Boyuna Demet Dinamigi ve Kararlilik

Boyuna Demet Dinamiği ve
Kararlılık
Prof.Dr. Abbas Kenan Çiftçi
Ankara Üniversitesi
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
1
Özet
z
z
z
z
z
z
z
z
z
Hızlandırma yöntemleri
Enerji kazancı
Küçük hızlandırıcılar (betatron, siklotron,
mikrotron)
Sinkronize lineer hızlandırıcılar
Faz kararlılığı prensibi ve sonuçları
Sinkrotron
Sinkrotronda dispersiyon etkileri
Sinkrotronda enerji-faz denklemleri
Sinkrotronda faz kararlılığı
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
2
Bir hızlandırıcının ana karakteristikleri
İvmelenme bir hızlandırıcının asıl işidir.
z
z
Hızlandırıcı yüklü parçacıklara kinetik enerji sağlar; dolayısıyla onların
momentumunu arttırır. r
Bunu yapmak için bir E elektrik alanına ihtiyaç vardır. Bu alanın
başlangıç momentumunun yönünde olması tercih edilir.
Bükülme parçacığın yörünge düzlemine dik bir mağnetik alan
tarafından meydana getirilir. Bükülme yarıçapı ρ
bağıntısıyla ifade edilir.
Odaklama mağnetik alanın ikinci kullanımıdır. Burada bükme etkisi
parçacıkların yörüngesini eksene daha yaklaştırmak ve böylece
demet yoğunluğunu arttırmak için kullanılır.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
3
İvmelenme ve eğrilik
varsayımıyla
Newton-Lorentz kuvveti:
olur.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
4
Hızlandırma Yöntemleri
1. Elektrostatik alan:
Enerji kazancı: W=n.e (V2-V1)
Sınır: VJeneratör=ΣVi
2. Radyo-Frekans alan:
Sinkronizm: ï L=vT/2
v=parçacık hızı
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
T=RF periyodu
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
5
Hızlandırma Yöntemleri (2)
3. İndüksiyonla hızlandırma:
MAXWELL DENKLEMLERİNDEN
Elektrik alan skaler bir φ potansiyeli ile vektör A
potansiyelinden türetilir.
H mağnetik alanının zaman değişimi E elektrik alanını
üretir.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
6
Enerji kazancı
Göreli dinamikte enerji ve momentum
Bağıntılarını sağlar. Dolayısıyla
İvmelenmenin (z ekseni boyunca) birim uzunluğu
başına enerji kazanma hızı:
z yolu boyunca alandan kazanılan kinetik enerji:
Burada V potansiyeldir.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
7
Enerji kazancı (2)
RF ivmelenmesi
Bu durumda elektrik alan salınmaktadır Potansiyelde salınmaktadır.
Enerji kazancı parçacık tarafından hissedilen RF fazına bağlı
olacaktır.
Aralıktaki geçiş süresi
ihmal edilmiştir.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
8
Betatron
İndüksiyon yasası:
Newton-Lorentz kuvveti:
Sabit bir yörüngenin şartı:
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
Betatron zamana göre değişen bir
mağnetik alan kullanır. Kutup şekli
yörüngenin olduğu yerde ortalama
mağnetik alana göre daha küçük bir B0
mağnetik alanı sağlar.
2020-24 Eylü
Eylül 2007
9
Siklotron
Hızlanmış bir parçacığın her bir r
yarıçaplı yörüngesine bir v hızı karşılık
gelir. Yarım çembere karşılık T/2 dönme
periyodunun yarısı karşılık gelir. B
sabittir.
Karşılık gelen açısal frekans:
ï Eğer
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
ise sinkronize
10
Siklotron (2)
Her bir aralık geçişindeki enerji kazancı:
Zamana göre parçacık RF fazı:
Burada θ yörüngenin azimut açısıdır.
Zamana göre türev alırsak:
Türev için yaklaşıklık kullanırsak:
Yarım turda göreli faz değişimi:
Yine türev için yaklaşıklık kullanırsak:
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
11
Siklotron (3)
Düzenleme yaparsak:
İntegral alırsak:
Burada:
E0 = Durgun enerji
φ0 = İnjeksiyon fazı
ωr0 = Başlangıçtaki
dönme frekansı
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
12
Mikrotron
ï
ifadesi kütle arttıkça
frekansın azaldığını gösterir:
Sinkronizasyon şartı:
Eğer birinci tur sinkronize ise: ΔTr = Tam sayı ⇒ Δγ tur
TRF
elektronlar → 0.511 MeV
Tur başına enerji kazancı
protonlar → 0.938 GeV !!!
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
= Tam sayı(γ 0 = 1)
İhtiyaç duyulan enerji
kazancı büyük olduğu
için bu kavram temelde
elektronlar için geçerlidir.
13
Lineer hızlandırıcı
A- Göreli Parçacıklar:
“WIDEROE”da ışıyan güç ∂ ωCV
Duvarda sıfır
sirkülasyon akımı
olmasından dolayı
duvar kullanışsız hale
gelir.
Alvarez yapısı
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
14
Lineer hızlandırıcı (2)
B- Ultra göreli parçacıklar v ~ c, β ~ 1
 L artar ... Bunu aşmak için ω=2πf arttırılmalıdır. Radarlar için klystronların
geliştirilmesini takiben 1945’den sonra yüksek frekanslarda (~3000 MHz) yüksek
RF güç üretilmesi mümkün olmuştur.
ÂDaha sonra ilerleyen dalga kullanarak sürüklenme boşluklarını azaltma fikri ortaya
atıldı. Faka sürekli hızlandırmadan faydalanmak için dalganın faz hızı parçacığın
hızına (~c) eşit olmak zorundadır.
Çözüm yavaş dalga kılavuzlarının kullanımındadırïiris yerleştirilmiş dalga kılavuzları
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
15
Faz kararlılığı prensibi
Bir Φs fazı için sinkronizasyon şartının sağlandığı, 2π modunda çalışan
ardışık hızlandırıcı aralıklarını göz önüne alınız.
2π modu için elektrik alan
verilen herhangi bir zamanda
bütün aralıklarda aynıdır.
Bir parçacığın bir sonraki aralığa aynı RF fazı ile ulaşması için bir
aralıktaki enerji kazancı
dır: P1, P2, ... sabit noktalardır.
Eğer enerjideki bir artış hızda bir artışa aktarılacaksa, M1 ve N1 P1e doğru
(kararlı) hareket edecektir. M2 ve N2 ise P2 den uzaklaşacaktır (kararsız).
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
16
Faz kararlılığının bir sonucu
Enine Kararsızlık
Boyuna faz kararlılığının anlamı:
Dağıtıcı
RF kuvveti
Maxwell denklemine göre
alanın diverjansı sıfırdır:
O zaman dış odaklama (selenoid, kuadropol) gereklidir.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
17
İlerleyen dalga durumu
Parçacık dalga ile birlikte ilerler ve k dalga
ilerleme faktörüdür.
Faz hızı
Parçacık hızı
Eğer sinkronizasyon şartı sağlanmışsa:
ve
Burada φ0 parçacık tarafından görülen RF fazıdır.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
18
Enerji-faz denklemleri
z
Sinkronize bir parçacık için enerji kazanç hızı:
z
ve
indirgenmiş değişkenler
cinsinden sinkronize olmayan parçacığın enerji kazanç hızı:
z
Sinkronize parçacığa göre fazın değişim hızı:
Dolayısıyla:
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
19
Enerji-faz salınımları
İki birinci mertebe denklemi bireştirerek ikinci mertebe
denklem elde edilir:
burada
Kararlı harmonik salınım:
Dolayısıyla:
Ve ivmelenme şartı:
Olduğu için, iki şartın birleşiminden:
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
ve reel
20
Sinkrotron
Her turda enerji kazancının mağnetik alanın arttırılmasıyla karşılandığı sinkronize
bir RF fazının varlığından dolayı sinkrotron sinkronize bir hızlandırıcıdır. Bu ise
aşağıda ifade edilen işletim koşullarıyla mümkündür:
Tur başına enerji kazancı
Sinkronize parçacık
RF sinkronizasyonu
Sabit yörünge
Değişken mağnetik alan
Eğer v = c ise, ωr dolayısıyla ωRF sabit kalır (ultra göreli elektron).
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
21
Sinkrotron (2)
Enerji arttırımı basitce alanının değişimiyle dengelenir:
olduğu için
z
z
Kararlı sinkronize parçacıkların sayısı h harmonik sayısına eşittir.
Çevre boyunca eşit mesafelerle yerleşmişlerdir.
Her bir sinkronize parçacık p = eBρ bağıntısını sağlar. Ortalama
enerjiye sahiptirler ve ortalama yörünge takip ederler.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
22
Sinkrotron (3)
Enerji arttırımı sırasında dönme
frekansının artışıyla birlikte RF
frekansıda artar:
Dolayısıyla:
olduğundan dolayı RF frekansı B mağnetik alanına
bağımlı olarak takip eden yasaya göre değişmelidir:
. Pratikde B alanı aşağıda ki yasaya
göre değişir:
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
23
Bir sinkrotronda dispersiyon etkileri
Eğer bir parçacığın momentumu hafifce
kaymışsa farklı bir yörüngeye sahip
olacaktır:
Bu bükücü alan tarafından üretilen
“momentum compaction”dır.
Eğer parçacığın momentumu kaymışsa farklı bir hıza sahip olacaktır.
Her iki etkinin sonucunda dönme frekansı da değişir:
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
24
Bir sinkrotronda dispersiyon etkileri (2)
İki yörünge arasında temel yol farkı:
Çevredeki toplam değişim:
< >m ortalamanın sadece
olduğundan
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
elde ederiz.
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
bükücü mağnetler
üzerinden alındığını
gösterir
25
Bir sinkrotronda dispersiyon etkileri (3)
da geçiş enerjisi
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
26
Sinkrotronda faz kararlılığı
η nın tanımından geçişin altında enerjide bir artış daha yüksek bir
dönme frekansı (hız artışı baskındır) ile takip edilir. Geçişin üstünde
(v ≈ c ve daha uzun yol) ise tersi olur.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
27
Bir sinkrotronda boyuna dinamik
Çoğunlukla sinkrotron hareketi olarak da isimlendirilir.
RF ivmelenme süreci iki bağlaşımlı değişkeni öne çıkarır: parçacık
tarafından kazanılan enerji ve aynı parçacık tarafından hissedilen RF
fazı. Her zaman aynı φs fazına ve Es nominal enerjiye sahip olan iyi
tanımlanmış bir sinkronize parçacık var olduğu için diğer parçacıkları
bu parçacığa göre takip etmek yeterlidir. Dolayısıyla aşağıdaki
indirgenmiş değişkenleri tanımlayalım:
dönme frekansı
:
parçacığın fazı :
parçacığın momentumu :
parçacığın enerjisi
:
azimut açısı
:
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
28
Birinci enerji-faz denklemi
burada
Referans parçacığa göre ilgilenilen parçacık için:
olduğundan dolayı
ve
elde edilir.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
29
İkinci enerji-faz denklemi
Bir parçacığın enerji kazanma hızı:
Bu durumda referans parçacığa göre göreli enerji kazanç hızı:
Denklemin sol tarafını birinci mertebe seriye açarsak:
İkinci enerji-faz denklemi:
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
30
Boyuna hareketin denklemleri
türetim ve birleşim
Bu ikinci mertebe denklem lineer değildir. Buna ek olarak genellikle
parantez içindeki parametreler zamana göre yavaşça değişir...
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
31
Küçük genlikli salınım
Rs, ps, ωs ve η nin sabit parametreler olduğunu varsayalım:
burada
Şimdi referans parçacıktan küçük faz farklılaşmalarını göz önüne alınız:
ve karşılık gelen lineerleştirilmiş hareket harmonik salınıma indirgenir:
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
32
Büyük genlikli salınım
Referanstan daha büyük faz (veya enerji) farklılıkları için ikinci mertebe
diff. denklem non-lineerdir:
ile çarpıp integral almak hareketin bir invaryantını verir:
ki bu küçük salınımlar için:
Benzer denklemler
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
ikinci değişkeni içinde vardır.
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
33
Büyük genlikli salınım (2)
φ π−φs e ulaştığı zaman kuvvet sıfır
olur ve bu değerin ötesinde
parçacıklar toparlanamazlar.
Dolayısıyla π−φs kararlı hareket için
bir uç genliktir. Kapalı yörügeler
kararlı hareketlere karşılık gelir.
Ayıraçın (separatrix) denklemi:
Ayıraçın yatay ekseni geçtiği φm ikinci değeri:
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
34
Enerji acceptance
Hareket denkleminden görüldüğü gibi
olduğu zaman
ekstremuma ulaşır. Böylece bu
karşılık gelir.
Bu değerin ayıraç denklemine eklenmesiyle
bir
sonucu elde edilir. Bu enerjide kabule edilebilir bir aralığa (acceptance)
karşılık gelir:
Bu “RF acceptance”ı φs’e kuvvetlice bağımlıdır ve enjeksiyonda
elektron yakalanmasında ve depolanmış demet ömründe önemli bir rol
oynar.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
35
Sinkronize faza göre enerji acceptance
Sinkronize faz 90o ye
yaklaşırken kararlı hareket
alanı (kapalı yörüngeler)
daha küçülür. Bu bölgeler
sıklıkla “PAKETCİK” olarak
isimlendirilir.
Sirkülasyonda ki
paketciklerin sayısı “h” ye
eşittir.
Paketciğin faz genişlemesi
φs=180o de (veya 0o)
maksimumdur. Bu değerler
ivmelenmenin olmadığı
değerlerdir. RF acceptance’ı
RF voltajı ile artar.
Prof. Dr. A. K. Çiftç
iftçi
UPHDYO3
2020-24 Eylü
Eylül 2007
36