1 1 1 ........ 1 . ..... 1 1997. x x x k x x + + + + + 1 ....... , 0 ...... ax ax a x a

VII. OLİMPİYAT SINAVI
Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz
SORULAR
(
2
1. (1 + x 3 ) 1 + x 3
)(1 + x ) ........(1 + k.x ) .....(1 + 1997.x )
33
31997
3k
polinomu
1 + a1 x k1 + a2 x k2 + ....... + am x km , ( ai ≠ 0 ve k1 < k2 < ...... < km ) polinomuna eşit olduğuna
göre a1997 katsayısının (mod1000) e göre eşiti kaçtır?
A) 280
B)665
C)596
D)582
E) Hiçbiri
2. S = {5k | k ∈ , 0 ≤ k ≤ 2004} olarak tanımlanıyor. 52004 = 5443.....0625 sayısı 1401
basamaklı ise S kümesinin kaç elemanı 1 ile başlar?
A) 603
B) 604
C) 605
D)606
E) Hiçbiri
1
= 0, d1d 2 d 3 ..... olarak
n
yazıldığında d i = di +12 , i = 1, 2, 3,... eşitliği sağlanmaktadır. 9901 sayısının asal olduğu
bilindiğine göre; S kümesinin kaç pozitif tamsayı elemanı vardır?
A) 253
B) 254
C) 255
D) 256
E) Hiçbiri
3. S kümesi öyle n sayılarından oluşmaktadır ki n > 1 ve
4. Bir ABC üçgeninde D, E ve F noktaları sırası ile [ BC ] , [CA] ve [ AB ] üzerinden
seçiliyor. Öyle ki; [ AD ] , [ BE ] ve [CF ] doğru parçaları P noktasına kesişiyorlar.
A(AFP) = 126, A(FBP) = 63 ve A(CEP) = 24 ise A(ABC) = ?
A) 348
B) 349
C) 350
D) 351
E)Hiçbiri
www.sbelian.wordpress.com
math is not my life, but i like it
1
VII. OLİMPİYAT SINAVI
( 2004 )
5.
k
sayısının 2004! sayısını tam bölmesini sağlayan en büyük k değerinin
basamakları toplamı kaçtır? ( k ∈ + )
A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
E)Hiçbiri
6. Bir ABC üçgeninde BC = 13 , CA = 37 , AB = 40 olarak veriliyor. D, E ve F
noktaları sırası ile BC , CA ve AB üzerinden alındığında, AD , BE , CF doğruları
çevrel çemberin merkezinde kesiştiklerine göre
A)
48
481
7. a1 , a2 , a3
B)
46
481
sayıları
C)
44
481
1
1
1
+
+
=?
AD BE CF
43
D)
481
x. ( x − 200 ) . ( 4 x + 1) = 1
denkleminin
w = tan −1 (a1 ) + tan −1 (a2 ) + tan −1 (a3 ) olarak veriliyor. Eğer tan(w) =
(m,n) = 1 ise m+n = ?
A) 163
B) 164
C) 165
D) 166
E)
41
481
kökleridir.
m
, ( m, n ∈ + ) ve
n
E) 167
8. İkişerli olarak birbirine teğet olan 3 çemberden ikisinin yarıçapı 3 ve diğerinin 7 dir.
Merkezlerinin birleştirilmesi ile oluşan üçgenin alanı 84 ise, üçüncü çemberin alanı
nedir?
B) 195π
C) 193π
D) 192π
E) 190π
A) 196π
9. Basamakları artan sıra ile yazılmış 7 basamaklı sayıların sayısına N diyelim. Buna
göre N sayısının 1000 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 435
B) 348
C) 712
D) 696
E) 542
www.sbelian.wordpress.com
math is not my life, but i like it
2
VII. OLİMPİYAT SINAVI
1
x ≠ 0 , 2 f ( x) + f ( ) = 5 x + 4 olarak veriliyor. Buna göre f ( x) = 2004
x
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı S ise, S ye en yakın tamsayı değeri kaçtır?
A) 602
B) 603
C) 601
D) 608
E) 610
10.
u1 + u1 + u1 = 1
11. u1 , u2 , u3 karmaşık sayılar olsun. u12 + u22 + u32 = 3 ise u17 + u27 + u37 toplamı kaçtır?
u13 + u23 + u33 = 7
A) 190
B) 71
9800
1
12. S = ∑
C) 210
eşitliğindeki
S
D) 89
sayısı
E) Hiçbiri
p + q r ; p, q, r ∈ + biçiminde
2
n + n −1
yazılabilmekte ve r sayısı herhangi bir asal sayının karesi ile bölünemediğine göre ;
p + q + r kaçtır?
n =1
A) 129
13. Bir
B) 128
C) 127
D) 123
E) 121
ABCD
kirişler dörtgeninin köşegenleri P noktasında kesişmektedir.
BP 3
AB = 1, CD = 4 ve
= olarak veriliyor. ABCD dörtgeninin çevrel çemberinin
DP 8
alanı p
A) 49
π
q
, ( p, q ) = 1 ise p+q = ?
B) 48
www.sbelian.wordpress.com
math is not my life, but i like it
C) 47
3
D) 46
E) 45
VII. OLİMPİYAT SINAVI
N ∈ + olmak üzere;
14.
( a1 , a2 ,...., a8 ) lilerin
sayısına N diyelim. a1 = 10 ve
a12 − a22 = 10
a22 − a32 = 20
ise N ≡ x(mod1000) denkliğini sağlayan x ∈ + kaçtır?
a72 − a82 = 70
a82 − a12 = 80
A) 468
15.
B) 469
∞
{ An }n≥1
C) 470
D) 471
E) 472
pozitif sonsuz terimli bir dizi olmak üzere; an = 2.an −1 + n 2 , n > 1
olarak veriliyor. Buna göre; a1 = 1 ise a2004 ≡ x mod(1000) denkliğini sağlayan x
değeri kaçtır?
A) 56
B) 57
C) 58
D) 59
E) 60
16.
Bir ABC dik üçgeninin düzleminde BC doğrusuna göre A noktasının
bulunmadığı tarafta BDEC karesi çiziliyor. BAC dik açısına ait açıortayın BC ve DE
kenarlarıyla kesişim noktaları sırasıyla F ve G ile gösterilmek üzere AB = 24 ise
BDGF dörtgeninin alanı kaçtır?
A) 338
B) 340
C) 346
D) 348
E) 352
17.
A) 100
10 çizgi ve 10 çember bir düzlemi en fazla kaç parçaya ayırabilir?
B) 199
C) 244
D) 346
E) 360
www.sbelian.wordpress.com
math is not my life, but i like it
4
VII. OLİMPİYAT SINAVI
18.
1000! ≡ x mod(2003) denkliğini sağlayan x tamsayısının basamakları toplamı
kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 7
19.
İstanbul’un Avrupa yakasında konuşulan fentekçe dilinde tüm kelimeler F, E
ve N harflerinden oluşmaktadır. Sesli ve sessiz harf tanımları ise Türkçedeki ile
aynıdır. Ancak herhangi bir F, E, N dizisinin fentekçe bir kelime olabilmesi için
herhangi iki E arasında en az iki sessiz harf olmalıdır. Buna göre 10 harfli fentekçe
kelimelerin sayısının 1000 ile bölümünden kalan kaçtır?
B) 937
A) 936
C) 938
D) 939
E) 940
20.
{1, 2,3,........,32} kümesinde eğer m|n ise m. sayıda n. sayıyı böler durumunu
sağlayan permütasyonların sayısı kaçtır?
A) 236
B) 237
C) 238
D) 239
E) 240
an ve
21.
bn reel terimli birer dizi olmak üzere; an terimi kendisinden önceki
(n-1) terimin aritmetik ortası, bn ise kendisinden önceki (n-1) terimin geometrik
ortasıdır. a2004 = 7 ve b2005 = 6 olarak veriliyor. Eğer
(a
2
2
ai = bi , i = 1, 2, 3 ve a1 = 3 ise
+ a32 ) = ?
A) 176
B) 180
www.sbelian.wordpress.com
math is not my life, but i like it
C) 200
5
D) 210
E) 216
VII. OLİMPİYAT SINAVI
22.
Bir ABC üçgeninde;
BC = 27, CA = 32 ve AB = 35
olarak veriliyor.
Ayrıca; öyle bir P noktası var ki Ç ( ABC ) = Ç (CPA) = Ç ( APB ) olduğuna göre,
AP + BP + CP = ( p + q r ) / s eşitliğini sağlayan p + q + r + s = ? (p, q, r, s yi bölen
bir asal sayı karesi yoktur)
A) 170
B) 171
C) 175
D) 177
E) Hiçbiri
23.
x, y, z sıfırdan farklı birer tamsayı olmak üzere; −7 ≤ x, y, z ≤ 7 olarak
veriliyor. Buna göre; 1/ x + 1/ y + 1/ z = 1/( x + y + z ) eşitliğini sağlayan (x, y, z)
üçlülerinin sayısı kaçtır?
A) 504
B) 508
C) 521
D) 544
E) 546
24.
P(x) bir polinom olmak üzere, P (k ) =
ise (m+n) = ? (ebob (m,n) = 1).
A) 65
B) 66
25.
C) 67
1
m
, k = 1, 2,3,.....10 ve p (11) = −
k .(k + 1)
n
D) 64
E) 71
O merkezli AB çaplı bir çember üzerinden alınan C ve D noktaları
birleştiriliyor. CD ⊥ AB kesişimleri H noktasıdır. AB = xy, CD = yx olduğuna
göre AB = ? ( OH > 0 )
A) 56
26.
B) 65
C) 36
D) 63
E) 44
Bir ABC üçgeninde [ BC ] kenarı üzerinden BD = 2, DC = 6 olacak şekilde
bir D noktası bulunmaktadır. AB = 4 ve m( ACB) = 20o olduğuna göre m( BAO) = ?
A) 50
B) 20
www.sbelian.wordpress.com
math is not my life, but i like it
C) 29
6
D) 30
E) 42
VII. OLİMPİYAT SINAVI
27.
Kenar uzunlukları AB = 6, BC = 7, AC = 8 olan bir ABC üçgeninin A
köşesine ait açıortay BC yi D noktasında kesiyor. E noktası [ AC ] üzerinde olmak
üzere [CE ] = 2 ise [ DE ] = ?
A) 3
B) 4
C) 4,2
D) 4,8
E) 5
Kenarları 1 br olan ABCD karesinin AB, BC, CD, DA kenarları üzerinden sırsı
AA′ BB′ CC ′ DD′ 1
=
=
=
= olduğuna göre
ile A′, B′, C ′, D′ noktaları alınıyor.
AB BC CD
DA n
AC ′, A′C , BD′, B′D kesişimleri ile oluşan karenin alanı 1/1985 ise n = ?
28.
A) 32
B) 36
C) 42
D) 46
E) Hiçbiri
29.
A, B, C, D pozitif tamsayıları A5 = B 4 , C3 = D 2 ve C = A + 19 eşitliklerini
sağladıklarına göre D − B = ?
A) 757
B) 760
C) 780
D) 795
E) 800
30.
Bir çembere dışındaki bir A noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları B ve C
dir. AB ve BC nin orta noktaları sırasıyla D ve E, CD nin çemberi kestiği diğer nokta
F olmak üzere m(ABC) = 36o olduğuna göre m(EFC) kaç derecedir?
A) 36
B) 45
C) 54
D) 60
E) 72
www.sbelian.wordpress.com
math is not my life, but i like it
7
VII. OLİMPİYAT SINAVI
Bir ABC üçgeninin kenarortayları AD , BE ve CF olarak veriliyor. Öyle ki
31.
AD
doğru
parçası
y = x+3,
BE
ise
y = 2x + 4
üzerindedir.
AB = 60 ve m( ABC ) = ?
A) hiçbirisi
B) 400
C) 440
D) 460
E) 480
32.
m kırmızı ve n mavi çorap ( m + n ≤ 1991 ) bir torbaya konuluyor. Eğer rasgele
2 çorap çekilirse, ikisinin de aynı renk olma olasılığı ½ dir. Buna göre m nin
alabileceği en büyük değerin basamakları toplamı kaçtır?
A) 18
33.
B) 21
C) 12
D) 16
E) hiçbirisi
Bir ABC üçgeninde D, E ve F noktaları sırasıyla BC , AC , AB kenarlarının
orta noktasıdır. P, Q, R noktaları ise sırasıyla EF , FD , DE uzunlukları üzerindedir ve
A, P, R; C, R, Q ve B,Q,P noktalar grubunun her biri kendi içerisinde doğrusal olduğuna
göre A( ABC ) / A( PQR ) = ?
A) 10
B) 11
C) 7 + 2 5
D) 7 + 3 5
E) hiçbirisi
34.
Boyutları a, b, c olan bir prizmanın hacmi, boyutları (a+2), (b+2), (c+2) olan
başka bir prizmanın hacminin yarısı ise c nin alabileceği en büyük değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 150
B) 140
www.sbelian.wordpress.com
math is not my life, but i like it
C) 130
8
D) 120
E) 110
VII. OLİMPİYAT SINAVI
35.
Bir ABC üçgeninde m( PAB ) = m( PBC ) = m( PCA) olacak şekilde bir P noktası
alınıyor. Eğer AB = 13, BC = 14, CA = 15 ise tan(PAB) = ?
A) 295/168
36.
B) 295/167
C) 295/166
D) 295/166
E) hiçbirisi
Bir ABC üçgeninde AB = AC dir. P noktası AC üzerinde, Q ise AB
üzerindedir. Eğer AP = PQ = QB = BC ise m( ACB ) / m( APQ) = ?
A) 4/7
B)5/7
www.sbelian.wordpress.com
math is not my life, but i like it
C) 5/7
9
D) 7/13
E) 8/13