GEREKLİ ÖN BİLGİLER:

DERS:
ÜNİTE:
KONU:
MATEMATİK II
BELİRSİZ İNTEGRALLER
MAT II (01)
1. BELİRSİZ İNTEGRAL VE İNTEGRASYON FORMÜLLERİ
GEREKLİ ÖN BİLGİLER
1. Temel türev formülleri
2. Trigonometrik fonksiyonların tanımları, temel özellikler ve bağıntılar
3. Üstel ve logaritmik fonksiyonların tanım ve temel özellikleri
4. Hiperbolik fonksiyonların tanım ve özellikleri
TANIM: f (x) tanımlı olduğunda F ′( x) = f ( x) olacak şekilde F (x) fonksiyonu varsa, F
fonksiyonuna, f fonksiyonunun antitürevi (ters türevi ya da ilkeli) denir.
Örneğin, türevi f ( x) = 3x 2 olan F ( x) fonksiyonlarından bazıları
x 3 , x 3 + 5 , x 3 − 20 , x 3 − 2
fonksiyonlarıdır. Öyleyse bu fonksiyonlardan her biri f ( x) = 3x 2 fonksiyonunun bir
antitürevidir. f ( x) = 3x 2 fonksiyonunun tüm antitürevleri c ∈ R keyfi sabit olmak üzere
F ( x) + c biçimindedir.
TANIM: Bir fonksiyonun türevi f olsun. f (x) in tüm antitürevlerinin sınıfına f (x) in x
değişkenine göre belirsiz integrali denir,
∫ f ( x) dx
ile gösterilir.
Bu tanımdan, bir f fonksiyonunun bir antitürevi F ise, o taktirde
∫ f ( x) dx = F ( x) + c
olacaktır.
Örneğin, f ( x) = 3x 2 fonksiyonunun belirsiz integrali
∫ 3x
2
dx = x 3 + c
olur.
a, b ∈ R , f (x) ve g (x) antitürevleri var olan fonksiyonlar olmak üzere,
belirsiz integral
∫ [ a f ( x) + b g ( x) ] dx = a ∫ f ( x) dx + b∫ g ( x) dx
lineerlik (doğrusallık) özelliğine sahiptir.
ÖRNEK:
∫ [15 x
2
]
+ 8 x dx integrali için lineerlik özelliğinin gerçeklendiğini görünüz.
TEMEL İNTEGRAL FORMÜLLERİ
⎧ x m +1
m ≠ −1 ise
⎪m +1 + c
⎪
1. ∫ x m dx = ⎨
⎪ln | x | +c
m = −1 ise
⎪
⎩
ax
2. ∫ a x dx =
+ c (a > 0 ve a ≠ 1) ,
ln a
3. ∫ cos x dx = sin x + c ,
4. ∫ cosh x dx = sinh x + c ,
1
5.
∫ cos
6.
∫
7.
∫
2
x
dx = ∫ (1 + tan 2 x) dx = tan x + c ,
1
1− x
1
2
1+ x
2
dx = arcsin x + c ( | x |< 1 ) ,
(
)
dx = ln x + 1 + x 2 + c ,
∫ e dx = e + c
∫ sin x dx = − cos x + c
∫ sinh x dx = cosh x + c
1
∫ sin x dx = ∫ (1 + cot
x
x
2
2
1
∫1+ x
∫
2
dx = arctan x + c
1
x −1
2
x) dx = − cot x + c
(
)
dx = ln x + x 2 − 1 + c ( | x |> 1 )
ÖRNEKLER
1⎞
⎛
1. ∫ ⎜ 5 cos x + 3 x 5 − ⎟ dx
x⎠
⎝
⎛ 3
1 ⎞
⎟⎟ dx
2. ∫ ⎜⎜ 2 + 5 4 x −
1 + x2 ⎠
⎝ sin x
10
⎛
⎞
+ x 4 ⎟ dx
3. ∫ ⎜ 2 cosh x +
2
1+ x
⎝
⎠
6
x
4. ∫ x 5 ln x dx = ( A ln x + B) + C eşitliğini sağlayan A, B, C sayılarını bulunuz.
36
5. Her noktasındaki teğetinin eğimi, o noktanın apsisi ile ordinatı çarpımına eşit olan ve
A(0,2) noktasından geçen eğrinin denklemini bulunuz.
ÖDEVLER
Genel Matematik Cilt I ( Prof. Dr. M. BALCI) kitabından
Sayfa 216-217 problemler
KAYNAKLAR
M. BALCI, Genel Matematik Cilt I, Balcı Yayınları, Ankara, 2003.
H. HALİLOV, A. HASANOĞLU, M. CAN, Yüksek Matematik, Literatür Yayınları,
İstanbul, 2002.
R.A. SILVERMAN, Calculus ve Analitik Geometri, (çeviren, B. Simav, D. Simav), Alkım
Kitapçılık, 1992.
2