Slayt 1

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ
TİCARİ BİLİMLER
FAKÜLTESİ
SİGORTACILIK VE RİSK
BÖLÜMÜ
Ankara / TÜRKİYE
Prof.Dr. Serpil CULA
DERS3
Raslantı Değişkeni Tanımı Ve Özellikleri
 Olasılık, kitle ile örneklem arasındaki bağıntıyı kurmaya yardımcıdır. Bu amaçla önceki konularda,
rastlantıya bağlı olaylardan ve bu olayların gerçekleşme olasılıklarından söz edilmişti.
 Rasgele deney sonucunda tanımlanan bir özellik sayısal bir değerle ifade edilebiliyorsa, bu özellik
raslantı değişkeni olarak isimlendirilecektir. Örneğin:
 Bir basketbol takımının bir sezon boyunca her maçta kazandığı sayılar,
 Bir sigorta şirketine gelen, belirlenen bir ay içinde belli bir zaman aralığında gelen müşterilerin
günlük sayıları,
 Bir denetçinin hatalı dosya buluncaya kadar inceleyeceği dosya sayısı,
 Bir gıda maddesinde koruyucu madde oranı,
 Paketlenmiş olarak satılan bir ürünün ağırlığı .
 Raslantı değişkenleri X, Y, Z gibi büyük harflerle, bu değişkenlerin aldığı sayısal değerler de x, y, z
gibi küçük harflerle gösterilir. Örneğin sezon boyunca her maçta kazanılan basketbol sayıları X, alınan
değerler ise x1=82, x2=70,...,x34=65 olacaktır.
Raslantı Değişkeni Tanımı Ve Özellikleri
 Kesikli Raslantı Değişkenin Dağılımı:
 X, sonlu sayıda x1,x2,...,xn değerlerini
f(xi)=P(X=xi)
i=1,2,...,n
olasılıkları ile alabilen kesikli raslantı değişkeni olsun.
 Bu raslantı değişkeninin alabileceği değerlerin, o değeri alma olasılıkları ile birlikte
belirtilmesine X’in olasılık dağılımı ya da olasılık fonksiyonu (kesikli olasılık fonksiyonu) denir.
 X’in olasılık dağılımı ya da olasılık fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlar:
1- P(X=xi)0
tüm xi’ler için
n
2-  P(X  x i )  1
i 1
dir.
: Örneklem uzayı sonsuz ise ikinci koşul olur.
Raslantı Değişkeni Tanımı Ve Özellikleri
 Kesikli Olasılık Dağılımından Yararlanarak Olasılık Hesaplama:
 Olasılık dağılımları raslantı değişkeni için bir fonksiyon vereceğinden, tüm örneklem uzayını
tek tek yazmadan da yukarıda verilen fonksiyon yardımıyla istenilen olasılıklar elde edilebilir.
 Örneğin; P(X=a), P(Xa), P(Xa), P(aXb) olasılıkları toplam alınarak bulunabilir.
 Aşağıda ilgili olasılık formülleri verilmiştir:
P(X=a)=f(a)

P(X  a )   P(X  x k )
x k a
a
P(X  a )   P(X  x k )
x k  
b
P (a  X  b )   P ( X  x k )
x k a
Raslantı Değişkeni Tanımı Ve Özellikleri
 Kesikli Raslantı Değişkeninin Beklenen Değeri ve Varyansı:
 Kitle ortalaması ’nün bir diğer gösterimi E(X)’dir. E(X), beklenen değer olarak adlandırılır.
 x1,x2,...,xn , X raslantı değişkeninin değerleri ve P(X=x1), P(X=x2), ...,P(X=xn) de bu raslantı
değişkenlerini alma olasılıkları ise E(X);
E(X)==x1P(X=x1)+ x2P(X=x2)+ ...+xnP(X=xn)
=
 xP (X  x ) eşitliği ile bulunur.
x
 , X’in aldığı değerlerin ağırlıklı ortalaması olup, ağırlıklar P(X=x) olasılıklarıdır.
 Beklenen değer, raslantı değişkeninin çok sayıda denemede alacağı değerlerin uzun dönem
ortalaması olarak da açıklanabilir.
 Örnek: Bir kitap sayfalarındaki yanlış sözcük sayıları belirlenmiştir. Sayfaların %79’unda hiç
yanlış bulunmamıştır. %19’unda 1, %1’inde 2, %0,8’inde 3, %0,2’sinde 4 yanlış sözcük
bulunmuştur. Burada X raslantı değişkeni yanlış sözcük sayıları ise, kitaptaki ortalama yanlış
sözcük sayısı nedir?
Olasılıklar,
P(X=0)=0,79; P(X=1)=0,19; P(X=2)=0,01 ; P(X=3)=0,008; P(X=4)=0,002
olmak üzere, kitaptaki ortalama yanlış sözcük sayısı,
E(X)==00,79+10,19+20,01+30,008+40,002=0,242 dır.
Raslantı Değişkeni Tanımı Ve Özellikleri
 Tanım :
 X raslantı değişkeni ister kesikli ister sürekli olsun, bu değişkenlerin kitlede birbirinden farklı
olabileceği açıktır. Raslantı değişkenlerinin ortalamadan ayrılış ölçüsü varyans ile belirlenir. X
raslantı değişkeninin varyansı V(X) ile ya da 2 ile gösterilir. Bu tanımdan,


 2  E X      ( x  ) 2 P(X  x )
2
olarak
x
2
2
2
2
2


E
(
X
)



x
P
(
X

x
)



ya da daha basit olarak
biçimde de yazılabilir.
x
 Varyans’ın kare kökü standart sapmadır ve X raslantı değişkeninin
standart
sapma,
gösterilir.
 Örnek: Yazım hataları ile ilgili problem için varyans ve standart sapmayı bulunuz.
Sayfalardaki
yanlış sayısı
Olasılık
0
0,79
020,79=0
1
0,19
120,19=0,19
2
0,01
220,01=0,04
3
0,008
320,008=0,072
4
0,002
420,002=0,032
x 2 P(X  x )
Verilere ilişkin varyans;
 2  0,334  0,242 2  0,28
Starndart sapma;
  0,28  0,53
.
ile
Raslantı Değişkeni Tanımı Ve Özellikleri
 Sürekli Raslantı Değişkenleri ve Olasılık Dağılımından Yararlanarak Olasılık Hesaplama:
 Tanım:
 X raslantı değişkeni, a, b aralığında her gerçel değeri alıyor ise, X sürekli raslantı
değişkenidir. Örneğin hasar tutarı, ağırlık, alınan notlar vb.
 X sürekli raslantı değişkeninin belli değerleri alma olasılıklarını hesaplamak için
kullanılan fonksiyona olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.
 Kesikli raslantı değişkenlerinde olasılık fonksiyonunun gördüğü tüm işlevleri, sürekli
raslantı değişkenlerinde olasılık yoğunluk fonksiyonu üslenir.
 X sürekli bir raslantı değişkeni olduğunda, X’e ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonu, f(x) ile
gösterilir. f(x), sürekli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için aşağıdaki koşulları
sağlamalıdır:.
b
f ( x )dx  0
1- a

; axb için
2-
 f ( x )dx  1

 Sürekli raslantı değişkenleri içinde P(X=a), P(Xa), P(Xa), P(aXb) olasılıkları
hesaplanabilir. Aşağıda ilgili olasılıklar verilmiştir:
a
P(X  a )   f ( x )dx
P(X=a)=0

P(X  a )   f ( x )dx
a

b
P(a  X  b)   f ( x )dx
a
Raslantı Değişkeni Tanımı Ve Özellikleri
 Örnek : f(x) fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun.
1

, 0x4
f (x)   4
 0 ,
d.d.
 Bu fonksiyon bir olasılık yoğunluk fonksiyonu mudur?
f(x)0 ve olduğundan, olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
 P(2<X<3) olasılığını bulunuz.
1
1 3
P(2  X  3)   dx  x  0,25
4 2
24
3
 P(X<2,8) olasılığını bulunuz.
1
1 2 ,8
P(X  2,8)   dx  x  0,7
4 0
0 4
2 ,8
 P(X>3) olasılığını bulunuz.
1
1 4
P(X  3)   dx  x  0,25
4 3
34
4
Raslantı Değişkeni Tanımı Ve Özellikleri
 Tanım :
 Sürekli bir raslantı değişkeninin beklenen değeri (ortalaması),
E(X)= =

 xf ( x )dx

ve varyansı

2
 EX      (X  ) f (x)dx
2

2
olarak hesaplanır.

Bu formül daha basit olarak aşağıdaki biçimde de verilebilir:

  E(X )     x 2 f (x)dx   2
2
2
2

 Örnek: Önceki örnek de verilen f(x) fonksiyonun beklenen değerini ve varyansını bulunuz.

E(X)= =  xf ( x )dx

=
4
1
x
x2
 x 4 dx   4 dx  8
0
0
4
x3
2
2
2 1
 x
dx  2 
4
12
0
4
4
2
0
4
4 
0
64
16 4
4 

12
12 3
Raslantı Değişkeni Tanımı Ve Özellikleri
 Beklenen değer ile ilgili özellikler:
 Sabit sayıların beklenen değeri kendisine eşittir. k herhangi bir sabit sayı olmak üzere;
E(k)=k dır.
 k herhangi bir sabit sayı ve X raslantı değişkeni olmak üzere k ile X’in çarpımının beklenen
değeri, k tane X’in beklenen değerinin çarpımına eşittir. Yani
E(kX)=kE(X) dır
 k sabit bir sayı, X bir raslantı değişkeni ve U(X), X raslantı değişkeninin bir fonksiyonu olsun. k
sabit sayı ile U(X) fonksiyonunun çarpımının beklenen değeri, U(X) fonksiyonun beklenen değeri
ile k sabit sayısının çarpımına eşittir. Yani,
E[kU(X)]=kE[U(X)] olup, burada
 u ( x )P(X  x ) (kesikli )
x
dir.
EU(X)    
(sürekli )
  u ( x )f ( x )dx
 
Raslantı Değişkeni Tanımı Ve Özellikleri
 Varyans ile ilgili özellikler:
 Sabit bir sayının varyansı sıfıra eşittir. k sabit bir sayı olmak üzere,
V(k)=0
dir.
 k sabit bir sayı ve X raslantı değişkeni olmak üzere, k ile X’in çarpımının varyansı, X raslantı
değişkeninin varyansı ile k sabit sayısının karesinin çarpımına eşittir.
V(kX)=k2 V(X)
 X raslantı değişkeni ile k sabit sayısının toplamının varyansı, X’in varyansına eşittir. Yani,
V(X+k)=V(X)
olur.
 a, b sabit birer sayı ve X raslantı değişkeni olmak üzere aşağıdaki ifade doğrudur:
V(aX+b)=a2V(X)
1/21