Örnek 2 1 5 é ê ê ê ê ê ê ê ê ê ë 6 3 4 7 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 8 é ê ê ê ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê ûê ê ê ê êë 1-a) Şekildeki devrede 5 Gauss yüzeyi belirleyin ve KAY yazın. b) Tüm düğümler için KAY yazın. c) Tüm elemanların gerilimlerini düğüm gerilimleri cinsinden yazın. d) 3, 4, 5 düğümden oluşan ikişer tane kapalı düğüm dizisi belirleyin ve KGY’sını yazın. i1 ù ú i2 ú ú i3 ú é i4 ú ê ú ê i5 ú ê i6 ú ê ú=ê i7 ú ê ú i8 ú ê ê i9 ú ê ú ë i10 ú i11 ú ú i12 úû 0 0 0 0 0 0 0 0 ù ú ú ú ú ú ú ú ú ú û é ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê êë v1 ù ú é v2 ú ú ê v3 ú ê ê v4 ú ê ú v5 ú ê ê v6 ú ê ú= v7 ú ê ú ê v8 ú ê ê v9 ú ê ú v10 ú ê ê v11 ú êë ú v12 úû 1 0 0 0 -1 0 0 0 ù ú 0 1 0 0 0 -1 0 0 úé e ù 1 ú 0 0 1 0 0 0 -1 0 úê e ê ú 0 0 0 1 0 0 0 -1 úê 2 ú ú 1 -1 0 0 0 0 0 0 úê e3 ú 0 1 -1 0 0 0 0 0 úê e4 ú ê ú 1 0 -1 0 0 0 0 0 úê e5 ú ú 0 0 0 0 0 1 -1 0 úê e6 ú 0 0 0 0 0 0 1 -1 úê e ú ê 7 ú 0 0 0 0 0 1 0 -1 úê ú e8 ú û 0 0 0 0 -1 1 0 0 úë 0 0 -1 1 0 0 0 0 úû L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York KAY ve KGY toplu parametreli devrelerde geçerli KAY ve KGY elemanların özelliklerinden bağımsız KAY ve KGY ile elde edilen denklemler katsayıları 1,-1,0 olan lineer lineer, cebrik, homojen denklemler Graf Teorisi Pregel Nehri http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonard Euler (1707-1783) 1736’da Königsberg’in yedi köprüsü problemini graf teorisinden yararlanarak çözdü 1 1 3 2 4 3 2 4 Bir graf nasıl tanımlanır? G {V , E} düğüm kümesi çizgi kümesi 1 1 2 2 9 7 6 8 3 3 6 4 4 Elektrik devrelerine ilişkin çizeceğimiz graflarda çizgi yönlüdür 5 5 GD VD , ED 1,2,3,4,5,6 , 1,2,3,4,5,6,7,8,9 2-uçlu elemana ilişkin uç-grafı 1 + 1 İ1 (t) Sadece ok yeterli, neden? v1 (t) 2 _ 2 Tanım: (Ani Güç) p(t ) ˆ v(t )i (t ) [Watt] [Volt] [Amper] Ani güç, t anında elemanın bağlı olduğu devre tarafından elemana aktarılan güç 3-uçlu elemana ilişkin uç-grafı _ 1 + V21 İ1 (t) İ2 (t) 3- uçlu eleman +_ 1 2 2 3 1 2 3 İ3 (t) _ + 1 2 3 Hangisini, nasıl seçeceğiz? 3 Referans nerede? 1 + İ1 (t) İ2 (t) 3- uçlu eleman + 2 1 2 İ1 (t) İ2 (t) _ _ 3 Referans 3 düğümü 3 Referans nerede? 1 + _ V1 İ1 (t) 3- uçlu eleman _ 2 1 İ1 (t) 2 İ3 (t) İ3 (t) + 3 Referans 2 düğümü 3 Referans nerede? _ 1 V2 İ2 (t) _ + 2 İ2 (t) 1 2 3- uçlu eleman İ3 (t) + İ3 (t) 3 Referans 1 düğümü 3 Bu graf gösterimleri ile birşeyler kayboldu, neler? Kaybolanları nasıl bulacağız? _ 1 + V21 İ1 (t) İ2 (t) 3- uçlu eleman +_ G1 2 2 1 3 2 Kapalı düğüm dizisi için KGY yazalım v21(t ) v13 (t ) v32 (t ) 0 G1 Gauss yüzeyi için KAY yazalım İ3 (t) _ + 3 i1 (t ) i2 (t ) i3 (t ) 0 n-uçlu elemana ilişkin uç-grafı 2 1 İ1 (t) İ2 (t) İk(t) k 1 n- uçlu eleman İ1 (t) 2 k İk(t) İ2 (t) İn-1 (t) İn-1(t) n n n-1 Tanım: (Ani Güç) n 1 p(t ) ˆ vk (t )ik (t ) k 1 n-1 2-kapılılar, çok kapılılar S1 Gauss yüzeyi için KAY yazalım: i1 (t ) i1' (t ) 0 S2 Gauss yüzeyi için KAY yazalım: i2 (t ) i2' (t ) 0 i1 (t ) i1' (t ) i2 (t ) i2' (t ) 2-kapılıya ilişkin uç-grafı Tanım: (Ani Güç) p(t ) ˆ v1 (t )i1 (t ) v2 (t )i2 (t ) L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York 2- kapılı eleman içeren devre ayrık olmaz mı? S1 Gauss yüzeyi için KAY yazalım: ik (t ) 0 S1 Devre grafı: Verilen bir devre için devredeki her elemana ilişkin uç grafı çizilerek elde edilen grafa devre grafı denir. L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York Örnek L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York GrafTeorisine İlişkin Bazı Tanımlar Tanım: (Derece) Bir düğüme bağlı eleman sayısına o düğümün derecesi denir. Tanım: (Yol) G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan Gy alt grafına yol denir: • Gy ‘nin n çizgisi, n+1 düğümü vardır. • Gy ‘deki çizgiler e1, e2, ...,en düğümler d1,d2, ....,dn+1 olmak üzere sırasıyla öyle numaralanabilirler ki ek çizgisinin düğümleri dk ve dk+1 olur. • d1 ve dn+1 düğümlerinin dereceleri bir diğer düğümlerin dereceleri ikidir. Tanım: (Birleşik Graf) Verilen G grafında herhangi iki düğüm arasında en az bir yol varsa buna birleşik graf denir. Tanım: (Çevre) G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan Ga alt grafına çevre denir: • Ga birleşik bir graftır. • Ga ‘daki bütün düğümlerin dereceleri ikidir. Tanım: (Ağaç) Birleşik bir G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan GT alt grafına ağaç denir: • GT , G’nin tüm düğümlerini kapsar. • GT çevre içermez. Tanım: (Dal) Ağaç’ın elemanlarına dal denir. Tanım: (Kiriş) G grafından GT çıkarıldığında geriye kalan alt grafa kirişler kümesi denir. Sonuç: nd düğümlü bir G grafında seçilecek dal sayısı nd-1 dir. Tanım: ( Temel Çevreler Kümesi) ne elemanlı nd düğümlü birleşik bir G grafında GT seçilmiş bir ağaç olsun Bu ağacın belirlediği (ne –nd +1) adet kirişin her birisi diğer elemanları dal olmak üzere bir çevre tanımlar. Bu çevreye temel çevre, temel çevrelerin oluşturduğu kümeye de temel çevreler kümesi denir. Tanım: ( Kesitleme) Birleşik bir G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan GK alt grafına kesitleme denir: • G grafından GK çıkarıldığında geriye kalan graf iki parçadır. • GK ‘nın bir elemanını yerine koyarsak graf birleşik olur. Tanım: ( Temel Kesitlemeler Kümesi) ne elemanlı nd düğümlü birleşik bir G grafında GT seçilmiş bir ağaç olsun nd-1 tane dalın her biri diğer elemanları kiriş olmak üzere bir kesitleme tanımlar. Bu kesitlemeye temel kesitleme, temel kesitlemelerin oluşturduğu kümeye de temel kesitlemeler kümesi denir. 1-a) Şekilde verilen devreye ilişkin grafı çiziniz. b) 4 düğümden oluşan 10 tane kapalı düğüm dizisi belirleyiniz ve KGY yazınız. c) 7 tane Gauss yüzeyi belirleyiniz ve KAY yazınız. d) 10 tane çevre seçip KGY yazınız. e) 7 tane kesitleme seçip KAY yazınız. f) Ağaç seçip ağacın belirlediği temel kesitleme ve temel çevreler için KAY ve KGY yazınız. g) 4 Düğüm için KAY yazınız. 3. Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY) Tüm toplu parametreli devrelerde, her t anında herhangi bir kesitlemeye ilişkin akımların cebirsel toplamı sıfırdır. Teorem: Gauss Yüzeyleri için KAY Tanıt: (1) Düğümler için KAY (2) Gauss yüzeylerini düğümleri içerecek şekilde seç (2) (3) (3) (1) Kesitlemeler için KAY Düğümler için KAY Her kesitleme düğümleri iki gruba ayırıyor. Gruplardaki her düğüm için yazılan KAY’ları toplanırsa kesitleme için yazılan denklem elde edilir. Her kesitlemeye ilişkin yazılan KAY’sına ilişkin denklem kesitlemeye karşı düşen Gauss yüzeyine ilişkin yazılan KAY’sına ilişkin denkleme denk gelmektedir . nd düğümlü bir grafta nd düğüm için yazılan KAY ‘sına ilişkin denklemler lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu? Hatırlatma Lineer Bağımsız Denklem Takımı fi ( x1, x2 ,..., xn ) i1 x1 i2 x2 i3 x3 .... in xn 0 i 1,...m n bilinmiyenli ........denklemin m f i (.) ‘lerin belirlediği ...... lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturduğunu nasıl anlarız? m ki fi ( x1, x2 ,..., xn ) 0 i 1 x1 , x2 ,..., xniçin sağlayan sıfırdan farklı ki‘ler varsa bu lineer bağımlıdır. denklem takımı ................................... bazı denklemler diğerleri cinsinden ifade m denklem lineer bağımlı ise ................................................................. edilir. Örnek: f 1 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x3 3x4 0 Lineer bağımsızlar mı? f1 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 x1 3x2 x3 4 x4 0 k1 2, k 2 3, k3 1 f1 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 4 x1 11x2 5 x3 18 x4 0 nd düğümlü bir grafta nd düğüm için yazılan KAY ‘sına ilişkin denklemler lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu? 9 8 1 7 3 2 4 2 1 5 3 i i1 Ø 5 4 i2 1 1 0 0 0 0 0 1 1 i3 0 n bilinmiyenli 0 0 1 0 0 0 1 1 0 i 0 m denklem 4 var. 0 0 0 1 1 0 1 0 1 i5 0 1 0 0 0 i6 0 Lineer bağımsız denklem 1 1 1 1 0 takımı oluşturup 0 0 0 0 1 1 0 0 0 i7 0 oluşturmadıklarını nasıl i8 anlarız? i Boyutu ne? Aa 9 6 ...... bilinmiyenli ........denklem var ise lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturup oluşturmadıklarını nasıl anlarız? rankı inceleriz sıfır satır oluşturacak şekilde satır/sütun işlemleri yaparız Aa ‘nın rankı kaç? 2.d 0 3.d 0 0 0 4.d 1 1 5.d 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 Boyutu ne? Rankı ne? A 1 i1 i 2 i3 0 0 i4 0 1 i5 0 0 i6 0 0 0 i7 i8 i 9 1.d 1 0 2.d 3.d 0 5.d 0 i1 i 2 i3 0 1 0 0 0 0 0 1 1 i4 0 0 1 0 0 0 1 1 0 i5 0 0 0 1 1 0 1 0 1 i6 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 i7 i8 Boyutu ne? A i 9 Rankı ne? İndirgenmiş düğüm matrisi A Ai=0 Teorem: nd düğümlü birleşik bir grafta nd-1 düğüm için yazılan KAY’ları lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur. Tanıt: nd -1 tane denklemden k tanesi lineer bağımlı olsun: k i fi (i1, i2 ,..., ine ) 0 i 1 i1 , i2 ,..., ine i 0, i 1,2,..., k Birleşik graf k düğüm ve nd –k düğümü ayrı iki grup olarak düşünelim. Bu düğüm gruplarını birleştiren bir graf elemanı mutlaka vardır. Bu graf elemanına ilişkin akım k denklemde sadece bir defa gözükecektir. Yazılan k denklemde bu akım diğer akımlar cinsinden ifade edilemez. k denklem lineer bağımlı olamaz. nd-1 denklem lineer bağımlı olamaz.