Diferensiyel Denklemler

DİFERENSİYEL DENKLEMLER
Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR
Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR
DİFERENSİYEL DENKLEMLER
ISBN: 978-605-318-321-1
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
© 2015, Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
I. Baskı: Aralık 2015, Ankara
Yayın-Proje : Neslihan Gürsoy
Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek
Kapak Tasarımı: Dilek Karakurt
Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.
İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA
(0312 394 55 91)
Yay ıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA
Yayınevi 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
internet: www.pegem.net
E-ileti: pegem@pegem.net
İçindekiler
iii
ÖN SÖZ
Bazı konularını uzun yıllar lisans derslerinde okuttuğumuz ve diferensiyel denklem sistemleri ile sınır değer problemleri konularını yüksek lisans derslerinde
göz önünde bulundurduğumuz bu kitap on bölüm halinde hazırlanmıştır.
Birinci bölümde, diferensiyel denklemlere giriş anlamında bazı ön bilgiler verilerek temel kavramlar tanıtılmaya çalışılmıştır.
İkinci bölümde, birinci mertebeden diferensiyel denklemler, bazı çözüm metotları, birinci mertebeden lineer denklemler ve lineer hale getirilebilen bazı denklemlerin çözümüne ilişkin çalışmalar yapılmıştır.
Üçüncü bölümde, birinci mertebeden ve yüksek dereceden denklem tipleri ve
çözüm metotları incelenmiştir.
Dördüncü bölümde, birinci mertebeden denklemlerin uygulamalarına dair bazı
örnekler üzerinde durulmuştur.
Beşinci bölümde, birinci mertebeden bir başlangıç değer probleminin çözümünün varlığı ve tekliği üzerinde çalışılmış olup tekil çözümlere sahip denklemlere
ait özellikler incelenmiştir.
Altıncı bölümde yüksek mertebeden sabit katsayılı, lineer denklemler tanıtılmış
ve bu denklemlerin çözüm metotlarına dair çalışmalar yapılmıştır. Ayrıca değişken katsayılı olmasına rağmen sabit katsayılı hale getirilebilen Cauchy-Euler
denkleminin çözümü incelenmiştir.
Yedinci bölümde, değişken katsayılı diferensiyel denklemlerin Taylor ve Frobenius serileri yardımıyla çözümü, Bessel denklemlerinin çözümü ve Fourier serisi
metodu üzerinde çalışılmıştır.
Sekizinci bölümde, diferensiyel denklem sistemleri, özdeğer ve özvektör konuları
ile özuzay ve özbaz kavramları üzerinde durulmuştur. Ayrıca üstel matrislere ait
bazı özellikler incelenmiştir.
Dokuzuncu bölümde, sınır değer problemlerine yer verilmiştir. Burada, sınır
değer problemine ait diferensiyel operatörün Green fonksiyonu ve SturmLiouville probleminin bazı özelliklerine dair konular üzerinde çalışılmıştır.
iv
Diferensiyel Denklemler Onuncu bölümde Laplace dönüşümü, ters Laplace dönüşümü ve konvolusyon
konuları üzerinde durulmuş ve diferensiyel denklemlere ait bazı uygulamaları
incelenmiştir.
Bu kitap diferensiyel denklemler dersinin okutulduğu bölümlerde ders kitabı
olabilecek şekilde hazırlanmıştır.
Konuların hazırlanışı aşamalarında gerekli hassasiyeti göstermemize rağmen
hata ve eksiklerimizin olabileceğini kabul ederek okuyucu tarafından gelebilecek
uyarılara açık olduğumuzu ve bundan memnuniyet duyacağımızı belirtmek
isterim.
Akademik hayatımda her zaman yanımda hissettiğim hocalarım Prof. Dr. Nuri
Kuruoğlu, Prof. Dr. Ömer Akın ve Prof. Dr. Oktay Muhtaroğlu’na, akademik
çalışmalarım sürecinde bana gösterdikleri sabır ve desteklerinden dolayı eşime
ve çocuklarıma, Pegem Akademi Yayıncılık şirket müdürü Sayın Servet Sarıkaya
ve onun şahsında emeği geçenlere ve kitabın dizgisini yapan Şermin Demirhan’a
teşekkür ederim.
Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR
İçindekiler
v
İÇİNDEKİLER
BÖLÜM 1
GİRİŞ
1.1 Matematiksel Modeller............................................................................................... 1
1.2 Temel Kavramlar......................................................................................................... 5
1.3 Diferensiyel Denklemlerin Elde Edilişi .................................................................. 25
BÖLÜM 2
BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERENSİYEL DENKLEMLER
2.1 Değişkenlerine Ayrılabilen Diferensiyel Denklemler .......................................... 29
2.2 Tam Diferensiyel Denklemler ................................................................................. 32
2.3 İntegral Çarpanı ........................................................................................................ 42
2.4 Homojen Denklemler ............................................................................................... 50
2.5 Birinci Mertebeden Lineer Diferensiyel Denklemler ........................................... 62
2.6 Bernoulli Denklemi................................................................................................... 78
2.7 Riccati Denklemi ....................................................................................................... 83
BÖLÜM 3
BİRİNCİ MERTEBEDEN VE YÜKSEK DERECEDEN DİFERENSİYEL DENKLEMLER
3.1 Çarpanlara Ayrılabilen Denklemler ....................................................................... 93
3.2 Bağımsız Değişkene Göre Çözülebilen Denklemler............................................. 96
3.3 Bağımlı Değişkene Göre Çözülebilen Denklemler ............................................... 98
3.4 Bağımlı Değişkeni İçermeyen Denklemler .........................................................101
3.5 Bağımsız Değişkeni İçermeyen Denklemler .......................................................103
3.6 Clairaut Denklemi ...................................................................................................108
3.7 Lagrange Denklemi .................................................................................................111
vi
Diferensiyel Denklemler BÖLÜM 4
BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN BAZI UYGULAMALARI
4.1 Yörüngeler................................................................................................................115
4.2 Dik Yörüngelerin Bulunması ................................................................................115
4.3 Eğik Yörüngelerin Bulunması ...............................................................................120
4.4 Doğal Büyüme ve Azalma ......................................................................................123
BÖLÜM 5
BİRİNCİ MERTEBEDEN DENKLEMLER İÇİN VARLIK VE TEKLİK TEOREMLERİ
5.1 Bazı Temel Kavramlar .............................................................................................131
5.2 Varlık ve Teklik Teoremleri....................................................................................138
5.3 Çözümün Sürekliliği ................................................................................................158
5.4 Türeve Göre Çözülemeyen Denklemlerin Çözümünün Varlığı ve Tekliği .....163
5.5 Tekil Nokta, Tekil Eğri, Tekil Çözüm ve Zarf ......................................................171
A) Türeve Göre Çözülebilen Birinci Mertebeden Denklemlerin
Tekil Çözümleri ................................................................................................171
B) Türeve Göre Çözülemeyen Birinci Mertebeden Denklemlerin
Tekil Çözümleri ................................................................................................173
1) p -diskriminant eğrileri ......................................................................................173
2) c - diskriminant eğrileri......................................................................................175
BÖLÜM 6
YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERENSİYEL DENKLEMLER
6.1 Lineer Diferensiyel Denklemlere Ait Temel Kavramlar ve Özellikler .............183
6.2 Yüksek Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer ve Homojen
Denklemlerin Çözümü ...........................................................................................189
6.3 Yüksek Mertebeden Sabit Katsayılı ve Homojen Olmayan
Lineer Denklemlerin Çözümü ...............................................................................201
1. Sabitlerin (parametrelerin) değişimi metodu...................................................203
2. Belirsiz katsayılar metodu ...................................................................................222
3. Operatör metodu .................................................................................................243
6.4 Cauchy-Euler Diferensiyel Denklemi ..................................................................249
İçindekiler
vii
BÖLÜM 7
LİNEER DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN KUVVET SERİLERİ İLE ÇÖZÜMÜ
7.1 Adi Nokta Civarında Diferensiyel Denklemlerin Çözüm Metodu ..................263
7.2 Tekil Nokta Civarında Diferensiyel Denklemlerin Frobenius
Serisi ile Çözümü .....................................................................................................277
7.3 Bessel Diferensiyel Denklemleri ve Bessel Fonksiyonları ..................................306
7.4 Fourier Serisi Metotları ..........................................................................................317
A) Tek ve çift fonksiyonların Fourier serisi..........................................................321
B) Fourier serisinin yakınsaklığı ............................................................................326
7.5 Fourier Serilerinin Uygulamaları ...........................................................................334
BÖLÜM 8
LİNEER DİFERENSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ
8.1 Normal Lineer Diferensiyel Denklem Sistemleri................................................341
A) Sabit Katsayılı Homojen Normal Denklem Sistemlerinin
Çözüm Metotları ............................................................................................... 345
B) Sabit Katsayılı Homojen Olmayan Lineer Normal Denklem
Sistemlerinin Çözümü ......................................................................................356
8.2 Lineer Diferensiyel Operatörler ve Operatör Metodu .......................................368
8.3 Standart Lineer Denklem Sistemleri.....................................................................375
8.4 Matrisler ve Lineer Denklem Sistemleri ..............................................................394
A) Lineer Denklem Sistemleri ................................................................................394
B) Lineer Homojen Normal Diferensiyel Denklem Sistemlerinin
Özdeğerleri, Özvektörleri ve Çözümü .............................................................404
1) Farklı özdeğerler .................................................................................................410
2) Katlı özdeğerler ....................................................................................................418
C) Özuzay ve Özbaz ................................................................................................459
D) Homojen Olmayan Normal Lineer Denklem Sistemlerinin
Özdeğerleri, Özvektörleri ve Çözümü ...........................................................467
8.5 Üstel Matrisler ve Lineer Denklem Sistemleri ...................................................511
viii
Diferensiyel Denklemler A) Üstel Matrislere Ait Bazı Temel Özellikler ....................................................511
B) Sabit Katsayılı Sistemler İçin Başlangıç Değer Problemi ..............................527
8.6 Denklem Sistemleri ve Yüksek Mertebeden Denklemler için
Varlık ve Teklik Teoremleri ...................................................................................536
BÖLÜM 9
SINIR DEĞER PROBLEMLERİ VE LİNEER DİFERENSİYEL OPERATÖRLER
9.1 Lineer Operatörler ve Spektral Özellikleri ...........................................................545
9.2 Sınır Değer Problemleri .........................................................................................550
9.3 Eşlenik (adjoint) Sınır Değer Problemi ................................................................556
1) Eşlenik diferensiyel denklemler, Green formülü ve Lagrange formülü .......556
2) Eşlenik sınır şartları .............................................................................................573
9.4 Özdeğer Parametreli Sınır Değer Problemleri ...................................................583
9.5 Sınır Değer Problemi ile Eşlenik Probleminin Özdeğerleri ve
Özfonksiyonları Arasındaki İlişkiler ...................................................................590
9.6 Lineer Diferensiyel Operatörün Green Fonksiyonu .........................................595
9.7 Sturm-Liouville Sınır Değer Problemleri ............................................................624
BÖLÜM 10
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ
10.1 Bazı Temel Kavramlar ..........................................................................................665
10.2 Laplace Dönüşümü ve Özellikleri .......................................................................670
10.3 Ters Laplace Dönüşümü ve Özellikleri ..............................................................691
10.4 Konvolusyon ..........................................................................................................695
10.5 Laplace Dönüşümünün Uygulamaları ...............................................................700
A) Başlangıç Değer Problemlerinin Çözümü......................................................700
B) Dirac Delta Fonksiyonu ve Laplace Dönüşümü ............................................714
10.6 Bazı Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri .......................................................717
Kaynaklar.........................................................................................................................724
İndex.................................................................................................................................726
Bölüm 1
Giriş
Bu bölümde fiziksel olaylara dair matematiksel modeller, fonksiyon ve denklem
kavramı, diferensiyel denklem tanımı ve diferensiyel denklemlerin çözüm tipleri,
başlangıç değer problemleri, başlangıç değer problemlerinin çözümünün varlığı
ve tekliği ve diferensiyel denklemlerin elde edilişleri ile ilgili çalışmalar yapılmıştır.
1.1 Matematiksel Modeller
Diferensiyel denklemler, özellikle fiziksel ve doğal olayların bir matematiksel
modellemesi olduğundan burada bu tip denklemlere ait bazı örnekler vereceğiz.
1) Serbest düşme hareketi. Bir cisim belli bir yükseklikten ilk hızı sıfır olacak
şekilde bırakıldığında yere doğru düşen cismin bu hareketine serbest düşme
hareketi denir. m kütle, v hız, a ivme, g yerçekimi ivmesi ve t zaman olmak
üzere serbest düşme hareketi
ma  mg , v(0)  0
veya
a  g , v(0)  0
problemi şeklinde ifade edilir ve buradan v ile t arasında
v  gt
bağıntısı bulunur.
Buna göre matematiksel olarak
y   a , y (0)  0 ,  a   
şeklinde yazılan problemin bile basit görünümlü olmasına rağmen bir fiziksel
açıklaması vardır.
2
Diferensiyel Denklemler 2) Populasyon modeli. Bu model 1798 yılında Thomas Robert Malthus tarafından geliştirilmiş bir modeldir. N (t ) , bir t zamanındaki nüfusu göstermek üzere
bu model
N (t )  kN (t ) , N(t0 )  N0
problemi ile verilir. Bu problemin çözümü
N (t )  N0ek(t t0 )
şeklinde elde edilir.
3) Van der Pol denklemi. Bu denklem elektrik kondansatörlerinin devreleri
arasındaki elektrik akımı
C
dV
dI
 I  0 , V  L  RI
dt
dt
şeklinde modellenir. Burada V voltaj, C kondansatör kapasitesi, R rezistans ve
L bobin indüktansını gösterir. Bu iki denklem arasından
CL
d 2V
dV
 RC
V  0
2
dt
dt
diferensiyel denklemi yazılır.
4) Maxwell denklemleri. Genel olarak Maxwell denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir.
.E 

,

Gaus yasası, elektrik
.H  0 ,
Gaus yasası, manyetik
E   
H  J ,
H  
H
,
t
Faraday yasası
Amper yasası
E
 J , Maxwell’in katkısı ile amper yasası.
t
Burada
    
  , ,  ,
 x y z 
Giriş
3
E elektrik alanı, H manyetik alan,  uzaysal yük yoğunluğu, J akım yoğunluğu,  boş uzayın elektrik geçirgenliği ve  boş uzayın manyetik geçirgenliğidir.
5) Navier-Stokes denklemi. Akışkanlar mekaniğinde, v akışkanın hızı,  yoğunluk ve p basınç olmak üzere yapışkan maddelerin akımı
v
1
 (v.)v   p  vv

t
şeklindeki denklemler ile ifade edilir.
6) Isı denklemi.
ut  ku  0 , k  0
denklemine ısı denklemi denir ve bu denklem difüzyon (yayınım) denklemi
olarak da bilinir.
7) Dalga denklemi. Bir boyutlu homojen dalga denklemi
utt  c2uxx  0
ve bir boyutlu homojen olmayan dalga denklemi
utt  c2uxx  f (x, t )
şeklinde bir denklemdir.
8) Rodyoaktif bozunma. Bir t anında N sayıda radyoaktif çekirdek mevcutsa
ve numuneye yeni bir çekirdek ilave edilmiyorsa dt zaman aralığında bozunan
dN çekirdek sayısı N ile orantılıdır. Bu olaya ilişkin diferensiyel denklem
dN
 kN
dt
şeklinde ifade edilir. Eğer bir t  t0 anında N  N0 ise problem
dN
 kN , N(t0 )  N0
dt
biçiminde olup bu problemin çözümü
4
Diferensiyel Denklemler dN
 kdt
N
lnN  kt  c1
N  e  kt e c1
N  ce  kt
N  N 0 e  k (t 0  t )
şeklinde elde edilir. Eğer N (0)  N0 ise bu çözüm
N  N0e kt
biçiminde olacaktır. Bir t zaman aralığında N çekirdek sayısı yarıya düşüyorsa
bu zamana yarı ömür zamanı denir ve t1 2 ile gösterilir. Son denklemde
N  N0 2 yazılırsa t  t1 2 yarı ömür zamanı
t  t1 2 
ln2
k
olur.
9) Newton’ nun ikinci kuralı. Bir cismin ivmesi cisme etki eden kuvvetle doğru,
cismin kütlesi ile ters orantılı olup bu durum
F  ma  m
dv
dt
şeklinde ifade edilir.
10) Newton’ nun evrensel çekim kuralı. Evrendeki her bir parçacık diğer bir
parçacığı kütleleriyle doğru aralarındaki uzaklığın karesiyle ters orantılı olan bir
kuvvetle çeker. Bu durumu ifade eden bağıntı
F G
m1m2
r2
ile verilir. Burada G genel yerçekimi sabitidir.
Giriş
5
1.2 Temel Kavramlar
Bu kısımda öncelikle, fonksiyonlara ait yapılan bazı sınıflandırmaları hatırlatmak istiyoruz.
Tanım 1.1
a) f : D     , f ( x )  y fonksiyonuna tek değişkenli ve reel değerli,
b) f : D  n   , f (x1 , x2 ,..., xn )  u , ( n  1 ), fonksiyonuna n -değişkenli
(veya çok değişkenli) ve reel değerli,
c) f : D    m , f (x )   u1 ( x ), u2 (x ),..., um ( x )   u , ( m  1 ), fonksiyonuna
tek değişkenli ve vektör değerli,
d) f : D  n  m , f ( x1 , x 2 ,..., xn )   u1 ( x ), u2 (x ),..., um ( x )  , x  (x1 , x2 ,..., xn )
( n, m  1 ) fonksiyonuna da n -değişkenli ve vektör değerli fonksiyon adı verilir.
Örnekler:
f : D     , f (x )  y , y  x2  2
fonksiyonu tek değişkenli ve reel değerli bir fonksiyon,
f : D  2   , f (x , y )  z , z  xy  x 2  y 3 ,
f : D  3   , f (x , y , z )  u , u  e xyz  x 2 y  yz
fonksiyonları çok değişkenli ve reel değerli fonksiyonlar
f : D  3  2 , f (x1 , x 2 , x3 )   u1 (x1 , x 2 , x3 ), u2 (x1 , x 2 , x3 ) 
 (x1x2 x3 , x1  x2  x3 )
f : D  2  3 , f (x1 , x 2 )   u1 (x1 , x2 ), u2 (x1 , x 2 ), u3 (x1 , x 2 ) 
 (x12 x2 , x1  x2 , x1  x2 ) ,
f : D    3 , f (x)  (u1 (x), u2 (x), u3 (x))  (2x, x 2  1, x  2)
fonksiyonları vektör değerli fonksiyonlardır.
Şimdi
f : D     , y  f (x )
(1)
6
Diferensiyel Denklemler şeklinde tanımlanan f fonksiyonunu göz önüne alalım. Burada f (x) , x bağımsız değişkenine ait herhangi dereceden polinom, rasyonel, üstel, logaritmik
veya trigonometrik olarak değişik şekillerde yazılabilen herhangi bir ifadedir. y
değeri ise tanım kümesindeki x bağımsız değişkenine, f vasıtasıyla karşılık
getirilen bağımlı değişkendir. f (x) ifadesi istenildiği kadar değişik şekillerde
yazılabildiği için yine istenildiği kadar y  f (x ) eşitliği kurulabilir. Fonksiyonun
tanımına ait özellikleri göz önünde bulundurulmak üzere bu eşitliklerin her
birine fonksiyona dayalı denklem adı verildiğini biliyoruz. Ancak burada özellikle belirtmek gerekir ki y  f (x ) veya F (x , y )  0 şeklindeki denklemler tanımlanış şekline göre kimi zaman x ve (veya) y nin hiçbir reel değeri için sağlanmayabilir. Örneğin (x  y)  2  0 denklemi x veya y nin reel değerleri için
sağlanmaz. Buna göre, denklem kurulurken fonksiyonun tanımlı olmasına dikkat etmek gerekir.
2
x ve y değişkenlerinin denklem içindeki tanımlanma şekline göre çeşitli denklem tipleri yazmak mümkündür. Bu tip denklemlere ilişkin aşağıdaki örnekler
verilebilir.
a) n    olmak üzere, n -yinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler.
Bu tip denklemlerin çözüm kümesi, en fazla denklemin derecesinin sayısı kadar
noktalardan oluşur.
b) İki bilinmeyenli (biri bağımsız diğeri bağımlı) denklem çeşitleri.
Bu tip denklemler düzlemde açık veya kapalı eğri veya doğru gösteren denklemlerdir.
c) f : D  n  , f (x1 , x2 ,..., xn )  u , n  2,3,...
(2)
şeklinde tanımlı çok değişkenli fonksiyonlar yardımıyla kurulabilen denklemler
olup bu tip denklemler ( n  1 )-boyutlu uzayda yüzey gösteren denklemlerdir.
Burada, x1 , x2 ,…, xn bağımsız değişkenler u bağımlı değişkendir.
Şimdi hem tek değişkenli hem de çok değişkenli fonksiyonlara ilişkin aşağıdaki
denklem örneklerini inceleyelim
1) x  3  0 denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olup sadece –3 sayısını bulunduran bir kümeden tanımlı bir fonksiyon için kurulur. Dolayısıyla çözüm kümesi sadece –3 sayısını bulundurur.