İstatistik ve Olasılığa Giriş İstatistik ve Olasılığa Giriş Olasılık Nedir

İstatistik ve Olasılığa Giriş
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
İstatistik ve Olasılığa Giriş
Konu 2
Olasılık
Some graphic screen captures from Seeing Statistics ®
Some images © 2001-(current year) www.arttoday.com
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Olasılık Nedir?
Nedir?
• Önceki konumuzda genellikle örneklerdeki
verileri belirtmek için grafikler veya sayısal
ölçüm araçları kullanmıştık.
• “hangi sıklıkta” olduğunu:
Oransal frekans = f/n
• n büyüdükçe,
Örnek
Ve “Nekadar sıklıkla”
= Oransal Frekans
Yığın
Olasılık
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
1
Temel Bilgiler
• Deney (experiment
(experiment)) gözlemlerin elde
edilme sürecidir.
•
•
•
•
Deney: Top çekme
Deney:
Deney : Zar atılması.
Deney : Fikirlerin kaydı (evet
evet,, hayır)
hayır)
Deney : İki zar atılması
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Temel Bilgiler
• Tek olay (simple event
event)) tek bir seferde elde
edilen deneyden elde edilen sonuçtur.
• Olasılığın
ğ uygulandığı
yg
ğ temel elemanlar:
– Herhangi bir deney yapıldıktan sonra sadece
ve sadece tek bir olay elde edilir.
• Tek olay genellikle E ile gösterilir.
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Teme Bilgiler
• Her bir tek olayın “hangi sıklıkta” olduğu
olasılık ile temsil edilir.
• Tüm tek olayların oluşturduğu kümeye
Örnek Uzay denir.
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
2
Örnek :
• Zar atıldığı zaman:
• Basit olay:
Örnek Uzay:
1
E1
2
E2
3
E3
4
E4
5
E5
6
E6
S ={E1, E2, E3, E4, E5, E6}
•E1
S
•E3
•E5
•E2
•E4
•E6
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Temel Tanımlar
•Bir zar atımında:
–A: Tek sayı olması
–B: sayı > 2
•E1
A
•E2
S
•E3
•E5
•E4
B
•E6
A ={E1, E3, E5}
B ={E3, E4, E5, E6}
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Temel Tanımlar
• Eğer bir olay gerçekleşirken diğer olay
gerçekleşmiyorsa bu iki olay ayrık
olaylar denir.
•Deney
Deney:: Zar atımında
Ayrık Değil
–A: tek sayı olması
–B: 2 den büyük olması
–C: 6 gelmesi
B ve C?
Ayrık
–D: 3 gelmesi
B ve D?
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
3
Bir olayın Olasılığı
• Bir olayın olasılığı hangi sıklıkta oluşması ile ölçülür.
Bunu P(A) olarak gösteririz.
• Bir A olayının n kez geçekleştiğini varsayarsak;
ş ğ
ggibi ifade edilebilir.
Olasılık aşağıdaki
P ( A) =
A nin OLUSMA SIKLIGI
n
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Bir olayın Olasılığı
• P(A) 0 la 1 arasında bir sayıdır.
– Eğer bir olayın oluşma imkanı yoksa,
P(A) = 0. Eğer bir olayın oluşumu
kesinse, P(A) =1
1.
• Tüm basit olayayların toplamı her zaman
1’e eşittir .
•Herhangi bir A olayının olma olasılığı o
olayı oluşturan basit olayların olasılılarının
toplamına eşittir.
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Olasılı Hesabı
•Örnek :
– Madeni Para Atıldığında P(Tura) = 1/2
–Türk toplumunun %10’u sarı saçlıdır. Seçilen
P(sarı saçlı) = 0.10
bir kişinin
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
4
Örnek :
• Adil bir madeni para iki kez atılırsa en az
bir kez yazı gelme olasılığı nedir?
1ci para
2ci para
Y
T
Ei
P(Ei)
Y
YY
1/4
P(en az 1 tane yazı)
T
YT
1/4
= P(E1) + P(E2) + P(E3)
Y
TY
1/4
= 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
T
TT
1/4
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Örnek :
• Bir kutuda üç renk top vardır. Bunlar, kırmızı
mavi ve yeşildir. Kutudan iki tane rastgele top
çekilirse, bir tanesinin kırmızı olma olasılığı
nedir.?
1ci cekiliş
m
2ci cekiliş
m
Ei
P(Ei)
KM
1/6
m
KY
1/6 P( 1 KIRMIZI)
MK
1/6 = P(KM) + P(MK)+
P(KY) + P(YK)
1/6
= 4/6 = 2/3
1/6
m
m
m
m
MY
m
YM
m
YK
1/6
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Hesaplama Kuralı
• Eğer bir denemedeki olayların olma
olasılıkları eşitse, aşağıdaki hesaplama
formülü kullanılabilir
P( A) =
n A A daki basit olaylarin sayisi
=
N
toplam olaylarin sayisi
• nA ve N i bulmak için hesaplama kuralı
kullanılır.
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
5
Çarpım Kuralı
• Eğer yapılan ilk denmede m ve ikinci
denemede n tane olasılık varsa toplam
mn olası sonuç bulunur.
• Bu kural k tane olay için genişletilebilir.
n1 n2 n3 … nk
Örnek : İki tane madeni para atıldığında toplam
kaç değişik sonuç oluşur.
2×2=4
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Örnek :
m
m
Örnek : Üç tane madeni para atıldığında toplam kaç
değişik sonuç oluşur.
2×2×2=8
Örnek : İki tane zar atıldığında toplam kaç değişik
6 × 6 = 36
sonuç oluşur.
oluşur
Örnek : İki tane Kırmızı ve iki tane mavi topun
bulunduğu torbadan iki tane top çekilirse toplam kaç
değişik sonuç olabilir.
4 × 3 = 12
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Permütasyon
Perm
ütasyon
n değişik nesneden r tane nesne
secilirse toplam değişik hal durumu:
n!
(n − r ))!
n!= n(n − 1)(n − 2)...(2)(1) ve 0!≡ 1.
Prn =
Örnek : 1, 2, 3, ve 4 sayılarından oluşacak 3
rakamlı kaç farklı şifre oluşturulabilir.
Sıralama Önemli
P34 =
4!
= 4(3)(2) = 24
1Copyright
! ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
6
Örnek :
Örnek : Bir kilit 5 parçadan oluşmaktadır ve
bakımı istenilen sıra ile yapılabilmektedir. Bu
saate yapılacak bakım kaç değişik şekilde
yapılabilir?
Sıralama önemli!
P55 =
5!
= 5(4)(3)(2)(1) = 120
0!
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Kombinasyon
• n farklı nesnenin r farklı kombinasyonu:
Crn =
n!
r!(n − r )!
Örnek : 5 kişinin bulunduğu bir guruptan üç kişilik bir
komite seçilirse kaç farklı seçim yapılabilir.
Sıralama
önemli değil!
C35 =
5!
5(4)(3)(2)1 5( 4)
=
=
= 10
3!(5 − 3)! 3( 2)(1)(2)1 (2)1
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Örnek :
m
m m
m mm
• Bir kutuluda altı tane top bulunmaktadır.
Bunlardan , dört tanesi kırmızı iki tanesi yeşildir. İki
tane top seçilirse bunlardan sadece bir tanesinin
kırmızı olma olasılığı nedir.?
Sıralama
önemli değil !
4!
=4
1!3!
1 kirmizi secilmesi
C14 =
6! 6(5)
=
= 15
2!4! 2(1)
2 tane secme
C26 =
4 × 2 =8 1 yeşil ve 1
kırmızı seçilesi.
2!
=2
1!1!
1 yesil secilmesi
C12 =
P( sadece 1
kırmızı) =
8/15
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
7
Olayların İlişkisi
• Bileşik Olay bir deneyde sadece bir olayın
veya diğer olayın veya her iki olayın da aynı
anda görülmesidir.
A∪B
S
A∪ B
A
B
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Olayların İlişkisi
• İki olayın kesişimi, A ve B olaylarının,
yapılan deneyde her ikisinin de birlikte
gerçekleşmesi durumudur. A ∩ B.
S
A∩ B
A
B
• Eğer iki olay ayrık ise, o zaman P(A ∩ B) =
0.
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Olayların İlişkisi
• Bir olayın tümleyeni o olayın dışında olan
tüm olaylardır. AC.
S
AC
A
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
8
Örnek :
• Sınıftan seçilen öğrencilerin
saç renkleri ve cinsiyetleri kaydedilmiştir.
– A: öğrenci kahverengi saçlıdır.
– B: öğrenci bayandır.
bayandır
C
– C: öğrenci erkektir. Tam bağımsız olay; B = C
•B ve C arasındaki ilişki nedir?
•AC: Öğrenci kahverengi saçlı değildir.
•B∩C: Öğrenci hem erkek hem de bayandır = ∅
•B∪C: Ö. ya erkek yada bayandır = tüm öğrenciler = S
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Birleşim ve Tümleyen için
Olasılık Hesabı
• Birleşik olayları hesaplamanın özel bir yöntemi:
• Birlesim için toplama kuralı.
• Herhangi iki A ve B,
B olayları için bileşimin
olasılığı, P(A ∪ B),
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
A
B
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Örnek : Toplama Kuralı
Örnek : Bir sınıfta 120 öğrenci vardır .
Dağılım aşağıdaki gibidir.
A: Kahverengi Saç
P(A) = 50/120
B: Bayan
P(B) = 60/120
Erkek
Kahve Kahverengi
rengii
olmayan
l
20
40
Bayan
30
30
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 50/120 + 60/120 - 30/120
= 80/120 = 2/3
Kontrol: P(A∪B)
= (20
+ 30
+ Brooks/Cole
30)/120
Copyright
©2006
A division of Thomson Learning, Inc.
9
Özel bir durum
İki olay A ve B tam bağımsız
olaylar ise, P(A∩B) = 0
ve P(A∪B) = P(A) + P(B).
kahver Kahverengi
A: Kahverengi saçlı erkek
engii
olmayan
l
P(A) = 20/120
40
B: kahverengi saçlı bayan Erkek 20
P(B) = 30/120
Bayan 30
30
P(A∪B)
=
P(A)
+ P(B)
A ve B ayrık iki olay
= 20/120 + 30/120
= 50/120
olsun
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
AC
Tümleyenin Hesabı
A
• Herhangi bir A olayı için:
için:
C
P(A ∩ A ) = 0
• A veya AC olayının gerçekleşmesi kesin
olduğundan,
P(A ∪ AC) =1
•
P(A ∪ AC) = P(A)+ P(AC) = 1
P(AC) = 1 – P(A)
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Örnek :
Bir sınıftan rast gele seçilen bir
öğrencinin.
A: Erkek
P(A) = 60/120
B: Bayan
A ve B tümleyen
olduğundan
Erkek
Kahve
rengii
20
Kahveregi
olmayan
l
40
Bayan
30
30
P(B) = 1- P(A)
= 1- 60/120 = 40/120
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
10
Şartlı olasılık
Bir B olayının olması koşulu ile başka
bir A olayının olma olasılığına denir:
P( A | B) =
P( A ∩ B)
P( B)
P( B) ≠ 0
“verilen
koşul”
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Örnek : 1
• Madeni para iki kez atılıyor
– A: ikinci atışta tura gelmesi
B: ilk atımda Tura gelmesi
P(A|B) = ½
TT
1/4
YT
1/4
YY
P(A| B olmama) = ½
1/4
TY
1/4
B’nin
gerçekleşmesi
durumunda
P(A)’nın değeri
değişmeyecektir.
A ve B
Bağımsızdır!
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Örnek : 2
• Bir kutuda 2 kırmızı ve 3 mavi top
bulunmaktadır. Rastgele seçilen iki toptan
– A: ikinci topun kırmızı
– B: ilk topun mavi olması
P(A|B) =P(2 ci kırmızı|1ci mavi)= 2/4 = 1/2
m
m
m
m
P(A| B olmama) = P(2 ci Kırmızı |1ci kırmızı ) = 1/4
m
B’nin olması veya
olmaması
durumunda P(A)
değişmektedir…
A ve B
bağımlıdırlar!
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
11
Bağımsız olaylar…
Bağımsızlık olayını koşullu olasılık
cinsiden verebiliriz.
İki olay A ve B bağımsız iolabilmesi için yeter
ve gerek şart
P(A||B) = P(A) veya P(B|A) = P(B)
P(A
Olmasıdır. Değilse olaylar bağımlıdır.
bağımlıdır
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Kesişim için Kural
• Herhangi iki olay, A ve B, için her ikisinin
de olma olasılığı
P(A ∩ B) = P(A) P(B olamsı durumunda A nın olması)
= P(A)P(B|A)
• Eğer A ve B bağımsız olaylar ise, A ve B
nin olma olasılığı.
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Örnek : 1
Bir okulda öğrenme bozukluğu olan öğrenciler okulun
% 10 dur. Bu okulda 3 kişi seçilirse sadece birinin
öğrenme bozukluğu olma olasılığı nedir.
B: Öğrenme
Ö
bbozukluğu
kl
N: normall
P(Sadece bir Ö.B) = P(BNN) + P(NBN) + P(NNB)
= P(B)P(N)P(N) + P(N)P(B)P(N) + P(N)P(N)P(B)
= (0.1)(0.9)(0.9) + (0.9)(0.1)(0.9) + (0.9)(0.9)(0.1)
= 3(0.1)(0.9)2 = 0.243
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
12
Örnek : 2
Bu okuldaki bayan öğrencilerin oranının % 49
olduğu bilindiğine göre ve bayan öğrencilerin öğrenme
bozuklukları % 8 olduğuna göre seçilen bir öğrencinin
öğrenim bozukluğu olan bir bayan olma olasılığı nedir?
B: Öğrenim
Ö
i bozukluğu
b kl
F: Bayan
Önceki örnekten :, P(F) = 0.49 ve P(B|F) = 0.08.
Kuralı Kullanırsak:
P(Ö.B Bayan) = P(H∩F)
= P(F)P(B|F) =0.49(0.08) = 0.0392
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Random Variables
• A quantitative variable x is a random variable if
the value that it assumes, corresponding to the
outcome of an experiment is a chance or random
event.
• Random variables can be discrete or
continuous.
ti
• Örnek :s:
9x = SAT score for a randomly selected student
9x = number of people in a room at a randomly
selected time of day
9x = number on the upper face of a randomly
tossed die
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
Probability Distributions for
Discrete Random Variables
• The probability distribution for a
discrete random variable x resembles
the relative frequency distributions we
constructed in Chapter 1. It is a graph,
table or formula that gives the possible
values of x and the probability p(x)
associated with each value.
We must have
0 ≤ p ( x) ≤ 1 and ∑ p ( x) = 1
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
13
Örnek :
• Toss a fair coin three times and
define x = number of heads.
HHH
HHT
HTH
THH
x
1/8
3
1/8
2
1/8
2
1/8
2
1/8
1
THT
1/8
1
TTH
1/8
1
TTT
1/8
0
HTT
P(x = 0) =
P(x = 1) =
( = 2)) =
P(x
P(x = 3) =
1/8
3/8
3/8
1/8
x
0
p(x)
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
Probability
Histogram for x
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
14