Slide 1 - Ninova
advertisement
Tünel Diyod Devresi 1 vC h(vC ) iL C iL 1 vC Ri L E L x1 h( x1 ) x2 x2 x1 x2 H.K.Khalil, “Nonlinear Systems”, 3rd Edition, Pearson Education, 2000. Denge noktaları .... ** * * * * * 0 x 0 * h( x1 ) * 1 h( x1* ) * x2 * x2 1 H.K.Khalil, “Nonlinear Systems”, 3rd Edition, Pearson Education, 2000. x1* 1 Dinamik Sistem Zaman Durum Gelişim Fonksiyonu Dinamik sistem: (T, X, φt ) φt : X a1) T zaman X φ0=I a2) φt+s =φt ◦ φs ▪ T=R sürekli zaman T=Z ayrık zaman X durum uzayı X=Rn X=Cn Yörünge: Or(xo) xo ilk koşulundan başlayan bir yörünge, x durum uzayının sıralı bir alt kümesidir. Or ( xo ) x X : x t xo , t T Lineer otonom sistem x1 0 5 x1 x 1 2 x 2 2 x1 2 5 x1 x 1 4 x 2 2 Lojistik dönüşüm x(k 1) 3.46 x(k )(1 x(k )) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Denge noktası- Sabit nokta: t x* x* , t T x* X denge noktası-sabit nokta Denge noktası-Sabit nokta nasıl belirlenir? Sürekli Zaman Çevrim: x f ( x) x f ( x) 0 f ( x* ) x* f ( x* ) xo Lo , t To xo t xo , To 0, t T L0 Sürekli Zaman Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”3rd Edition, Springer, 2004, Ayrık Zaman periyodik yörüngesi Çevrimdir. Ayrık Zaman Limit Çevrim: Sürekli zaman, dinamik bir sisteme ait bir çevrimin komşuluğunda başka bir çevrim yoksa bu çevrim Limit Çevrimdir. Hangisi çevrim, hangisi limit çevrim? Faz Portresi: Dinamik bir sistemin durum uzayının yörüngeler ile bölümlenmesi faz portresini verir. t x1 t x2 Bu yörüngeleri birbirinden farklı kılan nedir? Faz portresine bakarak neleri anlayabiliriz? t x3 Değişmez Küme (S) : T , X , , S X t xo S t xo S , t T Değişmez küme sistemin asimptotik durumları hakkında bilgi veriyor. Dinamik sistemin yörüngelerini içeriyor ve her yörünge bir değişmez küme. Durum uzayı bir metrik uzay ise kapalı değişmez kümeleri tanımlayabiliriz. En basit kapalı değişmez alt küme Denge noktası, limit çevrim Manifold Tuhaf çekici Değişmez kümeleri gözlemeleyebilmemiz için kolayca bulabilmemiz gerek, bu ne zaman olası? Civarlarındaki yörüngeler de zaman ilerledikçe değişmez kümeye yaklaşırsa Kararlı değişmez küme: T , X , t Lyapunov anlamında kararlılık X tam metrik uzay S 0 kapalı değişmez küme Bu tanımı değişmez küme tanımından farklı kılan ne? S0 U ‘nun yeterince küçük herhangi bir U komşuluğunda S0 V bir V komşuluğu var öyle ki t x U , x V , t 0 S0 U 0 ‘nun bir U 0 komşuluğu vardır öyle ki t t x S0 , x U 0 Değişmez Küme (S) : Asimptotik kararlılık T , X , , t SX xo S t xo S , t T Lyapunov anlamında kararlılık Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”3rd Edition, Springer, 2004, Lyapunov anlamında kararlılık nasıl tanımlanmıştı, hatırlayalım Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık x (t ) f ( x(t )) sistemine ilişkin bir denge noktası xd herhangi bir 0 için x(t0 ) xd ( ) eşitsizliği olsun. Verilen x(t ) xd , t t0, t R eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir ( ) bulunabiliyorsa xd denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır. Denge noktası xd kararlı olsun. lim x(t ) xd 0 t ise xd denge noktası asimptotik kararlıdır. Bir başka Lyapunov anlamında kararlılık x f ( x), x R n ~ x (t ) verilen sistemin herhangi bir çözümü olsun Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık (Wiggens, sf.7) x (t ) olsun. Verilen x f (x) sistemine ilişkin bir çözüm ~ herhangi bir 0 için y (t ) herhangi bir başka çözüm olmak üzere ~ x (t0 ) y(t0 ) ( ) eşitsizliği ~ x (t ) y(t ) , t t0, t R ~ eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir ( ) bulunabiliyorsa x (t ) çözümü Lyapunov anlamında kararlıdır. ~ x (t ) kararlı olsun. lim ~ x (t ) y(t ) 0 t ~ ise x (t ) çözümü asimptotik kararlıdır. S. Wiggens, “Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos ”2nd Edition, Springer, 2003, Bir Örnek Strogatz, sf.16 x sin x, x(0) 0 dx dt sin x t ln t ln 1 cot x c sin x 1 cot x0 sin x0 sin x 1 cot x sin x sin x0 x x 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
