belırlı ıntegralın yaklasık hesaplanması

Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1
Mahmut KOÇAK
c 2008 mkocak@ogu.edu.tr
Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008
http://www2.ogu.edu.tr/~mkocak/
Sunum Tarihi: Nisan 17, 2008
2/14
Dikdörtgen Kuralı
b
f : [a ,b ] → integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
f (x ) dx integrali Riemann toplamlarının bir limiti olduğundan
a
b
f (x ) dx
a
b −a
olmak üzere i = 0, 1, 2, · · · , n
n
için x i = a + i Δx noktalarından n tane eşit uzunlukta alt aralığa bölelim. Bu durumda i = 1, 2, · · · , n için t i ∈ [x i −1 , x i ] olmak üzere
integralinin yaklaşık değeri olarak herhangi bir Riemann toplamı alınabilir. [a ,b ] aralığını Δx =
b
f (x ) dx ∼
=
a
n
i =1
f (t i )Δx i =
n
f (t i )Δx = Δx
i =1
n
f (t i )
i =1
olur.
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1
Sol uç nokta yaklaşımı
(1) de her i = 1, 2, · · · , n için t i = x i −1 olarak seçilirse
b
f (x ) dx ∼
= Δx
a
olur. L n = Δx
(1)
n
i =1
n
f (x i −1 )
i =1
b
?
f (x ) dx ∼
ye bakınız.
= L n olur. Buna yönteme sol uç nokta yaklaşımı denir. Şekil .P
f (x i −1 ) denilirse
a
Dikdörtgen Kuralı
3/14
(1) de her i = 1, 2, · · · , n için t i = x i olarak seçilirse
b
f (x ) dx ∼
= Δx
n
b
?
f (x ) dx ∼
ye bakınız.
= R n olur. Buna yönteme sağ uç nokta yaklaşımı denir. Şekil .P
f (x i ) denilirse
i =1
a
Orta nokta yaklaşımı
1
2
(1) de her i = 1, 2, · · · , n için t i , [x i −1 , x i ] aralığının orta noktası yani t i = (x i −1 + x i ) olarak seçilirse
b
f (x ) dx ∼
= Δx
a
olur. M n = Δx
f (x i )
i =1
a
olur. R n = Δx
n
n
i =1
n
f (t i )
i =1
b
?
f (x ) dx ∼
ye bakınız.
= M n olur. Buna yönteme orta nokta yaklaşımı denir. Şekil .P
f (t i ) denilirse
a
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1
4/14
Yamuk Kuralı
Yamuk kuralı integrale dikdörtgenler yerine yamuklarla yaklaşma metodudur. f : [a ,b ] → integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
b −a
olmak üzere i = 0, 1, 2, · · · , n için x i = a + i Δx noktalarından n tane eşit uzunlukta alt aralığa bölelim.
n
Bu durumda f nin [x i −1 , x i ] aralığı üzerindeki integrali yaklaşık olarak
[a ,b ] aralığını Δx =
Δx
dir. Yani
x i
f (x i −1 ) + f (x i )
2
f (x i −1 ) + f (x i )
f (x ) dx ∼
= Δx
2
x i −1
dir. Dolayısıyla
b
f (x ) dx
∼
=
i =1
a
=
olur.
n
x i
f (x ) dx ∼
=
x i −1
n
i =1
Δx
n
f (x i −1 ) + f (x i ) Δx f (x i −1 ) + f (x i )
=
2
2 i =1
Δx
[ f (x 0 ) + 2f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + · · · + 2f (x n−1 ) + f (x n )]
2
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1
Yamuk Kuralı
5/14
Tn =
denilirse Tn =
L n + Rn
ve
2
Δx
[ f (x 0 ) + 2f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + · · · + 2f (x n−1 ) + f (x n )]
2
b
L n + Rn
f (x ) dx ∼
= Tn =
2
a
olur. Şekil
?
.P
ye bakınız. Buna yönteme yamuk kuralı denir.
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1
6/14
Simpson Kuralı
Lineer (doğrusal) olmayan herhangi üç noktadan bir parabol geçer. Simpson kuralı integrale parabollerle yaklaşma metodudur.
b −a
olmak üzere [a ,b ] aralığını i = 0, 1, 2, · · · , n
n
için x i = a + i Δx noktalarından n tane eşit uzunlukta alt aralığa bölelim. [x i −1 , x i ] ve [x i , x i +1 ] alt aralıklarını göz önüne alalım.
[x i −1 , x i +1 ] aralığında f fonksiyonuna parabolla yaklaşalım. Pi −1 (x i −1 , f (x i −1 )), Pi (x i , f (x i )) ve Pi +1 (x i +1 , f (x i +1 )) noktalarından geçen
f : [a ,b ] → integrallenebilen bir fonksiyon olsun. n bir çift doğal sayı ve Δx =
parabolün denklemi
y = Ax 2 + Bx + C
formundadır. Böylece
xi +1
x
i +1
f (x ) dx ∼
=
x i −1
x i −1
Ax 2 + Bx + C dx
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1
Simpson Kuralı
7/14
dir. Diğer yandan
x
i +1
Ax 2 + Bx + C dx
=
A
x
x +Δx
3
x2
x2
x3
x
i +1
i
+B
+Cx +B
+Cx = A
3
2
3
2
x i −1
x i −Δx
x i −1
B
A
(x i + Δx )3 − (x i − Δx )3 +
(x i + Δx )2 − (x i − Δx )2 + 2(Δx )C
3
2
A
2
2
2Δx (Δx ) + 3x i + 2B (Δx )x i + 2(Δx )C
=
3
6B
6
Δx
2A (Δx )2 + 3x i2 +
(Δx )x i + (Δx )C
=
3
3
3
Δx
2
2
(2A (Δx ) + 3x i + 6Bx i + 6C )
=
3
Δx
(2A(Δx )2 + 6Ax i2 + 6Bx i + 6C )
=
3
olur. y = Ax 2 + Bx + C parabolü Pi (x i −1 , f (x i −1 )), Pi (x i , f (x i )) ve Pi +1 (x i +1 , f (x i +1 )) noktalarından geçtiğinden x i −1 = x i − Δx ve
x i +1 = x i + Δx olduğuda göz önüne alınırsa
=
f (x i −1 ) = f (x i − Δx ) = A(x i − Δx )2 + B (x i − Δx ) + C = A(Δx )2 − 2A(Δx )x i − B (Δx ) + Ax i2 + Bx i + C ,
f (x i ) = Ax i2 + Bx i + C , 4f (x i ) = 4Ax i2 + 4Bx i + 4C
ve
f (x i +1 ) = f (x i + Δx ) = A (x i + Δx )2 + B (x i + Δx ) + C = A(Δx )2 + 2A(Δx )x i + B (Δx ) + Ax i2 + Bx i + C
olur. Bu durumda
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1
Simpson Kuralı
8/14
f (x i −1 ) + 4f (x i ) + f (x i +1 ) = 2A(Δx )2 + 6Ax i2 + 6Bx i + 6C
olur. Böylece
x
i +1
Δx Δx Ax 2 + Bx + C dx =
2A(Δx )2 + 6Ax i2 + 6Bx i + 6C =
f (x i −1 ) + 4f (x i ) + f (x i +1 )
3
3
x i −1
olur. Bu durumda
xi +1
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Δx
( f (x i −1 ) + 4f (x i ) + f (x i +1))
f (x ) dx ∼
=
3
x i −1
Örnek 1
olur. Böylece
b
x 2
f (x ) dx =
a
x 4
f (x ) dx +
x0
x
n −2
f (x ) dx + · · · +
x2
xn
f (x ) dx +
x n −4
f (x ) dx
x n −2
Simpson Kuralı
9/14
olduğundan
b
f (x ) dx
∼
=
a
∼
=
olur.
Sn =
Δx ( f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + f (x 2 )) + ( f (x 2 ) + 4f (x 3 ) + f (x 4 )) + ( f (x 4 ) + 4f (x 5 ) + f (x 6 ))
3
+ · · · + ( f (x n−4 ) + 4f (x n−3 ) + f (x n−2 )) + ( f (x n−2 ) + 4f (x n−1 ) + f (x n ))
Δx f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + 4f (x 3 ) + 2f (x 4 ) + · · · + 2f (x n−2 ) + 4f (x n−1 ) + f (x n )
3
Δx f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + 4f (x 3 ) + 2f (x 4 ) + · · · + 2f (x n−2 ) + 4f (x n−1 ) + f (x n )
3
b
Örnek 1
?
?
f (x ) d ∼
ve Şekil .P
ye bakınız. Bu yönteme Simpson kuralı denir.
= S n olur. Şekil .P
denilirse
a
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
10/14
Hata Hesabı
2 Orta Nokta yönteminde Yapılan Hata: f fonksiyonu [a ,b ] aralığında integrallenebilen ve 1. mertebeden sürekli türevi ve 2.
mertebeden türevi olan bir fonksiyon olsun. Bu durumda f sınırlı ise orta nokta yönteminde yapılan hata için bir alt ve üst sınır
belirlenebilir. [a ,b ] aralığında f fonksiyonunun ikinci türevinin maksimumu M olsun. Orta nokta yönteminde yapılan hatayı
E O ile gösterelim. Bu durumda |E O | ≤
(b − a )3 M
olur.
24n 2
2 Yamuk Kuralında Yapılan Hata: f fonksiyonunun ikinci türevi var ve sınırlı ise yamuk kuralı ile yapılan hesap hataları için bir
b
f (x ) dx integrali hesaplarken yapılan hata
alt ve üst sınır aşağıdaki şekilde belirlenebilir. Yamuk kuralını kullanarak
a
(b − a )3
(b − a )3
m ≤ ET ≤
M
2
12n
12n 2
olur. Yamuk kuralında yapılan hata
b
ET =
f (x ) dx − Tn
a
ile bulunur.
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1
Hata Hesabı
11/14
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1
12/14
Örnek 1
2
x 2 dx integralinin yaklaşık değerini n = 5 için
1
2 Orta nokta kurallarını kullanarak bulalım.
2 Yamuk kurallarını kullanarak bulalım.
2 Integralin gerçek değeri
2
x2 dx =
x 3 2 1 3
7
= (2 − 13 ) =
3 1 3
3
1
dür.
a = 1, b = 2 ve Δx =
dir.
2−1 1
= = 0.2 dir. Bu durumda
5
5
x 0 = 1, x 1 = 1.2, x 2 = 1.4, x 3 = 1.6, x 4 = 1.8, x 5 = 2
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1
Örnek 1
13/14
i
x i −1
xi
ti
f (t i ) = t i2
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1
Örnek 1
14/14
i
x i = 1 + i Δx
f (x i ) = x i2
mi
m i f (x i )
Dikdörtgen . . .
Yamuk Kuralı
Simpson Kuralı
Hata Hesabı
Örnek 1