh 14 cosh 34 cosh 13 cosh 14 cosh 12 cosh 14 cosh 23 cosh cosh cosh cosh = 0, 13 cosh 34 cosh 13 cosh 13 cosh 14 cosh 23 cosh 13 cosh M 11 13 24 cosh 12 cosh =0 14 = 2 sinh 23 (cosh 23 cosh 24 cosh 34 ) = 2 sinh 24 (cosh 24 cosh 23 cosh 34 ) 23 M 11 24 cosh cosh cosh 34 14 24 14 cosh 2 24 14 cosh 2 23 14 cosh 23 13 cosh 24 12 cosh 34 24 cosh 2 23 cosh 2 cosh 13 24 cosh 2 cosh 34 24 cosh cosh cosh 2 34 cosh cosh 12 23 42 EK-1 (Devam) Hiperbolik Dörtyüzlü çin Hesaplamalar M 11 = 2 sinh 34 (cosh 34 cosh 23 cosh 24 ) 34 M 12 = sinh 12 (1 cosh 2 = sinh 13 (cosh 24 cosh 34 cosh 23 ) = sinh 14 (cosh 23 cosh 34 cosh 24 ) = sinh 23 (cosh 14 cosh 34 cosh 13 ) = sinh 24 (cosh 13 cosh 34 cosh 14 ) = sinh 34 (cosh 13 cosh 24 cosh 14 cosh ) 34 12 M 12 13 M 12 14 M 12 23 M 12 24 M 12 23 2 cosh 12 cosh 34 ) 24 2 cosh 14 cosh 23 ) 34 M 22 = 0, M 22 12 M 22 = 0, M 22 23 =0 24 = 2 sinh 13 (cosh 13 cosh 14 cosh 34 ) = 2 sinh 14 (cosh 14 cosh 13 cosh 34 ) = 2 sinh 34 (cosh 34 cosh 13 cosh 14 ) 13 M 22 14 M 22 34 M 23 = sinh 12 (cosh 14 cosh 34 cosh 13 ) = sinh 13 (cosh 14 cosh 24 cosh 12 ) = sinh 14 (cosh 12 cosh 34 cosh 13 cosh = sinh 23 (1 cosh 2 12 M 23 13 M 23 14 M 23 23 14 ) 43 EK-1 (Devam) Hiperbolik Dörtyüzlü çin Hesaplamalar M 23 = sinh 24 (cosh 13 cosh 14 cosh 34 ) = sinh 34 (cosh 12 cosh 14 cosh 24 ) 24 M 23 34 M 33 = 0, M 33 13 M 33 = 0, M 33 23 =0 34 = 2 sinh 12 (cosh 12 cosh 14 cosh 24 ) = 2 sinh 14 (cosh 14 cosh 12 cosh 24 ) = 2 sinh 24 (cosh 24 cosh 12 cosh 14 ) 12 M 33 14 M 33 24 M 13 = sinh 12 (cosh 34 cosh 23 ) = sinh 13 (1 cosh 2 = sinh 14 (cosh 23 cosh 24 cosh 34 ) = sinh 23 (cosh 14 cosh 24 cosh 12 ) = sinh 24 (cosh 12 cosh 34 2 cosh = sinh 34 (cosh 12 cosh 24 cosh 24 cosh 12 M 13 24 ) 13 M 13 14 M 13 23 M 13 13 cosh 24 M 13 14 ) 34 M 44 = 0, M 44 14 M 44 = 0, 24 M 44 =0 34 = 2 sinh 12 (cosh 12 cosh 13 cosh 23 ) = 2 sinh 13 (cosh 13 cosh 12 cosh 23 ) 12 M 44 13 24 cosh 14 cosh 23 ) 44 EK-1 (Devam) Hiperbolik Dörtyüzlü çin Hesaplamalar M 44 = 2 sinh 23 (cosh 23 cosh 12 cosh 13 ) 23 M 14 = sinh 12 (cosh 23 cosh 34 cosh 24 ) = sinh 13 (cosh 23 cosh 24 cosh 34 ) = sinh 14 (1 cosh 2 = sinh 23 (cosh 12 cosh 34 cosh 13 cosh = sinh 24 (cosh 13 cosh 23 cosh 12 ) = sinh 34 (cosh 12 cosh 23 cosh 13 ) = sinh 12 (cosh 13 cosh 34 cosh 14 ) = sinh 13 (cosh 12 cosh 34 2 cosh = sinh 14 (cosh 13 cosh 23 cosh 12 ) = sinh 23 (cosh 13 cosh 14 cosh 34 ) = sinh 24 (1 cosh 2 = sinh 34 (cosh 12 cosh 13 cosh 23 ) = sinh 12 (cosh 13 cosh 24 2 cosh = sinh 13 (cosh 12 cosh 24 cosh 12 M 14 13 M 14 23 ) 14 M 14 24 2 cosh 14 cosh 23 ) 23 M 14 24 M 14 34 M 24 12 M 24 13 cosh 24 cosh 14 cosh 23 ) cosh 34 cosh 14 cosh 23 ) 13 M 34 13 M 24 23 M 24 13 ) 24 M 24 34 M 34 12 12 M 34 13 14 ) 45 EK-1 (Devam) Hiperbolik Dörtyüzlü çin Hesaplamalar M 34 = sinh 14 (cosh 12 cosh 23 cosh 13 ) = sinh 23 (cosh 12 cosh 14 cosh 24 ) = sinh 24 (cosh 12 cosh 13 cosh 23 ) = sinh 34 (1 cosh 2 14 M 34 23 M 34 24 M 34 34 12 ) 46 EK- 2 Küresel Dörtyüzlü çin Hesaplamalar Küresel dörtyüzlünün ayr t uzunluklar na ba Schlafli diferensiyel formülü elde edilirken kullan lan kofaktör ve kofaktörlerin k smi türevleri a da verilmi tir. cos 2 23 2 cos 23 cos 24 cos 34 cos 2 24 cos 2 34 1 M 22 = cos 2 13 2 cos 13 cos 14 cos 34 cos 2 14 cos 2 34 1 cos 2 12 2 cos 12 cos 14 cos 24 cos 2 14 cos 2 24 1 M 44 = cos 2 12 2 cos 12 cos 13 cos 23 cos 2 13 cos 2 23 cos 12 cos 14 cos 24 cos 34 cos 14 cos 23 cos 13 cos 14 cos 34 cos 34 cos 14 cos 23 cos 14 cos 13 cos 34 34 cos 13 cos 23 M 11 = M 33 = M 12 = cos cos 13 cos M 13 = cos 13 cos M 14 = cos 12 M 23 = cos 12 cos M 24 = cos 12 12 cos M 34 = cos 13 cos M 11 24 23 14 cos 13 14 13 23 34 cos 14 cos cos cos 13 cos cos 12 24 cos cos 12 23 cos cos 12 24 cos cos 12 cos cos cos 12 23 cos 24 34 cos cos cos cos cos 34 cos cos 24 cos cos 24 13 cos 23 13 cos 23 12 cos cos cos =0 12 M 22 =0 12 M 33 12 = 2sin 12 (cos 12 cos 14 cos 24 ) cos cos 34 14 34 14 24 14 cos 2 24 14 cos 2 23 14 cos 23 13 cos 24 12 cos 34 23 cos 2 cos 13 24 cos 2 cos 34 24 cos 2 cos cos 2 24 cos cos 12 34 cos cos 1 23 47 EK-2 (Devam) Küresel Dörtyüzlü çin Hesaplamalar M 44 = 2sin 12 (cos cos 12 13 cos 23 ) 12 M 12 = sin 12 (1 cos 2 = sin 12 (cos 24 cos 34 cos 23 ) = sin 12 (cos 23 cos 34 cos 24 ) = sin 12 (cos 14 cos 34 cos 13 ) = sin 12 (cos 13 cos 34 cos 14 ) = sin 12 (cos 13 cos 24 2 cos 12 cos 34 ) 12 M 13 12 M 14 12 M 23 12 M 24 12 M 34 12 M 11 =0 13 M 22 = 2sin 13 (cos 13 cos 14 cos 34 ) 13 (cos 13 cos 12 cos 23 ) 13 M 33 =0 13 M 44 = 2sin 13 M 12 = sin 13 (cos 24 cos 34 cos 23 ) = sin 13 (1 cos 2 24 = sin 13 (cos 23 cos 24 cos 34 ) = sin 13 (cos 14 cos 24 cos 12 ) 13 M 13 ) 13 M 14 13 M 23 13 34 cos 14 cos 23 ) 48 EK-2 (Devam) Küresel Dörtyüzlü çin Hesaplamalar M 24 = sin 13 (cos 12 cos 34 2 cos = sin 13 (cos 12 cos 24 cos 13 cos 24 cos 14 cos 23 ) 2 cos 14 cos 23 ) 13 M 34 ) 14 13 M 11 =0 14 M 22 = 2sin 14 (cos 14 cos 13 cos 34 ) = 2sin 14 (cos 14 cos 12 cos 24 ) 14 M 33 14 M 44 =0 14 M 12 = sin 14 (cos 23 cos 34 cos 24 ) = sin 14 (cos 23 cos 24 cos 34 ) = sin 14 (1 cos 2 = sin 14 (cos 12 cos 34 cos 13 cos = sin 14 (cos 13 cos 23 cos 12 ) = sin 14 (cos 12 cos 23 cos 13 ) 14 M 13 14 M 14 23 ) 14 M 23 14 M 24 14 M 34 14 M 11 = 2 sin 23 M 22 =0 23 M 33 23 =0 23 (cos 23 cos 24 cos 34 ) 24 49 EK-2 (Devam) Küresel Dörtyüzlü çin Hesaplamalar M 44 = 2 sin 23 (cos cos 23 12 cos 13 ) 23 M 12 = sin 23 (cos 14 cos 34 cos 13 ) = sin 23 (cos 14 cos 24 cos 12 ) = sin 23 (cos 12 cos 34 cos 13 cos = sin 23 (1 cos 2 = sin 23 (cos 13 cos 14 cos 34 ) = sin 23 (cos 12 cos 14 cos 24 ) 23 M 13 23 M 14 24 2 cos 14 cos 23 ) cos 14 cos 23 ) 23 M 23 14 ) 23 M 24 23 M 34 23 M 11 = 2 sin 24 (cos 24 cos 23 cos 34 ) 24 (cos 24 cos 12 cos 14 ) 24 M 22 =0 24 M 33 = 2 sin 24 M 44 =0 24 M 12 = sin 24 (cos 13 cos 34 cos = sin 24 (cos 12 cos 34 2 cos = sin 24 (cos 13 cos 23 cos 12 ) = sin 24 (cos 13 cos 14 cos 34 ) 14 ) 24 M 13 13 24 M 14 24 M 23 24 cos 24 50 EK-2 (Devam) Küresel Dörtyüzlü çin Hesaplamalar M 24 = sin 24 (1 cos 2 = sin 24 (cos 13 ) 24 M 34 cos 12 13 cos 23 ) 24 M 11 = 2 sin 34 cos 34 cos 23 cos 24 = 2sin 34 cos 34 cos 13 cos 14 12 34 M 22 34 M 33 =0 34 M 44 =0 34 M 12 = sin 34 cos 13 cos 24 2 cos = sin 34 cos 12 cos 24 cos 14 = sin 34 cos 12 cos 23 cos 13 = sin 34 cos 12 cos 14 cos 24 = sin 34 cos 12 cos 13 cos 23 = sin 34 (1 cos 2 12 34 M 13 34 M 14 34 M 23 34 M 24 34 M 34 34 ) cos 34 cos 14 cos 23 51 KAYNAKLAR 1. Lobachevski, N.I., “Imaginare geometrie und ihre abwendung auf einige integrale”, Deutsche Übersetzung von H. Liebmann, Leipzig, 21-38, (1904). 2. Schlafli, L., “On the multiple integral. p1 a1 x b1 y ... h1 z 0, p2 0,..., pn Pure Appl. Math. 2, 69–301 (1858). dxdydz , whose limit are 0 and x 2 y 2 ... z 2 1 ”, Q. J. 3. Kneser, H., “Der simplexinhalt in der nichteuklidischen geometrie”, Deutsche Math. 1, 337–340 (1936). 4. Milnor, J., “The Schlafli differential equality”, Collected Papers, 1, Publish or Perish Inc., Houston, 20-250 (1994). 5. Suarez-Peiro, E., “A Schlafli differential formula for simplices in semiRiemannian hyperquadrics, Gauss-Bonnet formulas for simplices in the de Sitter sphere and the dual volume of a hyperbolic simplex”, Pas. J. Math., 194(1): 229-255 (2000). 6. Bartos, P., “Sinusova veta o siplexoch”, En. Casopis Pest. Math., 93: 273– 277 (1968). 7. Erikson, F. “The law of sines for tedrahedra and simplices”, Geom. Dedicata, 7: 71-80 (1978). 8. nternet: Rivin, I., “A multidimensional law of sines”, http://front.math.ucdavis.edu/search?a=Rivin&t=&q=&c=&n=40&s=Listings (2002). 9. Leng, G., Zhang, Y., “The generalized sine theorem and inequalities for simplices”, Linear Algebra Appl., 278: 237-247 (1998). 10. Cho,Y., “Volume of a tetrahedron in terms of dihedral angles and circumradius”, Appl. Math. Lett., 18: 45-47 (2000). 11. Derevnin, D.A., Mednykh, A.D., Pashkevich, M.G., “On volume of a symmetric tedrahedron in hyperbolic and spherical spaces”, Siberian Math. J., 45(5): 840–848 (2004). 12. Karl a, B., Yakut, A.T., “Vertex angles of a simplex in hyperbolic space”, Geom. Dedicata, 120: 49–58 (2006). 52 13. Vinberg, E. B., “Geometry II, Encyclopaedia of Mathematical Sciences”, Springer-Verlag, New York, 4-79 (1993). 14. Kellerhals, R., “On the volume of hyperbolic polyhedra”, Math. Ann., 285, 541–569 (1989). 15. Hsiang,W.Y., “On infinitesimal symmetrization and volume formula for spherical or hyperbolic tetrahedrons”, Q. J. Math. Oxford, 39(2): 463–468 (1988). 16. Cho, Y., Kim, H., “On the volume formula for hyperbolic tetrahedra”, Discret. Comput. Geom., 22: 347–366 (1999). 17. Murakami, J., Yano, M., “On the volume of hyperbolic and spherical tetrahedron”, Comm. Anal. Geom., 13 (2): 379-400 (2005). 18. Murakami, J., Ushijima, A., “A volume formula for hyperbolic tetrahedra in terms of edge lengths”, J. Geom., 83: 153–163 (2005). 19. Derevnin, D. A., Mednykh, A. D., “A formula for the volume of a hyperbolic tetrahedron”, Russian Math. Surveys, 60(2): 346-348 (2005). 20. Mednykh, A. D., Pashkevich, M. G., “Elementary formulas for a hyperbolic tetrahedron”, Siberian Math. J., 47(4): 687-695 (2006). 21. Karl a, B., “Edge matrix of hyperbolic simplices”, Geom. Dedicata, 109: 16 (2004). 22. Yakut, A.T., Savas, M., Kader, S., “On the Schlafli differential formula based on edge lengths of tetrahedron in H n and S n ”, Geom. Dedicata, 138: 99115 (2009). 23. Davydychev A. I. and Delbourgo R. “A geometrical angle on Feynman integrals”, J. Math. Phys., 39: 4299–4334 (1998). 24. Ratcliffe, J.G., “Foundations of hyperbolic manifolds”, Springer-Verlag, Berlin, 15-445 (1994). 25. Hac saliho lu,H.H., “ ki ve üç boyutlu uzaylarda geometriler”, A.Ü.Fen Fakültesi, Ankara, 18-43 (1998). 26. Berger, M., “Geometry I”, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 196-217 (1987). 27. Luo, Feng “Continuity of The Volume of Simplices in Classical Geometry” Commun. Contemp. Math., 8(3): 411-431 (2006). dönü ümler ve 53 28. Guo, R., Luo, F., “Rigidity of polyhedral surfaces”, Geom. Topol., 13(3): 1265-1312 (2009). 29. nternet: Luo, F., “On a Conjecture of Milnor about Volume of Simplexes” http://www.math.rutgers.edu/~fluo/, 1-15 (2007). 30. Prasolov, V. V., “Problems and theorems in linear algebra” Am. Math. Soc., Providence, 45-83 (1994). 31. Davydychev A. I. and Delbourgo R., “Geometrical Approach To The Evaluation Of Multileg Feynman Diagrams”, Acta Physica Polonica B, 29(10), 2891-2899 (1998). 54 ÖZGEÇM Ki isel Bilgiler Soyad , ad : SAVA , Murat Uyru u : T.C. Do um tarihi ve yeri : 11.04.1981 Sivas/ ark la Medeni hali : Evli Telefon : 0 (312) 202 1081 Faks : 0 (312) 202 1079 e-mail : msavas@gazi.edu.tr itim Derece E itim Birimi Mezuniyet tarihi Yüksek lisans Gazi Üniversitesi / Matematik Bölümü 2004 Lisans Ni de Üniversitesi/ Matematik Bölümü 2001 Lise Mersin 19 may s Lisesi 1997 Deneyimi l Yer Görev 2002- … Gazi Üniversitesi Ara rma Görevlisi 2001-2002 Konya Matematik Ö retmeni Yabanc Dil ngilizce Yay nlar 1. Yakut, A.T., Savas, M., Kader, S., “On the Schlafli differential formula based on edge lengths of tetrahedron in H n and (2009). S n ”, Geom. Dedicata, 138: 99-115 55 2. Karl a, B., Savas, M., "On space analogues of the Euclid's theorems for a right triangle", F. University Journal of Science and Engineering, 16(3): 457-463, (2004) Sunumlar 1. Karl a, B., Savas, M., “Area formulas for hyperbolic and spherical triangles depending on edge lengths”, Departmental Seminar, Gazi University, 2006. 2. Karl a, B., Savas, M., “Schlafli differential formula depending on edge lengths for symmetric tetrahedron in H 3 and S 3 ”, XVIII. National Mathematics Symposium, University of Kültür, Istanbul, 2005. 3. Karl a, B., Savas, M., "On the volume of a symmetric tetrahedron in hyperbolic and spherical spaces", III. Geometry Congress, University of Osmangazi, Eskisehir, 2005. 4. Karl a, B., Savas, M., "Coordinate transformations for the volume of simplices in semi-Euclidean space", II. Geometry Congress, University of Sakarya, Sakarya, 2004. 5. Karl a, B., Savas, M., "On space analogues of the euclid's theorems for a right triangle", I. Geometry Congress, University of Firat, Elazig, 2003. Kitaplar 1. Mathematics Books for Primary School 1-2-3-4(Lessons Books-with Commission), Ayd n Publishing, Ankara, 2005. 2. Mathematics Books for Primary School 1-2-3-4(Work Books-with Commission), Ayd n Publishing, Ankara, 2005. 3. Mathematics Books for Primary School Commission), Ayd n Publishing, Ankara, 2005. 1-2-3-4(Teacher Books-with 56 Editörlük 1. International Workshop: Innovative Approaches to University & Small and Medium Enterprises (SMEs) Cooperation-2009, Siauliai/Lithuania. 2. International Workshop: University-Industry Cooperation on The Employment2009, Ankara/Turkey. 3. UniKOBI Project International Final Conference-2009, Ankara/Turkey. Organizasyon Komitesi Üyelikleri 1. International Workshop: Innovative Approaches to University & Small and Medium Enterprises (SMEs) Cooperation-2009, Siauliai/Lithuania. 2. International Workshop: University-Industry Cooperation on The Employment2009, Ankara/Turkey. 3. UniKOBI Project International Final Conference-2009, Ankara/Turkey. Hobiler Futbol, müzik, satranç.
