Hatırlatma Elektrik Devrelerinin Temelleri dersinde ne yapacağız? Amaç: Fiziksel devrelerin elektriksel davranışlarını öngörme akım ve gerilim Teori oluşturken işe nasıl başlarız? Tanımlanmamış büyüklükler Aksiyomlar Sonra ne yaparız? Yeni büyüklükler için: Tanımlar Yeni sonuçlar için: Teoremler Hatırlatma Elektrik Devre Teorisi Tanımlanmamış büyüklükler Akım i(t) [A] uyumlu çift 1 + v1 (t) 2 _ İ1 (t) Gerilim v(t) [V] Hatırlatma Aksiyomlar Ne demek? 1. Toplu Parametreli Devre Fiziksel devrede her aletin uçlarındaki akım i(t) ve gerilim v(t) her t anında tam olarak tanımlanmışsa, devre toplu parametreli devredir. Kirchhoff’un Gerilim Yasası (1845) Önce biraz hazırlık • n düğümü olan toplu parametreli, birleşik bir devrede herhangi bir düğümü referans düğümü olarak seç. • seçilen referans düğümüme göre n-1 tane düğüm gerilimi tanımla 1 + 3 + + e1 e2 e3 . . . k +. ek __ _ __ en=0 n Vkn-1 2 . . + en-1 • k. düğüm ile j. düğüm arasındaki gerilim farkı: vkj n-1 Hatırlatma 2. Kirchhoff’un Gerilim Yasası (KGY) Tüm toplu parametreli birleşik devrelerde referans düğümü keyfi seçilmek üzere tüm k, j düğüm çiftleri için, her t anında vkj (t ) ek (t ) e j (t ) bağıntısı geçerlidir. 2. Kirchhoff’un Gerilim Yasası (KGY) Tüm toplu parametreli birleşik devrelerde tüm kapalı düğüm dizileri için, her t seçilen kapalı bir düğüm dizisi için düğümden düğüme gerilimlerin cebirsel toplamı sıfırdır. Teorem: Düğüm gerilimleri cinsinden KGY Kapalı düğüm dizileri cinsinden KGY Hatırlatma Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY) + _ Gauss Yüzeyi içi ve dışı tanımlı, sadece devre elemanlarını birleştiren bağlantıları kesecek şekilde çizilmiş yüzey 3. Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY) Tüm toplu parametreli devrelerde, tüm Gauss yüzeyleri için her t anında Gauss yüzeyini kesen akımların cebirsel toplamı sıfırdır. 3. Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY) (Düğümler için) Tüm toplu parametreli birleşik devrelerde, her t anında, herhangi bir düğümden çıkan akımların cebirsel toplamı sıfırdır. KAY ve KGY toplu parametreli devrelerde geçerli KAY ve KGY elemanların özelliklerinden bağımsız KAY ve KGY ile elde edilen denklemler katsayıları 1,-1,0 olan lineer lineer, cebrik, homojen denklemler Örnek 2 1 5 6 3 7 4 8 1-a) Şekildeki devrede 5 Gauss yüzeyi belirleyin ve KAY yazın. b) Tüm düğümler için KAY yazın. c) Tüm elemanların gerilimlerini düğüm gerilimleri cinsinden yazın. d) 3, 4, 5 düğümden oluşan ikişer tane kapalı düğüm dizisi belirleyin ve KGY’sını yazın. L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York Graf Teorisi Pregel Nehri http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler (1707-1783) 1736’da Königsberg’in yedi köprüsü problemini graf teorisinden yararlanarak çözdü Bir graf nasıl tanımlanır? G {V , E} düğüm kümesi çizgi kümesi 1 1 2 2 9 7 6 8 3 3 6 4 4 Elektrik devrelerine ilişkin çizeceğimiz graflarda çizgi yönlüdür 5 5 GD VD , ED 1,2,3,4,5,6 , 1,2,3,4,5,6,7,8,9 2-uçlu elemana ilişkin uç-grafı 1 + 1 İ1 (t) Sadece ok yeterli, neden? v1 (t) 2 _ 2 Tanım: (Ani Güç) p(t ) ˆ v(t )i (t ) [Watt] [Volt] [Amper] Ani güç, t anında elemanın bağlı olduğu devre tarafından elemana aktarılan güç 3-uçlu elemana ilişkin uç-grafı _ 1 + V21 İ1 (t) İ2 (t) 3- uçlu eleman +_ 1 2 2 3 1 2 3 İ3 (t) _ + 1 2 3 Hangisini, nasıl seçeceğiz? 3 Referans nerede? 1 + İ1 (t) İ2 (t) 3- uçlu eleman + 2 1 2 İ1 (t) İ2 (t) _ _ 3 Referans 3 düğümü 3 Referans nerede? 1 + _ V1 İ1 (t) 3- uçlu eleman _ 2 1 İ1 (t) 2 İ3 (t) İ3 (t) + 3 Referans 2 düğümü 3 Referans nerede? _ 1 V2 İ2 (t) _ + 2 İ2 (t) 1 2 3- uçlu eleman İ3 (t) + İ3 (t) 3 Referans 1 düğümü 3 Bu graf gösterimleri ile birşeyler kayboldu, neler? Kaybolanları nasıl bulacağız? _ 1 + V21 İ1 (t) İ2 (t) 3- uçlu eleman +_ G1 2 2 1 3 2 Kapalı düğüm dizisi için KGY yazalım v21(t ) v13 (t ) v32 (t ) 0 G1 Gauss yüzeyi için KAY yazalım İ3 (t) _ + 3 i1 (t ) i2 (t ) i3 (t ) 0 n-uçlu elemana ilişkin uç-grafı 2 1 İ1 (t) İ2 (t) İk(t) k 1 n- uçlu eleman İ1 (t) 2 k İk(t) İ2 (t) İn-1 (t) İn-1(t) n n n-1 Tanım: (Ani Güç) n 1 p(t ) ˆ vk (t )ik (t ) k 1 n-1 2-kapılılar, çok kapılılar S1 Gauss yüzeyi için KAY yazalım: i1 (t ) i1' (t ) 0 S2 Gauss yüzeyi için KAY yazalım: i2 (t ) i2' (t ) 0 i1 (t ) i1' (t ) i2 (t ) i2' (t ) 2-kapılıya ilişkin uç-grafı Tanım: (Ani Güç) p(t ) ˆ v1 (t )i1 (t ) v2 (t )i2 (t ) L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York 2- kapılı eleman içeren devre ayrık olmaz mı? S1 Gauss yüzeyi için KAY yazalım: ik (t ) 0 S1 Devre grafı: Verilen bir devre için devredeki her elemana ilişkin uç grafı çizilerek elde edilen grafa devre grafı denir. L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York Örnek L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York GrafTeorisine İlişkin Bazı Tanımlar Tanım: (Derece) Bir düğüme bağlı eleman sayısına o düğümün derecesi denir. Tanım: (Yol) G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan Gy alt grafına yol denir: • Gy ‘nin n çizgisi, n+1 düğümü vardır. • Gy ‘deki çizgiler e1, e2, ...,en düğümler d1,d2, ....,dn+1 olmak üzere sırasıyla öyle numaralanabilirler ki ek çizgisinin düğümleri dk ve dk+1 olur. • d1 ve dn+1 düğümlerinin dereceleri bir diğer düğümlerin dereceleri ikidir. Tanım: (Birleşik Graf) Verilen G grafında herhangi iki düğüm arasında en az bir yol varsa buna birleşik graf denir. Tanım: (Çevre) G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan Ga alt grafına çevre denir: • Ga birleşik bir graftır. • Ga ‘daki bütün düğümlerin dereceleri ikidir. Tanım: (Ağaç) Birleşik bir G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan GT alt grafına ağaç denir: • GT , G’nin tüm düğümlerini kapsar. • GT çevre içermez. Tanım: (Dal) Ağaç’ın elemanlarına dal denir. Tanım: (Kiriş) G grafından GT çıkarıldığında geriye kalan alt grafa kirişler kümesi denir. Sonuç: nd düğümlü bir G grafında seçilecek dal sayısı nd-1 dir.