Tek Serbestlik Dereceli Sistemlerin Zorlanmış Titreşimleri: Mühendislik sistemlerine etki eden kuvvetler genellikle harmonik formdadır. Şekilde harmonik bir kuvvet görülmektedir. 15 10 f ( t ) = F0 sin ωt Genlik (N) 5 0 -5 Burada F0 zorlama genliği, ω ise zorlama frekansıdır. -10 -15 0 0.1 0.2 0.3 Zaman (sn) 0.4 0.5 Bununla birlikte mühendislik sistemleri üzerinde sıklıkla etkili olan diğer bir zorlama tipi de periyodik zorlamalardır. Fourier serileri ve dönüşümleri kullanılarak, periyodik fonksiyonları bir dizi harmonik fonksiyonun toplamı şeklinde ifade etmek mümkündür. Zorlamanın bir dizi harmonik fonksiyonun toplamı olduğu bilgisi kullanılarak, doğrusal (lineer) sistemlerin periyodik zorlamalara verdiği cevabın, sistemin periyodik zorlamayı oluşturan her bir harmonik zorlamaya verdiği cevapların toplamı olduğu söylenebilir. 10 Periyodik zorlama 0 -10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 10 n f ( t ) = a 0 + ∑ (a i sin ωt + b i cos ωt ) i =1 0 -10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 10 0 -10 Periyodik zorlamayı oluşturan harmonik bileşenler 10 0 -10 Zaman (sn) Şekil. Periyodik zorlama ve harmonik bileşenleri. Fourier serileri ve tek serbestlik dereceli sistemlerin periyodik zorlamalara cevabına bölüm sonunda değinilecektir. Kaynaklar: Theory of Vibrations-W.T.Thomson, Elements of Vibration Analysis-L. Meirovitch, Vibrations of Continuous SystemsS. Rao, Fundamentals of Mechanical Vibrations-S.G. Kelly, Vibration Problems in Engineerin-W.Weaver, S.P. Timoshenko, D.H. Young, Engineering Vibrations-D.J. Inman, Mühendislik Sistemlerinin Modellenmesi ve Dinamiği-Yücel Ercan, Dynamics and Vibration-M.A.Wahab. 45/57 Sönümsüz Zorlanmış Titreşimler (Harmonik Zorlama): Yandaki tek serbestlik dereceli sistem üzerine ω zorlama frekansında harmonik bir kuvvet etki etmektedir. Newton’un 2. yasası kullanılarak hareket denklemi aşağıdaki gibi ifade edilebilir. f(t)=F0sinωt m x(t) − kx + F0 sin ωt = m&x& k buradan m&x& + kx = F0 sin ωt F &x& + ω2n x = 0 sin ωt m Yukarıdaki 2. mertebeden diferansiyel denklem için genel çözüm homojen ve özel çözümlerin toplamı şeklinde ifade edilebilir. x(t) = x h (t) + x ö (t) Homojen çözüm ilk şartlar etkisi ile elde edilen çözümdür ve başlangıç şartlarına bağlı olarak x h ( t ) = A1 cos ωn t + A 2 sin ωn t olarak ifade edilmişti. Özel çözümü elde etmek için zorlama tipinde bir çözüm kabul edilebilir. x ö ( t ) = X sin ωt olduğu kabul edilerek, kabul edilen çözümün türevleri diferansiyel denklemde yerine konulur ise x& ( t ) = ωX cos ωt , &x&( t ) = −ω2 X sin ωt − ω 2 X sin ωt + ω 2n X sin ωt = 1 ω 2n [ ] F0 F sin ωt Î − ω 2 + ω 2n X = 0 m m denklemin her iki tarafı ile çarpılır ise F0 F0 m k burada r = ω dir ve frekans oranı olarak adlandırılır. 1− r X = Î X= m k ωn 1− r2 ( 2 ) ( ) Başlangıç şartları sıfırdan farklı bir sistem harmonik zorlama altındaki genel çözüm; 46/57 F0 k sin ωt ’dir. ⎡ ⎛ ω ⎞2 ⎤ ⎢1 − ⎜⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ωn ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Genel çözümdeki A1 ve A2 katsayıları başlangıç şartlarından elde edilebilir. F0 k sin ω0 Î A1=x0 x 0 = A1 cos ωn 0 + A 2 sin ωn 0 + 1 − r2 F0 x& F k x& 0 = −ωn A1 sin ωn 0 + ωn A 2 cos 0 + ω k2 cos ω0 Î A 2 = 0 − r 0 2 ωn 1− r 1− r F0 ⎡ x& 0 F0 k ⎤ k sin ωt x ( t ) = x 0 cos ωn t + ⎢ sin ωn t + −r 2⎥ ω 1− r ⎦ 1 − r2 ⎣ n x ( t ) = A1 cos ωn t + A 2 sin ωn t + 0.5 x h (t ) 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.3 x ö (t) 0 -0.3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 0 -1 m=20 kg k=2000 N/m ω=15 rad/sn x0=0.05 m v0=0.2 m/sn x(t) 0 0.5 1 1.5 Zaman (sn) 2 2.5 3 Şekil. Tek serbestlik dereceli sistem için genel çözüm. Başlangıç şartları sıfır ise çözüm xö(t) formunda harmonik bir cevap olacaktır. Frekans oranına bağlı olarak yer değiştirme genlikleri çizilir ise X0 1 = F0 1− r2 k 47/57 10 5 X 1 0 F0 / k -5 -10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 10 X F0 / k 5 1 0 ω ωn Frekans oranına bağlı olarak aşağıdaki durumlar geçerlidir. 0< ω <1 ωn durumunda yer değiştirme zorlama ile aynı yöndedir. (in-phase) F(t) [N] 500 ω=5 rad/sn ωn=10 rad/sn 0 -500 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 Zaman (sn) 2 2.5 3 0.4 x(t) [m] 0.2 0 -0.2 -0.4 ω = 1 cevap sonsuza gider. ωn ω > 1 durumunda yer değiştirme zorlama ile zıt yöndedir. (anti-phase) ωn 48/57 In-Phase cevap f(t) [N] 500 0 -500 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 Zaman (sn) 1.5 2 Anti-Phase cevap x(t) [m] 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 Örnek: Şekilde verilen kiriş üzerinde bulunan bir elektrik motorundan dolayı kirişe etki eden kuvvet f ( t ) = 300 sin 40t (N) şeklindedir. Çelik malzeme E=200 GPa Motor kütlesi m=250 kg. F0 ωt m 20 mm 3m 400 mm Bu kuvvet etkisi altında motorun bulunduğu noktadaki yer değiştirme genliklerini hesaplayınız. Motor kirişin ortasındadır. Kiriş kütlesi ihmal edilebilir değerdedir. Kiriş orta noktasındaki direngenlik k= 192EI 0.4 * 0.023 , Kiriş alan atalet momenti I = = 2.666x10− 7 (m 4 ) 3 12 L k= 192 * 200 x109 * 2.666 x10−7 = 379259 ( N / m). 33 Motor kiriş sisteminin doğal frekansı (kiriş kütlesi ihmal ediliyor) ωn = k 379259 = = 38.95 (rad / sn ) m 250 49/57 Zorlama frekansı 40 rad/sn’dir. Bu durumda zorlama ile yer değiştirme anti-phase durumundadır. Yer değiştirme genliği X= F0 300 379259 k = = −0.01446 (m) = −14.46 (mm) 2 2 ⎛ 40 ⎞ ⎛ ω⎞ 1− ⎜ ⎟⎟ ⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ 38.95 ⎠ ⎝ ωn ⎠ Sönümlü Zorlanmış Titreşimler (Harmonik Zorlama): f(t)=F0sinωt Şekilde verilen tek serbestlik dereceli harmonik zorlama etkisindeki sönümlü bir sistem için hareket denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir. x(t) m&x& + cx& + kx = F0 sin ωt Sönüm oranı için ζ = m c ifadesi kullanılarak 2mωn k c hareket denklemi şu şekilde de yazılabilir. &x& + 2ζωn x& + ω2n x = F0 sin ωt m Diferansiyel denklemin çözümü homojen çözüm ile özel çözümün toplamı şeklinde ifade edilebilir. Homojen çözüm başlangıç şartlarına bağlıdır, özel çözüm ise dış zorlam ile oluşur. Başlangıç şartlarına bağlı çözüm, sönümlü durum için zaman ilerledikçe kaybolacaktır ve sistem cevabı sadece zorlama ile elde edilen çözüm olacaktır. Bu nedenle özel çözüme (zorlamaya bağlı çözüm) düzgün rejim cevabı da denir. Özel çözümün formu zorlam formunda kabule dilerek. x ö ( t ) = x ( t ) = X sin (ωt − ϕ) kabul edilerek, çözümün türevleri diferansiyel denklemde yerine konur ise. x& ( t ) = ωX cos(ωt − ϕ) , &x&( t ) = −ω2 X sin (ωt − ϕ) − ω2X sin (ωt − ϕ) + 2ζωn (ωX cos(ωt − ϕ)) + ω2n X sin (ωt − ϕ) = Trigonometrik açılımlardan yararlanılarak sin (ωt − ϕ) = sin ωt cos ϕ − sin ϕ cos ωt cos(ωt − ϕ) = cos ωt cos ϕ + sin ωt sin ϕ 50/57 F0 sin (ωt ) m − ω2 X sin ωt cos ϕ + ω2 X sin ϕ cos ωt + 2ζωn ωX cos ωt cos ϕ + 2ζωn ωX sin ωt sin ϕ + ω2n X sin ωt cos ϕ − ω2n X sin ϕ cos ωt = F0 sin ωt m [ − ω cos ϕ + 2ζω ωsin ϕ + ω 2 n 2 n ] cos ϕ X sin ωt = F0 sin ωt m [ω sin ϕ + 2ζω ωcos ϕ − ω sin ϕ]X cos ωt = 0 2 2 n n [2ζω ωsin ϕ + (ω ] ) − ω2 cos ϕ X = 2 n n [ ) ] ( F0 , 2ζωn ω cos ϕ + ω2 − ω2n sin ϕ X = 0 m ⎡ ω ⎤ ⎛ ω2 ⎞ F sin ϕ + ⎜1 − 2 ⎟ cos ϕ⎥ X = 0 ⎢2ζ ⎜ ω ⎟ k ⎢⎣ ωn ⎥⎦ n⎠ ⎝ [2ζω ω cos ϕ + (ω n 2 [ ) ] [ ) ] ( − ω2n sin ϕ X = 0 Î 2ζωn ω cos ϕ − ω2n − ω2 sin ϕ X = 0 ) ] ( ⎛ ω2 ⎞ ω 1 1 2 2 cos ϕ = ⎜1 − 2 ⎟ sin ϕ 2ζωn ω cos ϕ − ωn − ω sin ϕ X = 0 2 Î 2ζ ⎜ ω ⎟ ωn ω2n ωn n⎠ ⎝ tan ϕ = 2ζ r 1 − r2 (2ζ r )2 + (1 − r 2 ) 2 2ζ r 1− r 2 2ζ r sin ϕ = ( (2ζr ) 2 ⎡ ⎢ 2ζ r ⎢ ⎢⎣ + 1− r 2ζ r (2ζr ) X = F0 k 2 ( + 1− r ) ) 2 2 2 2 , cos ϕ = ( + 1− r (2ζr )2 + (1 − r 2 ) 2 (2ζr )2 + (1 − r 2 ) 2 = 2 ) 1 − r2 (2ζr )2 + (1 − r 2 ) 2 ⎤ ⎥ X = F0 2⎥ k (2ζr )2 + 1 − r 2 ⎥⎦ 1 − r2 ( ) 1 (2ζr )2 + (1 − r 2 ) 2 ⎛ 2ζr ⎞ , ϕ = tan −1⎜ ⎟ ⎝1 − r2 ⎠ 51/57 6 ζ=0 5 ζ=0.1 X/F0/k 4 ζ=0.2 3 Artan sönüm 2 ζ=0.5 1 0 ζ=0.707 0 0.5 1 1.5 2 r 2.5 3 3.5 4 φ r Rezonans durumu incelenir ise; Rezonans durumunda genlik en büyük değere sahiptir. En büyük genliğin elde edildiği frekans değerine REZONANS FREKANSI adı verilir. Bu frekans değerinde cevap genliği eğrisinin türevi sıfıra eşittir. ⎛ ⎜ X d⎜ ⎜ F0 ⎝ k dr ⎞ ⎟ ⎟ 0* ⎟ ⎠= (2ζr )2 + (1 − r 2 ) 2 − 0.5 8ζ 2r − 4r + 4r 3 (2ζr )2 + (1 − r 2 ) 2 (2ζr )2 + (1 − r 2 ) 2 52/57 =0 ω = 1 − 2ζ 2 Î Rezonans Frekansı ωR = ωn 1 − 2ζ 2 ζ = 0.707 ve ωn daha sonrası için rezonans tepesi gözlenmez. r 2 + 2ζ 2 − 1 = 0 Î r = Rezonansdaki genlik değerini hesaplamak için bulunan r değeri genlik oranı ifadesinde yerine konulur ise ⎛ ⎜ X ⎜F ⎜ 0 ⎝ k ⎛ ⎜ X ⎜F ⎜ 0 ⎝ k ⎞ ⎟ 1 elde edilir. Küçük sonüm oranları için Rezonans Genliği ⎟ = ⎟ 2ζ 1 − ζ 2 ⎠R ⎞ ⎟ 1 ⎟ = 2ζ olarak elde edilir. ⎟ ⎠R Tek serbestlik dereceli bir sistemin frekansa bağlı cevap genliklerini hesaplamak için aşağıdaki program notepad programında yazılarak txt formatında kaydedilir. ANSYS’de çalıştırılır. Farklı model parametreleri için (kütle, direngenlik, sönüm) cevap genlikleri incelebilir. dof1_harm.txt /prep7 et,1,mass21 et,2,combin14 r,1,0,40 r,2,200000,200 f(t)=F0sinωt n,1,0,0,0 n,2,0,1,0 m type,1 real,1 e,2 type,2 real,2 e,1,2 eplot x(t) k /solu antype,3 d,all,ux,0 d,all,uz,0 d,1,uy,0 f,2,fy,-100 harfrq,0,60 nsubst,60 kbc,1 solve /post26 nsol,2,2,uy plvar,2 53/57 c Kütle Dengesizliğinden Kaynaklanan Kuvvetler İle Oluşan Titreşimler: Kütle dengesizliği hemen hemen tüm dönel makinalarda karşılaşılan temel bir problemdir. Şekilde kütle dengesizliği ile uyarılan tek serbestlik dereceli bir sistem görülmektedir. F(t) (N) mdeω md e 2 ωt ωt m ωt (rad) x(t) k c F( t ) = m d eω2 sin ωt m&x& + cx& + kx = m d eω2 sin ωt = F0 sin ωt x ( t ) = X sin (ωt − ϕ) , x& ( t ) = ωX cos(ωt − ϕ) , &x&( t ) = −ω2 X sin (ωt − ϕ) k m d eω2 c &x& + x& + x = sin ωt m m m &x& + 2ζω n x& + ω 2n x = m d eω 2 sin ω t m − ω2 X sin (ωt − ϕ) + 2ζωn ωX cos(ωt − ϕ) + ω2n X sin (ωt − ϕ) = m d eω2 sin ωt m Trigonometrik eşitliklerden kullanılarak − ω2 X sin ωt cos ϕ + ω2 X sin ϕ cos ωt + 2ζωn ωX cos ωt cos ϕ + 2ζω n ωX sin ωt sin ϕ + ω2n X sin ωt cos ϕ − ω2n X sin ϕ cos ωt = mde 2 ω sin ωt m sinωt ve cosωt terimlerinin katsayıları oluşturularak [ ] m d eω2 − ω cos ϕ + 2ζωn ω sin ϕ + ω cos ϕ X sin ωt = sin ωt m ω2 sin ϕ + 2ζωn ω cos ϕ − ω2n sin ϕ X cos ωt = 0 2 2 n [ ] ⎡ ω ⎤ ⎛ ω2 ⎞ m d e ω2 m d eω2 ⎜ ⎟ 2 ζ sin ϕ + 1 − cos ϕ X = Î ⎢ ⎥ n ⎜ ω2 ⎟ m m ω2n n ⎠ ⎝ ⎣ ωn ⎦ ⎛ ω2 ⎞ 2ζr ω 2ζωn ω cos ϕ − ω2n − ω2 sin ϕ X = 0 Î 2ζ cos ϕ = ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ sin ϕ Î tan ϕ = 1 − r2 ωn ⎝ ωn ⎠ sin ϕ ve cos ϕ için değerler yerine konur ise [2ζω ωsin ϕ + (ω 2 n [ ( ] − ω2 )cos ϕ X = ) ] 54/57 2ζ r sin ϕ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ (2ζr )2 + (1 − r 2 ) 2 (2ζr )2 (2ζr )2 + (1 − r 2 )2 X mde r2 = m + , cos ϕ = 1 − r2 (2ζr )2 + (1 − r 2 ) 2 (1 − r ) (2ζr ) + (1 − r ) 2 2 2 (2ζr )2 + (1 − r 2 )2 (2ζr )2 + (1 − r 2 )2 2 ⎤ ⎥ X = mde r 2 2 m ⎥ ⎦ r2 = (2ζr )2 + (1 − r 2 )2 5 ζ=0 4 ζ=0.1 Artan Sönüm 3 X mde m ζ=0.3 2 ζ=0.5 1 0 ζ=0.707 ζ=1 0 1 2 r 3 4 5 Rezonans durumundaki r oranını bulmak için genlik ifadesinin r’ye göre türevi alınıp sonuç sıfıra eşitlenir ise, ⎛ X ⎞ ⎟⎟ d⎜⎜ m e m r 1 r 2 (8ζ 2 r − 4r + 4r 3 ) ⎝ d ⎠ =2 − =0 dr (2ζr )2 + (1 − r 2 )2 2 3 (2ζr )2 + (1 − r 2 )2 İşlemler yapılır ise REZONANS durumu için r oranı ⎛ ⎞ (r )rez = ⎜⎜ ω ⎟⎟ = 1 2 Î Buradan ωR = ωn 2 , Bu frekans genlik ifadesinde yerine 1 − 2ζ 1 − 2ζ ⎝ ωn ⎠ rez konulur ise REZONANS genliği için ⎛ X ⎞ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ dir. Küçük sönüm oranları için 2 ⎝ m d e m ⎠ rez 2ζ 1 − ζ 55/57 ⎛ X ⎞ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ dir. ⎝ m d e m ⎠ rez 2ζ Zemine İletilen Kuvvet: Harmonik kuvvet etkisi altındaki bir mekanik sistem, hareket sırasında yay ve amortisörde oluşan reaksiyon kuvvetlerini bağlantı noktalarından zemine iletir. Zorlama kuvveti genliği ve zemine iletilen kuvvet arasındaki ilişki aşağıdaki şekilde elde edilebilir. f(t)=F0sinωt f(t)=F0sinωt m m x(t) k x(t) k c c Fc Fk Ftr=Fk+Fc Harmonik zorlama etksindeki düzenli rejim titreşimleri dikkate alınarak harmonik yer değiştirme ve buna ait hız ifadesi ile; x ( t ) = X sin (ωt − ϕ) , x& ( t ) = ωX cos(ωt − ϕ) Ftr = kX sin (ωt − ϕ) + cωX cos(ωt − ϕ) Aşağıdaki trigonometrik ilişki kullanılarak ⎛B⎞ z( t ) = A sin ωt + B cos ωt = A 2 + B2 sin (ωt + β ) , β = tan −1 ⎜ ⎟ ⎝A⎠ A=3 B=4 ω=18.85 5 0 z( t ) = A sin ωt + B cos ωt -5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Zaman (sn) 0.7 0.8 0.9 1 5 ⎛ ⎛ B ⎞⎞ z ( t ) = A 2 + B2 sin ⎜⎜ ωt + tan −1 ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ Z ⎠⎠ ⎝ 0 -5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Zaman (sn) 0.7 0.8 56/57 0.9 1 Dolayısı ile zemine iletilen kuvvet aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. Ftr ( t ) = FTR sin (ωt + φ') Zemine iletilen kuvvet genliği üzerinde durulduğu için FTR genliği FTR = (kX )2 + (cXω)2 FTR = kX 1 + = c 2ω2 2 ⎣ k X 2 2 ⎤ ⎥ ⎦ ( k = mω2n ) ( ) m ω 2 ⎡ (kX )2 ⎢1 + c ω2 X2 2 2 n 2 FTR 2 2 ⎛c⎞ r 2 r = kX 1 + ⎜ ⎟ 2 = kX 1 + (2ζωn ) 2 ωn ⎝ m ⎠ ωn FTR = kX 1 + (2ζr ) 2 FTR = F Fk (2ζr )2 + (1 − r 2 )2 1 + (2ζr ) 2 (2ζr ) 2 ( + 1− r ) 2 2 = T (Kuvvet iletim Oranı, Transmissibility) 5 4.5 4 3.5 3 FTR/F X= 2.5 Artan Sönüm 2 1.5 1 Artan Sönüm 0.5 0 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 r 57/57 3 3.5 4 4.5 5