Mayıs 3, 2012 MATE 322 DİFERENSİYEL DENKLEMLER 3.7 Yüksek Mertebeden Lineer ve Sabit Katsayılı Diferensiyel Denklemler Yüksek mertebeli diferensiyel denklemlerin çözümü 2. mertebeden diferensiyel denklemler gibidir. Aşağıdaki diferensiyel denklemler yüksek mertebeden homojen olmayan sabit katsayılı lineer diferensiyel denklemlerdir. Örnek 3.7.1 Yüksek mertebeli diferensiyel denklemleri çözünüz a) y (iv ) − y′′′ = x 2 + e x b) y′′′ − 2 y′′ − y′ + 2 y = 4e3 x c) y′′′ + 3 y′′ − 4 y′ − 12 y = 4 cos x 3.8 İkinci Mertebe Sabit Katsayılı ve Homojen Olmayan Lineer Diferensiyel Denklemler Cauchy-Euler Kuralı Bu bölümde ikinci mertebeden Cauchy-Euler diferensiyel denkleminin çözümünü inceleyeceğiz. a0 x2 y′′ + a1 x y′ +a2 y = F(x) …(1) diferensiyel denklem (1) Cauchy-Euler denklemi olarak bilinmektedir. Bu denklemde a0 , a1 ve a2 sabit sayılardır. D.A.Ü Matematik Bölümü Page 54 MATE 322 DİFERENSİYEL DENKLEMLER x = et Mayıs 3, 2012 dönüşümü Cauchy-Euler diferensiyel denklemini sabit katsayılı lineer olan diferensiyel denkleme dönüştürür. t x > 0 olmak üzere x = e ise t = ln x olur. Bu dönüşümler kullanılarak aşağıdaki türevler ݐbilinmeyenine bağlı olarak hesaplanır: dy dy dt 1 dy = . = . dx dt dx x dt d 2 y 1 d 2 y dt 1 dy 1 d 2 y 1 dy 1 d 2 y dy = . . − . = . − . = ( − ) dx 2 x dt 2 dx x 2 dt x 2 dt 2 x 2 dt x 2 dt 2 dt Yukarıdaki türevleri Cauchy-Euler diferensiyel denklemine yerleştirirsek aşağıdaki diferensiyel denklemi elde ederiz: d2y dy A0 2 + A1 + A2 y = G (t ) dt dt …(2) veya A0 y ′′(t ) + A1 y′(t ) + A2 y (t ) = G (t ) . Denklem (2) elde edilirken A0 = a0 , A1 = a1 − a2 , A2 = a2 D.A.Ü. t ve G (t ) = F ( e ) olarak seçilirler. Matematik Bölümü Page 55 Mayıs 3, 2012 MATE 322 DİFERENSİYEL DENKLEMLER En son elde ettiğimiz diferensiyel denklemin, yani denklem (2) nin, çözümü Cauchy-Euler denkleminin çözümünü verir. Bulduğumuz çözüm ݐbilinmeyenine bağlı olacağından x cinsinden kullanıp bulduğumuz çözümü Hatırlatma: denklemleri, yine x = et dönüşümünü yeniden ifade ederiz. Yüksek mertebeden Cauchy-Euler diferensiyel x = et dönüşümü kullanılarak çözülür. Cauchy-Euler diferensiyel denklemininin en genel şekli: n a0 ( ax +b) y(n) + a1 ( ax +b) n−1 y(n−1) +a2 ( ax +b) n−2 y(n−2) +...+ an−1 ( ax +b) y′ + an y = F(x) Bu denklemin dönüşümü Örnek 3.8.1: ax + b = et Cauchy-Euler diferensiyel denklemlerini çözünüz a) x 2 d2y dy − 5 x + 8 y = 2 x3 , x > 0 2 dx dx b) x 2 d2y dy + x + 4 y = 2 x ln x 2 dx dx D.A.Ü. olarak düşünülmelidir. Matematik Bölümü Page 56 MATE 322 DİFERENSİYEL DENKLEMLER Mayıs 3, 2012 d2y dy − (2 x + 1) + y = 0 c) (2 x + 1) 2 dx dx 2 Örnek 3.8.2 Başlangıç-değer problemini x 2 y′′ − 6 y = ln x 1 1 y (1) = , y′(1) = 6 6 çözün. D.A.Ü. Matematik Bölümü Page 57