sorumat ds - sorumat.com

SORUMAT
ÜSLÜ SAYILAR KONU ÖZETLİ ANLATIM
Bu konuda üslü sayılarla ilgili kazanımları maddeler
halide işleyeceğiz.
Normalde 8. sınıf matematik kazanımları üslü sayılar
konusunda negatif üs kavramı ile başlamasına rağmen
bu çalışma kağıdında 6.sınıf ve 7.sınıf üslü sayılar kavramının kazanımlarını da hatırlatma amaçlı birlikte ele
alacağız.
S
D
HAZIRLAYAN: Serkan DEMİR
.2.22.24444
.2.23 = 2 6 = 64
124444
6 tane
6 tane 2 sayısının tekrarlı çarpımının
üslü biçimde gösterimi 26 dır ve işlemin
sonucu 64 tür.
ÜSLÜ SAYILAR
+ 2 + 22
+444444444
2 + 2 + 23 = 2.6 = 12
12444444444
6 tane
a14444444
.a.a............
a.a3 = an
2
4444444
n tan e
n tane a harfinin tekrarlı çarpımının üslü biçiminde
gösterimi an dir ve an bir üslü sayıdır.
ÖR: 3.3.3.3.3.3.3 = 3 7
1444447 2
444443
tane
7 tane 3 sayısının tekrarlı çarpımının üslü biçimde
gösterimi 37 dir.
3
7
Serkan DEMİR www.sorumat.com
Aynı sayının tekrarlı biçimde çarpımının üslü biçimde gösterimine üslü sayılar denir.
6 tane 2 sayısının toplamı 2.6=12 dir.
Bu toplam üslü biçimde gösterilmez,üslü gösterim için tekrarlı çarpım olması
gerekir.
5 (
5 üssü 2
5’in 2.kuvveti
5’in karesi diye okunabilir.
4 (
4 üssü 3
4’ün 3.kuvveti
4’in küpü diye okunabilir.
7 (
7 üssü 5
7’nin 5.kuvveti diye okunabilir.
2
üs(kuvvet)
taban
3
37 üslü sayısında 3’ e taban, 7’ye üs(kuvvet) denir.
ALIŞTIRMALAR
Aşağıdaki tekrarlı çarpımları üslü biçimde
gösteriniz.
514444
.5.52.......
444453 =
8 tan e
5
7144444
.7.7.........
24444473 =
11 tan e
15
.15.152.15
......153 =
144444444
44444444
21 tan e
17
.17.172...........
173 =
144444444
44444444
9 tan e
1
SORUMAT
S
D
ÜSLÜ SAYILAR KONU ÖZETLİ ANLATIM
KURAL 4
KURAL 1
Bütün sayıların 1. kuvveti kendisine eşittir.
Sıfır hariç bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.
ÖR: 5 0 = 1,
1542 0 = 1,
HAZIRLAYAN: Serkan DEMİR
(- 256) 0 = 1
ÖR: 8451 = 845,
]- 53g0 = 1 Parantezin olması ve
olmaması veya üssün parantez içinde olması veya
0
]- 53 g = - 1 dışında olması durumlarına dikkat edilmelidir.
Bu kısma ilerde detaylı değinilecektir.
- 731 = - 73,
1
b2l = 2
5
5
KURAL 5
KURAL 2
Serkan DEMİR www.sorumat.com
- 53 0 = - 1
ÖR: 1 5 = 1,
Sıfırın, sıfır hariç bütün pozitif kuvvetleri sıfıra eşittir.
ÖR: 0 9 = 0,
1’in bütün kuvvetleri 1’e eşittir.
1 -65 = 1,
10 = 1
KURAL 6
Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
1
3 -4 = 81 ,
ÖR: 3 4 = 81,
63 0 = 1
01071 = 0
KURAL 7
KURAL 3
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri
negatiftir.
ÖR: ]- 2g4 = 16,
Sıfırın sıfırıncı kuvveti belirsizdir.
ÖR: 0 0 = Belirsizdir
]- 2g3 = - 8
Negatif sayıların çift kuvvetlerine bakılırken parantez çok önemlidir.Üssün
parantez içinde veya dışında olması durumlarına dikkat edilmelidir.Üs parantez
içindeyse sadece içerdeki sayıya,dışındaysa sayı ve sayının işaretine aittir.
2
SORUMAT
S
D
ÜSLÜ SAYILAR KONU ÖZETLİ ANLATIM
ÖR:
]- 3g = 9 Yandaki örnekte de görül]- 3 2g = - 9 düğü gibi parantezin varlığı
2
- 32 = - 9
ve üssün bulunduğu yer
sonucu etkilemektedir.
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulalım.
]- 4 3g =
192 0 =
]- 6g 2 =
- 34 =
- ]7 g2 =
-5 =
-]- 3g3 =
-]- 5 2g =
- 81 =
1
1
=
2 6 64
- (- 2) -6 = - 16 = - 1
64
2
3
Yandaki örnekleri dikkatli
inceleyiniz!
KURAL 9
Çözümleme: abc,def ondalık sayısı aşağıdaki gibi
çözümlenir.
abc,def
1
d. 10 = d.10 -1
a.100 = a.10 2
5 =
- (- 3) 2 =
1 -15 =
]- 13g1 =
1
2 -6 =
ÖR: - 5 -4 = - 14 = - 1
625
5
011 =
]- 1g0 =
]- 2g5 =
1
1
=
5 2 25
Yukarıda verilen tipteki örneklerde önce
dikkat edilmesi gereken işleminin sonucunun
pozitif mi negatif mi olacağıdır.
Serkan DEMİR www.sorumat.com
ALIŞTIRMALAR
5 -2 =
]- 3g-2 = 1 2 = 12 = 19
]- 3g 3
- (- 2) 4 = - 16
Yukarıda verilen örnekte işlem önceliğine göre önce üslü sayı yapılıp,sonra çarpmaya geçileceğinden
sonuç -16 bulunur.
]- 2g4 = 16
Önce üslü sayı yapılır ve sonuç 16
bulunur,sonra bulunan sonuç “-” ile
çarpılınca sonuç -16 olur.
HAZIRLAYAN: Serkan DEMİR
b.10 = b.101
1
e. 100 = e.10 -2
c.1 = c.10 0
1
f. 1000 = f.10 -3
ÖR: 634,745 ondalık sayısını 10 sayısının kuvvetlerini
kullanarak çözümleyelim.
KURAL 8
634,745 sayısını çözümlerken işimizi kolaylaştırması
açısından birler basamağındaki sayının üzerine “0”
yazılır,sola doğru birer arttırılarak,sağa doğru ise birer
azaltarak devam edilir.
Negatif Üs: n sıfırdan farklı bir tamsayı olmak
üzere;
1
-n
a = an
2 1 0
-1 -2 -3
634, 745
3
SORUMAT
S
D
ÜSLÜ SAYILAR KONU ÖZETLİ ANLATIM
2 1 0
-1 -2 -3
634, 745
6.100 = 6.10
HAZIRLAYAN: Serkan DEMİR
]2 2g3 = 2 2.3 = 2 6
1
7. 10 = 7.10 -1
2
22 = 28
3
1
5. 1000 = 5.10 -3
4.1 = 4.10 0
26 ! 28
Yukarıda verilen örnekte görüldüğü gibi
parantez sonucu etkilemektedir.Parantezli
işlemin sonucu ile parantezsiz işlemin sonucu farklı çıkmaktadır.
1
4. 100 = 4.10 -2
3.10 = 3.101
&
634, 745 = 6.10 2 + 3.101 + 4.10 0 + 7.10 -1 + 4.10 -2 + 5.10 -3
Çözümlenmiş hali aşağıdaki gibi verilen
5.10 2 + 7.10 0 + 3.10 -3
ondalık sayı aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıdaki tarzda verilen sorular çözülürken,kayıp basamaklar yerine sıfır yazılır.
2
1
0
5
0
7
,
-1
-2
-3
0
0
3
ve ondalık sayımız 507,003 olarak bulunur.
Serkan DEMİR www.sorumat.com
sayısının çözümlenmiş hali yukarıdaki gibi bulunur.
]- 2 2g3 = - 2 2.3 = - 2 6 = - 64
]- 2 3g2 = 2 3.2 = 2 6 = 64
Yukarıda verilen iki örnekten birinde parantezin dışındaki üs(3) tek sayı,diğerinde
parantezin dışındaki üs(2) çift sayı olduğundan birinin sonucu negatif,diğerinin
pozitif çıkmıştır.
Kural 7 de bu konuya detaylı değinildi.
ALIŞTIRMALAR
5 -3 =
7 =
-2
]- 3 4g =
Aşağıdaki ondalık sayıları
çözümleyelim
458, 89 =
4 =
KURAL 10
-1
]- 2g-5 =
Üssün Üssü: Üslü bir ifadenin tekrar üssü alınırsa
üsler çarpılır.
]abgc = ab.c = ]a cgb
]- 3g-2 =
]- 4g =
ÖR: ]2 3g4 = 2 3.4 = 212 = ]2 4g3
547, 983 =
204, 542 =
-3
- 8 -2 =
4
410, 003 =
SORUMAT
ÜSLÜ SAYILAR KONU ÖZETLİ ANLATIM
ALIŞTIRMALAR
]6 2g-5 =
]4 3g5 =
]4 -2g3 =
]5 -2g3 =
]5 -3g-4 =
32 =
]- 2 -2g-3 =
]- 2 4g3 =
]- 2 -3g-2 =
]- 7 3g6 =
]- 3 -5g-7 =
4
KURAL 11
Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken,üsler
toplanır ve ortak taban aynen yazılır.
a .a = a
x
y
x+y
ÖR: 2 3 .2 4 = 2 3 + 4 = 2 7
HAZIRLAYAN: Serkan DEMİR
KURAL 12
Üsleri aynı tabanları farklı üslü sayılar çarpılırken,tabanlar çarpılır,ortak üs aynen yazılır.
a x .b x = ]a.bgx
ÖR: 3 4 .5 4 = ]3.5g4 = 15 4
Serkan DEMİR www.sorumat.com
]3 2g4 =
S
D
3 -5 .3 9 = 3^-5h+]+9g = 3 4
64 5 .12510
İşlemin sonucu kaç basamaklıdır?
Yukarıda verilen tarzdaki sorular çözülürken
Kural 10 ve Kural 12 ‘den faydalanılır.
64 5 = ]2 6g5 = 2 6.5 = 2 30
( Kural 10
12510 = ]5 3g10 = 5 3.10 = 5 30
2 30 .5 30 = ]2.5g30 = 10 30
( Kural 12
10 30 = 1S 0000
.........
0003
1444444
2444444
1 basamak
30 basamak
30 basamak + 1 basamak =31 basamak
olduğundan sayımız 31 basamaklıdır.
5 6 .5 -14 = 5]+6g+]-14g = 5 -8
]- 3g-2 . ]- 3g5 = ?
128 3 .625 6
işleminin sonucu kaç basamaklıdır?
Yukarıda verilen tarzdaki sorular çözülürken
önce sonucun işareti bulunmaya çalışılır. Sonra
çarpma işlemi yapılır.
]- 3g-2 ( üssü çift sonuç pozitiftir (+)
128 3 = ]2 7g3 = 2 7.3 = 2 21
625 6 = ]5 4g6 = 5 4.6 = 5 24
(
Kural 10
üslü sayılarını çarpabilmemiz için
taban veya üslerin eşit olması gerekir.
21
21 + 3
21
2 .5 = 2 21 . 5Y
.5 3 = ]2.5g21 .5 3 = 10 21 .5 3
]- 3g5 ( üssü tek sonuç negatiftir (-)
2 21 .5 24
]- 3g-2 . ]- 3g5 = (+) . (-) = -
]- 3g-2 . ]- 3g5 = 3(- 2) + (+ 5) = 33
ayirabiliriz
10
V . 125
V 21 basamak+3 basamak=24
basamaklıdır.
21
sonucun işareti negatif olacağından
cevap -33 bulunur.
21 basamak 3 basamak
5
SORUMAT
ÜSLÜ SAYILAR KONU ÖZETLİ ANLATIM
S
D
HAZIRLAYAN: Serkan DEMİR
KURAL 13
3x+2 = 5y-3
olduğuna göre x.y kaçtır?
Yukarıda verilen tarzda ki sorular çözülürken
tabanlar eşit olamayacağından üsleri eşitleyemeyiz.Dolayısıyla Kural 14’ü bu soruda
kullanamayız.
3 0 = 1 ve 5 0 = 1
3 0 = 5 0 olduğundan üsler sıfıra eşitlenebilir.
3 x + 2 = 3 0 ise x + 2 = 0 x = - 2
5 y - 3 = 5 0 ise y - 3 = 0
y = 3 bulunur.
ÖR: 64 3, 32 5, 128 2 üslü sayılarını büyükten küçüğe
doğru sıralayalım.
64 3 = ]2 6g3 = 2 6.3 = 218
( Kural 10
32 5 = ]2 5g5 = 2 5.5 = 2 25
128 2 = ]2 7g2 = 2 7.2 = 214
2 , 2 , 2 sayılarının tabanları eşit olduğundan üslerine
bakılır.Üssü büyük olan en büyüktür.Dolayısıyla;
2 25 2 218 2 214
32 5 2 64 3 2 128 2 bulunur.
18
25
14
ÖR: 125 8, 4912, 81 6 üslü sayılarını büyükten küçüğe
doğru sıralayalım.
125 = ]5 g = 5 = 5
4912 = ]7 2g12 = 7 2.12 = 7 24 ( Kural 10
81 6 = ]3 4g6 = 3 4.6 = 3 24
8
3 8
3.8
24
Serkan DEMİR www.sorumat.com
Üslü Sayılarda Sıralama: 1’den büyük üslü sayılarda sıralama yapılırken;
tabanlar eşit ise üssü büyük olan daha büyük,
üsler eşit ise tabanı büyük olan daha büyüktür.
Buradan x.y=-2.3=-6 olur.
KURAL 15
Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken,ortak
taban aynen yazılır,payın üssünden paydanın üssü
çıkarılır.
an
n-m
am = a
ÖR: 2 5
5-3
= 22
3 = 2
2
5 24, 7 24, 3 24 sayılarının üsleri eşit olduğundan tabanlarına
bakılır.Tabanı büyük olan en büyüktür.Dolayısıyla;
7 24 2 5 24 2 3 24
4912 2 125 8 2 81 6 bulunur.
74
= 7 4 - 9 = 7 -5
79
5 -3
= 5^-3h-]-7g = 5 -3 + 7 = 5 4
5 -7
KURAL 14
a ! - 1, a ! 0 ve a ! - 1 olmak üzere;
a x = a y ise x = y dir.
Yani tabanları aynı olup birbirine eşit olan üslü
sayıların üsleri de eşit olmak zorundadır.
27 -5 işleminin sonucunu birlikte bulalım
243 -2
27 -5 = ]3 3g 5 = 3 3.^-5h = 3 -15
243 -2 = ]3 5g 2 = 3 5.]-2g = 3 -10
-15
3
= 3^-15h-^-10h = 3 -15 + 10 = 3 -5 bulunur.
3 -10
ÖR: 32 4 = 2 x ise x kaçtır?
32 4 = ]2 5g4 = 2 5.4 = 2 20
2 20 = 2 x ise x = 20 dir.
6
SORUMAT
S
D
ÜSLÜ SAYILAR KONU ÖZETLİ ANLATIM
ALIŞTIRMALAR
KURAL 16
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulalım.
5 3 .5 8 =
Üsleri aynı tabanları farklı üslü sayılar bölünürken
tabanlar bölünür,ortak üs aynen yazılır.
7 -2 .7 6 =
ak b a lk b b l-k
= b = a
bk
81 2 .27 -4 =
-7
7
7
ÖR: 5 7 = b 5 l = b 11 l
5
11
11
25 -6 .125 -3 =
12 5 b 12 l5
= 3 = 45
35
64 .125 =
6
10
Aşağıdaki işlemlerde bilinmeyenleri bulalım.
3 x = 81 ise x =
5 y = 625 ise y =
8 a - 3 = 64 ise a =
Serkan DEMİR www.sorumat.com
]- 4g-5 . ]- 8g-4 =
Aşağıdaki işlemlerin sonucu kaç basamaklıdır?
625 5 .32 4 =
HAZIRLAYAN: Serkan DEMİR
21 -13 b 21 l-13
1
= 7
= 3 -13 = 13
7 -13
3
KURAL 17
Bilimsel Gösterim: a bir gerçek sayı, 1 ≤ |a| < 10
ve n bir tam sayı olmak üzere a x 10n gösterimi
“bilimsel gösterim”dir.
ÖR: 5 120 000 sayısının bilimsel gösterimi
5,12×106 olarak gösteririlir.
Aşağıdaki üslü sayıları büyükten küçüğe doğru
sıralayalım.
64 5, 128 3, 256 2
6450000000 sayısının bilimsel gösterimini
bulalım.
6450000000 = 645x107 ( Bilimsel gösterim değil
= 64,5x108 ( Bilimsel gösterim değil
= 6,45x109 ( Bilimsel gösterim
625 9, 64 6, 2712
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulalım.
35
=
3 -7
0,00000000076 sayısının bilimsel gösterimini
bulalım.
0,00000000076 = 7,6x10-10 ( Bilimsel gösterim
25 -3
=
125 6
virgül 10 basamak kaydırılıp,sayı bilimsel gösterimle ifade edilir.
]- 81g4
=
]- 27g-5
7