ankara üniversitesi fen bilimleri enstitüsü yüksek lisans tezi

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
KÜTLEÇEKİM TEORİSİNDE DİFERENSİYEL GEOMETRİ YÖNTEMLERİ
ERDAL ÇATAK
FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI
ANKARA
2006
Prof. Dr. Zekeriya AYDIN danışmanlığında, Erdal ÇATAK tarafından hazırlanan “
Kütleçekim Teorisinde Diferansiyel Geometri Yöntemleri” adlı tez çalışması
02/10/2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği ile Ankara Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ
olarak kabul edilmiştir.
Başkan: Prof. Dr. Zekeriya AYDIN
Ankara Üniversitesi Fizik Mühendisliği A.B.D.
Üye
: Prof. Dr. Metin ÖNDER
Hacettepe Üniversitesi Fizik Mühendisliği A.B.D.
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Refik TURAN
Ankara Üniversitesi Fizik Mühendisliği A.B.D.
Yukarıdaki sonucu onaylarım
Prof. Dr. Ülkü MEHMETOĞLU
Enstitü Müdürü
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
KÜTLEÇEKİM TEORİSİNDE DİFERENSİYEL GEOMETRİ YÖNTEMLERİ
Erdal ÇATAK
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Z. Zekeriya AYDIN
Newtonian olmayan kütleçekim teorisi uzayın eğriliğini madde alanlarının enerjimomentum formlarına bağlar, dolayısıyla uzay yapısı ve madde ilişkisinin
anlaşılabilmesi için diferensiyel geometriye başvurulmalıdır. Bu ilişkiyi anlayabilmek
için birinci bölümde temel geometrik tanımlar verildi. İkinci bölümde manifoldlar (çok
katlılar) üzerinde differensiyellenebilme, türev işlemcileri, dönüşümler ve integral
hesapları ele alındı. Üçüncü bölümde uzayın eğriliği ve kovaryant türev arasındaki
ilişkiler çıkarıldı. Bunlara bağlı olarak Bianchi özdeşlikleri ve eğrilik formları çıkarıldı
ve geodezik vektör alanları ve Killing vektör alanları incelendi. Dördüncü bölümde
Lagrangian formülasyonu kurulularak, elektromanyetik alan denklemleri ve Einstein
alan denklemleri çıkarıldı. Einstein alan denklemlerinin farklı formları çıkarıldı. Beşinci
bölümde maksimal simetrik uzayların genel özellikleri ve metrik yapıları çıkarıldı.
2006, 193 sayfa
Anahtar Kelimeler: Kütleçekim, Kovaryant Türev, Eğri Uzaylar, Einstein Alan
Denklemleri
i
ABSTRACT
Master Thesis
DIFFERENTIAL GEOMETRIC METHODS IN GRAVITATION
Erdal ÇATAK
Ankara University
Graduate School of Naturel and Applied Sciences
Department of Physics Engineer
Supervisor: Prof. Dr. Z. Zekeriya AYDIN
Nonnewtonian theory of gravitation relates the curvature of space to the energymomentum of matter fields. Therefore, in order to able to understand the space structure
and its relation to matter, one has to use differential geometric methods. In this thesis,at
first, fundamental geometric definations are given. Then the notions of differentiation
on the manifolds, derivative operators, transformations and integral calculus are
introduced. Relations between the curvature of space and covariant derivative are
derived. After the derivation of Bianchi identities and curvature forms, geodesic vector
fields and Killing vector fields are studied. Finally, within the framework of Lagrangian
formulation electromagnetic field equations and Einstein field equations are derived.
Also, different forms of Einstein field equations are derived. In last section of the thesis
general properties of maximal symmetric spaces and metrics are discussed.
2006, 193 pages.
Key Words: Gravitation, Covariant Derivative, Curvature, Curved Spaces, Einstein
Field Equations.
ii
TEŞEKKÜR
Bu çalışmada birlikte çalıştığımız ve çalışmanın her safhasında yakın ilgi ve önerileri ile
beni yönlendiren danışman hocam sayın Prof. Dr. Z. Zekeriya AYDIN'a ve bana verdiği
destek ve önerilerinden dolayı sayın Prof. Dr. Abdullah VERÇİN'e teşekkür ederim.
Ayrıca daima benimle olan ve tezi yazarken verdikleri manevi ve teknik destekleri için
sevgili arkadaşlarım Zafer KARAOĞLAN ve Deniz AGPUNAR'a ve biricik arkadaşım
Elif Dürbin’e teşekkürlerimi sunarım. Eğitim ve öğretim hayatım boyunca bana destek
olan aileme minnettarım.
Erdal ÇATAK
Ankara, Ekiml 2006
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET.................................................................................................................................i
ABSTRACT.....................................................................................................................ii
TEŞEKKÜR................................................................................................................... iii
SİMGELER DİZİNİ.......................................................................................................v
ŞEKİLLER DİZİNİ......................................................................................................vii
ÇİZELGELER DİZİNİ……………………………………………………………...viii
1. GİRİŞ............................................................................................................................1
2. MATEMATİKSEL HAZIRLIK................................................................................4
2.1 Manifold Kavramı ve Differansiyellenebilme.........................................................4
2.2 Tanjant Vektörleri ve Uzayları..............................................................................10
2.3 Tanjant Demeti ve Vektör Alanı............................................................................16
2.4 Doğal Baz..................................................................................................................22
2.5 Akışlar.......................................................................................................................23
2.6 Tensörler...................................................................................................................33
2.7 Kovektörlerin Dönüşümü.......................................................................................55
3. TÜREVLER, LIE TÜREVİ VE İNTEGRALLER................................................62
3.1 Dış Difarensiyel........................................................................................................62
3.2 Lie Türevi.................................................................................................................69
3.3 Vektör Alanlarının İntegrallenebilirliği................................................................79
3.4 İntegraller.................................................................................................................83
3.4.1 Teorem: Stokes Teoremi......................................................................................86
3.4.2 Poincaré Yineleme (Recurrence) Teoremi.........................................................92
3.4.3 Schwarzchild Yakalama Teoremi.......................................................................93
3.5 Kodiferensiyel..........................................................................................................95
3.6 Afin Bağlantılar.......................................................................................................98
4. UZAYIN EĞRİLİĞİ VE KOVARYANT TÜREVLER......................................102
4.1 Kesitler ve Lif Metrik............................................................................................102
4.2 Kovaryant Türev...................................................................................................104
4.3 Afin Bağlantılar ve Türev İşlemcilerinin Sıra Değişme Bağıntıları..................122
4.4 Geodezik Vektör Alanları ve Killing Vektör Alanları.......................................131
5. GRAVİTASYON VE EİNSTEİN ALAN DENKLEMLERİ...............................136
5.1 Lagrangian Formülasyonu...................................................................................136
5.2 Euler-Lagrange Denklemlerinin Türetilmesi ve Einstein
Alan Denklemleri………………………………………………………………..154
5.3 Lineer Yaklaşım ve Büzülmüş Bianchi Özdeşliği...............................................167
6. SİMETRİK UZAYLAR..........................................................................................173
6.1 Maksimal Simetrik Uzaylar...................................................................................173
6.2 İzotropik Uzayların Eğrilik Formları ve Yapısı.................................................177
6.3 Altı Killing Vektör Alanlı Uzaylar.......................................................................185
7. SONUÇ.....................................................................................................................191
KAYNAKLAR.............................................................................................................192
ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………………………….193
iv
SİMGELER DİZİNİ
(V , Φ)
Cp
C0p
∂M
ΘC ( q )
p-kere türevlenebilir fonksiyonların cümlesi
Kompakt destekli C p -fonksiyonlar
M , manifoldunun sınırı
Tanjant gönderimi
Tq ( M )
q noktasında tanjant uzayı
Tq ( f )
q noktasında f ’nin türevi
T (M )
Π
T( f )
Tanjant demeti
Harita
Bir baz üzerine izdüşüm
f : M 1 → M 2 gönderiminin türevi
T 01 ( M )
Vektör alanları cümlesi
LX
Lie türevi
∂i
Tanjant uzayı üzerinde doğal baz
Φ
X
t
τ tX
Akış
W
L
H
Tq* ( M )
Akışın otomorfizimi
Eylem
Lagrangian
Hamiltonian
Kotanjant uzayı
ei*
df
Dual baz
Bir fonksiyonun türevi
T qsr ( M )
Tensör uzayı
Skaler çarpım
⊗
∧
iX , iυ
ε
*1
Tensör çarpım
Kama (dış) çarpım
İç çarpım
Hacim m-formu
Hacim m-formu
*
Tsr ( M )
g
Yıldız gönderimi (Hodge dualite gönderimi)
Tensör demeti
Ts ( M )
Tensör alanları cümlesi
Λp
p-form
Ep ( M )
p-form
r
π
×
Metrik (pseudo-Riemannian metrik)
Lif çarpım
v
Φ*
d
[,]
Pull-back gönderimi (kovartant tensörlerin ters gör
Dış türev
Lie parantezi
ηαβ
Minkowsi uzayı metriği
i i ...i p
e12
δ
Δ
Lυ
ωki
S
Sp
D
DX
Lυ
Ω
R
Γijk
p-form bazı
Kodiferensiyel
Laplace-Beltrami işlemcisi
Lie türevi
Afin bağlantı
Süper potansiyel
Kesit
Dış kovaryant türev
Kovaryant türev
Kovaryant Lie türevi
Eğrilik formu
Uzay-zaman üzerinde eğrilik formu
Christoffel sembolleri
Rijkm
Riemann-Christoffel tensörü
C jk
Weyl formları
L
A
F
Λ
J
T αβ
Tα
tα
tα
K
Lagrangian
Vektör potansiyel
Elektromanyetik 2-form
Ayar fonksiyonu
Akım 3-formu
Enerji-momentum tensörü
Alanın enerji-momentum tensörü
Maddenin enerji-momentum tensörü
Akımların Landau-Lİfshitz formu
Eğrilik parametresi
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1 Haritaların uyumluluğu......................................................................................5
Şekil 2.2 Manifoldlar üzerinde bir gönderimin diferensiyellenebilmesi...........................7
Şekil 2.3 \ n+ ’nın diferensiyellenebilir gönderimi.............................................................8
Şekil 2.4 Sınırlı manifold...................................................................................................9
ΘC ( q )
birebir
eşlemesinin
Şekil
2.5
eylemi...................................................................11
Şekil
2.6
Tq ( f )
gönderimi..............................................................................................14
Şekil 2.7 Aradeğer vektör alanı X .................................................................................29
Şekil 2.8 Bölgelerin ilişkisi.............................................................................................31
Şekil 3.1 Lie türevi..........................................................................................................70
Şekil 3.2 M manifoldu ve sınırı.....................................................................................89
Şekil 4.1 Kovaryant türevin geometrik anlatımı...........................................................110
Şekil 4.2 Dυ işlemcisinin geometrik anlatımı...............................................................111
vii
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 3.1 Diferansiyel ve integral için önemli formüller………………………….…95
Çizelge 3.2 Maxwell denklemlerinin evrimi………………………………………….101
viii
1. GİRİŞ
Mekaniğin nokta parçacıklarla ilgili olan kısmının temelleri Newton tarafından Doğa
Felsefesinin Matematiksel İlkeleri adlı eserinde atıldı. Newton mutlak uzay varsayımını
eylemsizlik direncinin ve merkezkaç kuvvetlerin varsayımına dayandırmıştı. Gözlemin
erişebildiği kadarıyla bunların bütün evrende, kütlenin yerel dağılımından bağımsız,
aynı biçimde gerçekleştikleri için cisimler arasındaki etkileşimlere bağlı olmaları
gerekir. Bu nedenle Newton, onların mutlak ivmelere dayandıkları sonucuna vardı.
Mutlak uzay bu nedenle fiziksel fenomenlerin yakıştırma nedeni olarak tanıtıldı.
Merkezkaç kuvvetlerin nedeni uzak kütlelerin bütünlüğüdür düşüncesi ilk kez Ernst
Mach tarafından dile getirilmiştir. Bununla çelişen hiçbir deney yoktur, çünkü gök
cisimlerinin, kendisine göre göreli olarak döndükleri başvuru (referans) sistemi öyle
seçilmiştir ki bir bütün olarak yıldızlar sistemine göre hareketsizdir; daha doğrusu,
başvuru sistemine göre sabit yıldızların görünürdeki hareketleri tümüyle düzensizdir ve
yeğlenen doğrular yoktur. Buna göre mekanik yasalarının (genel olarak fiziğin) yalnızca
göreli konumları ve hareketli cisimleri içermesi istenir. Başvuru sistemleri, Einstein'nın
özel görelilik kuramı ve Newton mekaniğinin eylemsiz sistemleriyle apriori olarak
yeğlenmiş olmamalıdır, aksi takdirde fizik yasaları içine yalnız cisimlerin göreli
hareketleri değil bu yeğlenmiş başvuru sistemlerine göre mutlak ivmeler de girer.
Böylece, doğru fizik yasalarının gelişigüzel hareket eden başvuru sistemlerinde
kesinlikle aynı biçimde geçerli olduğu postülatına varılır.
Minkowski evreninde hareketler dünya çizgileri olarak gösterilir. Bu dört boyutlu
geometrinin çatısı, ışık ışınlarının ya da hiçbir kuvvetin etkisi olmadan hareket eden
eylemsiz kütlelerin yörüngeleri tarafından çatılmıştır. Bu dünya çizgileri eylemsiz
sistemlere göre doğrudurlar, fakat genel görelilik kuramı açısından bakılırsa, ivmeli
sistemler eşdeğerdirler ve onlarda daha önce doru olan dünya çizgileri şimdi eğridir.
Bunların yerinde şimdi başka dünya çizgileri doğru olurlar ve dahası bu değişme
uzaydaki yörüngeler için de doğrudur. Bu, Euclides geometrisinin bütün yapısını
sarsıyor; çünkü o, temelde doğru çizgilerin belirlediği, klasik eylemsizlik yasasına
dayanır.
1
Doğru, düzlem ve benzeri geometrik öğelerin tanımı için yalnız katı ölçüm çubukları
kullanmakla bu güçlüğün giderilebileceği düşünülebilir, fakat bu mümkün değildir.
Uygun biçimde seçilmiş bir S başvuru sistemine göre, belli bir zaman aralığında
çekimsel alanın var olmadığı bir uzay-zaman bölgesi ve bu bölgede sabit bir dönme
hızıyla dönen bir cisim var olsun. Örneğin kendi düzlemine dik bir eksen etrafında
dönen dairesel bir düzlemsel disk var olsun. S ve diskle birleştirilmiş bir S′ gözlem
çerçevesinde tamamen aynı iki katı çubuğa sahip birer gözlemci bulunsun. Şimdi içinde
hareketin tekdüze sayılabileceği bir uzay-zaman bölümüyle kısıtlanmak koşuluyla özel
görelilik ilkesi geçerli olsun. Bunu olanaklı kılmak için birim çubuğun diskin yarıçapı
ile karşılaştırıldığında küçük olduğu varsayılır. S′’ündeki gözlemci çubuğunu diskin
yarıçapı doğrultusunda uygularsa, çubuğun hareketi boyuna dik olduğundan, S’deki
gözlemci S’ye göre hareketli çubuğun boyunun aynı kaldığını düşünecek. S′’ündeki
gözlemci, çubuğu diskin çevresine uygularsa, o zaman, özel görelilik kuramına göre, o,
S’deki gözlemciye kısalmış görünecek.
Buna göre S’deki gözlemci, daire çevresinin çapa oranının π sayısından daha büyük
olduğunu ileri sürebilir. Böylece Euclides geometrisi ile ters düşmüş olur.
Zaman ölçümleri içinde buna benzer sonuç elde edilebilir. S sisteminde hareketsiz,
eşanlı saatler ve S′’ye göre hareketsiz döner diskin yarıçapı üzerine konulmuş tamamen
özdeş saatler bulunsun. Diskteki saatleri hareketsiz olanlarla karşılaştırılması disk
üzerindeki saatlerin S’dekinden daha yavaş ilerlediklerini gösterir ve bu fark merkezden
uzaklaştıkça artar. Yalnız diskin merkezindeki saat, S’ye göre hareketsiz olduğundan,
S’deki saatlerle eşzamanlıdır. Disk üzerindeki saatlerin bile eşzamanlı olmadıkları
görülür. Bu sonuçlara göre, eğer gözlem sistemi dönüyorsa yani ivmelendirilmiş ise ya
da içinde, eşdeğerlik ilkesine göre aynı şey demek olan bir çekim varsa, bu gözlem
çerçevesine göre hareketsiz saatlerle zamanın doğru bir tanımı verilemez.
Bu basit ölçümler, olağan uzay ve zaman dünyası temelinin çöktüğünü gösteriyor.
Yapılacak tek şey bu kavramları yeniden köktenci bir biçimde yorumlamak ve uygun
2
bir geometri üzerinde genellemektir. Bu geometrinin Euclidean olamayacağı açıktır. Bu
çalışmada bu geometri ayrıntılı olarak incelenmiştir.
3
2. MATEMATİKSEL HAZIRLIK
2.1 Manifold Kavramı ve Diferansiyellenebilme
Düz bir yüzeyin sezgisel resmi manifold kavramı ile analitik hale gelir. Küçük ölçekte
bir manifold bir Euclidean uzaya benzer, öyle ki diferansiyel gibi sonsuz küçük
işlemciler onun üzerinde tanımlanabilsin.
n
’in bir U açık altcümlesinden
noktaya bir Df :
n
→
m
’ye bir f fonksiyonu bir x ∈ U noktasında, o
gönderimi ile yaklaşılabiliniyorsa türevlenebilirdir. Her
m
ε > 0 için x ’in bir U komşuluğu vardır öyle ki,
f ( x ') − f ( x ) − Df ( x )( x '− x ) < ε x '− x , ∀x ' ∈ U
Burada x ve f sırasıyla
n
ve
m
’de vektördürler ve υ , υ vektörünün boyudur.
Bileşenler cinsinden yazıldığında, Df parçalı diferansiyellerin matrisidir;
( Df )ij
=
∂fi
, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n
∂x j
(2.1)
f , fonksiyonu bir komşulukta verilmelidir. Eğer basit olarak türevden konuşuyorsak,
bir açık cümlenin bir gönderimiyle ilgileniyoruz. Her noktada Df türevi aşağıdaki
anlama sahip bir
zaman Df
n
→
m
lineer gönderimdir: Eğer u : I →
eğrinin yönünü f
( df ( x ( t ) ) / dt = f
i
i, j
n
eğrisi x ’den geçerse, o
altında eğrinin görüntüsünün yönüne dönüştürür,
)
dx j / dt . p-kere sürekli olarak türevlenebilir fonksiyonların kümesi
C p ile gösterilir.
4
Tanım: M bir topolojik uzay olsun. Bir (V , Φ ) haritası
m
’de bir açık cümleye M ’in
bir açık V (haritanın tanım bölgesi) cümlesinin Φ homeomorfizimidir. İki harita
V1 ∩ V2 = ∅ olduğu takdirde veya eğer Φ1 Φ 2 −1 gönderimleri, açık bir biçimde
kısıtlanmış,
m
’de açık cümlelerin C ∞ -gönderimleri ise uyumludur denir.
Şekil 2.1 Haritaların uyumluluğu
Tanım: Bir atlas M ’yi örten uyumlu haritaların bir cümlesidir. İki atlas, onların tüm
haritaları uyumlu ise uyumludur denir.
Atlasların uyumluluğu açık olarak bir özdeşlik bağıntısıdır: Her atlas kendisiyle
uyumludur ve tanım simetriktir. ∪ i (V1i , Φ1i ) , ∪ i (V3i , Φ 3i ) ile uyumlu olan ∪ i (V2i , Φ 2i )
ile uyumlu olduğunu farzedin. V1i ∩ V3i ’yi V2k ile örtün ve f ve g türevlenebilirken
f g'nin türevlenebildiğini hatırlayın. Varsayalım ki bütün haritalar M ’yi aynı m ile
bir
m
içine haritalasınlar, m ’ye M ’nin boyutudur denir. Eğer V ’ler yeterince küçük
seçilirse, hepsinin bağlı (birleştirilmiş) cümleler olduğunu varsayabiliriz.
5
Tanım: M bir topolojik uzay olsun. M için aşağıdaki önermeler doğru ise M bir n -
boyutlu topolojik manifolddur denir:
(i) M bir Hausdorf uzayıdır,
(ii) M ’in bir açık altcümlesi
n
ve ya
n
’nin bir açık bir altcümlesine homeomorftur,
(iii) M sayılabilir çoklukta açık cümlelerle örtülebilir.
Tanım: Bir diferensiyellenebilir manifold atlasların bir eşdeğerlik sınıfı olan ayrılabilir,
metriklenebilir M uzayıdır (Thirring 1997)
Tanım: N ⊂ M
bir n-boyutlu altmanifolddur ancak ve ancak her q ∈ N için
q ∈ V ⊂ M ve Φ ( q ) ∈
n
olan yerde, bir (V , Φ ) haritası vardır, öyleki her q ' ∈ N ∩ V
için Φ ( q' ) = ( x1 , x2 ,..., xn , 0,..., 0 ) olur.
Bu tanımdaki atlasın N ’ye bir diferansiyellenebilir manifold yapısı verdiği kolayca
görülebilir: Sadece ilk n koordinat değiştiğinden dolayı uyumluluk için gereksinen
diferansiyellenebilirlik etkilenmemiştir. Y , X ’in bir altmanifoldu olsun ve Z , Y ’nin
bir altcümlesi olsun. O zaman Z , Y ’nin bir bir altmanifoldudur ancak ve ancak X ’in
bir altmanifoldudur.
Tanım: Bir f : M 1 → M 2 gönderimi p-kez diferansiyellenebilirdir ancak ve ancak M 1
için bir atlasın bütün haritaları için ve M 2 için bir atlasın bütün haritaları
için Φ 2 f Φ1−1 ’in aşikar kısıtlaması (koşulu) Φ1 (U1 ∩ f −1 (U 2 ) ) ⊂
m1
’den
bir p-kez diferansiyellenebilir gönderimdir. Bu aşağıdaki şekilde ifade edilmiştir:
6
m2
’ye
Şekil 2.2 Manifoldlar üzerinde bir gönderimin diferensiyellenebilmesi
f2
f1
Eğer f1 ve f 2 ∈ C p iseler, onların bileşimi f = f1 × f 2 : M 3 ⎯⎯
→ M 2 ⎯⎯
→ M 1 de C p -
gönderimdir. Eğer M çarpım manifoldu M 1 × M 2 ve f = f1 × f 2 ise, o zaman fi ’ler
C p -gönderimler iken f de C p -gönderimdir. M 1 = I ⊂
olsun. I bir zaman aralığı ve
M 2 gibi düşünülerek, f fonksiyonunu bir eğri olarak ve f ( I ) ’ye onun yörüngesi
olarak bakılabilir.
Yukarıdaki
tanım
sadece
bir
atlastan
bahseder
fakat
uyumluluk
koşulu
diferansiyellenebilirliğin bir eşdeğerlik sınıfının bütün atlasları için özdeş olarak
tanımlandığını garantiler. Bu haritaların değişimi altında bir diferansiyellenebilir
gönderimin diferansiyellenebiilir kaldığını ve diferansiyellenebilir olmayan bir
gönderimin asla diferensiyellenebilir olamadığını ifade eder.
Eğer N1 , M 1 ’in bir altmanifoldu ise, o zaman f N1 , f kadar diferansiyellenebilirdir.
Tanım: İki manifoldun bir f diffomorfizmi f ve f −1 ’in her ikisi C ∞ olan bir birebir
eşleme (bijection)'dir. İki manifold diffeomorfiktir ancak ve ancak aralarında bir
diffeomorfizim vardır.
7
Bir (U , Φ ) haritası 1 ∈ C ∞ olduğundan altmanifold U ve Φ (U ) ⊂
n
arasında bir Φ
diffeomorfizimi sağlar. Aynı M cümlesi üzerinde iki manifold yapısı özdeştir yani
eşdeğer atlaslar ile tanımlanırlar ancak ve ancak 1 bir diffeomorfizimdir. Buna göre
1
M ⎯⎯
→
bir diffeomorfizim değilken,
manifold yapılar vardır.
zaman,
4
(
n
n
üzerinde özdeş olmayan diffeomorfik
’e özelliği olmayan bir manifold olarak atıfta bulunulduğu
,1) standart haritalı
n
kastedilecektir. Karmaşık topolojik uzaylar ve hatta
üzerinde diffeomorfik bile olmayan ayrık manifold yapılar vardır. Fakat bir-boyutlu
manifoldlar bağlamında kompakt olanların hepsi S 1 ’e ve kompakt olmayanlar
’ye
diffeomorfiktirler.
Tanım:
n
+
altcümlesinden
içeren
n
= {x ∈
m
n
: x1 ≥ 0} , ∂
n
+
= {x ∈
n
: x1 = 0}
olsun.
U⊂
n
açık
’e bir f gönderimi diferansiyellenebilirdir ancak ve ancak U ’yu
’nin bir açık U altcümlesi ve bir diferansiyellenebilir f : U →
m
gönderimi
vardır öyle ki f U = f olur.
Şekil 2.3
Burada U ,
n
n
’nin diferansiyellenebilir gönderimi
n
’de bir açık olmak zorunda değil ve ∂
’nin bir altmanifoldu olmakla beraber ∂
n
+
8
n
+
’nin kısımlarını içerebilir. ∂
olmak zorunda değildir.
n
+
,
Tanım: M bir ayrılabilir, metriklenebilir uzay olsun. Bir {U i } açık örteni ve ∀i, j için
Φ i Φ −j 1Φ
j
(
U i ∩U j
)
∈ C ∞ olan Φi :Ui →
n
+
’nin açık altcümleleri, homeomorfizimleri var
olduğu zaman M bir sınırlı manifold yapısına sahiptir. M ’nin sınırı
∂M = ∪ i Φ i−1 ( Φ i (U i ) ∩ ∂
n
)
(2.2)
dır (şekil 2.4).
Şekil 2.4 Sınırlı manifold
∂M sınırı, bir daldırmaya (imbedding) bağlı olan bir topolojik sınırdan ayırt edilmiştir.
n
’de
n
+
’nin topolojik sınırı ∂
n
+
’dir. ∂M = ∅ ise yukarıdaki tanım manifold
tanımına indirgenir ve bu takdirde basit olarak bir manifoldtan (diferansiyellenebilir)
söz ederiz ve yalnız aksi takdirde sınırlı manifoldtan söz ederiz. Φ i Φ −j 1Φ
homeomorfizim olduklarından,
n
j
(U i ∩U j )
’ler
’nin sınır noktaları, sınır noktalarına haritalanır ve
böylece uyumlu atlaslar aynı sınırı tanımlarlar. Yine, bir haritalar sistemi öyle ki
M = ∪ i U i olsun bir manifoldu tanımlamak için yeterlidir, fakat bu sistem diğer uyumlu
olanlara tercih edilmez. Bir sınırlı manifold kompakt olmak zorunda değil ve bir
kompakt manifold bir sınıra sahip olmayabilir.
9
Önerme: M \∂M ve ∂M ’nin ikisi (sınırı olmayan) manifold yapısına sahiptirler.
Bir sınırın sınıra sahip olmadığı Stokes integral teoreminin genellemesinden de çıkar.
2.2 Tanjant Vektörleri ve Uzayları
Bir düzgün yüzey tanjant düzlemi tarafından bir noktada yakınlaştırılabilir. Bu
kavramın genelleştirilmesi tanjant uzayıdır. Bir manifoldun bir gönderiminin türevi
onun tanjant uzayı üzerine bir lineer dönüşüm gibi etki eder (Thirring 1997).
Mekanik, I ⊂
aralığından bir M
u
manifolduna tanımlanan t ∈ I ⎯⎯
→ u (t ) ∈ M
biçimindeki u gönderimleri olan parçacık yörüngeleri ile ilgilenir. Daha sonraki adım
bir u hız vektörü tanımlanır, fakat bu kolay değildir çünkü M lineer bir yapıya sahip
değildir. Eğer M ,
içine daldırılmış (imbedded) olsaydı, o zaman u tanjant
n
hiperdüzlemi içinde uzanır ve M ’den dışarı uzanır. Yapılması gereken bir-boyutlu
daldırmaları
(imbedding)
hesaba
katmadan
hız
vektörlerini
yörüngelerle
ilişkilendirmektir. Bir C = (V ∋ q = u ( 0 ) , Φ ) haritasında q noktasında yörüngenin
Φ u görüntüsü D ( Φ u ) t =0 ∈
m
hız vektörünü tanımlar ve bir koordinat sisteminde
( ∂t ) x (u (t ))
bileşenleri her zamanki gibi ∂
i
t =0
olur. Farklı noktalarda hızlar yalnız bir
haritaya ilişkin olarak karşılaştırılabilmelerine rağmen, bir tek noktada iki hızın eşit
olması durumu haritadan bağımsızdır: u ve υ , I → M ’ye iki yörünge olsunlar ve
D ( Φ1 u ) t =0 = D ( Φ 2 u ) t =0 olsun. O zaman farklı bir harita ile
D ( Φ 2 u ) t =0 = D ( Φ 2 Φ1−1 ) ⋅ D ( Φ1 u )
= D (Φ2 Φ
−1
1
) ⋅ D (Φ
1
υ)
t =0
t =0
= D ( Φ 2 υ ) t =0
10
olur. Böylece tanjantsal yörüngelerin eşdeğerlik sınıfları içine q noktasından geçen
yörüngeleri paylaştırmak için bir harita-bağımsız yol vardır.
Tanım: ΘC ( q ) gönderimi q ’dan geçen bir u eğrisini aşağıdaki vektöre dönüştürür
(şekil 2.5):
C( )
u ⎯⎯⎯
→ D ( Φ u )( 0 ) ∈
Θ
q
Tersine, herhangi υ ∈
m
(2.3)
m
için ters gönderim uygun sınıfın ( 0 ∈ I ⊂
)
temsili bir u
eğrisini tanımlar:
Θ (q)
υ ⎯⎯⎯
→ u = {t ∈
−1
C
→ Φ −1 ( Φ ( q ) + tυ ) ∈ M
}
Şekil 2.5 ΘC ( q ) birebir eşlemesinin eylemi
11
(2.4)
( ( ( n ) − u ( 0)))
u , eğrisi boyunca yönelen bir tanjant vektörü basitçe, lim n→∞ n u 1
biçiminde tanımlanabileceği düşünülebilir. Bunun sakıncası bu farkın sonlu n için
belirsiz olmasıdır. Bir sınıfın farklı eğrileri ΘC ( q ) ile aynı vektöre karşılık gelirler,
fakat farklı haritalar üzerinde aynı sınıf farklı vektörler ile ilişkilendirilir (Şekil 2.5).
ΘC ( q ) gönderimi bir vektör uzayı yapılı eşdeğerlik sınıfları sağlar. Bu, harita değişimi
altında ΘC ( q ) , D ( Φ Φ −1 ) ile çarpılacağından harita seçiminden bağımsızdır. D için
zincir kuralı o zaman, bir birebir eşlemenin (bijection) türevi gibi, bunun bir
terslenebilir lineer dönüşüm olduğunu ifade eder ve böylece vektör uzayı yapısını korur.
Bundan dolayı ΘC ( q ) birebir eşlemesi, gerçekte
m
içine M ’nin bir kanonik bir-
boyutlu daldırması (imbedding) yokluğunda tanjant düzlemi tanımlanmaz olmasına
rağmen, bir tanjant düzleminin istenilen karakteristiklerinin korunmasına izin verir.
Tanım: q noktasında tanjant eğrilerinin eşdeğerlik sınıflarının uzayına q noktasında
M ’nin tanjant uzayı denir ve Tq ( M ) ile gösterilir. Tanımla υ , ω ∈ Tq ( M ) ve α , β ∈
için
αυ + βω = ΘC−1 ( q ) (αΘC ( q )(υ ) + β ΘC ( q )(ω ) )
(2.5)
kurulduğu zaman bu bir vektör uzayı yapısına sahip olur ve bu yapı harita bağımsızdır.
Bu tanım soyut görünebilir fakat gerçekten sadece noktadan geçen eğrilerin yönlerini
gösteren oklar gibi bir tanjant düzleminde vektörlerin sezgisel tasımını formalize eder.
Bu M ’yi bir manifold yapmak için kullanılan haritalar üzerinde onları
n
’nin
elemanları yapar.
Açıktır ki haritaların değişimi ile Θ farklı haritaların içine konulduklarında u
eğrilerinin görüntülerinin nasıl etrafında burulduğunu (büküldüğünü) tayin eden matris
olan D ( Φ Φ −1 ) ile çarpılır. Eğer N , M ’nin bir altmanifoldu ise, o zaman bir q ∈ N
12
için Tq ( N ) , Tq ( M ) ’nin bir altuzayı ile bir tutulabilir (aynı olduğu anlamında). Tq ( N ) ,
cümlesinin elemanları N ’de yörüngelere karşılık gelirler. Bu vektörler için bir
koordinat dönüşümü altında bilinen dönüşüm bağıntılarıyla ile yakından ilişkilidir: eğer
Φ
Φ
x ←⎯
⎯ q ⎯⎯
→ x ise, o zaman D ( Φ Φ −1 ) basitçe ∂xi ∂x j matrisi olarak ifade edilir
ve tanjant uzayının bir vektörü υi → υi = υ j ∂xi ∂x j biçiminde dönüştürülür.
ΘC ( q ) birebir eşleme gönderiminin tanımına göre bir
m1
→
m2
gönderiminin türevi
yörüngeleri bu dönüşüm altında kendi görüntülerinin yönüne yönelten (döndüren) bir
lineer dönüşüm gibi yorumlanabilir. Bu düşünce Tq ( M ) ’nin lineer yapısı kullanılarak
manifoldlar üzerine aşağıdaki tanımla taşınır.
Tanım: f : M 1 → M 2 bir C ∞ dönüşüm olsun. Tq ( f ) , olarak yazılan f ’nin türevi
(
Tq ( f ) = ΘC−12 ( f ( q ) ) D Φ C2
f Φ C−11
)
Φ C1 ( q )
biçiminde
tanımlanan
bir
Tq ( M 1 ) → Tq ( M 2 ) gönderimidir (Şekil 2.6). Bu gönderim harita-bağımsızdır:
ΘC−1 ( q ) (αΘC ( q )(υ ) + β ΘC ( q )(ω ) )
(
= ΘC−1 D ( Φ Φ −1 )
) (α D ( Φ
−1
Φ −1 ) ΘC (υ ) + β D ( Φ Φ −1 ) ΘC (ω )
= ΘC−1 ( q ) (αΘC (υ ) + βΘC (ω ) )
13
)
lineer
Şekil 2.6 Tq ( f ) gönderimi
Bu tanım bir haritadan bahsetmekle birlikte gerçekte tanjant uzayları ve
D (Φ2
f Φ1−1 ) bunu telafi etmek için dönüştüklerinden dolayı harita-bağımsızdır.
Eğer, örneğin M 1 üzerinde harita Φ1 ’e değiştirilirse, önceden bilindiği gibi, ΘC1 ( q )
soldan bir D ( Φ1 f Φ1−1 ) çarpanı kazanırken D ( Φ 2
f Φ1−1 ) zincir kuralıyla sağdan
D ( Φ1 f Φ1−1 ) ile çarpılır.
M1 =
= T0 ( M 1 ) , Φ1 = 1 olsun. Bu kendi vektörlerinden biriyle bir eşdeğerlik sınıfı
tanılamak için bir kanonik yöntem sağlar. Bu tanım ile T0 ( M 1 ) ’nin baz vektörü 1 ile
gösterilir. O zaman T0 ( f ) ⋅ 1 = ΘC−1 D ( Φ 2
f )( 0 ) = ΘC−1 ΘC [ f ] = [ f ] ∈ T f ( 0) ( M 2 ) , bu
takdirde bir tek eğriden meydana gelen, f ’nin eşdeğerlik sınıfının temsili vektörüdür.
Bu şematik olarak aşağıdaki gibidir:
14
Eğer υ ∈ Tq ( M 1 ) , u eğrisi tarafından belirlenirse, o zaman Tq ( f ) ⋅ υ , f u ile
belirlenir, çünkü
Tq ( f ) ⋅ υ = ΘC−12 ( f ( q ) ) D ( Φ 2
= ΘC−12 ( f ( q ) ) D ( Φ 2
f Φ1−1 ) D ( Φ1 u )
(2.6)
f u)
dır. Kısaca f , u eğrisini f u ’ya dönüştürür ve Tq ( f ) , q noktasında u eğrisine
tanjant vektörlerini f ( q ) noktasında f u ’ya tanjant vektörlere dönüştürür. Bu ifade
tüm haritalarda aynı kalır yani Tq ( f ) harita-bağımsızdır. Bu şematik olarak aşağıdaki
gibidir:
M2 =
her
( f1 ⋅ f 2 )
olsun. Bu durumda f ’ler bir cebir oluştururlar ve türev cebirsel işlemler için
zamanki
gibi
( f1 + f 2 )
davranır:
Φ −1 = f1 Φ −1 + f 2 Φ −1
Φ −1 = ( f1 Φ −1 ) ⋅ ( f 2 Φ −1 ) ’den aşağıdakiler elde edilir:
(a) Tq ( sabit ) = 0 ,
15
ve
(b) Tq ( f1 + f 2 ) = Tq ( f1 ) + Tq ( f 2 ) ,
(c) Tq ( f1 ⋅ f 2 ) = f1 ( q ) ⋅ Tq ( f 2 ) + f 2 ( q ) ⋅ Tq ( f1 ) .
İki diferansiyellenebilir gönderimin bileşimi de diferansiyellenebilirdir. Bu T için
doğrulanabilir: D için zincir kuralı uygulanarak,
Tq ( f 2
f1 ) = ΘC−13 ( f 2
= ΘC−13 ( f 2
f1 ( q ) ) D ( Φ 3
f1 ( q ) ) D ( Φ 3
× ΘC−12 ( f1 ( q ) ) D ( Φ 2
f2
f2
f1 Φ1−1 ) ΘC1 ( q )
f1 Φ −21 ) ΘC2 ( f1 ( q ) )
f1 Φ1−1 ) ΘC1 ( q )
= T f1 ( q ) ( f 2 ) Tq ( f1 )
elde edilir.
2.3 Tanjant Demeti ve Vektör Alanı
Türevi bir noktada değerlendirmekten ona q ’nun bir fonksiyonu gibi davranmaya
ilerlemek için farklı noktalardaki tanjant uzaylarını birleştirmek gerekir. Bu düzeyde
birbirleriyle henüz bir ilişkileri yoktur; farklı q noktalarındaki vektörlerin bir aralıkta
paralel oluklarını söylemek için bir yöntem henüz yoktur. Harita değişimleri bölgelerin
(tanım bölgeleri) biçimini bozar, dönüşümler sadece sonsuz küçük ölçekte lineerdirler.
Hala tek bir haritanın bölgesi içinde U ×
m
ile birlikte T (U ) = ∪ q∈U Tq ( M )
tanımlanabilir ve sonra ΘC ( q ) gönderimi
ΘC : T (U ) → Φ (U ) ×
m
, ( q,υ ) → ( Φ ( q ) , ΘC ( q ) ⋅ υ )
(2.7)
ye genişletilir. Farklı noktalardaki tanjant vektörlerini bu tanjant demeti içinde
karşılaştırmak olasıdır. ΘC gönderimi açık olarak bir birebir eşlemedir (bijection) ve
16
T (U ) topolojiklenebilirdir öyle ki bir homeomorfizim olur. Bu bir diffeomorfizime
dönüştürülebilir ve bu nedenle T (U ) üzerinde bir manifold yapısı kurulur. Atlas o
zaman bir tek haritaya sahip olur ve dolayısıyla sağlanacak uyumluluk koşulları yoktur.
Tanjant demetini M ’nin bütününe genişletmek için bir ∪ i (U i , Φ i ) atlasının U i
komşuluklarından inşa edilmelidir. Tek
T (U i ) = U i ×
m
’ler üzerinde çarpım
topolojilerinin uyumluluğunu da sağlayan, bu haritaların uyumluluğunu göstermek
yeterlidir. Şimdi Φ Φ −1 ∈ C ∞ olmak üzere
ΘC ( q ) ΘC−1 ( q ) : υ →
d
Φ Φ −1 ( Φ ( q ) + υt ) t = 0
dt
= D ( Φ Φ −1 ) ⋅ υ , υ ∈
(2.8)
m
ve böylece,
(
ΘC ΘC−1 : ( x,υ ) → Φ ( Φ −1 ( x ) ) , D ( Φ Φ −1 ) ( x ) ⋅ υ
)
(2.9)
bir atlastan elde edilir. İkinci çarpan υ ’de lineerdir ve dolayısıyla C ∞ ’dur ve ayrıca
Φ Φ −1 ∈ C ∞ olmasından dolayı x ’e göre C ∞ ’dur. Bu, ΘC ’lerin uyumluluğunu
kanıtlar.
Tanım:
(
∪i Ui ×
T ( M ) = ∪ q∈M Tq ( M )
m
, ΘCi
cümlesine
M ’nin tanjant
demetidir
denir
ve
) atlaslı bir manifolddur.
Bu şekilde T ( M ) soyut olarak veriliyor ve
n
’nin bir altmanifoldu gibi somut bir
şekilde verilmiyor. Tanjant demetinin anlamı, bununla beraber, parçacıkların
konumlarının ve hızlarının uzayı olarak düşünülürse daha sezgisel hale gelir. Eğer
Tq ( M ) , {q} ×
m
çifti
olarak
17
düşünülürse,
o
zaman
T ( M ) = ∪ q∈M Tq ( M ) = ∪ q∈M ({q} ×
m
) = ( ∪ {q}) ×
q ∈M
m
=M×
daima
m
çarpımdır. Bununla beraber bu, topolojik olarak T ( M ) ≠ M ×
m
bir
olduğu için, bir
Möbius şeridi gibi topolojiklenebilir. Şayet, bununla beraber, T ( M ) bir manifold
olarak M ×
m
’e diffeomorfik ise, o zaman M paralellenebilirdir denir. Paralellenebilir
olan n-küreler sadece S 1 , S 2 , S 7 n-küreleridir. Lokal olarak T ( M ) her zaman bir çarpım
manifoldudur.
Tanım: Bir vektör demeti bir X manifoldu, bir M altmanifoldu (taban olarak bilinir)
ve bir Π : X → M örteni (surjection)'nden oluşur. Ayrıca, her q ∈ M için Π −1 ( q )
lifleri, hepsi bir F sabit (fixed) vektör uzayına izomorfik olan vektör uzayları yapısına
sahip oldukları kabul edilir. Demet atlasları X üzerinde, U i ’ler M ’de komşuluklar
olmak üzere Π −1 (U i ) tanım bölgeleri ile verildikleri kabul edilir. Karşılık gelen Φ i
harita gönderimleri sadece U i × F üzerinde diffeomorfizimler değillerdir, fakat aynı
zamanda lifleri lineer olarak F ’ye gönderirler. Eğer X , M × F ’ye diffeomorfik ise, o
zaman X sıradanlaştırılabilirdir (trivializable) ve sıradandır (trivial) ancak ve ancak bir
Cartesian
X=
çarpım
olarak
verilmiştir.
ve Π : ( x, y ) → x olsun. X = M ×
× , M =F=
Örneğin,
aşikardır ve bayağıdır
(trivial). Çarpım yapısı Cartesian olanı ayırt etmesine rağmen, bir manifold olarak
×
için
X = T ( M ), F =
çok
m
sayıda
koordinat
sistemleri
vardır.
Eğer
ve Π : ( q,υ ) → q ise, o zaman lifler Tq ( M ) tanjant uzayları
olurlar.
Tanım:
T ( M 1 ) → T ( M 2 ) : ( q,υ ) → ( f ( q ) , Tq ( f ) ⋅ υ )
gönderimine
f : M1 → M 2
fonksiyonunun T ( f ) türevidir denir. Eğer f ∈ C r ise, o zaman T ( f ) ∈ C r −1 ’dir. Eğer
f bir diffeomorfizim ise, o zaman T ( f ) de diffeomorfizimdi
18
yukarıda verilen diyagramı ifade eden,
diyagramı sıra değişir. Böylece yukarıda verilen zincir kuralı daha kullanışlı bir şekilde;
T( f
g) = T ( f ) T (g)
(2.10)
olarak yazılabilir. Cartesian çarpımalarla herşey çarpanlarına ayrılır; türev dahil:
T ( f × g) = T ( f )×T (g)
Tanım: Bir
C r -vektör alanı
X : M → T (M )
bir
C r -gönderimdir öyle ki
Π X = 1 ’dir. M için tüm vektör alanlarının kümesi T 01 ( M ) ile gösterilir.
Π X = 1, T ( M ) ’nin demet haritası üzerinde X : q → ( q, v ( q ) ) olduğunu belirtir;
sıklıkla yalnızca vektör kısmı v ( q ) yazılır. T ( M ) bayağı hale getirilebilir (trivilizable)
ancak ve ancak m lineer bağımsız C ∞ -vektör alanı vardır. Eğer bu alanlar
ei , i = 1,2,..., m , ile gösterilirse, bu her q ∈ M için ei ( q ) ’ların lineer bağımsız olduğu
19
anlamına gelir.
X i ∈Cr (M )
olmak üzere, her vektör
X = X i ei
biçiminde
yazılabildiğinden bu vektör alanları bir baz için kullanılabilirler. Böyle bir baz her
zaman lokal olarak vardır, örneğin, ΘC altında
n
’de birim vektörlerin ters görüntüleri.
Vektörler bir lineer uzay oluştururlar (biçimlendirirler) ve ve vektör alanları bir modül
yani, skaler çarpanlar C r ( M ) ’de fonksiyonlar olabilir ve sadece reel sayılar
olmayabilirler.
Tanım: Bir Φ : M 1 → M 2 diffeomorfizimi aşağıda verilen diyagramın değiş tokuşu
(komütatifliği) ile tanımlanan bir Φ* : T 01 ( M 1 ) → T 01 ( M 2 ) gönderimi tanımlar:
Yani, Φ* X = T ( Φ ) X Φ −1 olur. Bu açık olarak tıpkı Φ ’nin yönü tanımlayan eğrileri
döndürdüğü (yönünü) gibi Φ* ’ın vektör alanlarını aynı biçimde döndürdüğünü anlatır
(Thirring 1997). Bir dönüşümün aşağıda verilen diyagramı genelde sağlanır:
Bir X vektör alanı bir f ∈ C1 ( M ) fonksiyonunu Lie türevine gönderen bir
20
( )
X
LX ( f ) ≡ I iT ( f )i X = M ⎯⎯
→ T ( M ) ⎯⎯⎯
→T (
T f
dönüşümüne neden olur; burada I , T (
)=
I
→
) ⎯⎯
×
(2.11)
için ikinci çarpan üzerinde
izdüşümü gösterir. Verilen bir demet haritada ki içinde q → ( q, v ) ’dir, bu fonksiyon
LX ( f ) = υ i ( q ) ∂f ∂q i yani, X tarafından tanımlanan yön boyunca f ’nin değişim
oranı olur. Lie türevi aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(a) LX ( f + g ) = LX ( f ) + LX ( g ) her f , g ∈ C ( M ) için,
(b) LX ( f ⋅ g ) = f ⋅ LX ( g ) + g ⋅ LX ( f ) , ve
(2.12)
(c) Lα X1 + β X 2 ( f ) = α LXl1 ( f ) + β LX 2 ( f ) her α , β ∈
için.
Gerçekte, Özellik (a) ve (b) vektör alanlarını karakterize ederler. Böylece C1 fonksiyonların değişim oranını belirleyen bir yön manifold üzerinde tanımlamak
olasıdır.
Teorem (2.3.1):
(a) L ( f + g ) = L ( f ) + L ( g )
(b) L ( f i g ) = f i L ( g ) + g i L ( f )
özelliklerine sahip bir L : C ∞ ( M ) → C ∞ ( M ) gönderimi L = LX olan bir C ∞ vektör
alanını tek olarak belirleyen bir türev olarak bilinir.
21
Mekanikte LX Liouville işlemcisi olarak bilinir. LX bir lokal işlem ile tanımlandığından
dolayı, X ’i belirlemek için kompakt destekli (compakt suport) C ∞ -fonksiyonların
üzerinde LX ’in etkisini bilmek yeterlidir.
diyagramı sıra değiştiğinden, yani T ( f ) T ( Φ ) X = T ( f ) Φ* X Φ olmasından,
(
LX ( f Φ ) = LΦ* X ( f )
)
Φ
(2.13)
sonucu çıkar. Dolayısıyla X ’in görüntüsü bir fonksiyon üzerine X ’in o fonksiyonun
görüntüsü üzerine etkidiği gibi etki eder. Bu durum, LX
( ve L ) ,
Φ* X
X yönünde bir eğri
boyunca değişim oranı gibi düşünüldüğünde açık olur.
2.4 Doğal Baz
n
’nin koordinat ızgaraları bir haritanın V tanım bölgesini T 01 (V ) için, doğal baz
olarak bilinen bir baz ile donatırlar. Bu aşağıdaki nedenden dolayı sıklıkla {∂ ∂xi } veya
basit olarak {∂}i ile gösterilir: {ei } ,
m
için bir baz olsun ve Φ : q → ∑i ei xi ∈
m
olsun. Herhangi bir g ∈ C ∞ ( M ) fonksiyonu için haritanın Φ (V ) görüntüsü üzerinde
g ⋅ Φ −1 ile verilen bir gönderim vardır. (2.11)’e göre ei boyunca Lie türevi ∂ ∂xi
türevidir, dolayısıyla
22
LΘ−1e g =
C i
∂
g ( q ( x ))
∂xi
(2.14)
olur.
2.5 Akışlar
Bir X vektör alanı bir manifoldun tüm noktalarında X yönünde bir hareket tanımlar.
Doğru koşullar altında bu bir akış tanımlar, yani M ’nin diffeomorfizimlerinin bir tekparametre grubunu tanımlar.
Bir X vektör alanına yön işaretleyicilerin bir alanı olarak bakılabilir; yani M ’in her
noktasına bu noktadaki tanjant uzayında bir vektör atar. Bir u : I → M , t → u ( t ) eğrisi
her noktada X ile aynı yöne sahipse veya daha kesin olarak onun vasıtasıyla
tanımlanan tanjant vektörü her noktada X ’e eşitse X ’in bir integral eğrisi adını alır.
Bu şöyle ifade edilebilir: e : t → ( t , 1) , I üzerinde birim vektör alanı olsun ve
u = T ( u ) ⋅ e olsun, o zaman X ’in integral eğrisi
u=X u
(2.15)
olur. Bunun şematik anlatımı aşağıdaki komütatif diyagramdır:
Üzerinde Φ u : t → ( ui ( t ) ) ve T ( Φ ) X Φ −1 : q → ( qi , X i ( q ) ) olan bir harita için bu
genellikle,
23
ui ( t ) = X i ( u ( t ) ) , i = 1, 2,..., m
(2.16)
biçiminde m-boyutlu bir adi diferansiyel denklem formunda yazılır. M üzerinde
hareketi tanımlamak için buradaki t parametresi zaman olarak düşünülebilir. Bir yüksek
dereceden denklem yeni değişkenlerin tanımlanmasıyla her zaman bir birinci dereceden
denkleme indirgenebildiğinden, (2.16) denklemi bir birinci dereceden denklem
olmaması için bir geçerli neden yoktur.
Teorem (2.5.1): X bir M manifoldu üzerinde bir C ∞ -vektör alanı olsun. O zaman her
q ∈ M için η > 0 , q ’nun bir V komşuluğu ve bir
Φ X : ( −η ,η ) × V → M , ( t , q ( 0 ) ) → Φ X ( t , q ( 0 ) ) = u ( t , q )
gönderimi vardır, öyle ki;
(1) Her q ∈ V için t → u ( t , q ) , X ’in q ’dan geçen bir integral eğrisidir, yani u = X u
ve u ( 0, q ) = q olur.
(2) Her t , t < η için Φ tX : V → M , q → Φ tX ( q ) = Φ X ( t , q ) gönderimi M ’nin bir
altcümlesi üstünde bir V diffeomorfizimidir ( V ’nin bir diffeomorfizimidir).
Bir sabit vektör alanı gözönüne alınsın. M =
V=
n
n
, X : ( x1 ,..., xn ) → ( x1 ,..., xn ;υ ,0,...,0 ) .
, η =∞ , u ( t , x ( 0 ) ) : u ( t , xi ( 0 ) ) → ( x1 ( 0 ) + υ t , x2 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) ) olur. Buna göre bir
sabit vektör alanı bir lineer hareket alanına neden olur. Burada X , M üzerinde Φ tX
diffeomorfizimlerinin
bir
tek-parametere
24
grubunu
gerçekler.
Çünkü
(
)
u ( t1 + t2 , q ( 0 ) ) = u t2 , u ( t1 , q ( 0 ) ) ’dir, onun varlığı V = M ve η =∞ olmasına izin
verme olasılığına eşdeğerdir.
Teorem (2.5.1) yakın komşu yörüngelerin birden ayrılmış olmadığını ifade eder. X ’in
türevi uygun bir normda sınırlı kalmak koşuluyla komşu noktaların zamanda üstel
biçimden daha hızlı birbirinden uzaklaşmadıkları görülür.
Tanım: Eğer Teorem (2.5.1)'in
Φ tX
diffeomorfizimleri
M → M ’ye birebir
eşleşmelerinin (bijections) bir tek-parametre grubunu oluşturuyorsa, X tamdır denir ve
gruba bir akış denir. Eğer
Φ tX1 Φ tX2 = Φ tX1 + t2
(2.17)
bağıntısı sadece herhangi bir noktanın yeterince küçük komşulukları ve yeterince kısa
zamanlar için sağlanırsa, Φ tX bir yerel akıştır (diffeomorfizimlerin bir yerel grubu)
denir.
Zaman-evrimi gözlenebilirlerin cebirinin otomorfizimlerinin bir grubu olarak
kurulabilir. Cebiri C0∞ olarak (kompak destekli C0∞ -fonksiyonlar) seçerek, bir vektör
alanın yerel akışı kısa zamanlar için
τ tX ( f ) = f Φ tX , f ∈ C0∞
(2.18)
ile bir otomorfizim sağlar. Eğer X tam ise τ tX ’ler bir tek-parametre grubudurlar:
τ tX τ tX = τ tX+ t , t1 , t2 ∈
1
2
1
(2.19)
2
Bu takdirde t → τ tX ( f )( q ) gönderimi 0 ’ın herhangi bir komşuluğunda t için
türevlenebilirdir. Bir harita kullanılarak bu zaman türevinin X ile ilişkilendirilen Lie
25
türevi ile aynı olduğu gösterilebilir: q ( t ) = u ( t , q ) Denklem (2.15)'in çözümü olsun. O
zaman Teorem (2.5.1) göz önüne alındığında
τ tX f q = f Φ tX q = f ( q ( t ) )
olur. Sonuç olarak,
d X
τt f
dt
t =0
=
∂f ∂qi
∂qi ∂t
t =0
=
∂f
X i ( q ) = LX f , ∀f ∈ C0∞
∂qi
(2.20)
elde edilir.
Böylece bir vektör alanı bir lokal akış belirler ki bu, (2.18) ile verilen C ∞ ’un
otomorfizimlerini belirler. (2.20) ve Teorem (2.3.1) ile otomorfizimler tekrar bir vektör
alanı belirlerler, dolayısıyla üç kavram bir kavramda birleştirilebilir.
Eğer M ,
X
ve
f
analitiklerse, o zaman t → τ tX ( f ) q , 0 ’ın bir komleks
komşuluğunda analitiktir. t ’ye göre kuvvet serisi,
∞
tn
n
( LX ) f
n = 0 n!
τ tX ( f ) = etL f = ∑
X
(2.21)
biçiminde yazılabilir. İki X ve X vektör alanlarının akışları asimptotik olarak
birbirlerine yaklaşıyor olabilir; yani her q ∈ M için bir p ∈ M vardır, öyle ki Φ tX ve
Φ tX
beraber
yakınsıyor
olabilir.
Bununla
beraber
bunlar
ayrı
ayrı
yakınsamayacaklarından burada gerekli olan
lim Φ −Xt Φ tX = Ω
(2.22)
t →∞
26
limitinin var olmasıdır. Diffeomorfizimlerin bir noktasal limiti bir diffeomorfizim
üzerinde x → x t gönderimlerinin limiti
olmayabilir; mesela
→ 0 ’dır. Bununla
beraber, eğer Ω bir diffeomorfizim ise, o zaman grup özelliğinden
Ω ΦτX = lim Φ −Xt Φ tX ΦτX = lim Φ −Xt Φ tX+τ
t →∞
t →∞
= lim Φτ
X
t →∞
Φ
X
−t
Φ = ΦτX Ω
X
t
(2.23)
olur, dolayısıyla her t için
Φ tX = Ω Φ tX Ω −1
(2.24)
olur. Bundan dolayı X ve X tarafından meydana getirilen akışlar aynı zamanda
diffeomorfik olmalıdırlar. Teorem (2.5.1) ve (2.13), (2.20) ve (2.21) eşitlikleri
kullanılarak, f ∈ C ∞ olmak üzere,
(
d
d
f Φ tX Ω ) t = 0 =
f Ω Φ tX
(
dt
dt
d
d X
⇒ (τ tX ( f ) Ω ) t = 0 =
τ t ( f Ω)
dt
dt
d
d tLX ( f Ω )
e
⇒ ( etLX f Ω ) t = 0 =
t =0
dt
dt
d
⇒ ( etLX f ( Ω ) ) t = 0 = LX ( f Ω ) t = 0
dt
(
)
(
⇒ ( LX ( f ) ) Ω
t =0
(
= LΩ* X ( f )
)
t =0
t =0
)
)
Ω
t =0
elde edilir. Son işlem satırından,
LX = LΩ* X
( veya ) X
= Ω* X
(2.25)
27
sonucu çıkar. Buna göre Ω diffeomorfizimi vektör alanlarını birbirlerine dönüştürür.
Böylece asimptotik olarak eşit akışlar farklı koordinat sistemlerinde ifade edilmiş aynı
akış olarak görülebilir.
Teorem (2.5.2): X ( q ) ≠ 0 olan her q ∈ M noktasında; Φ (U ) = I × V , V ⊂
x ∈V
için
t → Φ −1 ( t , { x} ) , ∀t ∈ I ,
X ’in
bir
integral
m −1
eğrisidir;
; her
ve
Φ* X : ( x1 , x2 ,..., xm ) → ( x1 , x2 ,..., xm ;1,0,...,0 ) olacak biçimde bir (U , Φ ) haritası vardır.
İspat: X ( q ) ≠ 0 olduğundan, ψ ( q ) = 0 ∈
m
olan bir (U1 ,ψ ) haritası bulunabilir öyle
ki, ψ * X ( 0 ) = (1,0,...,0 ) ’dır. ψ * X ∈ T 01 (ψ (U1 ) ) , sürekli olduğu için üzerinde X ’in
görüntüsünün birinci bileşenin (1 2 ) ’den daha büyük olduğu 0 ’ın bir açık, göreli
olarak
X 0 ∈ T 01 (
kompakt
m
U2
komşuluğu
) : x → ( x;1,0,...,0 )
vardır:
1
> 1 2, ∀x ∈ U 2 .
Eğer
ve U ⊂ U 2 , 0 ’ı içeren bir açık cümle ise, o zaman
verilen bir fonksiyon 0 ≤ f ≤ 1 olan f ∈ C ∞ (
⎧0
f =⎨
⎩1
(ψ * X )
m
) ve
CU 2 üzerinde
U üzerinde
ise,
X = f ⋅ψ * X + (1 − f ) X 0 ∈ T 01 (
m
)
aradeğer vektör alanı tanımlanabilir. Açık olarak
( X ) ( x ) > 1 2, ∀x ∈
1
m
, ve X bir
akış meydana getirir, çünkü bir kompakt cümlenin dışında X 0 ile aynıdır (Şekil 2.7).
(
)
1
Dolayısıyla, Φ tX ( x ) ≥ x t + t 2 için
28
Ω = lim Φ −Xt0 Φ tX
t →∞
vardır ve
⎧
⎨x ∈
⎩
m
⎫
: x1 > sup x 1 ⎬
x ∈U 2 ⎭
üzerinde Φ tX 0 ve Φ tX özdeştirler. Eğer t > τ için, Φ tX bir noktayı U 2 ’nin dışına
göndermişse, o zaman o noktada Φ tX 0 ve Φ tX özdeş olduklarından her t > 0 için
Φ −Xτ0 − t1 ΦτX+ t1 = Φ −Xτ0 Φ −Xt0 ΦτX Φ tX1 = Φ −Xτ0 ΦτX
olur. Bu yüzden limit sonlu bir zaman sonra kompakt cümlenin üzerinde elde edilir ve
Ω bir diffeomorfizimdir. (2.24) eşitliğine göre Ω , X ’yı X 0 ’a dönüştürür ve U
üzerinde X ve ψ * X eşittirler. Teoremin Φ gönderimi Ω ψ ’dir.
Şekil 2.7 Aradeğer vektör alanı X
29
Bu teorem X ’in akış çizgisi kullanarak şöyle ispatlanır: U1 , ψ ’nin tanım bölgesi olsun
ve ψ (U1 ) = I1 × V1 , I1 ⊂ , V1 ⊂
m −1
olsun. Teorem (2.5.2) bu haritayı kullanarak,
ψ * X u = u denkleminin bir lokal u ( t ; x1 ,..., xm ) çözümünün varlığını garantiler.
f ( t ; x2 ,..., xm ) = u ( t ;0, x2 ,..., xm ) : I 2 × V2 →
Orijinde
Df ( 0 ) :
∂f
∂t
0
m
→
m
,
I 2 ⊂ I1 , V2 ⊂ V1
fonksiyonu
türevine sahiptir, çünkü fi bileşenleri
= X i ( 0 ) = (1, 0,..., 0 ) ,
∂f
∂x2
0
= δ i 2 , v.s.
sağlayacak biçimde bulunur. Bu yüzden I 3 ⊂ I 2 , ve V3 ⊂ V2 olan bir I 3 × V3 komşuluğu
üzerinde Df
terslenebilirdir ve sonuç olarak f orada diffeomorfizimdir. Çünkü
f ( 0, x2 ,..., xm ) = ( 0, x2 ,..., xm ) , ψ (U ) = I 3 × V3 ∩ f ( I 3 × V3 ) ≠ ∅ ’dır, yeni bir harita
(
olarak U , f −1 ψ U
)
tanımlamak mümkündür (Şekil 2.8). Bu harita üzerinde vektör
alanı,
Φ* X = T ( Φ ) X Φ −1 = T ( f −1 ) ψ * X
f = T ( f −1 ) f
= T ( f −1 ) T ( f ) (1, 0,..., 0 ) = (1, 0,..., 0 )
formuna sahiptir. Bu yüzden I × { x} ’ler integral eğrileridir.
30
Şekil 2.8 Bölgelerin ilişkisi
X ( q ) = 0 olan q noktaları kritik noktalardır denir; bu noktalar akışın sabit
noktalarıdır. Teorem m − 1 tanesi zamandan bağımsız m yerel hareket integralini
gösterir: x1 − t , x2 ,..., xm . Bununla beraber xi ’ler yalnızca M →
fonksiyonlardır.
Bunlara Euclides koordinat fonksiyonları denir. Faz hareket interalleri LX K = 0 olan
C r -fonksiyonlar ( r ≥ 0 ) , K : M →
için korunumlu olurlar.
Mekaniğin diferensiyel denklemleri varyasyonel problemin Euler-Lagrange denklemleri
olarak bir dereceye kadar özeldirler. Burada gerekli olan x ( t ) ’nin bir,
W = ∫ dtL ( x ( t ) , x ( t ) )
(2.26)
fonksiyonelinin DW türevinin (Frechet) sıfır olmasıdır. Bu, DW = 0 koşulu herhangi
bir özel koordinat sistemi ayırmadığından, bir koordinat-bağımsız formülasyon
avantajına sahiptir. mi ve ei sırasıyla i-yinci parçacığın kütlesi ve yükü, xi - x j , i-yici
31
ve j-yinci parçacıklar arasındaki uzaklık olmak üzere N-parçacıklı bir sistemin
makroskopik Lagrangianı
2
N
x
−1
L = ∑ mi i − ∑ ( ei e j − κ mi m j ) xi - x j
2
i =1
i> j
N
(2.27)
olur. Burada κ genel çekim sabitidir. Korunumlu sistemler için Euler-Lagrange
denklemleri,
d ∂L ∂L
, i = 1,..., N
=
dt ∂xi ∂xi
(2.28a)
ile verilir. qi ( x ) , i = 1,..., N , genelleştirilmiş koordinatları kullanılarak, yukarıdaki
Lagrangian,
L=
3N
qq
∑ m (q) 2
i k
i , k =1
ik
−V (q)
(2.28b)
şeklinde yazılabilir. Burada mik her q için tekil olmayan (nonsingular) bir maristir.
Euler-Lagrange denklemleri
d ∂L ∂L
, i = 1,...,3N
=
dt ∂qi ∂qi
(2.29)
olurlar ve qi ’ler konjuge momentum pi = ∂L ∂qi = mik ( q ) qk ile ifade edilebilirler,
böylece Euler-Lagrange denklemlerine eşdeğer olarak Hamiltonian formunda
denklemleri yazmak daha uygun olur: Sistemin Hamiltonianı
H ( q, p ) = ∑ pi qi − L = ∑
i
i ,k
qi qk
m −1 ( q ) ) + V ( q )
(
ik
2
32
(2.30)
olur ve Hamilton denklemleri
dqi ∂H
,
=
dt ∂pi
dpi
∂H
=−
dt
∂qi
(2.31)
yazılabilir. Burada açıkça L ’nin tanjant demeti üzerinde bir vektör alanı ( ( p, q )
koordinatları) sağladığı görülüyor.
2.6 Tensörler
Eğer E bir sonlu boyutlu vektör uzayı ise, o zaman E →
( veya )
lineer
gönderimlerinin uzayına onun dual uzayı E * denir. Bu gönderimler skaler çarpımlar
biçiminde yazılabilir: Herhangi bir υ * ∈ E * ’a bir u → (υ * u ) gönderimi karşı gelir, öyle
ki her α i ∈
(υ
*
için
α1u1 + α 2u2 ) = α1 (υ * u1 ) + α 2 (υ * u2 )
(2.32)
dir. Eğer aynı zamanda,
(α υ
*
1 1
+ α 2υ2* u ) = α1 (υ1* u ) + α 2 (υ2* u )
(2.33)
olduğu varsayılırsa, o zaman E * bir lineer uzaydır. E * , aşağıdaki özellikleri sağlar:
(i)
Eğer her υ * ∈ E * için (υ * u ) = 0 ise, o zaman u = 0 ’dır.
(ii)
dim E * = dim E
33
(iii)
(iv)
(E )
* *
=E
Her lineer L : E → F (bir vektör uzayı) gönderimi birebir ve örten olarak
(birebir eşleme biçiminde) bir lineer Lt : F * → E * gönderimi ile ilişkilendirilir, öyle ki
her υ * ∈ F * ve u ∈ E için
( Lυ u ) = (υ
t
*
1
*
1
Lu ) olur. Lt , gönderimi L ’nin adjointi
(eşleniği) olarak adlandırılır.
İspat (iv): υ → (ω * Lυ ) , E üzerinde bir lineer fonksiyoneldir ve bundan dolayı Lt bir
lineer F * → E * gönderim olmak üzere, υ → ( Ltω * υ ) yazılabilir. L → Lt ilişkisi
L1t = Lt2 ⇔ L1t ω * = Lt2ω * , ∀ω * ∈ F * ⇔
L1t ω * υ = Lt2ω * υ , ∀υ ∈ E ⇔
ω * L1υ = ω * L2υ , ∀υ ∈ E , ∀ω * ∈ F * ⇔ L2 = L1
için birebirdir. E ** = E ve F ** = F ( E ve F sonlu boyutludur) olduğundan, herhangi
L : E → F için,
Lttυ ω * = υ Ltω * = Ltω * υ = ω * Lυ
dir. Bu yüzden Ltt = L olur. Böylece bir Lt : F * → E * için
L = L*t : E → F , Lυ ω * = υ L*ω * , ∀υ ∈ E , ∀ω * ∈ F *
ve dolayısıyla Lt = ( L*t ) ≡ L*tt ’dir, yani ilişki aynı zamanda örtendir. Bu ispatı
t
tamamlar.
34
Tanım: Tq ( M ) ’nin Tq* ( M ) dual uzayına q noktasında M ’nin kotanjant uzayı denir
ve bunun elemanlarına kovektör denir.
(
)
Bir ortogonal baz ei , ei e j = δ ij ile
n
kendi dual uzayı ile belirlenebilir. Eğer baz bir
(
)
ortogonal L birebir eşleşmesi ei → Lei gibi dönüştürülürse, e*i e j = δ ij sağlamak için
dual baz, {e*i } , ( L−1 ) ile dönüştürülmelidir. Φ diffeomorfizimi tarafından Tq ( M )
t
üzerinde meydana getirilen (indüklenen) Tq ( Φ ) dönüşümü genellikle ortogonal
olmadığından ve ayırt edilen koordinat sistemi olmadığından, Tq ( M ) ’de bir vektör
Tq* ( M ) ’de harita-bağımsız anlama sahip olmayan bir vektörle aynıdır. Haritaların
değişimi ile farklılaşırlar ve eşit olmazlar. Bu yüzden Tq ( M ) ’yi M ek bir yapıya, bir
Riemannian metrik gibi, sahip olmadan Tq* ( M ) ’den ayırt etmek zorunludur.
*
q
T
( M ) ’nin
**
q
T
(M )
dual uzayının Tq ( M )
ile belirlenmesi
(
⎛ −1 t
⎜ (L )
⎝
)
−1 t
⎞
⎟ =L
⎠
olduğundan haritaların değişimi tarafından etkilenmez. Bir υ * ∈ Tq* ( M ) , υ * ’a ortogonal
olan tüm υ ’lerden meydana gelen bir m − 1 boyutlu hiperdüzlem tanımlar. (υ * υ ) = 0
olduğu için, skaler çarpımın hiperdüzlemin dışına yönelen bir vektörün bileşenini
ölçtüğü görülüyor. Eğer υ bir ok ve υ * paralel hiperdüzlemlerin bir dizisi olarak
düşünülürse, o zaman (υ * υ ) onların kaç tanesinin ok tarafından delinip geçildiğini
söyler. Bununla berber υ * , (υ * υ⊥ ) = 0 olan bir tek υ = υ + υ⊥ ayrışımı tanımlamaz.
Vektör analizinde bir f fonksiyonunun gradyenti bir vektör örneğidir. Burada ise
Tq* ( M ) ’in bir elemanı olarak tanımlanır. Bir
Tq ( f ) : Tq ( M ) → Tq* (
)=
f ∈C∞ (M )
fonksiyonu bir
gönderimi tanımlar ki bu yüzden Tq* ( M ) ’nin bir
35
elemanıdır. Bu gönderim df q ile gösterilir ve q noktasında f ’nin dış türevi olarak
adlandırılır. Bir harita üzerinde
df q (υ ) = υ i
∂f
∂q i
q
, ∀υ ∈ Tq ( M )
(2.34)
bilinen formül ile verilir.Eğer Tq ( M ) ’nin bir vektörü X vektör alanı ile belirtilirse, bu
gönderim
df q ( X ( q ) ) = ( LX f )( q ) , X ∈ T ( M )
(2.35)
olur. Böylece df ’nin etkisi bir X vektörüne X yönünde f ’nin değişim oranını
yükler.
Bir C = (U , Φ ) haritası, Φ ( q ) = ∑ ei q i ∈
{ei }
bazını
m
’den
{∂
verilmiş olsun, ΘC−1 ( q ) ters gönderimi
m
∂qi } biçiminde yazılan Tq (U ) ’ya nakleder. Aynı şekilde,
ΘtC ( q ) , {e*i } bazını ∂ ∂q i ’ye dual Tq* ( M ) ’nin bazına dönüştürür. Bu baz, eğer q i , M
üzerinde bir C ∞ -fonksiyon olarak düşünülürse, dış türev notasyonunda dq i şeklinde
yazılır:
(
∂q i
dq Θ ( q ) e j = dq q ( Θ ( q ) e j ) = LΘ−1 ( q )e q = j = δ ij
C
j
∂q
i
−1
C
)
i
−1
C
i
(2.36)
Koordinatların diferansiyelleri dq i ’ler Tq* (U ) ’nun doğal bazı olarak adlandırılır.
(2.34)’e göre
df = υ
∂f
dq i
i
∂q
(2.37)
36
olur.
Her çarpanında lineer bir
Tq* ( M ) × Tq* ( M ) × ... × Tq* ( M ) →
r kere
gönderimi r-dereceden bir kontravaryant tensördür. Aynı biçimde s-dereceden bir
kovaryant tensör
Tq ( M ) × Tq ( M ) × ... × Tq ( M ) →
s kere
bir multilineer gönderimdir.
Tanım: q noktasında her çarpanına göre lineer bir
Tq* ( M ) × Tq* ( M ) × ... × Tq* ( M ) × Tq ( M ) × Tq ( M ) × ... × Tq ( M ) →
r kere
(2.38)
s kere
gönderimi bir r-dereceden kontravaryant ve s-dereceden kovaryant tensördür denir.
Bu multilineer gönderim,
(t υ
*
1
) (
+ u1* ,υ2* ,...,υr* ;υ1 ,...,υ s = t υ1* ,υ2* ,...,υr* ;υ1 ,...,υ s
(
)
+ t u1* ,υ2* ,...,υr* ;υ1 ,...,υ s
v.s. olmak üzere,
37
)
(υ ,...,υ ;υ ,...,υ ) → ( t υ ,...,υ ;υ ,...,υ ) ∈
*
1
*
r
1
s
*
1
*
r
1
(2.39)
s
bir skaler çarpım biçiminde ifade edilir. Eğer ilk çarpan için bir dağılma kuralı,
(α t + α t
11
2 2
)
(
υ1* ,...,υr* ;υ1 ,...,υs = α1 t1 υ1* ,...,υr* ;υ1 ,...,υ s
(
)
+ α 2 t2 υ1* ,...,υr* ;υ1 ,...,υ s
)
kabul edilirse, o zaman multilineer gönderimlerin uzayı bir lineer yapı da kazanır ve bu
uzay Tqsr ( M ) ile gösterilir. Buna göre Tq10 ( M ) = Tq ( M ) ve Tq01 ( M ) = Tq* ( M ) olur.
Tanım: r vektörün ve s kovektörün u1 ⊗ u2 ⊗ ... ⊗ ur ⊗ u1* ⊗ u2* ⊗ ... ⊗ us* ∈ Tsr tensör
çarpımı,
(
)
(
u1 ⊗ ... ⊗ ur ⊗ u1* ⊗ ... ⊗ us* υ1 ⊗ ... ⊗ υr ⊗ υ1* ⊗ ... ⊗ υ s* = ∏ (υi* ui ) ∏ υ *j u j
r
s
i =1
i =1
)
(2.40)
ile tanımlanır. Tensör çarpım aşağıda verilen özellikleri sağlar:
(i) (υ1 + υ2 ) ⊗ ω = υ1 ⊗ ω + υ2 ⊗ ω
(ii) υ ⊗ (ω1 + ω2 ) = υ ⊗ ω1 + υ ⊗ ω2
(2.41)
(iii) α (υ ⊗ ω ) = αυ ⊗ ω = υ ⊗ αω
Dolayısıyla ⊗ tensör çarpımı Tsr × Tsr' ' ’den Tsr++sr' ' ’ye dağılımlı (distributive) ve
birleşmeli (associative) bir gönderimdir. Fakat tanımdan görüldüğü gibi değişmeli
(commutative) değildir. Bu gönderimle ⊗r , s Tsr bir cebir olur ve buna T tensör cebiri
denir (Hassani 1999).
38
Her tensör, vektörlerin bir tensör çarpımı biçiminde yazılmamasına rağmen, Tsr açık
olarak böyle terimlerin bir lineer kombinasiyonu tarafından gerilir. Eğer {e*i } ve {e j }
sırasıyla T10 ve T01 için baz (taban) iseler, o zaman bir t ∈ Tsr
t = ∑ ti1j1......isjr e*i1 ⊗ ... ⊗ e*is ⊗ e j1 ⊗ ... ⊗ e jr
(2.42)
i, j
biçiminde yazılabilir. ti1j1......isjr , nicelikleri t ’nin bileşenleridir. Bir vektör uzayı gibi
düşünülerek Tsr , m r + s boyuta sahiptir. Kartezyen çarpımda boyutlar toplanırdı, fakat
burada, yani, tensör çarpımda boyutlar çarpılır.
Toplam tensör cebiri T sonsuz-boyutlu iken idealler yardımıyla bölüm cebirleri
üretilebilir.
⎧
⎫
I = ⎨∑ t ⊗ ti ⊗ t , ti ∈ T1 , t , t ∈ T ⎬
⎩ i
⎭
(2.43)
cümlesi T ’nin T1 altcümlesi tarafından üretilen bir iki-taraflı ideal olarak tanımlanır ve
bölüm cebirleri modülo I eşdeğerlik sınıflarıdır. Çarpımlar ve toplamlar bu bölüm
uzayları üzerinde bilinen yoldan tanımlanır.
Tanım: Bir t tensörü i-yinci ve j-yinci değerlerinde simetriktir ancak ve ancak bu
değerler değiş tokuş edildiği zaman onun değeri bir multilineer fonksiyon biçiminde
değişmez kalır. Aşikar olarak bu iki değeri aynı türden olmalıdır. Bir tensör
kontravaryant indislerinin her çiftinde simetrik ise kontravaryant-simetrik ve
kovaryant indislerinin her çiftinde simetrik ise kovaryant-simetriktir denir. Bir tensör
hem kontravaryant-simetrik hem de kovaryant-simetrik ise simetriktir.
39
( r, 0)
tipinde tüm simetrik tensörlerin S r ( M ) cümlesi T0r ( M ) vektör uzayının bir
altuzayını meydana getirir. Aynı şekilde, ( 0, s ) tipinde simetrik tensörlerin cümlesi
Ts0 ( M ) uzayının bir S s ( M ) altuzayını biçimlendirir. Bir simetrik t ∈ S r ( M )
tensörünün bağımsız bileşenleri, i1 ≤ i2 ≤ ... ≤ ir olmak üzere, ti1i2 ...ir ’dir. Simetrik
tensörlerin bir cümlesi bir vektör uzayı biçimlendirmesine rağmen, tensörlerin bilinen
çarpımı altında bir cebir biçimlendirmez. Gerçekten, t = t ij ei ⊗ e j ve t = t kl ek ⊗ el
tensörleri
( 4, 0 )
( 2, 0 )
tipinde simetrik tensörler olsalar bile t ⊗ t = t ij t kl ei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ el ,
tipinde simetrik tensör olmak zorunda değildir. Örneğin, t ij t kl ≠ t ik t
jl
olabilir.
Bununla beraber simetrik tensörler için simetrik çarpanların bir simetrik çarpımını
bulmak için tensör çarpımın tanımı değiştirilebilir.
Bir t tensörü i ve j indislerinde kontravaryant (kovaryant) skew-simetriktir ancak ve
ancak her
ω * ∈ T10 (υ ∈ T01 )
için
t ’nin i-yinci ve j-yinci değişkenleri için
ω * ∈ T10 (υ ∈ T01 ) yerine konulması kalan değişkenlerin değerlerine bakmaksızın sıfır
sonucunu verir. Bir kontravaryant (kovaryant) skew-simetrik tensör her
kontravaryant (kovaryant) değişken çiftinde skew-simetrik tensördür (Hassani 1999).
Bir tensör hem kovaryant hem de kontravaryant skew-simetrik ise skew-simetriktir
denir.
Tanım: V bir vektör uzay ve V * onun dual uzayı olsun. Bir simetrileyici, toplam
1, 2,..., r tamsayılarının r ! permütasyonları üzerinden alınmak üzere ve τ 1 ,τ 2 ,...,τ r ∈ V *
olmak üzere,
(
1
⎡⎣ S ( t ) ⎤⎦ (τ 1 ,τ 2 ,...,τ r ) = ∑ t τ π (1) ,τ π ( 2) ,...,τ π ( r )
r! π
)
(2.44)
ile verilen S : T0r → S r ’ye bir işlemcidir. S ( t ) , sıklıkla tS ile gösterilir, açık olarak tS
bir simetrik tensördür. Benzer bir tanım S : Tr0 → S s simetrileyicisini verir. Burada
(2.44)’deki τ 1 ,τ 2 ,...,τ r yerine υ1 ,υ2 ,...,υs ∈ V alınır.
40
Tanım: t ∈ S r ve t ∈ S s tensörlerinin simetrik çarpımı tt ile gösterilir ve toplam
1, 2,..., r + s ’nin bütün permütasyonları üzerinden olmak üzere,
tt (τ 1 ,τ 2 ,...,τ r + s ) ≡
( r + s )! S
( t ⊗ t ) (τ 1 ,τ 2 ,...,τ r + s )
r !s !
1
=
t τ π (1) ,τ π ( 2) ,...,τ π ( r + s ) t τ π (1) ,τ π ( 2) ,...,τ π ( r + s )
∑
r !s ! π
(
) (
(2.45)
)
biçiminde tanımlanır. t ∈ Sr ve t ∈ Ss tensörlerinin simetrik çarpımı da aynı şekilde
tanımlanır.
Tanımdan
simetrik
çarpımın
değişmeli
(commutative),
birleşmeli
(associative) ve dağılımlı (disributive) olduğu açıktır.
Tanım: p kovektörün υ1* ∧ υ2* ∧ ... ∧ υ *p ∈ Tp* dış çarpımı veya kama (wedge) çarpımı
(υ
*
1
ile
)
(
∧ υ2* ∧ ... ∧ υ *p u1 , u2 ,..., u p = det υi* u j
tanımlanır.
⊗
notasyonu
ile
)
(2.46)
bağlantı
herhangi
iki
kovektör
için,
υ1* ∧ υ2* = υ1* ⊗ υ2* − υ2* ⊗ υ1* ’dir. Daha genel olarak, eğer ti i ...i tamamen antisimetrik ise
12
*i p
ti1i2 ...i p e*i1 ⊗ e*i2 ⊗ ... ⊗ e
p
1
*i
ti1i2 ...i p e*i1 ∧ e*i2 ∧ ... ∧ e p
p!
=
(2.47)
(
dir. Bu ifadede, ( −1) permütasyon işareti olmak üzere, herhangi bir ( i1...i p ) → Pi1 ...i p
P
)
permütasyonu için t Pi ... Pi = ( −1) ti1 ...i p ’dir. p-yinci dereceden kovaryant, tamamen
P
1
p
antisimetrik tensörlerden meydana gelen lineer uzay Λ p ile gösterilir ve elemanları,
41
1
∑ p! e
(i )
*i1
∧ e*i2 ∧ ... ∧ e*i1ωi1i2 ...i p
(2.48)
formundadır ve boyutu ⎛⎜ m ⎞⎟ ’dir. Eğer kama (wedge) çarpım ∧ için değişme
⎝ p⎠
(associative) ve dağılma (distributive) kuralları tüm Λ p ’ye genişletilirse, o zaman
⊕ mp=0 Λ p ( Λ 0 skaler olsun) cümlesi dış cebir olarak bilinen bir dereceli (graduated)
cebir olur. e*i ’ler tarafından ki onlar için çarpım sıra değişmezdir (antikomütatif),
meydana getirildiğinden bir Grosmann cebiridir. Λ p ’nin ilgi çekici olmasının nedeni
onun elemanlarının p vektör tarafından gerilen hacimleri ölçmesidir. Kovektörler∈ Λ1
bir vektörün bileşenlerinin boyunu tanımlarlar. Doğal skaler çarpımın e*i ’yi ei ile
tanımladığı
n
de, ( e*i ∧ ei u,υ ) = u1υ 2 − u 2υ 1
(1 − 2 ) -düzlemi
üzerinde u ve υ ’nün
izdüşümleri tarafından gerilen paralelkenarın alanıdır. Bu açık olarak p vektörün,
1 ≤ p ≤ m , durumunu geneller.
Şimdiye kadar hacimleri ölçmek için elde edilen aksiyomlar aşağıdaki biçimdedirler:
μ ( u,υ , ω ,...) , u,υ , ω ,... vektörleri tarafından gerilen hacim olsun
(i) μ (α u ,υ , ω ,...) = μ ( u , αυ , ω ,...) = ... = αμ ( u ,υ , ω ,...)
(ii) μ ( u1 + u2 ,υ , ω ,...) = μ ( u1 ,υ , ω ,...) + μ ( u2 ,υ , ω ,...) , ve benzer şekilde υ = υ1 + υ2 , v.s.
için de sağlanır
(iii) μ ( u , u ,υ , ω ,...) = μ ( u ,υ ,υ , ω ,...) = ... = 0
Bu gereklilikler bir
t ∈ Λ p , μ ( u ,υ , ω ,...) = μ ( t u ,υ , ω ,...)
için şuna eşdeğerdir:
Aksiyom (i) ve (ii) bir multilineer yapıya neden olurlar ve Aksiyom (iii) tam
42
antisimetriyi ifade eder. Tam antisimetri iki argümanın değişiminde işaretin
değişmesine eşdeğerdir ve Aksiyom (iii)
μ ( u + υ , u + υ , ω ,...) = μ ( u ,υ , ω ,...) = μ ( u,υ , ω ,...) = 0
(2.49)
yol açar.
Tanım: İç çarpım
(ω , X ) → iX ω ,
Λ p ∧ T01 dan Λ p −1 ’e her iki çarpanında lineer bir
gönderimdir ve aşağıda verilen şekilde belirlenir:
(i) iX ω = (ω X ) , ω ∈ Λ p için
(2.50)
(ii) iX (ω ∧ υ ) = iX ω ∧ υ + ( −1) ω ∧ iX υ , ω ∈ Λ p için
p
Her p < 0 için Λ p = 0 kabul edilir ve, dolayısıyla ω ∈ T00 iken iX ω =0 ’dır .
Bir
g ∈ T20
tensörü
( u,υ ) ∈ T01 × T01 ’i
g ( u ,υ ) ∈
’ye resmeder. Bileşenlerinden,
u = u i ei , υ = υ i ei ve g = e*i ⊗ e*k gik olmak üzere g ( u ,υ ) = u iυ k gik yazılabilir. Eğer gik
matrisi tamamen pozitif ise, yani gik = g ki ve bütün özdeğerleri pozitif ise, o zaman bu
bilineer gönderim g ( u ,υ ) = u ,υ biçiminde yazılır ve bu skaler çarpımın özelliklerine
sahiptir:
uυ = υ u ,
υ υ ≥ 0 ve υ υ = 0 ⇔ υ = 0
(2.51)
Eğer gik matrisinin özdeğerleri muhakkak pozitif değiller ama hiçbiri sıfır değilse, o
zaman
43
g ( u ,υ ) = 0 her υ için ⇔ u = 0
(2.52)
ifadesi bulunur. Bu koşulu sağlayan g dejenere değildir (nondegenerate) denir. Bu
durum için de yukarıdaki notasyon kullanılabilir: g ( u ,υ ) = u ,υ . Bu bağıntı her bir
υ ∈ T01 ’in
υ ω = (υ * ω ) her ω için
(2.53)
formülü aracılığıyla birebir ve örten olarak bir υ * = e*i gikυ k tayin edebildiğini
garantiler:
ω = ω i ei ; υ ω = (υ * ω ) = υ iω k gik ⇒ υ * = e*i gikυ k
g tensörü böylece uzayı T01 ve T10 bir belirlenimine izin veren bir ek yapıyla donatır. O
zaman basit olarak bir vektörden söz edilebilir ve onun kontravaryant bileşenleri υ k ve
kovaryant bileşenleri ise υi = gikυ k biçiminde gösterilir. Bu tanımlama ile yukarıda
kobazlar için kullanılan yıldızlar artık düşülebilir:
ei gik = ek ve u = u i ei = ui ei
(2.54)
olur, dolayısıyla
(
)
(
δ ij = ei e j = ( ei ) e j = e*i e j
*
)
(2.55)
olduğu için,
(e )
i *
= e*i
(2.56)
44
olur. g ’ye ters matris üst indisle yazılır: gik g kj = δ i j . Diğer indisler bunun gibi gik ve
g kj ile aşağı veya yukarı yazılabilirler:
ei = g ij e j ve u i = g ij u j
(2.57)
Eğer (2.51) sağlanırsa, o zaman υ υ
12
bir vektörün boyu olarak ifade edilebilir.
Bununla beraber ne u i ne de ui , u vektörünün i-yinci bileşeninin boyu olamazlar,
örneğin
u1e1 u1e1
bileşenler u1e1 u1e1
12
= u1
12
g11
gibi. Sadece gij = δ ij olan bir ortogonal bazda
= u1 şeklinde boy belirtirler.
Eğer vektör ve kovektörler belirlenirse, o zaman aynı σ = r + s ’ye sahip bütün Tsr ’lere,
ti1 ...ir j1 ... js = t kj11......kjsr gi1k1 ...gir kr
olmak üzere,
t = t ij11......irjs e j1 ⊗ ... ⊗ e js ⊗ ei1 ⊗ ... ⊗ eir
(2.58)
= ti1 ...ir j1 ... js ei1 ⊗ ... ⊗ eir ⊗ e j1 ⊗ ... ⊗ e js
aracılığıyla özdeş bakılabilir, mesela, onların tümü birebir ve örten olarak Tσ0 ’ya
resmedilir.
Tanım: İki tensörün skaler çarpımı
t t = t j1i1......jisr tnm11......nms r gi1m1 ...gir mr g j1n1 ...g js ns
(2.59)
45
ile tanımlanan bir bilineer Tsr × Tsr → ,
(t ,t) →
Eğer g pozitif ve t ∈ Λ p ise, o zaman t t
12
t t ∈
gönderimidir.
, t ile tanımlanan p-boyutlu hacim için
bir ölçüm sağlar.
Tanım:
Λp
üzerinde
iç
çarpım
aşağıdaki
kurallarla
belirlenen,
Λ p × Λ q → Λ p − q , p ≥ q, (ω ,υ ) → iυ ω bilineer gönderimi olarak tanımlanır:
(i)
iυ ω = ω υ , p = q = 1 için,
(ii)
iυ (ω1 ∧ ω2 ) = ( iυ ω1 ) ∧ ω2 + ( −1) ω1 ∧ ( iυ ω2 ) , υ ∈ Λ1 ve ωi ∈ Λ pi için
p
(2.60)
(iii) iυ1 ∧υ2 = iυ2 iυ1 .
Bu tanım T01 , Λ1 ile bir tutulursa, (ω , X ) → iX ω , Λ p × T01 ’dan Λ p −1 ’e tanımlanan ve
(2.50) ile belirlenen iç çarpımı geneller. i ’yi bileşenler cinsinden ifade etmek için
Λ p ’nin bazı için,
j ... j p
e1
= e j1 ∧ e j2 ∧ ... ∧ e
jp
(2.61)
kısaltması kullanılabilir, böylece;
ω=
1
1
j ... j
j ... j
ω j1 ... j p e 1 p , υ = υ j1 ... jq e 1 q
p!
q!
(2.62)
ile,
46
iυ ω =
1
j ... j
j ... j
υ 1 q ω j1 ... j p e q+1 p
q !( p − q ) !
(2.63)
bulunur. p = q ise
iυ ω =
1
1
j ... j
ω υ = ω j1 ... j pυ 1 p = iωυ
p!
p!
(2.64)
olur.
Eğer υ ∈ Λ q ile dış çarpma, bir Λ q → Λ p + q gönderimi şeklinde tanımlanırsa, o zaman
υ ile iç çarpma adjoint gönderimdir (
çarpımına göre):
(
υ ∧ ω μ = iυ ∧ω μ = iω ( iυ μ ) = ω iυ μ = ( iυ ) ω μ
Özellikle, ε = g
12
t
)
(2.65)
e1...m kanonik m -formu iε ε = ( −1) ile normalize edilir. Burada
s
g = det ( gik ) ve ( −1) = g g ’dir. Λ p ve Λ m − p uzaylarının ikisi de ⎛⎜ m ⎞⎟ boyutludurlar
⎝ p⎠
s
ve dolayısıyla (2.52) özelliğini sağlayan bir g ile tanılanabilirler.
Tanım: Dualite gönderimi veya yıldız işlemcisi ω → *ω = iω ε biçiminde tanımlanan
*
→ Λ m − p birebir eşlemesidir.
bir lineer Λ p ⎯⎯
* işlemcisi birebirdir çünkü her ω ≠ 0 ⇒ *ω ≠ 0 ’dır, aynı sonlu boyutlu lineer
gönderimler için birebirlik, örten olmayı ifade eder (garantiler) ve dolayısıyla *
işlemcisi birebir ve örten bir gönderimdir (Lang 1999). Bileşenler cinsinden (2.63)’den,
47
*ω =
ω
i1 ...i p
p !( m − p ) !
e p+1 m ε i1 ...im
i
...i
(2.66)
yazılır. Yıldız işlemcisi aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(i) ε = *1, *ε = ( −1) ,
s
(ii) * * = ( −1)
p( m− p )+ s
,
(2.67)
(iii) iυ * ω = * (ω ∧ υ ) ,
(iv) Her υ , ω ∈ Λ p için υ ∧ *ω = ε iυω = ω ∧ *υ = ε ( −1) i*υ * ω.
s
İspat:
(i) iε ε = ε ε = ( −1) şeklinde normalize edilir.
s
(ii)
*ω =
p !( m − p ) !
ε i ...i = ( −1)
1
j1 ... j p
ω
p( m− p )
m
⇒ * (*ω ) =
=
e
εi
j p+1 ... jm
ω
1
j1 ... j p
j1 ... j p
p !( m − p ) !
= ( −1)
p( m − p )+ s
= ( −1)
p( m − p )+ s
m
p +1 ...im i1 ...i p
(ε
p !( m − p ) !
ω
ε j ... j , ω ∈ Λ p için ve
j1 ... jm
e j1 ... jm e
j p+1 ... jm
1
( m − p )!e j ... j ( −1)
1
ε j ... j
m
p( m− p )
p
)
(ε
i p +1 ...im i1 ...i p
e
j p +1 ... jm
e
j p+1 ... jm
ε j ... j
1
m
)
1 j1 ... j p
e j1 ... j p
ω
p!
ω ⇒ * * = ( −1)
p( m − p )+ s
elde edilir. Burada üçüncü adımda (i) sonucu ve dördüncü adımda (2.62) kullanıldı.
48
(iii) iυ * ω = iυ iω ε = iω ∧υ = * (ω ∧ υ )
Λ 0 ve Λ p ikisi de bir-boyutlu ( ε = *1, * = ( −1) kanonik m -form 1 rakamına dual
s
görüntüsüdür) ve dolayısıyla
( −1)
p( m− p )+ s
’ye izomorfiktirler. Özellik (ii)’ye göre * gönderimi
işareti dışında kendi tersine eşit olacak, fakat bunun için işaretin tanımını
değiştirmek gerekir ki bu olası değildir. Özellik (iii) iç dualite gönderiminin iç çarpımı
dış çarpıma dönüştürdüğünü ifade eder; yani iç çarpımın dış çarpıma dual olduğunu
belirtir. Özellik (iv)’de dualite teriminin orijini belirtilir. Her υ ∈ Λ p ve ω ∈ Λ m − p için
υ ∧ ω = ε {υ , ω}
(2.68)
şeklinde bir skaler çarpım tanımlanırsa, Λ p için Λ m − p dual uzay olur. Bu skaler
çarpım, i iç çarpımı ile
{υ , ω} = ( −1)
p( m− p )+ s
iυ * ω
(2.69)
bağıntısı ile bağlanır. Bu, Özellik (iii)'den açıktır.
m = 3 ve gik = δ ik olsun. Bu takdirde * * = 1 olur. Baz vektörleri,
*
p = 0,3 : 1 ←⎯
→ dx1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 ,
*
p = 1, 2 : ( x1 , dx 2 , dx 3 ) ←⎯
→ ( dx 2 ∧ dx3 , dx3 ∧ dx1 , dx1 ∧ dx 2 )
olurlar ve bileşenler için bu,
49
(2.70)
ω ∈ Λ 0 : (*ω )ijk = ωε ijk
ω ∈ Λ1 : (*ω )ij = ωk ε kij
1
2
(2.71)
ω ∈ Λ 2 : (*ω )i = ωkjε kji
ω ∈ Λ 3 :*ω =
1
ωijk ε ijk
3!
ifade eder.
Artık farklı noktalardaki bütün tensörler M üzerinde bir bir demet içinde toplanabilir.
M ’nin bir C haritasının U tanım bölgesi üzerinde ( ΘC−1 ) ,
t
T * (U ) = ∪ Tp* ( M )
(2.72)
q∈U
kotanjant demeti için
T * (U ) → Φ (U ) ×
aracılığıyla
m
bir
harita
(Θ ( q )) : T ( M ) →
−1
q
t
*
q
(υ u ) = ( ( Θ ( q ) ) υ
−1
q
*
(
: ( q,υ * ) → Φ ( q ) , ( ΘC−1 ( q ) ) υ *
t
*
*m
t
sağlar.
≡
Bu
şöyle
olmasını
m
)
(2.73)
çıkar:
gerektirir,
ΘC ( q ) : Tq ( M ) →
bundan
m
,
dolayı
)
ΘC ( q ) U ’dur. (2.8) ve (2.9)'da gösterildiği gibi farklı U ’lar
için bu haritalar uyumludur. D ( Φ Φ −1 ) yalnızca diferensiyellenebilme koşullarını
ortadan kaldırmayan D ( Φ Φ −1 )
t
ile değiştirilir. Böylece demet yapısı doğrudan
tensörlere aktarılır.
ΘC ( q ) ⊗ ... ⊗ ΘC ( q ) ⊗ ( Θq−1 ( q ) ) ⊗ ... ⊗ ( Θ −q1 ( q ) )
t
r kere
s kere
50
t
(2.74)
m( r + s )
gönderimi her q ∈ U noktasındaki Tsqr ’yi
içine gönderir. Bir birebir eşleme
olarak bu gönderim tensör demetlerinin haritaları için kullanılabilir.
Tanım: M , ∪ i Ci = ∪ i (U i , Φ i ) atlaslı bir manifold olsun. Tsr ( M ) = ∪ q Tqsr ( M )
(
∪ i ∪ q∈Ui Tqsr ( M ) , ( q, u1 ⊗ ... ⊗ ur ⊗ υ1 ⊗ ... ⊗ υ s ) →
üzerinde
(Φ (q); Θ
i
( q ) u1 ⊗ ... ⊗ ΘC ( q ) ur ⊗ ( ΘC−1 ( q ) ) υ1 ⊗ ... ⊗ ( ΘC−1 ( q ) ) υr
t
Ci
i
tanımlanan M
t
i
i
))
haritası
ile
üzerindeki vektör demetine r-kere kontravaryant ve s-kere
kovaryant tensörlerin demeti denir.
Bu tanımla, T ( M ) ≡ T01 ( M ) ve T * ( M ) ≡ T10 ( M ) olur. Vektör demetinin sağladığı
lineer yapıyı tensör demeti de sağlar. Bu tanımdan aşikardır ve dolayısıyla izdüşüm
Π : ( q; u1 ,..., ur ,υ1 ,...,υ s ) → ( q;0, 0,..., 0 ) olur. Tsr ( M ) üzerinde kullanılan topoloji
U×
m( r + s )
’nin çarpım topolojisidir. Örneğin, M bir m-boyutlu, topolojik uzay olsun:
Tsr ( M ) = M ×
m( r + s )
’dir. O zaman T * ( M ) ve T ( M ) ’nin her ikisi M ×
m
formundadır, fakat tanılanamazlar çünkü ortogonal olarak ayırt edilen baz
sağlanmamıştır. Eğer M =
× × ... ×
ise, ek Riemannian yapıdan dolayı bir
ortogonal baz var olacaktır.
Tanım: t : M → Tsr ( M ) , Π t = 1 biçiminde bir C ∞ -gönderim olsun. Böyle bir t
gönderimine r-kere kontravaryant ve s-kere kovaryant tensör alanı denir. Böyle
bütün tensör alanlarının cümlesi T s r ( M ) ile gösterilir. p-kere kovaryant tamamen
antisimetrik
tensör
alanlarına
p-form
denir
ve
p-formların
cümlesi
E p ( M ) , p = 0,1,..., m, ile gösterilir.
Kovaryant, tamamen antisimetrik p-yinci dereceden tensörlerden oluşan lineer uzaylar
Λp
gösterildi ve bu uzaylar aracılığıyla
51
Λ p × T01 → Λ p −1 ,
( X , ω ) → iX ω
ve
*
Λ p × Λ q → Λ p − q , (υ , ω ) → iυ ω , q ≤ p iç çarpımları ve Λ p ⎯⎯
→ Λ m − p , ω → *ω = iω ε ,
yıldız işlemcisi tanımlandı. p-formlar, p-kere kovaryant tamamen antisimetrik tensör
alanları olduklarından bu tanımlar tamamen aynı kalır. Bu notasyon aşağıda verilmiştir:
: T sr × T sr → C ∞
i : E p × T1 0 → E p −1
∧ : E p × Eq → E p + q
(2.75)
i : E p × Eq → E p − q
→ Em − p
*: E p
Vektör alan ve 1-kere kontravaryant tensör alan terimleri kovaryant vektör alan ve 1kere kovaryant rensör alan ve 1-form terimleri gibi eşanlamlıdır. Bir tensör alanı bir
haritanın doğal bazında lokal (yerel) olarak,
∑c
( i )( j )
i1 ...ir
j1 ... js
∂ i1 ⊗ ∂ i2 ⊗ ... ⊗ ∂ ir ⊗ dq j1 ⊗ dq j2 ⊗ ... ⊗ dq js
(2.76)
olarak yazılabilir, c(( ij)) ∈ C ∞ ( M ) . Fizikte c(( ij)) bileşenleri tensör alanları olarak
düşünülür. Bu bazda bir p-form,
∑c
( j)
j1 ... j p
dx j1 ⊗ dx j2 ⊗ ... ⊗ dx
jp
(2.77)
biçiminde yazılır.
Eğer T01 ve T10 için {ei } ve {ei } global bazları varsa, o zaman açık olarak her Tsr ( M )
için de bir global baz vardır. Bu takdirde
M×
m
→ T ( M ) , ( x,υ ) → ( x, ei ( x )υ i )
(2.78)
52
diffeomorfizimi atnımlanabilir ve manifold paralellenebilirdir denir (yani T ( M ) bir
manifold olarak M ×
m
’ye difeomorfiktir). Bundan aynı zamanda bütün Tsr ( M )
demetlerinin triviallenebilir olduğu sonucu çıkar. Eğer bir tek haritadan meydana gelen
bir atlas varsa, o zaman doğal baz global olarak tanımlanır. Bununla beraber bu koşul
zorunlu değildir; örneğin, S 1 de paralellenebilirdir. Tersine, S 2 üzerinde hiçbir yerde
sıfır olmayan düz bir vektör alanı dahi yoktur.
Eğer global olarak sıfır olmayan bir m-form varsa, o zaman M yönlenebilirdir denir.
Herhangi bir paralellenebilir M , e1 ∧ e 2 ∧ ... ∧ e m hiçbir zaman sıfır olmayacağı için
aynı zamanda yönlenebilirdir. Bu koşul da zorunlu değildir, örneğin S 2 yönlenebilirdir
ama paralellenebilir değildir. Her manifold bir Riemannian yapı ile donatılabildiği için,
böyle bir yapı yönlenebilir olmayı açık olarak garantilemez. Tersine, aşağıda
tanımlanan simplektik uzay,
g ∧ g ∧ ... ∧ g = dq1 ∧ dq1 ∧ ... ∧ dqm det ( g )
(2.79)
m 2 kere
m-formu, varsayıma göre sıfır olmayacağı için her zaman yönlenebilirdir.
Eğer g ∈ T 20 ( M ) , M’nin bütün noktalarında (2.52)'yi sağlıyor ise, o zaman orada
oluşturulan yapı M ’nin tamamına genişletilebilir ve M üzerinde ek bir yapı yaratılır.
gik ’nın tamamen simetrik veya antisimetrik ve tek bir noktada formüle edilmeyen (yani
M ’nin tamamına genişletilebilen) bir difarensiyellenebilme koşulunu sağlayan
durumları önemlidir. Eğer (2.52) her yerde sağlanıyorsa, tensör alanı dejenere değildir
(nondejeneredir) denir.
Tanım: Eğer bir M
manifoldu bir dejenere olmayan, simetrik tensör alanı
g ∈ T 20 ( M ) ile verilirse, o zaman M bir pseudo-Riemannian uzaydır denir. Eğer g
53
aynı zamanda pozitif ise, M Riemannian uzaydır ve g ’ye onun metriği denir. Eğer
g ∈ E2 , dejenere değil (m'nin tek olmasını gerektiren) ve
m2
g = ∑ dq j ∧ dq j + m 2
(2.80)
j =1
olacak şekilde bir doğal baz, dq j varsa, o zaman M bir simplektik uzaydır. Burada
kullanılan 2-form kapalıdır dolayısıyla aynı zamanda tamdır. (Kapalı form
d ω = 0 eşitliğini sağlayan formdur, tam form ise başka bir formun dış türevi biçiminde
yazılabilen formdur, dış türev biçiminde yazıldığı için kapalı olmayı otomatik olarak
sağlar (Poincare leması)) (Lang 1999).
gik , bütün sıfır olmayan özdeğerleriyle bir sabit simetrik matris olmak üzere,
g = ∑ dx i ⊗ dx k gik
(2.81)
i ,k
ile
n
bir pseudo-Riemannian uzay olur. g , bir ortogonal xi → mij x j dönüşümüyle
diagonal hale getirilebilir ve o zaman bütün özdeğerler, bir
xi →
xi
(2.82)
(g )
12
ii
genişlemesiyle gii = ±1 ’e normalize edilebilirler. Bu haritalar pseudo-Euclidean
dönüşümlere göre belirlendiklerinden özel bir konuma sahiptirler:
n=4
ve
gii = ( −1,1,1,1) için dönüşüm Poincare grubu biçimlendirir (oluşturur). Her gii = 1 iken
n
bir Riemannnian uzay olur. Diğer haritalar üzerinde bu uzayın gij ’leri diagonal ya
da sabit olmak zorunda değildirler; örneğin Riemannina durumda
koordinatlarda, g = dr ⊗ dr + r 2 dϕ ⊗ dϕ ’dir.
54
n
’de ve kutupsal
M
iki manifold ve N ⊂ M olsun. Bu takdirde T ( N ) , T ( M ) ’nin bir
ve N
altmanifoldu olur ve bir dejenere olmayan g ∈ T 20 ( M ) , g > 0 , N üzerinde bir
Riemannian yapıya neden olur, çünkü g aynı zamanda bir dejenere olmayan
Tq ( N ) × Tq ( N ) →
n +1
Tn ⊂
gönderimi sağlar.
n
, üzerinde gik = δ ik metriği S n veya
üzerinde bilinen metriğe neden olur.
n
’nin Riemannian yapısı mekanikte
mik ( q ) qi qk 2 biçiminde yazılan kinetik enerji nedeniyle açıkça görünür. Bu,
Tq ( M ) × Tq ( M ) →
gönderimi tam olarak bir metriktir. (2.54)'de belirtilen
Tq ( M ) × Tq* ( M ) →
birebir eşlemesi (bijection), bir metrik tarafından neden olunmuş
ve
mik ( q ) qk = ∂L ∂qi ,
qi ’yı
T * ( M ) ’nin
yani
bir
noktasına
karşı
gelen
pi : ( p, q ) konjuge momentuma gönderir.
gik , bir pseudo-Riemannian uzay üzerinde diagonal hale getirelebildiği için, g ’nin
⎧0, i ≠ j ise
g = ei ⊗ e kηik , ηik = ⎨
⎩±1, i = j ise
(2.83)
dik (normal) formuna sahip olduğu bir ortogonal {e j } , bazı lokal olarak tanımlanabilir.
Bu baz simplektik bazın dik formu (2.80) bazı gibi doğal olmak zorunda değildir.
2.7 Kovektörlerin Dönüşümleri
Bir Φ : M 1 → M 2 , diffeomorfizimi bir T ( Φ ) : T ( M 1 ) → T ( M 2 ) diffeomorfizmine
neden
(⏐) : T
*
olur.
π
Bu
ilişkiler
( M ) ×T * ( M ) → M ×
m
göz
önünde
bulundurularak
aşağıda
skaler çarpımının invaryant (değişmez) kalacağı bir
55
π
T * ( M 1 ) → T * ( M 2 ) diffeomorfizimi tanımlanacak. Burada × simgesi lif (fiber)
çarpımı ifade eder ve çarpanların aynı taban (base) noktasında alındığını anlatır.
Bir
Φ : M1 → M 2
diffeomorfizimi
için
diğer
T * ( Φ ) : T * ( M1 ) → T * ( M 2 )
diffeomorfizimi aşağıdaki diyagramları yer değiştirecek (değiş tokuş olacak) biçimde
tanımlanır:
Bir
haritanın
( q, u ) →
tanım
( Φ ( q ) , (T ( Φ
−1
bölgesi
üzerinde
T * (Φ)
açık
olarak
) ) ( q ) ⋅ u ) , diferansiyellenebilme ve teklik aşikardır. Burada t
t
bir sabit q noktasında bir lineer gönderimin transpozunu göstermektedir. Genellikle bu
basit olarak T * ( Φ ) = T ( Φ −1 ) şeklinde gösterilir.
t
T ( Φ ) ⊗ T ( Φ ) ⊗ ... ⊗ T ( Φ ) ⊗ T * ( Φ ) ⊗ T * ( Φ ) ⊗ ... ⊗ T * ( Φ )
r kere
s kere
tensör çarpımını kurmak, Tsr ( M ) ’nin bir diffeomorfizim altında nasıl değiştirildiğini
gösterir.
56
∂ i1 ⊗ ∂ i2 ⊗ ... ⊗ ∂ ir ⊗ dq j1 ⊗ dq j2 ⊗ ... ⊗ dq js
bazının vektörleri sırasıyla T ( Φ ) ve T * ( Φ ) ile dönüştürülmelidir ve linerlik bunu
Tsr ( M ) ’nin tamamına genişletir. Bu yolla, bir manifoldun diffeomorfizimleri altında
ve özellikle harita değişimleri altında tensör alanları için bir dönüşüm kuralı elde edilir.
Tanım: Bir Φ : M 1 → M 2 diffeomorfizimi aşağıda verilen diyagramın permüte
edilebilirliği (pemutability) ile tanımlanan bir Φ* : T s r ( M 1 ) → T s r ( M 2 ) gönderimine
neden olur (Thirring 1997):
t ∈ T s r ( M ) olmak üzere,
Φ*t = T ( Φ ) ⊗ T ( Φ ) ⊗ ... ⊗ T ( Φ ) ⊗ T * ( Φ ) ⊗ T * ( Φ ) ⊗ ... ⊗ T * ( Φ ) t Φ −1
r kere
(2.84)
s kere
olur. g ∈ C ∞ ( M 1 ) verilsin.
Φ*dg = d ( g Φ −1 ) = d ( Φ* g )
(2.85)
olur (aşağıdaki diyagrama bakın). Bir fomksiyonun dış türevinin görüntüsünün
fonksiyonun görüntüsünün dış türevine eşit olması açıktır. dg , bir u : I → M 1 eğrisi ile
57
belirlenen bir υ vektörüne uygulanırken, u boyunca g ’nin değişim oranıdır. Bu,
Φ u boyunca g Φ −1 ’in değişim oranı ile aynıdır,
ve son eğri T ( Φ ) altında υ vektörünün görüntüsünü belirler.
Bir vektörün görüntüsü onu tanımlayan eğrilerin görüntüleri ile belirlenir. Bir
kovektörün görüntüsü öyledir ki onun bir vektörün görüntüsü ile çarpımı vektörle
kovektörün hakiki (orijinal) çarpımına eşittir. Bu koşullar tabanlar arasında ilişkileri
sabitler ve Φ* ’ın cebirsel operatörlerle sıra değişebilirliğinden (permutability) dolayı:
Bütün tensörler arasında
Φ* ( t1 + t2 ) = Φ* ( t1 ) + Φ* ( t2 ) ,
(2.86)
Φ* ( t1 ⊗ t2 ) = Φ* ( t1 ) ⊗ Φ* ( t2 )
vardır. Tensör alanları ise, her noktada o noktadaki tensörler gibi dönüşürler. Bileşim
ise tanımda verilen diyagram gereğince aşağıdaki gibidir:
( Φ1
Φ 2 )* = Φ1* Φ 2*
(2.87)
()
Φ diffeomorfizimi altında ⏐ skaler çarpımı değişmez (invaryant) olmakla beraber,
aynısı
için veya daha genel olarak Φ , g metriğini değişmez (invaryant)
bırakmak koşuluyla i iç çarpımı için doğrudur. Bir pseudo-Riemannian yapıyı
58
değişmez (invaryant) bırakan diffeomorfizimler izometridir denir ve onların bir
simplektik yapıyı değişmez (invaryant) bırakanlarına kanonik dönüşümler denir.
Φ birebir olmadığı takdirde, yalnızca kovaryant tensör alanlarının terslerini tanımlamak
olasıdır. Φ , örten bile olsa, örneğin bir alt manifoldun j injeksiyonu (tek boyutlu
daldırması), j : N → M ⊃ N , T ( j ) : T ( N ) → T ( M ) ⊃ T ( N ) ise, bir vektör alanının
ne görüntüsü ne de ters görüntüsü tanımlanır; görüntünün heryerde tanımlanmış olması
başarılmaz ve ters görüntü M , metrik verilmeden Tq ( N ) ’ye tümleyen olan Tq ( M ) nin
bir ayrık altuzayına sahip değildir.
Tanım: Φ : N → M
iki manifoldun bir diferansiyellenebilir gönderimi olsun.
Kovaryant tensör alanlarının Φ* : T s0 ( M ) → T s0 ( N ) , ters görüntüsü veya pull-back
gönderimi,
Φ* X = (T ( Φ ) )
t
X Φ
(2.88)
bağıntısı ile tanımlanır. Bu aşağıdaki diyagramın sıra değişmesine (commutativity)
eşdeğerdir:
Diffeomorfizimler için,
Φ* = ( Φ −1 )
(2.89)
*
59
dir. Bir t kovaryant vektör alanının Φ*t , pull-backi vektörler üzerine tam olarak t ’nin
T ( Φ ) altında onların görüntüleri üzerine etkidiği gibi etki eder:
Φ*t (υ1 ,υ2 ,...,υ s ) = t (T ( Φ )υ1 , T ( Φ )υ2 ,..., T ( Φ )υ s )
(2.90)
Eğer t = dg ∈ T1 0 ( M ) ise, o zaman (2.85) ve (2.89)’a göre,
Φ*dg = d ( g Φ )
(2.91)
bulunur ki Φ örten ya da birebir olmak zorunda değil.
ω ∈ T10 ( M )
Φ*ω ’nın tam formu lokal koordinatlarda, koordinatların
olsun,
diferansiyellerinin
temel
(veya
gradiyent)
dönüşümleri
ile
ilişkilendirilmeli:
Φ : q i → q i ( q ) için, (T ( Φ ) )ij = ∂q i ∂q j olur. Bundan dolayı
(
T ( Φ −1 )
)
t
ij
= (T * ( Φ ) ) =
ij
∂q j
∂q i
(2.92)
dir. ω : q → ( q, ωi ( q ) dq i ) olsun. O zaman,
⎛ ∂q j
Φ*ω : q → ⎜ i
⎝ ∂q
⎞
−1
i
⎟ ω j ( Φ ( q ) ) dq
⎠
(2.93)
olur. Kovaryant bileşenler T ( M ) ’nin ∂ i bazı ve dolayısıyla gradiyent ile aynı biçimde
dönüşürler:
60
⎛ ∂q j ⎞ ⎛ ∂f ⎞
⎛ ∂ ⎞
f
q
q
=
(
)
) ⎜ ∂q i ⎟ ⎜ ∂q j ⎟
⎜ i⎟ (
⎝ ∂q ⎠
⎠
⎝
⎠⎝
(2.94)
Diğer yandan,
⎛ ∂q i ⎞
dq i = ⎜ j ⎟ dq j
⎝ ∂q ⎠
(2.95)
dir ve böylece bileşenler değişmez bırakılır. Bir m-form için dönüşüm kuralı ise, ω bir
m-form olmak üzere,
ω = ω1,...,m dx1 ∧ dx 2 ∧ ... ∧ dx m
∂x1 ∂x 2 ∂x m
... jm dx j1 ∧ dx j2 ∧ ... ∧ dx jm
j1
j2
∂x ∂x
∂x
i
⎛ ∂x ⎞
= ω1,...,m det ⎜ j ⎟ dx j1 ∧ dx j2 ∧ ... ∧ dx jm
⎝ ∂x ⎠
= ω1,...,m
şeklindedir.
61
(2.96)
3. TÜREVLER, LİE TÜREVİ VE İNTEGRALLER
3.1 Dış Diferansiyel
Sadece bir ek yapıya sahip olmayan bir manifold için diferansiyellenmenin temel
işleminin genellemesi bir formun dış diferansiyelidir (türevidir). Eğer bir lokal akış bir
vektör alanı ile verilirse o, bir keyfi vektör alanının Lie türevini tanımlar. (2.34) d dış
türevi temel analizin diferansiyelleme işlemlerini de içeren bir d : E p → E p +1
gönderimine genellenir.
Tanım: ω bir harita üzerinde
ω=
1
i
c(i ) dq i1 ∧ dq i2 ∧ ... ∧ dq p , c( i ) ∈ C ∞ (U )
∑
p ! (i )
(3.1)
şeklinde yazılan bir p-form olsun. O zaman (p+1)-form,
dω =
1
i
dc(i ) ∧ dq i1 ∧ dq i2 ∧ ... ∧ dq p
∑
p ! (i )
(3.2)
verilen ω , p-formunun dış diferansiyeli (türevi)’dir denir. Bu tanım göz önüne
alınarak dış türevin aşağıdaki kuralları sağladığı görülür:
(a) d (αω1 + βω2 ) = α d (ω1 ) + β d (ω2 ) , ωi ∈ E p ( M ) , α ,β ∈
(b) d (ω1 ∧ ω2 ) = d (ω1 ) ∧ ω2 + ( −1) ω1 ∧ d (ω2 ) , ω1 ∈ E p , ω2 ∈ Eq
p
(c) dd ω = 0, ω ∈ E p , p = 0,1,..., m
62
(3.3)
(d) df = ( ∂ i f ) dq i , f herhangi bir reel değerli fonksiyon.
(a), aşikardır ve (a), d ’nin lineerliğini ifade eder. (b) kuralına dış (wedge) çarpımına
göre d ’nin antitürev özelliği denir (Warner 1971) ve ω1 ∈ E p ve ω2 ∈ Eq
⎛ 1 1
i
j ⎞
d (ω1 ∧ ω2 ) = d ⎜
c( i ) ⋅ c( j ) dq i1 ∧ dq i2 ∧ ... ∧ dq p ∧ dq j1 ∧ dq j2 ∧ ... ∧ dq q ⎟
⎜ p ! q ! (∑
⎟
i )( j )
⎝
⎠
1 1
i
dc(i ) ⋅ c( j ) + c(i ) ⋅ dc( j ) dq i1 ∧ dq i2 ∧ ... ∧ dq p
=
∑
p ! q ! ( i )( j )
((
)
∧ dq j1 ∧ dq j2 ∧ ... ∧ dq
jq
)
⎛ 1
i ⎞
= ⎜ ∑ dc( i ) ∧ dq i1 ∧ dq i2 ∧ ... ∧ dq p ⎟
⎜ p ! (i )
⎟
⎝
⎠
⎛1
j ⎞
∧ ⎜ ∑ c( j ) dq j1 ∧ dq j2 ∧ ... ∧ dq q ⎟
⎜ q! ( j)
⎟
⎝
⎠
p⎛ 1
i ⎞
+ ( −1) ⎜ ∑ c(i ) dq i1 ∧ dq i2 ∧ ... ∧ dq p ⎟
⎜ p ! (i )
⎟
⎝
⎠
⎛1
j ⎞
∧ ⎜ ∑ dc( j ) ∧ dq j1 ∧ dq j2 ∧ ... ∧ dq q ⎟
⎜ q! ( j)
⎟
⎝
⎠
= d (ω1 ) ∧ ω2 + ( −1) ω1 ∧ d (ω2 )
p
elde edilir ve (c) kuralı parçalı türevin simetrisinden çıkar:
⎛
dd ω = d ⎜
⎜
⎝
⎛
=d⎜
⎜
⎝
1
i ⎞
dc( i ) ∧ dq i1 ∧ dq i2 ∧ ... ∧ dq p ⎟
∑
⎟
p ! (i )
⎠
∂c(i ) j
1
i ⎞
dq ∧ dq i1 ∧ dq i2 ∧ ... ∧ dq p ⎟
∑∑
j
⎟
p ! (i ) j ∂q
⎠
= ∑∑
(i )
j ,k
2
1 ∂ c( i )
i
dq k ∧ dq j ∧ dq i1 ∧ dq i2 ∧ ... ∧ dq p
k
j
p ! ∂q ∂q
63
∂ 2 c( i )
burada
∂q ∂q
k
j
=
∂ 2 c( i )
∂q ∂q
j
k
(simetrik)
ve
dq k ∧ dq j = −dq j ∧ dq k
(antisimetrik)
olduklarından yukarıdaki toplam sıfıra eşit olur. Bu sonuç, dd ω = 0 olduğunu ifade
eder. (d) kuralı (2.37)’de verilmiştir. Yukarıdaki tanımın koordinat bağımsız olması
istenir, bu da diffeomorfizimlere göre d ’nin doğal olmasını (doğal bazda ifade edilmiş
olmasını) gerektirir. Bir Φ : M 1 → M 2 diffeomorfizimi için aşağıdaki diyagram permüte
edilebilirdir:
Bu diyagram,
Φ*d ω = d Φ*ω
(3.4)
eşitliğine eşdeğerdir. Bu şu şekilde çıkar: (2.84) eşitliği (bu özel bir durumdur ve q i ’ler
M ’nin elemanları olduklarında geçerlidir) ve onun aşağısında verilen diyagram
kullanılarak,
( )
( )
Φ*ω = ∑ Φ* c( i ) Φ* ( dq i1 ) ∧ ... ∧ Φ* dq p
(i )
(
()
i
)
(
= ∑ c( i ) Φ −1 d ( q i1 Φ −1 ) ∧ ... ∧ d q p Φ −1
i
i
)
dir. Bu eşitlikten (3.4)’ün sağ tarafı (3.3 (b)) kullanılarak,
64
⎛
i
d Φ*ω = d ⎜ ∑ c(i ) Φ −1 d ( q i1 Φ −1 ) ∧ ... ∧ d q p Φ −1
⎜ (i )
⎝
(
)
(
= ∑ dc( i ) Φ
(i )
−1
) ∧ d (q
(
i1
Φ
−1
) ∧ ... ∧ d ( q
⎠
−1
)
(
i
Φ
ip
⎞
) ⎟⎟
bulunur. Diğer taraftan,
dω =
1
i
dc(i ) ∧ dq i1 ∧ dq i2 ∧ ... ∧ dq p
∑
p ! (i )
( )
( )
⇒ Φ*dω = ∑ Φ* dc( i ) Φ* ( dq i1 ) ∧ ... ∧ Φ* dq p
(i )
(
i
)
= ∑ d c( i ) Φ −1 ∧ d ( q i1 Φ −1 ) ∧ ... ∧ d q p Φ −1
(i )
)
= d Φ*ω
Bu (3.4) eşitliğini ispatlar. Son adımda (2.84) eşitliği kullanıldı. Eğer Φ haritaların
değişiminin diffeomorfizimi ise, o zaman d ω , her şeyin yeni koordinatlarda ifade
edilesi hariç, eski koordinatlardaki gibi yeni koordinatlarda oluşturulur. Φ*d ω = d Φ*ω
eşitliği yalnız diffeomorfizimler için doğru değil, aynı zamanda (2.87), formların ters
görüntüleri (pull-back) için sağlanır.
M=
3
olsun. Buradaki notasyon ile vektör analizindeki notasyon arsındaki ilişki:
( df )i = ( ∇f )i = ( gradf )i
* ( dv )i = ( curlv )i
* (*dv ) = ∇ ⋅ v = divv
(3.5)
biçimindedir. (3.3) kuralları, aşağıdaki özel durumları içerir:
(b) p = q = 0 : ∇ ( f ⋅ g ) = f ∇g + g∇f
(b) p = 0, q = 1: ∇ × ( f ⋅ v ) = ( ∇f × v ) + f ∇ × v
65
(b)
p = q = 1: ∇ [ v × w ] = * ( d (υ ∧ ω ) ) = * ( dυ ∧ ω ) − * (υ ∧ dω )
= ( w ⋅∇ × v ) − ( v ⋅∇ × w )
(3.6)
(c) p = 0 : ∇ × ∇f = 0
(c) p = 1: ∇ ⋅ ( ∇ × v ) = 0
(b) ve (c) ∇ ( f i∇ × v ) = ( ∇f i∇ × v )
Vektör analizinden rotasyonel-bağımsız vektörlerin (her yerde ∇ × v = 0 ), bir skalerin
gradyenti olarak yazılabildiği ve gradyent-bağımsız vektörlerin de bir vektörün
rotasyoneli olarak yazılabildiği biliniyor.
Tanım: Bir ω , p-formu kapalıdır ancak ve ancak,
dω = 0
(3.7)
dır ve tamdır ancak ve ancak bir υ ∈ E p −1 ( M ) için,
ω = dυ
(3.8)
formundadır. (3.3 (c)) kuralına göre tam ⇒ kaplıdır ve böylece tam formlar kapalı
formların bir lineer altuzayıdırlar. Tam formlar genellikle bir öz altuzaydırlar.
M=
ωi =
2
\ {0} , üzerinde
− ydx + xdy
dz
= Im , z = x + iy
2
2
x +y
z
ve
ωr =
xdx + ydy
dz
= Re
2
2
x +y
z
66
1-formları
göz
önüne
alınsın.
Açıkça
dωi = dωr = 0 ’dır
ve
lokal
olarak
ωr + iωi = d ln z ’dir. Fakat burada ln z , M üzerinde sürekli olarak tanımlanmadığı için
bu formlar tam değildirler. Buna göre her kapalı form tam olmak zorunda değildir.
Bir S ∈
cümlesin bir p noktasına göre yıldızsaldır denir ancak ve ancak S ’nin
n
hehangi bir noktasını p'ye bağlayan doğru tamamen S ’nin içinde kalır. Bir konveks
cümle her noktasına göre yıldızsaldır.
Eğer M ,
n
’de bir yıldızsal açık cümle ise, o zaman
A d +d A=1
(3.9)
olacak şekilde bir A : E p → E p −1 gönderimi vardır. Bu yıldızsal cümlelere diffeomorfik
M manifoldları için dω = 0, ω = d ( Aω ) olduğunu belirtir (Poincare lemması).
n
’de
her komşuluk bir konveks cümle içerdiğinden dolayı yeterince küçük altcümleler
üzerinde kapalı ⇒ tamdır .
İspat: U
orijine göre yıldızsal olsun ve
h : (1, 0 ) × U → U , ( x, t ) → tx
olsun.
ω ∈ E p (U ) için h altında ω ’nın ters görüntüsünü dt içeren kısım ve dt içermeyen
kısma ayrıştırılabilir:
h * ω = ω0 + dt ∧ ωM , ω0 ∈ E p ( (1, 0 ) × U ) , ωM ∈ E p −1 ( (1, 0 ) × U )
(3.10)
O zaman,
1
Aω = ∫ dt ∧ ωM ∈ E p −1 (U )
(3.11)
0
67
tanımlanabilir.
ω=
1
i
ω(i ) ( x ) dxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dx p
p!
için,
(
1
i
i
ω(i ) ( xt ) ( tdxi1 + xi1 dt ) ∧ ( tdxi2 + x i2 dt ) ∧ ... ∧ tdx p + x p dt
p!
1
i
= ω( i )t p ( xt ) dxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dx p
p!
1
p −1
i
+ dt ∧ ω(i ) ( xt )( dt ) xi1 ∧ xi2 ∧ ... ∧ x p
p!
= ω0 + dt ∧ ωm
h *ω =
)
bulunur. Burada dış çarpımın antisimetrisinden dolayı dx i1 ∧ dx i2 = − dx i2 ∧ dx i1 v.b.
terimler yok olur. t ’ye göre dış türev d ' ile gösterilsin, o zaman
1
1
⎛ ∂ω
⎞
dAω = ∫ dt ∧ d ' ωM , Adω ∫ dt ⎜ 0 − d ' ωM ⎟
0
0
⎝ ∂t
⎠
(3.12)
bulunur. Yukarıda tanımlandığı gibi, ω0 t =1 = ω ve ω0 t =0 = ω0 seçilirse ve (3.12)
integralleri alınıp, taraf tarafa toplanırsa
A d +d A=1
bulunur. Böylece (3.9) ifadesi ispatlanır.
68
3.2 Lie Türevi
Tanımdan p < 0 olan p-formlar özdeş olarak sıfır oldukalrı için df = 0 , f = 0 belirtiyor
gibi görünür fakat gerçekte sadece f ’nin lokal olarak sabit olduğunu ifade eden
dejenere bir durumdur.
Bir T tensör alanına bir koordinat bağımsız anlam atfetmek her zaman mümkün
değildir. Fakat tanjant uzaylarının göreli yönlemesi (oryantasyonu) (2.7) koordinat
sistemine bağlıdır. Bir örnek olarak υ * ∈ T10 alarak, dış türevden doğan υi*, k − υk*,i
kombinasyonunun dönüşümünde istenmeyen terimler yok olmasına rağmen, υi*,k türevi
ikinci dereceden bir tensör gibi dönüşmez. Eğer M üzerinde bir X vektör alanı
verilirse, bu bir lokal Φ tX akışına neden olur, ve q noktasında diğer t vektör alanının
türevini tanımlamak için, tanjant vektörleri q ’dan geçen yol boyunca, q ( t ) = Φ tX ( q ) ,
boyunca Tq(t ) ( Φ −Xt ) kullanılarak geri Tq ( M ) üzerine getirilebilirler (resmedilebilirler).
O zaman q noktasında vektör alanının değeri olan t ( q ) ve zamanı geri akıtarak
t ( q ( t ) ) ’den oluşturulan vektörlerin ikisi aynı q noktasında karşılaştırılabilirler. Bu
ikinci vektör ( Φ tX *t ) ( q ) biçiminde yazılabilir; (2.87 pull-back) ve (Şekil 3.1)'de ifade
edilmiştir. Karşılık gelen türev,
d
Φ tX *t ) ( q )
(
dt
(3.13)
bir tek Tq ( M ) , tanjant uzayının vektörlerini içerdiğinden ve vektörlerin diferansiyeli,
lineer dönüşümlerle sıra değiştirdiğinden dolayı, kullanılan koordinat sisteminden
bağımsızdır.
69
Şekil 3.1 Lie türevi
Tanım: Lie türevi, LX : T s r → T sr
LX t =
d X*
Φ t t t =0 , t ∈ T sr
dt
(3.14)
ile tanımlanır.Burada Tq ( M ) ’nin bir vektöründen ziyade bir X vektör alanına sahip
olmak önemlidir. LX t ( q ) için verilen ifadeler q noktasında sadece X ’in bileşenlerinin
değerlerini içermezler, fakat aynı zamanda r = s = 0 dışında onların türevlerini de
içerirler. Eğer X bir analitik akışa neden olursa, o zaman (2.21) eşitliği,
Φ tX *t = etLX t , t ∈ T s r
eşitliğine genellenebilir.
(3.15)
LX
aynı zamanda sonsuz küçük harita dönüşümü
q i → q i + tX i ( q ) göre değişim ile tanımlanabilir. Lie türevi aşağıda verilen özellikleri
gerçekler:
1. Bir Φ diffeomorfizimi tarafından vektör alanları üzerinde meydana getirilen Φ*
gönderimi onların cebirsel yapılarını korur. Sonuç olarak ti ∈ T sr , i = 1, 2,... ve X , Y ∈ T 01
için;
(a) Φ tX * ( t1 + t2 ) = Φ tX *t1 + Φ tX *t2
70
(b) Φ tX * ( t1 ⊗ t2 ) = ( Φ tX *t1 ) ⊗ ( Φ tX *t2 )
(3.16)
(c) Φ tX *Vt2 = V Φ tX *t2 , V bir daralma (büzülme)
özellikleri sağlanır. Sonsuz küçük t için;
(a) LX ( t1 + t2 ) = LX t1 + LX t2
(b) LX ( t1 ⊗ t2 ) = ( LX t1 ) ⊗ ( LX t2 )
(3.17)
(c) LX Vt = VLX t
olurlar. İzometrik ( ve ya kanonik) Φ dönüşümleri için,
Φ* g = g , yani, Φ* ti tk = Φ* ti Φ* tk
(3.18)
dir. X , Killing vektör alanları için,
LX ti tk = LX ti tk + ti LX tk
(3.19)
sonucu çıkar.
2.
71
diyagramının permüte edilebilirliği, kendi sonsuz küçük karşılığının permüte
edilebilirliğini ifade eder ( diyagramlarda χ sr ≡ T sr .) :
yani,
LΨ* X Ψ *t = Ψ * LX t
(3.20)
dir. Bu, dönüşmüş sistem üzerindeki akışın dönüşmüş vektör alanı tarafından
belirlendiğini belirtir, öyle ki bir tensör alanının Lie türevinin Ψ * ile görüntüsü, tensör
alanının görüntüsünün vektör alanının görüntüsüne göre Lie türevi ile aynıdır.
Diffeomorfizimlere göre Lie türevinin bu tabiliği, onun harita-bağımsız tanımına işaret
eder ve onun bir sonucudur; bu ters görüntü Ψ * için de doğrudur.
3. d (3.4) diffeomorfizimlerine göre doğal olduğu için LX ile sıra değişir. Formel
olarak şöyledir: ω ∈ E p ,
LX d ω =
d X*
d
d
Φ t d ω t =0 = d Φ tX *ω t =0 = d Φ tX *ω t =0 = dLX ω
dt
dt
dt
⇒ LX d = dLX
elde edilir. Bu şematik olarak şöyledir:
72
(3.21)
4.
E p üzerinde LX , d ve (2.75) iç çarpımı cinsinden ifade edilebilir,
LX = iX d + d iX , iX LX = LX iX
(3.22)
İspat (Tümevarımsal): p = 0 için tanımdan, iX f = 0 ve
iX df = ( df X ) = LX f
(3.23)
olur. Her (p+1)-form,
∑ df
i
∧ ωi , ωi ∈ E p , f ∈ C ∞
i
biçiminde yazılabilir. Kural (3.3(b)) ve (3.3(c)) ve (2.50(ii)) iç çarpım kuralı
kullanılarak,
( iX
( −df ∧ dω ) + d ( ( iX df ) ω − df ∧ iX ω )
= − ( iX df ) ∧ d ω + df ∧ ( iX d ω ) + ( d ( iX df ) ) ∧ ω
+ ( iX df ) ∧ dω + df ∧ d ( iX ω )
= df ∧ ( iX dω + d ( iX ω ) ) + ( d ( iX df ) ) ∧ ω
d + d iX )( df ∧ ω ) = iX
bulunur. Burada LX ile d sıra değiştirdiklerinden dolayı,
73
(3.24)
( d (i
X
df ) ) ∧ ω = ( d ( LX f ) ) ∧ ω = ( LX df ) ∧ ω
(3.25)
olur ve
LX ω = d (ω X ) = ( d ω X ) + (ω dX )
(3.26)
= iX dω + idX ω = iX dω + d ( iX ω )
(3.24), (3,25) ve (3.26) eşitliklerinin sonuçları birleştirilirse,
( iX
d + d iX )( df ∧ ω ) = df ∧ LX ω + ( LX df ) ∧ ω = LX ( df ∧ ω )
elde edilir. Bu istenilendir. Denklem (3.22)’nin her iki yanındaki işlemciler lineerdirler,
dolayısıyla bu bağıntı ∑i ( dfi ∧ ωi ) için ve sonuç olarak E p −1 üzerinde de geçerlidir.
iX iX = 0 olduğuna dikkat ederek,
iX LX = iX
= iX
( iX
(d
d + d iX ) = iX
( iX
d ) +i X
(d
iX )
iX ) = ( iX d ) iX = LX iX
bulunur. Bu yolla, d ile LX ’in sıra değiştiği farklı bir şekilde bulunur:
dLX = d
( iX
d + d iX ) = d iX d + d d iX = d iX d
diğer yandan,
LX d = ( i X d + d i X ) d = i X d d + d i X d = d i X d
bulunur ve bu iki eşitlik birleştirilirse LX d = dLX bulunur; yani (3.21) tekrar elde edilir.
74
5. iX iç çarpımı lineerdir, yani
iα X1 + β X 2 = α iX1 + β iX 2 , α ,β =sabit
sağlanır. Bu bağıntı ve d ’nin linerliği kullanılarak, Lie türevi LX , X vektör alanlarının
lineerliği ile tutarlı olduğu görülür:
(
) d + d (α i
) =αL + βL
Lα X1 + β X 2 = iα X1 + β X 2 d + d iα X1 + β X 2 = α iX1 + β iX 2
(
)
(
= α i X1 d + d i X 1 + β i X 2 d + d i X 2
X1
X1
+ β iX 2
)
(3.27)
X2
Vektör alanlarının modül yapısı için, bu özellikten,
i fX dω + di fX ω = fiX d ω + d ( fiX ω )
= f ( iX d + diX ) ω + df ∧ iX ω
= fLX ω + df ∧ iX ω ,
∀ω ∈ E p
elde edilir. Dolayısıyla, E p üzerinde
L fX = fLX + df ∧ iX
(3.28)
sonucu çıkar. df ’i içeren ek terim, LX içinde X ’in türevlerinin varlığını yansıtır. Yani
X ve
fX
bir vektörün başlangıç ve bitim noktalarının yerlerini farklı olarak
değiştirirler.
6. Bir vektör alanına göre Lie türevi, Lie parantez operatörü ile gösterilebilir: Lie
türevinin lineerliği ve (3.23) ile (3.26) denklemleri kullanılarak,
LX ( df Y ) = ( LX df Y ) + ( df LX Y )
75
elde edilir. Bu eşitlikten,
( df
LX Y ) = LX ( df Y ) − ( LX df Y )
LLX Y f = LX LY f − ( dLX f Y )
= LX LY f − LY LX f
elde edilir. Böylece T 00 üzerinde,
LLX Y = L[ X ,Y ] = LX LY − LY LX
(3.29)
bulunur. Bu bağıntıdan yola çıkılarak,
[ X ,[Y , Z ]] + [Y ,[ Z , X ]] + [ Z ,[ X , Y ]] = 0
(3.30)
Jacobi özdeşliği gösterilebilir:
L[ X ,[Y , Z ]] + L[Y ,[ Z , X ]] + L[ Z ,[ X ,Y ]] = ( LX ( LY LZ − LZ LY ) − ( LY LZ − LZ LY ) LX )
+ ( LY ( LZ LX − LX LZ ) − ( LZ LX − LX LZ ) LY )
+ ( LZ ( LX LY − LY LX ) − ( LX LY − LY LX ) LZ )
=0
elde edilir, çünkü LX = 0 , ( T 00 üzerinde dahi) X = 0 olduğunu ifade eder. Ayrıca
(3.29) bağıntısından,
LLX Y = − LLY X
(3.31)
olduğu açıktır, çünkü her vektör alanı tamamen T 00 üzerinde etkisi ile karakterize edilir.
(3.29) bağıntısı bütün T s r ’ye genişletilebilir. Eğer LX LY − LY LX bir t ∈ T s0 ,
76
t = ∑ c( i ) dq i1 ∧ dq i2 ∧ ... ∧ dq is
(i )
uygulanırsa, yukarıda toplam ve tensör çarpım için verilen kurallar kullanılarak,
yalnızca iki kere türevlenen terimler kalır, diğer terimler antisimetriden dolayı yok olur,
yani birbirlerini karşılıklı yok ederler. Kalan terimler için sonuç, 3. özellik kullanularak
sağlanır ve bu 1. özellikle bütün T s r ’ye genişletilir. Örneğin X ve Y ∈ T 01 ve α ∈ T10
için,
( L α Y ) + (α L Y ) = ( L α ) Y
X
X
X
i
i
+ α i ( LX Y )
= (α i , k X k + α k X k,i ) Y i + α i (Y ,ik X k − X i,k Y k )
= α i ,k X k Y i + α iY ,ik X k = LX (α Y )
elde edilir. Bu bağıntı düzenlenirse;
(α L Y ) = L (α Y ) − ( L α Y )
X
X
X
olur, bu da (3.29) eşitliğine özdeştir.
r = s = 0 olsun. Bu durumda, (2.21) eşitliği kullanılarak,
Φ tX * f = f Φ tX = etLX f = τ tX f
yazılır. X = X i ∂ i alınırsa, Lie türevi tanımı, (3.14)
LX f = X i f , i
(3.32)
77
sonucunu verir. Böylece Φ tX * , τ t otomorfizimlerine neden olduğu görülür. Ayrıca,
f ∈ C ( M ) için doğrudan,
LX df = d ( LX f )
(3.33)
olduğu gösterilebilir:
LX LY f = LX ( df Y ) = ( LX df Y ) + ( df LX Y )
= ( dLX f Y ) + L[ X ,Y ] f = LY LX f + L[ X ,Y ] f
bulunur. Bu eşitlikten,
(L
X
df Y ) = LY LX f = ( d ( LX f ) Y ) , ∀Y ∈ T 01 ( M ) ⇒ LX df = d ( LX f )
elde edilir. Bu şöyle ifade edilebilir: f üzerinde, LX d = diX d = dLX .
r = 0 ve s = 1 için, ω = ωi dq i ve
LX ω = LX (ωi dq i ) = ( LX ωi ) dq i + ωi ( LX dq i ) = ( LX ωi ) dq i + ωi d ( LX q i )
= X k ωi , k dq i + ωk X ,ki dq i = ( X k ωi ,k + ωk X ,ki ) dq i
olur. r = 1 ve s = 0; ω ∈ T10 , Y = Y i ∂ i ∈ T10 için
(L ω Y ) = ω
X
i,k
Y i X k + ωiY ,ik X k
= ωi , k Y i X k − ωi X i,k Y k + ωiY ,ik X k + ωi X i, k Y k
= (ωi ,k X k + ωk X k,i ) Y i + ωi (Y ,ik X k − X i,k Y k )
= ( LX ω Y ) + (ω LX Y )
78
(3.34)
elde edilir. Dolayısıyla Y ’nin Lie türevinin i-yinci bileşeni
Y ,ik X k − X i, k Y k
(3.35)
olur. X = ∂ i ve Y = ∂ j ise, o zaman
[ X ,Y ] = 0
olur. Bunun anlamı: Doğal bazlarda
parçalı türev sıra değişir.
ω ∈ E1 ve X ve Y birer vektör alanı olsunlar. Bu takdirde Lie türevi aşağıda verilen
bağıntıyı sağlar:
( d ω X , Y ) = L (ω Y ) − L ( ω X ) − (ω [ X , Y ])
X
(3.36)
Y
İspat: (3.22) kullanılarak,
LX (ω Y ) = ( ( iX d + d iX ) ω Y ) + (ω LX Y )
(
= ( iX ( d ω ) Y ) + ( d ( iX ω ) Y ) + ω [ X , Y ]
(
= ( dω XY ) + LY (ω X ) + ω [ X , Y ]
)
)
elde edilir. Bu sonuç düzenlendiğinde (3.36) elde edilir.
3.3 Vektör Alanlarının İntegrallenebilirliği
Her x noktasında m-n lineer bağımsız ω j , 1-formlarının herhangi bir cümlesi,
{
}
Tx ( M ) ’nin bir n-boyutlu altuzayını, N x = υ ∈ Tx ( M ) : (ω j υ ) = 0, her j için tanımlar.
Her x için Tx ( N ) = N x olacak N
altmanifoldları bulunabiliyorsa, bu, ω j ’lerin
integrallenebilirliği olarak adlandırılır. N lokal olarak, altmanifold tanımı gereğince
79
f j ∈ C ∞ ( M ) için f j = 0, j = 1, 2,..., m − n formunun denklemlerinin bir cümlesi ile
verilir. df j , 1-formları koşulunu sağlar ve dolayısıyla her υ ∈ Tx ( N ) için istenilen
( df υ ) = 0
(3.37)
j
özelliğine sahiptirler. Bunlar bu tip formlarının bir bazını oluştururlar ve dolayısıyla
lokal olarak
ω j = c jk df k
(3.38)
yazılabilir. Bu yüzden υij = dc ji ( c −1 ) ∈ E1 için
ik
dω j = υ jk ∧ ωk
(3.39)
olur ve dolyısıyla her j için,
dω j ∧ dω1 ∧ d ω2 ∧ ... ∧ dωm − n = 0
olur. Bu, ω ’ların dış türevlerinin onların gerdiği uzayda uzanan en az bir bileşene
sahiplerse, N ’nin var olabileceğini ifade eder. Eğer dω j = 0 ise, ω j = df j olur. O
zaman ω j integrallenebilir ve N , df j = sabit ile verilir. Görünüşte daha genel olan
dω j = υ jk ∧ ωk , uygun lineer kombinasyonlarla bu duruma indirgenebilir ve bu koşul
lokal integrallenebilirlik için gerek ve yeterli koşuldur. Bu alan elemanlarının sonsuz
küçük
düzeyden
lokal
düzeye
genişletilmesini
garantiler.
Eğer
n=1
ise,
integrallenebilirlik koşulu daima sağlanır, burada Tx ( M ) ’nin bazında eksik olan tek şey
ω0 ’dır ve ω0 ∧ ω0 = 0 olduğu için, her d ω j en az bir ω j çarpanı içermelidir. Bu
takdirde N tek bir X ∈ T 01 ile karekterize edilir ve o zaman lokal integral eğrileri vardır
80
(Kısım 2.5 (Akış)). Her halükarda, n-boyutlu altmanifoldlar, (ω j X ) = 0 olan X ’ler
tarafından meydana getirilen Φ X akışları altında invaryanttırlar ve bundan başka bir
noktaya etki etmek için lokal olarak Φ X akışları tarafından üretilirler (meydana
getirilirler).
Her noktada n-boyutlu bir N x ⊂ Tx ( M ) altuzay tanımlayan X j , j = 1, 2,..., n , vektör
alanları verilmiş olsun, eğer her
x∈ N
için Tx ( N ) = N x
olacak n-boyutlu
altmanifoldlar varsa, o zaman X j ’ler yüzey-biçimleyen veya integrallenebilir olarak
adlandırılır. Bir altmanifold haritası üzerinde (Kısım 2.1),
N = { x1 ,..., xm : xn +1 = ... = xm = 0}
ile verilir ve Tx ( N ) , {∂ ∂xk , k = 1, 2,..., n } tarafından gerilir. (3.35) bağıntısına göre,
⎛
[ X i , X l ] = ⎜⎜ cij
⎝
∂ k
∂ k⎞ ∂
cl − clj
ci ⎟
, i, l , j , k = 1,.., n
∂x j
∂x j ⎟⎠ ∂xk
(3.40)
dir ve ∂ ∂xk , X j ’lerin bir lineer kombinasyonu olarak ifade edilebilir. Eğer X j ’ler bir
yüzey biçimlendiriyorlarsa, o zaman onların Lie braketleri de N x ’e ait olmalıdır. Bu,
yukarıda anlatılan lokal integrallenebilme için yeterli koşulu garantiler: Bir komşulukta
(
)
her x ve j için ω ( x ) X j ( x ) = 0 olan bütün ω ’ların lineer uzayını N x⊥ göstersin.
Lokal integrallenebilirlik d ω ’nın N x⊥ ’e ait olan en az bir çarpana sahip olduğunu
belirtir. Eğer ω ∈ N x⊥ ve X , Y ∈ N x iseler, (3.35) eşitliğinde sağda tarafta ω ile skaler
çarpım olan terimler sıfır olur ve
( d ω X , Y ) = − (ω [ X , Y ])
(3.41)
81
olur. Bundan dolayı d ω , N x⊥ ’de bir çarpana sahiptir ancak ve ancak ( dω X , Y ) = 0
ancak ve ancak
(ω [ X , Y ]) = 0
(3.42)
Aşağıda verilen argüman ⎡⎣ X j , X k ⎤⎦ ’nın N x⊥ ’e ait olması gerektiğini gösterir: Φτ j j ,
X
akışları N ’yi değişmez (invaryant) bırakmalıdırlar. Bundan dolayı,
Φτ
Xj
ΦτX k Φ −τj Φ −Xτk
X
N ’yi kendi içine haritalamalıdır (göndermelidir) ve [ ⎡⎣ X j , X k ⎤⎦ bundan bulunabilir:
(
)
⎡⎣ X j , X k ⎤⎦ = lim τ −2 exp ⎡τ LX j ⎤ exp ⎡⎣τ LX k ⎤⎦ exp ⎡ −τ LX j ⎤ exp ⎡⎣ −τ LX k ⎤⎦ − 1
⎣
⎦
⎣
⎦
τ →0
(3.43)
dır. Burada (3.15) eşitliği kullanıldı. Doğal bazlı her X j için,
Φτ j j ΦτXkk = ΦτXkk Φτ j j
X
X
(3.44)
dir ve N , altmanifoldu için tanımlanan harita
Φτ∂11 Φτ∂22 ... Φτ∂nn x → (τ 1 ,τ 2 ,...,τ n ) ∈
(3.45)
n
olur. Argümanı tersine çevirerek, Φτ j j ΦτXkk = ΦτXkk Φτ j j olacak şekilde n bağımsız X j
X
X
verilmişse, o zaman bir N ve { X j } ’nin doğal baz olduğu bir harita bulunabilir:
(τ ) → Φ
j
Xn
τn
ΦτXnn−1−1 ... ΦτX11 ( q ) = q (τ j )
82
Gönderimi
q : ∂q (τ ) ∂τ j = X j ( q (τ ) ) ’nun
bir
komşuluğuna,
0∈
n
’nin
bir
komşuluğunun bir diffeomorfizimidir ve varsayıma göre τ = 0 ve dolayısıyla 0 ’ın
komşuluğunun her yerinde det ( X kj ( q ) ) , sıfırdan farklıdır. Bu yüzden,
⎡⎣ X j , X k ⎤⎦ = 0
(3.46)
lokal integrallenebilirlik için yeterli koşuldur. Daha genel ⎡⎣ X j , X k ⎤⎦ = c jkm X m durumu
⎡⎣ X j , X k ⎤⎦ = 0 sağlayan X k ’ların X j , lineer kombinasyonlarının tanımlanmasıyla bu
duruma indirgenir.
3.4 İntegraller
Bir m-form bir manifold üzerinde bir ölçüm tanımlar; integral, parçalı integralin Stokes
teoremi şeklinde genellemesi anlamında, dış türevin tersidir. p-form tanımı yapılırken
(Kısım 2.6), bunlar p-boyutlu hacim elemanları için ölçümler olarak yorumlandılar. pformları bir koordinat bazına uygulamak ve sonra bilinen mantıkla bu koordinatlar
üzerinden integral almakla, p-formlar üzerinden bir koordinat-bağımsız integral
tanımlamak olasıdır. Bunun için yine tek bir noktadan başlayarak analiz bir koordinat
sistemine genişletilmelidir. Ω , taşıyıcısı bir (U , Φ ) haritasında uzanan bir m-form
olsun. Onun harita altındaki görüntüsü,
Φ*Ω = ω ( x ) dx1 ∧ dx 2 ∧ ... ∧ dx m , ω = ( Ω ∂1 , ∂ 2 ,..., ∂ m )
(3.47)
formundadır ve eğer U göreli olarak kompakt ise,
∞
∞
−∞
−∞
1
m
∫ Ω = ∫ dx ...∫ dx ω ( x )
(3.48)
83
integrali tanımlanabilir. Bu integralin değeri (2.96) ile ω , det ( ∂x i ∂x j ) ile çarpıldığı
için, bir diffeomorfizim altında değişmez kalır ve
⎛ ∂x i
m
d
x
det
⎜ j
∫
⎝ ∂x
⎞
m
⎟ ω ( x ( x ) ) = ∫ d xω ( x )
⎠
(3.49)
olur. Yakınsama sorunlarından kaçınmak için yalnızca bir sonlu bölgenin dışında sıfır
olan formları integre etmek burada güdülen amaç için uygundur. Alışıldığı üzere, bir
manifold üzerinde bir sonlu bölgenin notasyonu yerine kompaktlık bir diffeomorfizim
altında değişmez kaldığı için, bir kompakt cümle konabilir.
sup p ( f ) ’nin
( sup p ( f ) : f ’nin taşıyıcısı (desteği): koplemanı f = 0 olan en küçük kapalı cümle )
kompakt olması için, f ∈ C ( M ) olmak üzere, f Ω şeklinde yazılabilen m-formlar
düşünülecek. Böyle formların cümlesi E p0 ile gösterilir. Bir atlas verilmiş olsun, o
zaman daima
sup p ( f ) ⊂
sonlu
∪U
(3.50)
i
i
olacak (U i , Φ i ) haritaları seçmek mümkündür. Bileşimin bir bölüşümü kullanılarak,
sup fi ⊂ U i olmak üzere,
f = ∑ i fi
(3.51)
yazılabilir.
84
Tanım: Yönlenebilir bir M manifoldu üzerinde kompakt destekli (kompakt destekli
fonksiyonlar: sonlu bir hacmin dışında sıfır olan fonksiyonlardır.) bir f Ω , mformunun integrali,
∫
M
Ωf = ∑ ∫ Φ i* ( Ωfi )
(3.52)
i
dır, öyle ki f = ∑ i fi , (U i , Φ i ) haritasının tanım bölgesinde kompakt desteklidir ve
toplam altında verilen integraller, ( Ω ∂1 , ∂ 2 ,..., ∂ m ) > 0 yönlenimine sahip haritaların
kullanımı varsayımı ile verilirler.
Bütün haritalar aynı ( Ω | ∂1 , ∂ 2 ,..., ∂ m ) > 0 yönlenimine sahip olmak şartıyla, öyle ki
haritaların değişimi altında det ( ∂xi / ∂x j ) > 0 doğru kalır, integral haritaların
seçiminden bağımsızdır. Eğer ( ∂U i , Φ i ) haritaları kullanılırsa, o zaman bir
f = ∑ i , j fij
birim bölüşümü, öyle ki sup p ( fij ) ⊂ U i ∩ U j , tanımlanarak, ∫ f Ω integralinin değeri
(3.49)’daki gibi aynı kaldığı görülür. U i ∩ U j , üzerinde
yalnızca değişkenlerin değişimidir ve
Φ i ’den
Φ j ’ye değişim
f = ∑ i , j fij yakınsama problemleri olmaksızın
her zaman sonlu bir toplam seçildiği için, toplamın derecesinin değiştirilmesi izinlidir.
Bütün
f ∈ C ∞ -fonksiyonlar için ∫Ωf , sup f
tarafından sınırlanan bir lineer
fonksiyoneldir, yalınızca bir sabit sup p ( f ) ’ye bağılıdır ve böylece M üzerinde bir
ölçüm tanımlar. O zaman lineer fonksiyonel, kompakt desteğe sahip olmak zorunda
olmayan, fakat yalınızca yeterince hızlı bir şekilde azalan daha geniş bir fonksiyonlar
sınıfına genişletilebilir (Thirring 1997).
Eğer ω bir p -form ve M manifoldunun yönlenebilir n-boyutlu bir altmanifoldu N ise
85
o zaman
∫ Nω
(3.53)
integrali ω|N ile birlikte (3.52) ile tanımlanır. Eğer M = ( a, b ) ve ω , sup pf ∈ M
olan df 1-formu ise, o zaman,
∫df =
b
∂f
∫ adx ∂x = 0
olur, çünkü
f
sınırlarda sıfıra eşittir.
f ’nin desteği üzerinde koşul olmadan
∫df = f ( b ) − f ( a ) olur.
3.4.1 Teorem: Stokes Teoremi
M , sınırlı yönlenebilir m-boyutlu bir manifold olsun ve ω kompakt destekli bir (m-1)form olsun. O zaman,
∫ M dω = ∫ ∂Mω
(3.54)
olur.
Burada ∂M ’nin yönlenmesi belirtilmedi çünkü M'nin yönlenmesi ∂M üzerinde bir
yönlenmeye neden olur. Gerçekte, bu, "(2.2) formunun (sınırlı manifold tanımı)
üzerinde M ’nin yönlenmesi ω ( x ) dx1 ∧ dx 2 ∧ ... ∧ dx m , ω > 0 ile verilirse, o zaman
∂M sınırına,
− dx 2 ∧ ... ∧ dx m
(3.55)
86
yönlenimi yüklenir", teoreminin ispatının bir sonucudur. İşaret önemlidir, çünkü eğer
tersine çevrilirseydi (3.54) ifadesi yanlış olacaktı: M = [ 0, ∞ ) için,
∂f
∞
∫df = ∫ 0 dx ∂x = − f ( 0 )
(3.56)
olur. M , R n ’nin sonlu bir kısmı olsa dahi, bir kompakt destek gereksinimi zorunludur.
Örneğin, M = ( a, b ) , ∂M = ∅ , f = x olsun,
b
∫ adf
=b−a ≠
∫ ∂M f
=0
(3.57)
d d = 0 kuralı, bir sınır sınıra sahip değildir gerçeğinden çıkar: V , M ’nin bir sınırlı
kompakt altmanifoldu olsun. O zaman,
∫V d
dω =
∫ ∂V dω = ∫ ∂∂Vω = 0
(3.58)
elde edilir. Eğer bir m-formun integrali her sınırlı kompakt altmanifold üzerinde sıfıra
eşit oluyorsa, m-form sıfıra eşittir ve dolayısıyla d d = 0 ’dır.
İspat (Stokes Teoremi): Her ωi , bir (2.2) sınrının bir haritasının U i bölgesinde
kompakt desteğe sahip olmak üzere,
∫dω = ∑ i ∫dωi
olsun;
o
zaman
∫ M dωi = ∫ ∂Mω
olduğunu
göstermek
differensiyellenebilir bir açık altcümle haritası üzerinde,
87
yeterlidir.
R m ’de
Φ∗i ωi
m
= ∑g j dx1 ∧ dx 2 ∧ ... ∧ dx ∧ ... ∧ dx m
j
(3.59a)
j =1
ve
m
∂g j
j =1
∂x j
dωi = ∑ ( −1 ) j +1
∧ dx1 ∧ dx 2 ∧ ... ∧ dx m
(359b)
j
dır, (burada dx sembolü j-yinci diferensiyelin bulunmadığını gösterir) ve yönlenme
olarak, dx1 ∧ ... ∧ dx m seçilisin. O zaman, (3.56) ifadesi yardımıyla,
∫M
m
∞
∞
∞
∂g j
0
−∞
−∞
∂x j
d ωi = ∑ ( −1 ) j +1 ∫ dx1 ∫ dx 2 ...∫ dx m
j =1
∞
∞
−∞
−∞
(3.60a)
= − ∫ dx 2 ...∫ dx m g j ( 0, x 2 ,..., x m )
bulunur. Diğer yandan, (3.55)’den ∂M için,
∞
∞
∫ ∂Mωi = −∫ −∞dx ...∫ −∞dx
2
m
g1 ( 0, x 2 ,..., x m )
(3.60b)
olduğu biliniyor, çünkü dx1 ’in ∂M ’ye kısıtlanması (sınırlaması) sıfıra eşttir, bundan
dolayı,
ωi ∂M = g1dx 2 ∧ ... ∧ dx m
(3.61)
olur. (3.60a) ve (3.60b) ifadeleri karşılaştırıldığında (3.54) elde edilir ve bu da ispatı
tamamlar.
Örneğin;
88
{
}
1
− ydx + xdy
≤ x2 + y 2 ≤ 1 , ω =
2
x2 + y 2
M = ( x, y ) ∈ R 2 :
verilsin. Burada d ω = 0 olduğu açıktır. Stokes teoremi uygulandığında,
0=
∫ x + y =1ω − ∫ x + y =1/ 2ω = 2π − 2π
2
2
2
(3.62)
2
Şekil 3.2 M manifoldu ve sınırı
Burada ω ’nın kompakt destekli olması yine esas olduğu görünüyor, aksi takdirde ω ,
M = { ( x, y ) ∈ R 2 : 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1} , ∂M = S 1
üzerinden
alınabilir
ve
(3.62)
ifadesinden, 0 = 2π çelişkisine varılır. ω = dυ ,
2π =
∫ S ω = ∫ S dυ = ∫ ∂S υ = 0, ∂S
1
1
1
1
= ∅ iken
(3.63)
belirttiğinden, ω tam olmayabilir.
R3 ’te C herhangi bir-boyutlu sınırlı bir altmanifold ve ∂C = { a, b } olsun, df 1formu, u : I = ( a, b ) → R3 eğrisinin yörüngesi boyunca integre edilebilir. Bunu
yapmak için bu bir boyutlu manifold üzerinde ( u ( I ) , u −1 ) haritası kullanılabilir. O
zaman,
89
∗
∫ u( I )df = ∫ I ( u )
df =
∗
∫ Id ( ( u ) f ) = ∫ ∂I ( f
u)
= f (u(b)) − f (u( a ))
olur ve buradan Stokes teoremi,
∫ Cdf = ∫ ∂C f
veya
∫ Cds ⋅ ∇f
= f (b) − f (a)
(3.64)
ifade eder. M = R3 ’ün bir iki-boyutlu sınırlı altmanifoldu ve ω 1-form w olsun.
Vektör notasyonunda, (3.54) Stokes teoremi ifadesi,
∫ M dS ⋅ ∇ × w = ∫ ∂M ds ⋅ w
(3.65)
olur ( dS : yüzeysel diferansiyel eleman ve ds : çizgisel diferansiyel eleman).
M , R3 ’ün bir üç-boyutlu sınırlı altmanifoldu ve ω , 2-form ∗ w olsun. O zaman (3.54)
ifadesi, Gauss teoremi ifadesine dönüşür:
∫ M dV ∇ ⋅ w = ∫ ∂M df ⋅ w
(3.66)
İntegral diffeomorfizimler altında değişmez kalır, bundan yararlanılarak Lie türeviyle
integral arasında,
Φ
M 1 ⎯⎯
→M2 :
∫ M ω = ∫ M Φ∗ω
1
(3.67)
2
ilişkisi elde edilir. Eğer Φ , özel olarak M = M 1 = M 2 üzerinde bir akış ise, o zaman
(3.67)’nin sonsuz küçük karşılığı
90
∫ M LX ω = 0, X ∈ T 0 ,
1
ω ∈ Em ( M ) ve Φ tX M = M
olur. Yukarıda verilen durumlar bir akı altında invaryant bir
(3.68)
Ω
m-formu
düşünüldüğünde, fiziksel olarak ilginç formülasyonlara sahiptirler. Bu yönleme-koruyan
izometrilerin tek-parametre grupları için ve
∗
1 veya g ∧ g ∧ ... ∧ g ’yi değişmez
bırakan kanonik dönüşümler için olan durumdur. Faz uzayı üzerinde
∗
1 veya
g ∧ g ∧ ... ∧ g Liouville ölçümü olarak bilinir ve genellikle,
dq1dq2 ...dqm dp1...dpm = dq1 ∧ ... ∧ dqm ∧ dp1 ∧ ... ∧ dpm
(3.69)
biçiminde gösterilir ve,
⎛ ∂q ⎞
⎛ ∂q ⎞
d m q = d m q det ⎜ i ⎟ ve d m p = d m p det ⎜ i ⎟
⎝ ∂q j ⎠
⎝ ∂q j ⎠
(3.70)
olduğu için bir q → q nokta dönüşümü altında invaryant kalır.
M , bir yönlenebilir, sınırlı m-boyutlu manifold ve M üzerinde Ω bir m-form olsun.
X , M üzerinde bir vektör alanı olsun. O zaman dΩ = 0 ve dolayısıyla Lie türevi için,
LX Ω = d ( Ω X )
(3.71)
olur ve sonuç olarak, bu durumda, Stokes teoremi
∫ M LX Ω = ∫ ∂M Ω
(3.72)
X
diverjans teoremini verir (Lang 1999).
91
M üzerinde Φ t bir akış ve Ω , Φ t ∗Ω = Ω sağlayan bir m-form olsun. O zaman
∀f ∈ C0∞ ( M ) için Φ −t ∗ f = g Φ t olduğu göz önüne alınarak,
Φ − t ∗ ( Ω ⋅ f ) = Φ − t ∗Ω ⋅ Φ − t ∗ f = Ω ⋅ ( g Φ t )
(3.73)
elde edilir. Bu son eşitlik (3.67)’de yazılırsa,
∫Ω ⋅ f = ∫Ω ⋅ ( g
Φt )
(3.74)
eşitliği elde edilir. Bu akışın sıkıştırılamazlığı olarak bilinir. Bu ölçülebilir tüm
fonksiyonlar için sağlanır. Eğer f , bir A cümlesinin karakteristik fonksiyonu, χ A ise,
o zaman denklem, Ω tarafından ölçülen, cümlenin hacminin zaman-evrimi süresince
değişmez kaldığını ifade eder. Hareket böylece sıkıştırılamaz bir akışkan hareketine
benzer. Gerçekte, faz uzayı kompakt ise, bir sıkıştırılamaz akış yörüngeleri daima geri
kendileri üzerine gönderir (haritalar).
3.4.2 Poincaré Yineleme (Recurrence) Teoremi
A ⊂ M , Φ t ( A ) ⊂ A ∀t ∈ R ve Ω ( A ) = ∫Ωχ A < ∞
olsun. Eğer Φ t∗Ω = Ω
ise, o
zaman herhangi bir ölçülebilir B ⊂ A altcümlesinin hemen hemen her p noktası için,
p ’den geçen yörünge sonsuz olarak sık B ’ye geri döner.
İspat: B ⊂ A , bir keyfi ölçülebilir cümle, Ω ( B ) > 0 olsun ve τ ∈ R + bir zaman birimi
olsun. K n = ∪ ∞j = nΦ − jτ ( B ) , j ve n ∈ Z + , veya daha fazla zaman birimi sonra B ’ye
giren noktaların kümesidir. Açık olarak B ⊂ K 0 ⊃ K1 ⊃ ... ⊃ K n −1 ⊃ K n kapsamaları
vardır. Keyfi uzun zaman sonra geri dönenen B'nin noktalarının cümlesi B ∩ ( ∩ n ≥ 0K n )
cümlesidir. Bu, B ’ye sonsuz olarak sık geri dönmeyen, fakat karşılık olarak, son bir kez
92
B ’de olan ve asla B ’ye geri dönmeyen noktaların cümlesinden kopmadır. Bu noktada
yapılacak olan ilk cümlenin ölçümünün B ölçümüne eşit olduğunun gösterilmesidir.
Varsayıma göre, K n ’lerin kapsama düzeninden dolayı
Ω ( K n ) = Ω ( Φτ K n ) = Ω ( K n −1 ) ≤ Ω ( A ) < ∞
dır. B ∩ K 0 = B , ( ( B ⊂ K 0 ) ) olduğu için ve K n −1 ⊃ K n ve Ω ( K n ) = Ω ( K n −1 )
⇒ Ω ( K n −1 \ K n ) = 0 olduğu için,
⎛
⎛ m
lim Ω ⎜ B ∩ ⎜ ∩ K n
⎜
m →∞ ⎜
⎝
⎝ n≥0
∞
⎞⎞
=
Ω
−
B
∩
K
(
⎟⎟ ⎟⎟
0 ) ∑Ω ( B ∩ ( K i −1 \ K i ) ) = Ω ( B )
j =1
⎠⎠
olur. Bundan dolayı keyfi ölçülebilir B cümlesinin ölçümü sonsuz olarak sık B
cümlesine geri dönenen kendi noktalarının cümlesinin ölçümüne eşittir.
2.4.3 Schwarzchild Yakalama Teoremi
Φ t ∗Ω = Ω , olsun ve A sonlu ölçüme, Ω ( A ) < ∞ , sahip bir ölçülebilir cümle olsun. O
zaman geçmişte çok uzun (sonsuzca uzun) bir zaman A'da olan fakat, gelecekte
ebediyen A ’yı terk edecek ( A ’dan ayrılacak) A ’nın noktalarının cümlesi sıfır ölçüme
sahiptir. Aynısı sonlu bir zamanda A ’ya giren ve ebediyen kalan noktaların cümlesi
için de doğrudur.
İspat: A± = ∩ r ≷0Φτ ( A ) her zaman A ’da kalacak olan veya her zaman A ’da bulunan
noktaların cümlesi olsun. O zaman herhangi bir t zamanı için,
93
⎛
⎞
Ω) ( A+ ) = Ω ( Φ −t A+ ) = Ω ⎜ ∩ Φτ ( A ) ⎟
⎝ τ >−t
⎠
⎛
⎞
= Ω ⎜ ∩ Φτ ( A ) ⎟ = Ω ( A+ ∩ A− ) = Ω ( A− )
⎝ −∞<τ <∞
⎠
olur. Bundan dolayı,
Ω ( A+ \ A+ ∩ A− ) = Ω ( A− \ A+ ∩ A− ) = 0
olur. Sonsuzluktan gelen ve A ’da sınırlanan yörüngeler veya, tersine, onların geçmişte
daima A'da bulunan, A ’dan ebediyen ayrılanları böylece en fazla A ’nın sıfır ölçümlü
bir altcümlesini oluşturabilirler. Sistem sabit olmayabilir ve Ω ( A+ ) = 0 olabilir. Ω ’nın
değişmezliği (invaryansı) f fonksiyonları için zaman-ortalamasının,
1 T
f ∞ = lim ⎛⎜ ⎞⎟ ∫ dtτ1 f
T →∞ ⎝ T ⎠ 0
(3.75)
genel varlığını kurmaya çalışan ergodik teori için temeldir, gereksinen C ∞ olmaktan
ziyade, sadece ölçülebilir olmaktır. Ω sadece çeşitli konfigürasyonların olasılıklarını
ölçmeye yardım eder. Ω ’nın bu yorumu Liouville ölçümü için uygundur. Her açık
cümle Liouville ölçülebilirdir ve B ≠ 0 ’dır ancak ve ancak Ω ( B ) > 0 ’dır. Sonuç
olarak Teorem (3.4.2) ve (3.4.3) her keyfi açık B cümlesine uygulanabilir.
Yenileme teoremi her türlü kafa karışıklığına neden olabilir, çünkü insanlar ne zaman
bir akış kompakt bir cümle üzerinde ölçü koruyansa, bir başlangıç durumu var olmak
zorundadır izlenimi edinirler. Bununla beraber, durumlar olasılık ölçümleridir.
Ölçümler asla nokta olamazlar, fakat f > 0 ve ölçülebilir,
∫fΩ =1
(3.76)
94
olmak üzere, f Ω formunda olmalıdır.
Diferansiyel ve integral için önemli formüller Çizelge 3.1’de soldaki formüller sağdaki
formüllere karşılık gelecek biçimde verilmiştir.
Çizelge 3.1 Diferansiyel ve integral için önemli formüller
3.5 Kodiferansiyel
Aşağıda tanımlanan δ : E p → E p −1 , gönderimi,
δ = *d * ( −1 )m( p +1 ) + s , d = *δ * ( −1 )m( p +1 ) + s +1
(3.77)
diverjansın bir genellemesidir ( * burada Hodge yıldız operatörünü temsil ediyor).
Kodiferansiyel ve dış diferansiyelin aşağıda verilen birleşimi, Laplace-Beltrami
işlemcisi olarak bilinir:
Δ = δd + d
(3.78)
(3.78) δ E p ( M ) , 0 ≤ p ≤ m , üzerinde lineerdir. δ , d ’nin adjointidir: α bir (p-1)form olsun ve β bir p- form olsun. Bu takdirde,
95
d ( α ∧ *β ) = dα ∧ *β + ( −1 ) p −1 α ∧ d * β = dα ∧ *β − α ∧ *δβ
(3.79)
elde edilir. Diğer yandan Stokes teoreminden, ω bir kompakt yönlenebilir m-boyutlu
manifold üzerinde bir düz (m-1)-form olmak üzere,
∫ M dω = 0
(3.80)
olur. Bu eşitlik göz önüne alınarak, (3.79) ifadesinin her iki yanı integre edilirse,
0=
∫ M dα ∧ *β − ∫ Mα ∧ *δβ =
dα , β − α , δβ
olur ve buradan
dα , β = α , δβ
(3.81)
oludğu görülüyor ve bu da δ ’nın, d ’nin adjointi olduğunu kanıtlar.
g = dxi ⊗ dx kηik , ηik = ±1, i = k ise ve aksi takdirde ηik = 0 , olan E p ( R m ) ’nin bir
doğal e j1... j p bazı ile, f ∈ E0 ( R m ) olmak üzere,
δ ( fe j1... j p ) = ∗ ⎡⎣ ( −1 )m( p +1 ) + s df ∧ ∗e j1... j p ⎤⎦ = ∗ ⎡⎣ ( −1 )m( p +1 ) + s f,k ek ∧ ∗e j1... j p ⎤⎦
p
⎡
j +1 ⎤
,i j
i1 ...i j −1i j +1 ...i p
( m +1 )( p +1 ) + s
1
f
e
= ∗ ⎢ ( −1 )
∗
−
(
)
⎥
∑
j =1
⎣
⎦
p
= ∑ f ,i j ei1...i j −1i j +1...i p ( −1 ) j +1
j =1
96
(3.82a)
(
)
p
dδ fe j1... j p = ∑ f, ij0 ei0i1...i j −1i j +1...i p ( −1 ) j −1
(3.82b)
i
j =1
p
δ d ( fe j1... j p ) = ∑ f, iij0 ei0i1...i j −1i j +1...i p ( −1 ) j
(3.82c)
j =1
elde edilir. Son iki eşitlik taraf tarafa toplanılırsa, Laplace-Beltrami işlemcisi için,
(
m
) ∑ f ,kk ei ...i , f ,kηik = f,i
k =1
Δ fe j1... j p =
1
(3.83)
p
bulunur. Eğer, özellikle, p = 1 ve f k ’lar bir vektör alanının bileşenleri ise, o zaman δ
adi diverjans f k,k olur ve Δ tek bileşenlere uygulandığı için,
( η −1 )
ki
=
∂2
∂xi ∂x k
(3.84)
işlemcisi olur. Eğer m = 3 ve
p = 1 ise, o zaman Δ = ∇∇ − ∇ × ∇ × olur.
Kodiferansiyel ve Laplace-Beltrami işlemcisi aşağıda verilen kuralları sağlar:
(a) dd = δδ = 0, d Δ = Δ d, δ Δ = Δ δ
(b) δ* = ( −1 )p * d, * δ = ( −1 )p +1 d *
(3.85)
(c) d δ* = *δd, * d δ = δd *, * Δ = Δ *
İspat: dd = 0 olduğunu
(Kısım 3.2)’de gösterildi ve kodiferansiyel tanımı da
kullanılırsa δδ = 0 olduğu açık. (3.78) ifadesinden,
97
d ( δ d + dδ ) = dδ d = ( δ d + dδ ) d = dδ d
⇒ dΔ=Δd
δ ( δ d + dδ ) = δ dδ = ( δ d + dδ ) δ = δ dδ
⇒ δ Δ = Δδ
olur. Kural (b) için, δ ’nın tanımından ve (2.67 (ii)) ifadesinden,
δ ∗ = ∗d ∗ ∗ ( −1 )m( m − p +1 ) + s = ∗d ( −1 ) p( m − p ) + s ( −1 )m( m − p +1 ) + s = ( −1 ) p ∗ d
d ∗ = ∗δ ∗ ∗ ( −1 )m( m − p ) +1+ s = ∗δ ( −1 ) p( m − p ) + s ( −1 )m( m − p ) +1+ s = ( −1 ) p +1 ∗ δ
elde edilir. Kural (c) ve Kural (b) kullanılarak,
dδ ∗ = d ( −1 ) p ∗ d = ( −1 ) p d ∗ d = ∗δ d
δ d ∗ = δ ( −1 ) p +1 ∗ δ = ( −1 ) p +1 δ ∗ δ = ∗d δ
bulunur. Bu son iki eşitlikten Δ ve * işlemcilerinin sıra değişmesi bağıntısı bulunabilir:
∗Δ = ∗ ( δ d + dδ ) = ∗δ d + ∗dδ = dδ ∗ +δ d ∗
= ( δ d + dδ ) ∗ = Δ ∗
3.6 Afin Bağlantılar
Farklı bir koordinat sisteminde türevi hesaplamak için, bir sözde ortogonal baz
kullanmak uygundur. gik bir simetrik matris olduğu için, baz değişimiyle, özdeğerler
olarak yalnız ±1 ile bir ηik diagonal matrisine dönüştürülebilir. Bu, bir lokal Lorentz
dönüşümüne göre ei ’yi belirler:
ei ( x ) → Λ ik ( x ) e k ( x )
(3.86)
ηk Λ mk ( x ) Λ n ( x ) = ηmn , ∀x
98
Bir ortogonal baz doğal olmak zorunda değildir ve dolayısıyla bir ortogonal ei ’nin dış
türevi sıfır olmayabilir. Daha genel durum için,
dei = −ω ik ∧ e k , dgik = ωik + ωki
(3.87)
ωik = gijω kj
afin bağlantıları tanımlanır. E p ’de tabanların diferansiyelleri için, (3.87)’den,
de j1... j p = −ω j1 j ∧ ω jj2 ... j p − ω j2 j ∧ ω j1 j ... j p − ... − ω j p j ∧ ω j1... j p −1 j
(3.88a)
elde edilir ve benzer şekilde,
d * e j1... j p = −ω j1 j ∧ *ω jj2 ... j p − ω j2 j ∧ *ω j1 j... j p − ... − ω j p j ∧ *ω j1... j p −1 j
(3.88b)
bulunur. Bu iki bağıntıyı elde etmek için ω i k = η ijωkj olmak üzere,
ωk1 iε ik2 ...km + ωk2 iε k1i...km + ...ωkm iε k1...km −1i = 0, ∀k1 = 1,..., m;...; km = 1,..., m
(3.89)
özdeşliği ele alınsın. Bunu doğrulamak için üç durum düşünülebilir:
(i) Bütün ki ’ler farklı olsun. O zaman i, ε ’da olmayan k ’lara eşit olmalı
ve ωik = −ωki olmalıdır. η diyagonal olduğu için, i = k iken ωk i = 0 ’dır.
(ii) ki ’lerin ikisi eşit olsun, mesela k1 = k2 . O zaman,
ωk1 iε ik1... + ωk1 iε k1i... = 0
99
kalır.
(iii) Üç ki eşit olsun. O zaman bütün ε ’lar sıfıra eşit olurlar.
Eğer özdeşlik e k p +1...km ile çarpılır ve indisler yeniden etiketlendirilirse, o zaman
ortogonal bazda,
ωk p +1iε k1...k pik p + 2 ...km e k p +1...km = −ω k p +1 iε k1...km eik p + 2 ...km
olur. Genelde,
det g
( m − p )!
∗ei1...i p = g i1 j1 ...g i p j p e j p +1... jm ε j1... jm
(3.90)
ifadesinden dolayı,
( m − p )!d ( ∗ei1...i p ) = η j1k1 ...η j p k p ε k1...km dek p +1...km
{
= −η j1k1 ...η j p k p ε k1...km ω k p +1 i eik p + 2 ...km + ... + ωikm eik p +1...km −1i
= −η j1k1 ...η j p k p { ωk1 iε ik2 ...km +
... + ωk p iε k1...k p −1ik p +1...km e k p +1k p + 2 ...km
}
}
= −ω j1 i∗ eij2 ... j p − ... − ω j p i∗ e j1... j p −1i ( m − p ) !
bulunur ve bu (3.88) ifadelerini ispatlar.
Afin bağlantılar baz değişimi altında homojen olarak dönüşmezler:
ω k r → A k sω s
j
( A−1 )
j
r−
( A−1 )
j
r dA
k
(3.91)
j
100
İspat: e j = A j k e k olsun.
de j = dA j r ( A−1 ) e k − A j k ω k r ( A−1 ) e s = −ω j e k
r
r
k
⇒ ω j = A j sω s r ( A
s
) k − ( A ) k dA j s
−1 r
−1 s
dir, çünkü bu aynı zamanda ikinci tanımlanan denklem ((3.87)'deki) için de sağlanır:
g = A−1t gA−1
⇒ dg = A−1t d ( g ) A−1 − A−1t gA−1 ( dA ) A−1 − A−1t ( dAt ) A−1t gA−1
= A−1t gω A−1 − A−1t gA−1 ( dA ) A−1 + A−1t ( gω )t A−1
− A−1t ( gA−1dA ) A−1
t
= g ω + ( g ω )t
Son olarak, iki bölümde incelenen matematiksel formülasyon göz önüne alınarak
Maxwell denklemlerinin farklı matematiksel yazımları Çizelge 3.2’de verilmiştir:
Çizelge 3.2 Maxwell denklemlerinin evrimi
101
4. UZAYIN EĞRİLİĞİ VE KOVARYANT TÜREVLER
Kovaryant türev bir vektör yönünde bir tensör alanının değişim oranını tanımlar. İki ayrı
yöndeki kovaryant türevler genelde sıra değişmezler ve onların sıra değişme bağıntıları
(komütatörleri) uzayın eğriliğini verir.
4.1 Kesitler ve Lif Metrik
B taban manifoldu ve Π projeksiyonuna sahip bir Π vektör demetinin kesiti,
Π Φ = 1B
(4.1)
biçiminde tanımlanan bir Φ : B → V gönderimdir. Kesitlerin cümlesi, S0 ( V ) ile
gösterilir.
Vektör alanları (1-formlara karşı gelirler) T ( B ) demetlerinde, ( T ∗ ( B ) ’ye karşı
gelirler) kesittirler: S0 ( T ∗ ( B ) ) = T10 . Burada işlenecek konu için B tabanı, uzayzaman olacak ve dim B = 4 dür. Bu yüzden T ( B ) ’de lifler her zaman R 4 olacaklar.
Benzer şekilde vektör alanları vektör demetlerinde kesitlerdir (Thirring 1999).
Dejenere olmayan, bilineer (veya kompleks demetler için sekuilineer (sequilinear))
S0 ( V ) × S0 ( V ) → C ( B ) : ( Φ , Ψ ) → Φ | Ψ
(4.2)
gönderimine bir lif metriktir denir. S0 ( V ) , C ( B ) üzerinde bir modüldür ve
bilineerlik ∀f , g ∈ C ( B ) için,
f Φ | g Ψ = fg Φ | Ψ
eşitliğini ifade eder. Burada
dejenere olmamak B ’nin her noktasında, Φ | Ψ = 0, ∀Φ ∈ V0
belirtir.
102
⇒ Ψ = 0 olduğunu
Bir M Riemannian uzay üzerinde metrik, T ( M ) demetinde bir lif metrik tanımlar. Bu
vektör alanlarının T ∗ ( M ) ve tensör alanlarına genişletilmesinden yararlanılarak
T ∗ ( M ) ve tensör alanlarına genişletilebilir. Herhangi bir M üzerinde T ∗ ( M )
üzerinde kanonik 2-form, T ( T ∗ ( M ) ) demetinde bir lif metrik tanımlar ve lif metrik
pozitif olmak zorunda değildir.
Bir vektör uzayının her elemanı { bi } bazına açılabilir, fakat bir tensör alanı için, bir
kesitler için bir baz sadece lokal olarak var olabilir ve global olarak yoktur. Bu takdirde,
metrik baz üzerinde etkisi ile lokal olarak tanımlanır ve bir simetrik metrik için metriğin
dik (normal),
⎧ ±1 i = j için
bi | b j = ηij , ηij = ⎨
⎩ 0 i ≠ j için
(4.3)
formunu kabul eden bir baz kullanmak iyi bir kestirim olacaktır. Bu koşul, bi ’yi tek
olarak belirlemez: Eğer Ltη L = η ise, bi = bk Lk i da bir ortogonal bazdır ve ηik ,
x ∈ B ’ye bağlı olmamasına rağmen L olabilir.
bi | b j = ηij lif metrikli bir vektör demetinde kesitlerin bir lokal bazı { bi } olsun.
Ltη L = η olan bi → bk Lk i dönüşümlerine ayar dönüşümleri denir. Lk i ( x ) ’ler, her
x ∈ B için aynı ayar grubunu, demetin sözde G ayar grubunu biçimlendirirler
(kurarlar). Eğer demet trivial hale getirilebilir ve L : B → G bir sabit gönderimse, o
zaman bir global ayar dönüşümünden söz edilebilir. Örneğin,
n
Φ | Φ = ∑(ϕi )
2
i =1
103
lif metrikli Φ = ∑biϕ i alanlarının G ayar grubu O ( n ) dir (O(n): MM t = 1 olan n × n
matrislerin grubudur). ( n, m ) (η , n pozitif ve m negatif özdeğere sahiptir) işaretli bir
pseudo-Riemannian uzayda ise, ayar grubu O ( n, m ) dir. Buradaki durumlarda ayar
grubu daima bir lif metriğin değişmezliğinden (invaryansından) gelir.
B × V ⊗π ∧ p T ∗ ( B ) vektör demeti üzerindeki kesitlere p-form değerli kesitler (ve ya
vektör değerli kesitler) denir, bunların cümlesi S p ile gösterilir ( ⊗π , aynı bazlı
demetlerin çarpımını gösterir. Onda lifler bireysel (tek tek) liflerdir ve baz genel bazdır.
∧ p T ∗ ( B ) , T ∗ ( B ) ’nin p-kere antisimetrik çarpımıdır.). Onlar bir lineer uzaydır ve ∧
dış çarpımı E p × Sq ’yu S p + q içine gönderir (haritalar). Dolayısıyla Φ ∈ S p , υ i ∈ E p
ve S0 ’da bi bazları ile
Φ = ∑biυ i
(4.4)
i =1
şeklinde yazılabilir. Bir
u ∈ T 01 ( B )
vektör alanı verimiş olsun, o zaman
iu : S p → S p −1 iç çarpımı,
iu Φ = ∑b j iuυ j
(4.5)
j =1
şeklinde tanımlanır.
4.2 Kovaryant Türev
Bir Φ ( x ) kesitinin türevini tanımlayabilmek için Φ ( x ) ’in x + dx ’e nasıl paralel
olarak taşındığını bilmek gerekir, böylece Φ ( x + dx ) − Φ ( x ) tanımlanabilir. Bu
104
bağlantı sayesinde sonsuz küçük yüzey üzerinde tanımlanabilir, ve bu paralelizim lokal
veya global yüzeylere genişletilebilir.
Kovaryant dış türev, D aşağıda verilen özelliklere sahip bir S p → S p +1 gönderimdir:
(i) D ( αΦ1 + β Φ 2 ) = α DΦ1 + β DΦ 2 , Φ i ∈ S p , α ve β ∈ R
(4.6)
(ii) D ( Φ ∧ υ ) = ( DΦ ) ∧ υ + ( −1 ) p Φ ∧ dυ , Φ ∈ S p , υ ∈ Eq
Bir bi ∈ S0 bazının,
Dbi = bk ω k i , ω k i ∈ E1
(4.7)
kovaraynt dış türevinin açılımında görülen ω k i , 1-formları lineer bağlantı veya ayar
potansiyeli olarak adlandırılır.
Kural (i) ve (ii) vasıtasıyla D tamamen ω ’lar ile belirlenmiştir. Örneğin E1 ’deki dxα
doğal bazı ile
Φ=
1
biϕ i( α ) dxα1 ∧ ... ∧ dxα p
∑
p ! i ,( α )
yazılabilir ve (4.6) kuralları ile,
DΦ =
1
bi ( dϕ i( α ) + ω i kϕ k ( α ) ) ∧ dxα1 ∧ ... ∧ dxα p
p ! i ,∑
(α )
105
(4.8)
olur. bi , global olmak zorunda olmadığı için, D global olarak var olmasına rağmen, ω
da global olarak tanımlanamaz. ω , S1 ( L ( F ) ) ’nin, yani lifler gibi, liflerin F , lineer
dönüşümleriyle bi ’nin tanım bölgesi üzerindeki demetin bir 1-form değerli kesitinin
elemanı olarak düşünülebilir. Bu bağlamda,
D = d +ω ∧
(4.9)
kısaltması kullanılabilir. Bununla beraber, ω ’lar F ’de bir baz değişimi altında
S1 ( L ( F ) ) nin elemanları gibi dönüşmezler. Ayar dönüşümleri altında ayar
potansiyelinin dönüşümü şu şekilde olur: Bir lokal bi → bL, L ∈ S0 ( L ( F ) ) baz
dönüşümü altında ω ,
ω → L−1ω L + L−1dL
(4.10)
biçiminde dönüşür. dL ∈ S1 ( L ( F ) ) , eğer baz dönüşümü bk → bk = bi Li k ise, dLi k
elemanlı matris olarak anlaşılmalıdır. Dolayısıyla, indis notasyonu ile
ω i k = ( L−1 ) j ω j l Ll k + ( L−1 ) j dL j k
i
i
(4.11)
olur. Dönüşüm kuralı (4.6) kurallarından çıkar:
b = bL
⇒ Db = ( Dd ) L + bDL = bω L + bdL
(4.12)
= bLL−1ω L + bLL−1dL = b ( L−1ω L + L−1dL ) = b ω
106
Φ = ∑biϕ i ∈ S0 ’ın ϕ i bileşenlerinin bakış açısından bakılarak, DΦ ’nin dϕ i + ω i kϕ k
bileşenlerinin ϕ i → ϕ i = ( L−1 ) kϕ k ayar dönüşümü altında ϕ i ’ler gibi dönüştüğü
i
görülüyor. Homojen olmayan ( dL−1 ) Φ terimi,
L−1L = 1 ⇒ dL−1L = − L−1dL
(4.13)
olduğu için ω dönüşümünde karşı gelen terim tarafından yok edilir.
Bir u ∈ T 01 vektör alanı verilsin, kovaryant Lie türevi (3.22) Lie türevi ifadesine benzer
biçimde
Lu = iu D + D iu
(4.14)
eşitliği ile tanımlanır. Bu S p ’yi S p ’nin içine gönderir (haritalar). D ve i işlemcileri
lineer oldukları için Lu , kovaryant Lie türevi de lineer bir işlemcidir. p=0 özel
durumuna kovaryant türev denir ve
Du = iu D
(4.15)
ile gösterilir ve aşağıda verilen kuralları sağlar. Bir M manifoldu üzerinde u,υ ve ω
vektör alanları ve f ve g fonksiyonlar olsunlar,
107
(a) Du ( υ + ω ) = Du υ + Du ω
(b) Dfu +g υ ω = fDu ω + gDυ ω
(4.16)
(c) Du ( f ω ) = df υ + fDu υ
(d) Du υ − Dυu = ⎡⎢ u, υ ⎤⎥
⎣
⎦
Nicelikler daha kesin bir biçimde, ϕ = ∑ ibiϕ i ∈ S0 olmak üzere,
Lu Φ = Du Φ = ∑bi ( ( dϕ i | u ) + ( ω i k | u ) ϕ k
)
(4.17)
i
şeklinde ifade edilebilir. Lu için olduğu gibi, Lu için de Leibniz kuralı,
Lu ( υ ∧ Φ ) = ( Luυ ) ∧ Φ + υ ∧ Lu Φ
sağlanır. Du için D fu = fDu , ∀f ∈ E0 olması dışında genellikle L fu ≠ f Lu geçerlidir.
T mr ( M ) ’nin kuruluşu göz önüne alınarak V , kendi duali, V ∗ ve
s
r
Vsr = V ⊗ V ⊗ ... ⊗ V ⊗V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ ... ⊗ V ∗
π
π
π
π
π
π
π
ile ilişkilendirilebilir. Diferansiyel işlemciler D ve dolayısıyla L, p = 0 , için Leibniz
kuralı,
D ( Φ1 ⊗ Φ 2 ) = ( DΦ1 ) ⊗ Φ 2 + Φ1 ⊗ ( DΦ 2 ) , Φ i ∈ S0 ( V )
108
(4.18)
ve gönderimlerin değişmezliği (invaryansı),
S0 ( V ∗ ) × S0 ( V ) → E0 ( B ) :
D ( Ψ | Φ ) = ( DΨ | Φ ) + ( Ψ | DΦ ) , Ψ ∈ S0 ( V ∗ ) , Φ ∈ S0 ( V )
(4.19)
biçiminde tanımlanarak S p ( Vsr
D=d
) kesitleri üzerine taşınabilir. Skalerler üzerinde
olduğu için,
D( Ψ | Φ ) = d ( Ψ | Φ )
dir. Özellikle, b∗ j , ( b∗ j | bk ) = δ
j
k
dual bazı için dδ
j
k
= 0 olduğu göz önüne
alınarak,
0 = d ( b∗ j | bk ) = D ( b∗ j | bk ) = ( Db∗ j | bk ) + ( b∗ j | Dbk
)
= ( Db∗ j | bk ) + ( b∗ j | ω i k bi ) = ( Db∗ j | bk ) + ( ω j i b∗i | bk
)
elde edilir ve buradan,
Db∗ j = −ω j i b∗i
(4.20)
sonucu çıkar.
T( Φ )
→T ( V )
Bir B → V gönderim olarak Φ ∈ S0 ( V ) kesiti aynı zamanda T ( B ) ⎯⎯⎯
gönderimine neden olur. Bir baza ilişkin olarak bu, şu şekilde ifade edilebilir:
Φ : x → ( x, ϕ i ( x ) )
⎛
∂ϕ i ⎞
T ( Φ ) : ( x , υ ) → ⎜ x , ϕ i ( x ) ;υ , υ α α ⎟
∂x ⎠
⎝
109
(4.21)
Eğer F ve T ( F ) ’i belirlenirse, bu şematik olarak (Şekil 4.1)'deki gibi olur.
Şekil 4.1 Kovaryant türevin geometrik anlatımı
Dυ ( Φ ) için istenilen, B yönünde gidilirken Φ ’nin dik kısmının F yönünde
değişimidir. Bununla beraber, T ( V ) ’de tercih edilen yatay yön yoktur. Dik yönde
bileşenler için tercih edilen bir yatay yön gerekir. Bu yön, bir
( x , υ ) → ( x , ϕ i ( x ) ;υ , − ( ω i k | υ ) ϕ k )
gönderimi olarak düşünülebilen −ω i k , 1-formları tarafından tanımlanır. İki gönderim
arasındaki fark olarak Dυ ( Φ ) , ω tarafından tayin edilen yatay yöne göre T ( Φ )υ
değişimini hesaplar (Şekil 3.2). Böylece, Dυ ( Φ ) ’ye υ yönünde ilerlerken Φ x ∈ F ’nin
değişimi olarak bakılmalıdır çünkü, bileşenler ( dϕ i | υ ) ile değişirler ve baz ( ω i k | υ )
tarafından döndürülür.
Dυ Φ = 0 veya DΦ = 0, ∀υ
(4.22)
denklemini sağlayan kesitlerin dikey bileşenleri sabittir ve kovaryant olarak sabit
kesitler olarak adlandırılırlar ve tek olarak belirlidirler. Bu ifade aynı zamanda B
110
yönünde paralel taşıma olarak ifade edilir. Eğer kovaryant olarak sabit bir baz varsa,
ω ’lar sıfıra eşit olurlar ve kovaryant olarak sabit vektörler sabit bileşenlerle birlikte tek
olarak belirlenirler. Bu takdirde D ile sonsuz küçük ölçekte tanımlanan paralelizim
fikri bu bazın bölgesine genişletilebilir. Eğer manifold bir g metriğine sahipse, paralel
taşıma metriğe etki etmez ve iki vektör arasıdaki açı, taşıma sonrasında yine aynı kalır.
Böylece büyük çemberler boyunca paralel öteleme onlarla olan açıyı sabit tutarak
sağlanır. Açık olarak DΦ = 0 için bir koşul,
DDΦ = 0
dır. d ’den farklı olarak D ’nin karesi özdeş olarak sıfır değildir. Bu, D D ’nin
uygulanılan bir kesitin türevine bağlı olmadığını gösterir. (4.6) kuralları kullanılarak,
(
DD ( f ∧ Φ ) = D df ∧ Φ + ( −1 )q f ∧ DΦ
)
= ddf ∧ Φ + ( −1 )q +1 df ∧ DΦ + ( −1 )q df ∧ DΦ + f ∧ DDΦ
= f ∧ DDΦ,
(4.23)
∀f ∈ Eq , Φ ∈ S p
eşitliği elde edilir. Böylece DDΦ ∈ S p + 2 , Φ ile lineer olarak ifade edilebilir ve böylece
L ( F ) ’deki değerler ile bir 2-form tanımlar.
Şekil 4.2 Dυ işlemcisinin geometrik anlatımı
111
Ω ∈ S2 ( L ( F ) ) eğrilik formu,
DDΦ = Ω ∧ Φ, Φ ∈ S p
(4.24)
ile tanımlanır. (4.24) eşitliği,
DDbiϕ i = bk Ω k iϕ i
(4.25)
olduğunu gösterdiği için Ω , bir baz üzerinde, Ωbi = bk Ω k i etkisiyle tanımlanır:
DDbi = D ( bk ω k i ) = bk d ω k i + bk ω k j ∧ ω j i = bk Ω k i
(4.26)
elde edilir. Böylece Cartan ikinci yapı denklemi,
Ωi k = d ω i k + ω i j ∧ ω j k
(4.27)
bulunur (uzay-zaman tanjant demetinde Ω için R kullanılacak). ω ∈ S1 ( L ( F ) ) ,
düşünülerek bu eşitlik daha kompakt olarak
Ω = dω + ω ∧ ω
(4.28)
şeklinde yazılabilir. Matris çarpımı sıra değişmediği için, metrik değerli 1-formlar için
ω ∧ υ ≠ −υ ∧ ω olur ve ω ∧ ω sıfıra eşit olmak zorunda değildir.
(4.11) bağlantıları için A ( 2 ) Abelian ayar gruplu V = R 4 × R 2 ’de A ∧ A = 0 olduğu
için ( ω ∧ ω )i k = A ∧ Aε i j ε j k sıfıra eşit olur ve
112
⎛
⎛ 0 1⎞⎞
dAε i k = F ε i k ⎜ ε i k = ⎜
⎟⎟
⎝
⎝ −1 0 ⎠ ⎠
(4.29)
olur. Böylece elektromagnetik alan F = dA bağlantı eğriliğidir. (4.24) eşitliğinden
dolayı bi → bi = bk Lk i baz değişimi ile,
DDbi = b j Ω j k Lk i = bk Ω k i
(4.30)
olur. Çünkü,
bk Ω k i = b j Ω j k Lk i = br Lr j ( L−1 ) Ω s k Lk i = b j Ω ji
j
s
olur ve
Ω ji = ( L−1 )
j
m
Ω m k Lk i
(4.31)
olarak dönüşür. Böylece Ω , ω ’nın tersine baz değişimi altında S2 ( L ( F ) ) ’nin bir
elemanının dönüşmesi gerektiği gibi dönüşür. (4.10) dönüşüm kuralında bulunan
homojen olmayan terimler, d ω + ω ∧ ω kombinasyonunda yok olur:
ω = L−1ω L + L−1dL,
dω + ω ∧ ω = ( dL−1 ) ∧ ω L + L−1dω L − L−1ω dL + ( dL−1 ) ∧ dL
+ ( L−1ω L + L−1dL ) ∧ ( L−1ω L + L−1dL )
= − L−1dL ∧ ω L + L−1d ω L − L−1ω ∧ dL − L−1dL ∧ dL
+ L−1ω L ∧ L−1ω L + L−1ω ∧ dL + L−1dL ∧ L−1ω L + L−1dL ∧ L−1dL
= L−1d ω L + L−1ω L ∧ L−1ω L − L−1dL ∧ ω L + L−1dL ∧ L−1ω L
= L−1d ω L + L−1ω L ∧ L−1ω L = L−1 ( d ω + ω ∧ ω ) L
⇒ d ω + ω ∧ ω = L−1 ( d ω + ω ∧ ω ) L
(4.32)
113
bulunur. Yönlü türev için Ω ’nın anlamı anlamak için, Φ ∈ S0 için
( iυ iu DD ) Φ = iu Diυ DΦ − iυ Diu DΦ − D[ u , υ ]Φ
(4.33)
eşitliği kullanılmalıdır. Bu ifadeyi kanıtalamak için ω ∈ S1 , daha genel durumu göz
önüne alınsın. ω = bν , b ∈ S0 , ν ∈ E1 , yazılabilir. Lineerlikten dolayı bağıntıyı bir bir
terim için göstermek yeterlidir. (3.36) bağıntısından yararlanılarak,
iυ iu dν = iu d (ν | υ ) − iυ d (ν | u ) − i[ u , υ ]ν , ν ∈ E1
(4.34)
yazılır (bu eşitlik (3.36) eşitlliğinin i iç çarpımı kullanılarak yazılmasıdır). Bu eşitlikte
ω = bν ve d yerine D yazılırsa,
iυ iu Dω = ( iu Db )( iυν ) − ( iυ Db )( iuν )
+b ( iu d ( iυν ) − iυ d ( iuν ) − i[ u , υ ]ν
)
olur. Bu,
iu D ( ω | υ ) − iυ D ( ω | u ) − i[ u , υ ]ω = iu D ( biυν ) − iυ D ( biuν ) − bi[ u , υ ]ν
ifadesine eşittir ve ispatı tamamlar. (4.33) bağıntısı, eğer iki boyutlu yüzeyleri
biçimlendirecek biçimde [ u , υ ] = 0 olan iki vektör alanı varsa, o zaman
( Du Dυ − Dυ Du ) Φ = ( iυ iu Ω ) Φ
(4.35)
114
olduğunu belirtir. Böylece Ω ilkin u yönünde ve sonra υ yönünde ilerleyerek ve ikinci
olarak ters sırayla uygulanarak aynı noktaya geri (sonsuz küçük yakınına) gelmek
suretiyle Φ ’nin kovaryant değişimleri arasındaki farkı ölçer.
Kovaryant olarak sabit kesitler için DΦ = 0 ’dır. Bu Φ = ∑ ibiϕ i için açık olarak
yazılırsa,
0 = DΦ = ∑bi ( ω i kϕ k + dϕ i )
i
elde edilir. Burada,
ω i k ϕ k + dϕ i = 0
(4.36)
olmalıdır. Bu ifade ve (4.26) ifadesi kullanılarak,
0 = d ( ω i k ϕ k ) = ( ( d ω i k ϕ k ) + ω i k dϕ k
)
(4.37)
= ( d ω i k + ω i j ∧ ω j k ) ϕ k = Ωi k ϕ k
bulunur. Böylece kovaryant olarak sabit bir kesit her x ∈ B noktasında Ωi k ( x )
matrisinin sıfır özdeğerli bir özvektörüdür. Eğer kovaryant olarak sabit bir baz varsa, o
zaman baz üzerinde etkisi sıfır olduğu için, Ω sıfıra eşit olmalıdır. Bu aynı zamanda
böyle bir bazda ω = 0 ve dolayısıyla Ω = 0 durumundan da çıkar ve baz değişimi
altında
Ω
homojen
olarak
dönüşür.
Ω=0
(4.36)
denklem
sistemi
için
integrallenebilme koşulu,
dω i k + ω i j ∧ ω j k = 0
(4.38)
ifade eder.
115
Aşağıda verilen iki eşdeğer koşuldan biri sağlanırsa, bir vektör demetinin bağlantısı
lokal olarak düzdür denir:
(i) Ω = 0
(ii) Kovaryant olarak sabit bir baz (lokal) vardır.
Eğer demet paralel hale getirilebilirse, yani bir global baz varsa, o zaman bu bazı
kovaryant olarak sabit ifade etmekle bir düz bağlantı elde edilir. Bununla beraber, düz
olma bir lokal bir özelliktir. Düz olma manifoldun içsel bir özelliğidir.
Kovaryant türev D, S p ( L ( F ) ) ’ye genişletilebilir ((4.18) ve (4.19) ifadeleri) ve bunun
Ω ’y uygulanması ile
DΩ = 0
(4.39)
Bianchi özdeşliği elde edilir. Ω = bk Ω k i b∗i ’nin (4.26) bileşenleri ve (4.20) ifadesi
kullanılarak,
0 = DΩ = D ( bk Ω k i b∗i )
= ( Dbk ) Ω k i b∗i + bk ( DΩ k i ) b∗i + bk Ω k i ( Db∗i )
= brω r k Ω k j b∗ j + br d Ω r j b∗ j − br Ω r iω i j b∗ j
= br ( ω r k Ω k j + d Ω r j − Ω r iω i
⇒ d Ωi j = −ω i k Ω k j + Ωi k ω k
j
) b∗ j
(4.40)
j
veya
116
d ( dω i j + ω i s ∧ ω s j ) = dω i s ∧ ω s j − ω i s ∧ dω s j
= ( dω i s ∧ ω s j + ω i k ∧ ω k s ∧ ω s j ) − ω i k ∧ ω k s ∧ ω s j
− ( ω i s ∧ dω s j + ω i s ∧ ω s k ∧ ω k j ) + ω i s ∧ ω s k ∧ ω k j
= Ωi s ∧ ω s j − ω i s ∧ Ω s j
elde edilir, kısaca,
d Ωi j = −ω i k ∧ Ω k j + Ωi k ∧ ω k j
(4.41)
olarak Bianchi özdeşliği bileşenleriyle elde edilir. Ω = Dω olarak ve böylece ω
üzerinde D 2 = 0 düşünülebilir. Bununla beraber, Ω , ω ’nın kovaryant türevi olmasına
rağmen, Ω baz değişimi altında L ( F ) gibi dönüşür anlamında, ω baz değişimi altında
S1 ( L ( F ) ) gibi dönüşmediği için, (4.39)'da kullanılan D tek değildir. Yukarıdaki gibi
bileşenleri ile yazılırsa,
( Dω )i j = dω i j + 2ω i k ω k j
(4.42)
elde edilir ve 2 çarpanı ile Ωi j ’den farklı olduğu görülür.
Lif metrik, F ’de bir skaler çarpım tanımlar ve böylece S p ( V ) × S0 ( V ) ’yi E p ( B ) ’nin
içine gönderir (haritalar). Bağlantıların bu yapıyı koruması istenir. | lif metrikli bir V
vektör demetinde,
D Ψ|Φ =d Ψ|Φ
= DΨ | Φ + ( −1 ) p Ψ | DΦ , Ψ ∈ S p ( V ) , Φ ∈ S0 ( V )
olması beklenir. Böyle bağlantılara metrik bağlantılar denir. ω ’lar için bu,
117
(4.43)
0 = dηik = d ei | ek = Dei | ek + ei | Dek
= ω j i e j | ek + ei | e j ω j k = ω j iη jk + ω j kηij
(4.44)
koşulunu yükler. Böylece eğer η ’lar simetrik ise ωik = ω j iηij antisimetrik olmak
zorundadır:
ωik = −ωki
(4.45)
Bu ωik ( x ) ’in L ( F ) ’nin bir keyfi elemanı olmayacağını, fakat ayar grubunun Lie
cebrine ait olması gerektiğini belirtir. e j | ek = gik ’ya sahip bir keyfi baz için (4.44)
denklemi,
dgik = ωik + ωki
(4.46)
ya genellenir.
Bir Riemannian uzayın tanjant demetinde ηik = δ ik ve böylece ω i k = −ω k i ’dır. PseudoRiemannian uzay-zaman için
eğer i = k = 0 ise
⎧ −1
⎪
ηik = ⎨ 1 eğer i = k = 1, 2,3 ise
⎪ 0 diğer durumlar
⎩
(4.47)
olur. Bundan dolayı
ω i k = −ω k i , i, k = 1, 2,3; ω i 0 = ω 0i ; ω i i = 0
dır.
118
(4.48)
Bir Riemannian uzayın T ( M ) tanjant demetinde eğrilik R olsun. Bu durumda
S0 ( T ( M ) ) kesitleri T 01 ( M ) vektör alanları ile aynıdır. T 01 ( M ) vektör alanları E1 ’i
E0 ’ın içine resmettiği için S1 ( T ( M ) ) ’yi S0 ( T ( M ) ) ≡ T 01 ( M ) ’nin içine resmeder.
Eğer T 01 ( M ) ’de b j ’ler bir lokal baz ve ei ’ler dual baz,
( ei | b j ) = δ i j
teşkil
ediyorlarsa, o zaman
θ = ∑bi ⊗ ei ∈ S1 ( T ( M ) )
(4.49)
i
soldering form ve
T = Dθ
(4.50)
burulma (torsiyon) adını alırlar. T = 0 , metrik bağlantısına sıfır burulmalı bağlantı
veya Levi-Civita bağlantıları denir.
Dθ = ∑bi ( dei + ω i k ∧ e k
)
(4.51)
i
yazılabilir ve sıfır burulmalı bir bağlantılar için
dei = −ω i k ∧ e k
(4.52)
olur. ei , T10 ( M ) ’de bir baz olsun. T = 0 ( de j = −ω j k e k ) ise aşağıda verilen
bağıntılar sağlanır:
( DX u | Y ) − ( DY u | X ) = ( du | X ⊗ Y ) , u ∈ T10 ( M )
119
(4.53)
veya
DX Y − DY X = [ X , Y ] , X , Y ∈ T 01 ( M )
(4.54)
dır. Bunlar gösterilebilir.
⇐ ( de j | X ⊗ Y ) = ( DX e j | Y ) − ( DY e j | X
)
= − ( ω j k| X
)( ek | Y ) + ( ω j k| Y )( ek | X )
= − ( ω j k ∧ e k | X ⊗ Y ) ⇒ de j = −ω j k e k
Eğer ⇒ Eğer u = fe, f ∈ E0 , ise o zaman,
du = df ∧ e + fde ve DX u = iX ( df ∧ e + fDe )
olur. Bu ifadeden yararlanarak,
( DX u | Y ) = ( iX ( df ∧ e + fDe ) | Y )
− ( ( DY u | X ) = ( iY ( df ∧ e + fDe ) | X ) )
( DX u | Y ) − ( DY u | X ) = ( du | X ⊗ Y )
olarak (4.53) elde edilir. (3.36) denkleminden,
( du | X ⊗ Y ) = LX ( u | Y ) − LY ( u | X ) − ( u | [ X , Y ] )
olduğu biliniyor, diğer yandan,
LX ( u | Y ) = D X ( u | Y ) = ( DX u | Y ) + ( u | DX Y )
120
dir. Böylece (4.53) denklemi de kullanılarak,
( du | X ⊗ Y ) = ( DX u | Y ) − ( DY u | X )
= LX ( u | Y ) − LY ( u | X ) − ( u | [ X , Y ] )
= ( DX u | Y ) − ( DY u | X ) + ( u | DX Y )
− ( u | DY X ) − ( u | [ X , Y ] )
bulunur. Eşitliğin sağlanması için
DX Y − DY X = [ X , Y ]
olmalıdır. Bu da (4.54)’dür.
Düz bir Riemannian uzayda kovaryant olarak sabit bazda ω i k = 0 ’dır. Eğer T = 0 ise,
o zaman (4.52)’den de j = 0 olur veya e j = dx j olur. Bu yüzden R = T = 0 durumu
E1 ’de bir doğal, kovaryant olarak sabit bazın varlığına işaret eder.
R 2 \ { 0 } polar koordinatlarında; e1 = dr , e2 = rdϕ ortogonal bazında metrik,
g = dr 2 + r 2 dϕ 2 = e1 ⊗ e1 + e 2 ⊗ e 2
dir. de1 = 0 ve de 2 = dr ∧ dϕ ’den g ’yi koruyan bir burulmasız (sıfır burulmalı)
bağlantı için,
ω12 = −ω21 = − dϕ =
e2
, ω11 = ω22 = 0
r
bulunur. Dolayısıyla.
121
Ri k = dω i k + ω i j ∧ ω j k = 0
olur. Ortogonal bazların kovaryant olarak sabit olduğu bir bağlantı ile, dual baz
b1 = ∂r , b2 = r −1∂ϕ oldun burulma, b2 de 2 = r −1∂ϕ ⊗ dr ∧ dϕ olur.
4.3 Afin Bağlantılar ve Türev İşlemcilerinin Sıra Değişme Bağıntıları
Afin bağlantılar doğal bazlarda ve ortogonal bazlarada ayrı ayrı hesap edilebilir:
(a) be j = dq j doğal bazında: Γijk ∈ T 00 Christoffel simgeleri, bazda ωij ’nin
ωij = Γijk dq k
(4.55)
ayrışımından ortaya çıkar. Bu durumda,
dei = 0 = Γijk dq j ∧ dq k
olduğu için, bunlar j ve k ’ya göre simetriktirler. Bu bazda Christoffel simgeleri
aşağıda verilen bağıntılar ile belirlenirler:
dgij = ωij + ω ji ≡ Γijk dq k + Γ jik dq k
dgij =
∂gij
∂q k
(4.56)
dq k
olduğu için,
122
gij ,k ≡
∂gij
∂q k
= Γijk + Γ kij
(4.57)
bulunur ve bu simgeler j ve k ’ya göre simetriktirler:
0 = dei = −ω i k ∧ e k = − g ijω jk ∧ ek = − g ij Γ jkm ek ∧ e m
=
1 ij
g ( Γ jkm − Γ jmk ) e k ∧ e m
2
olur ve buradan
Γ jkm = Γ jmk
(4.58)
elde edilir. Bu özellik ve (4.57) denklemi kullanılarak,
Γkjl + Γ jkl = g jk ,l
Γ jlk + Γljk = glj ,k
−Γlkj − Γklj = −gkl , j
2Γ jkl = g jk ,l + glj ,k − gkl , j
1
Γ jkl = ( g jk ,l + glj ,k − gkl , j )
2
(4.59)
elde edilir.
(b) Ortogonal bazda: dgik = dηik = 0 = ωik + ωki ile birlikte
( de j | ek ⊗ ei ) = − ( ω j l el | ek ⊗ ei ) = ( ω j k | ei ) − ( ω j i | ek )
123
kullanılarak,
( de j | ek ⊗ ei ) = ( ω jk | ei ) − ( ω ji | ek )
( dek | ei ⊗ e j ) = ( ωki | e j ) − ( ωkj | ei )
− ( dei | e j ⊗ ek ) = − ( ωij | ek ) + ( ωik | e j )
( de j | ek ⊗ ei ) + ( dek | ei ⊗ e j ) − ( dei | ek ⊗ e j ) = 2 ( ωik | e j )
bulunur ve böylece,
1
( ωik | e j ) = 2 [ ( de j | ek ⊗ ei ) + ( dek | ei ⊗ e j ) − ( dei | ek ⊗ e j ) ]
(4.60)
elde edilir.
Önerme (4.3.1): Eğrilik formları aşağıda verilen özdeşlikleri sağlar:
(a) Rij = − R ji
(4.61)
(b) Rij ∧ ei = 0
İspat:
(a) Bu durum bazdan bağımsızdır. Eğer e = Ae baz değişimi yapılırsa, o zaman
R → ARA−1 ((4.32) ifadesinden), g → A−1t gRA−1 olur ve böylece
Rij = gik R k j ≡ ( gR )ij → ( A−1t gRA−1 )
ij
biçiminde dönüşür ki bu antisimetriyi korur. (a) durumu
124
ωij = −ω ji ⇒ ωik ∧ ω k j = −ωkj ∧ ωi k = −ω jk ∧ ω k i
olan ortogonal bazlarda açıktır.
(b)
0 = ddei = − d ( ω i k ∧ e k ) = − dω i k ∧ e k + ω i k ∧ de k
= −dω i k ∧ ek − ω i j ∧ ω j k ∧ ek = − Ri k ∧ ek
isapatı tamamlar.
⎛m⎞
m tane 3-form (b), ⎜ ⎟ tane sıfır olan 2-form elde edilir. Sonuç olarak diğer cebirsel
⎝2⎠
koşullar dışında eğriliğin,
2
2
2
⎛m⎞
⎛ m ⎞ m ( m − 1)
−
m
=
⎜2⎟
⎜3⎟
12
⎝ ⎠
⎝ ⎠
(4.62)
bağımsız bileşeni vardır. Tek boyutta eğrilik 2-formu yoktur, iki boyutta bir tane ve dört
boyutta yirmi tane vardır. Bununla beraber bazı bileşenler uygun bazlar ve koordinat
sistemleri seçimi ile yok edilebilir.
Ri j ’ler bir bazda,
Ri j =
1 i
R e km
2 jkm
(4.63)
biçiminde ayrıştırılabilir. Burada,
Rijkm = gin R n jkm
(4.64)
125
Riemann-Christoffel tensörü olarak bilinir ve aşağıda verilen özellikleri sağlar:
(a) Rijkm = − Rijmk
(b) Rijkm = − R jikm
(4.65)
(c) Rijkm + Rikmj + Rimjk = 0
(d) Rijkm = Rkmij
İspat:
(a) Her iki tarafı 2-form
Rij ≡
1
R ek ∧ em
2 ijkm
olduğu ve 2-formalar antisimetrik oldukları için sağlanır.
(b) (4.66)’da Rij , 2-formu antisimetriktir dolayısıyla (4.61b) de antisimetrik olmalıdır.
(c) (4.61b) bağıntısından,
0 = Ri j ∧ e j = Ri
jkm ∧
(4.66)
e jkm
(a)’dan dolayı bu toplamda sadece devirli permütasyonlar kalır.
(d) Bu özellik (a) ve (c) özelliklerinden çıkar: (c)’den,
126
Rijkm = − Rikmj − Rimjk = Rkimj + Rmijk
= − Rkmji − Rkjim − Rmjki − Rmkij
= 2 Rkmij + Rkjim + R jmki
= 2 Rkmij − Rijkm
⇒ 2 Rkmij = 2 Rijkm
Şayet R jk ’ler,
j
ie j Rkj = Rkjm
e m = Rk ∈ E1 ve iek R k = R jk jk = R ∈ E0
(4.67)
kısalmaları (büzülmeleri) ile yazılırsa, o zaman C jk Weyl formları
R jk =
−R
i
e j ∧ ek +
( e ∧ Rk − ek ∧ R j ) + C jk
m−2 j
( m − 2 )( m − 1 )
(4.68)
biçiminde tanımlanır. Cij ’ler (4.37) ifadesini sağladıkları açıktır (Stewart 1990) ve
kısalma ile,
ie j C j k = Ck = 0
(4.69)
olduğu gösterilebilir: Her ω ∈ E p için,
ie j e j = m ve e j ie j ω = pω
(4.70)
dir ve buradan,
Rk = ie j R j k =
= Rk + Ck
− R ( m − 1 ) ek
1
+
[ Re − Rk − Rk + mRk ] + Ck
( m − 2 )( m − 1 ) m − 2 k
⇒ Ck = 0
127
bulunur. ie j Rk = iek R j ’dir dolayısıyla, Ck = 0 denklemleri yalnızca m ( m + 1 ) / 2
bağımsız
koşul
oluştururlar
ki
m 2 ( m 2 − 1 ) /12 − m ( m + 1 ) / 2 = m ( m + 1 )( m + 2 )( m − 3 ) /12
Cij
için
bileşen bırakır. Üç
boyutta bütün Cij ’ler sıfıra eşittirler ve ilk olarak dört boyutta on bileşenle ortaya
çıkarlar.
Önerme (3.3.2 ): C i j ’ler g → fg , f ∈ E0 konformal dönüşümleri altında değişmez
kalırlar.
İspat: e i = fei olsun, fakat gik = gik öyle ki g = f 2 g olsun. υi ∈ E1 için
Rik = Rik + υi ∧ ek − υk ∧ ei
olduğunu göstermek yeterlidir. Çünkü daha önce de gösterildiği gibi (4.20),
de i = df ∧ ei + fdei = −ω i k ∧ e k ve ωik + ωki = ωik + ωki ,
ωik = ωik + ( df | ei ) ek − ( df | ek ) ei
dır. Bir doğal bazda ei ∧ ω i j = 0 ’dır ve bundan dolayı,
( ( df | ei ) ek − ( df | ek ) ei ) ∧ ω k j = υ j ∧ ei , υ j = ( df | ek ) ω k j
olur ve (4.71)’den
d ωik − d ωik = υi ∧ ek − υk ∧ ei
128
(4.71)
olur, buradan
dωik + ω ij ∧ ω kj = dωik + ω i j ∧ ω j k + υi ∧ ek − υk ∧ ei
Rik = Rik + υi ∧ ek − υk ∧ ei
olarak istenilen bulunur. Tersine, Ck = 0 ise o zaman, g = f η olur.
Metrikleri ve eğrilikleri bağlayan formüller özet olarak aşağıda verilmiştir:
g = gik ei ⊗ e j
dei = −ω i j ∧ e j
(4.72)
dgik = gijω j k + ω j k g ji
Ri k = dω i k + ω i j ∧ ω j k
(4.33) bağıntısıda u ,υ ve X vektör alanları için,
Du Dυ X − Dυ Du X − D[ u , υ ] X = ( iυ iu R ) X = R ( u , υ ) X
(4.73)
komütatörünün X ’in türevine bağlı olmadığını fakat eğrilik tanımladığı belirtilmişti
((4.73) bağıntısı (4.33)’ün daha kullanışlı yazılmış halidir.). DLυ − Lυ D için benzer bir
ifade (4.73) ve
Lυ iu X = iLυ u X + iu Lυ X , u ∈ E1
ifadesi
kullanılarak
üretilebilir:
(4.74)
[ X , Y ] = LX Y = − LY X = DX Y − DY X
Lυ iu = iu Lυ , Du = iu D ve R ( u, υ ) X = − R ( υ , u ) X göz önüne alınarak,
129
ifadesi,
( DLυ − LυD ) X | u = iu DLυ X − Lυiu DX + iLυu X
= Du Lυ X − LυDu X + D[ υ,u ]X
= Du ( Dυ X − DX υ ) − DυDu X + DDu X υ + D[ υ,u ]X
= Du Dυ X − Du DX υ + D[ υ,u ]X − DυDu X + DDu X υ
= Du Dυ X − DυDu X − D[ u,υ ]X − Du DX υ + DDu X υ
= R ( u, υ ) X + DDu X υ − ( R ( u, X ) υ + D[ u,X ]υ + DX Du υ )
= R ( u, υ ) X + R ( X , u ) υ + DDu X υ − DX Du υ
+ DDu X υ − DDX u υ
= R ( u, υ ) X + R ( X , u ) υ − DX Du υ − DDX u υ
elde
edilir.
Burada
Rijkm + Rikmj + Rimjk = 0
(4.65c):
özelliğinden
R ( u, υ ) X + R ( X , u )υ = R ( X , υ ) u ve
DX Duυ = DX iu Dυ = iDX u Dυ + iu DX Dυ
(4.75)
= DDX uυ + DX Dυ | u
kullanılırsa, kovaryant türev ve Lie türevinin komütatörü,
( DLυ − Lυ D ) X | u = R ( X , υ ) u − DX Dυ | u
(4.76)
biçiminde elde edilir (Stewart 1990). Burada komütatör X ’in herhangi bir türevini
içermiyor fakat υ ’nün ikinci türevini içeriyor.
(2.60)’da
|
skaler çarpımı, iυ iç çarpımı biçiminde genişletildi. Bu göz önüne
alındığında (4.43) işleminin genellemesi yukarıda (4.75)’de kullanılan
DX iu = iDX u + iu DX
(4.77)
ifadesidir. Özellikle,
130
0 = D X 1 = DX ε | ε = 2 DX ε | ε
olduğu için ve ε dejenere olmadığı için DX ε = 0 olur. Bundan dolayı
DX iυ ε = iDX υ ε
ve dolayısıyla
DX * υ = * DX υ
(4.78)
Olarak DX ve * işlemcisinin komütatörü elde edilir. Burada DX , S0 ( ∧ p T ∗ ( B ) ) ile
tanımlanmıştır S p ( T ∗ ( B ) ) ile tanımlanmamıştır. Böylece E p üzerinde iX , bir
E p → E p −1 gönderim iken DX , iX D biçiminde yazılamaz.
4.4 Geodezik Vektör Alanları ve Killing Vektör Alanları
Bir pseudo-Riemannian uzayda,
DX X = 0
(4.79)
denklemini sağlayan bir X vektör alanına geodezik vektör alanı denir. Yani, eğer X
vektör alanı bir pseudo-Riemannian manifoldta bir γ eğrisinin vektör alanı ise (4.79)
X ’in eğrinin her noktasında kendisi boyunca paralel taşındığını ifade eder ve γ
eğrisine geodezik eğrisi denir.
z ( s ) bir geodezik vektör alanının akış çizgisi olsun, yani z ( s ) = X ( z ( s ) ) olsun. O
zaman doğal bazda z ’nin bileşenleri,
131
z i ( s ) = −Γi
(4.80)
j k
jk z
z
denklemini sağlarlar. Çünkü Db∗ j = −ω j i b∗i eşitliğinden dolayı
0 = DX ( X i ∂ i ) = X i ,k ∂ i + X i i X ω k i ∂ k
= X i ,k ∂ i + ( ω k j | ∂ k ) X j X k ∂ i
(4.81)
= ( X i ,k + ( ω i j | ∂ k ) X j X k ) ∂ i
elde edilir ve
zi ( s ) =
d
X ( z ( s ) ) = X i ,k z k
ds
(4.82)
olur. (4.55) ve (4.81) karşılaştırıldığında
Γi
jk =
( ω i j| ∂ k )
(4.83)
olur ve böylece hareket geodezik denklemleri,
d 2 xα
= −Γα
ds 2
βγ (
x)
dxα dx β
ds ds
(4.84)
elde edilir. En kısa yollar, böylece bir eğrinin tanjant vektörü yollar boyunca paralel
taşıma altında kendisine dönüşmesi anlamında en kısadırlar.
g , metrikli bir pseudo-Riemannian uzay üzerinde,
132
Lυ g = 0
(4.85)
sağlayan bir υ vektör alanı, bir Killing vektör alanı olarak bilinir.
[ , ] vektör alanlarının Lie parantez işlemcisi olmak üzere,
LX LY − LY LX = L[ X ,Y ]
olduğu
için
Killing
vektör
alanları
bir
Lie
cebiri
oluştururlar.
Eğer
bir
ei ( g = ei ⊗ e jηij ) ortogonal bazı kullanılarak ei ’nin Lie türevi,
Lυ ei = Ai j e j , Ai j ∈ E0
şeklinde ayrıştırılırsa, o zaman υ bir Killing vektör alanıdır ancak ve ancak,
Aij = ηik Ak j olmak üzere, Aij = − A ji ’dir. υ , Killing vektör alanları için,
∗
Lυ = Lυ ∗
(4.86)
olduğu gösterilebilir:
Lυ e k1...k p = ∑Ak j k e k1...k j −1kk j +1...k p ( −1 ) j +1
j
dır. (3.89) özdeşliği, ω i k = η ijωkj olmak üzere,
ωk1 iε ik2 ...km + ωk2 iε k1i...km + ...ωkm iε k1...km −1i = 0
133
∀k1 = 1,..., m;...; km = 1,..., m olarak verildi ve bu özdeşlik ω i k ’ler yerine Ak j ’ler
yazıldığında doğru kalır, çünkü Ak j ’ler aynı simetriye sahiptirler. Bundan dolayı,
Lυ * e k1...k p = ∑Ak j k * e k1 ...k j −1kk j +1...k p ( −1 ) j +1
j
ve sonuç olarak,
(
)
*Lυ ωk1...k p e k1...k p = ( Lυ ωk1...k p ) * ek1...k p + ωk1...k p ∗ Lυ e k1...k p
(
= Lυ ωk1...k p ∗e k1...k p
)
elde edilir ve bu istenilen (4.86) bağıntısıdır. υ bir Killing vektör alanı olmasa dahi,
özel
p
değerleri
için
*Lυ ω = Lυ * ω , ω ∈ E p
sağlanması
olasıdır.
Örneğin,
Lυ e j = fe j , f ∈ E0
Lυ e j1... j p = pfe j1... j p ve Lυ * e j1... j p = ( m − p ) f * e j1... j p
yol açar ve böylece her ω ∈ Em için *Lυ ω = Lυ * ω , ω ∈ E p olur. Dolayısıyla
Lυ , Lυ g = 2 fg konformal dönüşümünü üretir ve υ bir Killing vektör alanı değildir.
Bir X Killing vektör alanı için LX g = 0 ’dır, oysa herhangi bir vektör alanı için
LX X = 0 sağlanır. Tersine, kovaryant türev için DX X = 0 yalnız geodezik vektör
alanları için sağlanır ve yine DX g = 0 herhangi bir vektör alanı için sağlanır. Genelde
Killing geodezik belirtmez veya tersi. Bununla beraber, aşağıdaki bağıntı vardır: υ bir
Killing vektör alanı olsun, öyle ki Lυ X | X = 2 Lυ X | X
alanı olsun. O zaman,
134
ve X bir geodezik vektör
LX υ | X = DX υ | X = DX υ | X + υ | DX X
= DX υ | X
olur. Burada,
Lυ X | X = iX Lυ X = i X ( Dυ X + DX υ )
= Dυ X | X + DX υ | X
⇒ DX υ | X = Lυ X | X − Dυ X | X = 0
(4.87)
LX υ | X = Lυ X | X − Dυ X | X
1
= ( Lυ X | X − Dυ X | X ) = 0
2
(4.88)
elde edilir. Sonuç olarak, bir geodezik eğrisi boyunca bir geodezik vektör alanının bir
Killing vektör alanı yönündeki bileşeni sabittir.
Eğer bir ortogonal bazdaki bir vektör alanı aynı zamanda doğal ise, o zaman bir
geodeziktir. Bunu görmek için X bir vektör alanı ve υ , ya X (o zaman υ | X = ±1 )
ya da X ’e ortogonal bir doğal bazın bir elemanı olsun. Her durumda υ | X sabittir ve
(4.53) bağıntısı kullanılarak,
0 = LX υ | X = DX υ | X = D X υ | X + υ | D X X
=
1
D X | X − Lυ X | X + υ | DX X
2 υ
bulunur.
X | X = ±1 olduğu için sağdaki ilk terim sıfırdır ve bir doğal bazın
elemanları arasındaki Lie türevleri sıfır olduklar için Lυ X = 0 ’dır. Bundan dolayı
DX X ’in bütün bileşenleri sıfıra eşittir.
135
5. GRAVİTASYON VE EİNSTEİN ALAN DENKLEMLERİ
Alan denklemlerini Lagrangian formalizmi ile üretmek için, Lagrangian yoğunluğu
olarak bir 4-form gereklidir. Bununla beraber, tutarlı olan alan denklemlerini elde etmek
için eylem fonksiyonelinin bir durağan noktaya sahip olması gerekir. Maxwell
teorisinde bu nicelik akımın korunumuna karşılık gelir. Akım bir S skaler alanından
türetilir ve S için alan denklemleri akımı korumalıdır.
5.1 Lagrangian Formülasyonu
Alan teorisine nokta parçacıklar mekaniğinin genellemesi olarak bakılabilir. Burada
qi ( t ) dinamik değişkenlerinin yerini E ( x, t ) , B ( x, t ) gibi Φ ( x, t ) alanları, i kesikli
indislerinin yerini sürekli x değişkenleri alır ve ∑ i toplamları yerine integraller yazılır.
Alan teorisinde
∫dtL ( q, q )
(5.1)
eylemi bir dört-boyutlu N 4 altmanifoldu üzerinden integral içerir ve dolayısıyla bir 4form gerektirir. Alan teorisinde eylem
W = ∫L ( Φ, d Φ )
(5.2)
ile verilir. Burada L ∈ E4 Lagrangian olarak adlandırılır. Alan denklemleri her
compakt N 4 ve ve her δΦ öyle ki, δΦ|∂N4 = 0 için
δ W = 0δ
(5.3)
koşulundan elde edilir (burada δ imgesi değişimi gösteriyor).
136
E , elektrik alanı ve B manyetik alanı içindeki m kütleli bir parçacığın hareket
denklemi,
mxαηαβ
⎛ 0
⎜ −E
1
= exα Fαβ , F = ⎜
⎜ − E2
⎜
⎝ − E3
E1
E2
0
B3
− B3
− B2
B1
Lorentz kuvveti ile verilir ( xα =
0
E3 ⎞
B2 ⎟
⎟
− B1 ⎟
⎟
0 ⎠
(5.4)
dx a
, s = öz zaman ). Burada F Minkowski uzayı
ds
M 4 üzerindebir 2-formdur. Homojen Maxwell denklemleri
dF = 0
(5.5)
ifadesine karşılık gelirler ve bu F elektromanyetik 4-formunun kapalı olduğunu belirtir
ve (3.54) Stokes teoremine göre bu ifade,
0=∫
∂N3
(5.6)
F
olduğunu ifade eder. Buna göre F , 2-formu bir 1-formun dış türevi olarak ifade
edilebilir,
F = dA, A ∈ E1 ( R 4 )
(5.7)
A vektör potansiyeli olarak adlandırılır. Homojen olmayan Maxwell denklemleri,
δ F = J veya d * F = − * J
(5.8)
karşılık gelir. Buna göre J bir 3-formdur. Yükün korunumu gereği,
137
δ J = 0 veya d ∗ J = 0
(5.9)
olmalıdır. Bunun integral formu,
∫ ∂N
3
* J = 0, * J ∈ E30 ( N 4 )
(5.10)
olur. Burada
J = j ∧ dt − ρ dx1 ∧ dx 2 ∧ dx 3
j = j1dx 2 ∧ dx 3 + j2 dx 3 ∧ dx1 + j3 dx1 ∧ dx 2
yazılırsa (5.9) süreklilik denklemini verir; ρ , yük yoğunluğunu ve
(5.11)
j , akım
yoğunluğunu gösteriyor.
(5.2) eyleminde verilen
L
Lagrangianı elektromanyetik alan için Maxwell
denklemlerini sağlayacak bir ifade olmalıdır:
1
L = − dA ∧ * dA − A ∧ *J
2
(5.12)
Lagrangianinin Maxwell denklemlerini sağladığı gösterilebilir: Bir A → A + δ A
değişimi ve
*ei1...i p = g i1 j1 ...g i p j p e j p +1... jm ε j1... jm
det g
( m − p )!
eşitliği kullanılarak,
138
⎛ 1 dA ∧ * dA + A ∧ *J ⎞
⎜2
⎟
⎠
1
= ∫ ⎛⎜ d ( A + δ A ) ∧ * d ( A + δ A ) + ( A + δ A ) ∧ *J ⎞⎟
N4 ⎝ 2
⎠
1
− ∫ ⎛⎜ dA ∧ * dA + A ∧ *J ⎞⎟
N4 ⎝ 2
⎠
1
1
1
= ∫ ⎡⎢ dA ∧ * d δ A + d δ A ∧ * dA + d δ A ∧ * dδ A + δ A ∧ *J ⎤⎥
N4 ⎣ 2
2
2
⎦
0 = −δ W = δ ∫
N4 ⎝
elde edilir. Burada
1
dδ A ∧ * dδ A terimi δ
2
değişimine göre ikinci dereceden
olduğundan ihmal edilebilir. Böylece, (2.67 (iv)) özelliği. υ ∧ *ω = ε iυ ω = ω ∧ *υ ,
kullanılarak
1
⎡1
⎤
⎢ dA ∧ * d δA + d δA ∧ * dA + δA ∧ *J ⎥
2
4 ⎣2
⎦
1
⎡1
⎤
= ∫ ⎢ d δA ∧ * dA + d δA ∧ * dA + δA ∧ *J ⎥
N4 ⎣ 2
2
⎦
= ∫ ⎡⎢ d δA ∧ * dA + δA ∧ *J ⎤⎥
⎦
N4 ⎣
0 = −δW =
∫N
=
∫N
=
4
⎡ d ( δA ∧ *dA ) + δA ∧ d * dA + δA ∧ *J ⎤
⎣⎢
⎦⎥
∫ N δA ∧ ( *J + d * dA ) + ∫ N d ( δA ∧ *dA )
4
4
olur ve (3.54) Stokes teoremi kullanarak
0 = −δ W =
∫ N δ A ∧ ( *J + d * dA ) + ∫ ∂N δ A ∧ *dA
4
4
bulunur ve bu eşitliğin sıfır olması için
d * dA = d * F = − * J ve δ A = 0
(5.13)
139
olmalıdır. Bu (5.8) ile verilen homojen olmayan Maxwell denklemleri ifadesidir ve
dolayısıyla istenilendir. F , 2-formu dA biçiminde yazılan bir kapalı form olduğu için
homojen Maxwell denklemleri
dF = ddA = 0
ifadesinden (Poincaré lemması) bulunur.
Maddesel bir ortamda S ∈ E 0 süper potansiyel olmak üzere ve ρ yük yoğunluğunu ve
m kütleyi göstermek üzere,
F = dA , J =
eρ
( dS + eA )
m
(5.14)
olarak tanımlanırsa o zaman, Lagrangian,
L=−
1 m
1
J ∧ *J − F ∧ *F
2
2 ρe
2
(5.15)
ile verilir.
İspat: (5.12) ifadesinin doğrulanmasında olduğu gibi A → A + δ A ve S → S + δ S
değişimleri kullanılarak,
δ ⎛⎜
(
(
)
m
1
1
⎞
2 J ∧ *J ⎟ = e dS + e d δ S + A + δ A ∧ *J
⎝ ρe
⎠
1
− dS + A ∧ *J
e
1
= d δ S ∧ *J + δ A ∧ *J
e
1
1
= d ( δ S * J ) − δ Sd * J + δ A ∧ *J
e
e
)
140
(5.16a)
ve (5.15)’in sağındaki ikinci terim için de aynı biçimde,
δ ( F ∧ *F ) = δ ( dA ∧ *F )
= ( dA + d δ A ) ∧ *F − dA ∧ *F
(5.16b)
= d δ A ∧ *F = d ( δ A ∧ *F ) + δ A ∧ d * F
bulunur. (5.16a) ve (5.16b) denklemleri (5.15) Langrangianinin değişiminde yerine
yazılırsa
1
e
1
e
δ L = − d ( δ S * J ) + δ Sd * J − δ A ∧ *J − d ( δ A ∧ *F ) − δ A ∧ d * F
1
1
= δ Sd * J − d ( δ S * J ) − δ A ∧ [ *J + d * F ] − d ( δ A ∧ *F )
e
e
bulunur ve Stokes teoremi kullanılarak eylem integrali,
0=
1
1
δ Sd * J − ∫ δ A ∧ [ *J + d * F ] − ∫ d ( δ S * J ) − ∫ d ( δ A ∧ *F )
∫
N4
∂N 4
e N4
e ∂N4
burada sağdaki son iki terim sınırlarda değişimin sıfır olması nedeniyle ayrı ayrı sıfıra
eşittirler ve ifadenin tamamının sıfıra eşit olabilmesi için
d * J = 0 ve d * F = − * J
olmalıdır, buradaki ilk ifade yükün korunumudur. Böylece (5.15) ifadesi istenilen
Lagrangiandir.
Bir kompleks ϕ = exp ( iS ) alanını kullanarak J ∧ *J ’yi
( d + ieA )ϕ ∧ * ( d + ieA ) ϕ = ( idS + ieA ) ϕ ∧ * ( idϕ + ieA ) ϕ
= ( dS + eA ) ϕ ∧ * ( dϕ + eA ) ϕ
= J ∧ *J ϕ
2
= J ∧ *J
141
(5.17)
olarak ifade edilebilir. Bu modelde A ’nın etkisi ϕ → exp ( ieΛ ( x ) ) altında dış türevi
değişmez kılmaktır. Burada bir yüklü parçacığın alanı iki reel
ϕ1 = ρ cos S , ϕ 2 = ρ sin S
(5.18a)
veya bir komoleks,
Φ = ϕ1 + iϕ 2 =
ρ eiS
(5.18b)
alanının uygun terimleri ile ifade edilebilir. Bir vektör demeti elde edebilmek için
ρ ’nun
+
üzerinde değişmesine (burada yavaşça değiştiği kabul edilecektir) izin
verilmelidir. Bu durumda R 2 veya C ’ye eşit olan F lifleri ve V = R 4 × F demeti
vardır. Dış türevin (4.9) ifadesi göz önüne alındığında, (5.17) eşitliğinde, bu demette bir
kovaryant dış türeve karşı gelen,
⎛ 0 1⎞
dϕ + iAϕ veya dϕ i + iω i kϕ k , ω i k = ⎜
⎟
⎝ −1 0 ⎠
(5.19)
ifadesi bulunur. Dolayısıyla (5.17) eşitliği, bu değişmez formda,
−
2
1
⎛ 0 1⎞
( Dϕ )i ∧ * ( Dϕ )i , ( Dϕ )i = dϕ i + eε i k Aϕ k , ε i k = ⎜
∑
⎟
2 i =1
⎝ −1 0 ⎠
(5.20)
olur. Lokal ayar dönüşümleri altında değişmez diğer terim,
1
− m2 ∑ϕ i ∧ *ϕ i
2
i
(5.21)
biçiminde tanımlanabilen bir kütle terimi olmalıdır. Böylece genel toplam Lagrangian,
142
(
1
1
L = − dA ∧ ∗ dA − ∑ ( Dϕ )i ∧ ∗ ( Dϕ )i + m 2ϕ i ∧ ∗ ϕ i
2
2 i
)
(5.22)
olur ve A → A + d Λ, ϕ → e−eεΛϕ , Λ ∈ C ( R 4 ) ayar dönüşümü altında değişmezdir.
Yukarıda (5.12) ve (5.15) Lagrangianlarının doğrulanmasında kullanılan değişimler
hesabı L = L(ϕ i , dϕ i ) olmak üzere ve ϕ i ’ler p-form olmak üzere,
⎛ ∂L
⎞
∂L
i
i
∧
+
∧
δϕ
δ
d
ϕ
⎟
(
)
⎜ i
⎟
∂ ( dϕ i )
i ⎝ ∂ϕ
⎠
⎡ ∂L
⎛ ∂L
⎞
⎛ ∂L
= ∑ ⎢ i ∧ δϕ i + d ⎜
∧ δϕ i ⎟ − ( −1 ) p ⎜ d
i
i
⎝ ∂dϕ
⎠
⎝ ∂dϕ
i ⎣ ∂ϕ
δL = ∑⎜
⎞
i⎤
⎟ ∧ δϕ ⎥
⎠
⎦
(5.23)
⎛ ∂L
∂L ⎞
⎛ ∂L
⎞
= ∑ ⎜ i − ( −1 ) p d
∧ δϕ i + ∑d ⎜
∧ δϕ i ⎟
i ⎟
i
⎜
⎟
∂ ( dϕ ) ⎠
⎝ ∂dϕ
⎠
i ⎝ ∂ϕ
i
olur. Bu ifade eylem integralinde yazıldığında ikinci toplamdaki ifade (4.54) Stokes
teoremi gereğince ∂N 4 sınırı üzerinden değişimi ifade ettiği için sıfıra eşit olur ve
∂L ⎞ i
⎛ ∂L
−d
⎟ δϕ = 0
i
∂dϕ i ⎠
⎝ ∂ϕ
δ ∫L(ϕ , dϕ ) = ∑∫ ⎜
i
elde edilir. Bu ifadenin sıfıra eşit olma koşulu,
∂L
∂L
− ( −1 ) p d
=0
i
∂ϕ
∂ ( dϕ i )
(5.24)
Euler denklemlerini verir. (5.22) Lagrangianı için (5.24),
143
∂L
∂
=
( Dϕ )i ∧ * ( Dϕ )i = −eε i kϕ k ∧ * ( Dϕ )i
∂A ∂A
∂L
= − * dA
∂dA
(
)
⇒ −eε i kϕ k ∧ * ( Dϕ )i + d * dA = 0
verir ve (5.7) ve (5.8) denklemlerine göre son ifade
d * dA = d * F = *J = −
∂L
= eε i kϕ k ∧ * ( Dϕ )i
∂A
(5.25)
ifadesine özdeştir. ϕ i için Euler denklemleri benzer şekilde,
∂L
∂
= − i ( m2ϕ i ∧ *ϕ i ) = − m2 * ϕ i
i
∂ϕ
∂ϕ
∂L
= − * ( Dϕ )i
i
∂Dϕ
⇒ m2 * ϕ i − d * ( Dϕ )i = 0
bulunur ve bu son ifade,
D * DΦ = m2 * Φ
(5.26)
denklemine özdeştir.
Euler denklemlerinin [ , ] = 0 olmasını gerektirdiği açıktır. Φ → e−eεΛ değişimi,
yukarıdaki gibi değişimler hesabı uygulandığında birinci dereceden Λ ’ya bağlı olan,
(
δ L = ed Λε i kϕ k ∧ * ( Dϕ )i
)
katkısına neden olur. Eğer bir global ayar dönüşümü ( dΛ = 0 ) seçilirse L'nin
değişmezliği (invaryansı) δ L = 0 = d * J eşitliğini garantiler. Bu düşünceler non-
144
Abelian grup O ( 3 ) ’e genişletilebilir. Bu durumda Φ üç bileşene sahip olur ve (5.22)
Lagrangiani'ninde ∑ 3i =1 alınır. Bununla beraber, şimdi üç ayar potansiyeli de vardır ve
dA (4.10) dönüşümüne göre A → L−1 AL + L−1dL dönüşümü altında değişmez değildir.
Bu sonuç, dA ’nın (4.31)’de gösterildiği gibi ( DA ) → L−1 AL biçiminde dönüşen
DA = Ω ile değiştirilmesi gerektiğini belirtir. Böylece bilineer terim,
trΩ ∧ *Ω = Ωi k ∧ *Ωk i
(5.27)
ayar değişmezdir ve ayar alanının Lagrangiani için kullanılabilir. Böyle bir kullanım ilk
olarak Yang ve Mills tarafından önerildi ve Yang-Mills Lagrangiani,
1
1
1
L = trDA ∧ *DA − Dϕ ∧ *Dϕ − m2 Φ ∧ *Φ
2
2
2
ile verilir. Burada
(5.28)
Φ ∧ Ψ = ∑iϕ i ∧ ψ i notasyonu liflerde skaler çarpım için
kullanıldı. Burada O ( 3 ) için düşünülmesine rağmen, (5.28) Lagrangiani tüm
O ( n ) ’ler için doğrudur.
Yang-Mills Lagrangiani'nden değişimler hesabı ile elde edilen denklemler, F , Maxwell
alanı yerine Ω eğriliği gelecek biçimde (5.25) ve (5.26) denklemleri ile aynıdır (daha
sonra değişimler hesabı ele alındığı için burada denklemler doğrudan verildi):
d *Ω = −* J =
∂L
,
∂A
D * DΦ = m2 * Φ
(5.29)
denklemleri Yang-Mills denklemleri olarak bilinir.
Daha açık ifadeler elde etmek için izi diagonal yapan Lie cebiri ( = ( 3 × 3 ) ) antisimetrik
matrisler) için bir bi bazı kullanılabilir. Eğer
145
trbα bβ = −δαβ ve A = ∑bα Aα , Aα ∈ E1
ise o zaman,
Ω = ∑bα F α
eğriliği, (4.27) Cartan ikinci yapı denklemine göre,
1
F α = dAα + cβγ α Aβ ∧ Aγ
2
(5.30)
bileşenlerine sahiptir. cβγ α ’lar bu bazda O ( 3 ) ’ün
bβ bγ − bγ bβ = cβγ α bα
(5.31)
yapı sabitleridirler. Bu ayrışımla ayar alanının Lagrangiani,
1
Lgf = − F α ∧ ∗ F α
2
(5.32)
olur. F α ’lar burada yalnız dA ’ya değil, A ’ya da bağlıdırlar, bu nedenle J akımına,
Maxwell teorisinde görünmeyen ve Yang-Mills denklemlerinin, skaler alanın
yokluğunda bile lineer olmadıklarını gösteren bir
−
∂Lgf
= cβγ α Aβ ∧ F γ
∂A
(5.33)
katkısı gelir. Skaler alanın akıma katkısı (5.25) denkleminde verildiği gibi,
146
( bα )kl ϕ k ∧ *( DΦ )l
biçiminde olur. d Λα = 0 ve Λα → 0 , olan bir
L = 1 + bα Λα
(5.34)
ayar dönüşümü alınırsa, δ A = cβγ α Aβ Λγ olur ve δ L = 0 olduğu için, (5.23) ifadesinin
sağındaki ikinci toplam,
(
Λα d cβγ α Aβ ∧ *F γ + ( bα
)mn ϕ m ∧ ( Dϕ )n ) = 0
(5.35)
olduğunu söyler. Böylece Maxwell teorisinden çıkan sonuçlar örneğin, kapalı bir
evrende toplam yükün sıfır olması ve ya düzlem dalga çözümü, hala geçerlidir.
Maxwell teorisinden temel fark, akımın ayar invaryant olduğu yerde ortaya çıkar.
Burada akım ayar dönüşümü altında Ω gibi, yani J → L−1 JL olarak dönüşmez, aksine
homojen olmayarak dönüşür. *Ω , * Ω → L−1* ΩL , olarak dönüşmesine rağmen,
dΩ ’nın böyle dönüşmeyeceği açıktır, dolayısıyla bu uzayda herhangi bir x noktasında
belirli bir yük bulunduğunu söylemek için ayar değişmez (ayar invaryant) bir anlama
sahip değildir ve buna rağmen her zaman J ( x ) = 0 olan bir ayar dönüşümü bulmak
mümkündür. Bu nedenle burada,
Qα = ∫
N3
* J = −∫
∂N3
*F
(5.36)
yükleri daha uygundur. Çünkü bunlar sınır integralleri oldukları için ∂N3 üzerinde
dL = 0 olan tüm ayar dönüşümleri altında homojen olarak dönüşürler. J ayar alanında
147
bulunan A nedeniyle homojen olarak dönüşmüyordu, kovaryant türevin S p ( L ( F ) ) ’ye
genişletilmesi ile bunların (5.20) ifadesinde tanımlandığı gibi kovaryant dış türevin
bileşenleridir. Kovaryant dış türev L−1D * ΩL biçiminde homojen olarak dönüşür.
Böylece (5.29)’da ilk denklem
D*Ω = −* J (Φ)
olarak yazılabilir. *J ( Φ ) tek başına korunmaz fakat D , iki kez ard arda *J ( Φ ) ’ye
uygulanırsa, sıfır verir: Bir V ∈ S p ( V ( F ) ) için, Kovaryant türev
DV = dV + ω ∧ V + ( − ) p V ∧ ω
(5.37)
biçimindedir ve ddV = 0 eşitliği de göz önüne alınarak,
D * Ω = d * Ω + ω ∧ *Ω − *Ω ∧ ω
DD * Ω = dd * Ω + ω ∧ d * Ω + ( −1 )3 d * Ω ∧ ω + d ( ω ∧ *Ω )
+ω ∧ ( ω ∧ *Ω ) + ( −1 )3 ( *Ω ∧ ω ) ∧ ω − d ( *Ω ∧ ω )
−ω ∧ ( *Ω ∧ ω ) − ( −1 )3 ( *Ω ∧ ω ) ∧ ω
= dω ∧ *Ω − ω ∧ d * Ω − d * Ω ∧ ω − *Ω ∧ dω
+ω ∧ ( d * Ω + ω ∧ *Ω − *Ω ∧ ω )
+ ( d * Ω + ω ∧ *Ω − *Ω ∧ ω ) ∧ ω
= dω ∧ *Ω − *Ω ∧ d ω − ω ∧ d * Ω − d * Ω ∧ ω
+ω ∧ D * Ω + D * Ω ∧ ω
elde edilir burada dış çarpım için υ ∈ E p ve ω ∈ Eq olmak üzere υ ∧ ω = ( −1 ) ω ∧ υ
pq
özelliği ve υ ve ω ∈ Eq için υ ∧ *ω = ε iυ ω = ω ∧ *υ özelliği kullanılarak
148
DD * Ω = d ω ∧ *Ω + ( ω ∧ ω ) ∧ *Ω − *Ω ∧ d ω − *Ω ∧ ( ω ∧ ω )
+ ( −ω ∧ d * Ω ) − ( −1 )3 ω ∧ d * Ω + ω ∧ D * Ω + ( −1 )3.1 ω ∧ D * Ω
= ( d ω + ω ∧ ω ) ∧ ∗ Ω −∗ Ω ∧ ( d ω + ω ∧ ω )
ve (4.28) eşitliği ile bu,
DD * Ω = Φ ∧ *Ω − *Ω ∧ Φ = 0
(5.38)
olur. Böylece kovaryant Yang-Mills denklemleri
DΩ = 0, D * Ω = − * J ( Φ ) ⇒ D * J ( Φ ) = 0
(5.39)
elde edilir.
Şimdiye kadar tartışılan ayar teorileri elektrozayıf ve güçlü etkileşimler için uygun bir
tanımlama getirdikleri için, kütleçekim (gravitasyon) için de uygun bir model
oluşturabildikleri düşünülebilir. Kütleçekim uzay-zaman M ’nin metrik yapısıyla
ilgilidir. Bu lif demet olarak T ( M ) , lif metrik olarak pseudo-Riemannian metrik, ayar
grubu olarak Lorentz dönüşümleri ve ayar potansiyeli olarak ω bağlantılarını almayı
gerektirir. Böylece olası bir Lagrangian,
1
− Rα β ∧ R β α + (5.15) madde Lagrangianı
2
(5.40)
olur. Bununla beraber ω bağlantıları (5.15) Lagrangiani’nde bulunmamaktadırlar ve her
şey * ve d cinsinden ifade edilmiştir, dolayısıyla bu ifade bir kütleçekim teorisi
vermez. (5.40) Lagrangiani göz önüne alındığında *J = δ L / δω akımına Maxwell
alanlarından veya skaler alanlardan bir katkı gelmez. Tüm maddenin kütleçekim
potansiyelinin kaynağı olduğu bilindiği için bu teori uygun bir yaklaşım oluşturmaz gibi
görünüyor. Daha özel olarak tüm enerji ve momentum akımlarının kütleçekim
kaynakları oldukları düşünülür. Dolayısıyla, kütleçekimsel Lagrangian’ın kurulması
149
biraz tahmin içerecektir. Bu takdirde maddenin enerji ve momentum akımları ∂L / ∂eα
olurlar. Burada eα ∈ E1 dörtlüleri bir bazdır ve bu yüzden onlara A ’ların yerini alan
ayar potansiyelleri olarak bakılabilir. Eğer bir ortogonal baz kullanılırsa, bazın
elemanları
g = ∑ηαβ eα ⊗ e β
metriğinin tüm bilgisini içerirler ve onun madde üzerindeki etkisi Lmadde , madde
Lagrangianinde içerilen * , Hodge yıldız gönderimi vasıtasıyla olur. Artık madde bir
skaler ve bir elektromanyetik alan ile gösterilebilir ( ρ e2 / m = 1 birimi alınabilir) ve
(5.15)’den madde için
1
1
Lmadde = − J ∧∗ J − F ∧ *F
2
2
(5.41)
Lagrangiani yazılır (Lagunov 2001). Burada
J
ve
F
(5.14) bağıntısıyla
tanımlanmışlardır.
Einstein alan denklemlerinin, Maxwell denklemlerini δ A = 0 Lorentz ayarı ile çalışmak
gibi, içinde daha sade olduğu bazı koordinat sistemleri vardır, örneğin δ dx = 0
sağlayan harmonik koordinatlarda yazarken, bazı formüllerin daha kısa olduğu
görülecektir. Özellikle ortogonal bazlar özeldirler, çünkü gik metriğini ηik gibi standart
hale getirirler. Bunlar hala bir eα → Lα β ( x ) e β , Lt ( x )η L ( x ) = η Lorentz dönüşümü
olasılığını açık bırakırlar. (5.41) Lagrangiani bu dönüşüm altında değişmezdir ve
kütleçekim Lagrangiani de bu dönüşüm altında değişmez kalacak biçimde kurulmalıdır.
T ( M ) için 4. kısımda sağlanan materyalden Lg ∈ E4 Lagrangiani seçilmeli ve bu
aşağıda verilen koşulları sağlamalıdır:
150
(a) Baz değişimi altında değişmez (invaryant) olmalıdır
(b) eα ’nın türevinde kuadratik olmalıdır.
Bu koşullar ile,
L
*R = Rαβ ∧ eαβ = 2 ( eα ∧ *deα ) − ( deα ∧ e β ) ∧ * ( deβ ∧ eα
+
1
( deα ∧ eα ) ∧ * ( deβ ∧ eβ
2
)
)
(5.42)
Lagrangiani’nin tek olduğu gösterilebilir: Bir ortogonal bazda sabit η metriği
düşünüldüğünde, indisler serbestçe türev altında aşağı ve yukarı alınabilir ve
ωαβ = ηαγ ε γ β
(5.43)
notasyonu kullanılabilir.
*eαβ ∧ d ωαβ − d ( *eαβ ∧ ωαβ ) = − ( d * eαβ ) ∧ ωαβ
= −ωα γ ∧∗ eγβ ∧ ωαβ + ω β γ ∧∗ eαγ ∧ ωαβ
(5.44)
= −2∗ e βγ ∧ ωγ α ∧ ωαβ
bulunur ve bu eşitlikten,
*eαβ ∧ dωαβ + *e βγ ∧ ωγ α ∧ ωαβ = d ( *eαβ ∧ ωαβ ) + * e βγ ∧ ωγ α ∧ ωαβ
olur ve açıkça görüldüğü gibi bu eşitliğin sol tarafı *eαβ ∧ egrilik olur ve böylece,
*eαβ ∧ Rαβ = d ( *eαβ ∧ ωαβ ) + *e βγ ∧ ωγ α ∧ ωαβ
151
(5.45)
elde edilir. Diğer yandan,
eα ∧ *deα = ( −1 )2 +1 * ieα deα = − * ieα ( −ω α β ∧ e β
)
= *e β ω α β | eα
dir ve bu eşitlik kullanılarak,
( *eαβ ) ∧ ωαβ
⇒
= *iωαβ eαβ = 2 * e β ω α β | eα
(5.46)
1 αβ
( *e ) ∧ ωαβ = eα ∧ *deα
2
bulunur. (5.76)’dan
1
Fα = − * ( ωβγ ∧ *eαβγ )
2
1
− deα ∧ *F = deα ∧ ( ωβγ ∧ *eαβγ )
2
1
= ωασ ∧ eσ ∧ ωβγ ∧ *eαβγ
2
1
= ωασ ∧ ωβγ ⎡⎣η σα * e βγ − η σβ * eσγ + η σγ * eαβ ⎤⎦
2
= *eγα ∧ ωγ β ∧ ωαβ
bulunur. Diğer taraftan, (5.74) ifadesinde,
1
*Fα = e β ∧ * ( deβ ∧ eα ) − eα ∧ * ( de β ∧ eβ
2
)
olarak verildi. Bu ifade (5.47)’nın sol tarafında yerine yazılırsa,
152
(5.47)
− ( deα ∧ e β ) ∧ * ( deβ ∧ eα ) +
γα
= *e
1
deα ∧ eα ) ∧ * ( de β ∧ eβ
(
2
)
(5.48)
β
∧ ωγ ∧ ωαβ
elde edilir ve (5.46) ve (5.48) ifadeleri (5.45) ifadesinde yerine yazıldığında,
*eαβ ∧ Rαβ = 2 ( eα ∧ *deα ) − ( deα ∧ e β ) ∧ * ( deβ ∧ eα
+
1
( deα ∧ eα ) ∧ *( deβ ∧ eβ
2
)
)
biçiminde (5.42) Lagrangian ifadesi elde edilir.
Böylece toplam Lagrangian üç katkıdan oluşacaktır:
1
1. Skaler alandan gelen katkılar: LS = − J ∧ *J
2
1
2. elektromanyetik alan katkıları: Le = − F ∧ *F
2
3. Kütleçekim (gravitasyon) katkısı: Lg =
1
R ∧ *eαβ
16πκ αβ
Burada kolaylık olması için ρ e2 / m = 1 alındı ve kütleçekim katkısındaki 8πκ terimi
Newtonian teori ile uyumu sağlaması için yazılır ve κ evrensel çekim sabitidir.
Böylece,
F = dA, J = dS + eA
(5.49)
olmak üzere, toplam sistem için Lagrangian
153
1
1
1
L = − J ∧ *J − F ∧ *F +
R ∧ *eαβ
2
2
16πκ αβ
(5.50)
olur. Eğer eα , A ’ya tamamlayıcı gibi düşünülürse, o zaman Lorentz dönüşümleri
altında değişmez olan dA ∧ *dA ’ya en sade benzetme deα ∧ *deα olacaktır. (5.49)
Lagrangiani'nin biraz değişik formu lokal Lorentz dönüşümleri altında değişmez kalır.
Bu değişmezlikten (invaryansdan) dolayı Euler denklemlerinin çıkarılışı için bir
ortogonal baz kullanılabilir. g metriğinin değişimi (varyasyonu), herhangi bir
ortogonallik sınırlaması dayatmaksızın e ’ye değişimler hesabı uygulanarak çıkar.
Burada η metriği ile birlikte lokal ayar dönüşümleri altında bir diğer sabit nicelik
*1 ’dir. Bu herhangi bir türev içermediğinden bir diferensiyel denkleme neden olmaz.
İlkin Einstein, alan denklemlerine *1Λ gibi bir sabit terim ekledi ve sonra bu terimden
vazgeçti ve bu konuda herhangi bir deneysel gözlem de yapılabilmiş değildir. Yukarıda
bir ortogonal bazda (5.44) ifadesinin kütleçekimsel Lagrangianini verdiği gösterildi,
dolayısıyla bu ifade kullanılarak basitçe kütleçekim için biraz farklı olarak lokal ayar
dönüşümleri altında yine değişmez olan,
L′ = −
1
* e βγ ∧ ωγ α ∧ ωαβ
16πκ
(5.51)
Lagrangiani elde edilir.
5.2 Euler-Lagrange Denklemlerinin Türetilmesi ve Einstein Alan Denklemleri
Alan denklemlerini bulmak için toplam Lagrangian (5.50)’nin üç bileşenine ayrı ayrı
değişimler hesabı uygulanacaktır.
Skaler alan Lagrangianinin değişimi: (2.67(iii))’den eα ∧ *J = J ∧ *eα olduğu
biliniyor, bu özellikten,
154
eα ∧ δ * J + ( δ eα ) ∧ *J = δ J ∧ *eα + J ∧ δ * eα
⇒ eα ∧ δ * J = δ J ∧ *eα + J ∧ δ * eα − ( δ eα ) ∧ *J
(5.52)
sonucu çıkar. ε = *1 , hacim m-formu ortogonal bazda,
ε = *1 =
*ei1 =
1
ε ei1...im
m ! i1...i p
1
ε ei2 ...im
( m − 1 ) ! i1...i p
göz önüne alınarak,
1
εi1...ip ( δ ei1 ∧ ei2...im + δ ei2 ∧ ei1i3...im + ... + δ eim ∧ ei1...im−1 )
m!
1
⎛ 1
= mεi1...ip ( δ ei1 ∧ ei2...im ) = δ ei1 ∧ ⎜
εi1...ip ei2...im ⎟⎞
m!
⎠
⎝ ( m −1)!
δε =
(5.53)
= δ ei1 ∧ *ei1
olur. Bu takdirde,
δ eα = δ e β ∧ * ( eα ∧ eβ ) = δ e β ∧ iβ * eα , iβ = ieβ
(5.54)
olur. (5.52) ifadesinde her iki taraf Jα ile çarpılıp (5.54) yerine yazılır ve J = Jα eα
eşitliği kullanılırsa,
J ∧ δ J = δ J ∧ Jα * eα + J ∧ Jα ( δ e β ∧ iβ * eα ) − Jα ( δ eα ) ∧ *J
= δ J ∧ *Jα eα + J ∧ ( δ e β ∧ iβ * Jα eα ) − Jα ( δ eα ) ∧ *J
= δ J ∧ *J − δ eα ∧ J ∧ iα * J − δ eα ∧ ( ieα Jα eα ) ⋅ *J
= δ J ∧ *J − δ eα ∧ [ J ∧ iα * J + ( iα J ) ⋅ *J ]
155
elde edilir ve buradan,
1
⎝ 2
1
2
δ ⎛⎜ − J ∧ *J ⎞⎟ = −δ J ∧ *J + δ eα ∧ [ J ∧ iα * J + ( iα J ) ⋅ *J ]
⎠
(5.55)
bulunur.
Elektromanyetik Lagrangianinin değişimi: Yukarıda olduğu gibi
eαβ ∧ δ * F = δ F ∧ *eαβ + F ∧ δ * eαβ − ( δ eαβ ) ∧ *F
(5.56)
olur ve
ie j * e j1... j p = *e j1... j p j
ifadesinden,
δ * eαβ = δ eγ ∧ iγ * eαβ = δ eγ ∧ *eαβ γ
(5.57)
bulunur. Yine (5.56)’nın her iki yanı Fαβ ile çarpılıp, (5.57) yerine yazılırsa ve
Fαβ eαβ = F eşitliğine dikkat edilirse
F ∧ δ * F = δ F ∧ *Fαβ eαβ + F ∧ Fαβ δ eγ ∧ *eαβ γ − Fαβ ( δ eαβ ) ∧ *F
= δ F ∧ *F + F ∧ δ eγ ∧ *Fαβ eαβ γ − δ e β ∧ Fαβ eα ∧ *F
= δ F ∧ *F + δ eγ ∧ F ∧ iγ * F − δ e β ∧ iβ Fαβ eαβ ∧ *F
= δ F ∧ *F + δ eα ∧ [ F ∧ iα * F − ( iα F ) ∧ *F ]
156
elde edilir ve böylece,
1
⎝ 2
1
2
δ ⎛⎜ − F ∧ *F ⎞⎟ = −δ F ∧ *F + δ eα ∧ [ ( iα F ) ∧ *F − F ∧ iα * F ]
⎠
(5.58)
elde edilir.
Kütleçekimsel kısmın değişimi:
δ * eαβ = δ eγ ∧ iγ * eαβ = δ eγ ∧ *eαβ γ , eαβ γ = ηγσ eαβσ
(5.59)
eşitliği ile başlanabilir. Rαβ eğriliğinin kendisi ω ’lardan meydana geliyor ve e ’lerin
değişimi ω ’ların değişimine indirgenebilir.
δ ( Rαβ ∧ *eαβ ) = δ Rαβ ∧ *eαβ + Rαβ ∧ δ * eαβ
(5.60)
bu eşitliğin sağ tarafındaki ilk terim ele alınırsa, ve d ile δ işlemcilerinin sıra
değiştikleri dikkate alınırsa,
*eαβ ∧ δ Rαβ = *eαβ ∧ δ ( dωαβ + ωα γ ∧ ωγβ
)
= *eαβ ∧ ( dδωαβ + δωα γ ∧ ωγβ + ωα γ ∧ δωγβ
)
= *eαβ ∧ dδωαβ + 2 * eαβ ∧ ωα γ ∧ δωγβ
elde edilir. Eşitliğin sağ tarafına d * eαβ ∧ δωαβ terimi eklenip çıkarılırsa,
*eαβ ∧ δ Rαβ = d ( *eαβ + δωαβ ) − d * eαβ ∧ δωαβ + 2 * eαβ ∧ ωα *γ ∧δωγβ
157
bulunur ve (4.20) ve (4.42)’den
D * eαβ = d * eαβ − 2 * eαγ ∧ ωγ β
olduğu biliniyor ve sıfır burulmalı olması için, D * eαβ = 0 olduğu için yukarıdaki
eşitlik,
*eαβ ∧ δ Rαβ = d ( *eαβ + δωαβ ) − D * eαβ
= d ( *eαβ + δωαβ
(5.61)
)
elde edilir. (5.60)’ın sağdaki ikinci terimi ele alınırsa, (5.59) ifadesinden,
Rαβ ∧ δ * eαβ = Rαβ ∧ δ eγ ∧ *eαβ γ
bulunur ve böylece,
1
1
Rαβ ∧ *eαβ ⎞⎟ =
δ eα ∧ *e αβγ ∧ R βγ + d ( *eαβ + δωαβ
(
πκ
πκ
16
16
⎝
⎠
δ ⎛⎜
))
(5.62)
elde edilir ve bulunan üç sonucun birleşimi
1
δ L = −δ J ∧ *J − δ F ∧ *F + δ eα ∧ ⎡⎢ *tα + * Tα +
* e αβγ ∧ R βγ ⎤⎥
πκ
16
⎣
⎦
1
d ( *eαβ + δωαβ )
16πκ
1
*tα = [ J ∧ iα * J + ( iα J ) ⋅ *J ]
2
1
*Tα = [ ( iα F ) ∧ *F − F ∧ iα * F ]
2
+
(5.63)
158
*tα skaler alanın enerji-momentum tensörü ve *Tα elektromanyetik alanın enerjimomentum tensörüdür. S ve A cinsinden J = dS + eA ve F = dA yazılarak
δ L = δ Sd * J − δ A ∧ ( e * J + d * F )
1
* e αβγ ∧ R βγ ⎤⎥
+δ eα ∧ ⎡⎢ *tα + * Tα +
16πκ
⎣
⎦
1
*eαβ + δωαβ ) ⎤⎥
−d ⎡⎢ δ S * J + δ A ∧ *F −
(
16πκ
⎣
⎦
(5.64)
bulunur. Burada (5.16a,b) sonuçları kullanıldı. δ ∫L = 0 koşulundan (5.64) ifadesi
kullanılarak toplam sistemin alan denklemleri,
(a) d * J = 0
(b) d * F = −e * J
1
(c) − * e αβγ ∧ R βγ = 8πκ ( *tα + * Tα )
2
(5.65)
olarak bulunur. Burada (a) yük korunumunu, (b) Maxwell alan denklemlerini ve (c)
Einstein alan denklemlerini gösteriyor. (c) denklemine dikkat edilirse sol tarafı uzayın
eğriliğini temsil ederken, sağ tarafı bir skaler alan ile elektromanyetik alanın toplam
enerji-momentum akımlarını temsil ediyor. Bu akımların mekanikten bilinen pq − L
sahip oldukları kolayca görülebilir:
1
*tα = [ J ∧ iα * J + ( iα J ) ⋅ *J ]
2
1
= ( iα * J ) − iα ⎛⎜ − J ∧ *J ⎞⎟
⎝ 2
⎠
(5.66)
= ( iα * J ) − iα LS
159
1
*T = [ ( iα F ) ∧ *F − F ∧ iα * F ]
2
1
= [ ( iα F ) ∧ *F + F ∧ iα * F ] − dA ∧ iα * F
2
= iα * F ∧ dA − iα Le
Burada *J = −∂LS / ∂dS (ve * F = −∂Le / ∂dA) ,
(5.67)
p ’ye, momentuma; dSE (ve dA) ,
q ’ya karşı gelirler. (5.64) denklemleri türetilirken bir ortogonal baz kullanılmasına
rağmen, Rαβ için (4.31) homojen dönüşüm kuralından dolayı, (c) Einstein alan
denklemi herhangi bir bazda aynı forma sahiptir. (c) denklemi (a) ve (b)
denklemlerinden farklıdır ve bir alan şiddetinin türevinin akıma eşit olduğunu söylemez
ve uzayın yapısını enerji-momentum ile ilişkilendirir.
Enerji, momentum ve elektrik akımı 3-formları, hepsi (5.65) denklemlerinde bulunurlar.
(5.65 (c)) denklemi 1-formlar cinsinden yazılabilir. Hodge yıldız işlemcisi için
e j ∧ *e
j1 ... j p
p
= ∑ ( −1 ) p + r δ
r =1
jr
j
* e j1... jr −1 jr +1 ... j p = ( −1 ) p +1 * ie j e j1... j p
kuralı kullanılırsa, her ω ∈ E2 için
− * e αβγ ∧ ω = ( *e α iβ iγ + *e β iγ iα + *e γ iα iβ ) ω
olur. Eğer ω = R βγ ise,
iα iβ R β γ = iα Rγ = iγ Rα
ve
160
(5.68)
*e γ iγ Rα = *e γ ( iγ Rαβ e β ) = *e γ ( Rαβ iγ e β
= *e γ ( Rαβ e β | eγ
)
) = *e γ ( Rαβ δ β γ )
(5.69)
= Rαβ * e γ δ β γ = Rαγ * e γ = *Rαγ e γ = *Rα
olur. (5.68) ve (5.69) ifadeleri kullanılarak,
− * e αβγ ∧ R βγ = *e α iβ iγ R βγ + *e β iγ iα R βγ + *e γ iα iβ R βγ
= − * e α iβ R β + *e β iα R β + *e γ iα Rγ
= − * e α R + *e β i β Rα + *e γ iγ Rα = 2 * Rα − *e α R
bulunur. Bu ifade (5.65 (c)) Einstein alan denkleminde yerine yazılırsa,
1
Rα − eα R = 8πκ ( tα + Tα )
2
(5.70)
olarak Einstein alan denklemlerinin klasik karşılığı bulunur veya R = 8πκ ( t + T )
olmak üzere,
1
Rα = 8πκ ⎛⎜ tα + Tα + eα ( t + T
2
⎝
) ⎞⎟ , tα = iα tα , Tα = iα T α
⎠
yazılır. Riemann-Christoffel tensörünün (4.63) ve (4.64) bileşenleri,
Ra = Rγ αγβ e β , R = gαβ Rγ σγ σ eαβ
ve enerji-momentum tensörü için
tα + Tα = Tαβ e β
161
(5.71)
ifadesi kullanılırsa (5.70) ifadesi
1
Rγ αγβ − gαβ Rγ σγ σ = 8πκ Tαβ
2
(5.72)
bulunur.
Kütleçekimsel Lagrangian bir Yang-Mills denklemi olarak (5.51)’de,
L′ = −
1
− e βγ ∧ ωγ α ∧ ωαβ
16πκ
şeklinde verildi ve 8πκ = 1 alınarak, bu ifadenin sağ tarafına (5.48) eşitliği yazılırsa,
L′ = −
1
1
deα ∧ e β ) ∧ − ( deβ ∧ eα ) + ( deα ∧ eα ) ∧ − * ( deβ ∧ eβ
(
2
4
)
(5.73)
elde edilir. J = dS + eA ve F = dA ve sistemin toplam Lagrangianı göz önüne alınarak
eα ’ya göre yukarıda olduğu gibi değişimler hesabı uygulanması ile (5.65 (c)) ifadesinin
Yang-Mills karşılığı,
d * Fα = − * Jα
∂L
1
β
e
de
e
eα ∧ * ( de β ∧ eβ )
*Fα =
=
∧
*
∧
−
(
)
β
α
α
2
∂de
∂L
*Jα = α = iα * J ∧ dS + iα * F ∧ dA + iα * Fβ ∧ de β − iα L′
∂e
(5.74)
bulunur. Bu denklemler bir akımın dualini veren bir alan şiddetinin dış türevi
formundalar ve denklemlerden görüldüğü gibi, eα ’dan akımlara
*tα = iα * Fβ ∧ de β − iα L′
(5.75)
162
katkısı olur. Bu katkı kütleçekimsel alanın enerji-momentum akımları olarak
yorumlanabilir ve açıkça görüldüğü gibi S ve A için (5.66) ve (5.67) ifadeleriyle
akımlar gibi, pq − L formuna sahiptirler.
eα → Lα β ( x ) e β altında d * Fα ve * Jα ’nın ikisi de homojen dönüşmezler. *Jα ’ya
gelen üç katkıda yalnızca tα homojen dönüşür. Verilen bir x noktası için tα ( x ) = 0
olan bir çerçeve bulunabilir. Aksine, Cartesian olmayan koordinatlara sahip düz bir
uzay üzerinde t α ≠ 0 ’dır. Toplam akımlar korunur, d * Jα = 0 ve dolayısıyla yine bir
kapalı evrenin veya bir periyodik alanın toplam enerji-momentumu sıfırdır sonucu
çıkar.
Klasik karşılıkla bağlantı kurabilmek için, de ’ler tekrar ω cinsinden ifade edilmelidir.
(2.67 (iii)) ifadesine göre dış çarpım iç çarpımın dualidir. Bu sonuç kullanılarak,
1
F α = iβ ⎛⎜ de β ∧ eα − η αβ deγ ∧ eγ ⎞⎟
2
⎝
⎠
1
= −iβ ⎛⎜ ω β γ ∧ eγα − η αβ ω γ σ ∧ eσ γ ⎞⎟
2
⎝
⎠
1
= − ωβγ | e β eγα + ωγσ | eα eσγ
2
1
1
= − iωβγ eαβγ = − * ( ωβγ ∧ *eαβγ )
2
2
(5.76)
bulunur. Bu ifade kullanılırsa,
1
d * Fα = d ( ωβγ ∧ *eαβγ
2
)
(5.77)
bulunur. Bu ifade (5.65 (c))'nin sol tarafıyla aynı forma sahiptir. Bu son ifadeyi ω
cinsinden yazabilmek için,
163
*eαβγ = ε αβγδ eδ
ifadesinden yararlanılabilir,
d ( ωβγ + eδ ) = dωβγ − ωβγ ∧ ωσδ ∧ eσ
ve diğer yandan,
Rβγ = dωβγ − ωσβ ∧ ωσ γ
dır. Bu ifadeler yerlerine yazılarak (5.74) ifadesi (5.65 (c)) ile karşılaştırıldığında,
*t α = −
ε αβγδ
( ω ∧ ωσ γ ∧ eδ − ωβγ ∧ ωσδ ∧ eσ
16πκ σβ
)
(5.78)
elde edilir. Akımların bu formu ilk defa Landau ve Lİfshitz tarafından ileri sürülmüştür,
dolayısıyla (5.74) denklemlerine Einstein denklemlerinin Landau-Lİfshitz formu ve
bu akıma da akımların Landau-Lİfshitz formu denir. Onların kullandığı baz bir
ortogonal baz değildir, denklemler doğal bazlarda üretilmiştir. Bir doğal bazda
eα = dxα , ωαβ = Γαβμ dx μ ; Γσβμ = Γσμβ
dır. Bu takdirde kütleçekimin enerji-momentum tensörü simetriktir, yani *t α ’nın bu
bazdaki bileşenleri simetriktirler:
( Γ Γσ ε ρμυ δ + Γ βγμ Γσδυ ε ρμυσ ) .ε αβγδ *1
16πκ σβμ γυ
= dxα ∧ *t ρ
dx ρ ∧ *t α = −
g
164
(5.79)
Bu simetri lokal açısal momentumun korunumunu sağlar:
d ( *t β + * T
β
+ *t β ) = 0
ifadesi, dx ρ ∧ *t α − dxα ∧ *t ρ = 0 ifadesi t ve T
için olduğu kadar t için de
sağlanıyorsa,
d ( xα ( *t β + * T
β
+ *t β ) − x β ( *tα + * T α + *tα
))
ifadesinin doğru olacağını ifade eder. Burada xα bir lokal koordinattır ve böylece açısal
momentumun korunum yasası tek bir haritanın bölgesi üzerinde ifade edilmiş oldu.
Burada Abelian olmayan Yang-Mills teorilerine benzerlik gösterildi. Alan denklemleri
lineer değildirler, çünkü kütleçekimsel alan enerji ve momentum taşır. Bununla beraber,
bu nicelikler lokal Lorentz dönüşümleri altında homojen olarak dönüşmediklerinden
dolayı lokal olmaktan kurtulurlar. Rαβ eğrilikleri değil fakat onların Rα kısalmaları
(büzülmeleri) Einstein denklemleri tarafından lokal olarak belirlenirler. Eğer Cαβ Weyl
formları bilinirse, örneğin uzay konformal olarak düz ( Cαβ = 0 ) ise, o zaman (5.65 (c))
Rαβ eğriliklerini belirlerler. Boş uzayda (vakumda) ( Tα = tα = 0 ) , Rαβ ve Cαβ
aynıdırlar ve konformal olarak düz olan çözümler düzdürler (flat). Weyl formlarının
sıfır olduğu iki ve üç boyutlarda Einstein denklemlerinin çözümlerinin tümü düzdür.
Önerme (5.2.1): eα ’lar bir u lokal koordinatına göre olası süreksiz ikinci türevlere
sahip olsunlar ve tα ve T α sürekli olsunlar. O zaman ya Rαβ süreklidir veyahut
n 2 = nα nβη αβ = du | du = 0
165
olmak üzere bir ortogonal bazda, du = nα eα ’dır (Thirring 1997).
İspat: deα ’nın süreksiz birinci türevler içeren kısmı du ile orantılı olmalıdır:
deα = ( Aα β + S α β ) du ∧ e β
Aαβ = ηαγ Aγ β = − Aβα , Sαβ = S βα
Katsayılar bir simetrik bir de antisimetrik kısma ayrıldılar, çünkü bunlar ωαβ = −ωβα
içinde farklı şekillerde davranırlar. Eğer aşağıdaki denklemler modülo sürekli terimler
kabul edilirse, o zaman
ωαβ = − Aαβ du + Sα nβ − Sβ nα , Sα = Sαγ eγ
yazılabilir. Bu, deα = −ωα β ∧ e β ifadesinde yerine yazılarak doğrulanabilir. Varsayıma
göre eğrilikteki herhangi bir olası süreksizlik dωαβ ile meydana gelir, bundan dolayı
′
dSα = du ∧ Sα′ olmak üzere ya Sα′ ya da dAαβ = Aαβ
du ile meydana gelir. Son olasılık
dωαβ ’ya katkı yapmaz ve böylece eğriliğin süreksiz kısmı
Rαβ = du ∧ ( Sα′ nβ − S β′ nα
)
olur ve bundan dolayı
Rβ ∧ du = iα Rα β ∧ du = ( nα Sα′ nβ − S ′n 2 ) ∧ du
olur. Bu takdirde,
166
( Rβ nγ
− Rγ nβ ) ∧ du = n2 ( Sγ′ nβ − Sβ′ nγ ) ∧ du = n 2 Rγβ
dır. (5.65 (c)) Einstein denklemlerine göre Rα sürekli olmak zorunda olduğu için, ya
n 2 = 0 veyahut Rγβ sürekli kalır.
Eğer eα ’ların C ∞ olmasına izin verilmezse, o zaman düz uzayda dahi onları süreksiz
ikinci türevli seçmek olasıdır. δ dA = J , denklemleri J sürekli olsa dahi A ’da
süreksizliklere izin verir; bununla birlikte, bunlar bir A = d Λ ayar potansiyelinde
içerilebilirler. Benzer alternatifler F = dA süreklidir veya n 2 = 0 ’dır.
5.3 Lineer Yaklaşım ve Büzülmüş Bianchi Özdeşliği
Einstein ve Maxwell denklemlerinin karakteristikleri arasında bulunan benzerlik zayıf
alanlar durumunda kütleçekimsel alan için bir düzlem dalga çözümüne genişletilebilir.
Bu yaklaşım Einstein alan denklemlerini çözmek için özellikle de içinde bulunulan uzay
yeterince zayıf eğimli ise bir ilk yaklaşımdır. Bir ortogonal baz
eα = dxα + ϕ α β dx β , ϕαβ = ηασ ϕ σ β = ϕβα
ile tanımlanmış olsun ve her x için ϕ α β ( x )
deα = ϕ α β ,γ dxγ ∧ dx β
(5.80)
1 olsun. O zaman,
(5.81)
olur ve bundan, (3.87) afin bağlantıları bu mertebeyi sağladıkları için ϕ ’ye birinci
mertebeden bağlı,
ωα β = ( ϕ α γ ,β − ϕβγ ,α ) dxγ
(5.82)
167
sonucu çıkar. Bu takdirde,
d ω α β = ( ϕ α γ ,βρ − ϕ βγ , ρ α ) dx ρ ∧ dxγ
⇒ iα ( d ω α β ) = ( ϕ α γ ,βα − ϕ βγ ,α α − ϕ α α ,βγ + ϕ βα ,α γ ) dxγ
(5.83)
elde edilir. δ dxα = 0 olan harmonik koordinatlarda,
1
2
ϕβα ,α = ϕ α α ,β
(5.84)
olduğu gösterilebilir: (5.80) ifadesiden,
dxα = eα − ϕ α β dx β
yazılabilir. Kodiferensiyel işlemcisinin (3.85(b)) özelliği kullanılarak,
0 = *δ dxα = d * ( eα − ϕ α β e β ) = d ( *eα − ϕ α β * dx β
)
= −ω α β ∧ *e β − ϕ α β ,γ eγ ∧ *dx β
bulunur. Burada dx β = eβ alınır ve (5.82) ifadesi kullanılırsa,
0 = − ( ϕ α γ , β − ϕ βγ ,α ) dxγ ∧ *e β − ϕ α β ,γ eγ ∧ *e β
= ( ϕ βγ ,α − ϕ α γ , β − ϕ α β ,γ ) eγ ∧ *e β
elde edilir ve
eγ ∧ *e β = * ( eγ ∧ e β ) = η γβ * 1
168
ifadesi kullanıldığında eşitliğin sağlanma koşulu,
ϕ βα ,α − ϕ α α ,β − ϕ α β ,α = ϕβα ,α − ϕ α α ,β + ϕ βα ,α = 0
1
⇒ ϕ βα ,α = ϕ α α ,β
2
Bu sonuca göre (5.82) yeniden düzenlenir ve tα + Tα = Tαβ e β olmak üzere (5.71)
Einstein denkleminde yazılırsa,
1
−ϕ βγ ,α α dxγ = 8πκ ⎛⎜ Tαβ − ηβγ T α α
2
⎝
⎞ dxγ
⎟
⎠
(5.85)
elde edilir. Bu denklemlerin çözümleri elektromanyetik teoriden Maxwell denklemleri
çözümlerine analoji ile Green fonksiyonları cinsinden,
1
2
in
ϕαβ ( x ) = ϕαβ
( x ) + 8πκ ∫d 4 xD ret ( x − x ) ⎛⎜ Tαβ ( x ) − η βγ T ρ ρ ( x ) ⎞⎟
⎝
ρ
ϕαβ , ρ = 0,
in
in α
ϕ βα
,
1
= ϕαinα ,β
2
⎠
(5.86)
yazılabilir. Burada D ret gecikmiş Green fonksiyonunu temsil ediyor. Tαβ dx β
kütleçekimi katkısı olmayan enerji-momentum formlarıdır. Bu yaklaşımda kütleçekimi
ihmal etmek tutarsızlık yaratmaz, çünkü κ Tβγ γ sıfırıncı mertebeye doğru sıfıra yaklaşır.
Bu sonuç (5.84) ve (5.86) ifadelerini tutarlı kılar.
j = ( −1, v ) δ 3 ( x ) olmak üzere,
∫dtD
ret
(x−x)=
1
, Tαβ = Mjα jβ
4π x − x
169
klasik limitinde,
ϕαβ ( x ) =
2M κ
( jα jβ , +ηαβ
r
)
(5.87)
olur. Bu ifade, metrik
g = ( ηαβ + 2ϕαβ ) dxα ∧ dx β
alınırsa, j , j
1 hızıyla hareket eden M kütleli bir parçacığın orijinde oluşturduğu
potansiyele özdeştir. Böylece (5.86), 8πκ > 0 seçimini doğrular.
Metrik apriori olarak belirlenmediğinden daha fazla değişmez niceliğin olması beklenir.
Bunun için L ’nin (5.63) ile verilen değişimine bakılabilir. (3.22) ifadesinde X vektör
alanı yönünde LX Lie türevi
LX = iX
d + d iX
olarak verildi ve LX d = LX d sıra değime bağıntısı vardır ((3.21) ifadesi). (5.63)
denklemindeki değişim X vektör alanı yönünde LX Lie türevinden kaynaklansın,
*T α = *eαβγ ∧ Rβγ ∈ E3
ve eα bir ortogonal baz olsun. (5.61) ifadesi kullanılarak,
δ ( *eαβ ∧ Rαβ ) = δ * eαβ ∧ Rαβ + *eαβ ∧ δ Rαβ
= δ * eαβ ∧ Rαβ + d ( *eαβ ∧ δωαβ
170
)
bulunur ve (5.62) ifadesi
Rαβ ∧ δ * eαβ = Rαβ ∧ δ eγ ∧ *eαβ γ
olarak verildi. Böylece δ → LX alınarak,
LX ( *eαβ ∧ Rαβ ) − d ( *eαβ ∧ LX ωαβ ) = ( LX eα ) ∧ ( *eαβγ ∧ Rβγ
)
= ( LX eα ) ∧ *T α = ( iX deα + d ( iX eα ) ) ∧ *T α
= ( i X ( −ωασ ∧ eσ ) + d ( iX eα ) ) ∧ *T α
= −iX ( ωασ ) eσ ∧ *T α + ωασ ( iX eσ ) ∧ *T α
+ d ( iX eα ) ∧ *T α
= −iX ( ωασ ) eσ ∧ *T α + d ( iX eα ) ∧ *T α
(5.88)
+ d ( ( iX eα ) * T α ) − ( iX eα ) ∧ d * T α
ifadesi elde edilir. Bu ifadenin X vektör alanlarının içinde kompakt destekli olduğu
dört-boyutlu sınırı olmayan bir N manifoldu üzerinden integali alınırsa, o zaman, her
ω ∈ Em için (3.68) ifadesi;
∫LX ω = 0
Lie türevi altında integral değişmezliği kullanılarak ve
iX ( ωασ ) eσ ∧ *T α = 0, ( çünkü eσ ∧ *T α = eα ∧ *T σ
)
olduğundan,
∫ N xα ( d * T
α
+ ωα σ ∧ *T σ ) , xα = iX eα
(5.89)
171
elde edilir. Bu ifade N ’de kompakt destekli olan tüm vektör alanları için doğru
olduğundan,
d * T α = −ωα σ ∧ *T σ
(5.90)
olmalıdır ve bu ifadeye büzülmüş Bianchi özdeşliği olarak bilinir. Bu sonuç daha genel
bir ifadeden de türetilebilir:
d * T i = d ( *eimk ∧ Rmk ) = d ( *eimk ) ∧ Rmk − *eimk ∧ dRmk
= −ω i j ∧ *e jmk ∧ Rmk − 2ω m s ∧ *eisk ∧ Rmk + 2 * eimk ∧ ωm s ∧ Rsk
= −ω i j ∧ *e jmk ∧ Rmk = −ω i j ∧ *T j
Burada dRmk türevi için (4.41) Bianchi özdeşliği kullanıldı. Böylece büzülmüş Bianchi
özdeşliği daha genel bir şekilde elde edilmiş oldu. (5.90) ifadesi ortogonal bazlar için
türetilmesine rağmen, *T α ’lar, *eα ’lar gibi dönüştükleri için tüm bazlarda geçerlidir.
172
6. SİMETRİK UZAYLAR
Düz uzaylardan sonra en basit yapılı uzaylar sabit eğrilikli uzaylardır. Bunlar, küresel
yüzeylerin birer genellemesidirler ve basit olmalarına rağmen ilginç bazı fiziksel
görünüşlere sahiptirler.
6.1 Maksimal Simetrik Uzaylar
Killing vektör alanları uzayın izometrilerini (yani g metriğini değişmez bırakan
diffeomorfizimleri) meydana getirirler ve birebir ve örten olarak hareket sabitleri ve
korunan akımlarla ilişkilendirilirler. Bunlar, izometrilerin tek-parametre gruplarını
oluşturmazlarken bile uzay üzerinde lokal bir yapı oluştururlar. Killing vektör alanları
ile Einstein alan denklemleri daha kolay bir forma sokulabilir ve böylece hesaplar daha
kolay olur. Bir Killing vektör alanı prototipi R m ’in bir dönmesidir; bir çift ( i, k )
indisi için υ i = xk ve υ k = − xi ’dir ve diğer bileşenler sıfırdır. Aynı zamanda,
(a) υ i ,k + υ k ,i = 0
(6.1)
(b) υ l , jk = 0
olur. Bu durumların pseudo-Riemannian uzaylara genişletilmesi υ Killing vektör
alanlarını kovaryant türevleri arasındaki ilişkileri verir.
Önerme (6.1.1 ): Doğal baz, eα = ∂α ve
Deβ υ | eα = υα ;β ,
(D
eγ
)
Deβ υ − DDeβ eγ υ | eα = υα ;β ;γ
173
(6.2)
olarak notasyon belirlensin. O zaman R λ σρμ Riemann-Christoffel tensörü ile
(a) υα ;β + υ β ;α = 0
(6.3)
(b) υ μ ; ρ ;σ = R λ σμρυλ
ifadeleri sağlanır.
İspat:
Killing vektör alanları skaler çarpımı invaryant bırakırlar, yani υ bir Killing vektör
alanı olmak üzere,
Lυ X | Y = Lυ X | Y + X | Lυ Y
olur. Diğer yandan, bir skaler üzerinde Lie türevinin etkisi,
Lυ X | Y = Dυ X | Y = Dυ X | Y + X | Dυ Y
biçiminde tanımlandı. Burada,
Lυ X = Dυ X − DX υ ⇒ Dυ X = Lυ X + DX υ
eşitliği kullanılırsa,
Lυ X | Y = Dυ X | Y
= DX υ | Y + Lυ X | Y + X | Lυ Y + X | DYυ
= DX υ | Y + X | DYυ + Lυ X | Y
174
elde edilir ve buradan,
DX υ | Y + X | DYυ = 0
olur. Burada X ve Y yerine baz vektörleri alınırsa,
eα | Deβ υ + Deα υ | eβ = υα ;β + υβ ;α = 0
olarak (a) elde edilir.
Bir υ Killing vektör alanı metrik yapısını koruduğu ve bir burulmasız (sıfır burulmalı)
bağlantı tarafından tek olarak belirlendiği için Lie türevi Lυ , kovaryant dış tüerev D ile
sıra değişir. Bunu formel olarak göstermek için υ ile oluşturulan izometrilerin Φ t tekparametre grubu düşünülmelidir ve Lie türevinin (2.20) tanımı göz önüne alındığında,
∂
∂
DΦt |t = 0 = Φt D |t = 0
∂t
∂t
olduğu görülür. Böylece (4.76) ifadesi tekrar yazılırsa,
( DLυ − Lυ D ) X | u = ( Lυ D − Lυ D ) X | u
= R ( X , υ ) u − DX Dυ | u
⇒ R ( X , υ ) u = DX Dυ | u
bulunur. (4.75) eşitliğinden,
DX Dυ | u = DX Duυ − DDX uυ = R ( υ , X ) u
175
(6.4)
bulunur ve bu eşitlikte X ve u yerine baz vektörleri yazılıp bir baz vektörü ile iç
çarpılırsa,
(D
eγ
)
Deβ υ − DDeγ eβ υ | eα = Rλ γαβυ =λ υa;β ;γ
elde edilir. Bu sonuç (b) önermesini doğrular.
Önermenin (b) kısmı υ ’nün ikinci türevinin υ cinsinden lineer yazılmasına izin verir;
böylece bu yöntem ileri götürülülerek, bütün yüksek türevler υ ’ye ve onun ilk türevine
indirgenebilir. Bir tek noktada υ lokal olarak υ ve onun birinci türevi cinsinden ifade
edilebilir; örneğin 0 , noktasında:
υ ρ ( x ) = Aρ λ ( x )υλ ( 0 ) + Bρ λσ ( x )υλ ;σ ( 0 )
(6.5)
yazılır. Bu olası Killing vektör alanlarının sayısını oldukça kısıtlar. Bir m -buyutlu
uzayda, υλ ;σ ( 0 ) = −υσ ;λ ( 0 ) , m ( m − 1 ) / 2 değer kabul edebilir ve υλ ( 0 ) , m değer
kabul edebilir. Dolayısıyla en fazla,
m+
m + m ( m − 1) m ( m + 1)
=
2
2
tane lineer bağımsız Killing vektör alanı vardır ve x j ∂ i − xi ∂ j dönmelerinin ∂ i
ötelemeleri cinsinden yazılması gibi değişken katsayılı denklemleri sağlarlar.
Tanım:
(a) Bir uzay maksimal simetriktir ancak ve ancak m ( m + 1 ) / 2 tane bağımsız Killing
vektör alanına sahiptir.
176
(b) Bir uzay x noktası civarında izotropiktir ancak ve ancak x ’in akışın sabit bir
noktası olduğu m ( m − 1 ) / 2 tane Killing vektör alanına sahiptir ve ek ’ler bir ortogonal
baz olmak üzere
( Lυ ei ) ( x ) = Ai k ( x ) ek ( x ) ’deki
Ai k ’lar
( Rm , η ) ’nın
toplam
Lorentz grubunu meydana getirir. Bu tanım υ iα ( x ) = 0 olan m ( m − 1 ) / 2 tane υ i
Killing vektör alanının olduğunu ve i = 1,..., m ( m − 1 ) / 2 olmak üzere, υ iα ;β ( x ) ’lerin
m × m antisimetrik matrislerin uzayı için bir baz oluşturduğunu ifade eder. Bir
maksimal simetrik uzayda buradaki gibi Killing vektör alanları vardır, bu yüzden
izotropiktir.
(c) Bir uzay izotropiktir ancak ve ancak her noktası civarında izotropiktir.
(d) Bir uzay izometrilerin bir geçişli (transitive) grubuna sahip ise, homojendir. Geçişli
olma herhangi bir noktanın, her noktadan gruptan bir dönüşümle ulaşılabilir olmasını
ifade eder.
(e) Bir uzay zamansal bir Killing vektör alanına sahip ise durağandır (stationary)
denir. Eğer bu uzay, uzaysal hiperyüzeylerin bir ailesine ortogonal ise statiktir denir.
Bir izotropik uzay üzerinde eğrilik her yönde aynı olmalıdır. Bu nedenle bir izotropik
uzayın eğrilik formlarının aşırı derecede basit bir yapısı vardır.
6.2 İzotropik Uzayların Eğrilik Formları ve Yapısı
Önerme (6.2.1): Bir izotropik uzay üzerinde eğrilik formları
Rik = Keik , K = sabit
(6.6)
yapısına sahiptirler.
177
İspat: Φ bir izometri ve tensörler üzerinde oluşturduğu dönüştürüm Φ∗ olsun. Φ∗ , D
ile sıra değişir ve dolayısıyla,
DDΦ∗ = Φ∗ DD
⇒ RΦ∗ = Φ∗ R
bağıntısı sağlanır. Φ , Ltη L = η olmak üzere, ( Φ∗ei ) ( x ) = Li k ek ( x ) olacak biçimde
belirlenmiş nokta olarak x ’e sahip bir izometri olsun. Eğer R bu bazda ayrışırsa, o
zaman onun Φ∗ altında değişmezliği (4.64) Rieman-Christoffel tensörlerinin
Rijkl → Rmnop Lm i Ln j Lo k Lp l
altında değişmez olduğunu belirtir; antisimetrik tensör çarpım uzayında bir matris gibi
dönüşür. Bu temsil indirgenemez ( m = 4 için hariç) ve matris grubu elemanları birim
matris ile orantılı olmalıdırlar:
Rij lm = K ( δ i lδ j m − δ i mδ j l
)
veya eğrilik formları için,
Rij ( x ) = K ( x ) eij ( x )
olmalıdır. m = 4 için Rij ∧ e j = 0 tarafında dışarıda bırakılan bir Rij = *eij olasılığı
olacaktır. K ’nın neden sabit olması gerektiğini görmek için,
dRik = dK ∧ eik + Kdeik
178
denklemi göz önüne alımalıdır. (4.41) Bianchi özdeşliğinin kullanılması ile dK = 0
olduğu görülür ve dolayısıyla K , x ’den bağımsızdır.
Eğer eğrilik yönden bağımsız ise, o zaman konumdan da bağımsızdır. Bu sebepten
dolayı, böyle uzayların sabit eğrilikli olduğu rahatça söylenebilir. (4.69) ve (6.6)’dan
dolayı izotropik uzaylarda Weyl formları bulunmaz. Bu yüzden m > 0 ise, konformal
olarak düzdürler.
m ≥ 3 , olan izotropik uzaylar konformal olarak düz oldukları için,
ea =
dx a
ψ
, ψ ∈ E0
(6.7)
formunda bir ortogonal baz vardır. Bu yüzden,
dea = ψ ,b eba
dır ve dolayısıyla,
ωab = ψ ,a eb − ψ ,b ea
(6.8)
olur. (4.72) ile bu
Rab = ψ (ψ ,ac ec b − ψ ,bc ec a ) − ψ ,cψ ,c eab
(6.9)
eğrilik formlarına yol açar. Eğer bu Keab eğriliğine eşit ise, o zaman her her a ≠ b için
ψ ,ab = 0 olmalıdır ve bu yüzden,
179
m
ψ = ∑ f i ( xi )
(6.10)
i =1
dir. Eğer f a = ηai f i ise, o zaman (6.9) ifadesi Keab eğriliğine eşitlenerek,
fb′′ + f a′′ = ψ −1 ( K + fc′ f c′ )
(6.11)
elde edilir. Sağ taraf bütün a ve b ’ler için aynı iken, sol taraf yalnızca x a ve xb ’ye
bağlı olduğu için, her iki taraf gerçekte sabit olmalıdır. Bu sonuç f ’yi bir kuadratik
fonksiyon yapar ve bundan dolayı ψ ,
ψ = 1+
K a b
x x ηab
4
(6.12)
formuna sokulabilir. Bu yüzden, lokal olarak, bir sabit eğrilikli uzay daima
g=
dxi dx kηik
( 1 + Kx2 / 4 )
ω ik =
, ei =
2
dxi
1 + Kx 2 / 4
(6.13)
K i k
( x e − x k ei )
2
olacak koordinatlara sahiptir; burada x 2 = x a xbηab ’dir. İsotropik uzaylar için hacim
elemanı,
*1 =
dmx
( 1 + Kx 2 / 4 )
(6.14)
m
olur. Bu ifadenin x = r alınarak K = 1 için integrali,
180
∫ *1 =
∫
dmx
(1 + r2 / 4 )
olur. Burada Sm =
m
= Sm ∫
∞
0
drr m −1
(1 + r2 / 4 )
m
2π m / 2
, m -kürenin yüzey alanıdır. β = ( 1 + r 2 / 4 ) yazılır ve Γ
Γ( m / 2 )
fonksiyonlarının
Γ( m )Γ( m / 2 ) =
2m −1 ⎛ 1
Γ ⎜ ( m + 1 ) ⎞⎟
π ⎝2
⎠
özelliği kullanılırsa,
∫ *1 =
∞
Sm 2m −1 d ββ m − 2 ⎛⎜
0
⎝
∫
1
− 1 ⎞⎟
β
⎠
( m−2 ) / 2
Γ m2 / 2 )
2π ( m +1 ) / 2
m −1 (
= Sm 2
=
= Sm +1
Γ( m )
Γ ( ( m + 1) / 2 )
(6.15)
bulunur. İzotropik uzay ( m + 1 ) -küreye izometrik olduğu için bu hacim hesabı
doğrudur.
İzotropik uzaylarda orijin civarında izotropiden dolayı, dönmelerin üreteçleri Killing
vektör alanlarıdır: x j = η jk x k ve ∂ k , dx k ( i∂ k dxi = δ i k ) ’ye dual baz olmak üzere,
υ = x j ∂ k − xk ∂ j
olsun ve bir çift ( i, j ) indisi belirlensin, o zaman
181
Lυ e m = diυ em + iυ de m
−1
⎛ ⎛
Kx 2 ⎞
= d ⎜ xj ⎜1+
i dx m
⎜ ⎝
4 ⎟⎠ ∂ k
⎝
−2
⎞
K⎛
Kx 2 ⎞
x i dxl ∧ dx m
⎟ − xj ⎜1+
⎟
2⎝
4 ⎟⎠ l ∂ k
⎠
−1
⎡
Kx 2 ⎞ ⎤
m ⎛
= d ⎢ x jδ k ⎜ 1 +
⎥
4 ⎟⎠ ⎥
⎝
⎣⎢
⎦
K⎛
Kx 2 ⎞
+xj ⎜ 1 +
2⎝
4 ⎟⎠
⎛
Kx 2 ⎞
= dxr ⎜ 1 +
4 ⎟⎠
⎝
−2
−1
(6.16)
( δ m k xı dxl − xk dx m )
( δ m k δ r j − δ m jδ r k )
elde edilir.
Lυ em = Amr er ve Amr = δ m k δ r j − δ m jδ r k = − Arm
olduğu için orijin civarında dönmeler Killing vektör alanlarıdır.
Eğer k belirlenmiş ise,
⎛
υ = ∂k ⎜ 1 −
⎝
Kx 2
4
⎞ K k
j
⎟ + 2 x x j∂
⎠
(6.17)
bir Killing vektör alanıdır. Bu ifade yukarıdaki gibi gösterilebilir veya daha basit olarak,
doğal bazda υ ’nün bir Killing vektör alanı olabilmesi için aşağıda verilen glm
üzerindeki koşul kullanılabilir:
Lυ dx m = d ( iυ dx m ) = dυ m = υ m,i dxi
olsun. Böylece,
182
0 = Lυ glm dx l dx m = υ i glm,i dx l dx m + 2 glmυ l ,i dx i dx m
⇒ υ i glm ,i + g imυ i ,l + gilυ i ,m = 0
(6.18)
olur. Bu ifadede υ için (6.17) ifadesinin bileşenleri kullanılırsa,
0 = υ i glm,i + gimυ i ,l + gilυ i ,m
−3
⎛
⎡ k⎛
Kx 2 ⎞ ⎧
Kx 2 ⎞ x k x 2 K 2 ⎤
η
= ⎜1+
−
Kx
1
−
+
⎨
⎜
⎥
2
4 ⎟⎠ ⎩ lm ⎣⎢
4 ⎠⎟
⎦
⎝
⎝
⎛
Kx 2
+⎜1+
4
⎝
K
+ δ k l xm
2
⎞⎡ K k
K k
k
⎟ ⎢ − 2 δ m xl + 2 ( x ηml + xmδ l
⎣
⎠
K
+ ( x kηml + xlδ k m ) ⎤⎥
2
⎦
)
}
bulunur. Dolayısıyla (6.17) bir Killing vektör alanıdır. Bu υ ’ler küçük x ’ler için bir
baz teşkil ederler ve böylece orijin civarında oluşturdukları grup geçişli olarak davranır:
herhangi bir nokta diğerine gönderilebilir.Bu bölüm boyunca verilen bilgiler aşağıda bir
önerme ile özetlenmiştir:
Önerme (6.2.2): Bir M , pseudo-Riemannian uzay için aşağıdaki özellikler eşdeğerdir:
(a) M maksimal simetriktir,
(b) M sabit eğriliğe sahiptir
(c) M izotropiktir
(d) M bir nokta civarında homojen ve izotropiktir.
Burada verilen argümanlar tam olarak lokaldır ve dolayısıyla global davranış hakkında
hiç bir sonuç çıkarılamaz; Killing vektör alanları tam bile olmaz zorunda değiller.
183
Küresel yüzeylerin bileşimleri ve parçaları da izotropik uzaylardır. Bununla beraber,
aynı K ’ya sahip uzaylar lokal olarak izotropiktirler (Thirring 1997).
Maksimal simetrik uzaylar için Einstein denklemlerini incelemek, bu uzayların evren
için bir model oluşturup oluşturmadıklarını anlamaya yardım eder: Eğer Rαβ = Keαβ
ise, o zaman
Rβ = iα Rα β = 3Keβ , R = iα Rα = 12 K
elde edilir ve buradan,
1
Rα − eα R = −3Keα
2
(6.19)
bulunur. Dolayısıyla (5.70) Einstein alan denklemlerinden
Tαβ = −
ηαβ K
8πκ
(6.20)
elde edilir. Bu ifade
enerji yogunlugu = −basınc =
3K
8πκ
olan bir durgun akışkana karşı gelir (Thrring 1999). Böyle fiziksel olmayan Tαβ ’lara;
(a) L ’ye bir Λ *1 sabitinden gelen katkı (böyle bir katkı teorinin başlangıcında
Einstein tarafından ileri sürülmüştü),
184
(b) Değişmezlik (invaryans) nedenlerinden dolayı ∼ ηαβ olan alanların enerjimomentum tensörünün boşluk (vakum) beklenen değeri,
(c) Einstein denklemlerindeki ek terimler; neden olabilir.
Böyle önerilerden birine inanmak için ikna edici nedenler yoktur ve dolayısıyla estetik
olmalarına rağmen maksimal simetrik uzaylar evren modelleri için iyi adaylar
değillerdir (Thrring 1999).
6.3 Altı Killing Vektör Alanlı Uzaylar
Burada ilginç olan durum altı uzaysal Killing vektör alanlı, O ( 4 ) ’e izomorfik bir grup
oluşturan Friedmann evrenidir. Grubun eylemi altında bir noktanın yörüngeleri altı
Killing vektör alanlı bir uzaysal altmanifold biçimlendirir; yani üç boyutlu bir sabit
eğrilikli Riemannian uzay oluştururlar. Bu durumda birlikte hareket eden (comoving)
koordinatlar seçmek kullanışlıdır, bunlar için geodezik vektör alanı bu uzya dik,
x = sabit koordinat çizgileri meydana getirir ve bu geodezik çizgileri üzerinde öz
2
zaman t zaman koordinatıdır. r 2 = x yazılarak g metriği
g = − dt + R ( t )
2
2
d x
2
( 1 + Kr 2 / 4 )
(6.21)
2
biçiminde tanımlanır ve Robertson-Walker metriği olarak bilinir. Burada R ( t ) daha
belirlenmemiş zamanın bir fonksiyonudur. Eğer K > 0 ise, o zaman (6.15)’e benzer
biçimde t = sabit altmanifoldunun 2π R3 ( t ) / K 3/ 2 hacmine sahip olduğu gösterilebilir.
Eğer
dt ′
1
=
dt R ( t )
185
olacak biçimde yeni bir t ′ zaman değişkeni tanımlanırsa, o zaman g Minkowski
uzyındaki metrik olur:
⎛
d x2
g = R ( t )2 ⎜ − dt ′2 +
2
⎜
( 1 + Kr 2 / 4 )
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(6.22)
Friedmann evreni için eğrilk formları bulunarak, burada Einstein alan denklemlerini
incelemek ilginç sonuçlara götürür. Grek idisleri 0’dan 3’e ve Romen indisleri 1’den 3’e
kadar değişsin. Eğer ortogonal baz,
⎛
R ( t ) dx a ⎞
e = ⎜ dt ,
⎟
2
⎝ 1 + Kr / 4 ⎠
α
biçiminde yazılırsa, o zaman,
K
⎛ R
⎞
deα = ⎜ 0, e0 a −
xb eba ⎟
2R
⎝ R
⎠
bulunur ve dolayısıyla,
ω a 0= ω 0 a =
R a
K
e , ωab =
( x e − xb ea )
R
2R a b
(6.23)
olur. Sonuç olarak,
R 0 a KR
e − 2 xb eba ,
R
2R
⎛
K
Kr 2 ⎞ K 2 a bc
= 2 eab ⎜ 1 +
x xc e − xb xc e ac )
⎟+
2(
4
R
⎝
⎠ 4R
dω 0a =
dω
ab
186
(6.24)
bulunur ve (6.9)’dan benzer hesaplama ile
R0a =
R 0a
K + R 2 ab
e , R ab =
e
R
R2
(6.25)
bulunur. Büzülmüş (kısalmış) nicelikler
⎛R
R
K + R2
R 0 = ia R 0 a = 3 e0 , R a = ib R ab = ⎜ + 2
R
R2
⎝R
⎞ a
⎟e
⎠
⎛ K + R2 ( t ) R ( t ) ⎞
R = ia R a = 6 ⎜
+
2
R ( t ) ⎟⎠
⎝ R (t )
(6.26)
olurlar. R ( t ) = sabit ise, o zaman eğrilik yalnızca uzaysal yönlerde değişir ve (6.25)
ifadesi
R ab =
K ab
e , R0a = 0
2
R
(6.27)
olur. (6.26) ve (4.68) ifadeleri karşılaştırılırsa, burada Weyl formlarının sıfır olacağı
aşikardır.
(5.70) ve (5.71) tipindeki Einstein alan denklemlerinin sağlanması için (6.26)
ifadelerinden dolayı maddenin enerji momentum formları ea × ( t'nin bir fonksiyonu )
olmalıdırlar. Bu yüzden maddenin enerji-momentum tensörü diagonaldır. Klasik olarak
alan teorisnde,
T00 = ρ = enerji yoğunluğu, Tij = p = basınç
olarak tanımlanırlar. Bu takdirde Einstein alan denklemleri,
187
(6.28)
R2 + K
= 8πκρ
R2
2R R2 + K
−
−
= 8πκ p
R
R2
3
(6.29)
ifade ederler. (5.90) Bianchi özdeşliği ρ ve p ’yi R ile ilişkilendirir ve aynı ilişki
(6.29)’dan çıkar. Bu,
d * T 0 = d ( ρ * e0 ) = d ρ ∧ *e0 + ρ d * e0
= −ω 0 j ∧ *T
j
(6.30)
= − pω 0 j ∧ *e j
olacağını belirtir. Bundan dolayı
R
d ρ ∧ *e0 = ( ρ − p ) ω 0 j ∧ *e j ⇒ ρ = 3 ( ρ − p )
R
(6.31)
olur. Bu ifade
d
( ρ R3 )
dt
p=
d 3
R
dt
(6.32)
Formunda
basınç = −
enerjinin değişim oranı
hacmin değişim oranı
ifadesini verir. Böylece birlikte hareket eden koordinatlarda toplam enerjide kütleçekim
gözükmemektedir. R = 0 statik durumu eğer eğer K > 0 ise, bir negatif basınç ve eğer
K < 0 ise, bir negatif enerji gerektirir. Esas olarak ,bu durum Einstein'ı kendi hareket
188
prensibinde bir kozmolojik Λ∗1 terimi dahil etmeye zorladı. Friedmann daha sonra
kendi adını taşıyan çözümü buldu.
(5.74)’de madde ve kütleçekim için enerji-momentum formları, 2-formların dış türevleri
biçiminde ifade edildi. Kütleçekimsel enerji henüz tam olarak bilinmediğinden izi
sürülerek bulunabilir. Bunu için 2-formun dış türevinin t = sabit
kısıtlaması
(sınırlaması) hesaplanabilir. Bu hesap Landau-Lifshitz formunda Einstein denklemlerini
verir:
1
K 0bcd
xb ecd ,
− ε 0bcd ωbc ∧ ed = −
ε
2
2R
⎛
⎤
1
K 0bcd ⎡
Kr 2 ⎞
1
e
− ε 0bcd d [ ωbc ∧ ed ]t = sbt = −
+
− Kxb x m emcd ⎥
ε
bcd
⎜
⎟
⎢
2
2R
4 ⎠
⎣
⎝
⎦ t = sbt
(6.33)
2 2
3K − K r / 4 0
* e |t = sbt
R2
= 8πκ ( *T 0 + *t 0 )
=
Bu denklem,
8πκ ⋅ ( toplam enerji yoğunluğu ) =
3K − K 2 r 2 / 4
R2
(6.34)
olduğunu ifade eder. Böylece bu denklem (6.29)’un ilk denklemi ile birleştirilirse,
8πκ ⋅ ( küteçekimsel enerji yoğunluğu )
= ( toplam enerji yoğunluğu − ρ ) = −
K 2 r 2 − 12 R 2
4R2
(6.35)
bulunur. R = 0 statik durumunda, bu Newton teorisine göre bir ρ homojen kütle
dağılımının enerji yoğunluğudur. R = 1 olmak üzere 8πκ → e seçilirse, o zaman
189
Kr 2
3K
, V =
,
2e
4e
1
1 K 2r 2
xK
, − ∇V 2 = − 2
∇V =
2e
2
4
2e
ΔV = eρ
yazılabilir
ve
böylece
(6.36)
− K 2r 2 / 4R2 ,
yaklaşık
Cartesian
koordinatlarda
8πκ ⋅ ( Newtonian kütleçekimenerji ) ’ye karşılık gelir. Dinamik durumda ayrıca bir R 2
katkısı gelir.
Eğer K > 0 ise, toplam enerjinin tüm uzay üzerinden integrali sıfıra eşittir: (6.34)
kullanılarak,
3K ∫
∞
r 2 dr
0
( 1 + Kr 2 / 4 )
3
=
K2 ∞
r 4 dr
4 ∫ 0 1 + Kr 2 / 4 3
(
)
bulunur. (6.29)’un ilk denklemi
R2
R2
K
− 4πκρ
= − = sabit
2
3
2
(6.37)
biçiminde yazılırsa, o zaman bu R koordinatlı R hızlı bir parçacığın (göreli olmayan)
enerjisi için korunum denklemi bulunur.
190
7. SONUÇ
Bu tez kapsamında kütleçekim teorisi gerekli olan geometrik temeller incelenmiştir.
Euclidean olmayan geometrinin fiziksel evrenin daha doğru bir tanımını verdiği
görülmüş ve evrenin çok küçük boyutları düşünüldüğünde bu evrensel tanımların
Newtonian
tanımlarla
uyumlu
olduğu
görülüyor.
Fizik
yasalarının
gözlem
çerçevelerinden bağımsız olmasını sağlayacak formlar bu geometrik tanımlarla garanti
ediliyor.
Genel geometrik incelemelerin ardından türetilen elektromanyetik alan denklemleri ve
Einstein alan denklemleri genel değişmezliği (kovaryansı) sağlamışlardır. Son bölümde
incelenen sabit eğrilikli uzaylar ve maksimal simetrik uzaylar bu teorinin gerçeğe olan
yaklaşımı konusunda ikna edici fikirler veriyor ve aynı zamanda Newtonian evren
tanımını da içerdiğini gösteriyor.
Evrenin yapısı ve bu yapıya maddenin etkisi Einstein alan denklemlerinde içeriliyor ve
bunların çözümleri bu yapıyı açığa kavuşturacaktır. Einstein alan denklemlerinin
çözümleri bu çalışmanın kapsamını aştığından girilmemiş sadece basit sonuçlara
değinilmiştir. Buna karşılık Einstein alan denklemlerinin farklı formları incelenmiş ve
Einstein denklemlerini Yang-Mills karşılığı elde edilerek, akımın duali bir alan
şiddetinin dış türevi olarak bulunmuştur. Bu denklemlerden yola çıkılarak akımların
Landau-Lifshitz formuna ulaşılmış ve bu formu elde ederken doğal baz kullanılmasına
rağmen, bu akım formunun bütün bazlarda aynı kaldığı sonucuna varılmıştır. Buradan
açısal momentumun lokal korunumu elde edilir. Ayrıca Lie türevi altında integral
değişmezliği kullanılarak akımların korunumu elde edilebilir.
191
KAYNAKLAR
Cartan, E. 2001. Riemannian Geometry in an Orthogonal Frame. World Scientific, 253
s., Singapore.
Hassani, S. 1999. Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations.
Springer, 1025 s., New York.
Lang, S. 1999. Graduate Text in Mathematics: Fundamentals of Differential Geometry.
Springer, 535 s., New York.
Logunov, A. A. 2001. The Theory of Gravity. Nauka 256 s., Moskow.
Stewart, J. 1990. Cambridge Monographs on Mathematical Physics: Advanced General
Relativity. Cambridge University Press, 228 s. New York.
Thirring, W. 1997. Classical Mathematical Physics: Dynamical Systems and Field
Theories. Springer-Verlag, 543 s., New York.
Warner, F. W. 1971. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Scott,
Foresman and Company, 270 s., Illinois.
192
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Erdal ÇATAK
Doğum Yeri
: Bingöl/ Kiğı
Doğum Tarihi
: 20.02.1982
Medeni Hali
: Bekar
Yabancı Dili
: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Tuzla Kaşif Kalkavan Lisesi, (1999)
Lisans
: Ankara Üniversitesi, Fizik Mühendisliği Bölümü (2003)
Yüksek Lisans
: Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Mühendisliği
Anabilim Dalı (2003-2006)
193