parçacığın kinetiği

3 - PARÇACIĞIN KİNETİĞİ
3/1 GİRİŞ
Kinetik dengelenmemiş kuvvetler ile onların harekette yarattıkları değişiklikler arasındaki bağıntıyı
inceleyen dinamiğin bir koludur. Dengelenmemiş kuvvetler sistemine maruz bir cismin hareketi temelde üç
genel yaklaşım kullanılarak incelenir:
a) Newton’ un 2. yasasının direkt uygulanması
b) İş-Enerji ilkesi
c) İmpuls-Momentum yöntemleri
3/2 NEWTON’ UN 2. YASASI
F2
F3
F1
F
m
Fn
a
Üzerine F1, F2, …, Fn gibi n tane kuvvetin (concurrent forces) etkidiği
m kütleli parçacığı gözönüne alalım. n tane kuvvetin bileşkesi F
olsun. Newton’ un 2. yasasına göre dengelenmemiş kuvvetlerin
etkisindeki parçacık ivmeli hareket yapar. Kinetik, bu dengelenmemiş
kuvvetle onun yolaçtığı hareket ve bu hareketteki değişim arasında
bağ kurar. Temel formül Newton’ un 2. yasasıdır.


 F  ma
(1)
(1) bağıntısı kinetikteki hareket denklemi adını alır. Bağıntıyı aynı parçacık üzerine uygulanan değişik
kuvvetler ve bunların oluşturduğu değişik ivmelerle
F1 F2
F

 ...  n
a1 a 2
an
şeklinde yazarsak bu oranların birbirine eşit ve sabit olduğu deneysel olarak da gösterilebilir. Uygulanan
kuvvetin doğurduğu ivmeye oranı sabittir. Bu sabit (C) parçacığın değişmeyen bir özelliğini simgeler. C
maddeyle ilgili atalet (eylemsizlik) özelliğidir. Eylemsizlik parçacığın ivmelenmesine gösterdiği dirençtir. m
ile gösterilen kütle ise bu eylemsizlik özelliğinin nicel ölçüsüdür.
F
C   km
a
yazılabilir. SI birim sisteminde k=1’ dir. F, m ve a birbirinden bağımsız tanımlanamazlar. SI’ da [F]’ in
birimi mutlak kütle biriminden giderek tanımlandığı için SI sistemine "mutlak sistem" adı verilir.
Birincil (Temel) Eylemsizlik Sistemi (Primary Inertial System)
Bu sistem uzayda ötelenme ve dönme yapmadığı varsayılan sanal bir eksen takımıdır. (1) nolu hareket
denklemi böyle bir sistemde geçerli olduğu gibi bu sisteme göre sabit hızla ötelenme yapan bir sistemde de
geçerlidir. Birçok makina ve yapı elemanlarının hareketleri gözönüne alındığında yeryüzüne iliştirilmiş bir
eksen takımı “Birincil Eylemsizlik Sistemi” yerine geçer. Dünya üzerindeki küçük boyutlu hareketlerde
formülün verdiği sonuç mühendislik hesaplarındaki kabul edilen hata sınırları içinde ve çok küçük kalır.
Öte yandan roket ve uzay aracı dizaynı gibi giderek sayıları artan birçok problemde harekete, dünyanın
hareketinden kaynaklanan ivme bileşenlerinin de doğru ve anlaşılır biçimde katılması gerekir.
Zaman, Newton mekaniğinde mekandan (uzaydan) bağımsız mutlak bir kavramdır. Einstein ise klasik
mekaniğin yasalarını yeniden formüle eden bir yaklaşım ortaya koymuştur (Theory of relativity). Bu teoriye
göre Einstein “mutlak zaman diye bir kavram yoktur, biri diğerine göre bağıl hıza sahip iki koordinat
1
sisteminde yapılan zaman ölçümleri farklı sonuçlar verir” demiştir. Bununla beraber incelenen cismin
hızları ışık hızı mertebesine yaklaşmadığı sürece iki mekaniğin sonuçları birbirine pratik olarak eşittir.
Dinamikte Karşılaşılan Problem Tipleri
1) İvme ya verilir veya verilerden kinematik bağıntılar yardımıyla bulunur. Aranan ise kuvvet veya


kuvvetlerdir. Böyle bir durumda,  F  ma hareket denklemi skaler formda yazıldıktan sonra sağ tarafı
oluşturan veriler yerine konarak kuvvet veya kuvvetler bulunur.
2) Eğer kuvvet zamanın, konumun veya hızın bir fonksiyonu ise hareket denklemi bir bir diferansiyel
denkleme dönüşür. Hızı ve yerdeğiştirmeyi bulmak için denklemin integrali alınır. Eğer kuvvetler sabit ise
ivme de sabittir. Bazı durumlarda bu integralin çözümü çok karmaşık ise grafik veya nümerik integrasyon
teknikleri kullanılır.
Serbest ve Kısıtlanmış Hareket (Constrained and Unconstrained Motion)
(Serbestlik Derecesi-Degree of Freedom)
Bir parçacığın konumunun belirlenmesindeki bağımsız koordinat sayısı serbestlik derecesini verir.
Fiziksel olarak iki farklı tip problem vardır. İlki, parçacığın uzayda serbestçe hareket edebildiği ve herhangi
bir mekanik bağ ile bağlı olmadığı serbest harekettir. Parçacık, ilk hareketi ve dış kaynaklardan üzerine
etkiyen kuvvetlerin belirlediği bir yörünge izler. Bir uçak, roket veya topun hareketi bu tip serbest bir
harekettir.
Kısıtlanmış harekette ise, bir trenin ray üzerinde gitmesi, şaftın üzerindeki
bileziğin hareketi gibi parçacığın yörüngesi mekanik bağlar ile kısmen veya
tamamen belirlenmiş durumdadır. Mil üzerinde hareket eden bilezik tek
serbestlik derecesine sahiptir. Hareketin incelenmesi amacıyla kullanılacak
olan koordinat sistemi ve bu sistemdeki eksen sayısı genel olarak bağ
koşulları ve bağın geometrisi tarafından belirlenir. Örneğin uzayda bir
parçacığın serbest hareketinde, bir roketin serbest uçuşta kütle merkezinin
konumu gibi, konum üç bağımsız koordinat tarafından saptanıyorsa
parçacık üç serbestlik derecesine sahiptir ve hareketin belirlenmesi için üç
denklem kullanılır.
Düz bir yüzeydeki bir bilyanın hareketinde olduğu gibi konum yine birbirinden bağımsız fakat iki
koordinatla belirlenebiliyorsa cisim iki serbestlik derecesine sahiptir ve hareketi iki denklemle ifade edilir.
Serbest Cisim Diyagrami (SCD) [Free-Body Diagram (FBD)]
Hareket denklemlerinin uygulanmasından önce incelenen cisme etkiyen tüm kuvvetleri bir şekil üzerinde
göstermek gerekir. Bu şekile SCD denir. SCD’ de incelenen cisme etkiyen tüm kuvvetler gösterilir. Bunlar
yüzey kuvvetleri ve hacimsel kuvvetleri kapsar. Bu kuvvetlerden bazıları bilinmiyorsa tahmin yapılarak bir
yön verilir. Seçilen koordinat sisteminin doğrultu ve yönleri kinematikte gördüğümüz kurallara ve poblemin
geometrisine uygun seçilmelidir. Temas kuvvetlerinin doğrultuları için statikte görülen kurallar geçerlidir.
2
Düzlemde Parçacığın Kinetiği ile İlgili Formüller:
1) Kartezyen Koordinatlarda:
1)
a x  v x  x
 Fx  ma x
2
2
 F   Fx    Fy 
2)
 Fy  ma y
a y  v y  y
a  a x 2  a y2
2) Doğal Koordinatlarda:


1)
a t  v  s
 Ft  ma t
2
2
 F   Ft    Fn 
2)
2
v 2 s 
an 





 Fn  ma n
a  at2  an2
3) Polar Koordinatlarda:
1)
 Fr  ma r a r  r  r 2
2
2
 F   Fr    F 
2)
a   r  2r
 F  ma 
a  a r 2  a 2
Uzayda Parçacığın Kinetiği ile İlgili Formüller:
1) Kartezyen Koordinatlarda:
1)
 Fx  ma x
 Fy  ma y
2)
a x  v x  x
a y  v y  y
2
2
2
 F   Fx    Fy    Fz 
3)
 Fz  ma z
a z  v z  z
a  a x 2  a y2  a z2
2) Silindirik Koordinatlarda:
1)  Fr  ma r
a r  r  r 2
2)  F  ma 
3)  Fz  ma z
a   r  2r
a z  v z  z
2
2
2
 F   Fr    F    Fz 
a  a r 2  a 2  a z 2
3) Küresel Koordinatlarda:
1)  FR  ma R
2)  F  ma 
  R cos 2  2  R 2
aR  R
a   R cos   2R cos   2R sin  
a  R  2R   R cos  sin  2
3)  F  ma 

2
2
2
 F   FR    F    F 
a  a R 2  a 2  a 2
3


Bazı durumlarda, parçacığın ivmesi bağıl hareket denklemleriyle çıkartılır ve daha sonra  F  ma
denklemine uyarlanır.
Yukarıda çıkardığımız denklemlerin hepsi anlık bağıntıları ifade eder; yani belirli bir anda parçacık üzerine
etkiyen net dengelenmemiş kuvvetle onun neden olduğu ivme arasında sözkonusu an için geçerli olan
bağıntıyı verirler. Eğer parçacığa etkiyen kuvvetler değişken ise ivme de değişken olur. Bu durumda
deplasman ve hızdaki değişimleri uygun 2. mertebe diferansiyel denklemler kurarak, bunları çözmek
suretiyle inceleyebiliriz.
Bir problemde hareket denklemleri yazılıp çözüme girişilmeden, parçacığa ilişkin serbest cisim

diyagramının kesinlikle doğru ve eksiksiz biçimde çizilmesi gerekir. Ancak bu sayede  F içindeki
kuvvetleri tam olarak yazabiliriz. Bu iş için parçacığa (cisme) ister doğrudan temas yoluyla, isterse uzaktan
etkisin tüm diğer cisimlerin önce incelediğimiz parçadan ayrıştırılması ve ayrıştırılan herbir cisim yerine de
onun parçacık üzerine olan kuvvet etkisinin belirtilmesi gerekir.
Parçacığa etkiyen tüm kuvvetler serbest cisim diyagramı üzerinde seçilen koordinat sisteminin (+) ve ()
yönleriyle birlikte gösterilmelidir.
Parçacığa etkiyen kuvvetler arasında ilk bakışta farkedilmeyen ama varolup hesaba katılması gereken
kuvvetler de vardır. Bunlara örnek olarak ip ve tellerdeki gerginlik kuvvetlerini, sürtünme kuvvetlerini ve
yüzeylerin tepkilerini verebiliriz.
4