SEMcI-RcIEMANN MANcIFOLDLARIN TANJANT VE KOTANJANT

SEMİ-RİEMANN MANİFOLDLARIN TANJANT VE
KOTANJANT DEMETLERİNİN GEOMETRİSİ ÜZERİNE
İsmet AYHAN
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ISPARTA 2006
T.C.
SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
SEMİ-RİEMANN MANİFOLDLARIN TANJANT VE
KOTANJANT DEMETLERİNİN GEOMETRİSİ ÜZERİNE
İSMET AYHAN
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ISPARTA, 2006
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğüne
Bu çalışma jürimiz tarafından MATEMATİK ANABİLİM DALI’nda DOKTORA
TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Başkan : Prof. Dr. Adil KILIÇ
Üye
: Prof. Dr. Ali KÖKÇE
Üye
: Prof. Dr. Rıdvan EZENTAŞ
Üye
: Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN (Danışman)
Üye
: Doç. Dr. Cengizhan MURATHAN
ONAY
Bu tez ... / ... / 2006 tarihinde Enstitü Yönetim Kurulunca belirlenen yukarıdaki jüri üyeleri tarafından kabul edilmiştir.
... / ... /2006
Prof. Dr. Çiğdem SAVAŞKAN
S.D.Ü. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRÜ
İÇİNDEKİLER
İÇİNDEKİLER..........................................................................................................
i
ÖZET........................................................................................................................
iii
ABSTRACT...............................................................................................................
iv
TEŞEKKÜR..............................................................................................................
v
SİMGELER DİZİNİ...................................................................................................
vi
1. GİRİŞ.....................................................................................................................
1
2. TEMEL KAVRAMLAR.........................................................................................
4
2.1. Semi-Riemann Manifoldlar..................................................................................
4
2.2. Tanjant ve Kotanjant Demetler...........................................................................
9
2.3. Finsler, Lagrange ve Hamilton Uzayları............................................................... 18
2.4. İkinci Mertebeden Tanjant Demetler..................................................................
21
3. BİR SEMİ-RİEMANN MANİFOLDUN TANJANT DEMETİ ÜZERİNDEKİ
SEMİ-RİEMANN METRİKLER..........................................................................
26
3.1. T M Üzerindeki Semi-Riemann Metrikler...........................................................
26
3.2. g S Sasaki Semi-Riemann Metrikli T M Manifoldunun Diferensiyel
Geometrisi..........................................................................................................
36
3.3. Bir Pseudo-Finsler Manifoldun Yatay Demetlerinin Geometrisi........................
48
3.4. M deki Bir Hiperyüzeyin (T M, g C ) Semi-Riemann Manifolduna Yükseltilmesi.
54
4. BİR SEMİ-RİEMANN MANİFOLDUN İKİNCİ MERTEBEDEN
TANJANT DEMETİ ÜZERİNDEKİ SEMİ-RİEMANN METRİKLER................
65
4.1. M deki Diferensiyel Geometrik Objelerin T T M ye Yükseltilmişleri...................
65
4.2. T T M Üzerindeki Semi-Riemann Metriklerin İşaretlerinin İncelenmesi...............
78
4.3. (T T M, g CC ) Semi-Riemann Manifoldun Levi-Civita Koneksiyonu.....................
95
i
5. BİR SEMİ-RİEMANN MANİFOLDUN KOTANJANT DEMETİ
ÜZERİNDEKİ SEMİ-RİEMANN METRİKLER...............................................
100
5.1. S g Sasaki Semi-Riemann Metrikli T ∗ M Manifoldun Diferensiyel
Geometrisi.......................................................................................................
100
5.2. Bir Hamilton Uzayında Semi-Riemann Geometri............................................
113
6. BİR SEMİ-RİEMANN MANİFOLDUN İKİNCİ MERTEBEDEN
KOTANJANT DEMETİ..................................................................................... 129
6.1. T ∗ T ∗ M nin Diferensiyellenebilir Manifold Yapısı............................................
129
6.2. T ∗ T ∗ M ye İkinci Mertebeden Yükseltilmişler.................................................. 135
7. KAYNAKLAR.................................................................................................... 140
8. ÖZGEÇMİŞ........................................................................................................
ii
142
ÖZET
(Semi-Riemann Manifoldların Tanjant ve Kotanjant Demetlerinin
Geometrisi Üzerine)
Tez altı bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde, konunun tarihi gelişimi ifade edildi.
İkinci bölümde, temel tanım ve teoremler verildi.
Üçüncü bölümde, tanjant demet üzerindeki semi-Riemann metriklerin işaretleri
incelenerek tanjant demetin Sasaki metriğine bağlı diferensiyel geometrisi üzerinde
çalışıldı ve tanjant demetin yatay alt vektör demeti üzerinde tanımlı semi-Riemann
metriğine bağlı pseudo-Finsler manifoldun geometrisi ele alındı. Ayrıca tanjant demet
üzerine yükseltilmiş hiperyüzeylerin geometrisi incelendi.
Dördüncü bölümde, bir manifold üzerinde tanımlı diferensiyel geometrik objelerin
ikinci mertebeden tanjant demetlere yükseltilmişleri bulunarak ikinci mertebeden
tanjant demet üzerindeki metriklerin işaretleri incelendi. Ayrıca bir semi-Riemann
metriğin ikinci mertebeden tam yükseltilmesiyle elde edilen metriğe bağlı Levi-Civita
koneksiyonu bileşenler cinsinden elde edildi.
Beşinci bölümde, kotanjant demetin Sasaki semi-Riemann metriğine bağlı diferensiyel
geometrisi ile bir Hamilton uzayının kotanjant demetinin diferensiyel geometrisi, bu
demetin üzerinde tanımlı semi-Riemann metriğine göre incelendi. Ayrıca kotanjant
demet üzerinde iki semi-Riemann metrik tanımlanarak metriklerin işaretleri
incelendi.
Altıncı bölümde,
bir semi-Riemann manifoldun ikinci mertebeden kotanjant
demetinin diferensiyelenebilir manifold yapısı tanımlandı. Daha sonra bu semi-Riemann
manifold üzerindeki diferensiyel geometrik objelerin ikinci mertebeden kotanjant
demetlere yükseltilmişleri elde edildi.
Anahtar Kelimeler: Tanjant demet, kotanjant demet, ikinci mertebeden tanjant
demet, ikinci mertebeden kotanjant demet, Hamilton uzayı, pseudo-Finsler uzayı.
iii
ABSTRACT
(On the Geometry of Tangent and Cotangent Bundle of Semi-Riemann
Manifolds)
This thesis consists of six chapters.
In the first chapter, the historical background of the subject has been considered.
In the second chapter, basic definitions and theorems have been given.
In the third chapter, after obtaining the signs of semi-Riemann metrics on the tangent
bundle, the differential geometry of the tangent bundle related to the Sasaki metric
has been studied. Then the geometry of a pseudo-Finsler manifold related to a semiRiemann metric on horizontal subbundle of tangent bundle has been considered. In
addition, prolonged hypersurfaces to the tangent bundle have been studied .
In the fourth chapter, the lifts of differential geometric objects defined on a manifold
to the second order tangent bundle have been obtained. Related this, the signs of
metrics on the second order tangent bundle have been studied. Moreover the LeviCivita connection of the metric derived by the second order complete lift of a semiRiemann metric has been obtained.
In the fifth chapter, the differential geometry of the cotangent bundle related to the
Sasaki semi-Riemann metric has been studied.
The differential geometry of the
cotangent bundle of a Hamilton space has been worked with respect to the pseudoRiemann metric defined on this bundle. In addition, two semi-Riemann metrics have
been defined and the signatures of these metrics have been studied.
In the sixth chapter, the differentiable manifold structure of the second order cotangent
bundle of a semi-Riemann manifold has been defined. By this, the lifts of differential
geometric objects which are defined on the semi-Riemann manifold to the second order
cotangent bundle have been obtained.
Key Words: Tangent bundle, cotangent bundle, second order tangent bundle, second
order cotangent bundle, Hamilton space, pseudo-Finsler space
iv
TEŞEKKÜR
Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren, kıymetli tecrübelerinden ve bilgilerinden faydalandığım, çalışmamın her aşamasında beni destekleyen
danışman hocam Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN’e teşekkür ederim.
Ayrıca bu çalışma 03D655 numaralı proje kapsamında S.D.Ü. BİLİMSEL ARAŞTIRMA
PROJELERİ YÖNETİM BİRİMİ tarafından desteklenmiştir. Bu desteklerinden dolayı
SDÜBAPYB ne teşekkür ederiz.
v
SİMGELER DİZİNİ
R
: Reel sayılar cismi
M
: Semi-Riemann manifoldu
g
: Semi-Riemann metriği
ν
: Semi-Riemann manifoldun indeksi
⎧
⎨ −1, 1 ≤ i ≤ ν
:
⎩ +1, ν + 1 ≤ i ≤ n
εi
S
: Semi-Riemann hiperyüzey
B
: İkinci temel form tensörü
N
: Hiperyüzeyin birim normali
H
: N birim normali ile birleştirilmiş şekil operatörü
Tp M
: p ∈ M noktasındaki tanjant uzay
D
: Dağılım
Tp∗ M
: p ∈ M noktasındaki kotanjant uzay
∇
: Koneksiyon
R
: Riemann eğrilik tensörü
TM
: Tanjant demet
τM
: T M den M ye kanonik projeksiyon
V TM
: T M üzerinde düşey dağılım
HT M
: T M üzerinde yatay dağılım
gC , gF , gS , gK
: T M üzerindeki metrikler
Ln = (M, L)
: Lagrange manifoldu
F n = (M, F )
: Finsler manifoldu
T ∗M
: Kotanjant demet
πM
: T ∗ M den M ye kanonik projeksiyon
: T ∗ M de (0,2) tipinde tensör alanı
V T ∗M
: T ∗ M üzerinde düşey dağılım
HT ∗ M
: T ∗ M üzerinde yatay dağılım
Leg
: T M den T ∗ M ye diferensiyellenebilir bir dönüşüm
vi
Cg
, F g , Sg , Kg
: T ∗ M üzerindeki metrikler
H n = (M, H)
: Hamilton manifoldu
TTM
: İkinci mertebeden tanjant demet
τ TM
: T T M den T M ye kanonik projeksiyon
V TTM
: T T M üzerinde düşey dağılım
HT T M
: T T M üzerinde yatay dağılım
g CC , g F F , g SS , g KK : T T M üzerindeki metrikler
T ∗T ∗M
: İkinci mertebeden kotanjant demet
πT ∗ M
: T ∗ T ∗ M den T ∗ M ye kanonik projeksiyon
: T ∗ T ∗ M de (0,2) tipinde bir tensör alanı
vii
1. GİRİŞ
Bir Riemann manifoldunun tanjant demeti üzerindeki metrikler konusundaki çalışmalar 1950 li yılların sonlarında Sasaki ve Dombrowski ile başladı. Yano ve
Ishıhara 1970 li yıllarda M manifoldu üzerindeki bir metriğin yükseltmelerine
bağlı olarak T M manifoldu üzerindeki metrikleri tanımladı ve bu metrikler
yardımıyla T M manifoldunun diferensiyel geometrisini inceledi.
1969 yılında Tani, g Riemann metrikli M manifoldunun bir hiperyüzeyi boyunca
tanımlı diferensiyel geometrik objelerin, düşey ve tam yükseltilmesiyle, g C semiRiemann metrikli T M manifoldu üzerindeki yükseltilmiş hiperyüzey boyunca
tanımlı diferensiyel geometrik objeleri elde etti. Böylece (T M, gC ) semi-Riemann
manifoldu üzerinde yükseltilmiş hiperyüzeyin geometrisini inceledi.
1987 yılında Oproiu ve Papaghiuc, M Lagrange manifoldu üzerinde L : T M → R
regüler Lagrange fonksiyonuna bağlı g Riemann metriğinin tam yükseltilmişi
olan gC semi-Riemann metriğine göre T M manifoldunun Levi-Civita koneksiyonu
ve Riemann eğrilik tensörünü bileşenler cinsinden hesaplayarak T M manifoldu
üzerinde Bianchi özdeşliklerini elde etti.
1988 yılında Oproiu ve Papaghiuc, T M üzerinde, Yano ve Ishıhara’nın tanımladığından farklı bir non-lineer koneksiyon kullanarak, gC semi-Riemann metrikli
T M manifoldunun diferensiyel geometrisini inceledi.
1988 yılında Civelek, ikinci mertebeden tanjant demetlerin 4n-boyutlu diferensiyellenebilir manifold yapısına sahip olduğunu gösterdi ve M manifoldu üzerindeki
(0,0), (1,0) ve (0,1) tipindeki tensör alanlarının ikinci mertebeden tanjant
demetlere düşey ve tam yükseltilmişlerini tanımladı.
1996 yılında Bejancu ve Farran, bir pseudo-Finsler metriğini, T M manifoldunun
tanjant demetinin düşey altdemeti içindeki Liouville vektör alanı üzerinde değer
alan bir semi-Riemann metrik olarak tanımladı.
Bu metrik yardımıyla T M
manifoldunun fibrelerinin diferensiyel geometrisini inceledi.
1
Kotanjant demetlerin diferensiyel geometrisi üzerindeki çalışmalar 1960 lı yılların
sonlarında başladı. 1988 yılında Willmore, M manifoldu üzerindeki torsiyonsuz afin koneksiyonun T ∗ M manifoldu üzerinde semi-Riemann metriğe karşılık
geldiğini gösterdi. Bu metriği torsiyonsuz afin koneksiyonun Riemann genişlemesi
olarak adlandırdı.
1990 yılında Oproiu ve Papaghiuc, Willmore’un ifade ettiği semi-Riemann
metriğini kullanarak T ∗ M manifoldunun diferensiyel geometrisini inceledi.
2001 yılında, Akbulut, Özdemir ve Salimov, Yano ve Ishıhara’nın M üzerindeki
bir Riemann metriğin tanjant demet üzerine diagonal yükseltmesine benzer bir
metodla T ∗ M üzerinde S g Riemann metriğini ve bu metriğe bağlı olarak T ∗ M
nin diferensiyel geometrisini ele aldılar.
Bu çalışmada, Yano ve Ishıhara tarafından T M üzerinde tanımlanan metriklerin
semi-Riemann metrikler olduğu gösterilerek işaretleri incelendi. Böylece M deki
g semi-Riemann metriğinin diagonal yükseltilmesiyle elde edilen Sasaki metriğine
göre T M manifoldunun diferensiyel geometrisi üzerinde çalışıldı. Ayrıca T M
üzerinde C ∞ , reel değerli bir fonksiyon olan L, M deki bir eğrinin yatay yükseltilmişinin teğet vektör alanı üzerinde g V semi-Riemann metriğinin değeri olarak
tanımlanarak (M, L) nin bir pseudo-Finsler manifold olduğu gösterildi. T M nin
leafları ile tanımlı n-boyutlu alt manifoldu üzerinde yatay yükseltilmiş eğrinin
teğet vektörünü normal kabul eden bir hiperyüzeyin geometrisi incelendi. Ayrıca
M deki semi-Riemann hiperyüzey boyunca tanımlı vektör alanlarının düşey ve
tam yükseltilmişleri bulunarak (M, g) deki bir semi-Riemann hiperyüzeyin
(T M, gC ) ye yükseltilmişi tanımlandı ve M deki semi-Riemann hiperyüzeye normal olan vektör alanının düşey ve tam yükseltilmişleri, yükseltilmiş semi-Riemann
hiperyüzeyin normal vektör alanları kabul edilerek, ikinci temel tensör alanına
bağlı sonuçlar elde edildi. M manifoldu üzerindeki fonksiyon vektör alanı 1-form
gibi tensör alanlarının ikinci mertebeden tanjant demetlere V H, CH, HC, HH
yükseltilmişleri elde edildi. Böylece ikinci mertebeden tanjant demetler üzerinde
elde edilen metriklerin semi-Riemann metrikler olduğu gösterilerek işaretleri incelendi ve (T T M, g CC ) semi-Riemann manifoldunun Levi-Civita koneksiyonu
2
bileşenler cinsinden hesaplandı.
M manifoldu üzerindeki g semi-Riemann metriğinin diagonal yükseltilmesiyle
elde
edilen
Sasaki
metriğine
göre
T ∗M
manifoldunun
diferensiyel
geometrisi üzerinde çalışıldı. Lagrange manifoldların temel tensörü, sadece M
deki lokal koordinatlara bağlı bir semi-Riemann metrik kabul edilerek, bu metriğin
yükseltilmesiyle T M de elde edilen semi-Riemann metrikler, Legendre dönüşümü
yardımıyla T ∗ M üzerinde semi-Riemann metriklere dönüştürüldü.
Ayrıca
gravitasyon alanlar için Euler-Lagrange denklemleri, Legendre dönüşümü
yardımıyla T ∗ M içindeki koordinatlarla ifade edildi ve bulunan denklemin çözüm
eğrileri için sonuçlar elde edildi. Boyutu n olan bir semi-Riemann manifoldun
ikinci mertebeden kotanjant demetinin 4n-boyutlu diferensiyellenebilir manifold
yapısına sahip olduğu gösterildi. Bu manifold üzerinde tanımlı fonksiyon, vektör alanı ve 1-form gibi tensör alanlarının ikinci mertebeden yükseltilmişleri elde
edildi.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, çalışmaya esas olan tanım ve teoremler verilecektir.
2.1. Semi-Riemann Manifoldlar
Tanım 2.1.1. M bir C ∞ manifold olsun. p ∈ M noktasındaki tanjant uzay Tp M
olmak üzere
gp : Tp M × Tp M → R
→ gp (Xp , Yp )
(Xp , Yp )
biçiminde tanımlı sabit indeksli, simetrik, bilineer, non-dejenere (0, 2) tensörüne
M üzerinde bir metrik tensör denir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.2. M bir C ∞ manifold olsun. M bir g metrik tensör ile donatılmışsa,
M ye bir semi-Riemann manifoldu denir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.3. Bir M semi-Riemann manifoldu üzerinde g metrik tensörünün
indeksine semi-Riemann manifoldun indeksi denir ve indM ile gösterilir.
Eğer indeks ν ise 0 ≤ ν ≤ boyM dir. Özel olarak, ν = 0 ise ∀p ∈ M için gp ,
Tp M üzerinde pozitif tanımlı bir iç çarpım olduğundan, M bir Riemann manifoldu olur. ν = 1 ve n ≥ 2 olması durumunda ise, M ye bir Lorentz manifoldu
denir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.4. M bir semi-Riemann manifoldu olsun. Xp ∈ Tp M olmak üzere,
i) gp (Xp , Xp ) > 0 veya Xp = 0 ise Xp vektörüne spacelike,
ii) gp (Xp , Xp ) < 0 ise Xp vektörüne timelike,
iii) gp (Xp , Xp ) = 0, Xp = 0 ise Xp vektörüne lightlike (null) denir.
Bu sınıflandırmaya göre verilen bir tanjant vektörün ait olduğu kümeye bu tanjant vektörün causal karakteri denir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.5. Tp M nin orijininden geçen doğrularını M nin p den geçen jeodeziklerine taşıyan dönüşüme üstel dönüşüm denir.
h komşuluğundan, p ∈ M nin bir
∀p ∈ M için expp dönüşümü 0p ∈ Tp M nin bir U
4
h 0 civarında v ∈ U
h iken ∀t ∈ [0, 1] için
U komşuluğuna diffeomorfizmdir. Eğer U,
h oluyorsa U ya p nin bir normal komşuluğu denir (O’Neill, 1983).
tv ∈ U
Teorem 2.1.6. Eğer x1 , ..., xn M nin p noktasında bir normal koordinat sistemi
ise tüm i, j, k indisleri için,
gij (p) = δ ij εj
;
Γkij (p) = 0
olur (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.7. Rn Öklid n−uzay verilsin. 0 ≤ ν ≤ n, olmak üzere ν tamsayısı
için, Rn üzerinde,
g(Xp , Yp ) = −
ν
[
xi yi +
i=1
n
[
xi yi
i=ν+1
ile verilen metrik tensör göz önüne alınırsa, elde edilen uzay semi-Öklid n−uzay
olarak adlandırılır ve Rnν ile gösterilir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.8. {u1 , ..., un }, Rnν üzerinde doğal koordinatlar olsun.
S
W = Wi ∂i , Rnν üzerinde vektör alanları iseler
∇V W =
[
V ve
V (Wi )∂i
vektör alanına W nın V ye göre kovaryant türevi denir. Burada, {∂i }, i = 1, ..., n,
χ(Rnν ) vektör alanları uzayının standart bazıdır (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.9. Bir M C ∞ manifoldu üzerindeki bir ∇ koneksiyonu,
i) ∇V W , V ye göre C ∞ (M, R) lineerdir,
ii) ∇V W , W ye göre R lineerdir,
iii) ∇V (f W ) = V (f )W + f DV W , ∀f ∈ C ∞ (M, R)
olacak şekilde bir
∇ : χ(M) × χ(M) → χ(M)
fonksiyonudur (O’Neill, 1983).
Teorem 2.1.10. Bir M semi-Riemann manifoldu üzerinde ∀X, Y, Z ∈ χ(M) için
5
i) [X, Y ] = ∇X Y − ∇Y X
ii) Xg(Y, Z) = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z)
olacak şekilde bir tek ∇ koneksiyonu vardır. ∇ ye M nin Levi-Civita koneksiyonu
denir ve Levi-Civita koneksiyonu,
2g(∇X Y, Z) = Xg(Y, Z) + Y g(Z, X) − Zg(X, Y )
−g(X, [Y, Z]) + g(Y, [Z, X]) + g(Z, [X, Y ])
Kozsul formülü ile karakterize edilir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.11. Bir semi-Riemann M manifoldunun Levi-Civita koneksiyonu ∇
olsun. ∀X, Y, Z ∈ χ(M) için
R : χ(M) × χ(M) × χ(M) → χ(M)
→ R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z
(X, Y, Z)
şekinde tanımlanan R fonksiyonu, M üzerinde (1, 3) tensördür. Bu tensöre M
nin Riemann eğrilik tensörü denir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.12. M bir semi-Riemann manifold ve p ∈ M noktasındaki Xp , Yp
tanjant vektörlerinin gerdiği Tp M tanjant uzayının 2−boyutlu bir non-dejenere
altuzayı P olsun.
K(P) =
g(R(X, Y )Y, X)
g(X, X)g(Y, Y ) − g(X, Y )2
şeklinde tanımlanan K(P) reel sayısına P nin kesit eğriliği denir (O’Neill, 1983).
i
i semi-Riemann manifoldunun bir C ∞ altmanifoldu M ve M
Tanım 2.1.13. M
daki metrik g olsun.
i
ϕ: M → M
p
→ ϕ(p) = p
inclusion(daldırma) dönüşümü için p ∈ M noktasındaki türev dönüşümü
ϕ |P
∗
i
Tp M −→
Tp M
6
ve ek dönüşümü de
ϕ∗ |P
olmak üzere,
i ←− Tp∗ M
Tp∗ M
ϕ∗ |p (gp )(Xp , Yp ) = g(ϕ∗ (Xp ), ϕ∗ (Yp ))p ; ∀Xp , Yp ∈ Tp M
i nın bir semieşitliği ile tanımlı ϕ∗ |p (gp ), M üzerinde bir metrik ise M ye M
Riemann altmanifoldu denir (O’Neill, 1983).
i nın bir semi-Riemann altmanifoldu olsun. ∀p ∈ M için
Tanım 2.1.14. M, M
Tp M ⊥ uzayının boyutuna M nin dik tümleyeninin boyutu (codimension), Tp M ⊥
in indeksine de M nin dik tümleyeninin indeksi (co-indeksi) denir (O’Neill, 1983).
i nın bir semi-Riemann altmanifoldu olsun. Buna göre,
M, M
i = Tp M ⊕ Tp M ⊥
Tp M
i için tanjant ve normal bileşenleri yardımıyla,
olduğundan, Xp ∈ Tp M
Xp = tan Xp + norXp
yazılışı tek türlüdür. Burada, tan Xp ∈ Tp M olmak üzere norXp ∈ Tp M ⊥ dir.
Ortogonal izdüşümlerin sonucu olarak,
ve
i −→ Tp M
tan : Tp M
i −→ Tp M ⊥
nor : Tp M
dönüşümleri R-lineerdirler (O’Neill, 1983).
i nın bir semi-Riemann altmanifoldu olsun. O zaman,
Teorem 2.1.15. M, M
i = indM + coindM
indM
7
dir (O’Neill, 1983).
Teorem 2.1.16. ∀ X, Y ∈ χ(M) için,
B : χ(M) × χ(M) → χ(M)⊥
(X, Y )
h XY
→ B(X, Y ) = nor∇
şeklinde tanımlı B dönüşümü 2−lineer ve simetriktir. B fonksiyonuna M nin
şekil tensörü veya ikinci temel tensörü denir (O’Neill, 1983).
i nın bir semi-Riemann altmanifoldu ve M
i üzerinde LeviTanım 2.1.17. M, M
h olsun.
Civita koneksiyonu ∇
∇ : χ(M) × χ(M) → χ(M)
(X, Y )
h XY
→ ∇X Y = teğ∇
indirgenmiş fonksiyonuna M semi-Riemann altmanifoldu üzerine indirgenmiş koneksiyon denir (O’Neill, 1983).
i nın bir semi-Riemann altmanifoldu olsun. ∇
h ve ∇,
Tanım 2.1.18. M, M
sırasıyla,
i ve M
M
i için,
∀X, Y ∈ χ(M)
üzerindeki Levi-Civita koneksiyonları olmak üzere
h X Y = ∇X Y + B(X, Y )
∇
eşitliğine M nin Gauss denklemi denir (O’Neill, 1983).
i nın bir semi-Riemann altmanifoldu olsun. Bir p ∈ M
Tanım 2.1.19. M, M
noktasının umbilik nokta olması için
B(X, Y ) = g(X, Y )Z, ∀ X, Y ∈ Tp M
olacak şekilde bir Z ∈ Tp M ⊥ normal vektörünün var olması gereklidir. Böylece
elde edilen Z normal vektör alanına M nin p noktasındaki normal eğrilik vektörü
denir (O’Neill, 1983).
8
Tanım 2.1.20. M, n−boyutlu bir semi-Riemann manifold olsun. M nın dik
tümleyeninin boyutu (codimension) 1 olan altmanifolduna M nın bir semiRiemann hiperyüzeyi denir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.21. M nın M semi-Riemann hiperyüzeyinin ε işareti;
⎧
⎨ +1, eğer coindM = 0
⎩ −1, eğer coindM = 1
biçimindedir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.22. M, M nın bir semi-Riemann hiperyüzeyi olsun.
∇, M
üzerinde Levi-Civita koneksiyon ve N de birim normal vektör alanı olmak üzere,
∀X ∈ χ(M) için
g(H(X), Y ) = g(B(X, Y ), N)
şeklinde tanımlı
H : χ(M) → χ(M)
lineer dönüşümüne M nin N den türetilmiş şekil operatörü denir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.1.23. M bir C ∞ n−boyutlu manifold olsun. M üzerinde
D : M → Tp M
p
→ Dp ⊂ Tp M
şeklinde tanımlı D dönüşümüne r−boyutlu dağılım ve X
Xp ∈ Dp ise X vektör alanına da D ye aittir denir.
∈ χ(M) için
Eğer her p ∈ M
noktası için Dp de r tane diferensiyellenebilir lineer bağımsız vektör alanı var
ise D dağılımına diferensiyellenebilirdir denir (Duggal ve Bejancu, 1996).
2.2. Tanjant ve Kotanjant Demetler
Tanım 2.2.1. M, C ∞ manifoldunun herhangi bir p noktasındaki tanjant uzayı
Tp M olmak üzere M nin tüm p noktalarındaki Tp M tanjant uzaylarının ayrık
9
birleşimi olan
TM =
Tp M
p∈M
T M ye M nin tanjant demeti denir (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.2. T M den M manifoldu üzerine sürekli ve örten
τM : TM →
M
z → τ M (z) = p
dönüşümüne kanonik projeksiyon denir (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.3. M manifoldu {U; xh }, h = 1, ..., n, koordinat komşuluklarının bir
sistemi tarafından örtülsün. Rn , R reel sayılar cismi üzerinde n-boyutlu vektör
uzayı olmak üzere P ∈ Tp M noktası p ∈ U ve X ∈ Rn olacak biçimde (p, X) sıralı
ikilisi ile temsil edilirse ∀p ∈ U için τ −1
(U) açık kümesi U × Rn e diffeomorfiktir.
M
(xh ), τ M (P ) = p noktasının koordinatları ve (y h ), Tp M tanjant uzayının { ∂x∂ h }
doğal bazına göre X ∈ Rn vektörünün lokal bileşenleri olmak üzere (xh , y h ) ile
P ∈ τ −1
(U) noktası arasında bir eşleşme kurulur. (xh , y h ), τ −1
(U) ⊂ T M açık
M
M
kümesinde bir lokal koordinat sistemi olup bu koordinat sistemine (xh ) dan in-
dirgenmiş koordinat sistemi denir (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 2.2.4. T M, 2n−boyutlu topolojik manifolddur (Miron, 2001).
Tanım 2.2.5. f, M de bir fonksiyon olmak üzere
τM
TM
fV
→
M
↓f
R
diyagramı ile verilen f V = f ◦ τ M fonksiyonuna f f onksiyonunun T M ye düşey
yükseltilmişi denir (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.6. T M üzerinde, X(f V ) = 0 eşitliğini sağlayan X vektör alanına
düşey vektör alanı denir.
10
M de X h bileşenlerine sahip X vektör alanının T M ye düşey yükseltilmişi
indirgenmiş koordinatlara göre
XV = Xh
∂
∂y h
lokal gösterime sahiptir (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.7. ∀X ∈
1
0 (M)
için ω(X V ) = 0 eşitliğini sağlayan T M üzerindeki ω
1−formuna düşey 1−form denir.
M de ω h bileşenlerine sahip ω 1-formunun T M ye düşey yükseltilmişi indirgenmiş
koordinatlara göre
ω V = ω h dxh
lokal gösterime sahiptir (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 2.2.8. ∀P, Q ∈
r
s (M)
için,
(P ⊗ Q)V = P V ⊗ QV ,
(P + Q)V = P V + QV
olup, düşey yükseltme dönüşümü, M manifoldu üzerindeki tensör cebirinden,
T M manifoldu üzerindeki tensör cebirine sabit katsayılara göre lineer bir izomorfizmdir (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.9. f, M de bir fonksiyon olmak üzere
f C = ι(df)
eşitliğini sağlayan f C fonksiyonuna, M deki f fonksiyonunun T M ye tam
yükseltilmişi denir.
M deki ω = ω h dxh 1-formu, T M nin ι(ω) = ω h y h bileşenleri ile ifade edilen bir
fonksiyonu olup f C = ι(df ) fonksiyonunun T M de indirgenmiş koordinatlara göre
lokal gösterimi
f C = yh
11
∂f
∂xh
dir (Yano, Ishıhara, 1973).
1
0 (M)
∈
Tanım 2.2.10. X
ve f
0
0 (M)
∈
için X C f C
=
(Xf )C
eşitliğini sağlayan X C vektör alanına M deki X vektör alanının T M ye tam
yükseltilmişi denir.
M de X h bileşenlerine sahip X vektör alanının T M ye tam yükseltilmişi indirgenmiş koordinatlara göre
XC = Xh
h
∂
∂
k ∂X
+
y
h
k
∂x
∂x ∂y h
lokal gösterime sahiptir (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.11. ω ∈
0
1 (M)
ve X C ∈
1
0 (T M)
için ω C (X C ) = (ω(X))C eşitliğini
sağlayan ω C 1−formuna, M deki ω 1−formunun T M ye tam yükseltilmişi denir.
M de ωh bileşenlerine sahip ω 1-formunun T M ye tam yükseltilmişi indirgenmiş
koordinatlara göre
ωC = yk
∂ωh h
dx + ω h dy h
∂xk
lokal gösterime sahiptir (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 2.2.12. ∀P, Q ∈
r
s (M)
için,
(P ⊗ Q)C = P C ⊗ QV + P V ⊗ QC ,
(P + Q)C = P C + QC
olup, tam yükseltme dönüşümü, M manifoldu üzerindeki tensör cebirinden, T M
manifoldu üzerindeki tensör cebirine sabit katsayılara göre, lineer bir izomorfizmdir (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.13. M nin afin koneksiyonu ∇ ve f ∈
0
0 (M)
için f nin gradienti ∇f
olmak üzere,
f H = f C − γ(∇f )
şeklinde tanımlanan f H fonksiyonuna, M deki f fonksiyonunun T M ye yatay
yükseltilmişi denir.
12
γ dönüşümü
r
s (M)
γ:
r
S = Sji11j...i
2 ...js
→
r
s−1 (M)
S →
γ(S)
,
∂
∂
⊗
...
⊗
⊗ dxj1 ⊗ dxj2 ⊗ ... ⊗ dxjs
i
∂x 1
∂xir
iken
r
γ(S) = y j1 Sji11j...i
2 ...js
∂
∂
⊗
...
⊗
⊗ dxj2 ⊗ ... ⊗ dxjs
∂y i1
∂y ir
olup, f C = γ(∇f ) olduğu için
fH = 0
dır (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.14. X ∈
1
0 (M)
için
X H = X C − γ(∇X)
eşitliğini sağlayan X H vektör alanına M deki X vektör alanının T M ye yatay
yükseltilmişi denir.
M de X h bileşenlerine sahip X vektör alanının T M ye yatay yükseltilmişi
indirgenmiş koordinatlara göre
XH = Xh
∂
∂
− y j Γhji X i h
h
∂x
∂y
lokal gösterime sahiptir (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.15. ω ∈
0
1 (M)
ve ∇, M de bir afin koneksiyon olmak üzere
ω H = ωC − γ(∇ω)
eşitliğini sağlayan ω H 1−formuna, M deki ω 1−formunun T M ye yatay yükseltilmişi denir.
M de ω i bileşenlerine sahip ω 1-formunun T M ye yatay yükseltilmişi indirgenmiş
13
koordinatlara göre
ω H = y k Γhki ω h dxi + ω i dy i
lokal gösterime sahiptir (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 2.2.16. ∀P, Q ∈
r
s (M)
için,
(P ⊗ Q)H = P H ⊗ QV + P V ⊗ QH ,
(P + Q)H = P H + QH
olup, yatay yükseltme dönüşümü, M manifoldu üzerindeki tensör cebirinden, T M
manifoldu üzerindeki tensör cebirine sabit katsayılara göre, lineer bir izomorfizmdir (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 2.2.17. M manifoldu üzerinde herhangi bir p noktasının U açık komşuluğundaki { ∂x∂ i }, i = 1, ..., n lokal baz vektör alanlarının ve {dxi }, i = 1, ..., n dual
baz 1−formlarının T M manifoldu üzerine yükseltilmişleri
i)
ii)
iii)
∂ V
∂xi
∂ C
∂xi
∂ H
∂xi
i V
=
∂
,
∂yi
=
∂
,
∂xi
=
δ
δxi
iv)
(dx ) = dxi ,
v)
(dxi ) = dy i ,
=
∂
∂xi
− Nih ∂y∂h , Nih = y j Γhij ,
C
H
vi) (dxi ) = δy i = dy i + Nhi dxh
dır (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 2.2.18. T T M, T M manifoldunun tanjant demeti, HT M, T T M nin
yatay altdemeti ve V T M de T T M nin düşey altdemeti olmak üzere
T T M = HT M ⊕ V T M
dir (Oproiu, Papaghiuc, 1988).
14
Tanım 2.2.19. Bir M C ∞ manifoldunun herhangi bir m noktasındaki Tm M
tanjant uzayının dual uzayı olan Tm∗ M, M nin m noktasındaki kotanjant uzayı
olsun. M nin tüm m noktalarındaki Tm∗ M kotanjant uzaylarının ayrık birleşimi
olan
T ∗M =
Tm∗ M
m∈M
T ∗ M ye M nin kotanjant demeti denir (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.20. T ∗ M kotanjant demetinden M manifoldu üzerine
πM : T ∗ M →
M
θ → π M (θ) = m
şeklinde tanımlanan sürekli ve örten bir dönüşüme kanonik projeksiyon denir
(Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.21. M manifoldu {U ; xh }, h = 1, ..., n, koordinat komşuluklarının bir
sistemi tarafından örtülsün. Rn , R reel sayılar cismi üzerinde n-boyutlu vektör
uzayı olmak üzere P ∈ Tm∗ M noktası m ∈ U ve p ∈ Rn olacak biçimde (m, p) sıralı
(U ) açık kümesi U × Rn e diffeomorfiktir.
ikilisi ile temsil edilirse ∀m ∈ U için π −1
M
(xh ), π M (P ) = m noktasının koordinatları ve (pi ), Tm∗ M kotanjant uzayının {dxh }
doğal bazına göre p ∈ Rn kovektörünün lokal bileşenleri olmak üzere (xh , pi )
ile P ∈ π −1
(U) noktası arasında bir eşleşme kurulur. (xh , pi ), π −1
(U ) ⊂ T ∗ M
M
M
açık kümesinde bir lokal koordinat sistemi olup bu koordinat sistemine (xh ) dan
indirgenmiş koordinat sistemi denir (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 2.2.22. T ∗ M 2n−boyutlu topolojik manifolddur (Miron, 2001).
Tanım 2.2.23. f, M de bir fonksiyon olmak üzere
πM
T ∗M
fV
→
M
↓f
R
15
diyagramıyla verilen f V = f ◦ πM fonksiyonuna f fonksiyonunun T ∗ M ye düşey
yükseltilmişi denir (Yano, Ishıhara, 1973).
(U) ⊂ T ∗ M de (pi , 0), i = 1, ..., n lokal bileşenlerine sahip
Teorem 2.2.24. π−1
M
p = pi dxi temel 1−formun dış türevi
= dp = dpi ∧ dxi =
1
2
CB
dxC ∧ dxB
B, C = 1, ..., 2n, (0, 2) tipinde bir tensör alanıdır.
Bu tensör alanının indirgenmiş koordinatlara göre matris gösterimi
(
CB
dir. Bu matrisin tersi
BA
dır.
, π −1
(U ) da bileşenleri
M
CB
⎛
)=⎝
⎛
=⎝
0
δ ji
−δ ij
0
0
δ ih
−δ hi
0
⎞
⎠
⎞
⎠
olan (0, 2) tipindeki tensör alanı ise
−1
,
BA
bileşenlerine sahip (2, 0) tipindeki tensör alanıdır (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.25. ω ∈
0
1 (M)
için π ∗M (ω) = ωB dxB , B = 1, ..., 2n T ∗ M de bir
1-form olup
ωA = ωB
BA
eşitliği sağlanacak şekilde T ∗ M de verilen ω A bileşenlerine sahip vektör
alanına, M deki ω 1−formunun T ∗ M ye düşey yükseltilmişi denir.
M de ωh bileşenlerine sahip ω 1-formunun T ∗ M ye düşey yükseltilmişi indirgenmiş
koordinatlara göre
ωV = ωi
∂
∂pi
lokal gösterime sahiptir (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 2.2.26. ∀P, Q ∈
0
s (M)
için,
(P ⊗ Q)V = P V ⊗ QV ,
(P + Q)V = P V + QV
olup, düşey yükseltme dönüşümü, M manifoldu üzerindeki tensör cebirinden
16
T ∗ M manifoldu üzerindeki tensör cebirine sabit katsayılara göre lineer bir izomorfizmdir (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 2.2.27. T ∗ M manifoldu üzerinde
ι:
1
s (M)
→
0
s (M)
S →
ι(S)
olup,
S = Sias ...i2 i1
∂
⊗ dxis ⊗ ... ⊗ dxi2 ⊗ dxi1
∂xa
iken,
ι(S) = pa Sias ...i2 i1 dxis ⊗ ... ⊗ dxi2 ⊗ dxi1
ve
γ:
1
s (M)
→
1
s−1 (M)
S
→
γ(S)
için
γ(S) = pa Sias ...i2 i1 dxis ⊗ ... ⊗ dxi2 ⊗
∂
∂pi1
dir (Yano, Ishıhara, 1973).
Tanım 2.2.28. X ∈
1
0 (M)
için (ιX) ∈
0
0 (T M)
ve d(ιX), T ∗ M de XB bileşen-
lerine sahip bir 1−formu yardımıyla
X A = XB
BA
eşitliği sağlanacak biçimde elde edilen X A bileşenlerine sahip bir vektör alanına
M deki bir X vektör alanının T ∗ M ye tam yükseltilmişi denir.
M de X h bileşenlerine sahip X vektör alanının T ∗ M ye tam yükseltilmişi indirgenmiş koordinatlara göre
XC = Xh
∂
∂X i ∂
−
p
i
∂xh
∂xh ∂ph
lokal gösterime sahiptir (Yano, Ishıhara, 1973).
17
Tanım 2.2.29. ∇, M de simetrik afin koneksiyon ve X ∈
1
0 (M)
olmak üzere
X H = X C + γ(∇X)
eşitliğini sağlayan X H vektör alanına, X vektör alanının T ∗ M ye yatay yükseltilmişi denir.
M de X h bileşenlerine sahip X vektör alanının T ∗ M ye yatay yükseltilmişi indirgenmiş koordinatlara göre
XH = Xh
∂
∂
+ pk Γkhi X i
h
∂x
∂ph
lokal gösterime sahiptir (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 2.2.30. M manifoldu üzerinde herhangi bir m noktasının U açık komşuluğundaki { ∂x∂ i }, i = 1, ..., n lokal baz vektör alanları ve {dxi }, i = 1, ..., n dual
baz 1−formlarının, T ∗ M manifoldu üzerine yükseltilmişleri
i)
ii)
∂ C
∂xi
∂ H
∂xi
i V
=
∂
,
∂xi
=
δ
δxi
=
∂
∂xi
+ Nij ∂y∂h , Nij = pk Γkij ,
iii) (dx ) = ∂p∂ i
dir (Yano, Ishıhara, 1973).
2.3. Finsler, Lagrange ve Hamilton Uzayları
Tanım 2.3.1. M, diferensiyellenebilir n-boyutlu bir manifold ve F : T M → R
skalar fonksiyonu
i) T M = T M\{0} manifoldu üzerinde diferensiyellenebilir ve τ M : T M → M
projeksiyonunun sıfır kesitleri üzerinde sürekli,
ii) pozitif,
iii) T M nin fibreleri üzerinde homojenlik derecesi bir ve
iv) gij (x, y) =
1 ∂2F 2
2 ∂yi ∂y j
nin elemanları T M üzerinde pozitif tanımlı
ise F n = (M, F (x, y)) ikilisine Finsler manifoldu ya da Finsler uzayı denir (Miron,
2001).
18
Teorem 2.3.2. gij (x, y), Tj
M üzerinde 2. dereceden kovaryant ve simetrik bir
tensör alanıdır (Miron, 2001).
Tanım 2.3.3. Finsler manifoldu üzerindeki F (x, y) fonksiyonuna temel fonksiyon,
gij (x, y) tensör alanına temel ya da metrik tensör denir (Miron, 2001).
Teorem 2.3.4. Finsler manifoldunda aşağıdaki özelikler sağlanır:
i) gij temel tensör alanının bileşenleri sıfırıncı mertebeden homojendir. Yani,
yi
ii) pi =
1 ∂F 2
2 ∂yi
∂gjk
= y i Cijk = 0,
∂y i
birinci dereceden homojendir (Miron, 2001).
Teorem 2.3.5. Finsler manifoldu üzerinde aşağıdaki özdeşlikler sağlanır:
i) pi y i = F 2 ,
ii) yi = gij y j = pj ,
iii) Cojh = y i Cijk = 0, Cjoh = Cjho = 0,
iv) F 2 (x, y) = gij (x, y)y i y j dir (Miron, 2001).
Teorem 2.3.6. Finsler manifoldu aşağıdaki diferensiyel geometrik objelere
sahiptir:
i) Lioville vektör alanı, V = y i ∂y∂ i ,
ii) Hamilton 1−form, ω = pi dxi ,
iii) Simplektik yapı, θ = dω = dpi ∧ dxi dir (Miron, 2001).
Tanım 2.3.7. Finsler manifoldunun temel tensör alanı y i değişkenlerine bağlı
değilse, yani
∂gij
∂yk
= 2Cijk = 0 ise bir Riemann uzayına indirgenebilirdir denir
(Miron, 2001).
Tanım 2.3.8. M diferensiyellenebilir n−boyutlu bir manifold ve T M, M nin
tanjant demeti olsun. Tj
M = T M\{0} olmak üzere Tj
M üzerinde tanımlı L(x, y)
fonksiyonu için
19
∞
C
i) L : Tj
M → R,
ii) L nin y ye göre homejenlik derecesi iki ise, yani, L(x, ky) = k2 L(x, y),
iii) ∀(x, y) ∈ Tj
M için
gij (x, y) =
1 ∂ 2L
2 ∂y i ∂y j
metrik tensörü q tane negatif özdeğere ve (n − q) tane pozitif özdeğere sahip ise
Fn
=
(M, L) ikilisine q indeksine sahip pseudo-Finsler manifold denir
(Bejancu, Farran, 1997).
Tanım 2.3.9. Tj
M üzerinde tanımlanan L : T M → R fonksiyonu C ∞ sınıfından
bir fonksiyon ve bu fonksiyonun y i ye göre Hessianı
gij (x, y) =
1 ∂ 2L
2 ∂y i ∂y j
Tj
M üzerinde non-dejenere, simetrik ve (0,2) tipinde kovaryant bir tensör alanı
ise (M, L) ikilisine Lagrange uzayı ya da Lagrange manifoldu denir (Miron, 2001).
Tanım
L(x, y)
2.3.10.
diferensiyellenebilir
Lagrange
fonksiyonu
için
rank gij (x, y) = n oluyorsa L(x, y) regülerdir denir (Oproiu, Papaghiuc, 1987).
Teorem 2.3.11. F n = (M, F (x, y)) Finsler uzayı, Ln = (M, L(x, y)) Lagrange
uzayıdır. Ln = (M, L(x, y)) Lagrange uzayı, eğer L(x, y) fonksiyonu pozitif, y i
s
2L
n
ye göre 2. dereceden homojen ve 12 ∂y∂i ∂y
= (M, L(x, y))
j pozitif tanımlı ise F
şeklinde tanımlı bir Finsler uzayıdır (Miron, 2001).
Tanım 2.3.12. M diferensiyellenebilir n−boyutlu bir manifold ve T ∗ M, M nin
∗ M = T ∗ M\{0} olmak üzere T ∗ M üzerinde verilen
kotanjant demeti olsun. T`
H(x, y) fonksiyonu
∗ M manifoldu üzerinde diferensiyellenebilir
i) H : (x, p) ∈ T ∗ M → H(x, p) ∈ R, T`
ve π M : T ∗ M → M nin sıfır kesitleri üzerinde sürekliyse,
ii) T ∗ M nin pi koordinatlarına göre H nin Hessianı,
1 ∂ 2H
,
g (x, p) =
2 ∂pi ∂pj
ij
20
rank g ij (x, p) = n
için g ij (x, p) non-dejenere matrisi ile veriliyorsa,
∗ M üzerinde sabit işaretli, (2,0) tipinde kontravaryant tensör
iii) gij (x, p), T`
alanıysa, H n = (M, H) ikilisine Hamilton manifoldu ya da Hamilton uzayı denir.
H fonksiyonuna, H n = (M, H) Hamilton uzayının temel fonksiyonu ya da regüler
Hamiltonyanı denir. gij (x, p) ye de Hamilton uzayının temel tensörü ya da metrik
tensörü denir (Miron, 2001).
2.4. İkinci Mertebeden Tanjant Demetler
Tanım 2.4.1. T M, C ∞ manifoldunun herhangi bir Z noktasındaki tanjant uzayı
TZ T M ile gösterilsin. T M nin tüm Z noktalarındaki TZ T M tanjant uzaylarının
ayrık birleşimi olan
TTM =
^
TZ T M
∀Z∈M
T T M ye T M nin tanjant demeti denir (Civelek, 1988).
Tanım 2.4.2. T T M tanjant demetinden T M manifoldu üzerine
τ TM : T T M →
TM
AZp → τ T M (AZp ) = Zp
biçiminde verilen sürekli ve örten τ T M dönüşümüne kanonik projeksiyon denir
(Civelek, 1988).
Tanım 2.4.3. (U , (x, y)) ikilisi, T M C ∞ manifoldu için bir harita olsun.
U ⊂ T M bir açık alt cümle olduğundan τ −1
(U ) = U cümlesi T T M nin bir
TM
açık alt cümlesidir. ∀AZp ∈ U = π −1
(U ) ⊂ T T M tanjant vektörü için
TM
(x, y, z, t)(AZp ) = (x(p), y(Zp ), z(AZp ), t(AZp ))
olur.
21
(x, y, z, t) dönüşümünün lokal koordinat fonksiyonları
xi (p) = pi
y i (Zp ) = Zp [xi ]
z i (AZp ) = AZp [xi ]
ti (AZp ) = AZp [y i ]
eşitliklerini sağladığı için (x, y, z, t), U için bir haritadır. (xi , y i , z i , ti ); i = 1, ..., n
sistemine, T T M için indirgenmiş lokal koordinat sistemi denir (Civelek, 1988).
Teorem 2.4.4. T T M, 4n−boyutlu topolojik manifolddur (Civelek, 1988).
Tanım 2.4.5. Eğer f, M nin bir fonksiyon olmak üzere
TTM
fV V
τTM
→
TM
↓ fV
τM
→
M
f
R
diyagramı yardımıyla elde edilen f V V
= f ◦ τ M ◦ τ T M fonksiyonuna f
fonksiyonunun ikinci mertebeden düşey yükseltilmişi denir. (Civelek, 1988)
Teorem 2.4.6. hι lineer dönüşümü, T M manifoldu üzerindeki lokal baz 1−formları,
T T M manifoldu üzerindeki koordinat fonksiyonlarına
hι :
0
1 (T M)
→
dxi
→
dy i
→
biçiminde dönüştürür (Civelek, 1988).
Tanım 2.4.7. fh ∈
0
0 (T M)
0
0 (T T M)
hι(dxi ) = z i
hι(dy i ) = ti
olmak üzere,
fhC = hι(dfh) =
#
∂ fh
∂xi
$V
22
zi +
#
∂ fh
∂y i
$V
ti
eşitliği ile verilen fhC fonksiyonuna fh fonksiyonunun T T M ye tam yükseltilmişi
denir. Eğer
fh = f V ise
f
VC
=
∂f
∂xi
V V
zi
ve
∂f
fh = f C = y i ∂x
i ise
f CC = z i y j (
∂ 2f V V
∂f
) + ti ( i )V V
i
j
∂x ∂x
∂x
olur. Ayrıca,
∂f
) ◦ τ TM
∂xi
f CV = (y i
biçiminde lokal gösterime sahiptir (Civelek, 1988).
h ∈ 10 (T M) ve fh ∈ 00 (T M) olmak üzere, T T M üzerinde,
Tanım 2.4.8. X
V
h fh) şartını sağlayan X
h V vektör alanına T M üzerindeki X
h vektör
h V (fhC ) = X(
X
alanının düşey vektör alanı denir.
h vektör alanı, M manifoldu üzerindeki bir X ∈
fh = f C ve X
1
0 (M)
vektör
alanının düşey yükseltilmişi olarak alınırsa
X V V (f CC ) = (X(f ))V V
eşitliği ile elde edilen X V V ye X vektör alanının T T M ye ikinci mertebeden düşey
VV
yükseltilmişi denir. T T M de indirgenmiş koordinatlara göre X V = (X i )
∂
∂ti
lokal gösterime sahiptir (Civelek, 1988).
h∈
Tanım 2.4.9. X
1
0
(T M) ve fh ∈
0
0
C
h C (fhC ) = X(
h fh)
(T M) olmak üzere, X
h C vektör alanına T M üzerindeki X
h vektör
şartını sağlayan T T M üzerindeki X
alanının tam yükseltilmişi denir.
T T M de indirgenmiş koordinatlara göre
V ∂
C ∂
V ∂
C ∂
C
i
n+i
i
n+i
h
h
h
h
h
X = X
+ X
+ X
+ X
∂xi
∂y i
∂z i
∂ti
23
lokal gösterime sahiptir. Eğer
h = X V ise
X
V V ∂
i V C ∂
XV C = Xi
+
X
∂y i
∂ti
ve
h = X C ise
X
V V ∂
CV ∂
V C ∂
CC ∂
+ Xi
+ Xi
+ Xi
X CC = X i
i
i
i
∂x
∂y
∂z
∂ti
olur. Ayrıca
V V ∂
i CV ∂
X CV = X i
+
X
∂z i
∂ti
biçiminde verilir (Civelek, 1988).
Tanım 2.4.10. ω
h∈
0
1 (T M)
h∈
ve X
1
0 (T M)
V
C
h
h
olmak üzere ω
h (X ) = ω
h (X)
V
eşitliğini sağlayan ω
h V 1−formuna T M manifoldu üzerindeki ω
h 1-formunun düşey
yükseltilmişi denir.
h = X C olarak alınırsa ω V V (X CC ) = (ω(X))V eşitliğini sağlayan ωV V
ω
h = ω V ve X
ye ω 1-formunun ikinci merteden düşey yükseltilmişi denir. T T M de indirgenmiş
koordinatlara göre
ω V V = (ωi )V V dxi
lokal gösterime sahiptir (Civelek, 1988).
Tanım 2.4.11. ω
h∈
0
1 (T M)
h∈
ve X
1
0 (T M)
C
C
h
h
olmak üzere ω
h (X ) = ω
h (X)
C
eşitliğini sağlayan ω
h C 1−formuna T M manifoldu üzerindeki ω
h 1-formunun tam
yükseltilmişi denir. T T M de indirgenmiş koordinatlara göre
ω
h C = (h
ω i )C dxi + (h
ω n+i )C dy i + (h
ω i )V dz i + (h
ω n+i )V dti
lokal gösterime sahiptir. Eğer
ω
h = ω V ise
ωV C = (ω i )V C dxi + (ωi )V V dz i
ve
24
ω
h = ω C ise
ω CC = (ω i )CC dxi + (ω i )V C dy i + (ω i )CV dz i + (ω i )V V dti
olur. Ayrıca
ω CV = (ωi )CV dxi + (ω i )V V dti
biçiminde verilir (Civelek, 1988).
Teorem 2.4.12. M manifoldu üzerinde herhangi bir p noktasının U açık komşuluğundaki { ∂x∂ i }, i = 1, ..., n lokal baz vektör alanları ve {dxi }, i = 1, ..., n dual
baz 1−formlarının T T M manifoldu üzerine yükseltilmişleri
∂ CC
i)
= ∂x∂ i ,
∂xi
∂ V C
= ∂y∂ i ,
ii)
∂xi
∂ CV
iii)
= ∂z∂ i ,
∂xi
∂ V V
iv)
= ∂t∂ i ,
∂xi
VV
= dxi ,
CV
= dy i ,
VC
= dz i ,
v)
(dxi )
vi)
(dxi )
vii)
(dxi )
CC
viii) (dxi ) = dti
dir (Civelek, 1988).
25
3. BİR SEMİ-RİEMANN MANİFOLDUN TANJANT DEMETİ
ÜZERİNDEKİ SEMİ-RİEMANN METRİKLER
Bu bölümde, tanjant demet üzerindeki semi-Riemann metriklerin işaretleri
incelenerek tanjant demetin Sasaki metriğine bağlı diferensiyel geometrisi
üzerinde çalışıldı ve tanjant demetin yatay alt vektör demeti üzerinde tanımlı
semi-Riemann metriğine bağlı pseudo-Finsler manifoldun geometrisi ele alındı.
Ayrıca tanjant demet üzerine yükseltilmiş hiperyüzeylerin geometrisi incelendi.
3.1. T M Üzerindeki Semi-Riemann Metrikler
Bu alt bölümde Yano ve Ishıhara’nın kullandığı yükseltmeler göz önüne alınarak,
M deki g semi-Riemann metriğine bağlı, T M de elde edilen metriklerin semiRiemann metrikler olduğu gösterildi ve T M semi-Riemann manifoldunun indeksi
tanımlanan herbir metrik için tablo şeklinde verildi.
(M, g) bir semi-Riemann manifoldu olmak üzere, xh ; h = 1, ..., n, U ⊂ M açığı
üzerinde tanımlı lokal koordinat fonksiyonları ve (U, xh ); h = 1, ..., n lokal koordinat komşuluğuna göre g metrik tensörünün bileşenleri gji ve gji bileşenlerine
bağlı Christoffel sembolünün bileşenleri de Γhji olsun. T M nin τ −1 (U ) komşuluğunda (xh , y h ) indirgenmiş koordinatlarına göre δy i = dy i + Nji dxj düşey dual
baz 1-formu ve Nji = y k Γikj non lineer konneksiyon katsayıları için T M manifoldu
üzerinde kovaryant tensörler
gV
= gij dxi dxj
g C = 2gij dxi δy j
gIII = gij δy i δy j
biçiminde tanımlıdır. gV , gC , gIII den elde edilen,
26
gC = 2gij dxi δy j
gF = g V + gC = gij dxi dxj + 2gij dxi δy j
g S = g V + gIII = gij dxi dxj + gij δy i δy j
g K = g C + g III = 2gij dxi δy j + gij δy i δy j
kovaryant tensörleri için aşağıdaki teoremler verilebilir.
Teorem 3.1.1. Eğer (M, g) semi-Riemann manifoldu ise (T M, g C ) de semiRiemann manifoldudur (Yano, Ishıhara, 1973)
Teorem 3.1.2. Eğer (M, g) semi-Riemann manifoldu ise (T M, g F ) de semiRiemann manifoldudur.
İspat: T M C ∞ manifoldu üzerinde vektör alanlarının cümlesi χ(T M) ve reel
değerli C ∞ fonksiyonların halkası C ∞ (T M, R) olmak üzere
g F : χ(T M) × χ(T M) → C ∞ (T M, R)
dönüşümü
g F (X V , Y V ) = 0
gF (X H , Y V ) = g F (X V , Y H ) = gC (X H , Y H ) = (g(X, Y ))V
eşitlikleri yardımıyla tanımlıdır. (T M, g F ) nin semi-Riemann manifoldu olması
için gF metriğinin aşağıdaki şartları sağlaması gerekir.
i) 2-lineerlik: ∀α, β ∈ R, ∀X, Y, Z ∈ χ(M), ve T M üzerinde
h = XV + XH,
X
Yh = Y V + Y H ,
Zh = Z V + Z H
27
biçiminde verilen vektör alanları için
h + β Yh , Z)
h = gF ((αX + βY )V + (αX + βY )H , Z V + Z H )
gF (αX
= gF ((αX + βY )V , Z H ) + gF ((αX + βY )H , Z V )
+g F ((αX + βY )H , Z H )
= αgF (X V , Z H ) + βg F (Y V , Z H ) + αg F (X H , Z V )
+βg F (Y H , Z V ) + αgF (X H , Z H ) + βgF (Y H , Z H )
dir. Benzer şekilde
olduğu görülür.
h Z)
h + βgF (Yh , Z)
h
= αgF (X,
h αYh + β Z)
h = αgF (X,
h Yh ) + βg F (X,
h Z)
h
g F (X,
h Yh ∈ χ(T M) için,
ii) Simetriklik: ∀X,
h Yh ) = g F ((X V + X H ), (Y V + Y H ))
g F (X,
= g F (X V , Y H ) + gF (X H , Y V ) + gF (X H , Y H )
= g F (Y H , X V ) + gF (Y V , X H ) + gF (Y H , X H )
simetriktir.
h
= g F (Yh , X)
iii) Non-dejenerelik: g semi-Riemann metriği ise
∀X ∈ χ(M) için g(X, Y ) = 0 iken Y = 0
h ∈ χ(T M) ve Yh = Y V için
dır. ∀X
h Y V ) = gF (X V + X H , Y V ) = g F (X H , Y V ) = 0
g F (X,
28
eşitliğinden
YV =0
h ∈ χ(T M) ve Yh = Y H için
ve ∀X
h Y H ) = g F (X V + X H , Y H )
gF (X,
= g F (X V , Y H ) + g F (X H , Y H ) = 0
eşitliğinden
YH =0
olup
h Yh ) = 0 iken Yh = 0
h ∈ χ(T M) için g F (X,
∀X
bağıntısından T M üzerinde tanımlı gF metriği non-dejeneredir.
Böylece (T M, gF ) bir semi-Riemann manifoldu olur.
Teorem 3.1.3. Eğer (M, g) semi-Riemann manifoldu ise (T M, gS ) semi-Riemann
manifoldudur.
İspat: T M C ∞ manifoldu üzerinde vektör alanlarının cümlesi χ(T M) ve reel
değerli C ∞ fonksiyonların halkası C ∞ (T M, R) olmak üzere
gS : χ(T M) × χ(T M) → C ∞ (T M, R)
dönüşümü
gS (X V , Y V ) = g S (X H , Y H ) = (g(X, Y ))V
gS (X H , Y V ) = g S (X V , Y H ) = 0
eşitlikleri yardımıyla tanımlıdır. (T M, gS ) nin semi-Riemann manifoldu olması
için gS metriğinin aşağıdaki şartları sağlaması gerekir.
29
i) 2-lineerlik: ∀α, β ∈ R, ∀X, Y, Z ∈ χ(M), ve T M üzerinde
h = XV + XH,
X
Yh = Y V + Y H ,
Zh = Z V + Z H
biçiminde verilen vektör alanları için
h + β Yh , Z)
h = g S ((αX + βY )V + (αX + βY )H , Z V + Z H )
g S (αX
= g S ((αX + βY )H , Z H ) + g S ((αX + βY )V , Z V )
= αgS (X H , Z H ) + βgS (Y H , Z H ) + αg S (X V , Z V ) + βgS (Y V , Z V )
h Z)
h + βgS (Yh , Z)
h
= αgS (X,
dir. Benzer şekilde
olduğu görülür.
h αYh + β Z)
h = αgS (X,
h Yh ) + βg S (X,
h Z)
h
gS (X,
h Yh ∈ χ(T M) için,
iii) Simetriklik: ∀X,
h Yh ) = gS ((X V + X H ), (Y V + Y H ))
gS (X,
= gS (X H , Y H ) + gS (X V , Y V )
= gS (Y H , X H ) + gS (Y V , X V )
simetriktir.
h
= gS (Yh , X)
iii) Non-dejenerelik: g semi-Riemann metriği ise
∀X ∈ χ(M) için g(X, Y ) = 0 iken Y = 0
30
h ∈ χ(T M) ve Yh = Y V için
dır. ∀X
eşitliğinden
h Y V ) = gS (X V + X H , Y V ) = gS (X V , Y V ) = 0
g S (X,
YV =0
h ∈ χ(T M) ve Yh = Y H için
ve ∀X
eşitliğinden
h Y H ) = g S (X V + X H , Y H ) = gS (X H , Y H ) = 0
gS (X,
YH =0
olup
h Yh ) = 0 iken Yh = 0
h ∈ χ(T M) için g S (X,
∀X
bağıntısından T M üzerinde tanımlı gS metriği non-dejeneredir.
Böylece (T M, gS ) bir semi-Riemann manifoldu olur.
Teorem 3.1.4. Eğer (M, g) semi-Riemann manifoldu ise (T M, g K ) de semiRiemann manifoldudur.
İspat: T M C ∞ manifoldu üzerinde vektör alanlarının cümlesi χ(T M) ve reel
değerli C ∞ fonksiyonların halkası C ∞ (T M, R) olmak üzere
g K : χ(T M) × χ(T M) → C ∞ (T M, R)
dönüşümü
g K (X H , Y H ) = 0
g K (X V , Y V ) = g K (X H , Y V ) = gK (X V , Y H ) = (g(X, Y ))V
eşitlikleri yardımıyla tanımlıdır. (T M, g K ) nın semi-Riemann manifoldu olması
için gK metriğinin aşağıdaki şartları sağlaması gerekir.
31
i) 2-lineerlik: ∀α, β ∈ R, ∀X, Y, Z ∈ χ(M), ve T M üzerinde
h = XV + XH,
X
Yh = Y V + Y H ,
Zh = Z V + Z H
biçiminde verilen vektör alanları için
h + β Yh , Z)
h = gK ((αX + βY )V + (αX + βY )H , Z V + Z H )
gK (αX
= gK ((αX + βY )V , Z V ) + gK ((αX + βY )H , Z V )
+g K ((αX + βY )V , Z H )
= αg K (X V , Z V ) + βg S (Y V , Z V ) + αg K (X H , Z V )
+βgK (Y H , Z V ) + αg K (X V , Z H ) + βg K (Y V , Z H )
dir. Benzer şekilde
olduğu görülür.
h Z)
h + βg K (Yh , Z)
h
= αg K (X,
h αYh + β Z)
h = αg K (X,
h Yh ) + βg K (X,
h Z)
h
gK (X,
h Yh ∈ χ(T M) için,
ii) Simetriklik: ∀X,
h Yh ) = g K ((X V + X H ), (Y V + Y H ))
gK (X,
= g K (X V , Y V ) + gK (X H , Y V ) + g K (X V , Y H )
= g K (Y V , X V ) + gK (Y V , X H ) + g K (Y H , X V )
simetriktir.
h
= g K (Yh , X)
iii) Non-dejenerelik: g semi-Riemann metriği ise
∀X ∈ χ(M) için g(X, Y ) = 0 iken Y = 0
32
dır. ∀X ∈ χ(T M) ve Y = Y V için
gK (X, Y V ) = gK (X V + X H , Y V )
= gK (X V , Y V ) + g K (X H , Y V ) = 0
eşitliğinden
YV =0
ve ∀X ∈ χ(T M) ve Y = Y H için
g K (X, Y H ) = gK (X V + X H , Y H ) = gK (X V , Y H ) = 0
eşitliğinden
YH =0
olup
∀X ∈ χ(T M) için gK (X, Y ) = 0 iken Y = 0
bağıntısından T M üzerinde tanımlı gK metriği non-dejeneredir.
Böylece (T M, gK ) bir semi-Riemann manifoldu olur.
Bu semi-Riemann metriklere sahip olan T M manifoldunun indeksi aşağıdaki teoremler yardımı ile verilebilir.
Teorem 3.1.5. (M, g) bir Riemann manifoldu ise (T M, gC ) semi-Riemann
manifoldunun indeksi n dir (Oproiu, Papaghiuc, 1987).
Teorem 3.1.6. (M, g) indeksi ν olan bir semi-Riemann manifoldu ise (T M, gC )
semi-Riemann manifoldunun indeksi n dir (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 3.1.7. (M, g) indeksi 0 ≤ ν ≤ n olan bir semi-Riemann manifoldu ise
(T M, gF ) semi-Riemann manifoldunun indeksi n dir.
İspat: T M üzerinde tanımlı gF = g V + g C metriğinin indirgenmiş koordinatlara
33
göre matris gösterimi,
⎡
gF : ⎣
gij + y k ∂k gij gij
gij
0
olup, normal koordinatlar gözönüne alınırsa,
gij (p) = εi δ ij = Iνn ,
⎤
⎦
Γkij (p) = 0
olduğundan g F metriğinin matris gösterimi,
⎡
gF : ⎣
Iνn
Iνn
Iνn
0
⎤
⎦
olur. g F metriğine karşılık gelen matris,
det λI2nx2n − g C = (λ2 − λ − 1)n−ν (λ2 + λ − 1)ν = 0
şeklindeki karekteristik denklemi (+, −, +, −, ...) olacak şekilde n tane pozitif,
n tane de negatif özdeğere sahip olduğundan, (T M, gF ) semi-Riemann manifoldunun indeksi n dir.
Teorem 3.1.8. (M, g) indeksi 0 ≤ ν ≤ n olan bir semi-Riemann manifoldu ise
(T M, gS ) semi-Riemann manifoldunun indeksi 2ν dür.
İspat: T M üzerinde tanımlı g S = gV + gIII Sasaki metriğinin indirgenmiş koordinatlara göre matris gösterimi,
⎡
gS : ⎣
gij +
ghk Nih Njk
gjk Nik
gih Njh
gij
⎤
⎦
olup normal koordinatlar göz önüne alınırsa, g S metriğinin matris gösterimi,
⎡
gS : ⎣
Iνn
0
0 Iνn
⎤
⎦
olduğundan, (T M, gS ) nin indeksinin 2ν olduğu görülür.
34
Teorem 3.1.9. (M, g) indeksi 0 ≤ ν ≤ n olan bir semi-Riemann manifoldu ise
(T M, gK ) semi-Riemann manifoldunun indeksi n dir.
İspat: T M üzerinde tanımlı gK = gC +gIII metriğinin indirgenmiş koordinatlara
göre matris gösterimi,
⎡
gS : ⎣
k
y ∂k gij +
ghk Nih Njk
gij +
gij +
gjk Nik
gih Njh
gij
⎤
⎦
olup normal koordinatlar göz önüne alınırsa, g K metriğinin matris gösterimi,
⎡
gK : ⎣
0
Iνn
Iνn Iνn
⎤
⎦
olur. g K matrisi,
det λI2nx2n − g K = (λ2 − λ − 1)n−ν (λ2 + λ − 1)ν = 0
şeklindeki karekteristik denklemi (+, −, +, −, ...) olacak şekilde n tane pozitif,
n tane de negatif özdeğere sahip olduğundan, (T M, g K ) semi-Riemann manifoldunun indeksi n dir.
Böylece T M manifoldu üzerindeki bu metriklerin işaretleri aşağıdaki tablo
yardımıyla verilir:
n − boyutlu
2n − boyutlu
M manif oldu
T M manif oldu
gC
gF = gV + gC
n indeksli
n indeksli
S.R
S.R
ν indeksli Semi
n indeksli
n indeksli
2ν indeksli
n indeksli
Riemann (S.R)
S.R
S.R
S.R
S.R
g metriği
Riemann (R)
35
gS = g V + gIII
R
gK = gC + gH
n indeksli
S.R
3.2. gS Sasaki Semi-Riemann Metrikli TM Manifoldunun Diferensiyel
Geometrisi
Bu alt bölümde, M deki tanjant vektörlerin g semi-Riemann metriğine bağlı
causal karekteri ile bu vektörlerin T M ye düşey ve yatay yükseltilmesiyle elde
edilen tanjant vektörlerin T M üzerindeki gS Sasaki semi-Riemann metriğine
bağlı causal karakterinin aynı olduğu bulundu. (T M, g S ) semi-Riemann manifoldunun Levi-Civita koneksiyonu ve Riemann eğrilik tensörü bileşenler cinsinden
hesaplandı. (T M, gS ) semi-Riemann manifoldu üzerinde jeodeziklerin diferensiyel
denklemleri elde edilerek M deki eğrilerin T M ye yatay ve doğal yükseltilmesiyle
elde edilen eğriler için bazı sonuçlar verildi.
M, n-boyutlu C ∞ sınıftan, diferensiyellenebilir bir manifold ve T M de
M manifoldunun tanjant demeti olsun. Eğer (xi ), i = 1, ..., n p ∈ M noktasının
bir U komşuluğu içindeki lokal koordinatlar ise T M nin bir elemanı olan Y tanjant
vektörü (xi , y i ), i = 1, ..., n şeklinde indirgenmiş koordinatlara sahiptir. Burada
y i ler, Y tanjant vektörünün lokal koordinat fonksiyonlarıdır. Böylece
(xi , y i ) = (xi , xi ) = (xA ), i = 1, ..., n; i = n + 1, ..., 2n; A = 1, ..., 2n,
τ −1 (U) üzerindeki lokal koordinatlar olarak ele alınabilir.
Bu bölümde, diferensiyel geometrik objelerin indisleri i, j, ... ve A, B, ... sembolleri ile veriliyorsa indirgenmiş koordinatlara göre gösterimi, α, β, ... sembolleri ile
veriliyorsa uyarlanmış bazlara göre gösterimi ifade eder.
T M manifoldu üzerinde tanımlı vektör alanlarının ve gS Sasaki semi-Riemann
metriğinin indirgenmiş koordinatlar ve uyarlanmış koordinatlara göre matris gösterimleri aşağıdaki şekilde verilebilir.
g, M nin U koordinat komşuluğu içinde bileşenleri gji olan bir semi-Riemann
metriği ve Γhji , gji den elde edilen Christoffel sembolleri olsun.
r
s (M)
modülü,
M içindeki C ∞ fonksiyonların halkası olan C ∞ (M, R) üzerinde, tüm (r, s) tipinden C ∞ tensör alanlarını göstersin. X ∈
36
1
0 (M)
için X in düşey yükseltilmişi
X V , X in yatay yükseltilmişi X H ve X in tam yükseltilmişi X C indirgenmiş
koordinatlara göre, sırasıyla,
⎛
XV = ⎜
⎝
0
X
h
⎞
⎛
⎟
⎠,
XH = ⎜
⎝
X
⎞
h
⎟
⎠,
−y i Γhij X j
⎛
XC = ⎜
⎝
X
h
j
−y i ∂X
∂xi
⎞
⎟
⎠
(3.2.1)
şeklinde tanımlıdır. M nin her (U, xh ); h = 1, ..., n koordinat komşuluğu içinde
X(j) =
∂
∂xj
lokal baz vektör alanları vardır. Bu lokal baz vektör alanının (3.2.1) de yerine
konulmasıyla
X(j)
X(j)
H
V
=
=
BjA
CjA
eşitlikleri elde edilir. { X(j)
nin uyarlanmış lokal çatısı,
⎛
⎞
h
∂
∂
δ
⎜ δj
⎟
=⎝
− y i Γhij h = j
⎠=
j
∂x
∂y
δx
−y i Γhij
⎛
⎞
0 ⎟
∂
=⎜
.
⎝
⎠=
∂y j
δhj
H
δ
δxj
, X(j)
V
} = { δxδ j , ∂y∂ j } kümesine τ −1 (U) ⊂ T M
ye yatay baz vektör alanları ve
∂
∂y j
ye düşey baz
vektör alanları denir.
A(j) = BjA = X(j)
H
A(j) = CjA = X(j)
,
V
,
eşitlikleri yardımıyla T M nin uyarlanmış lokal çatısı, A(β) = A(j) , A(j) baz
vektör alanları cinsinden yazılabilir. Ayrıca
⎛
⎜
AA
β = ⎝
BjA
CjA
⎞
⎟
⎠
37
; β = 1, ..., 2n
matris formunda da yazılabilir. Bu matrisin tersi
(AαB ) =
BBh CBh
, α = 1, ..., 2n
τ −1 (U) ⊂ T M nin uyarlanmış lokal dual çatısını gösterir. Bu matrisin bileşenleri
aşağıdaki eşitlikleri sağlayacak şekilde
A(j) = BBh =
δ hj 0
= dxj
A(j) = CBh =
y i Γhij δ hj
= dy j + y i Γjih dxh = δy j
T M tanjant demeti üzerinde 2n tane lokal 1-form tanımlar.
(3.2.2)
Böylece
A(α) = A(j) , A(j) formundaki eş çatı, A(β) uyarlanmış çatısının duali olur.
Yani
(α)
α
AB AB
(β) = δ β
dir. (3.2.2) deki dxj ,
δy j de,
∂
∂y j
δ
δxj
nin dual baz 1-formu olduğu için yatay dual baz 1-formu,
nin dual baz 1-formu olduğundan düşey dual baz 1-formu olarak ad-
landırılır.
M manifoldu üzerindeki g Riemann ya da semi-Riemann metriğinin T M
manifoldu üzerine diagonal yükseltilmişi, uyarlanmış koordinatlara göre
g S = gβα dxβ ⊗ dxα = gji dxj ⊗ dxi + gji δy j ⊗ δy i
(3.2.3)
ile ifade edilir. M deki g tensör alanının diagonal yükseltilmişi T M içinde (0, 2)
tipinde bir tensör alanı tanımlar. (3.2.2) ve (3.2.3) den g S , {dxj , δy j } uyarlanmış
lokal dual çatısına göre
⎛
(gβα ) = ⎜
⎝
gji 0 ⎟
0
ve (xj , y j ) indirgenmiş koordinatlarına göre
⎛
(gAB ) = ⎜
⎝
gji +
⎞
gji
gks Γkmj Γsli y m y l
gsi Γsmj y m
38
(3.2.4)
⎠
gkj Γkli y l
gji
⎞
⎟
⎠
(3.2.5)
şeklinde bileşenlere sahiptir.
Teorem 3.2.1. M manifoldu üzerindeki g metriği, indeksi ν olan bir semiRiemann metriği ise T M manifoldu üzerine diagonal yükseltilmişi uyarlanmış
koordinatlara göre
g S = gβα dxβ ⊗ dxα = gji dxj ⊗ dxi + gji δy j ⊗ δy i
ifadesine sahip, indeksi 2ν olan semi-Riemann metriğidir.
İspat: M manifoldunun bir p noktasını içine alan U komşuluğu, normal komşuluk
olarak seçilirse gji (p) = εj δ ji ve Γkji (p) = 0 olur. Burada
⎧
⎪
⎨
εj = ⎪
⎩
−1,
1,
1≤j≤ν
ν +1≤j ≤n
dir. M nin U normal komşuluğunda tanımlanan g semi-Riemann metriğinin
diagonal yükseltilmişi, T M de {dxj , δy j } uyarlanmış lokal dual çatısına göre
⎛
⎞
gji (p) 0
⎟
gβα (τ −1 {p}) = ⎜
⎝
⎠
0
gji (p)
lokal bileşenlere sahiptir. gji (p) = εj δ ji olduğundan
gβα = εβ δ βα
olur. Burada
⎧
⎪
⎨
εβ = ⎪
⎩
−1,
1,
1≤β≤ν
; n+1≤β ≤n+ν
ν + 1 ≤ β ≤ n ; n + ν + 1 ≤ β ≤ 2n
dir. Böylece
εj = εn+j
j = 1, ..., n
olduğu görülür. Böylece (T M, g S ) indeksi 2ν olan semi-Riemann metriğidir.
39
Teorem 3.2.2. M deki g semi-Riemann metriğin diagonal yükseltilmesiyle elde
edilen T M deki gS semi-Riemann metriği, T M nin uyarlanmış baz vektör alanları
üzerinde
δ
δ
∂
S ∂
,
)
=
g
(
,
) = (gij )V ,
δxi δxj
∂y i ∂y j
∂
δ
δ
∂
gS ( i , j ) = gS ( i , j ) = 0
∂y δx
δx ∂y
gS (
eşitlikleriyle tanımlıdır.
İspat: g S = gβα dxβ ⊗ dxα = (gkh )V dxk ⊗ dxh + (gkh )V δy k ⊗ δy h semi-Riemann
metriği için
δ
) = δ ji ,
δxi
δ
δy j ( i ) = 0,
δx
∂
)=0
∂y i
∂
δy j ( i ) = δ ji
∂y
dxj (
dxj (
eşitliklerinin kullanılmasıyla
gS (
δ
δ
δ
δ
δ
δ
, j ) = (gkh )V dxk ( i )dxh ( j ) + (gkh )V δy k ( i )δy h ( j )
i
δx δx
δx
δx
δx
δx
0
V
= (gkh )
gS (
δ ki δ hj
= (gij ) ,
∂
∂
∂
∂
∂
∂
, j ) = (gkh )V dxk ( i )dxh ( j ) + (gkh )V δy k ( i )δy h ( j )
i
∂y ∂y
∂y
∂y
∂y
∂y
0
V
= (gkh )
gS (
0
V
δ ki δ hj
0
V
= (gij ) ,
∂
δ
V
V
k ∂
h δ
k ∂
h δ
,
)
=
(g
)
dx
(
)
dx
(
)
+
(g
)
δy
(
)
δy
( j)
kh
kh
∂y i δxj
∂y i
δxj
∂y i
δx
0
0
= 0,
40
gS (
δ
∂
δ
∂
δ
∂
, j ) = (gkh )V dxk ( i ) dxh ( j ) + (gkh )V δy k ( i ) δy h ( j )
i
δx ∂y
δx
∂y
δx
∂y
0
0
= 0
olduğu görülür.
Teorem 3.2.3. ∀p ∈ M, ∀Xp , z ∈ Tp (M), τ (z) = p olacak şekilde
∀XzV , XzH ∈ Tz (T M) ve (T M, gS ) semi-Riemann manifoldu olsun.
i) Xp , (M, g) semi-Riemann manifoldu için space-like bir vektör ise XzV ve XzH ,
(T M, gS ) semi-Riemann manifoldu için space-like vektördür,
ii) Xp , (M, g) semi-Riemann manifoldu için time-like bir vektör ise XzV ve XzH ,
(T M, gS ) semi-Riemann manifoldu için time-like vektördür,
iii) Xp , (M, g) semi-Riemann manifoldu için light-like (null) bir vektör ise XzV ve
XzH , (T M, gS ) semi-Riemann manifoldu için light-like (null) vektördür.
İspat: Xp space-like bir vektör ise g(Xp , Xp ) > 0 veya Xp = 0 olur. Teorem 3.2.2
yardımıyla
gS (XzV , XzV ) > 0 veya XzV = 0
gS (XzH , XzH ) > 0 veya XzV = 0
elde edilir. Böylece, XzV , XzH tanjant vektörleri space-like vektörlerdir. Diğer
iddialarda benzer şekilde ispatlanabilir.
Teorem 3.2.4. z ∈ T M noktası üzerindeki Tz (T M) tanjant vektör uzayını geren
δ
, ∂
δxi ∂y i
yatay ve düşey baz vektör alanları için,
h ∂
i) [ δxδ i , δxδ j ] = y l Rlji
,
∂yh
ii) [ δxδ i , ∂y∂ j ] = Γhji ∂y∂h ,
iii) [ ∂y∂ i , ∂y∂ j ] = 0
olur.
41
İspat: (i)
[
∂
∂
δ
δ
∂
∂
, j ] = [ i − Nih h , j − Njk k ],
Nih = y l Γhli
i
δx δx
∂x
∂y ∂x
∂y
k
k
h
h
∂Nj ∂
∂Ni ∂
h ∂Nj ∂
k ∂Ni ∂
=
−
+
N
−N
i
j
∂xj ∂y h
∂xi ∂y k
∂y h ∂y k
∂y k ∂y h
=
∂Γh
y l { lij
∂x
h
= y l Rlji
−
k↔h
h
∂Γlj
+ Γkli Γhkj
∂xi
k↔h
− Γklj Γhki }
∂
∂y h
∂
∂y h
dır
ii)
[
δ
∂
∂
∂
∂Nih ∂
h ∂
,
]
=
[
−
N
,
]
=
i
δxi ∂y j
∂xi
∂y h ∂y j
∂y j ∂y h
∂
= Γhji h
∂y
dır
iii)
[
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
C
C
,
](f
)
=
(
(f
))
−
(
(f C ))
∂y i ∂y j
∂y i ∂y j
∂y j ∂y i
∂ ∂f
∂ ∂f V
( j ) − j ( i )V = 0
=
i
∂y ∂x
∂y ∂x
0
0
dır
Teorem 3.2.5. (M, g), ∇ Levi-Civita koneksiyonuna sahip bir semi-Riemann
manifold ve (T M, g S ) de ∇ Levi-Civita koneksiyonuna sahip bir semi-Riemann
manifold olsun. δ i =
δ
δxi
·
ve ∂ i =
∂
∂yi
olmak üzere ∇ Levi-Civita koneksiyonunun
bileşenleri,
·
·
·
·
·
∇δi δ j = Γkij δ k + Γkij ∂ k ,
∇δi ∂ j = Γkij δ k + Γkij ∂ k
∇ · δ j = Γkij δ k + Γkij ∂ k ,
∇ · ∂ j = Γkij δ k + Γkij ∂ k
·
∂i
∂i
42
olup, Γkij , M manifoldu üzerinde gij bileşenleri tarafından belirlenen Christoffel
k
sembolleri ve Rhji
da ∇ Levi-Civita koneksiyonuna bağlı Riemann eğrilik ten-
sörünün bileşenleri olmak üzere ∇ koneksiyonunun katsayıları,
Γkij = Γkij ,
Γkij =
1 k h
Γkij = − Rhji
y ,
2
1 k h
R y ,
2 hji
Γkij = 0,
1 k h
Γkij = − Rhji
y ,
2
Γkij = 0,
Γkij = Γkij
(3.2.6)
Γkij = 0
dır.
İspat: Sadece ∇ Levi-Civita koneksiyonunun Γkij katsayısı için bir ispat verilecektir.
∇, (T M, gS ) semi-Riemann manifoldunun Levi-Civita koneksiyonu olduğu için
2gS (∇δi δ j , δ h ) = δ i gS (δ j , δ h ) + δ j gS (δ h , δ i ) − δ h g S (δ i , δj )
−gS (δ i , [δ j , δ h ]) + gS (δ j , [δ h , δ i ]) + gS (δ h , [δ i , δj ]),
Kozsul formülünü sağlar. Teorem 3.2.2, Teorem 3.2.4 ve düşey vektör alanlarının
bir fonksiyonun düşey yükseltilmişi üzerinde sıfır değerini alması tanımı gereğince
2g S (Γkij δ k , δ h ) =
∂gjh ∂ghi ∂gij
+
− h
∂xi
∂xj
∂x
olup,
1
∂gjh ∂ghi ∂gij
Γkij = g kh ( i +
− h)
2
∂x
∂xj
∂x
dır. Böylece, Γkij = Γkij eşitliği elde edilir. Diğerleri de benzer şekilde ispatlanabilir.
Teorem
3.2.6.
(T M, g S )
semi-Riemann
manifoldunun
∇
Levi-Civita
koneksiyonuna bağlı K Riemann eğrilik tensörünün bileşenler cinsinden ifadesi
·
h
h
K(δ i , δj )δ k = Kkij
δ h + Kkij
∂ h,
·
·
h
h
K(δ i , ∂ j )δ k = Kkij
δ h + Kkij
∂ h,
43
·
·
·
·
h
h
K(δ i , δ j ) ∂ k = Kkij
δ h + Kkij
∂h
·
h
h
K(δ i , ∂ j ) ∂ k = Kkij
δ h + Kkij
∂h
·
·
·
h
h
K(∂ i , ∂ j )δ k = Kkij
δ h + Kkij
∂ h,
·
·
·
·
h
h
K(∂ i , ∂ j ) ∂ k = Kkij
δ h + Kkij
∂h
olmak üzere sıfırdan farklı bileşenleri
1 a h
1 a h
h
h
a
h
Kkij
= Rkij
+ (Rtkj
Rsai − Rtki
Rsaj
)y t y s − (Rtji
Rska )y t y s
4
2
1
h
h
h
h
Kkij
= Kkij
= − (∇i Rtkj
− ∇j Rtki
)y t
2
1 a h
h
h
h
a
h
Kkij
= Kkij
= Rkij
+ (Rtkj
Rsai − Rtki
Rsaj
)y t y s
4
1 h
1 a h t s
h
h
Kkij
= Kkij
= Rjki
− Rtjk
Rsai y y
2
4
1
h
h
Kkij
= − (∇i Rtkj
)y t
2
dir. Burada
h
h
h
h
h
a
= ∂i Rtkj
− Γait Rakj
− Γaik Rtaj
− Γaij Rtka
+ Γhia Rtkj
,
∇i Rtkj
Riemann eğrilik tensörünün kovaryant türevidir.
İspat:
K(δ i , δ j )δ k = ∇δi ∇δj δ k − ∇δj ∇δi δ k − ∇[δi ,δj ] δ k
·
1
1 t h ·
h
h
t h
= ∇δi {Γhjk δ h − y t Rtkj
∂ h } − ∇δj {Γik δ h − y Rtki ∂ h } − y Rtji ∇ · δ k
∂h
2
2
1 a h
1 a h
h
a
h
= {Rkij
+ (Rtkj
Rsai − Rtki
Rsaj
)y t y s − (Rtji
Rska )y t y s }δ h −
4
2
·
1
h
h
t
− (∇i Rtkj − ∇j Rtki )y ∂ h
2
olup diğerleri de benzer şekilde gösterilebilir.
Sonuç 3.2.7. (T M, gS ) semi-Riemann manifoldunun flat olması için gerek ve
yeter şart (M, g) semi-Riemann manifoldunun flat olmasıdır.
Tanım 3.2.8. c, (M, g) semi-Riemann manifoldunda xh = xh (t) ile lokal olarak
ifade edilen bir eğri ve X h (t) de c boyunca tanımlı paralel bir vektör alanı ise
44
(T M, gS ) semi-Riemann manifoldu üzerinde
xh = xh (t)
;
y h = X h (t)
(3.2.7)
bileşenleri ile verilen c eğrisine M deki c eğrisinin yatay yükseltilmişi denir. Eğer
y h = X h (t) vektör alanı X h =
dxh
dt
olacak şekilde c eğrisine teğet vektör alanı ise
(3.2.7) ile tanımlı c eğrisine M üzerinde bir c eğrisinin doğal yükseltilmişi denir
(Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 3.2.9. Eğer t, gS semi-Riemann metriğine sahip T M üzerinde bir eğrinin
yay uzunluğu parametresi ise T M üzerinde jeodeziklerin denklemleri uyarlanmış
koordinatlara göre
j
i
δ 2 xh
k h δy dx
+
y
R
= 0,
kji
dt2
dt dt
δ2yh
= 0
dt2
dir.
İspat: t, yay uzunluğu parametresine göre T M üzerinde jeodeziklerin denklemleri indirgenmiş koordinatlara göre
C
B
δ 2 xA
d2 xA
A dx dx
=0
=
+
Γ
CB
dt2
dt2
dt dt
olur. Bu denklem
θh = BAh dxA = dxh ,
θh = CAh dxA = δy h
(3.2.8)
ve
dxh
θh
=
,
dt
dt
θh
δy h
=
dt
dt
eşitlikleri yardımıyla
θγ θβ
d θα
( ) + Γαγβ
=0
dt dt
dt dt
45
(3.2.9)
uyarlanmış koordinatlar cinsinden ifade edilir.
Γ nın (3.2.6) daki bileşenleri
sayesinde (T M, g S ) semi-Riemann manifoldu üzerindeki jeodeziklerin denklemleri
j
i
δ 2 xh
k h δy dx
= 0,
+
y
R
kji
dt2
dt dt
δ2yh
= 0
dt2
(3.2.10)
(3.2.11)
biçiminde elde edilir.
Tanım 3.2.10. (T M, gS ) semi-Riemann manifoldu üzerinde t yay uzunluğu parametresine göre θγ , γ = 1, ..., 2n lokal bileşenlerine sahip bir c eğrisine
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
denir.
β
space-like bir eğri,
1,
θβ θα
gβα
= ε = ⎪ −1,
dt dt
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 0,
time-like bir eğri,
light-like bir eğri,
α
gβα θdt θdt = ε metriği ε = 0 için
gji
dxj dxi
δy j δy i
+ gji
= ε = ∓1
dt dt
dt dt
olur. (3.2.11) den
δy j δy i
δ
gji
dt
dt dt
=0
dır. s, M deki yay uzunluğu parametresi olmak üzere
ds
dt
2
= gji
dxj dxi
= sbt
dt dt
olup, s ile t lineer bağımlıdır. Bu nedenle özdeş kabul edilebilir. T M üzerinde
jeodezik bir eğri xh = sbt olacak şekilde tanımlanıyorsa (3.2.11) eşitliği,
dxh
dt
=0
olduğundan
d2 y h
=0
dt2
haline gelir. Böylece
d2 yh
dt2
= 0 diferensiyel denklem sisteminin çözümleri ah , bh
46
keyfi sabitler olmak üzere y h = ah t + bh olur.
Sonuç 3.2.11. Eğer bir jeodezik eğri, gS semi-Riemann metrikli T M nin
fibreleri üzerinde sağlanıyorsa, (xh , y h ) indirgenmiş koordinatlarına göre ah , bh , ch
keyfi sabitler olmak üzere xh = ch , y h = ah t + bh lineer denklemleri ile ifade edilir.
Sonuç 3.2.12. (M, g) semi-Riemann manifoldu üzerindeki bir jeodeziğin yatay
yükseltilmişi, (T M, g S ) semi-Riemann manifoldu üzerinde yine bir jeodezikdir.
Teorem 3.2.13. (M, g) deki xh = xh (t) ile tanımlanan bir eğrinin doğal yükseltilmişinin (T M, g S ) semi-Riemann manifoldu üzerinde bir jeodezik olması için
gerek ve yeter şart
k 2 j
i
δ 2 xh
h dx δ x dx
+
R
= 0,
kji
dt2
dt dt2 dt
δ 3 xh
= 0
dt3
(3.2.12)
(3.2.13)
olmalıdır.
İspat: (3.2.8) ve (3.2.9) denklemlerinde y h yerine
dxh
dt
konulmasıyla (3.2.12) ve
(3.2.13) denklemleri elde edilir.
Sonuç 3.2.14. (M, g) semi-Riemann manifoldu üzerindeki herhangi bir jeodeziğin
doğal yükseltilmişi (T M, g S ) semi-Riemann manifoldu üzerinde bir jeodezikdir.
Teorem 3.2.15. (M, g) semi-Riemann manifoldundaki bir c eğrisinin doğal yükseltilmişi g S semi-Riemann metrikli T M de bir jeodezik ise c, M üzerinde bir
jeodeziktir veya c nin birinci eğriliği sabit ve c nin her noktasında oskülatör
düzlemle tanımlı kesitine göre M nin Riemann kesitsel eğriliği sabittir.
İspat: (M, g) de xh = xh (t) lokal bileşenleri ile verilen bir c eğrisinin doğal yükseltilmişi c, yay uzunluğu parametresi t olan (T M, gS ) semi-Riemann manifoldu
47
üzerinde bir jeodezik ise (3.2.13) eşitliğinden
δ
δ 2 xj δ 2 xi
=0
gji 2
dt
dt dt2
(3.2.14)
olur. Bu denklemin sıfıra eşit olması iki farklı şart altında mümkündür. Birincisi,
δ 2 xh
=0
dt2
yani xh = xh (t) lokal bileşenleri ile verilen bir c eğrisi M de bir jeodeziktir.
İkincisi, (3.2.14) den c eğrisinin birinci eğriliği sabittir.
δ 2 xh
= ρY h ,
dt2
δ 2 xh
dt2
vektörü yönünde
ρ = sbt.
eşitliğini sağlayan birim vektör Y h ve M üzerindeki c eğrisinin teğeti yönündeki
birim vektör X h =
dxh
dt
alınarak bu vektörler (3.2.12) eşitliğinde yerine konulursa
h
XkY jXi = 0
Y h + Rkji
bulunur. Bu ifade Y h ile kontraksiyona uğratılırsa,
Rkjih X k Y j X i Y h = −ε,
ε=0
elde edilir. Böylece X h birim teğet vektörü ile Y h birim normal vektörü tarafından
gerilen P oskülatör düzleminin kesitsel eğriliği
K(P) = Rkjih X k Y j X i Y h = −ε,
ε=0
sabittir.
3.3. Bir Pseudo-Finsler Manifoldun Yatay Demetlerinin Geometrisi
Bu alt bölümde, M bir pseudo-Finsler manifold ve g, M manifoldu üzerinde bir
semi-Riemann metrik olmak üzere, gV metriği, T M nin yatay altvektör demeti
48
üzerinde tanımlı bir semi-Riemann metrik olarak düşünüldü.
T M nin leafları üzerinde ξ birim yatay vektörünü normal kabul eden bir
hiperyüzeyin geometrisi incelendi.
HT M, M pseudo-Finsler manifoldunun T M tanjant demeti üzerinde n boyutlu
yatay altvektör demeti, C ∞ (T M, R), T M üzerindeki C ∞ fonksiyonların halkası
ve Γ(HT M), HT M nin tüm diferensiyellenebilir kesitlerinin C ∞ (T M, R) modülü
olsun.
c, n boyutlu M manifoldunun bir eğrisi ve g de M nin bir semi-Riemann metriği
olsun. c eğrisi M nin 1 boyutlu altmanifoldu olduğu için c nin teğet vektör alanı
1 boyutlu dağılım belirler. Bu dağılımın integral eğrileri M nin 1 boyutlu bir
altmanifoldudur.
c eğrisinin yatay yükseltilmişi olan h
c eğrisinin teğet vektör alanı T M manifoldunun yatay alt vektör demetinde
V = yi
δ
,
δxi
yi =
dxi
dt
ile tanımlı yatay bir vektör alanıdır. Bu vektör alanının integral eğrileri T M nin
1 boyutlu altmanifoldu olup HT M üzerinde bu vektör alanına gV semi-Riemann
metriğine göre dik olan vektörler T M nin leaflarının üzerinde bir hiperyüzey
tanımlar.
c eğrisinin yatay yükseltilmişi olan h
c eğrisini oluşturan tüm noktalar, T M
manifoldunun xh = ah ; h = 1, ..., n bileşenleri sabit (ah , y h ) fibrelerine g S semiRiemann metriğine göre dik olan (xh , Z h ), h = 1, ..., n leaflarının ailesini oluşturur.
Burada Z h , c eğrisi boyunca paralel vektör alanının bileşenleridir. T M manifoldunun fibrelerine teğet olan vektörler V T M dağılımına ait vektörler ve leaflarına
teğet olan vektörler de HT M dağılımına ait vektörlerdir.
g V dönüşümü, ∀X, Y ∈ Γ(HT M) için
gV : Γ(HT M) × Γ(HT M) →
→
(X, Y )
49
C ∞ (T M, R)
g V (X, Y )
olacak şekilde HT M
nin tüm diferensiyellenebilir kesitlerinin üzerinde
non-dejenere, simetrik ve 2-lineer bir dönüşüm olup V üzerindeki değeri T M de
L ∈ C ∞ (T M, R) fonksiyonunu ∀(x, y) ∈ T M noktası için
L(x, y) = g V (V, V )(x, y) = (gij )V (x, y)y i y j
eşitliğini sağlayacak biçimde tanımlar. Burada (gij ) ∈
0
0 (M)
ve (gij )V ∈
0
0 (T M)
olduğundan, (x) ∈ M ve (x, y) ∈ T M noktaları için
(gij )V (x, y) = gij (x)
(3.3.1)
olur. Böylece L(x, y) = gij (x)y i y j fonksiyonu, T M nin leafları üzerinde reel
değerli bir fonksiyondur.
M manifoldu, tanjant demetinin yatay altvektör demeti üzerinde tanımlı L
fonksiyonu ile, bir pseudo Finsler manifold olur.
Pseudo-Finsler manifold tanımının şartlarının sağlandığı aşağıdaki gibi
gösterilebilir.
L : T M → R fonksiyonu diferensiyellenebilir bir fonksiyondur. Çünkü ϕ, T M nin
U
açığı üzerinde U
→
R2n olacak şekilde bir harita olmak üzere
Φ : ϕ(U ) ⊂ R2n → R fonksiyonu diferensiyellenebilirdir.
Bu nedenle
L = Φ ◦ ϕ : T M → R fonksiyonu da diferensiyellenebilirdir.
Eğer V, T M üzerinde space-like bir vektör ise
L = g V (y i
δ j δ
,y
)>0
δxi
δxj
olup pozitiflik şartı sağlanır. Ayrıca L(x, y) = gij (x)y i y j olduğundan k ∈ R için
L(x, ky) = k2 L(x, y)
olup y ye göre ikinci mertebeden homojen bir fonksiyon olur.
50
L(x, y) = gij (x)y i y j fonksiyonu yardımıyla,
gij (x) =
1 ∂ 2L
2 ∂y i ∂y j
(3.3.2)
M manifoldu, üzerindeki tüm x değerleri için q negatif özdeğere n − q pozitif
özdeğere sahip bir g semi-Riemann metriğe sahiptir. F n = (M, L) ikilisi bu
şartları sağladığı için T M nin yatay altvektör demeti üzerinde tanımlı bir pseudoFinsler manifoldu olur.
F n pseudo-Finsler manifoldunun temel fonksiyonu F = L1/2 ile tanımlıdır. Bu
nedenle F, y ye göre homojenlik derecesi bir olan pozitif bir fonksiyondur. Yani,
yi
∂F
=F
∂y i
olur. Ayrıca (3.3.1) ve (3.3.2) den
∂gij
=0
∂y k
(3.3.3)
olur. Yani gij fonksiyonu y ye bağlı bileşen içermez.
Böylece ξ =
1
V şeklinde tanımlı space-like bir vektör ise
F
gV (ξ, ξ) = 1
(3.3.4)
olup HT M nin bir birim vektörüdür.
(M, L) pseudo-Finsler manifoldun yatay demeti üzerinde tanımlı g V semi-Riemann
metriği ve ξ birim vektörü ile η 1-formu,
η(X) = g V (X, ξ),
X ∈ Γ(HT M).
şeklinde tanımlıdır. M deki bir eğri ve bu eğri üzerinde paralel vektör alanının
bileşenleri yardımıyla T M üzerinde elde edilen eğrinin teğet vektör alanı HT M
içinde {ξ} birim vektörü tarafından gerilen bir dağılım belirler.
Bu vektör
dağılımının g V metriğine göre ortogonal tamamlayıcısı olan vektör dağılımı (n-1)
51
boyutlu bir vektör dağılımı olup Sh T M ile gösterilir. Ayrıca Sh T M dağılımı η
yardımıyla
Γ(Sh T M) = {X ∈ Γ(HT M); η(X) = 0}.
(3.3.5)
şeklinde tanımlıdır. Böylece HT M içinde herhangi bir X vektör alanı
X = P X + η(X)ξ,
(3.3.6)
ile ifade edilebilir. Buradaki P, HT M den Sh T M üzerine
P : HT M → Sh T M
X → PX
şeklinde tanımlı bir izdüşümdür. Eğer X ⊥ ξ ise η(X) = gV (X, ξ) = 0 olup
(3.3.6) ya göre X = P X ∈ Sh T M olur. Doğrudan hesaplamalar yardımıyla
∀X, Y ∈ Γ(HT M) için,
g V (X, P Y ) = gV (P X, P Y ) = gV (X, Y ) − η(X)η(Y )
(3.3.7)
eşitlikleri elde edilir. Γ(H ∗ T M|U ) içindeki {δ/δxi } yatay baz vektörlerinin duali
{ωi } ile gösterilsin. O zaman η ve P nin lokal bileşenleri, {ωi } ve {ω i ⊗ δ/δxi }
bazları yardımıyla
ηi =
∂F
,
∂y i
Pij = δ ji −
1
η yj
F i
(3.3.8)
(3.3.9)
olur.
Böylece, P = Pij
δ
⊗ ω i ve η = η i ω i , U üzerinde (1, 1) ve (0, 1) tipinde tensör
j
δx
alanları olur.
h leafı üzerindeki Levi-Civita koneksiyonu
Teorem 3.3.1. Sh T M nin herhangi bir Q
h ve ξ ∈ Γ(T Q
h⊥ ) için
∇ olmak üzere X ∈ Γ(T Q)
∇X ξ = 0
52
dır.
h teğet vektörleri Sh T M nin elemanı ve birim normali ξ olan bir hiperyüzey
İspat: Q,
olduğundan,
h ⊕ TQ
h⊥
TQ = TQ
= Sp{X1 , ...Xn−1 } ⊕ Sp{ξ}
dir. Burada
Xa = Xai
δ
,
δxi
ξ = yj
δ
,
δxj
a = 1, ..., n − 1
i, j = 1, ..., n
dir. Böylece,
∇X ξ = (Xai
δy k
δ
+ Xai y j Γkij ) k
i
δx
δx
= (−Xai y j Γkij + Xai y j Γkij )
δ
δxk
= 0
elde edilir.
Teorem 3.3.2. F n = (M, L) bir pseudo-Finsler manifold olsun. (Sh T M) dağılımı,
integrallenebilir bir dağılımdır.
İspat: Bu teoremi ispatlamak için X, Y ∈ Γ(Sh T M) iken [X, Y ] nin ξ li bileşenlerinin olmadığını göstermek yeter.
X ∈ Γ(Sh T M) olması için gerek ve yeter şart
η(X) = gV (X, ξ) = 0,
η(Y ) = gV (Y, ξ) = 0
olur. Böylece,
XgV (Y, ξ) = 0,
Y g V (X, ξ) = 0
∇X ξ = 0 olduğundan
g V (∇X Y, ξ) = 0 ve gV (∇Y X, ξ) = 0
53
olup
gV ([X, Y ], ξ) = 0
dır. Bu nedenle [X, Y ] ∈ Γ(Sh T M) dir.
HT M nin bir Q leafı, lokal olarak (xh , Z h ) ile tanımlanan T M manifoldunun
n-boyutlu bir alt manifoldudur. Buradaki Z h , M deki eğriler boyunca tanımlı
h leafı, birim
parelel vektör alanının bileşenleridir ve Sh T M nin herhangi bir Q
normali ξ olan T M nin Q leafı içinde kalan bir hiperyüzeydir. Ayrıca
gV (
δ
δ
∂
∂
h
h
,
)(x
,
Z
)
=
g(
,
)(xh )
δxi δxj
∂xi ∂xj
olduğundan g V , HT M nin (xh , Z h ); h = 1, ..., n lokal bileşenleri ile tanımlı bir Q
leafı üzerinde q indekse sahip semi-Riemann metriktir. ∇, Q üzerinde g V ye göre
h ξ ∈ Γ(T Q
h⊥ ) olmak üzere
Levi-Civita koneksiyonu ve X, Y ∈ Γ(T Q),
g V (∇X Y, ξ) = 0
(3.3.10)
dır. Böylece HT M nin leaflarının geometrisi Sh T M nin leaflarının geometrisi ile
ξ nin integral eğrilerinden oluşur.
h sırasıyla, HT M nin bir leafı ve Q nun bir hiperyüzeyi
Teorem 3.3.3. Q ve Q
h Q üzerinde total jeodezik bir hiperyüzeydir.
olan Sh T M nin bir leafı olsun. Q,
h nın birim normal vektörü olduğundan, Q nun bir hiperyüzeyi olan
İspat: ξ, Q
h nın ikinci temel formu,
Q
h
B(X, Y ) = gV (∇X ξ, Y ), ∀X, Y ∈ Γ(T Q).
(3.3.11)
h Q nun total jeodezik bir hiperyüzeydir.
olur. Teorem 3.3.2 eşitliğinden Q,
3.4. M deki Bir Hiperyüzeyin (TM, gC ) Semi-Riemann Manifolduna
Yükseltilmesi
Bu alt bölümde (M, g) deki bir semi-Riemann hiperyüzeyin (T M, g C ) ye
54
yükseltilmişi tanımlandı ve M deki semi-Riemann hiperyüzeye normal olan vektör
alanının düşey ve tam yükseltilmişleri, yükseltilmiş semi-Riemann hiperyüzeyin
normal vektör alanları kabul edilerek, ikinci temel tensör alanına bağlı bazı
sonuçlar elde edildi.
M diferensiyellenebilir bir manifold, T M τ M
:
TM
projeksiyonu yardımıyla tanımlanan M nin tanjant demeti,
M üzerindeki (r, s) tipindeki tensör alanlarının uzayı,
→
r
s (M)
S
(M) =
r,s
üzerindeki tensör cebiri olsun.
M kanonik
C ∞ sınıfından
r
s (M)
de M
S, M nin bir semi-Riemann hiperyüzeyi ve ι : S → M inclusion dönüşümü olsun. dι = E diferensiyel dönüşümü, T S den T M ye ι nın türev dönüşümüdür.
E nin türev dönüşümü T (T S) → T (T M) E∗ ile gösterilecektir. T S, T M nin
2(n − 1) boyutlu bir alt manifoldu ve T (T S), T (T M) nin 4(n − 1) boyutlu alt
manifoldudur.
(xi ) , i = 1, ..., n lokal koordinatları yardımıyla ι
xi = xi (ua )
(3.4.1)
lokal ifadesine sahiptir. Bu denklemdeki (ua ), a = 1, ..., n − 1 S nin lokal koordinatlarıdır. O zaman E nin lokal ifadesi
xi = xi (ua )
y i = Eai va ,
Eai =
∂xi
∂ua
(3.4.2)
xi ve ua dan indirgenmiş (xi , y i ) ve (ua , va ) lokal koordinatları ile tanımlıdır. ι
dönüşümünün özelliğinden S ile ι(S) ve T S ile E(T S) özdeş olarak alınabilir.
(Tani, 1969)
Tanım 3.4.1. ∀p ∈ S ye M nin p noktası üzerinde bir tanjant vektör atayan X
dönüşümüne S boyunca bir vektör alanı denir.
∀p ∈ S ye p üzerinde (r, s) tipinde bir tensör atayan T dönüşümüne, S boyunca
(r, s) tipinde bir tensör alanı denir (Tani, 1969).
55
r
s (S, M)
S boyunca (r, s) tipinde tensör alanlarının uzayı
(S) nin elemanları ve, f , X, ω
f, X, ω
0
0 (M),
Teorem 3.4.2. ∀f ∈
∀X, Y ∈
olsun
(S, M) nin elemanlarıdır.
1
0 (M),
0
1 (M)
∀ω ∈
(f X)V = f V X V ,
(f X)C = f C X V + f V X C ,
X V f V = 0,
X V f C = X C f V = (Xf )V ,
ω V (X V ) = 0,
ω V (X C ) = ωC (X V ) = (ω(X))V ,
F V X C = (F (X))V ,
F C X C = (F (X))C ,
ve ∀F ∈
1
1 (M)
için
X C f C = (Xf )C ,
ω C (X C ) = (ω(X))C ,
[X, Y ]C = [X C , Y C ], [X, Y ]V = [X C , Y V ] = [X V , Y C ].
(3.4.3)
olur (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 3.4.3. ∀P ,Q ∈
r
s (M)
için
(P ⊗ Q)V = P V ⊗ QV ,
(3.4.4)
(P ⊗ Q)C = P C ⊗ QV + P V ⊗ QC
ve ∀T ∈
0
2 (M)
için
T C (X C , Y C ) = (T (X, Y ))C ,
T C (X C , Y V ) = T V (X C , Y C ) = (T (X, Y ))V ,
(3.4.5)
T C (X V , Y V ) = T V (X V , Y C ) = T V (X V , Y V ) = 0
dır (Yano, Ishıhara, 1973).
Teorem 3.4.4. ∀fe ∈
e∈
∀X
1
0 (M)
∗
0
0 (M) için
∗
eC
eC
∗
∗
∗
∗
X (feC ) =Y (feC ) oluyorsa X =Y dir ve
∗
∗
için ω (X ) =η (X ) oluyorsa ω=η dır.
e∈
T M üzerinde herhangi bir tensör alanı, X
1
0 (M)
ve fe ∈
0
0 (M)
e C ve feC üzerinde aldığı değerle belirlenir (Yano, Ishıhara, 1973).
X
56
olmak üzere
Tanım 3.4.5. f , S üzerinde tanımlı bir fonksiyon olmak üzere
τ
S
→
S
TM
V
f = f ◦ τS
↓f
R
diyagramı yardımıyla
V
f = f ◦ τS
eşitliğini sağlayan f
V
fonksiyonuna f nin T M ye düşey yükseltilmişi denir (Tani,
1969).
Tanım 3.4.6. p ∈ U ∩ S ⊂ M de tanımlı bir fe ∈
0
0 (M)
ve f ∈
0
0 (S)
fonksiyonları için
eşitliği yardımıyla fe ∈
0
0 (M)
∂ fe
∂f
= a
a
∂u
∂u
nin τ −1
(U ) ⊂ T M ye tam yükseltilmişi
M
feC = y i ∂i fe,
(U ∩ S) ye kısıtlanması
bileşenlerine sahip olup, bu fonksiyonun τ −1
M
operatörü
ile gösterilecek olursa
feC = (y i ∂i fe) = va Eai ∂i fe = v a ∂a fe = v a ∂a f
(3.4.6)
(U) nun her koordinat komşuluğunda feC ile aynı reel
elde edilir. Böylece τ −1
M
değere sahip olan f
C
fonksiyonuna f ∈
0
0 (S, M)
nin T M ye tam yükseltilmişi
denir (Tani, 1969).
Tanım 3.4.7. X ∈
1
0 (S, M)
ve fe ∈
0
0 (M)
için,
V
eşitliğini sağlayan X
V
X (feC ) = (X fe)V
vektör alanına, X ∈
57
(3.4.7)
1
0 (S, M)
nin T M ye düşey
yükseltilmişi ve
eşitliğini sağlayan X
C
C
X (feC ) = (X fe)C
(3.4.8)
1
0 (S, M)
vektör alanına da X ∈
C
e∈
seltilmişi denir. X nin diğer bir tanımı da X
1
0 (M)
nin T M ye tam yük-
olmak üzere
C
e C )feC
X (feC ) = ( X
e C nin τ −1 (U ∩ S) ye kısıtlanması olarak verilir (Tani, 1969).
X
M
Tanım 3.4.8. ω ∈
0
1 (S, M)
ve X ∈
1
0 (S, M)
olmak üzere
C
ω V (X ) = (ω(X))V
eşitliğini sağlayan ω V 1-formuna, ω ∈
0
1 (S, M)
(3.4.9)
nin T M ye düşey yükseltilmişi
ve
C
ω C (X ) = (ω(X))C
eşitliğini sağlayan ωC 1-formuna da ω ∈
e∈
denir. ωC nin diğer bir tanımı da X
0
1 (S, M)
1
0 (M)
(3.4.10)
nin T M ye tam yükseltilmişi
olmak üzere
C
e C ) = ((e
e C ))
ωC (X ) = (ω(X))C = ((e
ω(X))
ωC (X
eşitliği sağlanacak şekilde ω
e C nin τ −1
M (U ∩ S) ye kısıtlanması olarak verilir (Tani,
1969).
Teorem 3.4.9. Düşey ve tam yükseltmeler, P , Q herhangi tensör alanları olmak
üzere
(P ⊗ Q)V
V
V
C
V
= P ⊗Q ,
(3.4.11)
V
C
(P ⊗ Q)C = P ⊗ Q + P ⊗ Q
(3.4.12)
şartları sağlanırsa, (S, M) den (T (S, M)) ye lineer izomorfizmdir (Tani, 1969).
58
0
0 (S, M)
Teorem 3.4.10.
0
0 (S)
f∈
den T S
0
0 (S, M)
ye tanımlanan düşey ve tam yükseltmeler arasında
0
0 (S)
=
den T M ye tanımlanan düşey ve tam yükseltmeler ile
ve fe ∈
0
0 (M)
V
için,
V
C
f =f ,
f =f
C
(3.4.13)
yani,
feV ◦ dι = (fe ◦ ι)V ,
feC ◦ dι = (fe ◦ ι)C
(3.4.14)
bağıntıları vardır. Ayrıca S ye teğet olan vektör alanlarının yükseltilmişleri T S
ye teğettir. Yani X ∈
1
0 (S)
için,
(EX)V = dE(X V ),
(EX)C = dE(X C )
(3.4.15)
olur (Tani, 1969).
Tanım 3.4.11. ∀X, Y ∈
1
0 (S)
için
(3.4.16)
g(X, Y ) = G(EX, EY )
eşitliği sağlanıyorsa, g ye S üzerine G den indirgenmiş metrik denir. (Tani, 1969).
e M üzerinde G semi-Riemann metriği tarafından belirlenen
Tanım 3.4.12. ∇,
Levi-Civita koneksiyonu olmak üzere X, Y ∈
1
0 (S)
için
e EX EY = E∇X Y + B(X, Y )
∇
(3.4.17)
Gauss denklemi yardımıyla S üzerinde tanımlanan ∇ koneksiyonuna indirgenmiş
koneksiyon denir. ∇ de g semi-Riemann metriği tarafından belirlenen Levi-Civita
koneksiyonudur.
59
B(X, Y ), S ye normaldir.
(3.4.18)
B(X, Y ) = h(X, Y )N
eşitliğinde N ye normal vektör alanı ve h ye S üzerinde (0, 2) tipinde ikinci temel
tensör alanı denir. (1, 1) tipinde H tensör alanı da
g(HX, Y ) = h(X, Y )
ile verilir (Tani, 1969)
Tanım 3.4.13. X, Y ∈
1
0 (S)
ve ε S hiperyüzeyinin işareti olmak üzere
h(X, Y ) = εmg(X, Y )
olacak şekilde m gibi skalar bir alan var ise S total umbiliktir ve m ye S nin
ortalama eğriliği denir. p ∈ S üzerindeki herhangi bir çatı
üzere
olur.
∂
, ..., ∂u∂n−1
∂u1
olmak
n−1
1 [
∂
∂
1 ˙
m=
εi H( i , i ) =
Iz(H)
n − 1 i=1
∂u ∂u
n−1
Eğer bir hiperyüzey total umbilik ve ortalama eğriliği sıfır ise böyle
hiperyüzeylere total jeodezik hiperyüzey denir (Tani, 1969).
Teorem 3.4.14. M, G semi-Riemann metriği ile verilen indeksi ν olan n−boyutlu
bir semi-Riemann manifoldu ise G nin tam yükseltilmişi GC T M içinde indeksi n
olan bir semi-Riemann metriğidir (Yano, Ishıhara, 1973).
∗
∗
Tanım 3.4.15. X , Y ∈
1
0 (T M)
vektör alanları için
∗
∗
GC (X , Y ) = 0
∗
∗
eşitliği sağlanıyorsa X ve Y T S üzerinde GC semi-Riemann metriğine göre
h ∈ 10 (T S) için
ortogonaldir denir ve eğer X
∗
h =0
GC (N , E∗ X)
60
∗
∗
eşitliği sağlanacak şekilde bir N vektör alanı varsa, N a T S nin normal vektör
alanı denir.
Eğer her bir p ∈ S ye S de Np vektörünü atayan bir dönüşüm N ile gösterilirse
N, S boyunca bir vektör alanı olur. N nin T M ye düşey yükseltilmişi N V ve tam
yükseltilmişi N C ile gösterilirse, ∀v ∈ Tp S için GC ye göre T S ye normal olan
(N V )v ve (N C )v vektörleri elde edilir. Bu vektörler kendi kendilerine ortogonal
fakat karşılıklı olarak ortogonal değillerdir yani,
GC (N V , E∗ X C ) = 0, GC (N C , E∗ X C ) = 0,
GC (N C , N C ) = 0,
GC (N V , N V ) = 0,
(3.4.19)
GC (N V , N C ) = ε
dur. (3.4.19) daki ε, T S nin işareti olup {−1, 0, 1} değerlerinden birisine eşittir.
{N V , N C } T S ye normal olan uzayın bazlarıdır.
Tanım 3.4.16. ∀X, Y ∈
1
0 (S)
için,
g(X C , Y C ) = GC (E∗ X C , E∗ Y C )
(3.4.20)
eşitliğini sağlayan g ya GC den T S üzerine indirgenmiş metrik denir (Tani, 1969)
C
Teorem 3.4.17. M deki ∇ nın tam yükseltilmişi ∇ , ∀X, Y ∈
C
∇X C Y C = (∇X Y )C
1
0 (M)
için
(3.4.21)
ve
C
∇X C Y V = (∇X Y )V
(3.4.22)
özelikleri ile tanımlanan T M de bir afin koneksiyon tanımlar (Tani, 1969)
Teorem 3.4.18. ∇, G semi-Riemann metriğine göre bir Riemann koneksiyonu
C
ise ∇ de GC semi-Riemann metriğine göre bir Riemann koneksiyonudur (Yano,
Ishıhara, 1973).
61
Teorem 3.4.19. S deki ∇ indirgenmiş koneksiyonunun tam yükseltilmişi ∇C , gC
ye göre Riemann koneksiyonudur (Tani, 1969).
C
T S boyunca ∇
X, Y ∈
1
0 (S)
den T S üzerine indirgenmiş koneksiyon ∇ ile gösterilirse,
için, Gauss denklemi,
C
∇E∗ X C E∗ Y C = E∗ (∇X C Y C ) + B(X C , Y C )
(3.4.23)
dir. N V ve N C ye göre (0, 2) tipinde ikinci temel tensör alanları, sırasıyla, h ve k
olmak üzere B(X C , Y C )
B(X C , Y C ) = h(X C , Y C )N V + k(X C , Y C )N C
(3.4.24)
C
şeklinde tanımlanır ve ∇E∗ X C E∗ Y C nin normal kısmıdır.
C
Teorem 3.4.20. ∇ den T S üzerine indirgenmiş ∇ koneksiyonu ∇ dan S üzerine
indirgenmiş ∇ koneksiyonunun tam yükseltilmişidir. Yani, ∇, gC ye göre
∇X C Y C = (∇X Y )C ,
X, Y ∈
1
0 (S)
olur.
İspat: p nin yeterince küçük bir U komşuluğu içinde X ve Y vektör alanları
U ∩ S de EX ve EY ile aynıdır. Bu nedenle
C
C
C
∇E∗ X C E∗ Y C = ∇(EX)C (EY )C = ∇X C Y C = (∇X Y )C = (∇EX EY )C (3.4.25)
olur. U üzerinde tanımlı ∇X Y , U ∩ S de ∇EX EY ile aynı olur. Benzer şekilde
X∈
1
0 (S)
için,
C
∇E∗ X C N C = (∇EX N)C
(3.4.26)
∇E∗ X C N V
(3.4.27)
C
= (∇EX N)V
62
dir. (3.4.5), (3.4.17), (3.4.19) eşitlikleri kullanılarak (3.4.25) ifadesi
C
∇E∗ X C E∗ Y C = E∗ (∇X Y )C + hC (X C , Y C )N V + hV (X C , Y C )N C
olur. Diğer taraftan (3.4.23) ve (3.4.24) den
C
∇E∗ X C E∗ Y C = E∗ (∇X C Y C ) + h(X C , Y C )N V + k(X C , Y C )N C
elde edilir. Bu iki eşitlik yardımıyla (∇X Y )C = ∇X C Y C bulunur.
Teorem 3.4.21. S nin ikinci temel tensör alanının düşey ve tam yükseltilmişleri,
sırasıyla, N V ve N C ye göre ikinci temel tensör alanlarıdır.
T S nin total umbilik olması için gerek ve yeter şart ∀X, Y ∈
hV (X, Y ) = λg(X, Y ),
1
0 (T S)
için
hC (X, Y ) = μg(X, Y )
olacak şekilde λ ve μ fonksiyonları vardır.
Burada λ ve μ fonksiyonları,
∂
} T S nin bir çatısı olmak üzere
{ ∂w∂ 1 , ..., ∂w2(n−1)
λ =
μ =
dir.
1
2(n − 1)
1
2(n − 1)
2(n−1)
εA H V (
∂
∂
1
V
˙
,
)
=
)=0
Iz(H
∂wA ∂wA
2(n − 1)
εA H C (
∂
∂
1
C
˙
,
)=
)
Iz(H
A
A
∂w ∂w
2(n − 1)
A=1
2(n−1)
A=1
Bu eşitliklerdeki εA , T S üzerindeki (wA ) = (ua , va ), a = 1, ..., n − 1;
A = 1, ..., 2(n − 1) indirgenmiş koordinatlarına göre
⎧
⎪
⎨
εA = ⎪
⎩
−1,
1≤A≤n−1
1, n ≤ A ≤ 2(n − 1)
şeklinde tanımlıdır. Eğer hem λ, hem de μ sıfır ise T S nin total jeodezik olduğu
söylenebilir. T S nin ortalama eğrilik vektör alanı
m = λN V + μN C
63
şeklinde tanımlı olup, T S ye normal olan uzayda seçilen bazlardan bağımsızdır.
∗
∗
T M içinde T S nin m ortalama eğriliği m= GC (m, m) dir.
Teorem 3.4.22. Eğer T S total umbilik ise S total jeodeziktir. T S nin total
jeodezik olması için gerek ve yeter şart S nin M de total jeodezik olmasıdır.
İspat: Eğer T S total umbilik ise S nin ikinci temel formu daima sıfırdır. Yani
λ = 0 dan izhV = 0 olur. Eğer S total jeodezik ise S nin ikinci temel formu sıfır
olup buradan λ ve μ de sıfır olur. Bu nedenle T S de total jeodeziktir.
Teorem 3.4.23. T S nin ortalama eğriliği sıfırdır.
∗
İspat: T S nin ortalama eğrilik tanımı göz önüne alınırsa, m= GC (m, m) = 2λμ
∗
olur. λ = 0 olduğundan, m= 2λμ = 0 elde edilir.
64
4. BİR SEMİ-RİEMANN MANİFOLDUN İKİNCİ MERTEBEDEN
TANJANT DEMETİ ÜZERİNDEKİ SEMİ-RİEMANN METRİKLER
Bu bölümde, bir manifold üzerinde tanımlı diferensiyel geometrik objelerin
ikinci mertebeden tanjant demetlere yükseltilmişleri bulunarak ikinci mertebeden
tanjant demet üzerindeki metriklerin işaretleri incelendi. Ayrıca bir semi-Riemann
metriğin ikinci mertebeden tam yükseltilmesiyle elde edilen metriğe bağlı LeviCivita koneksiyonu bileşenler cinsinden elde edildi.
4.1. M deki Diferensiyel Geometrik Objelerin T T M ye Yükseltilmişleri
Bu alt bölümde M manifoldu üzerindeki fonksiyon, vektör alanı, 1-form gibi
tensör alanlarının ikinci mertebeden tanjant demetlere V H, CH, HC, HH
yükseltilmişleri elde edildi.
M, n−boyutlu bir Riemann ya da semi-Riemann manifold, T M onun tanjant
demeti olmak üzere p ∈ M nin U açık komşuluğu üzerindeki haritaya bağlı
olarak M için bir lokal koordinat sistemi {x} = {x1 , ..., xn } olsun. O zaman,
τ M : T M → M τ M (Zp ) = p kanonik projeksiyon olmak üzere τ −1
M (U) = U , T M
deki τ −1
M {p} noktasının bir açık komşuluğudur. Böylece,∀Zp ∈ U tanjant vektörü
için,
(x, y)(Zp ) = (x1 (p), ..., xn (p), Zp [x1 ], ..., Zp [xn ])
şeklinde tanımlı (x, y) dönüşümü, U üzerinde lokal bir harita olup, (xi , y i )
i = 1, ..., n sistemi T M C ∞ manifoldu için bir lokal koordinat sistemidir.
Ayrıca τ T M : T T M → T M , τ T M (Az ) = Z kanonik projeksiyon olmak üzere,
−1
π −1
T M (U ) = U T T M deki π T M {Zp } noktasının bir açık komşuluğudur. Böylece
∀Azp ∈ U = π −1
T M (U ) ⊂ T T M tanjant vektörü için
(x, y, z, t)(Azp ) = (x(p), y(Zp ), z(Azp ), t(Azp ))
65
olur. (x, y, z, t) dönüşümünün lokal koordinat fonksiyonları
xi (p) = pi ,
y i (Zp ) = Zp [xi ],
z i (AZp ) = AZp [xi ],
ti (AZp ) = AZp [y i ]
şeklinde tanımlı olup (x, y, z, t),
U
için bir haritadır.
Dolayısıyla
(xi , y i , z i , ti ), i = 1, ..., n sistemi, T T M için indirgenmiş lokal koordinat sistemi
olup, T T M diferensiyellenebilir bir manifold yapısına sahiptir (Civelek, 1988).
(M, g) bir Riemann ya da semi-Riemann manifoldu olsun. M nin tanjant demeti
T M üzerinde gS = g V +g III eşitliği ile tanımlanan metriğe Sasaki Rieman metriği
ya da Sasaki semi-Riemann metriği denir. g S metriği
gS = gij dxi dxj + gij δy i δy j
(4.1.1)
lokal bileşenlere sahiptir.
Teorem 4.1.1. Eğer M Riemann ya da semi-Riemann manifoldu flat olarak kabul
edilirse, T M üzerinde elde edilen gS semi-Riemann metriğine bağlı ∇ Levi-Civita
koneksiyonunun bileşenler cinsinden ifadesi
i) ∇
δ
δxi
ii) ∇
δ
δxj
δ
δxi
iii) ∇
iv) ∇
∂
∂yj
∂
∂yi
∂
∂y i
= Γhji δxδh ,
= Γhji ∂y∂h ,
δ
δxj
= 0,
∂
∂yj
=0
dır.
İspat: Teorem 3.2.5 ve (3.2.6) daki bileşenler yardımıyla M nin Riemann eğrilik
tensörü sıfır alınarak T M üzerindeki ∇ Levi-Civita koneksiyonunun bileşenler
cinsinden ifadesi yukardaki gibi elde edilir.
Çalışmanın geri kalan kısmında ∇ Levi-Civita koneksiyonun bileşenler cinsinden
ifadesi yukarıdaki gibi kabul edilecektir.
66
Tanım 4.1.2. f , T M üzerinde tanımlı bir C ∞ −fonksiyon olsun. Böylece,
f H = f C − ∇γ f
(4.1.2)
eşitliği ile tanımlı f , T T M üzerinde bir C ∞ −fonksiyon olup, f H fonksiyonuna f
nın T T M ye yatay yükseltilmişi denir.
Ayrıca
f C = zi
∂f
∂f
+ ti i ,
i
∂x
∂y
(4.1.3)
şeklinde tanımlı f C T T M üzerinde bir C ∞ fonksiyon olup, f nın T T M ye tam
yükseltilmişidir.
∇γ f = γ(∇f ),
(4.1.4)
olup ∇, T M üzerindeki koneksiyon operatörüdür. Burada,
∇f = ∇δi f dxi + ∇∂i f δy i
(4.1.5)
dir ve γ dönüşümü ise T M nin 1-formlarını T T M nin koordinat fonksiyonlarına
dönüştüren lineer bir dönüşüm olup,
γ : T10 (T M) → T00 (T T M)
(4.1.6)
γ(dxi ) = z i , γ(δy i ) = ti
şeklinde tanımlıdır. Böylece,
γ (∇f ) = z i
∂f
i j h ∂f
i ∂f
−
z
y
Γ
+
t
ji
∂xi
∂y h
∂y i
(4.1.7)
olup,
f H = z i y j Γhji
∂f
∂y h
(4.1.8)
bulunur. T M manifoldu üzerindeki f fonksiyonu M deki f fonksiyonun üç farklı
şekilde yükseltilmesiyle elde edilir. Bu nedenle
67
i) Eğer f = f V ise,
f V H = z i y j Γhji
∂f V
=0
∂y h
(4.1.9)
dır.
ii) Eğer f = f C ise,
f CH = z i y j Γhji ∂h f
(4.1.10)
dir.
iii) Eğer f = f H ise,
f HH = z i y j Γhji
∂f H
=0
∂y h
(4.1.11)
dır.
Tanım 4.1.3. X, T M üzerinde tanımlı bir C ∞ vektör alanı olsun.
X H = X C − ∇γ X
(4.1.12)
eşitliği ile tanımlı X H , T T M üzerinde tanımlı bir C ∞ −vektör alanı olup X H ye
X nın T T M ye yatay yükseltilmişi denir.
T M üzerinde tanımlı X vektör alanının tam yükseltilmişi,
⎡
i V
⎢ (X )
⎢
⎢ (X i − X h N i )V
⎢
h
XC = ⎢
⎢
⎢
i
⎤
i
k ∂X V
k ∂X V
⎢ z ( ∂xk ) + t ( ∂yk )
⎣
zk(
∂(X i −X h y j Γijh ) V
)
∂xk
+ tk (
∂(X i −X h yj Γijh ) V
)
∂yk
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(4.1.13)
bileşenlerine sahiptir. T M manifoldu üzerindeki X vektör alanı M deki X vektör
alanının üç farklı şekilde yükseltilmesiyle elde edilir. O zaman,
i) Eğer X = X V ise X i = 0 ve X i = X i olup,
⎡
⎤
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ Xi
XV C = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
i
z k ∂X
∂xk
68
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(4.1.14)
dır.
ii) Eğer X = X C ise X i = X i ve X i = y j ∇j X i olup,
⎡
X CC =
dır.
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
X
⎤
i
i
y j ∂X
∂xj
i
z k ∂X
∂xk
2
i
i
y j z k ∂x∂ kX∂xj + tk ∂X
∂xk
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(4.1.15)
iii) Eğer X = X H ise X i = X i ve X i = 0 olup,
⎡
⎤
i
⎢ X
⎢
⎢
⎢ −y j X h Γijh
X HC = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
i
z k ∂X
∂xk
−y j z k
∂(X h Γijh )
∂xk
− tk X h Γikh
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(4.1.16)
dır.
T M manifoldu üzerindeki X vektör alanı için
⎡
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
γ(∇X) = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
i
i
z j ( δδxXj + X h Γijh ) + tj ∂∂yXj
k
k
i
i
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
X
h k
i
j l ∂X
i
j δX
h i
j ∂X
−z j y l ( δδx
j + X Γjh )Γlk − t y ∂y j Γlk + z ( δxj + X Γjh ) + t ∂y j
(4.1.17)
olan γ(∇X), X vektör alanının farklı durumları için aşağıdaki gösterimlere sahiptir.
i) Eğer X = X V ise X i = 0 ve X i = X i olup,
⎡
⎤
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
γ(∇X V ) = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
∂X i
∂xj
69
+ X h Γijh
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(4.1.18)
dır.
ii) Eğer X = X C ise X i = X i ve X i = y j ∇j X i olup,
⎡
⎤
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
γ(∇X C ) = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
z j ∇j X i
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
i
z j y l [ ∂∇∂xl X
− (∇j X k )Γilk − (∇k X i )Γklj + (∇l X k )Γijk ] + tj (∇j X i )
j
(4.1.19)
elde edilir.
iii) Eğer X = X H ise X i = X i ve X i = 0 olup,
⎡
⎤
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
γ(∇X H ) = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
z j ∇j X i
−z j y l ∇j X k Γilk
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(4.1.20)
dır.
T M üzerindeki vektör alanlarının T T M ye yatay yükseltilmişleri ise aşağıdaki
şekilde verilebilir:
X ∈ T01 (T M) için X H = X C − ∇γ X olacağından;
i) X = X V olması durumunda,
⎡
XV H =
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
X
i
0
−z j X i Γhji
dir.
70
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(4.1.21)
ii) X = X C olması durumunda,
⎡
⎤
i
⎢ X
⎢
⎢ j ∂X i
⎢ y ∂xj
X CH = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
−z j X h Γkjh
y k z j {−∂i (X i Γhki ) − Γhji ∇k X i + Γhjk ∇h X i − Γhki ∇j X i } + tj X i Γhji
(4.1.22)
dir.
iii) X = X H olması durumunda,
⎡
⎤
i
⎢ X
⎢
⎢
⎢ −y j X h Γijh
X HH = ⎢
⎢
⎢
j h i
⎢ −z X Γjh
⎣
∂Γh
−y k z j X i ( ∂xkij − Γkji Γhki ) − tj X h Γijh
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(4.1.23)
dır.
Tanım 4.1.4. ω, T M üzerinde tanımlı C ∞ bir 1-form olsun. O zaman,
ωH = ω C − ∇γ ω
(4.1.24)
eşitliği ile tanımlı ω H , T T M üzerinde tanımlı C ∞ bir 1-form olup, ω H ye ω nın
T T M ye yatay yükseltilmişi denir. Burada
ω = ω i dxi + ω i δy i , (δy i = dy i + Nhi dxh )
şeklinde tanımlıdır. ωC nin matris gösterimi ise
⎡
∂(ω +ω N h )
i
h i
}V z k
⎢ {
∂xk
C
ω =⎣
∂(ω +ω N h )
+{ i ∂ykh i }V tk
∂ω
∂ω
{ ∂xki }V z k + { ∂yki }V tk {ωi + ωh Nih }V
⎤
{ω i }V ⎥
⎦
dır.
M manifoldu üzerinde tanımlı 1-formun T M üzerindeki yükseltilmişleri olan ω V ,
ω C ve ω H nin T T M ye tam yükseltilmişleri;
71
i) ω = ω V olması durumunda ωi = ω i ve ω i = 0 olup,
ωV C =
∂ωi
z k ∂x
0 ωi 0
k
(4.1.25)
dır.
ii) ω = ω C olması durumunda ωi = (ωi )V ve ωi = y j ∇j ωi olup,
ω CC =
{y j z k ∂k ∂j ω i + tk ∂k ω i z k ∂k ωi y j ∂j ω i ω i
(4.1.26)
dir.
iii) ω = ωH olması durumunda ω i = 0 ve ω i = ω i olup,
ωHC =
y j z k {∂k ω h Γhji + ω h ∂k Γhji } + tk ωh Γhki z k ∂k ωi y j ω h Γhji ω i
(4.1.27)
dir.
ω 1-formu için γ(∇ω) nın matris gösterimi
⎡
γ(∇ω) = ⎢
⎣
j
k j
z (δ j (ω i ) −
+y z (δj (ω h ) −
ωh Γhji )
ω i Γijh )Γhki
j
j
z (δ j (ωi ) −
+ t (∂j (ω i )
k j
+y t
∂j (ωh )Γhki
ω h Γhji )
j
+t ∂j (ω i )
olan ωV , ω C ve ω H için T T M üzerindeki γ(∇ωV ), γ(∇ω C ) ve γ(∇ωH ) 1-formları;
γ(∇ω V ) =
ve ωi = 0 olup,
z j (∂j ωi − ω h Γhji ) 0 0 0
(4.1.28)
dır.
ii) ω = ω C olması durumunda ωi = y j ∇j ωi
⎡
ve ω i = ω i olup,
j k
h
h
⎢ z y {∂j ∇k ω i − Γkj ∇h ω i − Γji ∇k ω h
C
γ(∇ω ) = ⎣
+∇j ω h Γhki } + tj ∇j ωi
dır.
72
⎤
z j ∇j ωi 0 0 ⎥
⎦
⎥
0 0 ⎦
şeklinde tanımlı olup M deki tanımlı 1-formun T M üzerindeki yükseltilmişleri
i) ω = ωV olması durumunda ωi = ω i
⎤
(4.1.29)
iii) ω = ωH olması durumunda ωi = 0 ve ω i = ω i olup,
γ(∇ωH ) =
z j y k ∇j ω h Γhki z j ∇j ω i 0 0
(4.1.30)
dır.
M deki 1-formun T M deki yükseltilmişleri ωV , ωC ve ωH nin T T M ye yatay
yükseltilmişleri;
i) ω = ωV ise,
ωV H =
z j ω h Γhji 0 ω i 0
(4.1.31)
dır.
ii) ω = ω C ise,
⎡
ω CH = ⎢
⎣
j k
z y
{∂j (ω h Γhki )
+
Γhkj ∇h ωi
+Γhji ∇k ωh − Γhki ∇j ω h } + tj ωh Γhji
⎤
z j ω h Γhji y k ∂k ωi ωi ⎥
⎦
dir.
iii) ω = ωH ise,
ω HH =
y j z k {ωh (∂k Γhji + Γikh Γhji ) + tk ωh Γhki z k ω h Γhki y j ω h Γhji ω i
(4.1.32)
dir.
Teorem 4.1.5. X, Y ∈ T01 (T M)
i)
H
H
H
(X + Y ) = X + Y ,
ve ∀f ∈ T00 (T M)
için
ii) (f X)H = f H X V + f V X H ,
dır.
İspat:i) X, Y ∈ T01 (T M) ve T M üzerindeki ∇ Levi-Civita koneksiyonu için
(X + Y )H = (X + Y )C − γ(∇(X + Y ))
= X C − γ(∇(X)) + Y C − γ(∇(Y ))
= XH + Y H
73
ii) ∀f ∈ T00 (T M) için
(f X)H = (f X)C − γ(∇(f X))
= f C X V + f V X C − f V γ(∇(X)) − γ(∇(f ))X V
= f H XV + f V XH
dır.
Teorem 4.1.6. ∀p ∈ M için Tp M yi geren { ∂x∂ i }, i = 1, ..., n lokal baz vektör
alanlarının ikinci mertebeden yükseltilmişleri
i) ( ∂x∂ i )HV = δ hi ∂z∂h − y j Γhji ∂t∂h
ii) ( ∂x∂ i )HC = δ hi ∂x∂ h − y j Γhji ∂y∂h − (tj Γhji + y j z k ∂k Γhji ) ∂t∂h
iii) ( ∂x∂ i )CH =
∂
∂xi
− z j Γhji ∂z∂h + (−z j y k [∂j Γhki − Γlji Γhkl
−Γlki Γhli + Γlki Γhjl ] + tj Γhji ) ∂t∂h
iv) ( ∂x∂ i )V H = δhi ∂y∂h − z j Γhji ∂t∂h
v) ( ∂x∂ i )HH = δhi ∂x∂ h − y j Γhji ∂y∂h − z j Γhji ∂z∂h − [tj Γhji
+z j y k (∂j Γhki − Γlji Γhlk )] ∂t∂h
dır.
İspat: i)
(
∂ HV
)
∂xi
∂
∂
− y j Γhji h )V
h
∂x
∂y
∂
∂
= δ hi ( h )V − y j Γhji ( h )V
∂x
∂y
∂
∂
= δ hi h − y j Γhji h
∂z
∂t
= (δ hi
ii)
(
∂ HC
h ∂
j h ∂
)
=
(δ
−
y
Γji h )C
i
i
h
∂x
∂x
∂y
∂
∂
∂
= δ hi ( h )C − (y j Γhji )C ( h )V − (y j Γhji )V ( h )C
∂x
∂y
∂y
∂
∂
∂
= δ hi h − (y j Γhji )V h − {(y j )C (Γhji )V + (y j )V (Γhji )C } h
∂x
∂y
∂t
74
(
∂
∂
∂ HC
∂
)
= δ hi h − y j Γhji h − (tj Γhji + y j z k ∂k Γhji ) h
i
∂x
∂x
∂y
∂t
iii) Teorem 4.1.2 deki bileşenler yardımıyla
(
∂
∂
∂ CH
)
= ( i )C − γ(∇ i )
i
∂x
∂x
∂x
δ
∂
∂
− γ(∇{ i + Nih h })
=
i
∂x
δx
∂y
∂
δ
∂
δ
∂
− γ([∇ δj i + Nih h ]dxj + [∇ ∂ j i + Nih h ]δy j )
=
i
δx δx
∂y δx
∂x
∂y
∂y
h
∂
∂
δNi ∂
∂Nih ∂
h δ
h l
j
=
−
γ([Γ
+
+
N
Γ
]dx
+
[
]δy j )
ji
i jh
∂xi
δxh
δxj ∂y h
∂y l
∂y j ∂y h
∂
δ V δNih ∂ V
∂
∂
j h
=
−
z
[Γ
(
) +
( h ) ] + y k Γlki Γhjl ( h )V ] + tj [Γhji ]( h )V
ji
i
h
j
∂x
δx
δx ∂y
∂y
∂y
∂
∂
∂
=
− z j Γhji h + (−z j y k [∂j Γhki − Γlji Γhkl − Γlki Γhli + Γlki Γhjl ] + tj Γhji ) h
i
∂x
∂z
∂t
iv)
(
∂
∂
∂ VH
)
= ( i )C − γ(∇ i )
i
∂x
∂y
∂y
∂
∂
∂
− γ([∇ δj i ] dxj + [∇ ∂ j i ] δy j )
=
i
δx ∂y
∂y ∂y
∂y
Γh
ji
= δ hi
0
∂
∂y h
∂
∂
− z j Γhji h
h
∂y
∂t
v)
(
δ C
δ
∂ HH
)
=
(
)
−
γ(
∇
)
∂xi
δxi
δxi
∂
∂
δ
δ
= (δ hi h − y j Γhji h )C − γ([∇ δj i ] dxj + [∇ ∂ j i ] δy j )
δx δx
∂y δx
∂x
∂y
Γh
ji
= δhi (
δ
δxh
0
∂ C
∂
∂
δ
) − (y j Γhji )C ( h )V − (y j Γhji )V ( h )C − z j Γhji ( h )V
h
∂x
∂y
∂y
δx
75
(
∂
∂ HH
∂
∂
)
= δ hi ( h )C − {(y j )C (Γhji )V + (y j )V (Γhji )C } h − y j Γhji h
i
∂x
∂x
∂t
∂y
∂
∂
−z j Γhji ( h − y k Γlkh l )
∂z
∂t
∂
∂
∂
∂
= δ hi h − y j Γhji h − z j Γhji h − [tj Γhji + z j y k (∂j Γhki − Γlji Γhlk )] h
∂x
∂y
∂z
∂t
Teorem 4.1.7. ω, θ ∈ T10 (T M) ve f ∈ T00 (T M) için
i)
H
(ω + θ)H = ω H + θ ,
ii) (f ω)H = f H ωV + f V ωH
dır.
İspat: i)
(ω + θ)H = (ω + θ)C − γ(∇ω + θ)
C
= ω C − γ(∇ω) + θ − γ(∇θ)
= ωH + θ
H
ii)
(f ω)H = (f ω)C − γ(∇f ω)
= f C ωV + f V ωC − γ(∇f )ω V − f V γ(∇ω)
= (f C − γ(∇f ))ω V + f V (ω C − γ(∇ω))
= f H ωV + f V ωH
Teorem 4.1.8. ∀p ∈ M için Tp∗ M yi geren {dxi }, i = 1, ..., n lokal baz 1-formların
ikinci mertebeden yükseltilmişleri
i) (dxi )V H = dz i + z j Γijh dxh ,
ii) (dxi )HV = dy i + y k Γikj dxj ,
76
iii) (dxi )CH = (z j y k [∂j Γikh −Γlkj Γilh −Γikl Γljh +Γlkh Γijl ]+tj Γijh )dxh +z j Γijh dy h +δ ih dth ,
iv) (dxi )HC = dti + y k Γikj dz j + (tk Γikj + y k z l ∂l Γikj )dxj ,
v) (dxi )HH = {tk Γikj + y k z l (∂l Γikj − Γilh Γhkj }dxj + z h Γihj dy j + y k Γikj dz j + δ ij dtj
dır.
İspat: i)
(dxi )V H = (dxi )V C − γ(∇(dxi )V )
= dz i − γ([∇
δ
δxj
dxi ] dxj + [∇
∂
∂y j
−Γijh dxh
dxi ] δy j )
0
= dz i + z j Γijh dxh
ii)
(dxi )HV
= (δy i )V
= (dy i + y k Γikj dxj )V
= dy i + y k Γikj dxj
iii)
(dxi )CH = (dy i )C − γ(∇dy i )
= dti − γ([∇
δ
δxj
δy i − Nhi dxh ]dxj + [∇
∂
∂y j
δy i − Nhi dxh ]δy j )
i
δNhi h
i h
l
j ∂Nh
dx
−
N
Γ
dx
]
−
t
dxh )
h jl
δxj
∂y j
= (z j y k [∂j Γikh − Γlkj Γilh − Γikl Γljh + Γlkh Γijl ] + tj Γijh )dxh
= dti − (z j [−Γijh δy h −
+z j Γijh dy h + δ ih dth
77
iv)
(dxi )HC = (δy i )C
= (dy i + y k Γikj dxj )C
= (dy i )C + {(y k )C (Γikj )V + (y k )V (Γikj )C }(dxj )V + (y k Γikj )V (dxj )C
= dti + y k Γikj dz j + {tk Γikj + y k z l ∂l Γikj }dxj
v)
(dxi )HH = (δy i )C − γ(∇δy i )
= dti + y k Γikj dz j + {tk Γikj + y k z l ∂l Γikj }dxj − γ([∇
δ
δxj
δy i ] dxj
−Γijh δy h
+ [∇
i
= dt +
∂
∂yj
δy i ] δy j )
0
y k Γikj dz j
+ {tk Γikj + y k z l ∂l Γikj }dxj + z j Γijh δy h
= dti + y k Γikj dz j + {tk Γikj + y k z l ∂l Γikj }dxj + z j Γijh {dy h − y k Γhkj dxj }
= {tk Γikj + y k z l (∂l Γikj − Γilh Γhkj }dxj + z h Γihj dy j + y k Γikj dz j + dti
4.2. T T M Üzerindeki Semi-Riemann Metriklerin İşaretlerinin
İncelenmesi
Bu alt bölümde M deki g Riemann ya da semi-Riemann metriğin T T M ye yükseltilmesi sonucunda elde edilen metriklerin Riemann ya da semi-Riemann metrikler olduğu gösterilerek bu metriklere sahip olan T T M
semi-Riemann
manifoldunun indeksleri incelendi ve tablo yardımıyla verildi.
(M, g),
Riemann ya da
semi-Riemann manifold
ve
τ M : T M → M,
τ T M : T T M → T M kanonik projeksiyonlar olsun. (U, xi ), i = 1, ..., n M de lokal
78
i i
bir harita olmak üzere, (τ −1
M (U ) = U ; x , y ), i = 1, ..., n, T M de ve
(τ −1
(U )
TM
=
U ; xi , y i , z i , ti )
de
TTM
lokal
bir
harita
olur.
( ∂x∂ i , ∂y∂ i , ∂z∂ i , ∂t∂ i ) T T M manifoldunun tanjant uzayını geren lokal baz vektör alanları sistemi, (dxi , dy i , dz i , dti ) de dual baz vektör alanları sistemi olmak üzere
(∂∂i = (
∂ VV
∂
∂
∂
) , δ∂i = ( i )HV , ∂δ i = ( i )V H , δδ i = ( i )HH )
i
∂x
∂x
∂x
∂x
T T M manifoldunun tanjant uzayını geren uyarlanmış lokal baz vektör alanları
sistemi,
(dxi = (dxi )V V , δy i = (dxi )HV , δz i = (dxi )V H , δti = (dxi )HH )
uyarlanmış lokal dual baz 1-formları sistemidir.
Teorem 4.2.1. Z ∈ T M noktası üzerindeki TZ T M tanjant uzayını geren uyarlanmış lokal baz vektör alanları ile uyarlanmış dual baz 1-formları arasında
i, j ∈ {1, ..., n}
δti (∂∂i ) = δ ij ,
δy i (∂δ i ) = δ ij ,
dxi (δδ i ) = δ ij ,
δz i (δ∂i ) = δ ij
(4.2.1)
eşitlikleri hariç diğer tüm bileşenler sıfırdır.
İspat: i)
⎛
δti (∂∂i ) = ⎝
{tk Γikj + y k z l (∂l Γikj − Γilh Γhkj }dxj
+z h Γihj dy j + y k Γikj dz j + δ ij dtj
⎞
⎠
∂
∂tj
= δ ij
ii)
∂
k h ∂
−
z
Γkj h
∂y j
∂t
δy i (∂δ i ) = dy i + y k Γikj dxj
iii)
⎛
dxi (δδ i ) = dxi ⎝
∂
∂xj
−[t
j
Γhji
−y
j
Γhji ∂y∂h
j k
+z y
79
−z
(∂j Γhki
j
−
= δ ij
Γhji ∂z∂h
Γlji Γhlk )] ∂t∂h
⎞
⎠ = δ ij
iv)
δz i (δ∂i ) = dz i + z j Γijh dxh
∂
∂
− y j Γhji h
j
∂z
∂t
= δ ij
Teorem 4.2.2. (M, g) flat Riemann ya da semi-Riemann manifoldu ve ∇, M
üzerinde Levi-Civita koneksiyonu olmak üzere M manifoldu üzerindeki gij bileşenlerine sahip g Riemann ya da semi-Riemann metriğinin T T M manifoldu
üzerine ikinci mertebeden yükseltilmişlerinin, uyarlanmış koordinatlar cinsinden
lokal ifadesi
i) gV V = (gij )V V dxi dxj ,
ii) g V C = g V H = 2(gij )V V dxi δz j ,
iii) gCV = gHV = 2(gij )V V dxi δy j ,
iv) g CC = g HH = 2(gij )V V δz i δy j + 2(gij )V V dxi δtj ,
v) gF F = (gij )V V dxi dxj + 2(gij )V V dxi δz j + 2(gij )V V dxi δy j +
+2(gij )V V δz i δy j + 2(gij )V V dxi δtj ,
vi) g SS = (gij )V V dxi dxj + (gij )V V δy i δy j + (gij )V V δz i δz j + (gij )V V δti δtj ,
vii) gKK = 2(gij )V V δz i δy j + 2(gij )V V dxi δtj + 2(gij )V V δti δy j +
+2(gij )V V δz i δtj + (gij )V V δti δtj
dir.
İspat: (i), (ii), (iii) nin ispatı doğrudan hesaplamalar yardımıyla görülebilir.
iv) g HH = g C − γ(∇g)
H
eşitliğinde ∇ M de Levi-Civita koneksiyonu olduğu
için ∇g = 0 dır. Böylece
gHH = gC − γ(∇g)
H
= gCH
olur. ∇ (T M, gC ) semi-Riemann manifoldunun Levi-Civita koneksiyonu olduğu
için
g HH = g CH = g CC − γ(∇gC )
olup ∇gC = 0 dır. Böylece
g HH = gCC
80
elde edilir. g HH nin bileşenler cinsinden ifadesi
gHH = (gij dxi dxj )HH
(gij )V (dxi )H (dxj )V + (gij )V (dxi )V (dxj )H
=
H
= (gij )V V (dxi )HH (dxj )V V + (gij )V V (dxi )HV (dxj )V H
+(gij )V V (dxi )V H (dxj )HV + (gij )V V (dxi )V V (dxj )HH
= gij δti dxj + gij δy i δz j + gij δz i δy j + gij dxi δtj
= 2(gij )V V δz i δy j + 2(gij )V V dxi δtj
dir.
v) gF = gV + gC ise,
gF F = (g V + gC )V + (g V + g C )C
= g V V + g CV + g V C + gCC
dir. g F F metriğinin T T M nin uyarlanmış koordinatlar cinsinden ifadesi (i), (ii),
(iii), (iv) deki eşitlikler göz önüne alınırsa doğrudan görülür.
vi) g S = gV + g III ise,
gSS = (gV + g III )V + (gV + gIII )III
= gV V + g III V + gV
III
+ g III III
olur. Burada
gIII V
= (gij )V V (dxi )HV (dxj )HV ,
gV
= (gij )V V (dxi )V H (dxj )V H ,
III
(4.2.2)
gIII III = (gij )V V (dxi )HH (dxj )HH ,
dır. Böylece gSS metriğinin T T M nin uyarlanmış koordinatlar cinsinden ifadesi
(i), (ii), (iii), (iv) deki eşitliklerin kullanılmasıyla doğrudan görülebilir.
81
viii) g K = g C + g III ise
gKK = (g C + g III )C + (g C + g III )III
= g CC + g III C + g C III + g III III
olduğundan, gSS metriğinin T T M nin uyarlanmış koordinatlar cinsinden ifadesi
(4.2.2) ve (i), (ii), (iii), (iv) deki eşitliklerin kullanılmasıyla doğrudan görülebilir.
(M, g) flat Riemann ya da semi-Riemann manifoldu ve ∇, M üzerinde Levi-Civita
koneksiyonu olmak üzere T T M manifoldu üzerinde tanımlı Riemann ya da semiRiemann metrikler ve işaretleri aşağıdaki teoremler yardımı ile verilebilir.
T T M üzerinde tanımlı gCC metriğinin uyarlanmış bazlara göre matris gösterimi
⎡
0
0
0
⎢
⎢
⎢ 0 0 gij
⎢
⎢
⎢ 0 gij 0
⎣
gij 0 0
gij
⎤
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎦
0
dır.
Teorem 4.2.3. (M, g) semi-Riemann manifoldu ise (T T M, gCC ) semi-Riemann
manifoldudur.
İspat: T T M C ∞ manifoldu üzerinde vektör alanlarının cümlesi χ(T T M) ve reel
değerli C ∞ fonksiyonların halkası C ∞ (T T M, R) olmak üzere
g CC : χ(T T M) × χ(T T M) → C ∞ (T T M, R)
dönüşümü
g CC (X V V , Y HH ) = g CC (X HH , Y V V ) = (g(X, Y ))V V ,
g CC (X V H , Y HV ) = g CC (X HV , Y V H ) = (g(X, Y ))V V
82
ve diğer vektör alanları üzerindeki değerleri sıfır olacak şekilde tanımlıdır.
(T T M, g CC ) nin semi-Riemann manifoldu olması için g CC metriğinin aşağıdaki
şartları sağlaması gerekir.
i) 2-lineerlik: ∀X, Y , Z ∈ χ(T T M) ve ∀α, β ∈ R için
gCC (αX + β Y , Z) = g CC ({(αX + βY )V V + (αX + βY )V H + (αX + βY )HV
+(αX + βY )HH }, {Z V V + Z V H + Z HV + Z HH })
= αgCC (X, Z) + βgCC (Y , Z)
dir. Benzer şekilde
gCC (X, αY + β Z) = αg CC (X, Y ) + βgCC (X, Z)
olduğu görülür.
ii) Simetriklik: ∀X, Y ∈ χ(T T M) için,
g CC (X, Y ) = g CC ((X V V + X V H + X HV + X HH ), (Y V V + Y V H + Y HV + Y HH ))
= g CC (Y , X)
olduğundan simetriktir.
iii) Non-dejenerelik: g semi-Riemann metriği ise
∀X ∈ χ(M) için g(X, Y ) = 0 iken Y = 0
dır. ∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y V V için
g CC (X, Y V V ) = g CC (X V V + X V H + X HV + X HH , Y V V ) = g CC (X HH , Y V V ) = 0
eşitliğinden
Y V V = 0,
83
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y V H için
gCC (X, Y V H ) = g CC (X V V + X V H + X HV + X HH , Y V H ) = gCC (X HV , Y V H ) = 0
eşitliğinden
Y V H = 0,
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y HV için
gCC (X, Y HV ) = g CC (X V V + X V H + X HV + X HH , Y HV ) = gCC (X V H , Y HV ) = 0
eşitliğinden
Y HV = 0,
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y HH için
g CC (X, Y HH ) = g CC (X V V + X V H + X HV + X HH , Y HH ) = g CC (X V V , Y HH ) = 0
eşitliğinden
Y HH = 0,
olup
∀X ∈ χ(T T M) için gCC (X, Y ) = 0 iken Y = 0
bağıntısından T T M üzerinde tanımlı g CC metriği non-dejeneredir.
Böylece (T T M, g CC ) bir semi-Riemann manifoldu olur.
Tanım 4.2.4. T T M C ∞ manifoldu üzerinde vektör alanlarının cümlesi χ(T T M) ve
reel değerli C ∞ fonksiyonların halkası C ∞ (T T M, R) olmak üzere
g F F : χ(T T M) × χ(T T M) → C ∞ (T T M, R)
dönüşümü
gF F (X HH , Y HH ) = g F F (X HH , Y HV ) = g F F (X HV , Y HH ) = (g(X, Y ))V V ,
84
gF F (X HH , Y V H ) = g F F (X V H , Y HH ) = g F F (X HV , Y V H ) = (g(X, Y ))V V ,
g F F (X V H , Y HV ) = g F F (X HH , Y V V ) = gF F (X V V , Y HH ) = (g(X, Y ))V V
diğer vektör alanları üzerindeki değerleri sıfır olacak şekilde tanımlıdır. T T M
üzerinde tanımlı g F F metriğinin uyarlanmış bazlara göre matris gösterimi
⎡
g g g g
⎢ ij ij ij ij
⎢
⎢ gij 0 gij 0
⎢
⎢
⎢ gij gij 0 0
⎣
gij 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
olur.
Teorem 4.2.5. (M, g) semi-Riemann manifoldu ise (T T M, gF F ) semi-Riemann
manifoldudur.
İspat: i) 2-lineerlik: ∀X, Y , Z ∈ χ(T T M) ve ∀α, β ∈ R için
gF F (αX + β Y , Z) = g F F ({(αX + βY )V V + (αX + βY )V H + (αX + βY )HV
+(αX + βY )HH }, {Z V V + Z V H + Z HV + Z HH })
= αgF F (X, Z) + βgF F (Y , Z)
dir. Benzer şekilde
gF F (X, αY + β Z) = αg F F (X, Y ) + βgF F (X, Z)
olduğu görülür.
ii) Simetriklik: ∀X, Y ∈ χ(T T M) için,
g F F (X, Y ) = g F F ((X V V + X V H + X HV + X HH ), (Y V V + Y V H + Y HV + Y HH ))
= g F F (Y , X)
85
olduğundan simetriktir.
iii) Non-dejenerelik: g semi-Riemann metriği ise
∀X ∈ χ(M) için g(X, Y ) = 0 iken Y = 0
dır. ∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y V V için
gF F (X, Y V V ) = g F F (X V V + X V H + X HV + X HH , Y V V ) = g F F (X HH , Y V V ) = 0
eşitliğinden
Y V V = 0,
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y V H için
g F F (X, Y V H ) = gF F (X V V + X V H + X HV + X HH , Y V H )
= gF F (X HV , Y V H ) + g F F (X HH , Y V H ) = 0
eşitliğinden
Y V H = 0,
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y HV için
g F F (X, Y HV ) = gF F (X V V + X V H + X HV + X HH , Y HV )
= gF F (X V H , Y HV ) + g F F (X HH , Y HV ) = 0
eşitliğinden
Y HV = 0,
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y HH için
g F F (X, Y HH ) = g F F (X V V + X V H + X HV + X HH , Y HH )
= g F F (X V V , Y HH ) + gF F (X V H , Y HH )
+g F F (X HV , Y HH ) + g F F (X HH , Y HH )
86
= 4 (g(X, Y ))V V = 0
eşitliğinden
Y HH = 0,
olup
∀X ∈ χ(T T M) için gF F (X, Y ) = 0 iken Y = 0
bağıntısından T T M üzerinde tanımlı g F F metriği non-dejeneredir.
Böylece (T T M, g F F ) bir semi-Riemann manifoldu olur.
Tanım 4.2.6. T T M C ∞ manifoldu üzerinde vektör alanlarının cümlesi χ(T T M) ve
reel değerli C ∞ fonksiyonların halkası C ∞ (T T M, R) olmak üzere
g SS : χ(T T M) × χ(T T M) → C ∞ (T T M, R)
dönüşümü
gSS (X HH , Y HH ) = gSS (X V V , Y V V ) = (g(X, Y ))V V ,
g SS (X V H , Y V H ) = gSS (X HV , Y HV ) = (g(X, Y ))V V
ve diğer vektör alanları üzerindeki değerleri sıfır olacak şekilde tanımlıdır. T T M
üzerinde tanımlı g SS metriğinin uyarlanmış bazlara göre matris gösterimi
⎡
g
0 0 0
⎢ ij
⎢
⎢ 0 gij 0 0
⎢
⎢
⎢ 0 0 gij 0
⎣
0 0 0 gij
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
olur.
Teorem 4.2.7. (M, g) semi-Riemann manifoldu ise (T T M, g SS ) semi-Riemann
manifoldudur.
87
İspat: i) 2-lineerlik: ∀X, Y , Z ∈ χ(T T M) ve ∀α, β ∈ R için
g SS (αX + β Y , Z) = g SS ({(αX + βY )V V + (αX + βY )V H + (αX + βY )HV
+(αX + βY )HH }, {Z V V + Z V H + Z HV + Z HH })
= αgSS (X, Z) + βg SS (Y , Z)
dir. Benzer şekilde
gSS (X, αY + β Z) = αgSS (X, Y ) + βg SS (X, Z)
olduğu görülür.
ii) Simetriklik: ∀X, Y ∈ χ(T T M) için,
g SS (X, Y ) = gSS ((X V V + X V H + X HV + X HH ), (Y V V + Y V H + Y HV + Y HH ))
= gSS (Y , X)
olduğundan simetriktir.
iii) Non-dejenerelik: g semi-Riemann metriği ise
∀X ∈ χ(M) için g(X, Y ) = 0 iken Y = 0
dır. ∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y V V için
g SS (X, Y V V ) = gSS (X V V + X V H + X HV + X HH , Y V V ) = g SS (X V V , Y V V ) = 0
eşitliğinden
Y V V = 0,
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y V H için
g SS (X, Y V H ) = g SS (X V V + X V H + X HV + X HH , Y V H ) = g SS (X V H , Y V H ) = 0
88
eşitliğinden
Y V H = 0,
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y HV için
g SS (X, Y HV ) = g SS (X V V + X V H + X HV + X HH , Y HV ) = g SS (X HV , Y HV ) = 0
eşitliğinden
Y HV = 0,
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y HH için
gSS (X, Y HH ) = gSS (X V V + X V H + X HV + X HH , Y HH ) = g SS (X HH , Y HH ) = 0
eşitliğinden
Y HH = 0,
olup
∀X ∈ χ(T T M) için g SS (X, Y ) = 0 iken Y = 0
bağıntısından T T M üzerinde tanımlı g CC metriği non-dejeneredir.
Böylece (T T M, g SS ) bir semi-Riemann manifoldu olur.
Tanım 4.2.8. T T M C ∞ manifoldu üzerinde vektör alanlarının cümlesi χ(T T M) ve
reel değerli C ∞ fonksiyonların halkası C ∞ (T T M, R) olmak üzere
g KK : χ(T T M) × χ(T T M) → C ∞ (T T M, R)
dönüşümü
g KK (X V V , Y V V ) = gKK (X V V , Y HV ) = gKK (X HV , Y V V ) = (g(X, Y ))V V ,
gKK (X V H , Y V V ) = gKK (X V V , Y V H ) = gKK (X HH , Y V V ) = (g(X, Y ))V V ,
g KK (X V V , Y HH ) = gKK (X HV , Y V H ) = g KK (X V H , Y HV ) = (g(X, Y ))V V
ve diğer vektör alanları üzerindeki değerleri sıfır olacak şekilde tanımlıdır. T T M
89
üzerinde tanımlı g KK metriğinin uyarlanmış bazlara göre matris gösterimi
⎡
0 0 0
⎢
⎢
⎢ 0 0 gij
⎢
⎢
⎢ 0 gij 0
⎣
gij gij gij
gij
gij
gij
gij
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
olur.
Teorem 4.2.9. (M, g) semi-Riemann manifoldu ise (T T M, g KK ) semi-Riemann
manifoldudur.
İspat: i) 2-lineerlik: ∀X, Y , Z ∈ χ(T T M) ve ∀α, β ∈ R için
gKK (αX + β Y , Z) = g KK ({(αX + βY )V V + (αX + βY )V H + (αX + βY )HV
+(αX + βY )HH }, {Z V V + Z V H + Z HV + Z HH })
= αgKK (X, Z) + βgKK (Y , Z)
dir. Benzer şekilde
g KK (X, αY + β Z) = αgKK (X, Y ) + βg KK (X, Z)
olduğu görülür.
ii) Simetriklik: ∀X, Y ∈ χ(T T M) için,
g KK (X, Y ) = g KK ((X V V + X V H + X HV + X HH ), (Y V V + Y V H + Y HV + Y HH ))
= g KK (Y , X)
olduğundan simetriktir.
iii) Non-dejenerelik: g semi-Riemann metriği ise
∀X ∈ χ(M) için g(X, Y ) = 0 iken Y = 0
90
dır. ∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y V V için
g KK (X, Y V V ) = g KK (X V V + X V H + X HV + X HH , Y V V )
= g KK (X V V , Y V V ) + gKK (X V H , Y V V )
+g KK (X HV , Y V V ) + gKK (X HH , Y V V )
= 4(g(X, Y ))V V = 0
eşitliğinden
Y V V = 0,
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y V H için
g KK (X, Y V H ) = g KK (X V V + X V H + X HV + X HH , Y V H )
= g KK (X V V , Y V H ) + gKK (X HV , Y V H ) = 0
eşitliğinden
Y V H = 0,
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y HV için
g KK (X, Y HV ) = g KK (X V V + X V H + X HV + X HH , Y HV )
= g KK (X V V , Y HV ) + gKK (X V H , Y HV ) = 0
eşitliğinden
Y HV = 0,
∀X ∈ χ(T T M) ve Y = Y HH için
g KK (X, Y HH ) = g KK (X V V + X V H + X HV + X HH , Y HH )
= g KK (X V V , Y HH )
eşitliğinden
Y HH = 0,
91
olup
∀X ∈ χ(T T M) için g KK (X, Y ) = 0 iken Y = 0
bağıntısından T T M üzerinde tanımlı g KK metriği non-dejeneredir.
Böylece (T T M, g KK ) bir semi-Riemann manifoldu olur.
Bu semi-Riemann metriklere sahip olan T T M nin indeksi aşağıdaki teoremler
yardımıyla verilebilir.
Teorem 4.2.10. (M, g) Riemann manifoldu ise (T T M, g CC ) semi-Riemann
manifoldunun indeksi 2n dir.
İspat: M de normal koordinatlar göz önüne alınırsa g CC metriğinin matris gösterimi
olur. Bu matrisin
⎡
0
0
0
Inxn
⎢
⎢
⎢ 0
0
Inxn 0
⎢
⎢
⎢ 0
Inxn 0
0
⎣
Inxn 0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
det λI4nx4n − gC = (λ2 − 1)2n = 0
şeklindeki karakteristik denklemi ilk 2n tanesi pozitif sonraki 2n tanesi negatif
özdeğere sahip olduğundan (T T M, g CC ) semi-Riemann manifoldunun indeksi 2n
dir.
Teorem 4.2.11. (M, g) indeksi ν olan bir semi-Riemann manifoldu ise (T T M, gCC )
semi-Riemann manifoldunun indeksi 2n dir.
İspat: M de normal koordinatlar göz önüne alınırsa g CC metriğinin matris gösterimi,
g CC
⎡
0 0 0
⎢
⎢
⎢ 0 0 Iνn
:⎢
⎢
⎢ 0 Iνn 0
⎣
Iνn 0 0
92
Iνn
⎤
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎦
0
olur. Bu matrisin
det λI4nx4n − gCC = (λ2 − 1)2n = 0
şeklindeki karakteristik denklemi (+, −, +, −, ...) olacak şekilde 2n tanesi pozitif
2n tanesi negatif özdeğere sahip olduğundan (T T M, g CC ) semi-Riemann manifoldunun indeksi 2n dir.
Teorem 4.2.12. (M, g) indeksi 0 ≤ ν ≤ n olan bir semi-Riemann manifoldu ise
(T T M, g F F ) semi-Riemann manifoldunun indeksi 2n dir.
İspat: M de normal koordinatlar göz önüne alınırsa gF F metriğinin matris gösterimi,
⎡
olur. Bu matrisin
Iνn
Iνn
Iνn
⎢
⎢ n
⎢ Iν
0 Iνn
⎢
⎢ n n
⎢ Iν Iν
0
⎣
Iνn 0 0
Iνn
⎤
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎦
0
det λI4nx4n − g F F = (λ2 − λ − 1)2n−ν (λ2 + λ − 1)ν = 0
şeklindeki karakteristik denklemi (+, −, +, −, ...) olacak şekilde 2n tanesi pozitif
2n tanesi negatif özdeğere sahip olduğundan (T T M, g F F ) semi-Riemann manifoldunun indeksi 2n dir.
Teorem 4.2.13. (M, g) indeksi 0 ≤ ν ≤ n olan bir semi-Riemann manifoldu ise
(T T M, g SS ) semi-Riemann manifoldunun indeksi 4ν dür.
İspat: M de normal koordinatlar göz önüne alınırsa, g SS metriğinin matris gösterimi
93
⎡
n
0
⎢ Iν
⎢
⎢
⎢ 0 Iνn
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
0
0
⎤
0
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0
Iνn
0
0 Iνn
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
olduğundan (T T M, g SS ) nin indeksinin 4ν olduğu görülür.
Teorem 4.2.14. (M, g) indeksi 0 ≤ ν ≤ n olan bir semi-Riemann manifoldu ise
(T T M, g KK ) semi-Riemann manifoldunun indeksi 2n dir.
İspat: M de normal koordinatlar göz önüne alınırsa, g KK metriğinin matris gösterimi,
⎡
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
olur. Bu matrisin
0
⎤
0 Iνn ⎥
⎥
0 Iνn Iνn ⎥
⎥
0
Iνn
0
Iνn
Iνn Iνn Iνn Iνn
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
det λI4nx4n − gKK = (λ2 − λ − 1)2n−ν (λ2 + λ − 1)ν = 0
karakteristik denklemi (+, −, +, −, ...) olacak şekilde 2n tanesi pozitif 2n tanesi
negatif özdeğere sahip olduğundan (T T M, g KK ) semi-Riemann manifoldunun indeksi 2n dir. Bu metriklerin işaretleri aşağıdaki tablo yardımıyla doğrudan görülebilir.
n − boyutlu
4n − boyutlu
M manif oldu
T T M manif oldu
g CC
gF F
2n indeksli
2n indeksli
S.R
S.R
ν indeksli Semi
2n indeksli
2n indeksli
4ν indeksli
2n indeksli
Riemann (S.R)
S.R
S.R
S.R
S.R
g metriği
Riemann (R)
94
gSS
R
g KK
2n indeksli
S.R
4.3. (T T M, g CC ) Semi-Riemann Manifoldun Levi-Civita Koneksiyonu
Bu alt bölümde, T T M 4n boyutlu diferensiyellenebilir manifoldun herhangi bir
noktasındaki tanjant uzayını geren uyarlanmış baz ve dual baz vektör alanları
tanımlandı. Bu uyarlanmış bazların Lie parantez operatörü altındaki değerleri
hesaplandı. T T M üzerinde g CC semi-Riemann metriğinin uyarlanmış baz vektör
alanları cinsinden ifadesi bulundu. M flat kabul edilerek T T M nin Levi-Civita
koneksiyonu bileşenler cinsinden hesaplandı.
M n-boyutlu manifold olsun. τ M : T M → M kanonik projeksiyonu ile tanımlı
olan T M, M nin birinci mertebeden tanjant demeti, τ T M : T T M → T M olacak
şekilde τ M ◦ τ T M : T T M → M kanonik projeksiyonu ile tanımlı olan T T M M
nin ikinci mertebeden tanjant demetidir.
i
i
(U, xi ), i = 1, ..., n M için lokal bir harita ise (τ −1
M (U), x ◦ τ M , y ) T M için lokal
bir haritadır. Burada y 1 , ..., y n , (U, xi ) lokal haritası ile tanımlı ( ∂x∂ 1 , ..., ∂x∂n ) doğal
çatısına göre τ −1
M (U) daki bir elemanın vektör uzayı koordinatlarıdır.
Benzer
şekilde
(U, xi ); i
=
1, ..., n
M
içinde
lokal
bir
harita
ise
((τ M ◦ τ T M )−1 (U ), xi ◦ τ M ◦ τ T M , y i ◦ τ T M , z i , ti ) T T M için lokal bir haritadır. Bu-
∂
∂
i i
rada z 1 , ..., z n , (τ −1
M (U ), x , y ) lokal haritası ile tanımlı ( ∂x1 , ..., ∂xn ), doğal çatısına
göre (τ M ◦ τ T M )−1 (U) daki bir elemanın vektör uzayı koordinatlarıdır ve t1 , ..., tn
∂
∂
i i
(τ −1
M (U), x , y ) lokal haritası ile tanımlı ( ∂y1 , ..., ∂yn ) doğal çatısına göre
(τ M ◦ τ T M )−1 (U) daki bir elemanın vektör uzayı koordinatlarıdır. Bu koordinat
fonksiyonları yardımıyla T T M nin M üzerinde 4n−boyutlu diferensiyellenebilir
bir manifold yapısına sahip olduğu (Civelek, 1988) tarafından gösterilmiştir.
T M nin tanjant demeti T T M, T M üzerinde düşey dağılım olarak adlandırılan
V T M =Çek(τ M )∗ integrallenebilen alt vektör demetine sahiptir. T M üzerinde
bir non lineer koneksiyon HT M dağılımı ile tanımlı olup, T T M içinde V T M nin
tamamlayıcısıdır. Bu dağılıma yatay dağılım denir. Böylece
T T M = V T M ⊕ HT M
95
dir.
(M, g) bir semi-Riemann manifold ve Γkij , M deki ∇ Levi-Civita
koneksiyonunun Christoffel sembolleri olsun. (T M, g S ) semi-Riemann manifoldu
üzerinde HT M yatay dağılımını geren baz vektörler
δi =
δ
∂
j ∂
=
−
N
i
δxi
∂xi
∂y j
dir. Buradaki Nji = y k Γijk T M üzerindeki non lineer koneksiyon katsayılarıdır.
(δ i =
δ
)
δxi
lokal vektör alanlarının sistemi HT M için lokal bir çatıdır. (∂i =
∂
)
∂yi
lokal vektör alanlarının sistemi V T M için lokal bir çatıdır. (δ i , ∂i ) T T M nin
direkt toplam ayrışımına uyarlanmış T M üzerinde bir lokal çatıdır. (δy i , dxi )
i = 1, ..., n lokal 1-formlarının sistemi
δy i = dy i + Nji dxj
olmak üzere (δi , ∂i ); i
=
1, ..., n lokal çatısının dual lokal çatısıdır
(Oproiu, Papaghiuc, 1998).
T T M nin tanjant demeti T T T M, T T M üzerinde düşey dağılım olarak adlandırılan
V T T M =Çek(τ T M )∗ integrallenebilen alt vektör demetine sahiptir.
TTM
üzerinde bir non lineer koneksiyon HT T M dağılımı ile tanımlı olup, T T T M içinde
V T T M nin tamamlayıcısıdır. Bu dağılıma yatay dağılım denir. Böylece
T T T M = V T T M ⊕ HT T M
dir. Ayrıca
T T M = V T M ⊕ HT M
olduğundan
T T T M = V V T M ⊕ HV T M ⊕ V HT M ⊕ HHT M
dir. T M nin ikinci mertebeden tanjant demeti V V T M, HV T M, V HT M ve
HHT M vektör alt demetlerinin direkt toplamı biçiminde yazılabilir. Bu vektör
96
alt demetlerini geren baz vektörleri
V V T M = Span(∂∂i ), i = 1, ..., n,
HV T M = Span(δ∂i ),
V HT M = Span(∂δ i ),
HHT M = Span(δδ i )
dir. Eğer (M, g), ν indeksine sahip bir semi-Riemann manifoldu ise (T T M, gCC )
2n indeksli bir semi-Riemann manifoldudur.
M manifoldu üzerinde tanımlı ∇ Levi-Civita koneksiyonu ise T T M manifoldu
üzerinde gCC = gHH olur. Ayrıca g CC nin uyarlanmış lokal baz vektör alanları
cinsinden ifadesi
g CC = 2gij dxi δtj + 2gij δy i δz j
dir. Böylece,
gCC (δδ i , ∂∂j ) = g CC (∂δ i , δ∂j ) = gij
olup diğer tüm uyarlanmış lokal baz vektör alanları üzerindeki değerleri sıfırdır.
Teorem 4.3.1. M flat semi-Riemann manifoldu ve Γhji Christoffel sembolleri olmak üzere (T T M, g CC ) semi-Riemann manifoldu üzerindeki uyarlanmış lokal baz
vektör alanlarının Lie parantez operatörü altındaki sıfırdan farklı değerleri
i) [δδ i , ∂δ j ] = Γhji ∂δh ,
ii) [δδ i , δ∂j ] = Γhji δ∂h ,
iii) [δδ i , ∂∂j ] = Γhji ∂∂h
dir.
İspat: T T M manifoldu üzerindeki non lineer koneksiyon katsayıları
Nih = y k Γhki ,
Zih = z k Γhki ,
olmak üzere
97
Tih = tk Γhki
i)
∂
∂
∂
− Nih h − Zih h −
h
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
{Tih + z j y l (∂j Γhli − Γkji Γhkl )} h , j − Zjk k ]
∂t ∂y
∂t
h
h
= Γhji ∂δ h + z l Rlji
∂∂h , Rlji
=0
[δδ i , ∂δ j ] = [δ hi
= Γhji ∂δ h
ii)
[δδ i , δ∂j ] = [δ hi
∂
∂
∂
− Nih h − Zih h
h
∂x
∂y
∂z
∂
∂
k ∂
,
−
N
]
j
∂th ∂z j
∂tk
=0
−{Tih + z j y l (∂j Γhli − Γkji Γhkl )}
h
∂∂h ,
= Γhji δ∂h + y l Rlji
h
Rlji
= Γhji δ∂h
iii)
∂
∂
∂
∂
− Nih h − Zih h − {Tih + z j y l (∂j Γhli − Γkji Γhkl )} h , ∂∂j ]
h
∂x
∂y
∂z
∂t
∂
= −∂∂j (−Tih ) h
∂t
h
= Γji ∂∂h
[δδ i , ∂∂j ] = [δ hi
dir.
Teorem 4.3.2. Eğer ∇ (T T M, g CC ) semi-Riemann manifoldunun Levi-Civita
koneksiyonu ise ∇ nın uyarlanmış lokal bazlara göre bileşenler cinsinden ifadesi
∇δδi δδ j = Γkij δδ k ,
∇δδi ∂δ j = Γkij ∂δ k ,
∇δδi δ∂j = Γkij δ∂k ,
∇δδi ∂∂j = Γkij ∂∂k ,
∇δ∂i δδ j = −Γkij ∂∂k ,
olup, diğer tüm bileşenler sıfırdır.
98
İspat: ∇δδi ∂∂j = Γkij ∂∂k eşitliği aşağıdaki gibi ispatlanabilir.
k
n+k
2n+k
3n+k
∇δδi ∂∂j = Γi3n+j δδ k + Γi3n+j ∂δk + Γi3n+j δ∂k + Γi3n+j ∂∂k ,
i, j, k = 1, ..., n
olsun. ∇ Levi-Civita koneksiyonu olduğu için Kozsul formülü yardımıyla
2g CC (∇δδi ∂∂j , δδ h ) = δδ i g CC (∂∂j , δδ h ) + ∂∂j gCC (δδ h , δδ i ) − δδ h g CC (δδi , ∂∂j )
−g CC (δδ i , [∂∂j , δδh ]) + g CC (∂∂j , [δδh , δδ i ])
+gCC (δδ h , [δδ i , ∂∂j ])
3n+k
2gCC (Γi3n+j ∂∂k , δδ h ) = ∂i gjh − ∂h gij + gki Γkjh + ghk Γkji
∂j ghi
3n+k
2gkh Γi3n+j
= ∂i gjh + ∂j ghi − ∂h gij
olup
1
3n+k
Γi3n+j = g hk {∂i gjh + ∂j ghi − ∂h gij } = Γkji
2
olur. Diğer bileşenleri sıfırdır. Böylece, ∇δδi ∂∂j = Γkij ∂∂k olduğu görülür. Benzer
hesaplamalar farklı uyarlanmış lokaz baz vektör alanları için de yapılabilir.
99
5. BİR SEMİ-RİEMANN MANİFOLDUN KOTANJANT DEMETİ
ÜZERİNDEKİ SEMİ-RİEMANN METRİKLER
Bu bölümde, kotanjant demetin Sasaki semi-Riemann metriğine bağlı diferensiyel
geometrisi ile bir Hamilton uzayının kotanjant demetinin diferensiyel geometrisi,
bu demetin üzerinde tanımlı semi-Riemann metriğine göre incelendi. Ayrıca
kotanjant demet üzerinde iki semi-Riemann metrik tanımlanarak metriklerin işaretleri incelendi.
5.1.
S
g Sasaki Semi-Riemann Metrikli T ∗ M Manifoldun Diferensiyel
Geometrisi
Bu alt bölümde, M deki tanjant vektörlerin g semi-Riemann metriğine bağlı
causal karekteri ile bu vektörlerin ve bu vektörler ile birleşen 1-formların sırasıyla
T ∗ M ye yatay ve düşey yükseltilmesiyle elde edilen tanjant vektörlerin T ∗ M
üzerindeki
S
g Sasaki semi-Riemann metriğine bağlı causal karakterinin aynı
olduğu bulundu.
(T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldunun Levi-Civita
koneksiyonu ve Riemann eğrilik tensörü bileşenler cinsinden hesaplandı. (T ∗ M, S g )
semi-Riemann manifoldu üzerinde jeodeziklerin diferensiyel denklemleri elde
edilerek M deki eğrilerin T ∗ M ye yatay ve doğal yükseltilmesiyle elde edilen
eğriler için bazı sonuçlar verildi.
M, n-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve T ∗ M, M nin kotanjant demeti
olsun. Eğer xi , i = 1, ..., n, m ∈ M noktasının U komşuluğundaki lokal koordi-
natlar ise T ∗ M nin bir elemanı olan p kovektörü (xi , pi ) i = 1, ..., n indirgenmiş
koordinatlara sahiptir. Buradaki pi , p kovektörünün lokal koordinat fonksiyonlarıdır. π, T ∗ M den M ye doğal bir izdüşüm olmak üzere
(xi , pi ) = (xi , xi ) = (xA ), i = 1, ..., n; i = n + 1, ..., 2n; A = 1, ..., 2n,
π −1 (U) üzerindeki lokal koordinatlardır
Bu bölümde, diferensiyel geometrik objelerin indisleri i, j, ... ve A, B, ... sembolleri ile veriliyorsa indirgenmiş koordinatlara göre gösterimi, α, β, ... sembolleri ile
100
veriliyorsa uyarlanmış bazlara göre gösterimi ifade eder.
T ∗ M manifoldu üzerinde tanımlı vektör alanlarının ve S g Sasaki semi-Riemann
metriğinin indirgenmiş koordinatlar ve uyarlanmış koordinatlara göre matris gösterimleri aşağıdaki şekilde verilir.
g, M nin U koordinat komşuluğu içinde bileşenleri gji olan bir semi-Riemann
metriği ve Γhji , gji ile elde edilen Christoffel sembollerini ve
r
s (M)
modülü, M
deki diferensiyellenebilir fonksiyonların C ∞ (T ∗ M, R) halkası üzerinde, tüm (r, s)
tipinden C ∞ tensör alanlarını göstersin. X ∈
1
0 (M)
ve ω ∈
0
1 (M)
için X in
yatay yükseltilmişi X H , X in tam yükseltilmişi X C ve ω nın düşey yükseltilmişi
ω V , (xh , xh ) indirgenmiş koordinatlarına göre
⎛
XH = ⎝
X
⎞
h
⎛
⎠,
i
pm Γm
hi X
XC = ⎝
X
h
−pm ∂h X
m
⎞
⎠,
⎛
ωV = ⎝
0
ω
h
⎞
⎠ (5.1.1)
şeklinde tanımlıdır. Burada X h ve ω h , sırasıyla X ve ω nın lokal bileşenleridir.
M nin her bir (U, xh ) 1 ≤ h ≤ n koordinat komşuluğu içinde
X(j) =
∂
∂xj
ω (j) = dxj
,
lokal baz ve dual baz vektör alanları vardır. Bu vektör alanlarının (5.1.1) de
yerine konulmasıyla (X(j) )H ve ω (j)
V
(xh , ph ) indirgenmiş koordinatlarına göre
aşağıdaki gibi elde edilir.
X(j)
ω (j)
H
V
Bu {(X(j) )H , ω (j)
çatısı,
δ
δxj
⎛
=
AB
=⎝
j
=
AB
j
V
⎞
δ hj
∂
δ
⎠ = ∂ + pm Γm
=
jh
∂xj
∂ph
δxj
pm Γm
jh
⎞
⎛
0
⎠= ∂
=⎝
∂pj
δ hj
} = { δxδ j , ∂p∂ j } kümesine π −1 (U) ⊂ T ∗ M nin uyarlanmış lokal
ye yatay baz vektör alanı ve
∂
∂pj
ye düşey baz vektör alanı denir. Bu
çatı
H
A(j) = (AB
j ) = (X(j) )
,
101
(j)
A(j) = (AB
j ) = ω
V
eşitlikleri yardımıyla A(β) = A(j) , A(j) baz vektör alanları ile de temsil edilir.
Ayrıca
AB
β =
AB
AB
j
j
; β = 1, ..., 2n
matris formunda da yazılabilir. Bu matrisin tersi
AA
B =
BBh CBh
π −1 (U) ⊂ T ∗ M nin uyarlanmış lokal dual çatısını gösterir. Bu matrisin bileşenleri
aşağıdaki eşitlikleri sağlayacak şekilde
T ∗M
A(j) =
AhB =
δ hj 0
A(j) =
AhB =
−pm Γm
hj δ hj
üzerinde
2n
tane
= dxj
lokal
(5.1.2)
h
= dpj − pm Γm
hj dx = δpj
1-form
tanımlar.
Böylece
A(α) = A(j) , A(j) şeklindeki çatı A(β) uyarlanmış çatısının duali olur. Yani
(α)
α
AB AB
(β) = δ β
dır. Yukardaki dxj ,
δpj de,
∂
∂pj
δ
δxj
nin dual baz 1-formu olduğu için yatay dual baz 1-form,
nin dual baz 1-formu olduğu için düşey dual baz 1-form olarak ad-
landırılır.
M manifoldu üzerindeki g Riemann ya da semi-Riemann metriğinin T ∗ M manifoldu üzerine diagonal yükseltilmişi uyarlanmış koordinatlara göre
S
g = gβα dxβ ⊗ dxα = gji dxj ⊗ dxi + gji δpi ⊗ δpj
(5.1.3)
ile ifade edilir. M deki g tensör alanının diagonal yükseltilmişi S g T ∗ M içinde
(0, 2) tipinde bir tensör alanı olup (5.1.2) ve (5.1.3) den {dxj , δpj } uyarlanmış
lokal dual çatısına göre
⎛
(gβα ) = ⎝
gji 0
0
102
g
ji
⎞
⎠
(5.1.4)
ve (xj , pj ) indirgenmiş koordinatlarına göre
⎛
(gAB ) = ⎝
gji +
l
gks Γm
jk Γis pm pl
gjs Γlis pl
−g is Γljs pl
g ji
⎞
⎠
(5.1.5)
şeklinde matris gösterimlerine sahiptir.
Teorem 5.1.1. M manifoldu üzerindeki g metriği indeksi ν olan bir semi-Riemann
metriği ise T ∗ M manifoldu üzerine diagonal yükseltilmişi, uyarlanmış koordinatlara göre
S
g = gβα dxβ ⊗ dxα = gji dxj ⊗ dxi + gji δpi ⊗ δpj
(5.1.6)
ifadesine sahip, indeksi 2ν olan semi-Riemann metriğidir.
İspat: M manifoldunun bir m noktasını içine alan U komşuluğu, normal komşuluk olarak seçilirse gji (m) = εj δ ji ve Γkji (m) = 0 olur. Buradaki
⎧
⎨ −1,
εi =
⎩
1,
1≤i≤ν
ν +1≤i≤n
dir. M nin U normal komşuluğu içinde tanımlanan g semi-Riemann metriğinin
diagonal yükseltilmişi T ∗ M de {dxj , δpj } uyarlanmış lokal dual çatısına göre
⎛
gβα (π −1 {m}) = ⎝
gji (m) 0
0
ji
g (m)
⎞
⎠
lokal bileşenlere sahiptir. gji (m) = εj δ ji ve gji (m) = εj δ ji olduğundan
gβα = εβ δ βα
dır. Burada
⎧
⎨ −1,
εβ =
⎩
1,
1≤β≤ν
; n+1≤β ≤n+ν
ν + 1 ≤ β ≤ n ; n + ν + 1 ≤ β ≤ 2n
103
(5.1.7)
dır. Ayrıca
εj = εn+j
1≤j≤n
olur. Böylece (T ∗ M, S g ) indeksi 2ν olan semi-Riemann metriğidir.
Teorem 5.1.2. (M, g) semi-Riemann manifoldunun diagonal yükseltilmesiyle elde
edilen (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu üzerinde,
δ
δxj
ve
∂
∂pj
yatay ve düşey
lokal baz vektör alanları için
δ
δ
∂ ∂
, j ) = gij, g(
,
) = g ij
i
δx δx
∂pi ∂pj
∂
δ
δ
∂
S
g(
, j ) = Sg ( i ,
)=0
∂pi δx
δx ∂pj
S
(5.1.8)
g(
dır.
İspat:
S
g = gβα dxβ ⊗ dxα = gkh dxk ⊗ dxh + g kh δpk ⊗ δph semi-Riemann metriği
için
δ
∂
) = δji ; dxj (
)=0
i
δx
∂pi
δ
∂
) = δ ji
δpj ( i ) = 0 ; δpj (
δx
∂pi
dxj (
eşitliklerinin kullanılmasıyla
S
g(
δ
δ
δ
δ
, j ) = (gkh )V dxk ( i )dxh ( j ) + gkh
i
δx δx
δx
δx
V
δpk (
δ
δ
)δph ( j )
i
δx
δx
0
V
= (gkh )
S
g(
δ ki δ hj
= (gij ) ,
∂ ∂
∂
∂
,
) = (gkh )V dxk (
)dxh (
) + gkh
∂pi ∂pj
∂pi
∂pj
0
=
S
g(
g
kh V
0
V
δ ki δ hj = g
0
V
ij
V
δpk (
∂
∂
)δph (
)
∂pi
∂pj
,
∂
δ
∂
δ
, j ) = (gkh )V dxk (
) dxh ( j ) + gkh
∂pi δx
∂pi
δx
V
δpk (
∂
δ
) δph ( j )
∂pi
δx
0
0
104
= 0,
S
g(
δ
∂
δ
∂
,
) = (gkh )V dxk ( i ) dxh (
) + g kh
i
δx ∂pj
δx
∂pj
V
0
δpk (
δ
∂
) δph (
)
i
δx
∂pj
0
= 0.
olduğu görülür.
Teorem 5.1.3. ∀m ∈ M, ∀Xm ∈ Tm (M), ve ∀ω m ∈ Tm∗ (M) π(θ) = m olacak
şekilde ∀ω Vθ , XθH ∈ Tθ (T ∗ M) ve (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu için
i) Xm ve ω m , sırasıyla, space-like bir vektör ve space-like bir vektör üzerinde
değer alan 1-form ise XθH ve ω Vθ , (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu için spacelike vektörlerdir.
ii) Xm ve ω m , sırasıyla, time-like bir vektör ve time-like bir vektör üzerinde değer
alan 1-form ise XθH ve ω Vθ , (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu için time-like
vektörlerdir.
iii) Xm ve ωm , sırasıyla, light-like (null) bir vektör ve light-like (null) bir vektör
üzerinde değer alan 1-form ise XθH ve ω Vθ , (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu
için light-like (null) vektörlerdir.
İspat: (M, g) semi-Riemann manifoldu için Xm ve ω m , space-like bir vektör ve
space-like bir vektör üzerinde değer alan 1-form ise g(Xm , Xm ) > 0 ya da Xm = 0
ve g(ωm , ω m ) > 0 ya da ω m , 0 vektörü üzerinde değer alan bir 1-form olur. Burada
g M manifoldu üzerinde tanımlı bileşenleri g semi-Riemann metriğinin tersi olan
(2, 0) tipinde bir tensör alanıdır. Teorem 3.2.2 yardımıyla
S
S
g (ω Vθ , ω Vθ ) > 0 veya ω Vθ = 0
g (XθH , XθH ) > 0 veya XθH = 0
bulunur. XθH ve ωVθ tanjant vektörleri space-like vektörlerdir. Diğer iddialarda
benzer şekilde ispatlanır.
105
Teorem 5.1.4. θ ∈ T ∗ M noktası üzerindeki Tθ (T ∗ M) tanjant vektör uzayını
geren
δ
, ∂
δxi ∂pi
yatay ve düşey baz vektör alanları için
m ∂
i) [ δxδ i , δxδ j ] = pm Rjih
,
∂ph
ii) [ δxδ i , ∂p∂ j ] = −Γjih ∂p∂h ,
iii) [ ∂p∂ i , ∂p∂ j ] = 0
dır.
İspat: (i)
[
∂
∂
δ
δ
∂
∂
, j ] = [ i + Nih
, j + Njk
],
Nih = pl Γlih
i
δx δx
∂x
∂ph ∂x
∂pk
∂Nih ∂
∂Njk ∂
∂Njk ∂
∂Nih ∂
=
− j
+ Njk
− Nih
−
i
∂x ∂pk
∂x ∂ph
∂pk ∂ph
∂ph ∂pk
k↔h
=
k↔h
∂Γm
jh
pm { i
∂x
m
= pm Rjih
−
∂Γm
ih
∂xj
k
m h
+ Γm
kj Γih − Γih Γjk }
∂
∂ph
∂
∂ph
dır
ii)
[
∂
∂
∂
∂
∂Nih ∂
δ
,
] = [ i + Nih
,
]=−
i
δx ∂pj
∂x
∂ph ∂pj
∂pj ∂ph
∂
= −Γjih
∂ph
dır
1
0 (M)
iii) X ∈
[
için
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
,
](γX) =
(
(pk (X k )V )) −
(
(pk (X k )V ))
∂pi ∂pj
∂pi ∂pj
∂pj ∂pi
∂
∂
(X j )V −
(X i )V = 0
=
∂pi
∂pj
0
0
dır
106
Teorem 5.1.5 (M, g), ∇ Levi-Civita koneksiyonuna sahip bir semi-Riemann
manifold ve (T ∗ M, S g ) de ∇ Levi-Civita koneksiyonuna sahip bir semi-Riemann
manifoldu olsun. δ i =
δ
δxi
·
ve ∂ i =
∂
∂pi
olmak üzere ∇ Levi-Civita koneksiyonunun
bileşenleri,
·
·
·
·
·
∇δi δ j = Γkij δ k + Γkij ∂ k
;
∇δi ∂ j = Γkij δ k + Γkij ∂ k
∇ · δ j = Γkij δ k + Γkij ∂ k
;
∇ · ∂ j = Γkij δ k + Γkij ∂ k
·
∂i
∂i
olup, M manifoldu üzerinde gij bileşenleri tarafından belirlenen Christoffel sembolleri Γkij ve ∇ Levi-Civita koneksiyonuna bağlı Riemann eğrilik tensörünün
k
bileşenleri Rhji
olmak üzere ∇ koneksiyonunun katsayıları,
1 m
Γkij = Rijh
pm ,
2
Γkij = Γkij ,
1 hjm
R pm , Γkij = −Γjih
2 i
1 him
=
R pm , Γkij = 0,
2 j
= 0, Γkij = 0
Γkij =
Γkij
Γkij
(5.1.9)
m
dır.
dır. Burada Rihjm = g hl g kj Rlik
İspat:
Sadece ∇ Levi-Civita koneksiyonunun Γkij katsayısı için bir ispat
verilecektir. ∇, (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldunun Levi-Civita koneksiyonu
olduğu için
·
·
·
·
·
·
·
2g S (∇ · δj , ∂ h ) = ∂ i S g (δ j , ∂ h ) + δ j S g (∂ h , ∂ i )− ∂ h S g (∂ i , δj )
∂i
·
·
·
·
·
·
− S g (∂ i , [δ j , ∂ h ]) + S g (δ j , [∂ h , ∂ i ]) + S g (∂ h , [∂ i , δ j ])
·
−Γh
jk ∂ k
·
Γijk ∂ k
Kozsul formülünü sağlar. Teorem 5.1.2, Teorem 5.1.4 ve düşey vektör alanlarının
bir fonksiyonun düşey yükseltilmişi üzerinde sıfır değerini alması tanımı gereğince
·
·
2 S g (Γkij ∂ k , ∂ h ) =
∂ghi
+ g ik Γhjk + g hk Γijk
∂xj
107
ve
−∂j g(dxh , dxi ) = −
∂ghi
= g ik Γhjk + g hk Γijk
∂xj
olduğundan,
Γkij = 0
elde edilir. Diğerleri de benzer şekilde ispatlanabilir.
Teorem 5.1.6. (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldunun ∇ Levi-Civita koneksiyonuna bağlı K Riemann eğrilik tensörünün bileşenler cinsinden ifadesi
·
h
h
K(δ i , δj )δ k = Kkij
δ h + Kkij
∂ h,
·
·
·
·
h
h
K(δ i , ∂ j )δ k = Kkij
δ h + Kkij
∂ h,
·
h
h
K(∂ i , ∂ j )δ k = Kkij
δ h + Kkij
∂ h,
·
·
·
·
·
·
·
·
h
h
K(δ i , δ j ) ∂ k = Kkij
δ h + Kkij
∂h
h
h
K(δ i , ∂ j ) ∂ k = Kkij
δ h + Kkij
∂h
·
h
h
K(∂ i , ∂ j ) ∂ k = Kkij
δ h + Kkij
∂h
olmak üzere sıfırdan farklı bileşenleri
1
h
h
m
m
m
Kkij
= Rkij
+ pm pn (Rajk
Rihan − Raik
Rjhan − 2Raij
Rkhan )
4
1
h
m
m
Kkij
=
− ∇j Rhik
)
pm (∇i Rhjk
2
1
h
pm (∇i Rjhkm − ∇j Rihkm )
Kkij
=
2
1
h
k
n
n
Kkij
= −Rhij
+ pm pn (Rjakm Rhia
− Riakm Rhja
)
4
1
h
Kkij
=
pm ∇i Rkhjm
2
1 j
1
h
n
Rhik + pm pn (Riajm Rhia
Kkij
=
)
2
4
1 hkj 1
h
R + pm pn (Riakm Rahjn )
Kkij
=
2 i
4
1
1
h
Kkij
=
(Rkhji − Rkhij ) + pm pn (Rkajm Rahin − Rkaim Rahin )
2
4
(5.1.10)
dır.
İspat: (5.1.9) daki eşitliklerin kullanılmasıyla
K(δ i , δ j )δ k = ∇δi ∇δj δ k − ∇δj ∇δi δ k − ∇[δi ,δj ] δ k
·
·
1
1
m
h
m
m
= ∇δi {Γhjk δ h + pm Rhjk
∂ h } − ∇δj {Γik δ h + pm Rhik ∂ h } − pm Rhji ∇ · δ k
∂h
2
2
108
1
h
m
m
m
= {Rkij
+ pm pn (Rajk
Rihan − Raik
Rjhan − 2Raij
Rkhan )}δ h +
4
·
1
m
m
+ pm (∇i Rhjk
− ∇j Rhik
) ∂h
2
eşitliği elde edilir. Diğerleri de benzer şekilde ispatlanır.
Sonuç 5.1.7. (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldunun flat olması için gerek ve
yeter şart (M, g) semi-Riemann manifoldunun flat olmasıdır.
Tanım 5.1.8. c, (M, g) semi-Riemann manifoldu üzerinde xh = xh (t) ile lokal
olarak ifade edilen bir eğri ve ωh (t) de c boyunca paralel bir vektör alanı üzerinde
değer alan bir 1-form ise (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu üzerinde
xh = xh (t)
;
ph = ωh (t)
(5.1.11)
bileşenleri ile verilen c eğrisine M üzerinde bir c eğrisinin yatay yükseltilmişi denir.
(Akbulut, Özdemir, Salimov, 2001)
Eğer ph = ω h (t) c eğrisinin X i =
dxi
dt
teğet vektör alanı ile birleştirilmiş kovektör
alanı ise (5.1.11) ile tanımlanan c eğrisine c eğrisinin doğal yükseltilmişi denir.
Teorem 5.1.9. Eğer t,
S
g semi-Riemann metriğine sahip T ∗ M üzerinde bir
eğrinin yay uzunluğu parametresi ise T ∗ M üzerinde jeodeziklerin denklemleri
uyarlanmış koordinatlara göre
i
δ2 xh
him dx δpi
+
p
R
= 0
h j
dt2
dt dt
δ2 ph
= 0
dt2
dir
İspat: t yay uzunluğu parametresine göre T ∗ M üzerinde jeodeziklerin denklemleri indirgenmiş koordinatlara göre
C
B
δ 2 xA
d2 xA
A dx dx
=0
=
+
Γ
CB
dt2
dt2
dt dt
olur. Bu denklem aşağıdaki eşitlikler yardımıyla uyarlanmış koordinatlar cinsin109
den
θh = AhB dxB = dxh
(5.1.12)
θh = BBh dxB = δph
ve
θh
dxh
=
dt
dt
h
δph
θ
=
dt
dt
eşitlikleri yardımıyla
θγ θβ
d θA
( ) + Γαγβ
=0
dt dt
dt dt
(5.1.13)
biçiminde ifade edilir. Γ nın (5.1.9) daki bileşenleri sayesinde (T ∗ M, S g ) semiRiemann manifoldu üzerindeki jeodeziklerin denklemleri
i
δ2 xh
him dx δpi
= 0
+
p
R
h
j
dt2
dt dt
δ2 ph
= 0
dt2
(5.1.14)
(5.1.15)
biçiminde elde edilir.
Tanım 5.1.10. (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu üzerinde t yay uzunluğu
parametresine göre θγ , γ = 1, ..., 2n lokal bileşenlerine sahip bir c eğrisine
β
α
dc
space-like
dt
1,
θ θ
gβα
= ε = ⎪ −1,
dt dt
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 0,
denir.
β
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
bir eğri,
dc
dt
time-like bir eğri,
dc
dt
light-like bir eğri
α
gβα θdt θdt = ε metriği ε = 0 için
gji
−
dxj dxi
δpj δpi
+ gji
= ε =+ 1
dt dt
dt dt
110
olur. T ∗ M üzerindeki jeodezik denklemlerinin (5.1.15) eşitliği gereğince
δ
ji δpj δpi
g
=0
dt
dt dt
dır. s, M üzerindeki yay uzunluğu parametresi olmak üzere
ds
dt
2
= gji
dxj dxi
= sbt
dt dt
olup s ile t lineer bağımlıdır. Bu nedenle özdeş kabul edilebilir. T ∗ M üzerinde
jeodezik bir eğri xh = sbt olacak şekilde tanımlanıyorsa jeodezik denklemleri
(5.1.15) daki eşitlik sayesinde
dxh
dt
= 0 olduğundan,
d2 ph
=0
dt2
haline gelir. Böylece
d2 ph
dt2
= 0 diferensiyel denklem sisteminin çözümleri ah , bh
keyfi sabitler olmak üzere ph = ah t + bh olur.
Sonuç 5.1.11. Eğer bir jeodezik eğri
S
g semi-Riemann metrikli T ∗ M nin
fibreleri üzerinde sağlanıyorsa (xh , ph ) indirgenmiş koordinatlarına göre, ah , bh , ch
keyfi sabitler olmak üzere xh = ch , ph = ah t + bh lineer denklemleri ile ifade edilir.
Sonuç 5.1.12. (M, g) semi-Riemann manifoldu üzerindeki bir jeodeziğin yatay
yükseltilmişi (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu üzerinde daima bir jeodezikdir.
(M, g) semi-Riemann manifoldu üzerindeki xh = xh (t) ile tanımlanan bir eğrinin
doğal yükseltilmişi, (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu üzerinde
xh = xh (t)
;
ph = gih
dxh
dt
lokal bileşenleri ile verilir.
Teorem 5.1.13. (M, g) semi-Riemann manifoldu üzerindeki xh = xh (t) ile tanımlanan bir eğrinin doğal yükseltilmişi, (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu
üzerinde bir jeodezik olması için gerek ve yeter şart
111
k 2 j
i
δ 2 xh
h dx δ x dx
= 0
+
R
kji
dt2
dt dt2 dt
δ 3 xh
= 0
dt3
(5.1.16)
(5.1.17)
olmalıdır.
h
İspat: (5.1.14) ve (5.1.15) denklemlerinde ph yerine gih dxdt konulmasıyla (5.1.16)
ve (5.1.17) denklemleri elde edilir.
Sonuç 5.1.14. (M, g) semi-Riemann manifoldu üzerindeki herhangi bir jeodeziğin
doğal yükseltilmişi (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu üzerinde bir jeodezikdir.
Teorem 5.1.15. (M, g) semi-Riemann manifoldu içindeki bir c eğrisinin doğal
yükseltilmişi S g metrikli T ∗ (M) içinde bir jeodezik ise c, M içinde bir jeodeziktir
veya c nin birinci eğriliği sabit ve c nin her noktasında oskülatör düzlemle tanımlı
kesitine göre M nin Riemann kesitsel eğriliği sabittir.
İspat: (M, g) semi-Riemann manifoldu üzerindeki xh = xh (t) ile tanımlanan
bir eğri, yay uzunluğu parametresi t olan (T ∗ M, S g ) semi-Riemann manifoldu
üzerinde bir jeodezik ise (5.1.15) eşitliğinden
δ
ji δpj δpi
g
=0
dt
dt dt
dır.
pj = gjk
olduğundan
olup,
dxk
dt
,
pi = gil
dxl
dt
δ 2 xk δ 2 xl
δ
ji
=0
g gjk gil 2
dt
dt dt2
δ 2 xj δ 2 xi
δ
=0
gji 2
dt
dt dt2
elde edilir. Bu denklemin sıfıra eşit olması iki farklı şart altında mümkündür.
112
Birincisi,
δ 2 xh
=0
dt2
yani xh = xh (t) lokal bileşenleri ile verilen bir c eğrisi M de bir jeodeziktir.
İkincisi, (5.1.17) den c eğrisinin birinci eğriliği sabittir.
δ 2 xh
= ρY h ,
dt2
δ 2 xh
dt2
vektörü yönünde
ρ = sbt.
eşitliğini sağlayan birim vektör Y h ve M üzerindeki c eğrisinin teğeti yönündeki
birim vektör X h =
dxh
dt
alınarak bu vektörler (5.1.16) eşitliğinde yerine konulursa
h
XkY jXi = 0
Y h + Rkji
bulunur. Bu ifade Y h ile kontraksiyona uğratılırsa,
Rkjih X k Y j X i Y h = −ε,
ε=0
elde edilir. Böylece X h birim teğet vektörü ile Y h birim normal vektörü tarafından
gerilen P oskülatör düzleminin kesitsel eğriliği
K(P) = Rkjih X k Y j X i Y h = −ε,
ε=0
sabittir.
5.2. Bir Hamilton Uzayında Semi-Riemann Geometri
Bu alt bölümde, gravitasyon alanlar için T M de L fonksiyonuna bağlı EulerLagrange denklemleri, Legendre dönüşümü yardımıyla T ∗ M de H fonksiyonuna
bağlı olarak ifade edildi. Elde edilen denklemin çözümü ile ilgili bazı sonuçlar
bulundu. M manifoldu üzerinde tanımlı ∇ Levi-Civita koneksiyonunun T ∗ M
manifoldu üzerinde
C
g semi-Riemann metriğine karşılık geldiği gösterilerek
(T ∗ M, C g ) semi-Riemann manifoldunun diferensiyel geometrisi incelendi. Bölüm
3.1. de T M üzerinde tanımlanan semi-Riemann metriklerin Legendre dönüşümü
yardımıyla T ∗ M deki karşılıkları elde edildi.
113
M n-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve T ∗ M, π : T ∗ M → M kanonik
projeksiyonu ile tanımlı M nin kotanjant demeti olsun. {U, xi } 1 ≤ i ≤ n
M
manifoldu
üzerinde
lokal
bir
harita
ise
(π −1 (U ), xi , pi )
T ∗M
üzerinde lokal bir haritadır. Buradaki xi = xi oπ ve pi de T ∗ M nin (dx1 , ..., dxn )
lokal çatısına göre π −1 (U) içindeki bir elemanın vektör uzayı koordinatlarıdır.
T ∗ M üzerinde tanımlanan bu harita yardımıyla 2n boyutlu diferensiyellenebilir
manifold yapısına sahip olur. T ∗ M nin tanjant demeti T T ∗ M, V T ∗ M =Çekπ ∗
ile tanımlı integrallenebilir bir alt vektör demetine sahiptir. V T ∗ M ye T ∗ M nin
düşey dağılımı denir. T ∗ M manifoldu üzerinde bir non lineer koneksiyon HT ∗ M
ile tanımlı olup T T ∗ M içinde V T ∗ M ye tamamlayıcı bir dağılımdır. Bu dağılım
T ∗ M nin yatay dağılımı olarak adlandırılır. Böylece
T T ∗ M = V T ∗ M ⊕ HT ∗ M
olur. ( ∂p∂ 1 , ..., ∂p∂n ) lokal vektör alanlarının sistemi V T ∗ M için lokal bir çatıdır.
( δxδ 1 , ..., δxδn ) lokal vektör alanlarının bir sistemi de HT ∗ M için lokal bir çatıdır.
Burada
∂
δ
∂
= i + Nij
i
δx
∂x
∂pj
dir.
Ayrıca denklemdeki Nij katsayıları HT ∗ M ile tanımlı non lineer
koneksiyonun koneksiyon katsayıları olup (Yano, Ishıhara, 1973) tarafından
Nij (x, p) = −Γkij pk
Γkij M manifoldu üzerinde ∇ Levi Civita
eşitliği ile tanımlanmıştır.
koneksiyonunun bileşenleri olduğu için T ∗ M üzerinde tanımlanan Nij non lineer
koneksiyonu simetrik bir non lineer koneksiyon olur. HT ∗ M dağılımının integrallenebilir olması için HT ∗ M nin torsiyon tensörü olan Rkij nin sıfır olması gerekir.
Yani,
[
∂
δ
δ
, j ] = Rkij
i
δx δx
∂pk
114
olup Rkij , T ∗ M içinde Nij non lineer koneksiyonunun bileşenleri yardımıyla
Rkij =
δNkj δNki
−
δxi
δxj
l
ve M manifoldu üzerinde Rkij
Riemann eğrilik tensörünün bileşenleri yardımıyla
l
.
Rkij = pl Rkij
şeklinde tanımlıdır.
Ayrıca T ∗ M nin baz vektör alanları üzerinde diğer Lie
parentez operatörleri
∂
δ
j ∂
,
]
=
Γ
ik
δxi ∂pj
∂pk
∂ ∂
[
,
] = 0
∂pi ∂pj
[
şeklinde tanımlıdır (Oproiu, Papaghiuc, 1990).
Tanım 5.2.1. T M manifoldu üzerinde L : T M → R reel değerli diferensiyellenebilir fonksiyonuna M üzerinde regüler bir Lagrangean denir. Bu fonksiyon
yardımıyla tanımlı olan
gik (x) =
∂2L
∂y i ∂y k
metriği M manifoldunun tüm x noktaları üzerindeki tanjant vektörler için non
dejeneredir. Bir Lagrange manifoldu (ya da Lagrange uzayı) üzerinde regüler bir
Lagrangean taşıyan diferensiyellenebilir manifolddur (Oproiu, Papaghiuc, 1987).
Teorem 5.2.2. M Lagrange manifoldu üzerindeki bir eğrinin jeodezik bir eğri
olması için gerek ve yeter şart bu eğrinin T M manifoldu üzerindeki doğal yükseltilmişi üzerinde değer alan L fonksiyonunun Euler-Lagrange diferensiyel
denklemlerini sağlamasıdır (Oproiu, Papaghiuc, 1987).
Tanım 5.2.3. M n boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve H,
115
i) H : (x, p) ∈ T ∗ M → H(x, p) ∈ R olacak şekilde π : T ∗ M → M kanonik
∗ M üzerinde
projeksiyonunun sıfır kesitleri üzerinde sürekli ve T ∗ M\{0} = T`
diferensiyellenebilir ve
ii) T ∗ M nin pi değişkenlerine göre Hessianı
gij (x) =
∂ 2H
∂pi ∂pj
M manifoldu üzerinde gij (x) non-dejenere sabit işaretli, (2,0) tipinde simetrik,
kontravaryant tensör alanı ile veriliyorsa H n = (M, H(x, p)) bir Hamilton manifoldu (ya da Hamilton uzayı) olarak adlandırılır (Miron, 2001).
Tanım 5.2.4. L ∈ C ∞ (T M, R) diferensiyellenebilir fonksiyonu için
Leg : T M
→ T ∗M
∂L
(xi , y i ) → (xi , ∂y
i = pi )
olacak şekilde tanımlanan diferensiyellenebilir dönüşüme Legendre dönüşümü denir.
Bu dönüşümün ters dönüşümü H ∈ C ∞ (T M, R) diferensiyellenebilir fonksiyonu
için
Leg−1 : T ∗ M
→ TM
(xi , pi ) → (xi , ∂H
= yi)
∂pi
olacak şekilde tanımlanır (Miron, 2001).
Lagrange ve Hamilton manifoldları, Diferensiyel Geometricilerin olduğu kadar
Mekanik bilim dalı ile uğraşan Mühendislerin ve Fizikçilerin de önemli konularındandır. Bu konuların mekanikdeki kavramlar ile ilişkisi aşağıdaki gibi verilebilir.
Bir mekanik sistemin konfigürasyon uzayı diferensiyellenebilir bir manifold yapısına
sahiptir. Bir Lagrange mekanik sistem M konfigürasyon uzayını tanımlayan bir
manifold ve L M nin tanjant demeti üzerinde tanımlı bir fonksiyon olmak üzere
(M, L) ikilisi ile ve Hamilton mekanik sistem de H M nin kotanjant demeti
116
üzerinde bir fonksiyon olmak üzere (M, H) ikilisi ile verilir. Lagrange mekanik
sistemde hareket eden bir parçacık konfigürasyon uzayı üzerinde bir eğri tanımlar.
Bu eğrinin konum koordinatları, M manifoldunun lokal koordinat fonksiyonlarıdır
ve konum koordinatlarının zamana göre türevsel koordinatları olan hız koordinatları ise eğrinin teğet vektörünün lokal bileşenleridir. Euler-Lagrange diferensiyel
denklemleri M deki bir parçacığın konum koordinatları yönünde parçacığa etkiyen
kuvveti tanımlar. 3 boyutlu uzayda bir parçacığın genelleştirilmiş koordinatları
(X, Y ) olan bir yüzey boyunca hareket ettiği kabul edilsin. Bu parçacığa yüzey
boyunca tesir eden kuvvetler, FX , FY
FX =
∂L
d ∂L
( . )−
dt ∂ X
∂X
;
FY =
∂L
d ∂L
( .)−
dt ∂ Y
∂Y
diferensiyel denklemleri ile tanımlanır. Eğer kuvvet sıfır ise m, parçacığın kütlesi
ve a da parçacığın birim zamandaki hız değişimi olarak tanımlanan ivmesi olmak
üzere kuvvet
F = ma = 0
olduğundan parçacık ivmesiz olarak hareket etmektedir. M de ivmesi sıfır olan
eğriler
jeodezikleri
tanımladığından
parçacık
konum
uzayı
üzerinde
jeodezik bir eğri boyunca hareket etmektedir. Parçacık toplam enerjisi sabit olan
bir sistem (konservatif sistem) içinde hareket ediyorsa L fonksiyonu kinetik ve
potansiyel enerjilerin farkına eşittir. Konservatif sistemlerde ivmesiz bir hareket
boyunca L fonksiyonu sabit kalır. Benzer sonuç kinetik ve potansiyel enerjilerin
toplamlarına eşit olan H için de geçerlidir. H fonksiyonu M deki bir eğrinin
konum ve momentum koordinatlarına bağlı olarak tanımlanır. Momentum koordinatı, L nin hız koordinatına göre kısmi türevlerine eşittir (http//www.mathpages.
com/home/kmath523/kmath523.htm).
Bu bölümde gravitasyon alanlar için bir parçacığın hız koordinatları üzerinde
değer alan ω 1-formunun kovaryant sabiti olduğu gösterilecek.
Bir mekanik sistemde gravitasyon alanlarının L =
1
g (x)y i y j
2 ij
Lagrange
fonksiyonu Legendre dönüşümü yardımıyla gravitasyon alanlarının H = 12 gij (x)pi pj
117
Hamilton fonksiyonuna dönüştürülür. T M manifoldu üzerindeki Euler-Lagrange
diferensiyel denklem sistemine denk olan kanonik Hamilton denklemleri
dxi
= g ij pi
dt
,
∂H
dpi
=− i
dt
∂x
(5.2.1)
ile tanımlıdır (Miron, 2001).
Teorem 5.2.5. M üzerinde gik bileşenlerine sahip g (0,2) tipinde kovaryant tensörü ve gik g kj = δ ji eşitliği sağlanacak şekilde gkj (2,0) tipinde kontravaryant tensörü tanımlansın.
Ayrıca M üzerinde L
=
1
g (x)y i y j
2 ij
bir Lagrange
fonksiyonu ve H = 12 g ij (x)pi pj bir Hamilton fonksiyon olsun. M üzerinde tanımlı
bu fonksiyonlar arasında aşağıdaki bağıntılar vardır.
∂L
∂H
=
−
∂xi
∂xi
,
∂H
∂L
=
g
ij
∂y i
∂pi
İspat: L = 12 gij (x)y i y j eşitliği yardımıyla,
1 ∂gij i j
∂L
=
yy
k
∂x
2 ∂xk
olur. Benzer şekilde H = 12 g ij (x)pi pj eşitliğinden,
∂H
1 ∂gij
=
pi pj
∂xk
2 ∂xk
elde edilir. Legendre dönüşümü yardımıyla
∂L
= pi
∂y i
olduğundan
pi = gij y j
olur. Ayrıca, gih ghj = δ ij ve
,
∂
(gih ghj )
∂xk
y j = g ij pi
= 0 olduğundan
∂ghj
∂g ih
=
−
ghj ghi
∂xk
∂xk
118
(5.2.2)
elde edilir. Elde edilen bu değer (5.2.2) de yerine konulursa
∂L
∂g ih
=
−
ghj y j ghi y i
∂xk
∂xk
ve böylece
∂H
∂L
=
−
∂xi
∂xi
sonucu elde edilir. Ayrıca
∂L
= pi
∂y i
;
∂H
= g ji pi
∂pj
olduğundan
∂H
∂L
=
g
ij
∂y i
∂pj
bulunur. Bu teorem yardımıyla aşağıdaki diferensiyel denklem elde edilir.
d ∂L
∂H
∂L
∂H
Leg d
)+ i =0
( i ) − i = 0 −→ (gij
dt ∂y
∂x
dt
∂pj
∂x
Teorem 5.2.6. M üzerinde herhangi bir eğri γ ve M nin herhangi bir γ(t) noktası
üzerindeki
dγ
dt
teğet vektörü üzerinde değer alan 1-form ω = pi dxi olsun. T ∗ M
üzerinde H(γ(t), gij (γ(t)) dγ(t)
) Hamilton fonksiyonuna bağlı kanonik Hamilton
dt
denklemleri sağlanıyorsa
dγ
dt
teğet vektörü ile birleştirilmiş ω = pi dxi = gij (x) dγ
dxi
dt
1-formu M üzerinde kovaryant sabitidir.
İspat: H Hamilton fonksiyonuna bağlı kanonik Hamilton denklemleri
d
∂H
∂H
(gij
)+ i =0
dt
∂pj
∂x
ile tanımlıdır. Bileşke fonksiyonların diferensiyeli gereğince
dpk
∂
+ k
dt
∂x
gij
∂H
∂pj
119
dxk ∂H
+ i =0
dt
∂x
olur.
dxk
dt
= gka pa eşitliğinin yukardaki denklemde yerine konulmasıyla
dpk
∂
+ k
dt
∂x
gij
∂H
∂pj
gka pa +
∂H
= 0.
∂xi
denklemi elde edilir. Eşitliğin her iki yanı [gka ] matrisinin tersinin gka bileşenleri
ile işleme sokulursa
gka
dpk
+ Gj (x, p) = 0,
dt
(5.2.3)
elde edilir. Burada
∂
∂xk
Gj (x, p) =
gij
∂H
∂pj
pa + gka
∂H
.
∂xi
dir. T ∗ M üzerindeki non lineer koneksiyon
∂ 2H
1
1 ∂gab
= gka j pb ,
Njk = Gaj = gka j
2 ∂x ∂pa
2
∂x
ile tanımlansın. Burada
Gaj =
1 ∂Gj
.
2 ∂pa
olur. Bu eşitlikten yararlanarak
∂Njk
1 ∂g ab
= gka j
∂pb
2
∂x
elde edilir. g ab M manifoldu üzerinde (2,0) tipindeki bir tensörün bileşenleri
olduğundan
∂gab
∂
= j g(dxa , dxa )
j
∂x
∂x
eşitliği vardır. Bu eşitlik yardımıyla
∂Njk
= −Γbjk .
∂pb
elde edilir. Böylece Njk = −Γbjk pb ve Gj (x, p) = −Γbjk pb pa eşitlikleri ve
dpk
− Γbjk pb gka pa = 0.
dt
120
elde edilir. Böylece
dxk
dpk
− Γbjk pb
=0
dt
dt
olup ∇, M manifoldu üzerinde Levi-Civita koneksiyonu olmak üzere
∇ dxk
∂
dt ∂xk
pj dxj = 0
eşitliği elde edilir. Sonuç olarak M üzerindeki γ(t) eğrisinin
dγ(t)
dt
teğet vektörleri
üzerinde değer alan ω 1-formu M üzerinde bir kovaryant sabitidir.
Legendre dönüşümü yardımıyla, T M üzerinde tanımlı yatay ve düşey, baz ve dual
baz vektör alanları ve 1-formların ve gij reel değerli fonksiyonun T ∗ M üzerindeki
diferensiyel geometrik objelere taşınması (Miron, 2001) tarafından aşağıdaki gibi
tanımlandı.
(Leg)∗ : HT M →HT ∗ M
δ
δxi
→
δ
δxi
(Leg −1 )∗ :V ∗ TiM →V ∗ijT ∗ M
,
δy
(Leg−1 )∗ : H ∗ TiM →H ∗ T i∗ M
dx
−1 ∗
(Leg )
:
→
,
dx
0
0 (T M)→
→
gij
0
∗
0 (T M)
gij
→
g δpj
(Leg)∗ :V T M →V T ∗ M
∂
∂y i
→ gij ∂
∂p
(5.2.4)
j
.
Bu tanımlar yardımıyla T M üzerinde tanımlı semi-Riemann metrikler T ∗ M
üzerinde semi-Riemann metriklere dönüştürülür.
Teorem 5.2.7. M manifoldu üzerinde gij bileşenlerine sahip olan g non-dejenere
metrik tensörünün T M manifolduna tam yükseltilmişi olan gC T M üzerinde bir
semi-Riemann metrik olup bu metriğin Legendre dönüşümü yardımıyla T ∗ M deki
karşılığı Levi-Civita koneksiyonunun Riemann genişlemesi olarak adlandırılan C g
semi-Riemann metriğidir.
İspat: T M üzerinde gC = 2gik δy i dxk lokal bileşenleri ile tanımlı olan g C semiRiemann metriğini Legendre dönüşümü yardımıyla (5.2.4) deki eşitlikler kullanılarak
(Leg −1 )∗ :
0
0
∗
2 (T M) →
2 (T M)
→
(Leg −1 )∗ (g C )= C g
g C =gij δyi dxk
121
dönüştürülür. Burada
C
g = 2δpi dxk
(Willmore, 1988) un sözünü ettiği T ∗ M üzerindeki semi-Riemann metriktir.
M, ∇ Levi-Civita koneksiyonuna sahip olan n-boyutlu diferensiyellenebilir bir
manifold ve T ∗ M onun kotanjant demeti olsun. M üzerindeki ∇ Levi-Civita
koneksiyonunun T ∗ M üzerinde bir semi-Riemann metriğe karşılık geldiği aşağıdaki gibi gösterilebilir.
C(0) = P olacak şekilde T ∗ M üzerindeki bir nokta P ve X de P üzerinde C
eğrisine teğet vektör olsun. C(t) π kanonik projeksiyon dönüşümü altında M
deki γ(t) eğrisine izdüşürülsün. C(0) = P noktasından geçen C(t) eğrisi π pro-
jeksiyon dönüşümü altında M deki p = π(P ) noktasından geçen γ(t) eğrisine
tekabül eder. (∇dπ(X) ω(t))t=0 , dπ(X) izdüşürülmüş teğet vektörü altında değer
alan p üzerindeki bir kovektördür. M üzerinde tanımlı bu işlem T (T ∗ M) üzerinde
Q kuadratik diferensiyel formunu tanımlar. Bu tanımlanan kuadratik diferensiyel
form yardımıyla T ∗ M nin P noktası üzerinde
C
C
g 2-lineer formu
g (X, Y ) = Q(X + Y, X + Y ) − Q(X, X) − Q(Y, Y )
(5.2.5)
ile tanımlanır. Buradaki X ve Y T ∗ M manifoldunun P noktası üzerindeki tanjant
vektörlerdir. M nin bir p noktasını içine alan U açık komşuluğu içindeki lokal
koordinat sistemi (xi ), 1 ≤ i ≤ n olsun. O zaman (xi , pj ), π −1 (U ) için lokal
koordinat komşuluğu olur. Buradaki pj
ω = pj dxj .
ile tanımlıdır. T ∗ M içerisinde lokal olarak t → (xi (t), pj (t)) ile ifade edilen eğri M
·
.i
.i
içinde γ:t → (x (t)) eğrisine tekabül eder. Buradaki x (t) =
.i
dxi
dt
dir. P üzerindeki
X vektörü (x (0), pj (0)) lokal bileşenleri ile tanımlı olup dπ(X) projeksiyonu
122
.i
altındaki görüntüsü x (0) dir. O zaman, t = 0 da
.i
∇dπ(X) ω(t) = x (0)(∇i pj (t))dxj
dpj
.i
− Γkij pk x (0) dxj
=
dt
olur. Buradaki Γkij , M manifoldu üzerindeki gij metriğine bağlı Christoffel sembolleridir. Bu kovektörün dπ(X) deki reel değeri
∇dπ(X) ω(t) (dπ(X))
Q(X, X) =
.
.i.j
.j
= −Γkij pk x x + pj x .
olur. Bu elde edilen değerler (5.2.5) de yerine konulursa C g (X, X)
C
g (X, X) = −2Γkij pk dxi dxj + 2dpj dxj (X, X)
olur. Böylece C g nin lokal ifadesi π−1 (U) içindeki (xi , pj ) indirgenmiş koordinatlarına göre
C
g = −2Γkij pk dxi dxj + 2dpj dxj ,
ile ifade edilir. T ∗ M üzerindeki uyarlanmış lokal çatı (dxi , δpi ) olur. Burada
δpi = dpi − pk Γkij dxj ,
olduğundan C g , T ∗ M üzerindeki bu uyarlanmış lokal çatıya göre
C
g = 2δpi dxj
ile ifade edilir. T ∗ M üzerinde tanımlanan bu 2-lineer form aynı zamanda simetrik
ve non dejeneredir. Bu nedenle T ∗ M üzerinde bir semi-Riemann metrik olur
(Willmore, 1988). Ayrıca T ∗ M manifoldu üzerinde tanımlanan bu metriğin yatay
ve düşey baz vektör alanları üzerindeki değeri
C
g(
δ
δ
,
) = 0,
δxi δxj
C
123
g(
∂ ∂
,
)=0
∂pi ∂pj
C
g(
δ
∂
,
) = δ ji ,
i
δx ∂pj
C
g(
∂
δ
, j ) = δ ij
∂pi δx
dir.
Teorem 5.2.8. ∇ T ∗ M üzerindeki Levi-Civita koneksiyonu ve H n gravitasyon
alanlar ile tanımlı bir Hamilton uzayı olsun. T ∗ M üzerinde
C
g semi-Riemann
metriğinin Levi-Civita koneksiyonunun lokal bileşenler cinsinden ifadesi
∇δi ∂j = Γjik ∂k ,
∇δi δ j = −Γkij δ k + Rijk ∂k ,
∇∂i ∂j = 0
∇∂i δ j = 0,
dır. Burada
δi =
δ
∂
, ∂i =
.
i
δx
∂pi
dir.
İspat: T ∗ M manifoldunun uyarlanmış lokal baz vektör alanları için Kozsul formülü yardımıyla Teorem 5.1.5 e benzer olarak elde edilir.
Teorem 5.2.9. (dxi , δpi ), ( δxδ i , ∂p∂ i ) uyarlanmış lokal baz vektör alanlarının dual
baz 1-formları olsun. (dxi , δpi ) nin uyarlanmış lokal baz vektör alanlarına göre
kovaryant türevinin bileşenler cinsinden ifadesi
∇δi dxj = Γjik dxk
∇∂i dxj = 0
;
∇δi δpj = Rijk dxk − Γkij δpk
∇∂i δpj = 0.
;
dir.
İspat: dxj ∈ H ∗ T M olmak üzere
(∇δi dxj )(δ k ) = δ i (dxj (δk )) − dxj (∇δi δ k ) = Γjik ,
(∇δi dxj )(∂k ) = δ i (dxj (∂k )) − dxj (∇δi ∂k ) = 0
124
olduğundan
∇δi dxj = Γjik dxk
dır. Diğerleri de benzer şekilde ispatlanır.
Teorem 5.2.10. H n gravitasyon alanlar ile tanımlı bir Hamilton uzayı, ∇ T ∗ M
üzerindeki C g semi-Riemann metriğine bağlı Levi-Civita koneksiyonu ve K T ∗ M
üzerindeki Riemann eğrilik tensörü olsun. T ∗ M üzerindeki Riemann eğrilik tensörünün lokal bileşenler cinsinden ifadesi
K(δ i , δ j )δ k = Rhij δ h + (∇δi Rjhk − ∇δj Rihk )∂h
K(δ i , δ j )∂k = −Rhij ∂h
∂Rikh
K(δ i , ∂j )δ k = −
∂h
∂pj
K(δ i , ∂j )∂k = K(∂i , ∂j )δk = K(∂i , ∂j )∂k = 0.
dir. Burada
∇δi Rjhk = δi Rjhk + Rlkh Γlij + Rjlh Γlik + Rjkl Γlih
dır.
İspat: Teorem 5.1.6 ya benzer olarak ispatlanır.
Teorem 5.2.11. (T ∗ M, C g ) semi-Riemann manifoldunun flat olması için gerek
ve yeter şart (M, g) semi-Riemann manifoldunun flat olmasıdır.
Teorem 5.2.12. M manifoldu üzerindeki g Riemann ya da semi-Riemann metriğinin
T M manifolduna g V + gC yükseltilmişi olan g F , T M üzerinde bir semi-Riemann
metrik olup bu metriğin Legendre dönüşümü yardımıyla T ∗ M deki karşılığı
F
g = π ∗ (g) + C g de bir semi-Riemann metriktir.
İspat: T ∗ M de uyarlanmış koordinatlar göz önüne alınırsa F g metriğinin bileşenler cinsinden ifadesi
F
g = gij dxi dxj + 2dxi δpj
olur. T ∗ M manifoldu üzerinde tanımlı bir X vektör alanı
T T ∗ M = HT ∗ M ⊕ V T ∗ M
125
yatay ve düşey vektör alanlarının direkt toplamı biçiminde yazılabilir. Yani
X = X H + ωV
olur. Buradaki ω M manifoldu üzerinde g semi-Riemann metriğine göre X ile
birleşen bir kovektör alanıdır. Yani,
ω = Xi dxi ,
Xi = gih X h
lokal bileşenlerine sahiptir. Böylece X, Y ∈ χ(T ∗ M) ve C ∞ (T ∗ M, R), T ∗ M
manifoldu üzerinde C ∞ fonksiyonların halkası olmak üzere
F
g : χ(T ∗ M) × χ(T ∗ M) → C ∞ (T ∗ M, R)
dönüşümü
F
g(X H , Y H ) =
F
F
g(X H , θV ) =F g(ω V , Y H ) = (g(X, Y ))V
g(ω V , θV ) = 0
olacak şekilde tanımlıdır.
F
g dönüşümü 2-lineer, simetrik ve non-dejenere bir
dönüşüm olup T ∗ M manifoldu üzerinde bir semi-Riemann metrik tanımlar.
i) 2-lineerlik: X, Y , Z ∈ χ(T ∗ M) ve ∀α, β ∈ R olmak üzere
F
g(αX + β Y , Z) =
F
g((αX + βY )H + (αω + βθ)V , Z H + η V )
=
F
g((αX + βY )H , Z H ) +F g((αX + βY )H , η V )
+F g((αω + βθ)V , Z H )
= αF g(X, Z) + β F g(Y , Z)
olup F g 2-lineerdir.
ii) Simetriklik: X, Y ∈ χ(T ∗ M) için
F
g(X, Y ) =
F
g(X H , Y H ) +F g(X H , θV ) +F g(ω V , Y H )
126
=
F
g(Y H , X H ) +F g(θV , X H ) +F g(Y H , ωV )
=
F
g(Y , X)
olup F g simetriktir.
iii) Non-dejenerelik: T ∗ M manifoldu üzerinde uyarlanmış koordinatlara göre F g
dönüşümünün karşılık geldiği matris
⎡
⎣
gij δ ij
δ ij 0
⎤
⎦
olup determinantı sıfırdan farklı olduğu için
F
g non-dejeneredir.
Ayrıca M
üzerinde normal koordinatlar kullanılarak (T ∗ M,F g) semi-Riemann manifoldunun
işaret sayıları (n, n) dir.
Teorem 5.2.13. M manifoldu üzerindeki g Riemann ya da semi-Riemann
metriğinin T M manifolduna gC + g H yükseltilmişi olan g K , T M üzerinde bir
semi-Riemann metrik olup bu metriğin Legendre dönüşümü yardımıyla T ∗ M deki
karşılığı K g bir semi-Riemann metriktir.
İspat: T ∗ M de uyarlanmış koordinatlar göz önüne alınırsa K g metriğinin bileşenler cinsinden ifadesi
K
g = 2dxi δpj + gij δpi δpj
olur. Böylece X, Y ∈ χ(T ∗ M) ve C ∞ (T ∗ M, R), T ∗ M manifoldu üzerinde C ∞
fonksiyonların halkası olmak üzere
K
g : χ(T ∗ M) × χ(T ∗ M) → C ∞ (T ∗ M, R)
dönüşümü
K
K
g(ω V , θV ) =
K
g(X H , θV ) =K g(ω V , Y H ) = (g(X, Y ))V
g(X H , Y H ) = 0
olacak şekilde tanımlıdır.
K
g dönüşümü 2-lineer, simetrik ve non-dejenere bir
127
dönüşüm olup T ∗ M manifoldu üzerinde bir semi-Riemann metrik tanımlar.
Ayrıca M üzerinde normal koordinatlar kullanılarak (T ∗ M,K g) semi-Riemann
manifoldunun işaret sayıları (n, n) dir.
M manifoldu üzerinde tanımlı g Riemann ya da semi-Riemann metriğinin bileşenlerine bağlı T ∗ M üzerindeki metrikler ve işaretleri aşağıdaki tablo yardımı ile
görülebilir.
n − boyutlu
2n − boyutlu
T ∗ M manif oldu
M manif oldu
C
g metriği
g
F
g = π ∗ (g) + C g
S
g
K
g
n indeksli
n indeksli
S.R
S.R
ν indeksli Semi
n indeksli
n indeksli
2ν indeksli
n indeksli
Riemann (S.R)
S.R
S.R
S.R
S.R
Riemann (R)
128
R
n indeksli
S.R
6. BİR SEMİ-RİEMANN MANİFOLDUN İKİNCİ MERTEBEDEN
KOTANJANT DEMETİ
Bu bölümde, bir semi-Riemann manifoldun ikinci mertebeden kotanjant
demetinin diferensiyelenebilir manifold yapısı tanımlandı. Daha sonra bu semiRiemann manifold üzerindeki diferensiyel geometrik objelerin ikinci mertebeden
kotanjant demetlere yükseltilmişleri elde edildi.
6.1. T ∗ T ∗ M nin Diferensiyellenebilir Manifold Yapısı
M n-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve Tq∗ M, q ∈ U ⊂ M noktası
üzerinde Tq M tanjant uzayının dual uzayı olan kotanjant uzayı olsun. M nin
tüm q noktaları üzerindeki kotanjant uzaylarının ayrık birleşimi olan
T ∗M =
Tq∗ M
q∈M
ye M nin birinci mertebeden kotanjant demeti denir. T ∗ M nin bir ω noktası
üzerinde π M (ω) = q olacak şekilde πM : T ∗ M → M kanonik projeksiyonu tanımi
lıdır. (U, xi ) 1 ≤ i ≤ n M üzerinde lokal bir harita ise (π−1
M (U), x ◦ π M , pi )
T ∗ M için lokal bir haritadır. Buradaki p1 , ..., pn (U, xi ) lokal haritası ile tanımlı
( ∂x∂ 1 , ..., ∂x∂n ) lokal çatısının (dx1 , ..., dxn ) lokal dual çatısına göre π−1
M (U) daki
bir elemanın vektör uzayı koordinatlarıdır. Bu lokal harita ile tanımlanan T ∗ M
2n-boyutlu diferensiyellenebilir manifold yapısına sahiptir. T ∗ M üzerinde tanımlanan harita π −1 (U) = U ve x1 ◦ π = x1 , ..., xn ◦ π = xn ; xn+1 = p1 , ...., x2n = pn
olmak üzere (U , xA ) 1 ≤ A ≤ 2n ile gösterilebilir (Yano, Ishıhara, 1973).
T ∗ M 2n-boyutlu diferensiyellenebilir manifold ve Tω∗ T ∗ M, ω ∈ T ∗ M noktası
üzerinde Tω T ∗ M tanjant uzayının dual uzayı olan kotanjant uzayı olsun. T ∗ M
nin tüm ω noktaları üzerindeki kotanjant uzaylarının ayrık birleşimi olan
T ∗T ∗M =
Tω∗ T ∗ M
ω∈T ∗ M
129
T ∗ T ∗ M ye T ∗ M manifoldunun kotanjant demeti denir. T ∗ T ∗ M nin herhangi
bir Θ noktası üzerinde π T ∗ M (Θ) = ω olacak şekilde π T ∗ M : T ∗ T ∗ M → T ∗ M
2n
kanonik projeksiyonu tanımlıdır. π−1
direkt çarpımına
T ∗ M (U ) açık kümesi U ×R
diffeomorfiktir. R2n , R reel sayılar cismi üzerinde 2n-boyutlu vektör uzayıdır.
Θ ∈ Tω∗ T ∗ M noktası (ω, Θ) sıralı ikilisi ile temsil edilir. Bir Θ ∈ R2n kovektörü
Tω∗ T ∗ M üzerinde dxA lokal dual çatısına göre (ΘA ); A = 1, ..., 2n bileşenleri ile
verilir.
(U , xA )
T ∗M
manifoldu
üzerinde
lokal
bir
harita
ise
A
∗ ∗
(π −1
T ∗ M (U ), x ◦ π T ∗ M , ΘA ) T T M için lokal bir haritadır. Buradaki Θ1 , ..., Θ2n
(U , xA ) lokal haritası ile tanımlı ( ∂x∂A ) lokal çatısının (dxA ) lokal dual çatısına
A
göre π −1
T ∗ M (U ) deki bir elemanın vektör uzayı koordinatlarıdır. (x , ΘA ) koor-
dinatlarına U üzerindeki (xA ) koordinatlarından indirgenmiş koordinatlar ya da
kısaca indirgenmiş koordinatlar denir. Eğer {U , xA } T ∗ M üzerinde ω = π∗T ∗ M (Θ)
noktasını içine alan diğer bir koordinat komşuluğu ise (π ∗T ∗ M )−1 (U ) üzerinde
Θ nın indirgenmiş koordinatları (xA , ΘA ) ile verilir. Koordinatlar arası geçiş
dönüşümü
xA = xA (x1 , ..., xn , p1 , ..., pn )
∂xB
ΘB
ΘA =
∂xA
(6.1.1)
olur. xA = xA (x1 , ..., xn , p1 , ..., pn ) C ∞ sınıftan diferensiyellenebilir fonksiyonlardır. xA = ΘA ve xA = ΘA ; A = 1, ..., 2n konulursa (6.1.1) deki denklemler,
xα = xα (xA ); α = 1, ..., 4n; A = 1, ..., 2n
(6.1.2)
şeklinde gösterilebilir. Bu denklemlerin jakobiyen matrisi
α
(
⎛
∂x
)=⎝
∂xβ
∂xA
∂xB
∂xC
∂ 2 xA
∂xB ∂xC ∂xB
0
∂xB
∂xA
⎞
⎠
(6.1.3)
dir. Bu koordinat dönüşümünün tersi
xA = xA (xA )
130
(6.1.4)
∂xB
ΘB
∂xA
ΘA =
ya da
xα = xα (xA ); α = 1, ..., 4n; A = 1, ..., 2n
(6.1.5)
şeklinde tanımlıdır. Bu denklemlerin jakobiyen matrisi
⎛
α
(
∂x
)=⎝
∂xβ
∂xA
∂xB
0
∂xC ∂ 2 xA
∂xB ∂xC ∂xB
∂xB
∂xA
⎞
⎠
(6.1.6)
olup (6.1.3) deki matrisin tersidir. Böylece T ∗ T ∗ M 4n-boyutlu diferensiyellenebilir
manifold yapısına sahiptir.
M n-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold olmak üzere
T ∗T ∗M =
Tq∗ M
∀ω∈T ∗ M
∀q∈M
ω
kümesi M manifoldu üzerinde ikinci mertebeden kotanjant demet olarak adlandırılır.
π
=
πM ◦ πT ∗M
T ∗T ∗M
:
→
M kanonik projeksiyonu
π(Θ) = π M ◦ π T ∗ M (Θ) = q olacak şekilde tanımlıdır. {U, xi }, M manifoldu
için lokal bir harita ise {π −1 (U), xi , pi , Θi , Φi }, T ∗ T ∗ M için lokal bir haritadır.
Burada
xi = xi ◦ π M ◦ π T ∗ M
pi = pi ◦ πT ∗ M
δ
Θi = Θ( i ) ,
δx
∂
) ,
Φi = Θ(
∂pi
şeklinde tanımlansın.
{
δ ∂
,
} = SpanTω∗ T ∗ M
δxi ∂pi
1≤i≤n
{U, xi } lokal koordinat sisteminden indirgenmiş
{π −1 (U), xi , pi , Θi , Φi } lokal koordinat sistemi 4n-boyutlu diferensiyellenebilir
manifold yapısına sahiptir.
Eğer q
∈
M, noktası üzerinde farklı iki
koordinat sistemi {U, xi } ve {U, xi } ise π −1 (q) ∈ T ∗ T ∗ M noktası üzerinde farklı
131
iki koordinat sistemi {π −1 (U), xi , pi , Θi , Φi } ve {π −1 (U ), xi , pi , Θi , Φi } olur. Bu
koordinat sistemleri arası geçiş denklemleri
xα = xα (x1 , ..., xn , p1 , ..., pn ); α = 1, ..., 4n
şeklinde tanımlanmıştı.
A
⎛
∂x
=⎝
∂xB
∂xi
∂xj
∂xh
∂ 2 xi
∂xj ∂xh ∂xj
0
∂xj
∂xi
⎞
⎠,
olmak üzere bu dönüşümün jakobiyen matrisi
α
(
⎛
∂x
)=⎝
∂xβ
∂xA
∂xB
∂xC
∂ 2 xA
∂xB ∂xC ∂xB
0
∂xB
∂xA
⎞
⎠
eşitliğini sağlayacak şekilde tanımlıdır. Yukarıdaki denklemde Θi ve Φi koordinat
fonksiyonları ile M nin diferensiyel geometrik objeleri arasında aşağıdaki bağıntılar vardır.
g, M manifoldu üzerinde gik bileşenlerine sahip bir semi-Riemann metrik, g,
gik g kj = δ ji eşitliği sağlanacak şekilde g kj bileşenlerine sahip (2, 0) tipinde
kontravaryant bir tensör, gS , T ∗ M de Sasaki semi-Riemann metrik, X ∈
1
0 (M),
X ∗ , M deki g semi-Riemann metriği ile birleştirilmiş bir kovektör alanı, Θ da
T ∗ M üzerinde bileşenleri T ∗ T ∗ M nin koordinat fonksiyonları olan bir kovektör
alanı olmak üzere
Θ(
∂
∂
) = g S (Θ∗ ,
) = (g(X ∗ , dxi ))V V
∂pj
∂pi
;
Θ∗ = gjk Φk
∂
∂pj
eşitliği yardımıyla
Φi = (X i )V V
ve
Θ(
δ
δω j V V
δ
S ∗
VV
)
=
g
(
Θ,
)
=
(∇
ω
)
=
(
)
i
j
δxj
δxj
δxi
132
,
∗
Θ = gjk Θk
δ
δxj
eşitliği yardımıyla
Θi = (∇i ω j )V V
elde edilir.
∗ ∗
A
π −1
T ∗ M (U ) ⊂ T T M de (x , ΘA ) indirgenmiş koordinatları ile ifade edilen 1-form
−1
A
A
Θ = ΘA dxA olsun. π−1
T ∗ M (U ) ∩ π T ∗ M (U ) üzerinde Θ = ΘA dx = ΘA dx olur.
∗ ∗
U ⊂ T ∗ M üzerinde Θ = ΘA dxA ile ifade edilen 1-form π −1
T ∗ M (U ) ⊂ T T M
üzerinde yine Θ = ΘA dxA ile ifade edildiğinden T ∗ T ∗ M üzerinde global 1-form
tanımlar. Θ 1-formunun dış türevi dΘ, π −1
T ∗ M (U ) üzerinde
dΘ = dΘA ∧ dxA
;
A = 1, ..., 2n
şeklinde verilen 2-formdur. Bu 2-form
dΘ =
1
2
α
αβ dx
∧ dxβ
şeklinde yazılırsa
αβ
olur.
αβ
⎛
α, β = 1, ..., 4n
0 −δ A
B
=⎝
δB
A
0
⎞
⎠
matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğu için
ters matrise sahiptir. Böylece
βγ
αβ
βγ
ile gösterilirse π −1
T ∗ M (U ) üzerinde
βγ
ile gösterilen bir
= δ γα olduğundan
⎛
=⎝
dir. π −1
T ∗ M (U ) üzerinde bileşenleri
−1
;
0
δC
B
−δ B
C
0
⎞
⎠
ile verilen (0, 2) tipindeki bir tensör alanı
αβ
βγ
ile gösterilen (2, 0) tipindeki tensör alanı
ile gösterilir.
Θ, T ∗ M üzerinde bir ω noktasının tanjant uzayının dual uzayı olan ve {dxi , δpi }
lokal dual baz 1-formları tarafından gerilen Tω∗ T ∗ M kotanjant uzayı üzerinde
Θ = Θi dxi + Φi δpi
133
0
1 (M)
lokal gösterimine sahip bir kovektör olsun. ω ∈
zaman T ∗ M manifoldu üzerinde
ω S = −X H + (∇i ω)V = −X j
ve X ∈
1
0 (M)
olsun. O
δ
δω j ∂
+ i
j
δx
δx ∂pj
ile ifade edilen bir vektör alanı elde edilir. Bu vektör alanının uyarlanmış koordinatlar cinsinden ifadesi
(ω B ) =
−X j ,
δω j
δxi
matris gösterimine sahiptir. Elde edilen bu vektör alanı ile birleşen 1-form
ωA = ωB
BA
eşitliği yardımıyla
(ω A ) = (
δω j j
,X )
δxi
şeklinde bulunur. Bu 1-formun uyarlanmış lokal dual baz vektörleri cinsinden
ifadesi
ωS =
δω j j
dx + X j δpj
i
δx
olur. π T ∗ M kanonik projeksiyonu
(π T ∗ M )∗ (dxi ) = dxi
;
(π T ∗ M )∗ (δpi ) = δpi
bağıntıları sağlanacak şekilde tanımlansın. Böylece
(π T ∗ M )∗ (ωS ) = ω S
olup ωS 1-formu T ∗ T ∗ M üzerinde global bir 1-form tanımlar. Burada
δω j
◦ π M ◦ π T ∗ M = Θj
δxi
;
134
X j ◦ π M ◦ π T ∗ M = Φj
olduğundan T ∗ T ∗ M üzerinde tanımlanan global bir 1-form
(πT ∗ M )∗ (ω S ) = ω S = Θj dxj + Φj δpj
lokal gösterimine sahiptir. Bu 1-formun dış türevi dω S T ∗ T ∗ M üzerinde
dω S = dΘj ∧ dxj + dΦj ∧ δpj
ile ifade edilen 2-formdur. Bu 2-formun matris gösterimi indirgenmiş koordinatlarla ifade edilenin aynısıdır. Yani,
αβ
⎛
=⎝
0
δB
A
−δ A
B
0
⎞
⎠
olur.
6.2. T ∗ T ∗ M ye İkinci Mertebeden Yükseltilmişler
Eğer f , T ∗ M üzerinde bir fonksiyon ise bu fonksiyonun T ∗ T ∗ M ye düşey yükseltilmişi
f V = f ◦ πT ∗M
şeklinde tanımlanan bir fonksiyondur. π T ∗ M : T ∗ T ∗ M → T ∗ M, π T ∗ M (Θ) = ω
eşitliği ile tanımlı kanonik projeksiyon olmak üzere
f V (Θ) = (f ◦ π T ∗ M )(Θ) = f (πT ∗ M (Θ)) = f (ω)
olur. f , g ∈
0
∗
0 (T M)
(6.2.1)
olmak üzere
(f g)V = f V gV
eşitlikleri kolayca elde edilebilir. f ∈
,
(f + g)V = f V + gV
0
0 (M)
için eğer f = f V ise
f V V = f V ◦ πT ∗M = f ◦ πM ◦ πT ∗M
135
(6.2.2)
olup f V V ye f ∈
0
0 (M)
nin T ∗ T ∗ M ye ikinci mertebeden düşey yükseltilmişi
denir.
X ∈
1
∗ ∗
0 (T T M)
vektör alanı tüm f ∈
0
∗
0 (T M)
için X f V = 0 olacak şekilde
tanımlı olsun. Tanımlanan bu X vektör alanına T ∗ T ∗ M içindeki düşey vektör
alanı denir. X nın düşey vektör alanı olması için gerek ve yeter şart
⎛
(X α ) = ⎜
⎝
X
⎞
0 ⎟
A
α = 1, ..., 4n; A, A = 1, ..., 2n
⎠
(6.2.3)
şeklinde bileşenlere sahip olmasıdır. Yani, (π T ∗ M )−1 (U ) deki (xA , xA ) = (xA , ΘA )
indirgenmiş koordinatlarına göre X A = 0 olmalıdır.
ω ∈
0
∗
1 (T M),
(xA , ΘA ) indirgenmiş koordinatlarına göre lokal gösterimi
ω = ω A dxA olan bir 1-form olsun. π T ∗ M : T ∗ T ∗ M → T ∗ M projeksiyonunun
diferensiyelinin dual dönüşümü (πT ∗ M )∗ olmak üzere T ∗ T ∗ M içinde (π T ∗ M )∗ (ω)
1-formu elde edilir. Bu 1-formun indirgenmiş koordinatlara göre lokal ifadesi
(π T ∗ M )∗ (ω) = ωA dxA olur. Ayrıca bu 1-form (π T ∗ M )∗ (ω) = ω α dxα 1 ≤ α ≤ 4n
şeklinde de yazılabilir.
αβ
ile kontraksiyona uğratılırsa, bileşenleri
ωβ = ωα
αβ
olan bir vektör alanı elde edilir. Bu vektör alanına T ∗ M içindeki ω 1-formunun
düşey yükseltilmişi denir ve ω V ile gösterilir. ωV nin T ∗ T ∗ M içindeki indirgenmiş
koordinatlara göre matris gösterimi
⎛
ω β = (ωB , 0) ⎜
⎝
0
−δ B
C
şeklinde tanımlıdır.
136
⎞
⎛
⎞
δC
B ⎟
⎜ 0 ⎟
⎠=⎝
⎠
0
ωB
(6.2.4)
Teorem 6.2.1. Her U ⊂ T ∗ M içindeki dxA lokal dual baz çatısı için (π T ∗ M )−1 (U )
içindeki (xA , ΘA ) indirgenmiş koordinatlarına göre
(dxA )V =
∂
∂ΘA
(6.2.5)
dır.
İspat: Teoremin doğruluğu (6.2.3) ve (6.2.4) deki eşitliklerin kullanılmasıyla
doğrudan görülebilir.
M manifoldu içinde ω = ωi dxi ile ifade edilen 1-form ve X = X i ∂x∂ i ile ifade
edilen vektör alanı olmak üzere
ωS = (
δωj V j
) dx + (X j )V δpj
δxi
lokal gösterimine sahip ωS T ∗ M de 1-formdur. Bu 1-form (πT ∗ M )∗ dönüşümü
yardımıyla T ∗ T ∗ M de
δωj V V j
) dx + (X j )V V δpj
δxi
= Θj dxj + Φj δpj
(π T ∗ M )∗ (ω S ) = (
ω α dxα
bileşenlerine sahip 1-form olur.
αβ
ile kontraksiyona uğratılırsa
ωβ = ωα
αβ
eşitliğini sağlayacak şekilde
⎛
ωβ =
⎜
⎜
⎜
⎜
j
(Θj , Φ , 0, 0) ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0 δ ji
0
0
−δ ji
⎞
⎛
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=⎜
⎜
⎟
⎟
Θi ⎟
⎟
⎠
0 ⎟
⎟
0 δ ij ⎟
⎟
0
0
0
0 −δ ij
0
0
⎜ 0 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 ⎟
⎜
⎜
⎝
Φi
bulunur. Böylece T ∗ M yi geren (dxi , δpi ) dual baz vektörlerinin düşey yük-
137
seltilmişi
(dxi )V =
∂
∂Θi
;
(δpi )V =
∂
∂Φi
(6.2.6)
elde edilir.
Eğer X
1
∗
0 (T M),
∈
T ∗M
üzerindeki uyarlanmış lokal çatıya göre
X = X i δxδ i + X i ∂p∂ i lokal gösterimine sahip olan bir vektör alanı ise ι,
1
∗
0 (T M)
ι:
δ
δxi
→
0
∗ ∗
0 (T T M)
→ ι( δxδ i ) = Θi
∂
∂pi
→ ι( ∂p∂ i ) = Φi
inclusion dönüşümü yardımıyla ι(X) = X i Θi + X i Φi bileşenleri ile ifade edilen
T ∗ T ∗ M içinde bir fonksiyon elde edilir.
T ∗ M deki ωV vektör alanının T ∗ T ∗ M ye tam yükseltilmişi aşağıdaki yol izlenerek
bulunur.
Önce
T ∗T ∗M
ι(ω V )
deki
fonksiyonu
elde
edilir.
Bu
fonksiyonun dış türevi alınarak dι(ω V ) 1-formu bulunur. Bulunan bu 1-form
αβ
yardımıyla bir vektör alanına dönüştürülür. Elde edilen vektör alanına ω V
vektör alanının T ∗ T ∗ M ye tam yükseltilmişi denir.
ι(ω V ) = ι((ω i )V
dι(ω V ) =
∂
) = (ω i )V V Φi
∂pi
∂
{(ω i )V V }Φi dxj + (ω j )V V dΦj
∂xj
ωV C =
∂
{(ωi )V V }Φi
∂xj
⎛
ωV C =
0
⎜
⎜
⎜
(ωi )V V
⎜
⎜
⎜ ∂
VV
i
⎜
⎜ ∂xj {(ω i ) }Φ
⎝
0
0 0 (ω j )V V
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
0
0 δ ji
0
0
−δji
0
0
0
0 −δij
0
0
0 ⎟
⎟
0 δ ij ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(6.2.7)
138
Benzer şekilde
ι(X H ) = ι((X i )V
dι(X H ) =
∂
{(X i )V V }Θi dxj + (X j )V V dΘj
∂xj
X HC =
∂
{(X i )V V }Θi
∂xj
⎛
X HC =
δ
) = (X i )V V Θi
i
δx
0 (X j )V V
⎞
−(X i )V V ⎟
⎟
0 ⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ∂
i VV
⎜
⎜ ∂xj {(X ) }Θi
⎝
0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
δ ji
0
0
0 ⎟
⎟
0 δij ⎟
⎟
0
0
−δ ji
0
0
0 −δ ij
0
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
0
⎠
(6.2.8)
Ayrıca
δ
∂
− ph (∇i X h )V
) = (X i )V V Θi − (∇i X h )V V ph Φi
i
δx
∂pi
∂X i
∂∇i X h
dι(X C ) = ( j )V V Θi dxj + (X j )V V dΘj −
ph Φi dxj + (∇i X j )V V dpj +
∂x
∂xj
+(∇j X h )V V ph dΦj
ι(X C ) = ι((X i )V
⎛
X CC =
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
i
( ∂X
)V V Θi
∂xj
−
−(X i )V V ⎟
⎟
−(∇i X h )V V ph ⎟
⎟
h
( ∂∇∂xi Xj )V V ph Φi
(∇i X j )V V
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(6.2.9)
olur.
T ∗ T ∗ M manifoldu üzerindeki semi-Riemann metriklerin diferensiyel geometrisi
ve M manifoldu üzerindeki tensör alanlarının T ∗ T ∗ M ye ikinci mertebeden yükseltilmişleri açık çalışma konularıdır.
139
7. KAYNAKLAR
Akbulut, S., Özdemir, M., Salimov, A.A.,2001. Diagonal lift in the
cotangent bundle and its applications, Turk. J. Math.
25, No.4, 491-502.
Ayhan, İ., 1997. Derivasyonlar ve tensör alanlarının ikinci
mertebeden yükseltilmişleri, P.Ü.F.B.E., Yüksek Lisans
Tezi.
Ayhan, İ., Çöken A. C., Civelek Ş., 2005. Tanjant demet üzerindeki
horizontal liftler, III. Geometri Sempozyumu, Osmangazi
Üni., Eskişehir.
Bejancu, Aurel., 1999. Farran, Hani Reda, On the vertical bundle of
a pseudo-Finsler manifold, Int. J. Math. Math. Sci. 22,
No.3, 637-642.
Civelek, Ş.,1988. İkinci mertebeden genişletilmiş manifoldlar
Üzerinde Lift’ler,G.Ü.F.B.E.,Yüksek Lisans Tezi,
Dombrowski, P., 1962. On the geometry of the tangent bundle,
J. Reine Angew. Math., 210, 73-88.
Duggal, Krishan L., Bejancu, Aurel, 1996. Lightlike submanifolds of
semi-Riemannian manifolds and applications, Dordrecht, 364,
Kluwer Academic Publishers.
Kobayashi, S., Nomizu, K.,1963. Foundations of Differential Geometry,
Vol. I, Interscience Publishers.
Kobayashi, S., Nomizu, K.,1969. Foundations of Differential Geometry,
Vol. II, Interscience Publishers.
Miron, R., Watanabe, S., Ikeda, S.,1986. Cotangent bundle
geometry, Mem. Sect. Stiint., Ser. IV 9, No.1, 25-46.
140
Miron, R., Hrimiuc, D., Shimada, H., Sabau, Sorin V.,
2001. The geometry of Hamilton and Lagrange spaces, Dordrecht,
Kluwer Academic Publishers.
O’Neill, B.,1983. Semi-Riemannian Geometry with Applications to
relativity, Academic Press. Inc.
Oproiu, V.,1987. A pseudo-Riemannian structure in lagrange geometry,
An. St. Univ. Al I.Cuza Iaşi, 33, 239-254.
Oproiu, V., Papaghiuc, N.,1990. A pseudo-Riemannian structure on the
cotangent bundle, An. Stiint. Univ. Al. I. Cuza Iasi, Ser. Noua, Mat.
36, No.3, 265-276.
Oproiu, V., Papaghiuc, N., 1998. On the geometry of tangent bundle of
a (pseudo-) Riemannian manifold, An. Stint. Al. I. Cuza Iasi, Noua,
Mat. 44, No.1, 67-83.
Sasaki, S., 1958. On the differential geometry of tangent bundles of
Riemannian manifolds, Tôhoku Math. J., II. Ser. 10, 338-354.
Tani, M., 1969. Prolongations of hypersurfaces to tangent bundles, Kodai
Math., Semin. Rep.,21, XK, 85-96.
Willmore, T., 1988. Riemann extensions and affine differential geometry,
Result. Math. 13, No.3/4, 403-408.
Yano, K., Kon, M., 1981. Structures on Manifolds, World Scientific Publishing,
Singapore.
Yano, K., Ishihara,S., 1973. Tangent and Cotangent Bundles, Marcel Decker.
Inc.
141
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: İsmet AYHAN
Doğum yeri
: DENİZLİ
Doğum Yılı
: 1972
Medeni Hali
: Evli, 2 çocuk
Eğitim ve Akademik Durumu :
Lise
1986-1989 Denizli Cumhuriyet Lisesi
Lisans
1989-1993 Selçuk Üniversitesi
Yüksek Lisans
1994-1997 Pamukkale Üniversitesi
Yabancı Dil :
İngilizce
İş Deneyimi :
1994-1998 Milli Eğitim kurumlarında öğretmenlik
1998-...
Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi Fen Bilgisi
Öğretmenliği A.B.D. Öğr.Gör.
142