2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü x1 a11 x a 2 21 a12 x1 b1 u , a22 x2 b2 x Ax Bu , x(t0 ) x0 x(t0 ) x0 Çözüm, 1. mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümlerine benzer şekilde x (t ) x (t ) x (t ) T h özel Homojen kısım: x Ax, xh (t ) Set x(t0 ) x0 S1 t e S2 Set ASet S AS I AS 0 detI A 0 Çözüm Tahmini belirlememiz gereken kaç büyüklük var? sıfırdan farklı çözüm erin olması nasıl mümkün olur? 2 a b 0 Karakteristik Denklem Karakteristik denklemin kökleri: 1, 2 özdeğerler Belirlememiz gereken S özvektör Hangi uzayın elemanı? O uzaya ait neyi belirlersek aradığımızı bulmuş oluruz? 1I AS1 0 1‘e ilişkin özvektör 2 I AS2 0 2‘e ilişkin özvektör S1 c1V1 S2 c2V2 1t xh (t ) e V1 c1 c1 e V2 M (t ) c2 c2 2t M (t ) Özel çözüm: x1ö zel (t ) xözel (t ) x ( t ) 2ö zel Tam çözüm: Temel Matris Nasıl belirleyeceğiz? x(t ) M (t )C xözel (t ) C M (t0 )1x(t0 ) xözel (t0 ) x(t ) M (t )M 1(t0 )x(t0 ) xözel (t0 ) xözel (t ) x(t0 ) M (t0 )C xözel (t0 ) x(t ) M (t )M 1(t0 )x(t0 ) xözel (t0 ) xözel (t ) (t ) Durum Geçiş Matrisi x(t ) (t ) x(t0 ) xözel (t ) (t ) xözel (t0 ) x(t ) (t ) x(t0 ) xözel (t ) (t ) xözel (t0 ) öz çözüm zorlanmış çözüm t x(t ) e At x(t0 ) e A(t ) Bu ( )d öz çözüm t0 zorlanmış çözüm x1 3 0 x1 0 x x u (t ), 2 2 2 2 1 x1 (0) 4 Durum denklemleri ile verilen x (0) 2 5 sistem için tam çözümü bulunuz. Bir özel hal: x (t ) Ax(t ) Çözümü bir daha yazarsak Otonom sistem özvektörler x(t ) e1 (t to ) S1x1 (t0 ) e2 (t to ) S2 x2 (t0 ) .....en (t to ) Sn xn (t0 ) özdeğerler Çözüm, özvektörler ve özdeğerler ile nasıl değişir ............................................................................................................. Özvektörleri aynı özdeğerleri farklı iki sistem 0 A1 1 5 2 11 1 2i 12 1 2i 2 5 A2 1 4 21 3 2i 22 3 2i 0.9129 0.9129 S11 S 21 0.1826 0.3651i 0.1826 0.3651i S12 0.9129 0.9129 S 22 0 . 1826 0 . 3651 i 0.1826 0.3651i Hangisi daha hızlı sıfıra yaklaşıyor ? A1 sistemi A2 sistemi Özdeğerleri aynı özvektörleri farklı iki sistem 0.2 5 B1 1 0 . 3 11 0.25 2.235i 12 0.25 2.235i 0.2 1 B2 5 0 . 3 21 0.25 2.235i 22 0.25 2.235i 0.9125 S11 0 . 0051 0 . 4081 i 0.0051 0.4081i S 21 0 . 9125 0.9125 0 . 0051 0 . 4081 i 0.0051 0.4081i 0 . 9125 S12 S 22 B1 sistemi B2 sistemi Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir? Tüm bu durum portrelerinde ortak bir şey var, ne? S. Haykin, “Neural Networks- A Comprehensive Foundation”2nd Edition, Prentice Hall, 1999, New Jersey. Dinamik sistemin özel bir çözümü: Denge noktası Tanım: (Denge noktası) x f (x) sisteminin x(t ) xd , t t0 sabit çözümleri, sistemin denge noktalarıdır. xd nasıl belirlenir? 0 f ( x ) Cebrik denkleminin çözümleri denge noktalarıdır. d xd lineer sistemde A matrisi tersinir ise tek aksi taktirde sonsuz 0 Ax d nasıl belirlenir? tane Hatırlatma (Norm) V vektör uzayı olmak üzere aşağıdaki üç özelliği sağlayan bağıntı “norm”’dur . :V R x 0 x0 x x x y x y , x, y V Bazı normlar Euclid Normu Taksi Şöförü Normu Hamming Mesafesi Kararlılık Sıfır giriş kararlılığı x (t ) Ax(t ), x(t0 ) x0 Tanım: (Lyapunov anlamında kararlılık) x (t ) f ( x(t )) herhangi bir 0 sistemine ilişkin bir denge noktası xd olsun. Verilen için x(t0 ) xd ( , t0 ) eşitsizliği x(t ) xd , t t0 eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir ( , t0 ) bulunabiliyorsa xd denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır. Tanım: (Asimptotik kararlılık) x (t ) f ( x(t )) sistemine ilişkin bir denge noktası xd olsun. 1) Sistem Lyapunov anlamında kararlı, 2) x(t0 ) xd ( , t0 ) eşitsizliği lim x(t ) xd 0, t t0 ifadesini gerektirecek t şekilde bir ( , t0 ) bulunabiliyorsa xd denge noktası Asimptotik kararlıdır. Teorem: x (t ) Ax(t ), x(t0 ) x0 Sistemi Lyapunov anlamında kararlıdır Nasıl oluyorda sistemin Lyapunov anlamında kararlılığından bahsedebiliyoruz? (t , t0 ) c, t t0