ünite 1. ünite 1. ünite 1. ünite 1. ünit

SAYMA ve OLASILIK
. ÜNİTE
1. ÜNİTE
1. ÜNİTE
1. ÜNİTE
Sıralama ve Seçme
1.
Kazanım
: Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar.
2.
Kazanım
: Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini (permütasyonlarını) örneklerle
açıklar.
3.
Kazanım
: n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilip sıralanabileceğini
hesaplar.
4.
Kazanım
: n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplar.
5.
Kazanım
: Pascal özdeşliğini gösterir ve Pascal üçgenini oluşturur.
6.
Kazanım
: Binom teoremini açıklar ve açılımdaki katsayıları Pascal üçgeni ile ilişkilendirir.
Koşullu Olasılık
1.
Kazanım
: Koşullu olasılığı örneklerle açıklar.
2.
Kazanım
: Bağımlı ve bağımsız olayları örneklerle açıklar; gerçekleşme olasılıklarını hesaplar.
3.
Kazanım
: Bileşik olayların olasılıklarını hesaplar.
1. ÜNİT
®
Toplama Yoluyla Sayma
Bir olayın oluşumu için birden fazla seçenek varsa
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri sayısına
ve bu olayın oluşumu için bu seçeneklerden bir
n nin r li kombinasyonları denir.
ve yalnız biri aynı anda kullanılabiliyorsa, olay
n nin r li kombinasyonlarının sayısı
oluşur.
n
n!
biçiminde bulunur.
c m = C (n, r) =
r!. (n – r) !
r
Çarpma Yoluyla Sayma
®
n
n
m
c m=c
r
n–r
®
c
®
n
n
c m=c m=1
n
0
®
n
n
m=n
c m=c
1
n–1
®
P(n,r) = C(n,r).r!
®
n
n
n
n
c m + c m + c m + … + c m = 2n
0
1
2
n
®
n
n. (n – 1) . (n – 2)
c m=
3.2.1
3
®
Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. n elemanın
bu seçeneklerin toplamı kadar değişik şekilde
®
KOMBİNASYON (SEÇME)
Bir olaylar dizisinde birinci olay n1 değişik
biçimde, bunu izleyen ikinci olay n2 değişik
şekilde ve bu şekilde işleme devam edildiğinde r.
olay nr değişik şekilde oluşuyorsa, olayın tamamı
n1. n2. n3 ..... nr çarpımı kadar değişik şekilde
oluşur.
FAKTÖRİYEL KAVRAMI
1 den n ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına
n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.
n! = 1. 2. 3 .... (n – 1).n
0! = 1
n
n
n+1
m+c m = d
n
r –1
r
r
r li seçimleri söz konusudur. Permütasyonda ise
sıralı diziliş vardır.
1! = 1 olarak tanımlanır.
BİNOM AÇILIMI
(x ! y) n açılımına binom açılımı denir.
PERMÜTASYON (SIRALAMA)
n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane
n
n
n
n
(x + y) n = c m x n + c m x n–1 y + c m x n–2 y 2 + … + c m y n
0
1
2
n
elemanından oluşmuş sıralı r lilerin herbirine n nin r
(x ± y)n açılımında;
li bir permütasyonu denir.
®
n nin r li permütasyonlarının sayısı
Her terimdeki x ve y çarpanlarının üsleri toplamı
n dir.
P( n, r) ile gösterilir.
®
n + 1 tane terim vardır.
n!
P (n, r) =
( n – r) !
®
n
xr li terim c m .x r .y n–r dir.
r
®
P(n,n) = n!
®
®
P(n,0) = 1
n
Baştan (r + 1). terim, c m x n – r .y r dir.
r
®
P(n,1) = n
®
n
Sondan (r + 1). terim, c m xr.yn–r dir.
r
10
®
Kat sayıları toplamı x = y = 1 alınarak bulunur.
®
Ortanca terim için r =
®
A, B ⊂ E ve P bir olasılık fonksiyonu ise
n
dir.
2
Paskal Üçgeni
Binom açılımındaki kat sayıları bulmak için
kullanılır.
(x + y)0
1
1
1
1
3
1 4
1 5 10
a.
P(∅) = 0
b.
A ⊂ B ise P(A) ≤ P(B)
c.
A′ = E – A ise
P(E) = P(A) + P(A′) = 1
d.
(x + y)1
1
2
Teorem:
6
(x + y)3
1
4
olur.
(x + y)2
1
3
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
1
10 5 1
®
(x + y)4
Eş Olumlu Örnek Uzay
E = {a1, a2, ......., an } bir sonlu örnek uzay olsun.
(x + y)5
P(a1) = P(a2) = ....... = P(an) ise E örnek uzayına
eş olumlu örnek uzay adı verilir.
Eş olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe, olasılık
s (A)
olarak alınır.
fonksiyonu P (A) =
s (E)
OLASILIK
®
Örnek Uzay: Bir deneyde elde edilebilecek tüm
sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile
İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme-
gösterilir.
mesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa
bu iki olaya bağımsız olaylar denir.
®
Olay: Örnek uzayın herbir alt kümesine bir olay
denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye
ise olanaksız (imkansız) olay denir.
P(A∩B) = P(A).P(B)
Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı
olaylar denir.
Bir örnek uzaya ait iki olayın arakesitleri (kesişimleri) boş küme ise bu iki olaya ayrık (bağımKOŞULLU OLASILIK
sız) olaylar denir.
E örnek uzay ve A ile B herhangi iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının gerçekOlasılık Fonksiyonu
leşmesi olasılığına A olayının B ye bağlı koşullu ola-
E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu
sılığı denir ve P( A / B) biçiminde gösterilir.
küme (kuvvet kümesi) K olsun.
P (A / B) =
P : K → [0,1]
fonksiyonu
aşağıdaki
aksiyomları
sağlarsa
P
®
fonksiyonuna olasılık fonksiyonu, P(A) görüntüsüne
A ⊂ E ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1
ii.
P(E) = 1
iii.
A,B ⊂ E ve A∩B = ∅ ise
E eş olumlu örnek uzay ise,
P (A / B) =
de A olayının olasılığı denir.
i.
P (A + B)
dir.
P (B)
®
s (A + B)
dir.
s (B)
A nın B koşullu olasılığı hesaplanırken B kümesi
örnek uzay olarak düşünülüp işlem yapılabilir.
P(A∪B) = P(A) + P(B)
11
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 1
a.
REHBER SORU 2
{1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak üç
basamaklı
2 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde
atılabilir?
a.
b. Her kutuya en çok bir mektup atmak koşuluyla 2
mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde
b. Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
atılabilir?
c.
Çözüm
3 mektup 4 posta kutusuna kaç değişik şekilde
atılabilir?
2.
3 mektup 4 posta kutusuna, her kutuya en çok bir
En az iki rakamı aynı olan kaç sayı yazılabilir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
1.
Kaç sayı yazılabilir?
1.
{1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak
üç basamaklı sadece 2 rakamı aynı olan kaç sayı
yazılabilir?
2.
{1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak
üç basamaklı, rakamları farklı, 5 ile bölünebilen
mektup atılmak koşuluyla kaç türlü atılabilir?
kaç sayı yazılabilir?
3.
12 kişilik bir sınıfta bir başkan, bir başkan yardım-
3.
{1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanlarını kullanarak 4 basamaklı, rakamları farklı 4000 den büyük
cısı kaç türlü seçilebilir?
kaç sayı yazılabilir?
4.
A kentinden B kentine 3, B kentinden C kentine
4 farklı yol vardır. Bir araç hem giderken hem de
4.
{1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak
dönerken B ye uğramak koşuluyla A dan C ye
üç basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazıla-
kaç türlü gidip gelebilir?
bilir?
12
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 3
REHBER SORU 4
A = {0, 1, 2, 3, 4 } kümesinin elemanlarını kullanarak
üç basamaklı
a. Kaç sayı yazılabilir?
56 fotoğraf el değiştirdiğine göre bu grupta kaç kişi
b. Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
vardır?
c.
Herkesin birbirine fotoğraf verdiği bir grupta toplam
Rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
{0, 1, 2, 3 } kümesinin elemanlarını kullanarak üç
miştir. Toplam kaç fotoğraf dağıtılmıştır?
{0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı rakamları farklı kaç sayı
ESEN YAYINLARI
basamaklı kaç sayı yazılabilir?
2.
12 kişilik bir grupta herkes birbirine fotoğraf ver-
2.
10 kişilik bir arkadaş grubunda herkes birbiri ile
tokalaşmıştır. Toplam kaç tokalaşma olmuştur?
yazılabilir?
3.
3.
{0, 1, 2, 3, 4 } kümesinin elemanları ile rakamları
Herkesin birbiri ile tokalaştığı bir grupta toplam
78 tokalaşma olmuşsa bu grupta kaç kişi vardır?
farklı, üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
4.
4.
Herkesin birbirine fotoğraf verdiği bir grupta, 72
{0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile rakam-
fotoğraf el değiştirmişse bu grupta kaç kişi var-
ları farklı dört basamaklı 3000 den büyük kaç
dır?
sayı yazılabilir?
5.
5.
16 takımlı bir futbol liginde her takım birbiriyle 2
{0, 1, 3, 5, 7 } kümesinin elemanları ile 4 basa-
maç yapacaktır. Sezon sonuna kadar kaç maç
maklı kaç çift sayı yazılabilir?
yapılmış olur?
13
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 5
REHBER SORU 6
Aşağıdaki işlemleri sonuçlandırınız.
a.
12!
10!
b.
6! + 7!
8!
c.
A = 1! + 2! + 3! + ...... + 120! olmak üzere,
(n + 2) !
n!
a.
b. A sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm
2.
Çözüm
7!
ifadesinin eşitini bulunuz.
5!
5! + 6!
ifadesinin eşitini bulunuz.
6! + 7!
1.
2.
2! + 3! + 4! + 5! + ...... + 34! toplamının 30 ile
bölümünden kalan kaçtır?
3.
(3!) !.7
ifadesinin eşitini bulunuz.
8!
3.
4.
n! + (n + 1) !
ifadesinin eşitini bulunuz.
(n + 2) !
4.
5.
7! + 8!
ifadesinin eşitini bulunuz.
7! – 6!
14
0! + 2! + 4! + ...... + 42! sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1.
A sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
2! + 3! + 4! + ...... + 50! toplamının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?
1! + 3! + 5! + ...... + 37! toplamının birler basamağındaki sayı kaçtır?
5.
6! + 8! + 10! + ...... + 72! toplamından elde edilecek sayının onlar basamağındaki rakam kaçtır?
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 7
REHBER SORU 8
x ve y doğal sayılar olmak üzere, 28! = 3x.y eşitliğini
P(n, 2) = 2P(n – 1, 2) eşitliğini sağlayan n değerini
sağlayan en büyük x değeri kaçtır?
bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
43! = 3x.y eşitliğinde x ve y birer doğal sayı ise x
1.
en çok kaçtır?
29! = 4x.y eşitliğinde x ve y birer doğal sayı ise x
en çok kaçtır?
3.
tır?
ESEN YAYINLARI
2.
P(n+1, 5) = 5P(n, 3) eşitliğini sağlayan n kaç-
2.
5P(4, n) = 2P(5, n) eşitliğini sağlayan n kaçtır?
3.
P(n, 0) + P(n, n) + P(n, 1) = 29 eşitliğini sağlayan
n kaçtır?
32! = 6x.y eşitliğinde x ve y birer doğal sayı ise x
in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
4.
P(n, 1) + P(n, 2) = 25 eşitliğini sağlayan n kaçtır?
4.
48! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
5.
53! – 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur?
5.
P(n – 1, 4) = 2P(n – 1, 2) eşitliğini sağlayan n
kaçtır?
15
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 9
REHBER SORU 10
4 kız ve 3 erkek yan yana
A = {a, b, c, d, e }
a.
kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde
a bulunur?
c.
nın sayısını bulunuz.
2.
ESEN YAYINLARI
A = {1, 2, 3, 4 } kümesinin 3 lü permütasyonları-
Bir kız - bir erkek düzeninde kaç türlü sıralanabilirler?
Çözüm
Çözüm
1.
Kaç farklı şekilde sıralanabilir?
b. Erkekler bir arada olmak koşuluyla kaç türlü sıralanabilir?
1.
5 matematik, 4 kimya kitabı bir kütüphanenin
rafına
a. Kaç türlü sıralanabilir?
6 tane ikili permütasyonu olan küme kaç elemanlıdır?
b. Matematikler bir arada olmak koşuluyla kaç
türlü sıralanabilir?
3.
A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde a bulunur?
4.
A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde 1 veya 2 bulunur?
5.
A = {a, b, c, d, e } kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde a ve b bulunur?
16
c. Aynı tür kitaplar bir arada olmak koşuluyla
kaç türlü sıralanabilir?
d. Bir matematik - bir kimya kitabı olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?
e. Matematikler bir arada ve hep ortada olmak
koşuluyla kaç türlü sıralanabilir?
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 11
REHBER SORU 12
6 kişinin katıldığı bir yarışmada ilk üç sıra kaç deği-
C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + C(n, n) = 23 eşitliğini
şik biçimde oluşabilir?
sağlayan n kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
7 kişinin katıldığı bir yarışmada ilk üç sıra kaç
{a, b, c, d, e } kümesindeki harfleri kullanarak
anlamlı ya da anlamsız üç harfli kaç sözcük oluşturulabilir?
ESEN YAYINLARI
2.
C(7, 1) + C(7, 7) + C(7, 3) + C(8, 0) toplamının
eşiti kaçtır?
değişik biçimde oluşabilir?
2.
8
8
8
8
d n + d n + d n + … + d n toplamının eşiti kaçtır?
0
1
2
7
3.
C(n, n–2) + C(n, 1) = 28 eşitliğini sağlayan n
kaçtır?
3.
{1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
4.
4.
5 farklı oyuncak, 3 çocuğa her birine 1 oyuncak
C(n+1, n) + C(n, 0) = 8 eşitliğini sağlayan n
kaçtır?
vermek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
5.
6 kişiden 3 kişi yan yana duran 3 sandalyeye kaç
değişik şekilde oturabilir?
5.
P(n, 2) + C(n, 2) = 30 eşitliğini sağlayan n kaçtır?
17
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 13
REHBER SORU 14
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 4 elemanlı alt küme-
6 kız, 3 erkekten oluşan bir arkadaş grubu içinden 3 ü
lerinin kaç tanesinde 2 bulunur?
kız, 2 si erkek olan 5 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?
Çözüm
Çözüm
1.
A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin 3 elemanlı alt küme-
1.
lerinin kaç tanesinde 1 bulunur?
A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur, b bulunmaz?
erkek olan 5 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?
2.
ESEN YAYINLARI
2.
kaç ekip oluşturulabilir?
4.
Hepsi birbirinden farklı olan 4 Türkçe, 5
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 4 elemanlı alt
Matematik, 6 Kimya kitabı arasından 2 Türkçe, 3
kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 3 bulunur?
Matematik ve 1 Kimya kitabı kaç türlü seçilebilir?
5.
5.
6 Türkçe, 5 Matematik öğretmeninin bulunduğu
bir gruptan en az biri matematikçi olan 5 kişilik
A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 elemanlı alt
kümelerinin kaç tanesinde a ve b bulunur?
4.
6 kız, 4 erkekten oluşan bir gruptan en az 3 ü
erkek olan 4 kişilik ekip kaç türlü oluşturulabilir?
3.
3.
5 kız, 4 erkekten oluşan bir gruptan 2 si kız 3 ü
10 soruluk bir sınavda, soruların 6 tanesini ya-
A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin 3 elemanlı alt
nıtlayacak olan bir öğrenci ilk 4 sorudan en az
kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 bulunur 3
3 ünü yanıtlamak koşuluyla kaç değişik seçim
bulunmaz?
yapabilir?
18
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 15
REHBER SORU 16
a.
E
p
F
K
L
M
t
Şekildeki iki doğru üzerindeki 9 nokta ile, köşeleri bu
Kaç çokgen oluşturur?
noktalar olan kaç üçgen oluşturulabilir?
Çözüm
1.
D
C
Kaç doğru oluşturur?
b. Kaç üçgen oluşturur?
c.
B
A
Herhangi üçü doğrusal olmayan 8 nokta en fazla
Çözüm
1.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 nokta ile en
B
A
C
fazla kaç üçgen oluşturulabilir?
Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 nokta ile en
fazla kaç dörtgen oluşturulabilir?
ESEN YAYINLARI
2.
D
E
F
K
Şekildeki 7 nokta ile kaç üçgen oluşturulabilir?
2.
4 tanesi doğrusal olan 9 noktadan en fazla kaç
üçgen oluşturulabilir?
3.
Bir çember üzerindeki 9 noktadan bir tanesi A
dır. Bu noktalarla bir köşesi A olan kaç üçgen
oluşturulabilir?
3.
C
A
4.
B
C
Bir çember üzerindeki 10 noktadan iki tanesi A
ve B dir. Bu noktalarla iki köşesi A ve B olan kaç
üçgen oluşturulabilir?
K
F
E
D
k
k ve C doğruları üzerindeki 7 nokta ile;
a. Kaç doğru oluşturulabilir?
5.
Bir çember üzerindeki 7 nokta ile kaç çokgen
oluşturulabilir?
b. Kaç üçgen oluşturulabilir?
c. Bir köşesi A olan kaç üçgen oluşturulabilir?
19
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 17
REHBER SORU 18
Şekildeki yatay ve düşey doğ-
5 farklı çemberin kesişmesi ile en çok kaç tane
rular kendi aralarında paralel-
kesim noktası oluşur?
dirler. Bu doğrularla kaç paralelkenar oluşmuştur?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
3 paralel yatay doğru ile 4 paralel düşey doğru
kesişir?
ESEN YAYINLARI
kaç paralelkenar oluşturur?
2.
Şekildeki yatay ve düşey doğrular kendi
aralarında paraleldir.
Bu
doğrularla
kaç
2.
Herhangi 4 üçgenin herhangi iki kenarı veya
kenarlarının bir parçası çakışık değildir. Bu üç-
paralelkenar oluşmuş-
genler en çok kaç noktada kesişir?
tur?
3.
Herhangi 6 farklı çember en çok kaç noktada
Şekildeki yatay doğrular düşey doğrulara diktir. Şekilde
3.
kaç dikdörtgen vardır?
Herhangi 4 dörtgenin herhangi iki kenarı veya
kenarlarının bir parçası çakışık değildir. Bu dörtgenler en çok kaç noktada kesişir?
4.
Şekilde bir kenarı 3 br olan
kare yatay ve düşey doğrularla bölünmüştür. Şekildeki
dikdörtgenlerden kaç tanesi
kare değildir?
1
1
1
1
1
1
1
1
1
20
1
1
1
4.
Kenarları veya kenarlarının parçaları çakışık olmayan 5 kare en çok kaç noktada kesişir?
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 19
REHBER SORU 20
(3x – 2y)3
(2x – 4y)n açılımında 5 terim bulunduğuna göre, bu
ifadesinin açılımını yapalım.
terimlerin kat sayıları toplamı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
(3x – 4y)2 ifadesinin açılımını yapınız.
1.
(2x – 4y)5 açılımında kat sayılar toplamı kaçtır?
2.
(x + 3y)3 ifadesinin açılımını yapınız.
2.
(2a – b + c)6 açılımında kat sayılar toplamı kaç-
ESEN YAYINLARI
tır?
(3x – y)n açılımında 6 terim bulunduğuna göre,
3.
(2x – y)4 ifadesinin açılımını yapınız.
3.
4.
ca –
b 4
m ifadesinin açılımını yapınız.
2
4.
(x2 – x + 4)3 açılımında sabit terim kaçtır?
5.
(2x – ay)6 açılımında kat sayılar toplamı 64 ise
5.
(2a – b)5 ifadesinin açılımını yapınız.
bu terimlerin kat sayıları toplamı kaçtır?
a nın pozitif değeri kaçtır?
21
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 21
REHBER SORU 22
(2x – y)5 açılımında baştan 3. terim nedir?
(2x – y)6 açılımında ortadaki terim nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
(3x – y)4 açılımında baştan 2. terim nedir?
1.
(3x – y)4 açılımında ortadaki terim nedir?
2.
(2x + 1)5 açılımında baştan 3. terimin kat sayısı
2.
(2a + b)6 açılımında ortadaki terim nedir?
3.
(x – vx)8 açılımında ortadaki terimin kat sayısı
ESEN YAYINLARI
kaçtır?
1 6
– m açılımında baştan 4. terim nedir?
x
3.
c
4.
(vx – x)6 açılımında baştan 3. terim nedir?
x2
kaçtır?
4.
(1 – 2x2)6 açılımında ortadaki terimin kat sayısı
kaçtır?
5.
(2x + y)9 açılımında baştan 5. terimin kat sayısı
kaçtır?
22
5.
c 2x –
3 4
m açılımında ortadaki terim nedir?
x
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 23
c
REHBER SORU 24
6
1
+ x 2 m açılımındaki terimlerden biri Ax6 ise
x
(2x – y)5
açılımında sondan 3. terim nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
(x2 – 1)6 açılımında x8 li terimin kat sayısı kaçtır?
2.
cx –
3.
4.
1 8
5
m açılımında x li terimin kat sayısı kaçtır?
x2
8
1
– 3 x m açılımında x li terimin kat sayısı
x
kaçtır?
c
2
(x –
2x)6
açılımındaki terimlerden biri
Ax9
ESEN YAYINLARI
A kaçtır?
1 10
m açılımında sondan 4. terim nedir?
x
1.
cx –
2.
(x2 – 1)6 açılımında sondan 5. terim nedir?
3.
c x2 –
4.
(x2 – 2y2)7 açılımında sondan 4. terimin kat sa-
1 8
m açılımında sondan 3. terim nedir?
x
yısı kaçtır?
ise
A kaçtır?
5.
(x2 – y)n açılımındaki terimlerden biri Ax6y9 ise
A kaçtır?
5.
2 6
n açılımında sondan 2. terimin kat sayıa
sı kaçtır?
da +
23
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 25
REHBER SORU 26
1 8
cx + m
x
(x + y – 2z)6 açılımındaki terimlerden biri Ax2y3z
ise A kaçtır?
açılımındaki sabit terim kaçtır?
Çözüm
2.
cx –
2 6
m açılımındaki sabit terim kaçtır?
x
cx2 –
1 9
m açılımındaki sabit terim kaçtır?
x
1.
(x – 2y – z)6 açılımında terimlerden biri
Ax2y3z ise A kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1.
Çözüm
2.
(x – 3y + z)6 açılımındaki terimlerden biri
Ax3y2z ise A kaçtır?
3.
2
cx +
a 8
m açılımındaki sabit terim 70 ise a nın
x2
pozitif değeri kaçtır?
4.
n
1
– x m açılımında baştan 7. terim sabit oldu2
x
ğuna göre n kaçtır?
c
24
3.
(x – y + 2z)5 açılımındaki terimlerden biri
Ax2yz2 ise A kaçtır?
4.
(x – y + z2)8 açılımındaki terimlerden biri
Ax3y2z6 ise A kaçtır?
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 27
REHBER SORU 28
E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun.
1
1
1
, P(B) =
ve P(A ∪ B) =
ise
P(A) =
4
3
2
Bir sınıfta futbol oynayan 12, basketbol oynayan 10,
P(A \ B) kaçtır?
rencinin futbol oynadığı bilindiğine göre, bu öğrenci-
her ikisini de oynayan 4 ve ikisini de oynamayan 3
öğrenci vardır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğnin basketbol da oynayan biri olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
1.
E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun.
P(A ∩ B) =
1
1
ve P(B) =
ise P(A \ B)
12
3
kaçtır?
çift sayı olduğu bilindiğine göre, toplamlarının tek
sayı olma olasılığı kaçtır?
2.
2.
E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinden rastgele iki
sayı seçiliyor. Seçilen iki sayının çarpımlarının
ESEN YAYINLARI
1.
Çözüm
Bir torbada özdeş 3 beyaz, 4 kırmızı, 5 mavi bilye
vardır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin
A ve B aynı örnek uzaya ait iki farklı olay olmak
1
3
ve P(A′ ∪ B′) =
ise P(B)
üzere, P(A \ B) =
3
4
kaçtır?
mavi olmadığı bilindiğine göre, beyaz olma olasılığı kaçtır?
3.
Bir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı kız öğrencidir. Kız
öğrencilerin % 60 ı, erkek öğrencilerin % 80 i ma-
3.
E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun.
tematik dersinden geçmiştir. Bu sınıftan rastgele
5
8
seçilen bir öğrencinin matematik dersinden geç-
1
P(A) = 1 , P(B) =
4
2
ise P(A \ B) kaçtır?
ve P(A ∪ B) =
tiği bilindiğine göre, erkek öğrenci olma olasılığı
kaçtır?
25
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 29
REHBER SORU 30
1
tür. Bu avcının
3
hedefi üçüncü atışta vurma olasılığı kaçtır?
Bir avcının hedefi vurma olasılığı
İki zar atıldığında gelen sayıların toplamının 10
olduğu biliniyorsa, sayıların ikisinin de tek olma
olasılığı kaçtır?
Çözüm
1.
Çözüm
İki zar atıldığında gelen sayıların toplamının 8
1.
olduğu biliniyorsa sayıların ikisinin de çift olma
2.
3.
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Zarın
ESEN YAYINLARI
olasılığı kaçtır?
2.
Bir avcının hedefi vurma olasılığı 2 tir. Bu avcı5
nın hedefi 2. atışta vurma olasılığı kaçtır?
Bir avcının hedefi vurma olasılığı 1 tür. 3 atış
4
yapan bu avcının bu atışların herhangi birinde
üstündeki sayının 3 ten küçük olduğu biliniyorsa,
hedefi vurma (diğerlerinde vurmama) olasılığı
paranın tura gelme olasılığı kaçtır?
kaçtır?
Bir madeni para 4 kez art arda atılıyor. İlk ikisinde
3.
Bir yarışı A nın kazanma olasılığı 2 , B nin ka3
zanma olasılığı 1 tür. A ve B den sadece birinin
4
yazı geldiği biliniyorsa, diğer ikisinde tura gelme
olasılığı kaçtır?
kazanma olasılığı kaçtır?
4.
A torbasında 3 sarı, 5 mavi; B torbasında 2 sarı,
6 mavi bilye vardır. Torbalardan biri rastgele
alınıp içinden bir bilye çekiliyor. Bilyenin mavi olduğu biliniyorsa, B torbasından çekilme olasılığı
kaçtır?
26
4.
Bir yarışı A nın kazanma olasılığı 2 , B nin ka5
zanma olasılığı 1 , C nin kazanma olasılığı 3
3
8
dir. Bu üçünden en az birinin yarışı kazanma
olasılığı kaçtır?
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 31
REHBER SORU 32
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın
yazı ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
yazı veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor.
Bir madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor.
Buna göre, paranın yazı veya zarın 3 ten küçük
Paranın tura ve zarın tek gelme olasılığı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
gelme olasılığı kaçtır?
2.
Bir madeni para ile bir çift zar aynı anda atılıyor.
2.
Paranın tura ve zarların üst yüzüne gelen sayıla-
Paranın yazı veya zarların üst yüzüne gelen sa-
rın toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?
yıların çarpımının 6 olma olasılığı kaçtır?
3.
3.
Bir madeni para ile bir çift zar aynı anda atılıyor.
Bir sınıftaki 10 kız öğrencinin 4 ü gözlüklü ve 12
İki madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor.
erkek öğrencinin 6 sı gözlüklüdür. Bu sınıftan
Paralardan en az birinin yazı ve zarın tek sayı
seçilen bir öğrencinin erkek veya gözlüklü olma
gelme olasılığı kaçtır?
olasılığı kaçtır?
27
Sayma ve Olasılık
REHBER SORU 33
REHBER SORU 34
İki torbadan birincisinde 3 beyaz, 4 kırmızı, ikincisin-
İki torbadan birincisinde 2 beyaz, 4 kırmızı; ikincisin-
de 4 beyaz, 5 kırmızı bilye vardır. Torbalardan biri
de 3 beyaz, 2 kırmızı bilye vardır. Birinci torbadan
rastgele seçilip içinden bir bilye alınırsa bu bilyenin
bir bilye alınıp ikinci torbaya atılıyor ve ikinci torba-
beyaz olma olasılığı nedir?
dan bir bilye alınıyor. Bunun beyaz olma olasılığı
kaçtır?
Çözüm
1.
I. torbada 4 sarı, 2 beyaz, II. torbada 3 sarı, 3
beyaz bilye vardır. Torbalardan biri rastgele seçilip içinden bir bilye alınıyor. Bu bilyenin sarı olma
olasılığı kaçtır?
2.
I
II
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
İki torbadan birincisinde 4 sarı, 3 mavi bilye, ikincisinde 5 sarı, 2 mavi bilye vardır. 1. torbadan bir
bilye alınıp 2. torbaya atılıyor ve 2. torbadan bir
bilye alınıyor. Bunun mavi olma olasılığı kaçtır?
III
4 mavi
3 mavi
5 mavi
3 beyaz
4 beyaz
2 beyaz
2.
İki torbadan birincisinde 3 beyaz, 2 siyah, 4 yeşil
bilye, ikincisinde 2 beyaz, 1 siyah, 5 yeşil bilye
vardır. 1. torbadan bir bilye alınıp 2. torbaya atılı-
Kutulardaki bilye sayısı ve renkleri ifade edilmiş-
yor ve 2. torbadan bir bilye alınıyor. Bunun siyah
tir. Bu kutulardan biri rastgele alınıp içinden bir
olma olasılığı kaçtır?
bilye seçilirse bu bilyenin mavi olma olasılığı kaç
olur?
3.
İki torbadan birincisinde 3 kırmızı, 2 yeşil, ikin-
3.
A torbasında 2 beyaz, 3 kırmızı, B torbasında 3
cisinde 2 kırmızı, bir miktar yeşil bilye vardır.
beyaz, 4 kırmızı bilye vardır. Aynı anda her iki
Torbalardan biri rastgele alınıp içinden bir bilye
çekiliyor. Bu bilyenin yeşil olma olasılığı 9 ise
20
ikinci torbada kaç tane yeşil bilye vardır?
torbadan birer bilye alınıp diğer torbaya atılıyor.
28
Torbalardaki beyaz ve kırmızı bilye sayılarının
başlangıçtaki ile aynı olma olasılığı kaçtır?
TEST –
1.
1
Permütasyon
5.
(x + 1) ! + x!
x2
+
ifadesinin eşiti aşağıdakilerx! + (x – 1) ! x + 1
rakamları farklı, üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
den hangisidir?
A) x2
B) 2x
D) x + 1
2.
A = {0, 1, 3, 4 } kümesinin elemanları kullanılarak
A) 8
C) 1
B) 12
C) 18
D) 24
E) 30
E) x + 2
P(n, 2) = 56 ise n kaçtır?
6.
A = {0, 3, 5, 6, 8 } kümesinin elemanları ile
6000’den büyük, rakamları farklı ve 5 ile tam
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
bölünebilen kaç sayı yazılabilir?
B) 64
C) 56
D) 48
E) 36
ESEN YAYINLARI
A) 66
3.
12 kişilik bir kuruldan 1 başkan, 1 başkan yardımcısı ve 1 sekreter seçilecektir. Bu seçim kaç
değişik biçimde yapılabilir?
7.
A) 1320 B) 1300 C) 1250 D) 1200 E) 1100
{a, b, c, d, e } kümesinin üçlü permütasyonlarının
kaç tanesinde a bulunur, b bulunmaz?
A) 24
4.
B) 20
C) 18
D) 16
E) 12
A kenti ile B kenti arasında 4 değişik yol, B
kenti ile C kenti arasında 3 değişik yol vardır.
A kentinden C ye gidip tekrar A ya dönmek is-
8.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları kulla-
teyen biri giderken ve dönerken B den geçmek
nılarak rakamları farklı, üç basamaklı 400 den
koşulu ile kaç değişik yol izleyebilir?
küçük kaç sayı yazılabilir?
A) 12
B) 24
C) 36
D) 48
E) 144
A) 60
B) 90
C) 120
D) 150
E) 180
29
Sayma ve Olasılık
9.
13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin farklı elemanları
4 kişi arkada, 5 kişi önde olmak üzere 9 kişi
kaç farklı şekilde resim çektirebilir?
kullanılarak 400 den büyük 3 basamaklı kaç
sayı yazılabilir?
A) 9
B) 4!
C) 5!
D) 4!.5!
E) 9!
A) 48
B) 60
C) 72
D) 96
E) 120
10. {0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile 2 ba-
14. ÜÇGEN sözcüğündeki harflerin yerleri değiştiri-
samaklı, rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
lerek anlamlı ya da anlamsız, 5 harfli kaç sözcük
türetilebilir?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
ESEN YAYINLARI
A) 116
11. Aralarında Ayşe ve Ali’nin bulunduğu 5 kişi bir
B) 120
C) 124
D) 130
E) 150
15. {0, 1, 2, 3, 5, a, b } kümesinin elemanları ile
52 tane üç basamaklı rakamları farklı çift sayı
sıraya Ayşe ve Ali daima yan yana oturmak ko-
yazılabildiğine göre (a, b) ikilisi aşağıdakilerden
şuluyla kaç değişik biçimde oturabilir?
hangisi olabilir?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 36
E) 48
A) (2, 5)
B) (2, 7)
D) (4, 7)
12. A = {2, 4, 5, 7, 9 } kümesinin elemanları ile ra-
C) (2, 4)
E) (4, 9)
16. 5 kişilik bir arkadaş grubu 7, 8, 9, 10, 11 nu-
kamları farklı 4 ile bölünebilen üç basamaklı kaç
maralı sinema koltuklarına belli iki kişi yan yana
sayı yazılabilir?
olmak koşuluyla kaç değişik biçimde oturabilir?
A) 30
30
B) 24
C) 18
D) 12
E) 9
A) 120
B) 72
C) 64
D) 48
E) 24
TEST –
1.
3
Kombinasyon
5.
C(n, 1) + C(n, 2) = 10 eşitliğini sağlayan n doğal
sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
10 kişilik bir grup içinden önce bir başkan, sonra
da 3 başkan yardımcısı seçilecektir. Bu 4 kişilik
ekip kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 240
2.
C(2n, 2) – C(n, 1) = 60 ise n kaçtır?
6.
B) 480
C) 600
D) 840
E) 1020
6 bayan, 4 erkek arasından ikisi bayan, ikisi
erkek olmak üzere bir temsilci grubu oluşturula-
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
caktır. Kaç değişik grup oluşturulabilir?
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
ESEN YAYINLARI
A) 30
3.
n
n
n
c m = c m ise c m kaçtır?
2
6
4
A) 24
B) 35
C) 48
7.
D) 64
n elemanlı bir kümenin (n – 2) elemanlı alt
kümelerinin sayısı 10 olduğuna göre kümenin
E) 70
eleman sayısı nedir?
A) 4
4.
5.P(n, 2) = P(n, 3) ise C(n, 4) aşağıdakilerden
B) 40
C) 6
D) 7
E) 8
{a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur, b bulunmaz?
hangisine eşittir?
A) 42
8.
B) 5
C) 35
D) 20
E) 15
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
33
Sayma ve Olasılık
9.
9 soruluk sınava giren bir öğrenci 5 soru yanıt-
13. Düzlemdeki 8 doğrudan 3 tanesi paraleldir.
layacaktır. İlk 3 sorunun en az ikisini yanıtlamak
Bu 8 doğru en çok kaç noktada kesişir?
zorunda olduğuna göre 5 soruyu kaç değişik
A) 20
biçimde yanıtlayabilir?
A) 136
B) 45
C) 60
D) 75
B) 22
C) 23
D) 24
E) 25
E) 105
14. Murat 6 arkadaşından ikisini tiyatroya davet
10. Bir sınıftan ayrı iki yarışmaya gönderilmek üzere
edecektir. Belli iki arkadaşı aynı ortamda olmak
seçilebilecek 8 kişilik ve 14 kişilik grupların sa-
istemiyorlar. Buna göre Murat 2 arkadaşını kaç
yısı birbirine eşittir. Bu sınıfta kaç öğrenci vardır?
değişik biçimde seçer?
A) 20
A) 6
C) 22
D) 23
E) 24
B) 10
C) 14
D) 15
E) 20
ESEN YAYINLARI
B) 21
15. Herhangi üçü doğrusal olmayan 10 nokta ve11. Düzlemdeki 7 doğru en çok kaç farklı noktada
kesişir?
A) 20
rilmiştir. Köşeleri bu noktalardan üçü olan kaç
üçgen oluşturulur?
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
A) 130
B) 120
C) 140
D) 160
E) 210
12. 3 kız, 4 erkek öğrenci içinden en az birisi kız
16. Birbirine paralel 5 düşey ve birbirine paralel 4
öğrenci olmak koşuluyla 3 kişilik bir ekip kaç
yatay doğrunun kesiştiği noktalardan kaç üçgen
değişik biçimde seçilebilir?
çizilebilir?
A) 31
34
B) 28
C) 18
D) 15
E) 10
A) 1080 B) 1100 C) 1120 D) 1140 E) 1148
TEST –
1.
5
Binom
(5a – 4b)20 ifadesinin açılımında kat sayılar top-
5.
lamı kaçtır?
A) 6
2.
(2a2 – b)6 ifadesinin açılımında b3 içeren terimin
kat sayısı kaçtır?
B) 5
C) 3
D) 2
E) 1
A) –192 B) –180 C) –160 D) 160
E) 180
(x – 2y)6 açılımında baştan 3. terim nedir?
6.
4 2
4 2
A) 60x y
4 2
B) 45x y
2 4
D) 30x y
(3x + y)8 ifadesinin açılımında x6y2 li terimin kat
sayısı nedir?
C) 30x y
2 4
E) 60x y
A) 28.34
B) 20.36
E) 8.34
ESEN YAYINLARI
D) 28.36
C) 20.34
3.
(x2 – 1)8 açılımında ortadaki terim nedir?
7.
A) 35x8
B) 60x8
D) 75x8
C) 70x8
(x2 + vx)8 ifadesinin açılımında terimlerden biri
7ax7 dir. Buna göre a kaçtır?
E) 90x8
A) 8
4.
(x2 – 2y)8 açılımında sondan 3. terimin kat sayısı
8.
5
c 2x –
B) 7
C) 6
D) 4
E) 3
1 10
10 50
29
m = 2 .x + … + K.x + …
4x 2
kaçtır?
eşitliğinde K kaçtır?
A) 1800 B) 1792 C) 1720 D) 1680 E) 1600
A) –240 B) –216 C) –196 D) –172 E) –150
37
Sayma ve Olasılık
9.
(2x2 + y2)n binom açılımı yapıldığında bir terim
1
sayısı kaçtır?
den hangisidir?
A) 8. d
12
n
9
B) d
D) 6. d
1 8
–
13. a x 2 + x 3 k ifadesinin açılımında x li terimin kat
p.x6.y18 olduğuna göre p değeri aşağıdakiler-
12
n
9
12
n
8
C) d
E) d
12
n
8
A) 24
B) 25
11
A) 8. d
1 9
m açılımında sabit terim kaçtır?
x
B) 884
C) 744
E) 28
D) 672
11
n
5
B) 4. d
D) 8. d
E) 596
açılımında rasyonel terim kaçtır?
11
n
5
10
n
4
C) 2. d
E) 4. d
11
n
5
10
n
4
ESEN YAYINLARI
A) 924
D) 27
14
n
12
14. ^ 3 2 + 5 2 h
10. c 2x 2 +
C) 26
11. c x 3 –
1 10
m
x2
ifadesinin açılımında sabit terim
A) –420 B) –310 C) –210 D) 210
E) 420
12. (2x – 3y)n açılımında 8 terim bulunduğuna göre
bu terimlerin kat sayıları toplamı kaçtır?
38
B) –1
8
açılımında oluşan rasyonel kat
sayılı terimlerin kat sayıları toplamı kaçtır?
kaçtır?
A) –2
15. ^ x – 6 2x h
C) 0
D) 1
E) 2
A) 53
B) 54
C) 55
D) 56
E) 57
16. (x – y + z)6 ifadesinin açılımında terimlerden biri
Axy3z2 ise A kaçtır?
A) –120 B) –90
C) –60
D) –30
E) –15
TEST –
1.
7
Olasılık
5.
İki madeni paranın birlikte atılması deneyinde en
E = { 1, 2, 3, 4, ....., 30 } kümesinin elemanları ayrı
az bir kez yazı geldiği bilindiğine göre, ikisinin de
ayrı kartlara yazılıp bir torbaya atılıyor. Torbadan
yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
rastgele bir kart çekildiğinde üzerinde yazılı olan
A)
2
3
B)
1
3
C)
1
4
D)
3
4
E)
sayının 3 ile bölünebildiği biliniyor. Buna göre, bu
1
2
sayının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
2.
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
6
İki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst
yüze gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilin-
6.
diğine göre, sayıların ikisinin de asal sayı olma
olasılığı kaçtır?
1
2
B)
2
3
C)
3
5
D)
2
5
E)
1
5
A ve B aynı örnek uzaya ait iki farklı olaydır.
2
5
1
, P(B) =
, P(A ∪ B) =
P(A) =
3
6
2
olduğuna göre, P(B \ A) kaçtır?
A)
ESEN YAYINLARI
A)
3.
1
2
2
3
B)
3
4
C)
4
5
D)
5
6
8
9
E)
4 kırmızı, 2 sarı, 3 lacivert bilye bulunan bir
torbadan aynı anda 3 bilye çekiliyor. Çekilen bil-
7.
5 kız ve 4 erkeğin bulunduğu bir gruptan rastgele
yelerin içinde en az bir kırmızı bilye olma olasılığı
iki kişi seçiliyor. Seçilenlerden birinin erkek oldu-
kaçtır?
ğu bilindiğine göre, diğerinin kız olma olasılığı
kaçtır?
A) 37
42
4.
B) 37
43
C) 36
43
D) 40
49
E) 43
49
Bir torbada 6 mavi, 5 siyah, 4 sarı bilye vardır.
A)
8.
10
13
B)
3
8
C)
1
2
D)
5
8
E)
3
4
2 madeni para ve 2 zar aynı anda atılıyor.
Rastgele alınan bir bilyenin mavi veya sarı olma
Paraların ikisinin de tura veya zarların üstündeki
olasılığı kaçtır?
sayıların toplamının 10 olma olasılığı kaçtır?
A) 4
11
B) 3
5
C) 2
3
D) 1
2
E) 1
3
A) 1
48
B) 1
12
C) 1
4
D) 5
16
E) 3
8
41
Sayma ve Olasılık
9.
Üç çocuklu bir ailenin çocuklarından en büyüğü-
13. İki torbadan birincisinde 4 mavi, 3 sarı; ikin-
nün kız olduğu biliniyor. Buna göre, en küçük ço-
cisinde 3 mavi, 5 sarı top vardır. Torbaların
cuğun da kız olma olasılığı kaçtır?
birinden bir top çekiliyor. Çekilen topun mavi ol-
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
duğu bilindiğine göre 1. torbadan çekilmiş olma
1
6
olasılığı kaçtır?
A) 9
23
B) 32
53
C) 13
41
D) 11
27
E)
9
35
10. İki zar birlikte atılıyor. Zarların üst yüzüne farklı
sayılar geldiği bilindiğine göre, ikisinin de çift sayı
gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
5
B)
1
6
C)
1
8
D)
1
9
E)
14. Bir torbada aynı büyüklük ve yapıda 5 siyah, 3
1
10
kırmızı, 2 beyaz bilye vardır.
Torbadan art arda geri konmamak üzere 3 bilye
çekildiğinde birinci ve ikincinin beyaz, üçüncünün
kırmızı gelmesi olasılığı “a”, rastgele 3 bilye
Torbadan arka arkaya 2 bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilyenin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz
ESEN YAYINLARI
11. Bir torbada 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır.
çekildiğinde ikisinin beyaz, diğerinin kırmızı olma
olasılığı “b” olduğuna göre a oranı aşağıdakib
lerden hangisidir?
A) 1
2
B) 1
3
C) 1
4
D) 1
5
E) 1
6
olma olasılığı kaçtır?
A)
1
7
B)
2
7
C)
3
7
D)
4
7
E)
5
7
15.
A
B
C
D
E
K
L
N
12. İçinde bilye bulunan iki torbadan birincisinde 5
M
beyaz, 5 siyah; ikincisinde 3 beyaz, 7 siyah
bilye vardır. Birinci torbadan bir bilye çekilip ren-
Şekildeki yarım çember ve çapı üzerinde 9 nokta
gine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor. Daha
işaretleniyor. Bu noktalardan rastgele seçilen 3
sonra ikinci torbadan rastgele bir bilye çekiliyor.
noktanın bir üçgenin köşeleri olma olasılığı kaç-
Bu bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır?
tır?
A) 11
27
42
B) 1
3
C) 15
32
D) 15
22
E) 2
5
A) 37
84
B) 37
42
C) 20
21
D) 5
7
E) 11
21
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
4.
{0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile dört basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
Bir otelde biri 2 kişilik, diğer ikisi 3 kişilik olmak
üzere üç oda boştur. 8 kişi bu odalara kaç farklı
şekilde yerleşebilir?
5.
{0, 1, 2, 3, 7 } kümesinin elemanları ile rakamları
5 kız ve 4 erkek öğrenci arasından en az ikisi kız
tekrarsız, 4 ile bölünebilen ve 4 basamaklı olan
öğrenci olmak üzere dört kişi kaç değişik şekilde
kaç sayı yazılabilir?
seçilebilir?
ESEN YAYINLARI
2.
3.
a, b, c birer rakam olmak üzere, a < b < c koşu-
6.
Köşeleri, şekildeki
lunu sağlayan kaç farklı abc üç basamaklı sayısı
9 noktadan herhangi
vardır?
üçü olan kaç farklı
d1
D
C
B
A
üçgen çizilebilir?
E
F
K
L
M
47
d2
Sayma ve Olasılık
7.
9.
A ve B aynı örnek uzaya ait iki farklı olay olmak
olan bir zar ile iki madeni para birlikte atılıyor.
üzere,
P(A \ B) =
a. İki yüzü sarı, üç yüzü mavi ve bir yüzü kırmızı
Zarın mavi ve paraların tura gelme olasılığı
3
1
ve P(A ∩ B) =
4
6
nedir?
olduğuna göre, P(B) kaçtır?
a4
a b 12
– m açılımında 4 lü terimin kat sayıb a
b
sı kaçtır?
8.
İki zar birlikte atıldığında zarlardan en az birinin 3
ESEN YAYINLARI
b. c
10. Üç madeni para birlikte atılıyor. Paralardan en
geldiği bilindiğine göre, toplamlarının 5 ten büyük
az birinin yazı geldiği bilindiğine göre, üçünün de
olma olasılığı kaçtır?
yazı gelme olasılığı kaçtır?
48
I.
II.
Sol sütundaki ifadelere karşılık gelen sayıları sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
7
7
7
d n+d n+…+d n
1
2
6
1.
57
b.
6
6
6
d n+d n+…+d n
2
3
6
2.
126
c.
P(5, 2).C(6, 2)
3.
8
d n
4
d.
5
5
6
7
d n+d n+d n+d n
1
2
3
4
4.
300
Sol sütundaki şekillerde bulunan üçgen sayılarını sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
1.
18
b.
2.
10
c.
3.
4
d.
4.
27
49
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
SOLDAN SAĞA
6.
7.
YUKARIDAN AŞAĞIYA
Bağımlı olmayan olay
n
n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y) ifadesi-
1.
Sıralama
2.
(x + y)n ifadesinin açılımında kat sayıların alt
nin açılımı
9.
Bir terimde bilinmeyenin önünde bulunan sayı
alta dizilmesi ile oluşan üçgene verilen ad
3.
ad
10. Sayma kurallarından birisi
12. Çarpansal
Bir deneyin mümkün olan her sonucuna verilen
4.
Bir nesne grubu içinde sıra gözetmeden yapılan seçim
5.
Bilinmeyen içermeyen terim
8.
İhtimal
11. Örneklem uzayın her bir alt kümesi
50
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1.
A sonlu bir küme olmak üzere, A dan A ya tanımlanan bire bir ve örten her fonksiyona A nın bir ........
.................................. denir.
2.
Bir örnek uzaya ait iki olayın .......................................... boş küme ise bu iki olaya ayrık (bağımsız) olay
denir.
3.
0! + 1! + 2! + … + 10! toplamının 12 ile bölümünden kalan .......................................... dur.
4.
Bir olayın olabilirlik derecesinin 0 ile 1 arasındaki bir gerçek sayıyla gösterilmiş biçimine ....................
...................... denir.
5.
n elamanlı A kümesinin, r elemanlı bir alt kümesinin belirli bir sırada yazılış biçimine, A kümesinin bir
r li .......................................... denir.
6.
(x + y)n açılımında baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin .......................................... eşittir.
7.
Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine .......................................... denir.
8.
Bir çember üzerindeki 6 farklı noktadan .......................................... tane çokgen oluşturulabilir.
9.
n! = (n – 2)!. ..........................................
10. Kombinasyonda n elemanın r li .......................................... söz konusu olup sıranın önemi yoktur.
Permütasyonda ise .......................................... diziliş vardır.
51
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
0! = 1! dir.
2.
30! sayısı 29! sayısından 30 fazladır.
3.
20! sayısı 19! sayısının 20 katına eşittir.
4.
P(n, 0) = n!
5.
P(n, n) = 1
6.
C(n, r) + C(n, r+1) = C(n + 1, r + 1)
7.
P(n, r) = r!.C(n, r)
8.
(x – y + 2)5 açılımında kat sayılar toplamı 32 dir.
9.
A ve B bağımsız olaylar ise P(A∩B) = P(A).P(B) dir.
10.
n
n
c m = d n ⇒ x = y veya x + y = n dir.
x
y
11.
P(A \ B) =
52
P (A + B)
dir.
P (B)
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1998 – ÖYS
5.
2000 – ÖSS
(3x + 2y)23 ün açılımında baştan 11. teriminin
kat sayısı kaçtır?
A) 210.313 C(23, 10)
B) 211.312 C(23, 11)
C) 211.312 C(23, 12)
12
11
13
11
D) 2 .3
E) 2 .3
l. fiekil
lI. fiekil
C(23, 12)
16 küçük kareden oluşan l. şeklin her satır ve her
C(23, 11)
sütununda bir ve yalnız bir küçük kare karalanarak ll. şekildeki gibi desenler elde edilmektedir.
Bu kurala göre, en çok kaç farklı desen elde edi-
2.
lebilir?
1998 – ÖYS
A) 16
Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil var-
B) 20
C) 24
D) 32
E) 36
dır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kez
6.
birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde
mek üzere 5 öğrenci seçilmiştir. Her iki ülkeye en
B) 20
49
C) 10
45
D) 10
21
E) 5
21
ESEN YAYINLARI
Yükseköğrenim için A ve B ülkelerine gönderil-
kaçtır?
A) 70
12
3.
2003 – ÖSS
mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığı
az birer öğrenci gideceğine göre, bu 5 öğrenci
kaç farklı gruplama ile gönderilebilir?
A) 10
7.
1999 – ÖSS
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
2004 – ÖSS
A
Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar
üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve
B
yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görülme
Yukarıdaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9
nokta verilmiştir. Köşeleri bu 9 noktadan üçü olan
kaç üçgen oluşturulabilir?
olasılığı kaçtır?
A) 1
2
B) 1
3
C) 2
3
D) 1
4
E) 3
4
A) 64
4.
8.
1999 – ÖSS
5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullanılarak rakamları birbirinden farklı olan, üç basamaklı ve 780 den
küçük kaç değişik sayı yazılabilir?
A) 46
54
B) 42
C) 36
D) 30
E) 24
C
B) 69
C) 74
D) 79
E) 84
2005 – ÖSS
3 tane madeni 1 TL, kumbaralara istenen sayıda
atılmak suretiyle değişik bankalardan alınmış 5
farklı kumbaraya kaç değişik şekilde atılabilir?
A) 10
B) 21
C) 24
D) 35
E) 45
Sayma ve Olasılık
9.
2006 – ÖSS
13. 2009 – ÖSS
Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışveriş
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla, en az iki
basamağındaki rakamı aynı olan üç basamaklı
yapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci
kaç sayı yazılabilir?
çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte gelen
A) 52
B) 40
C) 38
D) 30
iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eş
E) 24
parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan hediyeyi almaktadır.
ütü
10. 2007 – ÖSS
1
2
3
4
A = {–2, –1, 0, 1}
B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor.
çamafl›r
makinesi
kahve
makinesi
ütü
ütü
tost
makinesi
A x B kartezyen çarpımından alınan bir elemanın
I. çark
(a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır?
A) 1
4
B) 1
6
C) 1
8
D) 1
12
II. çark
Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir
E) 5
24
müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı
kaçtır?
11. 2008 – ÖSS
K = { –2,–1, 0, 1, 2, 3 }
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya
eşittir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
ESEN YAYINLARI
A)
1
14
B) 1
16
C)
5
24
D) 3
28
E)
5
32
14. 2009 – ÖSS
Aynı düzlemde alınan 4 farklı çember en fazla
kaç noktada kesişir?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
15. 2010 – YGS
Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilye
vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında torbada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı
kaçtır?
12. 2008 – ÖSS
Aşağıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üze-
A)
rinde bulunmaktadır.
1
2
B)
2
3
C)
3
4
D)
2
5
E)
3
5
Bu yedi noktadan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgen oluşturma olasılığı aşağıdakilerden
hangisidir? (Aynı doğru üzerindeki üç noktanın bir üçgen oluşturmadığı kabul
edilecektir.)
A) 32
35
B) 27
35
16. 2010 – LYS
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {–2, –1, 0} olmak üzere
A x B kartezyen çarpım kümesinden alınan herhangi bir (a, b) elemanı için a + b toplamının
sıfır olma olasılığı kaçtır?
C) 24
35
D) 5
7
E) 3
7
A)
1
4
B)
1
5
C)
1
6
D)
1
7
E)
55
2
7
Sayma ve Olasılık
17. 2011 – YGS
Meriç’in elinde kırmızı ve beyaz renklerde toplam 10 top vardır. Meriç bu topları iki torbaya her
bir torbada en az bir kırmızı ve bir beyaz top olacak şekilde dağıttıktan sonra şunları söylüyor:
21. 2012 – LYS
Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.
Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekildiğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma
olasılığı kaçtır?
“Birinci torbada 3 kırmızı top vardır. Torbalardan
rastgele birer top çekildiğinde topların ikisinin de
1
dir.”
kırmızı olma olasılığı
2
Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top vardır?
A) 3
B) 5
C) 1
D) 2
A)
C)
5
6
D)
7
8
E)
8
9
P(x) = (x – 1)4 + (x – 1)5
polinomunda x3 lü terimin katsayısı kaçtır?
tan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden
birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır?
3
8
C)
2
13
D)
7
13
E)
A) 4
9
13
ESEN YAYINLARI
B)
3
4
22. 2013 – LYS
6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup-
3
4
B)
E) 4
18. 2011 – LYS
A)
2
3
19. 2012 – YGS
B) 6
C) 9
D) 10
E) 11
23. 2013 – LYS
Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rast-
Bir torbada 1 den 9 a kadar numaralanmış dokuz
gele sıraya giriyor. Buna göre, en kısa ve en
top bulunmaktadır. Ayşe, 1 den 9 a kadar bir sayı
uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı
belirleyecek ve daha sonra torbadan rastgele bir
kaçtır?
top çekecektir. Topun üzerinde yazılı olan sayı ile
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
6
E)
1
12
belirlediği sayının toplamı en fazla 9 ve çarpımı
en az 9 olursa Ayşe oyunu kazanacaktır. Ayşe
hangi sayıyı belirlerse oyunu kazanma olasılığı
en yüksek olur?
A) 2
20. 2012 – LYS
Bir çiçekçide 5 farklı renkten çok sayıda gül ve
2 çeşit vazo vardır. Bir müşteri, 2 farklı renkten
toplam 3 gül ve 1 vazo satın almak istiyor. Bu
müşteri alışverişini kaç farklı şekilde yapabilir?
A) 15
56
B) 20
C) 25
D) 40
E) 50
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
FONKSİYONLARLA
İŞLEMLER ve UYGULAMALARI
. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
Fonksiyonların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri
1.
Kazanım
: Bir fonksiyonun grafiğinden, simetri dönüşümleri yardımı ile yeni fonksiyon
grafikleri çizer.
2.
Kazanım
: Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonlarını kullanarak
f + g , f – g , f.g ve
f
fonksiyonlarını elde eder.
g
İki Fonksiyonun Bileşkesi ve Bir Fonksiyonun Tersi
1.
Kazanım
: Fonksiyonlarda bileşke işlemini açıklar.
2.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bileşke işlemine göre tersinin olması için gerekli ve yeterli
şartları belirleyerek, verilen bir fonksiyonun tersini bulur.
Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar
1.
Kazanım
: İki miktar (nicelik) arasındaki ilişkiyi fonksiyon kavramıyla açıklar;
problem çözümünde fonksiyonun grafik ve tablo temsilini kullanır.
2. ÜNİT
FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ
®
®
y = f(x) ile y = – f(x) fonksiyonlarının grafikleri x eksenine göre simetriktir.
y = f(x) + c nin grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y ekseni boyunca c kadar
y = f(x)
y
y
y = f(x)
c
a
y = f(x) + c
a+c
a
x
c
x
c
–a
y = – f(x)
x
0
x
b
b
a
0
y
y
ötelenmişidir.
®
y = f(x) ile y = f(–x) fonksiyonlarının grafikleri y eksenine göre simetriktir.
®
y = f(x – c) nin grafiği, y = f(x) fonksiyoy
y
nunun grafiğinin x ekseni boyunca c kadar
ötelenmişidir.
y
y
a
y = f(x)
0
y = f(x – c)
x
a
y = f(–x)
y = f(x)
0
a
a+c
a
b
c
x
–c
–b
x
x
c
TEK ve ÇİFT FONKSİYONLAR
f : A → B , y = f(x) fonksiyonunda ∀x ∈ A için
®
y = f(x) ile y = k.f(x) fonksiyonlarının grafik-
f(–x) = – f(x) ise f fonksiyonu tek fonksiyondur.
leri çizildiğinde x eksenini kestiği noktaların
∀x ∈ A için f(–x) = f(x) ise f fonksiyonu çift
değişmediği görülür.
fonksiyondur.
y
x
a
0
b
Tek
fonksiyonların
grafikleri
orijine
göre
simetriktir.
y = k.f(x)
y = f(x)
0
®
y
x
a
®
Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre
simetriktir.
c
FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
®
y = f(x) ile y = f(k.x) fonksiyonlarının grafikleri çizildiğinde y eksenini kestiği noktaların
değişmediği görülür.
y
y
y = f(x)
y = f(k.x)
0
a
b
58
x
0
c
b
x
f : A → R ve g : B → R verilsin. (A ∩ B ≠ Ø)
®
f + g : A ∩ B → R, (f + g)(x) = f(x) + g(x)
®
f – g : A ∩ B → R, (f – g)(x) = f(x) – g(x)
®
f.g : A ∩ B → R, (f.g)(x) = f(x).g(x)
®
f (x)
f
f
, ( g(x) ≠ 0 )
: A + B " R, d n (x) =
g
g
g (x)
®
c ∈ R olmak üzere,
c.f : A → R, (c.f)(x) = c.f(x)
BİR FONKSİYONUN TERSİ
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
f : A → B , y = f(x) fonksiyonu 1–1 ve örten ise
tersi de bir fonksiyondur ve f –1 : B → A dır.
f : A → B fonksiyonu için
®
x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonu
artan fonksiyondur.
y
y
f(x2)
f(x2)
f(x1)
®
f(x) = y ⇔ x = f –1(y)
®
(f –1)–1 = f
–1
®
f ile f
®
f(x) = ax + b ⇔ f –1(x) =
f (x) =
a x1
0
®
®
f(x1)
x2
b
a x1
0
x
x2
b
x
x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonu
azalan fonksiyondur.
in grafikleri y = x e göre simetriktir.
y
x–b
a
y
f(x1)
ax + b
– dx + b
+ f –1 (x) =
cx + d
cx – a
f(x1)
f(x2)
f(x2)
0
®
FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ
x1
g : B → C , y → z = g(y)
0
a
x2
x1
b
x
NOKTALARI
y
fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir.
B
x
x1 < x2 için f(x1) = f(x2) ise f fonksiyonu
x → (gof)(x) = g(f(x))
A
b
FONKSİYONUN MAKSİMUM VE MİNİMUM
fonksiyonları verilmiş olsun.
f
x2
sabit fonksiyondur.
f : A → B , x → y = f(x)
gof : A → C ,
a
g
f(v)
C
f(u)
x
y = f(x)
z = g(y)
gof
®
fog ≠ gof
®
fo(goh) = (fog)oh
®
(fog) –1 = g –1of –1
fof –1 = f –1of = I ( I: birim fonksiyon )
®
fog = h ⇒ f = hog –1 ve g = f –1 oh
0
a p u q
m v n
b
x
f : A → R, A ⊂ R, u ∈ A ve v ∈ A olsun.
®
u ∈ (p, q) ve ∀x ∈ (p, q) için f(u) ≤ f(x) ise
f fonksiyonu u noktasında bir yerel minimuma sahiptir denir.
®
v ∈ (m, n) ve ∀x ∈ (m, n) için f(v) ≥ f(x) ise
f fonksiyonu v noktasında bir yerel maksimuma sahiptir denir.
59
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 1
REHBER SORU 2
y
y
2
2
x
2
0 1
0 1
x
2
y = f(x)
y = f(x)
Şekildeki grafik y = f(x) e aittir. Buna göre
y = f(x – 2) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Şekildeki grafik y = f(x) e aittir. Buna göre
y = f(x) + 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
1.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
y
2
–1
0
1
1.
y
1
x
3
–1
0
x
1
y = f(x)
y = f(x)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Buna göre y = f(x) + 3 fonksiyonunun grafiğini
Buna göre y = f(x – 2) fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
çiziniz.
2.
2.
y
2
–2
y
x
0
0
–1
2
x
y = f(x)
y = f(x)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Buna göre y = f(x) – 2 fonksiyonunun grafiğini
Buna göre y = f(x + 1) fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
çiziniz.
60
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 3
REHBER SORU 4
y
y
y
y = f(x)
2
y = 2f(x)
–6
–5
0
–1
3
x
a
b
c
0
–1
0
x
x
4
y = f(x)
–2
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiği-
Yukarıda verilen y = f(x) ve y = 2f(x) fonksiyon-
ne göre, y = f(2x) ve y = f(3x) fonksiyonlarının
larının grafiklerine göre, a + b + c toplamı kaçtır?
grafiklerinin y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?
Çözüm
1.
y
–2
0
2
–1
x
5
ESEN YAYINLARI
Çözüm
y = f(2x)
3
–3
0
y = f(x)
Şekildeki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir.
x
rının grafiklerinin y eksenini kestiği noktaların
apsisleri toplamı kaçtır?
lerini çiziniz ve aralarındaki ilişkiyi tespit ediniz.
6
Buna göre, y = f(x) ve y = f(3x) fonksiyonla-
rının grafiklerinin x eksenini kestiği noktalarının
f(x) = x + 2 ve y = 2.f(x) fonksiyonlarının grafik-
2
Şekildeki grafik y = f(2x) fonksiyonuna aittir.
Buna göre, y = 2f(x) ve y = 3f(x) fonksiyonla-
2.
y
1.
ordinatları toplamı kaçtır?
2.
f(x) = x – 1 ve y = f(3x) fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz ve aralarındaki ilişkiyi tespit ediniz.
61
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 5
REHBER SORU 6
y
y
1
–3
2
1
–3
x
0
y = f(x)
–2
2
0
y = f(x)
–2
Şekildeki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir.
x
Şekildeki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir.
Buna göre y = –f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Buna göre y = f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
1.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
y
2
–1
3
1.
y
y = f(x)
1
x
0
0
y = f(x)
Şekilde y = f(x) in grafiği çizilmiştir. Buna göre
Şekilde y = f(x) in grafiği çizilmiştir. Buna göre
y = f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y = –f(x) in grafiğini çiziniz.
2.
y
–2
–1
0
y
2.
y = f(x)
1
1
x
1
y = f(x)
1
x
–1
0
2
x
Şekilde y = f(x) in grafiği çizilmiştir. Buna göre
Şekilde y = f(x) in grafiği çizilmiştir. Buna göre
y = –f(x) in grafiğini çiziniz.
y = f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
62
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 7
REHBER SORU 8
R de tanımlı aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift
f(x) tek fonksiyondur.
olup olmadıklarını araştırınız.
a.
3
f(x) = x + 3x
f(x) – x.f(–x) = 2x4 + 2x3 – x2 – x ise f(2) kaçtır?
3
b. f(x) = x + x – 4
Çözüm
Çözüm
R de tanımlanmış aşağıdaki fonksiyonların tek veya
1.
çift fonksiyonlar olup olmadıklarını araştırınız.
f(x) = x2 + 2
2.
f(x) = 2
f(x) + 2f(–x) = x3 + x ise
f(1) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1.
f(x) tek fonksiyondur.
2.
f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
f(x) = (a – 2)x4 + (b + 2)x2 + abx ise
f(–3) kaçtır?
3.
f(x) = x3 + 3x2 – 2x + 1
3.
4.
f(x) = 0
f(x) tek fonksiyondur.
2f(–x) + f(x + 1) = 4 – 4x ve f(1) = 2 ise f(3)
kaçtır?
63
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 9
REHBER SORU 10
f(x) çift fonksiyondur.
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 5) }
f(x) + 3f(–x) = 4x2 + 8 ise f(–1) kaçtır?
g = {(1, 3), (3, 4), (5, 6) } fonksiyonlarına göre,
a. f + g
b. f.g
c. 3.f
fonksiyonlarını bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
1.
f(x) çift fonksiyondur.
3
2
f = {(1, 3), (2, 5), (3, 7) } ise 2.f fonksiyonunun
görüntü kümesindeki elemanların toplamı kaç-
f(2) kaçtır?
tır?
ESEN YAYINLARI
f(x) + x.f(–x) = x + x – x – 1 ise
2.
f = {(1, 4), (2, 1), (3, –2) }
g = {(1, 2), (3, 1), (4, –2) } ise
2.
f(x)
fonksiyonunun grafiği
y
f.g fonksiyonunun bulunuz.
eksenine göre
simetriktir.
f(x) = (m – 3)x3 + (m + 1)x2 + (n – 1)x + m.n ise
f(2) kaçtır?
3.
f(x) = x + 1 ve g(x) = x + a olmak üzere,
(f + 2g)(3) = 12 ise a kaçtır?
3.
f(x) tek fonksiyon ve g(x) çift fonksiyondur.
f(x) + 2f(–x) + x3 + 1 = 2g(x) – g(–x) ise
f(2) + g(2) kaçtır?
4.
f = {(1, 2), (2, 1), (3, 3) }
g = {(2, 3), (3, 4), (4, 2) } ise
2f + g fonksiyonunu bulunuz.
64
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 11
f(x) = *
Çözüm
3x – 1 , x ≥ 0
x+3 , x<0
g(x) = *
x , x≥2
2–x , x<2
fonksiyonları verilmiştir.
Buna göre (f + g)(x) ve (f – g)(x) fonksiyonlarını bulunuz.
1.
2
f(x) = *
, x>0
3.
x –1 , x≤ 0
g(x) = *
x+2 , x>2
f(x) = *
x2 , x > 2
x +1 , x ≤ 2
g(x) = *
3–x , x≤2
x –1 , x > 0
2
, x≤0
fonksiyonları için (f – g)(2) + (f.g)(1) ifadesinin
nuz.
eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
fonksiyonları için (f + g)(x) fonksiyonunu bulu-
4.
2.
f(x) = *
x –1 , x >1
g(x) = *
4
, x≤1
2–x , x≥2
x
, x<2
fonksiyonları için (f.g)(x) fonksiyonunu bulunuz.
Zx –1 ,
x <1
]
]
f(x) = [ 2
, 1≤ x < 3
]]
x +1 ,
x≥3
\
g(x) = *
2x
, x>2
x – 2 , x ≤ 2
fonksiyonları için (f – g)(x) fonksiyonunu bulunuz.
65
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 12
Aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz.
a. f(x) = 4x – 3
b. f(x) =
2x – 1
5
c. f(x) = x – 2
ax + b
cx + d
e. f(x) =
2x – 3
5x + 4
f. f(x) =
4
2 – 3x
f(x) =
ax – b
cx – 2
d. f(x) =
Çözüm
1.
f(x) = 2x + 1 ise f –1(x) nedir?
4.
fonksiyonunun tanımlı olduğu
2.
3.
f(x) = 2 – 3x ise f –1(x) nedir?
3 – 2x
f(x) =
ise f –1(x) nedir?
5
66
ESEN YAYINLARI
değerler için f(x) = f –1(x) ise a kaçtır?
5.
f: R – {2 } → R – {1 }, f(x) =
x+3
olduğuna
x−2
göre, f –1(2) kaçtır?
6.
f(x) =
1
fonksiyonunun tanımlı olduğu değerler
x
için f –1(x) nedir?
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 13
REHBER SORU 14
Aşağıdaki tabloda bazı fonksiyonlar ve bir kısmının
Aşağıdaki tabloda bazı fonksiyonlar ve bir kısmının
ters fonksiyonu yazılmıştır. Tablodaki boş yerleri
ters fonksiyonu yazılmıştır. Tablodaki boş yerleri
doldurunuz.
doldurunuz.
f(x)
f –1(x)
f(x)
f –1(x)
ax + b
x–b
a
ax + b
cx + d
– dx + b
cx – a
2x – 3
2x + 1
3x + 4
3x + 1
3x – 2
2x – 5
–x + 2
ESEN YAYINLARI
–x + 2
x+3
2x
–3x
ax + b
c
3x + 1
2
2x – 1
4
x–1
3
–x + 2
5
2 – 3x
4
cx – b
a
4x + 1
2x
0x + 1
1
=
2x – 4
2x – 4
2x + 1
3x
3x – 2
x
2
3x – 5
5x + 2 5x + 2
=
3x – 0
3x
3
4x – 1
2
x+2
–2
3x + 1
67
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 15
a. f(2x – 1) = 6x + 4 ise f(x) fonksiyonunu bulunuz.
b. f c
3x – 1
m = 12x + 1 ise f(2x + 1) fonksiyonunu bulunuz.
2
c. f(x3 – 1) = 6x2 – x + 2 ise f(7) kaçtır?
1.
f(x + 2) = 4x – 3 ise f (x) nedir?
2.
fc
x –1
m = 6x + 2 ise f (x) nedir?
2
3.
fc
x–2
m = x + 3 ise f (x) nedir?
x+2
68
ESEN YAYINLARI
Çözüm
4.
f(3x – 2) = 6x + 3 ise f(x + 2) nedir?
5.
f(7x – 1) = x2 + 2 ise f(6) kaçtır?
6.
f(x + 2) = x – 5 ise f –1 (x) nedir?
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 16
REHBER SORU 17
f c x2 +
f(x2 – 2x – 4) = 4x – 2x2 + 1
1
1
m=x+ x +1
x2
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
f(x3 – 1) = x6 – 2x3 + 1
1.
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
f cx –
1
x 4 – 4x 2 + 1
m=
x
x2
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
2.
f(x3 – 3x + 1) = 6x – 2x3 + 1
2.
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
3.
fd
x6 – 2
4
n = 3 – 2x3 + 2
x3
x
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
fd
1+ x
x2 + x + 1
n=
x2
x
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
3.
f(9x + 2.3x) = 3x
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
69
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 18
f:;
REHBER SORU 19
1
, 3 m → [0, ∞) , f(x) =
2
g : [–1, ∞) → [2, ∞) , g(x) = x2 + 2x + 3
2x – 1
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
olduğuna göre, g –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Çözüm
f :; –
1.
2
, 3 m → [0, ∞) , f(x) =
3
1.
3x + 2
f : (– ∞, 1) → (1, ∞) , f(x) = x2 – 2x + 2
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
–1
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
2.
f : (– ∞, 4 ] → [0, ∞) , f(x) =
4–x
2.
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
3.
f : R → R , f(x) =
3
4x – 1 + 2
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
70
f : (– ∞, 1) → (– ∞, 1) , f(x) = – x2 + 2x
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
3.
f : (–2, ∞) → (– 4, ∞) , f(x) = x2 + 4x
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 20
REHBER SORU 21
f(x) = 2x – 3 ve (fog)(x) = 3x + 1 ise g(x) fonksi-
f –1(x) =
yonu nedir?
(g–1of )–1(1) kaça eşittir?
Çözüm
1.
Çözüm
1.
f(x) = x + 2, g(x) = 2x + 3 ise (f o g)(x) fonksiyonu nedir?
2.
5.
ESEN YAYINLARI
2.
f(x) =
f(x) =
2x − 1
ve (f o f)(a) = a ise a kaçtır?
3
f(x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = 2x + 1 ise
(f o g o h)(x) nedir?
x −1
2x + 1
, g(x) =
ve (f o g)–1(a) = 4
2
3
ise a kaçtır?
f(x) = x2 + 1, g(x) = x – 1, A = {–1, 0, 1, 2 } ise
(g o f)(A) nedir?
4.
f(x) = 2x – 1, g(x) = x + 1 ve (f –1 o g–1 )(a) = 3
ise a kaçtır?
f(x) = 2x, g(x) = x + 2 ise (f o g–1 )(x) fonksiyonu
nedir?
3.
3x + 1
x+1
ve g(x) =
olduğuna göre,
2x − 1
x−2
3.
f(x) =
x −1
ise (f o f –1 o f o f)(x) nedir?
2
4.
f(x) =
3x − 1
ve (f o g–1 )(x) = 4x – 1 ise g(x)
2
nedir?
5.
f(x) =
4x − 2
x+1
ve (g o f)(x) =
ise
3
3
g–1(2) kaçtır?
71
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 22
f : A → B , f(x) =
REHBER SORU 23
mx – 4
olmak üzere
3x – n
f(x) fonksiyonu bire bir ve örten ise (m, n) sıralı
ikilisini bulunuz.
f : R – {2 } → R – {–3 } , f(x) =
2x – 1
fonksiyonu bire bir ve örten
x+3
olduğuna göre A ve B kümelerini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların her biri bire bir ve örtendir.
1.
Buna göre A ve B kümelerini bulunuz.
2.
3.
f : A → B , f(x) =
f : A → B , f(x) =
a + b kaçtır?
2.
x–2
3x
4
2x – 3
ax – 3
2x + b
olmak üzere, f(x) fonksiyonu bire bir ve örten ise
3x – 1
f : A → B , f(x) =
4x – 2
ESEN YAYINLARI
1.
f : R – {3 } → R – {2 } , f(x) =
f : R – {a } → R – {b } , f(x) =
6x – 5
2x + 4
olmak üzere, f(x) fonksiyonu bire bir ve örten ise
a + b kaçtır?
3.
f : R – {–2 } → R – {0 } , f(x) =
bx – 1
3x – a
olmak üzere, f(x) fonksiyonu bire bir ve örten
ise a + b kaçtır?
4.
f : A → B , f(x) =
72
2x – 3
4
4.
f : R – {a} → R – {b}, f(x) =
2x – 3
fonksiyonu
x +1
1-1 ve örten bir fonksiyon ise f –1(a + b) kaçtır?
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 24
Çözüm
y
y = f(x + 2)
2
1
– 4 –2
0
x
3
–2
y = f(x + 2) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre f(–2) , f(0) , f(2) , f(5) , f –1(–2) , f –1(0) ,
f –1(1) , f –1(2) değerlerini bulunuz.
1.
3.
y
y
y = f(1 – x)
3
3
2
2
4
x
0
–2
–2
y = f(x + 1) in grafiği şekildeki gibidir.
y = f(1 – x) in grafiği şekildeki gibidir.
f (5) + f (3)
kaçtır?
f –1 (3) + f –1 (– 2)
Buna göre
f (1) + f –1 (0)
kaçtır?
f –1 (2) + f (3)
ESEN YAYINLARI
Buna göre
x
0
–1
y = f(x + 1)
2.
y
y = f(2x + 1)
4.
y
3
2
2
–3
0
1
3
–
2
1
x
–1
2
0
x
–1
y = f(x – 2)
y = f(2x + 1) in grafiği şekildeki gibidir.
Buna göre
f –1 (3) + f –1 (0)
kaçtır?
f (4) + f (1)
y = f(x – 2) nin grafiği şekildeki gibidir.
Buna göre,
(fof) (0) + f –1 (1)
kaçtır?
f –1 (2)
73
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 25
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çizerek artan veya azalan olup olmadıklarını tespit ediniz.
a. f : R → R , f(x) = x2
b. f : R → R , f(x) = x – 1
c. f : R → R , f(x) = 1 – x
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların artan veya azalan olup olmadıklarını tespit ediniz.
1.
f : R+ → R , f(x) = x2 – 2
5.
f : (– ∞, 1) → R , f(x) = (x – 1)2
2.
f : R → R , f(x) = x + 2
6.
f : R+ → R , f(x) =
3.
f : R → R , f(x) = 4 – 3x
7.
f : R– → R , f(x) = –x2
4.
f : R → R , f(x) = x3
8.
f : R+ → R , f(x) = –x3
ESEN YAYINLARI
1
x
74
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 26
Çözüm
y
f(x)
0
2
4
5
Yukarıda grafiği verilen f(x)
x
6
fonksiyonunun yerel
maksimum veya yerel minimum noktalarının apsisleri
toplamı kaçtır?
1.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangilerinin
x = c
3.
y
apsisli noktasında yerel maksimum veya yerel
f(x)
minimumu vardır?
y
y
g
f
–4
y
h
ESEN YAYINLARI
x
c
y
t
n
c
x
c
x
x
4
göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
k
x
y
2
Yukarıda verilen f(x) fonksiyonunun grafiğine
y
c
0
x
c
x
c
–2
I.
(– ∞, – 4) aralığında f(x) in yerel maksimum
veya yerel minimumu yoktur.
II.
x = –2 apsisli noktada yerel minimum vardır.
III. x = 0 apsisli noktada yerel maksimum vardır.
2.
y
IV. x = 2 apsisli noktada yerel minimum vardır.
f(x)
V. x = 4 apsisli noktada yerel maksimum var–4 –3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
x
f(x) fonksiyonunun yerel maksimum veya yerel
dır.
VI. x = – 4 apsisli noktada yerel minimum vardır.
minimum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
75
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
REHBER SORU 27
REHBER SORU 28
y
y
y = f(x)
f(x) =
1
–5
–2
2
0
0
x
3
x
pozitif ve negatif olduğu aralıkları bulunuz.
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
1
≤ x ≤ 3 için ortalama değişim hızı nedir?
2
Çözüm
Çözüm
1.
ESEN YAYINLARI
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
1
x
y
1.
y
4
–3
0
1
1
x
3
–2
0
y = f(x)
y = f(x)
Yukarıdaki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir.
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
Buna göre, f(x) ≥ 0 eşitsizliğini sağlayan x tam
–2 ≤ x ≤ 3 için ortalama değişim hızı nedir?
sayılarının toplamı kaçtır?
y
2.
y = f(x)
x
3
2.
f(x) = x2 – 6x + 2 fonksiyonunun 0 ≤ x ≤ 1 için
ortalama değişim hızı nedir?
–4
–2
0
1
x
Yukarıdaki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir.
Buna göre, f(x) ≤ 0 koşulunu sağlayan x değerleri hangi aralıkta değer alır?
76
3.
f(x) = x3 + 1 fonksiyonunun –1 ≤ x ≤ 2 için
ortalama değişim hızı nedir?
TEST –
1.
1
f(2x + 5) = 3x – 4 olduğuna göre, f –1(2) kaçtır?
5.
f(x)
fonksiyonunun grafiği
y
eksenine göre
simetriktir.
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7
f(x) = x6 + (m – 2)x3 – mx2 + (m – n)x + m + n – 2
E) 9
olduğuna göre f(n – 1) kaçtır?
A) –2
2.
f : R – {5 } → R – {3 } , f(x) =
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
3x − 4
olduğuna
x−5
göre, f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
5x − 4
x−3
5x + 4
x−3
B)
D)
x+4
x+1
4x + 5
x+3
C)
E)
3x + 5
x+4
6.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi artandır?
1
A) f : R+ → R , f(x) =
x
B) f : R → R , f(x) = x2
C) f : R → R , f(x) = x3
x+2
ve g(x) = 3x – 1 olduğuna göre,
3
f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
D) f : R+ → R , f(x) = –x2
(fog)(x) =
A)
x −1
9
x+2
3
B)
D) 2x + 5
x+6
2
C)
E)
x+7
9
E) f : R+ → R , f(x) = –x
ESEN YAYINLARI
3.
7.
f : R → R, f(x) = x3 + 6x2 + 12x ise f –1(– 8)
kaçtır?
4.
A) –4
y
B) –3
C) –2
D) –1
E) 2
g
4
3
2
1
0
f
1
2
3
4
5
x
Yukarıdaki şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. (fog)(x) = 4 olduğuna göre, x
kaçtır?
A) 1
8.
f : R – {a } → R – {b }, f(x) =
3x + 2
olmak üzere
2–x
f(x) bire bir ve örten bir fonksiyon ise a.b kaçtır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) –6
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
77
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
9.
12.
y
y
y = f(x)
2
y = f(x)
–3
1
0
–1
0
2
x
3
x
4
y = f(x) in grafiği şekildeki gibidir.
Buna göre y = – f(x) in grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, y = f(–x) fonksiyonunun grafiğinin
A)
B)
y
y
x eksenini kestiği noktalarının apsisleri toplamı
kaçtır?
A) –7
–3
B) –5
C) –3
D) 3
–1 0
1
3
D)
y
–3
3
0
2
x
1
E)
ESEN YAYINLARI
y
0
0
x
1
E) 5
C)
10.
3
–3
x
y
0
x
–3
3
1
x
y
–3
0
3
x
y = f(x)
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğix
ne göre, y = f(2x) ve y = f b l fonksiyonlarının
2
13.
y
2
grafiklerinin y eksenini kestiği noktaların ordinat-
–2
–4
ları toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
0
2
–3
E) 6
x
4
f(x)
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f(x) in yerel minimum noktasının apsisi –2 dir.
B) f(x) in yerel maksimum değeri 2 dir.
11. f(x) = –x2 + 3x – 2 fonksiyonunun [0, 1] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?
A) 1
78
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
C) –2 ≤ x ≤ 2 için f(x) artandır.
D) – ∞ < x < 0 için f(x) azalandır.
E) 3
E) x ∈ (– ∞, – 4) ∪ (0, 4) için f(x) pozitif değerler
alır.
TEST –
1.
2
5.
x+3
olduğuna göre,
4
g–1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) = x – 3 ve (fog)(x) =
A) x + 15
B) 4x – 15
D) 15x – 4
f(x) – x2f(– x) = x6 – 1
olmak üzere f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik ise f(x) nedir?
C) x – 15
E) 15x + 4
A) x4 + x2 + 1
B) –x4 – x2 – 1
C) –x4 – x2 + 1
D) x4 + x2 – 1
E) x4 – x + 1
2.
a > 0 olmak üzere,
6.
f(x) = ax + b ve (fof)(x) = x ise a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
f : A → B, f –1(x – 1) =
x + 10
olmak üzere,
2x – 8
A = {x : f(x) ∈ Z ve x ∈ Z } ise s(A) kaçtır?
E) 5
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) 2
3.
f(x) = 3x – 5 , g(x) =
x−a
ve
b
7.
–1
(fog )(x) = 6x + 10 olduğuna göre, a.b kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
f(x) = x2 + 2x + 3 ve g(x) = x – 1 ise
(fog)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
E) 15
A) x2 + 2
B) x2 + 1
2
D) x – 1
4.
f(x) + 2f(–x) = –x3 + 2x olmak üzere,
f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
E) x
f : R+ → [–2, ∞) , f(x) = x2 – 2 ise f –1(x) nedir?
A)
ise f(–1) kaçtır?
A) –2
8.
C) x2 – 2
2
x+2
B) – x + 2
D) – x – 2
E)
C)
x–2
x–4
79
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
9.
f(x) = 3x + 1 ve g(x) = x2 – x olduğuna göre
13.
(fog ) (x) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x 2 − 2x + 3
3
B)
3
x 2 − 3x
x+2
1
–2
^ x − 1h^ x − 4h
C)
9
E)
y
y = f(x)
–1 –1
0
x
1
D) x2 – 3
Şekildeki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir.
x 3 − 2x
g(x) = f ( x + 1 ) – 2
3 ^x + 1h
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
–1
4x + 6
10. f(x) = x – 2 ve (gof)(x) =
olduğuna göre,
3x + 1
g(0) kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
1
B) 2
C) 0
ESEN YAYINLARI
D) –2
y
y
D)
1
0
–1
x
–1
–1
0
x
–1
y
E)
1
2
x
0
–2
E) –8
14.
12.
x
1
–2
C)
f(1) = 3 ve f –1(1) = 3 ise b kaçtır?
A) 8
1
–2
E) 4
ax + b
olmak üzere,
2
–1
x
–3
11. f(x) =
y
B)
1
y
y
y = f(x)
3
y = f(2x + 1)
2
2
–1
0
1
–2
3
0
1
x
4
x
Şekilde y = f( x ) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x) fonksiyonunun yerel
Şekilde y = f(2x + 1) fonksiyonunun grafiği çizil-
maksimum ve yerel minimum noktalarının apsis-
miştir. Buna göre f –1(0) + f(7) + f –1(1) kaçtır?
leri toplamı kaçtır?
A) –2
A) 1
80
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
TEST –
1.
5
f(x) doğrusal fonksiyonu için f(2) = 5 ve
5.
fc
–1
f (2) = 3 olduğuna göre, (fof)(1) kaçtır?
A) –5
B) –8
C) –13
D) –15
A)
E) –18
6.
2x − 1
2
m = 3 + 3 olmak üzere f –1(5) kaçtır?
x+3
x
1
5
f(x) =
B)
1
4
x−1
x
C)
1
3
ve g(x) =
D)
x−4
x+5
1
2
E) 1
olduğuna göre,
g–1(x) fonksiyonunun f(1 – x) türünden değeri
2.
f(x) = 2x + a olmak üzere,
aşağıdakilerden hangisidir?
(fof)(x) = bx – 3 ise f(1) kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) 4 – 9f(1 – x)
B) 3 – 8f(1 – x)
C) 2 – 9f(1 – x)
D) 3 – 9f(1 – x)
ESEN YAYINLARI
E) 4 – 8f(1 – x)
3.
f ve g bire bir ve örten fonksiyonları için,
x−5
(g–1of –1)(x) =
ve g(2) = 3 olduğuna göre,
2
f(3) kaçtır?
7.
f = {(1, 2), (2, –1), (3, 4) } olduğuna göre,
2f(1) + 2f –1(4) ifadesinin eşiti kaçtır?
A) 8
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
E) 6
8.
f(x) = 2x – 1 ve (fog)(x) = 4x + 2 olduğuna göre,
g(x – 3) aşağıdakilerden hangisidir?
4.
–1
f(2x – 1) = 6x + 5 olduğuna göre, f (10) kaçA)
tır?
A) 2
B)
5
3
C)
4
3
D) 1
E)
2
3
4x − 1
2
D)
B)
4x − 7
2
4x − 3
2
E)
C)
4x − 5
2
4x − 9
2
85
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
9.
12.
y
y
2
2
–3
1
x
0
0
x
1
y = f(x)
y = f(x)
Yukarıda verilen y = f(x) parabolünün tepe nok-
y = f(x) in grafiği şekildeki gibidir.
tasının koordinatları (1, 2) olduğuna göre,
Buna göre, y = f(–x) in grafiği aşağıdakilerden
y = f(x + 2) – 3 parabolünün tepe noktası aşağı-
hangisidir?
dakilerden hangisidir?
A) (3, –2)
B) (3, –1)
D) (–1, 0)
A)
C) (–1, 1)
B)
y
y
1
–3
E) (–1, –1)
0
–3
1
–2
–2
10.
C)
y
2
D)
y
y
2
y = 3f(x)
1
–1
Yukarıda verilen y = 3f(x) fonksiyonuna göre,
y = 2f(x) fonksiyonunun grafiği x eksenini hangi
ESEN YAYINLARI
x
0
E)
3
–1
x
0
3
–6
x
0
x
x
0
y
2
–3
3
x
0
noktada keser?
A) (6, 0)
B) (3, 0)
D) (–3, 0)
C) (–1, 0)
E) (– 6, 0)
13.
11.
y
y = f(x)
y
y = f(x)
–5
2
–4
0
0
1
1
3
x
x
5
y = f(x) fonksiyonunun grafiği şekildeki gibidir.
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafi-
Buna göre, f(x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi
ğine göre, y = – f(–x) fonksiyonunun grafiğinin
aşağıdakilerden hangisidir?
x eksenini kestiği noktalarının apsisleri toplamı
A) [– 5, 0 ] ∪ [3, ∞)
B) (– ∞, – 5) ∪ {1 }
kaçtır?
C) [– 5, 1 ] ∪ {3}
D) (– ∞, – 5 ] ∪ [3, ∞)
A) –3
86
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
E) [– 5, 1 ] ∪ [3, ∞)
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
f : R → R fonksiyonu için
4.
f –1(2x – 7) = x – 1 ve f(a – 1) = 5 ise a kaçtır?
f(x) =
3x + 1
ve (fog)–1(x) = 5x + 7 olduğuna
x
göre g(x) nedir?
2.
5.
f(x) tek fonksiyon olmak üzere,
f(x) = 3x + 1 ve (g–1of)(x) = 4x – 2 olduğuna
göre, g(x) fonksiyonunu bulunuz.
f(x) – 2f(–x) = 3x3 + (a – 1)x2 + ax ise
ESEN YAYINLARI
f(a) kaçtır?
3.
f(2x – 3) = 4x + 1 ve g(x) =
göre, (gof)(–1) kaçtır?
4x
+ 7 olduğuna
5
6.
f = {(1, 2) (2, –1) (3, 0) (4, 4) }
g = {(1, –1) (2, 0) (3, 1) (4, 2) }
olmak üzere,
(2f – g)(1) + (f.g)(2) ifadesinin eşiti kaçtır?
89
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
7.
9.
y
y
3
3
2
0
1
x
2
–5
–2
y = f(x)
x
0
y = f(x)
Tepe noktasının koordinatları (2, 3) olan y = f(x)
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
parabolüne göre, y = f(x – 1) + 1 parabolünün
–2 ≤ x ≤ 1 için ortalama değişim hızı nedir?
8.
ESEN YAYINLARI
tepe noktasının koordinatları nedir?
y
2
10.
y
y = f(x)
2
1
–3
–1
0
0
x
1
y = f(3x + 2)
3
x
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için aşağıda-
y = f(3x + 2) fonksiyonunun grafiğine göre,
kileri bulunuz.
(f o f)(–1) kaçtır?
a.
f(x) in artan olduğu en geniş aralık nedir?
b.
f(x) in azalan olduğu en geniş aralık nedir?
c.
f(x) in yerel maksimum ve yerel minimum
noktaları nelerdir?
90
y
I.
y = f(x)
–2
x
0
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre sol sütunda verilen fonksiyonlara ait grafikleri
sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
y
a.
y = f(–x)
0
1.
x
–2
y
b.
y = – f(x)
2.
0
2
x
y
c.
y = f(x – 2)
1
3.
x
0
y
d.
II.
y = f(x) + 1
4.
0
2
x
Sol sütunda verilen fonksiyonların ters fonksiyonlarını sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
f(x) =
x+1
3
1.
f –1(x) = 4 – x
b.
f(x) = 4 – x
2.
f –1(x) = 3x – 1
x
3
3.
f –1(x) = 3x
c.
f(x) =
d.
f(x) =
2x – 1
3x + 4
4.
f –1(x) =
7x + 5
2x
e.
f(x) =
5
2x – 7
5.
f –1(x) =
4x + 1
2 – 3x
f.
f(x) =
4x – 1
3x
6.
f –1(x) =
–1
3x – 4
91
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
SOLDAN SAĞA
4.
YUKARIDAN AŞAĞIYA
Bir fonksiyonun belli bir aralıktaki keseninin
1.
eğimi
2.
7.
A dan B ye f fonksiyonu verildiğinde B kümesi
8.
“f : A → B, x1 < x2 için f(x1) > f(x2)” koşulunu
sağlayan fonksiyon
11. Sıralı bir kümede (varsa) en büyük değer
13. A dan B ye f fonksiyonu verildiğinde A kümesi
92
“f : A → B, x1 < x2 için f(x1) = f(x2)” koşulunu
sağlayan fonksiyon
3.
Orijine göre simetrik olan fonksiyon
5.
y eksenine göre simetrik olan fonksiyon
6.
A dan B ye
f fonksiyonu verildiğinde f(A)
kümesi
12. “f : A → B, x1 < x2 için f(x1) < f(x2)” koşulunu
sağlayan fonksiyon
Minimum veya maksimum değer
9.
Görüntünün bir yüzey üzerinde temsil edilmesi
10. Sıralı bir kümede (varsa) en küçük değer
1.
x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonu .......................................... fonksiyondur.
2.
x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonu .......................................... fonksiyondur.
3.
f : A → B, y = f(x) fonksiyonunda ∀x ∈ A için f(–x) = –f(x) ise f fonksiyonu ................................
fonksiyondur.
4.
Bir fonksiyonun tersinde fonksiyon olabilmesi için .......................................... ve örten olması gerekir.
5.
Bir fonksiyon ile bu fonksiyonun tersinin grafiği .......................................... doğrusuna göre simetriktir.
6.
y = f(x) + c nin grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin .......................................... boyunca c kadar
ötelenmişidir.
7.
y = f(x – c) nin grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin .......................................... boyunca c kadar
ötelenmişidir.
8.
y = f(x) ile y = k.f(x) fonksiyonlarının grafikleri çizildiğinde .......................................... kestiği noktaların
değişmediği görülür.
9.
y = f(x) ile y = f(k.x) fonksiyonlarının grafikleri çizildiğinde .......................................... kestiği noktaların
değişmediği görülür.
10. f(x) = y ⇔ x = ..........................................
93
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
y = f(x) ile y = – f(x) fonksiyonlarının grafikleri x eksenine göre simetriktir.
2.
y = f(x) ile y = f(–x) fonksiyonlarının grafikleri y eksenine göre simetriktir.
3.
y = f(x) + c fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y ekseni boyunca c kadar
ötelenmişidir.
4.
c > 0 olmak üzere, y = f(x + c) fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre pozitif yönde c kadar ötelenmişidir.
5.
İki tek fonksiyonun çarpımı tek fonksiyondur.
6.
İki çift fonksiyonun çarpımı çift fonksiyondur.
7.
f veya g fonksiyonlarından biri çift fonksiyon ise fog çift fonksiyondur.
8.
f o (g o h) = (f o g) o h
9.
f o g = h ⇒ f = h o g–1 ve g = f –1 o h
10.
f (x) =
94
ax + b
– dx + b
+ f –1 (x) =
cx + d
cx – a
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1988 – ÖYS
5.
x
ve g(x) = x + 1 olduğuna göre,
x2 + 1
f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
(fog) (x) =
A)
x+1
x 2 + 2x + 2
D)
B)
x –1
x 2 – 2x + 2
C)
1990 – ÖYS
Z 1
,
x<0
]
–1 , x < 0
f(x) = )
g(x) = [ x + 1 , 0 ≤ x < 1
x –1 , x≥ 0
] 0
,
1≤ x
\
olduğuna göre (f + g)(x) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
x2 + 1
x+1
A)
B)
y
y
2
x2 + 1
x
E)
x
x+1
0
C)
x
1
–1
0
D)
y
x
1
y
1
2.
1989 – ÖYS
x
0
x
ve f(x) = x + 1 olduğuna göre,
x2 + 1
g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
0
1
x
(fog) (x) =
D)
y
0
x –1
B) 2
x – 2x + 2
x
x+1
E)
1
C)
x+1
–x 2 + x – 1
x2 + 1
ESEN YAYINLARI
x2
A) – 2
x +x+1
E)
6.
1992 – ÖSS
x
B)
x –1
1
D)
x+1
1
C)
x
1
E)
x –1
7.
4.
1990 – ÖYS
2x + u
x–9
f (x) =
ve (fof) (x) =
olduğuna
x+1
3x – 2
göre, u kaçtır?
x2 + 3
olduğuna göre, f(x) aşağıda5
kilerden hangisidir?
1989 – ÖYS
x+1
x–2
m=
fc
ise uygun koşullar altında
x–2
x+1
f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
x+1
A)
x
A)
4 2
(x – x + 1)
5
B)
4 2
(x + x + 1)
5
C)
x2 + 3
5
D)
x 2 + 2x + 13
12
E)
x 2 – 2x + 13
20
1994 – ÖSS
f(x) = x2 + 2x
(fog)(x) = x2 + 6x + 8 olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) x2 + x
A) –3
96
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
x
–1
f(2x + 1) =
3.
1
D) x – 2
B) x2 – 2
E) x + 2
C) x2 + 2
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
8.
1995 – ÖSS
13. 1997 – ÖYS
ax – 4
veriliyor.
3x – b
f(x) fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre,
x
olduğuna göre, f(x – 1) in f(x)
x+1
türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
f : R – {2 } → R – {3 } , f(x) =
f(x) =
A)
f (x) + 1
2f (x)
D)
9.
B)
f (x) + 2
2f (x)
2f (x) + 1
f (x)
C)
(a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
2f (x) + 1
2f (x)
A) (5, 4)
2f (x) – 1
f (x)
E)
B) (2, 3)
D) (6, 6)
14. 1998 – ÖSS
1995 – ÖYS
2x + 1
fonksiyonux –1
nun değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
R – {1} de tanımlanan f(x) =
2x – 1
, (g–1of)(x) = –16
x+5
olduğuna göre, x kaçtır?
f(x) = 2x + 1, g(x) =
A) R
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
B) R – {3 }
E) 8
D) R – {1 }
10. 1996 – ÖYS
D) 3
ESEN YAYINLARI
C) –5
E) 6
11. 1997 – ÖSS
g(x)
3
2
0
f ( x) + 2
olduğuna
3 – f (x)
göre f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) : R – {1 } → R – {3 } , x =
x–3
A)
x+1
x+2
C)
3–x
x+3
B)
x–2
D)
E) R – {0 }
y
a.b çarpımı kaçtır?
B) –6
C) R – {2 }
15. 1998 – ÖSS
f(x) = ax + b, f –1(3) = 4, f –1(2) = 5 olduğuna göre,
A) –7
C) (2, 6)
E) (9, 6)
2x + 1
3–x
E)
3
4
–2
x
f(x)
verilmiştir. Grafikteki bilgilere göre,
g (1) + (fog) (2)
değeri kaçtır?
f (4)
y
A) –
2
Yanda grafiği verilen
2
Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiği
2x + 3
3–x
12. 1997 – ÖYS
1
1
2
B) –1
C) 0
D) 1
E)
1
2
f(x) fonksiyonu [0, 2]
de bire bir ve örtendir.
Buna göre,
f (2) + f –1 (2)
5
2
2
x
1
16. 1998 – ÖYS
x < –3, f(x) = x2 + 6x – 2 olduğuna göre
ifadesi-
f (f (1))
nin değeri kaçtır?
A) –
0
B) –
3
2
f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
–3
f(x)
C) 0
D)
1
2
E)
3
2
A) –9 –
x+9
B) –3 –
x+9
C) –3 –
x + 11
D) 6 –
x + 11
E) 3 +
11x
97
Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamaları
19. 2007 – ÖSS
17. 1999 – ÖSS
f(x) = ||x – 3| – 2| fonksiyonunun grafiği ile
y
g(x) = 4 fonksiyonunun grafiğinin kesim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
3
A) 16
f(x)
2
0
Yukarıda f doğrusal fonksiyonu ile g fonksiyonu-
f(x) = 3x – 6
(f –1og)(6) + (gof –1)(–1) değeri kaçtır?
B)
E) 6
20. 2011 – YGS
nun grafikleri verilmiştir. Buna göre,
3
2
D) 8
g(x)
–2
A)
C) 10
x
6
4
B) 14
5
2
C) 0
D) 3
g(x) = (x – 2)2
fonksiyonları veriliyor.
E) 9
Buna göre, (gof –1)(x) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A)
3x 2
–1
2
D)
ESEN YAYINLARI
18. 2000 – ÖSS
y
g(x) = x3
8
f(x)
B) (3x + 4)2
x2
9
C) x2 – 4x + 2
E) (3x – 8)2
21. 2011 – LYS
f : R → R parçalı fonksiyonu
f(x) = *
0
2
x
4
3x + 1 , x rasyonelse
x2
, x rasyonel de¤ilse
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, (fof) d
Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonu ile g(x) = x
3
2
n aşağıdakilerden hangi2
sidir?
fonksiyonunun grafikleri verilmiştir. Buna göre
(fog–1of)(0) değeri kaçtır?
A) – 4
98
B) –2
C) 0
B) v2 + 2
A) 3v2 + 2
D) 4
E) 8
D)
5
2
E)
C)
7
2
1
4
. ÜNİTE
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Doğrunun Analitik İncelenmesi
1.
Kazanım
: Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığı veren bağıntıyı oluşturur ve
uygulamalar yapar.
2.
Kazanım
: Bir doğru parçasını belli bir oranda (içten veya dıştan) bölen noktanın
koordinatlarını hesaplar.
3.
Kazanım
: Analitik düzlemde doğru denklemini oluşturur ve denklemi verilen iki doğrunun
birbirine göre durumlarını inceler.
4.
Kazanım
: Bir noktanın bir doğruya uzaklığını açıklar ve uygulamalar yapar.
3. ÜNİT
ANALİTİK DÜZLEM
BİR DOĞRUNUN EĞİM AÇISI VE EĞİMİ
0 (sıfır)
sayısına karşılık gelen O noktasında
Bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı
birbirine dik olan biri yatay diğeri düşey iki sayı
açıya doğrunun eğim açısı, bu açının tanjantına
doğrusunun oluşturduğu sisteme, dik koordinat
da doğrunun eğimi denir.
y
sistemi; bu sayı doğrularının belirttiği düzleme de
d1
analitik düzlem denir.
d2
y
y
A(a, b)
b
apsis ordinat
O
β
II. BÖLGE
x<0
y>0
I. BÖLGE
x>0
y>0
III. BÖLGE
x<0
y<0
IV. BÖLGE
x>0
y<0
α
x
x
x
a
Koordinat sisteminde, x ekseni üzerindeki nok-
Eğim açısı; [0°, 180°] aralığında bulunur.
Şekilde,
d1 doğrusunun eğim açısının ölçüsü α
taların ordinatları sıfırdır.
d2 doğrusunun eğim açısının ölçüsü β dır.
y ekseni üzerindeki noktaların apsisleri sıfırdır.
Bir doğrunun eğimi genellikle m ile gösterilir.
A(a, b) noktasının eksenlere olan uzaklıkları
toplamı: |a| + |b| dir.
d1 doğrusunun eğimi, m1 = tanα
d2 doğrusunun eğimi, m2 = tanβ dır.
x + y = 90° ise sinx = cosy ve
tanx = coty dir.
İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK
y
B
y2
x + y = 180° ise sinx = siny , cosx = – cosy
y2 – y 1
tanx = – tany ve cotx = – coty dir.
A
y1
C
x2 – x1
x1
0
x
x2
tanjantları verilmiştir.
Analitik düzlemde A(x1, y1) ve B(x2, y2) ise
|AB| =
(x 2 –
x 1) 2 + (y 2
–
Aşağıdaki tabloda kullanacağımız bazı açıların
y 1) 2
dir.
α
0°
30°
45°
tanα
0
v3
3
1
60°
90°
120° 135° 150° 180°
v3 tan›ms›z – v3
–1
v3
3
0
ORTA NOKTA
y
pozitiftir.
y0
y1
0
® Eğim açısı dar açı olan doğruların eğimleri
B
y2
C
® Eğim açıları geniş açı olan doğruların
A
x1
x0
x2
x
Uç noktaları, A(x1, y1) ve B(x2, y2) olan
[AB] nın orta noktası C(x0, y0) ise
y + y2
x + x2
x0 = 1
ve y0 = 1
dir.
2
2
100
eğimleri negatiftir.
® x eksenine paralel doğruların (eğim açıları
sıfır olan) eğimleri sıfırdır.
® x eksenine dik olan doğruların (eğim açıları
90° olan) eğimleri tanımsızdır.
İKİ NOKTASI VERİLEN DOĞRUNUN EĞİMİ
y
Başlangıç Noktasından Geçen Doğruların
C
Denklemi
B
y2
ÖZEL DOĞRU DENKLEMLERİ
y
y2 – y1
A
y1
C
x2 – x1
x1
K
x
0
L
α
0
y = mx
α
x
x2
Başlangıç noktası olan O(0, 0) dan geçen ve eğiİki noktası A(x1, y1) ve B(x2, y2) olan l doğruy2 – y1
olur.
x2 – x1
sunun eğimi; m =
mi m olan doğrunun denklemi,
y – y1 = m(x – x1) ⇒ y – 0 = m(x – 0)
⇒ y = mx tir.
I. Paralel iki doğrunun eğimleri eşittir.
II. Dik iki doğrunun eğimleri çarpımı –1 dir.
y = mx denkleminde m = 1 ise y = x doğrusu
elde edilir.
Bu doğruya 1. açıortay doğrusu denir.
m = –1 ise y = –x doğrusu elde edilir.
DOĞRUNUN DENKLEMİ
Bu doğruya 2. açıortay doğrusu denir.
®
eğim = m
A(x1, y1)
Eğimi m olan ve A(x1, y1) noktasından geçen
y
y
y=x
y=–x
45°
45°
45°
45°
x
0
x
0
doğrunun denklemi
1. açıortay doğrusu
y – y1 = m(x – x1) dir.
®
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen
doğrunun denklemi,
®
2. açıortay doğrusu
x Eksenine Paralel Doğruların Denklemleri
y
y – y1
x – x1
=
dir.
y1 – y2 x1 – x2
A
b
y=b
y
0
a
x
a
0
b
x
x ekseni A(a, 0), y eksenini B(0, b) noktasında
y Eksenine Paralel Doğruların Denklemleri
kesen doğrunun denklemi
y
x=a
x y
+ = 1 dir.
a b
b
y = a doğrularının eğimi 0 (sıfır) dır.
0
A
a
x
x = a doğrularının eğimi tanımsızdır.
101
İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA OLAN UZAKLIĞI
y
d doğrusunun denklemi ax + by + c = 0 ve
l doğrusunun denklemi kx + py + r = 0 olsun.
1.
A(x1, y1)
y1
d // l ise, bu iki doğrunun eğimleri birbirine
eşit olacağından
y2
y
ax + by + c = 0
α d
C
d
C
D
x1
α
0
x
B
x
A(x1, y1) noktasının
md = –
ax + by + c = 0 doğrusuna
a
k
ve ml = –
b
p
olan en kısa uzaklığı d ise
a
k
a b
md = ml ⇒ –
bulunur.
= – ⇒ =
b
p
k p
2.
y
d
d=
ax 1 + by 1 + c
dir.
a2 + b2
C
PARALEL İKİ DOĞRU ARASINDAKİ UZAKLIK
x
ax + by + c1 = 0
,
A(x 1
y 1)
d // l doğruları çakışık ise, bu iki
d
ax + by + c2 = 0
doğru aynı doğruyu göstereceğinden
a b c
olmalıdır.
= =
k p r
3.
Denklemleri ax + by + c1 = 0 ve ax + by + c2 = 0
y
olan paralel doğrular arasındaki uzaklık d ise,
d
A
x
C
d=
c1 – c2
a2 + b2
dir.
BİR DOĞRUNUN GRAFİĞİ
d ve l doğruları bir noktada kesişiyorsa,
a b
olmalıdır.
!
k p
için, doğru üzerindeki farklı iki noktanın bilinmesi
yeterlidir. Kolay bulunması açısından bu iki nok-
d ve l doğrularının kesim noktası A ise
tayı, doğrunun koordinat eksenlerini kestiği nokta-
d ∩ l = {A} dır.
lar olarak alabiliriz. Yani; x = 0 için y ve y = 0
Yani, ax + by + c = 0
kx + py + r = 0
kümesi A noktasıdır.
102
Denklemi verilen bir doğrunun grafiğini çizmek
}
için x değerlerini bulup düzlemde işaretledikten
sisteminin çözüm
sonra bu noktaları birleştirerek doğrunun grafiğini
elde ederiz.
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 1
a.
Çözüm
A(2, 3) , B(0, 4) , C(–3, 2) , D(– 4, –3) ve
E(1, –2) noktalarını analitik düzlemde gösteriniz.
b.
A(– 4, 3) noktasının koordinat eksenlerine olan
uzaklıkları toplamı kaç br dir?
1.
3.
Aşağıdaki noktaları analitik düzlemde gösteriniz.
A(4, k) noktasının x eksenine olan uzaklığı 5 br
A(3, 2)
B(3, –2)
C(– 4, 3)
ise k nın alabileceği pozitif değer kaçtır?
D(–2, – 4)
E(2, 0)
F(0, 4)
A) 3
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
y
4
3
2
1
–2
–1 0
–1
x
1
2
3
4
ESEN YAYINLARI
– 4 –3
–2
–3
–4
2.
A(–2, 3) noktasının koordinat eksenlerine olan
uzaklıkları toplamı kaç br dir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
4.
A(n+2, 3) noktasının y eksenine olan uzaklığı
3 br ise n nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) –2
5.
B) –3
C) –4
D) –5
E) –6
A(a–1, –4) noktası x ve y eksenine eşit uzaklıkta ise a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
E) 5
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
103
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 2
Çözüm
A(2a – 4, a + 3) noktası analitik düzlemin II. bölgesinde ise a nın alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.
1.
4.
A(n – 2, 6 – n) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde ise n kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
A(a–1, 2a–8)
noktası analitik düzlemin IV.
bölgesinde ise a nın alabileceği değer aralığı
nedir?
E) 5
A) (0, 1)
A(a, b) noktası analitik düzlemin II. bölgesinde
ise B(–b, a.b) noktası hangi bölgededir?
A) I
3.
B) II
C) III
D) IV
E) Orijin
A(a.b2, a.b) noktası analitik düzlemin III. bölge-
ESEN YAYINLARI
D) (2, 5)
2.
5.
C) (1, 4)
B) (0, 4)
E) (2, 8)
A(–3, n–2) ve B(m+1, 5) noktaları analitik düzlemde aynı bölgede ise C(n, m) noktası hangi
bölgededir?
A) I
6.
B) II
C) III
D) IV
E) Orijin
A(a–b, 4) ve B(a–1, 2) noktaları ordinat ekseni
sinde ise B(b, –a) noktası hangi bölgededir?
üzerinde ise C(a, b) noktası hangi bölgededir?
A) I
A) I
104
B) II
C) III
D) IV
E) Orijin
B) II
C) III
D) IV
E) Orijin
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 3
a.
Çözüm
A(–2, 3) , B(a, –1) ve C(3, b) olmak üzere,
B noktası [AC] nin orta noktası ise a ve b
değerlerini bulunuz.
b.
Köşelerinin koordinatları A(–2, –1) , B(0, 3) ve
C(5, 1) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin
koordinatlarını bulunuz.
1.
4.
A(a, 3) , B(4, b) ve C(2, 4) olmak üzere,
A noktası [BC] nin orta noktası ise a + b kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Köşelerinin koordinatları A(–3, 4) , B(–2, 3) ve
C(2, 2) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin
koordinatları nedir?
E) 5
A) (1, 3)
B) (0, 3)
C) (–1, 2)
D) (–1, 3)
A(4,2)
B
C
D(– 4,6)
[AD] doğru parçasında |CD| = 2|AB| = 2|BC|
ise B noktasının koordinatları aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (2, 4)
B) (2, 3)
D) (1, 3)
C) (2, 2)
5.
nedir?
A) (9, –7)
C) (9, – 6)
B) (8, –7)
D) (8, –6)
E) (10, –8)
E) (3, 3)
6.
3.
ABC üçgeninde A(–4, 2) , B(1, 2) ve ağırlık
merkezi G(2, –1) ise C köşesinin koordinatları
ESEN YAYINLARI
2.
E) (–1, 4)
A(a, –2) , B(3, 7) ve C(4, 1) noktaları ABC
Köşelerinin koordinatları A(–2, 4) , B(4, 2) ve
üçgeninin köşeleri ve bu üçgenin ağırlık merke-
C(2, 1) olan ABC üçgeninin [AB] kenarına ait
zi (4, b) noktası olduğuna göre a + b toplamı
kenarortayın uzunluğu kaç br dir?
kaçtır?
A) 2v2
B) v6
C) v5
D) 2
E) v3
A) –1
B) 1
C) 3
D) 5
E) 7
105
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 4
Çözüm
A(2, 1)
D(a, b)
F(4, 0)
B
E(3, –3)
C
ABC üçgeninde D, E, F orta noktalar ise D noktasının koordinatlarını bulunuz.
1.
D(4, 2)
3.
C
A
D(1, 4)
A(3, –1)
F(6, 5)
B(8, 0)
B
ABCD paralelkenarında verilenlere göre C köABC üçgeninde
şesinin koordinatları nedir?
C
E(3, 1)
D, E, F orta noktalar ise C
köşesinin koordinatları nedir?
A) (9, 3)
B) (9, 2)
A) (8, 1)
E) (10, 4)
C) (8, 3)
B) (8, 2)
D) (9, 2)
ESEN YAYINLARI
D) (10, 3)
C) (10, 2)
4.
E) (9, 3)
D
K
C
2.
D(1, 5)
L
C(4, 4)
F
A
A(0, 2)
106
B) 3v2
C) 2v5
B
ABCD dörtgeninin kenar orta noktaları E(2, 4)
B
F(–1, 3), K(0, –4) ve L(a, b) ise a + b kaçtır?
ABCD paralelkenar ise |BD| kaç br dir?
A) 4
E
D) 2v6
E) 5
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 5
Çözüm
A(–1, 6) , B(3, –2) ve B ∈ [AC] olmak üzere,
3|CA| = 5|CB| eşitliğini sağlayan C noktasını bulunuz.
1.
A(–2, 6) , B(4, 3) , C ∈ [AB] ve |AC| = 2|BC|
4.
C(4, –2)
B
ise C noktasının koordinatları aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (2, 4)
C) (1, 4)
B) (2, 5)
D) (1, 5)
D(9, –7)
A(3, 2)
E) (0, 4)
Şekilde [AB] ve [CD] beşer eşit parçaya ayrılmıştır. Verilenlere göre, B noktasının koordinatları nedir?
A) (7, –7)
A(2, –1) , B(3, 4) , C ∉ [AB] ve |AC| = 2|BC|
olmak üzere A, B, C doğrusal ise C noktasının
koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3, 9)
C) (4, 7)
B) (3, 8)
D) (4, 8)
E) (4, 9)
5.
3.
A(1, 2) , C(6, –3) ve 3|AB| = 2|BC| dir.
B ∈ [AC] ise B noktasının koordinatları nedir?
A) (2, 1)
C) (3, 0)
B) (2, 0)
D) (3, 1)
E) (8, –10)
ESEN YAYINLARI
D) (8, –8)
2.
C) (8, – 6)
B) (6, –8)
E) (4, 1)
A, B, C doğrusal olmak üzere,
A(–2, 3) , B(0, –1) , C ∉ [AB] ve
CA
3
=
2
CB
ise C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) –6
B) –5
C) –4
D) –3
E) –2
107
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 6
Çözüm
A(a, –1) ve B(4, 2) olmak üzere,
|AB| = 5 br ise a nın alabileceği değerleri bulunuz.
1.
5.
A(2, 4) ve B(–1, 1) noktaları arasındaki uzaklık
kaç br dir?
A(a, 3) ve B(2, –1) noktaları arasındaki uzaklık 5 birimden küçük ise a nın alabileceği değer
B) 2v5
A) 3v2
aralığı nedir?
C) 2v6
D) 5
A) (1, 5)
E) 6
D) (–1, 5)
2.
A(n, 3) ve B(2, 4) olmak üzere |AB| = c17 br
6.
ise n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
bulunan y ekseni üzerindeki C noktasının ordinatı nedir?
E) 6
liyor. |AB| = |AC| ise a kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
ESEN YAYINLARI
A(a, a+1) , B(2, 4) ve C(–1, 3) noktaları veri-
7.
3
2
Köşelerinin koordinatları A(–2, 3) , B(2, 0) ve
C(–1, 4) olan üçgenin çevresi kaç br dir?
A) 9 + v2
B) 10 + v2
D) 10 + v3
108
C) 11 + v2
E) 11 + v3
B) 2
C)
5
2
D) 3
E) 4
A(3, –1) ve B(2, 4) noktalarına eşit uzaklıkta
bulunan x ekseni üzerindeki C noktasının apsisi
nedir?
A) – 6
4.
E) (–1, 6)
A(1, 3) ve B(–1, 2) noktalarına eşit uzaklıkta
A)
3.
C) (0, 5)
B) (1, 6)
8.
B) –5
C) –4
D) –3
E) –2
Ardışık olmayan iki köşesinin koordinatları
A(2, –2) ve C(–1, 4) olan ABCD karesinin alanı
kaç br2 dir?
A)
25
2
B) 15
C)
35
2
D) 20
E)
45
2
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 7
Çözüm
y
C
D
B
O
x
A
ABCD karesinde A(1, 0) ve D(0, 3) ise C köşesinin
koordinatları nedir?
1.
3.
y
y
C
B(3,3)
B
A
D
A
O
x
O
Koordinat sisteminde [AB] ⊥ [BC] , |AB| = |BC|
ABCD kare, A(–2, 0) ve B(0, 4) ise C köşe-
ve B(3, 3) ise A(ABCO) kaç br2 dir?
sinin koordinatları nedir?
D) (– 4, 6)
A) 9
C) (– 4, 5)
B) (–3, 6)
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
E) (– 5, 6)
2.
ESEN YAYINLARI
A) (–3, 5)
x
C
y
D(0,3)
4.
y
C
C
D(0,2)
B
x
A(–1,0)
O
A(4,0)
B
ABCD kare, A(–1, 0) ve D(0, 3) ise B köşesinin koordinatları nedir?
1
A) c1, – m
2
ABCD dikdörtgeninde, A(4, 0) , D(0, 2) ve
|DC| = v5 br ise C köşesinin koordinatları
nedir?
B) (1, –1)
D) (3, –1)
x
C) (2, –1)
E) (3, –2)
A) (2, 5)
B) (2, 4)
D) (1, 3)
C) (2, 3)
E) (1, 4)
109
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 8
a.
Çözüm
Şekilde verilen
y
d doğrusunun
d
eğimi kaçtır?
3
b.
x
5
0
A(3, 2) ve B(a, 1) noktalarından geçen doğru x
ekseni ile pozitif yönde 135° lik açı yaptığına göre
a kaçtır?
1.
3.
y
t
A(2, 3) ve B(1, 5) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
d
2
A) –2
–1 0
x
3
B) –
3
2
C) –1
D) –
1
2
E) –
1
3
Şekilde verilen d ve t doğrularının eğimleri
toplamı kaçtır?
2
3
B) 1
C)
4
3
D)
5
3
E) 2
ESEN YAYINLARI
A)
2.
4.
A(3, 4) ve B(–2, –1) noktalarından geçen doğrunun eğim açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 120
E) 135
y
d
0
–2
2
x
–1
t
–3
5.
A(n, 1) ve B(– v3, 2) noktalarınden geçen doğru x ekseni ile pozitif yönde 30° lik açı yapıyorsa
Şekilde verilen doğruların eğimleri md ve mt
n kaçtır?
ise md – mt kaçtır?
A)
110
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
B) v3
A) 2v3
D) – v3
C) 0
E) –2v3
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 9
Çözüm
A(0, 2) , B(–1, a – 1) , C(1, 3) noktaları doğrusal ise
a kaçtır?
1.
3.
A(a, 2a + 1) , B(–2, 5) , C(–1, 2) noktaları doğ-
B) –
2
5
C) –
1
2
D)
1
2
E)
2
5
A) –1
B) –2
C) –3
D) – 4
E) –5
ESEN YAYINLARI
A) –2
A(1, –2), B(0, 1) ve C(2, x) noktaları bir üçgenin
köşeleri olmadığına göre x kaçtır?
rusal ise a kaçtır?
2.
y
4.
y
C(3, 5)
A(– 4v3, 1)
30°
B
x
O
B
B)
5
2
C) 3
D)
7
2
d
Şekilde verilenlere göre B noktasının ordinatı
A, B, C doğrusal ise |OB| kaç br dir?
A) 2
x
0
A(–3, 1)
kaçtır?
E) 4
A) – v3
B) –2
C) –2v3
D) –3
E) –4
111
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 10
a.
Çözüm
Denklemi 2x – 3y + 1 = 0 olan doğrunun eğimi
nedir?
b.
A(2, 3) noktasından geçen ve eğimi m = 4 olan
doğrunun denklemini bulunuz.
1.
4.
Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I.
3x + y + 5 = 0 doğrusunun eğimi –3 tür.
1
tür.
II. 2x – 6y + 1 = 0 doğrusunun eğimi
3
III. x + 3 = 0 doğrusunun eğimi 0 dır.
dir?
A) y = 3x – 5
C) 2
D) 3
Denklemi y = (4 – 2a)x + 2 olan doğrunun eğim
açısı dar açı ise a hangi aralıkta değer alır?
A) (– ∞, 0)
B) (– ∞, 2)
D) (0, ∞)
5.
A) y = x + 2
112
C) 90
B) y = 2x + 2
D) y = x – 1
C) y = x + 1
E) y = 3x + 3
E) (2, ∞)
Denklemi v3x – y + 1 = 0 olan doğrunun eğim
B) 75
A(–1, 0) noktasından geçen ve x ekseni ile
mi aşağıdakilerden hangisidir?
C) (0, 2)
açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 60
E) y = 3x – 4
pozitif yönlü 45° lik açı yapan doğrunun denkle-
6.
3.
C) y = 2x – 5
E) 4
ESEN YAYINLARI
2.
B) 1
B) y = 3x + 5
D) y = 2x + 5
IV. y – 4 = 0 doğrusunun eğimi 0 dır.
A) 0
A(1, –2) noktasından geçen ve eğimi 3 olan
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisi-
D) 120
A(1, 2) ve B(–1, 3) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x – y = 5
E) 150
B) 2x + y = 5
D) 2y – x = 5
C) x – y = 2
E) 2y + x = 5
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 11
Çözüm
Aşağıda grafikleri verilen doğruların denklemlerini
bulunuz.
a.
y
A(0, 2)
60°
x
0
d
b.
y
t
A(–1, 3)
x
0
B(4, –1)
1.
4.
A(–2, 3) noktasından geçen ve eğimi –1 olan
A) x + y = 1
B) x + y = 2
D) x – y = –5
Aşağıda grafikleri verilmiş olan doğruların denklemlerini bulunuz.
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
a.
C) x + y = 3
y
E) –x + y = 1
A(0, 4)
150°
x
0
b.
A(1, 0) noktasından geçen ve x ekseni ile pozinedir?
A) y = x + 1
B) y = x
D) y = 1 – x
C) y = x – 1
E) y = –x
y
A(0, 4)
45°
tif yönde 45° lik açı yapan doğrunun denklemi
ESEN YAYINLARI
2.
x
0
y
c.
A(–3, 0)
0
3.
A(2, 3) ve B(1, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x + 1
B) y = 3x – 2
D) y = 2x – 1
x
150°
C) y = 3x – 3
E) y = 2x + 1
113
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 12
Çözüm
y
d
3
x
0
–5
Grafiği verilen d doğrusunun denklemini yazınız.
2.
Aşağıda grafiği verilen doğruların denklemlerini
y
d
bulunuz.
a.
a
y
–2
1
x
0
2
0
x
Şekildeki d doğrusunun eğimi 2 olduğuna göre,
a kaçtır?
A) 2
b.
y
x
0
–3
–2
ESEN YAYINLARI
1.
3.
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Eksenleri A(0, 3) ve B(6, 0) noktalarında kesen
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 2y = 6
B) x + 2y = 6
C) 2x + y = 6
D) 6x + 3y = 11
E) 3x + 6y = 1
c.
y
0
4
x
4.
Denklemi
x x
+ = 1 olan doğrunun eksenleri
2 6
kestiği noktaları A ve B ise [AB] nin orta noktası
–2
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2, 6)
B) (0, 2)
D) (0, 3)
114
C) (1, 2)
E) (1, 3)
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 13
a.
Çözüm
A(2, 3) noktasından geçen ve y eksenine dik
olan doğrunun denklemini ve eğimini bulunuz.
b.
A(–1, 2) noktasından geçen ve x eksenine dik
olan doğrunun denklemini ve eğim açısını bulunuz.
1.
4.
A(–2, 3) noktasından geçen ve x ekseni ile ortak
noktası olmayan doğrunun denklemi nedir?
2.
A(2, 4)
E) –2x + 3y = 0
noktasından geçen ve eğim açısının
ölçüsü 90° olan doğrunun denklemi nedir?
A) x = 2
B) x = 4
D) y = 4
3.
C) y = 2
E) 2x + y = 0
A(1, 2) ve B(1, 5) noktalarından geçen doğrunun denklemi nedir?
A) x = 0
B) y = 0
D) x = 3
5.
C) y = x
E) y = 3
A(3, 4) noktasından geçen ve y ekseni ile ortak
noktası olmayan doğrunun denklemi nedir?
A) x = 3
B) x = 0
D) y = 4
6.
C) y = 0
E) x = 4
A(2, –3) noktasından geçen ve eğim açısının
ölçüsü 0° olan doğrunun denklemi nedir?
B) y = 0
D) y = 1
A) x = 0
C) y = –2
B) x = 3
D) y = 3
nun denklemi nedir?
ESEN YAYINLARI
A) x = –2
A(2, 3) ve B(5, 3) noktalarından geçen doğru-
C) x = 1
E) y = 3
A) x = 2
C) x = –3
B) y = –3
D) y = 2
E) y = 0
115
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 14
Çözüm
A(2, 1) noktasından geçen ve 2x – 3y + 1 = 0
doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi nedir?
1.
4.
A(1, 2) noktasından geçen ve x – 2y + 1 = 0
doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi
A(4, 2) noktasından geçen ve y = x doğrusuna
paralel olan doğrunun denklemi nedir?
nedir?
A) x = 2y
A) x – 2y = 0
B) x – 2y + 2 = 0
C) x – 2y + 3 = 0
D) x + 2y – 5 = 0
C) x = y – 4
B) y = x – 4
D) y = x + 2
E) y = x – 2
E) x + 2y + 1 = 0
5.
A(1, –2) noktasından geçen ve x = 2 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi nedir?
A) x = 0
B) x = 1
D) x = –2
C) x = 2
E) y = –2
ESEN YAYINLARI
2.
2x + y + 1 = 0 doğrusuna paralel olan ve A(0, 2)
noktasından geçen doğrunun x eksenini kestiği
noktanın apsisi kaçtır?
A) 1
6.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Köşelerinin koordinatları A(–2, 1) , B(0, 4) ve
C(5, 4) olan ABC üçgeninin A noktasından
3.
A(3, 2) noktasından geçen ve y eksenine para-
geçen ve [BC] kenarına paralel olan doğrunun
lel olan doğrunun denklemi nedir?
denklemi nedir?
A) x = 3
B) x = 2
D) y = 2
116
C) x = 0
E) y = 3
A) x = 0
B) y = 0
D) y = 1
C) x = –2
E) y = –2
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 15
Çözüm
A(–1, 3) noktasından geçen ve x – y + 2 = 0
doğrusuna dik olan doğrunun denklemi nedir?
1.
4.
A(–1, 0) noktasından geçen ve x + 2y – 1 = 0
y
doğrusuna dik olan doğrunun denklemi nedir?
A) y = 2x
B) y = 2x + 1
C) y = 2x + 2
D) y = 1 – 2x
d
6
t
E) y = 2 – 2x
–4
0
x
4
Şekilde verilenlere göre t doğrusunun denklemi
nedir?
A(3, –2) noktasından geçen ve x = 2 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi nedir?
A) x = 2
B) x = 3
D) y = 3
C) y = 2
E) y = –2
ESEN YAYINLARI
2.
A) 2x – 3y + 8 = 0
B) 2x – 5y + 8 = 0
C) 3x – 5y + 12 = 0
D) 3x + 5y + 12 = 0
E) 2x + 3y + 8 = 0
5.
Köşelerinin koordinatları A(–1, 2) , B(3, 4) ve
C(4, 0) olan ABC üçgeninin [AB] kenarına ait
3.
A(4, 2) noktasından geçen ve y = x doğrusuna
yüksekliği üzerinde taşıyan doğrunun denklemi
dik olan doğrunun denklemi nedir?
nedir?
A) y = –2x + 8
B) y = x + 6
A) 2x – y = 1
B) 2x – y = 2
C) y = x + 4
D) y = –x + 6
C) 2x + y = 4
D) 2x + y = 6
E) y = –x + 4
E) 2x + y = 8
117
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 16
a.
Çözüm
A(2, 4) ve B(–1, 1) noktalarından geçen doğru
ax + 2y + 1 = 0 doğrusuna paralel ise a kaçtır?
b.
ax – y + 2 = 0
ve
3x + 2y – 1 = 0
doğruları
birbirine dik ise a kaçtır?
ax – 2y + 1 = 0 doğrusuna paralel olan doğru
C(a, 1) ve D(–2, a+ 1) noktalarından geçen
x ekseni ile pozitif yönlü 60° lik açı yapıyorsa a
doğruya paralel ise a kaçtır?
kaçtır?
A) –2
2.
4.
A(2, 3) ve B(–1, 2) noktalarınden geçen doğru
B) –
1
2
C)
1
2
D) 1
A(–2, 1) ve B(2a, a – 1) noktalarınden geçen
doğru C(3, –2) ve D(1, 1) noktalarından geçen
doğruya dik ise a kaçtır?
A) 8
B) 6
C) –6
D) –8
E) –10
B) v3
A) 2v3
E) 2
D) – v3
5.
ESEN YAYINLARI
1.
C) –1
E) –2v3
ax – 2y + 1 = 0 ve bx + y – 1 = 0 doğruları
birbirine dik ise a.b kaçtır?
A) 0
6.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
(a – 2)x + (b – 1)y + 2 = 0 doğrusu
2x – y – 1 = 0 doğrusuna paralel ve
3.
2x – (a – 1)y + 2 = 0 doğrusuna dik olan doğru x
3x – ay + 2 = 0 doğrusuna dik ise (a, b) ikilisi
ekseni ile pozitif yönlü 135° lik açı yapıyorsa a
nedir?
kaçtır?
A) 0
118
A) (–6, 5)
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
D) (6, 5)
B) (6, –5)
C) (–6, –5)
E) (–5, 6)
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 17
Çözüm
Parametrik denklemi
x = 2t + 1
y=t–1
olan doğrunun eğimini ve x + 2y = 5 doğrusu ile
kesim noktasını bulunuz.
1.
4.
Parametrik denklemi
x = 2t – 1
y = 3t + 2
y = 2x + 1 ve y = ax + b doğruları x ekseni üzerinde dik olarak kesiştiklerine göre, a.b kaçtır?
4 olan doğrunun denklemi nedir?
A)
A) 3x – 2y = 7
B) 3x + 2y = 7
C) 3x – 2y = –7
D) 2x – 3y = 7
1
9
B)
1
8
1
7
C)
D)
1
6
E)
1
4
2.
2x – 3y = –1
x+y=2
4 doğrularının kesim noktası
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, 1)
B) (1, –1)
D) (1, 0)
3.
_
x+y+3=0 b
b
x – y + 1 = 0 ` doğruları aynı noktada kesişb
ax + 2y + 3 = 0 b
a
tiklerine göre a kaçtır?
A) –
1
2
B) 0
C)
1
2
D) 1
E)
3
2
E) (0, 1)
C) 0
6.
ax + y + 6 = 0 ve 2x + (a + 1)y – 1 = 0
doğruları y = x doğrusu üzerinde kesiştiklerine
göre a kaçtır?
runun eğimi nedir?
B) –1
5.
C) (–1, 1)
x=t–2
4
y = 2t + 1 parametrik denklemi ile verilen doğ-
A) –2
ESEN YAYINLARI
E) 2x + 3y = –7
D) 1
E) 2
A) – 2
B) –
15
7
C) –
17
7
D) –
19
7
E) – 3
119
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 18
Çözüm
Aşağıdaki doğruların grafiklerini çiziniz.
a. 2x + 3y + 12 = 0
b. y = 3x
x – y + 2 = 0 doğrusunun grafiğini çiziniz.
4.
x + y = 0 doğrusunun grafiğini çiziniz.
2.
x y
+ = 1 doğrusunun grafiğini çiziniz.
2 3
5.
y – 2x = 0 doğrusunun grafiğini çiziniz.
3.
y = x doğrusunun grafiğini çiziniz.
6.
2x + 3y = 0 doğrusunun grafiğini çiziniz.
120
ESEN YAYINLARI
1.
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 19
Çözüm
2x + y – 6 = 0 doğrusunun koordinat eksenleriyle
oluşturduğu üçgenin alanı kaç br2 dir?
1.
4.
3x – 2y + 6 = 0 doğrusunun koordinat eksenleriyle oluşturduğu üçgenin alanı kaç
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
br2
dir?
y
2|OA| = 3|OB|
A(AOB) = 12
E) 6
d
br2
B
Verilenlere göre
d doğrusunun
denklemi nedir?
2.
n > 0 olmak üzere, 3x + ny – 6 = 0 doğrusunun koordinat eksenleriyle oluşturduğu bölgenin
alanı 12 br2 ise n kaçtır?
A)
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
ESEN YAYINLARI
A) 2y – 3x = 6
C) 2y – 3x = 12
E) 3y + 2x = 12
5.
x
O
A
B) 2y + 3x = 6
D) 3y – 2x = 12
x = –3 , y = 1 ve koordinat eksenleri ile sınırlı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 1
3.
3x – 4y + 6 = 0 doğrusunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç br2 dir?
A)
7
2
B) 3
C)
5
2
D) 2
6.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
y = x , y = –x ve x = 2 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?
E)
3
2
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
121
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 20
Çözüm
Şekildeki OABC
y
karesinin B köşesi
d
4
d doğrusu üzerinde
B
olduğuna göre
A(OABC) kaç
br2
A
–6
1.
x
O
C
dir?
3.
y
y
2
C
O
A
x
4
A
üzerinde olduğuna göre, A(OABC) kaç
C)
16
9
D) 2
br2
B
E)
üzerinde olduğuna göre, A(OABC) kaç br2 dir?
dir?
A)
19
9
ESEN YAYINLARI
4
3
x
Şekildeki OABC karesinin B köşesi d doğrusu
Şekildeki OABC karesinin B köşesi d doğrusu
B)
5
–2
d
A) 1
d
C
O
B
36
25
49
36
B)
4.
C)
80
37
D)
90
43
E)
100
49
y
4
2.
y
A
O
C
–3
Çevre(OABC) =
üzerinde olduğuna göre, A(OABC) kaç br2 dir?
dir?
A) 3
A)
122
d
rusu üzerindedir.
Şekildeki OABC karesinin B köşesi d doğrusu
C) 5
x
6
Şekildeki OABC dikdörtgeninin B köşesi d doğd
B) 4
A
O
x
–6
B
B
C
D) 6
E) 7
16
3
B)
17
3
32
br ise Alan(OABC) kaç br2
3
C) 6
D)
19
3
E) 7
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 21
Çözüm
y = x + 1 ve y = – v3x + 3 doğruları arasındaki açının
ölçüsü kaç derecedir?
1.
x + y = 1 ve v3x – y = 2 doğruları arasındaki
4.
açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
x – y = 4 , v3x – y = 2 , x + v3y = 1 doğrularının oluşturduğu üçgenin iç açıarından en büyük
olanının iç açısının ölçüsü kaç derecedir?
E) 75
2.
x – v3y = 2 ve x – y = 1 doğruları arasındaki
açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
ESEN YAYINLARI
A) 60
B) 75
C) 90
5.
D) 120
E) 150
y
y=–x
y = mx
60°
x
0
3.
x = 2 ve y = mx – 3 doğruları arasındaki açının
ölçüsü 30° ise m nin pozitif değeri kaçtır?
A) v6
B) v3
C) v2
D) 1
E)
1
3
Yukarıda verilenlere göre m kaçtır?
A) v3 – 1
B) v3
D) v3 + 2
C) v3 + 1
E) v3 + 3
123
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 22
Çözüm
ABC üçgeninin [BC] kenarı 3x – 4y + 6 = 0 doğrusu
üzerindedir. A(–1, 2) ve |BC| = 6 br ise A(ABC)
kaç br2 dir?
1.
4.
A(2, 5) noktasının 6x – 8y + 3 = 0 doğrusuna
olan uzaklığı kaç br dir?
2.
9
2
B) 4
C)
7
2
C(6, 3) olan ABC üçgeninin [AC] kenarına ait
D) 3
E)
ABC üçgeninin [AB] kenarı 3x – y + 3 = 0 doğrusu üzerinde olup C(2, –1) ve |AB| = 2v5 br
ise A(ABC) kaç br2 dir?
A) 5v2
B) 7
D) 4v2
3.
C) 6
E) 5
A(–1, n) noktasının 2x – y + 3 = 0 doğrusuna
uzaklığı v5 br ise n nin alabileceği değerler top-
124
B) –1
A) 5
5.
B) 4
C) 0
D) 1
E) 2
C) 3
D) 2
E) 1
x – 2y + 1 = 0 doğrusunun A(–1, 1) noktasına
en yakın noktasının apsisi nedir?
A) –
6.
8
5
B) –
6
5
C) – 1
D) –
3
5
E) –
2
5
Orijine en yakın noktasının koordinatları
A(2, –1) olan doğrunun denklemi nedir?
A) 2y + x = 4
lamı kaçtır?
A) –2
yüksekliği kaç br dir?
5
2
ESEN YAYINLARI
A)
Köşelerinin koordinatları A(–2, –3) , B(2, 5) ve
B) 2x + y = 4
D) 2x + y = 5
C) 2x – y = 5
E) 2y + x = 5
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 23
Çözüm
5x + 12y + 7 = 0 ve 10x + 24y – 8 = 0 doğruları
arasındaki uzaklık kaç br dir?
1.
4.
3x – 4y + 2 = 0 ve 3x – 4y – 3 = 0 doğruları
arasındaki uzaklık kaç br dir?
A) 1
3
2
C) 2
D)
3x – y + 1 = 0 ve 3x – y + 11 = 0 doğrularının
5
2
üzerinde ise bu karenin alanı kaç br2 dir?
E) 3
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
sındaki uzaklık kaç br dir?
A) v2
B) v3
C) 2
D) v6
E) 3
5.
A
B(2, 0)
3.
E) 5
x – y + 4 = 0 ve 2y – 2x – 12 = 0 doğruları araESEN YAYINLARI
2.
B)
Bir karenin köşegenlerinden birisinin uç noktaları
2x – y + 3 = 0 ve 2x – y + c = 0 doğruları
arasındaki uzaklık 2v5 br ise c nin alabileceği
değerler toplamı kaçtır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
C(1, 2)
ABC üçgeninin A köşesi 2x + y + 1 = 0 doğrusu
üzerinde ise A(ABC) kaç br2 dir?
A)
9
2
B) 4
C)
7
2
D) 3
E)
5
2
125
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 24
Çözüm
A(–1, 3) ve B(2, 1) noktalarına eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerinin denklemini nedir?
1.
4.
A(2, –2) ve B(3, 1) noktalarına eşit uzaklıkta
bulunan noktaların geometrik yerinin denklemi
uzaklıkta bulunan noktalar A ve B ise |AB|
nedir?
kaç br dir?
A) x + 3y = 1
B) x – 3y = 1
D) x – 2y = 1
A) v7
C) x + 2y = 1
E) 5
x + y = 3 doğrusu üzerinde bulunan ve y eksenine olan uzaklığı, x eksenine olan uzaklığının 2
eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yer
katına eşit olan noktalar arasındaki uzaklık kaç
5
A) x = –
2
B) x = – 2
D) x = – 1
E) x = – 1
3
C) x = –
2
ESEN YAYINLARI
x – y + 2 = 0 ve x + y + 3 = 0 doğrularına
denklemlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
br dir?
A) 4
6.
3.
C) c10
B) 3
D) c21
E) 3x + y = 1
5.
2.
3x – y + 4 = 0 doğrusu üzerinde eksenlere eşit
B) 2v5
C) 5
D) 2v7
E) 4v2
2x – y + 4 = 0 doğrusu ile 2x – y + 10 = 0 doğru-
2x – y + 1 = 0 doğrusundan v5 birim uzaklıkta
suna eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
bulunan noktaların geometrik yer denklemlerin-
yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
den biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2y + x = 4
B) 2x – y = 4
D) 2y – x = 2
126
C) 2x + y = 4
E) 2y + x = 2
A) 2x – y + 7 = 0
B) 2x – y + 6 = 0
C) 2x – y – 2 = 0
D) 2x – y – 4 = 0
E) 2x – y – 6 = 0
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 25
Çözüm
y
4
d
1
x
2
0
–2
t
Şekildeki d ve t doğruları ve y ekseni ile sınırlı taralı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
1.
3.
y
y
2
5
1
x
2
0
–2
1
–3
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
5
3
B) 2
C)
7
3
D)
8
3
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
E) 3
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
ESEN YAYINLARI
A)
x
0
–1
4.
2.
y
1
y
1
y= x
2
0
1
x=5
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 4
B)
17
4
C)
x
–2
x
x=2
2
0
8
2
D) 5
E)
21
4
A) 1
B)
3
2
C)
7
4
D) 2
E)
9
4
127
Doğrunun Analitik İncelenmesi
REHBER SORU 26
Çözüm
Yandaki doğrusal
s›cakl›k(°C)
y
grafik bir sıvının
ısıtıldığında zamana
20
göre sıcaklığındaki
değişimi vermektedir.
Buna göre, kaçıncı
5
dakikada sıvının
0
10
x
dakika
sıcaklığı 50°C olur?
1.
3.
sat›fl (TL)
y
V (km/s)
A
B
30
75
20
10
0
25
50
x
al›fl (TL)
0
t (saat)
4
Bir malın alış ve satış bağıntısına ait grafik veril-
Yukarıda iki farklı aracın hız-zaman grafikleri
miştir. 225 TL ye satılan bir malın satışından kaç
verilmiştir. Buna göre kaçıncı saatte hızları farkı
TL kâr elde edilir?
50 km/s olur?
2.
B) 120
C) 115
D) 110
A) 26
E) 100
sat›fl (TL)
y
30
4.
C) 24
D) 23
E) 22
y
(tuz)
2
10
0
B) 25
ESEN YAYINLARI
A) 125
15
x
al›fl (TL)
0
6
x
(su)
Bir malın alış ve satış bağıntısına ait grafik verilmiştir. Buna göre, bu malın satışından 100 TL
Yukarıdaki grafikte bir karışımdaki su-tuz miktarı
kâr elde edilmesi için satış fiyatı kaç TL olmalı-
verilmiştir. Buna göre 64 gr lık tuz-su karışımın-
dır?
da kaç gr tuz vardır?
A) 380
128
B) 370
C) 360
D) 350
E) 340
A) 20
B) 19
C) 18
D) 17
E) 16
1
TEST –
1.
Analitik Düzlemde Nokta
(a2b3, ab) noktası düzlemin dördüncü bölgesinde
2
5.
B(1, 0)
3
ise (ab , a b) noktası hangi bölgededir?
A) I
B) II
D) IV
D
C) III
E
C(0, 2)
E) II veya IV
A(3, –2)
Şekilde
AB
= 2 ve
AD
DC
1
=
ise
3
DE
E noktasının koordinatları nedir?
2.
(a.b4, a – b) noktası analitik düzlemin IV. bölge-
A) (–4, 8)
sindedir. Buna göre (b – a, a + b) noktasının yeri
B) (4, 8)
D) (–8, –4)
C) (–8, 4)
E) (8, 4)
için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) I. Bölgede
B) II. Bölgede
C) III. Bölgede
D) IV. Bölgede
6.
D
A
E) x ekseni üzerinde
ESEN YAYINLARI
E
B
C
Analitik düzlemde D, A, B ve A, E, C doğrusal
|AB| = 3|AD|, 2|AE| = |EC|, B(1, 3), C(–2, 3)
3.
A(n–1, 3) ve B(–2, 2 – m) noktaları analitik düz-
D(5, –5) ise E noktası aşağıdakilerden hangisi-
lemin aynı bölgesinde ise n + m hangi aralıkta
dir?
değer alır?
A) (0, –1)
A) (– ∞, 2)
B) (–∞, 3)
D) (2, ∞)
C) (–∞, 4)
B) (–2, 2)
D) (2, –1)
C) (–2, 3)
E) (2, –2)
E) (3, ∞)
7.
y
C(3, 4)
4.
B
Aşağıdaki nokta çiftlerinden hangisinin orta nokO
tası koordinat eksenlerinden birinin üzerinde
değildir?
A) A(0, –1), B(2, 1)
C) A(–3, 3), B(3, 0)
E) A(–1, 2), B(1, 2)
x
A
Analitik düzlemde verilen OABC eşkenar dörtB) A(–2, 2), B(0, 0)
D) A(4, 2), B(3, –2)
geninde C(3, 4) ise B köşesinin koordinatları
toplamı kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
129
Doğrunun Analitik İncelenmesi
8.
12. A(6, 1) , B(4, 7) ve C ∉ [AB] olmak üzere
A(3, 1) , B(–3, 4) ve C ∈ [AB] olmak üzere
|AC| = 2|BC| koşulunu sağlayan C noktası aşa-
A, B, C doğrusal ve 3|BC| = 5|AC| ise
ğıdakilerden hangisidir?
C noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, 3)
B) (–1, 3)
D) (–2, 3)
C) (0, 3)
A) (9, –8)
E) (1, 2)
B) (9, –9)
D) (8, –6)
C) (8, –8)
E) (6, –6)
13. A(–3, 6)
9.
A(–1, 2)
C
B(3, 4)
[AC] doğru parçasında
noktasının eksenlere olan uzaklıkları
a
toplamı a, y eksenine olan uzaklığı b ise
b
kaçtır?
AB
2
ise
=
3
AC
A) 2
C noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) (6, 6)
B) (4, 5)
5
2
C) 3
D)
7
2
E) 4
C) (4, 4)
E) (5, 5)
ESEN YAYINLARI
D) (5, 4)
B)
y
14.
O
D
C(9, 4)
A
B
x
10. A(–2, 3) ve B(1, –3) noktalarını birleştiren doğru
Analitik düzlemde verilen ABCD karesinde
parçası üzerinde bulunan C(x, y) noktası için
C(9, 4) ise A, B ve D noktalarının koordinatları
AC
1
olduğuna göre x + y kaçtır?
=
3
AB
toplamı kaçtır?
A) 23
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
B) 22
C) 21
D) 20
E) 19
E) 3
15.
D(1, 5)
C(x, y)
11. A(2, 5) , B(0, 7) noktaları veriliyor. [AB] üzerinde bir C(x, y) noktası alınıyor.
A(–2, 1)
|CB| = 3|CA| olduğuna göre C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 4
130
B) 5
C) 6
B(4, 2)
ABCD paralelkenarında A(–2, 1), B(4, 2)
C(x, y) ve D(1, 5) olduğuna göre, x + y kaçtır?
D) 7
E) 8
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
2
TEST –
1.
Analitik Düzlemde Nokta
5.
A(–2a, 3b) noktası analitik düzlemin 3. bölgesinde ise B(a, – b) noktası için aşağıdakilerden
Köşelerinin koordinatları A(1, –2) , B(2, 3)
C(0, 5) , D(a, b) olan ABCD paralelkenarında
hangisi doğrudur?
a + b kaçtır?
A) I. bölgededir.
B) II. bölgededir.
C) III. bölgededir.
D) IV. bölgededir.
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
E) y ekseni üzerindedir.
2.
6.
A(2, 4) noktası ile B(x, 1) noktası arasındaki
C(5, –2) olan ABC üçgeninde [BC] kenarına ait
uzaklık 5 br ise x in pozitif değeri kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
Köşelerinin koordinatları A(1, 3) , B(3, 0) ve
kenarortay uzunluğu kaç br dir?
E) 6
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
ESEN YAYINLARI
A) 3
3.
A(1, –2) ve B(2, 3) olmak üzere y ekseni üzerindeki noktalardan A ve B ye eşit uzaklıkta bulunanın ordinatı kaçtır?
A)
3
5
B)
4
5
7.
A(–3, –3) noktası ile III. bölgede eksenlere eşit
uzaklıktaki bir B noktası arasındaki uzaklık 5v2 br
C) 1
D)
7
5
ise B noktasının ordinatı kaçtır?
E) 2
A) –2
4.
B) –4
C) –5
D) –8
E) –9
A(–3, 2) , B(3, –7) ve C ∈ [AB] olmak üzere
|AC| = 2|BC| koşulunu sağlayan C noktası aşa8.
ğıdakilerden hangisidir?
A) (1, – 4)
B) (2, – 4)
D) (1, –3)
C) (0, –4)
E) (1, –2)
A(5, 3a–b) ve B(4, a–2) noktaları x ekseni üzerinde ise C(–a, b) noktası hangi bölgededir?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) Orijinde
131
Doğrunun Analitik İncelenmesi
9.
13. ABC üçgeninde A(–2, 4) ve ağırlık merkezi
A(4 – a, b) ve B(a + 2, 2 – b) olmak üzere [AB]
nın orta noktası ile orijin arasındaki uzaklık kaç br
G(1, 3) olduğuna göre [BC] nin orta noktasının
dir?
koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
B) c10
A) 3
D) 4
A) c –
C) 2v3
E) 3v2
3 3
, m
2 2
D) c –
B) c
5 5
, m
2 2
3
5
, – m
2
2
C) c
E) c –
3 5
, m
2 2
5 3
, m
2 2
14. Bir ABC üçgeninin [AB] , [BC] ve [AC] kenarlarının orta noktaları sırasıyla D(1, 3) , E(–2, 4)
10. A(3, 1) , B(0, 7) ve C ∉ [AB] olmak üzere
ve F(2, 5) ise A köşesinin koordinatları toplamı
A, B, C doğrusal ve 2|BC| = 5|AC| ise
kaçtır?
C noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6
B) (3, –3)
D) (5, –2)
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
C) (4, –3)
E) (5, –3)
11. A(3, 6) noktasının x ekseni üzerindeki bir B nok-
ESEN YAYINLARI
A) (2, – 4)
15. Köşegenlerinin kesim noktası K(4, –2) olan bir
paralelkenarın dört köşesinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) 24
B) 16
C) 12
D) 8
E) 4
tasına uzaklığı 10 birim ise B nin koordinatları
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) (–5, 0)
B) (– 4, 0)
D) (5, 0)
C) (1, 0)
E) (6, 0)
16.
y
C
D
B
O
12. Analitik düzlemde köşeleri A(3, 7) , B(a, b) ve
C(–4, –8) noktaları üzerinde bulunan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin apsisi ordinatının iki katına eşittir. Buna göre 2b – a kaçtır?
A) –2
132
B) 0
C) 1
D) 2
Şekildeki ABCD karesinde A(1, 0) ve D(0, 3)
ise C köşesinin koordinatları nedir?
A) (3, 4)
E) 4
x
A
B) (3, 5)
D) (2, 5)
C) (2, 4)
E) (4, 5)
TEST –
1.
5
5.
7x – y + 2 = 0 ve 2y + x + 11 = 0 doğrularının
Bir ABC üçgeninde A(1, 3) , [BC] doğrusunun
kesim noktasından geçen ve x eksenine dik olan
denklemi x + 2y + 3 = 0 ve |BC| = 4 br ise
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A(ABC) kaç br2 dir?
A) y + 1 = 0
B) x – 1 = 0
D) x + 2 = 0
2.
Doğrunun Eğimi ve Denklemi
C) x + 1 = 0
A) 2v5
E) y – 2 = 0
B) 3v5
D) 4v6
E) 5v6
A(3, 2) ve B(1, 3) noktalarından geçen doğru6.
nun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x + 3y – 2m = 0 doğrusu ile 2x + 6y + 4m = 0
A) x – 2y = 7
B) x + 2y = 7
doğrusu arasındaki uzaklık c10 br ise m nin
C) x – y = 5
D) x + y = 5
alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
E) 2x – y = 5
A) –
5
2
B) –
ESEN YAYINLARI
3.
C) 4v5
D) –
10
3
25
3
C) –
E) –
25
4
25
2
y = mx + 2 ve y = x + 1 doğruları arasındaki
açı 15° ise m nin alabileceği değerler çarpımı
kaçtır?
7.
Bir karenin köşeleri 2y – 3x – 7 = 0 ve
3x – 2y – 6 = 0 doğruları üzerinde ise karenin
A)
3
3
B) 1
C) v3
D)
2 3
3
alanı kaç br2 dir?
E) 2
A) 9
8.
4.
B) 10
A(–4, –3)
C) 11
D) 12
E) 13
noktasından geçen ve x ekseni ile
A(1, –2) noktasının 3x – 4y + 4 = 0 doğrusuna
ortak noktası olmayan doğrunun denklemi nedir?
uzaklığı kaç birimdir?
A) y = –4
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
B) y = 3
D) x = – 4
C) y = –3
E) x = – 3
137
Doğrunun Analitik İncelenmesi
9.
2x – 3y – 3 = 0 ve 2y – 3x + 2 = 0 doğrularına
13. A(1, –2) noktasının y = 2x + a doğrusuna uzak-
eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yer
lığı 2v5 br ise a nın pozitif değeri kaçtır?
denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) y = x – 1
B) y = x + 1
C) y = x – 2
D) y = x + 2
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) y = x – 3
14. A(2m – 1, 3) ve B(7 + 2m, 4m + 1) olmak üzere
[AB] nin orta noktalarının geometrik yer denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
10. 3x – (a + 2)y + 6 = 0 doğrusunun eğimi tanımsız
ise a kaçtır?
A) y = x – 1
B) y = x + 1
C) y = x + 2
D) y = x – 2
E) y = 1 – x
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
11. A(m – 1, 2m – 3) noktalarının geometrik yer
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x + 1
B) y = 2x – 1
C) y = 2x + 2
D) y = 2x – 2
ESEN YAYINLARI
A) –3
15. A(2m + 3, 4m – 1) noktalarının oluşturduğu doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x + 7
B) y = x – 7
C) y = 2x – 7
D) y = x + 7
E) y = x + 14
E) y = 2x – 4
16. 3x + 4y – 5 = 0 doğrusu ile 5x + 12y + 1 = 0
doğrusuna eşit uzaklıktaki noktaların geometrik
12. ax + y + 5 = 0 ve x – ay + 1 = 0
yerlerinin denklemlerinden biri aşağıdakilerden
doğruları y = x doğrusu üzerinde kesiştiklerine
göre a kaçtır?
A)
138
2
3
B) 1
C)
4
3
D)
5
3
E) 2
hangisidir?
A) 7x – 4y + 35 = 0
B) 7x + 4y + 35 = 0
C) 7x + 4y – 35 = 0
D) 4x – 7y – 35 = 0
E) 7x – 4y – 35 = 0
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
4.
A(–a, b) noktası analitik düzlemin 3. bölgesinde
ise B(a, –b) noktası hangi bölgededir?
2x – y + 12 = 0 ve y + x – 3 = 0 doğrularının
kesim noktasının 4x + 3y + 4 = 0 doğrusuna
olan uzaklığı kaç br dir?
5.
2.
A(–1, 2) ve B(2a, a–1) noktalarından geçen
doğru, x – 9y + 6 = 0 doğrusuna paralel ise
B
A(3, – 4)
Şekildeki 1 br2 lik karelerden oluşan koordinat
sistemine göre A(3, – 4) ise B noktasının koor-
ESEN YAYINLARI
a kaçtır?
dinatlarını bulunuz.
3.
A(2, 1) , B(a, 3) , C(–1, 2) noktaları aynı doğru
üzerinde ise a kaçtır?
6.
y – 3x + 1 = 0 doğrusu üzerindeki noktalardan
A(1, –3) noktasına en yakın olanının apsisi kaçtır?
147
Doğrunun Analitik İncelenmesi
7.
9.
y
y yak›t (lt)
d1
120
80
K
60
A(–2,1)
A
B(1,0)
x
B
d2
0
Şekildeki düzlemde A(–2, 1) noktasından geçen
4
x
Zaman (saat)
Grafikte depoları dolu olan hareket halindeki A
d1 doğrusu ile d2 doğrusu K noktasında dik olarak
ve B araçlarının zamana göre depolarında kalan
kesişmektedir. d2 doğrusunun eğimi –1 olduğuna
yakıt miktarları verilmiştir. Buna göre, B aracının
göre taralı alan kaç br2 dir?
yakıtı bittiğinde A aracının deposunda kaç lt ya-
ESEN YAYINLARI
kıtı vardır?
8.
A(3, –2) noktasının x + y – 2 = 0 doğrusu üzerindeki dik iz düşümü B noktası ise B nin koordinatları nedir?
148
10. a ≠ 1 olmak üzere,
(a2 – 4a + 3)x + (a – 1)y + 2 = 0
doğruları x eksenine paralel ise a kaçtır?
I.
II.
Sol sütunda iki noktası veya denklemi verilen doğruların eğimlerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
1.
A(2, –3) , B(–2, 1)
a.
Tanımsız
2.
A(3, 2)
B(–1, 3)
b.
–1
3.
A(–1, 3) ,
B(–1, –2)
c.
–
4.
8x – 4y + 1 = 0
d.
0
5.
3y – 2 = 0
e.
1
6.
x–y+4=0
f.
2
7.
2x + 3y + 6 = 0
g.
0
8.
3x + 2 = 0
h.
Tanımsız
9.
2y + 3 = 0
ı.
–
,
1
4
2
3
Sol sütunda verilen noktalarla doğrular arasındaki uzaklığı sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
1.
A(–1, 2)
, 3x – 4y – 4 = 0
a.
2
2.
A(1, 1)
, x – y + v2 = 0
b.
3
3.
A(2, 1)
, 5x + 12y + 4 = 0
c.
1
III. Sol sütunda verilen doğrular arasındaki uzaklığı sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
1.
x – 2y – v5 = 0 , x – 2y + 2v5 = 0
a.
v5
2.
3x + 4y – 2 = 0 , 3x + 4y + 3 = 0
b.
3
3.
2y – x – 4 = 0
c.
1
, 2x – 4y – 2 = 0
149
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
SOLDAN SAĞA
YUKARIDAN AŞAĞIYA
2.
Geometrideki tanımsız terimlerden birisi
1.
Teğete değme noktasında dik olan doğru
3.
Analitik düzlemde apsis ve ordinatın negatif olduğu
yer
4.
Aynı özellikleri olan noktaların oluşturdukları çizgi
veya yüzey
5.
Çakışık veya paralel olmayan iki doğrunun ortak noktası
6.
x ve y eksenlerinin kesiştiği nokta
7.
8.
Dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sistem
Aynı düzlemde bulunan ve birbirini kesmeyen iki doğrunun durumu
11. Matematik dilinde değişken
9.
İki nokta arasındaki mesafe
13. Analitik düzlemdeki noktaların II. bileşeni
10. Bir doğru parçasına orta noktasında dik olan doğru
15. Bir doğrunun eğim açısının yönü
12. Analitik düzlemdeki noktaların I. bileşeni
17. Bir doğru parçası üzerinde iki uca eşit uzaklıkta bulunan nokta
14. Trigonometrik fonksiyonlardan biri
18. Bir noktanın yerini belirlemek için kullanılabilen bir yer
bulma sistemi
19. Bir doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açısının tanjantı
150
16. Biçim, desen veya çizgilerle gösterme
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1.
Bir doğrunun x eksen ile pozitif yönde yaptığı açı doğrunun ............................... açısıdır.
2.
Eğim açıları negatif olan doğruların eğimleri ............................... dir.
3.
x eksenine ............................... olan doğruların eğimleri sıfırdır.
4.
x = a doğrularının eğimi ............................... dır.
5.
y = 3x + 2 doğrusunun grafiği ............................... doğrusunun y ekseni doğrultusunda 2 br yukarı ötelenmişidir.
6.
Kesişen iki doğrudan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bu doğruların ...............................
doğrularıdır.
7.
İki noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının
............................... dir.
8.
a1 x + b1 y + c1 = 0 ve a2x + b2y + c2 = 0 doğruları ............................... ise
9.
Dik koordinat sistemindeki yatay eksene ............................... denir.
a1 b1 c1
=
=
a2 b2 c2
dir.
10. Dik koordinat sistemindeki x ekseni üzerinde bulunan noktaların ordinatları ............................... dır.
11. x eksenine dik olan doğruların eğimleri ............................... dır.
12. y eksenine dik olan doğruların eğimleri ............................... dır.
13. Paralel iki doğrunun ............................... eşittir.
14. Dik iki doğrunun eğimleri ............................... –1 dir.
15. ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi ............................... dir.
16. Apsisin pozitif ve ordinatın negatif olduğu bölge analitik düzlemin ............................... bölgesidir.
151
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
A(x1, y1) noktalarından geçen ve eğimi
x – x1 y – y1
=
a
b
2.
b
olan doğrunun kapalı denklemi
a
dir.
A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi
b
olan doğruya dik olan doğrunun denklemi
a
a(x – x1) + b(y – y1) = 0 dır.
3.
ay + b = 0 doğrusunun grafiği x eksenine diktir.
4.
ax + b = 0 doğrusunun grafiği x eksenine paraleldir.
5.
Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilir.
6.
Eğim açısı dar açı olan doğruların eğimleri pozitiftir.
7.
x eksenine dik olan doğruların eğimleri pozitiftir.
8.
x = a doğrusunun eğimi tanımsızdır.
9.
y = a doğrusunun eğimi sıfırdır.
10.
y = mx + n doğrusunun eğimi m dir.
11.
3x + 2y + 1 = 0 doğrusunun eğimi
12.
x + y + 2 = 0 doğrusunun eğim açısı dar açıdır.
13.
2. bölgede bulunup eksenlere eşit uzaklıkta bulunan noktanın koordinatları toplamı sıfırdır.
14.
A(a, b) noktasının x eksenine uzaklığı |a| dır.
15.
A(a, b) noktasının orijine olan uzaklığı
16.
A(a, b) noktasının y eksenine uzaklığı |a| dır.
17.
x eksenini (a, 0) ve y eksenini (0, b) noktalarında kesen doğrunun denklemi
152
3
dir.
2
a 2 + b 2 dir.
x y
+ = 1 dir.
a b
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
4.
1999 – ÖSS
2002 – ÖSS
x + 4y = 4 , mx + y = 9 doğruları y = x doğrusu
5
üzerinde kesiştiklerine göre m kaçtır?
y
A(6, 8)
A) 1
4
O
B
H
B) 3
4
D) – 1
4
C) 5
4
E) – 1
2
x
Yukarıdaki koordinat düzleminde verilen AOB dik
üçgeninin dik köşesinin (A) koordinatları (6, 8) ve
B köşesi x–ekseni üzerindedir.
Buna göre, AOB dik üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
2.
200
3
B)
130
3
C)
5.
110
3
D) 50
E) 60
noktası olduğuna göre m kaçtır?
2001 – ÖSS
y
C(2, 8)
A
B
2005 – ÖSS
A(m, 2) , B(0, 1) ve C(3, 4) bir doğrunun üç
A) 1
ESEN YAYINLARI
A)
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x
O
6.
2005 – ÖSS
Şekilde, |OB| = |OA| ve C(2, 8) noktası AB doğ-
y
d2
rusu üzerinde olduğuna göre, AOB dik üçgeni-
d1
2
nin alanı kaç br dir?
A(x, y)
1
A) 12
B) 15
C) 18
D) 21
45°
E) 24
–2
x
O
–3
3.
2001 – ÖSS
ax – y = 6
4x + (a + 4)y = – 6
Şekilde d1 doğrusuyla d2 doğrusunun kesim
denklemleriyle verilen doğrular paralel olduğuna
noktası A(x, y) olduğuna göre x + y toplamı
göre a kaçtır?
kaçtır?
A) –2
154
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Doğrunun Analitik İncelenmesi
7.
2006 – ÖSS
10. 2010 – YGS
Aşağıdaki doğru f(x) fonksiyonunun grafiğidir.
Köşeleri A(3, 1), B(5, 3), C(2, 5) ve D(a,b) köşegenleri [AC] ve [BD] olan paralelkenarın [BD]
y
köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?
f(x)
A) 1
1
C) 3
D) 4
E) 5
x
2
O
B) 2
11. 2011 – LYS
Buna göre aşağıdakilerden hangisi
2f(x + 1)
A(–1, a) noktasının 12x + 5y – 7 = 0 doğrusuna
fonksiyonunun grafiğidir?
y
A)
olan uzaklığı 2 birim olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
y
B)
1
A)
1
–1
x
O
–2
x
O
y
y
D)
– 63
5
– 53
6
C)
E)
– 57
6
– 49
8
12. 2011 – LYS
Analitik düzlemde A(–3, 0) ve B(1, 2) noktaları
1
1
O
1
x
O
için [AB] doğru parçasının orta dikmesinin denkx
1
y
E)
B)
D)
ESEN YAYINLARI
C)
– 61
5
1
O
2
lemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y + 2x + 1 = 0
B) y + 2x – 1 = 0
C) y – 2x + 2 = 0
D) 2y + x – 1 = 0
E) 2y + 2x – 1 = 0
x
13. 2012 – LYS
x + 2y – 4 = 0
8.
x – 2y + 4 = 0
2008 – ÖSS
Dik koordinat düzlemi üzerinde A(0, –1), B(2, 0)
doğruları ile
ve C(k, 4) noktaları veriliyor.
bölgenin alanı kaç birim karedir?
x
Bu noktaların üçü de aynı doğru üzerinde olduğu-
A) 4
B) 6
ekseni arasında kalan sınırlı
C) 8
D) 10
E) 12
na göre, k kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
14. 2012 – LYS
Dik koordinat düzleminde (1, 2) noktasında bulunan bir hareketlinin t-inci saniyede bulunduğu
9.
2010 – YGS
noktanın koordinatları (1 + 3t, 2 + 4t) olarak
Dik koordinat düzleminde, y + 2x – 1 = 0 doğru-
veriliyor.
suna A(1, 0) noktasından çizilen dikme, Y ekse-
Bu hareketli 2. saniyede A noktasında ve 4.
nini hangi noktada keser?
saniyede B noktasında bulunduğuna göre, A ile
A)
–1
2
B)
–1
3
C)
–1
4
D)
–1
5
E)
–1
6
B arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
E) 16
155
Doğrunun Analitik İncelenmesi
17. 2013 – LYS
15. 2012 – LYS
ax – y – 2 = 0
R gerçel sayılar kümesi olmak üzere,
x + 2y + 6 = 0
K = { (x, y) : x > 0, y < 0 } ⊆ R x R
3x – 2y + 10 = 0
kümesi veriliyor.
doğrularının kesim noktalarını köşe kabul eden
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi (R x R) \ K
üçgen bir dik üçgen ise a sayısının alabileceği
fark kümesinin bir alt kümesidir?
değerlerin toplamı kaçtır?
A) 0
B)
1
3
C) 1
D)
4
3
A) {(x, y) : x – 2y – 1 = 0}
E) 2
B) {(x, y) : 2x + y + 3 = 0}
C) {(x, y) : 3x + y – 2 = 0}
D) {(x, y) : 2x – 3y + 1 = 0}
E) {(x, y) : –x + y + 2 = 0}
16. 2013 – LYS
Kenar uzunlukları 10 birim ve 15 birim olan
ABCD dikdörtgeni biçimindeki bir karton, şekilde-
D
C
D
D1 2
C
B
A
B
B1 2
15
A
10
Daha sonra, elde edilen iki üçgenin A ve C köşeleri orijinde olacak biçimde üçgenler dik koordinat
ESEN YAYINLARI
ki gibi DB köşegeni boyunca kesiliyor.
18. 2013 – LYS
•
d2 : y = –2x + 6 doğruları çiziliyor.
düzlemi üzerine aşağıdaki gibi yerleştiriliyor.
y
D1
Dik koordinat düzleminde, d1 : y = x ve
•
Bu iki doğrunun K kesim noktası belirleniyor.
•
Orijin noktası O olmak üzere, bir köşegeni
[OK] olan kare oluşturuluyor.
•
D2
A ve B noktası d2 üzerinde olmak üzere,
bir AOB üçgeni çiziliyor.
K(a, b)
Çizilen bu üçgenin alanı, karenin alanına eşit
O
B1
B2
x
A)
Bu üçgenlerin K(a, b) kesim noktası için a + b
156
B) 11
C) 12
3 5
2
D)
toplamı kaç birimdir?
A) 10
olduğuna göre, |AB| uzunluğu kaç birimdir?
D) 13
E) 14
B)
3 10
5
4 5
3
C)
E)
4 10
5
5 5
3
DÖRTGENLER ve ÇOKGENLER
. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
Dörtgenler ve Özellikleri
1.
Kazanım
: Dörtgenin temel elemanlarını ve özelliklerini açıklar.
Özel Dörtgenler
1.
Kazanım
: Yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoid ile ilgili açı, kenar ve köşegen özelliklerini açıklar.
2.
Kazanım
: Yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoidin alan bağıntılarını oluşturur.
3.
Kazanım
: Dörtgenlerin alan bağıntılarını modelleme ve problem çözmede kullanır.
Çokgenler
1.
Kazanım
: Çokgenleri açıklar, iç ve dış açılarının ölçülerini hesaplar.
4. ÜNİT
DÖRTGENLER
®
®
Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
®
Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
®
D
E
C
α
A(ABCD) =
a
m (X
C) + m ( X
D)
m( AEB) =
2
®
D
C
B
A
D
1
.|AC|.|DB|.sinα
2
B
A
E
®
C
D
A(ABCD) =
C
a
m (X
D) – m ( W
B)
m( AEF) =
2
E
F
AC . DB
2
B
A
®
D
C
S3
A
S4
B
S2
E
S1.S3 = S2.S4
S1
®
C
c
D
d
b
E
B
A
®
C
M
D
S4
a
A
B
N
S1 + S3 = S2 + S4
S2
S1
K
A
A(KLMN) =
B
C
K
D
orta noktalar
L
[AC] ⊥ [BD] ⇒ a2 + c2 = b2 + d2
®
K, L, M, N
S3
A (ABCD)
2
YAMUK
F
L
A
®
D
C
B
E
L, E, F ve K kenar orta noktaları ise
A
¢
EFKL paralelkenardır.
¢
Çevre(EFKL) = |AC| + |BD| dir.
¢
[DB] ⊥ [AC] ⇒ EFKL dikdörtgendir.
¢
|DB| = |AC| ⇒ EFKL eşkenar dörtgendir.
¢
B
®
E
®
A
|EF| =
a+c
2
|KL| =
a–c
2
F
L
a
B
A
®
a
b
B
E
D
D
c
K
d
c
C
[DC] // [KL] // [AB]
L
N
|KN| = |NL|
C
[AD] ⊥ [BC] ⇒ a2 – b2 = c2 – d2
158
C
K
|DB| = |AC| ve [DB] ⊥ [AC] olduğunda,
EFKL kare olur.
c
D
ABCD yamuğunda
a
a
m( A) + m( D) = 180°
a
a
m( B) + m( C) = 180°
|KL| =
A
a
B
2.a.c
a+c
İkizkenar Yamuk
D
PARALELKENAR
|AD| = |BC|
C
A
|AC| = |BD|
a
a
m( A) = m( B)
a
a
m( D) = m( C)
B
®
c
D
D
A
yamuğunda
H
K
c
B
|AH| = |KB| =
a
®
D
c
C
a–c
2
®
Paralelkenarda komşu açılar bütünlerdir.
®
Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.
®
Paralelkenarda komşu açıların açıortayları
D
C
yamuğunda
E
[AC] ⊥ [DB] ise
A
a
h=
B
a+c
dir.
2
A
Dik Yamuk
®
C
c
B
D
C
|AC| = e
ABCD dik yamuğunda köşegenler
h
a
B
e2 + f2 = 2(a2 + b2)
A
h2 = a.c dir.
®
Yamuksal Bölgenin Alanı
®
B
a
D
C
D c C
L
A(ABCD) =
A
H
B
(a + c) .h
2
A
®
a
®
D
S1
E
S1.S3 = S2.S4
A(ABCD) = _
E
A
S2 +
S4 i
B
2
®
A
D
C
E
E
A(BEC) =
|AK| = |KL| = |LC|
K
B
D
C
F
L
S3
A
A
B
D
S1 = S3
S2
®
E
C
S4
|AK| = |KL| = |LC|
F
K
h
|BD| = f ise
b
birbirine dik ise,
A
B
Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve karşılıklı
ABCD ikizkenar
h
D
A
B
a
birbirine diktir.
L
®
E
açılar eştir.
ABCD ikizkenar
A
b
θ
α
®
C
α
b
C
D
C
a
θ
A (ABCD)
2
B
|AE|2 = |EF|.|EK|
F
C
K
B
159
Paralelkenarsal Bölgenin Alanı
D
C
D
C
hb
ha
A
H
B
Eşkenar Dörtgensel Bölgenin Alanı
®
a
D
C
A
h
H b
a
B
A
a
A(ABCD) = a.ha
®
A(ABCD) = b.hb
E
D
E
h
A(ABCD) = a.h
H
®
B
a
D
C
C
a
A(ABE) =
A
A (ABCD)
2
a
a
A
A(ABCD) =
AC . DB
2
B
B
DİKDÖRTGEN
®
D
Açıları dik açı olan paralelkenar dikdörtgendir.
C
S3
S4
Dikdörtgen, paralelkenarın tüm özelliklerini taşır.
S1 + S3 = S2 + S4
S2
E
®
D
S1
C
B
A
Köşegen
uzunlukları
E
eşit olup
EŞKENAR DÖRTGEN
A
Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Eşkenar dörtgen
®
K
D
bir paralelkenar olduğundan, paralelkenarın bütün
birbirini ortalar.
B
C
D
özelliklerini taşır.
D
K
a
C
a
D
C
A
a
A
a
a
a
A
B
a
B
Karşılıklı kenarlar paraleldir.
®
Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir.
®
Komşu açılar birbirinin bütünleridir.
®
Köşegenler birbirini dik olarak ortalar ve ait
oldukları açının açıortaylarıdır.
a
D
e/2
a
f/2
A
160
a
KARE
D
a
B
a
e2 + f2 = 4a2
C
45°
45°
45°
45°
®
a
45°
45°
a
Kareyi, kenar uzunlukları
birbirine eşit olan dikdörtgen
şeklinde de tanımlayabiliriz.
O
a
A
e/2
B
A(ABCD) = a.b
®
45°
45°
f/2
A
|KD|2 + |KB|2 = |KA|2 + |KC|2
C
E
B
a
E
®
®
C
B
Köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
|AC| = |BD| = av2
Köşegenler birbirini dik olarak ortalar.
|AO| = |OC| = |BO| = |OD| =
®
A(ABCD) = a2
a 2
2
DELTOİD
D
D
D
Tabanları ortak, tepe
E
noktaları farklı tarafta
C
O
olan iki ikizkenar
dışbükey dörtgene
A
54°
54°
A
C
E
deltoid denir.
B
®
[BD] ⊥ [AC]
®
®
|AE| = |EC|
a
a
m( DAB) = m( DCB)
®
[DB] köşegeni açıortaydır.
®
Kenar orta noktaları birleştirilerek elde edilen
54°
54°
A
B
B
O noktası hem çevrel çemberinin hem de iç
teğet çemberinin merkezidir.
®
ABCD deltoidinde;
® |AB| = |BC| ve |AD| = |DC|
DÜZGÜN ALTIGEN
İç açılarının ölçüleri ve kenar uzunlukları eşit olan
altıgene düzgün altıgen denir.
E
AC . DB
2
D
120°
dörtgen, bir dikdörtgendir.
A(ABCD) =
O
72°
üçgenin oluşturduğu
®
C
E
F
bir dış açısı =
120°
120°
120°
360°
6
= 60°
C
bir iç açısı = 180° – 60°
120°
DÜZGÜN ÇOKGEN
120°
A
= 120°
60°
B
Kenarları aynı uzunlukta ve iç açılarının (veya dış
açılarının) ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere
düzgün çokgenler denir.
®
E
D
a
a
a
n kenarlı düzgün çokgenin:
360°
n
®
Bir dış açısının ölçüsü =
®
Bir iç açısının ölçüsü = 180° –
E
F
C
F
A
a
a
a
O
a
a
C
a 60° a
a 60°
60° a
60° 60°
A
a
B
a
a
360°
dir.
n
a
a
D
a
B
®
A
D
r
a
B
a
H
E
D
çokgenin alanı
A=
C
®
n.a.r
2
dir.
a
F
a
a
D
a
O
a
E
a
C
F
O
a
C
60°
30°
n kenarlı düzgün
O
r
a
A
DÜZGÜN BEŞGEN
İç açılarının ölçüleri ve kenar uzunlukları eşit olan
beşgene düzgün beşgen denir.
D
108°
E
108°
108°
A
108°
108°
C
72°
bir dış açısı =
360°
= 72°
5
B
A a H a B
2
2
Çevrel çemberinin
İç teğet çemberinin
yarıçapı bir kenar
yarıçapı,
uzunluğuna eşittir.
|OH| = r =
|OA| = a dır.
a 3
dir.
2
bir iç açısı = 180° – 72°
= 108°
B
161
Dörtgenler
REHBER SORU 1
Çözüm
D
A
x
50°
E
60°
80°
B
C
Şekilde, [AE] ⊥ [ED] dir. Verilenlere göre x kaç
derecedir?
1.
3.
E
A
C
A
120°
100°
70°
x
C
E
45°
x
D
B
B
Şekildeki verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 30
D
105°
100°
B) 40
C) 50
D) 60
ABCD dörtgeninde, [BE] ile [DE] açıortaylar-
E) 70
dır. Verilenlere göre, x kaç derecedir?
B) 30
C) 25
D) 20
E) 15
ESEN YAYINLARI
A) 35
2.
A
4.
F
A
60°
110°
D
30°
x
80°
D
x
B
65°
B
C
C
E
Şekildeki ABCD dörtgeninde verilenlere göre x
ABCD dörtgeninde [BF] ile [CF] açıortaylardır.
kaç derecedir?
Verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 85
162
B) 80
C) 75
D) 70
E) 65
A) 135
B) 130
C) 125
D) 120
E) 115
Dörtgenler
REHBER SORU 2
Çözüm
C
D
E
x
A
B
ABCD dörtgeninde [AE] ile [BE] açıortaylar ise
x=
m (X
C) + m ( X
D)
olduğunu gösteriniz.
2
1.
3.
D
60°
C
80°
E
x E F
x
A
B) 40
C) 50
D) 60
kaç derecedir?
E) 70
ESEN YAYINLARI
2.
B) 75
4.
C) 70
D) 65
E) 60
E
K
C
b
C
ABCD dörtgeninde, [AE] , [BE] , [DF] ve [CF]
a
a
açıortaylardır. m( DFC) = 100° ise m( AEB) = x
A) 80
F
100°
B
B
ABCD dörtgeninde, [AE] ile [BE] açıortaylara
dır. Verilenlere göre m( AEB) = x kaç derecedir?
A) 30
D
A
x
a
D
C
D
E
100°
x
F
B
A
B
A
ABCD dörtgeninde, [AE] ve [BE] açıortaylara
dır. a + b = 200° ise m( AEB) = x kaç derece-
ABCD dörtgeninde, [AE] , [DF] , [BE] ve [CF]
a
a
açıortaylardır. m( DFC) = 100° ise m( AEB) = x
dir?
kaç derecedir?
A) 65
B) 70
C) 75
D) 80
E) 85
A) 85
B) 80
C) 75
D) 70
E) 65
163
Dörtgenler
REHBER SORU 3
Çözüm
C
D
x
F
E
A
B
ABCD dörtgeninde [CE] ve [AF açıortaylar ise
x=
m (X
D) – m ( W
B)
2
olduğunu gösteriniz.
1.
3.
D
D
A
A
110°
x
x
140°
E
F
E
70°
B
80°
C
C
B
ABCD dörtgeninde, [BE] ile [ED] açıortaylar-
ABCD dörtgeninde, [BF ile [ED] açıortaylardır.
dır. Verilenlere göre x kaç derecedir?
Verilenlere göre x kaç derecedir?
B) 145
C) 140
D) 135
E) 130
A) 12
ESEN YAYINLARI
A) 150
2.
B) 14
4.
b
72°
D) 18
E) 20
D
A
D
A
C) 15
F
E
2b
K
a
2a
B
144°
C
B
ABCD dörtgeninde, [BF] ile [CE] açıortaylara
a
dır. m( BAD) + m( ADC) = 190° ise
a
a
m( BEC) + m( BFC) kaç derecedir?
ABCD dörtgeninde verilenlere göre
a
m( BKD) kaç derecedir?
A) 115
164
B) 120
C) 125
D) 130
C
E) 135
A) 125
B) 120
C) 115
D) 110
E) 105
Dörtgenler
REHBER SORU 4
Çözüm
A
F
2
B
x
D
E
3
5
C
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [BD] , |AF| = |FD|
|AB| = 2 cm , |BC| = 3 cm , |CD| = 5 cm ise
|EF| kaç cm dir?
1.
3.
A
A
x
3
D
E
4
x
5
D
C
ABC üçgeninde, [AD] ⊥ [BC] , |AB| = 4 cm
|EC| = 6 cm ve |AC| = c43 cm ise |BE| = x
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [BD] , |AB| = 3 cm
|BC| = 4 cm ve |CD| = 5 cm ise |AD| = x kaç
kaç cm dir?
cm dir?
A) 6
D) c26
C) 5
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
E) 6
ESEN YAYINLARI
B) 3v2
6
B
C
A) 4
c43
E
4
B
2.
A
4.
F
10
y
A
3
B
D
E
6
4
x
K
O
B
D
x
4
C
C
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [BD] , |AF| = |FD|
|CK| = |KD| , |EF| = 3 cm , |EK| = 4 cm
ABCD dörtgeninde, |AB| = |CD| , |BC| = 4 br
|AB| = 10 cm ise |BC| = x kaç cm dir?
|AD| = 6 br ise |AB| kaç br dir?
A) 8
A) c26
B) 3c10
C) 10
D) 11
E) 8v2
B) 5
C) 2v6
D) 4
E) c15
165
Dörtgenler
REHBER SORU 5
Çözüm
D
K
A
F
L
B
E
C
ABCD dörtgeninde, E, F, K ve L kenar orta noktaları
ise Çevre(EFKL) = |AC| + |BD| olduğunu gösteriniz.
1.
D
3.
C
K
A
F
L
F
L
B
A
E
C
ABCD dörtgeninde E, F, K ve L kenar orta noktalarıdır. |AC|2 + |BD|2 = 90 br2
larıdır. |AC| = 12 br , |BD| = 14 br ise
Çevre(EFKL) = 12 br ise |AC|.|BD| kaç br2 dir?
Çevre(EFKL) kaç birimdir?
C) 24
D) 23
A) 25
E) 22
B) 26
C) 27
D) 28
E) 29
ESEN YAYINLARI
B) 25
E
B
ABCD dörtgeninde E, F, K, L kenar orta nokta-
A) 26
D
K
2.
ABCD dörtgeninde
E, F, K ve L kenar orta
A
K
D
4.
A
D
F
noktalarıdır. Aşağıdakilerin doğru (D) veya
K
L
F
L
yanlış (Y) olduğunu
tespit ediniz.
O
O
O
B
E
B
C
[AC] ⊥ [BD] ise EFKL dikdörtgendir.
E
C
ABCD dörtgeninde E, F, K ve L kenar orta
noktalarıdır. |LK| + |EF| = 18 br ise |BD| kaç
|AC| = |BD| ise EFKL eşkenar dörtgendir.
br dir?
|AC| = |BD| ve [AC] ⊥ [BD] ise EFKL karedir.
A) 22
166
B) 21
C) 20
D) 19
E) 18
Dörtgenler
REHBER SORU 6
Çözüm
C
K
D
F
L
A
E
B
ABCD dörtgeninde, E, F, K ve L bulundukları kenarın orta noktaları ise Çevre(EFKL) = |AD| + |BC| olduğunu gösteriniz.
1.
3.
C
K
D
C
F
D
1
L
2
F
L
4
A
E
6
E
A
B
|CL| = 1 br ise |LB| = x kaç birimdir?
dir?
D) 13
A) 2
E) 14
ESEN YAYINLARI
C) 12
2.
D
5
2
B)
C) 3
K
F
9
A
A
E
B
B
ABCD dörtgeninde E, L, F ve K bulundukları
ABCD dörtgeninde |KC| = 2|DK| , |LC| = 2|LA|
kenarların orta noktalarıdır.
|EB| = 2|AE| , |FB| = 2|DF| , |AD| = 6 br
Çevre(EFKL) = 3|DC| – 2|AB| ise
|CB| = 9 br ise Çevre(EFKL) kaç br dir?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 4
D
L
F
L
7
2
C
E
6
D)
4.
C
K
B
rıdır. [KL] // [AC] , |EF| = 2 br , |KL| = 3 br
talarıdır. Verilenlere göre Çevre(EFKL) kaç br
B) 11
K
ABCD dörtgeninde E ve F kenar orta noktala-
ABCD dörtgeninde E, F, K ve L kenar orta nok-
A) 10
x
3
E) 17
A)
5
6
B)
4
5
C)
3
4
D)
2
3
AB
kaçtır?
DC
E)
1
2
167
Dörtgenler
REHBER SORU 7
Çözüm
C
D
F
E
A
B
ABCD dörtgeninde, [DB] ⊥ [AC] , E ve F kenar
orta noktalarıdır. |AC| = 6 br , |DB| = 8 br ise
|EF| kaç birimdir?
3.
y
1.
A
F
D
C
F
O
D
B
x
B
E
|BE| = 2|EC| , |AC| = 9 br , |BD| = 6 br ise |EF|
ABCD dörtgeninde, E ve F kenar orta nokta-
kaç birimdir?
larıdır. |EF| = 13 br , |DB| = 24 br ise |AC| kaç
A) 4
C) 10
D) 11
E) 12
B) 5
C) 4v2
4.
2.
y
C
C
D
E
120°
K
E) c40
D) 6
ESEN YAYINLARI
birimdir?
B) 9
C
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [BD] , |FD| = 2|AF|
A
A) 8
E
F
F
O
D
B
x
E
A
B
ABCD dörtgeninde, E ve F kenar orta noktaa
larıdır. m( DKC) = 120° , |AC| = 8 cm
DB| = 10 cm ise |EF| kaç cm dir?
A) c61
168
B) 8
C) c65
D) 9
A
ABCD dörtgeninde, |AE| = 2|ED| , |CF| = 2|FB|
|DB| = 6 br , |AC| = 9 br ise |EF| kaç br dir?
E) 3c10
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Dörtgenler
REHBER SORU 8
Çözüm
A
60°
6
D
12
60°
x
B
C
ABCD dörtgeninde, [DC] ⊥ [BC] , |AD| = 6 br
a
a
|AB| = 12 br , m( ABC) = m( BAD) = 60° ise |BC| = x
kaç birimdir?
3.
D
1.
80°
D
4v3
A
C
120°
6
4
x
60°
A
a
a
ABCD dörtgeninde, m( D) = 120° , m( A) = 90°
a
ABCD dörtgeninde, m( ADC) = 80°
a
m( ABC) = 60° , |AB| = |CB| = |AD| ise
a
m( DAB) = x kaç derecedir?
B) 75
C) 70
D) 65
E) 60
D
2.
|AB| = 4 br , |DC| = 6 br , |AD| = 4v3 br ise
|BC| = x kaç br dir?
A) 8
B) 9
4.
60°
E) 12
C
4
x
60°
A
D) 11
D
2v5
A
x
C) 10
ESEN YAYINLARI
A) 80
C
x
B
B
60°
B
B
8
C
a
ABCD dörtgeninde, m( D) = 90° ,
a
a
m( A) = m( C) = 60° , |DC| + |BC| = 15 cm ise
a
a
ABCD dörtgeninde, m( A) = 90° , m( C) = 60°
|AD| = x kaç cm dir?
|AB| = x kaç br dir?
A) 11
B) 9
C) 5v3
D) 8
E) 4v3
|AD| = 2v5 br , |DC| = 4 br , |CB| = 8 br ise
A) 4
B) 2v6
C) 5
D) 2v7
E) 6
169
Dörtgenler
REHBER SORU 9
D
1
Çözüm
E
x
C
3
A
B
a
a
ABCD dörtgeninde, m( A) = m( C) = 90° , |AB| = |EB|
|AD| = 3 cm , |DE| = 1 cm ise |EC| = x kaç cm dir?
1.
3.
y
A
4
D
B
C
5
E
3
x
B
O
x
6
C
D
OBCD dörtgeninde, [DC] ⊥ [BC] , D(0, 4)
ABCD dörtgeninde, |AE| = |BE| = |ED| = |CE|
B(6, 0), |CB| = 3 br ise |DC| kaç birimdir?
|AB| = 4 cm , |AD| = 5 cm , |CD| = 6 cm ise
C) c34
B) 6
2.
|BC| = x kaç cm dir?
E) c30
D) 5
ESEN YAYINLARI
A) c43
A
A) 2
B) v5
C) v6
4.
D) 3
E) c10
y
x
A
D
E
D
F
B
2
4
E
O
B
C
x
a
a
ABCD dörtgeninde, m( A) = m( C) = 90°
ABOD dörtgeninde, |AE| = |EO| = 3 br
|AB| = |ED| , |BE| = 2 cm , |EC| = 4 cm ise
|BF| = |FD| = 4 br , [AB] ⊥ [AD] ise |EF| kaç br
|AD| = x kaç cm dir?
dir?
A) 4
170
B) 2v5
C) 5
D) 3v5
E) 7
A) 2
B) v5
C) v7
D) 3
E) c10
Dörtgenler
REHBER SORU 10
Çözüm
a.
C
D
6
E
8
F
x
B
A
ABCD dörtgeninde, |AE| = |EC| , |DF| = |FB|
|AD| = 6 cm , |BC| = 8 cm ise |EF| = x in
alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.
b.
C
8
D
E
F
x
A
10
B
ABCD dörtgeninde E ve F orta noktalar
|DC| = 8 cm , |AB| = 10 cm ise |EF| = x in
alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.
1.
2.
C
4
D
D
4
C
F
x
x
E
F
E
A
6
A
B
8
B
ABCD dörtgeninde, |AF| = |FC| , |DE| = |EB|
ABCD dörtgeninde, E ve F orta noktalar
|DC| = 4 br, |AB| = 6 br ise |EF| = x in alabi-
|DC| = 4 cm , |AB| = 8 cm ise |EF| = x in
leceği tam sayı değerlerinin toplamı kaç br dir?
alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
A) 8
A) 2
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
171
Dörtgenler
REHBER SORU 11
Çözüm
D
A
E
34°
26°
B
C
a
a
ABCD dörtgeninde, m( DBC) = 34° , m( BCA) = 26°
|BD| = 4 br , |AC| = 6 br ise A(ABCD) kaç br2 dir?
1.
A
3.
D
24°
B
C
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [BD] , |BD| = 11 cm
|AC| = 10 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
2
A(ABCD) kaç cm dir?
A) 52
C) 5
D) 4v2
B) 53
C) 54
D) 55
E) 56
E) 6
ESEN YAYINLARI
B) 2v5
C
B
a
ABCD dörtgeninde, m( ADB) = 21°
a
m( CAD) = 24° , |AC| = 3 cm , |BD| = 4 cm ise
A) 3v2
D
A
21°
2.
D
4.
A
2
E
3
B
D
A
3
40°
60°
E
4
x
C
C
B
|AE| = 2 br , |EB| = |ED| = 3 br , |EC| = 4 br
a
m( DEC) = 60° ise A(ABCD) kaç br2 dir?
ABCD dörtgeninde, |AC| = |BD| = 6 br
a
A(ABCD) = 9v3 br2 , m( BAC) = 40° ise
a
m( ABD) = x dar açısı kaç derecedir?
A) 13
A) 40
ABCD dörtgeninde, [AC] ∩ [BD] = {E}
172
B) 9v3
C) 12
D) 8v3
E) 10
B) 35
C) 30
D) 25
E) 20
Dörtgenler
REHBER SORU 12
A
Çözüm
K
D
T
R
F
L
N
M
B
E
C
ABCD , EFKL ve MNTR dörtgenlerinin kenar orta
A (MNTR)
noktaları E, F, K, L, N, T, R, M ise
kaçtır?
A (ABCD)
1.
A
3.
D
K
F
L
B
E
B
C
[BD] ⊥ [AC] , |BD| = |AC| , A(LEFK) = 16 br2 ise
ise A(ABCD) kaç
|BD| kaç br dir?
2
br dir?
B) 34
C) 32
D) 30
A) 6
E) 28
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
ESEN YAYINLARI
A) 36
E
ABCD dörtgeninde; E, F, K, L orta noktalardır.
ABCD dörtgeninde; E, F, K, L kenar orta noktalarıdır. Taralı alan 18 br
F
L
C
2
D
K
A
4.
2.
A
K
D
K
A
D
F
L
L
F
T
B
B
E
C
E
C
ABCD dörtgeninde; E, F, K, L kenar orta nok-
ABCD dörtgeninde; E, F, K, L orta noktalardır.
talarıdır. A(KFD) = 8 br2 , A(EFKL) = 36 br2 ise
A(KTF) = 2 br2 ise A(ABCD) kaç br2 dir?
A(BEL) kaç br2 dir?
A) 15
A) 7
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
173
Dörtgenler
REHBER SORU 13
A
Çözüm
D
K
F
L
B
E
C
ABCD dörtgeninde L, E, F, K orta noktalar
A(ALK) = 5 br2 , A(ECF) = 8 br2 , ise A(EFKL) kaç
br2 dir?
1.
A
K
3.
D
L
F
B
E
C
B
A) 16
E) 15
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
ESEN YAYINLARI
D) 14
C
A(ABCD) = 64 br2 ise taralı alan kaç br2 dir?
dir?
C) 13
E
ABCD dörtgeninde; E, F, K orta noktalardır.
A(EFKL) = 24 br2 ise A(BEL) + A(KFD) kaç br2
B) 12
F
K
ABCD dörtgeninde; E, F, K, L orta noktalar
A) 11
D
A
2.
A
K
4.
D
A
L
F
L
B
E
B
C
ABCD dörtgeninde; E, F, K, L orta noktalardır.
Taralı alan 36 br
A) 40
174
B) 42
2
K
D
F
E
C
ABCD dörtgeninde; E, F, K, L orta noktalardır.
ise A(ABCD) kaç br dir?
Taralı alan 12 br2 ise A(ABCD) kaç br2 dir?
C) 44
A) 44
2
D) 46
E) 48
B) 46
C) 48
D) 50
E) 52
Dörtgenler
REHBER SORU 14
Çözüm
D
A
E
B
C
ABCD dörtgeninde,
BE
4
= , A(ACD) = 18 br2
3
ED
ise A(ABCD) kaç br2 dir?
1.
3.
D
D
A
A
E
K
B
B
C
C
ABCD dörtgeninde, |EC| = 3|AE|
ABCD dörtgeninde, |BK| = |KD| ise
A(ABCD) = 40 br2 ise A(ADB) kaç br2 dir?
kaçtır?
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
A)
1
2
B)
2
3
C)
3
4
D)
2
5
E)
5
8
ESEN YAYINLARI
A) 6
A (ABC)
A (ABCD)
4.
2.
A
A
D
D
E
E
B
C
B
C
ABCD dörtgeninde, A(ABE) = 6 br2
ABCD dörtgeninde, |BE| = 3|ED| , |EC| = 2|AE|
A(BCE) = 9 br2 , A(AED) = 4 br2 ise A(ECD)
ise
A (ABE)
kaçtır?
A (ECD)
A)
5
2
kaç br2 dir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
B)
5
3
C)
3
2
D)
4
3
E)
7
2
175
Dörtgenler
REHBER SORU 15
Çözüm
C
K
D
6
F
8
E
A
B
ABCD dörtgeninde; E, F, K kenar orta noktalardır.
[KF] ⊥ [FE] , |KF| = 6 br , |FE| = 8 br ise A(ABCD)
kaç br2 dir?
3.
y
1.
A
A
E
D
F
10
K
D
8
B
30°
x
K
O
L
B
C
E
C
ABCD dörtgeninde, E, O, K kenar orta noktalar
ABCD dörtgeninde; E, F, K, L orta noktalar
a
|AB| = 8 br , |DC| = 10 br , m( KEL) = 30° ise
K(3, 0), E(0, 4) ise A(ABCD) kaç br2 dir?
A(KELF) kaç br2 dir?
A) 24
A) 8
C) 22
D) 21
E) 20
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
ESEN YAYINLARI
B) 23
2.
A
D
2
F
C
4.
K
D
60°
K
3
B
E
C
B
A
ABCD dörtgeninde; E, F, K kenar orta noktalar
a
m( KFE) = 60° , |FK| = 2 br , |FE| = 3 br ise
ABCD dörtgeninde; [BC] ⊥ [DC] , [DK] ⊥ [AC]
A(ABCD) kaç br2 dir?
kaç br2 dir?
A) 10
176
B) 6v3
C) 11
D) 12
E) 8v3
|BC| = |DC| = |AD| , |AC| = 10 br ise A(ABC)
A) 10
B) 15
C) 20
D) 24
E) 25
Dörtgenler
REHBER SORU 16
Çözüm
D
A
3
2
E
6
5
7
B
C
ABCD dörtgeninde, [AC] ∩ [BD] = {E} dir.
Verilenlere göre, A(ABCD) kaç br2 dir?
1.
3.
D
A
A
D
2
1
E
E
3
4
B
5
B
C
C
EC
3
= , A(AED) = 6 br2
5
AC
ABCD dörtgeninde, [AC] ∩ [BD] = {E} dir.
ABCD dörtgeninde,
Verilenlere göre, A(ABCD) kaç br2 dir?
A(BCE) = 12 br2 ise A(ABCD) kaç br2 dir?
B)
25
2
2.
C) 13
D)
27
2
E) 14
A) 31
ESEN YAYINLARI
A) 12
B) 32
4.
C) 33
D) 34
A
D
A
1
2
E) 35
D
F
E
1
B
3
C
ABCD dörtgeninde, [AE] ⊥ [BD] , [CF] ⊥ [BD]
B
C
ABCD dörtgeninde, [AB] ⊥ [AC] dir.
FC
2
= , A(ABCD) = 120 br2 ise A(ABD)
3
AE
Verilenlere göre A(ABCD) kaç br2 dir?
kaç br2 dir?
A) 2v6
A) 72
B) 5
C) 3v3
D) 6
E) 4v3
B) 68
C) 64
D) 62
E) 60
177
Dörtgenler
REHBER SORU 17
Çözüm
C
D
4
6
E
A
B
ABCD dörtgeninde, [AD] ⊥ [AB] , [DE] // [CB]
|AD| = 4 br , |EB| = 6 br ise A(DEC) kaç br2 dir?
1.
3.
E
y
A
A
10
E
5
D
B
6
D
O
C
x
C
ABCD dörtgeninde, [AB] ⊥ [BC] , [AD] // [CE]
Analitik düzlemde, [EC] // [AD], E(0, 3), A(0, 5)
|AB| = 5 br , |DC| = 6 br ise A(ADE) kaç br2
C(4, 0) ve |AD| = 10 br ise A(AOCD) kaç br2
dir?
dir?
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
ESEN YAYINLARI
A) 12
2.
D
4.
A
D
C
E
60°
B
C
A
E
a
ABED dörtgeninde, [AC] // [DE] , m( ABE) = 60°
|AB| = 4 br , |EB| = 5 br ise A(ABCD) kaç br2
dir?
A) 5v3
178
B) 9
C) 10
D) 6v3
E) 12
B
ABCD dörtgeninde, [DC] // [EB] , [EC] // [AB]
A(DEC) = 6 br2 , A(EBC) = 12 br2 ise A(ABCD)
kaç br2 dir?
A) 34
B) 36
C) 38
D) 40
E) 42
TEST –
1.
1
Dörtgenler
4.
D
A
A
80°
x
D
E
E
70°
60°
B
C
B
a
a
a
Şekilde, m( A) = 90° , m( D) = 80° , m( B) = 70°
a
a
m( C) = 60° ise m( AED) = x kaç derecedir?
A) 105
70°
B) 110
C) 115
D) 120
ABCD dörtgeninde, [DE] ile [CE] açıortaya
a
a
lardır. m( DEC) = 70° ise m( A) + m( B) kaç
derecedir?
E) 125
A) 70
2.
C
B) 100
C) 120
5.
D
D) 140
E) 160
y
A
70°
130°
x
C
E
B
ABCD dörtgeninde, [BE] ile [DE] açıortaylara
a
a
dır. m( A) = 70° , m( C) = 130° ise m( E) = x kaç
B
ESEN YAYINLARI
A
C
ABCD dörtgeninde, [AB] ⊥ [AD] , B(–2, 0)
derecedir?
A) 15
x
D
O
B) 20
C) 25
D) 30
D(8, 0) ve |CD| – |BC| = 2 br ise |BC| kaç br
E) 35
dir?
A) 7
3.
B) 9
C) 12
D) 13
E) 14
D
6.
y
A
120°
D
140°
C
K
x
B
105°
C
O
x
B
ABCD dörtgeninde, [BK] ve [DK] açıortaylar
a
a
a
m( BAD) = 120°, m( BKD) = 140° ise m( BCD) = x
a
a
OBCD dörtgeninde, m( C) = 90°, m( OBC) = 105°
kaç derecedir?
D(0, 2v3), B(2, 0) ise |DC| kaç br dir?
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
A) 2v2
B) 3
C) 4
D) 3v2
E) 5
179
Dörtgenler
7.
D
10.
C
3
A
D
2
5
6
K
E
3
A
x
B
B
6
C
ABCD dörtgeninin kenar orta noktaları birleştiril-
ABCD dörtgeninde, [AC] ∩ [BD] = {E}
diğinde dikdörtgen oluşmaktadır.
a
|AK| = 2|KC| , m( ADC) = 90° , |CB| = 6 br
|AB| = 5 br , |BC| = 6 br , |AE| = 2 br
|DC| = 3 br ise |AB| = x kaç br dir?
br2 dir?
A) 2v5
B) 2v6
8.
C) 3v5
E) 8
A) 16
C
F
D
D) 7
|EC| = 3 br , |BE| = 2|ED| ise A(ABCD) kaç
B) 17
B
x
ESEN YAYINLARI
6
A
E) 20
E
C
D
E
D) 19
11.
2
5
C) 18
23°
B
A
|AD| = 5 br , |BC| = 6 br , |EF| = 2 br ise
ABCD dörtgeninde [AE] ve [BE] açıortaylardır.
a
a
a
m( E) = 23° ise m( ADC) + m( DCB) kaç derece-
|AB| = x kaç birimdir?
dir?
ABCD dörtgeninde, [AC] ⊥ [BD] , |DF| = |FC|
A) 2v5
B) 6
C) 3v5
9.
F
D
D) 7
E) 4v5
C
A) 227
B) 226
D) 224
12.
E) 223
C
D
10
A
C) 225
E
E
x
F
14
B
A
B
ABCD dörtgeninde, E ve F orta noktalar
ABCD dörtgeninde, |AE| = |EC| , |DF| = |FB|
[AC] ⊥ [DB] , |DB| = 16 br , |EF| = 10 br
|AD| = 10 br , |CB| = 14 br ise |EF| = x in
ise |AC| kaç birimdir?
alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 10
180
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
A) 63
B) 64
C) 65
D) 66
E) 67
Paralelkenar
REHBER SORU 36
Çözüm
D
C
70°
α
A
E
B
ABCD paralelkenarında [DE] açıortay ve
a
a
m( BCD) = 70° ise m( DEB) = α kaç derecedir?
1.
D
C
3.
40°
F
D
C
α
E
E
100°
α
70°
A
B
A
ABCD paralelkenarında [DE] ⊥ [BC]
a
a
m( EDC) = 40° ise m( BAD) = α kaç derecedir?
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
A) 150
B) 140
C) 130
D) 120
E) 110
ESEN YAYINLARI
A) 30
B
a
ABCD paralelkenarında m( ABC) = 70°
a
a
m( AEF) = 100° ise m( EFC) = α kaç derecedir?
2.
D
4.
C
D
C
2θ – 30°
α
θ + 40°
α
A
115°
B
A
E
B
a
ABCD paralelkenarında m( DAB) = θ + 40°
a
a
m( BCD) = 2θ – 30° ise m( ABC) = α kaç
ABCD paralelkenarında |AD| = |DE|
a
a
|CD| = |CE|, m( ABC) = 115° ise m( BCE) = α
derecedir?
kaç derecedir?
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
211
Paralelkenar
REHBER SORU 37
Çözüm
D
C
E
α
30°
40°
A
B
a
a
ABCD paralelkenar m( DAE) = 40°, m( CBE) = 30°
a
ise m( AEB) = α kaç derecedir?
1.
D
3.
C
D
C
10°
30°
°
20
E
α
α
A
30°
E
B
A
B
a
ABCD paralelkenarında m( ADE) = 30°
a
a
m( BCE) = 20° ise m( DEC) = α kaç derecedir?
a
ABCD paralelkenarında m( ABE) = 30°
a
a
m( ECD) = 10° ise m( BEC) = α kaç derecedir?
A) 40
A) 20
C) 60
D) 70
E) 80
y
2.
C
O
α
B) 30
F
x
4.
D) 50
D
C
F
30°
A
A
a
ABCD paralelkenarında m( DAO) = 30° ise
a
m( OFC) = α kaç derecedir?
A) 40
212
B) 50
C) 60
E) 60
α
B
D
C) 40
ESEN YAYINLARI
B) 50
D) 70
E) 80
E
60°
B
a
ABCD paralelkenarında m( BFC) = 60°
a
|AE| = |EB| = |BC| ise m( EDB) = α kaç
derecedir?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
Paralelkenar
REHBER SORU 38
Çözüm
D
C
5
8
x
A
E
B
ABCD paralelkenarında [DE] ve [CE] açıortaydır.
|AD| = 5 cm ve |CE| = 8 cm ise |DE| = x kaç
cm dir?
1.
x
D
E
3.
C
D
E
3
C
F
x
6
10
A
7
A
B
B
ABCD paralelkenarında [BE] açıortay
ABCD paralelkenarında [AF] ve [BE] açıortaydır.
|AB| = 10 cm, |AD| = 6 cm ise |DE| = x kaç
|AB| = 7 cm ve |EF| = 3 cm ise |BC| = x kaç
cm dir?
cm dir?
B) 2
C) 3
D) 4
A) 4
E) 5
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) 1
2.
D
C
4.
E x
D
C
F
12
8
5
A
E
B
A
B
12
ABCD paralelkenarında [DE] ve [CE]
ABCD paralelkenarında [BF] açıortay
açıortaydır. |DE| = 5 cm ve |CE| = 12 cm ise
[AE] ⊥ [BF], |AB| = 12 cm, |AD| = 8 cm ise
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
|EC| = x kaç cm dir?
A) 26
B) 33
C) 39
D) 42
E) 52
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
213
Paralelkenar
REHBER SORU 39
Çözüm
y
B
C
E
m
O
x
A
ABCO paralelkenar, [AC] köşegen, A(6, 0), E(0, 4)
ise |OC| = m kaç br dir?
1.
3.
y
D
C
B
C
4
E
A
x
O
A
ve |BD| = 5 cm ise |AC| kaç cm dir?
A(–12, 0), |OB| = 20 br ise E noktasının ordi-
B) c77
A) 5v3
natı kaçtır?
D) 4v5
C) 7
D) 8
C) c79
E) 9
E) 9
ESEN YAYINLARI
B) 6
D
2.
B
6
ABCD paralelkenar, |AB| = 6 cm, |AD| = 4 cm
AOBC paralelkenarında, [AB] ∩ [OC] = {E}
A) 5
E
20
4.
D
C
C
5
6
4
2
x
E
4
6
A
B
x
A
5
E
B
ABCD paralelkenar, [AC] ∩ [BD] = {E}
|DE| = 2 cm, |AE| = 4 cm ve |AB| = 5 cm ise
|BC| = x kaç cm dir?
D) 3v2
214
|AC| = |AE| = 6 cm, |AD| = 4 cm ve
|DC| = 5 cm ise |BE| = x kaç cm dir?
A) 10
B) c15
A) 2v3
ABCD paralelkenar, C, A, E doğrusal
C) 4
E) 2v5
B)
D)
105
102
C) 2c26
E)
106
Paralelkenar
REHBER SORU 40
Çözüm
E
D
3
C
K
F
A
B
ABCD paralelkenar, [AC] ve [BD] köşegenler
|DE| = |EC|, |FK| = 3 cm ise |AC| kaç cm dir?
1.
D
3.
C
E
2
12
F
F
x
A
6
E
x
B
A
ABCD paralelkenar, [AC] ve [BD] köşegen
B
ABCD paralelkenar, [DE] // [AC] // [BF]
|AE| = |EB|, |KC| = 12 cm ise |AF| = x kaç
|DE| = 2 cm ve |AC| = 6 cm ise |BF| = x kaç
cm dir?
cm dir?
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
ESEN YAYINLARI
A) 6
C
D
K
2.
D
6
x
A
4.
C
D
C
F
K
K
F
E
A
B
1
E
B
ABCD paralelkenar, [AC] ve [BD] köşegen
ABCD paralelkenar, [AC] ve [BD] köşegen
|BE| = 2|AE|, |FK| = 6 cm ise |AF| = x kaç
|AE| = 3|EB| ve |KF| = 1 cm ise |AC| kaç cm
cm dir?
dir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
215
Paralelkenar
REHBER SORU 41
Çözüm
D
C
x
F
E
6
A
B
ABCD paralelkenar, [AE] ve [DE] açıortay
[FE] // [AB], |BC| = 6 cm ise |FE| = x kaç cm dir?
D
1.
3.
C
x
4
E
A
D
C
x
6
F
B
E
A
F
10
B
ABCD paralelkenar, [BE] ve [CE] açıortay
ABCD paralelkenar, [AE], [DE], [BF] ve [CF]
[EF] // [AB] ve |EF| = 4 cm ise |AD| = x
açıortay, |AD| = 6 cm ve |AB| = 10 cm ise
kaç cm dir?
|EF| = x kaç cm dir?
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
ESEN YAYINLARI
A) 4
2.
D
C
4.
D
E
C
5
x
F
E
12
A
B
F
A
ABCD paralelkenar, [AE] ve [BE] açıortaylar
[EF] // [BC] ise
A)
216
2
3
B)
1
2
EF
DC
C)
18
B
ABCD paralelkenar, [AE] ve [DE] açıortay
[EF] // [AB], |DE| = 5 cm, |AE| = 12 cm ve
nedir?
|AB| = 18 cm ise |EF| = x kaç cm dir?
1
3
D)
1
4
E)
1
6
A) 10
B)
21
2
C) 11
D)
23
2
E) 12
Paralelkenar
REHBER SORU 42
Çözüm
D
C
12
E
x
A
F
B
ABCD paralelkenar, [DF] ∩ [AC] = {E}
|FB| = 2|AF|, |EC| = 12 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
1.
D
3.
C
D
3
E
C
2
x
F
F
12
A
5
x
E
A
B
B
ABCD paralelkenar, [BD] ∩ [CE] = {F}
ABCD paralelkenar, [AC] ∩ [BE] = {F}
|BE| = 3|AE| ve |EF| = 12 cm ise |FC| = x
|DE| = 3 cm, |EC| = 5 cm ve |EF| = 2 cm ise
kaç cm dir?
|FB| = x kaç cm dir?
B) 14
C) 16
D) 18
A)
E) 20
22
5
B) 4
18
5
C)
D)
16
5
E) 3
ESEN YAYINLARI
A) 12
2.
D
C
4.
F
x
12
x
E
C
B
ABCD paralelkenar, [AE] ∩ [BD] = {F}
|DF| = 2|FB| ve |AD| = 12 cm ise |CE| = x
B) 6
A
8
B
ABCD paralelkenar, [AF] açıortay, |AB| = 8 cm
ve |DE| = 6 cm ise |FC| = x kaç cm dir?
kaç cm dir?
A) 4
6
E
F
A
D
C) 8
D) 9
E) 10
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
217
Paralelkenar
REHBER SORU 43
Çözüm
D
C
8
K
F
x
A
E
B
ABCD paralelkenar, [DF] ∩ [CE] = {K}
|AE| = |EB|, |CK| = 8 cm ise |KE| = x kaç cm dir?
1.
D
3.
C
D
6
24
F
C
x
x
A
F
K
K
B
E
A
B
E
ABCD paralelkenar, [BF] ∩ [CE] = {K}
ABCD paralelkenar, [AF] ∩ [DE] = {K}
|AE| = |EB|, |AF| = |FD| ve |CK| = 24 cm ise
|BF| = |FC|, |AE| = 3|EB| ve |DK| = 6 cm ise
|KE| = x kaç cm dir?
|KE| = x kaç cm dir?
B) 3
2.
C) 4
D) 6
E) 8
D
C
A)
ESEN YAYINLARI
A) 2
3
2
B) 2
4.
C)
9
4
D)
D
5
2
C
F
K
F
E
K
A
B
E
A
ABCD paralelkenar, [DE] ∩ [AF] = {K}
|AE| = |EB|, |BF| = |FC| ise
A) 1
218
B)
2
3
C)
1
2
AK
KF
D)
1
3
E) 3
ABCD paralelkenar, [AF] ∩ [DE] = {K}
nedir?
E)
B
|BE| = |EC| ve |DF| = 2|FC| ise
2
5
A)
5
3
B) 2
C)
7
3
D)
8
3
AK
KF
nedir?
E) 3
Paralelkenar
REHBER SORU 44
Çözüm
D
C
E
3
A
12
H
4
B
ABCD paralelkenar, [DE] ve [CE] açıortay
[EH] ⊥ [AB], |EH| = 3 cm, |AH| = 12 cm
|HB| = 4 cm ise |AD| kaç cm dir?
1.
D
12
3.
C
D
C
E
10
F
x
A
E
F
A
B
20
x
16
B
ABCD paralelkenar, [DF] ve [CF] açıortay
ABCD paralelkenar, [AE] ve [DE] açıortay
[EF] // [BC], |AD| = 10 cm ve |DC| = 12 cm
[EF] ⊥ [AB], |AE| = 16 cm ve |BC| = 20 cm ise
ise |EF| = x kaç cm dir?
|EF| = x kaç cm dir?
B) 3
C) 4
D) 5
A) 9
E) 6
B) 9,2
C) 9,4
D) 9,6
E) 10
ESEN YAYINLARI
A) 2
2.
D
12
4.
C
D
C
E
x
9
F
F
3
A
E
2
B
A
12
B
ABCD paralelkenar, [DF] ve [CF] açıortay
ABCD paralelkenarında, [AE], [DF], [BE] ve
[FE] ⊥ [AB], |EB| = 2 cm, |FE| = 3 cm ve
[CF] açıortaylardır. |AD| = 9 cm ve
|DC| = 12 cm ise |AD| = x kaç cm dir?
|AB| = 12 cm ise |EF| kaç cm dir?
A) 7
A) 2
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
219
Paralelkenar
REHBER SORU 45
Çözüm
E
5
F
D
C
4
K
x
A
B
ABCD paralelkenar, [AE] ∩ [BD] = {K}
B, C, E doğrusal, |KF| = 4 cm, |FE| = 5 cm ise
|AK| = x kaç cm dir?
1.
D
C
D
E
C
x
2
4
3.
E
F
F
2v5
K
K
A
A
B
B
ABCD paralelkenar, [BD] ∩ [AE] = {K}
ABCD paralelkenar, [AC] ∩ [BE] = {K}
D, C, E doğrusal, |AK| = 4 cm ve |KF| = 2 cm
E, D, C doğrusal, |BK| = 2v5 cm ve
ise |FE| = x kaç cm dir?
|EK| = |FK| + 1 cm ise |FK| kaç cm dir?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
ESEN YAYINLARI
A) 2
2.
D
4.
C
D
x
C
5
K
A
5
B
K
F
E
F
4
x
3
6
A
E
B
ABCD paralelkenar, [AC] ∩ [DE] = {K}
ABCD paralelkenar, [AK] ∩ [BD] = {E}
A, B, E doğrusal, |KF| = 4 cm ve |FE| = 5 cm
D, C, K doğrusal, |AB| = 6 cm, |BE| = 3 cm
ise |DK| = x kaç cm dir?
ve |DE| = 5 cm ise |CK| = x kaç cm dir?
A) 4
220
B) 5
C) 6
D) 8
E) 9
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Paralelkenar
REHBER SORU 46
Çözüm
D
C
12
L
K
x
E
A
F
B
ABCD paralelkenar, [AC] köşegen, |AE| = |EB|
|BF| = |FC|, |CL| = 12 cm ise |EF| = x kaç cm dir?
1.
E
D
3.
C
D
C
6
K
K
F
4
L
A
B
F
L
A
x
E
B
ABCD paralelkenar, [BD] köşegen
ABCD paralelkenar, [AC] köşegen, |AE| = |EB|
|DE| = |EC|, |BF| = |FC| ve |EF| = 6 cm ise
|BF| = |FC| ve |AL| = 4 cm ise |EF| = x kaç cm
|KL| kaç cm dir?
dir?
B) 2
C) 3
D) 4
A) 2
E) 5
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
ESEN YAYINLARI
A) 1
2.
F
D
12
E
C
4.
F
D
C
x
L
L
K
A
2
B
K
E
A
B
ABCD paralelkenar, [AC] köşegen, |AE| = |ED|
ABCD paralelkenar, [AC] köşegen
|DF| = |FC| ve |EF| = 12 cm ise |LC| = x kaç
|AE| = |EB| = |DF| = |FC| ve |KE| = 2 cm ise
cm dir?
|BF| kaç cm dir?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
221
Paralelkenar
REHBER SORU 47
Çözüm
D
A
C
E
B
ABCD paralelkenar, |EB| = 2|AE|
A(EBCD) = 20 cm2 ise A(ADE) kaç cm2 dir?
1.
D
3.
C
D
C
E
A
E
B
F
A
B
ABCD paralelkenar ve |BE| = 3|AE| ise
ABCD paralelkenar, [AC] köşegen, [EF] // [AB]
A (AECD)
nedir?
A (ABCD)
|CF| = 2|BF| ise
1
2
B)
5
8
C)
3
4
D)
7
8
E)
15
16
A)
1
9
B)
1
6
C)
2
9
D)
5
18
E)
1
3
ESEN YAYINLARI
A)
A (CEF)
nedir?
A (ABCD)
2.
D
C
4.
D
E
B
C
F
L
F
A
K
N
A
ABCD paralelkenar, [AC] ∩ [DE] = {F}
2
E
B
ABCD paralelkenar, [AC] köşegen, [LF] // [AB]
|FC| = 3|AF|, A(FEC) = 12 cm ise A(ABCD)
[EK] // [BC] ve A(EBFN) = 24 cm2 ise A(LNKD)
kaç cm2 dir?
kaç cm2 dir?
A) 96
222
B) 98
C) 100
D) 102
E) 104
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
Paralelkenar
REHBER SORU 48
Çözüm
D
C
10
F
A
4
E
B
ABCD paralelkenar, [DE] ⊥ [BE], |AF| = 2|FB|
|DF| = 10 cm, |BE| = 4 cm ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
1.
F
D
3.
2
E
D
F
C
C
12
E
16
6
A
A
B
B
ABCD paralelkenar, [EF] ⊥ [BF], |AE| = |ED|
ABCD paralelkenar, [AF] ⊥ [CF], |CF| = 2 cm
|DF| = |FC|, |EF| = 12 cm ve |BF| = 16 cm ise
|AE| = 6 cm ve |DE| = 2|EC| ise A(ABCD)
A(ABCD) kaç cm2 dir?
kaç cm2 dir?
B) 30
C) 32
D) 36
E
2.
B) 240
4.
D) 268
D
F
C
10
C
A
A
E) 280
y
6
D
C) 256
E) 42
ESEN YAYINLARI
A) 24
A) 224
x
E
O
B
B
ABCD paralelkenar, [AE] ⊥ [FE]
2|DF| = 3|FC|, |AD| = 10 cm ve |EF| = 6 cm
ABCD paralelkenar, |BE| = |EC|, |AO| = |OB|
ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
E(4, 0), D(0, 8) ise A(DCE) kaç br2 dir?
A) 96
B) 100
C) 106
D) 112
E) 118
A)
32
3
B)
35
3
C) 12
D) 13
E)
40
3
223
Paralelkenar
REHBER SORU 49
D
A
Çözüm
L
K
E
C
F
B
ABCD paralelkenar, |AB| = 2|EF|, |DC| = 4|LK|
ise
A (EFKL)
nedir?
A (ABCD)
1.
D
K
L
3.
C
D
C
F
K
L
E
A
E
F
A
B
ABCD paralelkenarında, |BC| = 2|EF| ve
ABCD paralelkenar, |AB| = 2|EF| ve
A)
3
10
B)
2.
7
20
D
A (EFLK)
nedir?
A (ABCD)
C)
2
5
L
D)
|AD| = 3|KL| ise
9
20
K
E)
1
2
A)
1
6
B)
C
4.
A
E
F
224
7
B)
11
A (AELD)
nedir?
A (FBCK)
8
C)
11
1
3
D)
5
12
D 2 F
ABCD paralelkenarının [AB] kenarı 5 eşit par-
6
A)
11
C)
E)
1
2
C
B
çaya, [DC] kenarı ise 3 eşit parçaya bölünmüştür. Buna göre
1
4
A (EFKL)
nedir?
A (ABCD)
ESEN YAYINLARI
|DC| = 5|KL| ise
B
9
D)
11
x
A
E
6
B
ABCD paralelkenar, |DF| = 2 cm, |EB| = 6 cm
ve A(EBCF) = 2.A(AEFD) ise |AE| = x kaç
cm dir?
10
E)
11
A) 6
B)
13
2
C) 7
D)
15
2
E) 8
Paralelkenar
REHBER SORU 50
D
Çözüm
L
K
C
N
A
E
F
B
ABCD paralelkenar, [LF] ∩ [EK] = {N}
|AB| = 3|EF|, |DC| = 2|LK| ise taralı üçgenlerin
alanları toplamının paralelkenarın alanına oranı
nedir?
1.
D
L
3.
C
K
D
N
A
E
T
F
C
K
E
B
A
F
B
ABCD paralelkenarının [AB] kenarı 4 eşit par-
ABCD paralelkenar, [BD] köşegen, [EF] // [AB]
çaya, [DC] kenarı 3 eşit parçaya bölünmüştür.
|DE| = 2|AE| ve A(ABCD) = 72 cm2 ise taralı
A)
2
9
B)
1
3
C)
üçgenlerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
A (LNK)
nedir?
A (NEF)
4
9
D)
5
9
E)
A) 12
2
3
B) 15
4.
2.
D
C) 18
D) 20
D
C
C
K
E
E) 24
ESEN YAYINLARI
[EK] ∩ |LF| = {N} ise
F
L
F
N
E
A
A
B
ABCD paralelkenar [KE] ∩ [LF] = {N}
ABCD paralelkenar [BD] ∩ [CE] = {F}
|AL| = |LK| = |KD|, |EF| = 2|BE| = 2|FC| ve
A (CFB)
|AE| = |ED| ise
nedir?
A (ABCD)
A)
2
9
B)
1
3
C)
4
9
D)
5
9
B
A(ABCD) = 120 cm2 ise A(KLN) + A(NEF)
kaç cm2 dir?
E)
2
3
A) 26
B) 28
C) 30
D) 32
E) 36
225
Paralelkenar
REHBER SORU 51
Çözüm
D
C
F
12
E
A
B
ABCD paralelkenar, [BD] ∩ [CE] = {F}
A(BFC) = 12 cm2 ise taralı bölgelerin alanları
toplamı kaç cm2 dir?
1.
E
D
4
3.
C
E
D
C
10
F
F
A
B
A
ABCD paralelkenar, [AC] ∩ [BE] = {F}
ABCD paralelkenar [AE] ∩ [BD] = {F}
2
2
ve A(BEC) = 10 cm
A(DEF) = 4 cm
|EC| = 2|DE| ve A(ABCD) = 60 cm2 ise
ise
A(AEF) kaç cm2 dir?
A(FAB) kaç cm2 dir?
B) 8
C) 10
D) 12
A) 12
E) 14
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24
ESEN YAYINLARI
A) 6
B
2.
D
4.
C
D
C
E
F
A
12
42
A
B
ABCD paralelkenar [AC] ∩ [BE] = {F}
2
A(BFC) = 12 cm
226
B) 8
B
ABCD paralelkenar, |AE| = 3|EB|, |CF| = 2|BF|
ise A(CDE) + A(EFA)
kaç cm2 dir?
A) 6
E
F
ve A(DEBF) = 42 cm2 ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
C) 10
D) 12
E) 16
A) 96
B) 108
C) 120
D) 132
E) 144
Paralelkenar
REHBER SORU 52
Çözüm
D
C
E
A
B
ABCD paralelkenar, A(ADE) = 4 cm2
A(BEC) = 10 cm2 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
1.
D
3.
C
A
B
F
D) 15
B
ABCD paralelkenar ve |AE| = |DK| ise
A(ADE) = 3 cm2 ise A(BEC) kaç cm2 dir?
C) 12
E
A
ABCD paralelkenarının alanı 24 cm2 ve
B) 9
C
L
E
A) 6
K
D
A (EFKL)
nedir?
A (ABCD)
E) 18
1
3
B)
2
3
C)
3
8
D)
1
2
E)
5
8
ESEN YAYINLARI
A)
2.
D
4.
C
F
A
F
D
L
K
E
E
A
B
C
B
ABCD paralelkenar, |AF| = |FD|
ABCD paralelkenar, [AF] ∩ [DE] = {K} ve
A(AEF) = 4 cm2 ve A(FEDC) = 24 cm2 ise
[EC] ∩ [BF] = {L} ise
A(EBC) kaç cm2 dir?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
A)
1
3
B)
1
2
C)
A (ADK) + A (LCB)
nedir?
A (ELFK)
2
3
D)
5
6
E) 1
227
Paralelkenar
REHBER SORU 53
Çözüm
E
4
D
C
F
9
A
B
ABCD paralelkenarında [AE] ∩ [BE] = {E}
A(DEF) = 4 cm2, A(FCB) = 9 cm2 ise A(AFB)
kaç cm2 dir?
1.
D
3.
C
y
C
D
F
E
B
A
B
A
ABCD paralelkenar, [EB] ∩ [EC] = {E}
x
O
A(EAF) = 3 cm2 ve A(AFC) = 9 cm2 ise
AOBC paralelkenarında, |AD| = |DC|, C(3, 4)
A(ABCD) kaç cm2 dir?
ise A(AOBC) kaç br2 dir?
B) 48
C) 54
D) 63
E) 72
A) 14
B) 12
C) 10
D) 9
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) 45
2.
A
4.
D
y
D
E
O
F
K
C
x
A
F
B
C
B
ABCD paralelkenar, |AE| = 2|EB| ise
ABCD paralelkenar, [BK] ⊥ [OC], A(0, –3)
A (FEB)
nedir?
A (ABCD)
1
A)
24
228
1
B)
12
B noktasının ordinatı –6 br ve |CF| = 12 br ise
1
C)
8
1
D)
6
1
E)
4
A(FCD) kaç br2 dir?
A) 18
B) 15
C) 12
D) 10
E) 9
TEST –
1.
8
Paralelkenar
D
E
4.
C
D
E
F
4
C
α
120°
7
A
B
ABCD paralelkenarında [AE] açıortay
a
|AB| = |AE|, m( BEC) = α kaç derecedir?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
D
ABCD paralelkenarında [AF] ve [BE] açıortay
cm dir?
E) 80
B) 9
C) 10
5.
C
E
B
|BC| = 7 cm, |EF| = 4 cm ise |AB| = x kaç
A) 8
2.
x
A
D
D) 11
E) 12
L
C
120°
6
F
B
ABCD paralelkenarında [EF] ⊥ [BC]
a
a
m( AEF) = 120° ise m( DAE) = α kaç derecedir?
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
ESEN YAYINLARI
A
A) 15
K
F
α
A
B
ABCD paralelkenarında [EF] // [KL]
|LK| = 6 cm ise |EF| = x kaç cm dir?
B) 4
6.
F
E
|BK| = |KC|, |CL| = |LD|, |EB| = 2|AE|
A) 5
3.
x
C) 3
D) 2
E) 1
y
C
4
E
D
C
D
O
x
F
K
x
B
A
A
12
B
ABCD paralelkenarında A, D, F doğrusal
B, E, F doğrusal, |CB| = |CE|, |DF| = 4 cm
ABCD paralelkenar, [CF] ⊥ [OB] ve |AK| = |KD|
ise
|AB| = 12 cm ise |AD| = x kaç cm dir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A)
DO
CF
1
2
kaçtır?
B)
1
3
C)
2
3
D)
1
4
E)
3
4
229
Paralelkenar
7.
D
10.
C
F
D
E
C
6
60°
K
A
E
B
A
ABCD paralelkenarında |AE| = |ED|, |DF| = |FC|
a
ABCD paralelkenarında m( DEC) = 60°
[AF] ∩ [BE] = {K}, |AF| = 20 cm ise |AK| kaç
|DE| = 6 cm, |FC| = 18 cm ise A(ABCD)
cm dir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
B
F
kaç cm2 dir?
E) 10
A) 42v3
B) 48v3
D) 54v3
D
8.
C) 50v3
E) 60v3
C
13
E
11.
D
E
C
10
A
B
a
a
ABCD paralelkenarında m( DEC) = m( AEB)
|CE| = 13 cm, |BC| = 10 cm ise A(ABCD)
2
ESEN YAYINLARI
2
A
[AE] ⊥ [EF], |BF| = |FC|, |AE| = 12 cm
B) 120
C) 110
D) 100
|EF| = 2 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
E) 90
A) 24
9.
D
x
C
16
K
E
12.
B) 28
C) 30
D) 32
D
E) 36
C
4
F
3
A
B
ABCD paralelkenarında [AE] açıortay
kaç cm dir?
A) 130
F
12
F
K
B
A
ABCD paralelkenarında K ağırlık merkezi
E
B
[KE] ⊥ [AB], KF] ⊥ [BC], |KE| = 3 cm
ABCD paralelkenarında [CE] ∩ [AF] = {K}
|KF| = 4 cm, |CD| = 16 cm ise |AD| = x
|AE| = |EB|, |BF| = |FC| ise
kaç cm dir?
A) 12
230
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
A (AEK)
nedir?
A (DKC)
D)
1
5
E)
1
6
Eşkenar Dörtgen
REHBER SORU 54
Çözüm
D
C
80°
E
A
B
a
ABCD eşkenar dörtgen |AD| = |BE|, m( ADC) = 80°
a
ise m( AEC) kaç derecedir?
1.
D
3.
C
C
α
100°
E
D
E
α
80°
A
A
B
a
ABCD eşkenar dörtgen, m( AEB) = 20°
a
a
m( DCB) = 100° ise m( EAD) = α kaç derecedir?
ABCD eşkenar dörtgen BEC eşkenar üçgen
a
a
m( BAD) = 80° ise m( CDE) = α kaç derecedir?
B) 80
C) 70
D) 60
E) 50
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
ESEN YAYINLARI
A) 90
B
20°
2.
D
4.
D
C
α
A
62°
α
E
F
C
E
108°
B
A
B
a
a
ABCD eşkenar dörtgen m( BDF) = m( FDC)
a
a
m( AFD) = 62° ise m( BAC) = α kaç derecedir?
a
a
ABCD eşkenar dörtgen m( ABE) = m( EBD)
a
a
m( AEB) = 108° ise m( BCD) = α kaç derecedir?
A) 31
A) 36
B) 32
C) 33
D) 34
E) 35
B) 42
C) 48
D) 54
E) 60
237
Eşkenar Dörtgen
REHBER SORU 55
Çözüm
D
C
2
5
E
4
A
a
B
ABCD eşkenar dörtgen, [BD] köşegen, |DE| = 2 cm
|BE| = 4 cm, |CE| = 5 cm ise |AB| = a kaç cm dir?
1.
D
5
3
3.
C
D
x
9
a
A
B
[ED] ⊥ [DC], |AE| = 4 cm, |EC| = 8 cm ise
|AE| = 3 cm, |DE| = 5 cm ve |EC| = 9 cm ise
|DE| = x kaç cm dir?
|AB| = a kaç cm dir?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) 8
ESEN YAYINLARI
D) 2c15
A) 2
C) c55
B) 2c13
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] köşegen
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] köşegen
A) 5v2
8
E
4
E
A
C
2.
D
D
4.
C
F
6
17
E
C
6
E
x
F
A
75°
8
A
B
a
B
|BF| = 8 cm, |FC| = 17 cm ve |ED| = 6 cm ise
ABCD eşkenar dörtgen, [EF] ⊥ [AD], |DE| = |EB|
a
m( DBC) = 75°, |EF| = 6 cm ise |AB| = a kaç
|EF| = x kaç cm dir?
cm dir?
ABCD eşkenar dörtgen, [BE] ⊥ [AD]
A) 8
238
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
Eşkenar Dörtgen
REHBER SORU 56
Çözüm
C
2
E
F
3
A
D
B
ABC üçgeninde ADEF eşkenar dörtgendir.
|CE| = 2 cm, |EB| = 3 cm, |AC| = 6 cm ise
|AB| kaç cm dir?
1.
C
3.
D
C
K
x
F
4
2
F
E
D
A
4
A
E
B
10
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] köşegen
ABC üçgeninde CDEF eşkenar dörtgendir.
|DK| = |KC|, |AB| = 10 cm, |CE| = 4 cm ve
|AC| = 8 cm, |CB| = 10 cm ve |AE| = 4 cm ise
|FE| = 2 cm ise |KF| = x kaç cm dir?
|EB| kaç cm dir?
B) 3
C) 4
D) 5
B)
E) 6
5
2
C) 3
D)
7
2
E) 4
ESEN YAYINLARI
A) 2
A) 2
2.
y
4.
C
D
C
3
a
F
F
D
O
2
E
x
B
E(3, 0) ve B(8, 0) ise |CF| = a kaç br dir?
15
4
B) 4
C)
17
4
D)
9
2
E
B
ABCD eşkenar dörtgen, [CE] ∩ [BD] = {F}
OBC üçgen, CDEF eşkenar dörtgen
A)
A
E) 5
|EF| = 2 cm, |FC| = 3 cm ise
A)
1
6
B)
2
9
C)
1
3
AE
BC
D)
4
9
nedir?
E)
5
9
239
Eşkenar Dörtgen
REHBER SORU 57
Çözüm
D
C
E
F
A
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {F}
AC
BD
[FE] ⊥ [DC], |CE| = 2|DE| ise
1.
oranı nedir?
D
3.
C
D
4
6
E
10
E
x
A
C
F
6
F
2
B
A
a
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {E}
ABCD eşkenar dörtgen, [BD] köşegen
[EF] ⊥ [AB], |FB| = 2 cm ve |BC| = 10 cm ise
[EF] ⊥ [DC], |DE| = |EB| = 6 cm ve |DF| = 4 cm
|EF| = x kaç cm dir?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A) 12
ESEN YAYINLARI
A) 2
ise |AB| = a kaç cm dir?
D
2.
4
C
E
B) 11
C) 10
C
6
F
F
a
E) 8
D
4.
6
A
D) 9
B
A
2
E
K
x
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {F}
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {E}
[FE] ⊥ [DC], |DE| = 4 cm ve |EF| = 6 cm ise
[FK] ⊥ [AB], |AK| = |KB|, |FE| = 2 cm ve
|AB| = a kaç cm dir?
|EC| = 6 cm ise |BC| = x kaç cm dir?
A) 10
240
B) 13
C) 15
D) 20
E) 25
A) 5
B) 4v2
C) 6
D) 3v5
E) 4v3
Eşkenar Dörtgen
REHBER SORU 58
Çözüm
D
C
K
F
4
9
A
E
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {K}
D, F, E doğrusal, |AE| = |EB|, |FK| = 4 cm
|KB| = 9 cm ise |BC| kaç cm dir?
1.
K
D
3.
C
D
C
x
F
4
E
E
3
6
A
A
B
ABCD eşkenar dörtgen, |AB| = 6 cm, |BE| = 3 cm
ve |BD| = 4 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
ABCD eşkenar dörtgeninde [AC] ∩ [BD] = {E}
EF
B, F, K doğrusal, |DK| = |KC| ise
nedir?
AC
1
9
B)
1
6
C)
2
9
D)
5
18
E)
2.
K
D
B) c19
A) 2v5
C) 3v2
D) c17
E) 4
1
3
ESEN YAYINLARI
A)
B
C
4.
D
C
F
F
6
K
E
A
8
A
B
E
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {E}
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {K}
|BK| = 6 cm ve |CF| = 4 cm ise |DB| kaç
|DF| = |FK|, |AE| = |EB|, |CK| = 6 cm ve
cm dir?
|KB| = 8 cm ise |EF| kaç cm dir?
A) 6
B) 2c10
D) 5v2
C) 4v3
E) 8
A) c73
C) c77
B) 5v3
D) 4v5
E) 9
241
Eşkenar Dörtgen
REHBER SORU 59
Çözüm
2
D
C
30°
E
x
A
B
a
ABCD eşkenar dörtgen, [DE] ⊥ [BC], m( CDE) = 30°
|CD| = 2 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
D
1.
3.
C
6
y
A
6
F
D
E
30°
A
B
a
ABCD eşkenar dörtgen, m( DAC) = 30°
B
O
x
C
|DE| = |EC| = 6 cm ise Çevre(ABCD) kaç
ABCD eşkenar dörtgen, C(2, 0), A(–2, 6) ise
cm dir?
|AB| kaç br dir?
A) 12v3
B) 18v3
E) 30v3
A) 5
B) 6
C)
y
2.
D)
15
2
D
4.
C
D
13
2
E) 10
ESEN YAYINLARI
D) 48
C) 24v3
C
x
6
F
F
A
60°
O
6
E
B
6
x
A
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] köşegen
a
m( DFC) = 60° ve F(0, 2) ise |DF| kaç br dir?
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] köşegen
A) 2v3
|DF| = x kaç cm dir?
B) 4
D) 2v6
242
C) 3v2
E) 6
[EB] ⊥ [BC], |AE| = |EF| = |FC| = 6 cm ise
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
Eşkenar Dörtgen
REHBER SORU 60
E
Çözüm
2
D
C
8
x
5
A
B
ABCD eşkenar dörtgeninde, B, D, E doğrusal
|ED| = 2 cm, |DB| = 8 cm ve |AB| = 5 cm ise
|AE| = x kaç cm dir?
D
1.
3.
C
D
C
F
45°
20
x
B
A
E
2
13
E
30°
A
B
|AE| = 13 cm, |BE| = 2 cm ve
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] köşegen
a
a
m( CEB) = 30°, m( AFB) = 45°, |BD| = 12 cm ise
|DB| = 20 cm ise |AD| = x kaç cm dir?
|EF| kaç cm dir?
A) 10
A) 12
ABCD eşkenar dörtgen, D, B, E doğrusal
B) 6v3
C) 11
D) 5v5
E) 12
B) 3 + 3v3
2.
D
ESEN YAYINLARI
D) 3 + 6v3
C
C) 6 + 3v3
E) 6 + 6v3
D
4.
4
4
30°
A
B
a
E
2
x
A
C
4
10
E
B
ABCD eşkenar dörtgen, D, B, E doğrusal
a
ABCD eşkenar dörtgen, m( DEC) = 30°
|DB| = |BE| = 4 cm, |AE| = 10 cm ise
|AE| = 2 cm, |DE| = 4 cm ise |AC| = x
|AB| = a kaç cm dir?
kaç cm dir?
A) 8
C) c70
B) 2c17
D) 6v2
E) 9
A) 2v3 – 2
B) 4v3 – 2
D) 2v3 + 2
C) 4v3 – 4
E) 4v3 + 2
243
Eşkenar Dörtgen
REHBER SORU 61
Çözüm
y
D
C
E
O
A
x
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] köşegen, |AE| = |EC|
A(–12, 0), B(3, 0) ise A(ABCD) kaç br2 dir?
y
1.
D
3.
8
C
E
E
O
x
A
B
B
ABCD eşkenar dörtgeninde E, F ve K orta
A
noktalar olmak üzere, |EK| = 8 cm, |EF| = 10 cm
ABCD eşkenar dörtgen, [BD] köşegen
ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
|BE| = |ED|, B(0, –2) ve C(0, 8) ise A(ABCD)
kaç br2 dir?
C) 72
D) 75
D
E) 80
4.
C
B) 92
C) 96
D) 100
E) 108
ESEN YAYINLARI
A) 84
B) 70
2.
F
10
D
A) 64
C
K
E
6
F
A
6
B
D
6
4
E
A
ABCD eşkenar dörtgen, [DE] ⊥ [BC]
2
|AB| = |BE| = 6 cm ise A(ABCD) kaç cm dir?
A) 18
B) 12v3
D) 18v3
244
C) 15v3
E) 36
C
B
ABCD eşkenar dörtgen, [EA] ⊥ [AB], |ED| = 6 cm
ve |DB| = 4 cm ise A(BCD) kaç kaç cm2 dir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Eşkenar Dörtgen
REHBER SORU 62
Çözüm
D
C
K
F
4
8
2
E
A
B
ABCD eşkenar dörtgen, [BD] köşegen, [FE] ⊥ [AB]
[FK] ⊥ [AD], |FE| = 2 cm, |FK| = 4 cm, |BC| = 8 cm
ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
1.
D
3.
C
E
D
3
E
K
7
E
H
60°
A
B
ABCD eşkenar dörtgen, [BD] köşegen
|KE| = 3 cm ve |DH| = 7 cm ise |KF| kaç
ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
cm dir?
7
2
C) 4
D)
9
2
A) 18v3
E) 5
B) 36
D) 24v3
C) 40
E) 48
ESEN YAYINLARI
B)
B
ABCD eşkenar dörtgen, [DB] köşegen
a
m( BAD) = 60°, [EF] ⊥ [BC] ve |BE| = 2|ED|
[DH] ⊥ [AB], [KE] ⊥ [DC], [KF] ⊥ [BC]
A) 3
4
F
F
A
C
4.
2.
D
D
C
C
75°
6
A
A
4
B
ABCD eşkenar dörtgen, |AB| = 4 cm ve
a
m( BDC) = 75° ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16
B 2
E
ABCD eşkenar dörtgen, [BE] ⊥ [CE]
a
a
m( BAD) = 2m( BCE), |BE| = 2 cm ve |CE| = 6 cm
ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 24
B) 22
C) 20
D) 18
E) 16
245
Eşkenar Dörtgen
REHBER SORU 63
Çözüm
y
C
O
B(16, 0)
x
A
Analitik düzlemdeki OABC eşkenar dörtgeninin çevresi 40 br ve B(16, 0) olduğuna göre, alanı kaç br2
dir?
y
1.
3.
C
D
A(–3, 0)
y
O
B(2, 0)
C
D
x
A
2x + y = 6
ABCD eşkenar dörtgensel bölgesinin alanı kaç
2
br dir?
ABCD eşkenar dörtgeninin B ve D köşeleri,
B) 20
C) 24
D) 30
2x + y = 6 doğrusunun eksenleri kestiği noktala-
E) 40
rıdır.
ESEN YAYINLARI
A) 18
Buna göre, ABCD eşkenar dörtgenin alanı kaç
br2 dir?
A)
4.
2.
Köşegenlerinin uzunlukları 6 cm ve 12 cm olan
eşkenar dörtgenin alanı kaç cm2 dir?
A) 24
246
x
B
O
B) 30
C) 36
D) 42
45
2
B) 25
C)
55
2
D) 45
E) 50
Bir eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları e ve f
dir. e – f = 4 cm ve e2 + f2 = 50 cm ise eşkenar
dörtgenin alanı kaç cm2 dir?
E) 48
A) 8
B)
17
2
C) 9
D)
19
2
E) 10
TEST –
12
1.
Eşkenar Dörtgen
D
4.
C
y
α
72°
B
C
E
A
B
ABCD eşkenar dörtgeninde, E, A, B doğrusal
a
a
|DE| = |DB| ve m( EDA) = 72° ise m( DCB) = α
D
kaç derecedir?
A) 124
B) 120
ABCD eşkenar dörtgen, |AO| = |OD|
C) 116
D) 112
E) 108
B(0, 4v3) ise |BC| kaç br dir?
A) 9
2.
x
A
O
D
C
B) 6v2
5.
C) 8
D) 3v5
E) 6
y
1
F
a
6
B
E
ABCD eşkenar dörtgen, [AE] ∩ [DE] = {E}
|BE| = 6 cm ve |CF| = 1 cm ise |AB| = a
kaç cm dir?
A) 2
ESEN YAYINLARI
A
C
D
A
O
x
B
ABCD eşkenar dörtgen, B(6, 0), A(–2, 0) ise
B) 3
C) 4
D) 5
|AC| kaç br dir?
E) 6
A) 5v6
B) 4c10
D) 4c11
3.
D
C
6.
E) 10v2
D
x
4
C) 8v2
C
x
F
12
A
B
2
H
A
ABCD eşkenar dörtgen, [AH] ⊥ [CH]
E
B
|BH| = 2 cm ve |AD| = 4 cm ise |BD| = x
ABCD eşkenar dörtgen, [DE] ⊥ [AB], [DF] ⊥ [BC]
kaç cm dir?
ve |DE| = 12 cm ise |DF| = x kaç cm dir?
A) 2v3
B) 4
D) 6
C) 4v2
E) 4v3
A) 6
B) 6v2
D) 6v3
C) 9
E) 12
247
Eşkenar Dörtgen
10.
y
7.
C(8, a)
O
y
B
x
A(10, 0)
D
F
nar dörtgensel bölgesinin alanı kaç br2 dir?
B) 72
C) 64
D) 60
ABCD eşkenar dörtgen, F, A, B doğrusal
E) 48
A(4, 0) ve D(–6, 0) ise A(FAO) kaç br2 dir?
A) 10
8.
D
B)
31
2
C)
32
3
D) 11
E)
34
3
C
11.
8
5
A
2
a
B
ABCD eşkenar dörtgen, [BD] köşegen
|AE| = 5 cm, |EB| = 2 cm ve |DE| = 8 cm
A
ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?
C) c41
A) 24
B) 36
12.
9.
B
ABCD eşkenar dörtgen, [AC] ∩ [BD] = {E}
E) 3v5
D
25
C) 42
D
B
F
B
2
E
[DF] ⊥ [BC], |AF| = 20 cm ve |CE| = 12 cm ise
|CD| = 25 cm ise A(ABCD) kaç cm dir?
A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 336
A) 160
D) 350
12
ABCD eşkenar dörtgen, [AE] ⊥ [CE]
ABCD eşkenar dörtgen, |AC| = 48 cm ve
C) 344
E) 48
C
20
A
B) 340
D) 45
C
48
A
C
[EF] ⊥ [DC], |EF| = 2 cm ve A(ABCD) = 48 cm2
B) 2c10
D) c42
F
E
ise |AB| = a kaç cm dir?
A) c39
D
2
ESEN YAYINLARI
E
248
x
A
O
Analitik düzlemde verilenlere göre, OABC eşke-
A) 78
B
C
E) 360
B) 176
C) 192
D) 208
E) 224
Dikdörtgen
REHBER SORU 64
Çözüm
D
C
30°
α
E
A
B
a
ABCD dikdörtgen, m( BDC) = 30° ve |EA| = |BD|
a
ise m( CEB) = α kaç derecedir?
1.
D
3.
C
F
E
D
α
α
F
16°
E
A
B
a
ABCD dikdörtgen, m( CEB) = 16° ve
a
|BD| = |EA| ise m( CFB) = α kaç derecedir?
A) 24
C
B) 32
C) 36
D) 48
A
B
a
a
ABCD dikdörtgen, m( DAE) = m( ABD) ve
a
|AE| = |BD| ise m( ECD) = α kaç derecedir?
E) 64
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
ESEN YAYINLARI
A) 15
4.
E
α
2.
D
C
E
C
D
20°
α F
50°
A
B
A
B
ABCD dikdörtgen, |BD| = |CE| ve
a
a
m( DEA) = 20° ise m( DFA) = α kaç derecedir?
ABCD dikdörtgen, |AE| = |BD| ve
a
a
m( DBC) = 50° ise m( AEC) = α kaç derecedir?
A) 80
A) 45
B) 60
C) 50
D) 40
E) 30
B) 50
C) 55
D) 60
E) 65
253
Dikdörtgen
REHBER SORU 65
Çözüm
F
D
C
α
E
36°
A
B
ABCD dikdörtgen, [AC] ∩ [BD] = {E}
a
a
|CF| = |CE|, m( ABD) = 36° ise m( DFE) = α
kaç derecedir?
1.
D
3.
C
D
36°
C
F
α
α
A
E
A
B
E
B
ABCD dikdörtgen, [AC] ∩ [BD] = {F}, |BE| = |BF|
a
a
m( CDB) = 36° ise m( AFE) = α kaç derecedir?
a
a
ABCD dikdörtgen, m( ACE) = m( ECB) ve
a
|AE| = 2|EB| ise m( AEC) = α kaç derecedir?
A) 12
A) 100
C) 24
D) 30
E) 36
ESEN YAYINLARI
B) 18
4.
B) 110
C) 120
D
C
F
C
α
6°
70°
60°
E α
A
B
ABCD dikdörtgen, |AD| = |BF| ve
a
a
m( BFC) = 70° ise m( AEC) = α kaç derecedir?
a
ABCD dikdörtgen, m( EAD) = 6°
a
m( DBC) = 60° ve |BD| = |EC| ise
a
m( ECD) = α kaç derecedir?
A) 100
A) 18
A
254
B) 105
B
C) 110
E) 140
E
D
2.
D) 130
D) 115
E) 120
B) 24
C) 30
D) 36
E) 42
Dikdörtgen
REHBER SORU 66
Çözüm
8
D
C
K
6
x
F
A
B
E
ABCD dikdörtgen, [AC] ∩ [BD] = {K}
D, F, E doğrusal, |AE| = |EB|, |AD| = 6 cm ve
|DC| = 8 cm ise |FK| = x kaç cm dir?
1.
D
3.
C
F
D
C
2x + 1
K
K
3
A
E
L
F
3x – 3
E
A
B
B
ABCD dikdörtgen, [BD] köşegen, |BE| = |EC|
ABCD dikdörtgen, [AC] ∩ [BD] = {K}
C, F, E doğrusal, |AE| = |EB| ve |KF| = 3 cm
|DF| = |FC|, |DK| = 2x + 1 cm ve
ise |AC| kaç cm dir?
|LB| = 3x – 3 cm ise |KL| kaç cm dir?
2.
B) 18
C) 21
D) 24
D
C
4.
L
K
A
A) 6
E) 27
N
F
A) 1
4
B)
5
D) 9
x
12
K
B
E
E) 10
C
F
kenarların orta noktaları ve [BD] köşegen ise
oranı nedir?
C) 8
L
D
E
A
ABCD dikdörtgeninde, E, F, K ve L bulundukları
DN
NB
B) 7
ESEN YAYINLARI
A) 15
B
ABCD dikdörtgen, [DE] ∩ [BF] = {K}
|AE| = |EB|, |AF| = |FD|, [KL] ⊥ [DC] ve
|BC| = 12 cm ise |KL| = x kaç cm dir?
3
C)
5
2
D)
5
3
E)
8
A) 8
B)
15
2
C) 7
D) 6
E)
13
2
255
Dikdörtgen
REHBER SORU 67
Çözüm
y
D
E
C
m
60°
x
O
A
a
a
AOCD dikdörtgen, m( AEO) = m( OEC)
a
m( DAE) = 60° ve A(–12, 0) ise |OC| = m kaç br
dir?
1.
D
3.
C
D
C
30°
6
A
5
x
x
F
4
E
A
B
B
ABCD dikdörtgen, [BD] köşegen, |BD| = |CE|
a
m( DEA) = 20°, |DF| = 5 cm ve |AF| = 4 cm
a
a
ABCD dikdörtgen, m( ADE) = m( EDC)
a
m( DCE) = 30° ve |DE| = 6 cm ise |CE| = x
ise |AD| = x kaç cm dir?
kaç cm dir?
A) 6v2
A) 3v2
B) 4v6
C) 6v3
C) c21
B) 2v5
D) c23
E) 12
E) 5
ESEN YAYINLARI
D) 2c30
E
20°
2.
y
D
4.
D
E
C
15°
O
x
x
E
B
A
60°
3 A
B
a
a
ABCD dikdörtgen, m( DEC) = 60°, m( DCE) = 15°
a
a
ABOD dikdörtgen, m( ABD) = m( DBE)
ve |EA| = 3 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
B(0, –4), E(–3, 0) ise |AB| kaç br dir?
A) 6v3 + 18
A) 5
256
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
B) 12v3 + 18
D) 12v3 + 24
C) 12v3 + 9
E) 6v3 + 24
Dikdörtgen
REHBER SORU 68
Çözüm
y
E(4, 6)
D
m
C
O
x
B
OBCD dikdörtgen, [OE] ⊥ [BE], E(4, 6) ise
|EC| = m kaç br dir?
1.
D
C
D
3.
2
8
E
C
x
4
x
A
E
3
B
A
B
ABCD dikdörtgen, [DE] ⊥ [CE], |AD| = 4 cm
ABCD dikdörtgen, [AE] ⊥ [BE], |DE| = 2 cm ve
ve |EB| = 3 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
|EC| = 8 cm ise |AD| = x kaç br dir?
B)
16
3
2.
C) 6
D)
20
3
E) 7
A) 7
ESEN YAYINLARI
A) 5
y
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
y
4.
B
F
E
D
F
C
C
O
A
30°
x
O
B
x
D
a
ABCD dikdörtgen, |BF| = |FC| , m( AOD) = 30°
OBCD dikdörtgen, [OE] ⊥ [BE], [OF] ⊥ [BF]
ve F(0, 6) ise |AB| kaç br dir?
B(25, 0) ve D(0, 12) ise |EF| kaç br dir?
A) 18
B) 20
C) 21
D) 22
E) 24
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
257
Dikdörtgen
REHBER SORU 69
Çözüm
D
C
F
x
4
2
E
A
B
ABCD dikdörtgen, [AC] ⊥ [DE], [AC] ⊥ [BF]
|AE| = 2 cm ve |FB| = 4 cm ise |EF| = x kaç
cm dir?
1.
D
3.
C
D
F
x
E
x
9
3
9
6
E
F
A
B
A
ABCD dikdörtgen, [AC] ⊥ [DE], [AC] ⊥ [BF]
B
ABCD dikdörtgen, [AE] ⊥ [BD], [CF] ⊥ [BD]
|AE| = 3 cm ve |EF| = 9 cm ise |DE| = x kaç
|AE| = 6 cm ve |EF| = 9 cm ise |AD| = x kaç
cm dir?
A) 4
C
cm dir?
9
B)
2
C) 5
D) 6
15
E)
2
A) c38
B) 2c10
2.
y
D
4.
D
C
E
x
O
C
A
x
6
A
B
ABCD dikdörtgen, A(–1, 0) ve C(4, 0) ise |BO|
kaç br dir?
B) c13
A) 2v3
D) 4
258
C) 3v5
E) 5v2
ESEN YAYINLARI
D) 4v3
C) c15
E) 3v2
6v3
B
ABCD dikdörtgen, [AC] ⊥ [BE], |AB| = 6v3 cm
ve |BC| = 6 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
A) 7
B) 5v2
D) 2c15
C) 2c14
E) 3v7
Dikdörtgen
REHBER SORU 70
Çözüm
D
C
3
5
E
x
4
A
B
ABCD dikdörtgen, |DE| = 3 cm, |AE| = 4 cm
|CE| = 5 cm ise |BE| = x kaç cm dir?
1.
D
3.
C
x
E
4
3
3
D
C
E
5
A
x
6
2
B
ABCD dikdörtgen, |BE| = 2 cm, |CE| = 3 cm
A
ve |AE| = 5 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
A) 2v6
B) 5
ABCD dikdörtgen, |ED| = 3 cm, |EA| = 6 cm ve
C) 3v3
|EC| = 4 cm ise |EB| = x kaç cm dir?
E) c30
D) 2v7
B
A) c35
B) 6
C) 2c10
D) c43
ESEN YAYINLARI
E) 3v5
4.
E
3
1
2.
D
D
C
C
4
E
x
x
4
9
A
A
B
B
ABCD dikdörtgen, B, D, E doğrusal
ABCD dikdörtgen, [AE] ⊥ [BD], |DE| = 4 cm ve
|ED| = 1 cm, |EC| = 3 cm ve |DB| = 4 cm ise
|BE| = 9 cm ise |CE| = x kaç cm dir?
|EA| = x kaç cm dir?
A) 2c14
C) c61
B) 2c15
D) 3v7
E) 8
B) c17
A) 4
D) c19
C) 3v2
E) 2v5
259
Dikdörtgen
REHBER SORU 71
D
Çözüm
6
E
C
2
x
A
B
ABCD dikdörtgen, [AC] ⊥ [BE], |EC| = 2 cm
|DE| = 6 cm ise |BC| = x kaç cm dir?
1
D
1.
E
3
3.
C
F
x
A
D
E
B
C
8
ABCD dikdörtgen, [DB] ⊥ [AE], |DE| = 1 cm
A) 2
B)
5
2
C) 3
D)
7
2
a
A
ve |EC| = 3 cm ise |BC| = x kaç cm dir?
B
ABCD dikdörtgen, [AE] ⊥ [EF], [CF] ⊥ [EF]
E) 4
|FC| = 2|ED| ve |AD| = 8 cm ise |AB| = a
kaç cm dir?
B) 12
C) 16
D) 20
E) 24
ESEN YAYINLARI
A) 10
D
2.
4
F
x
4.
C
y
3
C
E
D
E
F
6
A
B
a
a
ABCD dikdörtgen, m( DAF) = m( BAE)
O
x
B
|DF| = 4 cm, |CE| = 3 cm ve |BE| = 6 cm ise
OBCD dikdörtgen, [OE] ⊥ [BF], C(6, 4)
|FC| = x kaç cm dir?
|DE| = |EC| ise |BF| kaç br dir?
A) 9
260
19
B)
2
C) 10
21
D)
2
E) 12
A) 4
B)
22
5
C)
23
5
D)
24
5
E) 5
Dikdörtgen
REHBER SORU 72
Çözüm
D
C
60°
E
2
A
4v3
B
a
ABCD dikdörtgen, m( ADE) = 60°, |AB| = 4v3 cm
|BE| = 2 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
1.
D
3.
C
D
C
120°
8
E
15°
A
B
1
F
A
a
ABCD dikdörtgen, m( ABD) = 15° ve
B
|BD| = 8 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
ABCD dikdörtgen, [AC] ∩ [BD] = {F}
a
m( DFC) = 120°, [DE] ⊥ [AC] ve |EF| = 1 cm
A) 8
ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
B) 12
C) 16
D) 20
E) 24
B) 3v3
C) 6
D) 4v3
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) 5
4.
2.
D
D
C
C
3v2
E
6
4
A
A
E
B
ABCD dikdörtgen, [BE] ⊥ [AC], |BE| = 4 cm
|AE| = |AD| ve |CE| = 3v2 cm ise
ve |AE| = 6 cm ise A(ADE) kaç cm dir?
A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 6
A) 9
2
B) 12
C) 16
D) 24
B
a
a
ABCD dikdörtgen, m( BCE) = m( ECD)
E) 30
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
261
Dikdörtgen
REHBER SORU 73
Çözüm
3
D
1
F
C
1
K
2
A
2
E
B
ABCD dikdörtgen, |DK| = |FC| = 1 cm
|BC| = |BE| = 2 cm, |DF| = 3 cm ise
A(EBFDK) kaç cm2 dir?
1.
D
F
3
3.
C
L
D
K
C
2
4
E
A
8
A
B
E
B
F
ABCD dikdörtgen, |AD| = 4 cm, |FC| = 3 cm
ABCD dikdörtgeninin [AB] kenarı 5 eşit parçaya
|CE| = 2 cm ve |AB| = 8 cm ise A(AFE) kaç
ve [CD] kenarı 4 eşit parçaya bölünmüştür.
cm2 dir?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
A (EFKL)
oranı nedir?
A (ABCD)
Buna göre,
E) 14
13
40
B)
3
8
C)
2
5
D)
17
40
E)
19
40
ESEN YAYINLARI
A)
2.
D
E
4.
C
D
C
F
K
2
A
3
F
2
|FB| = |BC| = 2 cm ve |AF| = 3 cm ise
2
A(AFED) kaç cm dir?
262
B) 3
C) 4
D) 5
B
ABCD dikdörtgen, |DK| = |CF| ve |AK| = 2|KD|
ABCD dikdörtgen, [EF] ⊥ [FC]
A) 2
E
A
B
E) 6
ise
A)
A (EFCDK)
oranı nedir?
A (ABCD)
1
3
B)
5
12
C)
1
2
D)
7
12
E)
2
3
Dikdörtgen
REHBER SORU 74
Çözüm
D
C
F
A
2
E
B
ABCD dikdörtgen, [BD] ⊥ [CE], |AE| = 3|EB|
|BF| = 2 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
1.
D
3.
C
D
C
1
F
3
4
E
A
B
A
ABCD dikdörtgen, [AC] ⊥ [DE], |AE| = 3 cm
B) 36
A(ABCD) kaç cm2 dir?
E) 48v3
D
2.
|DF| = 1 cm, |FA| = 4 cm ve |EF| = 6 cm ise
C) 36v3
A) 40
C
H
A
B
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
ESEN YAYINLARI
D) 72
B
ABCD dikdörtgen, [BE] ⊥ [EC], [EF] ⊥ [AD]
ve |BC| = 6 cm ise A(ABCD) kaç cm dir?
A) 18v3
E
6
6
4.
D
5
E
C
x
6
E
ABCD dikdörtgen, [EH] ⊥ [AB], [AE] ⊥ [EB]
A
|AH| = |BC| ve A(ABCD) = 48 cm2 ise
ABCD dikdörtgen, [AC] ⊥ [BE], |AD| = 6 cm
|AE| = x kaç cm dir?
A) 6
B) 4v3
D) 6v3
B
C) 8
E) 12
ve |DE| = 5 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 36
B) 42
C) 48
D) 54
E) 60
263
Dikdörtgen
REHBER SORU 75
Çözüm
D
C
3
A
E
B
a
a
ABCD dikdörtgen, m( ADE) = m( EDB)
|AD| + |BD| = 12 cm, |AE| = 3 cm ise
A(ABCD) kaç cm2 dir?
1.
D
3.
C
D
E
C
F
A
E
B
A
a
a
ABCD dikdörtgen, m( ACE) = m( ECB)
ABCD dikdörtgen, [AE] ⊥ [BF], |AE| = 6 cm ve
|BF| = 4 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
2
|AD| + |AC| = 24 cm ve A(ABCD) = 96 cm ise
|EB| kaç cm dir?
B) 3
A) 20
C) 4
D) 6
2.
D
10
E
B) 24
C) 28
D) 32
E) 36
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) 2
B
4.
D
C
10
A
C
8
6
A
B
E
a
a
ABCD dikdörtgen, m( ABD) = m( DBE)
|AD| = 8 cm, |DE| = 10 cm ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
A) 128
264
B
F
ABCD ve AEFC dikdörtgenlerinde
|DC| = 10 cm ve |CF| = 6 cm ise A(AEFC) kaç
cm2 dir?
B) 136
C) 144
D) 152
E) 160
A) 45
B) 60
C) 72
D) 75
E) 80
TEST –
1.
15
Dikdörtgen
D
4.
C
y
α
F 130°
C(9, 6)
D
A
E
B
O
B
x
E
ABCD dikdörtgeninde [FE] ⊥ [CE] ve
a
a
m( DFE) = 130° ise m( ECB) = α kaç derecedir?
OBCD dikdörtgen, [OC] ⊥ [CE], C(9, 6) ise
A) 45
A) 16
B) 40
C) 35
D) 30
E noktasının apsisi kaçtır?
E) 20
5.
2.
3
D) 13
D
C
E
C) 14
E) 12
C
15°
D
B) 15
135°
A
B
a
ABCD dikdörtgen, m( DEB) = 135°, |AD| = 4 cm
ESEN YAYINLARI
4
A
B) 22
C) 23
D) 24
E
B
a
ABCD dikdörtgen, m( ADE) = 15°, |CD| = |CE|
ve |AE| = 4 cm ise |EB| kaç cm dir?
ve |DE| = 3 cm ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 21
4
A) 12 + 8v3
E) 25
B) 8 + 8v3
D) 6 + 8v3
6.
C) 8 + 4v3
E) 6 + 4v3
E
3
3.
D
9
E
9
C
D
C
A
B
x
F
12
A
B
ABCD dikdörtgen, [AE] ∩ [BD] = {F}
ABCD dikdörtgen, [DE] ⊥ [BE], |DE| = 3 cm ve
|DE| = |EC| = 9 cm ve |BC| = 12 cm ise
|AC| = 4 cm ise |BE| kaç cm dir?
|EF| = x kaç cm dir?
A) 2
B) 3
C) 4
A) 5
D) 5
E) 6
B) 2v5
D) 2v2
C) 2v3
E) v7
265
Dikdörtgen
7.
D
10.
C
D
x
C
F
5
E
3
A
6
E
10
B
A
ABCD dikdörtgen, [DE] ⊥ [EF], |DE| = |EF|
F
|BE| = 3 cm, |EC| = 5 cm ve |BF| = 6 cm ise
kaç cm dir?
8.
6
ABCD dikdörtgen, [AF] ∩ [DF] = {F}
|AE| = 6 cm ve |EB| = 10 cm ise |CF| = x
A) 1
B
A(AED) kaç cm2 dir?
B) 2
C) 3
D) 4
D
1
F
E) 5
A) 24
C
B) 28
11.
C) 32
D) 36
D
E) 40
C
15°
x
E
2
B
a
a
ABCD dikdörtgen, m( BAE) = m( EAF)
|AB| = |AF|, |FC| = 1 cm ve |BE| = 2 cm ise
ESEN YAYINLARI
A
9.
B) v2
F
6
A
B
ABCD dikdörtgen, [EF] ⊥ [AD], [CF] ⊥ [FB]
a
m( FCB) = 15°, |EF| = 5 cm ve |AB| = 6 cm
|CE| = x kaç cm dir?
A) 1
5
E
ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
C) v3
E
D
E) v5
D) 2
2
C
A) 24
B) 20
C) 18
12.
D) 15
E) 12
F
4
2
x
D
F
C
8
2
A
B
E
ABCD dikdörtgen, [AE] ⊥ [EF]
|EC| = |FB| = 2 cm ve |CF| = 4 cm ise
|AE| = x kaç cm dir?
A) 6v5
266
B
ABCD dikdörtgen, [EF] ⊥ [FC], [EB] ∩ [FA] = {A}
|EF| = |FC|, |FD| = 2 cm ve |DC| = 8 cm ise
B) 5v7
D) 5v6
A
E) 2c35
C) 4c10
ABCD dikdörtgeninin alanı kaç cm2 dir?
A) 36
B) 40
C) 42
D) 45
E) 48
Kare
REHBER SORU 76
Çözüm
D
C
E
x
A
B
a
ABCD kare ve DEC eşkenar üçgen ise m( CAE) = x
kaç derecedir?
1.
D
3.
C
F
D
C
E
F
x
x
A
A
B
B
E
Şekilde ABCD kare ve ABE eşkenar üçgendir.
a
C, E, F doğrusal ise m( AEF) = x kaç derece-
ABCD kare ve FAB eşkenar üçgendir.
a
Buna göre m( AED) = x kaç derecedir?
dir?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
C) 25
D) 30
E) 35
E) 75
ESEN YAYINLARI
A) 15
B) 20
4.
y
A
C
E
2.
D
C
x
x
E
A
B) 20
C) 25
D) 30
x
D
ABOC karesinde, |OD| = |BC|, [BC] ∩ [AD] = {E}
a
ise m( BED) = x kaç derecedir?
B
ABCD kare, BEC eşkenar üçgen ise
a
m( BDE) = x kaç derecedir?
A) 15
O
B
A) 102,5
E) 35
B) 105
D) 110
C) 107,5
E) 112,5
271
Kare
REHBER SORU 77
Çözüm
A
D
C
B
x
E
ABCD karesinde A, C, E doğrusal ve |AC| = |BE|
a
ise m( AEB) = x kaç derecedir?
1.
D
3.
C
D
C
x
x
E
A
A
B
E
B
a
ABCD karesinde |EB| = |AC| ise m( BED) = x
a
ABCD karesinde |AB| = |CE| ise m( DEB) = x
kaç derecedir?
kaç derecedir?
B) 55
A
2.
C) 60
4
D) 67,5
A) 15
E) 75
ESEN YAYINLARI
A) 45
D
B) 30
C) 45
E) 60
A
4.
E) 75
D
6
6
B
C
B
x
x
E
E
ABCD karesinde A, C, E doğrusaldır.
|AC| = |BE|, |AD| = 4 br ise |CE| = x kaç br dir?
A) 2v6 – 2v2
B) 4 – v2
D) 2v6 – v2
272
C
C) v6 – v2
E) 2v6 – 4
ABCD karesinde E, B, D doğrusaldır.
|AE| = |BD| = 6 br ise |EB| = x kaç br dir?
A) 2v3
B) 3v3 – 2
D) 3 – v3
C) 6 – v3
E) 3v3 – 3
Kare
REHBER SORU 78
Çözüm
Bir kenar uzunluğu ile bir köşegen uzunluğunun toplamı 4 + 4v2 olan karenin alanı kaç br2 dir?
E
A
1.
7
D
4
A
3.
D
F
13
x
E
x
B
C
B
C
ABCD karesinde |BE| = 13 br, |ED| = 7 br
ABCD karesinde [AC] ile [BD] köşegenlerdir.
ise |BD| = x kaç br dir?
|AF| = |FE|, |AD| = 4 br ise |BF| = x kaç br dir?
A) 10v2
B) 12v2
A) c15
C) 15
E) 16v2
A
D
C) c11
B) 2v3
D) c10
E) 3
ESEN YAYINLARI
D) 16
2.
2c
A
4.
F
D
4
10
E
c10
x
B
C
B
x
E
C
ABCD karesinde [BD] köşegen, |AE| = 2c10 br
ABCD karesinde |AB| = 3|EC| = 3|AF|
|ED| = 4 br ise |BE| = x kaç br dir?
|EF| = c10 br ise |BE| = x kaç birimdir?
A) 6
A) 2
B) 2c15
D) 5v3
C) 8
B) v5
C) v6
D) v7
E) 2v2
E) 10
273
Kare
REHBER SORU 79
Çözüm
D
E
C
F
K
A
L
B
ABCD karesinde [EF] ⊥ [BD], [KL] ⊥ [BD]
|EF| + |FK| + |KL| = 12 cm ise |AB| kaç cm dir?
1.
A
L
3.
D
A
D
x
E
E
F
3
F
B
K
B
C
ABCD karesinde [LE] ⊥ [BD], [KF] ⊥ [BD]
AL
LD
|LE| = |FE| = |FK| ise
5
B)
12
1
C)
3
ABCD karesinde [EF] ⊥ [BD], |AE| = |EB|
|EF| = 3 br ise |FD| = x kaç br dir?
kaçtır?
A) 3v3
1
D)
4
1
E)
6
B) 6
D) 9
C) 6v2
E) 6v3
ESEN YAYINLARI
1
A)
2
C
4.
2.
A
D
E
C
D
2
K
F
K
F
E
A
3
B
x
ABCD kare ve EFKC dikdörtgendir.
C
ABCD karesinde [EK] ⊥ [BD], [KF] ⊥ [AB]
|AF| = 2 br, |EC| = 3 br ise |BC| = x kaç br dir?
A) 6
274
B) 7
C) 8
D) 9
B
E) 10
Çevre(EFKC) = 6 br ise |BD| kaç birimdir?
A) 3
B) 2v3
D) 2v6
C) 3v2
E) 6
Kare
REHBER SORU 80
Çözüm
E
A
D
2
F
2
2
B
C
ABCD karesinde [EF] ⊥ [AD] ve
|EF| = |FB| = |FC| = 2 br ise |BC| kaç br dir?
1.
A
D
A
3.
D
5
2v2
K
E
E
2
5
2v2
x
B
x
F
C
B
C
ABCD karesinde [KE] ⊥ [AB], |EK| = 2 br
ABCD karesinde |FD| = |FC| = 2v2 br
|KD| = |KC| = 5 br ise |BC| = x kaç br dir?
|AE| = |EB| = |EF| ise |DC| = x kaç br dir?
A) 4
A) 2v3
C) 6
D) 7
E) 8
B) c14
D) 4
ESEN YAYINLARI
B) 5
4.
2.
A
A
D
x
x
F
D
E
x
E
C) c15
E) 3v2
c13
F
c13
x
4
B
B
C
ABCD karesinde [FE] ⊥ [AB], |BC| = 4 br ise
|EF| = |FC| = |FD| = x kaç br dir?
3
A)
2
B) 2
5
C)
2
D) 3
C
ABCD karesinde |BF| = |FC| = c13 br
[FE] ⊥ [AD], 2|EF| = |AE| = |ED| ise |EF| = x
kaç br dir?
7
E)
2
A)
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
275
Kare
REHBER SORU 81
Çözüm
A 1 E
D
4
x
F
B
C
ABCD karesinde [FE] ⊥ [AD], [FB] ⊥ [FC]
|AE| = 1 br, |ED| = 4 br ise |EF| = x kaç birimdir?
1.
3.
y
A
D
A
8
F
O
B
[EF] ⊥ [AB], |AF| = 8 br, |FB| = 2 br ise
ABCD karesinde [FD] ⊥ [FC] dir. A(0, m + 5)
|FE| = x kaç birimdir?
B(0, –m) ve F(m + 3, 0) ise m kaç br dir?
D) 7
A
2.
A) 5
E) 8
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
ESEN YAYINLARI
C) 6
C
a
a
ABCD karesinde m( EDC) = m( ECB)
C
B) 5
E
x
2
x
F
B
A) 4
D
D
A
4.
D
x
13
F
E
E
7
2v5
x
B
C
B
ABCD karesinde [AF] ⊥ [FB], [FE] ⊥ [DC]
|AB| = 13 br, |FE| = 7 br ise |EC| = x kaç br dir?
(|EC| < |DE| dir.)
A) 2
276
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
v5
C
ABCD karesinde [BE] ⊥ [EC], |BE| = 2v5 br
|EC| = v5 br ise |AE| = x kaç br dir?
A) 6
C) c30
B) 4v2
D) 3v3
E) 5
Kare
REHBER SORU 82
Çözüm
A
D
1
E
2
F
B
K
C
ABCD karesinde [DE] ⊥ [AK], [BF] ⊥ [AK]
|AE| = 1 br, |EF| = 2 br ise |FK| kaç br dir?
1.
A
3.
D
y
A
F
x
E
10
B
B
2
O
C
1
D
F
ABCD karesinde |AE| = |EB|, [CF] ⊥ [ED]
C
|DC| = 10 br ise |EF| = x kaç br dir?
A) 2c10
B) 3v5
ABCD karesinde |OA| = 2 br, |BF| = 1 br ise
C) 4v3
D noktasının apsisi kaçtır?
E) 3v6
A) 2v5
ESEN YAYINLARI
D) 5v2
B) 2v6
D) 3v3
4.
A
2.
x
C) 5
E) 4v2
A
D
D
10
4
E 1 K
x
F
6
B
B
C
|AD| = 10 br, |EC| = 6 br ise |EF| = x kaç br dir?
B) 4
C) 3
D) 2
F
C
ABCD karesinde |AE| = |BF|, |EK| = 1 br
ABCD karesinde [AF] ⊥ [BE], [BE] ⊥ [EC]
A) 5
x
E
E) 1
|KD| = 4 br ise |DC| = x kaç br dir?
A) 4
B) 3v2
D) 2v6
C) 2v5
E) 5
277
Kare
REHBER SORU 83
Çözüm
D
C
2
E
3
A
B
ABCD karesinde [BE] ⊥ [CE], |BE| = 3 br
|EC| = 2 br ise |AE| kaç birimdir?
1.
E
D
3.
y
4
C
C
F
B
K
D
x
A
O
B
ABCD ve FKDE birer karedir.
ABCD karesinde [CF] ⊥ AO, D(0, 3), A(5, 0) ise
|EC| = 4 br ise |KA| = x kaç br dir?
B) 3
C) 4
D) 5
|CF| kaç birimdir?
E) 6
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
ESEN YAYINLARI
A) 2
x
F A
4.
2.
D
y
C
D
4
C
x
F
A
2
A
B
E
E
B
O
x
ABCD karesinde [FC] ⊥ [CE], |DF| = 4 cm
|FA| = 2 cm ise |CE| = x kaç cm dir?
A) 7
D) 2c13
278
C) c51
B) 5v2
E) c53
ABCD karesinde [AE] ⊥ [EO], C(0, 3) ve A
noktasının ordinatı 1 ise |AC| kaç br dir?
A) 4
B) 2v5
C) 5
D) 3v3
E) 6
Kare
REHBER SORU 84
Çözüm
y
C
E
α
D
B
O
22°
x
F
a
a
OBCD karesinde m( EFC) = 22° ise m( OED) = α
kaç derecedir?
1.
3.
y
A
D
C
F
D
E
B
C
B
α
x
θ
O
F
x
E
a
a
OBCD karesinde m( FEC) = α ve m( FOD) = θ
ABCD kare, [EA] ⊥ [AF], E, B, C doğrusal ise
a
m( EFA) = x kaç derecedir?
ise α + θ kaç derecedir?
A) 15
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
4.
2.
D
x
C) 45
D) 60
E) 75
ESEN YAYINLARI
A) 30
B) 30
A
D
C
E
F
x
20°
B
A
E
F
a
ABCD karsinde m( AFE) = 20°, |ED| = |BF|
a
ise m( ECD) = x kaç derecedir?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
B
C
ABCD kare, A(ABC) = 16 br2, A(EFA) =
25 2
br
2
[EA] ⊥ [AF] ise |FC| = x kaç br dir?
A)
5
2
B) 2
C)
3
2
D) 1
E)
1
2
279
Kare
REHBER SORU 85
Çözüm
A
D
x
F
K
B
E
C
ABCD karesinde E ve F orta noktalardır.
Taralı alan 4 br2 ise |AD| = x kaç br dir?
A
1.
3.
D
E
A
D
F
x
F
K
E
B
C
6
B
C
ABCD karesinde E ve F orta noktalar
ABCD karesinde E ve F orta noktalardır.
taralı alan 3 br2 ise |KD| = x kaç br dir?
|DC| = 6 br ise taralı alan kaç br2 dir?
A) 4
A) 20
B) 3v2
B) 24
C) 27
A
F
D) 30
E) 32
E) 5
ESEN YAYINLARI
D) 2v6
C) 2v5
A
2.
E
4.
D
F
B
8
D
E
6
B
C
C
ABCD karesinde E ve F orta noktalardır.
ABCD karesinde E ve F orta noktalardır.
|BC| = 8 br ise A(BFE) kaç br2 dir?
|AB| = 6 br ise taralı alan kaç br2 dir?
A) 16
280
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
A)
45
2
B) 20
C) 18
D)
35
2
E) 16
Kare
REHBER SORU 86
Çözüm
D
F
C
K
12
E
A
B
ABCD ve AEFK birer karedir. E, A, B doğrusal,
|BK| = 12 br ise A(ABCD) + A(AEFK) kaç br2 dir?
1.
D
C
A
3.
D
x
F
E
K
K
A
B
B
F
C
E
ABCD ve AKFE birer karedir.
ABCD ve ECFK birer karedir. |AK| = 6v2 br ve
|DC| + |EF| = 10 br ve taralı bölgenin alanı
taralı bölgenin alanı 60 br2 ise |AB| + |EC|
20 br
ise |DE| = x kaç br dir?
B) 2
C) 3
kaç br dir?
D) 4
E) 5
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
ESEN YAYINLARI
A) 1
2
D
2.
C
A
4.
D
L
F
K
E
K
F
A
E
x
B
B
C
ABCD ve EBKF birer karedir.
ABCD ile EFKL birer karedir.
|CE| = 2c10 br ve taralı bölgenin alanı 32 br2
Taralı bölgenin alanı 72 br2, |AD| – |FK| = 6 br
ise |BE| = x kaç br dir?
ise |EL| + |AB| kaç br dir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
281
Kare
REHBER SORU 87
Çözüm
A
D
K
F
B
E
C
ABCD karesinde [AF] ∩ [ED] = {K}, |FC| = 2|DF|
A(AEK) = 24 br2, A(KFD) = 4 br2 ise A(ABCD)
kaç br2 dir?
1.
A
3.
D
A
D
E
F
K
B
F
B
C
ABCD karesinde [BE] ∩ [AF] = {K}, |BF| = |FC|
2
2
A(AKE) = 16 br , A(BFK) = 4 br
C
ABCD karesinde [BD] ∩ [AE] = {F} ve taralı
bölgelerin alanları toplamı 10 br2 ise A(AFD)
ise A(ABCD)
kaç br2 dir?
kaç br2 dir?
B) 52
C) 56
D) 60
E) 64
A) 5
B)
15
2
C) 10
D
E
D)
25
2
E) 15
ESEN YAYINLARI
A) 48
E
2.
A
D
4.
K
K
E
B
10
F
C
A
ABCD karesinde E ve F orta noktalardır.
[ED] ∩ [AF] = {K}, |DC| = 10 br ise A(KFD)
kaç br2 dir?
A) 20
282
B) 30
C
D) 36
E) 40
B
ABCD karesinde [AC] ∩ [BE] = {K}, |DE| = |EC|
A(AEK) = 4 br2 ise |AB| = x kaç br dir?
A) 4
C) 32
x
B) 3v2
D) 2v6
C) 2v5
E) 5
Kare
REHBER SORU 88
Çözüm
A
D
E
6
K
B
F
C
ABCD karesinde [EF] ⊥ [EK], E ağırlık merkezidir.
|AB| = 6 br ise taralı alan kaç br2 dir?
1.
A
E
3.
D
A
D
x
E
K
L
F
B
C
B
A) 2
|KC| = 5 br ise |DL| = x kaç br dir?
ise |BC| = x kaç br dir?
B) 4
C) 8
2.
D) 12
y
B) 4
C) 5
D) 6
A 2 L
4.
A
F
A) 3
E) 16
E) 7
ESEN YAYINLARI
taralı alan 4 br
C
ABCD karesinde E ağırlık merkezi, [EK] ⊥ [EL]
ABCD karesinde K ağırlık merkezi, |AE| = |FB|
2
5
K
D
K
4
O
B
E
O
x
K
E
D
C
B
L
F
C
ABCD karesinde O ağırlık merkezi, [EK] ⊥ [LF]
ABCD karesinde F(0, 7), L(0, –5) ve K(–8, 0)
|AL| = 2 br, |OK| = 4 br ise |FC| + |EO| kaç
ise E noktasının apsisi kaçtır?
br dir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
283
Kare
REHBER SORU 89
Çözüm
A
D
E
6
B
C
ABCD karesinde [BE] ⊥ [EC], |EC| = 6 br ise
taralı alan kaç br2 dir?
1.
A
3.
D
A
D
E
4
K
E
F
4
B
C
B
C
ABCD karesinde [AE] ⊥ [BE], |BE| = 4 br
ABCD karesinde [AK] ⊥ [BK], [EF] ⊥ [CD]
ise A(BCE) kaç br2 dir?
|BK| = 4 br ise A(BCFE) kaç br2 dir?
B) 4
C) 8
D) 12
A) 4
E) 16
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
ESEN YAYINLARI
A) 2
2.
A
4.
D
A
D
E
F
K
4
B
E
x
B
C
F
C
ABCD karesinde |AE| = |EF|, |FC| = 4 br
ABCD karesinde [EF] ⊥ [AD], [BK] ⊥ [KC]
ise A(ABE) kaç br dir?
taralı alan 36 br2 ise |KC| = x kaç br dir?
A) 2
284
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
TEST –
1.
18
Kare
A
4.
D
F 1 D
A
E
x
2c13
x
B
C
B 1 E
ABCD kare ve BCE eşkenar üçgendir.
a
m( AEB) = x kaç derecedir?
A) 60
B) 65
C) 70
D
12
D) 75
ABCD karesinde |BE| = |FD| = 1 br
|EF| = 2c13 br ise |AB| = x kaç br dir?
E) 80
A) 4
B)
9
2
5.
2.
C
C) 5
D)
A
C
11
2
E) 6
D
2
x
F
E
x
E
x
A
B
ABCD karesinde |EF| = 13 cm, |DC| = 12 cm
60°
ESEN YAYINLARI
13
B
a
ABCD karesinde m( ECD) = 60°, |AE| = 2 br
ise |EC| = x kaç birimdir?
ise |AE| = |FC| = x kaç cm dir?
A) 3,5
B) 4
C) 4,5
A) 2 + 2v3
D) 5
C
E) 6
D) 2v3
6.
C) 2 + v3
B) 1 + 2v3
E) 3v3
4
A
D
K
3.
A
D
E
E
L
1
F
7
x
B
C
ABCD karesinde [EF] ⊥ [BD], [KL] ⊥ [BD]
B
|AD| = 4 br ise |EF| + |FK| + |KL| kaç birimdir?
C
ABCD karesinde [BD] köşegen, |BE| = 7 br
|ED| = 1 br ise |EC| = x kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
A) 4
B) 6
D) 8
C) 4v2
E) 6v2
E) 7
285
Kare
7.
10.
E
A
D
F
x
A
D
E
15
18
B
B
C
ABCD kare, [BF] ⊥ [DE], [CE] ⊥ [DE]
C
|CE| = 6 br, |DE| = 9 br ise |BF| kaç br dir?
ABCD karesinde B, D, E doğrusaldır.
A) 12
|BD| = 18 br, |CE| = 15 br ise |DE| = x
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
kaç birimdir?
A) 2
B)
5
2
C) 3
D)
7
2
E) 4
11.
A
8.
D
C
K
D
x
4
ESEN YAYINLARI
E
K
2
F
B
C
3
A
2
B
E
F
ABCD kare ve EFKC dikdörtgen olmak üzere
B ∈ [FK], |AE| = 3 cm ve |EB| = 2 cm ise taralı
ABCD karesinde [KF] ⊥ [FE], |AK| = 4 br
bölgelerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
|KB| = 2 br, |BF| = |FC| ise |DE| = x kaç birimdir?
A) 1
B)
3
2
C) 2
D)
A) 21
5
2
12.
9.
A
B) 22
C) 23
D) 24
E) 25
E) 3
A
E
D
D
2
E
x
4
F
B
B
C
C
ABCD kare, [AF] ⊥ [AE], |DE| = 2 br
ABCD karesinde taralı alan 32 br2 ise |BD| kaç
|EC| = 4 br ise |AF| = x kaç br dir?
birimdir?
A) 6
A) 6v2
B) 2c10
D) 7
286
E) 3c10
C) 3v5
B) 7v2
D) 9v2
C) 8v2
E) 10v2
Deltoid
REHBER SORU 90
Çözüm
A
80°
B
D
x
K
28°
C
ABCD deltoidinde |AB| = |AD| ve |BC| = |CD| dir.
a
a
a
a
m( BAD) = 80°, m( BCD) = 28° ve m( ABK) = m( KBC)
a
olduğuna göre m( BKD) = x kaç derecedir?
1.
3.
A
A
x
2α + 30°
B
α + 10°
β
D
B
25°
40°
D
3α – 20°
C
C
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AD| = |CD|
a
a
m( CBD) = 40°, m( ADB) = 25° ise
a
m( BAD) = x kaç derecedir?
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AD| = |CD| dir.
Verilenlere göre β kaç derecedir?
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
ESEN YAYINLARI
A) 40
A
2.
A) 105
B) 115
4.
C) 120
D) 125
E) 135
A
120°
B
B
D
D
C
C
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AD| = |CD|
a
a
a
a
m( BAD) = 120°, m( B) = 2m( D) ise m( D)
kaç derecedir?
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AD| = |CD|
a
a
a
m( ABC) = 3m( ADC), m( C) = 110° ise
a
m( D) kaç derecedir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
293
Deltoid
REHBER SORU 91
Çözüm
A
F
D
B
E
C
ABCD deltoidinde E ve F kenar orta noktaları
|AC| = 6 br, |BD| = 4 br ise |EF| kaç br dir?
1.
3.
A
A
F
F
2
B
B
D
E
E
C
C
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AD| = |DC|
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AD| = |DC|
E ve F orta noktalar, |KF| = 2 br, |KE| = 4 br ise
E ve F orta noktalar, |AC| = 8 br, |BD| = 10 br
Çevre(ABCD) kaç br dir?
ise |EF| kaç br dir?
B) c41
D) c43
E) 2c11
2.
A) 18
C) c42
ESEN YAYINLARI
A) 2c10
D
K
4
B) 20
C) 22
4.
D) 24
E) 26
A
A
F
F
B
D
B
D
E
E
C
C
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AF| = |FD|
ABCD deltoidinde |BE| = 2|CE|, |FD| = 2|AF|
|BE| = |EC|, |AD| = |CD|, |AC| = 10 br
|BD| = 12 br, |AC| = 18 br ise |EF| kaç br dir?
|EF| = 13 br ise |BD| kaç br dir?
A) 20
294
B) 22
C) 24
D) 26
A) 4c10
E) 28
B) 5v7
D) 14
C) 6v5
E) 10v2
Deltoid
REHBER SORU 92
Çözüm
D
4
E
A
x
C
K
B
ABCD deltoidinde, |AB| = |AD|, |BC| = |CD|
2|BK| = 3|KE|, |ED| = 4 br ise |CE| = x kaç br dir?
1.
A
3.
A
x
E
2
F
B
D
|AB| = |AD|
E
|AB| = |AD|
|BC| = |CD|
F
|BC| = |CD|
|AE| = |ED|
|BF| = 2|FE|
|AF| = 10 br
D
B
|ED| = 2 br
|BD| = 24 br
C
C
ABCD deltoidinde verilenlere göre, |BE| kaç
ABCD deltoidinde verilenlere göre, |AE| = x kaç
birimdir?
birimdir?
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
A) 19
ESEN YAYINLARI
A) 1
B)
39
2
C) 20
4.
2.
41
2
E) 21
y
A
A
B
F
E
B
D)
K
D
O
C
5
x
D
C
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |CE| = 3|EF|
|AD| = |CD| = 12 br ise |AF| kaç birimdir?
A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AD| = 5 br
C(–2, 0), D(3, 0) ise |KO| kaç br dir?
A) 1
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
295
Deltoid
REHBER SORU 93
Çözüm
A
x
6
3
D
E
4
3
4
B
C
ABC üçgeninde |BC| = |BD| = 4 br, |DE| = |EC| = 3 br
|AE| = 6 br ise |AD| = x kaç br dir?
1.
A
3.
D
6
K
6
E
4
4
B
8
D
3
A
x
x
2
L
E
C
C
B
ABC üçgeninde verilenlere göre |EC| = x kaç
ABCD deltoidinde, [AC] ∩ [BD] = {E}
birimdir?
A) 5
B)
11
2
C) 6
D)
13
2
|AL| = 3 br, |EC| = 2 br ve ABC açısı üç eş
E) 7
parçaya ayrıldığına göre, |ED| = x kaç br dir?
B) 2v3
C) 4
D) 3v2
E) 2v5
ESEN YAYINLARI
A) 3
2.
A
4.
A
2
E
F
E
F
x
x
B
D
8
C
B
D
C
ABC üçgeninde |EC| = 2|AE|, |FE| = |ED|
ABC üçgeninde |AB| = 16 br, |BC| = 20 br
|AF| = 2 br, |DC| = 8 br ise |FB| = |BD| = x
|AC| = 27 br, |FB| = |BD|, |FE| = |ED| ise
kaç br dir?
|EC| kaç birimdir?
A) 3
296
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
Deltoid
REHBER SORU 94
Çözüm
A
5
5
3
B
D
E
3v5
3v5
C
ABCD deltoidinde |AB| = |AC| = 5 br, |BE| = 3 br
|BC| = |CD| = 3v5 br ise A(ABCD) kaç br2 dir?
3.
A
1.
olan deltoidin alanı kaç br2 dir?
17
10
E
B
A) 30
D
8
10
Köşegen uzunlukları toplamı 18 br, farkı 2 br
B) 36
C) 40
D) 44
E) 48
17
C
ABCD deltoidinde [AC] ∩ [BD] = {E} dir.
Verilenlere göre A(ABCD) kaç br2 dir?
B) 150
2.
C) 156
D) 160
E) 168
ESEN YAYINLARI
A) 144
A
A
4.
K
F
6
D
B
9
E
B
D
E
C
C
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AD| = |CD|
2
2
2
|AC| + |BD| = 11 br, |AC| + |BD| = 61 br
ise A(ABCD) kaç br dir?
B) 15
C) 16
rıdır. |AB| = |AD|, |BC| = |CD|, |KF| = 6 br
|KE| = 9 br ise A(ABCD) kaç br2 dir?
2
A) 14
ABCD deltoidinde K, E ve F kenar orta noktala-
D) 17
E) 18
A) 108
B) 112
C) 116
D) 120
E) 124
297
Deltoid
REHBER SORU 95
Çözüm
y
C
60°
D
x
B
O
a
OBCD deltoidinde B(4, 0), D(0, 4) ve m( BCD) = 60°
ise A(OBCD) kaç br2 dir?
1.
3.
y
D
4v2
D
60°
12
A
A
O
4v2
x
C
C
B
a
AOCD deltoidinde m( D) = 60°, C(2, 0), A(0, 2)
a
ABCD deltoidinde m( A) = 90°, |AC| = 12 br
ise A(AOCD) kaç br2 dir?
|AB| = |AD| = 4v2 br ise A(ABCD) kaç br2 dir?
B) 1 + 2v3
D) 1 + 3v3
C) 3v3
B) 45
C) 48
D) 51
E) 54
E) 2 + 3v3
A
2.
A) 42
ESEN YAYINLARI
A) 2 + 2v3
A
4.
6
B
6
B
135°
6
105°
6
C
D
D
C
a
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, m( B) = 90°
a
m( C) = 105°, |AD| = |DC| = 6 br ise
a
a
ABCD deltoidinde m( A) = m( C) = 90°
a
|AD| = |CD| = 6 br, m( D) = 135° ise
A(ABCD) kaç br2 dir?
A(ABCD) kaç br2 dir?
A) 6 + 6v3
B) 6 + 9v3
D) 9 + 8v3
298
C) 9 + 6v3
E) 9 + 9v3
A) 36 + 30v2
B) 36 + 36v2
D) 30 + 36v2
C) 36 + 48v2
E) 30 + 48v2
Deltoid
REHBER SORU 96
Çözüm
A
6
4
D
B
4
6
C
a
a
ABCD deltoidinde m( B) + m( D) = 60° dir.
Verilenlere göre A(ABCD) kaç br2 dir?
1.
x
A
3.
A
120°
10
D
B
D
B
x
9
4
4
10
9
C
C
a
a
ABCD deltoidinde m( B) + m( D) = 90° dir.
ABCD deltoidinde |AD| = |CD| = 10 br
a
m( A) = 120°, A(ABCD) = 20v3 br2 ise
Verilenlere göre A(ABCD) kaç br2 dir?
|AB| = |BC| = x kaç br dir?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) 3
A) 18v2
2.
B) 16v2
D) 14v2
C) 15v2
E) 12v2
A
4.
A
6
3
B
2
6
K
D
D
B
3
6
C
C
a
a
ABCD deltoidinde m( B) + m( D) = 120° dir.
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AD| = |CD|
a
a
m( DBC) = m( ACD), |BK| = 2 br, |KD| = 6 br
Verilenlere göre A(ABCD) kaç br2 dir?
ise A(ABCD) kaç br2 dir?
A) 6v3
A) 12v3
B) 7v3
D) 9v3
E) 10v3
C) 8v3
B) 13v3
D) 15v3
C) 14v3
E) 16v3
299
Deltoid
REHBER SORU 97
Çözüm
D
8
A
15°
C
75°
B
ABCD deltoidinde |AB| = |AD|, |BC| = |CD|
a
a
m( ABD) = 15°, m( DBC) = 75°, |BD| = 8 br ise
A(ABCD) kaç br2 dir?
1.
3.
D
A
8
E
A
15°
E
15°
B
C
75°
D
8
C
B
ABCD deltoidinde, |BC| = |CD| = 8 br
a
|AB| = |AD|, m( ACD) = 15°, |EC| = 2|AE| ise
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AD| = |CD|
a
a
m( ABD) = 15°, m( BDC) = 75°, |BD| = 12 br
A(ABCD) kaç br2 dir?
ise A(ABCD) kaç br2 dir?
B) 20
C) 22
D) 24
A) 36
E) 26
ESEN YAYINLARI
A) 18
2.
D
B) 40
4.
C) 42
D) 45
E) 48
D
E
3
A
A
C
K
150° 6
C
75°
B
B
ABCD deltoidinde, |AB| = |AD|, |BC| = |CD|
a
[KE] ⊥ [CD], m( DBC) = 75°, |KE| = 3 br ve
ABCD deltoidinde, |AB| = |AD|, |BC| = |CD|
a
a
a
m( B) = m( D) = 90°, m( A) = 150° ve |BD| = 6 br
|KC| = 3|AK| ise A(ABCD) kaç br2 dir?
ise A(ABCD) kaç br2 dir?
A) 45
A) 24
300
B) 48
C) 51
D) 54
E) 57
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
TEST –
22
1.
Deltoid
4.
D
aşağıdaki dörtgenlerden hangisi elde edilir?
2α – 20°
A
Bir deltoidin kenar orta noktaları birleştirildiğinde
α + 30°
β
C
A) Kare
B) Dikdörtgen
C) Yamuk
D) Eşkenar dörtgen
E) Deltoid
α + 40°
B
ABCD deltoidinde, |AB| = |AD|, |BC| = |CD| ise
β kaç derecedir?
A) 50
B) 55
C) 60
D) 65
E) 70
D
5.
2v3
D
2.
120°
A
60°
C
2v3
15
A
C
K
B
B
ABCD dörtgeninde, |AB| = |AD|, |BC| = |CD|
|AK| = 6 br, |KC| = 15 br ve |BD| = 16 br ise
Çevre(ABCD) kaç birimdir?
A) 54
B) 55
3.
C) 56
ABCD deltoidinde, |AB| = 2v3 br, |AD| = 2v3 br
a
|BC| = |CD| ve m( BAD) = 120° ise ABCD del-
ESEN YAYINLARI
6
toidinin köşegen uzunlukları toplamı kaç birimdir?
A) 6 + 4v3
D) 57
E) 58
B) 4 + 4v3
D) 6 + 3v3
6.
A
C) 4 + 6v3
E) 4 + 3v3
D
F
F
D
B
A
C
E
E
C
B
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|, |AD| = |CD|
E ile F orta noktalardır.
|EF| = 10 cm ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
ABCD deltoidinde E ve F orta noktalardır.
|AB| = |AD|, |BC| = |CD|, |AC| = 24 br
|DB| = 10 br ise |EF| kaç birimdir?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
301
Deltoid
7.
A
105°
2
A
10.
x
2v3
D
B
2
60°
B
120°
D
2v3
x
C
C
a
a
ABCD deltoidinde m( B) = 60°, m( D) = 120°
ABCD deltoidinde [AB] ⊥ [BC]
a
m( BAD) = 105°, |AB| = |BC| = 2 br ise
|AB| = |BC|, |AD| = |DC| = 2v3 br ise A(ABCD)
|AD| = |CD| = x kaç birimdir?
kaç br2 dir?
A) v2
B) v5
C) 2v2
D) 3
E) 4
A) 6v3
B) 8v3
D) 10v3
8.
C) 9v3
E) 12v3
A
18
E
x
C
D
ABCD deltoidinde |AB| = |BC|
11. Köşegen uzunlukları 6 cm ve 10 cm olan deltoESEN YAYINLARI
F
B
idin kenar orta noktaları birleştirildiğinde oluşan
dörtgenin alanı kaç br2 dir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 24
E) 30
|AD| = |CD| = 18 br, 2|AF| = 3|FE| ise
|CE| = x kaç birimdir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 9
12.
9.
y
D
A
13
5
B
135°
D
E
15
A
13
C
O
15
x
ABCD deltoidinde |AB| = |AD| = 13 br
AOCD deltoidinde A(0, 4), |AD| = 4 br
a
a
m( D) = 90° , m( A) = 135° ise A(AOCD) kaç br2
|BC| = |CD| = 15 br, |AE| = 5 br ise
dir?
C
2
A(ABCD) kaç br dir?
A) 168
302
B) 166
C) 165
A) 16(1 + v2)
D) 163
E) 161
B) 12(1 + v2) C) 10(1 + v2)
D) 9(1 + v2)
E) 8(1 + v2)
Çokgenler
REHBER SORU 98
Çözüm
Bir düzgün onikigenin bir iç açısının ölçüsü α,
a
bir dış açısının ölçüsü β ise
kaçtır?
b
1.
4.
Bir iç açısının ölçüsü 150° olan düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
Bir iç açısının ölçüsü (120°, 135°) aralığında
olan düzgün konveks çokgenin kenar sayısı
kaçtır?
E) 35
A) 7
nin kenar sayısı kaçtır?
A) 7
3.
5.
Bir dış açısının ölçüsü 40° olan düzgün çokge-
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Bir iç açısının ölçüsü 144° olan düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
ESEN YAYINLARI
2.
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Bir dış açısının ölçüsü 20° olan düzgün çokgenin köşegenleri sayısı kaçtır?
A) 24
6.
B) 27
C) 54
D) 90
E) 135
Dış açılarının ölçüleri derece cinsinden birer tam
sayı olan kaç farklı düzgün çokgen vardır?
D) 12
E) 13
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
307
Çokgenler
REHBER SORU 99
Çözüm
D
E
C
F
α
A
B
ABCDE düzgün beşgeninde [AD] ∩ [BE] = {F}
a
ise m( BFD) = α kaç derecedir?
3.
D
1.
E
D
C
E
C
F
α
α
A
B
A
a
ABCDE düzgün beşgeninde m( EBD) = α
ABCDE düzgün beşgeninde [AD] köşegen ve
a
a
a
m( ABF) = m( FBC) ise m( AFB) = α kaç
kaç derecedir?
A) 9
B) 18
C) 27
D) 36
B
E) 45
derecedir?
B) 52
C) 54
D) 56
E) 58
ESEN YAYINLARI
A) 48
D
2.
4.
E
D
C
C
E
F
α
A
α
K
B
a
ABCDE düzgün beşgeninde m( EBC) = α
kaç derecedir?
A) 96
308
B) 72
C) 66
D) 54
E) 48
A
B
ABCDE düzgün beşgeninde |AF| = |FE| ise
a
m( CKB) = α kaç derecedir?
A) 18
B) 22
C) 24
D) 27
E) 36
Çokgenler
REHBER SORU 100
Çözüm
E
D
M
α
K
F
L
C
A
B
ABCDEF düzgün altıgen ve ABLK kare ise
a
m( MKL) = α kaç derecedir?
E
1.
3.
D
F
E
D
F
C
α
C
α
A
K
B
a
ABCDEF düzgün altıgeninde m( EAC) = α
C) 60
D) 72
E) 84
A) 45
B) 48
C) 52
D) 56
E) 60
ESEN YAYINLARI
B) 48
B
ABCDEF düzgün altıgeninde K, A, B doğrusal
a
ve |KA| = |CE| ise m( ECK) = α kaç derecedir?
kaç derecedir?
A) 36
A
2.
E
4.
D
E
D
α K
L
M
K
F
C
F
C
α
A
B
A
B
ABCDEF düzgün altıgeninde [AD] ∩ [BE] = {K}
a
ise m( AKB) = α kaç derecedir?
ABCDEF düzgün altıgen ve ABLK kare ise
a
m( CMF) = α kaç derecedir?
A) 24
A) 135
B) 36
C) 48
D) 60
E) 72
B) 120
C) 115
D) 108
E) 105
309
Çokgenler
REHBER SORU 101
Çözüm
D
E
M
C
L
F
B
A
K
ABCDEF düzgün altıgen ve BKLMC düzgün
a
beşgen ise m( BAK) kaç derecedir?
1.
D
D
3.
C
E
C
E
K
B
K
A
α
A
F
F
B
ABCDE düzgün beşgen ve BFKC karedir.
a
Buna göre m( AFC) kaç derecedir?
ABCDE düzgün beşgen ve BFC eşkenar
a
üçgendir. A, K, F doğrusal ise m( CKF) = α
A) 48
kaç derecedir?
B) 70
C) 68
D) 66
C) 54
D) 56
E) 60
E) 64
ESEN YAYINLARI
A) 72
B) 52
4.
2.
E
M
D
L
C
F
E
B
A
D
L
K
N
α
C
K
α
A
F
B
ABCDE düzgün beşgen ve BFKLMC düzgün
a
altıgen ise m( ABF) = α kaç derecedir?
ABCDEF düzgün altıgen ve ABKLN düzgün
a
beşgen ise m( ANF) = α kaç derecedir?
A) 132
A) 82
310
B) 130
C) 128
D) 126
E) 124
B) 84
C) 85
D) 86
E) 88
Çokgenler
REHBER SORU 102
Çözüm
A
B
60° C
K
D
E
a
ABCDE..... düzgün çokgeninde m( AKE) = 60° ise
düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?
1.
B
3.
A
C
B
C
D
22,5°
A
E
20°
K
D
E
ABCDE… düzgün çokgeninde
a
m( AEC) = 22,5° ise düzgün çokgenin kenar
F
a
ABCDEF… düzgün çokgeninde m( AKF) = 20°
sayısı kaçtır?
ise düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?
B) 8
C) 9
D) 10
A) 10
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
E) 11
ESEN YAYINLARI
A) 7
2.
A
4.
y
B
A
C
B
O
T
D
x
E
72°
E
D
ABODE… düzgün çokgeninin kenar sayısı kaç-
a
ABCDE… düzgün çokgeninde m( ATE) = 72°
tır?
ise düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
311
Çokgenler
REHBER SORU 103
Çözüm
E
D
x
F
2
A
C
K 1 B
ABCDEF düzgün altıgeninde |AK| = 2 cm
|KB| = 1 cm ise |EK| = x kaç cm dir?
1.
E
3.
L1 D
3
y
D
x
F
A 1K
K
C
L
E
2
C
B
3
A
O
x
B
ABCDEF düzgün altıgeninde,
|AK| = |LD| = 1 cm ve |KB| = |EL| = 3 cm
ABCDE düzgün beşgeninde |DK| = |KC|
ise |LK| = x kaç cm dir?
|LK| = 2 br ise |EL| kaç br dir?
B) 2c13
2.
D
K
x
F
4.
E) 6
F
E
K
C
D
12
L
2
A
C) 4
D) 2v6
E) 8
E
B) c15
A) 2v3
C) 3v6
D) 2c15
ESEN YAYINLARI
A) 5v2
L
ABCDEF düzgün altıgeninde [AC] ⊥ [BL]
C
x
B
A
B
|BL| = 2 cm ve |FK| = |KE| ise |KL| = x kaç
ABCDEFKL düzgün sekizgeninde |KC| = 12 cm
cm dir?
ise |AC| = x kaç cm dir?
B) c30
A) 2v7
D) c34
312
C) 4v2
E) 6
A) 10
B) 3c10
D) 5v3
C) 4v5
E) 6v2
Çokgenler
REHBER SORU 104
Çözüm
E
D
F
C
A
B
ABCDEF düzgün altıgeninde A(BED) = 18v3 cm2
ise |BE| kaç cm dir?
1.
E
3.
D
E
D
8
F
C
F
C
K
4
A
B
A
ABCDEF düzgün altıgeninde |AB| = 6 cm ise
ABCDEF düzgün altıgeninde K ∈ [BE]
taralı üçgenlerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
A) 24v3
B) 26v3
|BK| = 4 cm ve |KE| = 8 cm ise A(AKF)
C) 27v3
kaç cm2 dir?
E) 32v3
A) 15
B) 7v3
ESEN YAYINLARI
D) 30v3
2.
E
C) 9v3
E
4.
D
B
D) 16
E) 17
D
3
K
3
F
F
C
C
K
A
A
12
B
B
ABCDEF düzgün altıgeninde |CK| = |KD| = 3 cm
ABCDEF düzgün altıgeninde [AC] ∩ [BF] = {K}
ise taralı ABK üçgeninin alanı kaç cm2 dir?
ve |AB| = 12 cm ise A(AFK) kaç cm2 dir?
A)
A) 16v3
D) 22v3
B) 18v3
C) 20v3
E) 24v3
27 3
2
D) 15v3
B) 14v3
C)
29 3
2
E) 16v3
313
Çokgenler
REHBER SORU 105
Çözüm
D
K
I
C
E
O
II
A
III
F
B
ABCDE düzgün beşgeninde O çevrel çemberin merkezidir. I, II, III nolu bölgelerin alanları sırasıyla
hangi sayılarla orantılıdır?
3.
D
1.
E
D
K
III
E
C
O
I
A
F
F
C
II
A
B
ABCDE düzgün beşgeninin merkezi O olduğuna
B
A (ABF)
nedir?
A (DFB)
ABCDEF düzgün altıgeninde
göre I, II ve III nolu bölgelerin alanları sırasıyla
hangi sayılarla orantılıdır?
2.
E) 4, 3, 2
E
D
F
K
314
B)
1
2
C)
2
5
1
2
C)
2
5
D)
1
3
E
E)
1
4
K
C
B
D)
D
F
A
ABCDEF düzgün altıgeninde |AK| = |KB|
A (AKEF)
olduğuna göre,
nedir?
A (KBCDE)
2
3
B)
4.
C
A
A)
2
3
C) 3, 4, 3
B) 2, 4, 5
D) 3, 4, 4
ESEN YAYINLARI
A) 2, 4, 3
A)
1
3
E)
B
ABCDEF düzgün altıgeninde
A (DEK)
[AD] ∩ [EC] = {K} ise,
nedir?
A (ABCDEF)
1
4
A)
1
12
B)
1
10
C)
1
9
D)
1
8
E)
1
6
TEST –
25
1.
Çokgenler
4.
D
K
D
C
E
C
F
F
α
A
A
B
B
E
a
a
ABCDE düzgün beşgeninde m( ABF) = m( FBE)
a
ise m( BFE) = α kaç derecedir?
Şekilde ABCD kare ve BEFKC düzgün beşgen
a
ise m( KDC) kaç derecedir?
A) 124
A) 6
B) 126
C) 128
D) 130
E) 132
B) 7
C) 8
D) 9
5.
2.
E
y
D
A
50°
α
A
K
B
a
ABCDEF düzgün altıgeninde m( FEK) = 50°
a
ise m( EKB) = α kaç derecedir?
B) 105
C) 110
E
D) 115
x
ABCDEF düzgün altıgeninde, B(–2v3, 5) ise C
E) 120
noktasının ordinatı kaçtır?
5
C) 3
A) 2
B)
2
D)
E
7
2
E) 4
D
α
M
A
B
ABCDEF düzgün altıgeninde [KE] ⊥ [ED]
a
a
m( EKL) = 60° ve m( KLM) = 110° ise
a
m( BML) = α kaç derecedir?
C) 120
C
F
C
60° 110°
A
B) 110
E
D
K
A) 100
C
O
L
F
F
D
6.
3.
B
C
ESEN YAYINLARI
F
A) 100
E) 20
D) 130
E) 140
B
ABCDEF düzgün altıgeninde |AB| = 12 cm
ise A(BFD) kaç cm2 dir?
A) 100v3
B) 104v3
D) 136v3
C) 108v3
E) 192v3
315
Çokgenler
7.
10.
2
olan iki düzgün çok3
genin birer dış açıları toplamı 75° dir. Bu iki çokKenar sayılarının oranı
C
B
D
α
K
genin kenar sayıları toplamı kaçtır?
A
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
ABCD... düzgün dokuzgeninde
a
[AC] ∩ [BD] = {K} dir. Buna göre m( CKD) = α
kaç derecedir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
y
8.
E
D
11.
F
C
O
C
B
x
A
α
B
O merkezli ABCDEF düzgün altıgeninde C(2, 0)
ise A(ABCDEF) kaç br2 dir?
A) 4v6
B) 6v3
D) 12
C) 2c30
ESEN YAYINLARI
A
D
Yandaki şekilde A, B, C düzgün bir sekizgenin
a
a
köşeleridir. A ile B nin açıortaylarının kesim
a
noktası D olduğuna göre m( ADB) = α kaç
E) 8v3
derecedir?
A) 35
9.
D
II
[DF] ⊥ [AB]
L
I, II,
orantılıdır?
B) 1, 2, 3
D) 2, 3, 4
M
K
B
III bölgelerinin alanları sırasıyla hangi sayılarla
316
D
B
O merkezli ABCDE düzgün beşgeninde
A) 1, 3, 4
E) 55
E
A
[OK] ⊥ [BC]
K
I
F
12
D) 50
C
O
A
C) 45
F
12.
E
III
B) 40
C) 1, 2, 4
E) 2, 3, 5
C
ABCDEF düzgün altıgeninde L ve M kenar
orta noktalarıdır. |FE| = 12 br ise A(FKE)
kaç br2 dir?
A) 36v3
D) 54v3
B) 42v3
E) 60v3
C) 48v3
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
4.
D
D
C
L
N
3
F
96°
x
C
K
6
M
K
A
B
ABCD dörtgeninde, [DK] , [CK] , [AL] ve [BL]
a
a
açıortaylardır. m( CMB) = 96° ise m( AND) = x
2
B
|FK| = 3 br, |EB| = 2 br ise A(EBCK) kaç
br2 dir?
kaç derecedir?
2.
E
A
ABCD dik yamuğunda [FK] // [AB], |CB| = 6 br
5.
A
D
C
F
D
4
x
K
C
ABCD dörtgeninde, |AB| = |BC| = |CD|
ESEN YAYINLARI
B
2
E
A
B
ABCD dikdörtgen, [DE] ⊥ [AC], [BF] ⊥ [AC]
|AE| = 2 cm ve |DE| = 4 cm ise |EF| = x
kaç cm dir?
[CK] ⊥ [BD] , [AB] ⊥ [BC] , |BD| = 24 br
|KC| = 5 br ise A(ABCD) kaç br2 dir?
3.
D
E
C
6.
D
C
130°
F
8
α
x
F
A
B
A
E
3
B
a
a
ABCD paralelkenar, m( DAE) = m( EAB)
a
a
[FB] ⊥ [BC], m( ADC) = 130°, ise m( EFB) = α
a
a
ABCD eşkenar dörtgen, m( ADF) = m( BAE)
a
a
m( AFD) = m( AEB), |BE| = 3 cm ve
kaç derecedir?
|DF| = 8 cm ise |FE| = x kaç cm dir?
323
Dörtgenler ve Çokgenler
D
7.
9.
C
E
D
15°
x
F
C
E
K
A
B
v6
|AB| = 6 cm ise A(DEFK) kaç cm2 dir?
ESEN YAYINLARI
D
L
A
B
ABCDEF düzgün altıgeninde K ∈ [AC] ve
|AB| = v6 br ise |DE| = x kaç br dir?
8.
6
A
a
ABCD karesinde m( ADE) = 15°, [AC] köşegen
10.
D
E
α
C
C
K
120°
K
A
F
B
B
ABCD deltoidinde köşegen uzunlukları 6 br
ve 10 br dir. |AB| = |AD|, K ve L kenar orta
noktaları ise |KL| kaç br dir?
324
ABCDE düzgün beşgeninde |AF| = |FB|
a
a
m( CKF) = 120° ise m( DCK) = α kaç derecedir?
I.
II.
Sol sütunda verlien özellikleri sağlayan dörtgeni sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
1. Köşegen uzunlukları eşittir.
a. Deltoid
2. Köşegenleri açıortaydır ve dik kesişir.
b. Eşkenar dörtgen
3. Köşegenleri birbirine diktir.
c. Dikdörtgen
Sol sütunda verilen ABCD paralelkenarlarının alanları 24 br2 olduğuna göre, taralı bölgelerin alanlarını
bulup sağ sütundaki verilenlerle eşleştiriniz.
1.
D
C
F
a. 3
A
2.
E
D
B
C
F
b. 4
K
A
E
D
3.
C
L
F
K
A
III.
c. 6
B
E
B
Sol sütunda kenar sayıları verilen düzgün çokgenlerin bir dış açısının ölçüsünü sağ sütunda bulup
eşleştiriniz.
1. 4
a. 60°
2. 5
b. 90°
3. 6
c. 40°
4. 8
d. 72°
5. 9
e. 45°
325
1
2
3
5
4
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
SOLDAN SAĞA
1. Karşılıklı iki kenarı paralel olan dörtgen
6. Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerden birisi
10. Analiz ile ilgili, analiz yapan yöntem
24
YUKARIDAN AŞAĞIYA
2. Bir koordinat sistemi ve cebirsel yöntemler yardımıyla geometrik şekilleri ve eğrileri inceleyen
geometri dalı
11. Konkav
3. Düzlemsel bir şekli sınırlayan kenarların tümü
12. Biçimleri, değerleri ve işlevleri eş olan
4. Beş kenarı olan çokgen
13. Dışbükey
5. Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgen
15. Bazı soruların çözümünde izlenen sonlu sayıda
7. Konveks
ardışık işlemler dizisi
19. Sınırı bir çokgen olan bölge
21. Ne dik ne yatay olan
8. Tüm iç açıları birer dik açı olan paralelkenar
9. Kenar uzunlukları ve açıları birbirine eş olan
çokgen
22. Dört kenarı bulunan çokgen
13. Eşkenar dikdörtgen
23. Kenar sayısı en az olan düzgün çokgen
14. Matematik, fizik, astronomi, tıp, şiir ve müzikle
24. Bir açının köşesinden geçen ve kollara eşit
uzaklıkta kalarak açıyı eşit iki parçaya bölen
yarı doğru
ilgilenmiş olup Öklid geometrisinden farklı geometrilerin temellerini de atan kişi
16. Bir çokgende bitişik olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçası
17. Çokgende iki komşu kenarın kesiştiği nokta
18. Nesnelerin biçim, uzunluk, alan, hacim v.b.
özellikleriyle ilgilenen matematik dalı
20. Yüzölçümü
326
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1. Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktayı birleştiren dört doğru parçasından oluşan kapalı şekle
........................... denir.
2. Bir dörtgenin komşu olmayan iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına dörtgenin
........................... denir.
3. Her bir iç açısının ölçüsü 180° den küçük olan dörtgene ........................... dörtgen denir.
4. Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı ........................... dir.
5. Bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde ........................... oluşur.
6. Köşegenleri birbirine dik ve köşegen uzunlukları eşit olan dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde ........................... oluşur.
7. Köşegen uzunlukları e ve f olan bir dörtgenin alanı en çok ........................... olur.
8. Bir yamukta paralel olmayan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına .................... denir.
9. Paralelkenarda köşegenler birbirini ........................... .
10. Bir yamukta paralel olan kenarlara yamuğun ........................... denir.
11. Paralel olmayan kenarlardan biri tabanlara ........................... olan yamuğa dik yamuk denir.
12. Paralelkenarın köşegenleri, paralelkenarın alanını ........................... eş parçaya ayırır.
13. Eşkenar dörtgen ve deltoidin kenarlarının orta noktaları birleştirilirse bir ........................... elde edilir.
14. Köşegenlerinden biri, iki ikizkenar üçgenin tabanı olan dörtgene ........................... denir.
15. Bir paralelkenarın köşegenleri birbirine dik ise bu paralelkenar ........................... dir.
16. Paralelkenarda komşu açılar ........................... dir.
17. Çokgenler ........................... göre adlandırılır.
18. Bütün kenarları ve bütün açıları birbirine eş olan çokgenlere ........................... denir.
19. Düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü ........................... dir.
20. Düzgün altıgenin bir iç açısının ölçüsü ........................... dir.
21. Düzgün begenin bir iç açısının açıortayı, aynı zamanda düzgün beşgenin ........................... dir.
327
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
Dörtgenin temel elemanları açı, köşe ve kenardır.
2.
Herhangi bir iç açısının ölçüsü 180° den büyük olan dörtgene iç bükey dörtgen denir.
3.
Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde dikdörtgen oluşur.
4.
Köşegenleri birbirine eşit olan dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde eşkenar dörtgen oluşur.
5.
Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenin ardışık kenar uzunlukları sırasıyla a, b, c ve d ise
a2 + c2 = b2 + d2 dir.
6.
Bütün kareler benzerdir.
7.
Bütün dikdörtgenler benzerdir.
8.
Paralel olmayan kenarları eş olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.
9.
Paralelkenarda köşegenler açıortaydır.
10.
Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesişir.
11.
Paralelkenarın bir köşegeni, paralelkenarın alanını iki eş parçaya ayırır.
12.
Dikdörtgenin köşegenleri eşit uzunluktadır.
13.
Eşkenar dörtgenin köşegenleri eşit uzunluktadır.
14.
Herhangi bir dörtgenin kenar orta noktaları, bir paralelkenarın köşeleridir.
15.
İç açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgenler denir.
16.
Çokgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
17.
Çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
18.
Düzgün beşgenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
19.
Düzgün altıgenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
20.
Düzgün altıgende karşılıklı kenarlar paraleldir.
328
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
2007 - ÖSS
4.
D
2007 - ÖSS
C
15
F
15
E
K
A′
10
A′
10
G
A
B
ABCD paralelkenarında, |DF| = |FE|, |AG| = |GE|
A(ABCD) = 72 cm2 dir. Buna göre, taralı EFG
B) 10
C) 12
A
fiekil II
Boyutları 15 cm ve 10 cm olan Şekil I deki dik-
üçgeninin alanı kaç cm2 dir?
A) 9
K
A
fiekil I
dörtgen biçiminde bir karton, K köşesine eşit
D) 16
uzaklıkta olan A ve A′ noktalarını birleştiren AA′
E) 18
doğrusu boyunca Şekil II deki gibi katlandığında
K köşesi dikdörtgenin köşegeni üzerine geliyor.
Katlanan AA′K üçgensel bölgesinin alanı kaç cm2
2.
dir?
2007 - ÖSS
Basamak yüksekliği 20 cm, basamak genişliği
A) 18
B) 20
C) 25
D) 30
E) 32
50 cm olan aşağıdaki merdivenin yan yüzü,
ESEN YAYINLARI
boyutları 25 cm ve 10 cm olan dikdörtgen biçimindeki fayanslarla kaplanacaktır.
5.
2007 - ÖSS
D
C
4
10
A
25
B) 38
C) 36
D) 32
B
A) 8,5
6.
C
B) 9
C) 9,5
E
eşkenar dörtgen
3
E
1
B
v7
E) 10,5
ABCD bir
x
C
F
D
|AB| = v7 cm
5
|DE| = 3 cm
dikdörtgen
a
a
m( ABE) = m( EBC)
|AB| = 8 cm
|BC| = 5 cm
|EB| = 1 cm
|CE| = x
A
D) 10
2008 - ÖSS
ABCD bir
x
|AB| = 12 cm
kaç cm dir?
E) 28
2007 - ÖSS
D
12
ABCD dikdörtgeninde verilere göre |KT| = x
Bu iş için kaç tane fayans kullanılır?
3.
|CT| = |TB|
|AD| = 4 cm
20
A) 40
T
x
K
50
KT // AB
a
a
m( ADK) = m( KDC)
8
A
B
|EF| = x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
Yukarıdaki verilere göre x kaç cm dir?
A) 2v2
A) 1
330
B) 2
C) v2
D) v3
E) v5
D) c13
B) 3v2
C) 3v3
E) c15
Dörtgenler ve Çokgenler
7.
2008 - ÖSS
9.
A
Aşağıdaki şekilde, eni 40 m ve boyu 100 m olan
D
dikdörtgen biçiminde bir park, parkın içinden
ABCD bir
H
geçen paralelkenar biçiminde iki yol ve bu yollar
dikdörtgen
E
dışında kalan yamuksal K, L ve üçgensel M yeşil
[DE] ⊥ [HF]
B
F
2008 - ÖSS
alanları gösterilmiştir.
100
C
Şekilde birim karelerden oluşan ABCD dikdörtgeni ve bu dikdörtgenin içine yerleştirilmiş olan
M
K
40
L
DHF dik üçgeni verilmiştir.
HF
HD
Buna göre,
A)
3
3
B)
3
2
35
oranı kaçtır?
55
Parkın K ve L bölgelerinin alt kenar uzunlukları
C)
1
2
D)
1
3
E)
1
4
sırasıyla 35 m ve 55 m olduğuna göre, toplam
yeşil alan kaç m2 dir?
A) 3200
B) 3400
ESEN YAYINLARI
D) 3600
C) 3500
E) 3800
10. 2008 - ÖSS
D
F
E
C
x
A
B
ABCDE bir düzgün beşgen, |EC| = |DF| = |FB|
a
ise m( CBF) = x kaç derecedir?
A) 24
8.
B) 30
C) 32
D) 36
E) 40
2008 - ÖSS
D
C
11. 2009 - ÖSS
ABCD bir kare
10
D
12
C
|AE| = |EB|
F
dikdörtgen
|FC| = 10 cm
|DA| = 5 cm
5
A
E
B
Yukarıdaki verilere göre, EBC üçgeninin alanı
2
kaç cm dir?
A) 25
B) 30
ABCD bir
A
B
E
|DC| = 12 cm
a
a
m( ADE)=m( EDB)
Verilenlere göre, A(DEB) kaç cm2 dir?
C) 40
D) 45
E) 50
A)
83
4
B)
65
3
C)
61
3
D)
45
2
E)
41
2
331
Dörtgenler ve Çokgenler
12. 2010 - YGS
D
C
1
F
x
2
A
ABCD bir
ABCD bir kare
dikdörtgen
DF ⊥ FE
|AD| = 1 cm
FE ⊥ EB
|AE| = |EB| = 2 cm
E
2
|FE| = x
B
3
2
B)
5
2
C)
3
3
D)
5
3
D
4
4
E
B
2
Verilenlere göre, A(ABCD) kaç cm dir?
E)
A) 32
7
3
B) 36
C) 40
ABCD bir
C
kenar dörtgen
D) 48
E) 50
B
C
|EB| = 4 cm
6
A
F
|DF| = 3 cm
E
|CE| = 4 cm
D 3
dikdörtgen
4
DAF bir üçgen
x
A
|AE| = x
F
E
x
4
B
Şekildeki AEFD ve EBCF yamuklarının alanları
B) 12
C) 14
D) 9
ESEN YAYINLARI
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
A) 10
4
16. 2011 - LYS
ABCD bir eş-
|BF| = x
F
A
13. 2011 - YGS
|EB| = 6 cm
C
|DF| = |FE| = |EB| = 4 cm
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
A)
D
15. 2011 - LYS
E) 15
A (AEFD) 5
= ilişkisi olduğuna göre,
A (EBCF) 6
x kaç cm dir?
arasında
A) 6
B) 7
C) 8
D)
15
2
E)
22
3
14. 2011 - YGS
Aşağıda verilen ABCD dikdörtgeni biçimindeki
bir kağıt, B ve D köşeleri çakışacak şekilde katlanıyor. [AB] kenarı üzerindeki katlanma noktası
17. 2011 - LYS
E
E olmak üzere |AE| = 1 birim oluyor.
D
D
C
F
D
C
C
ABCD bir kare
EDC bir üçgen
A
A
B
A
1 E
Katlanma sonucunda, kağıdın üst üste gelen
kısımları koyu renkli DEF eşkenar üçgensel bölgesini oluşturuyor. Buna göre, kağıdın alanı kaç
birim karedir?
A) 6v2
B) 2v2
D) 3v3
332
Şekildeki EDC ve EAB üçgenlerinin alanları ara2
sında A(EDC) = .A(EAB) ilişkisi olduğuna
5
A (EDC)
oranı kaçtır?
göre,
A (ABCD)
C) 4v3
E) 4v2
B
B
A)
1
3
B)
1
4
C)
3
5
D)
3
4
E)
3
2
Dörtgenler ve Çokgenler
18. 2012 – LYS
D
20. 2012 – LYS
G
C
H
A
F
E
Ayşe uzunluğu 58 cm olan telin bir kısmı ile
ABCD bir dikdörtgen
ABCD karesini, kalan kısmı ile de EF doğru par-
GA ve ECD birer
çasını oluşturup kareyi şekildeki gibi iki bölgeye
eşkenar üçgen
ayırmıştır.
D
C
B
Yukarıdaki verilere göre,
oranı kaçtır?
1
1
B)
A)
3
4
C)
2
7
A (EFGH)
A (ABCD)
D)
2
9
ABCD bir kare
alanlar
E)
E
|AE| = |ED|
|FB| = x
4
9
A
F x
B
Büyük bölgenin alanı küçük bölgenin alanının
5 katı olduğuna göre, x kaç cm dir?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ESEN YAYINLARI
A) 1
19. 2012 – LYS
Kenar uzunlukları 3 cm ve 4 cm olan ABCD dikdörtgeni biçimindeki bir kâğıt, AB ve CD kenarları AC köşegeni ile çakışacak biçimde katlanıyor.
D
C
21. 2012 – LYS
Aşağıdaki düzlemsel şekilde, ABCD paralelke-
3
narının C köşesi d doğrusu üzerindedir. B ve
A
4
D köşelerinden d doğrusuna inilen dikmelerin
B
ayakları sırasıyla E ve F dir.
C
F
B′
D′
paralelkenar
C
D
A
üzerinde karşılık gelen B′ ve D′ noktaları araD) 2
E) 3
|AD| = 5 cm
3
E
5
Katlama sonunda, B ve D noktalarına köşegen
sındaki uzaklık kaç cm dir?
5
7
8
B)
C)
A)
2
2
3
ABCD bir
7
A
|DF| = 7 cm
d
B
|CE| = 3 cm
Buna göre, A noktasının d doğrusuna olan
uzaklığı kaç cm dir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
333
Dörtgenler ve Çokgenler
22. 2012 – LYS
25. 2013 – LYS
Kenar uzunlukları 8 cm ve 10 cm olan ABCD ve
Bir düzgün beşgende, bir köşegen uzunluğunun
bir kenar uzunluğuna oranı
D
D
C
|EF| = |FC|
A
|AB| = 4 cm
4
x
F
B
10
|DF| = x cm
B
E
Yukarıdaki verilere göre, x2 kaçtır?
A) 8 – v5
K
8
düzgün beşgen
C
F
A
G
ABCDE bir
x
E
EFGA eş dikdörtgenleri, şekildeki gibi yerleştiriliyor.
1+ 5
dir.
2
B) 9 – 2v5
D) 4 + v5
Bu dikdörtgenlerin BC ve FG kenarları, K noktasın-
C) 10 – 2v5
da kesişmektedir. Buna göre, |KF| = x kaç cm dir?
9
12
A) 2
B) 3
C) 4
D)
E)
5
2
E) 1 + 2v5
26. 2013 – LYS
y
A
23. 2013 – LYS
B
Dik koordinat sisteminde verilen bir karenin iki
üzerindedir. Bu karenin diğer iki köşesinin orijine
olan uzaklıkları eşit ve 5 birim olduğuna göre,
alanı kaç birim karedir?
A) 16
B) 20
C) 25
D) 30
E) 36
D
ESEN YAYINLARI
köşesi ve bu köşeleri birleştiren kenar, x ekseni
O
x
C
ABCD bir yamuk, A(4, 8), B(0, 6), C(6, 0)
D(8, 4) olduğuna göre, ABCD yamuğunun alanı
kaç birim karedir?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
27. 2013 – LYS
24. 2013 – LYS
D
C
Bir kenar uzunluğu 1 birim
x
olan düzgün sekizgen biçiminde bir kartonun şekil-
E
A
75°
50°
F
deki dört köşegeni çizildikten sonra ortadaki parça
B
kesilip atılıyor.
1
ABC bir paralelkenar, [CE açıortay
a
a
a
m( AFE) = 50°, m( CEF) = 75° ve m( ADC) = x
Buna göre, kalan kartonun
olduğuna göre, x kaç derecedir?
A) 1 + 2v2
A) 115
334
B) 120
C) 125
D) 130
E) 135
alanı kaç birim karedir?
B) 1 + 4v2
D) 2 + 2v2
C) 2 + v2
E) 2 + 4v2
İKİNCİ DERECEDEN
DENKLEM ve FONKSİYONLAR
. ÜNİTE
5. ÜNİTE
5. ÜNİTE
5. ÜNİTE
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
1.
Kazanım
: İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer.
2.
Kazanım
: i = –1 sanal birim olmak üzere bir karmaşık sayının a + bi (a, b ∈ R) biçiminde
ifade edildiğini açıklar.
3.
Kazanım
: İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri
belirler.
İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri
1.
Kazanım
: İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonu açıklar ve grafiğini çizer.
2.
Kazanım
: İkinci derece denklem ve fonksiyonlarla modellenebilen problemleri çözer.
5. ÜNİT
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere
2
ax + bx + c = 0 şekline getirilebilen ifadelere
ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
ax2 + bx + c = 0 denkleminin çözüm kümesini çarpanlara ayırma dışında aşağıdaki gibi de
KARMAŞIK SAYILAR
a ve b gerçel sayılar ve i2 = –1 olmak üzere,
z = a + bi biçimindeki sayılara karmaşık (kompleks) sayılar denir. a sayısına z karmaşık sayısı-
bulabiliriz.
nın reel (gerçel) kısmı ve b sayısına z karmaşık
x1 ve x2 denkleminin kökleri olmak üzere
sayısının sanal (imajiner) kısmı denir.
x 1, 2 =
Re(z) = a ve Im(z) = b şeklinde gösterilir.
– b ! b 2 – 4ac
dır.
2a
Karmaşık Sayının Eşleniği
∆ = b2 – 4ac olmak üzere
∆ < 0
ise denklemin reel sayılarda kökü
–
z = a + bi karmaşık sayısının eşleniği, z = a – bi dir.
yoktur.
∆ = 0 ise denklemin çakışık iki tane kökü var-
Karmaşık Sayıların Eşitliği
dır.
z1 = a + bi ve z2 = c + di karmaşık sayıları için,
∆ > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki
z1 = z2 ⇔ ( a = c ve b = d ) dir.
reel kökü vardır.
i Sayısının Kuvvetleri
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİYLE
KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
olmak üzere,
n ∈ N olmak üzere,
i0 = i4 = i8 = .......... = i4n = 1
i1 = i5 = i9 = .......... = i4n+1 = i
x1 + x 2 = −
b
a
i2 = i6 = i10 = .......... = i4n+2 = –1
c
a
x1.x 2 =
i3 = i7 = i11 = .......... = i4n+3 = –i
1
1
b
+
=−
x 1 x2
c
®
Δ
|x1 − x 2|=
|a|
2
x1
1
x 21
2
+ x2
+
=
1
x 22
köklerinden biri
a2
b2 − 2ac
®
(1 + i)2 = 2i ve (1 – i)2 = –2i dir.
c2
KÖKLERİ BELLİ OLAN İKİNCİ DERECEDEN
DENKLEMİN YAZILMASI
Kökleri x1 ve x2 olan II. dereceden denklem
2
x – (x1+ x2) x + x1 x2 = 0 dır.
Rasyonel kat sayılı ikinci dereceden denklemin
bir kökü ( a – vb ) ise diğeri ( a + vb ) dir.
336
x1 = a + bi ise diğeri x2 = a – bi dir.
b2 − 2ac
=
Reel kat sayılı ikinci dereceden bir denklemin
Eşlenikle İlgili Özellikler
®
^zh= z
®
®
z 1 .z 2 = z 1 .z 2
® c
®
z n = ^ zh
n
z1 + z2 = z1 + z2
z1
z1
m=
z2
z2
Karmaşık Sayılarda Dört İşlem
y = ax2
şeklindeki fonksiyonların grafiği
z = a + bi ve w = c + di olsun.
z + w = (a + c) + (b + d) i
y
z – w = (a – c) + (b – d) i
z.w = (ac – bd) + (ad + bc) i
x
z
z.w ac + bd + ^ bc – adh i
=
=
w w. w
c2 + d2
II. DERECEDEN FONKSİYONLAR (PARABOL)
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere
2
f(x) = ax + bx + c fonksiyonuna ikinci dereceden
y = ax2 + c
şeklindeki fonksiyonların grafiği
fonksiyon denir.
y = ax2 nin grafiği y ekseni üzerinde c birim
Bu fonksiyonun grafiğine parabol denir.
kaydırılır.
Parabolün grafiği çizilirken aşağıdaki yöntem
y
izlenir.
1.
y = ax2 + c
Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur.
y = ax2
y = ax2 – c
x = 0 ise f(0) = c olup y eksenini (0, c)
c
noktasında keser.
x
2
y = 0 ise ax + bx + c = 0 olur.
–c
i.
∆ < 0 ise parabol x eksenini kesmez.
(a > 0 ise parabol x ekseninin yukarısında
a < 0 ise parabol x ekseninin altındadır.)
ii. ∆ = 0 ise parabol x eksenine teğettir.
y = a(x – r)2
şeklindeki fonksiyonların grafiği
iii. ∆ > 0 ise parabol x eksenini iki noktada
keser.
y = ax2 nin grafiği x – r = 0 , x = r birim
x ekseni üzerinde kaydırılır.
y
2.
Parabolün tepe noktasının koordinatları
bulunur.
y = a(x + r)2
y = ax2
y = a(x – r)2
T(r, k) olmak üzere,
r=–
3.
b
4ac – b 2
dır.
, k = f ( r) =
2a
4a
–r
r
x
Bulunan bu noktalar birleştirilerek parabolün
grafiği çizilmiş olur.
337
y = a(x – r)2 + k
BİR DOĞRU İLE BİR PARABOLÜN DURUMLARI
şeklindeki fonksiyonların grafiği
f(x) = a1x2 + b1x + c1 parabolü ile y = mx + n doğ-
y = a(x – r)2 nin grafiği
x = r
doğrusu
üzerinde k birim kaydırılır.
rusunun denklemlerinin ortak çözümünden elde
edilen ikinci dereceden denklem,
ax2 + bx + c = 0 olsun.
y
Bu durumda;
y = a(x – r)2 + k
y = ax2
y = a(x – r)2
Reel kökü yoksa (∆ < 0) doğru parabolü kesmez.
f(x)
k
d
r
x
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunu en büyük
b
veya en küçük yapan değer r = –
dir.
2a
En büyük veya en küçük değer
k = f (r ) =
Çakışık iki kök varsa (∆ = 0) doğru parabole
teğettir.
f(x)
4ac – b 2
dır.
4a
a > 0 ise k en küçük değerdir.
d
(x1, y1)
a < 0 ise k en büyük değerdir.
f(x) = ax2 + bx + c parabolünün simetri ekseni
x=–
b
doğrusudur.
2a
ax2 + bx + c = 0 denkleminin çözümünden bulanan
x1 = x2 =
kökü teğet değme noktasının
apsisidir.
İKİ PARABOLÜN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
–b
2a
Farklı iki kök varsa (∆ > 0) doğru parabolü iki
noktada keser.
f(x)
İki parabolün denklemlerinin oluşturduğu sistemin
d
çözüm kümesi bulunur.
Çözüm kümesi boş küme ise kesişmezler
(x1, y1)
(x2, y2)
Çözüm kümesi tek elemanlı ise teğettirler.
Çözüm kümesi iki elemanlı ise iki noktada
kesişirler.
338
ax2 + bx + c = 0 denkleminin çözümünden bulanan
kökler kesim noktalarının apsisleridir.
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 1
Çözüm
Aşağıdaki denklemlerin reel sayılarda çözüm kümelerini bulunuz.
a.
x2 – 9 = 0
b. 3x2 – 6x = 0
c.
2x2 + 4 = 0
x2 = 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
5.
2x2 + 10x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2.
3x2 – 12 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
6.
x2 = x denkleminin çözüm kümesi nedir?
7.
4x2 + 20 = 0
ESEN YAYINLARI
1.
3.
2
5 – x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
çözüm kümesi nedir?
8.
4.
x2 – 4x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
denkleminin gerçel sayılarda
x2 + 1 = 0 denkleminin gerçel sayılarda çözüm
kümesi nedir?
339
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 2
Çözüm
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a.
x2 – 3x + 2 = 0
b. x2 – 2x + 1 = 0
c.
1.
2x2 + 3x – 2 = 0
x2 – 4x – 21 = 0 denkleminin çözüm kümesi
5.
nedir?
2.
x2 + 4x + 4 = 0
denkleminin çözüm kümesi
nedir?
x2 + x – 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
6.
4x2 – 4x + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi
ESEN YAYINLARI
nedir?
3.
x2 – 7x + 10 = 0 denkleminin çözüm kümesi
7.
nedir?
3x2 + 7x – 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
4.
x2 + 2x + 1 = 0
nedir?
340
denkleminin çözüm kümesi
8.
10x2 – 11x + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 3
Çözüm
Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılarda çözüm
kümelerini bulunuz.
a.
x2 – 2x – 1 = 0
b. x2 – 4x + 6 = 0
1.
x2 – 4x + 1 = 0
denkleminin çözüm kümesi
5.
x2 + x – 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
denkleminin çözüm kümesi
6.
x2 – 2v2x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
2.
x2 – 6x + 7 = 0
nedir?
ESEN YAYINLARI
nedir?
3.
x2 – 4x – 1 = 0
denkleminin çözüm kümesi
7.
nedir?
4.
x2 – 2x – 2 = 0
nedir?
x2 + x + 1 = 0 denkleminin reel sayılarda çözüm
kümesi nedir?
denkleminin çözüm kümesi
8.
2x2 – x + 3 = 0
denkleminin reel sayılarda
çözüm kümesi nedir?
341
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 4
a.
Çözüm
x2 – 3x + 2m – 1 = 0 denkleminin eşit iki kökü
varsa m kaçtır?
b.
m ≠ 0 olmak üzere,
mx2 – 6x + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi bir
elemanlı ise m kaçtır?
1.
2x2 – x + m – 2 = 0 denkleminin eşit iki kökü
4.
2.
3x2 – 2x + m – 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi
bir elemanlı ise m kaçtır?
3.
x2 – (m + 1)x + 4 = 0 denkleminin çakışık iki
kökü varsa m kaçtır?
342
varsa m kaçtır?
ESEN YAYINLARI
varsa m kaçtır?
x2 – (2m – 1)x + 1 = 0 denkleminin çift kat kökü
5.
mx2 – 4x + 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
olmak üzere, x1 – x2 = 0 ise m kaçtır?
6.
x2 + 2(m + 1)x + m + 3 = 0 denkleminin eşit iki
kökü varsa m kaçtır?
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 5
a.
Çözüm
2
2x – 4x + m – 1 = 0 denkleminin farklı iki gerçek
kökü varsa m hangi aralıkta değer alır?
b.
m ≠ 0 olmak üzere,
mx2 – 4x + 3 = 0
denkleminin reel kökünün
olmaması için m hangi aralıkta değer almalıdır?
1.
x2 – 4x – m = 0 denkleminin farklı iki gerçek
4.
kökü varsa m hangi aralıkta değer alır?
2x2 – 4x + m – 2 = 0 denkleminin reel sayılarda
çözüm kümesi Ø ise m nin değer aralığını
2.
2
x – 2x + m – 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi
iki elemanlı ise m nin değer aralığını bulunuz.
ESEN YAYINLARI
bulunuz.
5.
x2 – 6x + a + 2 = 0 denkleminin köklerinin reel
olduğu bilindiğine göre, a hangi aralıkta değer
alır?
6.
a ≠ 1 olmak üzere,
(a – 1)x2 – (2a + 1)x + a + 1 = 0 denkleminin
3.
2
mx – 2mx + m + 1 = 0 denkleminin farklı iki ger-
kökleri reel olmadığına göre, a nın değer aralığı
çek kökü varsa m nin değer aralığını bulunuz.
nedir?
343
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 6
2
2
Çözüm
2
(x – x) – 8(x – x) + 12 = 0 denkleminin çözüm
kümesini bulunuz.
1.
x4 – 5x2 + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini
5.
bulunuz.
2.
bulunuz.
6.
x6 – 16x3 + 64 = 0 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
2x + 1
x –1
+ 2.
= 3 denkleminin çözüm kümex –1
2x + 1
sini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
3.
4x – 3.2x+1 + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesini
7.
(x2 + x)2 – 8x2 – 8x + 12 = 0 denkleminin çözüm
x 3 – x 2 – 6x
= 0 denkleminin çözüm kümesini
x2 – 4
bulunuz.
kümesini bulunuz.
4.
x – 1 2 1– x
– 12 = 0
c
m +
x
x
kümesini bulunuz.
344
denkleminin
çözüm
8.
x2 – 4 x + 2
–
+4 = 0
x+2
x–2
kümesini bulunuz.
denk le mi nin
çö züm
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 7
Çözüm
2
x – |x| – 20 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
1.
x2 – |9x| = 0 denkleminin çözüm kümesini bulu-
5.
nuz.
2.
x2 + |x – 1| – x = 0 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
x2 + |x| – 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini
6.
sini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
bulunuz.
|x2 + 1| + |x| – 7 = 0 denkleminin çözüm küme-
3.
x2 + |x – 2| = 0 denkleminin gerçek sayılarda
7.
çözüm kümesini bulunuz.
4.
|x2 – 1| – |1 – x| = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
|x2 – 4| – |x + 2| = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
8.
|x + 1|2 – |4 + 4x| + 3 = 0 denkleminin çözüm
kümesini bulunuz.
345
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 8
5–x + x = 3
Çözüm
denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
1.
2+ x+3 = 0
5.
denkleminin gerçek sayılarda
çözüm kümesi nedir?
2.
x–
x –1 = 3
denkleminin
nedir?
çözüm
6.
kümesi
ESEN YAYINLARI
x + x+5 = 5
denkleminin çözüm kümesi
7.
3+ x –1 = 2
nedir?
346
denkleminin çözüm
x+2
+2
x –1
x –1
+3 = 0
x+2
denkleminin reel
sayılarda çözüm kümesi nedir?
nedir?
4.
x 2 – x + 2 – x2 + x = 0
kümesi nedir?
nedir?
3.
x – 1 + x + 3 = 2 denkleminin çözüm kümesi
denkleminin çözüm kümesi
8.
x+2 +
6
=4
x+2 +1
kümesi nedir?
denkleminin çözüm
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 9
Çözüm
2
x – (m + 1)x + 2 = 0 denkleminin köklerinden biri
1 ise diğeri kaçtır?
1.
2x2 – mx + 3m – 1 = 0 denkleminin bir kökü 2
5.
ise a – 2a2 kaçtır?
ise m kaçtır?
6.
2
3.
3x2 – 2mx + m – 2 = 0 denkleminin köklerinden
x – mx + n + 1 = 0 denkleminin kökleri 1 ve
biri m olduğuna göre, m nin alabileceği değerler
–1 ise m.n kaçtır?
kümesi nedir?
ESEN YAYINLARI
2.
4x2 – 2x – 1 = 0 denkleminin köklerinden biri a
7.
2
x – mx – 3 = 0 denkleminin bir kökü 1 ise diğer
x2 + (b – 1)x + c + 1 = 0 denkleminin çözüm
kümesi {–2, 3} ise b + c kaçtır?
kökü kaçtır?
8.
4.
2
2x – (m + 1)x – 1 = 0 denkleminin köklerinden
x2 – (m + 1)x + 3 – v3 = 0 denkleminin köklerinden biri x1 = 1 – v3 olduğuna göre, m kaçtır?
biri –1 ise diğeri kaçtır?
347
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 10
a.
Çözüm
Kökleri 2 ve –3 olan ikinci dereceden denklemlerden birini bulunuz.
b.
Köklerinden biri 2 – v3 olan rasyonel kat sayılı,
2. dereceden denklemlerden birini bulunuz.
1.
Kökler toplamı 2, kökler çarpımı –3 olan 2. dere-
5.
ceden denklemlerden birini bulunuz.
yonel kat sayılı denklemlerden birini bulunuz.
6.
2.
Köklerinden biri 1 – v5 olan 2. dereceden, ras-
Kökleri –4 ve 2 olan 2. dereceden denklemler-
Köklerinden biri v3 + 2 olan 2. dereceden, rasyonel kat sayılı denklemlerden birini bulunuz.
3.
ESEN YAYINLARI
den birini bulunuz.
Çözüm kümesi {–1, 4} olan 2. dereceden denk-
7.
lemlerden birini bulunuz.
4.
Çözüm kümesi {–3} olan 2. dereceden denklemlerden birini bulunuz.
348
8.
1
olan 2. dereceden, ras5 –2
yonel kat sayılı denklemlerden birini bulunuz.
Köklerinden biri
1
– 2 olan 2. dereceden, ras2
yonel kat sayılı denklemlerden birini bulunuz.
Köklerinden biri
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 11
Çözüm
2
2x – 2mx + 3m – 1 = 0 denkleminin kökler toplamı,
kökler çarpımının 2 katı ise m kaçtır?
1.
3x2 – 6x – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
5.
ise x1 + x2 + x1.x2 kaçtır?
ise |x1 – x2| kaçtır?
2x2 – 4x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
1
1
ise
kaçtır?
+
x1 x2
6.
x2 – 4x – 1 = 0 denkleminin x1 ve x2 kökleri
2
2
için x1 .x2 + x1.x2 kaçtır?
ESEN YAYINLARI
2.
2x2 + 3x – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
3.
x2 – 5x – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
2
2
7.
x1 + x2 kaçtır?
4.
x2 + 2x – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
3
3
x1 + x2 kaçtır?
x2 + 3x + m – 1 = 0 denkleminin kökler toplamı,
kökler çarpımına eşit ise m kaçtır?
8.
x2 – mx – 8 = 0 denkleminin x1 ve x2 kökleri
2
için x1 = x2 ise m kaçtır?
349
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
9.
x2 – 2mx + 2 = 0 denkleminin köklerinin aritme-
14. x2 – 2x + 6n – 9 = 0 denkleminin kökleri x1 ve
tik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise m
x2 olmak üzere, x21 – x22 = 12 ise n kaçtır?
kaçtır?
15. x2 – (2 – a)x + b – 2 = 0 denkleminin kökleri
10. x2 – 2x – 2 = 0 denkleminin x1 ve x2 kökleri
1
1
için
kaçtır?
+
x1 + 1 x2 + 1
4 – a ve 4 – b ise a2 + b2 kaçtır?
16. x2 + (x1 – 4)x + 2x2 = 0 denkleminin sıfırdan
11. x2 – 3x + m – 2 = 0 denkleminin x1 ve x2 kök-
farklı kökleri x1 ve x2 ise x1 + x2 kaçtır?
ESEN YAYINLARI
leri için x1 – 2x2 = –3 ise m kaçtır?
12. x2 – (2m – 1)x + m – 1 = 0 denkleminin simetrik
17. 2x2 + 12x + m = 0 denkleminin kökleri x1 ve
iki kökünün olması için m kaç olmalıdır?
x2 dir. (2x1 – 1)(2x2 – 1) = 7 olduğuna göre, m
(Not: Kökler simetrik ise x1 = –x2 dir.)
kaçtır?
13. x2 – (x1 – 2)x + x2 + 3 = 0 denkleminin kökleri x1
ve x2 olduğuna göre, x1.x2 kaçtır?
350
18. x2 – 4x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
olduğuna göre,
x 1 + x 2 kaçtır?
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 12
Çözüm
2
x + mx – n = 0 denkleminin bir kökü 1,
x2 – kx + r = 0 denkleminin bir kökü 2 dir.
Bu iki denklemin diğer kökleri ortak ise m + k kaçtır?
1.
x2 – ax + b = 0 denkleminin bir kökü 3,
4.
x2 + cx + d = 0 denkleminin bir kökü 4 tür.
x2 – mx + 2 = 0 ile 2x2 – 4x – n = 0 denklemlerinin ikişer kökleri de ortak ise m + n kaçtır?
Bu iki denklemin diğer kökleri ortak ise, a + c
2.
x2 + mx + n = 0 denkleminin bir kökü 4,
x2 + px + r = 0 denkleminin bir kökü 2 dir.
n
Bu iki denklemin diğer kökleri ortak ise kaçtır?
r
3.
x2 – 4x + m = 0 denkleminin kökleri
x2 – mx – n – 2 = 0 denkleminin köklerinden 3
er fazla ise m kaçtır?
ESEN YAYINLARI
kaçtır?
5.
x2 + mx – n + 3 = 0 denkleminin kökleri
x2 + (m + 1)x – 2n + 2 = 0 denkleminin köklerinin
yarısına eşit ise m2 + n2 kaçtır?
6.
x2 + nx – 2 = 0 ve 2x2 – nx – 3 = 0 denklemlerinin birer kökleri ortak ise n nin alabileceği
değerlerin oranı kaçtır?
351
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 13
Çözüm
2
x – 3x – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökleri x1 – 2 ve x2 – 2 olan 2. dereceden denklemi bulunuz.
1.
x2 – 4x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
4.
ise, kökleri x1 + 3 ve x2 + 3 olan 2. dereceden
x2 – 2mx + m – 1 = 0 denkleminin kökleri arasında m ye bağlı olmayan bir bağıntı bulunuz.
denklemi bulunuz.
Kökleri, x2 – 2x – 4 = 0 denkleminin köklerinden
birer eksik olan 2. dereceden denklemi bulunuz.
3.
5.
ESEN YAYINLARI
2.
x2 + (m + 3)x – 8 = 0
denklemlerinin birer kökleri ortak ise m kaçtır?
x2 + 2x – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
2
2
olan 2. dereceden denkve
x1
x2
lemi bulunuz.
dir. Kökleri
352
x2 – 3x + m – 2 = 0
6.
x2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökleri x1 + b ve x2 + b olan 2. dereceden
denklemi bulunuz.
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 14
3
Çözüm
2
x – 2x – x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
1.
(x – 2)(x2 – 3x + 2) = 0 denkleminin çözüm
5.
kümesini bulunuz.
2.
x3 – 4x2 + x – 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
x3 – x2 – x + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesini
6.
bulunuz.
x 3 + x 2 – 4x – 4
= 0 denklemini sağlayan x
x2 + x – 2
ESEN YAYINLARI
değerlerinin toplamı kaçtır?
3.
x3 + x2 – 4x – 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini
7.
bulunuz.
4.
x3 – 5x2 + 6x = 0 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
x3 + 6x2 + ax + b = 0 denkleminin üç kökü de
birbirine eşit olduğuna göre, a + b kaçtır?
8.
x3 – 5x2 + mx + n = 0 denkleminin kökleri
x1 = 1 ve x2 = x3 ise m kaçtır?
353
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 15
a.
3
Çözüm
2
x – 6x + 11x – 6 = 0 denkleminin bir kökü 3
ise diğer iki kökünü bulunuz.
b.
İki kökü 3 ve 1 – v3 olan 3. dereceden rasyonel kat sayılı denklemi bulunuz.
1.
x3 + x2 – mx – m = 0 denkleminin bir kökü –2
4.
2.
x3 – mx2 + 2mx – 8 = 0 denkleminin köklerinden
biri 1 ise diğer iki kökünü bulunuz.
3.
–1, 0 ve 2
olan üçüncü dereceden
denklemi bulunuz.
ESEN YAYINLARI
ise diğer iki kökünü bulunuz.
Kökleri
5.
İki kökü 2 ve 2 – v3 olan üçüncü dereceden
rasyonel kat sayılı denklemi bulunuz.
(x – 1)(x2 – 3x + m – 1) = 0 denkleminin farklı üç
gerçek kökü varsa m ne olmalıdır?
6.
İki kökü –1 ve 1 + v5 olan üçüncü dereceden
rasyonel kat sayılı denklemi bulunuz.
354
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 16
REHBER SORU 17
Aşağıdaki sayıları imajiner sayı birimi ile yazınız.
Aşağıdaki sayıları imajiner sayı birimi ile yazınız.
a. c– 4
a. i10
b. c–5
c.
–12
c– 2 . c– 3 işleminin sonucu nedir?
2.
c– 2 . c– 3 . c– 6 işleminin sonucu nedir?
3.
2 – c– 4 işleminin sonucu nedir?
5 . –5
işleminin sonucu nedir?
5
c– 1 . c– 4 . c– 9 .
nedir?
ESEN YAYINLARI
1.
5.
1
i
c.
1
i3
Çözüm
Çözüm
4.
b.
1.
1 1 1
işleminin sonucu nedir?
+ +
i i2 i3
2.
i2008 + i–2008 işleminin sonucu nedir?
3.
P(x) = x5 – 2x4 + x3 – 3x ise P(– i) nedir?
4.
i– 2 + i– 3
işleminin sonucu nedir?
–i – 4 – i – 5
5.
P(x) = x4 – 4x3 + x2 – 2x + 1 ise P(– i) nedir?
– 16 işleminin sonucu
355
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 18
REHBER SORU 19
i + i2 + i3 + ..... + i49 + i50
n ∈ N olmak üzere,
i4n+3 + i8n+1 + i12n+2 değeri nedir?
ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
Çözüm
n ∈ N olmak üzere,
4n+1
i
2.
8n+2
+i
12n+3
+i
n ∈ N olmak üzere,
i 6n + 2
işleminin sonucu nedir?
i 2n – 1
3.
2.
i2 – i4 + i6 – i8 + ..... + i38 – i40 ifadesinin eşiti
nedir?
3.
i.i2.i3. ..... .i19 ifadesinin eşiti nedir?
n ∈ N olmak üzere,
i n + 2 + i 5n + 1
işleminin sonucu nedir?
i 9n – 2
5.
i + i2 + i3 + ..... + i18 + i19 ifadesinin eşiti nedir?
n ∈ N olmak üzere,
i 4n – 2 + i 8n – 3
işleminin sonucu nedir?
i 12n – 4
4.
1.
işleminin sonucu nedir?
ESEN YAYINLARI
1.
4.
i 13 + i 14
i – 13 – i – 14
işleminin sonucu nedir?
n ∈ N olmak üzere,
i 4n + 1 .i 3n + 4
işleminin sonucu nedir?
i 7n + 2
356
5.
f(x, y) = x3 + y2 – xy + 2 ise f(i, – i) nedir?
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 20
REHBER SORU 21
z = i2 + i4 + i7 ise Re(z) ve Im(z) değerlerini
z1 = a + 1 + 2i, z2 = 5 + (b – 1)i ve z1 = z2 ise
bulunuz.
a.b kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
z = 2 + 3i ve w = 1 – i ise
1.
Re(z) + Im(w) kaçtır?
2.
z = 4 – c– 4 ise Re(z) + Im(z) kaçtır?
3.
z=
4.
z= 1 – i
2i 2
5.
z = w ise a + b kaçtır?
z = x + i – y, w = 4 – xi ve z = w ise x.y kaçtır?
ise Im(z) kaçtır?
3.
2a + b + i – 2 = 3 – bi ise a + b kaçtır?
ise Re(z) + Im(z) kaçtır?
4.
z1 = 3 + 2i ve z2 = a – b + bi karmaşık sayıları
z = i + i2 + i3 + ..... + i61 + i62 ise Re(z) + Im(z)
ESEN YAYINLARI
2.
2 – –2
2
kaçtır?
z = a – 1 + i, w = 2a + 1 + (b – 1)i ve
eşit ise a + b kaçtır?
5.
z = x – y + 1 ve w = 3 + yi karmaşık sayıları
eşit ise x + y kaçtır?
357
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 22
REHBER SORU 23
x2 – 2x + 10 = 0
z = 2 + 3i karmaşık sayısı ile eşleniğini kompleks
düzlemde gösteriniz.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
1.
–
z = –1 + i ise z nedir?
2.
–
z = i + 2 ise z nedir?
–
2+i
ise z nedir?
3
3.
z=
4.
–
z = 1 + v2 – 3i ise z nedir?
5.
–
z = 5i ise z nedir?
358
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
x2 + x + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2.
x2 + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
3.
x2 + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
4.
x2 – 4x + 13 = 0 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
5.
x4 + 3x2 = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 24
REHBER SORU 25
Köklerinden biri 1 + 2i olan reel kat sayılı ikinci
z = 1 + i ve w = 3 – 4i ise
dereceden denklemi bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
z
nedir?
w
Köklerinden biri 1 – i olan reel kat sayılı ikinci
1.
z = 1 + i ve w = 2 + i ise z.w nedir?
2.
z = 2 – i ve w = 3 + 4i ise 2z – 3w nedir?
3.
z1 = i ve z2 = 1 + i ise
4.
–
z1 = 3 + 2i ve z2 = 2 – i ise z1 – z2 nedir?
5.
^ 2 + ih^ i 3 + 1h
işleminin sonucu nedir?
i–1
2.
Köklerinden biri i olan reel kat sayılı ikinci dereceden denklem nedir?
3.
Köklerinden biri –2i + 1 olan reel kat sayılı ikinci
ESEN YAYINLARI
dereceden denklem nedir?
z1
z2
nedir?
dereceden denklem nedir?
4.
Köklerinden biri 2 + v3 olan rasyonel kat sayılı
ikinci dereceden denklem nedir?
5.
x3 – 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
359
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 26
(1 + i)
7
REHBER SORU 27
–
z + 2.z = 6 + i
ifadesinin sonucu nedir?
olduğuna göre, Re(z) + Im(z) nedir?
Çözüm
Çözüm
(1 – i)4 ifadesinin sonucu nedir?
2.
(1 – i)7 ifadesinin sonucu nedir?
3.
^ 1 + ih10
^ 1 – ih9
1.
ESEN YAYINLARI
1.
2.
–
2.z + z = 12 + 6i ise z karmaşık sayısı nedir?
z = 2 + i olmak üzere,
–
z.(1 – i) = n + z eşitliğini sağlayan n reel sayısı
kaçtır?
ifadesinin sonucu nedir?
3.
–
z.(1 – i) = 2 + z ise z karmaşık sayısı nedir?
4.
(2 + 2i)5.(2 – 2i)6 ifadesinin sonucu nedir?
4.
–
z –1
= 1 – i ise Re(z) + Im(z) nedir?
z
5.
1 + i 1– i
ifadesinin sonucu nedir?
+
1– i 1 + i
5.
z+1
= 1 + i ise z karmaşık sayısı nedir?
z
360
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 28
2
2
Çözüm
2
2
y = x , y = 2x , y = –x , y = –2x
fonksiyonlarının
grafiklerini çiziniz.
1.
y = 3x2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2.
y=
3.
y = 4x2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y = –3x2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
5.
y=–
6.
y = –4x2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
3
ESEN YAYINLARI
x2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2
4.
361
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 29
Çözüm
2
y = 2x – 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y = x2 – 4 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
4.
y = 1 – x2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2.
y = 2x2 + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
5.
y = –2x2 – 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
3.
y = x2 + 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
6.
y = 4 – x2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
1.
362
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 30
Çözüm
2
f(x) = x – 2x – 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y = x2 – 4x – 5 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
4.
y = x2 – 4x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2.
y = –x2 – 2x + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
5.
y = x – x2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
3.
y = x2 – 2x + 5 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
6.
y = –x2 + x – 4 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
1.
363
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 31
Çözüm
2
y = 2(x – 1) – 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
1.
y = 2(x + 1)2 – 8 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
4.
y = –(x – 1)2 – 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2.
y = –3(x – 2)2 + 3 fonksiyonunun grafiğini çizi-
5.
y = –(x + 1)2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
6.
y = (x + 3)2 – 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
niz.
3.
y = 2(x – 2)2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
364
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 32
Çözüm
2
f(x) = 2x – mx + 1 fonksiyonunun grafiği A(1, 7)
noktasından geçiyorsa bu parabolün tepe noktasını
bulunuz.
1.
f(x) = 3x2 – 2mx + 1 fonksiyonunun grafiği
4.
2.
f(x) = 2x2 – mx + 2m – 6 fonksiyonunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı 2 ise m kaçtır?
3.
f(x) = (m – 1)x2 + 2x – m – 2 fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasından geçiyorsa m kaçtır?
sından geçiyorsa tepe noktasını bulunuz.
ESEN YAYINLARI
A(–1, 3) noktasından geçiyorsa m kaçtır?
f(x) = x2 + mx + m – 1 parabolü A(1, 2) nokta-
5.
f(x) = x2 – mx + 2m – 4 fonksiyonunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı 4 ise tepe noktasının koordinatları nedir?
6.
y = (a – 1)x2 – 4x + a + b – 1 parabolünün tepe
noktası T(1, –2) ise parabol y eksenini hangi
noktada keser?
365
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 33
Çözüm
2
y = x – 2x + m – 1 parabolü x eksenine teğet ise
m nedir?
1.
y = 2x2 – 4x + m – 2 parabolü x eksenine teğet
4.
2.
f(x) = (m – 1)x2 – 2x + 1 fonksiyonunun grafiği
y = 0 doğrusuna teğet ise m kaçtır?
3.
y = mx2 – 2x – 3 parabolü x eksenine teğet ise
m kaçtır?
tarafında teğet ise m kaçtır?
ESEN YAYINLARI
ise m kaçtır?
y = x2 + mx + 1 parabolü x eksenine pozitif
5.
y = x2 + (m + 1)x + 4 parabolü x eksenine
negatif tarafında teğet ise m kaçtır?
6.
y = –x2 + 6x + m + 1 parabolü x eksenini farklı
iki noktada kestiğine göre, m nin değer aralığı
nedir?
366
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 34
Çözüm
Aşağıdaki parabollerin simetri eksenlerini bulunuz.
a.
y = 2x2
b. y = 3x2 + 1
c.
y = x2 – 2x – 3
d. y = 2(x – 4)2 + 1
1.
y = x2 – 4x + 1 parabolünün simetri eksenini
4.
bulunuz.
y = x2 – (m – 2)x – m + 1 parabolünün simetri
ekseni x = 1 doğrusu ise parabolün y eksenini
2.
y = 2(x + 3)2 – 1 parabolünün simetri eksenini
bulunuz.
3.
y = 2x2 – (m + 1)x – 3 parabolünün simetri ekseni x = 3 doğrusu ise m kaçtır?
ESEN YAYINLARI
kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
5.
f(x) = x2 – (m + 1)x + 3 parabolünün x eksenine
en yakın noktasının apsisi –1 ise ordinatı kaçtır?
6.
f(x) = x2 + (m + 3)x + 1 fonksiyonunun grafiği
x = 5 doğrusuna göre simetrik ise f(–1) kaçtır?
367
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 35
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların varsa en büyük veya en
küçük değerlerini bulunuz.
a.
y = x2 – 2x – 3
b. y = –x2 – 4x + 1
1.
y = 2x2 – 8x + 1 fonksiyonunun en küçük değeri
5.
kaçtır?
f(x) = ax2 – 2ax + a + 2 fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır? (a > 0)
6.
x ∈ R olmak üzere, kenar uzunlukları (x – 1)
cm ve (12 – 4x) cm olan bir dikdörtgenin alanı
2.
y = –x2 + 2x – 3 fonksiyonunun en büyük değeri
en çok kaç cm2 dir?
ESEN YAYINLARI
kaçtır?
3.
7.
y = –x2 + 2x + 1 – m parabolünün en büyük
y = 3(x + 1)2 – 4 fonksiyonunun en küçük değeri
değerine eşit olduğuna göre, m nin alabileceği
kaçtır?
değerler kümesi nedir?
8.
4.
y = x2 – mx + 2 parabolünün en küçük değeri,
f : [0, 6] → R
A = (1 – b)(b – 3) ise A nın en büyük değeri
f(x) = x2 – 4x + 6 fonksiyonunun alabileceği kaç
kaçtır?
farklı tam sayı değeri vardır?
368
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 36
Çözüm
Yanda grafiği
y
verilen fonksiyonun
kuralını bulunuz.
–1
0
2
x
–4
4.
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların kuralla-
y
rını bulunuz.
y
1.
1
–1
–3
x
1
0
–4
x
3
0
–4
–2
ESEN YAYINLARI
5.
2.
y
2
–1
2
0
x
y
1
–2
0
6.
3.
x
2
y
y
–5
–1
1
0
x
–1
0
–2
x
–2
369
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 37
Çözüm
Yanda grafiği
y
verilen fonksiyonun
4
kuralını bulunuz.
2
0
1
x
4.
Aşağıda grafikleri verilen parabollerin denklemi-
y
ni bulunuz.
1.
1
x
0
y
–2
1
0
–1
–2
T(1, –2)
x
T(1, –2)
5.
y
3
T(1, 3)
1
x
0 1
3.
2
x
0
y
T(–2, 0)
3
370
–1
6.
y
0
y
T(–1, 2)
ESEN YAYINLARI
2.
0
T(2, 0)
x
–3
x
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 38
Çözüm
y
2
O
A
x
B
T(2, k)
Yukarıdaki grafiği çizilmiş olan parabolün tepe noktası T(2, k) dır. |OB| = 3|AO| ise A noktasının
apsisi kaçtır?
1.
3.
y
–2 O
A
3
–1 O
A
x
B
T(–2, k)
y
B
x
–3
k
T
Şekildeki parabolün tepe noktası T dir.
Yukarıda grafiği çizilmiş olan parabolün tepe
A(–1, 0), B(3, 0) ise A(OTB) kaç br2 dir?
noktası T(–2, k) dır.
2.
ESEN YAYINLARI
|AO| = 3|OB| ise B noktasının apsisi kaçtır?
y
y
4.
y = x 2 – 6x + m
2
y = x – 6x + m
T
A
O
B
x
O
Yukarıda grafiği çizilmiş olan parabolün denklemi
2
A(8, 0)
x
Şekildeki parabolün denklemi y = x2 – 6x + m
y = x – 6x + m dir.
dir. T tepe noktası ve A(OTA) = 20 br2 ise m
|OB| = 5|OA| ise m kaçtır?
kaçtır?
371
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 39
Çözüm
2
y = x – 2x + 3 parabolü ile y = –x + 5 doğrusunun
kesim noktasını bulunuz.
1.
y = x2 – x + 2 parabolü ile y = 4 doğrusunun
5.
kesim noktalarını bulunuz.
y = x2 + 2x + 4 ve y = x2 + x + 2 parabollerinin
kesişim noktasının koordinatlarını bulunuz.
6.
y
y = x2
y = 2x
D
2.
C
y = x2 – x + 1 parabolü ile x = 2 doğrusunun
kesim noktasını bulunuz.
A
O
x
B
ESEN YAYINLARI
Yukarıda verilen y = x2 parabolü ile y = 2x doğ-
3.
rusunun grafiklerine göre, ABCD dikdörtgeninin
alanı kaç br2 dir?
y = x2 + x + 1 parabolü ile y = 3x + 4 doğrusunun kesim noktalarını bulunuz.
7.
y
x
0
y = –x2 + bx + c
x+y=2
Yukarıda verilen y = –x2 + bx + c parabolü ile
4.
y = x2 – x + m – 1 parabolü ile y = x – 2 doğrusu
kesişmiyorsa m nedir?
372
x + y = 2 doğrusunun grafiklerine göre,
b + c kaçtır?
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 40
Çözüm
2
y = x – 3x + m – 1 parabolü y = x – 1 doğrusuna
teğet ise m kaçtır?
1.
y = x2 – 6x + m parabolü y = 2 doğrusuna teğet
4.
olduğuna göre, m kaçtır?
y = x2 – mx + 2 parabolü y = x + 1 doğrusuna
teğet ise m nin alabileceği değerler çarpımı
2.
y = x2 – 4x + m parabolü y = 2 – x doğrusuna
teğet ise m kaçtır?
3.
y = x2 – 2x + m – 1 parabolü y = 2 doğrusuna
teğet ise m kaçtır?
ESEN YAYINLARI
kaçtır?
5.
y = x2 + mx + m + 1 parabolü y = x + 2 doğrusuna teğet ise m nin alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
6.
f(x) = x2 – 3x + 6 parabolünün g(x) = 5x – 10
doğrusuna teğet olduğu noktanın ordinatı kaçtır?
373
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
REHBER SORU 41
Çözüm
2
y = x – 3x + 1 parabolü ile y = 5 – x doğrusunun
kesim noktaları A ve B ise [AB] nin orta noktasını
bulunuz.
2.
y = x2 – x + 2 parabolü ile y = 1 + 2x doğrusu-
y = x2 – x – 3 parabolü ile y = 2x + 1 doğru-
nun kesim noktası A ve B ise [AB] nin orta
sunun kesim noktaları arasındaki uzaklık kaç
noktasını bulunuz.
birimdir?
y = x2 – mx + 1 parabolü ile y = x – 1 doğrusunun kesim noktaları A ve B dir. [AB] nin orta
noktasının apsisi 3 ise m kaçtır?
3.
4.
y = x2 – 2mx – 1 parabolü ile y = 2x + 1 doğrusunun kesim noktaları A ve B dir. [AB] nin
orta noktasının apsisi –2 ise m kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1.
5.
y = –x2 + (a + 2)x – 3 parabolünün tepe noktasının y eksenine olan uzaklığı 4 birim olduğuna
göre, a nın alabileceği değerler kümesi nedir?
6.
f(x) = mx2 – 4mx + c parabolünün x eksenini
kestiği noktaları arasındaki uzaklığı 10 br olduğuna göre, f(x) = 0 denkleminin kökler çarpımı
kaçtır?
374
TEST 1.
1
2. Dereceden Denklemler
x–5
6
+
=0
x + 1 x2 + x
5.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) {–1, 2}
B) {0, 2}
D) {2, 3}
2.
A) {3}
C) {0, 3}
denkleminin çözüm kümesi
B) {7}
D) {–3}
E) {–1, 3}
x+5 x+2
+
=0
x –1 x+1
kaçtır?
6.
denkleminin kökler toplamı
C) {–3, 17}
E) {5}
mx2 – (m – 3)x + 4 = 0 denkleminin köklerinden
birisi 2 ise m kaçtır?
B) – 7
2
C) 3
2
D) –
3
2
A) –5
E) – 2
7
B) –4
C) 0
D) 4
E) 5
ESEN YAYINLARI
A) 7
2
2 2x + 15 + x = 3
aşağıdakilerden hangisidir?
3.
x2 + 3x – 40 = 0 denkleminin çözüm kümesi
7.
aşağıdakilerden hangisidir?
x2 – 4x – 4 = 0 denkleminin köklerinin üçer eksiğinin çarpımı kaçtır?
A) {3, –5}
B) {5, 2}
D) {–5, 8}
4.
C) {–5, 6}
A) 19
E) {5, –8}
(x 2 – 3x – 10) . (x – 2)
= 0 denkleminin çözüm
x2 – 4
B) 1
C) 2
C) –25
D) –10
E) –7
3ax2 – 4ax + a + 1 = 0 denkleminin birbirine eşit
iki kökü olduğuna göre a kaçtır?
kümesi kaç elemanlıdır?
A) 0
8.
B) 17
D) 3
E) 4
A) 3
B) 1
C) –1
D) –2
E) –3
375
Çarpanlara Ayırma
9.
x2 – mx + 2m – 1 = 0 denkleminin köklerinin
çarpmaya göre terslerinin toplamı 1 ise m aşa3
ğıdakilerden hangisidir?
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
13. x2 + (a + 5)x – 5 = 0 denkleminin köklerinin
ikişer eksiğini kök kabul eden denklem
x2 – (a – 1)x + b = 0 ise a kaçtır?
A) –6
E) –2
B) –5
C) –4
D) –3
E) –2
14. Bir dikdörtgenin farklı iki kenarının uzunlukları
x2 – (a + 3)x + a + 6 = 0 denkleminin köklerine
2
10. mx – (m + 1)x + 3m + 2 = 0 denkleminin kökler
eşittir. Dikdörtgenin köşegen uzunluğu
toplamı kökler çarpımının iki katına eşit ise kökler çarpımı kaçtır?
B) –
4
3
C) – 13
3
D) 16
3
A) 2
E) 19
3
ESEN YAYINLARI
A) – 1
3
c29
ise a ∈ Z+ kaçtır?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
15. x2 – 6x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 – x2 = 8 ise kökleri a + 5 ve a + 3 olan ikinci
11. –2x2 – (2m + 1)x + 2 = 0 denkleminin simetrik iki
kökü varsa m ne olmalıdır?
A) 2
B) 1
C)
1
2
D) 0
E) – 1
2
dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + 4x – 12 = 0
B) x2 + 6x + 8 = 0
C) x2 – 4x + 12 = 0
D) x2 – 6x – 8 = 0
E) x2 –12x + 8 = 0
16. x2 + 2x – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
12. x2 – (4 – p)x – 2 = 0 ve x2 – px + 8 = 0
denklem aşağıdakilerden hangisidir?
denklemleri veriliyor.
İkinci denklemin kökleri birinci denklemin köklerinden beşer fazla ise p kaçtır?
A) 6
376
B) 7
C) 8
Kökleri x1 – 2 ve x2 – 2 olan ikinci dereceden
D) 9
E) 10
A) x2 + 6x + 6 = 0
B) x2 – x – 1 = 0
C) x2 – 6x + 5 = 0
D) x2 + x – 6 = 0
E) x2 + 6x – 4 = 0
TEST 1.
Karmaşık Sayılar
i2 = –1 olmak üzere,
i
1990
1993
+i
A) i
2.
5
1996
+i
B) – i
5.
toplamının sonucu kaçtır?
C) –1
D) 1 + i
A) 3
2
E) 2i
1+i
ise Re(z) aşağıdakilerden hangisine
1– i
eşittir?
6.
z=
A) 0
B) –1
C) 1
D) 2
1
1
1
+
+ = a + bi ise a + b kaçtır?
i 1+i 2
B) 1
2
D) –
3
2
E) –1
1– i
sayısının çarpmaya göre tersi aşağıda3–i
kilerden hangisidir?
z=
A) 2 + i
E) –2
C) – 1
2
B) 2 – i
E) 3 + i
ESEN YAYINLARI
D) 1 – i
C) 1 + i
3.
(1 – 2i)a + (1 + 2i)b = 1 – 4i ise
A) –2
B) –3
C) 1
a
kaçtır?
b
D) 2
7.
z = a + bi olmak üzere,
3z – 5 = 1 – 3i ise a – 2b kaçtır?
E) 4
A) 4
4.
2+i 2–i
işleminin sonucu kaçtır?
+
1 + i 1– i
A) 1
B) 3
C) i
D) 2i
8.
E) 3 + i
B) 3
C) 2
D) 0
E) –1
(1 + i)2 + (1 – i)2 + i5 toplamının sonucu kaçtır?
A) – i
B) –1
C) 0
D) 1
E) i
383
Çarpanlara Ayırma
9.
13. (1 – i) (1 – i3) (1 – i5) (1 – i7) (1 – i9) (1 – i11)
1– i 1 1 + i
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
+ +
1 + i i 1– i
hangisidir?
çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 4
A) 1 + i
B) –1 – i
D) 2 + i
C) – i
D) 1 – i
E) 8i
14. (i29 – 1) (i18 + 1) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
gisine eşittir?
B) –8
C) 16
D) –16
A) –1
E) 64
B) 2i – 2
11. z = 1 + i ise z6 – z–6 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) –
B) –8i
D) –
63i
8
65i
8
E) –6i
C) i + 1
E) i
ESEN YAYINLARI
D) 0
A) –16i
C) 1 + i
E) 1 – i
10. z = 1 – i olmak üzere z8 aşağıdakilerden han-
A) 6
B) 8
15.
^ 2 – 2ih4 + ^ 2 + 2ih4
ifadesinin sadeleşmiş biçimi
^ i – 1h4
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 16i
B) 32i
C) 16
D) 32
E) 64
12. z = 2 + 3i olmak üzere,
6
z–z
n
z+z
sidir?
d
A) –
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangi16. z1 ve z2 birer karmaşık sayı olmak üzere,
z1 + (1 + i)6 = (z2)6 ve z2 = 1 – i ise
729
64
D)
384
B) –
243
2
729
i
64
E) – i
C)
729
i
64
Re(z1) + Im(z1) kaçtır?
A) –16
B) –8
C) 8
D) 16
E) 64
TEST 1.
7
Parabol
f(x) = (m + 1)x2 + 2mx + m – 3 parabolü
5.
A(2, 10) noktasından geçiyorsa m kaçtır?
simetri ekseni x = –4 doğrusu ise m kaçtır?
A) 1
A)
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6.
2.
f(x) = (m – 1)x2 + (m – 2)x + 3 parabolünün
f(x) = x2 – 4x – 7 parabolünün tepe noktasının
6
7
B) 5
7
C) 7
6
D) –
7
5
E) – 6
7
y = x2 – 4x + a + 2 ve y = –3x2 + 3 parabollerinin teğet olmaları için a kaç olmalıdır?
koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
A) (1, –9)
B) (2, –10)
C) 1
D) 2
E) 4
E) (2, –11)
ESEN YAYINLARI
D) (1, –10)
B) –1
C) (2, –9)
7.
f(x) = x2 – 4x – m + 1 fonksiyonunun grafiğinin
daima x ekseninin üstünde olması için m aşa-
3.
2
ğıdaki koşullardan hangisini sağlamalıdır?
f(x) = 2x – 5x + 2 parabolünün x eksenini kestiği noktaların apsisleri nedir?
A) m > 0
1
A) ' 2, – 1
2
1
B) ' 1, 1
2
D) ' –1,
1
1
2
1
C) ' –2, 1
2
E) ' 2,
D) m > –3
C) m < –3
E) –3 < m < 0
1
1
2
8.
4.
B) m < 0
a, b ∈ R olmak üzere,
f(x) = (m + 2)x + 2mx + m – 3 parabolünün tepe
y = ax2 + bx + c ve y = bx2 + ax + d fonksiyon-
noktası Ox ekseni üzerinde olduğuna göre m
larının grafikleri x = x1 ve x = x2 apsisli nokta-
kaçtır?
larda kesiştiğine göre x1 + x2 toplamı kaçtır?
2
A) 1
B) 2
C) –3
D) – 4
E) –6
A) –1
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
387
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
9.
Grafikte verilen
12.
y
y = f(x) parabolüne
y
y = f(x)
göre f(5) kaçtır?
1
3
0
0
x
4
2
x
–4
–3
A) 7
B) 8
C) 9
y = f(x)
T
D) 10
Yukarıda f : R → R, f(x) = ax2 + bx + c
E) 12
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f(x) in en büyük değeri kaçtır?
A) 1
10. Yanda grafiği verilen
B)
1
2
C)
3
2
D) 2
E)
7
2
y
y = ax2 + bx + c
parabolü için aşağı13. m ∈ R+ için taban uzunluğu m ve bu tabana ait
doğrudur?
x
0
A) b > – 2a
B) a < 0
D) b2 < 4ac
C) ac < 0
ESEN YAYINLARI
dakilerden hangisi
yüksekliği (10 – 2m) olan bir üçgenin alanının
en çok olması için m kaç olmalıdır?
A)
3
2
B) 2
C)
5
2
D) 3
E)
7
2
E) b = 2cac
14. y = x doğrusunun f(x) = –x2 + bx + c parabo11.
lüne teğet olduğu noktanın apsisi 3 ise b + c
y
toplamı kaçtır?
a
A
A) –4
r
O
k
C
B
B) – 3
C) –2
D) –1
E) 0
x
T(r, k)
Şekildeki parabolde tepe noktası T(r, k)
r
kaçtır?
|AO| = |OB| = |BC| ve A(0, a) ise
k
A) –12
B) –9
C) – 8
D) – 6
E) –4
15. y = 2x – 1 doğrusu f(x) = x2 + 6x + m + 1 parabolüne teğet olduğuna göre m kaçtır?
A) 2
388
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
x2 – 8x + c = 0 denkleminin köklerinin kareleri
4.
toplamı 36 ise c kaçtır?
f(x) = ax2 + bx + c parabolü üzerindeki A(1, n)
ve B(9, n) noktaları verilmektedir. Buna göre,
parabolün tepe noktasının apsisi nedir?
2.
x2 – x + c = 0
5.
y
2
3x – 5x + 3c + 4 = 0
denkleminin birer kökleri ortak olduğuna göre
ESEN YAYINLARI
c kaçtır?
0
A
B
x
Şekildeki f(x) = x2 – 8x + n – 2 parabolünde
|AB| = 6 br ise n kaçtır?
3.
x2 – 3x – 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
3
3
olan ikinci dereceden denkve
x1
x2
lem nedir?
Kökleri
6.
y = x + 3 doğrusu, f(x) = x2 + 2x + a + 1 parabolüne teğet olduğuna göre a kaçtır?
393
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
7.
(a + 1)x2 – 2ax + a – 5 = 0 denkleminin kökle-
9.
rinden biri 2 ise diğeri kaçtır?
z = (2 + i)2 – (2 – i)2 ise Re(z) kaçtır?
394
maşık sayısını bulunuz.
ESEN YAYINLARI
8.
z + 2 = z (2 – i) – 2i eşitliğini sağlayan z kar-
10. z = i–1 + i–2 + ..... + i–19 ifadesinin eşitini bulunuz.
I.
II.
III.
Sol sütunda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulup sağ sütundakilerle eşleştiriniz.
1.
x2 – 3x = x
a.
{–1, 2}
2.
x2 – x – 2 = 0
b.
' –3,
3.
2x2 + 3x – 9 = 0
c.
)
4.
x2 + 2x – 4 = 0
d.
{–1 + v5, –1 – v5}
5.
x2 – 3x + 1 = 0
e.
{0, 4}
3
1
2
3+ 5 3– 5
3
,
2
2
Sol sütunda verilen karmaşık sayıların eşleniğini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
1.
3 – 2i
a.
–1 – 2i
2.
2i – 1
b.
3 + 2i
3.
1 + 2i
c.
1 – 2i
4.
–3 – 2i
d.
–3 + 2i
Sol sütunda verilen fonksiyonların grafiklerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
1. f(x) = x2 – 6x + 8
a.
y
–1
0
1
x
–3
2. f(x) = 3x2 – 3
y
b.
9
–1
5
0 2
3. f(x) = –x2 + 4x + 5
x
y
c.
0
3
x
–1
395
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
SOLDAN SAĞA
5.
YUKARIDAN AŞAĞIYA
İkinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonun en
büyük ya da en küçük değerini aldığı nokta.
6.
Kök içinde bilinmeyen bulunan denklem.
8.
İki veya ikiden fazla sayıyı çarpan sayı.
10.
Parabolde x = –
11.
b
doğrusu.
2a
1.
Gerçekte yeri olmayıp zihinde tasarlanan, tahmini
2.
Bir denklemin köklerinin oluşturduğu küme.
3.
İkinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminde
∆ = b2 – 4ac değeri.
4.
Aynı özellikleri olan noktaların oluşturduğu çizgi
veya yüzey
2
ax + bx + c = 0 denklemindeki a, b ve c reel sayıları.
6.
Karmaşık
13.
İkinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyon grafiği.
7.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi göstermeye yarayan
15.
Bir karmaşık sayının reel eksene göre simetiriği
16.
Sanal
çizgisel anlatım şekli
9.
Cebirde bir denklemin kat sayılarına giren değişken
nicelik.
12.
18. yüzyılın önde gelen matematikçilerinden biri
14.
a ≠ 0 olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 denkleminin
derecesi.
396
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1.
.......................................... kat sayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin bir kökü a + vb ise
diğeri a – vb dir.
2.
Kökler toplam T ve kökler çarpımı Ç olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ..................... dır.
3.
ax2 + bx + c = 0 denkleminde .................................... ise farklı iki kök vardır.
4.
y = f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunda .................................... ise grafiğin kolları yukarı doğrudur.
5.
Parabol x = .................................... doğrusuna göre simetriktir.
6.
a ≠ 0 olmak üzere, ax2 + bx = 0 denkleminin çözüm kümesi .................................... dır.
7.
Denklemin .................................... denklemi sağlar.
8.
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise x1 + x2 = .................................... ve
x1.x2 = .................................... dır.
9.
Karesi –1 olan sayıya .......................................... sayı birimi denir.
10. Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği .......................................... eşittir.
11. Reel kat sayılı ikinci dereceden bir denklemin bir kökü z ise diğer kökü .......................................... dir.
12. z = a + bi yazılışına karmaşık sayının .......................................... yazılışı denir.
13. Bir karmaşık sayının reel eksene göre simetriğine bu sayının .......................................... denir.
14. a + bi karmaşık sayısının .......................................... işlemine göre tersi –a – bi dir.
15. i nin ardışık .......................................... kuvvetinin toplamı sıfırdır.
397
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
İkinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminde, b2 – 4ac = 0 ise denklem bir tam karedir.
2.
İkinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminde, b2 – 4ac < 0 ise reel kök yoktur.
3.
P (x)
= 0 ⇒ P(x) = 0 ∧ Q(x) ≠ 0 dır.
Q (x)
4.
Rasyonel kat sayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin bir kökü a + vb ise diğeri
a – vb dir.
5.
Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem (x + x1)(x + x2) = 0 biçiminde yazılabilir.
6.
a > 0 ise f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin kolları aşağı doğrudur.
7.
a ≠ 0 olmak üzere, f(x) = a(x – r)2 fonksiyonunun grafiği x eksenine teğettir.
8.
a ≠ 0 olmak üzere, f(x) = ax 2 + bx + c fonksiyonunun grafiği x = –
– 1 . – 4 = 2 dir.
9.
10.
m, n ∈ R+ ise
m . n = m.n
11.
m, n ∈ R– ise
m . n = – m.n
12.
z1 + z2 = z1 + z2
13.
Bir karmaşık sayı ile eşleniği reel eksene göre simetriktir.
398
b
doğrusuna göre simetriktir.
2a
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1995 – ÖYS
5.
1997 – ÖYS
i = c–1 ve n pozitif tam sayı olmak üzere,
y
i 8n – 1 + i 4n
ifadesinin kısaltılmış biçimi, aşağıi 4n – 1
dakilerden hangisidir?
A) i
B) i + 1
C) i – 1
D) 1
0
K
x
L
f(x) = Ðx2 + 5x Ð 3m Ð 1
E) 2
Yukarıdaki şekilde, denklemi
2.
y = –x2 + 5x – 3m – 1 olan fonksiyonun grafiği
1996 – ÖYS
T(−
verilmiştir. |OL| = 4.|OK| olduğuna göre m kaç-
y
5
, 5)
2
tır?
(0, 4)
A) –2
6.
5
, 5 m ve y eksenini kestiği nokta, A(0, 4)
2
2
tür. Bu parabolün denklemi, y = ax + bx + c
olduğuna göre, b kaçtır?
3.
5
4
B) –
4
5
C) –
3
2
D) 1
2
göre,
z. u
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
6 + 3i
A) –2
B) –1
1 + 2i
D)
3
7.
y
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
A) 1
1
1
toplamı kaçtır?
+
2 – x1 2 – x2
B) 2
11
D)
5
C) 2
1 – 2i
E)
3
1998 – ÖYS
4x2 – 5x – 1 = 0
C) 9
4
E) 3
1997 – ÖYS
E) 3
5
1997 – ÖYS
Buna göre,
D) 2
z = 2 + 4i ve u = 3i karmaşık sayılar olduğuna
ESEN YAYINLARI
Şekilde grafiği verilen parabolün tepe noktası,
A) –
C) 1
x
0
Tc–
B) –1
A
B(4, 0)
x
13
E)
5
C(0, Ð 4)
4.
Şekilde verilen parabolün denklemi
1997 – ÖYS
y = x2 + bx + c olduğuna göre, A(x, 0) noktası-
y = ax2 – 8x + 2a – 4
eğrisi, x eksenine teğet olduğuna göre, a aşağı-
nın apsisi (x) kaçtır?
dakilerden hangisi olabilir?
A) –5
400
B) –3
C) –2
D) 3
E) 6
A) –1
B) –2
C) –
1
2
D) –
3
2
E) –
5
2
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
8.
1998 – ÖYS
12. 2007 – ÖSS
(x2 – x – 2)(x + 5) = 0
a ≠ –1
2
olmak üzere, (a + 1)x – 2(a + 7)x + 27 = 0
denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
denkleminin kökleri eşit olduğuna göre, a nın
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 15
B) 13
C) 11
A) 3
D) 10
B) 1
C) –2
D) – 4
E) –6
E) 9
13. 2008 – ÖSS
x2 – ax + 16 = 0
9.
1999 – ÖSS
a
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
pozitif bir gerçek (reel) sayı olmak üzere,
1
+ x 2 = 5 olduğuna göre, a kaçtır?
x1
kenarları a cm ve (8 – 2a) cm olan dikdörtgenin alanı en çok kaç cm2 olur?
A) 64
B) 32
C) 24
A) 10
D) 16
y
ESEN YAYINLARI
f(x)
3
0
D) 15
E) 17
denklemini sağlayan x gerçel sayılarının toplamı
kaçtır?
A) –2
C) 0
D) 1
E) 2
15. 2009 – ÖSS
eksenine (1, 0) noktasında teğet olan ve (0, 3)
noktasından geçen paraboldür. Buna göre, f(3)
x2 – 2x – 4 = 0
denkleminin kökleri m1 ve m2 dir.
Buna göre, aşağıdaki denklemlerden hangisinin
kökleri
kaçtır?
C) 6
B) –1
x
1
f(x) fonksiyonunun grafiği, şekildeki gibi Ox
B) 4
C) 14
14. 2009 – ÖSS
2
3
1+ – 2 = 0
x x
10. 2006 – ÖSS
A) 3
B) 12
E) 8
D) 7
E) 12
1
1
dir?
ve
m1
m2
A) 2x2 – x + 4 = 0
B) 2x2 + x + 1 = 0
C) 4x2 + 2x – 1 = 0
D) 4x2 + 3x – 4 = 0
E) 8x2 – 3x + 4 = 0
11. 2007 – ÖSS
(x – 2)(x + 2)(x + 5) = (x – 1)(x + 1)(x + 4)
denklemiyle aşağıdaki denklemlerden hangisinin çözüm kümesi aynıdır?
3
2
16. 2010 – LYS
b ve c gerçel sayılar olmak üzere,
P(x) = x2 + bx + c polinomunun bir kökü 3 – 2i
2
A) x + 5x + 4x = 0
B) x – 3x – 16 = 0
karmaşık sayısıdır.
C) x2 – 4x + 24 = 0
D) 3x + 16 = 0
Buna göre, P(–1) kaçtır?
E) 5x – 4 = 0
A) 5
B) 10
C) 20
D) 25
E) 30
401
2. Dereceden Denklem ve Fonksiyonlar
17. 2010 – LYS
21. 2012 – LYS
z ile z nin eşleniği gösterildiğine göre,
P(x) = x2 – 2x + m
z = 2 + i karmaşık sayısı için,
z
z –1
Q(x) = x2 + 3x + n
polinomları veriliyor.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Bu iki polinom ortak bir köke sahip ve P(x) poli-
A)
1 3
+ i
2 2
B)
2 3
– i
3 2
D) 2 – 3i
nomunun kökleri eşit olduğuna göre, m + n top-
C) 1 + 3i
lamı kaçtır?
E) 3 + i
A) –5
B) –3
C) 2
D) 4
E) 5
22. 2013 – LYS
k bir pozitif gerçel sayı olmak üzere,
18. 2011 – LYS
2x2 + kx – 1 = 0
2
f(x) = x – 2x + 3
denkleminin kökleri farkı 2 olduğuna göre, k kaç-
fonksiyonunun grafiği a birim sağa ve b birim
2
tır?
aşağı ötelenerek g(x) = x – 8x + 14 fonksiyonunun grafiği elde ediliyor. Buna göre, |a| + |b|
A) 1
ifadesinin değeri kaçtır?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
19. 2011 – LYS
Baş katsayısı 1 olan, – i ve 2i karmaşık sayılarını kök kabul eden dördüncü dereceden gerçel
B) 4
C) 6
D) 7
D) 2 2
E)
3
23. 2013 – LYS
y
f(x) = x2 – 2x + 1
9
katsayılı P(x) polinomu için P(0) kaçtır?
A) 2
2
C)
ESEN YAYINLARI
A) 4
B) 2
x
O
g(x) = –x2 + bx + c
E) 8
Yukarıda grafiği verilen f(x) ve g(x) parabolleri
birbirlerini tepe noktalarında kesmektedir.
Buna göre, g(0) değeri kaçtır?
20. 2011 – LYS
z = a + bi (b ≠ 0) ve w = c + di karmaşık sayıla-
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
rı için z + w toplamı ve z.w çarpımı birer gerçel
sayı olduğuna göre,
24. 2013 – LYS
I.
z ve w birbirinin eşleniğidir.
z bir karmaşık sayı, Im(z) ≠ 0 ve z3 = –1 oldu-
II.
z – w gerçeldir.
ğuna göre,
III. z2 + w2 gerçeldir.
(z – 1)10
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
402
C) I ve III
E) I, II ve III
A) z + 1
B) z – 1
D) –z
E) –z – 1
C) z
POLİNOMLAR ve ÇARPANLARA AYIRMA
. ÜNİTE
6. ÜNİTE
6. ÜNİTE
6. ÜNİTE
Polinom Kavramı ve Polinomlarla İşlemler
1.
Kazanım
: Gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom kavramını açıklar.
2.
Kazanım
: Polinomlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapar.
3.
Kazanım
: Bir P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümünden kalanı bulur.
4.
Kazanım
: Katsayıları tam sayı ve en yüksek dereceli terimin katsayısı 1 olan polinomların tam
sayı sıfırlarının, sabit terimin çarpanları arasından olacağını örneklerle gösterir.
Polinomlarda Çarpanlara Ayırma
1.
Kazanım
: Gerçek katsayılı bir polinomu çarpanlarına ayırır.
Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri
1.
Kazanım
: Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi
ile ilgili uygulamalar yapar.
2.
Kazanım
: Polinom ve rasyonel denklemlerle ilgili uygulamalar yapar.
6. ÜNİT
POLİNOMLARDA DÖRT İŞLEM
POLİNOMLAR
® a0, a1, a2, ...., an reel sayılar , an ≠ 0 ve n
∈ N olmak üzere;
n
® Bölmede kalanın bulunması;
Bir P(x) polinomunun (ax – b) ile bölümünden
n–1
P(x) = an.x + an–1.x
2
+ ..... + a2.x + a1.x + a0
b
kalan K = P c m dır.
a
ifadesine reel kat sayılı, bir bilinmeyenli polinom (çok terimli) denir.
Bu polinomda;
® Bir polinomda x yerine 0 yazılırsa, o polinomun sabit terimi bulunur. x yerine 1 yazılırsa,
o polinomun kat sayılar toplamı bulunur. Örne-
® a0, a1, a2, ...., an kat sayılarıdır.
ğin,
® an baş kat sayıdır.
kat sayılar toplamı = P(3) tür.
® a0 sabit terimdir.
Sabit terim = P(0)
® P(x) polinomunun derecesi der[P(x)] ile gös-
Kat sayılar toplamı = P(1) dir.
terilir ve der[P(x)] = n dir.
® P(x) = a0 sabit polinomdur.
Sabit polinomun derecesi sıfırdır.
® P(x) = 0 sıfır polinomudur.
Sıfır polinomunun derecesi yoktur.
® Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin
kat sayıları eşit olan iki polinoma eşit polinomlar denir.
P(x + 2) polinomunda, sabit terim = P(2) ve
Bir P(x) polinomunda;
® P(x) polinomunun xn – a ile bölümünden kalanı bulmak için;
xn yerine a yazılır.
® P(x) polinomunun
x – a ile bölümünden kalan m ve
x – b ile bölümünden kalan n ise
(x – a).(x – b) ile bölümünden kalan;
K(x) = cx + d dir.
® P(x) polinomu (x – a).(x – b) çarpımı ile tam
bölünüyorsa, bu polinom (x – a) ve (x – b)
çarpanları ile ayrı ayrı tam bölünür.
POLİNOMLARIN DERECESİ
® der[P(x).Q(x)] = der[P(x)] + der[Q(x)]
® P(x) polinomu (ax + b)2 ile tam bölünebiliyorsa,
Pc –
b
b
m = 0 ve P › c – m = 0 dır.
a
a
(Pı(x) , P(x) in türevidir.)
® der =
P (x)
G = der [P (x)] – der [Q (x)]
Q (x)
® der[P(x)] > der[Q(x)] ise
der[P(x) ± Q(x)] = der[P(x)]
® der[P(x)]n = n.der[P(x)]
n
® der[P(x )] = n.der[P(x)]
®
404
P (x)
der [P (x)]
! der =
G
Q (x)
der [Q (x)]
® P(x) polinomu (ax + b)3 ile tam bölünebiliyorsa,
Pc –
b
b
b
m = 0 , P › c – m = 0 ve P ›› c – m = 0 dır.
a
a
a
(Pıı(x) , P(x) in ikinci türevidir.)
® P(x) polinomunun çift dereceli terimlerin kat
sayıları toplamı;
P (1) + P (–1)
dir.
2
Tek dereceli terimlerin kat sayılar toplamı;
P (1) – P (–1)
dir.
2
ÇARPANLARA AYIRMA
an ± bn BİÇİMİNDEKİ İFADELER
Toplam veya fark şeklindeki ifadelerin çarpım
® n tek doğal sayı ise,
şeklinde yazılmasına çarpanlara ayırma denir.
Çarpanlara ayırma için aşağıdaki yöntemler kul-
an + bn = (a + b).(an–1 – an–2.b + .... + bn–1)
lanılır.
® n doğal sayı ise,
® Ortak Çarpan Parantezine Alma
an – bn = (a – b) (an–1 + an–2.b + .... + bn–1)
Verilen ifadelerin her teriminde ortak bir çarpan varsa, ifade bu çarpan parantezine alınır.
A(x).B(x) ± A(x).C(x) = A(x).[ B(x) ± C(x) ]
ax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ İFADELER
® x2 + bx + c = (x + m) (x + n)
® Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma
(m + n = b , m.n = c oluyorsa)
Verilen ifadelerde ortak çarpanı olan terimler
bir araya getirilerek gruplanır ve ortak çarpan
parantezine alınır.
® ax2 + bx
a
+ c = (mx + d) (nx + e)
b
c
m
d
n
e
m.n = a
d.e = c
m.e + n.d = b oluyorsa.
ÖZDEŞLİKLERDEN YARARLANARAK
ÇARPANLARA AYIRMA
PASCAL ÜÇGENİ
® İki Kare Farkı
a2 – b2 = (a – b) (a + b)
® Tam Kare
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
RASYONEL İFADELERİN SADELEŞTİRİLMESİ
® İki Küp Toplamı ve Farkı
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
B(x) ≠ 0 olmak üzere,
A ( x)
B ( x)
şeklindeki ifadelere
rasyonel ifadeler denir.
A(x) ve B(x) çarpanlarına ayrılıp ortak çarpanlar
® n ∈ Z olmak üzere,
2n
(a – b)
2n
= (b – a)
2n–1
(a – b)
sadeleştirilerek
A ( x)
B ( x)
şeklindeki ifadenin sade-
leştirilmiş biçimi bulunur.
2n–1
= – (b – a)
405
Polinomlar
REHBER SORU 1
3
Çözüm
2
P(x) = x – 3x + 7x – 3 polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
1.
P(x) = x3 – 7x2 + 5x + 3 polinomunun x ile bölü-
5.
münden kalan kaçtır?
2.
P(x) = x4 + x2 + 2x – a + 3 polinomunun x + 2
ile tam bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?
P(x) = x4 – x2 + 2x – 1 polinomunun x + 1 ile
6.
nebildiğine göre, c kaçtır?
ESEN YAYINLARI
bölümünden kalan kaçtır?
P(x) = x2 + bx + c – 4 polinomu x ile tam bölü-
3.
P(x) = 4x2 – 2x + 3 polinomunun 2x – 1 ile
7.
bölümünden kalan kaçtır?
münden kalan 9 olduğuna göre, a kaçtır?
8.
4.
P(x) = ax2 – 2x + 3 polinomunun x + 1 ile bölü-
P(x) = x3 + ax2 – 2x + b – 1 polinomunun x – 1
P(x) = x3 – ax2 + 2x + 1 polinomunun x – 1 ile
ile bölümünden kalan –1 ise x + 1 ile bölümün-
bölümünden kalan 3 ise a kaçtır?
den kalan kaçtır?
406
Polinomlar
REHBER SORU 2
8
6
4
Çözüm
2
P(x) = x + 3x – x + x – 1 polinomunun
a.
x4 + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
b. x2 – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
1.
P(x) = x4 – 5x2 + 2 polinomunun x2 – 4 ile
5.
ile bölümünden kalan 2x – 1 ise a + b kaçtır?
bölümünden kalan nedir?
2.
P(x) = x4 – 3x3 – x2 + ax + b polinomunun x2 + 1
P(x) = x3 + 2x2 + x + 1 polinomunun x2 + 2 ile
6.
nomuna bölümünden kalan nedir?
ESEN YAYINLARI
bölümünden kalan nedir?
P(x) = x3 + x2 – 1 polinomunun x2 – x + 1 poli-
3.
P(x) = x18 + x6 – 3x2 – 1 polinomunun x3 + 2 ile
7.
bölümünden kalan nedir?
bölümünden kalan 3x + 2 ise a + b kaçtır?
8.
4.
36
P(x) = x
12
–x
P(x) = 2x3 – x2 + ax + b polinomunun x2 + 1 ile
6
+ 4 polinomunun x – 1 ile
P(x) = x4 – x3 – ax + b polinomunun x3 – 1 ile
bölümünden kalan 2x – 3 ise a + b kaçtır?
bölümünden kalan nedir?
407
Polinomlar
REHBER SORU 3
3
Çözüm
2
P(x) = x + 3x – 2x + 4 ve Q(x) = x + 2 ise P(x)
in Q(x) e bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı
bulunuz.
1.
P(x) = x3 + 2x2 + 3x + 1 polinomunun x2 – 1 ile
5.
bölümünden elde edilen bölümü bulunuz.
2.
bölümünden elde edilecek kalanı bulunuz.
6.
P(x) = x4 – 3x3 + x2 – 1 polinomunun x2 + 1 ile
ESEN YAYINLARI
P(x) = x3 – x2 + 2x + 3 polinomunun x – 2 ile
7.
P(x) = x2 + x + n polinomunun x2 + 1 ile bölümünden elde edilen kalan x + 4 ise n kaçtır?
bölümünden elde edilen bölümü bulunuz.
8.
4.
P(x) = x5 + 3x4 – x2 + 1 polinomunun x3 + 2 ile
bölümünden elde edilen bölümü bulunuz.
bölümünden elde edilen kalanı bulunuz.
3.
P(x) = 2x3 + x2 – 2x + 1 polinomunun x2 + 2 ile
P(x) = x3 + 2x2 + x – 3 polinomunun x2 + a ile
P(x) = x4 + x2 – 2x – 1 polinomunun x – 1 ile
bölümünden elde edilen kalan –x – 7 ise a
bölümünden kalanı bulunuz.
kaçtır?
408
Polinomlar
REHBER SORU 4
Çözüm
2
P(x) = x + x – 2 ise P(x – 1) polinomunun x – 2
ile bölümünden kalan kaçtır?
1.
P(x) = x3 + x2 – 1 ise P(x + 1) polinomunun
4.
2.
P(x) = x4 + 3x3 – x2 + 2 ise P(x – 1) polinomunun x ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
ESEN YAYINLARI
x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
5.
3.
P(x – 1) = x3 – x + 1 ise P(x + 1) polinomunun
x ile bölümünden kalan kaçtır?
6.
2
P(x + 2) = x2 – x + 3 ise P(x – 1) polinomunun
P(x + 1) = x2 + x + n polinomu x – 2 ile tam
P(x – 2) = x + 2x – 5 ise P(x) polinomunun
bölünebildiğine göre, P(x – 1) polinomunun x +
x + 1 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
2 ile bölümünden kalan kaçtır?
409
Polinomlar
REHBER SORU 5
Çözüm
12
P(x) = 2x m – 1 + 3x2 – 1 ifadesi bir polinom gösteriyorsa m yerine yazılabilecek tam sayı değerlerini
bulunuz.
6
P(x) = 2x m + 1 + 3xm–4 + 2 ifadesi bir polinom
gösterdiğine göre m nin alabileceği değerler
sayı değeri vardır?
toplamı kaçtır?
P(x) = 3x m – 2 + 4x2 + x – 1 ifadesi bir polinom
gösterdiğine göre m yerine yazılabilecek tam
sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
3.
4.
terdiğine göre, m nin alabileceği kaç farklı tam
8
2.
12
P(x) = x m + x2 – 3x + m ifadesi bir polinom gös-
P(x) = 5xm–2 + 2x3 – 4x8–m + 1 ifadesi bir polinom gösteriyorsa m nin alabileceği kaç değer
vardır?
410
ESEN YAYINLARI
1.
5.
P(x) = 4x
m+ 4
m
+ x – 5 ifadesi bir polinom göster-
diğine göre, m nin alabileceği kaç farklı tam sayı
değeri vardır?
m + 12
6.
P(x) = 3x m – 2 + 2x8–m + 1 ifadesi bir polinom
gösteriyorsa derecesi en çok kaçtır?
Polinomlar
REHBER SORU 6
Çözüm
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
der[P(x)] = 2 ve der[Q(x)] = 3 ise aşağıdaki polinomların derecelerini bulunuz.
a.
P(x3)
b. Q2(x3)
1.
c.
P(x).Q(x)
d.
P 3 (x)
Q (x)
4.
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
der[P(x)] = 4 ve der[Q(x)] = 6 ise
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
der[P2(x).Q(x)] = 8 ve der =
der[P(x + 1).Q2(x)] kaçtır?
P (x)
G = 1 ise
Q ( x)
der[P(x) + Q(x)] kaçtır?
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
der[P(x)] = 3 ve der[Q(x)] = 4 ise
der[P2(x3 + 1).Q3(1 – x)] kaçtır?
3.
ESEN YAYINLARI
2.
5.
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
der =
der 6P (x)@
P (x )
= 3 ise
G = 4 ve
Q (x)
der 6Q (x)@
der[P(x)] kaçtır?
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
der[P(x)] = 2 ve der[Q(x)] = 4 ise
Q 3 (x 2 + 1)
der > 2
H kaçtır?
4P (2x – 1)
6.
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
der[P2(x + 1)] = 6 ve der[Q(x4 + 1)] = 8 ise
der[P(x3).Q2(x2 – 1)] kaçtır?
411
Polinomlar
REHBER SORU 7
3
2
Çözüm
2
P(x) = x + x – 2x + 1 polinomunun x + x – 1 ile
bölümünden kalan nedir?
1.
P(x) = x3 – x2 + 3x – 2 polinomunun x2 – x + 2
4.
ile bölümünden kalan nedir?
P(x) = x4 – 3x3 + x2 – x + 1 polinomunun
x3 + x – 1 ile bölümünden kalan nedir?
3.
bölümünden kalan nedir?
P(x) = x3 + x2 – x + 1 polinomunun (x – 1)2 ile
bölümünden kalan nedir?
5.
ESEN YAYINLARI
2.
P(x) = x3 + x2 + 3x + 1 polinomunun x2 + x ile
P(x) = x3 + ax2 – 2x – b + 1 polinomunun
x2 – x – 1 ile tam bölünebilmesi için a + b kaç
olmalıdır?
6.
P(x) = x3 – x2 + ax + b – 2 polinomunun
x2 + x – 3 ile bölümünden kalan 2x – 1 ise
a.b kaçtır?
412
Polinomlar
REHBER SORU 8
a.
3
2
Çözüm
2
P(x) = x + x + ax + b polinomu x – 3x + 2 ile
tam bölünebiliyorsa a.b kaçtır?
b.
P(x) polinomunun x2 – 9 ile bölümünden
kalan 2x + 5 ise x + 3 ile bölümünden kalan
kaçtır?
1.
P(x) = 4x2 – 2bx + c – 1 polinomu x2 – x ile tam
5.
bölünüyorsa (b, c) ikilisi nedir?
2.
P(x) polinomunun x2 – 4 ile bölümünden kalan
5x – 1 ise x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
P(x) = x4 – 3x3 – x2 – ax – b + 1 polinomu
6.
P(x) polinomunun x2 – 3x + 2 ile bölümünden
kalan 2x + 1 ise x – 1 ile bölümünden kalan
x2 – 1 ile tam bölünüyorsa a.b kaçtır?
3.
P(x) = x3 + ax2 – bx + 1 polinomunun
x2 – x – 2 ile tam bölünebilmesi için a – b kaç
ESEN YAYINLARI
kaçtır?
7.
x2 + x + 2 ise x2 – x + 1 ile bölümünden kalan
nedir?
olmalıdır?
4.
P(x) = x3 – ax2 – 2bx polinomu x2 – 4x + 3 ile
tam bölünüyorsa a kaçtır?
P(x) polinomunun x3 + 1 ile bölümünden kalan
8.
P(x) polinomunun x4 – x2 – 2 ile bölümünden
kalan x3 + x2 – x + 2 ise x2 + 1 ile bölümünden
kalan nedir?
413
Polinomlar
REHBER SORU 9
Çözüm
P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 3,
x + 1 ile bölümünden kalan 1 ise x2 – 1 ile bölümünden kalan nedir?
2.
P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 1,
x – 2 ile bölümünden kalan 9 ise x2 – 2x ile
bölümünden kalan nedir?
bölümünden kalan nedir?
5.
P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan 1,
x – 2 ile bölümünden kalan 5 ise x2 – 4 ile
bölümünden kalan nedir?
3.
4.
P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan –1,
x + 1 ile bölümünden kalan 2 ise x2 + x ile
P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan
ESEN YAYINLARI
1.
P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan
4 ve P(x + 2) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan 3 ise P(x) polinomunun x2 – x ile
bölümünden kalan nedir?
6.
P(x – 1) polinomunun x – 2 ile bölümünden
4, x – 2 ile bölümünden kalan 9 ise x2 – 3x +
kalan 3, P(x + 1) polinomunun x – 1 ile bölü-
2 ile bölümünden kalan nedir?
münden kalan 4 ise P(x) in x2 – 3x + 2 ile
bölümünden kalan nedir?
414
Polinomlar
REHBER SORU 10
Çözüm
P(x) ve Q(x) polinomlarının x – 2 ile bölümlerinden kalanlar sırasıyla 3 ve 4 ise x.P(x) + Q(x)
polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
2.
P(x – 1) ve Q(x) polinomlarının x – 2 ile bölümlerinden kalanlar sırasıyla 5 ve 1 ise
polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaç-
P(x) + x2.Q(x + 1) polinomunun x – 1 ile bölü-
tır?
münden kalan kaçtır?
5.
P(x) ve Q(x) polinomlarının x – 3 ile bölümlerinden kalanlar sırasıyla 1 ve 4 ise
x2P(x) + Q(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
3.
4.
P(x) ve Q(x) polinomlarının x + 3 ile bölümlerinden kalanlar sırasıyla 2 ve 5 ise P(x) + Q(x)
P(x) ve Q(x) polinomlarının x – 1 ile bölümlerinden kalanlar sırasıyla 2 ve –5 ise
2
ESEN YAYINLARI
1.
P(x) ve Q(x) polinomlarının x – 1 ile bölümlerinden kalanlar sırasıyla 3 ve a dır.
2P(x – 1) + x.Q(x – 1) polinomunun x – 2 ile
bölümünden kalan 4 ise a kaçtır?
6.
P(x + 2) ve Q(x – 1) polinomlarının x + 1 ile
bölümlerinden kalanlar sırasıyla 3 ve 4 tür. Buna
x .P(x) + 2Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümün-
göre, x.P(x – 3) + Q(x – 6) polinomunun x – 4 ile
den kalan kaçtır?
bölümünden kalan kaçtır?
415
Polinomlar
REHBER SORU 11
Çözüm
3
P(x) – x.Q(x – 2) = x + x – 5 olmak üzere,
P(x) in x – 3 ile bölümünden kalan 4 ise, Q(x) in
x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
2.
P(x) + 2Q(x) = x2 + x + 4 olmak üzere,
x2.P(x) + 3Q(x3 + 1) = x4 + 15 olmak üzere,
P(x) in x – 2 ile bölümünden kalan – 4 ise
P(x) in x – 2 ile bölümünden kalan 4 ise
Q(x) in x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
Q(x) in x – 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
P(x + 1) – Q(x + 2) = x2 + 2x – 3 olmak üzere,
P(x) in x – 2 ile bölümünden kalan 5 ise
Q(x) in x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
3.
4.
P (x) – x.Q (x + 2)
= 4x – 1 olmak üzere,
x+3
P(x) in x – 1 ile bölümünden kalan 2 ise
Q(3) kaçtır?
416
5.
P(x + 1) – Q(x – 2) = x3 – x + 4 olmak üzere,
P(x) in kat sayılar toplamı 3 ise Q(3x – 2)
ESEN YAYINLARI
1.
polinomunun sabit terimi kaçtır?
6.
P(x).Q(x – 1) + x2 = K(x + 2) olmak üzere,
P(x) in kat sayılar toplamı 4,
Q(x) in sabit terimi 5 ise K(3) kaçtır?
Polinomlar
REHBER SORU 12
Çözüm
2
P(x) + Q(x – 1) = x + 4x + 3 olmak üzere,
P(x) in kat sayılar toplamı 3 ise Q(x) in sabit terimi kaçtır?
1.
P(x) – P(x + 1) = x2 + x – 1 olmak üzere,
4.
P(x) in sabit terimi 2 ise kat sayılar toplamı kaç-
Q(x) in kat sayılar toplamı 3 ise P(3) kaçtır?
tır?
P(x – 1) – P(x – 2) = x2 – x + 1 olmak üzere,
P(x) in kat sayılar toplamı 3 ise sabit terimi kaçtır?
3.
P(x – 2) – xQ(x – 1) = x3 – x + 1 olmak üzere,
5.
2Q(x) + 3P(x – 1) = 2x3 + 3 olmak üzere,
Q(x) polinomunun sabit terimi 2 ise P(x – 2)
ESEN YAYINLARI
2.
x.P (x) + Q (x – 2)
= x – 2 olmak üzere,
x+1
polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır?
6.
P(x + 2) – x.Q(x + 1) = x3 + 2x + 1 olmak üzere,
P(x) in sabit terimi 4 ise Q(x) in kat sayılar
P(x + 1) polinomunun sabit terimi 5 ise Q(x – 1)
toplamı kaçtır?
polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır?
417
Polinomlar
REHBER SORU 13
2
4
Çözüm
3
2
P(x) = (x – x + 1) (x + 2)
a.
polinomunun,
Çift dereceli terimlerinin kat sayıları toplamını
bulunuz.
b. Tek dereceli terimlerinin kat sayıları toplamını
bulunuz.
1.
P(x) = (x2 + x – 1)4 polinomunun çift dereceli
4.
terimlerinin kat sayıları toplamı kaçtır?
P(x) + P(–x) = (2x2 + 2)2 olmak üzere,
P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin kat
2.
P(x) = (x3 + x2 + 1)3 polinomunun tek dereceli
terimlerinin kat sayıları toplamı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
sayıları toplamı kaçtır?
5.
P(x) polinomunun tek dereceli terimlerinin kat
sayıları toplamı kaçtır?
6.
3.
4
3
3
2
P(x) = (x + x + 2) (x + 1)
4
polinomunun çift
dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı kaçtır?
418
P(x) – P(–x) = (3x2 – 1)3 olmak üzere,
P(x – 2) = (x – 1)4 olmak üzere,
P(x + 2)
polinomunun çift dereceli terimlerinin
kat sayıları toplamı kaçtır?
Polinomlar
REHBER SORU 14
Çözüm
P(x) + P(x + 1) = 6x + 5 ise P(x) polinomunu bulu-
1.
P(x) + P(x – 1) = 4x + 8 ise P(x) nedir?
2.
P(x – 1) + P(x + 2) = 4x + 8 ise P(x) nedir?
3.
P(x + 1) + P(2x) = 3x + 9 ise P(2) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
nuz.
4.
P(x) + P(x – 1) = 2x2 – 4x + 2 ise P(x + 1) nedir?
5.
P(x) + P(2x) = 5x2 – 8 ise P(x) nedir?
6.
P(x – 1) + P(x + 1) = 2x2 + 2x + 4 ise P(2) kaçtır?
419
Polinomlar
REHBER SORU 15
3
Çözüm
2
(x – 1)P(x – 1) = x + ax + x – 1 ise P(0) kaçtır?
1.
(x – 2)P(x) = x2 + ax – 2 ise P(1) kaçtır?
4.
x.P(x – 2) = x3 + ax2 – x + 2a – 4 olmak üzere,
P(x) in x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
5.
(x – 1)P(x) = x2 + x – a + 1 ise P(1) kaçtır?
P(x + 2) polinomunun x + 1 ile bölümünden
ESEN YAYINLARI
2.
kalan kaçtır?
6.
3.
(x + 1)P(x) = x3 + ax2 – x + 1 ise P(–1) kaçtır?
(x + 1)P(x – 1) = ax2 – x + 3 olmak üzere,
P(x + 2) =
P(x + 1) polinomunun x ile bölümünden kalan
kaçtır?
420
x 3 – ax + 1
olmak üzere,
x+1
TEST -
1
Polinomlar
5.
12
1.
P(x) = x m + 1 + xm –4 + 2 polinomunun derecesi
bölümünden kalan 2 ise a aşağıdakilerden
en fazla kaç olur?
A) 8
2.
B) 7
hangisidir?
C) 6
D) 5
A) 3
2
E) 4
6.
(x – 1) P (x) + x – 4
ise
3
P(x) aşağıdakilerden hangisidir?
x3– x2 – 1 =
A) 3x2 + 2
P(x) = 9x2 – 3ax + 1 polinomunun 3x – 2 ile
B) 2x2 + 1
2
D) 1
3
C) 2
3
E) 1
2
P(x) = 2x19 – 3x12 – x 7 + 3 polinomunun x6 + 2
ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
C) 3x2 – 1
A) –15x + 9
2
B) –15x + 3
D) –14x + 7
E) 2x – 1
C) –16x + 7
E) –14x – 9
ESEN YAYINLARI
D) 3x + 1
B) 1
1
3.
P(x) = x6 – x3 + 1 olduğuna göre, P b 3 3 l kaçtır?
A) 7
B) 11
C) 13
D) 17
7.
münden kalan 8 ise P(2) kaçtır?
A) 11
E) 21
8.
4.
P(x) = x2 – ax + 4 polinomunun x – 1 ile bölü-
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
P(x) = Q(x + 3).(x2 – x + 3) eşitliği veriliyor.
P(2x – 1) = x3 + ax2 – x + 4 olmak üzere,
P(x) in x ile bölümünden kalanı 6 olduğuna
P(3) = 2 ise a kaçtır?
göre, Q(x) in x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 12
421
Polinomlar
9.
P(x) = x3 + 2x2 + ax + b polinomu (x – 1)2 ile
13. P(x) polinomunun sabit terimi 4 tür. P(x) in
tam bölündüğüne göre a nın değeri nedir?
x + 1 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre
P(x) polinomunun x2 + x ile bölümünden kalan
A) –10
B) –9
C) –8
D) –7
E) 0
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x + 1
B) 2x + 4
D) 3x + 2
10.
2 (1 – 2x)
A
B
eşitliğini sağlayan
=
+
x2 – x – 2 x – 2 x + 1
B) – 4
C) 0
D) 3
E) 3x + 4
14. P(x) polinomunun x2 – x – 6 ile bölümünden
A + B değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –5
C) x + 4
kalan 3x + 7 olduğuna göre x + 2 ile bölümünden kalan nedir?
E) 5
B) 2
C) 4
D) 10
E) 13
ESEN YAYINLARI
A) 1
15. P(x) + P(x2) + P(x3) = x6 + x4 + x2 + 3 eşitliğini
11. P(x) = x3 + ax + b polinomu x2 – 2x – 1 ile tam
sağlayan P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?
bölündüğüne göre a + b kaçtır?
A) 0
A) –2
B) –3
C) –5
D) –7
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) –8
16. P(x) ve Q(x) polinomları için
P(2x + 3) = Q[Q(x + 2).(x – 3) – 14] eşitliği veriliyor.
2
12. P(x + 1) + P(x – 1) = 2x
olduğuna göre P(3)
kaçtır?
A) 2
422
P(x) ve Q(x) in kat sayıları toplamı sırasıyla 1
ve –3 ise Q(–2) kaçtır?
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
A) 4
B) 2
C) 1
D) –1
E) –2
TEST 1.
2
Polinomlar
P(x)(x – 1) = x3 – 3x2 + 2x olduğuna göre
5.
P(2) kaçtır?
A) 0
2.
B) 1
bölümünden kalan kaçtır?
C) 2
D) 3
E) 4
A) 0
P(2x + 1) = 5x3 + 4x2 + 6x + 9 ise P(–1) kaçtır?
A) –2
B) –1
P(2x + 3) = 4x2 + 5x – 7 ise P(x) in x – 5 ile
C) 0
D) 1
6.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
P(x) = x3 – ax2 + bx – 1 polinomu x2 – x – 2
ile tam bölünüyorsa a kaçtır?
E) 2
B) 1
C) 1
2
D) 1
3
E) 1
4
ESEN YAYINLARI
A) 2
8
3.
P(x) = 4x a + 2x5–a + 1 ifadesi bir polinom ise
7.
a nın alacağı değerler toplamı nedir?
A) 8
4.
B) 7
C) 6
D) 5
dan biri x2 – x ise a + b kaçtır?
E) 4
(2x4 – 4x3 + 3x – 1)(4x3 + 6x2 – 2x + 3)
4
çarpımı yapılırsa x
lü terimin kat sayısı kaç
A) –2
8.
P(x)
B) –1
C) 0
polinomunun
D) 1
x3 – 5x
E) 2
ile bölümünden
kalan 2a – 3x + 6 dır. P(x) polinomunun sabit
terimi 0 ise a kaçtır?
olur?
A) 24
P(x) = ax3 + bx2 + 2x polinomunun çarpanların-
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
A) 1
B) 0
C) –1
D) –2
E) –3
423
Polinomlar
9.
P(x) = x + P(x + 1) , P(1) = 1 ise P(16) kaçtır?
13.
2x + 10
m
n
ise (m, n) ikilisi
=
+
x 2 – 2x – 3 x + 1 x – 3
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –118 B) –119 C) –120 D) –121 E) –122
A) (2, 4)
B) (2, –4)
D) (–2, –4)
C) (1, 2)
E) (–2, 4)
10. P(x) = x3 + ax2 – bx + 1 polinomu (x – 1)2 ile
tam bölünebiliyorsa a + b kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
14. Q(3x – 5) = P(x – 2) – Q(x – 3) ve
E) 2
P[(x + 1)(x – 1)] = 2x2 + 10 ise Q(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
11.
B) –12
C) 7
D) 5
E) –10
ESEN YAYINLARI
A) 10
P (x – 1) = x.Q (x) + 1
4
x – Q (x – 3) = 2x – 5
eşitlikleri veriliyor.
P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
15. P[P(x)] = 4x + 9 olduğuna göre P(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
2
2
A) x – 2
2
B) x – 2x
2
D) x – 1
C) –x + 2
dir?
2
E) x + 1
A) ' –
3
1
2
B) ' –
2 9
D) ' – , 1
3 2
2
1
3
E) ' –
3 9
C) ' – , – 1
2 2
9
1
2
12. Bir P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden
kalan 2, (x + 2) ile bölümünden kalan 5 ise
(x2 + x – 2) ile bölümünden kalan nedir?
16. P(x) + P(x + 1) = 6x + 1 ise P(1) kaçtır?
A) x – 3
B) x + 3
D) –x – 3
424
C) –x + 3
E) x – 1
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
TEST 1.
5
Polinomlar
P(x) = x3 + mx – n polinomunun (x2 – 3) ile bölümünden kalan (6x – 4) ise, m + n toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
5.
P(x) ve Q(x) polinomlar olmak üzere,
[P(x)]4.[Q(x)]2 polinomunun derecesi 26 ve
6P (x)@3
E) 7
6Q (x)@2
polinomunun derecesi 9 olduğuna göre,
3.Q(x) + 2.P(x) polinomunun derecesi kaçtır?
A) 3
2.
x3 + ax2 + bx + c = (x – 1)·P(x) + Q(x + 1)
eşitliği veriliyor. P(2) = 7, Q(2) = Q(3) olduğuna
göre, 3a + b toplamı kaçtır?
6.
B) 5
C) 12
D) 15
E) 19
P(x) = 4x3 – 2x2 + mx + 8 polinomu (x +1) ile
tam bölündüğüne göre, P(x) in (x – 1) ile bölü-
A) – 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
münden kalan nedir?
B) –2
C) 10
D) 12
E) 13
ESEN YAYINLARI
A) –4
3.
3·P(x + 1) – P(x – 1) = 2·P(x + 2) – 5 eşitliği veriliyor. P(x) polinomunun sabit terimi 2, kat sayıları
toplamı 1 ise, P(x) in (x + 2) ile bölümünden kalan
nedir?
A) –3
B) –2
C) 3
D) 5
7.
P(x) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan 6
ve (x – 3) ile bölümünden kalan –4 ise, P(x + 1)
polinomunun
(x2 + x – 6) ile bölümünden kalan
nedir?
E) 9
A) 2x + 1
B) 2x + 12
D) 2x – 2
8.
4.
P(x) = mx7 + nx3 + 5 polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 7 ise, (x2+1) ile bölümünden
P(x) bir polinom olmak üzere,
kalan nedir?
x6 + 2x3 + mx + 3 = (x2 + 1)·P(x) + 5x + n
ise, m + n toplamı kaçtır?
A) 2x – 5
A) 9
B) 8
C) 7
C) –2x
E) 2 – 2x
D) 6
E) 5
B) 5x + 2
D) 3x + 1
C) x + 2
E) 5 – 2x
429
Polinomlar
9.
(x – 3)·P(x) = x3 + ax2 – 2x – 3 eşitliğindeki P(x)
polinomunun (x – 2) ile bölümünden elde edilen
kalan nedir?
A) –14
B) –7
C) 7
D) 9
13. P(x, y) = (x + y)8 – (x + y + 1)7 + 3(x + y – 1)
polinomunun x + y + 1 ile bölümünden kalan
kaçtır?
E) 14
A) –7
B) –6
C) –5
D) –4
E) –3
10. P(x) polinomunun (x – 3) ile bölümünden kalan 6
ve (3x – 6) ile bölümünden kalan 4 ise
14. P(x) polinomunun (x – 1)2 ile bölümünden kalan
5x + 4 ise, x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
x2 – 5x + 6 ile bölümünden kalan nedir?
A) 2x + 1
B) 2x – 1
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
E) 3x – 1
ESEN YAYINLARI
D) 3x + 1
C) 2x
11. P(x) ve Q(x) polinomları için,
2x 2 – 4 – 5.P (x + 1)
= 2x – 3 olduğu biliniyor.
Q ( x – 1)
Q(x) polinomunun (x+1) ile bölümünden kalan 3
ise, P(x) polinomunun (x–1) ile bölümünden kalan nedir?
A) 1
B) 0
C) –1
D) –2
munun x – 2 ile bölümünden kalan nedir?
430
B) 3
C) 4
D) 5
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
E) –3
12. (x – 2).P(x) = x2 + x + a eşitliğindeki P(x) polino-
A) 2
15. (x – 2)P(x) = x5 + 3x3 – ax2 + 4 olmak üzere,
P(2 – x) polinomun x – 1 ile bölümünden kalan
kaçtır?
E) 6
16. Pozitif kat sayılı P(x) polinomu,
P(x).P(3x) = 3x2 + 4x + 1 koşulunu sağlıyorsa
P(–1) kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 16
Çözüm
a2 b3 – b2 a3
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir?
a2 b – b2 a
1.
x2 – x
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir?
yx – y
5.
xy – y x 2 – x
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
:
x
xz
nedir?
2.
x2 y – y2 x
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nex 2 – xy
6.
dir?
2x +1 – 2x + 2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi ne2x – 2x – 1
3.
m 3 n + mn
m3 + m
ESEN YAYINLARI
dir?
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi ne-
7.
dir?
x
1+ x 2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
–
1 – x 1 – x2
nedir?
4.
a 2 b – ab 2 + ab
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
a 2 – ab + a
nedir?
8.
a
–1
a
b
:
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir?
a–b b
431
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 17
Çözüm
yx – 2y – zx + 2z
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
x–2
nedir?
1.
ab – ac – b 2 + bc
ifadesinin sadeleştirilmiş biçib–c
5.
mi nedir?
2.
mi nedir?
b – a – (a – b) 2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
a –b+1
6.
xy – x – y + 1
xy + y – x – 1
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
nedir?
ESEN YAYINLARI
nedir?
3.
a 2 – ac – ab + bc
ifadesinin sadeleştirilmiş biçia–b
a 2 – a + ab – b
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
a+b
7.
2x 2 – xy + 2x – y
ifadesinin sadeleştirilmiş biçi2x – y
mi nedir?
nedir?
4.
3x – 2y + xy – 6
x–2
mi nedir?
432
8.
ifadesinin sadeleştirilmiş biçi-
y – x + 2x 2 – 2xy
ifadesinin sadeleştirilmiş biçiax – ay + bx – by
mi nedir?
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 18
2
Çözüm
2
(a – b) (b – c) – (b – a) (c – b)
ifadesinin çarpan-
larına ayrılmış biçimi nedir?
1.
x2(a – b) + x(b – a) + a – b ifadesinin çarpanla-
5.
rına ayrılmış biçimi nedir?
(a – b) 2 – (b – a)
ifadesinin sadeleştirilmiş biçib– a –1
mi nedir?
2.
6.
(x – y)2 + 2(y – x) ifadesinin çarpanlarına ayrıl-
(a – b)3(b – c)2 – (c – b)3(b – a)2 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi nedir?
ESEN YAYINLARI
mış biçimi nedir?
7.
3.
(x – y)2(x – z) + (z – x)2(y – x) ifadesinin çarpan-
mi nedir?
larına ayrılmış biçimi nedir?
4.
(a – 2)(a – 4)2 – (2 – a)2(4 – a) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi nedir?
(a – b) 3 – (b – a) 2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçia –b–1
8.
(a – x) 2 (x + a) 3
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
(x – a) (–x – a) 2
nedir?
433
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 19
Çözüm
a2 b
–b
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir?
a –1
1.
(a + b)2 – (a – b)2 ifadesinin çarpanlarına ayrıl-
5.
mış biçimi nedir?
2.
3(x – 2)
x2 – y2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir?
x –1 + y –1
6.
ESEN YAYINLARI
a2 – b2
(a + b) ( a –
b)
ifadesinin sadeleştirilmiş biçi-
7.
x3 y – y3 x
x 2 y + xy 2
nedir?
434
ifadesinin
sadeleştirilmiş
a2 – b2 – a + b
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
a+b–1
nedir?
mi nedir?
4.
(a – b) 2 – 4
(a – b) 2 + 2 (b – a)
biçimi nedir?
xy(x – y)
3.
3x 2 – 12
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir?
x+2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
8.
x 2 – (a – 1 ) 2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
x – a +1
nedir?
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 20
Çözüm
x 2 – 4x + 3
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir?
x2 + x – 2
1.
x 2 – 3x + 2
x–2
5.
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
nedir?
2.
x2 – 1
x 2 + 2x – 3
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
6.
ESEN YAYINLARI
a 2 + ab – 2b 2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
a2 – b2
x 2 – 4x + 3 x – 3
:
ifadesinin sadeleştirilmiş biçix 2 – 3x + 2 x – 2
mi nedir?
a2 – 1
a 2 + 3a + 2
:
a –1
a+2
ifadesinin sadeleştirilmiş
biçimi nedir?
7.
x 2 – 6x + 5 x – 2 (x – 1)
:
ifadesinin sadeleştirilx–2
x 2 – 4x – 5
miş biçimi nedir?
nedir?
4.
ifadesinin sadeleştirilmiş biçi-
mi nedir?
nedir?
3.
a 3 + 2a 2 b + ab 2
a 3 – ab 2
8.
x 2 + (a + b) x + ab
x 2 + (a – 3) x – 3a
ifadesinin sadeleştirilmiş
biçimi nedir?
435
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 21
a – b = 6 ise
Çözüm
a 2 – b 2 + 3b – 3a
ifadesinin eşiti
a 2 – b 2 – 6a + 9
nedir?
1.
a + b = 6 ve c = 4 olduğuna göre,
5.
a2 – c2 + 2ab + b2 ifadesinin değeri kaçtır?
a 2 – b 2 + 2a + 1
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
a–b+1
nedir?
2.
x = a – 1 olduğuna göre,
a2 – x2
ifadesinin a türünden değeri nedir?
(a – x) 2
6.
x3 – x2 y – x + y
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
x 2 – xy + x – y
3.
x – y = 5 ise
x2 – y2 + x – y
ifadesinin eşiti
x 2 – y 2 + 2x + 1
ESEN YAYINLARI
nedir?
7.
a – b = 1 olduğuna göre,
a 2 + a + ab + b
a2 – b2
nedir?
436
ifadesinin a türünden değeri
a2 + 1
1
– 2 m : c a – m ifadesinin sadeleştirilmiş
a
a
biçimi nedir?
nedir?
4.
c
8.
abx 2 + (a – b) x – 1
bx + 1
biçimi nedir?
ifadesinin sadeleştirilmiş
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 22
Çözüm
x 2 – nx – 4
ifadesi sadeleşebilir bir kesir ise n nin
(x – 1) (x + 1)
alabileceği değerleri bulunuz.
1.
x 2 – nx – 2
(x – 1) (x + 3)
4.
ifadesi sadeleşebilir bir kesir ise
2.
x 2 – nx + n – 1
ifadesi sadeleşebilir bir kesir ise
x 2 – 5x + 6
n nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
3.
x 2 – mx – 6
ifadesi sadeleşebilir bir kesir ise
(x – 1) (x + 4)
sadeleşmiş biçimi nedir? (m ∈ Z)
ifadesi sadeleşebilir bir kesir ise
sadeleşmiş biçimi nedir? (m ∈ Z)
ESEN YAYINLARI
n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
x 2 + mx – 3
(x + 2) (x + 1)
5.
x 5 + ax + 2
ifadesi sadeleşebilir bir kesir ise a
x2 – 1
nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
6.
x 3 – ax + 4
ifadesi sadeleşebilir bir kesir ise a
x 2 – 5x + 6
nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
437
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 23
Çözüm
(x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 ifadesinin çarpanlarına
ayrılmış biçimi nedir?
1.
(x – 2)2 – 5(x – 2) – 6 ifadesinin çarpanlarına
5.
ayrılmış biçimi nedir?
2.
16x – 10.4x + 9 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış
biçimi nedir?
(2x + 1)2 – 4x(2x + 1) + 4x2 ifadesinin çarpanla-
6.
na ayrılmış biçimi nedir?
ESEN YAYINLARI
rına ayrılmış biçimi nedir?
(a2 – 3a)2 – 2(a2 – 3a) – 8 ifadesinin çarpanları-
7.
3.
(x2 – 1)2 – 2(x2 – 1) + 1 ifadesinin çarpanlarına
4x – 3.2x+1 + 8 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış
biçimi nedir?
ayrılmış biçimi nedir?
4.
(x2 – 2x)2 + 2(2x – x2) – 3 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi nedir?
438
8.
226.214 – 230.210 işleminin sonucu kaçtır?
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 24
2
Çözüm
2
a + b + 4a – 6b + 13 = 0 ise a + b kaçtır?
1.
x2 + y2 – 4x + 4 = 0 ise x + y kaçtır?
5.
a2 – b2 – 2a – 4b – 3 ifadesinin çarpanlarına
ayrılmış biçimi nedir?
2.
a2 + b2 – 2a – 4b + 5 = 0 ise a.b kaçtır?
6.
a2 – b2 + 4b – 4 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış
ESEN YAYINLARI
biçimi nedir?
3.
a2 + b2 – 6a + 2b + 10 = 0 ise a + b kaçtır?
7.
x, y ∈ R olmak üzere,
x2 + y2 + x + 2y ifadesinin alabileceği en küçük
değer kaçtır?
4.
a2 + b2 – a – 3b +
5
= 0 ise a.b kaçtır?
2
8.
x2 + 5y2 – 4xy – 6y + 9 = 0 ise (x – y)2 kaçtır?
439
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 25
Çözüm
1 1
–
a b
a3 + b3
·
ifadesinin sadeleştirilmiş biçia2 – b2 a2
+b–a
b
mi nedir?
1.
a3 + b3
ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?
ab + b 2
a2 –
1–
2.
5.
a+b
b3
a3
1 b b2
+
+
a a2 a3
6.
ifadesinin sadeleşmiş biçimi ne-
x6 – 1
x4 + x2 + 1
ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?
(x 2 + xy + y 2) (x 2 – y 2)
ifadesinin sadeleşmiş bi(x 3 – y 3) (x + y)
çimi nedir?
ESEN YAYINLARI
dir?
3.
c
1
1
1
+
m : 1+ 2
m ifadesinin sadeleşx +1 x –1 c
x –1
7.
1 – x –3 x 2 + x + 1
:
ifadesinin sadeleşmiş biçix+1
x –1 – x –3
mi nedir?
440
ifadesinin sadeleşmiş biçi-
mi nedir?
miş biçimi nedir?
4.
x 3 + 8 x 2 – 2x + 4
:
x2 – 4
x 2 – 2x
8.
x 4 – xy 3 x 2 y + xy 2 + y 3
:
ifadesinin sadeleşmiş
xy – y 2
y2
biçimi nedir?
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 26
a. a –
Çözüm
1
1
= 3 ise a 2 + 2 kaçtır?
a
a
b. x2 – 2x – 1 = 0 ise x2 + 12 kaçtır?
x
1.
1
a + 1 = 3 ise a2 + 2 kaçtır?
a
a
5.
x2 – 3x + 1 = 0 ise x2 +
2.
a – 1 = 2 ise a + 1 kaçtır?
a
a
6.
x2 – 2x – 2 = 0 ise x2 + 42 kaçtır?
x
3.
a– 1 =
a
7.
x2 – x –
4.
a–
8.
x4 – 4x2 + 2 = 0 ise x4 +
kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1
x2
2 ise a2 + 12 kaçtır?
a
2
16
= 1 ise a 4 + 4 kaçtır?
a
a
2 = 0 ise x2 +
2
kaçtır?
x2
4
x4
kaçtır?
441
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 27
2
Çözüm
2
x + y = 4 ve x + y = 10 ise x.y kaçtır?
1.
2
2
x + y = 6 ve x.y = 4 ise x + y
5.
x + y = 3 ve x.y = 1 ise x4 + y4 kaçtır?
6.
x – y = 3 ve x.y = 1 ise x + y kaçtır?
7.
x2 + xy = 1
kaçtır?
ESEN YAYINLARI
2.
x + y = 3 ve x2 + y2 = 6 ise x.y kaçtır?
3.
2
2
y2 + xy = 3
x – y = 4 ve x + y = 10 ise x.y kaçtır?
8.
4.
2
2
x – y = 5 ve x.y = 4 ise x + y
442
kaçtır?
}
⇒ x + y kaçtır?
a.b = 9 ve va + vb – vc = 0 ise a + b – c
kaçtır?
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 28
Çözüm
3
3
a. x + y = 5 ve x.y = 3 ise x + y
kaçtır?
b. x + y = 4 ve x2 + y2 = 6 ise x3 + y3 kaçtır?
x + y = –3 ve x.y = 2 ise x3 + y3 kaçtır?
5.
x + y = 3 ve x2 + y2 = 5 ise x3 + y3 kaçtır?
2.
x – y = 6 ve x.y = 3 ise x3 – y3 kaçtır?
6.
x – y = 2 ve x2 + y2 = 20 ise x3 – y3 kaçtır?
3.
x3 + y3 = 19 ve xy(x + y) = 15 ise x + y kaçtır?
7.
1
1
1
1
1 1
– = 1 ve 2 + 2 = 3 ise 3 – 3 kaçtır?
x y
x
y
x
y
8.
a3 b3
a b
+ = 2 ise 3 + 3 kaçtır?
b a
b
a
ESEN YAYINLARI
1.
4.
1 – 1 = 2 ve x.y = 3 ise
x y
1
1
–
kaçtır?
x3 y3
443
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 29
Çözüm
2
2
2
a – b = b – c = 2 ise a – 2b + c
1.
kaçtır?
a – b = 6 ve c + 2b = 10 olduğuna göre,
5.
x + y = 2 olduğuna göre,
y
x
ifadesinin eşiti nedir?
–
y – 1 1– x
6.
b – c = 6 ve b – a = 5 olduğuna göre,
a2 – b2 + ac – bc işleminin sonucu kaçtır?
a – b = b – c = 3 ise a2 + c2 – 2b2 kaçtır?
ab + bc – b2 – ac ifadesinin değeri kaçtır?
ESEN YAYINLARI
2.
3.
7.
x 2 – x + y 2 – y ifadesinin değeri kaçtır?
x – y = y – z = 4 ise x2 + z2 – 2y2 kaçtır?
8.
4.
2
x – y = 2 ve xy + z + 2z + 2 = 0 ise x + y + z
kaçtır?
444
x + y = 6 ve x.y = 7 olduğuna göre,
x – y = 6 olduğuna göre,
x 2 – y 2 – 3x + 3y
ifadesinin değeri kaçtır?
x 2 – y 2 – 6x + 9
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 30
4
Çözüm
2
x + x + 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi
nedir?
1.
x4 + 3x2 + 4 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçi-
5.
mi nedir?
2.
2x2 + 4xy + 4y2 – 6x + 3 ifadesinin alabileceği
en küçük değer kaçtır?
4x4 + y4 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi
6.
x + y kaçtır?
ESEN YAYINLARI
nedir?
x2 + 4xy + 5y2 – 2y + 1 = 0 olduğuna göre,
3.
a4 + 4 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi
nedir?
7.
x2 + 3y2 – 4xy + 6y – 9 ifadesinin çarpanlarına
ayrılmış biçimi nedir?
4.
a 4 + 4b 4
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
b 2 + (a – b) 2
nedir?
8.
16a4 + 4a2 + 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış
biçimi nedir?
445
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 31
2
Çözüm
2
2
a + b + c = 7, a + b + c = 15 ise ab + ac + bc
kaçtır?
1.
a + b + c = 5, a2 + b2 + c2 = 13 ise
5.
ab + ac + bc kaçtır?
göre, x + y + z toplamının pozitif değeri kaçtır?
6.
2.
2
x2 + y2 + z2 = 24 ve xy + xz + yz = 20 olduğuna
2
2
a – b + c = 3, a + b + c = 17 ise
2a2 + b2 + 3c2 = 18, 2a2 + 3b2 + c2 = 42
ab + ac + bc = 33 ise |a + b + c| kaçtır?
ESEN YAYINLARI
ac – bc – ab kaçtır?
3.
2
2
7.
x+y+z=5
x2 + y2 + z2 = 19
2
a – b – c = 6 ve a + b + c = 20 ise
1 1 1
1
+ + =
x y z 10
ab + ac – bc kaçtır?
olduğuna göre, x.y.z kaçtır?
8.
4.
a + b – c = 9, ac + bc – ab = 7 ise a2 + b2 + c2
kaçtır?
x+y–z=4
1 1 1
3
– – =
z x y xyz
olduğuna göre, x2 + y2 + z2 kaçtır?
446
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 32
2
50
a. x = x – 1 ise x
Çözüm
nedir?
b. x5 – y5 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
c. x5 + y5 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1.
2.
x2 – x + 1 = 0 ise x30 + x27 ifadesinin eşiti nedir?
6.
x2 = –x – 1 ise x2007 + x2008 ifadesinin eşiti
3.
4.
5.
x2 + x + 1 = 0 ise x19 + x20 ifadesinin eşiti nedir?
x2 – x + 2 = 0 ise
x2 + 3
ifadesinin eşiti nedir?
x3 + 1
x2 – x + 1 = 0 ise x10 +
nedir?
1
x 10
ifadesinin eşiti
ESEN YAYINLARI
nedir?
7.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a.
x3 – y3
b.
x4 – y4
c.
16x4 – 1
d.
x5 – 32
e.
x6 – y6
f.
1 – x8
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a.
x3 + y3
b.
1 + 8a3
c.
x5 + 32
d.
32a5 + 1
e.
x6 + y6
f.
x5 + y10
447
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 33
a2
Çözüm
a2
–1
–a
–
ifadesinin sadeleştirilmiş biçia 2 + a a 2 – 2a + 1
mi nedir?
1.
1
1
2
+
–
x – 1 x + 1 x2 – 1
5.
c
1
1
x
+
m:
x – y x+y x – y
ifadesinin sadeleştirilmiş
biçimi nedir?
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir?
2.
c
1
1
1
–
m:
x2 + x – 2 x2 – x – 2 x2 – 4
6.
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir?
a2
a2
a
b
–
–
ifadesinin sadeleştiril– b2 a + b a – b
3.
a –1
3
a2 + 3
ifadesinin sadeleştirilmiş
–
– 2
a+1 a –1 a –1
ESEN YAYINLARI
miş biçimi nedir?
7.
biçimi nedir?
4.
a 2 + ab + b 2 a 3 – b 3
ifadesinin sadeleştirilmiş
:
a 2 – ab + b 2 a 3 + b 3
biçimi nedir?
448
d
a 2 + 3a – 4 a 2 + 3a – 4
a 2 – 25
: 2
n: 2
2
a + a – 6 a – 2a – 15 a – 2a
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir?
8.
1
2a
1
–
+
ifadesinin sadeleştirila 2 + 2a a 2 – 4 a – 2
miş biçimi nedir?
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 34
x 2 – 2x 2 – x
=3
–
x –1
1– x
Çözüm
denkleminin çözüm kümesi
nedir?
1.
1
2x – 1
2
denkleminin çözüm kü–
=
x + 1 x2 – 1 x – 1
5.
mesini bulunuz.
1
–
1– x
1
x = 0 denkleminin çözüm kümesi
1
x–
x
1+
nedir?
2.
2
3
–x –1
denkleminin çözüm
=
–
x – 1 x – 2 x 2 – 3x + 2
6.
1 + x –2 – x –1 2
=
olduğuna göre, x kaçtır?
5
x + x –2
7.
x 2 + xy + 4y 2
= 3 olduğuna göre, x in y türünx2 + y2
ESEN YAYINLARI
kümesi nedir?
3.
3x
1
=
–4 x–2
x2
denkleminin çözüm kümesi
den alabileceği değerleri toplamı nedir?
nedir?
4.
x
3+x
–
=1
x–2
x
nedir?
denkleminin çözüm kümesi
8.
x 2 + ax + b x + 5
olduğuna göre, a + b kaç=
x –1
x2 – 1
tır?
449
Çarpanlara Ayırma
REHBER SORU 35
Çözüm
3x – 1
A
B
eşitliğini sağlayan
=
+
(x – 1) (x – 2) x – 1 x – 2
A ve B değerlerini bulunuz.
2.
3.
2x + 4
A
B
ise A + B kaçtır?
=
+
(x – 1) (x + 1) x – 1 x + 1
4
A
B
ise A.B kaçtır?
=
+
x 2 – 3x – 4 x – 4 x + 1
x+1
A
B
ise A + B kaçtır?
=
+
x2 – 4 x – 2 x + 2
450
ESEN YAYINLARI
1.
4.
x –1
A Bx + C
= +
ise A + B + C kaçtır?
x (x 2 + 1) x x 2 + 1
5.
2x – 1
A
B
=
+
ise A + B kaçtır?
(x + 2) 2 x + 2 (x + 2) 2
6.
x 2 – 3x + 1
A
B
C
=
+
+
(x + 1) (x – 2) 2 x + 1 x – 2 (x – 2) 2
ise A + B + C kaçtır?
TEST 1.
6
Çarpanlara Ayırma
12x – 12 3
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden
·
3x – 3 4
5.
hangisidir?
A) 9
B) 3
D) 3 (x – 1)
4
2.
C)
x –1
3
A)
E) 1
9
6.
hangisidir?
3.
1
x+1
C)
x
x –1
x2
x –1
2
E) 1
1 – x2
ifadesinin sadeleşmiş biçimi
(1 + ax) 2 – (a + x) 2
1
a–b
C) 0
E)
a
b–a
A) –
D)
ab + 3a – 9 – 3b ifadesinin çarpanlarına ayrılmış
biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (a + 3)(b + 3)
B) (a – 3)(b + 3)
C) (a – b).9
D) (a – 9)(b – 3)
1
a2 + 1
ESEN YAYINLARI
1
b–a
B)
aşağıdakilerden hangisidir?
B)
D)
1
x –1
D)
1
1
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden
+
a–b b–a
A) 1
x+1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisi1
x–
x
dir?
7.
B)
1
a2 + 1
1
a2 – 1
C)
E)
1
1 – a2
1
a –1
(a–1 – b–1) : (ab)–1 ifadesinin eşiti nedir?
A) ab
B) 1
D) a – b
C) a + b
E) b – a
E) (a + b).3
xy – ay + xb – ab ifadesinin çarpanlarına ayrıl-
2 (a – 3) – a – 4 + 7
ifadesinin sadeleşmiş biçimi
a 2 + a – 12
mış şekli aşağıdakilerden hangisidir?
aşağıdakilerden hangisidir?
8.
4.
A) (x + a)(y – b)
B) (x – y)(a – b)
C) (x – a)(y + b)
D) (x – b)(y + a)
E) (x – b)(y – b)
A)
1
a+4
B)
D)
1
a–3
1
a–4
C)
1
a+3
E) 1
451
Çarpanlara Ayırma
9.
a2 + b2 – 2 + a + 2ab + b ifadesi aşağıdakilerden
13. m tam sayı olmak üzere,
x2 – (m2 – 9)x + m – 6 ifadesinin iki kare farkı
hangisi ile tam bölünür?
olduğu bilindiğine göre m nin değerinden biri
A) a + b + 1
B) a + b + 2
D) a – b – 1
C) a – b – 2
aşağıdakilerden hangisidir?
E) a + b – 2
A) –2
10.
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
x 2 – 5x + 6 : 9 – x 2
ifadesinin en sade şekli
x 2 – 3x + 2 x 2 + 2x – 3
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 3
B) 1
D) –1
14. c
C)
1
x –1
2 a
a+1 a –1
+ – a mc
–
m
a 2
a+2 a–2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşit
olur?
E) x + 3
11. 6x3 + 2x2 – 4x ifadesinin çarpanlarına ayrılmış
B) –3a
C) 3a
D) –3
E) 3
ESEN YAYINLARI
A) 1
şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x(3x – 1)(x + 2)
15. (a + 5)2 + (b – 3)2 = 0 ise
B) 2x(x + 1)(3x – 1)
a + b kaçtır?
C) 2x(3x – 2)(x + 1)
A) –5
D) 2x(3x + 2)(x + 1)
B) –3
C) –2
D) 2
E) 8
E) 2x(3x – 2)(x – 1)
12. (a – 2)(b + 2) çarpımında her bir çarpana 3
eklersek çarpım ne kadar büyür?
16. x ve y pozitif tam sayıları için
4x2 – y2 = 19 ise y – x kaçtır?
A) 3
D) 3(a + b + 3)
452
B) 6
C) a + b + 3
E) a + b
A) 4
B) 5
C) 8
D) 9
E) 14
TEST 1.
7
Çarpanlara Ayırma
5.
x(a – b) + y(b – a) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdakilerden hangisidir?
mi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x + y) (a – b)
B) (x – y) (a – b)
A) (2a + 1) (a – 1)
B) (2a – 1) (a – 1)
C) (x + y) (b – a)
D) (x – y) (b – a)
C) (2a – 1) (a – 2)
D) (2a – 1) (a + 1)
E) (a – x) (y – b)
2.
2a2 – a – 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçi-
E) (2a + 1) (a – 2)
1
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli
4
aşağıdakilerden hangisidir?
x2 + x +
6.
a 2 – ab – a 2 – ab b – a
·
ab
a2 – b2
ifadesinin en sade
şekli aşağıdakilerden hangisidir?
1 2
B) c x + m
2
1
1
C) c x – mc x + m
2
2
1
D) c x + m (x – 1)
4
E) c x +
3.
A)
1
m (x – 1)
2
a
a –1
l·b
l işleminin sonucu aşağıdaa – 1 1– a
7.
kilerden hangisidir?
A) –2
4.
B) –1
C) 0
1
a+b
a+b
2
E)
C) a + b
1
a–b
a + b = 3 ve 1 – 1 = 2 ise a – b farkı kaçtır?
a b
b a
A) –8
D) 1
B)
D)
a = –1 için
b1–
2
a+b
ESEN YAYINLARI
1 2
A) c x – m
2
B) –6
C) 1
D) 6
E) 8
E) 2
1
+2
a
ifadesinin eşiti nedir?
1
1+
a
a+
B) 1
a
A) a
D) a + 1
8.
C) 2a
E) a
x
4
17
–1 =
ve x =
ise x2 + y2 kaçtır?
y
y
y
A) 36
25
B) 41
25
C) 16
D) 34
E) 50
453
Çarpanlara Ayırma
9.
a 2 – b 2 – 2a – 2b ifadesi, a + b = 4 için aşağıa 2 – b 2 – 4a + 4
13.
dakilerden hangisine eşittir?
A) 1
2
10. 2 +
B) 3
4
1
1+
A) 0
1
x –1
C) 1
şekli aşağıdakilerden hangisidir?
D) 2
A) –1
E) 4
B) a – 2
D) a + 2
x 2 + xy y 2 + xy
=
= 25 olduğuna göre x + y
4
5
toplamı kaçtır?
C) 2
D) x
2
E) x
2–2x
11. x ∈ R olmak üzere, 2x
ifadesinin alabileceği
en küçük değer kaçtır?
B) 1
2
B) 10
C) 1
2
D) 1
15.
A) a
E) 2
a3 x5 – a5 x3
x+a
: 2
işleminin sonucu
2
2
3
(ax – a x) x – 2ax + a 2
16.
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) x – a
x–a
D)
x+a
454
D) 15
E) 18
(a 6 –1) – (a 3 –1)
ifadesinin eşiti nedir?
a5 + a4 + a3
B) a – 1
D)
12.
C) 12
ESEN YAYINLARI
A) 9
A) 1
4
C) 1
E) 2 – a
14. x, y pozitif gerçel sayılardır.
1– x
: 2
işleminin sonucu nedir?
x
B) 1
a 2 – 8a + 15 : –a 2 + 7a – 10 ifadesinin en sade
a 2 – 5a + 6
a 2 – 4a + 4
C) x + a
E) ax
1
a –1
E)
C) a + 1
1
a+1
a 2 + b 2 – ab
a2 – b2
b
işleminin sonucu nedir?
· 3
1 1
a + b3
–
b a
A) a
B) a + b
D) ab
C) a – b
E) b
TEST 1.
10
Çarpanlara Ayırma
x ∈ R olmak üzere, x4 – 4 + 4x –4 ifadesinin
5.
çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdakilerden hangisidir?
2.
4 2
B) c x 2 – 2 m
x
C) (x2 – 2x)2
1 2
D) c x 2 – 2 m
x
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2x + y
x–y
ab ve ba iki basamaklı sayılar olmak üzere,
6.
C) 98
D) 11
3xy 2 – 1
3 3 1
x –
2
2 – 2 (x + y)
2
2
x–y
x –y
ifadesinin en sade hali nedir?
E) 9
A)
2xy
3
ESEN YAYINLARI
B) 99
C) 2x – y
E) x
y
1
2 2
– m
2
x
x
A) 999
B)
D)
2y
3
3xy
2
E)
C) 3x
2
3xy
2 (x – y)
2a 2 – 2b 2 + 3ab – a + 3b – 1
ifadesi3a + b – 1
nin eşiti nedir?
b = 2a ise
A) 1
B)
a
2
D) a + 1
C) 2a
7.
(x2 – 3)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1 ise x in alabileceği
tam sayı değerleri toplamı kaçtır?
E) 1 – a
A) –1
4.
B) 2y – x
D) xy
(ab) 2 – (ba) 2
ifadesinin eşiti kaçtır?
a2 – b2
3.
ve x + 2 = y – 1 = a
olduğuna göre A nın x ve y cinsinden ifadesi
2 2
A) c x 2 – 2 m
x
E) c
3
2
A = a – 2a – a + 2
a –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
a ile b birbirinden ve sıfırdan farklı sayılar olmak üzere,
A=
a.b
A
b2
ve
=
dır.
3 b 2 – b.a
a.b – b 2
8.
Buna göre, A kaçtır?
A) 2
B) 1
2
C) 1
2
x2 + 3x – 3 = 0 ise 1– x 2+ x ifadesinin değeri
x
aşağıdakilerden hangisidir?
D) 3
5
E) 3
4
A) – 2
3
B) – 1
3
C) 1
3
D) 2
3
E) 4
3
459
Çarpanlara Ayırma
9.
a2 + 5a – 5 = 0 ise
1
1
– nın değeri aşağıdaa2 a
13. x ≠ 0 ve x +
kilerden hangisi olabilir?
A) – 1
5
10.
B) –
1
2
C) 1
5
c
D) 2
E) 5
A) 1
x 5 + ax + 2
ifadesi sadeleşebilir bir kesir ise
x 2 –1
B) –2
C) –1
D) 1
ifadesinin eşiti nedir?
B) 5
14. (x + 4)2 +
a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) –3
2
x2 – 2
m
x
2
= 3 ise
x
C) 7
D) 13
E) 21
1
= 14 olduğuna göre,
(x + 4) 2
x 2 + 8x + 17
ifadesinin pozitif değeri kaçtır?
x+4
E) 2
B) 3v2
C) 2
D) 3
E) 4
ESEN YAYINLARI
A) 2v3
11. x = 7 ve y = 3 olduğuna göre,
x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4 ifadesinin değeri
kaçtır?
A) 16
15.
B) 32
C) 64
D) 128
E) 256
2x 3 y – 18xy 3
= 12 ve 3y – x = 2 ise y kaçtır?
x 2 + 3xy
A) 4
B) 3
C) –6
D) –4
E) –3
12. x ≠ 0 ve b ≠ 0, a ≠ 0 , a ≠ b olmak üzere,
a a2 – b2 b
eşitliğini sağlayan x değeri
–
=
x
ax + b
x
kaçtır?
16. 2a +
1
= 1
8a
ise
1
–
a
a
ifadesinin değeri
nedir?
A) a – b
B) a + b
D) b
460
C) a
E) 1
A) 1
4
B) 1
2
C) 1
D) 3
2
E) 2
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
P(x – 2) = 3x4 + x3 – 2x + 5 polinomunun x + 2
4.
ile bölümünden kalan kaçtır?
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
P (x – 1 )
= x2 – 2x + 4 ve Q(x) in x – 2 ile
Q ( x + 1)
bölümünden kalan 3 ise P(x) in x ile bölümünden kalan kaçtır?
2.
5.
P(x – 1) = x4 + 3x2 – 2x + 3 olmak üzere,
P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan
der[P(x2).Q(x)] = 4 ve der >
kaçtır?
P(x + 1) = 2x3 – x2 + 3x + k olmak üzere,
P(x – 1) polinomunun sabit terimi 6 ise
P(x + 2) polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır?
P ( x)
H = 2 ise
Q 2 (x)
der[P(x+1)] kaçtır?
ESEN YAYINLARI
3.
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
6.
2
1
1
:c
–
m
1 – x2 1 + x 1 – x
işleminin sonucu nedir?
461
Polinomlar ve Çarpanlara Ayırma
7.
d
3x + 8y
4y
işleminin sonucu nedir?
– 4 n·
2y
9x
9.
a2 – a – 3 = 0 ise
(a + 1) (a 3 + 1)
(3a + 4) (a 2 – a – 5)
8.
a4 + b4
a b
ifadesinin sonucu kaçtır?
+ = 3 ise
b a
a2 b2
ESEN YAYINLARI
ifadesinin değeri kaçtır?
10.
3x 2 – 2x – 1
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
ax 2 + bx + c
3x + 1
ise a + b + c kaçtır?
x–2
462
I.
P(x) = 4x3 – x2 + 5 polinomuna göre, sol sütundaki kavramların değerlerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
II.
1.
Baş kat sayı
a.
3
2.
Sabit terim
b.
4, –1, 0, 5
3.
der[P(x)]
c.
4
4.
Kat sayılar
d.
4x3, –x2, 5
5.
Terimler
e.
5
Sol sütunda verilen bölünen ve bölen polinomlara göre kalanı bulup sağ sütundakilerle eşleştiriniz.
Bölünen Polinom
III.
Bölen Polinom
Kalan
1.
P(x)
x+2
a.
P(4)
2.
P(x+3)
x–1
b.
P(6)
3.
P(x2+x)
x–2
c.
P(–3)
4.
Pb
d.
P(–2)
x
Pb – 1l
3
e.
P(0)
5.
x
+ 3l
2
x+6
2x + 12
Sol sütunda verilen rasyonel ifadelerin sadeleştirilmiş biçimlerini bulup sağ sütundakilerle eşleştiriniz.
1.
x – 7 (x – 6)
x–7
a.
x+y
2.
x 2 – xy y 2 + xy
+
x–y
x+y
b.
x
3.
y
x
–
x2 – y2 y2 – x2
c.
1
x–y
4.
x 2 – xy x 2 – xy – 2y 2
+
y 2 – xy
xy + y 2
d.
–6
5.
1 – x –1
1
:
1 – x –2 x + 1
e.
–2
463
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
SOLDAN SAĞA
YUKARIDAN AŞAĞIYA
1.
Çok terimli.
1.
4.
Çarpanlara ayırma metodlarından biri.
7.
Toplam veya fark şeklindeki polinomların çarpım
yarayan sayı tablosu.
2.
13.
P(x, y) şeklindeki polinom.
14.
Hesaplamanın esas olduğu matematiğin en önemli
kolu.
A (x)
şeklindeki ifade.
B (x)
15.
B(x) ≠ 0 olmak üzere,
16.
Polinomlarda bölme işlemi yapılırken kullanılan
metodlardan biri.
18.
toplamı.
Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en
büyük olan terimin kat sayısı.
17.
P(x) = an.xn + an–1.xn–1 + ... + a2.x2 + a1.x + a0
polinomunda an + an–1 + ... + a2 + a1 + a0
şeklinde yazılması.
12.
(x + y)n ifadesinin açılımında kat sayıları bulmaya
Sabit polinomun derecesi.
3.
(a + b)2 veya (a – b)2 gibi ifadeler.
5.
Polinomlar kümesinde değişmeli grup özelliğinin
sağlandığı işlem.
6.
Polinomun değişkene bağlı olmayan terimi.
8.
İçindeki değişkenlere verilen her değer için doğru
olan eşitlikler.
9.
10.
P(x) = 0 polinomu.
x2 – y2 = (x – y)(x + y) özdeşliği.
P(x)
Q(x)
Yanda verilen bölme işlemin-
B(x)
deki K(x) polinomunun adı.
K(x)
11.
Polinomlar kümesinde birim (etkisiz) elemanın
P(x) = 1 olduğu işlem.
464
der[P(x3).Q2(x)]
der[P(x).Q(x)]
der[Q(x)]
Polinom
der[P(x)+Q(x)]
Aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
der[P(x)]
1.
P(x) = x3 – x + 2
Q(x) = x2 – 1
P(x) = 4x3 – 2x
Q(x) = 5x4 – x + 1
2.
Aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri uygun biçimde doldurunuz.
Verilen ifade
a2 – 9
x2 – y2
x
y
x–y
x+y
(x – y)(x + y)
(a)2 – (3)2
a
3
a–3
a+3
(a – 3)(a + 3)
4a2 – 25
9x2 – 4y2
x – 4y
vx + y2
3.
Aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri uygun biçimde doldurunuz.
Verilen ifade
a3 + 8b3
x3 + y3
x
y
x+y
x2 – xy + y2
(x + y)(x2 – xy + y2)
(a)3 + (2b)3
a
2b
a + 2b
a2 – a.2b + 4b2
(a + b)(a2 – 2ab + 4b2)
a3 + 1
2x + 1
x2 – 3xy + 9y2
8x3 – 27y6
465
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
Sıfır polinomunun derecesi de sıfırdır.
2.
P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan P(2) dir.
3.
P(x + 3) polinomunun x ile bölümünden kalan P(3) tür.
4.
P(x) polinomunda tek dereceli terimlerin kat sayıları toplamı
5.
der[P(x)] = a ve der[Q(x)] = b ise der =
6.
der[P(x)] = a ve der[Q(x)] = b ise der[P(x2).Q(x + 3)] = 2a + b dir.
7.
der[P(x).Q(x)] = 6 ise P(x) polinomunun derecesi en çok 6 dır.
8.
P(ax + b) polinomunun kat sayıları toplamı P(a + b) dir.
9.
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
10.
a.b + a.c = a(b + c) ifadesinde ortak çarpan parantezine alma yöntemi kullanılmıştır.
11.
a – b = 6 ve a.b = 8 ise a2 + b2 = 52 dir.
12.
a + b = 3 ve a2 + b2 = 7 ise a3 + b3 = 18 dir.
13.
a2 – 2a – 5 = 0 ise a2 +
14.
a + b – c = 5 ve a2 + b2 + c2 = 13 ise ab – ac – bc = 6 dır.
15.
a2 + b2 – 6a + 4b + 13 = 0 ise a + b = 4 tür.
16.
(a2 + 2)2 + 5(a2 + 2) + 6 ifadesinin çarpanlarından biri a2 + 4 tür.
466
P (1) – P (–1)
dir.
2
P (x)
a
dir.
G=
Q (x)
b
P (x)
= 0 denklemine, rasyonel denklem denir.
Q (x)
25
= 14 tür.
a2
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
2003 – ÖSS
6.
2005 – ÖSS
Her x gerçel sayısı için,
1
b
mx +
a
a
1
x–
a
x2 – cb +
2x – 4 = ax(x – 1) + bx(x + 1) + c(x2 – 1)
olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
E) 16
hangisidir?
2.
2003 – ÖSS
A) x – a
(x 2 – y 2) (x 2 + xy + y 2)
1 1
(x 3 – y 3) c + m
x y
B) x – b
D) x + b
C) x + a
E) ax – b
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
B) x + y
D)
3.
x–y
x+y
E)
7.
C) x – y
2005 – ÖSS
a a
b b
– 1l + c
– 1m
b
b a+b
a a+b
x+y
x–y
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
2004 – ÖSS
Her x gerçel sayısı için,
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (x2 – 1)(px2 + qx + r) + 2x – 1
hangisidir?
ESEN YAYINLARI
A) xy
A) a
B) b
C) a + b
D) 1
E) –1
olduğuna göre, a + c + e toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
8.
2005 – ÖSS
2 3x + 2 –3x
2 x + 2 –x
: x
– 1 2 – 2 –x
2 2x + 2 –2x
4.
2004 – ÖSS
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
1
1
1
1
c 1 – mc 1 + mc 1 + m = 1 – k
3
3
9
3
B) 2x
A) 1
olduğuna göre, k kaçtır?
D) 2x – 2–x
A) 2
5.
B) 3
C) 4
D) 5
C) 2–x
E) 2x + 2–x
E) 6
2004 – ÖSS
x6 – 1
1
1
cx – m·cx2 + 2 + 1m
x
x
9.
2006 – ÖSS
1 4
+ +4 = 0
a2 a
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
olduğuna göre, a kaçtır?
hangisidir?
A) 1
468
B) x
C) x2
D) x3
E) x6
A) 1
2
B) 1
C) –2
D) –1
E) – 1
2
Polinomlar ve Çarpanlara Ayırma
10. 2006 – ÖSS
15. 2007 – ÖSS
a pozitif bir gerçel sayı ve
4
3 2x – 2.3 x + y + 3 2y
3 2x – 3 x + y
2
a – 2a = 8
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
8
B) 1
4
C) 1
2
D) 1
A) 3x – 3y
E) 2
D) 1 – 3x+y
11. 2006 – ÖSS
C) 35
B) 9
D) 310
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
E) 315
hangisidir?
A) 12
x
12. 2006 – ÖSS
x
1
1
x
–
+
m: c
m
1 + x 1– x
1 + x 1– x
B) –1
D) 1 – x
C) x
E) 1 + x
13. 2006 – ÖSS
y 2 – 2y – 3
ESEN YAYINLARI
A) 1
B)
D)
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
y 3 + 27
E) 1 – 3y–x
1
–x
x2
x
·
2
x + x 1 – 2x + x 2
işleminin sonucu kaçtır?
c
C) 1 + 3y–x
16. 2007 – ÖSS
3 20 – 3 10
5
(3 + 1) (3 5 – 1)
A) 1
B) 3x + 3y
x
1– x
1
1+x
C)
E)
1
1– x
1– x
1+x
17. 2007 – ÖSS
x2 + x + 1
x3 – 1
:
2x 2 + 5x 2x 2 + 3x – 5
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
·
3) (y 2
(y –
– 1)
y 2 – 3y + 9
hangisidir?
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
A)
hangisidir?
1
x
B)
1
2–x
D) x
A) (y + 3)(y – 1)
B) (y + 3)(y – 2)
C) (y + 1)(y – 3)
D) (y – 1)(y – 2)
C)
2
1+x
E) x + 1
18. 2008 – ÖSS
E) (y – 1)(y – 3)
a, b ve p birer pozitif tam sayı ve p asal olmak
üzere,
a2 – b2 = p
14. 2007 – ÖSS
a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere,
a2 – 2ab – 3b2 = 0
olduğuna göre,
a + b
toplamının en küçük
değeri kaçtır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
olduğuna göre, a nın p türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
p+1
2
B)
D)
p–1
3
p+1
3
C)
E)
p–1
2
p–2
3
469
Polinomlar ve Çarpanlara Ayırma
19. 2008 – ÖSS
1
1–
x =3
1
1+
x
23. 2009 – ÖSS
a+b+c=A
a–b–c=B
olduğuna göre, A2 – B2 ifadesi aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) –3
B) –2
D) –
1
2
A) 4a(b + c)
C) –1
E) –
B) 4b(a + c)
D) 2a(b – c)
3
2
C) 2c(a + b)
E) 2b(a – c)
24. 2009 – ÖSS
x pozitif gerçel sayısı için x – 2vx – 2 = 0 oldu-
20. 2008 – ÖSS
ğuna göre,
x–y
x+y
x
x
–
–
c
m: c
m
x+y
x
x–y
x
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
A)
hangisidir?
B) x
B) 1
4
C)
3
4
D)
1
6
E)
5
6
C) y
x–y
E)
x+y
x+y
D)
x–y
25. 2010 – LYS
21. 2009 – ÖSS
(1 – x + x2)10 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a20x20
ESEN YAYINLARI
A) 1
1
2
x
ifadesinin değeri kaçtır?
(x – 2) 2
P(x) = 2x3 – (m + 1)x2 – nx + 3m – 1
polinomu x2 – x ile tam bölünebildiğine göre,
m – n kaçtır?
A)
–1
3
–1
2
B)
C)
3
2
D) 2
E) 3
olduğuna göre, çift indisli kat sayıların toplamı
olan a0 + a2 + a4 + a6 + ... + a20 kaçtır?
A) 210 + 1
B) 310 – 1
3 10 + 1
D)
2
C) 410 – 1
4 10 + 1
E)
2
26. 2010 – LYS
P(x) üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonu
olmak üzere,
P(–4) = P(–3) = P(5) = 0
P(0) = 2
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
A)
22. 2009 – ÖSS
a 2 – 2a – 3
1
3
c + 1 mc – 1 m
a
a
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) –3a2
470
B)
8
3
C)
7
4
D)
9
4
E)
8
5
27. 2010 – YGS
(a + 1)2 – (a – 1)2
B) –a2
D) a – 2
7
3
C) 2a2
E) a + 1
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a
B) 2a
C) 3a
D) 4a
E) 5a
Polinomlar ve Çarpanlara Ayırma
28. 2010 – YGS
33. 2011 – YGS
3
x – 2y = 7
Birbirinden farklı a ve b sayıları için,
a2 – b2 = b – a
a
b
4
x – 2xy = 21
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre,
A) 3
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
A) –2
a b
ifadesinin değeri kaçtır?
+
b a
B) –1
C) 0
D) 1
E) 4
29. 2010 – LYS
f(x) =
(1 + x + x 2 + x 3) (1 – x) 2
1 – x – x2 + x3
34. 2011 – LYS
t3 – 2 = 0
olduğuna göre, f(v2) değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
olduğuna göre,
D) 4
E) 5
1
ifadesinin t türünden
t2 + t + 1
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) t + 1
B) t – 2
2
D) t + 1
30. 2011 – LYS
C) t – 1
2
E) t + 3
Gerçel katsayılı P(x), Q(x) ve R(x) polinomları
veriliyor. Sabit terimi sıfırdan farklı P(x) polinomu
P nin sabit terimi Q nun sabit teriminin iki katı
olduğuna göre, R nin kat sayılarının toplamı
kaçtır?
2
A)
3
1
B)
4
3
C)
4
D) 1
E) 2
35. 2011 – LYS
ESEN YAYINLARI
için P(x) = Q(x).R(x + 1) eşitliği sağlanıyor.
x – 2y = 3
olduğuna göre, x2 + 4y2 – 4xy – 2y + x – 3
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 8
D) 9
E) 15
36. 2011 – LYS
x ve y birer gerçel sayı olmak üzere,
31. 2011 – YGS
2x
2 – y2
4x
2 + xy
=
x3 – 3x2y = 3
1
2
y3 – 3xy2 = 11
olduğuna göre, (x + y)2 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
B) 4
1
D)
2
C) 1
1
E)
4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, x – y farkı kaçtır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) –2
E) –3
32. 2011 – YGS
37. 2011 – LYS
1
1
+x –1 =
x +1
x2
3
olduğuna göre, x – 1 ifadesi aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A)
2
x –1
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
B)
D) –x
a4 – a3 . a2 + 1
a4 + a2 a2 – a
1
x
C)
1
E)
x +1
x –1
x
hangisidir?
A) a – 1
B) a
D) a + 1
C) 1
2
E) a + 1
471
Polinomlar ve Çarpanlara Ayırma
38. 2011 – LYS
42. 2012 – LYS
2 (x – y) x – y – 1
+
=3
x – y –1 x – y – 2
x ve y birer gerçel sayı olmak üzere,
x2 – 4y = –7
olduğuna göre, x – y farkı kaçtır?
y2 – 2x = 2
A)
–1
2
B)
–2
3
C)
4
3
D)
5
3
E)
5
4
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D)
4
3
E)
5
3
39. 2012 – LYS
43. 2013 – LYS
a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere,
Baş katsayısı 3 olan ikinci dereceden bir P(x)
P(x) = ( x + a ).( x + b )
polinomu için
polinomunun katsayılarının toplamı 15 olduğuna
P(1) – P(0) = 2
göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 10
B) 9
C) 8
olduğuna göre, P(2) – P(1) değeri kaçtır?
D) 7
E) 6
A) 4
2
x + xy + xz + yz
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
x
x+y
B)
y
x+y
y
x+z
C)
E)
z
x+z
ESEN YAYINLARI
x (y + z) + z (y – x)
D)
C) 6
D) 7
E) 8
44. 2013 – LYS
40. 2012 – LYS
A)
B) 5
a, b pozitif tam sayılar, p bir asal sayı ve
a3 – b3 = p
olduğuna göre, a2 + b2 toplamının p türünden
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
p+1
2
B)
D)
y
y+z
p+3
2
2p – 1
2
C)
E)
p+2
3
2p + 1
3
45. 2013 – LYS
41. 2012 – LYS
a, b, c sıfırdan farklı gerçel sayılar ve
a + b + c = ab olduğuna göre,
x ve y pozitif gerçel sayıları için
ab + ac + bc + c 2
abc
x.y = 5
x2 + y2 = 15
olduğuna göre, x3 + y3 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 40
B) 45
C) 50
D) 60
E) 75
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
a +1
a
B)
D)
472
b
a
b+1
b
C)
E)
b
c
c +1
c
ÇEMBER ve DAİRE
. ÜNİTE
7. ÜNİTE
7. ÜNİTE
7. ÜNİTE
Çemberin Temel Elemanları
1.
Kazanım
: Çemberde teğet, kiriş, çap ve yay kavramlarını açıklar.
2.
Kazanım
: Çemberde kirişin özelliklerini gösterir.
Çemberde Açılar
1.
Kazanım
: Bir çemberde merkez, çevre, iç, dış ve teğet-kiriş açılarını açıklar; bu açıların ölçüleri ile gördükleri yayların ölçülerini ilişkilendirir.
Çemberde Teğet
1.
Kazanım
: Çemberde teğetin özelliklerini gösterir.
Dairenin Çevresi ve Alanı
1.
Kazanım
: Dairenin çevresini ve alanını veren bağıntıları oluşturur ve uygulamalar yapar.
7. ÜNİT
ÇEMBERDE TEMEL ve YARDIMCI ELEMANLAR
®
Bir çember içindeki herhangi bir A noktasından
geçen kirişler içinde en kısa olanı, A noktasın-
Kiriş: Bir çemberin farklı iki noktasını birleştiren
dan geçen yarıçapa bu noktada dik olan kiriştir.
doğru parçasına, çemberin kirişi denir.
E
Çap: Merkezden geçen kirişe çap denir. Bir çember-
O merkez ve [ED] ⊥ [BC]
de en büyük kiriş çaptır.
çemberin bir keseni denir.
[BC], en uzun kiriş
[ED] çapıdır.
D
B
O
çap
M
kiriş
C
A
B
kirifl
A
iken A dan geçen en kısa
O
Kesen: Çemberi farklı iki noktada kesen doğruya
Teğetin Özellikleri
N
d
®
Çemberin herhangi bir teğeti, değme noktasındaki yarıçapa diktir.
kesen
Teğet ve Normal: Çember ile yalnız bir ortak noktası
O
olan doğruya teğet denir. Bir çemberin herhangi bir
teğetine, değme noktasında dik olan doğruya çem-
r
berin o noktasındaki normali denir.
H
d
normal
A
®
O
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet
parçalarının uzunlukları eşittir.
B
te¤et
r
Kirişin Özellikleri
®
r
Bir çemberin merkezinC
O
den herhangi bir kirişi-
|AB| = |AC| ve [AO] açıortaydır.
ne indirilen dikme, kirişi
A
ortalar.
B
H
®
[OH] ⊥ [AB] ⇒ |AH| = |HB| dir.
®
O
C
A
H
B
Bir çemberde veya
eş çemberlerde eş
kirişlerin merkeze
uzaklıkları eşittir.
Bir çemberin iki kirişi
yakındır.
daha
B
r2
F
H
r1 – r2
O
A
C
D
r2
O
|CD| < |AB| ⇔ |OE| < |OF|
474
|AB| = |CD|
P
A
E
merkezden eşit uzakmerkeze
A
®
B
kiriş
B
C
|AB| = |CD| ⇔ |OH| = |OE|
lıkta değilse, uzun olan
İki çemberin ortak dış teğet parçalarının uzunlukları eşittir.
D
E
®
O
A
M
D
|AB| =
OM
2
– (r1 – r2) 2 dir.
®
İki çemberin ortak dış teğetlerinin kesim noktası
®
ile merkezleri doğrusaldır.
Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi, üçgenin
iç açıortaylarının kesim noktasıdır.
A
B
A
E
F
D
M
O
O
C
B
D
E, O, M doğrusaldır.
®
E
C
Bir üçgenin bir iç açıortayı ile diğer açılarının dış
açıortaylarının kesiştiği nokta, dış teğet çember-
®
lerinden birisinin merkezidir.
r1
A
E
d
O
C
M
r2
O
D
B
C
OM
|AB| =
2
r1
A
– (r1 + r2) 2
®
B
F
Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi, üçgenin
kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır.
A
Çemberde Kuvvet
®
F
B
E
O
A
P
B
C
D
C
D
|PA|.|PB| = |PC|.|PD|
ÇEMBERDE AÇILAR
®
T
Merkez Açı
A
P
Merkez açının ölçüsü
A
B
O
|PT|2 = |PA|.|PB|
®
x
x
B
gördüğü yayın ölçüsüne
eşittir.
B
B
C
®
P
A
D
Bir çemberde veya eş
çemberlerde, eş kirişlerin
yayları eştir.
[AB] ∩ [CD] = {P} ⇒ |PA|.|PB| = |PC|.|PD|
D
A
C
h
h
|AB| = |CD| ⇒ m(AB) = m(CD)
475
®
®
Bir çemberin merkezinden
O
O
herhangi bir kirişine indirir
len dikme, bu kirişin gördüA
ğü yayları ortalar.
C
K
r
B
D
A
C
B
h
h
m(AC) + m(CB) = 180°
Çevre Açı
Teğet-Kiriş Açı
Çevre açının ölçüsü gördü-
x
2x
ğü yayın ölçüsünün yarısına
Teğet-kiriş açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün
yarısına eşittir.
eşittir.
B
®
%
m (AB)
2
x=
A
x
Aynı yayı gören çevre
α
C
açıların ölçüleri eşittir.
a
a
m( ABC) = m( CDA)
A
B
®
α
Y
D
C
B
®
A
B
A
O
X
Çapı gören çevre açı-
C
h
h
m(AXB) = m(BYC)
nın ölçüsü 90° dir.
%
a
m ( BC)
180°
=
= 90°
m( BAC) =
2
2
®
h
h
m(CLA) = m(BKA)
A
®
C
Paralel iki kirişin ara-
A
B
B
K
L
sında kalan yayların
ölçüleri eşittir.
C
D
İç Açı
h
h
[AB] // [CD] ⇒ m(AC) = m(BD)
%
&
a
m (AB) + m ( DC)
m( AEB) =
2
®
E
D
B
K
B
O
Dış Açı
C
A
A
C
K
L
h
h
h
m(AB) + m(AC) + m(BC) = 180°
476
C
A
B
D
&
%
a
m ( CD) – m (AB)
m( CKB) =
2
®
[KA ve [KC çembere A ve C noktalarında
Daire Diliminin Alanı
teğet olmak üzere
A
O
A=
α
r
r
a
. r r2
360°
K
A
C
h
a
m( AKC) + m(AC) = 180°
®
B
Daire Parçasının Alanı
O
A
K
B
α
r
a
1
. r r2 – .r2.sinα
360°
2
=
r
A
C
O
a
. r r2 – A(AOB)
360°
A=
[KA, O merkezli çembere A noktasında teğet ise
B
Daire Halkasının Alanı
h
a
m( AKC) + m(AB) = 90°
r
Kirişler Dörtgeni
A = r R2 – r r2 = r (R2 – r2)
O
R
A
B
Köşeleri aynı çemberin üzerinde olan dörtgene kirişler dörtgeni denir. Kirişler dörtgeninde, karşılıklı açılar
D
E
O
A
A
C
r
A1
Teğetler Dörtgeni
teğetler dörtgeni denir. Teğetler dörtgeninde karşılıklı
kenarların uzunlukları toplamı birbirine eşittir.
C
D
C
A2
r O
A
Bütün kenarları bir çembere teğet olan dörtgene,
A1
r 2
=b l
A1 + A2
R
B
Y
®
B
a
a
a
a
m( A) + m( C) = 180° ve m( B) + m( D) = 180°
R
A2
C
D
%
AB
r
& =R
CD
®
bütünlerdir.
A1
B
M
R
X
(
AB A 1
AB 2
AXB
r
r 2
,
=b l =f
p
) =R=
R
BC A 2
BC
BYC
İçten teğet dairelerde;
Y
X
|AB| + |DC| = |AD| + |BC|
A1
A
A
B
DAİRENİN ALANI
r yarıçaplı dairenin alanı: A = r r2
O
r
C
A2
B
M
R
(
A1
AB
AB 2
AXB
r
r 2
,
=b l =f
p
) =R=
R
AC A 1 + A 2
AC
AYC
477
Çember ve Daire
REHBER SORU 1
Çözüm
D
F
4
C
O
A
x
E
B
O merkezli çemberde, [OE] ⊥ [AB] , [OF] ⊥ [CD]
|AE| = |CF| , |OF| = 4 cm ise |OE| = x kaç cm dir?
1.
3.
B
D
5
x
A
O
A
O
3
E
2
E
5
dir?
|OD| = x kaç cm dir?
5
2
D) 3
E)
7
2
A)
5
2
B) 3
C)
7
2
D) 4
E)
9
2
ESEN YAYINLARI
C)
D
|EF| = 2 cm, |EC| = 5 cm ise |ED| = x kaç cm
|AD| = 5 cm, |OE| = 3 cm, |EC| = 5 cm ise
B) 2
x
O merkezli çemberde, OEDC dikdörtgen
O merkezli çemberde, [OD] ⊥ [AB], [OE] ⊥ [AC]
3
2
B
F
C
A)
C
5
4.
2.
A
12
C
O
O
B
x
x
E
A
D
C
3
3
B
D
F
O merkezli çemberde, OEDC dikdörtgen
O merkezli çemberde, |OC| = |CD|
|AO| = 12 cm ise |EC| = x kaç cm dir?
|AC| = |CB| = 3 cm ise |OA| = x kaç cm dir?
A) 10
A) 2v3
478
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
B) c13
C) 4
D) 3v2
E) 5
Çember ve Daire
REHBER SORU 21
Çözüm
O
10
x
12
A
C
4
B
O merkezli çemberde, [AB] kiriş , |AC| = 12 cm
|CB| = 4 cm , |OB| = 10 cm ise |OC| = x kaç cm dir?
3.
1.
A
O
C
B
4
8
O
5
A
2
C
D
10
B
O merkezli çemberde, [AB] kiriş, |AC| = 2 cm
O merkezli çemberlerde,
|CB| = 10 cm, |OC| = 5 cm ise çemberin yarıça-
çemberin yarıçapı 5 cm dir. |AB| = 4 cm ,
pı kaç cm dir?
|BC| = 8 cm ise büyük çemberin yarıçapı kaç cm
A) 2v7
B) 5
C) 4v2
D) 6
[AD] kiriş ve küçük
dir?
E) 3v5
B) 6v2
C) 8
D) 2c15
E) 7
ESEN YAYINLARI
A) c73
2.
4.
O
3
A
O
A
D
2
C
C
B
x
4
B
5
2
D
O merkezli çemberde, [AB] ∩ [OC] = {D}
h
h
|AC| = |CB|, |OD| = 3 cm, |DC| = 2 cm ise
O merkezli çemberde, [AB] çap, [AD] kiriş
|AB| kaç cm dir?
|OC| = x kaç cm dir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
|AC| = 4 cm, |CD| = 2 cm, |OB| = 5 cm ise
A) 3
B) c15
C) 4
D) c17
E) 5
479
Çember ve Daire
REHBER SORU 31
Çözüm
E
1
C
B
x
O
2
A
D
O merkezli çeyrek çemberde OABC dikdörtgen
|EC| = 1 cm , |AD| = 2 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
3.
1.
B
C
D
1
A
C
x
8
4
A
6
B
x
E
O
A merkezli çeyrek çemberde ABCD dikdörtgen
|AB| = 6 cm, |AD| = 8 cm ise |BE| = x kaç cm
|BA| = 1 cm, |AO| = 4 cm ise |AC| = x kaç cm
dir?
C) 3
7
D)
2
dir?
E) 4
A)
ESEN YAYINLARI
A) 2
5
B)
2
9
2
B) 4
1
C
C)
7
2
D) 3
E)
5
2
E
4.
D
2.
D
O merkezli çeyrek çemberde, [AC] ⊥ [OB]
E x B
x
B
C
4
13
O
A1D
O
A
O merkezli çeyrek çemberde OABC dikdörtgen
O merkezli çeyrek çemberde OABC dikdörtgen
|OC| = 4 cm, |CD| = 1 cm ise |BE| = x kaç cm
|AD| = 1 cm, |AC| = 13 cm ise |EC| = x kaç cm
dir?
dir?
A) 1
480
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
Çember ve Daire
REHBER SORU 41
Çözüm
D
x
3
A
C
12
B
[AB] çaplı yarım çemberde, [DC] ⊥ [AB], |AC| = 3 cm
|CB| = 12 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
1.
3.
D
F
E
6
A
12
2v3
x
C
B
C
A
v7
D x B
2 O
[AB] çaplı yarım çemberde, [DC] ⊥ [AB]
O merkezli yarım çemberde [FC] ⊥ [AB]
|AC| = 12 cm , |DC| = 6 cm ise |CB| = x
[ED] ⊥ [AB] , |FC| = 2v3 cm , |CO| = 2 cm
kaç cm dir?
|ED| = v7 cm ise |DB| = x kaç cm dir?
5
2
B) 3
C)
7
2
D) 4
E)
9
2
A)
5
2
B) 2
C)
3
2
D) 1
E)
1
2
ESEN YAYINLARI
A)
2.
F
4.
E
D
x
A 2 C
4
O
4
D
B
A
x
C
6
B
O merkezli yarım çemberde CDEF dikdörtgen
[AB] çaplı yarım çemberde, [DC] ⊥ [AB]
|AC| = 2 cm , |OD| = 4 cm ise |FC| = x kaç cm
|AD| = 4 cm , |CB| = 6 cm ise |DC| = x kaç cm
dir?
dir?
A) 2v5
B) 2v6
C) 5
D) 2v7
E) 6
A) v6
B) 3
C) 2v3
D) 4
E) 3v2
481
Çember ve Daire
REHBER
REHBER SORU
SORU 51
Çözüm
4
O
A
E
2
B
C
M
D
O ve M merkezli çemberler E noktasında dıştan
teğettir. [OM] // [AD] , |OE| = 4 cm , |EM| = 2 cm
ve |AD| = 11 cm ise |BC| kaç cm dir?
1.
3.
B
A
O
B
C
4
M
E
A
8
C
D
x
D
5
F
E
O ve M merkezli çemberler E noktasında
B ve E noktalarında kesişen çemberlerde
dıştan teğettir. [OM] // [AD] , |AB| = 6 cm
[AC] // [DF] , |AB| = 8 cm , |BC| = 4 cm
|BC| = 1 cm , |CD| = 2 cm ise |OM| kaç cm dir?
|EF| = 5 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
A) 4
A) 10
C) 6
D) 7
E) 8
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
ESEN YAYINLARI
B) 5
2.
A
B
x
C
D
2
M
4.
O
4
B
A
O
C
M
O ve M merkezli çemberler dıştan teğet
[AC , C noktasında teğet, |OD| = 4 cm
|DM| = 2 cm ve [AC // [OM] ise |BC| = x kaç
O ve M merkezli çemberlerde [AC] // [OM]
cm dir?
|AB| = 8 cm ve |BC| = 2 cm ise |OM| kaç cm
A) 2v3 – 2
B) 2v3 + 1
D) 4 – 2v3
482
C) 2v3
E) 6 – 2v3
dir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Çember ve Daire
REHBER SORU 6
Çözüm
O
x
D
9
A
C
4
B
O merkezli çember OAB üçgenine C noktasında
teğettir. [AO] ⊥ [BO] , |AC| = 9 cm , |CB| = 4 cm ise
|AD| = x kaç cm dir?
1.
3.
B
O
x
D
4
A
C
2
A
B
4
D
5
C
O merkezli çember OAB üçgenine C noktasında
[AB teğet, [BC] ⊥ [AD] , |AC| = 4 cm
teğettir. [AO] ⊥ [BO] , |AC| = 4 cm, |CB| = 2 cm
|CD| = 5 cm ise çemberin çapı kaç cm dir?
ise |OD| = x kaç cm dir?
A) 5
C) c10
B) 3
D) c15
B) 2v7
C) 6
D) 2c10
E) 3v5
E) 4
ESEN YAYINLARI
A) 2v2
4.
2.
D
120°
C
12
x
A
H
A
O
8
B
O merkez, [CH] ⊥ [AB] , |OB| = 8 cm
|BC| = 12 cm ise |CH| = x kaç cm dir?
A) 7
B) 3v7
C) 8
D) 6v2
E) 9
C
B
[AB] çaplı yarım çemberde, [DC] ⊥ [AB] ve
h
AC
m(DB) = 120° ise
kaçtır?
CB
A)
1
7
B)
1
6
C)
1
5
D)
1
4
E)
1
3
483
Çember ve Daire
REHBER SORU 7
Çözüm
C
E
D
6
2
x
A
B
[AB] çaplı yarım çemberde A, B, E teğet değme
noktalarıdır. |BC| = 6 cm , |AD| = 2 cm ise |AB| = x
kaç cm dir?
1.
3.
A
C
E
9
O
D
x
B
D
C
12
A
E
B
[BC] çaplı yarım çemberde B, C, E teğet değme
noktalarıdır. |AB| = 9 cm , |BC| = 12 cm ise
O merkez, ABCD dik yamuk, E teğet değme
|DC| = x kaç cm dir?
noktası, |CB| = 6 cm, |AB| = 4 cm ise |CD| kaç
cm dir?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A)
ESEN YAYINLARI
A) 2
B 1 C
2.
25
3
B) 8
C)
22
3
A
E)
20
3
D
4.
r
3
D) 7
E
C
O
2
A
4
O
B
O merkez, [BA] ⊥ [AO], [BC] ⊥ [BA]
[AB] çap, O merkez, ABCD dik yamuk
|BC| = 1 cm, |BA| = 3 cm ise |CO| = r kaç cm
E teğet değme noktası, |AO| = 4 cm
dir?
|BC| = 2 cm ise |DC| kaç cm dir?
A) 7
484
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
A) 4v3
B) 3v5
C) 6
D) 4v2
E) 5
Çember ve Daire
REHBER SORU 8
Çözüm
D
B
7
A
F
x
6
C
E
Şekilde ABC üçgeninin dış teğet çemberlerinden biri
verilmiştir. |AC| = 6 cm , |AB| = 7 cm ve
|BC| = 5 cm ise |FC| = x kaç cm dir?
1.
3.
D
B
B
3
E
1
A
A
4
C
C
F
Şekilde, [AD , [AF ve [BC] çembere teğettir.
Şekilde, [AB ve [AC çembere teğettir.
|CE| = 1 cm , |AC| = 4 cm ve |AB| = 3 cm ise
|AB| = 20 cm , |BC| = 24 cm ise çemberin yarı-
|BE| kaç cm dir?
çapı kaç cm dir?
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
ESEN
ESENYAYINLARI
YAYINLARI
A) 1
4.
2.
B
D
B
E
6
A
D
A
3
C
C
F
Şekilde, [AB ve [AC çembere teğettir.
Şekilde, [AD , [AF ve [BC] çembere teğettir.
[CD] // [AB , |CD| = 3 cm , |BC| = 6 cm ise
|AD| = 24 cm ise Çevre(ABC) kaç cm dir?
|AC| kaç cm dir?
A) 45
A) 12
B) 46
C) 47
D) 48
E) 49
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
485
Çember ve Daire
REHBER SORU 9
Çözüm
E
x
D
8
4
A
F
B
K
C
[AB] ve [BC] çaplı yarım çemberler dıştan teğet olup
ED ortak dış teğetleridir. [EF] ⊥ [AC] , [DK] ⊥ [AC]
|EF| = 8 cm ve |DK| = 4 cm ise |ED| = x kaç cm dir?
1.
3.
E
8
D
D
6
A
E
x
F
B
K
A
C
F
B
K
C
[AB] ve [BC] çaplı yarım çemberler dıştan teğet
[AB] ve [BC] çaplı yarım çemberler dıştan teğet
olup, ED ortak dış teğetleridir. [EF] ⊥ [AC]
olup, DE ortak dış teğetleridir. [DF] ⊥ [AC]
[DK] ⊥ [AC] , |EF| = 6 cm ve |ED| = 8 cm ise
[EK] ⊥ [AC] , |DE| = 6 cm ve |FK| = 4 cm ise
A(DEKF) kaç cm2 dir?
|DK| = x kaç cm dir?
7
2
B) 3
C)
5
2
D) 2
E)
3
2
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
ESEN YAYINLARI
A)
4.
2.
A
A
2v3
B
8
2
6
B
C
C
A noktasında dıştan teğet çemberlerde BC ortak
A noktasında dıştan teğet çemberlerde BC ortak
dış teğettir. |AC| = 2 cm , |AB| = 2v3 cm ise
dış teğettir. |AB| = 8 cm , |AC| = 6 cm ise çem-
|BC| kaç cm dir?
berlerin yarıçapları oranı nedir?
A) 5
486
B)
9
2
C) 4
D)
7
2
E) 3
A)
8
3
B) 3
C)
16
7
D) 2
E)
16
9
Çember ve Daire
REHBER SORU 10
Çözüm
B
x
A
12
3
O
M
O ve M merkezli çemberlerin ortak dış teğeti AB olup,
|AO| = 3 cm , |MB| = 12 cm , |OM| = 15 cm ise
|AB| = x kaç cm dir?
1.
3.
A
B
B
3
A
2
O
5
3
M
O
M
O ve M merkezli çemberlerin ortak dış teğeti AB
O ve M merkezli dıştan teğet çemberlerin ortak
dir. |OA| = 3 cm , |MB| = 2 cm ve |OM| = 8 cm
dış teğeti AB dir. |OA| = 3 cm , |MB| = 5 cm ise
ise |AB| kaç cm dir?
|AB| kaç cm dir?
B) 8
C) 6v2
D) 9
E) 10
A) 10
B) 9
C) 6v7
D) 8
E) 2c15
ESEN YAYINLARI
A) 3v7
4.
2.
x
D
B
E
A
9
x
7
A
4
8
B
C
D
C
[AB] ve [BC] çaplı yarım çemberler B de dıştan
teğet olup DE ortak dış teğetleridir.
C noktasında dıştan teğet çemberlerde,
|AB| = 4 cm ve |BC| = 8 cm ise |DE| = x kaç
[AB ortak dış teğet, D, C, B doğrusal, |DC| = 7 cm
cm dir?
|CB| = 9 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
A) 6
B) 4v2
C) 2v7
D) 5
E) 4
A) 3v7
B) 8
C) 6v2
D) 7v2
E) 10
487
Çember ve Daire
REHBER SORU 11
Çözüm
B
2
O
M
8
4
A
Yarıçapları 4 cm ve 2 cm olan O ve M merkezli iki
çemberin ortak iç teğet parçasının uzunluğu
|AB| = 8 cm ise |OM| kaç cm dir?
3.
1.
A
A
3
2
x
B
4
F
M
O
D
1
9
B
C
E
Yarıçapları 2 cm ve 1 cm olan O ve M merkezli
iki çemberin ortak iç teğet parçasının uzunluğu
|AB| = 4 cm ise çemberler arasındaki en kısa
[AC ve [AE kesen, [AF teğet, |AB| = 3 cm
uzaklık kaç cm dir?
|BC| = 9 cm ise |AF| = x kaç cm dir?
3
2
B) 2
C)
5
2
D) 3
D
2.
E)
7
2
C
F
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
ESEN YAYINLARI
A)
4.
x
A
2
4
E
B
E
C
5
2
K
A
D
B
ABCD karesinde [AD] ve [BE] çaplı yarım
C noktasında dıştan teğet çemberlerde, AB
çemberlerin ortak iç teğeti FK dir.
ortak dış teğet, A, C, D doğrusal, |AC| = 4 cm
|BE| = |EC| = 2 cm ise |FK| kaç cm dir?
|CD| = 5 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
A) 2v2
488
B) 3
C) c10
D) 2v3
E) 4
A)
9
2
B) 4
C)
7
2
D) 3
E)
5
2
Çember ve Daire
REHBER SORU 12
Çözüm
A
F
K
B
D
E
C
Şekilde ABC üçgeninin iç teğet çemberi verilmiştir.
a
a
m( BAE) = m( EAC), |AB| = 6 cm, |AC| = 9 cm
|BC| = 10 cm ise |DE| kaç cm dir?
1.
3.
A
A
D
F
E
K
E
B
C
F
B
C
D
ABC üçgeni ile iç teğet çemberi verilmiştir.
a
a
m( ABE) = m( EBC), |AB| = 4 cm, |BC| = 6 cm
Şekilde verilen ABC dik üçgeninin iç teğet çem-
|AC| = 5 cm ise |DE| kaç cm dir?
|DC| kaç cm dir?
5
2
B) 2
C)
2.
3
2
D) 1
E)
1
2
A
A) 1
ESEN YAYINLARI
A)
berine göre, |AB| = 5 cm ve |AC| = 3 cm ise
B)
3
2
C) 2
4.
x
D)
5
2
E) 3
A
6
E
F
F
E
1
B
2
D
C
B
4
6
D
C
Çember ABC üçgenine D noktasında teğettir.
h
h
|FD| = |DE|, |BF| = 1 cm, |CE| = 2 cm
Şekilde verilen ABC dik üçgeninin iç teğet çem-
|AE| = 6 cm ise |AF| = x kaç cm dir?
çemberin yarıçapı kaç cm dir?
A) 2
5
B)
2
C) 3
7
D)
2
E) 4
berine göre, |BD| = 4 cm ve |DC| = 6 cm ise
A)
3
2
B) 2
C)
5
2
D) 3
E)
7
2
489
Çember ve Daire
REHBER SORU 13
Çözüm
A
x
O
25°
C
B
O merkezli çemberde,
a
a
m( OBC) = 25° ise m( BAC) = x kaç derecedir?
1.
3.
A
A
D
50°
28°
E
B
O
x
x
C
B
C
a
O merkezli çemberde m( BAC) = 28° ise
a
m( BOC) = x kaç derecedir?
a
Şekildeki çemberde [BD] ⊥ [AC], m( BAC) = 50°
a
ise m( ACD) = x kaç derecedir?
A) 53
A) 40
C) 55
D) 56
E) 57
B) 35
C) 30
D) 25
E) 20
ESEN YAYINLARI
B) 54
A
4.
40°
2.
A
C
B
x
32°
80°
x
30°
B
a
Şekildeki çemberde m( DAC) = 40°
a
a
a
m( BCD) = 30° , m( BDA) = 80° ise m( ABC) = x
a
O merkezli yarım çemberde m( ADB) = 30°
a
a
m( CAD) = 32° ise m( ADC) = x kaç derecedir?
kaç derecedir?
A) 24
A) 25
490
B) 25
C) 26
D) 27
C
D
D
O
30°
E) 28
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
Çember ve Daire
REHBER SORU 14
Çözüm
C
B
36°
20°
A
D
x
E
Şekildeki çemberde,
a
a
a
m( CAE) = 20° , m( CBE) = 36° ise m( AEB) = x
kaç derecedir?
1.
3.
A
E
B
A
x
50°
30°
D
a
Şekildeki çemberde, m( AEC) = 50°
a
a
m( ABC) = 30° ise m( ECD) = x kaç derecedir?
C) 25
D) 30
C
a
[BA, çembere A da teğettir. m( ABC) = 36° ve
a
a
m( BCA) = 40° ise m( DAC) = x kaç derecedir?
E) 35
A) 59
B) 60
C) 62
D) 63
E) 64
ESEN YAYINLARI
B) 20
D
B
C
A) 15
40°
36°
x
2.
A
B
K
4.
C
°
10
A
x
E
x
30°
B
D
25°
C
O
D
E
F
a
Şekildeki çemberde, m( BAD) = 10°
a
a
m( CFE) = 25° ise m( CKE) = x kaç derecedir?
a
O merkezli çemberde, m( ADB) = 30°
a
|AB| = |AE| ise m( AEB) = x kaç derecedir?
A) 15
A) 30
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
491
Çember ve Daire
REHBER SORU 15
Çözüm
B
30°
A
x
E
70°
C
D
a
a
Şekildeki çemberde m( ABC) = 30° , m( BCD) = 70°
a
ise m( BED) = x kaç derecedir?
1.
3.
A
60°
E
B
x
x
A
D
20°
C
C) 90
D) 85
40°
C
O
D
kaç derecedir?
A) 55
E) 80
B) 60
C) 65
D) 70
E) 75
ESEN YAYINLARI
B) 95
K
[AB , O merkezli yarım çembere B de teğettir.
a
a
[AB // [CE] , m( BAD) = 40° ise m( BKC) = x
a
Şekildeki çemberde m( ABC) = 60°
a
a
m( BCD) = 20° ise m( CED) = x kaç derecedir?
A) 100
E
B
A
2.
4.
30°
F
B
C
O
D
C
10°
A
x
20°
F
D
B
70°
x
E
E
a
O merkezli çemberde m( ABC) = 30°
a
a
m( DCB) = 10° ise m( EFC) = x kaç derecedir?
a
Şekildeki çemberde, m( CAE) = 20°
a
a
m( CFE) = 70° ise m( CDE) = x kaç derecedir?
A) 110
A) 30
492
B) 115
C) 120
D) 125
E) 130
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
Çember ve Daire
REHBER SORU 16
Çözüm
a.
B
A
α
C
[AB ile [AC çembere B ve C noktalarında teğettir.
h
a
m( BAC) = α ise α + m(BC) = 180° olduğunu
gösteriniz.
b.
B
A
x
D
C
O
[AB, O merkezli çembere B de teğettir.
h
a
m( BAC) = x ise x + m(BD) = 90° olduğunu
gösteriniz.
1.
3.
A
A
x
B
x
52°
D
B
40°
D
30°
C
C
E
[BA ve [BE çembere A ve C noktalarında
teğettir. Verilenlere göre x kaç derecedir?
teğettir. Verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 64
B) 65
C) 66
2.
D) 67
E) 68
ESEN YAYINLARI
[BA ve [BC çembere A ve C noktalarında
A) 85
B) 90
C) 95
D) 100
4.
A
A
x
B
E) 105
F
E
x
20°
C
O
D
B
D
O
C
[BA, O merkezli yarım çembere A da teğettir.
a
a
m( ABD) = 20° ise m( ADB) = x kaç derecedir?
[BA , O merkezli yarım çembere A da teğettir.
a
[BE] açıortay ise m( AFB) = x kaç derecedir?
A) 25
A) 35
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
493
Çember ve Daire
REHBER SORU 17
Çözüm
D
E
x
15°
A
B
O
C
O merkezli yarım çemberde, |OC| = |AE|
a
a
m( DAC) = 15° ise m( DOC) = x kaç derecedir?
1.
3.
D
D
a
C
E
x
A
O
20°
B
b
C
A
B
O
O merkezli yarım çemberde,
a
a
|OD| = |EC| , m( DCA) = 20° ise m( DOC) = x
O merkezli yarım çemberde,
a
a
|OB| = |DC| , m( DCA) = a , m( CAB) = b
kaç derecedir?
ise a + b kaç derecedir?
B) 115
C) 110
D) 105
E) 100
A) 50
B) 55
C) 60
D) 65
E) 70
ESEN YAYINLARI
A) 120
4.
2.
C
E
°
36
D
132°
A
O
x
x
B
C
A
O
D
B
O merkezli yarım çemberde,
a
a
|AO| = |DC| , m( EOC) = 132° ise m( ECA) = x
O merkezli yarım çemberde,
a
a
|AO| = |DC| , m( DCB) = 36° ise m( ABC) = x
kaç derecedir?
kaç derecedir?
A) 20
494
B) 19
C) 18
D) 17
E) 16
A) 46
B) 48
C) 50
D) 52
E) 54
Çember ve Daire
REHBER SORU 18
Çözüm
B
A
C
AB, iki çemberin ortak dış teğetidir. Buna göre
h
h
m(AC) + m(BC) = 180° olduğunu gösteriniz.
1.
3.
D
30°
A
O
C
x
50°
O merkezli çember, diğer çembere A da teğettir.
a
İki çemberin ortak teğeti BC, m( ABC) = 50° ise
a
m( AOC) = x kaç derecedir?
C noktasında teğet olan iki çemberin ortak teğeti
a
a
AB dir. m( BDC) = 30° ise m( AOC) = x kaç
derecedir?
C) 110
D) 105
E) 100
A) 85
B) 80
C) 75
D) 70
E) 65
ESEN YAYINLARI
B) 115
C
B
B
A
A) 120
O
x
2.
E
4.
C
50°
58°
C
D
x
D
x
B
A
A
B
a
AB, iki çemberin ortak teğetidir. m( AED) = 50°
a
ise m( DCB) = x kaç derecedir?
D noktasında teğet olan iki çemberin ortak teğeti
a
a
AB dir. m( DCB) = 58° ise m( DAB) = x kaç
A) 25
A) 28
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
derecedir?
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
495
Çember ve Daire
REHBER SORU 19
Çözüm
O
B
K
A
C
N
O, K ve N merkezli çemberler A, B ve C noktalarında
h
h
h
teğettir. m(AB) + m(BC) + m(AC) = 180°
olduğunu gösteriniz.
1.
3.
K
30
°
O
B
C
A
B
D
E
x
70°
C
K
D
A
O
A, B ve O merkezli çemberler D, E ve C noktalaa
a
rında teğettir. m( DKC) = 30° , m( CFE) = 20° ise
a
m( DOE) = x kaç derecedir?
C) 25
D) 20
E) 15
ESEN YAYINLARI
B) 30
E
x
O, A ve K merkezli çemberler D, E ve C noktalaa
a
rında teğettir. m( EOD) = 60° ve m( DAC) = 70°
a
ise m( EBC) = x kaç derecedir?
A) 35
F
20°
60°
A) 80
B) 75
C) 70
D) 65
F
x
E) 60
4.
A
2.
D
30°
x
C
K
F
E
z
D
y
E
L
B
40°
Şekildeki çemberler D, E, F noktalarında teğet
ise x + y + z kaç derecedir?
496
B) 85
C) 90
D) 95
E) 100
50°
B
A
A) 80
C
Şekildeki çemberler E, F, K, L noktalarında teğet
a
ise m( KCF) = x kaç derecedir?
A) 65
B) 60
C) 55
D) 50
E) 45
Çember ve Daire
REHBER SORU 20
Çözüm
a.
Y
C
B
A
X
Şekildeki iki çember B de teğettir. A, B C doğh
h
rusal ise m(AXB) = m(BYC) olduğunu gösteriniz.
b.
X
Y
A
C
B
Şekildeki çemberler C de teğettir. A, B, C doğruh
h
sal ise m(AXC) = m(BYC) olduğunu gösteriniz.
3.
A
1.
A
40°
40°
D
x
E
B
E
B
70°
x
C
D
a
İki çember A noktasında teğettir. m( ADE) = 40°
a
ise m( ABC) = x kaç derecedir?
B) 135
2.
C) 130
D) 125
E
A) 55
B) 60
C) 65
4.
D
70°
E) 120
İki çember C de teğettir. [AD] , küçük çembere
a
a
F de teğettir. m( BAD) = 40° , m( FEC) = 70°
a
ise m( ABC) = x kaç derecedir?
ESEN YAYINLARI
A) 140
x
C
F
D) 70
E) 75
D
C
x
A
B
75°
C
E
B
A
İki çember B de teğettir. A, B, C doğrusal,
a
a
m( AEB) = 70° ise m( BDC) = x kaç derecedir?
İki çember C de teğettir. A, C, E doğrusal,
a
a
m( ABC) = 75° ise m( CDE) = x kaç derecedir?
A) 115
A) 95
B) 110
C) 105
D) 100
E) 95
B) 90
C) 85
D) 80
E) 75
497
Çember ve Daire
REHBER SORU 21
Çözüm
A
B
x
O
140°
C
a
O merkezli çemberde, m( AOC) = 140° ise
a
m( ABC) = x kaç derecedir?
1.
3.
A
O
x
120°
B
B
70°
D) 135
A) 180° – x
E) 140
B) 90° – x
D) 45° + 2x
C) 90° + x
E) 360° – 2x
ESEN YAYINLARI
C) 130
C
a
O merkezli çemberde m( ACB) = x ise
a
m( AOB) nin x cinsinden değeri nedir?
a
O merkezli çemberde m( ABC) = 120° ise
a
m( AOC) = x kaç derecedir?
B) 125
x
O
B
C
A) 120
A
C
2.
A
50°
4.
C
x
x
O
O
120°
B
55°
A
a
O merkezli çemberde m( OAB) = 50°
a
a
m( OCB) = 70° ise m( AOC) = x kaç derecedir?
a
O merkezli çemberde m( AOC) = 120°
a
a
m( BAO) = 55° ise m( BCO) = x kaç derecedir?
A) 110
A) 70
498
B) 115
C) 120
D) 125
E) 130
B) 65
C) 60
D) 55
E) 50
Çember ve Daire
REHBER SORU 22
Çözüm
B
100°
A
D
C
Şekildeki iki çember C noktasında teğettir.
[BA ve [BD çembere A ve D noktalarında teğet,
a
a
m( ABD) = 100° ise m( ACD) kaç derecedir?
1.
3.
D
x
A
B
E
A
D
F
B
C
C
Şekildeki iki çember D ve C noktalarında kesişa
a
miştir. m( ACB) = 140° ise m( EDF) = x kaç
İki çember D de teğettir. [BA ⊥ [BC ise
a
m( ADC) kaç derecedir?
derecedir?
A) 135
B) 130
C) 125
D) 120
E) 115
B) 40
C) 35
D) 30
E) 25
ESEN YAYINLARI
A) 45
2.
4.
A
A
x
D
O
150°
80°
B
40°
E
C
DE çembere A, C ve D noktalarında teğet,
a
a
a
m( ABC) = 80°, m( DEC) = 40° ise m( DAB) = x
kaç derecedir?
B) 65
C) 70
D) 75
80°
x
D
İki çember D noktasında teğettir. [BA, [BC ve
A) 60
B
E) 80
C
İki çember B noktasında teğettir. [DA ve [DC
a
çemberlere A ve C de teğet, m( AOB) = 150°
a
a
m( BCD) = 80° ise m( ADC) = x kaç derecedir?
A) 70
B) 65
C) 60
D) 55
E) 50
499
Çember ve Daire
REHBER SORU 23
Çözüm
D
E
C
x
120°
A
O
B
a
O merkezli yarım çemberde m( DCB) = 120° ise
a
m( AED) = x kaç derecedir?
1.
3.
D
C
D
C
E
A
124°
x
140°
x
A
B
O
B
O
a
O merkezli yarım çemberde, m( AED) = 140°
a
ise m( DCB) = x kaç derecedir?
O merkezli yarım çemberde, |AD| = |DC|
a
a
m( ADC) = 124° ise m( DCB) = x kaç derecedir?
A) 120
A) 121
C) 130
D) 135
E) 140
B) 120
C) 119
D) 118
E) 117
ESEN YAYINLARI
B) 125
2.
C
4.
D
E
D
a
A
b
A
C
c
a
B
O
b
B
O
a
O merkezli yarım çemberde, m( DAB) = a
a
m( CBA) = b ve |OB| = |DC| ise a + b kaç
a
O merkezli yarım çemberde, m( EAB) = a,
a
a
m( EDC) = b, m( CBA) = c ise a + b + c kaç
derecedir?
derecedir?
A) 120
500
B) 125
C) 130
D) 135
E) 140
A) 290
B) 285
C) 280
D) 275
E) 270
Çember ve Daire
REHBER SORU 24
Çözüm
D
A
36°
E
x
B
C
Şekilde ABCD karesi ile çevrel çemberi çizilmiştir.
a
a
m( DAE) = 36° ise m( EBC) = x kaç derecedir?
1.
A
x
3.
D
A
D
x
E
E
5°
B
C
B
C
Şekilde ABCD karesi ile çevrel çemberi çizilmişa
a
tir. m( ECB) = 5° ise m( ADE) = x kaç derece-
A ve B merkezli çeyrek çemberler E noktasında
a
kesişmiştir. ABCD kare ise m( EDC) = x kaç
dir?
derecedir?
B) 35
C) 40
D) 45
A) 18
E) 50
B) 15
C) 12
D) 10
E) 9
ESEN YAYINLARI
A) 30
4.
2.
D
A
C
D
30°
E
K
E
x
A
x
15°
B
B
ABCD kare ve EBC eşkenar üçgendir.
a
m( ABK) = x kaç derecedir?
A) 15
B) 18
C) 20
D) 24
C
a
a
ABCD karesinde, m( DAE) = 30°, m( EBC) = 15°
a
ise m( ECD) = x kaç derecedir?
E) 30
A) 38
B) 35
C) 34
D) 32
E) 30
501
Çember ve Daire
REHBER SORU 25
Çözüm
D
30°
C
x
E
20°
B
A
[BA ile [CD çembere A ve D noktalarında teğettir.
a
a
a
m( ABC) = 20° ve m( BCD) = 30° ise m( BED) = x
kaç derecedir?
1.
3.
A
B
B
20°
40°
A
60°
x
E
E
20°
x
C
D
D
[BA ile [CD çembere, A ve D noktalarında
a
a
teğettir. m( ABC) = 40° ve m( BCD) = 20° ise
a
m( AEC) = x kaç derecedir?
B) 120
C) 125
2.
D) 130
E) 135
[BA ile [CD çembere, A ve D noktalarında
a
a
teğettir. m( ABC) = 20° ve m( BEA) = 60° ise
a
m( BCD) = x kaç derecedir?
ESEN YAYINLARI
A) 115
C
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
4.
A
40°
O
B
D
x
O
A
30°
B
E
C
E
C
x
D
a
O merkezli çemberde, m( DBE) = 30°
a
a
m( CAE) = 40° ise m( BDC) = x kaç derecedir?
O merkezli çemberde, [CD teğet , [AB] // [CD
a
|CE| = |EB| ise m( BCD) = x kaç derecedir?
A) 10
A) 30
502
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
B) 25
C) 20
D) 15
E) 10
Çember ve Daire
REHBER SORU 26
Çözüm
A
H
x
B
D
C
ABC üçgeninde, [AD] ⊥ [BC] , [CH] ⊥ [AB]
a
a
m( ACD) = 68° ise m( DHC) = x kaç derecedir?
1.
3.
D
A
A
E
x
66°
B
x
B
C
C) 26
D) 27
A) 40
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
E) 28
ESEN YAYINLARI
B) 25
C
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC] , |AB| = |AE|
a
[ED] ⊥ [BC] ise m( ADB) = x kaç derecedir?
ABCD dörtgeninde, [BA] ⊥ [AD] , [BC] ⊥ [CD]
a
a
m( ABD) = 66° ise m( BCA) = x kaç derecedir?
A) 24
D
A
4.
2.
A
D
D
x
20°
x
40°
C
B
B
C
ABCD dörtgeninde, [BA] ⊥ [AC] , [BD] ⊥ [DC]
a
a
m( DBC) = 40° ise m( DAC) = x kaç derecedir?
ABCD dörtgeninde, |AB| = |BC| = |BD|
a
a
m( ACD) = 20° ise m( ABD) = x kaç derecedir?
A) 30
A) 25
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
503
Çember ve Daire
REHBER SORU 27
Çözüm
A
45°
B
C
6
a
|BC| = 6 cm ve m( BAC) = 45° olmak üzere ABC
üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm dir?
1.
3.
A
C
D
2
60°
30°
A
B
|CD| = 2 cm ise |AB| kaç cm dir?
ABC üçgeninin çevrel çemberinde,
a
m( BAC) = 60° , |BC| = 6 cm ise çemberin yarı-
A) 3
çapı kaç cm dir?
B) 2v3
C) 4
D) 3v3
B)
7
2
C) 4
D)
9
2
E) 5
E) 5
ESEN YAYINLARI
A) 3
B
a
[AB] çaplı yarım çemberde, m( CBD) = 30°
C
6
2.
4.
B
D
2
A
C
30°
3v3
C
r
4v2
45°
a
Şekildeki çemberde, m( BAC) = 30°, |AB| = 2 cm
B
A
2
O
a
O merkezli çeyrek çemberde, m( BAC) = 45°
|AC| = 3v3 cm ise çemberin yarıçapı kaç cm
|AC| = 4v2 cm , |AO| = 2 cm ise |OD| = r kaç
dir?
cm dir?
A) 2
504
B) 2v2
C) 3
D) c13
E) 4
A) 4v2
B) 6
C) 4v3
D) 7
E) 2c13
Çember ve Daire
REHBER SORU 28
x
D
Çözüm
E
C
F
4
A
B
ABCD dikdörtgeninde A ve C merkezli çeyrek çemberler F noktasında dıştan teğettir.
|AD| = 4 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
1.
D
3.
C
D
C
x
F
E
F
2
E
A
B
A
B
Şekildeki çemberler birbirine dıştan teğet ve
ABCD karesinde [DE] [AB] çaplı yarım çembe-
ABCD dikdörtgenine içten teğettir.
re F noktasında teğettir. |FE| = 2 cm ise
|AB| = 25 cm , |AD| = 18 cm ise |BF| kaç cm
|DF| = x kaç cm dir?
dir?
A) 5
B) 13
C) 12
D) 11
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
E) 10
ESEN YAYINLARI
A) 14
2.
E
4.
O
D
C
D
4
6
E
A
B
2
M
C
O ve M merkezli çemberler D noktasında dış-
A
tan teğet olup [EA] ⊥ [AC] , |OA| = 4 cm
B
ABCD karesi çembere E noktasında teğettir.
|BM| = 2 cm ise |AB| kaç cm dir?
|BC| = 6 cm ise çemberin yarıçapı kaç cm dir?
A) v5 – 1
B) 2v5 – 1
D) v5 + 1
C) 2v5 – 2
E) 3v5 – 3
A) 5
B)
15
4
C) 3
D)
5
2
E) 2
505
Çember ve Daire
REHBER SORU 29
Çözüm
D
O
A
12
C
4
B
O merkezli çember [AB] çaplı yarım çembere D noktasında ve [AB] ye C noktasında teğettir.
|AC| = 12 cm ve |CB| = 4 cm ise O merkezli çemberin yarıçapı kaç cm dir?
1.
3.
D
M
O
A
6
C
12
A
B
C
B
M merkezli çember O merkezli çembere D nokŞekildeki gibi birbirine dıştan teğet olan A, B, C
tasında ve [AB] ye C noktasında teğettir.
|OC| = 12 cm , |CB| = 6 cm ise M merkezli
merkezli çemberlerin yarıçapları 8 cm, 3 cm ve
çemberin yarıçapı kaç cm dir?
2 cm ise Çevre(ABC) kaç cm dir?
B)
7
2
C) 4
D)
9
2
E) 5
A) 16
B) 15
C) 14
D) 13
E) 12
ESEN YAYINLARI
A) 3
4.
2.
C
4
D
A
O
5
O
x
4
5
2D
C
x
M
A
B
B
O ve M merkezli çemberler B noktasında dıştan
[AO] ve [AB] çaplı çemberlerde,
teğet, [OA] ise C noktasında teğettir.
|AO| = |OB| = 5 cm , |AD| = 4 cm ise |BC| = x
|OC| = 4 cm , |OD| = 2 cm ise |CA| = x kaç cm
kaç cm dir?
dir?
A) 3
506
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) 3
B)
7
2
C) 4
D)
9
2
E) 5
Çember ve Daire
REHBER SORU 30
Çözüm
D
x
B
2
E
3
6
C
A
Yukarıdaki çemberde, [AB] ∩ [CD] = {E}
|AE| = 6 cm , |CE| = 3 cm , |BE| = 2 cm ise
|DE| = x kaç cm dir?
1.
C
A
C
3.
A
x
4
2E
2
E
6
B
6
8
D
D
B
[AB] ∩ [CD] = {E} , |AE| = 4 cm , |DE| = 6 cm
[AB] ⊥ [CD] , |CE| = 2 cm , |BE| = 2 cm
|BE| = 8 cm ise |CE| = x kaç cm dir?
|DE| = 6 cm ise çemberin yarıçapı kaç cm dir?
B)
16
3
C) 6
D)
19
3
E) 7
A) 4
B) 3v2
C) 2v5
D) 5
E) 6
ESEN YAYINLARI
A) 5
4.
2.
B
A
D
E
4
B
C
5
A
9
4
x
6
C
a
a
m( ABD) = m( DBC) , |AB| = 4 cm , |BC| = 6 cm
[AB] kiriş, |AC| = 4 cm, |CB| = 9 cm ise
|ED| = 5 cm ise |BE| = x kaç cm dir?
dir?
3
A)
2
B) 2
5
C)
2
D) 3
7
E)
2
C den geçen en kısa kirişin uzunluğu kaç cm
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
507
Çember ve Daire
REHBER SORU 31
Çözüm
B
2v3
A
2
C
x
D
[AB teğet, [AD kesen, |AB| = 2v3 cm
|AC| = 2 cm ise |CD| = x kaç cm dir?
1.
3.
B
B
x
x
A
4
C
A
3
C
3
O
5
D
Şekildeki çemberde, [AB teğet, [AD kesen
O merkezli çemberde, [AB teğet
|AC| = 4 cm, |CD| = 5 cm ise |AB| = x kaç cm
|AC| = |CO| = 3 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
dir?
A) 1 + v3
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
B) 2 – v3
D) 3v3
C) 2v3
E) 2v3 – 1
ESEN YAYINLARI
A) 5
4.
2.
C
9
B
3
E
A
F
4
D
4
x
A
E
C
6
D
1
3
B
Şekildeki çemberde, [AC ve [AE kesen
Şekildeki çemberde, [AB teğet, |AC| = 4 cm
|AB| = 3 cm, |BC| = 9 cm, |AD| = 4 cm ise
[AD] ∩ [BE] = {F}, |AB| = 6 cm, |FD| = 1 cm
|DE| = x kaç cm dir?
|FB| = 3 cm ise |CF| + |FE| kaç cm dir?
A) 3
508
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) 7
B)
19
3
C) 6
D)
16
3
E) 5
Çember ve Daire
REHBER SORU 32
Çözüm
E
x
1
C
D
2
A
B
B noktasında içten teğet olan çemberlerde, [AB ve
[AE küçük çembere B ve D noktalarında teğettir.
|AC| = 2 cm, |CD| = 1 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
1.
3.
E
D
2
D
1
A
C
4
B
E
C
2
A
x
B
x
[AB ve [BC] çaplı çemberler B noktasında
B noktasında içten teğet olan çemberlerde
dıştan teğet olup, [CD teğet, |AB| = 4 cm ve
[AB ve [AE küçük çembere B ve D noktala-
|BC| = 2 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
rında teğettir. |CD| = 1 cm, |DE| = 2 cm ise
A) v3
|AB| = x kaç cm dir?
3
2
B) 2
C)
5
2
D) 3
E)
D) v6
E) 3
7
2
ESEN YAYINLARI
A)
C) v5
B) 2
2.
E
8
4.
D
F
x
E
C
x
4
A
A
B
B
4
C
6
D
B noktasında içten teğet olan çemberlerde
C noktasında dıştan teğet olan yarım çemberler-
[AB ve [AE küçük çembere B ve D noktala-
de EF ortak dış teğet ve A, B, C, D doğrusal-
rında teğettir. |AC| = 4 cm, |DE| = 8 cm ise
dır. |BC| = 4 cm ve |CD| = 6 cm ise |AE| = x
|DC| = x kaç cm dir?
kaç cm dir?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
A) 6
B) 7
C) 3v6
D) 9
E) 4v6
509
Çember ve Daire
REHBER SORU 33
Çözüm
B
x
3
A
4
C
D
5
[AB teğet A, C, D doğrusal, |AC| = 4 cm, |CD| = 5 cm
|BC| = 3 cm ise |BD| = x kaç cm dir?
1.
3.
C
A
D
x
3
x
B
2
9
4
A
B
[AB teğet, A, D, C doğrusal, |AD| = 3 cm
[BA ve [CA teğet, |BD| = 9 cm ve |DC| = 4 cm
|DB| = 2 cm , |AB| = 4 cm ise |CB| = x kaç cm
ise |AD| = x kaç cm dir?
dir?
B)
8
3
C) 3
D)
10
3
A) 4
E) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) 2
C
4
D
A
4.
2.
B
D
A
8
x
5
2
4
5
6
E
B
D
C
E
C
|CE| = 4 cm ve |BE| = 5 cm ise |BD| = x kaç
ABC üçgeninin çevrel çemberinde
a
a
m( BAE) = m( DAC), |AB| = 8 cm, |AD| = 5 cm
cm dir?
|AC| = 6 cm ise |AE| kaç cm dir?
[AB ve [AC teğet, [AE kesen, |DC| = 2 cm
A) 4
510
B)
7
2
C) 3
D)
5
2
E) 2
A)
37
5
B) 8
C)
43
5
D) 9
E)
48
5
Çember ve Daire
REHBER SORU 34
Çözüm
A
4
E
B
C
2
D
ABC üçgeninin çevrel çemberinde
a
a
m( BAD) = m( DAC), |AE| = 4 cm, |ED| = 2 cm ise
|CD| kaç cm dir?
1.
3.
A
E
D
E
x
1
D
A
3
3
C
B
C
4
2
B
ABC üçgeninin çevrel çemberinde
a
a
m( ABD) = m( DBC), |BE| = 3 cm, |ED| = 1 cm
ABC üçgeninin çevrel çemberinde,
a
a
m( ABE) = m( EBC), |AB| = 3 cm, |BD| = 2 cm
ise |AD| kaç cm dir?
3
2
B) 2
C)
5
2
D) 3
E)
|BC| = 4 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
7
2
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
ESEN YAYINLARI
A)
2.
A
4.
K
B
F
B 2 E
3
D
4
C
ABC üçgeninin A, F, E, D, K noktaları çember
a
a
üzerindedir. m( BAD) = m( DAC), |BE| = 2 cm
|ED| = 3 cm ve |DC| = 4 cm ise
5
A)
7
4
B)
7
3
C)
7
2
D)
7
BF
CK
kaçtır?
A
4
C
2
E
x
D
a
a
[AB teğet, m( CBE) = m( EBD), A, C, E, D doğrusal, |AC| = 4 cm ve |CE| = 2 cm ise
|ED| = x kaç cm dir?
1
E)
7
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
511
Çember ve Daire
REHBER SORU 35
Çözüm
D
E
A
C
B
ABCD paralelkanar, ABED teğetler dörtgenidir.
|AB| = 12 cm, |DE| = 5 cm ise Çevre(BCE) kaç
cm dir?
1.
D
3.
C
12
D
C
10
A
A
B
B
ABCD teğetler dörtgeninde, |AD| = 12 cm
ABCD dik yamuğu teğetler dörtgenidir.
|CB| = 10 cm ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?
|AB| = 8 cm ve |AD| = 6 cm ise |DC| kaç cm
A) 40
B) 41
C) 42
D) 43
dir?
E) 44
B) 4
C) 4,6
D) 4,8
E) 5
ESEN YAYINLARI
A) 3,2
D
4.
2.
D
E
C
C
A
A
13
B
B
ABCD ikizkenar yamuğu bir teğetler dörtgenidir.
ABCD paralelkenar, ABED teğetler dörtgenidir.
|AB| = 6 cm ve |DC| = 4 cm ise çemberin yarı-
|AB| = 13 cm ise Çevre(BCE) kaç cm dir?
çapı kaç cm dir?
A) 24
A) 2
512
B) 25
C) 26
D) 27
E) 28
B) v5
C) v6
D) 3
E) c10
Çember ve Daire
REHBER SORU 36
Çözüm
2
ABCD teğetler dörtgeninin alanı 36 br , çevresi 12 br
ise iç teğet çemberinin yarıçapı kaç br dir?
1.
Alanı 20 br2, çevresi 10 br olan teğetler dörtge-
4.
D
4
C
ninin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç br dir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A
12
B
ABCD ikizkenar yamuğu bir teğetler dörtgenidir.
|AB| = 12 cm, |DC| = 4 cm ise A(ABCD) kaç
cm2 dir?
A) 30v3
B) 31v3
2.
Alanının sayısal değeri çevresinin sayısal değerinin 4 katına eşit olan teğetler dörtgeninin iç
teğet çemberinin yarıçapı kaç br dir?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
D
5.
A
3.
İç teğet çemberinin yarıçapı 4 br olan teğetler
dörtgeninin alanının sayısal değeri çevresinin
sayısal değerinin kaç katıdır?
A)
3
2
B) 2
C)
5
2
D) 3
E) 34v3
ESEN YAYINLARI
D) 33v3
C) 32v3
8
12
C
B
ABCD teğetler dörtgeninde, |AB| = 12 cm
|DC| = 8 cm dir. Bu dörtgenin iç teğet çemberinin
yarıçapı 3 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
E)
7
2
A) 40
B) 48
C) 54
D) 58
E) 60
513
Çember ve Daire
REHBER SORU 37
Çözüm
A
a + 40°
B
a + 20°
b
D
2a – 40°
C
ABCD kirişler dörtgenidir. Verilenlere göre b kaç derecedir?
1.
3.
D
D
2a – 20°
A
A
a + 60°
b
50°
C
48°
B
3a
C
a
ABCD kirişler dörtgenidir. m( BAC) = 50°
a
a
m( DBC) = 48° ise m( BCD) kaç derecedir?
B
ABCD kirişler dörtgenidir. Verilenlere göre b kaç
derecedir?
A) 82
B) 80
C) 85
D) 90
B) 83
C) 84
D) 85
E) 86
E) 95
ESEN YAYINLARI
A) 75
2.
D
4.
D
A
C
A
45°
x
40°
B
B
Şekilde, |BC| = |CD| , |AB| = |AD| ise
a
m( ABC) = x kaç derecedir?
A) 75
514
B) 80
C) 85
D) 90
C
a
ABCD kirişler dörtgenidir. m( ABD) = 45° ve
a
a
m( ACB) = 40° ise m( BAD) kaç derecedir?
E) 95
A) 115
B) 110
C) 105
D) 100
E) 95
Çember ve Daire
REHBER SORU 38
Çözüm
A
E
x
F
60°
C
B
50°
D
a
Şekildeki çemberde, m( ACD) = 60°
a
a
m( EDC) = 50° ise m( BAC) = x kaç derecedir?
3.
C
1.
D
A
50°
B
A
F
x
x
20°
E
E
60°
x
kaç
derecedir?
A) 110
B) 30
C) 35
D) 40
B) 115
C) 120
D) 125
E) 130
E) 45
ESEN YAYINLARI
A) 25
C
Şekildeki çemberde |AB| = |AC| , |BD| = |DC|
a
a
m( AEC) = 20° ise m( BDC) = x kaç derecedir?
B
Şekildeki çemberde verilenlere göre
D
F
2.
C
36°
4.
A
D
E
A
B
62°
x
B
D
108°
x
C
E
Şekildeki çemberde ABC eşkenar üçgen
a
a
m( AFB) = 36° ise m( ADC) = x kaç derecedir?
a
Şekildeki çemberde, m( ABE) = 62°
a
a
m( BCD) = 108° ise m( BEA) = x kaç derecedir?
A) 23
A) 38
B) 24
C) 25
D) 26
E) 27
B) 40
C) 42
D) 44
E) 46
515
Çember ve Daire
REHBER SORU 39
Çözüm
A
C
x
O
D
50°
B
O merkezli çember, diğer çemberle A ve B noktaa
larında kesişmiştir. m( ADB) = 50° ise
a
m( ACB) = x kaç derecedir?
1.
3.
A
C
x
C
45°
x
O
B
O
D
D
A
B
O merkezli çember diğer çemberle A ve C nok-
O merkezli çember diğer çemberle A ve B noka
talarında kesişmiştir. m( ACB) = 45° ise
a
m( ADB) = x kaç derecedir?
B) 97
C) 95
D) 92
A) 70
E) 90
B) 75
C) 80
D) 85
E) 90
ESEN YAYINLARI
A) 100
talarında kesişmiştir.
a
h
m(ADC) = 100° ise m( CBA) = x kaç derecedir?
2.
4.
B
A
40°
A
C
D
O
x
D
110°
O
B
C
[DB ve [DC teğetler, O merkez
h
a
m( BAC) = 40° ise m(BDC) kaç derecedir?
O merkezli çember diğer çemberle A ve B noka
talarında kesişmiştir. m( ADB) = 110° ise
a
m( ACB) = x kaç derecedir?
A) 145
A) 35
İki çember B ve C noktalarında kesişmiştir.
516
B) 150
C) 155
D) 160
E) 165
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
Çember ve Daire
REHBER SORU 40
Çözüm
C
E
D
a
b
A
F
B
İki çember, E ve F noktalarında teğettir.
a
a
m( DAB) = a ve m( ABC) = b ise
a + b = 180° olduğunu gösteriniz.
1.
A
3.
E
A
D
D
20°
x
B
x
85°
C
F
B
C
E
Şekildeki iki çember E ve F noktalarında kesişa
a
miştir. m( ABC) = 85° ise m( BCD) = x kaç
İki çember D ve E noktalarında kesişmiştir.
a
a
[DC] çap, m( ACB) = 20° ise m( ABC) = x
derecedir?
kaç derecedir?
B) 90
C) 95
D) 100
E) 105
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
E) 80
ESEN YAYINLARI
A) 85
4.
2.
D
A
A
42°
70°
E
D
C
O
x
x
B
O
B
C
O merkezli çember diğer çemberle A ve C
a
noktalarında kesişmiştir. m( ADC) = 70° ise
a
m( ABC) = x kaç derecedir?
O merkezli çember diğer çemberle A ve B
a
noktalarında kesişmiştir. m( ADB) = 42° ise
a
m( ACB) = x kaç derecedir?
A) 55
A) 115
B) 50
C) 45
D) 40
E) 35
B) 114
C) 113
D) 112
E) 111
517
Çember ve Daire
REHBER SORU 41
Çözüm
Alanının sayısal değeri çevresinin sayısal değerine
eşit olan dairenin çevresi kaç br dir?
1.
Alanının sayısal değeri çevresinin sayısal değe-
4.
rinin 2 katına eşit olan dairenin alanı kaç r br2
A) 28
dir?
A) 16
C) 14
D) 13
5.
dir?
kaç br dir?
A) 8
A) 2
C) 3
E) 4
B
3.
B) 9
6.
C) 10
O
C
A
|EC| = 4 cm ise çeyrek çemberin
çevresi kaç cm dir? (r = 3 alınız.)
518
E) 12
C
C) 10
D) 12
B
O
O merkezli yarım çemberin içine ABCD dikdört-
O merkezli çeyrek çember ile OCDE dikdörtgeni
B) 8
D) 11
D
A
A) 6
E) 36
D
E
çizilmiştir.
D) 34
Alanı 25r br2 olan dairenin çevresi kaç r br
değerlerinin toplamı 15r olan dairenin yarıçapı
7
D)
2
C) 32
E) 12
Alanının sayısal değeri ile çevresinin sayısal
5
B)
2
B) 30
ESEN YAYINLARI
2.
B) 15
Çevresi 12r br olan dairenin alanı kaç r br2 dir?
geni çizilmiştir.
DC
4
2
+ CB
2
= 4 cm2 ise yarım
çemberin çevresi kaç cm dir? (r = 3 alınız.)
E) 14
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
Çember ve Daire
REHBER SORU 42
Çözüm
A
2
O
α
B
h
O merkezli çemberde |OA| = 2 br, |AB| = r br ise
α kaç derecedir?
3.
1.
A
A
C
3
O
X
60°
O
D
B
B
a
O merkezli çemberde m( AOB) = 60°
h
|OA| = 3 br ise |AB| kaç r br dir?
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
A) 2
B) 3
C) 5
D) 6
E) 7
ESEN YAYINLARI
A)
O merkezli çemberlerde |DB| = 2|OD|
h
h
[AO] ⊥ [BO], |AB| = 6 br ise | CXD| kaç br dir?
2.
A
C
4
4.
A
3
O
α
30°
B
B
a
Şekildeki çemberde, m( ABC) = 30°, |AC| = 4 br
h
ise |AC| kaç r br dir?
A) 1
B)
4
3
C) 2
D)
7
3
E) 3
h
r
O merkezli çemberde |AB| =
br, |OA| = 3 br
3
a
ise m( AOB) = α kaç derecedir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
519
Çember ve Daire
REHBER SORU 43
Çözüm
4
B
O
A
O ve A merkezli eş çemberler B noktasında teğettir.
|OB| = 4 br ise bu çemberlerin etrafına sarılmış olan
gergin ipin uzunluğu kaç br dir?
1.
3.
O
2
A
B
İkişer ikişer teğet olan eş çemberlerin yarıçapları
2 şer br dir. Bu çemberlerin etrafına sarılmış
O, A ve B merkezli eş çemberlerin yarıçapları 2
olan gergin ipin uzunluğu kaç br dir?
şer br dir. Çevre(OBA) = 12r br ise çemberlerin
(r = 3 alınız.)
etrafına sarılmış olan gergin ipin uzunluğu kaç r
br dir?
C) 22
B) 23
D) 21
E) 20
A) 16
ESEN YAYINLARI
A) 24
B) 15
C) 14
D) 13
E) 12
2.
4.
O
B
1
3
A
O ve A merkezli çemberler B noktasında teğettir.
O
A
B
C
|OB| = 1 br , |AB| = 3 br ise çemberlerin etrafına
sarılmış olan gergin ipin uzunluğu kaç br dir?
O, A, B ve C merkezli eş çemberlerin yarıçapları
(r = 3 alınız.)
1 er br dir. Çemberlerin etrafına sarılmış olan
A) 12 + 4v3
B) 13 + 4v3
D) 14 + 4v3
520
C) 15 + 4v3
E) 16 + 4v3
gergin ipin uzunluğu kaç br dir? (r = 3 alınız.)
A) 9
B) 10
C) 12
D) 13
E) 14
Çember ve Daire
REHBER SORU 44
Çözüm
O
A
O ve A merkezli çemberlerin çevreleri toplamı 16r
br dir. Taralı alan 16r br2 ise O merkezli dairenin
yarıçapı kaç br dir?
3.
1.
C
A
O
4
B
4
O
D
O merkezli çemberlerin yarıçapları 1 br ve 2 br
C ve D merkezli eş yarım çemberler [AB] çaplı
dir. Taralı alan küçük dairenin alanının kaç katı-
çembere O da teğettir. |AO| = |OB| = 4 br ise
dır?
taralı alan kaç r br2 dir?
B) 3
C) 4
D) 5
A) 4
E) 6
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) 2
4.
C
2.
4
6
A
4
C
8
B
A
B
[AC] , [BC] ve [AB] çaplı yarım çemberler çizil-
Çemberler C noktasında teğettir. |AB| = 6 br
miştir. |AC| = 4 br , |CB| = 8 br ise taralı alan
|BC| = 4 br ve taralı alan 42 br2 ise taralı olma-
kaç br2 dir?
yan dairenin alanı kaç br2 dir?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
521
Çember ve Daire
REHBER SORU 45
Çözüm
a.
A
4
O 100°
B
a
O merkezli çemberde m( AOB) = 100°, r = 4 br
ise taralı alan kaç br2 dir?
b.
A
2
O
B
h
O merkezli çemberde r = 2 br, |AB| = 5 br ise
taralı alan kaç br2 dir?
1.
3.
B
B
2
O
O
4
A
A
O merkezli çemberde |OB| = 2 br, [AO] ⊥ [BO]
h
O merkezli çemberde |OA| = 4 br, |AB| = 8 br
ise taralı alan kaç r br2 dir?
ise taralı alan kaç br2 dir?
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
2.
E)
5
2
A) 14
ESEN YAYINLARI
A)
B) 15
C) 16
4.
30°
20°
α
A
a
O merkezli çemberde m( ABO) = 20°
a
m( ACO) = 30°, |OC| = 2 br ise taralı alan kaç
O merkezli çemberde |OA| = 5 br ve taralı alan
a
15r 2
br ise m( BOA) = α kaç derecedir?
2
br2 dir? (r = 3 alınız.)
A) 108
A) 5
522
2
B
5
C) 112
2
O
A
B) 110
E) 18
C
B
O
D) 17
D) 114
E) 116
B)
10
3
C)
5
2
D) 2
E)
5
3
Çember ve Daire
REHBER SORU 46
a.
Çözüm
A
3
O
120°
B
a
O merkezli çemberde m( AOB) = 120°, r = 3 br
ise taralı alan kaç br2 dir?
b.
A
2
30°
C
B
a
Yarıçapı r br olan çemberde m( ABC) = 30°
|AC| = 2 br ise taralı alan kaç br2 dir?
1.
B
3.
A
C
4
O
15°
A
B
a
[AB] çaplı yarım çemberde, m( CAB) = 15°
taralı alan 3r – 9 br2 ise |AB| kaç br dir?
ise taralı alan kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
A) 8
A) 3
B) 4
C) 5
2.
D) 6
E) 7
ESEN YAYINLARI
a
O merkezli çemberde m( AOB) = 90°, |AO| = 4 br
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
4.
D
C
A
45°
A
O
B
C
O merkezli yarım çemberde [CD] çembere D
B
noktasında teğettir. |DC| = 3v3 br , |AO| = |BC|
ise taralı alan kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
a
Şekildeki çemberde m( BAC) = 45°, r = 2 br ise
A) 18 – 9v3
B) 9 –
2
taralı alan kaç br dir? (r = 3 alınız.)
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D) 9 +
3 3
2
3 3
2
E) 9 –
C) 9 –
9 3
4
3
2
523
Çember ve Daire
REHBER SORU 47
Çözüm
B
D
4
O
C
A
O merkezli çeyrek çemberde |OB| = 4 br
|AC| = |CO|, [CD] // [OB] ise taralı alan kaç br2 dir?
1.
3.
A
B
1
D
C
C
4
1
B
O
A
O merkezli çeyrek çemberde verilenlere göre
B)
D)
1+ 3
2
4– 3
4
C)
2.
2– 3
2
2+ 3
2
E)
taralı alan kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
A) 16
ESEN YAYINLARI
4– 3
2
B) 17
4.
2
C
2
O
D) 6 + v3
524
C
A
O merkezli, r yarıçaplı çeyrek çemberde
taralı alan kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
B) 4 + 2v3
E) 20
D
O merkezli çeyrek çemberde verilenlere göre
A) 5 + 2v3
D) 19
B
O
B
C) 18
A
D
O
O merkezli çeyrek çemberde verilenlere göre
taralı alan kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
A)
4
D
C) 3 + 2v3
E) 8 + v3
[DC] // [OB], |OC| = |CA| ve taralı alan
4– 3
br2 ise r kaç br dir? (r = 3 alınız.)
8
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
Çember ve Daire
REHBER SORU 48
Çözüm
A
B
C
4v3
ABC eşkenar üçgeni ile çevrel çemberi çizilmiştir.
|BC| = 4v3 br ise taralı alan kaç br2 dir?
1.
3.
A
x
C
B
B
noktasında teğettir. |BD| = 2v3 br ise taralı alan
tir. Taralı alan 4r – 3v3 br2 ise |BC| = x kaç
kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
br dir?
C) 2v3
D) 4
A) 12v3 – 12
E) 3v3
2.
B) 12v3 – 14
D) 12v3 – 18
ESEN YAYINLARI
B) 3
C
D
ABC eşkenar üçgeni A merkezli daire dilimine D
ABC eşkenar üçgeni ile çevrel çemberi çizilmiş-
A) v3
A
4.
C) 12v3 – 16
E) 12v3 – 20
A
A
O
C
B
B
C
ABC eşkenar üçgeninin iç teğet çemberi ile çev-
ABC eşkenar üçgeni ile iç teğet çemberi çizilmiş-
rel çemberi çizilmiştir. |BC| = 6 br ise taralı alan
tir. |BC| = 2v3 br ise taralı alan kaç br2 dir?
kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
A) 3v3 – r
A) 4 + 2v3
B) 4v3 – r
D) 6v3 – r
C) 5v3 – r
E) 7v3 – r
B) 5 + 2v3
D) 5 + 3v3
C) 6 + 2v3
E) 6 + 3v3
525
Çember ve Daire
REHBER SORU 49
Çözüm
D
C
4
A
B
ABCD karesinde D ve B merkezli çeyrek çemberler
çizilmiştir. |AB| = 4 br ise taralı alan kaç br2 dir?
1.
D
3.
C
2
A
A
B
2.
D)
D
5
2
A) 8
E) 3
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
ESEN YAYINLARI
C) 2
B
alan kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
br2 dir? (r = 3 alınız.)
3
2
4
yarım çemberler çizilmiştir. |AB| = 4 br ise taralı
berler çizilmiştir. |AB| = 2 br ise taralı alan kaç
B)
C
ABCD karesinde [AB], [BC], [CD], [DA] çaplı
ABCD karesinde A ve C merkezli çeyrek çem-
A) 1
D
4.
C
C
4
2
A
B
4
A
B
ABCD karesinde D ve B merkezli çeyrek çem-
[AB] ve [AC] çaplı yarım çemberler çizilmiştir.
berler çizilmiştir. |AB| = 2 br ise taralı alan kaç
[AC] ⊥ [AB], |AB| = |AC| = 4 br ise taralı alan
br2 dir? (r = 3 alınız.)
kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
A) 1
526
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Çember ve Daire
REHBER SORU 50
Çözüm
A
D
4
B
C
ABCD karesinde [AD] ve [AB] çaplı yarım çemberler
çizilmiştir. |AB| = 4 br ise taralı alan kaç br2 dir?
D
1.
3.
C
D
C
O
2
A
A
B
4
B
ABCD karesi ile çevrel çemberi çizilmiştir.
ABCD karesinde [AB] ve [BC] çaplı yarım
|CB| = 4 br ise taralı alanlar toplamı kaç br2 dir?
çemberler çizilmiştir. |AD| = 2 br ise taralı alan
A) 4r
kaç br2 dir?
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
C) 8r
D) 9r
E) 10r
E) 3
ESEN YAYINLARI
A) 1
B) 6r
D
2.
C
4.
D
C
2
A
6
B
A
ABCD karesinde [AC] köşegeni ile [DC] çaplı
yarım çember çizilmiştir. |AB| = 6 br ise taralı
alan kaç br2 dir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
B
ABCD karesi ile D merkezli çeyrek çember çizilmiştir. |BC| = 2 br ise taralı alan kaç br2 dir?
A) 1
B) 2
C)
5
2
D) 3
E)
7
2
527
Çember ve Daire
REHBER SORU 51
Çözüm
D
S1
C
B
S2
x
O
4
A
O merkezli çeyrek çember ile OABC dikdörtgeni çizilmiştir. |AO| = 4 br ve S1 = S2 ise |OC| = x kaç br
dir?
1.
3.
D
C
S1
S1
C
2
S2
S2
A
O
x
A
B
O
1
1
K
B
O merkezli çeyrek çember ile OBD üçgeni çizil-
K merkezli çeyrek çember ile O merkezli yarım
miştir. |OD| = 2 br ve S1 = S2 ise |AB| = x kaç
çember çizilmiştir. |OK| = |KB| = 1 br ise
S1 – S2 kaç br2 dir?
br dir? (r = 3 alınız.)
B)
3
2
C) 2
5
2
D)
A)
E) 3
ESEN YAYINLARI
A) 1
2.
D
r
6
B)
r
5
C)
r
4
D)
4.
B
2
a
O merkezli çemberlerde m( AOB) = 120°, S1 ve
B
[AB] çaplı yarım çember çizilmiştir. |AB| = 2 br
ise S1 – S2 kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
528
B) 1
S2
C
S2
ABCD karesinde D merkezli çeyrek çember ile
1
A)
2
r
2
D
O 120°
S1
A
E)
A
C
S1
r
3
3
C)
2
D) 2
5
E)
2
S2 bölgelerinin alanları eşit ise
A) v3
CB
OC
B) v3 – 1
D) v2 – 1
kaçtır?
C) v2
E) v6
Çember ve Daire
REHBER SORU 52
Çözüm
A
2
O
B
1
C
D
E
O merkezli çemberlerden küçük olan [BD] ye E noktasında, büyük olan [BA ya A noktasında teğettir.
|AB| = 2 br , |BC| = 1 br ise taralı alan kaç br2 dir?
1.
3.
A
6
O
O
A
B
C
B
O merkezli çemberlerden küçük olan [AB] ye C
C) 40
D
E
E noktasında, büyük olan [BA ya A noktasında
kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
B) 46
C
O merkezli çemberlerden küçük olan [BD] ye
noktasında teğettir. |AB| = 8 br ise taralı alan
A) 48
4
teğettir. |BC| = 4 br , |AB| = 6 br ise taralı alan
D) 36
kaç r br2 dir?
E) 32
B)
25
4
C) 6
23
2
D)
E) 7
ESEN YAYINLARI
A) 5
4.
2.
A
A
x
O
O
B
2
C
D
E
B
C
E
D
O merkezli çemberlerden küçük olan [BD] ye
O merkezli çemberlerden küçük olan [BD] ye
E noktasında, büyük olan [BA ya A noktasında
E noktasında, büyük olan [BA ya A noktasında
teğettir. |BC| = 2 br, taralı alan 16r br2 ise
teğettir. |BC| = |CD| , |AB| = 4v2 br ise taralı
|AB| = x kaç br dir?
alan kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
A) 4
B) 2v5
C) 2v6
D) 5
E) 6
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
529
Çember ve Daire
REHBER SORU 53
Çözüm
B
D
K
E
2
O
2
C
A
O merkezli çeyrek çemberin içine çizilen [BE] ve [OA]
çaplı yarım çemberler K noktasında teğettir.
|OC| = |CA| = 2 br ise taralı alan kaç br2 dir?
1.
3.
B
K
1
L
C
K
A
1
E
D
A
3
3
D
M
C
3
3
E
B
[AB] çaplı yarım çemberin içine çizilen [AC] ve
O
O merkezli çeyrek çemberde [AE] ve [OB] çaplı
[CB] çaplı yarım çemberler birbirine C noktasın-
yarım çemberler K da teğettir. |CB| = |OC| = 1 br
da K merkezli çembere L, M noktasında teğettir.
|AD| = |DC| = |CE| = |EB| = 3 br ise taralı alan
2
ise taralı alan kaç br dir? (r = 3 alınız.)
5
6
B) 1
2.
C)
7
6
D)
4
3
kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
E) 2
A) 16
ESEN YAYINLARI
A)
C
E
F
B) 15
C) 14
D) 13
E) 12
4.
O
D
A
B
A
8
B
4
C
O merkezli çember A merkezli çeyrek çembere
[AB] ve [BC] çaplı yarım çemberler birbirine B de
D, E ve F noktalarında teğettir. |AB| = 2+2v2 br
[AC] çaplı çembere A ve C de teğettir.
ise taralı alan kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
|AB| = 8 br, |BC| = 4 br ise taralı alan kaç br2 dir?
A) 4v2 – 3
B) 5v2 – 3
D) 6v2 – 2
530
C) 6v2 – 3
E) 4v2 – 2
(r = 3 alınız.)
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
Çember ve Daire
REHBER SORU 54
Çözüm
A
X
D
B
C
Y
Şekildeki çemberde |AB| = 6 br, |CD| = 8 br
h
h
m( AXB) + m( CYD) = 180° ise taralı alanlar toplamı
kaç br2 dir?
1.
3.
Y
C
A
D
2
D
X
A
4
4
Y
4
B
X
B
Şekildeki çemberde |AB| = 4 br, |DC| = 4 br
h
h
m( AXB) + m( DYC) = 120° ise taralı alan kaç br2
Şekildeki çemberde |AB| = 4 br, |CD| = 2 br
h
h
m( AXB) + m( CYD) = 180° ise taralı alan kaç br2
dir? (r = 3 alınız.)
dir? (r = 3 alınız.)
5
2
B) 3
C)
2.
7
2
D) 4
E)
D
A
A) 16 – 4v3
9
2
B) 16 – 5v3
D) 16 – 7v3
ESEN YAYINLARI
A)
C
4.
A
X
4
3
C) 16 – 6v3
E) 16 – 8v3
D
Y
2
4
O
B
B
C
O merkezli çemberin yarıçapı
5
br, |AB| = 3 br
2
C
|DC| = 4 br ise taralı alan kaç br dir?
Şekildeki çemberde |AB| = 2 br, |DC| = 4 br
h
h
m( AXB) + m( DYC) = 240° ise çemberin yarıçapı
(r = 3 alınız.)
kaç br dir?
2
A)
27
8
B)
7
2
C) 4
D)
19
4
E) 5
A) 1
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
531
Çember ve Daire
REHBER SORU 55
Çözüm
C
S2
5
3
B
S1
A
İki çember B noktasında teğettir. A, B, C doğrusal
|AB| = 3 br , |BC| = 5 br , S1 + S2 = 68 br2 ise S1
kaç br2 dir?
1.
3.
A
S1
2
C
B
B
4
S2
C
A
İki çember B noktasında teğettir. A, B, C doğrusal, |AB| = 2 br , |BC| = 4 br ise
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
taralı alan 36 br2 ise taranmamış alan kaç br2
dir?
1
6
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
ESEN YAYINLARI
A)
İki çember A noktasında teğettir. |AB| = |BC|
S1
kaçtır?
S2
2.
4.
S1
A
S2
C
S2
C
S1
B
B
A
İki çember C noktasında teğettir. A, B, C doğrusal, 2|AB| = 3|BC|, S1 = 42 br2 ise S2 kaç br2
dir?
A) 8
532
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
İki çember A noktasında teğettir. |BC| = 2|AB|
S1 = 2 br2 ise S2 kaç br2 dir?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
Çember ve Daire
REHBER SORU 56
Çözüm
C
B
3
O
D
1
A
O ve A merkezli çemberler D noktasında teğettir.
|OD| = 3 br , |AD| = 1 br , [CB] çemberlere C ve B
noktasında teğet ise taralı alan kaç br2 dir?
1.
1
A
3.
D
A
3
2v
1
C
B
B
2
C
O
DA ile CB çemberlere A ve B noktalarında teğet-
[BA, çembere A da teğettir. |BA| = 2v3 br
tir. Çemberlerin yarıçapları 1 er br olduğuna
|BC| = 2 br ise taralı alan kaç br2 dir?
2
göre taralı alan kaç br dir? (r = 3 alınız.)
(r = 3 alınız.)
1
A) v3 –
2
A) 2v3 – 3
B) v3 – 1
2.
B) 3v3 – 3
D) 2v3 – 2
E) 3v3 – 5
ESEN YAYINLARI
D) 2v3 – 3
3
C) v3 –
2
4.
C) 4v3 – 3
E) 2v3 – 1
C
B
A
6
B
60°
O
9
D
3
A
O ve A merkezli yarım çemberler D de teğettir.
C
[CB] çemberlere C ve B de teğet |OD| = 9 br
[BA ve [BC çembere A ve C noktalarında teğeta
tir. m( ABC) = 60° , |AB| = 6 br ise taralı alan
|DA| = 3 br ise taralı alan kaç br2 dir?
kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
A) 36v3 – 16r
B) 36v3 –
33r
2
C) 36v3 – 15r
D) 36v3 –
29r
2
A) 5(v3 – 1)
B) 6(v3 – 1)
D) 10(v3 – 1)
C) 8(v3 – 1)
E) 12(v3 – 1)
E) 36v3 – 14r
533
Çember ve Daire
REHBER SORU 57
Çözüm
Şekildeki taralı alan, birim karelerden oluşan kağıda
çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2 dir?
(r = 3 alınız.)
1.
3.
Şekildeki taralı alan, birim karelerden oluşan
Şekildeki taralı alan, birim karelerden oluşan
kağıda çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2
kağıda çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2
dir? (r = 3 alınız.)
dir? (r = 3 alınız.)
A) 10
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
C) 12
D) 13
E) 14
ESEN YAYINLARI
A) 6
B) 11
4.
2.
Şekildeki taralı alan, birim karelerden oluşan
Şekildeki taralı alan, birim karelerden oluşan
kağıda çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2
kağıda çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2
dir? (r = 3 alınız.)
dir? (r = 3 alınız.)
A) 6
534
13
B)
2
C) 7
15
D)
2
E) 8
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
TEST -
1
Çemberin Temel Elemanları
1.
4.
C
B
4
3
O
A
O
A
1
D
F
C
x
B
O merkezli yarım çemberde, [CD] ⊥ [AB]
E
|DB| = 1 cm, |CD| = 3 cm ise |OD| kaç cm dir?
A) 3
B) 4
O merkezli çemberde [AB teğet
C) 2v5
D) 2v6
3
[AD] ∩ [BE] = {F}, [AD] ⊥ [OE], |AB| = 4 cm
E) 5
|OE| = 3 cm ise |FE| = x kaç cm dir?
A) c10
B) c11
D) c13
C) 2v3
E) c14
2.
5.
x
A
D
12
B
8
E
ESEN YAYINLARI
O
C
O merkezli çemberde [AB] ⊥ [OC]
D
30
A
C
B
[AB] ve [AC] çaplı yarım çemberlerde D teğet
|DC| = 8 cm, |DB| = 12 cm ise |OD| = x kaç cm
değme noktasıdır. |BC| = 2|AC|, |BD| = 30 cm
dir?
A) 3
x
ise |DE| = x kaç cm dir?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) 12
B) 10
6.
3.
C
C
D
3
E
O
D) 6
6
E) 5
D
4
A
F
A
C) 8
B
B
O merkezli yarım çemberde
[AC] ∩ [BD] = {E}, O, F, C doğrusal
[AB] çaplı çemberde [CD] // [AB], |AC| = 3 cm
|AE| = |EC|, |OB| = 6 cm ise |CF| kaç cm dir?
|AD| = 4 cm ise |AB| kaç cm dir?
A) 1
A) 5
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
535
Çember ve Daire
7.
10.
B
A
O
1
A
M
O
B
4
C
7
D
C
O merkezli çemberde [AB] kiriş, |AC| = 1 cm
B ve D noktalarında kesişen O ve M merkezli
|CB| = 7 cm, |OC| = 4 cm ise çemberin yarıçapı
çemberlerde [AC] // [OM] , |AB| = 7 cm ve
kaç cm dir?
|BC| = 11 cm ise |OM| kaç cm dir?
A) c21
B) c22
D) 2v6
A)
C) c23
15
2
B) 8
C) 9
D) 10
E)
11
2
E) 5
11.
8.
D
A
2x
E
E
F
B
x+2
C
D
ABC üçgeninde, |AF| = 2x cm, |BD| = x + 2 cm
|CE| = x + 3 cm, Çevre(ABC) = 18 cm ise |DC|
ESEN YAYINLARI
2
x+3
B) 5
C) 6
D) 7
yarım çembere A noktasında teğettir.
[DO] ⊥ [AB] , |EO| = 2 cm ve |CB| = 4 cm ise
|DE| kaç cm dir?
A) v2
E) 8
B) v3
C) v6
D) 2v2
9.
B
Şekildeki [AC] çaplı yarım çember, O merkezli
kaç cm dir?
A) 4
4
O C
A
E) 2v3
C
12.
E
F
6
x
A
4
9
D
B
A
[AB] çaplı yarım çemberde, [CD] ⊥ [AB]
C
D
B
|AD| = 4 cm, |DB| = 9 cm ise |CD| = x kaç cm
[AB] çaplı yarım çemberde CDEF kare ve
dir?
|EF| = 6 cm ise |AB| kaç cm dir?
A) 5
B) 6
D) 3v5
536
C) 2c10
E) 8
A) 3v5
B) 3c15
D) 6v3
C) 12
E) 6v5
TEST -
5
Çemberde Açılar
1.
4.
A
C
y
B
D
O
B) 58
C) 62
D) 66
D
2x + 30°
[AC , O merkezli çembere teğettir.
a
a
m( CAD) = 42° ise m( CBD) = x kaç derecedir?
A) 56
3x + 5°
x
42°
A
3x – 10°
B
C
a
a
Şekilde, m( BAD) = 3x–10° , m( ABC) = 3x+5°
a
a
m( BCD) = 2x+30° ise m( ADC) = y kaç dere-
E) 68
cedir?
A) 69
B) 72
C) 74
5.
2.
D
D) 76
E) 79
B
C
120°
A
B
O
O merkezli yarım çemberde
a
a
m( DCB) = 120° ise m( ABD) = x kaç derecedir?
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
ESEN YAYINLARI
x
A
x
62°
D
C
[AB ve [AC çembere B ve C noktalarında teğeta
a
tir. m( BDC) = 62° ise m( BAC) = x kaç derecedir?
E) 50
A) 59
B) 58
6.
C) 57
D) 56
F
E) 55
E
30°
3.
E
A
A
x
x
D
K
40°
B
O
C
C
B
D
[BA , O merkezli yarım çembere teğettir.
a
|BC| = |AC| ise m( AED) = x kaç derecedir?
a
Şekildeki çemberde m( DFE) = 30°
a
a
m( BCA) = 40° ise m( AKE) = x kaç derecedir?
A) 120
A) 120
B) 125
C) 130
D) 135
E) 140
B) 115
C) 110
D) 105
E) 100
543
Çember ve Daire
7.
10.
A
54°
x
C
A
x
B
B
K
50°
C
O
E
D
İki çember birbirine C noktasında, DE doğrusua
na D ve E noktalarında teğettir. m( CBE) = 50°
a
ise m( DAC) = x kaç derecedir?
O merkezli çemberde, [CA] // [OB]
a
a
m( AKB) = 54° ise m( ACB) = x kaç derecedir?
B) 24
8.
C) 22
D
A
D) 20
E) 18
C
K
9.
D) 88
x
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
A
35°
E
B
O
x
D
D
x
C
[BA ile [DC çembere A ve C noktalarında
a
a
teğettir. m( ABD) = 42° , m( BEA) = 50° ise
a
m( CDB) = x kaç derecedir?
a
O merkezli çemberde, m( ABD) = 35°
a
ise m( ACB) = x kaç derecedir?
A) 34
A) 45
544
E) 35
12.
C
B) 35
40°
C
O
O merkezli yarım çemberde,
a
a
m( ECA) = 10° , m( ECD) = 40° ise
a
m( DAC) = x kaç derecedir?
42°
50°
E) 60
10°
B
A
E) 80
A
B
D) 55
E
a
O merkezli çemberde, m( DOC) = 80°
h
h
a
m(AB) = m(DC) ise m( BKC) kaç derecedir?
C) 90
C) 50
D
80°
B
B) 98
B) 40
11.
O
A) 100
A) 30
ESEN YAYINLARI
A) 26
C) 36
D) 37
E) 38
B) 50
C) 55
D) 60
E) 61
7
TEST -
Çemberde Teğet
1.
3
4.
C
5
B
D
A
2
D
8
x
1
E2 B
A
E
C
[AC ∩ [AE = {A} olmak üzere, |AB| = 3 cm
Şekildeki çemberde, [AB] ⊥ [DC], |AE| = 8 cm
|BC| = 5 cm ve |AD| = 2 cm ise |DE| = x
|EC| = 2 cm, |EB| = 1 cm ise çemberin çapı kaç
kaç cm dir?
cm dir?
A) 6
B) 7
C) 8
2.
E
D) 9
E) 10
A) 2c21
B) c85
5.
3 C
C) 9
D
D) c95
E
E) 10
C
5
6
D
B
Yukarıdaki şekilde, B, F, C teğet değme noktalarıdır. |AD| = 6 cm, |AE| = 5 cm, |EC| = 3 cm
ESEN YAYINLARI
F
A
A
ABCD paralelkenar ve ABED teğetler dörtgeni
olmak üzere |AB| = 12 cm, |DE| = 7 cm ise
Çevre(BEC) kaç cm dir?
ise |DE| kaç cm dir?
A)
7
2
B) 4
C)
9
2
D) 5
E)
B
11
2
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
6.
3.
E) 24
C
B
6
A
E
C
8
D
O
2
A
O merkezli çemberde, [AB teğet, A, C, O doğrusal, |AC| = |CO| , |AB| = 6 cm ise çemberin
yarıçapı kaç cm dir?
A) 2v3
[AB] çaplı çembere [DA], [CB] ve [DC] sırasıyla A, B ve E noktalarında teğettir.
|DA| = 2 cm ve |CB| = 8 cm ise |AB| kaç cm
B) 3
D) 3v2
B
C) 4
E) 2v6
dir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
547
Çember ve Daire
7.
10.
D E
8
E
F C
C
4
x
x
D
A
10
B
B
2
3
[AB] çaplı yarım çember ve ABCD dikdörtgenin-
A
de, |AB| = 10 cm ve |EF| = 8 cm ise |AD| = x
A noktasında içten teğet olan çemberlerde [AC]
kaç cm dir?
ve [AE] kiriştir. |AB| = 2 cm, |BC| = 4 cm
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
|AD| = 3 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
A) 4
8.
B) 5
C) 6
11.
C
3
D) 8
E) 9
A
B
x
A
1
E
Şekildeki çemberde, [AC ve [AE kesen
|BC| = 3 cm , |AD| = 1 cm , |AB| = |DE| ise
|AE| kaç cm dir?
B) v2
A) 1
C) v3
D) 2
B
ESEN YAYINLARI
D
E
2
O
C
8
D
O merkezli yarım çemberde, [AB teğet
[AO] ⊥ [CD], [BD] ∩ [AO] = {E}, |OD| = 8 cm
E) v5
ve |OE| = 2 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
A) 9
9.
A
x
E
2
F
D) 15
E) 18
D
K
7
5
A
3
C
C) 12
12.
4
D
B) 10
30°
B
x
B
2
C
A ve B noktalarında kesişen çemberlerde,
[AB] ∩ [CK] = {E} , |DE| = 2 cm , |BE| = 3 cm
a
[AB] çaplı çemberde, m( DAC) = 30°
|AE| = 4 cm , |FK| = 5 cm ise |CD| = x kaç
|AD| = 7 cm, |BC| = 2 cm ise |AC| = x kaç cm
cm dir?
dir?
A) 6
548
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
A) 6
B) 4v3
C) 7
D) 5v3
E) 8
TEST -
10
Dairenin Çevresi ve Alanı
1.
4.
A
60°
C
O
6
2
B
B
A
a
Şekildeki çemberde m( ACB) = 60°, |AB| = 6 br
h
ise |AB| kaç br dir? (r = 3 alınız.)
h
O merkezli çemberde |AB| = r br, |OB| = 2 br
A) 4v3
A) 1
B) 7
2.
C) 8
D) 5v3
A
ise taralı alan kaç br2 dir? (r = 3 alınız.)
E) 9
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
B
5.
D
E
E
D
E noktasında teğet olan eş çemberlerin yarıçapları 3 br dir. Bu çemberlerin etrafına sarılmış
olan gergin ipin uzunluğu kaç br dir?
ESEN YAYINLARI
C
2
A
C) 29
D) 28
B
|OD| = 2 br ise taralı alan kaç r br2 dir?
A)
B) 30
C
[AB] çaplı yarım çemberde OCDE karedir.
(r = 3 alınız.)
A) 31
O
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E) 3
E) 27
6.
3.
O
A
B
Şekildeki taralı alan, birim karelerden oluşan
O merkezli çemberin çevresi 12r br dir.
h
|AB| = 2r br ise taralı alan kaç br2 dir?
kağıda çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2
A) 5r
A) 8
B) 6r
C) 7r
D) 8r
E) 9r
dir? (r = 3 alınız.)
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
553
Çember ve Daire
7.
10.
A
2
B
2
F
C
A
[AB] ve [AC] çaplı yarım çemberler çizilmiştir.
B) 3
3
D)
2
C) 2
C
O
2
D
B
[AB] çaplı yarım çemberle CDEF karesinde
|AB| = |BC| = 2 br ise taralı alan kaç r br2 dir?
9
A)
2
E
O merkez, |OD| = 2 br ise taralı alan kaç br2 dir?
E) 1
(r = 3 alınız.)
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
8.
A
B
11.
D
C
C
A, B, C noktalarında teğet olan üç çemberin
yarıçapı 6 br ise taralı alan kaç br2 dir?
A) 18v3 – 9r
B) 36v3 – 9r
C) 36v3 – 18r
D) 18v3 + 6r
ESEN YAYINLARI
2
A
B
ABCD karesi ile [AB] çaplı yarım çember çizilmiştir. |BC| = 2 br ise taralı alan kaç br2 dir?
A) r – 2
E) 9v3 + 8r
B) r – 1
D) 1
9.
A
L
E
B
12.
D
C) r + 1
E) 2
D
C
K
F
C
A
ABCD karesinin kenarları E, F, K, L noktalarında çembere teğettir. A ve C merkezli çeyrek
çemberlerin yarıçapı 2 br ise taralı alan kaç br2
6
B
ABCD karesi ile [AD] ve [DC] çaplı yarım çemberler çizilmiştir. |AB| = 6 br ise taralı alan kaç
br2 dir?
dir?
A) 9
A) 6
554
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
B) 3 r – 2
D) 16
C) 3 r + 1
E) 18
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
4.
B
D
A
C
40°
5
3
60°
D x A
O
C
B
a
ABCD kirişler dörtgenidir. m( DBC) = 60°
a
a
m( CAB) = 40° ise m( BCD) kaç derecedir?
O merkezli çeyrek çemberde, [CD] ⊥ [OA]
|OB| = 5 cm, |CD| = 3 cm ise |DA| = x kaç
cm dir?
5.
2.
8v3
A x B
C
O
O merkezli yarım çemberde, BOED kare
|CE| = 8v3 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
3.
E
x
C
E
A
A
50°
F
x
A
O
50°
[AB] çaplı çember, değer çemberle C ve B noktalarında kesişmiştir. A, C, D doğrusal ise
%
m( DEB ) = x kaç derecedir?
B
a
ADFC kirişler dörtgenidir. m( BAE) = 50°
a
a
m( ABC) = 20° ise m( DEA) = x kaç derecedir?
E
B
20°
D
6.
D
C
ESEN YAYINLARI
D
B
x
C
D
O merkezli çember ile diğer çember A ve C
a
noktalarında kesişmiştir. m(ABD) = 50° ise
a
m(ADB) = x kaç derecedir?
559
Çember ve Daire
7.
D
9.
C
A
O
4
A
B
O ve A merkezli çemberlerin çevreleri toplamı
ABCD karesi ile D ve B merkezli çeyrek çember-
8 r br, taralı alan 8r br2 ise O merkezli çembe-
ler çizilmiştir. |AB| = 4 br ise taralı alan kaç br2
rin yarıçapı kaç br dir?
8.
ESEN YAYINLARI
dir?
A
10.
C
B
6
E
x
K
A
L
2
3
D
E noktasında dıştan teğet çemberlerde
B
C
K ve L merkezli çemberler birbirine ve ABC eşkenar üçgeninin kenarlarına teğettir.
|AC| = 6 + 6v3 br ise çemberlerden birisinin
yarıçapı kaç br dir?
560
[AB] ∩ [CD] = {E} , |BE| = 2 cm , |ED| = 3 cm
|CE| = 6 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
I.
Sol taraftaki formüllere karşılık gelen şekilleri sağ sütundan bulup eşleştiriniz.
Formül
fiekil
1.
α + β = 90°
a.
2.
α + β = 180°
b.
α O
β
β
α
β
3.
β = 2α
c.
α
O
α
4.
β=α
d.
β
II.
Sol taraftaki formüllere karşılık gelen şekilleri sağ sütundan bulup eşleştiriniz.
Formül
fiekil
y
x
1.
2.
x+z=y+t
x (x + y) = z (z + t)
a.
z
t
y
z
b.
t
x
z
3.
x.y = z.t
c.
t
y
x
4.
x=y, z=t
d.
x
t
y
z
561
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
SOLDAN SAĞA
5. Çemberin merkezinden çıkan iki ışının oluşturduğu açı
8. Çemberin içindeki bir noktada kesişen iki kirişin
oluşturduğu açı
9. Çemberin merkezinden geçen kirişi
10. Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzunlukta
bulunan noktaların kümesi
YUKARIDAN AŞAĞIYA
1. Bir önermenin doğruluğunu veya yanlışlığını
gösteren yöntem
2. Bütün kenarları bir çembere teğet olan dörtgen
3. Köşesi çember üzerinde olan ve kenarları çemberi kesen açı
4. Çemberin herhangi iki noktası arasında kalan
parçası
6. Bir üçgenin dış bölgesinde bulunan ve üçgenin
11. Çemberi iki farklı noktada kesen doğru
bir kenarı ile diğer iki kenarının uzantılarına
13. Dört köşesi de aynı çember üzerinde bulunan
teğet olan çember
dörtgen
14. Çemberin farklı iki noktasını birleştiren doğru
7. Merkezleri aynı, yarıçapları farklı iki dairenin
arasında kalan bölge
12. Çemberin merkezi ile herhangi bir noktası arasındaki uzaklık
562
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1.
Köşesi çemberin dış bölgesinde, kenarları çembere teğet veya çemberin keseni olan açıya çemberin
........................... denir.
2.
Kirişler dörtgeninde ........................... açılar bütünlerdir.
3.
Çemberi farklı iki noktada kesen doğruya çemberin ........................... denir.
4.
Çember ile yalnız bir ortak ........................... olan doğruya teğet denir.
5.
Bir çemberde herhangi bir kirişin orta dikmesi çemberin ........................... geçer.
6.
Bir üçgenin ........................... çemberinin merkezi, üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır.
7.
Bir çemberin kendisi ile iç bölgesenin birleşimine ..................... denir.
8.
İki çemberin ortak dış teğetlerinin kesim noktası ile merkezleri ...........................
9.
Bir çemberde en büyük ........................... çaptır.
10. Bir çemberin çevresinin, çapına oranı ....................... sayısına eşittir.
563
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
2.
Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün iki katına eşittir.
3.
Bir çemberde kirişin uzunluğu merkeze yaklaştıkça büyür.
4.
Bir teğetler dörtgeninde karşılıklı iki kenarın uzunlukları toplamı, diğer iki kenarın uzunlukları toplamına eşittir.
5.
Teğet-kiriş açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
6.
Bir çemberde merkezden eşit uzaklıkta bulunan kirişlerin uzunlukları eşit olmayabilir.
7.
Bir çember içindeki herhangi bir A noktasından geçen kirişler içinde en kısa olanı, A noktasından
geçen yarıçapa bu noktada dik olan kiriştir.
8.
Çemberin herhangi bir teğeti değme noktasındaki yarıçapa diktir.
9.
İki çemberin ortak dış teğet parçalarının uzunlukları eşittir.
10.
Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi üçgenin kenarortaylarının kesim noktasıdır.
11.
Bütün daireler ve çemberler birbirine benzerdir.
12.
Eşkenar üçgenin iç teğet çemberi ile çevrel çemberi aynı merkezlidir.
564
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
2007 - ÖSS
4.
2007 - ÖSS
B
E
AB doğrusu
12
D
C
OADC dikdörtgen
O merkezli çembere
A
O
|OC| = 12 cm
12
|OA| = 9 cm
9
x
B
Şekildeki P noktası çember üzerinde değişmektedir. Buna göre |AP| uzunluğunun en büyük
çemberin üzerinde ise x kaç cm dir?
değeri kaç cm dir?
B) 9
C) 8
D) 7
A) 22
E) 6
2007 - ÖSS
5.
P
4
A
2
R
x
|TR| = x kaç cm dir?
5
3
3
A
merkezli
çem-
Küçük çemberler de
bu çembere ve üçge-
C
küçük çemberlerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
6.
B) 9 r
C) 12 r
2007 - ÖSS
M merkezli bir çemberin [AB] çapının ayırdığı
ABCD bir kare
farklı yaylar üzerinde C ve D noktaları alınıyor.
|OB| = |OC
[AC] kirişi üzerinde alınan bir K noktası için DK
TO // AB
D
B
tir. O merkezli çemberin yarıçapı 6 cm ise
A) 6 r
doğrusu, çemberi E noktasında kesiyor.
6
nin kenarlarına teğet-
2
5
3
2007 - ÖSS
O
iç te-ğet çemberidir.
3
C)
3
2
E)
D) 15 r
110°
B
M
A
K
x
E
a
m( EDC) = 15°
a
m( DMB) = 110°
a
m( DKC) = x
T
C
M
566
B) 125
C) 120
D) 115
E) 105
O
2
B
Şekildeki M merkezli çember [AD] kenarına T
noktasında ve O merkezli, [BC] çaplı yarı çembere K noktasında teğettir.
Buna göre taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
A) 2 –
A) 130
K
|AB| = 2 cm
C
Yukarıdaki verilere göre x kaç derecedir?
E) 18 r
D
A
15°
E) 17
ber ABC üçgeninin
teğet, PR ⊥ RB , |PA| = 4 cm , |AO| = 2 cm ise
D)
D) 18
2007 - ÖSS
O
B
O
5
B)
2
4
C) 19
eşkenar üçgendir ve
PR doğrusu O merkezli çembere T noktasında
4
A)
2
3
B) 20
Şekildeki ABC üçgeni
S
ESEN YAYINLARI
T
3.
|AB| = 12 cm
Şekildeki E, D ve B noktaları O merkezli çeyrek
A) 10
2.
A
|OP| = 5 cm
P
|AB| = x
O
B noktasında teğet
5
3r
8
D) 4 –
B) 2 –
3r
8
5r
8
E) 4 –
C) 2 –
5r
7
3r
7
Çember ve Daire
7.
2008 - ÖSS
10. 2008 - ÖSS
B
Bir ABC dik üçgeni için CA ⊥ AB, |CA| = 3 cm ve
a
A
a
C
O
A, B ve C noktaları
|AB| = 4 cm olarak veriliyor. Merkezi A, yarıçapı
O merkezli çember
[AC] olan bir çember, üçgenin BC kenarını C ve E
üzerinde
a
a
m( ABC) = m( AOC) = a
noktalarında kesiyor. Buna göre, |BE| kaç cm dir?
A)
5
2
B)
7
3
C)
8
3
D)
7
5
E)
9
5
Yukarıdaki verilere göre, a kaç derecedir?
A) 105
8.
B) 110
C) 115
D) 120
E) 135
2008 - ÖSS
Şekilde, O ve M mer-
A
B
b
O
B
sında teğet ve M mer-
T
M
11. 2008 - ÖSS
kezli çemberler T nokta-
a
A
kezli çember O dan geçmektedir. O dan geçen
O1
bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a = b
B) a =
D) a =
5b
4
3b
2
C) a =
E) a =
4b
3
5b
3
ESEN YAYINLARI
a cm ve b cm olduğuna göre, a ile b arasındaki
[O2H] ⊥ [AB]
O2
T
bir doğru, büyük çemberi
A da, küçük çemberi ise B de kesmektedir.
h
h
Oluşan AT ve BT yaylarının uzunlukları sırasıyla
H
Şekildeki O1 ve O2 merkezli çemberler T noktasında dıştan teğettir. O1 den geçen bir doğru O2
merkezli çemberi A ve B noktalarında kesmektedir. |O1A| = 5 cm, |O1B| = 9 cm ve |O1T| = 3 cm
olduğuna göre, HO1O2 üçgeninin alanı kaç cm2
dir?
A) 20v3
B) 23v3
D) 14v2
9.
C) 12v2
E) 17v2
2008 - ÖSS
O
r
D
S1
r
C
H
S2
A
2r
G
S3
B E
2r
F
Yukarıda, aralarındaki uzaklık r cm olan paralel
12. 2009 - ÖSS
T
iki doğru arasına çizilen O merkezli yarım daire,
ABCD yamuğu ve EFGH dikdörtgeni verilmiştir.
A
|DC| = r, |AB| = |EF| = 2r ve yarım dairenin ala-
x
100°
B
nı S1, yamuğun alanı S2 , dikdörtgenin alanı S3
O
C
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) S1 < S2 < S3
B) S1 < S3 < S2
C) S2 < S1 < S3
D) S3 < S1 < S2
E) S3 < S2 < S1
O merkez, AT çembere T noktasında teğet A, B,
a
a
O, C doğrusal, m( ABT) = 100° , m( CAT) = x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
567
Çember ve Daire
13. 2009 - ÖSS
16. 2010 - LYS
T
T
B
v3
x
O
70°
A
O
A
120°
K
K
T′
C
AT ve AK doğruları O merkezli çembere teğet
a
m( TAK) = 120° , |AT| = v3 cm ise çemberin
AT, AT′ ve BC O merkezli çembere teğet
a
a
m( BOC) = 70° ise m( BAC) = x kaç derecedir?
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
çevre uzunluğu kaç cm dir?
A) 4 r
E) 45
B) 5 r
D) 2 r v3
C) 6 r
E) 3 r v3
17. 2010 - YGS
D
14. 2009 - ÖSS
C
8
4
[AD] çap, O merkez
A
çemberin çapı B ve C
B
O
noktası AC ve BD nin
2
2
H
kesim noktası
D
|BH| = |HD| = 2 cm
a
m( BAH) = 30°
C
Yukarıdaki verilere göre, |AC| kaç cm dir?
A)
13
2
B)
A
14
3
C) 5
D) 6
B
yayı, |DA| = 4 cm , |AC| = 8 cm
Yukarıdaki verilere göre, taralı daire diliminin
alanı kaç cm2 dir?
A)
16r
3
20r
3
B)
D)
E) 7
28r
3
C)
E)
h
|AD| = a birim
h
|BC| = b birim
T
A
32r
3
D
A
c
a
|DC| = c birim
3
25r
3
O
18. 2011 - YGS
15. 2010 - YGS
E
h
ABCD bir dikdörtgen, CE, A merkezli çember
çember üzerinde H
ESEN YAYINLARI
30°
C
B
45°
b
B
O
Yukarıda O merkezli OAD ve OBC daire dilimleri
verilmiştir. Buna göre, taralı bölgenin alanı a, b
O noktası çemberin merkezi AT, çembere T noka
tasında teğet, |AT| = 3 cm , m( OAT) = 45° ise
BT yayının uzunluğu kaç cm dir?
A)
568
r
2
B)
2r
3
C)
3r
4
D)
4r
5
E)
5r
6
ve c türünden aşağıdakilerin hangisine eşittir?
A)
(a + b) .c
2
D)
B)
(b – a) .c
2
2 (b – a)
c
E)
C)
a.b.c
2
2 (a + b)
c
Çember ve Daire
19. 2011 - LYS
22. 2011 - LYS
Aşağıda ABCDEFGHK düzgün dokuzgeni veril-
Aşağıdaki şekilde ABC üçgeninin [AD] yüksekli-
miştir.
ğini çap kabul eden çember verilmiştir. Bu çem-
F
G
E
ber ile üçgenin [AB] kenarının kesim noktası E,
[AC] kenarının kesim noktası F dir.
H
D
O
K
A
A
E
B
F
48°
A) 112
D) 80
C
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
ölçüsü kaç derecedir?
C) 75
70°
D
B
berin merkezi olduğuna göre, EOC açısının
B) 72
x
K
O noktası dokuzgenin köşesinden geçen çem-
A) 60
a
m( ABC) = 48°
a
m( ACB) = 70°
a
m( AKF) = x
C
B) 114
C) 116
D) 118
E) 120
E) 90
23. 2011 - LYS
Aşağıda merkez açısının ölçüsü 120° olan O
merkezli daire dilimiyle bu daire dilimine içten
teğet olan M merkezli 2v3 cm yarıçaplı çember
20. 2011 - LYS
verilmiştir.
D
E
x
40°
25°
A
C
B
O
Şekildeki A, B, D ve E noktaları O merkezli [AB]
çaplı çember üzerindedir. Buna göre, x kaç
derecedir?
A) 25
O
ESEN YAYINLARI
a
m( DCB) = 25°
a
m( DAB) = 40°
a
m( DBE) = x
M
2v3
Buna göre, O merkezli dairenin yarıçapı kaç cm dir?
A) v6 + 2
B) v6 + 4
D) 2v3 + 2
B) 30
C) 35
D) 40
120°
C) 2v3 + 1
E) 2v3 + 4
E) 45
A
24. 2011 - LYS
O
ABC bir ikizkenar
21. 2011 - LYS
üçgen
A
a
m( BAC) = 60°
60°
|BC| = 3 cm
O
M
|AB| = |AC|
B
|OC| = r
B
3
C
Şekildeki O ve M merkezli çemberlerin yarıçap-
r
C
ları sırasıyla 2 cm ve 8 cm dir. Bu iki çember
ABC ikizkenar üçgenine içten, birbirlerine ise
Şekildeki O merkezli cember ABC üçgeninin
dıştan teğettir. Buna göre, ABC üçgeninin [BC]
çevrel çemberidir. Buna göre, r kaç cm dir?
kenarına ait yüksekliği kaç cm dir?
A)
3
2
B)
6
2
C)
10
3
D) v2
E) v3
A)
64
3
B)
68
3
C)
70
3
D)
81
4
E)
85
4
569
Çember ve Daire
25. 2012 – LYS
27. 2012 – LYS
A
A
ABC bir dik üçgen
6
B
O
2
C
B
üzerinde bir A noktası B den C ye doğru hareket
çembere teğettir.
da kalan boyalı bölgenin alanı en küçük olduğun-
Buna göre, yarım çemberin çevresi kaç cm dir?
7r
9r
B) 4r
C) 5r
D)
E)
A) 3r
2
2
da |AB| + |AC| toplamı kaç cm olur?
D) 5
C
da, AB kenarı da B noktasında O merkezli yarım
Buna göre, yarım çember ile ABC üçgeni arasın-
C) 3v3
|DC| = 4 cm
E
O
Şekildeki ABC üçgeninin AC kenarı D noktasın-
ettirilerek ABC üçgenleri oluşturuluyor.
B) 4v2
|AB| = 6 cm
4
Yarıçapı 2 cm olan O merkezli yarım çember
A) 4v2
AB ⊥ BC
D
E) 6
28. 2012 – LYS
Aşağıda, ABC eşkenar üçgeni ve bu üçgenin iç
teğet çemberi ile çevrel çemberi verilmiştir.
ESEN YAYINLARI
A
26. 2012 – LYS
A
B
C
İç teğet çemberinin yarıçapı 2 cm olduğuna göre,
boyalı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
E
H
B
ABC bir üçgen
A) 16 r – 12v3
B) 16 r – 18v3
AD ⊥ BC
C) 25 r – 15v3
D) 25 r – 18v3
BE ⊥ AC
E) 25 r – 24v3
D
C
29. 2012 – LYS
Şekildeki ABC üçgeninde; AD ve BE yüksekliklerinin kesim noktası H dir.
O merkezli çember
Buna göre,
I.
A
O
160°
D, H ve E noktalarından geçen çember C
noktasından da geçer.
D
II. ABC üçgeninde, AB kenarına ait yükseklik H
noktasından geçer.
x
C
|AO| = |CD|
a
m( AOD) = 160°
a
m( ABD) = x
B
III. |CA| = |CB| ise |HE| = |HD| dir.
Yukarıdaki şekilde, A, C ve D noktaları O mer-
ifadelerinden hangileri doğrudur?
kezli çember üzerindedir ve AB doğrusu çembe-
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
570
C) I ve III
E) I, II ve III
re A noktasında teğettir.
Buna göre, x kaç derecedir?
A) 40
B) 45
C) 50
D) 60
E) 70
Çember ve Daire
30. 2012 – LYS
33. 2013 – LYS
B
C
3
x
O
A
D
O merkezli
O merkezli r yarıçaplı dairenin içine alanı en
çeyrek çember
büyük kare, dışına ise alanı en küçük kare çizilip
OABC bir dikdörtgen
dairenin ve karelerin alanları kıyaslanarak r
|OB| = 3 cm
a
m( AOB) = x
sayısının 2 ile 4 arasında olduğu gösteriliyor.
Küçük karenin alanı : 2r2
Dairenin alanı : r r2
O
Şekildeki OABC dikdörtgeninin alanı 2a cm2 ve
r
Büyük karenin alanı : 4r2
boyalı bölgenin alanı r – a cm2 olduğuna göre,
Eşitsizlik : 2 < r < 4
x in radyan cinsinden ölçüsü kaçtır?
A)
r
3
B)
r
5
C)
r
6
D)
3r
8
E)
2r
9
O
Eşitsizlik : ? < r < ?
r
Benzer biçimde, dairenin içine ve dışına düzgün
altıgenler çizilirse aşağıdaki eşitsizliklerden hangisine ulaşılır?
31. 2013 – LYS
ABCD dikdörtgeninin AD kısa kenarını çap kabul
eden O merkezli çember çiziliyor. Dikdörtgenin
köşegenlerinin çemberi kestiği noktalar A, D, E
ve F olmak üzere OEF üçgeni oluşturuluyor.
Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı, OEF
ESEN YAYINLARI
Uzun kenarı, kısa kenarının v3 katı olan bir
A)
3 3
<r<2 3
2
B)
3 3
10
<r<
2
3
C)
4 3
<r<2 3
3
D)
4 3
10
<r<
3
3
E)
4 3
9 3
<r<
3
4
üçgeninin alanının kaç katıdır?
A) 8
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
34. 2013 – LYS
D
32. 2013 – LYS
D
C
Aşağıda; bir kenar uzunluğu
A
20 cm olan ABCD karesi,
karenin her bir köşesini
B
ber ve kareye içten teğet
olan çember verilmiştir. Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
A) 100r – 100
B) 100r – 200
C) 200r – 400
D) 400 – 100r
E) 400 – 50r
C
x
E
yarıçaplı dört çeyrek çem20
O
15
merkez kabul eden 10 cm
A
10
F
B
O merkezli yarım çember, ABC bir dik üçgen
AB // DE, |DF| = |FE|, |AB| = 15 cm
|OC| = 10 cm olduğuna göre, |EC| = x kaç cm
dir?
A) 15
B) 16
C) 18
D) 20
E) 21
571
Çember ve Daire
35. 2013 – LYS
37. 2013 – LYS
K
D
A
B
C
D
8
C
M
E
x
45°
A
L
E
B
Birim karelerin bulunduğu şekildeki kağıt üzerine
%
m( BAD ) = 45°, AB ⊥ BC, AD ⊥ DC
K, L ve M noktalarından geçen çember çizilecek-
|AD| = 8 cm, |BC| = x dir. Şekildeki A merkezli
tir. Bu çemberin merkezi hangi kare içinde yer
DE çember yayı ile DC doğru parçasının uzun-
alır?
lukları eşittir. Buna göre, x kaç cm dir?
A) A
B) B
C) C
D) D
A) r –
E) E
B) 4 – r
2 (r – 2)
C)
E) 2 (r –
ESEN YAYINLARI
2
D)
2 (4 – r)
2)
38. 2013 – LYS
B
C
36. 2013 – LYS
O
D
C
A
8
E
O
D
Yukarıda verilen O merkezli üç çemberle ilgili
M
olarak aşağıdakiler bilinmektedir.
A
4
•
B
ABCD bir dikdörtgen, |AB| = 4 cm, |BC| = 8 cm
En büyük çemberin AB kirişi, en küçük çembere; CD kirişi ise ortanca çembere teğettir.
•
Birbirine E noktasında teğet olan şekildeki O ve
En büyük çemberin yarıçapı 6 cm, AB kirişinin uzunluğu 8 cm, CD kirişinin uzunluğu ise
M merkezli çemberlerin yarıçapları eşittir. Buna
4 cm dir.
göre, çemberin merkezleri arasındaki uzaklık
Buna göre, en küçük dairenin alanının ortanca
kaç cm dir?
dairenin alanına oranı kaçtır?
A) 8
572
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
A)
5
8
B)
4
9
C)
5
12
D)
7
12
E)
9
16
GEOMETRİK CİSİMLER
. ÜNİTE
8. ÜNİTE
8. ÜNİTE
8. ÜNİTE
Katı Cisimlerin Yüzey Alanları ve Hacimleri
1.
Kazanım
: Dik prizma ve dik piramitlerin yüzey alan ve hacim bağıntılarını oluşturur.
2.
Kazanım
: Dik dairesel silindirin ve dik dairesel koniyi açıklar, yüzey alan ve hacim bağıntılarını
oluşturur.
3.
Kazanım
: Küreyi açıklar, yüzey alan ve hacim bağıntılarını oluşturur.
4.
Kazanım
: Katı cisimlerin yüzey alan ve hacim bağıntılarını modelleme ve problem çözmede
kullanır.
8. ÜNİT
PRİZMA
DİKDÖRTGENLER PRİZMASI
Bir prizmatik yüzey paralel iki düzlemle kesildiğinde
Tabanı dikdörtgen olan dik prizmaya dikdörtgenler prizması denir.
bu düzlemler arasında kalan kapalı cisme prizma
denir. Bu düzlem parçaları prizmanın tabanlarıdır.
L
K
E
Dik Prizma: Yan ayrıtları taban düzlemine dik olan
F
prizmaya dik prizma denir.
c
D
Eğik Prizma: Yan ayrıtları taban düzlemine dik
A
olmayan prizmaya eğik prizma denir.
a
C
b
B
Dikdörtgenler prizmasının en uzak iki noktasını
Düzgün Prizma: Tabanı düzgün çokgen olan dik
birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.
prizmaya düzgün prizma denir.
Cisim köşegenleri eş olup birbirini ortalar. Şekildeki
Aşağıdaki şekilde bazı prizmalar çizilmiştir.
prizmanın cisim köşegenlerinden biri [LB] olup.
|LB| =
a 2 + b 2 + c 2 dir.
Dikdörtgenler Prizmasının Alanı
Yanal alan = Taban çevresi x yükseklik
= 2(a + b).c
Üçgen dik
prizma
Üçgen e¤ik
prizma
Düzgün beflgen
prizma
Bütün alan = Yanal alan + 2.Taban alanı
= 2(a + b).c + 2.a.b = 2(ab + ac + bc)
Dik Prizmaların Alanı
L
Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi
V = Taban alanı x Yükseklik
K
E
F
d
D
A
c
C
= a.b.c
h
h
b
a
KÜP
B
a
b
c
d
Bütün ayrıtları eşit uzunlukta olan prizmaya küp
Yukarıda bir dik prizma ile bu prizmanın açınımı
denir.
verilmiştir. Şekilde de görüldüğü gibi tabandaki
Yüzey köşegeni = av2
şekil ne olursa olsun yanal yüzey bir dikdörtgen-
Cisim köşegenlerinden
dir ve bu dikdörtgenin bir kenarı prizmanın yük-
biri |LB| olup
sekliği kadar, diğeri ise taban çevresi kadardır.
L
|LB| = av3 dir.
E
A
a
F
a
a
K
D
av2
a
C
a
B
Dolayısıyla,
Küpün Alanı
Yanal alan = Taban Çevresi x Yükseklik
Küpün yüzeyi 6 eş kareden oluştuğundan bu kare-
Tüm alan = Yanal Alan + 2.Taban Alanı
L
Dik Prizmaların Hacmi
D
A
574
Alan = 6.a2 ⇒ A = 6a2
K
E
V = Taban alanı x Yükseklik
lerin alanları toplamı küpün yüzey alanıdır.
C
F
Küpün Hacmi
h
V = Taban alanı x Yükseklik
V = a2.a = a3
B
PİRAMİT
Bir çokgen ile bu çokgenin
düzlemi dışında bir nokta
verildiğinde,
çokgenin
Yukarıdaki şekilde bir kare piramit ve açınımı veril-
P
miştir.
Bu düzgün piramidin yanal alanı (Y.A), taban çevresi
ile yan yüz yüksekliğinin çarpımına eşit olacağından
bütün noktalarını dışında-
C
D
ki noktaya birleştirerek elde
R
H
edilen cisme piramit denir.
A
B
Y.A =
4a.h 1
Taban çevresi x Yan yüz yüksekli¤i
=
2
2
Bir düzgün piramidin alanı yanal alanı ile taban ala-
Piramitler tabanlarındaki çokgenin türüne göre adlan-
nının toplamına eşittir.
dırılırlar. Yukarıdaki piramit, bir dörtgen piramittir.
®
P, piramidin tepe noktasıdır.
Piramidin Hacmi
®
ABCD piramidin tabanıdır.
®
[PA], [PB], [PC], [PD] doğru parçaları piramidin
Piramidin hacmi
1
V=
Taban Alanı x Yükseklik
3
yan ayrıtlarıdır.
®
h
PDA, PAB, PBC, PDC üçgensel bölgeleri piramidin yan yüzleridir.
®
Tepe noktasının taban düzlemine olan uzaklığı
piramidin yüksekliğidir. (|PH| = h)
®
[PR] piramidin yan yüz yüksekliğidir.
DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ
Dört yüzü de eşkenar üçgen olan piramite düzgün
Düzgün Piramit
Tabanı düzgün çokgen olan ve yükseklik ayağı taban
merkezinde bulunan piramide düzgün piramit denir.
Aşağıdaki piramitler düzgün piramide birer örnektir.
dörtyüzlü denir.
A
Şekildeki düzgün dörtyüzlünün ABC, CBD, ACD ve ABD
yüzeyleri birer eşkenar üçgen-
a
dir. Piramidin yükseklik ayağı
a
(H) tabandaki DBC üçgeninin
Eflkenar
üçgen piramit
Düzgün
alt›gen piramit
Düzgün piramitlerde;
Yan ayrıt uzunlukları eşittir.
®
Yan yüz yükseklikleri eşittir.
®
Yan yüzler birbirine eş ikizkenar üçgenlerdir.
®
Bir yan yüz yüksekliğine düzgün piramidin apote-
a
Düzgün dörtyüzlünün yüksekliği: |AH| =
a
C
a 6
dir.
3
a
a
a
mi denir.
Düzgün Piramidin Alanı
a
a
a
a
a
a
a
a
B
P
P
h1
D
C
a
a
a
a
Düzgün Dörtyüzlünün Alanı
®
A
a
H
B
ağırlık merkezidir.
Kare
piramit
a
D
B
a
C
bu dörtyüzlünün açınımı verilmiştir. Bu durumda bir
A
h1
B
Şekilde kenar uzunluğu a olan düzgün dörtyüzlü ile
a
a
a
a
kenarı a olan 4 eşkenar üçgenin oluşturduğu bölgenin alanı
D
a
a
4.
a2 3
= a 2 3 br2 dir.
4
575
SİLİNDİR
Düzgün Dörtyüzlünün Hacmi
Bir ayrıtının uzunluğu a br olan düzgün dörtyüzlünün
hacmi : V =
a3 2
12
dir.
h
Dik silindir
h
E¤ik silindir
DÜZGÜN KESİK PİRAMİT
® Silindirler tabanlarına göre adlandırılırlar. Biz
F
Şekilde düzgün bir piramidin
tabana paralel bir düzlemle
kesilmesi sonucu oluşan düzgün kesik piramit görülmektedir.
bu bölümde sadece dairesel silindiri inceleye-
E
D
ceğimizden silindirden söz ettiğimizde dairesel
silindir olduğu anlaşılmalıdır.
C
A
B
Düzgün kesik piramitte
Tabanlar
®
birbirlerine
paralel
birer
düzgün
çokgendir.
® Ana doğruları tabanlarına dik olan silindirlere
dik silindir veya dönel silindir, dik olmayan silindirlere eğik silindir denir.
® Tabanlar arasındaki uzaklığa silindirin yüksekliği denir.
®
Yan yüzler eş ikizkenar yamuklardır.
®
Tabanların ağırlık merkezlerini birleştiren doğru,
kesik piramidin yüksekliğidir.
Silindirin Alanı
Bir dik silindirin açık biçi-
Düzgün Kesik Piramidin Alanı
b
K
P
b
L
b
a
a
Ha
b
K P
C′
h1
A
M′
M
L
Silindirin yan yüzeyi bir dik-
h1
a
A
B
h
dörtgen olup bu dikdörtgenin
C
a
C
mi şekilde ifade edilmiştir.
M
b
r
H
B
2πr
kenarlarından birinin uzunlu-
r
ğu taban çevresine diğeri ise
yüksekliğe eşittir.
Yukarıdaki şekilde bir düzgün kesik piramidin yan
Silindirin yanal alanı (Ay)
yüzünün açınımı verilmiştir.
Ay = Taban çevresi x Yükseklik = 2 r rh
(a + b) .h 1
^ AB + KL h . PH
A(ABLK) =
=
2
2
(a + b) .h 1 (3a + 3b) .h 1
=
Yanal alan = 3.A(ABLK) = 3.
2
2
Düzgün Kesik Piramidin Hacmi
sekliği h olan düzgün
kesik piramidin hacmi
V=
1
h(A + A′ +
3
576
A.Al )
A = Yanal alan + 2.Taban alanı = 2r rh + 2.rr 2
= 2rr(h + r) dir.
Silindirin Hacmi
Alt ve üst tabanlarının
alanları A ve A′, yük-
Taban alanı: rr 2 olduğundan silindirin tüm alanı (A)
h
Hacmi = Taban alanı x Yükseklik
h
V = rr 2 h
r
Dik Dairesel Koninin Alanı
KONİ
Konik yüzeyin tüm
P
P
ana doğrularını
P
α
Ana do¤ru
kesen bir düzlemle
Yükseklik
tepe noktası arasında kalan cisme koni
A
denir.
B
H
r
A
O
Taban e¤risi
B
B
A
Koninin tepe noktası ve eksenini içine alan her düz-
r
O
lem ile kesişimi bir üçgensel bölgedir.
Şekildeki PAB bu üçgenlerden biridir.
Yukarıdaki şekilde bir koni ile bu koninin açınımı
Yükseklik ayağı taban merkezinde olan koniye, dik
verilmiştir.
koni; tabanı daire olan dik koniye dik dairesel koni
denir.
P
P
h
A
O
Dik dairesel koni
A
O
r
a
=
, 360°
®
Koninin alanı: rrl + r r 2
Dik Dairesel Koninin Hacmi
h
B
®
P
1
V=
Taban alanı x Yükseklik
3
B H
Eğik dairesel koni
V=
1
rr 2 h
3
h
A
Dik dairesel konide;
®
C
Yükseklik, simetri ekseni-
KÜRE
r1 D
E
Uzayda sabit bir noktadan
eşit uzaklıkta bulunan nok-
dir.
®
Simetri ekseninden geçen
düzlemlerle koninin ara-
A
H
r
B
kesitleri eş ikizkenar üçgensel bölgelerdir.
®
B
P
Ana doğruların uzunlukları eşittir.
®
r
O
talar kümesine küre yüzeyi, A
küre yüzeyi ile sınırlanan
cisme ise küre denir.
Sabit nokta kürenin merkezi,
sabit uzaklık kürenin yarıçapıdır.
O
r
B
Bir dairesel koninin tabanına paralel bir düzlemKürenin Alanı
le kesiti yine bir dairedir.
r1 h 1
=
dir.
r
h
®
|PE| = h1 ve |PH| = h ise
®
Kesik koninin üst ve alt kesit alanları sırasıyla
Yarıçapının uzunluğu r br olan kürenin alanı
A = 4r r 2 dir.
A1 ve A2 ise
Kürenin Hacmi
A1
r 2
h 2
= c 1 m = c 1 m dir.
A2
r
h
r yarıçaplı kürenin hacmi: V =
4
rr 3
3
577
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 1
L
Çözüm
K
E
F
3
D
C
2
5
A
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasının üç farklı ayrıtının
uzunlukları 2 br, 3 br ve 5 br ise cisim köşegeninin
uzunluğunu bulunuz.
1.
L
3.
K
E
F
x
Yüzey köşegen uzunlukları 4v2 br, 7 br ve 9 br
olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni
kaç br uzunluktadır?
7
D
C
3
A
4
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında
|AB| = 4 br , |AD| = 3 br , |AK| = 7 br ise
|LD| = x kaç br dir?
4.
prizmanın yüksekliği 4 cm ise cismin köşegeni
ESEN YAYINLARI
2.
L
E
kaç cm dir?
K
F
D
A
Taban ayrıtının uzunluğu 2 cm olan dik kare
C
B
5.
Farklı ayrıtların uzunlukları a, b, c olan bir dikdörtgenler prizmasının iç bölgesinde alınan bir
Şekildeki dikdörtgenler prizmasının üç farklı
noktanın yüzeylere olan uzaklıkları toplamı 9 cm
ayrıtının uzunlukları 1 br, 2 br ve 3 br ise bu
dir. ab + bc + ac = 26 cm ise bu prizmanın cisim
prizmanın cisim köşegeni kaç br dir?
köşegen uzunluğu kaç cm dir?
578
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 2
Çözüm
L
K
E
T
F
3
C
D
2v3
4
A
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında,
|ET| = |TF| , |AD| = 2v3 br, |AB| = 4 br ve
|FB| = 3 br ise |DT| kaç br dir?
1.
L
3.
K
E
L
K
4
F
M
F
E
3
N
C
D
8
A
15
|FM| = |MB| = 3 br, |KF| = 4 br, |AB| = 8 br ise
|LM| kaç birimdir?
ESEN YAYINLARI
|AB| = 15 br ise |MN| kaç br dir?
E
A
4.
L
K
F
E
K
F
H
5
x
D
A
D
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında
|LM| = |MD| , |FN| = |NB| , |AD| = 8 br
L
3
8
A
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında,
2.
M
C
D
C
12
B
5v3
C
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında
|BK| = 8 br , |BL| = 17 br ise |LK| kaç birimdir?
H noktası şekildeki dikdörtgenler prizmasının
BCKF yüzeyinin ağırlık merkezidir. |KC| = 5 cm
|BC| = 5v3 cm, |AB| = 12 cm ise |AH| = x kaç
cm dir?
579
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 3
Çözüm
L
K
E
F
C
D
A
B
T
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında T ∈ [AB] dir.
|AB| = 12 br , |FB| = 8 br , |KF| = 6 br ise A(LTK)
kaç br2 dir?
1.
L
3.
K
6
M
D′
C′
2
E
F
A′
3
B′
L
D
C
D
A
4
C
K
8
A
B
T
12
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında
Dikdörtgenler prizmasında K, L, M kenar orta
|KF| = 2 br , |FB| = 3 br , |LK| = 6 br ise
noktalarıdır. |CC′| = 4 cm, |BC| = 8 cm
|AB| = 12 cm ise A(KLM) kaç cm2 dir?
2
2.
L
ESEN YAYINLARI
A(LTK) kaç br dir?
K
F
E
4.
5
L
T
K
4
T
F
E
D
C
4
A
2
12
4
D
B
C
A
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında
[BL] ∩ [EC] = {T } , |AB| = 12 cm , |BC| = 4 cm
2
8
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında
ve |KC| = 5 cm ise A(ELT) + A(TBC) kaç cm
|BF| = |KF| = 4 cm, |AB| = 8 cm, |LT| = 2 cm ise
dir?
A(TKB) kaç cm2 dir?
580
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 4
L
Çözüm
K
2
E
F
R
8
D
C
A
T
4
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında,
|FR| = 2 br , |KC| = 8 br , |TB| = 4 br dir.
T noktasında bulunan bir hareketli yüzeyde ilerleyerek
R noktasına varacaktır. Hareketlinin alabileceği en
kısa yol kaç br dir?
1.
L
3.
K
N′
M′
B
K′
2
F
E
2
D
C
N
3
A
M
B
5
K
Şekildeki dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 2 br
A dan B ye yüzeyden hareketle gidecek olan bir
varacaktır. Hareketlinin alabileceği en kısa yol
cismin alabileceği en kısa yol kaç br dir?
E
ESEN YAYINLARI
kaç br dir?
K
4.
F
L
A
|AK| = |NN′| = 4 br ve |BK′| = 2 br olmak üzere,
bir hareketli yüzeyde ilerleyerek K noktasına
L
4
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında
3 br ve 5 br dir. Prizmanın A köşesinde bulunan
2.
L′
4
K
L
E
4
A
D
C
6
B
F
N
2
Ayrıtları 2 cm, 4 cm ve 6 cm olan dikdörtgenler
prizmasının A köşesinden hareket eden bir
karınca yan yüzeylerde yol alarak E noktasına
ulaşacaktır. Karıncanın alabileceği en kısa yol
kaç cm dir?
4
C
D
3
A
5
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında N ∈ [AE]
|AB| = 5 br , |AD| = 3 br ve |DL| = 4 br ise
|BN| + |NL| nin en küçük değeri kaç birimdir?
581
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 5
Çözüm
Üç farklı ayrıtının uzunlukları toplamı 11 cm olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu
7 cm ise alanı kaç cm2 dir?
2.
Alanı 22 br2 olan dikdörtgenler prizmasının farklı
Ayrıtları ardışık üç çift sayı olan dikdörtgenler
ayrıtlarının uzunlukları toplamı 6 br ise cisim
prizmasının cisim köşegen uzunluğu 2c14 br
köşegeni kaç br dir?
ise prizmanın alanı kaç br2 dir?
Cisim köşegen uzunluğu 7 br, alanı 72 br2 olan
dikdörtgenler prizmasının farklı ayrıtlarının uzunlukları toplamı kaç br dir?
3.
4.
ESEN YAYINLARI
1.
5.
Bir dikdörtgenler prizmasının üç farklı yüzünün
alanları toplamı 40 br2 dir. Prizmanın farklı
ayrıtlarının uzunlukları toplamı 12 br ise cisim
köşegeninin uzunluğu kaç br dir?
Farklı üç ayrıtının uzunlukları toplamı 12 br olan
dikdörtgenler prizmasının yüzey köşegen uzun-
6.
Üç farklı ayrıtının uzunlukları toplamı 11 br,
lukları 5 br , c34 br ve c41 br ise alanı kaç
cisim köşegeni 3v7 br olan dikdörtgenler priz-
br2 dir?
masının bütün alanı kaç br2 dir?
582
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 6
K
5
3
L
N 1
P
M
E
C
A
Çözüm
F
D
B
Bir ayrıtının uzunluğu 5 br olan küp biçimindeki bir
tahta bloktan şekilde görüldüğü gibi dikdörtgenler prizması biçiminde bir parça kesilerek çıkarılmıştır.
|MN| = 3 br , |NP| = 2 br ise küpün alanının ne kadar
değiştiğini bulunuz.
1.
3.
6
1
L
4
K
N
2
1 H
E
F
O
P
3
R
C
D
A
Dikdörtgenler prizması biçimindeki tahta parça-
4
B
Bir ayrıtı 4 br olan küpün köşesinden bir ayrıtı
de bir parça çıkarılmıştır. Verilen ayrıt uzunluk-
1 br olan küp biçiminde bir parça kesilip atılmış-
larına göre kalan cismin alanı kaç br2 dir?
tır. Kalan parçanın alanı kaç br2 dir?
ESEN YAYINLARI
sının bir köşesinden dikdörtgen prizma biçimin-
2.
4.
Bir ayrıtı 6 br olan küp biçimindeki bir mermer
bloktan kare prizma biçiminde bir parça kesilip
2
atılıyor. Kalan cismin alanı 232 br ise atılan
2
parçanın alanı en az kaç br dir?
Bir ayrıtı 6 br olan küpten bir ayrıtı x br olan
başka bir küp çıkarılmıştır. Oluşan cismin alanı
232 br2 ise x kaç br dir?
583
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 7
Çözüm
a. Ayrıtları 2, 4 ve 6 ile orantılı olan dikdörtgenler
prizmasının hacmi 384 br3 ise alanı kaç br2 dir?
b. Bir dikdörtgenler prizmasının üç farklı yüzünün
alanları 6 br2, 8 br2 ve 12 br2 ise hacmi kaç br3 tür?
1.
4.
Ayrıtları 2, 3 ve 5 ile orantılı olan dikdörtgenler
3
2
prizmasının hacmi 240 br ise alanı kaç br dir?
5.
Bir dikdörtgenler prizmasının üç farklı yüzünün
2
2
alanları 10 br , 12 br
2
ve 30 br
olduğuna
3
göre hacmi kaç br tür?
3.
oranında kısaltılırsa hacmi binde kaç azalır?
Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtları 2 şer
birim uzatılırsa hacmi 96 br3 artıyor. Ayrıtları
uzatılmadan önce prizmanın alanı 24 br2 olduğuna göre farklı ayrıtlarının toplamı kaç br dir?
584
Bir dikdörtgenler prizmasının hacmini 16 katına
çıkarmak için ayrıtlarını kaç katına çıkarmalıyız?
ESEN YAYINLARI
2.
Bir dikdörtgenler prizmasının her ayrıtı % 10
6.
Alanının sayısal değeri, hacminin sayısal değerine eşit olan bir kare prizmanın yüksekliği taban
ayrıtının 2 katına eşittir. Bu prizmanın hacmi kaç
br3 tür?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 8
Çözüm
a. Yüzey köşegen uzunlukları c13 br, 2v5 br ve
5 br olan dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç br3
tür?
b. Farklı ayrıtlarının uzunlukları a, b ve c olan dikdörtgenler prizmasında
1 1 1 1
+ + =
a b c 3
ve priz-
manın hacmi 24 br3 ise alanı kaç br2 dir?
1.
Ayrıtları arasında
4.
1 1 1 1
bağıntısı olan
+ + =
a b c 2
dikdörtgenler prizmasının hacmi 60 br3 ise alanı
1 1 1
1
bağıntısı bulunan dikdörtgenler
+ + =
a b c 12
kaç br2 dir?
prizmasının alanı 20 br2 ise hacmi kaç br3 tür?
5.
Ayrıtları a, b, c olan dikdörtgenler prizmasında,
a + b = 5 br , b + c = 6 br , a + c = 7 br ise
prizmanın hacmi kaç br3 tür?
6.
3.
Farklı ayrıtlarının uzunlukları a, b ve c olan bir
dikdörtgenler prizmasının hacmi 2x br3, alanı
1 1 1
x br2 ise
kaçtır?
+ +
a b c
ESEN YAYINLARI
2.
a, b, c ayrıtları arasında
Farklı ayrıtlarının uzunlukları
a, b, c
olan
dikdörtgenler prizmasının ayrıtları arasında
Ayrıtları 3 br, 4 br ve 6 br olan dikdörtgenler
prizması biçimindeki kutulardan en az kaç tanesi
d d d 1
bağıntısı vardır. Prizmanın hacmi
+ + =
a b c 3
ile bir küp elde edilir?
12d br3 ise alanı kaç br2 dir?
585
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 9
Çözüm
Bir ayrıtı 3 br olan küpün
a. Yüzey köşegen uzunluğunu
b. Cisim köşegen uzunluğunu bulunuz.
1.
4.
Bir küpün içinde alınan bir noktadan kenarlarına
çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı 6 cm ise
L
küpün cisim köşegeni kaç cm dir?
K
Şekilde, bir ayrıtı 4 br olan küpten bir ayrıtı 1 br
olan küp çıkarılmıştır. Buna göre |KL| kaç br dir?
3v3
Yanyana konmuş 3 tane birim küpten oluşan
yukarıdaki prizmanın cisim köşegeni kaç br dir?
c10
ESEN YAYINLARI
2.
5.
Bir yüzey köşegeni ile bir cisim köşegeninin
uzunlukları toplamı 2 br olan küpün bir ayrıtının
uzunluğu kaç br dir?
L
3.
K
F
E
D
A
C
B
Şekildeki küpün cisim köşegen uzunluğu
4v3 cm ise |AB| kaç cm dir?
586
6.
Birim küpün herhangi bir köşesinin diğer tüm
köşelere olan uzaklıkları toplamı kaç birimdir?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 10
Çözüm
L
K
F
E
x
D
C
A 1 R
2
B
Şekildeki küpte |AR| = 1 br , |RB| = 2 br ise
|RK| = x kaç birimdir?
1.
L
3.
K
E
K
v2
E
F
F
x
1
R
1
T
v2
D
D
C
A
B
C
A
B
Şekildeki küpte verilenlere göre |RK| = x kaç br
Şekildeki küpte |KT| = |TC| = v2 br ise
dir?
|AT| kaç br dir?
ESEN YAYINLARI
2.
L
L
2
4.
L
M 1 K
K
R
F
E
E
F
x
D
C
D
A 1 N
2
B
Şekildeki küpte |LM| = |NB| = 2 br
|AN| = |MK| = 1 br ise |MN| = x kaç br dir?
A
v2
T
C
v2
B
Şekildeki küpte |AT| = |TB| = v2 br ve
|ER| = |RL| ise |TR| kaç br dir?
587
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 11
Çözüm
K
L
E
F
D
C
2v2
A
B
Şekildeki küpün bir ayrıtının uzunluğu 2v2 br dir.
Buna göre, taralı alan kaç br2 dir?
1.
L
3.
K
L
K
F
E
F
E
2
C
D
A
4
C
D
A
B
B
Şekildeki küpün bir ayrıtının uzunluğu 2 br ise
Şekildeki küpün bir ayrıtı 4 br ise A(KDB) kaç
A(ACK) kaç br2 dir?
2
ESEN YAYINLARI
br dir?
4.
2.
L
L
K
R
K
E
F
E
F
P
M
D
C
D
A
A
B
Şekildeki küpte A(AFKD) = 4v2 br
bir ayrıt uzunluğu kaç br dir?
588
C
N
2
B
Şekildeki küpte M, N, P ve R noktaları bulunduk2
ise küpün
ları yüzeyin ağırlık merkezleridir. |AB| = 2 br ise
taralı alan kaç br2 dir?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 12
Çözüm
L
K
P
E
F
D
A
C
B
4
Şekildeki küpün bir ayrıtı 4 br dir. P noktası, EFKL
üzerinde herhangi bir noktadır. Buna göre A(APC) nin
en küçük ve en büyük değerini bulunuz.
1.
L
3.
K
F
E
K
C
D
B
v2
F
E
C
D
A
L
P
P
6
A
B
Şekildeki küpün bir ayrıtı v2 br dir. P noktası,
Bir ayrıtının uzunluğu 6 br olan şekildeki küpte P
EFKL üzerinde herhangi bir noktadır. Buna göre
noktası EFKL üzerinde herhangi bir noktadır.
A(PDB) nin en küçük değeri kaç br2 dir?
A(PDB) en büyük değerini aldığında P noktası-
2.
L
ESEN YAYINLARI
nın [DB] ye uzaklığı kaç br olur?
K
4.
L
P
C
D
C
D
A
A
6
B
Şekildeki küpün bir ayrıtı v2 br dir. P noktası,
F
E
F
E
K
P
B
Bir ayrıtının uzunluğu 3 br olan şekildeki küpte
P noktası EFKL düzlemi üzerinde herhangi bir
EFKL üzerinde herhangi bir noktadır. Buna göre
noktadır. A(PDB) en küçük değerini aldığında P
A(PDB) nin en büyük değeri kaç br2 dir?
noktasının [DB] ye uzaklığı kaç br olur?
589
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 13
REHBER SORU 14
L
L
K
x
F
E
A
B
B
Cisim köşegen uzunluğu 4v3 cm olan küpün
%
Şekildeki küpte m( ALF ) = x kaç derecedir?
hacmi kaç cm3 tür?
Çözüm
L
K
E
F
D
1.
B
br3 tür?
2.
%
Şekildeki küpte m( EBK ) = x kaç derecedir?
L
1
ise alanları oranını
3
F
D
x
C
4.
A
İki küpün hacimleri oranı
bulunuz.
K
E
Alanının sayısal değeri hacminin sayısal değerine eşit olan küpün alanı kaç br2 dir?
3.
2.
Bir ayrıtının uzunluğu 3 br olan küpün hacmi kaç
C
x
A
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
B
%
Şekildeki küpte m( LBF ) = x ise tanx kaçtır?
590
C
D
6
A
F
E
C
D
K
Yüzey köşegenlerinden birinin uzunluğu ile
cisim köşegenlerinden birinin uzunlukları toplamı 2 + v6 br olan küpün hacmi kaç br3 tür?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 15
Çözüm
K
F
5
N 1
3
L
P
M
E
C
A
D
B
Bir ayrıtının uzunluğu 5 br olan küp biçimindeki bir
tahta bloktan şekilde görüldüğü gibi dikdörtgenler prizması biçiminde bir parça kesilerek çıkarılmıştır.
|MN| = 3 br , |NP| = 2 br ise kalan kısmın hacmini
bulunuz.
1.
3.
2
5
Bir ayrıtı 5 br olan küp biçimindeki bir tahta blokKüp biçimindeki tahta bir bloktan küçük bir küp
tan bir ayrıtı 2 br olan küp biçimindeki bir parça
alınmıştır. |AB| = 6 cm ve kalan tahtanın hacmi
3
çıkarılmıştır. Kalan kısmın hacmi kaç br tür?
2.
1
3
4
3
ESEN YAYINLARI
504 cm3 olduğuna göre |BC| kaç cm dir?
4.
1
Bir ayrıtının uzunluğu 4 br olan küp biçimindeki
Bir ayrıtının uzunluğu 3 cm olan küpün dört
bir tahta bloktan şekilde görüldüğü gibi dikdört-
köşesinden taban ayrıtı 1 cm olan 4 tane kare
genler prizması biçiminde bir parça kesilerek
prizma çıkarılıp atılmıştır. Kalan cismin hacmi
çıkarılmşıtır. Kalan cismin hacmi kaç br3 tür?
kaç cm3 tür?
591
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 16
Çözüm
T
c17
D
C
4
A
4
B
Şekildeki düzgün kare piramidin yan ayrıt uzunluğu
c17 br, taban ayrıtının uzunluğu 4 br ise piramidin
yüksekliği kaç br dir?
1.
3.
P
E
c34
D
C
x
D
C
6
A
6
B
A
3
F
3
B
Şekildeki düzgün kare piramidin yan ayrıt uzun-
Şekildeki düzgün kare piramidin yüksekliği 4 cm
luğu c34 cm, taban ayrıtının uzunluğu 6 cm
|AF| = |FB| = 3 cm ise |EF| = x kaç cm dir?
2.
ESEN YAYINLARI
ise yüksekliği kaç cm dir?
E
4.
P
4
x
D
D
C
4
A
A
A(EBC) = 20 br2 ise piramidin yüksekliği kaç br
592
3
B
B
Şekildeki dik kare piramitte A(ABCD) = 64 br2
dir?
C
Şekildeki dikdörtgen piramitte [PD] taban düzlemine diktir. |AD| = 4 br, |AB| = 3 br
|PD| = 4 br ise |PB| = x kaç br dir?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 17
Çözüm
D
1
E
1
A
C
B
(D, ABC) düzgün dörtyüzlüsünde
|DE| = |EC| = 1 br ise A(ABE) kaç br2 dir?
1.
3.
D
D
3
E
F
E
3
C
A
C
A
B
Şekildeki düzgün dörtyüzlüde |DE| = |EC|
(D, ABC) düzgün dörtyüzlüsünde
%
|DF| = |FA| ise cos( EBF ) kaçtır?
2
ESEN YAYINLARI
|DE| = |EC| = 3 br ise A(ABE) kaç br dir?
2.
B
C
4.
A
2
E
D
D
2
A
B
B
C
(C, ABD) düzgün dörtyüzlüsünde
Şekildeki düzgün dörtyüzlüde ABD yüzeyi ile
|AE| = |EC| = 2 br ise A(EDB) kaç br2 dir?
DBC yüzeyi arasındaki açının tanjantı kaçtır?
593
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 18
Çözüm
D
v3
E
3v3
A
C
F
B
(D, ABC) düzgün dörtyüzlüsünde
|AE| = 3v3 br , |ED| = v3 br , |BF| = |FC| ise
|EF| kaç br dir?
1.
3.
D
D
1
E
3
K
A
C
A
L
F
B
C
9
B
(D, ABC) düzgün dörtyüzlüsünde ABD ve ABC
|AE| = 3 br , |ED| = 1 br , |BF| = |FC| ise
yüzeylerinin ağırlık merkezleri K ve L dir.
|EF| kaç br dir?
|BC| = 9 br ise |KL| kaç br dir?
2.
ESEN YAYINLARI
(D, ABC) düzgün dörtyüzlüsünde
A
D
E
2
x
B
4.
K
D
A
C
G
3
C
B
(A, BCD) düzgün dörtyüzlüsünün bir ayrıtının
uzunluğu 2 br , |AE| = |ED| , |BK| = |KC| ise
Şekildeki düzgün dörtyüzlüde ABC tabanının
|KE| = x kaç br dir?
ağırlık merkezi G dir. |BC| = 3 cm ise A(DGC)
kaç cm2 dir?
594
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 19
Çözüm
D
A
C
2v3
B
Bir ayrıtının uzunluğu 2v3 br olan düzgün dörtyüzlünün yüzeyinden hareketle B den A ya gidecek olan bir
karıncanın alabileceği en kısa yol kaç br dir?
1.
3.
D
D
E
A
A
C
C
2
B
B
(D, ABC) düzgün dörtyüzlüsünde, |DE| = |EC|
lünün yüzeyinden hareketle B den A ya gidecek
|AB| = 4 br dir. Yüzeyden hareket ederek A dan
olan bir karıncanın alabileceği en kısa yol kaç br
E ye gidecek olan bir hareketlinin alabileceği en
dir?
kısa yol kaç birimdir?
2.
ESEN YAYINLARI
Bir ayrıtının uzunluğu 2 br olan düzgün dörtyüz-
E
4.
D
F
E
F
D
A
K
C
C
B
A
3
B
Bir ayrıtının uzunluğu 2 br olan düzgün dörtyüz-
Şekildeki kare piramidin yan yüzleri eşkenar üçgen-
lüde E ∈ [BD] , F ∈ [DC] , K ∈ [AC] ve
dir. |AB| = 3 br ve F ∈ [BE] ise |AF| + |FC| nin
|AK| = |KC| ise |AE| + |EF| + |FK| toplamının en
en küçük değeri kaç br dir?
küçük değeri kaç br dir?
595
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 20
Çözüm
P
D
A
C
10
B
Şekilde düzgün kare piramidin yüksekliği 12 br ve
|AB| = 10 br ise piramidin alanı kaç br2 dir?
1.
3.
P
D
A
P
D
C
8
B
A
C
12
B
Taban ayrıtı 12 br olan düzgün kare piramidin
taban ayrıtı 8 br ise yüksekliği kaç br dir?
yüksekliği 8 br ise alanı kaç br2 dir?
2.
ESEN YAYINLARI
Yanal alanı 80 br2 olan düzgün kare piramidin
P
D
4.
P
C
C
D
A
6
B
Şekilde düzgün kare piramidin yüksekliği 4 br,
|AB| = 6 br ise piramidin alanı kaç br2 dir?
596
A
8
B
Şekildeki kare dik piramidin taban ayrıtı 8 cm
yüksekliği 4 cm ise yanal alanı kaç cm2 dir?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 21
Çözüm
Bir düzgün kesik kare piramidin alt tabanı 6 br, üst
tabanı 2 br ve yanal ayrıtlarının uzunluğu 2v5 br ise
yanal alanını bulunuz.
3.
Bir düzgün kesik kare piramidin alt tabanı 8 br,
Bir düzgün kesik kare piramidin alt ve üst taban
üst tabanı 2 br ve yanal ayrıtlarının uzunluğu
alanları sırasıyla 16 br2 ve 4 br2, yanal ayrıtının
5 br ise alanı kaç br2 dir?
uzunluğu c10 br ise yanal alanı kaç br2 dir?
2.
N
K
2
ESEN YAYINLARI
1.
M
L
D
4.
L
E
K
2
F
C
D
A
4
Şekildeki düzgün kesik piramidin alt ve üst tabanları birer karedir. |AB| = 4 br, |NM| = 2 br ve kesik
piramidin yan yüz yüksekliği 6 br ise yanal alanı
kaç br2 dir?
C
B
A
4
B
Şekildeki kare dik kesik piramitte |AB| = 4 cm
|EF| = 2 cm dir. Kesik piramidin yüksekliği 4 cm
ise yanal alanı kaç cm2 dir?
597
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 22
REHBER SORU 23
a. Bir ayrıtının uzunluğu 3 br olan düzgün dörtyüz-
a. Yüksekliği 4 br olan düzgün dörtyüzlünün bir
lünün alanını bulunuz.
ayrıtının uzunluğu kaç br dir?
b. Bir ayrıtının uzunluğu v6 br olan düzgün dörtyüz-
b. Yüksekliği
lünün yüksekliği kaç br dir?
2
br olan düzgün dörtyüzlünün
3
hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
Bir ayrıtının uzunluğu 2 br olan düzgün dörtyüz2
Bir ayrıtının uzunluğu 6 br olan düzgün dörtyüzlünün hacmi kaç br3 tür?
ESEN YAYINLARI
lünün alanı kaç br dir?
2.
Alanı 16v3 br2 olan düzgün dörtyüzlünün bir
2.
hacmi kaç br3 tür?
ayrıtının uzunluğu kaç br dir?
3.
Bir ayrıtının uzunluğu 6 br olan düzgün dörtyüzlünün yüksekliği kaç br dir?
598
Yüksekliği v6 br olan düzgün dörtyüzlünün
3.
Alanı 18v3 br2 olan bir düzgün dörtyüzlünün
hacmi kaç br3 tür?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 24
Çözüm
T
2v6
D
C
4
A
4
B
Şekildeki düzgün kare piramidin yan ayrıt uzunluğu
2v6 br, taban ayrıtının uzunluğu 4 br ise piramidin
hacmi kaç br3 tür?
1.
3.
P
P
5
C
E
F
D
A
B
A
3
Taban alanı 18 cm2, yüksekliği 4 cm olan şekil-
B
deki piramidin hacmi kaç cm3 tür?
C
Şekildeki düzgün altıgen piramitte , |AB| = 3 br
2.
ESEN YAYINLARI
|PD| = 5 br ise piramidin hacmi kaç br3 tür?
T
4.
P
c41
D
C
8
A
8
B
Şekildeki düzgün kare piramidin yan ayrıt uzunluğu c41 br, taban ayrıtının uzunluğu 8 br ise
3
piramidin hacmi kaç br tür?
C
4
A
45°
5
B
Şekildeki piramitte [PC] taban düzlemine diktir.
[AC] ⊥ [CB], |AC| = 4 br, |AB| = 5 br
%
m( PBC ) = 45° ise piramidin hacmi kaç br3 tür?
599
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 25
Çözüm
Bir düzgün kare piramidin yan yüzeyi taban düzlemi
ile 45° lik açı yapmaktadır. Piramidin hacmi 36 br3 ise
taban ayrıtı kaç birimdir?
1.
3.
E
E
c41
D
D
C
C
8
A
A
B
4
6
B
Şekildeki dik dikdörtgen piramitte |AB| = 6 cm
Şekildeki düzgün kare piramitte yan yüzeyler
|BC| = 8 cm, |EC| = c41 cm ise piramidin
taban düzlemi ile 45° lik açı yapmaktadır.
hacmi kaç cm3 tür?
ESEN YAYINLARI
|AB| = 4 br ise piramidin hacmi kaç br3 tür?
2.
4.
D
E
5
4v3
D
C
A
6
|AB| = 6 cm, |DB| = 4v3 cm ise piramidin
600
3v2
B
Şekildeki düzgün eşkenar üçgen piramitte
hacmi kaç cm3 tür?
C
A
B
Şekildeki düzgün kare piramitte |EC| = 5 br
|BC| = 3v2 br ise piramidin hacmi kaç br3 tür?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 26
Çözüm
Bir piramit tabana paralel iki düzlemle, yüksekliği üç
eşit parçaya ayıracak şekilde kesilmiştir. Ortadaki
parçanın hacminin en alttaki parçanın hacmine oranı
kaçtır?
1.
3.
P
N
K
R
M
L
D
C
O
A
B
Şekildeki piramitte taban düzlemine paralel iki
Şekildeki kare piramit tabana paralel bir düz-
düzlem yan ayrıtları üç eşit parçaya ayıracak
lemle kesilmiştir. (P, KLMN) piramidinin yanal
1
alanının kesik piramidin yanal alanına oranı
8
şekilde kesmiştir. En üstteki parçanın hacminin
2.
ESEN YAYINLARI
en alttaki parçanın hacmine oranı kaçtır?
K
D
ve |PR| = 3 br ise |PO| yüksekliği kaç birimdir?
4.
P
F
K
M
L
E
C
C
A
B
A
B
Şekildeki piramit yüksekliğinin ortasından geçen
Şekildeki piramitte A(KLM) = 1 br2 ve
ve tabana paralel olan bir düzlemle kesilmiştir.
A(ABC) = 4 br2 dir. Piramit, tabana paralel bir
Taralı küçük piramidin hacminin büyük piramidin
düzlemle iki parçaya ayrılmıştır. Üstteki parçanın
hacmine oranı kaçtır?
hacminin, alttaki parçanın hacmine oranı kaçtır?
601
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 27
Çözüm
Bir düzgün kesik kare piramidin alt ve üst tabanlarının
alanları sırasıyla 12 br2 ve 3 br2, yüksekliği 4 br ise
hacmini bulunuz.
1.
L
3.
K
E
L
E
F
D
F
D
C
A
K
B
C
A
B
Şekildeki düzgün kesik kare piramidin alt ve üst
Şekildeki kesik kare piramitte A(ABCD) = 16 br2
tabanlarının alanları sırasıyla 8 br2 ve 2 br2, yük-
A(EFKL) = 4 br2, alt ve üst tabanlar arasındaki
sekliği 3 br ise hacmi kaç br3 tür?
uzaklık 3 br ise kesik piramidin hacmi kaç br3
2.
ESEN YAYINLARI
tür?
N
4.
O
M
K
L
T
P
A
C
N
B
Şekildeki piramit tabana paralel bir düzlemle
kesilmiştir.
NK
1
ve kesik piramidin hacmi
=
2
KA
B
S
R
3
M
A
K
3
4
L
Şekildeki piramitte |RS| = 3 br, |LM| = 4 br
|AB| = 3 br, kesik dik kare piramidin tabanları-
78 cm3 ise (N, KLM) piramidinin hacmi kaç cm3
nın ağırlık merkezleri A ve B ise kesik piramidin
tür?
hacmi kaç br3 tür?
602
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 28
Çözüm
5
D
C
x
A
8
B
3
E
Şekildeki dik silindirde [DC] ve [AB] taban
çaplarıdır. |AE| = 3 br, |CB| = 8 br, |DC| = 5 br ise
|EC| = x kaç br dir?
1.
5
D
3.
C
3v3
x
A
4
B
E
Yarıçapları 2 br olan iki eş silindir şekildeki gibi
Şekildeki dik silindirde [DC] ve [AB] taban çap-
gergin bir telle çevrilmiştir. Telin uzunluğu en az
larıdır. |EB| = 4 br, |CB| = 3v3 br, |DC| = 5 br ise
kaç br dir?
ESEN YAYINLARI
|ED| = x kaç br dir?
2.
D
K
4.
K
D
C
C
2
8
L
1
A
O
B
Şekildeki dik silindirde K ve O taban merkezleridir. [KL] ⊥ [OL], |CL| = 2 br, |LB| = 1 br ise
silindirin hacmi kaç r br3 tür?
A
O
B
E
Taban merkezleri O ve K olan silindirin tabanı
üzerindeki bir nokta E dir. Silindirin taban yarıçapı 6 br , |CB| = 8 br ise |KE| kaç br dir?
603
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 29
Çözüm
D
C
A
B
3
br yüksekliği 4 r br olan silindirde,
2
A dan D ye silindirin yüzeyinden bir kez dolanarak
Taban yarıçapı
gidecek olan bir hareketlinin alabileceği en kısa yol
kaç br dir?
1.
D
C
A
B
3.
B
A
Şekildeki silindirin taban yarıçapı 3 br, yüksek-
silindirde, B den C ye silindirin yüzeyinden bir
liği 4 r br dir. Yüzeyden hareketle A dan B ye
kez dolanarak gidecek olan bir hareketlinin ala-
gidecek olan cismin alabileceği en kısa yol kaç
bileceği en kısa yol kaç br dir?
birimdir?
2.
D
C
ESEN YAYINLARI
Taban yarıçapı 5 br yüksekliği 24 r br olan
4.
D
L
C
K
2
A
A
B
Taban yarıçapı 4 br yüksekliği 30 r br olan silindirde, B den C ye silindirin yüzeyinden iki kez
x
6
A
B
B
dolanarak gidecek olan bir hareketlinin alabile-
Soldaki silindir eğilerek sağdaki duruma getiril-
ceği en kısa yol kaç br dir?
miştir. Buna göre |BK| = x kaç birimdir?
604
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 30
Çözüm
D
C
6
A
3
O
B
O merkezli silindirde |OB| = 3 br, |CB| = 6 br ise
a. Silindirin yanal alanını bulunuz.
b. Silindirin tüm alanını bulunuz.
1.
D
3.
C
Yanal alanı 42 r br2 olan dik silindirin taban yarıçapı 3 br ise yüksekliği kaç birimdir?
5
A
B
O
Yukarıdaki dik silindirde O taban merkezidir.
|AB| = 4 br, |BC| = 5 br ise silindirin yanal alanı
kaç br2 dir?
4.
Taban yarıçapı ile yüksekliğinin toplamı 7 cm ve
ESEN YAYINLARI
alanı 28 r cm2 olan dik silindirin yarıçapı kaç cm
dir?
2.
D
C
5
A
O
3
B
Yukarıdaki dik silindirde O taban merkezidir.
5.
2
Bir dik silindirin yanal alanını 3 katına çıkarmak
|OB| = 3 br, |BC| = 5 br ise silindirin alanı kaç br
için taban yarıçapını kaç katına çıkarmak gere-
dir?
kir?
605
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 31
Çözüm
10
Şekildeki demir borunun iç çapı 2 br, dış çapı 6 br
ise borunun alanını bulunuz.
1.
3.
D
C
A
B
8
Şekildeki silindirin ABCD kesiti; alanı 4 br2 olan
Şekildeki demir borunun iç çapı 2 br, dış çapı
bir karedir. Buna göre, silindirin alanı kaç br2
4 br ve yüksekliği 8 br dir. Borunun alanı kaç r
diri?
2
ESEN YAYINLARI
br dir?
2.
4.
Bir ayrıtının uzunluğu 4 cm olan küpün içine alt
Şekildeki silindirin içine köşeleri silindirin taban
ve üst tabanları küpün yüzeyleri ile çakışık olan
çemberleri üzerinde olan kare prizma yerleştiril-
en büyük silindir yerleştirilmiştir. Silindirin alanı
miştir. Kare prizmanın taban ayrıtı 4 cm yüksek-
kaç cm2 dir?
liği 5 cm ise silindirin yanal alanı kaç cm2 dir?
606
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 32
Çözüm
Taban çevresi 10 r br, yüksekliği 4 br olan silindirin
hacmi kaç r br3 tür?
1.
D
3.
C
6
x
2
A
6
6
B
Taban yarıçapı 2 cm, yüksekliği 6 cm olan dik
Şekildeki silindirin ABCD kesitinin köşegeni
silindir su ile doludur. Silindirdeki su, bir kenarı-
5 br dir. Silindirin yüksekliği taban çapından 1 br
nın uzunluğu 6 cm olan küpe boşaltılırsa suyun
daha fazla ise silindirin hacmi kaç r br3 tür?
ESEN YAYINLARI
yüksekliği (x) kaç cm olur?
4.
2.
D
C
4
2
8
A
B
Şekilde taban yarıçapı 2 br yüksekliği 8 br olan
dik silindirin bir parçası kesilerek alınmıştır.
Şekildeki silindirin ABCD kesiti, alanı 36 br2 olan
Kalan kısmın hacmi kaç br3 tür?
bir karedir. Silindirin hacmi kaç br3 tür?
607
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 33
REHBER SORU 34
d
D
ABCD dikdörtgeni [AB]
D
ABCD dikdörtgeni d doğ-
C
rusu etrafında 180° dön-
etrafında 360° döndürü-
2
lürse oluşan cismin hacmi
kaç br3 olur?
A
hacmi kaç br3 tür?
A
2
E
4
B
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
C
3
dürülüyor. Oluşan cismin
B
4
F
1.
D
3.
C
D
L
C
2
2
A
B
4
A
ABCD dikdörtgeni [BC] etrafında 360° döndü3
rülürse oluşan cismin hacmi kaç r br olur?
1
K
B
3
ABCD dikdörtgeni l doğrusu etrafında 180° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 olur?
2.
D
C
2
4.
D
4
C
3
E
A
4
B
ABCD dikdörtgeni [AB] etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
608
A
1
B
F
ABCD dikdörtgeni l doğrusu etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 olur?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 35
Çözüm
45°
Taban çapı 2 br olan soldaki silindir su ile doludur. Bu
silindir taban düzlemi ile 45° lik açı yapacak şekilde
eğilerek sağdaki duruma getirilirse içindeki suyun ne
kadarı dökülür?
1.
3.
45°
60°
Taban çapı 4 br olan soldaki silindir su ile dolu-
Yarıçapı 2v3 br olan içi su dolu silindir biçimin-
dur. Bu silindir taban düzlemi ile 45° lik açı yapa-
deki kap şekilde görüldüğü gibi 60° açı ile eğili-
cak şekilde eğilerek sağdaki duruma getirilirse
yor. Kaptan dökülen suyun hacmi kaç r br3 tür?
ESEN YAYINLARI
içindeki suyun kaç br3 ü dökülür?
4.
y
C
2.
B
x
D
E
2x
O
A
x
İçerisinde 9 cm3 su bulunan silindir biçimli bir
Şekildeki silindir dik konuma getirilirse içindeki
suyun yüksekliği x cinsinden neye eşit olur?
bardak şekildeki gibi durmaktadır. [ED] // [OA ve
AE
3
ise silindirin hacmi kaç cm3 tür?
=
7
AB
609
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 36
Çözüm
12
O
K
4
A
4
B
Şekilde taban merkezleri aynı olan iki silindirden içteki
su ile doludur. İçteki silindirin tabanına yakın K noktasında bir delik açılırsa silindirin içindeki su seviyesi
kaç br olur?
3.
1.
D
C
4
8
K
O
1
6
A
A
B
1
B
Şekildeki dik silindir |AB| = 6 cm ve |DC| = 4 cm
Şekilde taban merkezleri aynı olan iki silindirden
olacak şekilde bir düzlemle kesiliyor. Silindirin
içteki su ile doludur. İçteki silindirin tabanına
yarıçapı 2 cm ise kesik silindirin hacmi kaç cm3
yakın K noktasında bir delik açılırsa silindirin
tür?
ESEN YAYINLARI
içindeki su seviyesi kaç br olur?
2.
4.
8
6
Hacmi 64 br3 olan küpün içine şekilde görüldüğü
6
gibi birbirine ve küpün yüzeylerine teğet olan 4
Kare prizma biçimindeki bir tahtadan, taban
eş silindir yerleştirilmiştir. Silindirlerden birinin
yarıçapı 1 br olan silindir biçiminde bir parça
hacmi kaç br3 tür?
610
çıkarılmıştır. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 37
Çözüm
P
6
A
2
B
O
Taban merkezi O olan dik konide |PB| = 6 br
|OB| = 2 br dir. Koninin ön yüzünden hareket ederek
A dan B ye gidecek olan bir hareketlinin alabileceği en
kısa yol kaç br dir?
1.
3.
P
P
6
8
R
6
B
A
A
3
B
O
Taban merkezi O olan dik konide |OA| = 3 br
|BP| = 8 br dir. B den harekete başlayıp koni
|PR| = |RB| = 6 br dir. B den harekete başlayan
yüzeyi üzerinden bir kez dönerek B ye gelen bir
bir hareketli yüzeyden dolanarak R ye geliyor.
hareketlinin alabileceği en kısa yol kaç br dir?
Hareketlinin aldığı en kısa yol kaç br dir?
2.
ESEN YAYINLARI
Şekildeki dik koninin taban yarıçapı 2 br
P
4.
C
4
E
3a
2
B
A
A
2a
O
D
B
Taban merkezi O olan dik konide |PB| = 3a br
Taban yarıçapı 2 cm olan konide
h
h
m(AD) = m(DB), |EC| = 4 cm, |EA| = 2 cm dir.
|OB| = 2a br dir. Koninin ön yüzünden hareket
D den yola çıkan bir hareketli yüzeyden dolaşa-
ederek A dan B ye gidecek olan bir hareketlinin
rak E ye ulaşacaktır. Hareketlinin alabileceği en
alabileceği en kısa yol kaç br dir?
kısa yol kaç cm dir?
611
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 38
REHBER SORU 39
Yarıçapı 2 br, yüksekliği 4 br olan dik dairesel koni-
Yanal alanı taban alanının 2 katı olan dik koninin
nin tüm alanını bulunuz.
yüksekliği 2v3 cm ise ana doğrusu kaç cm dir?
Çözüm
Çözüm
2
olan dik dairesel koninin yanal alanı kaç br dir?
2.
1.
Yarıçapı 2 br, ana doğrusunun uzunluğu 3 br
Yarıçapı 5 br, yüksekliği 12 br olan dik dairesel
2.
koninin tüm alanı kaç r br2 dir?
3.
Yanal alanı taban alanının 2 katı olan dik koninin
yüksekliği 3v3 cm ise ana doğrusu kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
1.
Taban yarıçapı 5 br, yanal alanı 65 r br2 olan dik
koninin yüksekliği kaç br dir?
Ana doğrusunun uzunluğu taban yarıçapının
uzunluğunun 4 katına eşit olan dik koninin tüm
alanı, taban alanının kaç katıdır?
612
3.
Tüm alanı, taban alanının 5 katına eşit olan koninin yüksekliği c15 ise ana doğrusu kaç br dir?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 40
Çözüm
2
A
C
4
3
O
B
Yukarıdaki dik kesik konide O ve A taban merkezleridir. |AC| = 2 br , |OB| = 3 br, |CB| = 4 br ise kesik
koninin yanal alanını bulunuz.
1.
2
A
3.
C
5
C
4
4
O
1
A
B
4
O
B
Yukarıdaki dik kesik konide O ve A taban mer-
Taban merkezleri O ve A olan kesik konide
kezleridir. |AC| = 2 br, |OB| = 4 br, |CB| = 5 br ise
|AC| = 1 br, |AO| = 4 br, |OB| = 4 br ise kesik
2
koninin yanal alanı kaç br2 dir?
ESEN YAYINLARI
kesik koninin yanal alanı kaç r br dir?
2.
D
2
4.
C
D
6
Şekildeki ABCD dik yamuğu
A
B
[AD]
etrafında
180° döndürülüyor. Oluşan cismin yanal alanını
bulunuz.
C
v5
5
A
1
3
Şekildeki ABCD dik yamuğu
B
[AD]
etrafında
360° döndürülüyor. Oluşan cismin alanını bulunuz.
613
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 41
Çözüm
P
60°
12
12
Şekildeki P merkezli daire dilimi kıvrılarak koni oluşturuluyor. Koninin hacmini bulunuz.
1.
3.
P
O
120°
8
3
8
B
A
B
A
Yarıçapı 8 br ve merkez açısının ölçüsü 90° olan
Şekildeki O merkezli daire dilimi kıvrılarak koni
daire dilimi kıvralarak bir dik koni elde ediliyor.
oluşturulursa yüksekliği kaç br olur?
2.
ESEN YAYINLARI
Koninin taban yarıçapı kaç br dir?
P
45°
8
8
4.
A
B
%
Şekilde |AP| = |PB| = 8 br, m( APB ) = 45° dir.
P merkezli daire dilimi kıvrılarak elde edilen
koninin hacmi kaç r br3 olur?
614
A
O
2v3
B
Şekildeki O merkezli yarım daire kıvrılarak koni
oluşturuluyor. Koninin hacmi kaç r br3 tür?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 42
ABC dik üçgeni [BC]
REHBER SORU 43
A
etrafında 360° döndürülüyor.
Oluşan
2
C
[AB] etrafında 360°
6
3
2
döndürülüyor. Oluşan
cismin hacmi kaç br3
cismin alanını buluB
nuz.
D
ABCD dik yamuğu
C
4
A
tür?
B
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
A
1.
5
1
B
1.
4
D
C
2
7
A
C
B
Şekilde |DC| = 4 br , |DA| = 2 br , |AB| = 7 br
Şekilde [AB] ⊥ [BC] , |AB| = 1 br , |AC| = 5 br
dir. ABCD dik yamuğu [AB] etrafında 360° dön-
dir. ABC dik üçgeni [BC] etrafında 360° döndü-
dürülürse oluşan cismin hacmi kaç r br3 olur?
rülürse oluşan cismin alanı kaç r br2 olur?
2.
A
2v5
4v5
B
2.
C
Şekilde [AB] ⊥ [AC] , |AB| = 2v5 br
|AC| = 4v5 br dir. ABC dik üçgeni [BC] etrafında 360° döndürülürse oluşan cismin hacmi kaç
r br3 olur?
C
3
B
2
A
ABC dik üçgeni l doğrusu etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
615
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 44
Çözüm
2
A
C
5
4
O
B
Şekildeki kesik koninin taban merkezleri O ve A dır.
|AC| = 2 br , |OB| = 4 br ve |AO| = 5 br ise kesik
koninin hacmi kaç br3 tür?
1.
3
A
3.
C
6
O
5
B
Şekildeki kesik koninin taban merkezleri O ve A
Hacmi 81 br3 olan bir dik koni yüksekliği üç eşit
dır. |AC| = 3 br, |OB| = 5 br ve |AO| = 6 br ise
parçaya ayrılacak şekilde tabana paralel iki
kesik koninin hacmi kaç r br3 tür?
düzlemle kesiliyor. Ortada oluşan (taralı) kesik
ESEN YAYINLARI
koninin hacmi kaç br3 olur?
2.
4.
1
1
x
Hacmi 16 br3 olan dik koni yüksekliğinin orta-
1. şekildeki koni ters çevrilerek 2. şekildeki duru-
sından tabana paralel bir düzlemle kesiliyor.
ma getirilirse içindeki suyun yüksekliği (x) kaç br
3
Oluşan kesik koninin hacmi kaç br tür?
616
olur?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 45
Çözüm
Yarıçapı 15 br olan bir küre merkezden 9 br uzaklıkta
bir düzlem ile kesiliyor. Oluşan kesitin alanı kaç br2
dir?
1.
A
3.
K
B
6
O
O
C
D
B
A
Şekildeki 10 br yarıçaplı küre merkezden 6 br
O merkezli kürenin, B merkezli kesitinin alanı
uzaklıkta bir düzlem ile kesiliyor. Oluşan kesitin
15r br2 ve |AB| = 3 br ise kürenin yarıçapı kaç
alanı kaç r br2 dir?
ESEN YAYINLARI
br dir?
2.
4.
C
P
A
B
C
A
O
O merkezli kürenin A merkezli kesitinin alanı
12 r br2 dir. [PA] ⊥ [BC] ve |PA| = 2 br ise kürenin yarıçapı kaç br dir?
B
K
O
O merkezli kürenin K merkezli kesitinin alanı
20 r cm2 dir. [OC] ⊥ [AB] , |OK| = 2|KC| ise
kürenin yarıçapı kaç cm dir?
617
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 46
Çözüm
a. Yarıçapı 3 br olan kürenin alanı kaç br2 dir?
b. Alanı 144 r br2 olan kürenin çapı kaç br dir?
1.
Yarıçapı 3 br olan kürenin alanı kaç r br2 dir?
4.
Yarıçapı 1 cm arttırıldığında alanı 20r cm2 artan
kürenin yarıçapı kaç cm dir?
2.
5.
Alanı 16 r br2 olan kürenin çapı kaç br dir?
Bir kürenin merkezinden 2 cm uzaklıktaki kesiti-
ESEN YAYINLARI
nin alanı 5r cm2 ise kürenin alanı kaç cm2 dir?
6.
3.
A
B
C
O
D
E
F
Şekildeki küre içine çizildiği silindirin tabanlarına
O merkezli kürede [AB] // [DF], [CE] ⊥ [AB]
ve yan yüzüne teğettir. Silindirin alanı, kürenin
|OC| = 2 br, |OE| = 4 br dir. Taralı kesitlerin
alanının kaç katıdır?
alanları oranı 4 ise kürenin alanı kaç r br2 dir?
618
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 47
Çözüm
3
Yarıçapı 6 br olan kürenin hacmi kaç br tür?
1.
Yarıçapı v3 br olan kürenin hacmi kaç r br3 tür?
5.
Metal bir küre eritilip 8 eş küre oluşturuluyor.
Başlangıçtaki kürenin alanının, elde edilen 8
küreden herhangi birinin alanına oranı kaçtır?
2.
Alanı 144r br2 olan kürenin hacmi kaç r br3 tür?
6.
A
B
Yarıçapı 2 katına çıkarılan kürenin hacmi kaç
katına çıkar?
4.
Şekildeki koninin tabanı, kürenin merkezinden
ESEN YAYINLARI
3.
geçen bir kesitidir. Koninin hacmi 9 r cm3 ise
kürenin hacmi kaç r cm3 tür?
7.
Şekildeki eş iki küre teğettir. Kürelerin etrafından dolandırılan en uzun gergin ipin uzunluğu
4r + 8 cm ise kürelerden birinin hacmi kaç cm3
tür?
C
O
A
E
F
D
B
K
L
C
ABCD dikdörtgeninin içine K ve L merkezli yarım
çemberler çizilmiştir. |BC| = 12 br ise taralı bölgenin [BC] etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç r br3 tür?
619
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 48
REHBER SORU 49
2
O
Çapı 4v3 br olan kürenin içine çizilebilecek en
büyük hacimli küpün hacmini bulunuz.
Çözüm
Şekildeki yarım kürenin yarıçapı 2 cm ise yüzey
alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
O
1.
6
Şekildeki yarım kürenin yarıçapı 6 cm ise yüzey
alanı kaç cm2 dir?
Çapı 6v3 br olan kürenin içine çizilebilecek en
büyük hacimli küpün hacmi kaç br3 tür?
ESEN YAYINLARI
1.
2.
Yarıçapı 5 br olan kürenin içine yüksekliği 9
br olan en büyük hacimli koni yerleştiriliyor.
Koninin hacmi kaç r br3 tür?
2.
O
r
3.
Şekildeki yarım kürenin yüzey alanı 48r br2 ise
yarıçapı kaç br dir?
620
Yarıçapı v3 br olan küre yontularak elde edilebilecek en büyük hacimli küp oluşturuluyor.
Küpün hacmi kaç br3 tür?
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 50
REHBER SORU 51
Bir kenarı 2 br olan küpün içine çizilebilecek en
|AB| = 3 br olmak üzere uzayda [AB] ye uzaklığı
büyük hacimli kürenin yarıçapı kaç br dir?
1 br olan noktaların oluşturduğu yüzey ile sınırlanmış cismin hacmini bulunuz.
Çözüm
1.
Çözüm
Bir kenarı 6 br olan küpün içine çizilebilecek en
ESEN YAYINLARI
büyük hacimli kürenin yarıçapı kaç br dir?
1.
A
O
2
B
O merkezli |OB| = 2 br yarıçaplı yarım daire
2.
Bir ayrıtının uzunluğu 4 br olan küpün içine en
[AB] etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan
büyük hacimli küre yerleştirilmiştir. Küpün bir
cismin alanı kaç br2 dir?
köşesinin küreye olan uzaklığı en az kaç br dir?
2.
3.
Yarıçapı 5 cm olan bir kürenin içine yerleştirilen
ve merkezinden 3 cm uzaklıktaki kesitini taban
kabul eden en büyük koninin hacmi kaç cm3 tür?
|AB| = 2 br olmak üzere uzayda [AB] ye uzaklığı 1 br olan noktaların oluşturduğu yüzey ile
sınırlanmış cismin hacmi kaç r br3 tür?
621
Geometrik Cisimler
REHBER SORU 52
REHBER SORU 53
Taban yarıçapı 6 br, ana doğrusu 10 br olan koninin
Hacmi 288r br3 olan bir küreyi içine alabilecek en
içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin
küçük hacimli silindirin yüksekliğini bulunuz.
hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
1.
Taban yarıçapı 12 br, ana doğrusu 20 br olan
koninin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli
kürenin hacmi kaç r br3 tür?
2.
Çapı 10 cm olan bir kürenin içine yüksekliği 8
cm olan en büyük hacimli dik silindir yerleştirili3
yor. Silindirin hacmi kaç r cm tür?
622
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
Hacmi 36 r br3 olan bir küreyi içine alabilecek
en küçük hacimli silindirin yüksekliği kaç br dir?
2.
Yarıçapı 1 cm olan yarım kürenin içine yerleştirilen en büyük hacimli dik koninin ana doğrusu
kaç cm dir?
1
TEST 1.
Prizmalar
L
4.
K
E
T
L
K
F
5
x
x
D
4
6
A
A
[EH] ⊥ [AK] , |AD| = 4 cm , |AB| = 4v3 cm ve
|ET| = |TF| ise |DT| = x kaç cm dir?
|BF| = 6 cm ise |EH| = x kaç cm dir?
C) 2c10
A) 3,2
E) 5v2
E
T
D
6
8
B
Yukarıdaki dikdörtgenler prizmasında
|LT| = |FH| , |AD| = 6 cm ve |AB| = 8 cm ise
3.
B) 10
C) 12
L
D) 15
C
M
B
Şekildeki küpün bir kenarı 3v2 br ve M ∈ [AC]
ise A(EMK) kaç br2 dir?
A) 7v2
B) 8v2
D) 10v2
6.
1
F
E
F
A
E) 16
K
E) 5,2
K
D
|TH| = x kaç cm dir?
A) 8
D) 4,8
E
H
C
C) 4,2
L
F
x
A
B) 3,6
5.
K
L
ESEN YAYINLARI
2.
B
4v3
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında
|AB| = 6 cm , |AD| = 4 cm , |DL| = 5 cm ve
B) 6
6
C
4
B
Yukarıdaki dikdörtgenler prizmasında
D) 3v5
H
D
C
A) 5
F
E
C) 9v2
E) 11v2
L
3
C
D
A
B
3
Şekildeki küpün bir ayrıtının uzunluğu v2 br dir.
K
1
Yüzeyden hareketle, A dan K ya gidecek olan bir
Şekildeki küpte verilenlere göre |KL| kaç birim-
hareketlinin alabileceği en kısa yol kaç br dir?
dir?
A) 2v2
C) c10
B) 3
D) 2v3
E) c15
A) 2v5
B) 2v6
D) 6
C) 5
E) 2c10
623
Geometrik Cisimler
7.
L
F
E
A
B
AK
AC
Şekildeki küpte
6
4
B)
6
C
D
A)
10.
K
6
3
C)
6
4
6
kaçtır?
Şekildeki üçgen dik prizmada verilenlere göre
prizmanın hacmi kaç br3 tür?
6
2
D)
3
3
E)
3
2
A) 28v3
B) 30v3
D) 34v3
C) 32v3
E) 36v3
8.
10
8
12
Şekilde bir üçgen dik prizma ile açınımı verilmiş-
ESEN YAYINLARI
11. Hacmi 3v3 br3 olan küpün cisim köşegeni kaç
16
birimdir?
A) v3
B) v6
C) 3
D) c10
E) 4
tir. Buna göre, açınımının çevresi kaç br dir?
A) 128
B) 120
C) 112
D) 104
E) 100
12. Ayrıtları 2, 2v3 ve 6 birim olan dikdörtgenler
prizması ile aynı hacimli olan küpün alanı kaç br2
9.
dir?
A) 70
B) 71
C) 72
D) 73
E) 74
6
2
Tabanı düzgün beşgen olan dik prizmanın taban
ayrıtı 2 br ve yüksekliği 6 br ise yanal alanı kaç
br2 dir?
A) 48
624
13. Farklı yüzlerinin alanları 10 br2, 8 br2, 20 br2 olan
dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç br3 tür?
B) 60
C) 66
D) 72
E) 78
A) 90
B) 80
C) 72
D) 64
E) 40
TEST 1.
5
Piramitler
4.
Tüm ayrıtlarının uzunluğu 6 br olan kare piramit-
E
te yan yüzeylerin taban düzlemi ile yaptığı açı x
ise tanx kaçtır?
10
B) v2
A) 1
C) v3
D) 2v2
E) 2v3
D
A
C
12
B
Şekildeki düzgün kare piramitte |AB| = 12 cm,
|EC| = 10 cm ise piramidin yanal alanı kaç cm2
dir?
2.
A) 192
E
B) 186
C) 172
5.
D
E
B
B) 75
C) 90
D) 120
E) 150
ESEN YAYINLARI
A
Şekildeki kare piramidin yan yüzleri eşkenar
%
üçgendir. Buna göre m( CEA ) kaç derecedir?
A) 60
E) 154
D
C
A
D) 160
C
B
(D, ABC) düzgün dörtyüzlüsünde, |DE| = |EC|
|AB| = 2 br dir. Yüzeyden hareket ederek A dan
E ye gidecek olan bir hareketlinin alabileceği en
kısa yol kaç birimdir?
A) v3
3.
B) 2
6.
C) v5
D) v7
D
A
C
Şekilde tabanları aynı düzlemde bulunan küp
ile kare piramit çizilmiştir. Küpün üst yüzeyinin
köşeleri piramidin üzerinde olup, piramidin taban
ayrıtı 6 br, yüksekliği 8 br ise küpün bir ayrıtı kaç
br dir?
A)
24
7
E) 3
B
Şekildeki düzgün dörtyüzlünün bir kenarı v3 cm
dir. Dörtyüzlünün B noktasından hareket eden
bir cisim yüzeyden hareketle C ye ulaşacaktır.
Cismin alabileceği en kısa yol kaç cm dir?
B)
30
7
C)
32
7
D)
46
7
E)
60
7
A) 3
B)
7
2
C) 4
D)
9
2
E) 5
631
Geometrik Cisimler
7.
10. Taban ayrıtı 12 br, yüksekliği 8 br olan dik kare
Yan yüzleri, taban düzlemi ile 60° lik açı yapan
2
düzgün kare piramitin alanı 36 cm ise hacmi
piramidin yan yüz yüksekliği kaç br dir?
kaç cm3 tür?
A) 8
A) 12
B) 14
C) 16
8.
D) 18
B) 9
D) 11
C) 10
E) 12
E) 24
E
11.
K
L
E
F
D
C
C
D
N
B
A
B
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında
Şekildeki dik kare piramitte |AB| = 8 br piramidin
B) 60
9.
C) 64
D) 72
L
E) 80
|CN| = 2|ND| ise taralı piramidin hacminin dik-
ESEN YAYINLARI
yanal alanı 80 br2 ise hacmi kaç br3 tür?
A) 56
A
dörtgenler prizmasının hacmine oranı kaçtır?
A)
1
18
B)
1
16
C)
1
15
D)
1
12
E)
1
10
K
M
E
F
12.
D
T
N
A
C
3
S
R
4
2
x
B
Şekildeki dikdörtgen prizmanın ABCD yüzeyinin
kenar orta noktaları N, R, S, T; EFKL yüzeyinin
ağırlık merkezi M dir. Prizmanın hacmi içerde
Şekildeki kare piramitte yan ayrıtların uzunlukları
oluşan NRST tabanlı piramidin hacminin kaç
2 br, 3 br, 4 br ve x br ise x kaçtır?
katıdır?
A) 2v5
A) 3
632
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
B) c21
D) 2v6
C) c22
E) c26
TEST 1.
8
Silindir, Koni ve Küre
O
D
4.
C
Taban yarıçapı 3 br, yüksekliği 7 br olan silindirin
yanal alanı kaç r br2 dir?
A) 35
x
A
B) 40
C) 42
D) 43
E) 56
B
E
Şekildeki dik silindirin üst tabanının ağırlık merkezi O olup yarıçapı 1 cm dir. E noktası taban
çevresi üzerinde ve |AD| = 3 cm ise |OE| = x
kaç cm dir?
A) 2
5.
C) c10
B) 3
D) 2v3
C
E) 2v5
5
C
2.
O
A
B
D
Taban yarıçapı 4 br, yüksekliği 3 br olan dik
B
Yukarıdaki dik koninin taban merkezi O dur.
ESEN YAYINLARI
A
3
|OB| = 3 cm, |CB| = 5 cm ise koninin alanı kaç
r br2 dir?
A) 23
B) 24
C) 25
D) 26
E) 27
konide A dan C ye gidip D ye dönecek olan bir
hareketlinin gidebileceği en kısa yol kaç br dir?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
3.
A
6.
D
O
B
C
E
%
O merkezli dik silindirde m( EOC ) = 120°
ban çevresi üzerindedir. Buna göre, A(AEC) kaç
1
ü kesilip atılmış olan bir kürenin kalan
4
kısmı çizilmiştir. Bu cismin alanı 36 r br2 oldu-
cm2 dir?
ğuna göre, kürenin yarıçapı kaç br dir?
|BC| = 2v3 cm, |AB| = v6 cm ve E noktası ta-
A) 4
9
B)
2
C) 5
11
D)
2
E) 6
Şekilde
A)
3
2
B) 2
C)
5
2
D) 3
E)
7
2
637
Geometrik Cisimler
7.
D
10.
C
P
C
A
6
B
Bir kenar uzunluğu 6 br olan ABCD karesi [AC]
A
köşegeni etrafında 180° döndürülüyor. Oluşan
cek şekilde tabana paralel bir düzlemle kesiliyor.
B) 24v2
D) 36v2
B
O
Şekildeki koni yüksekliğini eşit iki parçaya böle-
cismin hacmi kaç r br3 tür?
A) 18v2
D
R
C) 32v2
Koninin hacmi 40 br3 ise oluşacak kesik koninin
E) 38v2
hacmi kaç br3 olur?
A) 32
B) 33
C) 34
D) 35
E) 36
8.
11.
C
Şekildeki 5 br yarıçaplı küre merkezinden 4 br
uzaklıkta bir düzlemle kesilmiştir. Tepesi kürenin
ESEN YAYINLARI
O
A
A(ABC) = 12 br2 ve silindirin hacmi 36r br3 ise
3
kaç br tür?
B) 6r
B
Şekildeki silindirde O ve C taban merkezleridir.
merkezi, tabanı kesit alanı olan koninin hacmi
A) 4r
O
C) 8r
D) 10r
|AC| kaç br dir?
E) 12r
A) 3
9.
B) 4
C) 5
12.
D) 6
E) 7
B
Şekilde bir ayrıtı 6 br olan küp ve içine yerleş-
A
O
tirilebilecek en büyük hacimli madeni bir koni
O merkezli çeyrek çemberin yarıçapı 3 cm dir.
yerleştirilmiştir. Bu koni küpün içinde eritilirse
Taralı bölge [AO] etrafında 360° döndürülürse
yüksekliği kaç r br olur?
oluşan cismin hacmi kaç r cm3 olur?
A)
638
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
L
4.
K
x
D
C
F
E
9π
C
D
A
B
A
%
Şekildeki küpte m( EKB ) = x kaç derecedir?
6
O
B
Taban yarıçapı 6 br yüksekliği 9r br olan silindirde B den harekete başlayan bir cisim yüzeyi bir
kez dolanarak C ye varıyor. Cismin alabileceği
en kısa yol kaç br dir?
L
5.
K
F
E
D
P
A
x
C
B
ESEN YAYINLARI
2.
D
C
K
L
D
C
A
P
5
A
Şekildeki küpte [AK] ⊥ [BP], |AK| = 6 br ise |BP|
I
x
B
II
B
I. şekildeki gibi dik tutulan silindir biçimindeki bir
kaç br dir?
kapta bir miktar su vardır. |AB| = 3 br, |BL| = 5 br
olmak üzere, kap II. şekildeki duruma getirilirse
|BP| = x kaç br olur?
3.
Farklı üç yüzeyinin alanları 8 br2 , 10 br2 ve
20 br2 olan dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç
3
br tür?
6.
Bir kare dik piramidin yan ayrıtları taban düzlemi
ile 45° lik açı yapmaktadır. Bu piramidin taban
ayrıtının uzunluğu 4v3 br olduğuna göre hacmi
kaç br3 tür?
645
Geometrik Cisimler
7.
9.
A
3
120°
C
B
Şekildeki daire dilimi B ile C çakışacak şekilde
%
kıvrılarak koni elde ediliyor. m( BAC ) = 120°
Şekildeki kesik kare piramidin üst yüzey alanı
1 br2, alt yüzey alanı 4 br2 ve yüksekliği 3 br ise
|AB| = 3 cm ise oluşan koninin hacmi kaç r cm3
kesik piramidin hacmi kaç br3 tür?
ESEN YAYINLARI
A
8.
B
O
tür?
10.
C
Şekildeki O merkezli kürenin çapı taralı koninin
I
II
de çapıdır. Koninin hacminin kürenin hacmine
I. şekildeki alanı 144 br2 olan kare biçimindeki
oranı kaçtır?
karton katlanarak II. şekildeki gibi alt ve üst
kapakları bulunmayan kare prizma elde ediliyor.
Bu kare prizmanın hacmi kaç br3 olur?
646
Sol sütunda verilen soruların cevaplarını sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
1.
Alanı 24 br2 olan küpün yüzey köşegeni kaç
birimdir?
2.
a.
2
b.
3
c.
5
d.
125
e.
3
f.
2 2
g.
2
r
Ayrıtlarının uzunlukları toplamı 15 br, cisim
köşegen uzunluğu 10 br olan dikdörtgenler
prizmasının alanı kaç br2 dir?
3.
Hacmi 72r br3 olan silindirin yüksekliği 8 br
ise taban yarıçapı kaç birimdir?
4.
Yüksekliği taban yarıçapının 3 katı olan dik
silindirin hacmi 24r br3 ise taban yarıçapı
kaç br dir?
5.
Yarıçapı 3 cm, hacmi 12r cm3 olan dik koni-
2
nin ana doğrusunun uzunluğu kaç cm dir?
6.
Bir dik silindirin içine en büyük hacimli kare
prizma yerleştirilmiştir. Prizmanın hacminin
silindirin hacmine oranı kaçtır?
7.
Bir kenar uzunluğu 2 br olan demir küp eritilerek küre yapılıyor. Oluşan kürenin yarıçapı
kaç br dir? (r = 3 alınız.)
647
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
SOLDAN SAĞA
1. Üç boyutlu gerçel uzayda bir geometrik şeklin
sınırı
YUKARIDAN AŞAĞIYA
2. Prizma veya silindirde paralel tabanlar arasındaki uzaklık
4. Tabanı yanal yüzlerine dik olmayan prizma
3. Dört yüzeyide eş eşkenar üçgen olan piramit
7. Sabit bir noktadan geçerek bir eğri boyunca
5. Uzayda bir A sınırlı kümesi için, A nın iç ölçü-
gezen doğrunun oluşturduğu yüzey
9. Dikdörtgenin herhangi bir kenarı etrafında tam
döndürülmesiyle oluşan katı cisim
10. Yanal yüzleri birer paralelkenar olan çokyüzlü
12. Herbiri yüz adını alan düzlemsel çokgenlerle
sınırlanan katı cisim
14. Tabanı bir çokgen, yanal yüzleri birer üçgen
olan ve ortak bir köşe noktasında birleşen çokyüzlü
648
müyle dış ölçümü çakıştığında oluşan ortak
değer
6. Bir prizma veya koni için, tabanın parçası
olmayan ayrıtlardan biri
8. Yüzölçümü
11. Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan tüm noktaların oluşturduğu geometrik şekil
13. Tüm ayrıtları eş uzunlukta olan dikdörtgenler
prizması
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1.
Yan ayrıtı .......................................... dik olan prizmaya dik prizma denir.
2.
Dikdörtgenler prizmasının en uzak iki noktasını birleştiren doğru parçasına ........................................
denir.
3.
Yüzey parçaları ile sınırlanan kapalı uzay parçasına .......................................... katı cisim denir.
4.
Prizmatik yüzeyin bir düzlemle arakesitine yüzeyin bir .......................................... denir.
5.
Dikdörtgenler prizmasının köşegenleri birbirini ..........................................
6.
Bir koninin tepe noktası ile eksenini içine alan her düzlemle ara kesiti bir ................................. bölgedir.
7.
İki yarı düzlemle küre yüzeyi arasında kalan cisme .......................................... denir.
8.
Taban alanları ve yükseklikleri eş olan iki prizmanın tabana eşit uzunlukta bulunan paralel kesit alanlarıda eşit ise bu prizmaların .......................................... eşittir.
9.
Kürenin hacmi, küreyi çevreleyen silindirin hacminin .......................................... eşittir.
10. Bir silindirin içine yerleştirilebilen en büyük hacimli koninin hacmi, silindirin hacminin .............................
eşittir.
649
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
Dikdörtgenler prizmasının yanal alanı; taban çevresi ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
2.
Düzgün kesik piramidin yanal alanı; alt ve üst taban çevreleri toplamı ile yan yüz yüksekliğinin
çarpımının yarısına eşittir.
3.
Bir ayrıtının uzunluğu a olan düzgün dörtyüzlünün alanı a2v2 dir.
4.
Bir ayrıtının uzunluğu a olan düzgün dörtyüzlünün yüksekliği
5.
Dik dairesel konide yükseklik simetri eksenidir.
6.
Dairesel koni, taban kenar sayısı sonsuza yaklaşan bir piramit olarak düşünülebilir.
7.
Bir dik üçgen, dik kenarlarından biri etrafında 360° döndürüldüğünde silindir elde edilir.
8.
Küre tekyüzeylidir.
9.
Koni ve silindir çokyüzeylidir.
10.
Prizma ve piramit çokyüzlüdür.
650
a 6
tür.
3
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
2002 – ÖSS
H
4.
G
2003 – ÖSS
ABCDEFGH küp
AKLMTSRN küp
E
F
|AB| = a cm
|AK| =
D
R
N
a
cm
3
T
M
A
S
C
L
K
B
Bir kenarı a cm olan içi dolu tahta bir küpün köşea
sinden, bir kenarı
cm olan bir küp kesilerek
3
çıkartılıyor. Geriye kalan büyük küp parçasının
Şekildeki gibi 6 bölümü ve tabanı kare olan
kapaklı bir karton kutu yapılacaktır. Bu kutunun
yüksekliği 5 cm, tabanının bir kenarının uzunluğu
20 cm olacağına göre kaç cm2 karton gereklidir?
alanının küçük küpün alanına oranı kaçtır?
A) 9
B) 12
C) 18
D) 27
A) 1000
E) 36
B) 1100
D) 1400
2.
C) 1200
E) 1500
2002 – ÖSS
T
T dik koninin tepesi
bir çapı
3
|AO| = |OB| = 1 km
|TB| = 3 km
A
1
1
B
O
Yukarıdaki şekil dik koni biçiminde idealleştirilmiş bir dağı, A ve B noktaları ise bu dağ
eteğindeki iki köyü temsil etmektedir. Bu iki köyü
birleştiren dağ yüzeyi üzerindeki en kısa yol kaç
km dir?
A)
r
3
B)
2r
3
C) π
D) v3
ESEN YAYINLARI
|AB| koni tabanının
5.
2004 – ÖSS
|BC| = 3 br
F
|AF| = 5 br
|HX| = |HZ| = 1 br
E) 3
G
D
5
2003 – ÖSS
3
3
minde bir kapak ile koni
biçiminde bir gövdeden
yanal
Kapak
meyen bu karıncalar X, Y ve Z noktalarına kutu
ayrıtı
12
dur?
yanal ayrıtı 12 cm oldu-
A) x < y < z
ğuna göre yanal alanı kaç cm2 dir?
652
C) 116
yüzeyinde kalarak en kısa yollardan ulaştıklarına
göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğru-
cm2 dir. Gövde koninin
B) 108
üç karıncadan birincisi X, ikincisi Y, üçüncüsü
ulaşmıştır. Kutunun ABCD tabanından geçe-
3 cm, yanal alanı 24
A) 96
bir kutunun A köşesinden harekete başlayan
Z noktasına sırasıyla x, y ve z birim yol alarak
oluşan kapaklı bir cisim
koninin
B
6
Yukarıdaki gibi dikdörtgenler prizması şeklindeki
Şekildeki gibi koni biçi-
yapılacaktır.
C
|HY| = 2 br
A
3.
X 1H
2 1
Z
Y
E
|AB| = 6 br
D) 150
E) 384
B) x < z < y
D) y < z < x
C) y < x < z
E) z < y < x
Geometrik Cisimler
6.
2004 – ÖSS
9.
2006 – ÖSS
Şekildeki dik koni tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Meydana
gelen kesik koninin yük-
‰
‰
‰
‰
Bir kenar uzunluğu 16 cm olan kare şeklindeki
sekliği başlangıçtaki dik
kartonun köşelerinden bir kenar uzunluğu 3 cm
2
koninin yüksekliğinin
3
katı olduğuna göre baş-
olan birer kare kesilerek çıkartılıyor ve kalan karton parçası kıvrılarak şekildeki gibi üstü açık bir
kutu yapılıyor. Bu kutunun hacmi kaç cm3 tür?
langıçtaki dik koninin
A) 200
B) 240
C) 250
D) 300
E) 360
hacmi kesik koninin hacminin kaç katıdır?
A)
64
27
B)
27
26
C)
27
8
D)
9
4
E)
3
2
10. 2006 – ÖSS
1
2005 – ÖSS
Yüksekliği 10 cm olan dik silindir biçimindeki bir
su bardağı tümüyle su ile doludur. Suyun 25 cm
3
ü boşaltıldığında su yüksekliği 2 cm azalmaktadır. Buna göre tümüyle dolu bardakta kaç cm3 su
bulunur?
A) 125
B) 135
C) 150
D) 225
E) 250
2
ESEN YAYINLARI
7.
x
Şekildeki gibi taban yarıçapı 1 metre, yüksekliği
2 metre olan dik koni biçimindeki bir su deposuna bir musluktan sabit hızla su akıtılıyor. Depoda
biriken suyun derinliği x metre olduğunda depoda biriken suyun hacmi x türünden kaç m3 olur?
A)
8.
rx 3
12
B)
rx 3
rx 3
C)
9
6
D)
rx 3
4
E)
rx 3
3
2005 – ÖSS
Kenar uzunlukları 1 er birim olan 6 küple oluşturulan aşağıdaki kürsünün tabanı hariç tüm yüzeyi bir madalya töreni için kumaşla kaplanacaktır.
11. 2007 – ÖSS
35
30
42
Şekildeki dikdörtgenler prizmasının üç farklı
Bu kaplama işi için kaç birim kare kumaş gerek-
yüzünün alanları cm2 türünden üzerlerine yazıl-
lidir?
mıştır. Bu prizmanın hacmi kaç cm3 tür?
A) 18
B) 20
C) 21
D) 25
E) 32
A) 200
B) 210
C) 240
D) 260
E) 280
653
Geometrik Cisimler
12. 2008 – ÖSS
Yarıçapı 3
15. 2010 – YGS
cm
olan
a
O merkezli küre içine
b
ekseni küre merkezinden
c
O
geçen 1 cm yarıçaplı dik
d
dairesel silindir yandaki gibi yerleştiriliyor. Bu
Yukarıda bir küpün açınımı verilmiştir.
silindirin hacmi kaç cm3 tür?
3r
A)
2
B) 3π
C) 3v3 π
e
Küpün üst yüzeyinde siyah kare bulunduğunda
D) 4v2 π
E) 9π
alt yüzeyindeki karede hangi harf bulunur?
A) a
B) b
C) c
D) d
E) e
13. 2009 – ÖSS
16. 2010 – LYS
A2
A1
A1
A2
O
6
A
3
deki kâğıt parçası, A1 ve A2 noktaları şekildeki
gibi çakışacak biçimde bükülerek tepesi O noktası olan bir dik koni oluşturuluyor.
Bu koninin taban alanı kaç cm2 dir?
C) 8π
D) 9π
ESEN YAYINLARI
30°
Yarıçap uzunluğu 6 cm olan yarım daire biçimin-
B) 7π
D
15
O
A) 6π
C
B
E
Yatay düzlem
%
m( DBE ) = 30° , |AC| = 3 cm , |BD| = 15 cm
Dik dairesel silindir biçiminde tamamı suyla
dou olan bir bardak, yatay düzlemle 30° lik açı
yapaacak biçimde şekildeki gibi eğildiğinde bar-
E) 10π
daktan bir miktar su dökülüyor. Bardakta kalan
su C ve D noktalarında dengeleniyor.
Buna göre, bardaktan kaç cm3 su dökülmüştür?
A) 66π B) 68π
14. 2009 – ÖSS
Yanda
verilen
C) 72 π
D) 74 π
E) 7π
kahve
yapma makinesi, taban
B
yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 4 cm olan kesik koni
biçimindeki A parçası ile
taban yarıçapı 3 cm olan
?
r=3
A
h=4
yeterince yüksek silindir
r=6
biçimindeki B parçasının
17. 2010 – LYS
K1 ve K2 dairesel konilerinin taban yarıçapları
sırasıyla r1, r2 birim, yükseklikleri h1, h2 birim ve
şekildeki gibi birleştirilmesiyle oluşturulmuştur.
hacimleri V1, V2 birim küptür.
Kahve makinesi boşken B nin üstünden A kısmı-
r1
h1
V1
= b olduğuna göre,
oranı
= a ve
r2
h2
V2
nın hacminin 3 katı su konulduğunda B kısmında
su kaç cm yükselir?
A)
654
35
2
B)
45
2
C)
19
3
D)
40
3
E)
56
3
kaçtır?
A)
a
b
B)
a2
b
C) ab2
D) a2b
E) a2b2
Geometrik Cisimler
18. 2011 – LYS
21. 2012 – LYS
Bir dik dairesel koni tabana paralel bir düzlemle
5x5 lik bir kareli kâğıdın beş karesi, şekildeki gibi
kesiliyor.
boyanmıştır.
T
A
B
C
r1 = 3
D
12
A
r2 = 12
E
B
Bu kâğıtta A, B, C, D, E ile belirtilen karelerden
Elde edilen kesik koninin yüksekliği 12 cm,
biri daha boyanacak ve boyanmış kareler bir küp
taban yarıçapları ise 3 cm ve 12 cm dir. Buna
açınımı olacaktır.
göre, koninin [TA] yanal ayrıntının uzunluğu kaç
Buna göre, boyanacak kare aşağıdakilerden
cm dir?
A) 15
hangisi olamaz?
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
22. 2012 – LYS
19. 2011 – LYS
Yarıçapı 3v3 cm olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli küpün hacmi kaç cm
3
tür?
A) 125
B) 216
C) 512
D) 81v3
silindir biçimindeki bir sürahi tümüyle ayranla
doludur. Bu ayranın tamamı, taban yarıçapları
3 cm ve 6 cm olan kesik koni biçimindeki 6 adet
özdeş boş bardağa konuluyor.
Bardaklar tam olarak dolduğuna göre, bu bar-
E) 108v6
20. 2011 – LYS
ESEN YAYINLARI
Yüksekliği 21 cm, yarıçapı 9 cm olan dik dairesel
dakların yüksekliği kaç cm dir?
25
27
40
44
B)
C)
D)
A)
2
2
3
3
E)
y
OABC bir dikdörtgen
B
C
|OA| = 6 birim
23. 2012 – LYS
Yarıçapı r olan bir küre ile taban yarıçapları
3
|AB| = 3 birim
O
6
A
x
koni veriliyor.
Bu üç cismin hacimleri eşit olduğuna göre,
dikdörtgeninin x ekseni etrafında 360° döndürül-
I.
mesiyle elde edilen silindirin hacmi Vx, y ekseni
etrafında 360° döndürülmesiyle elde edilen silinVx
oranı
dirin hacmi de Vy olduğuna göre,
Vy
kaçtır?
1
2
B)
1
3
C)
2
3
D) 2
E) 3
r
olan bir dik dairesel silindir ve bir dik dairesel
Dik koordinat düzleminde verilen şekildeki OABC
A)
55
4
Koninin yüksekliği, silindirin yüksekliğinin
3 katıdır.
2r
tür.
3
III. Koninin yüksekliği 4r dir.
II. Silindirin yüksekliği
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
C) I ve II
E) II ve III
655
Geometrik Cisimler
27. 2013 – LYS
24. 2012 – LYS
Tabanının bir kenar uzunluğu a birim ve yük-
Aşağıda, taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 6 cm
sekliği h birim olan bir kare dik piramit, taban
olan bir dik dairesel silindir verilmiştir. Silindirin
köşegeninden geçen, tabana dik bir düzlemle
taban düzlemlerinde şekildeki gibi merkezlerden
kesiliyor.
1 cm uzaklıkta AD ve BC paralel doğru parçaları
Buna göre, oluşan arakesitin alanının a ve h
çiziliyor.
D
türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
a 2 .h
2
D)
B)
a 2 .h 2
2
a.h 2
2
C)
E)
1
a 2 .h 2
2
A
6
a.h
2
C
3
1
B
Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı kaç cm2
dir?
25. 2013 – LYS
Bütün ayrıtları eşit uzunlukta olan bir üçgen dik
A) 15 2
prizmanın hacmi 18 birim küptür.
D) 16 3
B) 27
C) 36
D) 45
E) 54
26. 2013 – LYS
Ayrıt uzunluğu 4 birim olan tahta bir küpün
bazı parçaları kesilip çıkarılarak üç boyutlu yeni
C) 12 3
E) 16 5
ESEN YAYINLARI
Bu prizmanın yanal alanı kaç birim karedir?
A) 24
B) 18 2
28. 2013 – LYS
Tabanları kare, yan yüzleri yamuk olan bir kesik
bir cisim oluşturuluyor. Bu yeni cismin her bir
dik piramidin açınımı aşağıda verilmiştir. Şekil
yüzüne dik bir doğrultuda bakıldığında ortasında
üzerinde verilen uzunluklar cm türündendir.
boşluk bulunan aşağıdaki görünüm elde ediliyor.
4
v5
1
v5
6
1
1
1
1
1
1
1
Bu üç boyutlu yeni cismin hacmi en fazla kaç
birim küptür?
A) 24
656
B) 28
Buna göre, kesik piramidin hacmi kaç cm3 tir?
A) 24 3
C) 32
D) 36
E) 40
D)
B) 26 3
76 3
3
E)
C) 32 3
80 3
3