Buck Dönüştürücü Devresinin Durum Değişkenleri Yöntemi ile Analizi

6th International Advanced Technologies Symposium (IATS’11), 16-18 May 2011, Elazığ, Turkey
Buck DönüĢtürücü Devresinin Durum
DeğiĢkenleri Yöntemi ile Analizi
M.M. Ertay1 ve A.B. Yıldız2
1
Düzce Üniversitesi, Düzce/Türkiye, mustafaertay@duzce.edu.tr
2
Kocaeli Üniversitesi, Ġzmit/Türkiye, abyildiz@kocaeli.edu.tr
devrelerdir. Temel çalıĢma prensibi, bir pasif filtrenin çıkıĢ
geriliminin kontrol edilmesi esasına dayanır [9,10].
The Analysis of Buck Converter Circuit By
Using State Variables Method
Abstract—In this study, the analysis of buck circuit which is
one of the basic DC-DC converter devices is carried out by using
state variables method. Semiconductor devices are modelled with
ideal switch concept. Running states of converter circuit are
examined and according to these states, circuit topologies are
specified. State equations with regard to each topological state
are acquired. Obtained equations are solved with Trapezoidal
method, which is a stable numerical solution. All of simulation
results with regard to circuit are performed in Matlab M-File
environment.
Keywords—Buck converter, State equations, Analysis
I. GĠRĠġ
üç elektroniği devrelerinin bilgisayar ile analizi
günümüzde çok önem taĢımaktadır. Lineer devrelerden
farklı olarak, anahtarlamalı yapılarından dolayı güç elektroniği
devrelerinin analizi oldukça zordur. Temel problemler,
yarıiletken anahtarların modellenmesi, anahtarlama sonucu
oluĢan değiĢen devre yapılarının belirlenmesi ve devre
geçiĢlerindeki geçici durumların analiz edilmesidir. Bu
amaçlarla gerçekleĢtirilen bilgisayarla analizin temeli; devre
modellemesi ve sayısal hesaplara dayanmaktadır [1-6]. Bu
devrelerin analiz ve modellemesindeki araĢtırmalar, kontrol
ve tasarım iĢlemlerinin geliĢimine katkı sağlamaktadır.
G
ÇeĢitli elektronik cihazların/devrelerin kullanımında değiĢik
dc gerilim seviyelerine ihtiyaç vardır. Doğru gerilim elde
edilirken kayıpların minimum olmasına ve dinamik cevabın
çok hızlı olmasına dikkat edilmelidir. ÇeĢitli tüketiciler için
gerekli olan doğru akım ve gerilimi sağlayan kaynaklardan
biri anahtarlama modlu çalıĢan dc-dc dönüĢtürücülerdir.
Geleneksel doğru akım güç kaynakları ağır ve pahalı
elektronik elemanlar gerektirirken, dc-dc dönüĢtürücüler
yüksek frekanslarda anahtarlanabildiklerinden daha hafif ve
ucuz elemanlar gerektirirler [7]. Böylece günümüzde hafif
taĢınılabilir, yüksek performanslı dc akım kaynaklarına olan
ihtiyaç, bu dönüĢtürücülerin kullanımının gerekliliğini hızla
artırmıĢtır [8].
Çok değiĢik tiplerde dc-dc dönüĢtürücü/kıyıcı yapıları vardır.
DönüĢtürücü devreleri, giriĢ-çıkıĢ gerilimlerinin seviyelerine
göre belirlenen devre fonksiyonu ile sınıflandırılırlar. Temel
dc-dc dönüĢtürücü yapıları: Azaltan (Buck), Artıran (boost)
ve Azaltan-Artıran (buck-boost) dönüĢtürücüler. Bazı
manyetik kuplajlı devreler de, azaltma ve artırma
fonksiyonlarını yerine getirirler [5].
Sistem analizinde devre denklemlerinin elde edilmesinde
kullanılan iki temel yöntem vardır. Bunlar genelleĢtirilmiĢ
düğüm denklemleri (GDD) ve durum değiĢkenleri yöntemidir
(DDY) [11,12,15]. Güç elektroniği devrelerinin bilgisayar
destekli modellenmesi ve analizi için etkili bir yaklaĢımın
önerildiği çalıĢmada buck dönüĢtürücüye iliĢkin sistem
denklemleri GDD’ye dayalı olarak elde edilmiĢtir [6]. Pasif
filtrelerin analizinin DDY ile yapıldığı çalıĢmada bu filtrelerin
transfer fonksiyonu ve frekans domeni analizi elde edilmiĢtir
[14]. Buck ve boost dönüĢtürücülere iliĢkin Matlab/simulink
ortamında açık çevrim hibrid modelleme ve benzetim
iĢlemlerinin yapıldığı çalıĢmada sistem denklemleri DDY ile
ifade edilmiĢtir [16].
Bu çalıĢmada buck dönüĢtürücü devresinin durum
değiĢkenleri yöntemi ile analizi gerçekleĢtirilmiĢtir. Her bir
devre topolojisi için durum denklemleri elde edilmiĢtir. Buck
dönüĢtürücüde kullanılan anahtarlar için ideal anahtar kavramı
(iletimde sıfır direnç-kısa devre, kesimde sonsuz direnç-açık
devre) kullanılmıĢtır. Sayısal çözüm yöntemi olarak
Trapezoidal yöntem kullanılmıĢ ve benzetimden elde edilen
sonuçlar grafikler halinde verilmiĢtir.
Dc-dc dönüĢtürücüler gerilim seviyesini bir değerden baĢka
bir değere getiren ve anahtarlama yapısı ile çalıĢan elektronik
293
II. BUCK DÖNÜġTÜRÜCÜ
ġekil 1:Temel buck dönüĢtürücü devresi [5].
M.M. Ertay, A.B. Yıldız
ġekil 1’de gösterilen temel buck dönüĢtürücü devresi, giriĢ
geriliminden daha az bir ortalama çıkıĢ gerilimi verir.
Endüktans ve kapasite, çıkıĢ geriliminin sadece sınırlı bir
dalgacıkta kalmasını sağlayan bir düzeltme hareketi meydana
getirirler. Yükün durumuna bağlı olarak gereken filtre iĢlemi
sağlanır. Yapılan filtreleme iĢleminin miktarı devre analizinin
biçimini de etkiler. Çünkü iĢlemin iki modu devrenin
endüktansının değerine bağlıdır. ġayet endüktans yeteri kadar
büyükse, endüktans akımı asla sıfır olmaz ve bu mod sürekli
endüktans akımı olarak tanımlanır. ġayet endüktans küçükse,
her yarım dalganın bir kısmında endüktans akımı sıfır olur ve
bu mod süreksiz endüktans akımı olarak tanımlanır. Her iki
mod için ayrı bir analiz gerekir ve iki mod arasındaki sınırı
belirleyen bir iliĢki bulunabilir [5].
ġekil 2:Anahtarın kapalı olması durumu [5].
ġekil 2’de gösterilen devreye iliĢkin temel kesitleme ve temel
çevre denklemlerinden faydalanılarak durum denklemleri
aĢağıdaki gibi elde edilir.
III. DURUM DEĞĠġKENLERĠ YÖNTEMĠ VE SĠSTEM
DENKLEMLERĠNĠN ELDE EDĠLMESĠ
GiriĢ bölümünde ifade edildiği gibi, devre denklemlerinin
formüle edilmesi için kullanılan iki ana yöntem
bulunmaktadır. Durum değiĢkenleri yöntemi, Graf teorisine
dayalı olan çok popüler bir yöntemdir. Temel avantajı
bilinmeyen dolayısıyla denklem sayısının diğer yöntemlere
göre az olmasıdır. Durum değiĢkenleri olarak kapasite
gerilimleri ve endüktans akımları kullanılmaktadır. Durum
denklemleri ve çıkıĢ denklemleri, denk.(1) ve denk.(2)’de
verilmiĢtir. Denk.(1) ve denk.(2) birlikte durum modeli olarak
isimlendirilir. Burada x, u ve y sırasıyla durum değiĢkeni, giriĢ
ve çıkıĢ büyüklükleridir. A, B, C ve D ise sistemin katsayı
matrisleridir [11-14].
dx
 Ax  Bu
dt
(1)
y  Cx  Du
(2)
V ( t ) E( t )
di L
 c

dt
L
L
(3)
dVc
V ( t ) iL ( t )
 c

dt
RC
C
(4)
B. Anahtarın açık olması durumu
ġekil 3’te dönüĢtürücüde temel anahtarın açık olması
durumuna iliĢkin elde edilen devre gösterilmiĢtir.
ġekil 3:Anahtarın açık olması durumu [5].
Durum değiĢkenleri yönteminde, sistem denklemleri doğrudan
t-domeninde elde edilir. Bu yöntemde ağaç seçimi önem
kazanır. Çözüm tamamen seçilen ağaca göre Ģekillenir [15].
ġekil 1’de verilen buck dönüĢtürücünün sürekli akım modunda
çalıĢtığı kabul edilmiĢtir. DönüĢtürücüde iki anahtar
bulunmaktadır. Biri S ile gösterilen kontrollü bir anahtar
(genel olarak transistor), diğeri ise serbest geçiĢ diyotudur (D).
Devrenin çalıĢma durumları, kontrollü anahtar ile belirlenir.
Buna göre, dönüĢtürücü anahtarın durumuna göre iki topoloji
ile incelenebilir.
A. Anahtarın kapalı olması durumu
ġekil 2’de, Buck dönüĢtürücüde temel anahtarın kapalı olması
durumuna iliĢkin elde edilen devre gösterilmiĢtir.
ġekil 3’te yer alan devreye iliĢkin temel kesitleme ve temel
çevre denklemlerinden faydalanılarak durum denklemleri
aĢağıdaki gibi elde edilir.
V (t )
di L
 c
dt
L
(5)
dVc
V ( t ) iL ( t )
 c

dt
RC
C
(6)
ġekil 1’deki devrede S anahtarı periyodik olarak açılır ve
kapatılır. DönüĢtürücünün çıkıĢ gerilimi, temel anahtarın
iletim süresi ile ayarlanır. Toplam periyot T ve anahtarın
iletimde kaldığı süre ton olmak üzere, çıkıĢ gerilimini
belirleyen iletim oranı denk.(7) ile ifade edilir.
t on
(7)
T
Endüktans akımının sürekli olması Ģartıyla, kapasite gerilimi
dolayısıyla dönüĢtürücünün çıkıĢ gerilimi, anahtarın iletim
oranıyla değiĢtirilir.
D
Vc  D.E
294
(8)
Buck Dönüştürücü Devresinin Durum Değişkenleri Yöntemi ile Analizi
IV. TRAPEZOĠDAL YÖNTEMĠNĠN DURUM
DENKLEMLERĠNE UYGULANMASI
Her iki topolojiye iliĢkin sistem denklemleri denk.(9)
formundadır [15].
dx
 A.x( t )  B.u( t )
dt
(9)
Trapezoidal yöntemin genel ifadesi, h adım aralığı olmak
üzere;
X n 1  X n 
h
[ f ( X n1 ,t n1 )  f ( X n ,t n )]
2
(10)
Ģeklindedir Denk.(9)’daki yapının denk.(10)’da yerine
konmasıyla benzetmede kullanılacak denk.(14) elde edilir. Ara
iĢlemler
aĢağıda
verilmiĢtir.
h
(11)
X n1  X n  [ A.X n1  B.U n1  A.X n  B.U n ]
2
X n1 [ I 
X n 1  [ I 
h
h
h
.A ]  [ I  .A ].X n  .B.[ U n  U n1 ]
2
2
2
h
h
h
h
.A ] 1 .[ I  .A ]. X n  [ I  .A ] 1 . .B.[ U n  U n 1 ]
2
2
2
2
ġekil 4: Temel anahtar uçlarındaki gerilim (D=0.5).
(12)
(13)
h
h
.A ] 1 .[ I  .A ] ve
2
2
h
1 h
K B  [ I  .A ] . .B ]
2
2
KA  [ I 
X n1  K A .X n  K B .[ U n  U n1 ]
(14)
ġekil 5: Endüktans akımı (D=0.5).
V. BENZETĠM SONUÇLARI
ġekil 1’deki dönüĢtürücü devresine ait eleman değerleri ve
diğer bilgiler tablo 1’de verilmiĢtir. Benzetim çalıĢmalarında
D=0.5 ve D=0.75 için grafikler elde edilmiĢtir.
Tablo 1: Buck dönüĢtürücüye iliĢkin benzetim parametreleri.
Parametreler
E
R
L
C
Fs
D
h
Değer
20 V
5 ohm
5 mH
47μF
1 kHz
0.5 ve 0.75
10-4 sn
Her bir topololojiye ait devre denklemlerinin ardıĢıl ele
alınmasıyla ve denk.(14)’ün çözülmesiyle elde edilen grafikler
ġekil 4, ġekil 5, ġekil 6, ġekil 7, ġekil 8 ve ġekil 9’da
verilmiĢtir. Grafiklerden de görüldüğü gibi, devrenin sürekli
akım modunda çalıĢtığı anlaĢılmaktadır.
ġekil 6: DönüĢtürücü çıkıĢ gerilimi (D=0.5)
D=0.5 durumunda, dönüĢtürücünün çıkıĢ geriliminin
ortalamasının 10V olduğu görülmektedir (ġekil 6). Bu değer,
denk.(8)’e göre elde edilen sonuç ile aynıdır.
295
M.M. Ertay, A.B. Yıldız
VI. SONUÇLAR
Bu çalıĢmada durum değiĢkenleri yöntemi kullanılarak
Buck dönüĢtürücünün çalıĢma durumlarına iliĢkin denklemler
elde edilmiĢtir. Bu yöntem elde edilen denklem sayısı az
olduğu için tercih edilmiĢtir. DönüĢtürücüdeki anahtarlar ideal
anahtar kavramı ile modellenmiĢtir. MATLAB m-file
ortamında, sistem denklemlerine sayısal çözüm metodlarından
trapezoidal yöntem uygulanmıĢtır. DeğiĢik iletim oranları için
benzetim çalıĢmaları yapılarak Buck dönüĢtürücünün analizi
gerçekleĢtirilmiĢtir.
KAYNAKLAR
[1]
[2]
[3]
ġekil 7: Temel anahtar uçlarındaki gerilim (D=0.75).
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
ġekil 8: Endüktans akımı (D=0.75).
[14]
[15]
[16]
ġekil 9: DönüĢtürücü çıkıĢ gerilimi (D=0.75)
D=0.75 durumunda, dönüĢtürücünün çıkıĢ geriliminin
ortalamasının 15V olduğu görülmektedir (ġekil 9). Bu değer,
denk.(8)’e göre elde edilen sonuç ile aynıdır.
296
Yuan F. and Opal A., “Computer Methods for Switched Circuits”, IEEE
Trans. On Circuit and Systems, V.50, No.8, 2003.
Vlach J., and Opal A., “Modern CAD Methods for Analysis of Switched
Networks”, IEEE Trans.On Circuit and Systems, V.44, No.8, 1997.
Gökalp H, Sezgin A, Önbilgin G, “Güç Elektroniği Devreleri için Bir
Bilgisayar Benzetim Yöntemi”, Elk.Müh. 6. Ulusal Kongresi, 1995.
V. Rajagopalan ” Computer-Aided Analysis of Power Electronic
System”, Marcel Dekkar ,1987
O. Gürdal,”Güç Elektroniği”,Bölüm 7,Seçkin Yayıncılık, 2008.
A.B.Yildiz and N. Abut, " An Efficient Approach to Modelling and
Analysis of Power Electronic Circuits " Proceedings of the 1998 IEEE,
13th Annual Applied Power Electronics Conference (APEC'98),
February, , California, 1998
Pablo C., Gabriel G., Adolfo H., fuzzy gaınschedulıng control of swıtchmode dc/dc converters, IEEE ISIE , - 0-7803 -5 662-4/99,1999
Jose A.R., Gerardo E.P; Stability of current-mode control for DC–DC
power converters SYSTEMS & CONTROL 119 , LETERS p-p13 –2002
Chun-F. H., Chia-Y. H., Chao-M. C., Chih-M. L., Self-Learning Fuzzy
Control for Boost DC-DC Converters Using an Inexpensive 8-bit
microcontroller ,Proceedings of 2006 , CACS AUTOMAT_C
CONTROL CONFERENCE St. John's University, Tamsui, Taiwan,
Nov. 10-11, 2006
Calderon A.J.,Vinagre,B.M.,. Feliu V., Fractional order control
strategies for power electronic buck converters ,Signal Processing,
ELSEVIER ,2803–28190165-1684 - , 2006.
L.O. Chua and P.M. Lin, ” Computer -Aided Analysis Electronic
Circuits, Algorithm and computational techniques”,Prentice Hall, 1975.
C. Acar,”Elektrik Devrelerinin Analizi”,ĠTU yayınları Istanbul , 1995.
A.B. Yıldız, M.A.Çınar, “Time-Domain Analysis of Circuits with Ideal
Switches by nodal equations”, Power Electronics and Drives Systems,
2005. PEDS 2005. International Conference on,2005
E.Kelebekler,A.B.Yıldız,“State variables analysis of passive filters”,
Electrical Machines and Power Electronics, 2007. ACEMP '07.
International Aegean Conference on ,Bodrum,2007
A.B. Yıldız,”Elektrik devrelerinin bilgisayar yardımıyla analizi” yüksek
lisans ders notları,2007
E. Zulueta1 T. Rico1 J. M. González de Durana,“Hybrıd Modelıng Of
Open Loop Dc-Dc Converters”,Revısta Facultad De Ingenıería, U.T.A.
(Chıle), Vol. 11 N°2, 2003, pp. 41-47