BÖLÜM 6 POTANSİYEL 6.1 Elektrik Potansiyel Enerjisi Herhangi bir yüzey üzerinde sürtünmesiz aşağı doğru kayan bir cismin hızı, cismin kinetik enerjisindeki artmanın potansiyel enerjisindeki azalmaya eşit olduğunu yazarak bulabiliriz. Şimdi burada enerjinin korunumunu, bir elektrik alan içinde bulunan bir elektrona veya bir yüklü cisme aynı tarzda uygulanabileceğini göreceğiz. Yüklü qı olan bir parçacık bir elektrik alan içinde hareket edecek olursa , ona etkiyen kuvvetlerden biri qı .E dir. Bu kuvvetin gördüğü iş; Wel = F ds = E. q' .ds olur. Alanın 1 noktasından 2 noktasına kadar yer değiştirmesinde görülen toplam iş ; S2 Wel = q . 1 E.ds S1 Bu yer değiştirmeler sırasında bütün diğer kuvvetlerin (Elektriksel kuvvetlerin dışındaki kuvvetler ) gördüğü toplam iş W1 ile gösterelim. İş – Enerji prensibine göre ; W1 + Wel = EK2 – EK1 yazılır. Yüklü bir parçacığa etkiyen elektrostatik kuvvetler korunumlu kuvvetlerdir. Bunu göstermek için q gibi hareketsiz bir nokta yükün meydana getirdiği ışınsal elektrik alanı göz önüne alalım. Bu alan içerisinde q1 gibi bir sınama yükünün yer değiştirmesiyle elektriksel kuvvetlerin gördüğü iş , bir ağırlık kuvvetinin gördüğü işin aynısıdır. F qı 2 ds F=qı.E dr r2 θ q + ds θ dr ı q r1 1 Şekil.6.1 q’ yükünün bir elektrik alan içindeki hareketi. 83 Şekil.6.1. de görüldüğü gibi q1 sınama yükünün q yükünün meydana getirdiği ışınsal alan içinde ds kadar yer değiştirmesinde q1 yükünün üzerinde elektriksel kuvvetlerin gördüğü iş: dWel = q'.E.ds = q'.E.cos θ.ds cos θ = dr / ds dr = ds.cos θ E 1 q . olduğundan 40 r 2 dWel = q'. ∫ E.cos θ.ds dır. q.q ' dWel 40 r2 dr r r 2 1 , Wel q.q ' 40 1 1 r2 r1 Buna göre iş sadece r1 ve r2 uzaklığına bağlı olduğunda elektriksel kuvvetlerde korunumlu kuvvetlerdir. İş – Enerji prensibine göre ; W' + Wel = Ek2 – Ek1 W' elektriksel kuvvetlerin dışındaki kuvvetlerin yaptığı işdir W1 qq1 40 1 1 E K 2 E K1 r1 r2 qq1 qq1 W 1 ( EK2 – EK1) + 40 r2 40 r1 olur. Buna göre q1 yükünün q yükünden herhangi bir r uzaklığında bulunduğu zamanki potansiyel enerjisi ; qq1 EP . olur. 40 r Elektriksel potansiyel enerji denkleminde potansiyel enerjinin sıfır olması için r nin ∞ olması gerekir. Bu demektir ki q1 sınama yükünün potansiyel enerjileri için bir referans noktası q yükünden sonsuz uzaklıkta bulunan bir noktadır. Denklemimizdeki r uzaklığı daima pozitif olacağından potansiyel enerjinin işareti q 84 ve q1 yükünün işaretine bağlı olacaktır. Bu yüklerin ikisi de pozitif veya negatif olursa çarpımları pozitif olur ve potansiyel enerji pozitiftir. Bu demektir ki bir +q yükünün alanında bulunan bir sınama q1 yükü sonsuzda bulunan bir noktaya göre bir pozitif potansiyel enerjiye sahiptir. Bu iki yükün işaretleri zıt ise çarpımları negatif olur. Yani negatif bir q1 yükünün pozitif bir q yükün alanı içindeki potansiyel enerjisi sonsuzdaki bir noktaya göre negatiftir. q1 yükü q yükünden uzaklaştıkça potansiyel enerjisi artar. Şimdi q1, q2, q3 gibi nokta yüklerden r1, r2, r3 uzaklıklarda bulunan bir P noktasında bir elektrik alan meydana gelmiş olsun. Bu noktaya q1 yükünü koyalım ve bu yüke sabit yüklerin her biri bir kuvvet uygulayacaktır. q1 yükünün herhangi bir noktadaki elektrik potansiyel enerjisi, her bir yükün o noktada meydana getirmiş olduğu elektrik potansiyel enerjileri toplamına eşit olur. Şekil.6.2 Elektriksel Potansiyel Enerji. EP q1 q .q1 2 .q1 ........ 40 40 EP q q1 i olur. ( nokta yükler için ) 40 ri Elektrik alanı meydana getiren yükler bir takım yüzeylere dağılmış ise o zaman üstteki denklem deki toplam yerine integral alınır. Ep q' dq 40 r olur. 85 6.2 Potansiyel Bir elektrik alan içinde q' sınama yüküne etkiyen kuvveti göz önüne alacak yerde bu kuvvetin yüke oranını kullanmak daha uygun olur. E F q' F = q' . E Aynı şekilde q' yükünün alanın herhangi bir noktasındaki EP potansiyel enerjisini alacak yerde bu potansiyelin yüke oranını almak daha uygun olacaktır . V EP EP = q' . V q' olur. Potansiyel skaler bir büyüklük olup birimi M.K.S de joule / coul dur. Buna volt ismi verilir. V = joule / coul = volt , 1volt = 10-3 milivolt = 10-6 mikrovolt 1 kilovolt = 10 3 volt , 1Megavolt = 106 volt q' sınama yükü sabit bir q yükünden r kadar uzaklıkta bulunacak olursa kazandığı Potansiyel enerji ; EP Potansiyel ise ; V 1 q.q ' . 40 r 1 q . olur 40 r Belirli yüklerin meydana getirdiği alanın bir noktadaki potansiyel; V 1 40 q r ( yükler nokta yük ise ) Yükler herhangi bir şekilde yüzeylere dağılmış ise ; V 1 40 dq r olmalıdır. Bu denklemlerin yazılışında potansiyeller için referans düzeyi sonsuzda bulunan bir nokta alınmıştır. Herhangi bir noktada meydana gelen potansiyelin işareti bu alanı meydana getiren yükün işaretine bağlıdır. Bir q nokta yükünün (sonsuzda bulunan bir noktaya göre) potansiyeli, yük pozitif ise pozitif yük negatif ise negatiftir. 86 6.3 Potansiyel Farkı. Bir yük bir noktadan başka bir noktaya hareket ettiği zaman potansiyel enerjisinin değişimini potansiyel farkı tayin eder. Alan içindeki noktaları gösterecek olursak bu noktalar arasındaki potansiyel farkı : Va – Vb = Vab , Vb – Va = Vba , Vab = -Vba Potansiyel voltla ifade edildiği için potansiyel farkı da voltla ifade edilir. Potansiyel farkları elektroskop, elektro metre, voltmetre ile ölçülür. Şekil.6.3. de görüldüğü gibi bir akümülatör bataryasının kutupları arasındaki potansiyel farkı 12 volttur. + kutbu daha fazla potansiyeldedir. Kutuplar arasında bir elektrik alan mevcuttur. Bir + yükü a’dan b’ye gidecek olursa bu yükün potansiyel enerjisi 12 volt kadar azalır. Bu enerji otomobilin, ampülün fitilinde ısı şeklinde, motorunda mekanik enerji şeklinde kendini gösterir. Şekil 6.3. Akümülatör Vba = -12 volt , Vab = 12 volt İki nokta arasındaki potansiyel farkı için genel bir denklem çıkaralım. Bir q’ yüküne elektrik kuvvetlerinin yaptığı iş; b Wel q . E.ds ' a Bu iş q' yükünün potansiyel enerjisindeki azalma (Epa- Epb) kadardır. Epa - Epb = q' ∫ E. ds , b b E PB E.ds , Va Vb E.ds q' q' a a E PA b Vab E. cos .ds a b Wel q ' . E.ds , Wel = q' .( Va – Vb ) olur. a 87 ÖRNEK.1 Yüklerin meydana getirdiği alanın A, B ve C noktalarındaki potansiyelleri ne kadardır? V 1 q . 4O r 9 12.10 9 9 12.10 VA = V1A + V2A = 9.10 . 9.10 . 900volt 6.10 2 4.10 2 9 9 12.10 9 9 12.10 VB = V1B+ V2B = 9.10 . 9.10 . 2700 770 1930 volt 4.10 2 14.10 2 9 VC = 0 ( uzaklık ve büyüklükler aynı olduğu için) ÖRNEK.2 E elektrik alan şiddetleri simetri dolayısıyla düzgün ve levhaların yüzeyine dikeydir. Buna göre levhalar arasındaki potansiyel farkı ne kadardır? + +a + + + + b- WeL = q' . E. ds Vab = ∫ E.cos θ.ds , E = sabit , θ = 0 , cos θ =1 , ds = dx Vab = E ∫ dx = E .(xb -xa ) = E.d , E Vab , d E 0 88 6.4 Yüklü İletken Bir Kürenin Potansiyeli. E V 1 q 40 a 1 q 40 r 2 . . V 1 q 40 r . Şekil.6.4 Yüklü bir iletkenin içindeki ve dışındaki noktalardaki E ve V değerleri. Yüklü iletken bir kürenin dışında bir noktada elektrik alanın, iletken kürenin bütün yükünün merkezde toplanmış iken meydana getirdiği alan ile aynı olduğunu görmüştük. Buna göre böyle bir iletkenin dışındaki bir noktada potansiyeli, yine nokta yükün potansiyeline eşit olacaktır. r > a ise V 1 q . 40 r Kürenin içindeki noktalarda potansiyel, yüzeydeki potansiyele eşittir. V 1 q . 40 a r = kürenin dışında bir nokta. a = kürenin yarıçapı 89 PROBLEMLER PROB.1 2,5.10-8 coulomb’luk bir yük yukarı doğru yönelmiş 5.104 nt/coul’luk düzgün bir alan içinde bulunuyor. Bu yük; a) Sağ tarafa doğru 45 cm yer değiştirirse b) Aşağı doğru 80 cm yer değiştirirse c) Sağ yukarı doğru yatayla 450 açı yapacak şekilde 260 cm yer değiştirirse, elektrik alanlara karşı ne kadar iş görülmüştür? Çözüm : q' = 2,5.10-8 C , E = 5.104 N / C a) Wel = q' ∫ E.cos θ.(x2-x1) Wel = 2,5.10-8.5.104.cos90.0,45 = 0 b) Wel = q' .E.cos θ.∆x = 2,5.10-8.5.104.cos180.0,8 Wel = -10-3 joule c) Wel = q' .E.cos θ.∆x = 2,5.10-8.5.104.cos45.2,6 Wel = 2,3.10-3 joule PROB.2 0,2 gr kütleli küçük bir küre 5 cm aralıklı düşey iki levha arasına asılmıştır. Küre üzerinde 6.10-9 coulomb kadar bir yük bulunmakta ise levhalar arasındaki potansiyel farkı ne olmalıdır ki ip düşeyle 300 lik açı yapsın? 90 Çözüm : F = q'.E , m = 0,2 gr , d = 5 cm Vab = ? , θ = 300 , q = 6.10-9 C Va b = E. d , tg q ' .E q ' .Vab 1 . . m.g d m.g , Vab tg.m.g.d q' Vab = 0,578.0,2.10-3.0,8.5.10-2 / 6.10-9 = 9,44.103 volt PROB. 3) Her birinin değeri q olan pozitif iki nokta yük, y ekeseni üzerinde y =+a ve y = -a olan noktalara yerleştirilmiştir. a) Eksenlerin başlangıç noktasındaki Vo potansiyeli? b) x ekseni üzerinde herhangi bir noktadaki potansiyeli ne olur. Çözüm: a ) V0 = ? V0 = V10 + V20 q1 x2 a2 a O x P a x2 a2 q2 VO 1 q 1 q . . 4O a 4o a V0 2q 40 .a 91 b) x ekseni üzerinde herhangi bir noktadaki potansiyeli; Vp = ? Vp 1 q 1 q . . 40 a 2 x 2 40 a 2 x 2 Vp 2 q . 40 a 2 x 2 PROB.4 Her birinin yarıçapı 10 cm olan iki iletken küre merkezleri arasındaki uzaklık 1m’dir. A küresine 30.10-9 luk B küresine -60.10-9 luk şarj verildiği zaman her bir kürenin potansiyeli ne olur. A B + - 1m + + + + ++ + - - qA = 30.10-9 c , qB = -60.10-9 c Çözüm: VA = VA' + VB VA = 9.109 . 9 30.10 9 9 60.10 9 . 19 . 2160volt 1 10.10 2 VB = VB' +VA 9 60.10 9 9 30.10 VB=9.10 . 9.10 5400 270 5130volt 1 10.10 2 9 VA-VB = 2160 + 5130 = 7290 volt 92 PROB.5 Şekilde görüldüğü gibi q1 q2 q3 yüklerinin q1=2.10-9 c K noktasında meydana getirdikleri toplam potansiyel 5 cm sıfır olduğuna göre a ) LM uzaklığını b) 530 L noktasındaki toplam potansiyeli K bulunuz. 530 q3=10-8 c L M cos37 = sin 53 = 0,8 5 cm sin37 = cos 53 = 0,6 -9 q2=-5.10 c Çözüm : VK = 0 , LM = ? a ) KL = x , cos37 = VL = ? x , x = 5.cos37 = 4 cm 5 sin37 = y , y = 5.0,6 = 3 cm 5 VK = Vq1K + Vq2K + Vq3K 9.109 5 30 2.10 9 3.10 2 2 30 9.109. 5.10 9 3.10 2 1 , KM 9.109 10 1 KM.10 2 KM = 10 cm q1=2.10-9 c LM = KM – KL = 10 – 4 = 6 cm 5 cm y 530 370 x K VL = 1800 5 2.10 9 5.10 2 4500 5 9.109. 9000 6 5.10 9 5.10 2 L M 5 cm b) VL = VL1 + VL2 + VL3 , VL= 9.109 530 q3=10-8 c -9 q2=-5.10 c 9.109. 10 8 6.10 2 360 900 1500 960 volt 93 PROB.6 Yarıçapları 2 cm olan küreler şekildeki konumda olduklarına göre ; a ) M noktasında potansiyelin 1080 volt olması için MC -9 A qA=2.10 c uzaklığı ne olmalıdır. MC = x MA = 5 cm MB = 5 cm b ) C noktasındaki potansiyeli M bulunuz. C x qC=8.10-9 c B qB=-4.10-9 c Çözüm : a) r = 2 cm , VM = 1080 V , MC = ? MA = 5 cm , MB = 5 cm V = k. q r , VM = VA + VB + VC 1080 = 9.109. 2.10 9 5.10 2 1080 = 360 – 720 + b ) VC = VA + VB + V 'C , 9.109. 7200 MC 5.10 2 9.109 8.10 9 MC.10 2 MC = 5 cm VC’ = kendi yükünden dolayı kazandığı potansiyel . MC = 5 cm , r2 = 25 + 25 = 50 VC = 9.109. 4.10 9 2.10 9 7.10 2 r = 7,07 cm 9.109. 4.10 9 7.10 2 9.109 8.10 9 2.10 2 VC = 257 – 514 + 3600 = 3343 volt PROB.7 Şekildeki +4q ve qx yüklerinin L noktasındaki potansiyelleri eşit büyüklükte iseler bu yüklerin K ve M deki toplam potansiyellerinin VK / VM oranı ne olur. +4q d d d K L qx d M 94 Çözüm: V k q q 4q , k k x q x 2q d 2d d K noktasındaki potansiyel; VK k q 4q q k x 5k d 2d d M noktasındaki potansiyel; VM k 4q 2q q k 3k 4d d d VK 5 olur. VM 3 95