dosyayı indir

OLASILIK
Rüstem YILMAZ
546 550 86 48
destek@sinavdestek.com
www.sinavdestek.com
(Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)
JET Yayınları
31 Ocak 2017
Olasılık
Rüstem YILMAZ
0.1
Teorik Olasılık
0.1.1
Deney ve Çıktı
4. Bir zar ile bir madeni paranın havaya atılması deneyinde
örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz.
Bir madeni paranın havaya atılması, bir zarın atılması, bir
hedefe ok ile atış yapılması gibi işlemlere deney denir.
Bir deneyin elde edilebilen sonuçlarına deneyin çıktıları denir
0.1.2
Örneklem Uzay ve Örneklem Nokta
Bir deneyin elde edilebilecek tüm sonuçlarının kümesine
5. 4 kız 3 erkek arasından rastgele iki kişinin seçilmesi
Örnek uzay denir. ve genellikle E harfiyle gösterilir.
deneyinin örneklem uzayının eleman sayısını bulunuz.
Örnek uzayın her bir elemanına da Örneklem nokta denir.
1. Bir tavla zarının atılışı deneyinde elde edilecek örneklem uzay ve örnek noktaları bulunuz.
6. Özdeş 4 kırmızı 3 mavibilyenin yanyana sıralanması deneyinin örneklem uzayının eleman sayısını bulunuz.
2. Üç madeni paranın havaya atılması deneyinde örneklem
uzayı bulunuz.
7. 4 mor, 5 turuncu özdeş bilyenin bulunuduğu bir torbadan
2 bilye alınması deneyinin örneklem uzayının eleman
sayısını bulunuz.
3. iki zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayı bulunuz.
2
Olasılık
0.1.3
Rüstem YILMAZ
Olay
0.1.4
Örnek uzayın herbir alt kümesine Olay denir.
Olasılık(ihtimal,Şans)
Bir olayın Örneklem uzay içinde payı demektir.
Bu alt kümelerden boş kümeye imkansız(olanaksız) olay,
E örneklem uzayınada kesin olay denir.
P (A) =
s(A)
s(E)
0 ≤ s(A) ≤ s(E) olduğundan
0
s(A)
s(E)
≤
≤
=⇒ 0 ≤ P (A) ≤ 1 olur.
s(E)
s(E)
s(E)
8. Bir tavla zarının atılışı deneyinde üst yüze asal gelme
olayını yazınız eleman sayısını belirtiniz.
13. Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı gelme olasılığı
nedir? 12
9. Üç madeni paranın havaya atılması deneyinde üst yüze
2 tura 1 yazı gelmesi olayını yazınız ve eleman sayısını
belirtiniz.
14. Bir zar atıdığında üst yüze 2 gelme olasılığı nedir?
10. iki zarın havaya atılması deneyinde üst yüze gelen sayı-
1
6
15. Bir zarın havaya atılması deneyinde,
lar toplamının 5 olması olayını yazınız ve eleman sayısını
a. üst yüze gelen sayının asal olma olasılığı kaçtır?
1
belirtiniz.
2
11. 3 kız 4 erkek arasından rastgele iki kişinin seçilmesi
deneyinin ikisininde kız olması olayını yazınız ve eleman
b. üst yüze gelen sayının en az 5 olma olasılığı kaçtır?
1
sayısını belirtiniz.
3
12. Özdeş 4 siyah 5 mavi bilyenin yanyana sıralanması de-
c. üst yüze gelen sayının çift veya asal olma olasılığı
kaçtır? 56
neyinde siyah bilyelerin yanyana olması olayını yazınız
ve eleman sayısını bulunuz.
3
Olasılık
Rüstem YILMAZ
0.1.5
Ayrık olay
17. A ve B, E örnek uzayında iki olaydır.
Aynı örnek uzayda yer alan iki olayın kesişimi boş küme
P (A) =
ise, bu olaylara ayrık olaylar denir.
2
,
5
P (B 0 ) =
1
,
3
ve
P (A ∩ B) =
olduğuna göre, P (A ∪ B) değeri kaçtır?
A ∩ B = ∅, ise P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
4
5
4
15
16. Bir çift zar havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayılar toplamı 5 olması olayı A olsun, üst yüze gelen sayılar toplamı 8 olması olayı B olsun. Buna göre P (A ∪ B) nedir?
0.1.6
Olasılık fonksiyonu ve Özellikleri
Bir E Örnek uzayında tanımlı tüm olayların kümesinden
[0, 1] aralığına tanımlanan ve aşağıdaki aksiyomları
sağlayan P fonksiyonuna Olasılık fonksiyonu denir.
A, E örnek uzayında bir olay ve P (A) olayının olasılığı
18. Bir koşuya katılan üç atlet vardır. Atletlerden birincisi-
olmak üzere,
nin yarışı kazanma olasılığı, ikinci atletin yarışı kazanma
olasılığının yarısına, üçüncü atletin kazanma olasılığının
ise üç katına eşittir. Bu yarışı birinci atletin kazanma
3
olasılığı nedir?
10
a) 0 ≤ P (A) ≤ 1
b) P (E) = 1 dir. Kesin olaydır.
c) P (A) = 0 ise Olanaksız olaydır
Özellikler:
(a) P (A0 ) : A olayının olmama olasılığı ise
P (A) + P (A0 ) = 1 dir
(b) A ve B ayrık olmayan iki olay ise
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
(c) P (∅) = 0
(d) A ⊆ B ise P (A) ≤ P (B) dır.
4
Olasılık
0.2
Rüstem YILMAZ
Sonsuz Örnek Olay
21. Şekilde ABC dik üçgeni verilmiştir.
AB ⊥ BC ,|AB| = 5cm, |BC| = 12cm ise
Örnek:
Bir dairenin içindeki noktalar kümesi sonsuz örnek uzay
olur.
Örnek:
Bir doğru parçasının üzerindeki noktalar kümesi sonsuz
ABC üçgeninin içinde alınan bir herhangi bir noktanın
örnek uzay olur.
bütün köşelere olan uzaklığının 1cm den fazla olma olasılığı nedir?
19. ABCD karesinin içteğet çemberi çizilmiştir.
Buna göre karenin içinde seçilen bir noktanın çembere
ait olma olasılığı kaçtır?
P (A) =
Dairenin Alanı
πr2
π
=
=
Karenin Alanı
4.r2
4
20. Bir daire içinde alınan bir noktanın dairenin merkezine
çevresinden daha yakın olma olasılığı nedir?
5
Olasılık
0.3
Rüstem YILMAZ
Bağımsız Olaylar ve Olasılığı
24. Bir torbada büyüklükleri aynı 4 mavi, 3 kırmızı, 2 beyaz top vardır. Torbadan aynı anda 3 top çekiliyor. Bu
Oluşları birbirini etkilemeyen olaylara bağımsız olaylar
toplardan;
denir. Bağımsız olayların olasılığı ayrı ayrı olasıklıklaa. Üçününde mavi olması,
rının çarpımına eşittir.
P (P ∩ B) = P (A).P (B)
b) İkisinin kırmızı birinin mavi olması,
Not: Bir torbadan ard arda bilye alınması olayları
bağımsız olaylardır.
c) Üçününde farklı renkte olması,
22. Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya atılıyor. Zarın
asal sayı paranın tura gelme olasılığı nedir?
d) Sadece birinin beyaz olması,
olasılıkları nedir?
23. İki madeni para birlikte atılıyor.
a. ikisininde yazı gelme olasılığı kaçtır?
1
4
25. 4 erkek, 5 kız bir sırada gelişigüzel sıralanıyorlar. Bu
sıralamada;
1
a) Aynı cinsiyetten kişilerin yanyana olması,( 63
)
b. ikisininde aynı gelme olasılığı kaçtır?
1
2
1
b) Erkeklerin yanyana olması,( 21
)
1
c) İki kız arasında bir erkek olması,?( 126
)
c. en az birinin yazı gelme olasılığı kaçtır?
3
4
1
d) Başta ve sonda birer kız olma ( 36
)
olasılıkları nedir?
6
Olasılık
Rüstem YILMAZ
2
26. İki avcıdan birinin hedefi vurma olasılığı ve diğerinin
5
1
hedefi vurma olasılığı tür.
4
Hedefin;
29. 4 kadın ve 5 erkek arasından 4 k işilik bir kurul oluşturulacaktır. Kurulda en az iki kadının bulunma olasılığı
nedir?
1
a) İki avcı tarafından vurulma olasılığı 10
9
b) bir avcı tarafından vurulma olasılığı 20
9
c) hedefin vurulamama olasılığı kaçtır?( 20
)
30. Bir sınıfta 12 kız ve 24 erkek vardır. Kızların 8 i, erkeklerin 12 si gözlüklüdür. Bu sınıftan rastgele seçilen bir
öğrencinin kız veya gözlüklü olma olasılığı nedir?
27. 12 erkek ve 8 kız öğrenciden oluşan bir sınıfta 6 kızın
saçları siyahtır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrenci4
nin kız veya siyah saçlı olma olasılığı olduğuna göre
5
sınıfta kaç tane siyah saçlı erkek öğrenci vardır?
28.
31. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı erkek % 40 ı kızdır. ErkekA = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
lerin % 40 ı ve kızların % 30 u 8 in üstünde not almıştır.
Gelişigüzel seçilen bir öğrencinin 8 in üstünde not almış
kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı
olma olasılığı nedir?
sayılar yazılıyor. Bunlar arasından rastgele seçilen bir
sayının,
(a) Çift sayı olması,
(b) 5 ile bölünebilen bir sayı olması
32. Düzgün bir para 5 kez havaya atılıyor. 3 kez yazı 2 kez
tura gelmesi olasılığı nedir?
(c) 300 den küçük bir sayı olması
(d) İçinde 2 rakamı bulunan bir sayı olması
olasılıkları nedir?
7
Olasılık
Rüstem YILMAZ
33. 16 takımın katıldığı Dünya kupasında Türkiyenin finali
36. Bir çift zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların aynı veya
Almanya ile oynama ve kazanma olasılığı kaçtır?
A)
1
16
B)
1
32
C)
1
64
D)
1
120
E)
toplamlarının 9 dan büyük olma olasılığı nedir?
1
240
• 1.turda Almanya ile karşılaşmama ve kazanma olasılığı
14 1 1
7
· · =
15 2 2
30
• Çeyrek finalde Almanya ile karşılaşmama ve kazanma olasılığı
6 1 1
3
· · =
7 2 2
14
37. Bir kumbarada 100 kuruş değerinde madeni para vardır.
Bunlardan 6 tanesi 10 kuruşluk geri kalanlar 5 kuruşluktur. Rastgele alınan 3 madeni paradan birinin 5 kuruşluk,
• Yarı finalde Almanya ile karşılaşmama ve kazanma
diğer ikisinin 10 kuruşluk olma olasılığı nedir?
olasılığı
2 1 1
1
· · =
3 2 2
6
• Finalde Almanyayı yenme olasılığı
1
2
• Şampiyon olma olasılığı
7 3 1 1
1
·
· · =
30 14 6 2
240
38. A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} kümeleri veriliyor. A
dan B ye tanımlı tüm fonksiyonlar birer karta yazılıp
34.
bir torbaya konuyor. Torbadan bir kart çekildiğinde, bu
333445
kartta yazılı fonksiyonun birebir fonksiyon olma olasılığı
nedir?
sayısındaki rakamları kullanarak yazılabilen altı basamaklı sayılar arasından ratgele seçilen bir sayının 4 ile
başlıyor olma olasılığı nedir?
35. Bir odada 6 evli çift vardır. Bu odadan rastgele iki kişi
seçildiğinde, bu iki kişinin karı koca olma olasılığı nedir?
8
Olasılık
Rüstem YILMAZ
39. Bir sınıftaki 30 erkek ve 20 kızdan, 18 erkek ve 12 kız
42. A torbasında 4 beyaz, 5 sarı; B torbasında 3 beyaz, 4
matematikten başarılıdır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir
sarı top vardır.A dan 1 top çekilip B ye atıldıktan sonra
öğrencinin,
B den çekilen bir topun sarı olma olasılığı nedir?
(a) Erkek olması,
(b) Matematikten başarılı olması,
43. A ve B torbalarının her ikisinde de 4 beyaz, 6 mavi top
vardır. A dan bir top alınıp rengine bakılmadan B ye;
sonradan B den bir top alınıp rengine bakılmadan A
ya konduğunda renk bakımından ilk durumu elde etme
(c) Kız veya matematikten başarılı olması,
olasılığı nedir?
(d) Erkek ve matematikten başarısız olması olasılıkları
nedir?
2
44. İki avcıdan birinin hedefi vurma olasılığı ve diğerinin
5
1
hedefi vurma olasılığı tür.
4
Hedefin,
40. A = {n : 1 ≤ n ≤ 180
(a) İki avcı tarafından vurulma olasılığı
n ∈ Z} kümesinden rastgele
seçilen bir sayının
(a) 3 ile bölünüp, 4 ile bölünememesi olasılığı nedir?
(b) 3 tabanına göre logaritmasının bir tam sayı olma
olasılığı nedir?
(b) bir avcı tarafından vurulma olasılığı
(c) 3 veya 4 ile bölünebilme olasılığı nedir?
41. 16 kişilik bir sınıfta basketbol oynayan 9 kişi, voleybol
oynamayan 5 kişi, sadece bir oyun oynayan 4 kişidir.
(c) vurulamama olasılığı kaçtır?
Rastgele seçilen birinin her iki oyunu da oynuyor olma
olasılığı nedir?
9
Olasılık
Rüstem YILMAZ
45. (2013-LYS)
48. (2011 LYS)
Bir torbada 1’den 9’a kadar numaralanmış dokuz
6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan 2
top bulunmaktadır. Ayşe, 1’den 9’a kadar bir sayı
temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden birinin kız,
belirleyecek ve daha sonra torbadan rastgele bir top
diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır?
çekecektir. Topun üzerinde yazılı olan sayı ile belirlediği
sayının toplamı en çok 9 ve çarpımı en az 9 olursa Ayşe
oyunu kazanacaktır. Ayşe hangi sayıyı belirlerse oyunu
kazanma olasılığı en yüksek olur?
49. (2011 YGS)
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Meriçin elinde kırmızı ve beyaz renklerde toplam 10 top
vardır. Meriç bu topları iki torbaya her bir torbada en
az bir kırmızı ve bir beyaz top olacak şekilde dağıttıktan
sonra şunları söylüyor:
"Birinci torbada 3 kırmızı top vardır. Torbalardan rastgele
birer top çekildiğinde topların ikisinin de kırmızı olma
1
olasılığı ’dir." Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top
2
vardır?
46. (2012-LYS)
Bir torbada 5 kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır. Bu torbadan
aynı anda rastgele 3 bilye çekildiğinde her bir renkten
en fazla 2 bilye olma olasılığı kaçtır?
50. (2007-ÖSS)
A = {−2, −1, 0, 1}
B = {−1, 0, 2, 3}
kümeleri veriliyor. AxB kartezyen çarpımından alınan
bir elemanın (a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır?
47. (2010 YGS)
Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilye vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında torbada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı kaçtır
51. (1998-ÖYS)
Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil vardır. Bu
torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kez birer mendil
çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde mavi, ikincisinde
de yeşil mendil çekme olasılığı kaçtır?
10
Olasılık
Rüstem YILMAZ
52. (1997-ÖYS)
55. (1992-ÖYS)
A torbasında 3 beyaz, 4 kırmızı; B torbasında 5 beyaz, 2
Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır. Aynı
kırmızı top vardır. Aynı anda her iki torbadan birer top
anda çekilen 2 bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah
alınıyor ve öteki torbaya (A torbasından alınan B ye, B
olma olasılığı kaçtır?
torbasından alınan A ya) atılıyor.
Bu işlemin sonucunda torbalardaki kırmızı ve beyaz top
sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır?
56. Her birinden üzerinde yazılı sayı adedince olmak üzere
1 den 9 a kadar numaralandırılmış toplardan üzerindeki
sayı tek olanlar A torbasına , çift olanlar B torbasına
konulmaktadır.
Bir çift zar havaya atılıyor ve üst yüzüne gelen sayıların
53. (1995-ÖYS)
Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Bu torbadan
toplamı 5 ten küçük ise A torbasından, 6 dan büyük ise
rasgele çekilen 3 bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin
B torbasından bir top rasgele çekiliyor.
siyah olma olasılığı kaçtır?
Buna göre çekilen topun üzerinde 3 veya 6 yazılı olma
olasılığı kaçtır?
+
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ayrıca
4
4
6
7
8
9
10
C, D noktaları bir çember üzerindedir.
5
5
7
8
9
10
11
6
6
8
9
10
11
12
54. (1990-ÖYS)
Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki noktadan
yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır?
P (A) =
11
21 6
39
6 3
. + .
=
36 25 36 20
200
Olasılık
0.4
Rüstem YILMAZ
Koşullu Olasılık
58. E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun
E örnek uzayının herhangi iki olayı, A ve B olsun.
P (AB) ifadesi B kümesinin içinde A kümesinin elemanlarının oranını ifade eder ki buda aşağıdaki şekilde
P (A0 ) =
1
,
2
P (B 0 ) =
2
,
3
P (A ∪ B) =
7
ise,
12
a) P (AB)
gösterilir.
P (AB) =
P (A ∩ B)
P (B)
Biz buna A nın B ye bağlı olasılığıda deriz.
b) P (A0 B 0 )
Not: Eğer E Eş olumlu örnek uzay ise,
P (AB) =
s(A ∩ B)
s(B)
c) P (AB 0 ) olasılıkları nedir?
Daraltılmış Evrensel Küme
Bir olasılıkta sonuç hakkında kısmen bir bilgiye sahip
isek tahmin aralığımız kısıtlanmış olur. Olasılığımız artmış demektir.
P (A) =
s(A)
P (A ∩ B)
=
P (B)
s(E 0 )
59. Bir sınıftaki öğrencilerin %30 u fizikten, % 40 ı kimyadan
ve % 10 u da her iki dersten kalmıştır. Bu sınıftan rastgele
ÖRNEK:
seçilen bir öğrencinin,
a) Kimyadan kaldığı bilindiğine göre fizikten de kalmış olması,
b) Fizikten geçtiği bilindiğine göre kimyadan kalmış
olması
57. 12 erkek ve 8 kızdan, 4 erkek ve 3 kızın saçları sarıdır.
Bu gruptan rastgele seçilen biri kız ise sarı saçlı olma
olasılığı nedir?
12
olasılıkları nedir?
Olasılık
Rüstem YILMAZ
60. Bir zar art arda 2 kez atılıyor.
64.
A = {a, b, c, d, e, f }
a) Birinci atışta 4 geldiği bilindiğine göre, zarlardaki
sayılar toplamının 8 den büyük olması,
kümesinin alt kümeleri birer karta yazılıp, bir kutuya ko-
b) Birinci atışta çift sayı geldiği bilindiğine göre,
nuyor. Bu kutudan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen
ikinci atışta gelen sayının birinci atıştaki sayıdan
karttaki kümenin 4 elemanlı bir küme olduğu bilindiğine
daha büyük bir sayı olması olasılıkları nedir?
göre bu kümede b nin bulunma olasılığı nedir?
61. Basketbol, voleybol ve futboldan en az birini oynayanlardan oluşan bir grupta; sadece bir oyun oynayanların
sayıları eşit ve 4 tür. Sadece iki oyun oynayanların sayıları eşit ve 6 dır. Her üç oyunu da oynayanların sayısı
65. (2013-YGS)
2 dir. Bu gruptan rastgele seçilen birinin en az iki oyun
Bir torbada 1’den 10’a kadar numaralandırılmış 10 top
oynadığı bilindiğine göre, her üç oyunu da oynuyor olma
bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen iki topun
olasılığı kaçtır?
numaraları toplamının 15 olduğu bilindiğine göre, 7 numaralı topun çekilmiş olma olasılığı kaçtır?
62. A torbasında 3 turuncu, 4 mavi; B torbasında 2 t uruncu,
5 m avi top vardır. Rastgele seçilen bir torbadan bir top
alınıyor. Alınan topun mavi olduğu bilindiğine göre A
torbasında alınmış olma olasılığı nedir?
66. sınıfta 20 öğrenci vardır. Bunlardan 12 si matematikten,
8 i fizikten ve 5 i hem matematik hem fizikten bütünlemeye kalmıştır. Rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten bütünlemeye kaldığı biliniyor. Bu öğrencinin
63.
fizikten de bütünlemeye kalma olasılığı nedir?
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
kümesinin elemanlarından rastgele ikisi seçiliyor. Seçilen sayıların toplamı çift olduğu bilindiğine göre, her
ikisininde tek sayı olma olasılığı nedir?
13
Olasılık
Rüstem YILMAZ
0.5
67. Bir kutuda bulunan 3 madeni paradan bir tanesi iki yü-
Deneysel olasılık
züde tura olan hileli para ve diğer iki tanesi de düzgün
paradır.
0.6
Test-1 Yeşim
Bu kutudan rastgele bir para çekilerek 4 defa düzgün
bir zemine atıldığında her atışta tura geldiği bilindiğine
1. Bir torbada 5 kırmızı, 4 mavi ve 2 sarı bilye vardır. Torbadan rastgele 3 bölüm çekildiğinde ikisinin kırmızı, bi-
göre, bu paranın hileli para olma olasılığı nedir?
risinin sarı gelme olasılığı nedir?
A)
4
33
B)
5
33
C)
29
33
D)
11
27
E)
1
3
Hileli Paranın Tura Gelme Olasılığı;
1
3
|{z}
·
|1.1.1.1
{z }
=
1
3
2. Bir para ile hilesiz bir zar aynı anda havaya atılıyor.
Hileli Paranın
Hileli Paranın
Zarın 3 veya paranın yazı gelme olasılığı nedir?
Tura Olma Olasılıgı
Gelme olasılıgı
Hilesiz Paranın Tura Gelme Olasılığına;
2
3
|{z}
1 1 1 1
. . .
2
| 2{z2 2}
·
Hilesiz Paranın
Hilesiz Paranın
Gelme olasılıgı
Tura Olma Olasılıgı
A)
=
1
2
B)
2
3
C)
3
4
D)
5
12
E)
7
12
1
24
3. İki madeni para ile hilesiz bir zar aynı anda atılıyor.
1
1
3
= olur.
Paranın Tura Gelme Olasılığı: +
3 24
8
Paraların en az birinin tura, zarın ise bir çift sayı gelme
olasılığı nedir?
Paranın tura geldiği bilindiğine göre, bu paranın hileli
A)
para olma olasılığı ise;
1
Hileli Paranın Tura olma Olasılıgı
8
= 3 =
3
Tura Olma Olasılığı
9
8
1
8
B)
1
2
C)
3
8
D)
5
6
E)
7
8
4. 3 madeni para ile 2 hilesiz zar atılıyor. Paralardan en az
birinin tura ve zarların ikisinin de aynı gelme olasılığı
68. A ve B 3 er elemanlı eşit iki küme olmak üzere, A ve B
nedir?
kümelerinin alt kümelerinden rastgele birer tane şeçildiğinde bu kümelerin eşit olma olasılığı kaçtır?
1
A)
8
1
B)
64
1
C)
9
1
D)
27
A)
1
E)
32
14
1
12
B)
5
24
C)
5
36
D)
7
36
E)
7
48
Olasılık
Rüstem YILMAZ
5. Bir çift hilesiz zar atıldığında gelen sayıların toplamının
en az 4 olma olasılığı nedir?
9. Bir torbada 4 beyaz, 4 yeşil bilye vardır. Çekilen
bilyeler torbaya geri konmamak koşuluyla arka arkaya
3 bilye çekiliyor. Çekilen birinci bilyenin beyaz, üçüncü
A)
2
3
B)
3
4
C)
5
6
D)
11
12
E)
13
24
bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?
A)
1
2
B)
1
4
C)
1
7
D)
2
7
E)
5
7
6. {1, 2, 3, 4, 5, 6} rakamları her sayıda bir kez kullanılmak
koşuluyla 4 basamaklı sayılar birer karta yazılarak bir
torbaya atılıyor. Bu torbadan alınan bir karttaki sayının
çift sayı olma olasılığı nedir?
A)
1
4
B)
1
3
C)
10. Bir kutudaki 9 pilden 4 ü bozuktur. Bu kutudaki rastgele
alınan 3 pilin de bozuk olma olasılığı nedir?
1
2
D)
2
3
E)
3
4
A)
10
21
B)
1
21
C)
4
9
D)
1
3
E)
1
2
7. İki hilesiz zar aynı anda havaya atılıyor. Zarların
üstündeki sayıların toplamının 6 olma olasılığı nedir?
11. Bir torbada 3 beyaz, 2 sarı bilye vardır. Bu torbadan
rastgele seçilen iki bilyenin de kırmızı olma olasılığı ne-
A)
1
36
B)
1
12
C)
5
36
D)
1
9
E)
1
6
dir?
A)
3
28
B)
25
28
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
8. 5 erkek ve 6 kız öğrenci arasından 3 öğrenci rastgele
seçildiğinde en az birisinin erkek öğrenci olma olasılığı
nedir?
4
A)
33
12. Bir torbada 4 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Rastgele seçilen üç bilyenin en az ikisinin beyaz olma olasılığı nedir?
29
B)
33
3
C)
5
1
D)
33
A)
2
E)
5
15
3
7
B)
1
7
C)
1
6
D)
1
2
E)
1
3
Olasılık
Rüstem YILMAZ
13. Bir madeni parayı art arda üç kez attığımızda, sadece iki
kez yazı gelme olasılığı nedir?
A)
1
2
B)
1
4
C)
4
8
17. Bir vazodaki çiçeklerden 4’ü karanfil, 3’ü gül ve 5’i laledir. Bu vazodaki 3 çiçek rastgele seçildiğinde iki karanfil
D)
3
8
E)
2
3
ve bir lale gelme olasılığı nedir?
A)
1
22
B)
3
22
5
27
C)
19
22
D)
E)
21
22
14. Bir A torbasında 5 kırmızı ve 4 yeşil bilye, B torbasında
ise 7 kırmızı ve 6 yeşil bilye vardır. A torbasında rastgele
bir bilye çekilip B torbasına atılıyor. B den rastgele çe-
18. 5 erkek, 4 kız öğrenci arasından rastgele seçilen 2 öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı?
kilen bir bilye de A torbasına atılıyor. İlk renk durumun
A)
bozulmaması olasılığı nedir?
A)
34
64
B)
29
23
C)
11
13
D)
5
6
E)
tekrar torbaya ayrılmamak koşulu ile peşpeşe iki bilye
çekiliyor. İkinci bilyenin kırmızı olma olasılığı nedir?
37
72
B)
1
2
C)
5
18
D)
4
9
E)
3
8
1
C)
6
2
D)
5
C)
5
18
D)
13
18
E)
1
2
1
4
B)
1
2
C)
6
7
D)
5
12
E)
7
12
20. 2 bay, 3 bayan ve 4 çocuk yuvarlak bir masaya oturduğunda bayların yanyana her olasılığı nedir?
oturması olasılığı asadakilerden hangisine eşittir?
1
B)
5
5
6
1
19. Ali’nin basket potasına topu geçirme olasılığı , Can’ın
3
3
ise tür. İki atış yapıldığında topun potaya bir kez gir4
miş olması olasılığı nedir?
A)
16. 3 erkek ve 3 kız bir sırada oturuyorlar. 3 kızın yanyana
1
A)
4
B)
4
7
15. Bir torbadan 5 beyaz, 4 kırmızı bilye vardır. Çekilenler
A)
1
6
A)
3
E)
4
16
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
2
5
E)
2
9
Olasılık
Rüstem YILMAZ
21. Bir torbada sarı ve kırmızı bilyelerin toplam sayısı 28 dir.
Bu torbadan rastgele seçilen bir bilyenin kırmızı gelme
2
olasılığı ise sarı bilyelerin sayısı nedir?
7
A) 20
B) 16
C) 12
D) 8
E) 4
0.7
Test-2 Aleyna Durmaz
23. Bir torbada 6 kırmızı , 4 beyaz, 2 mavi top vardır. Torbadan bir top çekiliyor.
Çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
24. Bir çift zar atıldığında yere düşen zarların üzerindeki
rakamların toplamının 6 olduğu görülüyor.
Zarlardan birinin üzerindeki rakamın 1 olma olasılığı
kaçtır?
A)
4
5
B)
3
5
C)
2
5
D)
1
5
E)
1
4
22. A=1,2,3,4,5 kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan rakamları farklı 3 basamaklı bütün sayılar birer kağıda yazılıp bir torbaya konuyor.
zikten %8 i hem Matematikten hem Fizikten sınıfta kal-
Bu torbadan çekilen bir kagıttaki sayının çift sayı olma
olasılığı nedir?
A)
1
5
B)
2
5
C)
3
5
25. Bir sınıftaki öğrencilerin %10 u Matematikten %15 i Fi-
D)
1
3
E)
mıştır.
Rastgele seçilen bir öğrencinin Matematik veya Fizikten
2
7
kalma olasılığı kaçtır?
A)
4
5
B)
8
15
C)
33
100
D)
17
100
E)
13
100
26. Bir kutunun içerisinde 5 tane sarı 4 tane beyaz bilye
vardır.
Torbadan gelişigüzel 2 bilye çekilince 2 sininde beyaz
veya 2 sininde sarı olma olasılığı kactir?
A)
17
4
9
B)
10
12
C)
5
9
D)
5
8
E)
30
73
Olasılık
Rüstem YILMAZ
0.8
Mevlüt
30.
27. Ömer’in bir hedefi vurma olasılığı 1/4 , Yusuf’un bir hedefi vurma olasılığı 1/6 dır. Bu hedefe 2 kez Ömer, 2
kez Yusuf ateş ediyor. Hedefin vurulmuş olması olasılığı
kaçtır ?
A)
25
64
B)
39
64
C)
7
16
D)
9
16
E)
25
36
A torbasında 2 beyaz,3 siyah ; B torbasında 3 kırmızı,4
siyah top vardır. A ve B torbalarından rastgele 1’er top
çekiliyor.
Topların aynı renk olma olasılığı kaçtır?
A)
12
35
B)
17
35
C)
18
35
D)
41
70
E)
49
70
28. Bir kenar uzunluğu 2 birim olan bir karenin iç bölgesinde
rastgele alınan bir noktanın köşelerden herhangi birine
olan uzaklığının 1 birimden küçük veya eşit olma olasılığı
edilen 5 basamaklı bütün sayılar bir kağıda yazılıp bir
kaçtır?
A)
π
4
31. 1,2,3,4,5 rakamlarının 120 değişik permütasyonu ile elde
B)
π2
16
C)
π+1
6
D)
π
6
E)
torbaya atılıyor. Bu torbadan rastgele seçilen bir kağıdın
π2
12
üstündeki sayının çift sayı olması olasılığı kaçtır?
A)
2
5
B)
3
5
C)
3
10
D)
3
20
E)
8
25
32. 12 kız ,18 erkek öğrencinin bulunduğu 30 kişilik bir sınıfta kızların 8’i ,erkeklerin 12’si gözlüklüdür.Bu sınıftan
29.
rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre kız olması olasılığı kaçtır ?
A)
1
4
B)
1
5
C)
2
5
D)
3
5
E)
3
10
A torbasından 3 mavi,4 kırmızı B torbasında 4 mavi,5
33. "BAKACAK"
kırmızı top vardır.
Bu torbalardan rastgele birinden rastgele bir top çekili-
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek elde edilen
yor. Çekilen topun mavi renk olma olasılığı kaçtır?
7 harfli anlamlı veya anlamsız tüm kelimler birer kağıda
A)
55
63
B)
3
7
C)
5
9
D)
7
16
E)
yazılıp bir torbaya konuluyor.Bu torbadan rastgele çe-
55
126
kilen bir kartta sesli harf ile başlayıp sesli harf ile biten
bir kelime olması olasılığı kaçtır ?
A)
18
1
7
B)
2
7
C)
3
7
D)
5
14
E)
9
14
Olasılık
Rüstem YILMAZ
34. "MATEMATİK" kelimesinin harfleri kullanılarak yazıla-
38. Yaşları ardışık tek sayılar olan 11 kişilik bir grubun yaş
bilen 9 harfli anlamlı yada anlamsız bütün kelimeler eşit
ortalaması 23’tür.Bu gruptan rastgele seçilen 2 kişinin
büyüklükte kağıtlara yazılıp bir torbaya atılıyor. Bu tor-
yaş ortalamasının 17 olması olasılığı nedir?
badan rastgele çekilen bir kağıttaki kelimenin ‘’ KM ‘’
A)
ile başlaması olasılığı kaçtır?
A)
1
12
B)
1
18
C)
1
24
D)
1
36
E)
1
11
B)
1
22
C)
1
33
D)
1
55
E)
2
55
1
48
39. 2 zar ve 3madeni para aynı anda atılıyor. Zarların farklı
35. Bir sınavda Ali’nin başarılı olma olasılığı 3/4 , Esma-
ve paraların aynı gelme olasılığı nedir?
nın başarılı olma olasılığı 1/5 ‘tir. Bu sınavda Ali veya
A)
Esma’dan sadece birinin başarılı olma olasılığı nedir ?
A)
3
5
B)
13
20
C)
7
10
D)
3
4
E)
5
24
B)
1
24
C)
7
24
D)
1
3
E)
3
8
4
5
40. Çember üzerinde 6 nokta vardır.Bu noktalardan oluşabi-
36. ‘’ARMUT”
lecek tüm çokgenler birer kağıda çizilip torbaya atılıyor.
kelimesinin harfleri ile oluşturulan kelimelerden biri se-
Torbadan çekilen bir kağıdın üçgen olma olasılığı nedir?
çiliyor. Bu kelimedeki sessiz harflerin alfabetik sıraya
A)
göre dizilmiş olma olasılığı kaçtır?
1
6
A)
B)
1
8
C)
1
3
D)
1
3
E)
rakıyor.Bu 3 kişiden ilki çıkarken şemsiyesini unutuyor.
Diğer 2 kişi çıkarken rastgele bir şemsiye alıp çıktığına
göre bu 2 kişinin kendi şemsiyelerini alma olasılığı kaç-
B)
1
4
C)
1
6
D)
1
8
E)
18
42
C)
19
42
D)
10
21
E)
11
21
41. Elimizdeki 3 kutudan 1.sinde 3 siyah,12 beyaz ; 2.sinde
2 siyah,3 beyaz ; 3.sünde 1 siyah ,2 beyaz bilye vardır. Rastgele bir kutudan rastgele bir bilye alınıyor.Bu
bilyenin siyah olma olasılığı nedir?
A)
tır?
1
3
B)
5
8
37. Bir lokantaya giden 3 kişi şemsiyelerini vestiyere bı-
A)
17
42
1
9
19
14
15
B)
13
45
C)
14
45
D)
1
3
E)
16
45
Olasılık
Rüstem YILMAZ
42. Birinci torbada 3 siyah,3 beyaz ; ikinci torbada 2 siyah
46. 1’den 100’e kadar olan (100 hariç) doğal sayılar ayrı
4 beyaz top vardır.Torbaların herhangi birinden rastgele
ayrı kağıtlara yazılıp bir torbaya konuluyor.Torbadan bir
alınan bir topun beyaz olduğu bilindiğine göre 2. torba-
kağıt çekiliyor. Kağıtta yazılan bir sayının 3 veya 4 ile
dan alınmış olma olasılığı kaçtır?
bölünememesi olasılığı kaçtır?
1
A)
6
1
B)
3
2
C)
7
4
D)
7
6
E)
7
A)
43. Bir torbada 6 beyaz ve bir miktar mavi top vardır.Bu tor-
47
99
0.9
badan rastgele 2 top alındığında toplardan birinin beyaz
diğerinin mavi olma olasılığı 8/15 ise torbada başlan-
B) 11
16
33
C)
49
99
D)
50
99
E)
91
99
E)
11
12
Cafer
1
1
, P (A ∩ B) = ,
3
4
P (A ∪ B) =
1
2
Olduğuna göre P (B 0 ) kaçtır?
gıçta kaç top vardır?
A) 12
47. P (A) =
B)
C) 10
D) 9
E)8
A)
1
12
7
12
B)
C)
3
4
5
6
D)
48. İçinde 4 sarı 5 lacivert bilye bulunan kutudan rastgele
iki bilye çekiliyor.
44. 4 pozitif , 5 negatif sayı arasından rastgele seçilen 4
Buna göre çekilen bilyelerin farklı renkte olma olasılığı
sayının çarpımının negatif olma olasılığı kaçtır?
A)
1
3
B)
8
21
C)
3
7
D)
10
21
E)
kaçtır?
4
7
A)
4
9
B)
5
9
C)
2
3
D)
5
18
E)
2
9
49. 1 den 12 ye kadar numaralandırılmış 12 topun bulunduğu
45. 30 kişilik bir sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin
kız öğrenci olma olasılığı 2/3 ‘tür. Sınıftaki öğrencilerin %40’ı İngilizce bilmekte olup , İngilizce bilen kızlar
bir torbadan rastgele bir top seçiliyor.
Seçilen topun numarasının çift sayı veya 3 ile tam bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır?
İngilizce bilen erkeklerin yarısıdır.Bu sınıftan seçilen bir
öğrencinin erkek veya ingilizce bilen bir öğrenci olma
A)
1
12
olasılığı kaçtır?
A)
2
5
B)
7
15
C)
8
15
D)
3
5
E)
2
3
50. Şekilli soru
20
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
6
E)
2
3
Olasılık
Rüstem YILMAZ
3
tür. Buna göre
4
bu okçunun hedefe 3 kez atış yaptığında hedefi sadece
51. Bir okçunun hedefi vurma olasılığı
55. Bir küpün dört yüzü yeşil iki yüzü maviye boyanmıştır.
Bu küp arka arkaya 4 kez atılıyor. Küpün alt yüzeyine
3 kez yeşil 1 kez mavi gelme olasılığı kaçtır?
3.atışında vurma olasılığı nedir?
A)
1
64
3
64
B)
3
32
C)
D)
9
64
E)
27
64
A)
32
81
B)
8
81
C)
6
81
D)
4
81
E)
1
81
56. Bir A torbasında 3 yeşil 2 turuncu B torbasında 1 yeşil 4
52. Ali’nin elindeki anahtarlardan 6 tane anahtar vardır. Ka-
turuncu top vardır. B torbasından bir top çekilip rengine
pıyı bu anahtarlardan sadece ikisi açabildiğine göre
bakılmadan A ya atılıyor. Sonra A dan bir top çekiliyor.
Ali’nin ilk defa 4.denemede açabilme olasılığı kaçtır?
A’dan çekilen topun yeşil olma olasılığı kaçtır?
(Kapıyı açmayan anahtar elenecektir.)
1
A)
15
2
B)
15
1
C)
5
1
D)
3
A)
1
E)
2
4
15
B)
7
15
C)
8
15
D)
3
5
E)
2
3
57. 23 kişilik bir sınıfta 10 kişi sarışın sarışınların 3ü yeşil
53. Bir firmada çalışan 24 kişinin 7 si evli bayan 9 u be-
gözlüdür. Sınıfta yeşil gözlü olmayan 12 vardır. Sınıftan
kar erkektir. Bu firmada toplam 12 kişi evli olduğuna
seçilen bir öğrencinin yeşil gözlü olduğu bilindiğine göre
göre çalışanlardan seçilen bir kişinin erkek olma olası-
sarışın olmama olasılığı kaçtır?
lığı kaçtır?
A)
A)
5
12
B)
1
2
C)
1
6
D)
5
8
E)
7
12
58.
3
11
B)
7
12
C)
5
13
D)
8
11
E)
5
11
9889899
Sayısının rakamları yer değiştirilerek yazılan 7 basa-
54. A = {1, 2, 3, 4, 5}
maklı sayılardan rastgele seçilen bir sayının aynı raka-
kümesinin alt kümelerinden rastgele seçilen bir kümenin
2 elemanlı bir küme olma olasılığı kaçtır?
A)
1
7
B)
1
8
C)
3
16
D)
1
4
E)
mala başlayıp aynı rakamla biten bir sayı olma olasılığı
kaçtır?
5
16
A)
21
1
7
B)
2
7
C)
3
7
D)
4
7
E)
5
7
Olasılık
Rüstem YILMAZ
59. Hamza’nın matematik sınavından 5 alma olasılığı 4/5
63. A kutusunda 2 kırmızı 3 sarı, B kutusunda 3 kırmızı 2
Hacer’in 5 alma olasılığı 1/3 tür. Bu sınavdan Hamza’nın
sarı bilye vardır. Bir zar atılıyor. Asal sayı gelirse A ku-
5 alma veya Hacer’in 5 almama olasılığı kaçtır?
tusundan asal olmayan bir sayı gelirse B kutusundan
A)
7
15
B)
8
15
C)
3
5
D)
13
15
E)
14
15
bir bilye çekiliyor. Buna göre çekilen bilyenin sarı olma
olasılığı kaçtır?
A)
1
2
B)
1
3
C)
2
3
D)
3
5
E)
3
10
60. Dört kez arka arkaya atılan bir paranın en az 3 kez tura
geldiği bilindiğine göre 4 kez tura gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
4
B)
1
5
C)
4
5
D)
1
3
E)
3
4
61. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
64. .
Kümesinin elemanları ile yazilabilecek üç basamaklı ve
rakamları farkli doğal sayılar özdeş birer karta yazılıyor
ve bu kartlar bir torbaya atılıyor. Bu torbadan rastgele
seçilen bir kağıdın üzerindeki sayının 400 den büyük
sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
2
B)
1
3
C)
2
3
D)
1
4
E)
1
6
Şekildeki 9 noktadan herhangi üçünü köşe kabul eden
üçgenlerden rastgele seçilen bir üçgenin bir köşesinişn
A noktası olma olasılığı kaçtır?
A)
62. 1 den 20 ye kadar numaralandırılmış 20 kuponun bulunduğu bir torbadan rastgele iki kupon seçiliyor. Bu iki
kupondaki sayıların toplamının tek sayı olma olasılığı
kaçtır?
A)
9
19
B)
10
19
C)
11
19
D)
2
5
E)
1
2
22
5
14
B)
2
7
C)
4
7
D)
9
14
E)
5
21