Prof. Dr. Özcan Kalenderli 7 SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Sayısal integrasyon veya integral alma işlemi, analitik olarak bir integralin alınmasının çok zor veya olanaksız olduğu durumlarda veya bir işlevin değerlerinin sadece belirli noktalarda bilinmesi durumlarında önem kazanır. Ayrıca integrasyon işlemlerini içeren veya gerektiren problemlerin bilgisayarla çözümünde kullanılan programlarda sayısal integrasyon yöntemlerinin kullanılması kaçınılmazdır. Gerçekte analitik integral, sayısal integrale göre çözülebilme kolaylığı ve sonucunun kesinliği ile üstünlük gösterir. Uzunluk, alan, hacim, enerji, ... gibi pekçok büyüklüğün hesabında tek ve çok katlı integrasyondan yararlanılır. Bu bölümde bu gibi amaçlar için kullanılabilecek tek ve çok katlı belirli integrallerin sayısal çözüm yöntemleri açıklanmıştır. Genel olarak bir f(x) işlevinin a x b aralığındaki belirli integrali I, b I f(x) dx (7.1) a şeklinde gösterilir. Buna tek katlı belirli integral denir. Bu integrasyon işlemi ile, Şekil 7.1'de gösterildiği gibi geometrik olarak, integrali hesaplanan f(x) eğrisinin altında kalan a x b aralığındaki taralı alan hesaplanmış olur. f(x) b I f(x) dx f(x) a f(x) f(x) b I f(x) dx a a b x a b x Şekil 7.1. İntegral hesabı Şekil 7.1'deki taralı alanın dolayısıyla integralin hesabında genellikle a x b aralığı, Şekil 7.2'deki gibi, x kalınlığında n dilime bölünür. Bu hesapta x kalınlığı x b a n (7.2) olur. Burada a integralin alt sınır değeri, b üst sınır değeri ve n dilim sayısıdır. Eğer x dilim kalınlığı biliniyorsa n dilim sayısı n b a x (7.3) işlemi ile hesaplanır. İntegral hesabı bu ayrıklaştırma işlemi ile, dilimlerin alanlarının tek tek, ikişer dilimli, üçer dilimli, ... hesabına dönüşmüş olur. Bu şekilde hesaplanan alanlar toplanarak toplam alan veya integralin değeri hesaplanır. Prof. Dr. Özcan Kalenderli SAYISAL YÖNTEMLER 2 f(x) f(x) x a b x Şekil 7.2. İntegral hesabında dilimleme (ayrıklaştırma) Dilimlerin alanlarının veya integralin hesabında bir nokta, iki nokta, üç nokta ve dört nokta yaklaşımları yaygın olarak kullanılan yaklaşımlardır. 7.1. Bir Nokta Yaklaşımı (Dikdörtgen Yöntemi) Bir nokta yaklaşımında veya dikdörtgen yönteminde, Şekil 7.3'ten de görüleceği gibi, x = a için f(a) noktasından x eksenine paralel doğru çizilerek birinci dikdörtgen dilim elde edilir. x = a + x için f(a + x) noktasından da x eksenine paralel doğru çizilerek ikinci dikdörtgen dilim elde edilir. Bu şekilde devam edilerek her noktadan x eksenine paralel doğrular çizilir ve dikdörtgen dilimler elde edilir. İntegralin değeri, bu dikdörtgen dilimlerin alanlarının toplamına yaklaşık eşittir. f(x) f(x) f(xj) x a b x Şekil 7.3. Bir nokta yaklaşımı (dikdörtgen yöntemi) x xj xj+1 Dikdörtgen Sj = xj.f(xj) Eğer dilimler farklı x kalınlıklarında ise integral b n n I f(x) dx x j f(x j) S j a j1 (7.4) j1 olur. Genelde dilimler eşit x kalınlıklarında olur. Bu durumda integral b n I f(x) dx x f(x j) a j1 olur. Bu denklemde n dilim sayısı, x = (b - a)/n dir. (7.5) Prof. Dr. Özcan Kalenderli SAYISAL YÖNTEMLER 3 7.2. İki Nokta Yaklaşımı (Yamuk (Trapez) Yöntemi) Yamuk yöntemi olarak tanınan iki nokta yaklaşımında birbiri ardından gelen her iki nokta bir doğru ile birleştirilerek Şekil 7.4'teki gibi yamuk şekilli dilimler elde edilir. Böylece integral, yamukların alanlarının toplamına dönüştürülmüş olur. f(xj+1) f(x) f(x) x a b f(xj) x xj xj+1 Yamuk x Sj = (x/2). [f(xj)+ f(xj+1)] Şekil 7.4. İki nokta yaklaşımı (yamuk yöntemi) Yamuğun alanı, paralel kenarlarının uzunluklarının toplamının bu iki kenar arasındaki uzaklığın yarısı ile çarpımına eşittir. Şekil 7.5'te, yamuk yöntemi integrasyon bağıntısını elde etmek için Şekil 7.4'ten iki dilim ayrı olarak büyütülerek yeniden çizilmiştir. f(x) fj-1 fj x xj-1 fj+1 f(x) x xj x xj+1 Şekil 7.5. İki yamuk dilimi Şekil 7.5'ten herbir dilim için xj x j1 f(x) dx x j1 x j f(x) dx x (f f ) 2 j1 j x (f f ) 2 j j1 yazılır. İki dilim için x j1 xj x j1 x j1 f(x) dx x j1 f(x) dx x j f(x) dx x x (f j1 f j) (f f ) 2 2 j j1 Prof. Dr. Özcan Kalenderli SAYISAL YÖNTEMLER 4 x (f 2f j f j1) 2 j1 bulunur. Bu eşitlik genelleştirilecek olursa, bir f(x) işlevinin yamuk yöntemine göre a x b aralığındaki sayısal integrasyon eşitliği b I f(x) dx a x f(a) 2f(a x) 2f(a 2 x) 2 f(a (n 1) x) f(b) (7.6) 2 veya n 1 x I f(x) dx f(a) f(b) 2 f(a j x) a 2 j1 b (7.7) elde edilir. Burada n dilim sayısıdır. Dilim kalınlığı ise x b a n olur. Genel olarak integral konusunu geometrik olarak anlamak kolay olmakla beraber, yöntemin, sonucun doğruluğu ve bunun iyileştirilmesi için yapılması gerekenler hakkında bilgi vermez. Ancak görüldüğü gibi, x dilim kalınlığı küçük veya n dilim sayısı büyük seçildikçe integrasyon sonucunun doğruluğu artmaktadır. Yamuk yönteminde yöntemin hatasını azaltmak veya doğruluğunu arttırmak için uç düzeltmesi adı verilen işlem yapılır. Buna göre uç düzeltmeli yamuk yöntemi bağıntısı, b I f(x) dx a n 1 ( x) 2 x [f (b) f (a)] f(a) f(b) 2 f(a j x) 2 12 j1 olur. Burada son terime uç düzeltmesi terimi denir. Sayısal örnek 7.1: b I (3 x3 2 x 2 5) dx integralini x = 0,5 alarak a a) Yamuk ve b) Uç düzeltmeli yamuk yöntemleri ile hesaplayınız. İntegrali analitik çözümü: b I (3 x3 2 x 2 5) dx a Yamuk yöntemi ile çözüm: a = 0, b = 3, x = 0,5 3 4 2 3 x x 5x 4 3 3 0 93,75 (7.8) Prof. Dr. Özcan Kalenderli n SAYISAL YÖNTEMLER 5 b a 3 0 6 x 0,5 I 615 0,5 f(0) f(3) 2 f(0 j 0,5) 2 j1 I 0,25f(0) f(3) 2[f(0,5) f(1) f(1,5) f(2) f(2,5)] I 0,25 5 104 2[5,875 10 19,625 37 64,375] 95,6875 Hata = 95,6875 93,75 1,9375 Uç düzeltmeli yamuk yöntemi ile çözüm: f(x) 3 x3 2 x 2 5 f' (x) 9 x 2 4 x Iucd I (0,5)2 3 (9 x 2 4 x 0 ) 93,75 12 Hata = 93,75 93,75 0 7.3. Üç ve Dört Nokta Yaklaşımları (Simpson Yöntemi) 7.3.1 Üç Nokta Yaklaşımı (1/3 Simpson Yöntemi) Bu yöntemde çözüm aralığı çift sayıda n dilim sayısına bölündükten sonra herbir iki dilime ilişkin üç noktadan geçen eğrinin altındaki alan yani integral hesaplanır. Buna göre 1/3 Simpson kuralı veya iki dilim için Simpson kuralı Ij X j1 x j1 1 f(x) dx x (f j14 f j f j1) 3 (7.9) yazılır. Genel olarak 1/3 Simpson integrasyon bağıntısı veya diğer bilinen adıyla ikişer dilimli integrasyon bağıntısı I b a n 1 n 2 x f(x) dx f(a) f(b) 4 f(a j x) 2 f(a j x) 3 j1 j 2 j tek j çift (7.10) olur. Burada da x b a n (7.11) olup integral aralığı çift sayıda dilime bölünmüş olmalıdır, yani n dilim sayısı çift sayı olmalıdır. Prof. Dr. Özcan Kalenderli SAYISAL YÖNTEMLER 6 Sayısal örnek 7.2: I / 4 0 sin 2x dx integralini 1/3 Simpson yöntemi ile n = 8 alarak hesaplayınız. cos 2x 0 b a 4 a = 0, b = /4, x n 8 32 81 8 2 / 32 I f(0) f( / 4) 4 f(0 j ) 2 f(0 j ) 3 32 32 j1 j 2 j tek j çift I sin 2 ( / 32) sin 2 (3 / 32) sin 2 (5 / 32) sin 2 (7 / 32) f(0) f( / 4) 4 2 2 2 2 96 cos ( / 32) cos (3 / 32) cos (5 / 32) cos (7 / 32) sin 2 (2 / 32) sin 2 (4 / 32) sin 2 (6 / 32) 2 2 2 2 cos (2 / 32) cos (4 / 32) cos (6 / 32) 0 1 4 (0,00970 0,09202 0,28570 0,67351) 2 (0,03956 0,17157 0,44646) 96 I I 0,21464 İntegralin analitik değeri: I / 4 0 = / 4 / 4 sin 2 x dx tan 2 x dx (sec 2 1) dx 2 0 0 cos x / 4 0 sec 2 x dx / 4 0 / 4 x dx tan x x 0 0,21460 Hata = 0,21460 0,21464 0,00004 Sayısal örnek 7.3: 3 I ex dx integralini 1/3 Simpson yöntemi ile x = 0,5 ve x = 0,25 alarak hesaplayınız. 0 a = 0, b = 3, x = 0,5 için n b a 3 0 6 x 0,5 I 0,5 f(0) f(3) 4[f(0,5) f(1,5) f(2,5)] 2[f(1,0) f(2,0)] 19,092 3 3 İntegralin analitik değeri, I = ex e3 1 19,08554 0 Hata = 19,092 19,08554 0,00646 a = 0, b = 3, x = 0,5 için Prof. Dr. Özcan Kalenderli SAYISAL YÖNTEMLER n I 7 b a 3 0 12 x 0,25 0,5 f(0) f(3) 4[f(0,25) f(0,75) f(1,25) f(1,75) f(2,25) f(2,75)] 3 2[f(0,5) f(1,0) f(1,5) f(2,0) f(2,5)] 19,086 3 İntegralin analitik değeri, I = ex e3 1 19,08554 0 Hata = 19,086 19,08554 0,00046 7.3.2 Dört Nokta Yaklaşımı (3/8 Simpson Yöntemi) Bu yöntemde çözüm aralığı üç ve üçün katı sayıda n dilim sayısına bölündükten sonra herbir üç dilime ilişkin dört noktadan geçen eğrinin altındaki alan yani integral hesaplanır. Buna göre 3/8 Simpson kuralı veya üçer dilim için Simpson kuralı Ij X j 2 x j1 3 f(x) dx x (f j1 3 f j 3 f j1 f j2 ) 8 (7.12) yazılır. Genel olarak 3/8 Simpson integrasyon bağıntısı veya diğer bilinen adıyla üçer dilimli integrasyon bağıntısı I b a n 1 n 3 3 f(x) dx x f(a) f(b) 3 f(a j x) 2 f(a j x) 8 j1 j3 j1,2,4,5,7,8,... j3,6,9,... (7.13) olur. f x p x ax 3 bx 2 cx d 3 2 3 3 3 3 x j1 x f j1 f x j1 p x j1 a x b x c x d 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1 x j x f j f x j p x j a x b x c x d 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1 x j1 x f j1 f x j1 p x j1 a x b x c x d 2 2 2 2 3 x j 2 2 3 3 3 3 x f j 2 f x j 2 p x j 2 a x b x c x d 2 2 2 2 Prof. Dr. Özcan Kalenderli 3 x j2 x 2 p x dx 3 x j1 x 2 SAYISAL YÖNTEMLER 3 x j2 x 2 ax 3 3 x j1 x 2 8 3 x j2 x 2 1 1 1 bx 2 cx d dx ax 4 bx 3 cx 2 dx 3 2 4 x j1 3 x 2 b d 1 4 x 2 f j1 9 b x 3 3d x 4 f j f j1 f j 2 1 f j1 9f j 9f j1 f j2 16 3 I j x f j1 3f j 3f j1 f j 2 8 n 1 n 3 3 I f x dx x f a f b 3 f a j x 2 f a j x 8 j1 j 3 a 1,2,4,5, 3,6,9, b Sayısal örnek 7.4: I 3 1 x 2 dx integralini 3/8 Simpson yöntemi ile n = 9 alarak hesaplayınız. 2 x 3 a = -1, b = 3, x b a 3 (1) 4 0,4444 n 9 9 91 93 3 I 0,4444f(1) f(3) 3 f(1 j 0,4444) 2 f(1 j 0,4444) 8 j1 j3 j1, 2, 4, 5, ... j3, 6, ... 3 I 0,4444f(1) f(3) 3(f(0,5556) f(0,1112) f(0,7776) f(1,2222) 8 f(2,1108) f(2,5552)) 2(f(0,3332) f(1,6664)) I 5,334299 İntegralin analitik değeri = 5,333333 Hata = 5,333333 5,334299 0,000966 7.4. Çok Katlı İntegrasyon Çok katlı integrasyonda her kat bilinen bir sayısal integrasyon yöntemi ile hesaplanarak tüm integral hesaplanır. Örneğin iki katlı bir integral Prof. Dr. Özcan Kalenderli SAYISAL YÖNTEMLER I 9 d b f(x, y) dx dy (7.14) c a ise burada b g(y) f(x, y) dx (7.15) a iç veya birinci kat integral olur. Dolayısıyla tüm integralin sonucu d I g(y) dy (7.16) c integralinin hesabından bulunur. Örneğin böyle bir integralin çözümü dikdörtgen yöntemi ile yapılacak olursa d b d c a c I n d m f(x, y) dx dy ( f(xi , y) x) dy g(y) dy g(y j) y (7.17) c i 1 j1 işlemi yapılır. Örnek 7.5: Şekil 7.6 için I d b f(x, y) dx dy integralini yamuk yöntemi ile çözünüz. c a b d a c g(y) f(x, y) dx ve I g(y) dy işlemi yapılacaktır. Buna göre g(y) d x f(a, y) f(b, y) 2[f(a x, y) f(a 2 x, y)] 2 y x f(a, c) f(b, c) 2[f(a x, c) f(a 2 x, c)] 2 2 f(a, d) f(b, d) 2[f(a x, d) f(a 2 x, d)] 2[f(a, c y) f(b, c y) f(a x, c y) f(a 2 x, c y)] I g(y) dy c y d y y c x x a x b Şekil 7.6. x Prof. Dr. Özcan Kalenderli SAYISAL YÖNTEMLER 10 Sayısal örnek 7.6: I 3 2 1 1 x y (1 x) dx dy integralini yamuk yöntemi ile x b a 2 1 1 0,3 n 3 3 y d c 3 1 1 m 2 alarak hesaplayınız. Bir önceki örnekteki gibi çözümle d y x f(a, c) f(b, c) 2[f(a x, c) f(a 2 x, c)] 2 2 f(a, d) f(b, d) 2[f(a x, d) f(a 2 x, d)] 2[f(a, c y) f(b, c y) f(a x, c y) f(a 2 x, c y)] I g(y) dy c bağıntısı oluşturulursa I 1 0, 3 f(1,1) f(2,1) 2[f(1 0, 3 ;1) f(1 2.0, 3 ;1)] 2 2 f(1, 3) f(2, 3) 2[f(1 0, 3 ; 3) f(1 2.0, 3 ; 3)] 2[f(1; 1 1) f(2; 1 1) f(1 0, 3 ; 1 1) f(1 2.0, 3 ; 1 1)] I = 15,340 İntegralin analitik değeri = 15,333 Hata = 15,333 15,340 0,007