öSSMatematik-1/Fonksiyonlar Fonksiyonlar - - - Ty-$' r-7(çözijml eçi ) 5 f(x)= 23X-1 oldujuna göre, 1. Problemde verilen f fonksiyonunun kurall, x2O ol maktizere,f(x)=x+ , G-- 12 dir. f(2x + 1) f(X - 1) 23.42x+1)-1 23'(X-1)-1 = 26x+2-(3x-4) = 23x+6 = = - 12. 3 - 39 2 4 = - 18 + 117 = 99 dur. 26(23)x= 64 8X tir. Dojrucevap;;A''seçenejidir. Dog -ru cevap $dE''seçenejidir. y = f(x) in x = - 1 dekidejeri f(- 1) ol dujundan, f(x2+ 1)= 4x4 + 2x2- 1 ejitlijinde x2 yerine - 2 yazlllrsa, 6. f(x+ y)= f(x).f(y) ol dujuna göre, z:o f(- 1)= 11 Do:rucevap$$A''seçenejidir. -,f(2)-gf())q6 3 2f(x)- f(- x)= :2+ 3 eqitlijinden, Dojrucevap'dA''seçenejidir. x = - 2 için, 2f(- 2)- f(2)= 7 ...(2) elde edilen (1) eyitlijinin ikiyanl2 iIe çarplldlktan sonra elde edilen denklem (2)ekitlijiiIe taraftarafa toplanlrsa, 3.f(2)= 21 = f(2)= 7 Dojrucevap $dE''seçenejidir. 4 f(x2+ x+ 3)= 2x2+ 2x- 1 f(x2+ x+ 3)= 2(x2+ x)- 1 oldujundan, x2+ xyerine x- 3 yazlllrsa, f(x- 3+ 3)= 2.(x- 3)- 1 f(x)= 2x- 7 dir. Dojrucevap1;B''seçenejidir. 346 (0+ 1).f(0)=-1+f(1) =; / f(1)= 1+ f(O) ve y:=- 1 için (- 1+ 1).f(- 1)=2 +f(O) :::) . O.f(- 1)=2 +f(0) (slr. Dojrucevap$'A''seçenejidir. öSS Matematik-1/Fonksiyonlar (Buraday f(n)= f(O)+ n. 1 8. 1.yol: 3 f(x)= 3f(x + 1)- 1 = 3 1 = ftx)- f(x + 1)=- 3 oldujundan,x= 0 için keklinde f nin n dejiykenine balllkurallda bulunabilir.) Dojrucevap $;B''seçenejidir. x= 2 için x= 1 29 i çin f(29)- f(3O)= - 3 + 9. A)f(x)=x+ 2 ningörf lntùkumesi(G), G = (3,4,5,...)c N+ oldujundan örtendejil. f(0) f(30)= - 3 1 .30 - = 1- f(30)=- 1O f(30)= 11 dir. B)ftx)= X2 - 1 2 fonksiyonu bire birdejil. 1+ x örnejln, f(1)= f(- 1)= O 2.yol: f(x)= 3f(x + 1)- 1 = f(x + 1)= f(x)+ 1 3 3 ' C)f(x)= 3x - 5 fonksi yonunun görönttikùmesininelemanlarl,3 iIe bölùndtijùnde 1kalanlnlveren tamsayllardlr,bùttin tamsayllardejildir. O halde, f(x) örtendejil. . a D)f(x)= 1- x fonksiyonu için, vxsniçin (1-3x)en oldulundanftx) örtendir. ftxj)=ftxa) 1 :=/-/3X1=-/3Xg f(3)= f(2)+ 3 f(3)= f(O)+ 3 1 . 3 oldulundanf(x)bire birdir. 1 Bunagöre,f(x)= 1- x fonksi yonu R den 3 i çin , f(n)= f(0)+ n.3 R ye bire birve örten birfonksiyondur. E)f(x)=x fonksiyonunungörtinttikùmesi(G), g= l1,2,3,...)c Z ol dujundanörtendelildir. 1 oldujundan n =30 için, f(3O)= f(0)+ 30.3 dir. Dog -ru cevap CSD''seçeneg -idir. 347 öSS Matematik-1/Fonksiyonlar 10. olmak (izere, 2..yol: f(A)=(- 1,1,3J ve f(x+ 1)=: 2x+ 1 ol dujundan2x+ 1 if(A) kumesininelemanlarlnaeji tleyerek A kùmesinibulallm.Söyleki, içintanlmslzol dujundanfonksi yondejil. B)x= 1 için ye R oldujundan x= 1 dejeri btitf )n ye R dejerleriil eeyleniyor.Fonksiyon delil. C)1y1=2+1x1ifadesinde vxCER için x ini ki göruntf lsf ùvar.örnejin, x= O için y = + 2 dir. Fonksiyondejil. D)92= :4+ 1 i fadesinde Vx e R i çin x in i ki görf lntf lsilvar.örnejin, x = () için y = :i :1 dir. Fonksiyondejil. R den R ye fonksiyondur. Dojrucevap fdE''seçenejidir. x= 0 için f(O + 1)= 2.O + 1 = f(1)= 1 2x+1=3 ise x= 1 için f(1+ 1)=2.1+ 1 =:: / f(2)= 3 tör. Buna göre,A = (0,1,2) dir. Burada, 2x+ 1 in f(A) kumesinin elemanlarlna eyitlenmesiyle bulunan x dejerlerinin f(x + 1) de yerine yazllmaslnln yeterlioldujû görtiluyor.Yaniepitlijin saj taraflndakiijlem, f fonksi yonuna ait(x,y) ikililerinin herikibiIeyeninin (x ve y nin)birlikte görölmesiiçin yapllm l4tlr. '): ' 1yol : f(x + 1)= 2x+ 1 epi tlijiiIe f(x+ 1) i n kurallverildijindenönce,>:+ 1 yerine x yazarak,yani Dojrucevap'CC''seçenejidir- 1, 2. fonksiyonu sabi tfonksiyon i se, a+ 1 - a x + 1-->x = x -+ x- 1 x yerine x- 1 yazarak ftx) in kurallnlbulallm. f(x+1)=2x+1 = f(x- 1+1)=2(x- 1)+1 = f(x)= 2x- 1 olarakbulu- f(x)ingörùnttikûmesi(tanlm kumesiel emanlarl - na karplllkgelen dejerlerkumesi)verildijinden, görtinttikömesinin el em anlarlnl 2x - 1 e epi tle- = -1 2 =z 4 2a + 2 = a :: 4 a = - 2 dir. ftx)sabi tfonksiyonoldujundan, fta)= f(O)= - 1 olur. 2 yerekbu dejerlerin hangi x elemanln görtinttisiloldulunu bulallm.Bunagöre, f(A)=(-1,1,3Jve ftx)=2x-1 oldujundan, 2x - 1 = - 1 = y = O 2x - 1 = 1 = x = 1 2x - 1 = 3 = x = 2 olarak bulunur. = - 5 2 d. Ir. Dojrucevap (CA''seçenejidir. O hal de,f(x) fonksi yonunun tanlm kumesi (x dejerl eri nin ktimesi) A =(0,1,2 J dir. 242 öSS Matematik-1/Fonksi yonlar 13.f:R -+ R,f(x)= (a - 1)x2+ bx+ 2x+ c 16. a A6 fonksiyonubirim fonksiyon (I(x)=x) ise, f(x)= (a- 1)x2+ (b + 2)x+ c= x ve . .. a - 1 = 0, b + 2 = 1, c = 0 O 3 x. B F1 y = a = 1, b = - 1 dir. c O halde, xk3 için, A dojrusununbulundulu noktanln (H noktaslnln)apsisine x,(HC ) nIn uzunluIuna y diyelim. D ojru cevapI'B''seçenejidir. OAB - HCB (benzerlikkurallndan) IOA I= IHCI = / 6 = y lOB I IHB l 3 x-3 14. f(x-1,y+1)5 (1-x3,3:-1)...(1) f(X,y)= (1,1)...(2) = y = 2x - 6 olur. 1- x3= 1 ve 3F-1= 1 ekitliklerinden elde Buna göre,tanlmlanan fonksiyon, yanitarall alanlarln toplam l; edilen x= 0 ve y = 1 dejerleri(1)ekitli jinde yerine yazlllrsa, f(y)= IOAI.lOBI+ lHcl.IHBI f(0-1,1+1)=(1-O3,31-1) :=>f(-1,2)=(1,1)...(1') (1')ve (2) eçi tlikl erinden, 2 2 f.t. f(X,y)= f(- 1,2)= (1,1) elde edilir. Buna göre, x= - 1 ve y = 2 oldujundan, x - y = - 1- 2 = - 3 tur. Dojrucevap I'A''seçenejidir 15. (- 2,0) noktaslkekil dekig(x)dojrusu flzerinde oldujundan,(- 2,0) noktaslnln koordinatlarl, (x = - 2 ve y = 0) y = g(x)= ax+ 2 denkleminisajlar.O halde, y= gtx)= ax + 2 = 0 = g(- 2)= a.(- 2)+ 2 i o i i -2 -2 = a = 1 dir. Ayrlca, A ve B noktalarlnda f(x) ve g(x) fonksiyonlarlkesiptiklerinden f(x) ve g(x) in bunoktalardakidejerleribirbirineepittir. Buna göre, Dojrucevap ''A''seçeneg-idir. 17. A da tanlm llbirfonksiyonun tersinin de fonksiyon olmasliçin,bu fonksiyon bire birve örten olm alldlr.Dolaylslyla fonksiyonu meyda- na getiren ikililerin ikincibilekenleri(yanigörtlntf l kömesinin elemanlolan y dejerleri) birbirinden farkllolmalldlr.O hal de,(C) jlkklnda verilen fonksi yon bire birve örten oldu- jundan,terside birfonksiyon olur. A f(- 3)= g(- 3) ve f(2)= g(2) dir. g(x)= ax + 2= 1.x+ 2 ==/ g(x)= x+ 2 oldujundan, f(- 3)+ g(0)- f(2)= g(- 3)+ g(O)-g(2) = - 2 f(x)= x -6:+ 18 dir. 1 + 2 - 4 = - 3 ttir. Dojrucevap''B''seçenejidir. 349 f A a. @a bp *b c* pc d. *d ep le Dojrucevap'tC''seçenejidir. öSS Matematik-1/Fonksiyonl ar 18. f( x3x )= ax2 - x + 2 ve +1 2. 1 . f 1(O)= 6 to f(6)= O oIdujundan, 3X - x+1 i fadesini6yapan x dejerinibulallm. 3x = 6 = 3x = 6x + 6 x +1 = x = - 2 dir. 2.yol: Budejerfonksiyondayerine yazlllrsa, x.y= 1+ x : zr :> y = ftx)= f(6)= 0 = 4a + 4 = a =- 1 dir. Dojrucevap ddB''seçeneiidir. oldujundan x+ 1 x yerine yazlllrsa, f !(3)= 1 olur - . 19. f( x 2 )= x - 1 <z f- 1( x - g)= 1 +xx2 1+x 2 3.yol: x.y = 1 + x c::/ Xy - x = 1 ekitlijinde x yerine, (x- 1) intersiolan x + 1 ifadesiyazlllrsa, - 1 iz4 x = f (y)= f 1(x)= - - 1 X+1 1 + (x + 1)2 R 1 y- 1 ve y = 3 için f 1(3)= 1 dir. - 2 x+1 = f (x)= x2 +rx+2 Dojrucevap'SD''seçenejidir. ol arak bulunur. Dojrucevap$$C''seçenejidir. 7p. f:(1,x )-+ (3,cxo) f(x)= 4x2- 8x+7 20.y=f(x) için x= f-1(y) f(x) in tersioldujundan, f(x) ibulmadan verilen eçitlikten x in f(x) törtinden dejeribulunursa f- 1(y)bulun- oldujundan, x= f-1(4)(E (1,oo) dejerinibuIallm . muy olur.Buna göre, xftx)+ 1= 3x- f(x) = 1+ f(x)= 3X- xftx) r =/ 1+f(x)=x(3-f(x)) tùr. =/X = f(x)+ 1 = f-1(y) 3 - flx) - 1 (x2= 1 e (1,x )oldujunadikkatedini z. ) 2 x+ 1 = y =f (x)= 3 - x Dojrucevap 1;D''seçenejidir. Dojrucevap'CA''seçenejidir. 352 öSS Matematik-1/Fonksiyonlar 23. 1.yol: 25- y f(x)dolrusalfonksiyon oldujundan a ve b reelsayllarolmak özere, (a ' e0) f(x) in denk, l l : Iem i, - f(x)= ax + b dir.O halde,verilen eyitliklerden, f-142)=4 x t =).f(4)=2=4a+b...(1) f-1(5)= 2 tz l f(2)=5=2a+b...(2) - 2 : : l 1 2$ x -2 '-----3 . f(x)=y denkleminisajlayan (f(x)ejrisiözerindeki)noktalariçin,x :apsisyy=ordinatve ve f(O)= b oldujundan,(2)eçi tlijinin ikiyanl 2 iIe çarplldlktan sonra elde edilen epitlik (1) eqi tli jiyletaraftarafa toplanlrsa - - f( x) f(x)= y t:y f-1(y)= x ol dulundan, 8=-b f-1 (x)= y denkleminisajlayan (f(:)ejrisi (izerindeki)noktalariçin,x :ordinat,y :apsistir. Bunagöre,y =f(x) in grafijinden f(1)= O (apsisi1olan noktanlnordinatl0) b = f(O)= 8 dir. 2.yol: Dolrusalbirifadede, x indejikme miktarliIe ynindejiymemiktarfdojruorantllldlr. Ayrlca, y= f(x) t:l'f-1(y)= x oldujundan, f(f(1))= f(0)=- 2 (apsisiO ol annoktanlnordinatl- 2) f-1(0)= 1 (ordinatlO Olannoktanln apsisi1) f-1(-3)=-2 (ordinatl-3olannoktanlnapsisi-2) O halde, k 5 + 3 = 8 = y ve f(f(1)) - f '(0)+ f-'(- a) = -2 1 + (- 2) f-1(8)= O t: 1f(O)= 8 dir. Dojrucevap'fA''seçenejidir. Dojrucevap$'E''seçenejidir. 24. flx)=2:2+3x ve 26. f(x)= (go f)(:)=4x2+ 6x+ 1 fonksiyonuna göre, =,j g(2x2+ 3x)=2(2x2+ 3y)+ 1 x<O için f(x)=x2 oldujundan, (fof)(x)=f(f(x)), x<O =c : g(x)= 2x+ 1 dir. = Dojrucevap fID''seçenejidir. f(x2) ve x< o için :2> 0 oldulundan, f(x2)= y?+ 1 dir.Buna göre, (fo f)(x)= x2+ 1 olur. Do:rucevapC$D''seçeneg -idir. b5i öSS Matematik-1/Fonksiyonlar 27. f(x)= 3x - 2 ve g(x)= 2x + 1 veriliyor. 2g. ftx)-= .2 -X + 1 We (fo f)(x)= SX + a x- 1 x- 1 (fo g-1)(2a- 1)= - 8 z; c; h(fo g-1)-:(- a).2a - 1 x+a+ 1 için = ((g-1)-1of-1)(- 8)=2a- 1 = f(- 1)= 3x- 2 = - 8= x= - 2 oldujundan, f-1(- 8)= - 2 ise, => a a +1 2.( '- 1) '+ 1 g(f-1(-8))=2a- 1 - 1- 1 a = a+ 1 = g(- 2)= 2a- 1 : =: ) 2.(- 2)+ 1 = 2a 1 - - dir. 2- 1 > -3 =2a-1 - Dojru cevap 'CC''seçenejidir. 3 dir. Dojrucevap''D''seçenejidir. 30. 1.yol: f(x + 1)= 2x + 1 epitl ijinde x yerine x+ 1in x- 2 tersiolan x- 1 yazlllrsa f(x) el de edilir.Buna göre, f(x)= 2(x - 1)+ 1 : =: ) f(x)= 2x- 1 x - 1- 2 x-3 3x - 1 <:+ f (x)= x - 2 - 12 3 4 5 28. g= 12 3 4 5 ve fog= 2 15 3 4 1 f-1(x)= y fonksiyonu x in f(x) töröndendejerioldujundan, ; ( 8 4 2:::3f(x)- 1 : f(z)- 2 dejerif(x+ 1) fonksiyonundayerineyazlllrsa, 13 5 4 2 1.yol: ...... - (g-1ofog)-1(x)=5 ' t4 (g 1ofog)(5)=x z: ,c l g-1o (fog)(5)=x = g-1(2)=x f(x + 1)= 2x + 1 x- 2 : z i4 1 = x olur. 2 3f(x)- 1 + 1 = f(x)- 2 3f(x)- 1 2 f(x)- 2 . - = 6f(x)- 2 + f(x)- 2 3f(x)- 1- 2f(x)+ 4 = 7f(x)- 4 ftx)+ 3 dir. Dojru cevapHA''seçenejidir. 352 öSS Matematik-1/Fonksiyonlar 2.yol: 32. g(x)=ax+2 oldujundan, f(x+ 1)in f(x)tflrtindendejerl, f(x+ 1)= F(f(x)) olsun. (fog)(x)=f(g(X))= (fog)(x)=ftax+2)ve (4,3) noktasl(fOg)(X) ingrafiliûzerindeoI- Tanlmslzllk ortaya çlkarmayacak herhangibir x dejeriyazlllrsa,örnejin x= 4 yazlllrsa dujundan y = (fo g)(x) in denkleminisajlar. Buna göre, . f(5)=F(f(4)) çin, (fo g)(4)= f(4a + 2)= 3 X= 4 ve y=a i ve f(6)= 3 oldujundan, 4a + 2 = 6 z::/ a = 1 olur. Dojrucevap$dA''seçenejidir. 9 ylkl arda f(x) yerine 7 yazll dljlnda 2 yeepit olanC dir. Dojrucevap .$C''seçenejidir. 31. - 1 1+x g ( 2 j 4- x )= ( 3 4- x ' ) k 33. gtf-1(-3))=1 veriliyor. g(x)= f(x)+ a eçitli4inde x yerine f-1(- 3) 1+x 4=,glf( 3 ))= 2 yazlllrsa, x=1 için,g(f(1))= 1 1 =- 3 + a = a = 4 (g O f)(1)= 1 dir. h( 3x - 1 )= g -1( 1 +x ) 2 O halde, 2 g(x)= f(x)+ a =; / g(x)= ftx)+ 4 eyitlijinde x yerine f-1(:) yazlllrsa, b 1(g-1( 1+x ))= 3x-1 - 2 2 glf-1(1))=f(f-1(1))+4 x=5 için,h-1(g-1(a))=7 = (h-1o g-1)(3)= 7 dir. 1+ 4 Buna göre, (gOf)(1)+ (h-1og-1)(3)= 1+7=8 dir. Dojrucevap 1;E''seçenejidir. Dojrucevap ';D''seçenejidir. 3dà