Limit Superior ve Limit Inferior - Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve

Gök Gümüş ve Nuray / AKÜ Fen Bilimleri Dergisi 2010-01 11-15
I  Limit
Superior ve
I  Limit
Inferior
Hafize (Gok)1Gumus ve Fatih Nuray2
1,2
Afyon Kocatepe Üniversitesi, FEF, Matematik. Böl.,03200, Afyonkarahisar
e-posta: hgok@aku.edu.tr, fnuray@aku.edu.tr
Geliş Tarihi: 13 Nisan 2011; Kabul Tarihi: 18Mayıs2011
Özet
Bu çalışmada, doğal sayılar kümesinin alt kümelerinin bir ailesi yardımıyla tanımlanmış olan ideal kavramı ile
oluşturulmuş olan I-yakınsaklık kavramı ve daha sonra çalışılmış olan I-limit superior ve I-limit inferior kavramları,
1981 de Kızmaz tarafından tanımlanmış olan fark dizi uzaylarına uygulanmıştır. Elde edilen  I-limit superior ve
 I-limit inferior kavramları arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Ayrıca bu kavramların sırasıyla x reel sayı dizisinin
 I-yığılma noktalarının en büyüğü ve en küçüğüne eşit olduğu fakat aynı durumun  I-limit noktaları için geçerli
olmadığı gösterilmiştir.
Anahtar Kelimeler:Fark dizisi;  I-yakınsaklık;I-limit superior;I-limit inferior.
I  Limit
Superiorand I  Limit Inferior
Abstract
In this study, I-convergence which is obtained from an ideal, family of a subset of natural numbers, and also Ilimit superior ve I-limit inferiorareappliedfordifferencesequenceswhichwasintroducedby Kızmaz in 1981.  I-limit
superiorand  I-limit
inferiorareobtainedandrelationsbetweenthemareinvastigated.
Andalso
it
is
shownthattheseconceptsareequaltothebiggestandsmallest I - clusterpoints of thesequence x but it is not
truefor I limit points.
Key Words:Difference sequence,  I-convergence;I-limit superior;I-limit inferior.
d ( A)  lim n inf d n( A)
1. Giriş
İstatistiksel yakınsaklık kavramı Fast(Fast,
1981) tarafından tanımlandı ve farklı adlar altında
Fourieranaliz, ergodik teori ve sayı teorisi
alanlarından tartışıldı. Bu kavram daha sonra Šalát
(Šalát, 1980), Fridy (Fridy, 1985), Connor
(Connor, 1988), Fridy ve Orhan (Fridy ve Orhan,
1997) tarafından çalışıldı.
Tanım 1.1. A  , n   ve  A fonksiyonu
A kümesinin karakteristik fonksiyonu olmak
üzere,
d n ( A) 
1 n
  A (k )
n k 1
olarak tanımlansın.
ve
d ( A)  lim n sup d n ( A)
ifadeleri sırasıyla A kümesinin alt ve üst
asimptotik yoğunluğu olarak adlandırılır. Eğer
d ( A)  lim n d n ( A)
limiti mevcut ise bu limite A kümesinin
asimptotik yoğunluğu denir.
Tanım 1.2. Reel sayıların bir x  ( xk ) dizisi
verilmiş olsun.
A bir küme ve
A
ifadesi
A kümesinin kardinalitesi olmak üzere   0
için
d k  n : xk  l     0
yani
11
Gök Gümüş ve Nuray / AKÜ Fen Bilimleri Dergisi 2010-01 11-15
1
k  n : xk  l    0
n
oluyorsa x dizisi l   sayısına istatistiksel
lim n
yakınsaktır denir. İstatistiksel yakınsak tüm
dizilerin kümesi S ile gösterilir.
Kostyrko, Mačaj ve Šalát, N doğal sayılar
kümesinin alt kümelerinin bir ailesinin I idealini
kullanarak
reel
sayıların
I-yakınsaklığını
tanımlamışlardır
(Kostyrko
vd.,2000).
Iyakınsaklık,
istatistiksel
yakınsaklığın
genelleştirilmiş
hali
olarak
düşünülebilir.
Kostyrko, Šalát ve Wilezyński bu tanımı herhangi
bir metrik uzayda çalışmışlar, aynı zamanda Ilimit noktaları ve I-yığılma noktalarını
tanımlamışlardır (Kostyrko vd., 2000 ) .
Tanım 1.3. N pozitif tamsayılar kümesinin alt
kümelerinin boştan farklı bir I ailesi için aşağıdaki
şartlar sağlanıyorsa
I ailesine bir ideal
denir(Kostyrko vd.,2000).
(i)   I
(ii) Her A, B  I için A  B  I
(iii) Her A  I ve her B  A için B  I Eğer
I  2 N ideali için I  2 N oluyorsa I idealine
gerçek ideal; I gerçek ideali N nin her sonlu alt
kümesini içeriyorsa I ya bir uygun ideal adı
verilir.
Tanım 1.4. N pozitif tamsayılar kümesinin alt
kümelerinin boştan farklı bir F ailesi için
aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa F ailesine bir süzgeç
denir (Kostyrko vd., 2000 ) .
(i)   F
(ii) Her A, B  F için A  B  F
(iii) Her A  F ve her B  A için B  F
N
Önerme 1.1. I  2 bir gerçek ideal olmak
üzere,
F ( I )  M   : M   \ A, A  I
kümesi N de bir süzgeçtir(Kostyrko vd.,2000 ).
Yukarıdaki önerme göz önüne alınırsa, süzgeç
kavramını idealin duali olarak düşünmek
mümkündür.
Tanım 1.5. x  ( xk ) bir reel sayı dizisi ve
I  2 N bir uygun ideal olmak üzere   0 için
A( )  k   : xk  l   
kümesi I idealinin elemanı oluyorsa x dizisi
l   sayısına I -yakınsaktır denir. I -yakınsak
tüm dizilerin kümesi c I ile gösterilir.
I -yakınsaklık, I -limit noktaları ve I -yığılma
noktaları ile ilgili çalışmalardan sonra Demirci,
I -limit superior ve I -limit inferior kavramlarını
tanımlamıştır (Demirci, 2001).
Tanım 1.6. x  ( xk ) bir reel sayı dizisi ve
I  2 N bir uygun ideal olsun.
Bx  b   : k   : xk  b I 
ve
Ax  a   : k   : xk  a I 
olmak üzere,
Bx   ise
sup Bx ,
I  lim sup x  
  ,
Bx   ise
ve
inf Ax ,
I  lim inf x  
  ,
Ax   ise
Ax   ise
olarak tanımlanır (Demirci, 2001).
l , c ve c0 uzayları sırasıyla sınırlı, yakınsak ve
sıfıra yakınsak diziler kümesini göstersin. Kızmaz
(Kızmaz 1981), x  (xk )  ( xk  xk 1 ) olmak
üzere X  l , c, c0  için
X ()  x  ( xk ) : x  X 
dizi
uzaylarını
x

tanımladı
 x1  x
ve
bu
uzayların

normu ile birer BK uzayı olduğunu gösterdi. Bu
kavram Et ve Çolak (Et ve Çolak, 1995)
tarafından genelleştirildi.
Tanım 1.7. x  ( xk ) bir reel sayı dizisi ve
x  (xk )  ( xk  xk 1 ) olsun.
I  2 N bir
uygun ideal olmak üzere   0 için


d k  n : xk  l    0
l   sayısına  -istatistiksel
ise x dizisi
yakınsaktır denir.  -istatistiksel yakınsak tüm
12
Gök Gümüş ve Nuray / AKÜ Fen Bilimleri Dergisi 2010-01 11-15
dizilerin kümesi
S () ile gösterilir (Başarır,
1995).
Tanım 1.8.
Kabul
I  lim sup x   olsun.
x  ( xk )
sayısı, b   olmak üzere
reel
sayı
dizisi
İspat:
k   : xk
için   0 verilsin.
k   : x
k
 l    I
I -yakınsak tüm dizilerin kümesi
c I () ile
I f  A   : A sonlukümesi
 de bir uygun ideal ve c I f ()  c() dır.
Örnek 1.2.
Id
 A   : d ( A)  0 kümesi
 de bir uygun idealve c I d ()  S () dır.
sayı
dizisi
ve
x  (xk )  ( xk  xk 1 ) olsun.
Bx  b   : k   : xk  b I 
ve
Ax  a   : k   : xk  a I 
Bx   ise
Bx   ise
ve
inf Ax ,
I  lim inf x  
  ,
Ax   ise
Ax   ise
dır.
Teorem 2.1. Eğer I  lim sup x   sonlu ise
her ε>0 için,
k   : xk      I
ve
k   : xk      I
dır.
Yani,
k   : xk      I
olmak zorundadır. Diğer yandan
olduğundan
k   : x
olacak
k
şekilde
   

 b'  I
bir
b '  (   ,  )
elemanı
 b'

yazılabileceğinden ve ifadenin sağ tarafı ideale ait
olmadığından,
k   : xk      I
elde edilir.
Teorem 2.2. Eğer I  lim inf x   sonlu ise
her ε>0 için,
k   : xk      I
ve
k   : xk      I
dır.
İspat:
olarak tanımlanır. Bu durumda,
sup Bx ,
I  lim sup x  
  ,
sağlayan
en
büyük
elemandır.
     olduğundan (1) şartını sağlayamaz.
k   : xk       k   : xk
N
Tanım 2.1. I  2 bir uygun ideal, x  ( xk )
reel

 b I (1)
bulunabilir.
2. I  Limit Superior ve I  Limit Inferior
bir
ki
şartını
ise x dizisi l   sayısına I -yakınsaktır denir.
gösterilir.
Örnek 1.1.
edelim
Bu durumda
Kabul
I  lim inf x   olsun.
sayısı, a   olmak üzere
edelim
Bu durumda
şartını
küçük
k   : xk
ki

 a I (2)
sağlayan
en
elemandır.
     olduğundan (2) şartını sağlayamaz.
Yani,
k   : xk      I
olmak zorundadır. Diğer yandan     
olduğundan
k   : x
olacak
k
şekilde

 a'  I
bir
a '  ( ,    )
elemanı
bulunabilir.
k   : xk       k   : xk
 a'

yazılabileceğinden ve ifadenin sağ tarafı ideale ait
olmadığından,
13
Gök Gümüş ve Nuray / AKÜ Fen Bilimleri Dergisi 2010-01 11-15
k   : xk      I
elde edilir.
Bu iki teorem gereğince I  lim sup x


k   : xk      I
2

ve
I  lim inf x noktalarının, x dizisinin ΔI-yığılma
noktalarının sırasıyla en büyüğü ve en küçüğü
olduğu söylenebilir. Fakat bu durum ΔI-limit
noktaları için geçerli değildir.
Örnek2.1. I  I d ve u dizisi aşağıdaki şekilde
tanımlansın.
ve
dolayısıyla


k   : xk      I yazılabilir.
2



k   : xk      k   : xk     
2

1
1 2
1 2 3


u  0,1,0, ,1,0, , ,1,0, , , ,1,0,...
2
3 3
4 4 4


ve ifadenin sol tarafı ideale ait olmadığından sağ
tarafı da ideale ait değildir. Bu durumda
olur.
    Ax
 0, k tek
x dizisini x k  
u k , k çift
  inf Ax olduğundan     
keyfi ε>0 için    elde edilir.
Bu durumda
k   : xk
olarak seçelim.
Tanım 2.2. x  ( xk ) dizisi için,
 1 I d
k : x
olduğundan
fakat I ( x )  0 dır.
Teorem 2.3. Herhangi bir x dizisi için
I  lim inf x  I  lim sup x
I  lim sup x
k
 B I
olacak şekilde bir B sayısı varsa x dizisine ΔIsınırlıdır denir.
Teorem 2.4. Bir ΔI-sınırlı x reel sayı dizisinin
ΔI-yakınsak olması için gerek ve yeter şart
I d  lim sup x  1
dir.
İspat: İspatı
I  lim inf x  I  lim sup x
(3)
ifadesinin üç
durumu için yapacağız. Öncelikle kabul edelim ki
I  lim sup x   olsun. Bu durumda
olmasıdır.
İspat: Kabul edelim ki I  lim x  l olsun.x,
ΔI-sınırlı
olduğundan I  lim inf x ve
I  lim sup x sonludur. I  yakınsaklık tanımı
gereğince,
olacak
k   : x
şekilde bir b sayısı yoktur. O zaman b   için
ve dolayısıyla,
Bx   yani
k   : xk
 b I
k   : xk  b I dır. b<a için,
k   : xk  a  k   : xk
Ax   ve
dolayısıyla
I  lim inf x   elde edilir.
Şimdi kabul edelim ki I  lim sup x  
olsun. Bu durumda ispat açıktır.
Son olarak varsayalım ki I  lim sup x  
ve I  lim inf x   olsun. Tanımdan dolayı
∀ε>0 için,
k
 l    I


k   : xk  l    I
2

 b
olduğundan ifadenin sağ tarafı ideale ait değildir
a   için k   : xk  a I dır.
yani
Böylece
ve böylece
ve


k   : xk  l    I
2

dir.


k   : xk  l    k   : xk  l   
2

ve


k   : xk  l    k   : xk  l   
2

olduğundan,
14
Gök Gümüş ve Nuray / AKÜ Fen Bilimleri Dergisi 2010-01 11-15
k   : xk
 l    I
enceandEnginering, 7(2), 1-6.
Connor, J., 1988, "Thestatisticalandstrong p-Ce-
ve
k   : xk
elde
edilir.
  l 
 l    I
sároconvergence of sequences", Analysis 8,
I  lim sup tanımı
gereğince
 l;
I  lim inf tanımı gereğince   l   ve
dolayısıyla l   olduğundan    elde edilir.
(3) gereğince    olduğu bilindiğinden
   elde edilir.
Şimdi kabul edelim ki I  lim inf x =
ve
dolayısıyla
47-63.
Demirci,K.,2001,I-limit superiorand limit inferior,
Math. Commun. 6, 165-172.
Et, M., Çolak, R., 1995,On some generalized
difference sequence spaces, Soochow Journal
Of Mathematics,Volume 21, No.4, pp. 377386.
I  lim sup x olsun.Buna göre,
Fast, H., 1951, Sur la convergence statistique,
Coll. Math.2 , 241-244.


k   : xk  l    I
2

Fridy, J.A., 1985,On statistical convergence,
Analysis, 5, 301-313.
ve


k   : xk  l    I
2

dir. Buradan,


k   : xk  l    k   : xk  l   
2

ve


k   : xk  l    k   : xk  l   
2

bağıntıları düşünülürse ifadelerin sağ tarafları
ideale aittir.
k   : x
k
 l   = k   : xk  l    
k   : xk  l   
olduğundan I  lim xk  l elde edilir.
6. Sonuç
Bu çalışmada, daha önce reel sayı dizileri için
tanımlanmış olan I  limit supremum ve I  limit
infimum
kavramları,
Kızmaz
tarafından
tanımlanmış olan fark dizilerine uygulanmıştır.
Fridy, J. A., Orhan, C., 1997, Statistical limit
superior and limit inferior, Proceedings of the
American MathematicalSociety Volume 125,
Number 12, 3625-3631.
(Gök) Gümüş, H., Fark Dizilerinin I-Yakınsaklığı
ve Asimptotik I-Denkliği, Doktora Tezi, Fen
Bilimleri
Enstitüsü,
Afyon
Kocatepe
Üniversitesi, basımda.
Kızmaz, H., 1981,On certain sequence spaces,
Canad.Math. Bull. Vol. 24(2).
KostyrkoP.,Mačaj, M., Šalát,T.,2000, Statistical
convergenceand
I-convergence,
The
International Scientific Conference, 16th
Summer School on Real Functionstheory.
Kostyrko, P.,Šalát, T.,W.Wilezyński, 2000,IConvergence, Real Analysis Exchange, Vol.
26(2), 2000/2001, pp.669-680.
Šalát, T., 1980, "On statistically convergent sequences of real numbers", Math.Slov., 30, 139 150.
Kaynaklar
Başarır, M., 1995,"On the Δ-Statisticalconvergence ofsequences, Fırat Univ.,Journal of Sci 15