ara sınavlar hazırlık problemleri

ARA SINAVLAR
HAZIRLIK PROBLEMLERİ
Problem. 2.7 (Hibbeler)
Çelik konstrüksiyon bir binada A ve B
yapı elemanlarına 3 ve 2 kN kuvvetler
etki ediyor.
Toplam kuvvetin u ekseninde ortaya
çıkması için ϴ açısı ve büyüklüğü ne
kadar olmalıdır.
ÇÖZÜM
Üçgen metoduna göre poblemin grafik çizimi yandaki
gibidir.
Sinüs teoremini uygularsak
a
b
c


SinA SinB SinC
2
3
3 * sin 30

 sin  
sin 30 sin 
2
   48.6o
Üçgenin iç açılar toplamından giderek β açısı bulunur.
β=180-30-48.6 β=101.4
θ=180-β θ=180-101.4  θ=78.6
Son olarak yine sinüs teoreminden FT değeri bulunur
FT
2
2 * sin 101.4

 FT 
sin  sin 30
sin 30
 FT  3.92kN
Problem. 2.54 (Hibbeler)
Bir halkaya resimdeki kuvvetler etki etmektedir.
Toplam kuvvetin 50 lb olarak u ekseni yönünde
oluşması için F2 kuvveti ne olmalıdır.
Cözüm
Önce bütün kuvvetler kartezyen koordinatlarda
yazılır.
F1=80i
F2= F2x i+F2y j
F3=52*(5/13)i + 52*(12/13)j  F3=20i +48j
FT= 50*cos25 i – 50*sin25 j  FT = 45.32i-21.13 j
Sonra eksen bileşenleri toplamı
toplam kuvvetin bileşenleri ile eşitlenir
FT   Fx i   F y j
45.32 i - 21.13 j = 80 i + (F2x i+F2y j) + (20i+48j)
45.32 i =(80 +F2x + 20)  F2x = -54.68 lb
 -21.13 j = 0+F2y +48
F2=-54.68i-69.13j
 F2y = -69.13 lb
F2 
F22x  F22y
 F2 
(54.68) 2  (69.13) 2
 F2  88.14lb
Bir önceki problemde bulunan F2 kuvvetinin u
ekseni ile olan açısı ϴ ne olur
Çözüm.
Önce F2 kuvveti grafiksel olarak çizilir
  tan
1
F2 y
F2 x
   tan 1
   51.60
ϴ=180-γ-25  ϴ=103.4o
 69.13
 54.68
Problem. 2.78 (Hibbeler)
Çelik konstrüksiyon bir binada bir bağlantı elemanında F1 ve F2
kuvvetleri etki etmektedir.
Toplam kuvvetin sadece y ekseni doğrultusunda ortaya çıkması
için F2 kuvvetinin α, β, ve γ açıları ne olmalıdır.
Ve ortaya çıkacak toplam kuvvet ne kadar olur.
Not: β<90o
ÇÖZÜM 3
Kuvvetleri kartezyen koordinatlarda yazarsak
F’1 = F1*cos30  F’1= 600*cos30 = 519.61N
F1x=F’1*sin30  F1x= 519.6*sin30 = 259.8 N
F1y=F’1*cos30  F1y= 519.6*cos30 =450 N
F1 ile z ekseni arasındaki açı = 90+30=120o
F1z=F1*cos120  F1z= 600*cos120 = -300 N
F1=259.8i+450j-300k
F2=F2x i+F2y j+ F2z k  F2=500*cosα i + 500*cosβ j + 500*cosγk
FT= 0i+ FTy j+ 0k
0 i = (259.8 + (500*cosα))i  cosα=(-259.8/500)  α=121.30
0 k = (-300 + (500*cosγ))k  cosγ=(300/500)
 γ=53.13o
Kuvvetin eksenlerle olan iki açısı biliniyorsa üçüncüsü hesaplanabilir
FTy j=(F1y+F2y)j
 cos 2   cos 2   cos 2   1
FTy= 450+(500*cos52.5)=754.3
 cos 2 121  cos 2   cos 2 53.1  1
Toplam kuvvet sadece y ekseninde
etkili olduğu için
 cos  
1  0.27  0.36  0.61
FTy= FT= 754N
β=52.5 veya 1270 β <90 β=52.5o
Problem. 2.94 (Hibbeler)
Bir avize tavana üç zincir ile asılıyor. Avizenin ağırlığı 130 Lb
olduğuna göre zincirlerin her birine ne kadar kuvvet gelir.
Çözüm
Problemi konumlanmış kuvvet vektörü yolu ile çözelim.
Önce koordinatları belirleyelim.
A(4*cos30, -4*sin30, -6)  A(3.46 , -2, -6)
B(-4*cos30, -4*sin30, -6)  B(-3.46 , -2, -6)
C(0, 4, -6)  A(0, 4, -6)
Konum vektörlerini yazalım
rA= 3,46i, -2j, -6k
rB= -3,46i, -2j, -6k
rC= 0 i + 4 j + -6k
Zincir boyları
r  x 2  y2  z2
rA  3.46 2  (2) 2  (6) 2  rA  7.21ft
Zincir boyları eşit oduğundan rA =rB = rc=7.21ft
Birim vektörleri bulalım
r
3.46i  2 j  6k
u   uA 
 0.48i  0.28 j  0.83k
r
7.21
 3.46i  2 j  6k
 0.48i  0.28 j  0.83k
7.21
0i  4 j  6k
uC 
 0i  0.56 j  0.83k
7.21
uB 
Konumlanmış kuvvet vektörlerini bulalım
F  F * u  FA  FA * u A
 FA  FA * (0.48i  0.28 j  0.83k)
FB  FB * (0.48i  0.28 j  0.83k)
FC  FC * (0i  0.56 j  0.83k )
FT  130 * (0i  0 j 1k)
 FT  0i  0 j 130k
Konumlanmış vektörleri toplam vektör ile eşitleyelim
FT  FA  FB  FC
 0i  0 j  130k  FA (0.48i  0.28 j  0.83k)  FB (0.48i  0.28 j  0.83k)  FC (0i  0.56 j  0.83k)
 0i  (0.48FA  0.48FB )i
 0.48FA  0.48FB  FA  FB
 0 j  (0.28FA  0.28FB  0.56FC ) j
 130k  (0.83FA  0.83FB  0.83FC )k
 0.56FC  0.28FA  0.28FA  FA  FB  FC
 130  3 * (0.83FA )  FA  FB  FC  52.1N
Problem. 2.129 (Hibbeler)
Resimde gözüken boruya bağlı AB ve AC halatları arasındaki
açıyı bulunuz
Çözüm
Halatların konum vektörlerini bulmak için önce
koordinatlarını belirleyelim.
A (15 ,0, 0)
B (0, 3, 8)
C(0, -8, 12)
Konum vektörlerini yazalım
rAB= (0-15)i+(3-0)j+((8-0)k  rAB= -15i +3j +8k
rAC= (0-15)i+(-8-0)j+(12-0)k  rAC= -15i-8j+12k
rAB  (15) 2  32  82  rAB  17.26ft
rAC  (15) 2  (8) 2  12 2  rAC  20.8ft
rAB rAC  (15 * (15))  (3 * (8))  (8 *12)
 rAB rAC  225  24  96  297
  cos 1 (
rAB rAC
297
)    cos 1
rAB * rAC
17.26 * 20.8
   34.18o
Problem. 2.130 (Hibbeler)
Bir önceki problemde verilen AB halatı FAB =55 lb kuvvetle
çekilse bu kuvvetin AC halatı üzerine düşen paralel ve dik
bileşkeleri ne olur
Önce F kuvvetini kartezyen koordinatlarda yazalım
FAB  FAB * u AB
u AB 
rAB  15i  3 j  8k

rAB
17.26
 u AB  0.87i  0.17 j  0.46k
 FAB  55 * (0.87i  0.17 j  0.46k)
 FAB  47.85i  9.35 j  25.36k
Fp  FAB * u AC
u Ac 
rAC  15i  8 j  12k

rAC
20.8
 u AC  0.72i  0.38 j  0.58k
 FP  (47.85i  9.35 j  25.36k) * (0.72i  0.38 j  0.58k)
 FP  (47.85 * (0.72))  (9.35 * (0.38))  (25.36 * 0.58)
 FP  34.45  3.55  14.7  FP  FAC  45.7lb
Pisagor teoreminden gidilerek dik kuvvet bulunur.
FAB2 =FP2+FD2
552=45.72+FD2FD=31 lb
Problem 2-120 (hibbeler)
Resimdeki kule iki halat ile aşağıdan belirtilen
yönlerde çekiliyor. Kule boyunca (z ekseninde)
oluşan toplam kuvvet ne kadar olur .
ÇÖZÜM
Önce koordinatlar belirlenir.
A(0, 0, 36)
B(18, -12, 0)
C(12*sin30, 12*cos30, 0)  C(6, 10.4, 0)
rAB  (18  0)i  (12  0) j  (0  36)k
 rAB  18i 12 j  36k
rAB  182  (12) 2  (36) 2  rAB  42ft
u AB 
rAB 18i  12 j  36k

rAB
42
FAB  FAB * u AB
 u AB  0.43i  0.286 j  0.857k
 FAB  700 * (0.43i  0.286 j  0.857k)
 FAB  300i  200 j  600k
rAC  (6  0)i  (10.4  0) j  (0  36)k
 rAC  6i  10.4 j  36k
rAC  6 2  10.4 2  (36) 2  rAC  37.95ft
u AC 
rAC 6i  10.4 j  36k

 u AC  0.158i  0.274 j  0.95k
rAC
37.95
FAC  FAC * u AC
 FAC  600 * (0.158i  0.274 j  0.95k)
 FAC  94.8i  164.4 j  570k
FT  FAB  FAC  (300i  200 j  600k)  (94.8i  164.4 j  570k)
FT  394.8i  35.6 j 1170k
Toplam kuvvet bileşkelerinden k notasyonlu değer z ekseninde
etkin olan bileşendir
 Fz  1170lb
Problem 2-126 (Hibbeler)
Bir boru iki ayrı halat ile belirtilen açılarda 400 N değerinde
kuvvetler ile çekiliyor.
F1 kuvvetinin F2 doğrultusuna yansıyan bileşkesi ne kadar olur.
ÇÖZÜM:
Önce F1 ve F2 kartezyen notasyonları ile yazılır.
F’1 = F1*sin 35  F’1 =400*sin35=229.4N
F1x= F’1*cos20  F1x= 229.4*cos20= 215.6N
F1y = -F’1 *sin20  F1y = 229.4*sin20= -78.46N
F1z = F1 *cos35  F1z = 400*cos35= 327.66N
F1=215.6i-78.46j+327.66k
F2=F2*cos45 i +F2*cos60j + F2* cos 120 k
F2=400*cos45i+400*cos60j + 400*cos120 k
F2= 282,8i+200j-200k
F1 kuvvetinin F2 doğrultusundaki bileşkesi için F2
birim vektör olarak yazılmalıdır.
F2= 282,8i+200j-200k
u2 
F2
F2
 u2 
282.8i  200 j  200k
400
 u 2  0.707i  0.5 j  0.5k
F1 kuvvetinin F2 üzerindeki bileşkesi
Fp  F1 * u 2
F1=215.6i-78.46j+327.66k
 Fp  (215.6i  78.46 j  327.66k ) * (0.707i  0.5 j  0.5k )
 Fp  (215.6 * 0.707)  (78.46 * 0.5)  (327.66 * (0.5))
 Fp  50.6 N
Problem 2-127 (Hibbeler)
Problem 126 daki halatlar arasındaki ϴ açısı kaç derecedir.
ÇÖZÜM:
F1 ve F2 vektörlerinin nokta çarpımı bulunur.
F1 F2  F1 * F2 * cos 
F1 F2  (215.6i  78.46 j  327.66k) * (282.84i  200 j  200k)
F1 F2  (215.6 * 282.84)  (78.46 * 200)  (327.66 * (200)
 F1 F2  20246N
 20246N  400 * 400 * cos 
 cos 
 20246
 0.13
400 * 400
   cos 1 (0.13)
   97.27 o