trıgonometrı_acı_trıgonometrık fonksıyonlar ve dık ucgende dar acı

TRİGONOMETRİ
Trigonometri, astronomi çalışmaları sırasında doğan ve gelişen bir matematik
dalıdır. Trigonometri ile ilgili en eski bilgiler, milattan önce 170 – 125 yıllarında
yaşayan Hipparchus’a aittir. Hipparchus, astronomideki bazı hesaplamaları yapmak
için çember kirişlerinin uzunlukları ve küresel üçgenler üzerinde çalışmıştır.
Milattan sonra I. yüzyılda Menelaus ile VI. yüzyılda yaşayan Hintli bilgin
Aryabhata da kirişler üzerinde çalışmıştır. Fakat modern anlamda düzlemsel ve küresel trigonometriyi
geliştiren ve trigonometrik fonksiyonları ilk defa kesin şekilde formüle edenler Türk ve Arap bilim adamları
olmuştur.
Will Durant, Prof. Dr. Hitti, Corra da Voux ve Dr. Sigrid Hunke gibi birçok bilim adamı ve tarihçi,
düzlemsel ve küresel trigonometrinin sekizinci yüzyıldan kurulup geliştiğini kesin bir şekilde
belirtmektedirler. Dr. Sigrid Hunke şöyle der: “Türk ve Arap bilim adamları, gerçek manasıyla, Yunanlılarda
bulunmayan düz ve küresel trigonometrinin kurucularıdır. Onların bu sahada son derece verimli gelişmelerine
Menelaus’ un “transversal teorisi” sebep oldu. Bu teorinin yerine sinüs ve tanjant kaidelerini yerleştirdiler.
Böylece astronomi ve gemicilikte şimdiye kadar işlenmemiş bir sahayı ekime elverişli bir hale getirdiler.”
Trigonometrinin kuruluşunda ve gelişiminde emeği geçen bilim adamlarından en önemlileri Sabit Bin
Kura (821 – 901), Battani (858 – 929), Buzcanlı (940 – 998) ve Giyaseddin
Cemşit’tir. (? – 1492)
Johann Müler (1436 – 1476) doğu dünyasınca bilinen trigonometri
bilgilerini derleyerek bir kitap yazmıştır. Bu kitabın 1533’te basılmasından
sonra trigonometri batıda da yaygınlaşmış ve bugünkü halini almıştır.
18. yüzyıldan sonra Johann Bernolli, Cotes, De Moivre ve Euler gibi matematikçiler kompleks değerli
trigonometrik fonksiyonları geliştirdiler. Hiperbolik fonksiyonlar ise Lambert tarafından bulundu.
1
İnsanoğlu, astronomi çalışmalarına başlamasıyla, hesaplamalarında üçgenler ile ilgili işlemler yapmaya
daha çok ihtiyaç hissetmiş ve bu işlemlerinde geometrideki çizim yollarından daha tutarlı ve kesin sonuçlar elde
edilebileceği metotlar araştırmıştır. Trigonometri de bu araştırmaların sonucu olarak doğmuştur. Trigonometri,
ilk zamanlarda astronominin bir bölümü sayılırken 18. yüzyılda matematiğin ayrı bir dalı olarak kabul
edilmiştir.
* Trigonometri sözcüğü Yunanca trigos (üçgen) metron (ölçüm) sözcüklerinin birleşiminden elde edilmiştir.
Trigonometri, üçgenlerin kenarları ile açıları arasındaki matematiksel ilişkileri araştırmaya yarar ve
ulaşılan bu sonuçlar ile çok kenarlı şekillerin kenar, köşegen ve açılarının hesaplanmasını sağlar. Bu
hesaplamalarda trigonometrik fonksiyonlar olarak adlandırılan fonksiyonlardan yararlanılır.
* İtalya’da bulunan Piza kulesi eğikliği ile ünlüdür. 1911 yılında 5o14 ' 46 '' olarak ölçülen Piza kulesinin eğim açısı
2000 yılında 5o 32 '51'' ye yükseltilmiştir.
* Trigonometrik fonksiyonların ilk uygulamaları astronomi, haritacılık, rota tayini, kan basıncı ölçümü, mekanik ve
elektronik mühendisliği bu sahalardan yalnızca birkaçıdır. Piyano tuşundan çıkan sesten, telefon konuşmalarımıza, televizyon
görüntü dalgalarından, uzay çalışmalarına uzanan birçok saha trigonometrinin uygulama alanına girmektedir.
Bu bölümde geometri derslerinde gördüğünüz açı, açı ölçüsü, yay ve çember gibi kavramlar üzerinde
kısaca duracak ve bazı özelliklerini hatırlayacağız. Trigonometri konusunun tamamında kullanacağınız bu
kavramları dikkatlice çalışıp öğrenmenizi tavsiye ederiz.
Açı
Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir.
[OA ve [OB
ışınlarının birleşiminden oluşan açı; AOB açısı veya BOA açısı şeklinde ifade edilir.
AOB açısı; [OA ∪ [OB , AOB , BOA veya O ifadelerinden birisi ile gösterilir. O başlangıç noktasına
açının köşesi, [OA ve [OB ışınlarına da açının kenarları denir.
A
Açının [OA kenarı
O
Açının [OB kenarı
Açının Köşesi
2
B
AÇI OLÇÜ BİRİMLERİ
Derece:
• Bir çemberin tüm yayının ölçüsü 360o dir.
1
• Bir çemberin
ını gören merkez açının ölçüsü 1 derece ( 1o ) dir.
360
1
1
• ( 1o ) nin
ine 1 dakika ( 1' ) , ( 1' ) nın
ine 1 saniye ( 1'' ) denir.
60
60
• Buna göre ( 1o ) = ( 60 ' ) = ( 3600 '' ) dir.
Radyan:
• Bir çemberin tüm yayının ölçüsü 2π radyandır.
• Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsü 1 radyandır.
Grad:
•
•
Bir çemberin tüm yayının ölçüsü 400 graddır.
1
Bir çemberin
’ini gören merkez açının 1 graddır.
400
D
R
G
= =
180 π 200
∆
2π
Soru: Bir ABC üçgeninde m Aˆ =
radyan, m Bˆ − m Cˆ = 20o ise m Cˆ = ?
5
( )
( ) ( )
( )
Soru: 25 o 46 ' 35 '' + 10 o 20 ' 50 '' toplamını bulunuz.
Soru: 53 o 15 ' 36 '' - 14 o 20 ' 40 '' farkını bulunuz.
Soru: 18604 '' lik açı kaç derece, kaç dakika ve kaç saniyedir?
Soru:
π
18
radyanlık açının derece ve grad türünden eşitini bulunuz.
Uyarı: Güzel açıların radyan türünden değerlerini yazınız.
Soru: Trigonometride gördüğümüz dakika ve saniye kavramı ile saat üzerindeki dakika ve
saniye arasında bir ilişki var mıdır? Araştırınız.
3
BİRİM ÇEMBER
y
SİNÜS EKSENİ
B(0,1)
II. Bölge
I. Bölge
A'(-1,0)
A(1,0)
KOSİNÜS EKSENİ
x
O(0,0)
III. Bölge
IV. Bölge
x2 + y 2 = 1
Ç = 2π
B'(0,-1)
YÖNLÜ AÇILAR
Birim Çemberde saatin dönme yönü negatif
olarak alınır.
( −)
yön, saatin dönme yönünün tersi pozitif
(+)
yön
Sarmal Fonksiyonu:
Reel sayılardan, birim çemberin birim çemberin noktalarına bir fonksiyon tanımlayalım. Bu fonksiyon
her aralıktaki reel sayılarla birim çemberin noktalarını eşlesin. Bu şekilde tanımlanan fonksiyona Sarmal
Fonksiyon denir.
y
S : ℝ → Ç olup, örtendir, fakat bire-bir değildir.
π
2
π
4
B
A'
0
B'
4
A
0
x
−
π
4
−
π
2
a) K noktasına karşılık gelen θ + 360o , θ + 2.360o , θ + 3.360o , ... , θ + k .360o ,… ( k ∈ ℤ ) reel sayılarına AK
ˆ açısının derece cinsinden ölçüsü denir.
yayının veya AOK
y
...,90o + 360o ,90o
b) K noktasına 0o ,360o ) aralığından karşılık gelen
ˆ açısının
θ ∈ ℝ ya AK yayının veya AOK
derece cinsinden Esas Ölçüsü denir.
ˆ = θ dır. ( 0o ≤ θ ≤ 360o )
m AK = m AOK
(
)
...,180o + 360o ,180o
o
o
o
o
B θ ,θ + 360 , θ + 2.360 ..., θ + 360
K
θ
A'
0
x
A
o
o
0 ,360 , 2.360o...
B' ..., 270o + 360o , 270o
Uyarı: Esas Ölçü kavramını benzer şekilde Radyan ve grad türünden de yapmak mümkündür.
Soru: Ölçüsü 1966o olan açının esas ölçüsü kaç derecedir? Bulunuz.
Uyarı: Açı derece türünden ve pozitif yönlü ise, açının 360o ’ ye bölümündeki kalan esas ölçüdür.
Soru: Ölçüsü −3435o olan açının esas ölçüsü kaç derecedir? Bulunuz.
Uyarı:
•
•
Negatif sayılarda bölme işlemini tanımına uygun yaptığımızda kalan esas ölçüdür.
Açıyı pozitif yönlü gibi düşünüp 360’ a böleriz. Kalanı ( - ) alırız. 360 ile toplamı esas ölçüyü verir.
20π
olan açının esas ölçüsünü bulunuz.
3
20π 18π + 2π 2π
2π
2π
=
=
+ 6π =
+ (3) . 2π ise esas ölçü
tür.
3
3
3
3
3
Soru: Ölçüsü
Çözüm:
25π
olan açının esas ölçüsünü bulunuz.
3
25π −30π + 5π 5π
5π
5π
=
=
+ (−10)π =
+ (−5) . 2π ise esas ölçü
tür.
3
3
3
3
3
Soru: Ölçüsü −
Çözüm:
Soru: Ölçüsü
149π
olan açının esas ölçüsünü bulunuz.
5
Soru: Ölçüsü −
3435π
olan açının esas ölçüsünü bulunuz.
6
Soru: Ekvator üzerinden bir K noktasından hareket eden bir uçak yine Ekvator üzerinde
bulunan bir L noktasına giderken 65 grad lık bir açı süpürmektedir. Buna göre K ve L
noktaları arasındaki uzaklık kaç km dir? (Ekvator uzunluğunu 40000 km alınız.)
5
Soru: Dünyanın yarıçapı yaklaşık olarak 6327 km olduğuna göre,
a. 1o ’lik merkez açıya karşılık gelen ekvator çizgisinin uzunluğunu bulunuz.
b. Samsun 41o 25' kuzey enlemindedir. Samsun’un ekvator çizgisine olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm:
a.
D
R
= → R ≃ 0, 0174 R bulunur.
180 π
Buna göre yay uzunluğu;
l = r.θ → l ≅ 6367.0, 0174 → l ≅ 110, 786 km bulunur.
Demek ki, dünyanın merkezinden 1o ’lik açıyla görülen ekvator çizgisinin
uzunluğu yaklaşık olarak 111 km dir.
1o ’nin radyan türünden eşiti:
b.
o
 25 
Şekildeki AB yayının uzunluğu l olsun. 41 25' = 41 +   ≅ 41o + 0, 42o ≅ 41, 42o dir.
 60 
D
R
41, 42o ’nin radyan olarak değeri
= → R ≅ 0, 72 R olur.
180 π
Bu durumda AB yayının uzunluğu;
o
o
l = r.θ ≅ 6367.0, 72 R ≅ 4584 km dir.
Demek ki, Samsun’un ekvatora olan uzaklığı yaklaşık olarak 4584 km dir.
Soru: Günün belli bir vaktinde, güneş ışınları İstanbul’a düşey eksenle
5, 4o lik açı yapacak şekilde gelmektedir. Tam bu vakitte, İstanbul’un 600 km
güneyindeki Antalya’ya ışınların yeryüzü ile dik açı yapacak şekilde geldiği
bilindiğine göre;
a. Yerkürenin yarıçapını bulunuz. ( ≅ 6367 )
b. Yerkürenin çevresini bulunuz. ( ≅ 40003 )
Uyarı: Yay uzunluğu formülünün l =
θ
360o
.2π .r → l = θ .r olduğunu görünüz.
6
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
1. Kosinüs Fonksiyonu
Bir α reel sayısına birim çember üzerinde karşılık gelen nokta P olsun. P noktasının apsisine, ya da P
noktasından x − eksenine inilen dikme ayağındaki değere α reel sayısının kosinüsü denir. O halde kosinüs
fonksiyonu reel sayılardan birim çemberin noktalarının apsislerine tanımlanmış fonksiyondur. Yani Cosα = x0
dır. Aynı şekilde verilen P1 , P2 ve P3 noktalarının apsislerini bulunuz ve sonucu yorumlayınız.
y
B ( 0,1)
P1 ( x1 , y1 )
180 − α
P ( x0 , y0 )
o
1
α
A ' ( −1, 0 )
−Cosα 0
1
A (1, 0 )
α
x
Cosα
P2
B ' ( 0, −1)
P3
Tabloda verilen açıların Kosinüs değerlerini bulunuz.
Kosinüs Fonksiyonunun Değerleri
Cosα
Açı ( α )
o
1
0
o
30
45o
60o
0
90o
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
−1
0
1
7
∀α ∈ ℝ için −1 ≤ Cosα ≤ 1 olduğuna dikkat ediniz.
f ( x ) = Cosx →
a) f : ℝ → [ −1,1] dir.
b) ℝ → ℝ ’ye birebir de değil örten de değildir.
c) ℝ → [ −1,1] tanımlandığında ise örtendir, fakat 1 − 1 değildir.
d) 0 < α <
π
2
π
2
⇒ Cosα > 0
< α < π ⇒ Cosα < 0
π <α <
3π
⇒ Cosα < 0
2
3π
< α < 2π ⇒ Cosα > 0 dır.
2
e) Cos (α + k .2π ) = Cosα dır. (α ∈ ℝ ∧ k ∈ ℤ )
Bu nedenle kosinüs fonksiyonu periyodiktir ve periyodu 2π dir.
Soru: A = 3.Cosx − 1 ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz.
8
2. Sinüs Fonksiyonu
Bir α Reel sayısına Birim çember üzerinde karşılık gelen P noktasının ordinatına, ya da P noktasından
y − eksenine inilen dikme ayağındaki değere α reel sayısının sinüsü denir. O halde Sinüs fonksiyonu, reel
sayılardan birim çemberin noktalarının ordinatlarına tanımlanmış fonksiyondur. Yani Sinα = y0 dır. Aynı
şekilde verilen P1 , P2 ve P3 noktalarının apsislerini bulunuz ve sonucu yorumlayınız.
y
B ( 0,1)
P1 ( x1 , y1 )
1
A ' ( −1, 0 )
180o − α
1
α
α
P ( x0 , y0 )
Sinα
A (1, 0 )
x
−α
0
− Sinα
P2
B ' ( 0, −1)
P3
Tabloda verilen açıların Sinüs değerlerini bulunuz.
Sinüs Fonksiyonunun Değerleri
Sinα
Açı ( α )
o
0
0
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
1
0
−1
0
9
∀α ∈ ℝ için −1 ≤ Sinα ≤ 1 dir.
f ( x ) = Sinx →
a) f : ℝ → [ −1,1] dir.
b) ℝ → ℝ ’ye birebir de değil örten de değildir.
c) ℝ → [ −1,1] tanımlandığında ise örtendir, fakat 1 − 1 değildir.
d) 0 < α <
π
2
π
2
⇒ Sinα > 0
< α < π ⇒ Sinα > 0
π <α <
3π
⇒ Sinα < 0
2
3π
< α < 2π ⇒ Sinα < 0
2
dır.
e) Sin (α + k .2π ) = Sinα dır.
(α ∈ ℝ ∧ k ∈ ℤ )
Bu nedenle sinüs fonksiyonu periyodiktir ve periyodu 2π dir.
Uyarı: ∀α ∈ ℝ sayısına birim çemberde karşılık gelen nokta P ( Cosα , Sinα ) biçimindedir. P noktası
çemberin üzerinde bir nokta olduğuna göre çember denklemini sağlamalıdır.
P ∈ { x 2 + y 2 = 1} ⇒ ( cos α ) + ( sin α ) = 1 ise
2
2
sin 2 α + cos 2 α = 1 bulunur.
y
Sinüs Ekseni
B
P ( Cosα , Sinα )
α
A'
A
0
x
Kosinüs Ekseni
x2 + y 2 = 1
B'
Soru: A = 2 − 3.Sinx ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz.
10
3. Tanjant Fonksiyonu
Birim çembere A noktasından çizilen teğete ( x = 1 doğrusuna ) tanjant ekseni denir. α reel sayısına
birim çember üzerinde karşılık gelen P noktasında y0 ordinatının x0 apsisine oranına, ya da P noktasını
orijine birleştiren OP doğrusunun tanjant eksenini kestiği K noktasının ordinatına α reel sayısının
y
Sin α
tanjantı denir. Burada Tan α = 0 =
dır. Bu mantığı kullanarak P1 , P2 ve P3 noktalarına karşılık gelen
x0 Cos α
(180
o
− α ) , (180o + α ) ve ( 360o − α = −α ) açılarının tanjantlarını hesaplayınız.
y
K1
K (1, tan α )
B ( 0,1)
P1
180o − α
A ' ( −1, 0 )
α
α
P ( x0 , y0 )
1
A (1, 0 )
α
0
x
α
P2
B ' ( 0, −1)
P3
x =1
Tabloda verilen açıların tanjant değerlerini bulunuz.
Tanjant Fonksiyonunun Değerleri
Tan α
Açı ( α ) Cos α Sin α
o
0
0
1
0
o
30
45o
60o
Tanımsız
0
1
90o
120o
135o
150o
0
0
−1
180o
o
210
225o
240o
Tanımsız
0
−1
270o
300o
315o
330o
0
0
1
360o
11
∀α ∈ ℝ için −∞ ≤ tan α ≤ +∞ dir.
f ( x ) = tan x →
π


a) f : ℝ −  x | x = + kπ , k ∈ ℤ  → ℝ dir.
2


b) x =
π
2
+ kπ ( k ∈ ℤ için tanımsızdır.)
c) 0 < α <
π
2
π
2
⇒ tan α > 0
< α < π ⇒ tan α < 0
π <α <
3π
⇒ tan α > 0
2
3π
< α < 2π ⇒ tan α < 0 dır.
2
d) tan (α + k .π ) = tan α dır.
(α ∈ ℝ ∧ k ∈ ℤ )
Bu nedenle tanjant fonksiyonu periyodiktir ve periyodu π dir.
e) Artan fonksiyondur.
12
4. Kotanjant Fonksiyonu
Birim çembere B noktasından çizilen teğete ( y = 1 doğrusuna ) kotanjant ekseni denir. α reel
sayısına birim çember üzerinde karşılık gelen P noktasında x0 apsisinin y0 ordinatına oranına, ya da P
noktasını orijine birleştiren OP doğrusunun kotanjant eksenini kestiği K noktasının apsisine α reel
x
Cos α
dır. Bu mantığı kullanarak P1 , P2 ve P3 noktalarına karşılık
sayısının kotanjantı denir. Cot α = 0 =
y0 Sin α
gelen (180o − α ) , (180o + α ) ve ( 360o − α = −α ) açılarının kotanjantlarını hesaplayınız.
y
y =1
K ( Cotα ,1)
B ( 0,1)
K1
P1
180o − α
A ' ( −1, 0 )
α
α
P ( x0 , y0 )
1
A (1, 0 )
α
x
α
0
P2
B ' ( 0, −1)
P3
Tabloda verilen açıların Kotanjant değerlerini bulunuz.
Kotanjant Fonksiyonunun Değerleri
Cotα
Açı ( α ) Cosα Sinα
o
Tanımsız
0
1
0
o
30
45o
60o
0
0
1
90o
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
−1
0
Tanımsız
0
−1
0
1
0
Tanımsız
13
∀α ∈ ℝ için −∞ ≤ Cotα ≤ +∞ dir.
f ( x ) = Cotx →
a) f : ℝ − { x | x = k .π , k ∈ ℤ} → ℝ dir.
b) x = k .π ( k ∈ ℤ için tanımsızdır.)
c) 0 < α <
π
2
π
2
⇒ Cotα > 0
< α < π ⇒ Cotα < 0
π <α <
3π
⇒ Cotα > 0
2
3π
< α < 2π ⇒ Cotα < 0 dır.
2
d) Cot (α + k .π ) = Cotα dır. (α ∈ ℝ ∧ k ∈ ℤ )
Bu nedenle kotanjant fonksiyonu periyodiktir ve periyodu π dir.
e) Azalan fonksiyondur.
14
5. Sekant Fonksiyonu
α reel sayısına birim çemberde karşılık gelen P noktasının x0 apsisi sıfırdan farklı ise
( x0 ≠ 0 )
1
x0
sayısına ya da P noktasından birim çembere çizilen teğetin Ox eksenini kestiği T noktasının apsisine α reel
1
1
dır. Bu mantığı kullanarak P1 , P2 ve P3 noktalarına karşılık
sayısının sekantı denir. Secα = =
x0 Cosα
gelen (180o − α ) , (180o + α ) ve ( 360o − α = −α ) açılarının Sekantlarını hesaplayınız. Cosα ’nın çarpmaya
göre tersi α ’nın Sekantı olarak tanımlanır.
y
B ( 0,1)
P ( x0 , y0 )
P1
180o − α
A ' ( −1, 0 )
α
α
1
α
0
α
P2
B ' ( 0, −1)
f ( x ) = Secα →
A (1, 0 )
T ( Secα , 0 )
x
P3
a) Tanımlı olduğu α değerleri için Secα ≥ 1 (Neden? Yorumlayınız.)
π


b) f : ℝ −  x | x = + k .π ,∈ ℤ  → ℝ − ( −1,1) için örten bir fonksiyondur.
2


y
B
P ( x0 , y0 )
α
A'
A
x
0
B'
Sekant Değerleri
Şekilde görüldüğü gibi Sekant değerleri hiçbir zaman ( −1,1) aralığına uğramazlar.
15
6. Kosekant Fonksiyonu
α reel sayısına birim çemberde karşılık gelen P noktasının y0 ordinatı sıfırdan farklı ise ( y ≠ 0 )
1
y0
sayısına ya da P noktasından birim çembere çizilen teğetin Oy eksenini kestiği K noktasının ordinatına α
1
1
reel sayısının kosekantı denir. Co sec α =
=
dır. Bu mantığı kullanarak P1 , P2 ve P3 noktalarına
y0 Sinα
karşılık gelen (180o − α ) , (180o + α ) ve ( 360o − α = −α ) açılarının Kosekantlarını hesaplayınız. Sinα ’nın
çarpmaya göre tersi α ’nın Kosekantı olarak tanımlanır.
y
T ( 0, Co sec α )
B ( 0,1)
P ( x0 , y0 )
P1
180o − α
A ' ( −1, 0 )
α
α
1
α
P2
B ' ( 0, −1)
f ( x ) = Co sec x →
x
A (1, 0 )
α
0
P3
a) Tanımlı olduğu α değerleri için Co sec α ≥ 1
b) f : ℝ − { x | x = k .π , k ∈ ℤ} → ℝ − ( −1,1) için örten bir fonksiyondur.
y
B
P ( x0 , y0 )
α
Kosekant Değerleri A'
A
x
0
B'
Şekilde görüldüğü gibi Sekant değerleri hiçbir zaman y − ekseni üzerindeki ( −1,1) aralığına uğramazlar.
16
Trigonometrik Bağıntılar
1. sin 2 x + cos 2 x = 1
sin 2 x = 1 − cos 2 x = (1 − cos x )(1 + cos x )
cos 2 x = 1 − sin 2 x = (1 + sin x )(1 − sin x )
sin x
cos x
cos x
3. cot x =
sin x
2. tan x =
4. tan x .cot x = 1 , tan x =
1
1
, cot x =
cot x
tan x
1
cos x
1
6. cos ecx =
sin x
5. sec x =
1
cos 2 x
1
8. 1 + cot 2 x = cos ec 2 x =
sin 2 x
7. 1 + tan 2 x = sec2 x =
Soru: Sin85o , tan175o , Cos 260o ve Cot 275o ’nin trigonometrik değerlerinin işaretlerini bulunuz.
Soru: 2m − 3.Sin 2 x +
2
= 0 eşitliğinde m gerçel sayılarının alabileceği değer kümesi nedir? Bulunuz.
5
Soru: tan ( x ) + Cot ( x ) = 3 ise, tan 2 x + Cot 2 x = ?
Soru: Cosx + Secx =
Soru:
5
ise, Cos 2 x + Sec 2 x = ?
3
cos ecx − 1
2
= ( sec x − tan x ) olduğunu gösteriniz.
cos ecx + 1
Soru: Aşağıdaki trigonometrik değerlerin işaretini söyleyiniz.
Sin130o , Cos 230o , tan 280o , Cot 310o , Sec 237 o , Co sec154o
17
Genel Örnekler
Sin 2 x
1.
= 1 − Cosx olduğunu gösteriniz.
1 + Cosx
2. Sin 4 x − Cos 4 x + Cos 2 x = Sin 2 x olduğunu gösteriniz.
3.
Cosx
1 − Sinx
= a ise,
’in a türünden değerini bulunuz.
1 + Sinx
Cosx
4.
Cos 2 x − Cos 2 y
ifadesinin eşitini bulunuz.
Sin 2 x − Sin 2 y
5. (1 + Cot 2 x ) .Sin 2 x = 1 olduğunu gösteriniz.
6.
tan 2 x − 1
= tan 2 x olduğunu gösteriniz.
2
1 − Cot x
7.
3.Sinx − 2.Cosx 2
= → tan x = ?
Sinx + Cosx
3
8. tan x − Cotx =
1
ise, tan 2 x + cot 2 x = ?
2
9. tan 2 α − sec 2 α = ?
10.
1 + Cosx
Sinx
+
= 2Co sec x olduğunu gösteriniz.
Sinx
1 + Cosx
3 
11. a > 0 olmak üzere α yönlü yayının bitim noktası A  , a  ise, Secα = ? , Co sec α = ? , Tanα = ?
5 
12.
cos ec 2 x − sec 2 x
= −1 olduğunu gösteriniz.
cot 2 x − tan 2 x
13. Cos 5 x + Sin 2 x.Cos 3 x = Cos 3 x olduğunu gösteriniz.
14.
4.Sinx − 2Cosx 1
= ise, Cotx = ?
3.Sinx + Cosx 2
15. tan x + cot x = a ise, tan 3 x + cot 3 x ifadesinin a cinsinden değeri nedir ? ( a 3 − 3a )
16. sin 6 x + cos 6 x = k ise, sin 2 x.cos 2 x ifadesinin k cinsinden değeri nedir? (
18
1− k
)
3
DİK ÜÇGENDE DAR AÇININ TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ
Sin B =
Cos B =
Tan B =
Cot B =
Sec B =
Karşı dik kenar uzunluğu
Hipotenüs uzunluğu
Komşu dik kenar uzunluğu
Hipotenüs uzunluğu
Karşı dik kenar uzunluğu
Komşu dik kenar uzunluğu
Komşu dik kenar uzunluğu
Karşı dik kenar uzunluğu
Hipotenüs uzunluğu
Komşu dik kenar uzunluğu
=
b
a
C
c
=
a
=
b
c
b
=
c
b
A
1
=
CosB
Hipotenüs uzunluğu
Co sec B =
Karşı dik kenar uzunluğu
a
=
=
c
B
a
c
1
SinB
=
a
b
Uyarı:
a) Ölçüleri toplamı 90o olan tümler iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.
Sin10o = Cos80o , Cos 60o = Sin30o , Sin (α ) = Cos ( 90o − α )
b) Ölçüleri toplamı 90o olan tümler iki açıdan birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir.
Cot 4o = Tan 86o , Cot 20o = tan 70o , Cot ( β ) = Tan ( 90o − β )
Soru : 45o ’nin trigonometrik değerlerini bulunuz.
Soru : 30o ve 60o ’nin trigonometrik değerlerini bulunuz.
19
( )
Soru: ABCD dik yamuğunda DC = 4 cm , BC = 15 cm , Sin B =
dir? ( 90 cm 2 )
D
3
ise, ABCD yamuğunun alanı kaç cm2
5
C
4
15
B
A
( )
Soru: Şekilde m B = 90o , tan x = 1,1 ve tan y = 0, 6 olduğuna göre
5
oranı nedir? ( )
DB
6
CD
A
y
x
C
(
∆
B
D
)
ˆ = 90o , BD = 4 cm ve CD = 5 cm ise
Soru: Şekilde A B C dik üçgeninde [ AD ] yükseklik m BAC
( )
2
Sin C = ? ( )
3
A
B
4
D
C
5
∆
Soru: Şekilde A B C üçgeninde [ AD ] yükseklik, AB = 13 cm , AC = 15 cm ve DC = 9 cm ise,
tan x = ? (
5
)
12
A
13
B
20
x
15
D
9
C
∆
Soru: ABC üçgeninde AB = AC = n ve BC = 1 br ise Sin (α ) = ? (
1
)
2n
A
D
α
B
C
Soru: ABCD karesinde AE =
D
AD
5
(
)
ˆ =? (1)
ise Cot CDE
5
C
A
B
E
1
Soru: ABCD karesinde [ AF ] ⊥ [ DE ] , [CK ] ⊥ [ DE ] dir. 2. DF = FK ise, tan (α ) = ? ( )
3
D
C
F
K
E
α
A
B
Sinx 
 1 + Cosx
Soru: 
+
 .Sinx = ? (2)
1 + Cosx 
 Sinx
21
(
)
ˆ =?( 3 )
Soru: Şekilde verilenlere göre Sin ECD
2
A
12
y
E
x
B
3
D
C
4
3
Soru: Şekil 4 eş kareden oluşmuştur. Buna göre tan α = ? ( )
2
α
1
Soru: Şekilde verilenlere göre Cotα = ? ( )
4
A
5
5
B
α
2
D
C
4
(
∆
)
Soru: ABC dik üçgeninde [ AB ] ⊥ [ BC ] , m ABC = 2α ise, tan α ’nın a , b ve c türünden değerini
bulunuz.
A
c
B
b
2α
a
C
22
(
) (
)
Çözüm: [ BC ] nin uzantısını DB = AB = c olacak şekilde uzatalım. Buna göre; m ADB = m DAB = α
∆
olur. ADC dik üçgeninde, tan α =
AC
DC
=
b
bulunur.
a+c
A
α
c
2α
α
D
b
B
c
(
∆
C
a
)
Soru: ABC dik üçgeninde, [ AH ] ⊥ [ BC ] , m ACB = α ve BC = 1cm ise, HC ’nin α cinsinden değerini
bulunuz.
A
α
B
H
C
Çözüm:
∆
Şekilde ABC dik üçgeninde Cosα =
AC
BC
= AC bulunur.
A
∆
AHC dik üçgeninde,
Cosα =
HC
AC
→ HC = AC .Cosα ’dan
α
HC = Cos 2α bulunur.
∆
B
( )
( )
Soru: Bir ABC üçgeninde AB = BC ve tan C = 2 ise, Sin B = ? (
23
H
4
)
5
C
Trigonometrik Oranlardan Biri Belli İken Ötekilerini Bulmak
Önce açının bulunduğu bölge, birim çemberden saptanır, verilen trigonometrik değer dik üçgene
aktarılır. Bölgeden işaret, üçgenden değer alınarak sonuca gidilir.
Soru:
3π
< x < 2π
2
∧
Cos x =
12
13
Soru:
3π
< x < 2π
2
∧
Sec x =
7
5
→ Co sec x − Cot x = ? ( −
)
2
3
→ Cot x = ? ( −
12
)
5
1
Soru: tan x = 2 olduğuna göre Cos 2 x − Cos x . Sin x = ? ( − )
5
Soru: 0 < x <
Soru: π < x <
π
2
ve
1
1
2
= → tan x = ? (
)
4
Sin x + Cos x . Cot x 3
3π
3
ve 92.Sinx = 27Cosx → Sinx = ? ( )
2
5
(
)
Soru: Şekildeki dik üçgende K ( 2, 4 ) tür. m OAK = α ise Sin (α ) = ? , tan α = ? (
5 1
, )
5 2
y
K(2,4)
α
O
Soru :
Soru:
x
Sin x = a − 1 
⇒ a =? ( 3)
Tanx = a + 1 
Soru: 0 < x <
Soru:
A
π
2
π
2
ve 2.Sin x − 3.Cos x = 0 ise Sin x , Cos x , Cot x , Tan x değerlerini bulunuz.
< x < π ve Cos x = −
4
ise Sinx , Tanx , Cotx değerlerini bulunuz.
5
3π
5
< x < 2π ve Cot x = −
ise Sin x , Cos x değerlerini bulunuz.
2
2
24
3π
1
Tan x − Cot x
< x < 2π ve Cos x =
ise
=?
2
Sin x
5
Soru:
Soru: Sin x , Cos x ve Cot x ifadelerini Tan x türünden yazınız.
A
1 + tan 2 x
tan x
x
B
C
1
Uyarı: Açının bulunduğu bölge verilmedikçe açı 1. Bölgede kabul edilir.
Soru: tan α = −0, 75 ise, cos α .sin α = ? ( −
Soru: 0 < x <
12
)
25
π
3
için 2 Sinx − Cosx = 1 ise, Cotx = ? ( )
2
4
Çözüm:
A
∆
Şekildeki ABC dik üçgeninde;
Sinx =
1
1 + Cot 2 x
1 + cot 2 x
, Cosx =
2.Sinx − Cosx = 2.
Cotx
1 + Cot 2 x
1
1 + Cot 2 x
−
yazılırsa,
B
Cotx
1 + Cot 2 x
= 1 den,
1 + Cot 2 x = 2 − Cotx (Her iki tarafında karesini alacak olursak)
1 + Cot 2 x = 4 + Cot 2 x − 4Cotx → Cotx =
25
3
bulunur.
4
x
cot x
1
C
Önemli Dar Açıların Trigonometrik Oranları
R
D
Sin
Cos
Tan
Cot
0
00
0
1
0
Tanım
sız
300
1
2
3
2
3
3
2
2
3
2
2
2
1
2
1
0
π
6
π
4
450
π
3
600
π
2
900
3
1
1
3
3
3
0
Tanım
sız
Geniş Açıların Trigonometrik Oranları
( Trigonometrik Özdeşlikler )
y
P1 ( −Cosθ , Sinθ )
P ( Cosθ , Sinθ )
θ
θ
θ
θ
P2 ( −Cosθ , − Sinθ )
1
Sin (π − θ ) = Sin θ
Cos (π − θ ) = −Cos θ
Tan (π − θ ) = −Tan θ
Cot (π − θ ) = −Cot θ
x
P3 ( Cosθ , − Sinθ )
2
3
Sin (π + θ ) = − Sin θ
Sin ( 2π − θ ) = − Sin θ
Cos (π + θ ) = −Cos θ
Cos ( 2π − θ ) = Cos θ
Tan (π + θ ) = Tan θ
Tan ( 2π − θ ) = −Tan θ
Cot (π + θ ) = Cot θ
Cot ( 2π − θ ) = −Cot θ
26
4
Sin ( −θ ) = − Sin θ
Cos ( −θ ) = Cos θ
Tan ( −θ ) = −Tan θ
Cot ( −θ ) = −Cot θ
y
P1 ( Sinθ , Cosθ )
P2 ( − Sinθ , Cosθ )
P ( Cosθ , Sinθ )
θ θ
θ
x
θ θ
P3 ( − Sinθ , −Cosθ )
1
π

Sin  − θ  = Cos θ
2

π

Cos  − θ  = Sin θ
2

π

Tan  − θ  = Cot θ
2

π

Cot  − θ  = Tan θ
2

P4 ( Sinθ , −Cosθ )
2
3
4
π

Sin  + θ  = Cos θ
2

π

Cos  + θ  = − Sin θ
2

π

Tan  + θ  = −Cot θ
2

π

Cot  + θ  = −Tan θ
2

 3π

Sin 
− θ  = −Cos θ
 2

 3π

Cos 
− θ  = − Sin θ
 2

 3π

Tan 
− θ  = Cot θ
 2

 3π

Cot 
− θ  = Tan θ
 2

 3π

Sin 
+ θ  = −Cos θ
 2

 3π

Cos 
+ θ  = Sin θ
 2

 3π

Tan 
+ θ  = −Cot θ
 2

 3π

Cot 
+ θ  = −Tan θ
 2

Soru: Aşağıdaki trigonometrik değerleri bulunuz.
Sin ( −30o ) = ?
a) Sin 150o = ?
i)
b) Cos 120o = ?
j) Cos ( −45o ) = ?
c) tan 855o = ?
k) Tan ( −60o ) = ?
d) Cot 510o = ?
l) Cot ( −405o ) = ?
e) Sin 210o = ?
f) Cos 240o = ?
g) Tan 255o = ?
h) Cot 945o = ?
m) Sin (105o ) = ?
n) Cos 120o = ?
o) Tan 135o = ?
π

Soru: Aşağıdakilerden hangisi Cos  − a  ’ya özdeş değildir?
2

 3π

 3π

a) Sin (π − a )
b) Sin ( 2π + a )
c) Cos 
d) Cos 
+ a
− a
 2

 2

27
e) Sin a
 3π

π

π

Soru: f ( x ) = Sin ( x + π ) − Cos 
− x  + Sin  + x  → f  − x  = ?
 2

2

2

( )
∆
(
)
Soru: Bir A B C üçgeninde m A = 90o dir. Sin B + 2C aşağıdakilerden hangisine eşittir.
( )
A) Sin C
( )
( )
B) Sin 2C
C) Cos 2C
( )
( )
( )
D) Sin C + Cos C E) Cos C
Soru: T = Sin (θ + π ) + Sin ( 2π + θ ) + Sin (θ − π ) + Sin (θ − 3π ) ifadesini kısaltınız.
π

 3π

Soru: T = Sin  + θ  + Cos (θ − π ) + Sin 
+ θ  − Cos (π + θ ) ifadesini kısaltınız.
2

 2

Soru:
Sin110o.Cos 40o
= ? ( −1 )
Sin70o.Cos140o
4
Soru: Şekildeki ABCD yamuğunda, [ AB ] // [CD ] dir. Verilenlere göre tan α = ? ( − )
3
D
C
2
α
4
3
A
Soru: 9a =
π
2
ise,
B
7
Sin5a.tan 2a
= ? (1)
Cos 4a.cot 7 a
Soru: a = Sin15o , b = Sin36o , c = Sin70o değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız. ( a < b < c )
Soru: a = Sin 40o , b = Sin130o , c = Sin 200o değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız. ( c < a < b )
Soru: a = Cos 20o , b = Cos140o , c = Cos300o değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız. ( b < c < a )
Soru: a = tan10o , b = tan 200o , c = tan 70o değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız. ( a < b < c )
Soru: a = tan 48o , b = Sin10o , c = Cos 70o değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız. ( b < c < a )
28
Dosya adı:
TRIGONOMETRI_ACI_TRIGONOMETRIK
FONKSIYONLAR VE DIK UCGENDE DAR ACI
Dizin:
C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET\TRIGONOMETRI
Şablon:
C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor
mal.dotm
Başlık:
Konu:
Yazar:
EGESU
Anahtar Sözcük:
Açıklamalar:
Oluşturma Tarihi:
09.01.2017 21:01:00
Düzeltme Sayısı:
3
Son Kayıt:
09.01.2017 21:04:00
Son Kaydeden:
TOLGA
Düzenleme Süresi: 5 Dakika
Son Yazdırma Tarihi: 09.01.2017 21:04:00
En Son Tüm Yazdırmada
Sayfa Sayısı:
28
Sözcük Sayısı:
5.107(yaklaşık)
Karakter Sayısı: 29.116(yaklaşık)