REEL SAYILAR

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Farkı
Rasyonel Sayı: a, b
Z ve b≠0 olmak üzere
şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel
denir.
a
b
sayı
Rasyonel sayıların oluşturduğu küme Q
(QuotientOran) ile gösterilir.
İrrasyonel Sayı: İrrasyonel sayı rasyonel olmayan sayı
anlamına gelir.
Bu anlamda:
a, b
Z ve b≠0 olmak üzere
a
b
şeklinde yazılamayan sayılara İrrasyonel sayı
denir.
Her rasyonel sayıya karşılık
gelen bir devirli ondalık açılım
mutlaka vardır.
İrrasyonel sayılar
kümesi Qı ile gösterilir.
Örnek: 3,574
2,14
Q
Q
Verilen sayıları a, b
Z ve b≠0 olmak üzere
şeklinde yazmak istersek;
3,574=3,574 x
3574
1000
1000
=
1000
a
b
2,14=2,14141414… = x olsun.
21
, 414141414… = x100x
Burada; 2,14=x iken;
214,14=100x oldu
Şimdi elde edilen verileri alt alta yazıp taraf tarafa
çıkarma yaptığımızda:
212
214,14=100x
2,14=
x
212,0 = 99x
= 99x
99
99
212
x
99

Burada taraf tarafa çıkardığımızda devreden
sayının 0 olması amacıyla virgülden sonrası
sadece devirli olan ve devredeni aynı olan
iki sayı elde ettik.
2,14
214,14
Bu amaçla yeni sayılar elde etmek için genişletme
kullanıldığına dikkat edelim.
Örnek: 2,83 açılımını rasyonel sayı şeklinde
yazalım.
Örnek: 1, 7
yazalım.
açılımını rasyonel sayı şeklinde
Her rasyonel sayıya karşılık
gelen bir devirli ondalık açılım
mutlaka vardır.
Örnek: 1,565758596061… açılımını rasyonel sayı
şeklinde yazalım.
Burada verilen açılımın devirli bir açılım olmadığı
görülmektedir. Yani bu açılım rasyonel sayı olarak
yazılamaz.
1,565758596061...  Q
ı
Bir Tam Sayının Negatif Kuvvetini Bulma
ÖNCELİKLE ÜSLÜ SAYILARLA YAPILAN İŞLEMLERİ ELE ALALIM
TIKLAYINIZ

ETKİNLİK:Üslü sayılarla bölme yapalım.
•
Tabanları aynı üsleri 2 ile 10 arasında
olan iki üslü sayı alalım.
ab
ac
•
Bu üslü sayıları
yazalım.
(b>c) şeklinde
•
Her bir üslü sayıyı tekrarlı çarpım
şeklinde açık ifade edelim.
•
Şimdi elimizdeki ifadede
sadeleştirmeleri yapalım.
•
Elde edilen sonucu üslü olarak
yazalım.
Etkinlikte istenenleri sırasıyla yerine getirelim:
2
7
2
4
2
2.2.2.2.2.2.2
2.2.2
2.2.2.2
3
Bu etkinlikte gördük ki:
Tabanları eşit olan iki üslü
sayıdan biri diğerine bölünürken,
bölünenin üssünden bölenin üssü
çıkarılır.

•
ETKİNLİK: Bir üslü sayıyı iki üslü sayının
bölümü şeklinde yazalım.
Kuvveti 2 ile 10 arasında olan bir üslü sayı alalım.
•
Bu sayının üssünü iki doğal sayının farkı şeklinde
yazalım.
•
Kuvvetteki fark işleminden yararlanarak ifadeyi bölme
işlemi şeklinde yazalım.
Etkinlikte istenenleri sırasıyla yerine getirelim:
5
= 7- 2
2
2
7
=
2
2
2
Örnek:
7
2 9
3 3
2
3
3.3
 9 
3
3.3.3.3.3.3.3.3.3
1 1
 7  
3 3
7
Örnekten de görüldüğü gibi bir tam sayının negatif kuvveti alınırken
tabandaki sayının çarpma işlemine göre tersi alınıp kuvvet pozitif
yapılır. Aynı durum rasyonel sayıların tümü için geçerlidir.
Ondalık Kesirlerin veya Rasyonel
Sayıların Kuvveti
Öncelikle rasyonel sayıların kuvvetini ele alalım.
a
 Q olmak üzere;
b
n tan e



n
n
a
a
a
a
a
.
a
.....
a
a
 
 n olur.
     ...  
b
b
b b
.b
.....
b 
b b
n tan e
n tan e
n
a
a
Yani    n ' dir.
b
b
n
4
2
16
2
Örnek:    4 
3
81
3
2
Örnek:
5
  ?
7
3
Örnek:
2
  ?
5
4
Şimdi ondalık sayıların kuvvetini ele
alalım
Bir ondalık sayının kuvveti istendiğinde, öncelikle verilen
ondalık sayıyı rasyonel hale getirirsek kuvvet almamız daha
kolay olur.
Örnekler:
1.)
2.)
2
2
3
3
9
 
2
0,3     2 
 0,09
100
 10  10
1, 2
2
?
Sayıların Bilimsel Gösterimi
GÜNEŞ
AY
384403 km
DÜNYA
150000000 km
Şekilde bir DNA modeli görülmektedir.
Yapılan araştırmalar DNA’nın genişliğinin:2,4 nanometre civarında
olduğunu göstermektedir.
1 nanometre 1 milimetrenin milyonda biridir. Yani elimizdeki bir DNA’nın
kaç milimetre olduğunu bulmak için 2,4’ü 1000000’a bölmek gerekir sonuç
olarak:
2,4
DNA’nın genişliği=
mm
1000000
Bilimsel çalışmalarda bazen çok büyük ya da çok küçük
sayılarla işlemler yapmak gerekebilir. Böyle bir durumda
işlemlerde kolaylık sağlaması açısından sayıların bilimsel
gösteriminden yararlanılır.
a  R ve 1  a  10 ise, n  Z olmak üzere;
a.10 şeklindeki gösterim bilimsel gösterimdi r.
n
Şu ana kadar gördüğümüz çok büyük ve çok küçük
sayıları bilimsel olarak gösterelim.
Dünya ile Güneşin arasındaki mesafe 150000000 km.
 1,5.100000000


 1,5.10
8 tane
DNA’nın genişliği
2,4
1000000
mm.
2,4
2,4

 6  2,4.10 6
1000000
 10
6 tane
8
Örnekler:
35000000000  ?
2.) 0,75  ?
3.) 0,0035  ?
5
13
4.) 7,2.10
1,3.10  ?
5
8
5.)
3,2.10  1,6.10   ?
1.)