fonksiyonların grafiklerinin çizimi

BELİRSİZ İNTEGRAL
Örnek:
Türev işleminin tersi integraldir. Diğer bir ifadeyle, f ( x ) in
türevi g( x ) ise, g( x ) in integrali f ( x ) tir. Bir sabit sayı
farkla, türev işleminin tersi türevdir.
f ( x)  ln(sin x) fonksiyonunun x 
değişkeninin diferansiyeli denir.
df ( x )
dx
Fonksiyondaki değişim dy ile gösterilir.
dx
df ( x )
dx
için diferansiyelini
Çözüm
x in sonsuz küçük değişimi dx şeklinde gösterilir. Buna x

4
bulalım.
A. Diferansiyel Kavramı
dy


d
dx
(ln(sin x )) 
df ( x )
dx

cos x
sin
 cot x
 d( f ( x))  cot x dx
'
'
 f ( x )  dy  f ( x )dx tir.


 d( f ( ))  cot dx
4
4
'
dy  f ( x )dx ifadesine y  f ( x ) fonksiyonunun diferansiyeli
denir.

 d( f ( ))  1.dx  dx tir.
4
Örnek:
B. Belirsiz İntegral
2
f ( x )  x  3 x  1 fonksiyonunun diferansiyelini yazalım.
Türevi f ( x ) veya diferansiyeli f ( x )dx olan F( x )
fonksiyonuna f ( x ) in belirsiz integrali denir ve
Çözüm:

2
f ( x )dx  F( x )  c , c  R şeklinde gösterilir.
f ( x)  x  3x  1
Buradaki
df ( x )
dx

df ( x )
2
( x  3 x  1) 
 2x  3
dx
dx
d

sembolüne integral işareti, f ( x )
fonksiyonundan F( x )  c fonksiyonunun bulunmasını
sağlayan işleme integral alma işlemi, F( x )  c fonksiyonuna
da f ( x ) in ilkel fonksiyonu denir.
 d( f ( x))  ( 2x  3)dx tir.
Örnek:
Örnek:
3
2
( x  5) in türevi 3 x dir.
3
f ( x )  x  1 fonksiyonunun x  2 için diferansiyelini
bulalım.
3
2
( x  2) nin türevi 3 x dir.
Çözüm:
df ( x )
dx

d
dx
3
( x  1) 
df ( x )
dx
 3x
2
3
2
( x  5) in türevi 3 x dir.
2
 d( f ( x ))  3 x dx
2
Türev işleminin tersi integral olduğuna göre, 3 x nin
3
2
 d( f ( 2)  3.2 dx  12dx tir.
3
3
integralinin ( x  5) ya da ( x  2) ya da ( x  5)
olduğunu söyleyebiliriz.
1
Görüldüğü gibi, sabit sayı farklı olabilmektedir. Bunun
nedeni, bütün sabit sayıların türevinin sıfır oluşudur.
3
2
3
Örnek:
nin integralinin ( x  5) , ( x  2) , ( x  5)
ifadelerinin hepsi olabileceği için, c bir reel sayı olmak üzere
3x

Çözüm:
2
3
3 x dx  x  c olur.
Uyarı
3

4 x dx belirsiz integralini araştıralım.
x4
4
Çözüm:
3
3
4 x dx belirsiz integrali, türevi 4 x olan fonksiyondur.

x
x3  1
x4
3
x dx 
c 
 c olur.
31
4

Örnek:
x
3
x dx integralini hesaplayalım.

3
4
ün türevi 4 x olduğuna göre

3
4
4 x dx  x olabilir.
4
 10 un türevi olduğuna göre

3
4
4 x dx  x  10
3
 c ifadesinin türevinin x
4
 10 un türevi olduğuna göre


3 2
x dx belirsiz integralini hesaplayalım.
Çözüm:

3
4
4 x dx  x  10
3 2
23
x dx   x dx 
olabilir.
3

4 x dx  x
4
2
1
x3
2
1
3
c 
Kural
Görüldüğü gibi türevi 4 x olan pek çok fonksiyon vardır, c
bir reel sayısının türevi sıfır olduğuna göre,
3
a  R olmak üzere,
 c olur.

Sonuç
adx  ax  c dir.
Örnek:
f ( x ) in integralini bulmak, türevi f ( x ) ’e eşit olan fonksiyonu
bulmaktır.

10dx integralini hesaplayalım.
Çözüm:
C. İntegral Alma Kuralları

10dx  10x  c
Kural
Örnek:
n  1 olmak üzere,

n
x dx 
olduğuna dikkat ediniz.
Örnek:
olabilir.
x
3
xn  1
n1

 c dir.
2
dx integralini hesaplayalım.
3
3. x5
c
5
Çözüm:

Çözüm:
dx   1dx  x  c olur.

x  x 1
x
Özellik
dx   ( x  1 

1
x
)dx
xdx   dx   x
1 2
dx
a  R olmak üzere,

1
1
1
 1
x2
x 2

x
c
1
1
1
 1
2
2
a.f ( x)dx  a. f ( x)dx dir.
Örnek:


6x2dx integralini hesaplayalım.
Kural
Çözüm:

2 x3
x2 x c
3
6x2dx  6. x2dx  6.
c  R olmak üzere,
x2  1
 c  2x3  c olur.
2 1

dx
x
 ln x  c dir.
Özellik
Örnek:
a  R olmak üzere,
 f(x)  g(x)dx  
f (x)dx   g( x)dx dir.

Örnek:
x 4  10x3  x  2
dx integralini hesaplayalım.
x2
Çözüm:
 (x4  10x  2)dx
integralini hesaplayalım.

Çözüm:
 (x4  10x  2)dx  
x 4  10x3  x  2
1
dx   ( x2  10x   2x  2 )dx
x
x2
x 4dx  10. x dx   2dx

x4  1
x1  1
 10.
 2.x  c
4 1
1 1

x5
 5x 2  2 x  c
5
Kural
c  R olmak üzere,
Örnek:

x  x 1
x

dx integralini hesaplayalım.
3
e xdx  e x  c dir.

x3
x2
x 1
 10.  ln x  2.
c
3
2
1

x3
2
 5x2  ln x   c olur.
3
x
Kural
Kural
a  R ve a  0 olmak üzere,

a xdx 

ax
 c dir.
lna
dx
sin2 x
  cot x  c dir.
Örnek:
Örnek:


(2x  e x )dx integralini hesaplayalım.
sin2 x
dx integralini hesaplayalım.
Çözüm:
Çözüm:

cos 2 x
(2x  e x )dx 
2x
ln2

 e x  c olur.
cos 2 x
sin2 x
dx 



Kural

sinx dx   cos x  c dir.
1  2 sin2 x
sin2 x
1
sin2 x
dx 

(
1
sin2 x
dx   2dx
  cot x dx  2x  c
Kural
Kural


cos x dx  sinx  c dir.
dx
cos2 x
 tan x  c dir.
Örnek:
Örnek:

sin3 x  cos3 x
dx integralini hesaplayalım.
1  sinx. cos x

2 cos2 x  1
cos2 x
Çözüm:
dx integralini hesaplayalım.
Çözüm:
sin3 x  cos3 x (sin x  cos x).(sin2 x  sinx. cos x  cos2 x)

1  sinx. cos x
1  sinx. cos x

(sin x  cos x).(1  sinx. cos x)

1  sinx. cos x
2 cos2 x  1
cos2 x
dx 

(2 
1
cos2 x
)dx
 2x  tan x  c bulunur.
 sinx  cos x

Kural
sin3 x  cos3 x
dx   (sin x  cos x)dx
1  sinx. cos x

  sinx dx   cos x dx
  cos x  sinx  c olur.
4
dx
1  x2
 arctan x  c  arc cot x  c dir.
 2)dx
Örnek:

( 5 sin x 
D. İntegral Alma Yöntemleri
2
1  x2
)dx integralini hesaplayalım.
b.
İntegrali alınan fonksiyon f (u)du gibi daha basit bir ifadeye
dönüştürülerek integral alınır.
Çözüm:

( 5 sin x 
2
1  x2
)dx  5  sin x dx  2 
1
1  x2
dx
Örnek:
 5 cos x  2 arctan x  c

10
( 2 x  5) dx integralini hesaplayalım.
Çözüm:
Kural
dx

Değişken Değiştirme Yöntemi
1  x2
2x  5  u olsun. Bu durumda,
 arcsin x  c   arccos x  c dir.
2dx  du  dx 

Uyarı
10
( 2 x  5) dx 
Verdiğimiz 13 tane integral kuralını, türevle ilişkilendirerek
ve anlayarak öğrenmeliyiz. Ancak bu 13 kural, pek çok
integrali almak için yeterli değildir. Örneğin,

2
( 2 x  1) dx

2x  7

x
sin dx
6
x
x.e dx

ln x dx
olur. Buna göre,
2

10 du 1
10
u
  u du
2
2
1 u11
( 2 x  5)11
.
c 
 c olur.
2 11
22
Örnek:
dx



du

2 3
3 x .( x  8)dx integralini hesaplayalım.
Çözüm:
3
x  8  u olsun. Bu durumda,
2
3 x dx  du olur. Buna göre,

arctan x dx
2 3
3 x .( x  8)dx 
integralleri verdiğimiz kurallarla hesaplanamaz.
Örnek:
Bu integralleri alabilmek için, integral alma yöntemlerini
vereceğiz.


udu 
u2
2
x x  2dx integralini hesaplayalım.
Çözüm:
2
x  2  u olsun. Bu durumda,
5
c 
( x 3  8 )2
2
 c olur.
Buna göre,
dx  2udu olur. Bu durumda,

x x  2dx 


2
(u  2). u2 .2udu 

2u5

5
4u3

4

2
( 2u  4u )du
3
2 ( x  5 )5

5

4 ( x  2 )3
3
dx integralini hesaplayalım.

dx  du olur. Buna göre,
5
dx 
x

5
u du 
u6
6
c 
(ln x )6
6
 c olur.

a

u
1
a
. ln u  c
 c olur.
( 2 x  1) dx
2
x  x  10
integralini hesaplayalım.
( 2 x  1)dx
2
x  x  10


du
 ln u  c  ln x2  x  10  c dir.
u
tan x dx integralini hesaplayalım.
Çözüm:

n  1 olmak üzere,
 
n1
f ( x)
'
n
f ( x ). f ( x ) dx 
 c dir.
n1
 
dx
tan x dx 

sin x
cos x
dx tir.
cos x  u olsun. Bu durumda,
 sin x dx  du olur. Buna göre,
Örnek:

ln ax  b

a
Örnek:
Sonuç

a.u
du
1
( 2x  1)dx  du olur. Buna göre,

(ln x )

2
x  x  10  u olsun. Bu durumda,
x
ln x  u olsun. Bu durumda,
x
du
Çözüm:
5
Çözüm:
1

Örnek:
 c olur.
Örnek:


ax  b
c

(ln x )
dx

tan x dx 
integralini hesaplayalım.

sin x
cos x
dx 

Çözüm:
Sonuç
ax  b  u olsun. Bu durumda,
adx  du  dx 
a
u
 
du
u
  ln u  c   ln cos x  c  ln sec x  c olur.
ax  b
du
 du

olur.
6
'
f ( x )dx
f ( x)
 ln f ( x )  c dir.
Örnek:
x
e

8 x  u olsun. Bu durumda,
8dx  du  dx 
dx integralini hesaplayalım.
du
8
x

Çözüm:
2
2
(cos 4 x  sin 4 x )dx 
x  u olsun. Bu durumda,
dx
2 x

 du 
dx
dx 
x

u
u
u
x
2e du  2  e du  2e  c  2e
c

6
2
x 1
2x e
dx integralini hesaplayalım.
1
6
Çözüm:

2
x  1  u olsun. Bu durumda,
2 x dx  du olur. Buradan,
2
x 1
2x e
dx 

u
u
x2  1
e du  e  c  e
c

olur.
8
cos udu
. sin8 x  c olur.
x
sin dx integralini hesaplayalım.
6
f ( x)
f ( x)
'
f ( x ).e
dx  e
 c dir.

dx  du  dx  6du olur. Buradan,
x
x
sin dx  6  sinudx  6. cos u  c  6. cos  c olur.
6
6
'
f ( x ). sin f ( x )dx   cos f ( x )  c dir.
dx
2
x  2x  2
integralini hesaplayalım.
Çözüm:
2
2
x  2 x  2  ( x  1)  1 olduğundan,
2
2
(cos 4 x  sin 4 x )dx integralini hesaplayalım.
Çözüm:
2
2
(cos 4 x  sin 4 x )dx 
 u olsun. Bu durumda,
Örnek:
Örnek:

1
Sonuç
Sonuç

8
. sinu  c 

Çözüm:
x

1
8
Örnek:
Örnek:

1
cos 8 x dx 
 2du olur. Buradan,
x
x
e


bulunur.

olur. Buradan,


cos 8 x dx tir.
7
dx
2
x  2x  2


dx
2
( x  1)  1
tir.
x  1  u olsun. Bu durumda,

dx  du olur. Buradan,

dx
2
x  2x  2


dx
2
( x  1)  1

1 u
2
2
dx

9(1 
Bu son ifade de,
1
3
Örnek:

9x

x2
)
9
dx
1

9

x 2
1 ( )
3
du

 arctan u  c  arctan( x  1)  c olur.

dx
dx
x
3
 t olsun. Bu durumda,
dx  dt  dx  3dt olur. Buradan,
dx
9x
2

3dt
1

9
1 t

2
1

3
dt
1 t

2
1
3
arctan t  c
integralini hesaplayalım.
4x
2

1
3
arctan
x
3
 c dir.
O halde
Çözüm:

x  2u olsun. Bu durumda,
dx  2du olur. Buradan,
dx


4x
2
2du


4  4u
2
9x
9x
2
2
dx  18 
2. 1  u
9x
 18. arctan
2du

dx
2
x
3
2
  dx
 x  c olur.
Örnek:
x
 arcsinu  c  arcsin  c olur.
2

dx
2
sin 3 x
integralini hesaplayalım.
Örnek:

9x
9x
Çözüm:
2
2
dx integralini hesaplayalım.
3 x  u olsun. Bu durumda,
dx 
Çözüm:
9x
9x

2
2

9x
9x
999x
9x
2
2
dx 
2

 
2

18
9x
2
18
9  x2




 1 dir.
 1dx  18 
dx
9x
2
du
3
olur. Buradan,
dx
2
sin 3 x

1

3
du
2
sin u
1
  cot u  c
3
1
  cot 3 x  c
3
  dx
Sonuç
Yukarıdaki örneklerden de anlaşılacağı gibi, her bir integrale
ayrı bir değişken değiştirmesi uygulanmaktadır.
Ortaya çıkan integrallerden birincisini değişken değiştirme
yöntemiyle sonuçlandırıp yerine yazalım:
8
Fakat bazı özel tipte integraller vardır ki bunlara
uygulanacak değişken değiştirmeleri bellidir. Şimdi
bunlardan dört tanesini verelim.

9
2
t
9 sin2 t
.
c
2 2
x
sin(2 arcsin )
3  c bulunur.
 . arcsin  .
2
3 2
2
9
Kural
2
2
a  x ifadesinden başka köklü ifade içermeyen
x
9
Kural
fonksiyonların integralini hesaplamak için,
2
2
x  a ifadesinden başka köklü ifade içermeyen
x  a. sin t değişken değiştirmesi yapılır.
fonksiyonların integralini hesaplamak için,
Örnek:

x
cos t
değişken değiştirmesi yapılır.
2
9  x dx integralini hesaplayalım.
Örnek:
Çözüm:
dx

x  3. sin t olsun, Bu durumda, t  arcsin
x
3
x
ve

2
9  ( 3. sin t ) .3. cos tdt
x


2
9(1  sin t ) .3. cos tdt
dx 


2
9. cos t .3. cos tdt

integralini hesaplayalım.
2
x 4
2
2
9  x dx 

2
Çözüm:
dx  3. cos tdt olur. Buna göre,

a
cos t
2 sin tdt
cos2 t
x
2
2
 9

9
2
1  cos 2 t




x 4
4
cos2 t
2
t

9 sin2 t
.
c
2 2

9
ve

1
4
4
4
cos2 t
sin tdt
2.2.
dt
 1 cos 2t 
 
dt
2
2 
x
2 sin tdt
cos2 t
2
 9  cos tdt
 9
2
olur. Buna göre,
dx

3. cos t .3. cos tdt
olsun, Bu durumda, t  arccos
1  cos2 t
cos2 t
sin tdt
sin t
4.
cos t

. sin t  c 
1
4
1
4

cos tdt
2
. sin(arccos )  c olur.
x
Kural
Dipnot
2
2
x  a ifadesinden başka köklü ifade içermeyen
sin(arctan

x )  ?  sina  ?
a
fonksiyonların integralini hesaplamak için,
arctan x  a  tan a  x
x  a. tan t değişken değiştirmesi yapılır.
sin a 
Örnek:
dx

x
2
x 1
Kural
m
dt
cos2 t
olur. Buna göre,
x
2
2
x 1

p
E.K.O.K.( m, n)  p olmak üzere ax  b  t değişken
değiştirmesi yapılır.
dt
dx
ax  b ve
n
ax  b köklü ifadelerini içeren
fonksiyonların integrallerini hesaplamak için,
x  tan t olsun, Bu durumda, t  arctan x ve

olur
x2  1
integralini hesaplayalım.
2
Çözüm:
dx 
x
Örnek:
2
cos t

2
2
tan t . tan t  1

2x  1  1
3
dx integralini hesaplayalım.
2x  1
dt
2
cos t


sin2 t
sin2 t
.
1
cos2 t cos2 t
Kök dereceleri 2 ve 3 tür.
6
E.K.O.K.( 2,3)  6 olduğu için, 2 x  1  t dönüşümü
cos tdt


Çözüm:
olur.
2
sin tdt
5
sin t  u alınırsa, cos tdt  du olur. Buna göre,

cos tdt
2
sin tdt




u
2
1
sin t
du 
x2  1
x
u 1
1
c  
5
yapılır. Bu durumda 2dx  6t dt  dx  3t dt olur. Buna
c  
1
u
1
sin(arctan x )
c
göre,

c
2x  1  1
3
dx 
2x  1


 c bulunur. (Dipnot bkz.)
10


3
t6  1
3 6
t
5
.3 t dt 
3
3
( t  1). 3t dt


3
t 1
t
2
5
.3 t dt
6 3
3.( t  t )dt
7 3
4
.( 2 x  1)  ( 2 x  1)  c olur.
4
7
Sonuç
Çözüm:
Değişken değiştirme yöntemiyle sonuç alamayacağımız
integraller de vardır.
x
x
x.e dx ifadesinde x polinom fonksiyon, e üstel
Çarpım biçimindeki fonksiyonlar
Logaritmik fonksiyonlar
Ters trigonometrik fonksiyonlar
Bu integralleri kısmi integral alam yöntemiyle
sonuçlandırabiliriz.
2.
Kısmi İntegrasyon Yöntemi
u  f ( x ) ve v  g( x ) olsun. u.v nin diferansiyeli,
d(u.v )  du.v  dv.u olur. Buradan,
u.dv  d(u.v )  v.du olur. Her iki tarafın integrali alınırsa,

u.dv  u.v   v.du olur.
fonksiyondur. L.A.P.T.Ü. sıralamasında polinom fonksiyon,
üstel fonksiyondan önce yer aldığından,
u  x  du  dx
dv  e

x
f ( x ) bir polinom fonksiyon olmak üzere,


Örnek:
3
x
( x  1).e dx integralini hesaplayalım.
Çözüm:
u’ nun seçimi yapıldıktan sonra integrali alınacak ifadede
geriye kalan kısım dv olarak alınır.
Örnek:

x
x e dx integralini hesaplayalım.

x
x
f ( x ).e dx  f ( x )  f ' ( x )  f ' ' ( x )  f ' ' ' ( x )  ... .e  c olur.
Kısmi integrasyonda u’ nun ve dv’ nin doğru seçilmesi çok
önemlidir. Seçim doğru yapılmazsa, çözüme yaklaşmak
yerine, çözümden uzaklaşılır.
L: Logaritmik fonksiyon,
A: Arc(ters trigonometrik) fonksiyon
P: Polinom fonksiyon
T: Trigonometrik fonksiyon
Ü: Üstel fonksiyon
olur. Bu durumda,
Sonuç

u’ nun seçiminde aşağıdaki sıralamaya uyulur.
x
x
x
x
x
x
x e dx  x.e   e dx  x e  e  c bulunur.
Uyarı
Türev ve integral alma bilgileri ışığında, seçim sezgisel
olarak yapılabilir. Ancak kolaylık sağlamak amacıyla
aşağıdaki kural göz önüne alınabilir.
ve

3
x
( x  1).e dx




x
 ( x3  1)  ( x3  1)'  ( x3  1)' '  ( x3  1)' ' ' .e  c

x
 ( x3  1)  3 x2  6 x  6 .e  c

x
 ( x3  3 x2  6 x  7 .e  c
Polinom 3.dereceden olduğu için, 3. mertebeden türevinden
sonrası alınan türevler sıfır olur. Bunun için 4., 5., …
türevlere bakılmadı.
Örnek:

ln x dx integralini hesaplayalım.
Çözüm:
u  ln x  du 
11
1
x
dx
dv  dx  v  x olur. Bu durumda,


1
arctan x dx  x.(arctan x )   x.
ln x dx  x. ln x   x. dx  x. ln x  x  c bulunur.
x
1  x2
dx
1
2x
 x.(arctan x )  .
dx
2
1  x2
Örnek:

1
1
2
 x. arctan x  . ln(1  x )  c
2
x cos x dx integralini hesaplayalım.
Çözüm:
Örnek:
u  x  du  dx

x
e cos x dx integralini hesaplayalım.

dv  cos x dx  v  sin x olur. Bu durumda,
x cos x dx  x. sin x   sin x dx  x. sin x  cos x  c olur.
Çözüm:
x
e cos x dx  i diyelim.

Örnek:

u  cos x  du   sin x dx
1
1
x. ln x dx integralini hesaplayalım.
x
x
dv  e dx  v  e olur. Bu durumda,
1
1
Çözüm:
1
u  ln x  du 
x
dv  x dx  v 

x. ln x dx 
x2
2
2
olur. Bu durumda,

x
e cos x dx  i diyelim.
2
. ln x  
u
2
x
1
x2
1
. dx 
. ln x  .
dx
2
2
2 x
2
x

x2
Örnek:


dx
x2
2
. ln x 
x2
4
c
2
 sin x  du
2
 cos x dx
x
x
dv  e dx  v  e olur. Bu durumda,
2
2
i 
2
i
arctan x dx integralini hesaplayalım.
x
x
x
e cos x dx  e . cos x   e sin x dx olur.
i


x
x
x
e cos x dx  e . sin x   e cos x dx olur. Böylece,
x
x
x
x
e cos x dx  e . cos x  e . sin x   e . cos x dx
x
x
x
 2. e cos x dx  e . cos x  e . sin x
Çözüm:
u  arctan x  du 
1
1  x2
dx

dv  dx  v  x olur. Bu durumda,
12

ex
x
e cos x dx 
.(cos x  sin x ) bulunur.
2
Sonuç
Çözüm
İntegral alma kuralları
Değişken değiştirme yöntemi
Kısmi integrasyon yöntemi
x3  8 x2  2
x2
Sırasıyla yukarıdaki yöntemlerden biriyle sonuca gitmeye
çalışırız. Ancak bunlar da yeterli olmayabilir. Örneğin,
P( x )
Q( x )

38
2
olduğundan,
 x  10 x  20 
x2
x3  8 x2  2
x2
dx 
gibi bir rasyonel integrali alabilmek için, ifadeyi basit

kesirlere ayırmak gerekebilir.
3.
Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi
b.
38
2
( x  10 x  20 
)dx
x2

x3
3
2
 5 x  20 x  38. ln x  2  c
P(x) in Derecesi Q(x) in Derecesinden Küçük İse
P( x ) ve Q( x ) ortak çarpanı olmayan iki polinom olsun.

P( x )
dx integrali, vereceğimiz iki yöntemden biriyle
Q( x )

P( x )
dx integrali hesaplanırken P(x) in derecesi Q(x) in
Q( x )
sonuçlandırılır.
derecesinden küçük ise ifade basit kesirlere ayrılır.
a.
Örnek:

P(x) in Derecesi Q(x) in Derecesinden Büyük ya da
Eşit İse
P( x )

dx integrali hesaplanırken P(x) in derecesi Q(x) in
Q( x )
dx
dx integralini hesaplayalım.
x2  3 x
Çözüm
derecesinden büyük ya da eşit ise P(x), Q(x) ’ e bölünür.
1
x2  3 x
Örnek:

x 1
x 1
dx integralini hesaplayalım.


1
x.( x  3)
1
x.( x  3)


A
B

x
x3
( x  3) ( x )
( A  B) x  3 A
x.( x  3)
 ( A  B) x  3 A  1
Çözüm

x2
x 1
dx 



(1 
3
x 1
dx  3.
)dx 
1
x 1

dx  
x 1
dx
1
x.( x  3)
dx  x  3. ln x  1  c

Örnek:

3
 A  B  0 ve - 3A  1  A  
x3  8 x2  2
x2

dx
x2  3 x
1
3x

dx  
1

3
dx
x
3
ve B 
1
3
olur.
olacağından,
3.( x  3)
1
1

1

3
dx
x3
1
1
  . ln x  ln x  3  c bulunur.
3
3
dx integralini hesaplayalım.
13
Örnek:

 ( A  B) x  3A  B  x
( x  1)dx
integralini hesaplayalım.
x2  4
 A  B  1 ve 3A - B  0  A 
Çözüm
x
( x  1)( x  3)
1
x2  4


1
( x  2).( x  2)
1

( x  2)( x  2)

A
B

x2 x2
( x  2) ( x  2)

1

4.( x  1)
x dx

x2  2 x  3
( A  B) x  2.( A  B)
( x  2).( x  2)


1
1
3
x 1

. ln x  2 
4
 ( A  B) x  2.( A  B)  x  1

1
 A  B  1 ve A - B  
1

( x  1)dx
x2  4
1

( x  2)( x  2)
4.( x  2)
1

4

1

4

dx
x2
A
2
3
4.( x  2)

. ln x  2 
3

4
3
4
1
4
ve B 
3
4
. ln x  3  c
1


. ln x  2  3. ln x  3  c
Örnek:
dx

x2
ln x  2  c
dx
integralini hesaplayalım.
x3  x
Çözüm
3

. ln x  2  ln x  2 
4

1
x2  2 x  3
Örnek:

1
x( x2  1)
1

x.( x2  1)

A

x

( x2  1)
Bx  C
x2  1
( x)
( A  B) x2  Cx  A
x.( x2  1)
2
 ( A  B) x  Cx  A  1
x dx
 A  B  0 , C  0 ve A  1  B  1 olur.
integralini hesaplayalım.
x2  2 x  3
x
Çözüm
x ( x2  1)
x
x2  2 x  3

x3
olacağından,
 ln 4 ( x  2).( x  2)3  c bulunur.

olur.
 ln 4 ( x  1).( x  3)3  c bulunur.
1

3
4
dx

4
3
4
4
olur.
3
ve B 
olacağından,
4.( x  3)
dx

4
1
4

x
( x  1).( x  3)
x
( x  1)( x  3)


A

B
x 1 x  3
( x  3) ( x  1)

( A  B) x  3 A  B

1
x

x dx
x2  2 x  3
x
x2  1


dx
x
olacağından,

x dx
x2  1
1
2
 ln x  2  . ln x  1  c olur.
2
( x  1).( x  3)
14
Örnek:

2
  cos x   cos x. sin x dx olur.
dx
integralini hesaplayalım.
x3  x2
Bu son integralde cos x  t dönüşümü yapılırsa,
sin x dx  dt olur. Buna göre,
Çözüm
1
x3  x2


1
x2 .( x  1)
1
x2 ( x  1)

A
B


C
x
x 1
x2
( x.( x  1)) ( x  1) ( x2 )
( A  C ) x 2  ( A  B) x  B

x2 ( x  1)

2
cos x. sin x dx 

t3
cos3 x
2
t dt 
c 
 c olur.
3
3
Bu durumda,

cos3 x
3
sin x dx   cos x 
 c bulunur.
3
2
 ( A  C ) x  ( A  B) x  B  1
Uyarı
 A  C  0 , A  B  0 ve B  1  A  1 ve C  1
sin x ve cos x in çift kuvvetlerinin çarpımı biçimindeki
integrallerde şu iki özellik kullanılır:
olur.
1
x2 .( x  1)

dx
x3  x
1

x

1
x2
dx
 
x
  ln x 
  ln

x 1
dx

x2
x 1
x 1
x
1
1

olacağından,

dx
x 1
 ln x  1  c
1
x
 c olur.
2
cos 2 x  2. cos x  1 ise,
1  cos 2 x
2
dir.
cos x 
2
2
cos 2 x  1  2. sin x ise,
1  cos 2 x
2
sin x 
dir.
2
Örnek:

4.
Trigonometrik Özdeşliklerden Yararlanarak İntegral
Alma Yöntemi

3
sin x dx integralini hesaplayalım.
Çözüm

Çözüm

Örnek:



2
sin x. sin x dx 

2
(1  cos x ). sin x dx
2
sin x dx   cos x. sin x dx
2
cos x dx 

1  cos 2 x
2
dx 
1
2
x
sin2 x
4
Örnek:

3
sin x dx 
2
cos x dx integralini hesaplayalım.
4
cos x dx integralini hesaplayalım.
Çözüm
4
2
2
2
2
cos x  cos x. cos x  (1  sin x ). cos x
15
c
1 2
2
2
2
2
 cos x  sin x. cos x  cos x  sin 2 x
4


1  cos 2 x
2

1 1  cos 4 x
3  4 cos 2 x  cos 4 x
.

2
8

3  4 cos 2 x 4 cos 4 x

8

1



1


. 3  dx  4  cos 2 x dx   cos 4 x dx
8
. 3 x  2 sin 2 x 
8
sin 4 x 
  c olur.

4
1.

cos ax. cos bx dx

16

1 cos 2 x
 2.

8
cos 8 x
x .( x  1)dx 
cos 2 x
4
3

. sin(a  b)  sin(a  b)

2
1

2.

sina. sinb   . cos(a  b)  cos(a  b)
2

Örnek:


1
2

. sin(5 x  3 x )  sin(5 x  3 x )

. sin8 x  sin2 x
5
e2 x  e x  1
( e3 x  1)dx
e2 x  e x  1
Çözüm
2
2 x5
( e3 x  1)dx
sin5 x. cos 3 x dx integralini hesaplayalım.
sin5 x. cos 3 x 
c
x2
1
2

( x 2  x 2 )dx
1
c
1
2 x3
3

1
 c olur.
integralinin sonucunu bulunuz.
Çözüm

1
c

. cos(a  b)  cos(a  b)
1

1
2

1
1
x2
sinax. sinbx dx
2
2
3
x 2 .( x  1)dx 

3

1
sin2 x dx
x .( x  1)dx integralinin sonucunu bulunuz.
biçimindeki integralleri aşağıdaki özdeşlikler yardımıyla
sonuçlandırırız.

cos 8 x 
. 

Çözüm

sinax. cos bx dx
cos a. cos b 
2
1

sina. cos b 
1
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
Uyarı



1
2

x dx
. sin8 x dx 
2

4
4
cos x dx 
1
sin5 x. cos 3 x dx 

3.

16

dx
x. ln x




( e x  1).( e2 x  e x  1)dx
e2 x  e x  1
x
x
( e  1)dx  e  x  c bulunur.
integralinin sonucunu bulunuz.
Çözüm
6.
ln x  u olsun. Bu durumda,

cos x  sin x
1  sin x  cos x
dx integralinin sonucunu bulunuz.
Çözüm
1
dx  du olur. Buradan,
x
dx

x. ln x

du

u
1  sin x  cos x  t olsun. Bu durumda,
 ln u  c  ln ln x  c olur.
(cos x  sin x)dx  dt olur. Buradan,

cos 2 x dx

4.
cos x  sin x
1  sin x  cos x
dx 
integralinin sonucunu bulunuz.
1  sin x. cos x

dt
t
 ln t  c
 ln 1  sin x  cos x  c olur.
Çözüm
cos 2 x dx


1  sin x. cos x



7.
2.(cos 2 x )dx
2.(1  sin x. cos x )


2  2. sin x. cos x
2. cos 2 x dx


1  sin x. cos x
2. cos 2 x dx

2  sin2 x



f ( x)
x
f ( x)
x


dx 
d
f ( x)
x
1
8.

1

2

1
2
cos2 t
dt 
1
2
tan t  c
2
tan( x  4)  c olur.
6
sin x. sin2 x dx integralinin sonucunu bulunuz.
Çözüm

Çözüm

cos2 ( x2  4)
dx 
u
2
dx  x  8 x  c olduğuna göre f ( x ) i
bulunuz.
x
du
 ln u  c  ln 2  sin 2 x  c olur.
5.
dx integralinin sonucunu bulunuz.
2 x dx  dt olur. Buradan,
2. cos 2x dx  du olur. Bu durumda,

cos2 ( x2  4 )
2
x  4  t olsun. Bu durumda,
tir.
2  sin2 x
x
Çözüm
2. cos 2 x dx
2  sin 2x  u alınırsa,
cos 2 x dx

6
sin x. sin2 x dx 

6
sin x.2. sin x. cos x dx
7
 2. sin x. cos x dx olur.
2
dx  x  8 x  c ise,
f ( x)
x


dx  
d
dx

x2  8 x  c
sin x  t olsun. Bu durumda,

2
 2 x  8  f ( x )  2 x  8 x olur.
cos x dx  dt olur. Buradan,

t8
6
7
sin x. sin2 x dx  2. t dt  2.  c
8
8
 4. sin x  c bulunur.
17
e xdx

9.
integralinin sonucunu bulunuz.
e x  e3  1
Çözüm
e
x
3
 e  1  t olsun. Bu durumda,
e xdx
e x  e3  1

10.
x 3dx

integralinin sonucunu bulunuz.
x8  9
Çözüm
4
x  t olsun. Bu durumda,
dt
3
3
olur. Buradan,
4 x dx  dt  x dx 
4
x
e dx  dt olur. Buradan,

12.

dt

t
3x  5
3
 ln t  c  ln e x  e3  1  c dir.
dx integralinde t
6
x3dx

1

x8  9
4
dt


t 2  32

 3x  5
3x  5  2
dönüşümü yapıldığında elde edilecek yeni integrali
bulunuz.
13.
x2

x2  x
Çözüm
1 1
t
. arctan  c
4 3
3
1
12
arctan
x4
3
dx integralinin sonucunu bulunuz.
Çözüm
t
6

5
5
 3 x  5  6t dt  3dx  dx  2t dt olur. Buna göre,
3x  5
3
dx 
3x  5  2


x2
t6
5
3 6
t 2
t3

.2 t dt
5
t2  2
x2  x
.2 t dt 

2t 8
t2  2
dt olur.

1


x.( x  1)
x2
x.( x  1)

A
B

x
x 1
( x  1) ( x )
( A  B) x  A
x.( x  1)
 ( A  B) x  A  x  2
11.

cos 3 x. cos x dx integralinin sonucunu bulunuz.
 A  B  1 ve A  2  B  1 olur.
Çözüm

x2
cos 3 x. cos x dx 

cos(3 x  x )  cos(3 x  x )

1
2
2
. cos 4 x dx 
1
2
x.( x  1)
dx
. cos 2 x dx


x2
x2  x
2
x

1
x 1
dx  2.
1
x
olacağından,
dx  
1
x 1
 2. ln x  ln x  1  c
1 sin 4 x 1 sin2 x
 .
 .
c
2 4
2 2

sin 4 x
8

sin2 x
4
2
 ln x  ln x  1  c
 c olur.
 ln
18
 c olur.
x2
x 1
 c olur.
dx

14.
'
''
f ( x ). f ( x )dx integralinin sonucunu bulunuz.
Çözüm
'
f ( x )  t olsun. Bu durumda,
''
f ( x )dx  dt olur. Buradan,

15.
'
''
f ( x ). f ( x )dx 


tdt 
t2
2
c 
 
f ' ( x)
2
2
 c olur
2
3 x ln x dx integralinin sonucunu bulunuz.
Çözüm
Sorulan integrali kısmi integrasyon metoduyla alalım.
u  ln x  du 
1
x
dx
2
3
dv  3 x dx  v  x olur. Bu durumda,

16.
x3
2
3
3 1
3
3 x ln x dx  x ln x   x . dx  x ln x 
 c dir.
x
3

1  cos 2 x
1  cos 2 x
dx integralinin sonucunu bulunuz.
Çözüm
1  cos 2 x
1  cos 2 x



1  cos 2 x
1  cos 2 x
1  2. cos2 x  1
1  (1  2. sin2 x )
1  sin2 x
sin2 x
dx 



1
sin2 x
1
sin2 x
2 cos2 x
2 sin2 x
 1 dir.
dx   dx   cot x  x  c dir
KONU BİTMİŞTİR…
19