ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Serkan ÖKTEN
2-NORMLU UZAYLAR
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2010
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
2-NORMLU UZAYLAR
Serkan ÖKTEN
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman :Yrd. Doç. Dr. Yusuf KARAKUŞ
Yıl
: 2010, Sayfa: 68
Jüri
: Yrd. Doç. Dr. Yusuf KARAKUŞ
:Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ
:Yrd. Doç. Dr. Ersin KIRAL
Bu çalışmada 2-Normlu Uzaylar, 2-Banach Uzayları ve Sınırlı Lineer 2Fonksiyoneller incelenmiş ve ayrıca Genelleştirilmiş 2-Normlu Uzaylarda HahnBanach Teoremi ele alınmıştır.
Anahtar Kelimeler: 2-Norm, 2-Normlu Uzaylar, 2-Banach Uzayları, Sınırlı Lineer
2-Fonksiyoneller, Hahn-Banach Teoremi
I
ABSTRACT
MSc THESIS
2-NORMED SPACES
Serkan ÖKTEN
ÇUKUROVA UNIVERSITY
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Supervisor : Asst. Prof. Dr. Yusuf KARAKUŞ
Year
: 2010, Pages: 68
Jury
: Asst. Prof. Dr. Yusuf KARAKUŞ
:Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ
:Asst. Prof. Dr. Ersin KIRAL
In this thesis, 2-Norm, 2-Normed Spaces, 2-Banach Spaces and Bounded
Linear 2-Fonctionals were studied and also Hahn-Banach Theorem In Generalized 2Normed Spaces was considered.
Key Words: 2-Norm, 2-Normed Spaces, 2-Banach Spaces, Bounded Linear 2Fonctionals, Hahn-Banach Theorem
II
TEŞEKKÜR
Yüksek lisan çalışmamda hiçbir özveriden kaçınmadan aydınlatıcı fikirleri ile
bu eserin meydana gelmesini sağlayan saygıdeğer hocam, sayın Yrd. Doç. Dr. Yusuf
KARAKUŞ ’a, çalışmamın başlangıç aşamasında kaynak ve yol göstererek desteğini
esirgemeyen hocalarım, sayın Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ ve sayın Yrd. Doç. Dr.
Mehmet AÇIKGÖZ ’e, ve eğitim hayatıma ilk adım attığım günden itibaren
ellerinden gelen hiçbir desteği esirgemeyen sevgili anneme, babama ve tüm aile
fertlerime teker teker sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ ........................................................................................................................ I
ABSTRACT ........................................................................................................ II
TEŞEKKÜR ...................................................................................................... III
İÇİNDEKİLER .............................................................................................. …..V
1.GİRİŞ ............................................................................................................... 1
2.TEMEL TANIM VE TEOEREMLER .............................................................. 3
2.1. Lineer Uzaylar ......................................................................................... 3
2.2. 2-Norm .................................................................................................. 14
3. 2-BANACH UZAYI ...................................................................................... 21
3.1. Cauchy Dizisi ........................................................................................ 21
3.2. 2-Banach Uzayı ..................................................................................... 23
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER .................................................. 33
4.1. Sınırlı Lineer 2-Fonksiyonel .................................................................. 33
5. DİĞER ÇALIŞMALAR ............................................................................... 59
5.1 Genelleştirilmiş 2-Normlu Uzaylarda Hahn-Banach Teoremi ................ 59
KAYNAKLAR .................................................................................................. 67
ÖZGEÇMİŞ ...................................................................................................... 68
IV
1.GİRİŞ
Serkan ÖKTEN
1.GİRİŞ
Bu tezde 2-Norm ve 2-Banach uzayları incelenmiştir. 2-Norm aşağıdaki
şekilde tanımlanır.
X bir vektör uzayı ve ⋅, ⋅ , X × X üzerinde tanımlı reel değerli bir fonksiyon
olsun. x, y , z ∈ X ve α ∈ ¡ olmak üzere,
(2N1): x, y ≥ 0 , x, y = 0 ancak ve ancak x ve y lineer bağımlıysa,
(2N2): x, y = y , x ,
(2N3): α x, y = α x, y ,
(2N4): x, y + z ≤ x, y + x, z ,
koşullarını sağlayan ⋅, ⋅ fonksiyonuna 2-norm ve
( X , ⋅, ⋅ )
ikilisine de 2-normlu
lineer uzay veya 2-normlu vektör uzay yada kısaca 2-normlu uzay denir.
Bu çalışmada Sınırlı Lineer 2-Fonksiyonellerle ilgili teoremler ve sonuçlar
ele alınmıştır.
Diğer çalışmalar kısmında ise Hahn-Banach Teoreminin Genelleştirilmiş 2Normlu uzaylar üzerine uygulanması incelenerek ilgili teoremlere ve sonuca yer
verilmiştir.
1
1.GİRİŞ
Serkan ÖKTEN
2
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Bu çalışmada K, hem ¡ , reel sayılar, hem de £ , kompleks sayılar,
kümelerini ifade etmek için kullanılmıştır. K ’nın elemanları skalerler olarak
adlandırılmıştır.
2.1 Lineer Uzaylar
Tanım 2.1.1: X bir küme ve K bir cisim olsun. X × X ’den X ’e
( x + y ) + z = x + ( y + z ) ( x, y ) → x + y toplama ve (α , y ) → α x skalerle çarpma
fonksiyonları aşağıdaki koşulları sağlarsa o zaman X ’e K cismi üzerinde bir lineer
uzay veya vektör uzay denir.
∀ x, y, z ∈ X ve α , β ∈ K için:
A1 ) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ,
A2 ) x + y = y + x ,
A3 ) ∀ x ∈ X için x + 0 = 0 + x = x olacak biçimde bir 0 ∈ X vardır,
A 4 ) ∀ x ∈ X ve x ≠ 0 için x + ( − x) = ( − x) + x = 0 olacak biçimde bir
( − x) ∈ X vardır,
S1 ) α ( x + y ) = α x + α y ,
S2 ) (α + β )x = α x + β x ,
S3 ) α ( β x) = (αβ ) x ,
S4 ) 1.x = x .
Bir lineer uzay ¡ üzerinde tanımlı ise bir reel vektör uzay ve £ üzerinde
tanımlı ise bir kompleks vektör uzay olarak adlandırılır.
A1 -A 4 özellikleri X ’in toplama altında bir abelian gurup olduğunu gösterir. X
’in elemanlarına noktalar veya vektörler denir. 0 sembolü hem sıfır skaleri hem de 0
vektörünü göstermek için kullanılır. Ayrıca ¡ , £ ’nin bir alt kümesi olduğundan ¡
3
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
üzerindeki bir vektör uzay aynı zamanda £ üzerinde de bir vektör uzay olarak ele
alınabilir.
Örnek 2.1.1: Reel sayıların x = (α1 , α 2 ,..., α n ) biçimli bütün n-lilerinin
kümesi Vn ( ¡ ) ile gösterilsin. Aşağıdaki toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre
Vn ( ¡ ) bir vektör uzayıdır. Bu uzaya n-boyutlu reel öklid uzayı denir:
(α1,...,α n ) + ( β1,..., β n ) = (α1 + β1,...,α n + β n ) ,
γ (α1 ,..., α n ) = (γα1 ,..., γα n ) .
n=1 için V1 ( ¡ ) = ¡ ve V1 ( £ ) = £ dir. Böylece ¡ ve £ kendi üzerlerinde
birer vektör uzayıdır.
Tanımda aşağıdaki özellikler görülür:
1)
∀ x ∈ X için 0 x = 0 ,
2)
∀ α ∈ K için α 0 = 0 ,
3) Sıfır vektör 0 tektir,
4) Her bir x ∈ X için A 4 ’de belirtilen (− x ) elemanı tektir,
5)
∀ x ∈ X için ( −1)x = − x ,
6)
x, y ∈ X iki vektör olsun, x + y = z olacak biçimde tek bir z ∈ X vektörü
vardır.
Örnek 2.1.2: X, boş olmayan bir S kümesinden bir K cismine tanımlı tüm
fonksiyonların kümesi olsun.
( f + g )(t ) = f (t ) + g (t ) , (α f )(t ) = α f (t )
biçiminde tanımlı toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre X, K üzerinde bir
vektör uzayıdır.
Eğer Örnek 2.1.2 ‘de S= {1,..., n} alınırsa, Vn ( ¡ ) ve Vn ( £ ) ‘nin sırasıyla ¡
ve £ üzerinde birer vektör uzayı olduğu görülür. Eğer S= ¥ , tüm pozitif tamsayılar
kümesi, alınırsa X, K ’nın elemanlarının tüm dizilerinin kümesi olur, toplama ve
skalerle çarpma işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanır:
(α n ) + ( β n ) = (α n + β n ) , γ (α n ) = (γα n ) .
4
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
Böylece bu diziler, tanımlanmış olan işlemlerle K üzerinde V∞ ( K ) ile gösterilen bir
vektör uzayı oluşturur.
Eğer Örnek 2.1.2 ‘de, S = {(i, j ) : i = 1,..., m; j = 1,..., n} alınırsa X, K ’daki
tüm m × n matrislerinin kümesi olur. α ij ∈ K iken bir matrisi
 α11 α 21
 2
α1 α 22
i

A = (α j ) =
 M
M
 m
m
 α1 α 2
L α n1 

L α n2 
O M 

L α nm 
biçiminde gösterirsek, X ‘deki toplama ve skalerle çarpma işlemleri aşağıdaki şekilde
ifade edilebilir:
 α11 + β11 α 21 + β 21
 2
α + β12 α 22 + β 22
A + B = (α ij ) + ( β ij ) =  1

M
M
 m
m
m
m
 α1 + β1 α 2 + β 2
L
α n1 + β n1 

L α n2 + β n2 
= (α ij + β ij ) ,

O
M

m
L α n + β nm 
ve
 γα11
 2
γα
i
γ A = γ (α j ) =  n
 M
 m
 γα1
γα 21
γα n2
M
γα 2m
L γα 1n 

L γα n2 
= (γα ij ) .
O
M 

L γα nm 
Böylece tüm m × n matrislerinin kümesi yukarıda ifade edilen işlemlerle, K
üzerinde K nm biçiminde gösterilen bir vektör uzayı olur.
E, K üzerinde tanımlı bir X lineer uzayının bir alt kümesi olsun. x, y ∈ E ve
α , β ∈ K iken α x + β y ∈ E oluyorsa veya eş değer olarak, x + y ∈ E ve α x ∈ E
oluyorsa E ’ye X ’in bir lineer alt uzayı denir. Böylece E ’nin kendisi de K üzerinde
bir vektör uzayıdır. {0} herhangi bir vektör uzayın alt uzayıdır ve trivial lineer uzay
olarak adlandırır.
Tanım 2.1.2: X bir vektör uzayı ve M, X ’in bir alt kümesi olsun. Eğer
herhangi
bir
m0 ∈ M
için
5
M − m0
kümesi,
yani
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
M − m0 = {m − m0 : ∀m ∈ M ve m0 ∈ M } kümesi, X ’in bir lineer alt uzayı ise o
zaman M ’ye X ’de bir lineer manifold denir.
X ’in her bir alt vektör uzayı bir lineer manifolddur.
X, toplama ve skalerle çarpma işlemleri ile [ a, b ] kapalı aralığında tanımlı
tüm reel değerli fonksiyonların kümesi olsun. X, Örnek 2.1.2 ’den dolayı, ¡
üzerinde bir vektör uzaydır. E, X ’in X ‘deki tüm sürekli fonksiyonları içeren bir alt
kümesi olsun. Eğer f ve g sürekli fonksiyonlar, α ve β herhangi iki reel sayı ise
α f + β g süreklidir ve E, X ’in bir alt uzayıdır. Bu uzay C [ a, b ] ile gösterilir.
Verilen bir X vektör uzayı ve X ’in bir E alt uzayı ile aşağıdaki biçimde başka
bir vektör uzayı düzenlenebilir:
X ’de eğer a − b ∈ E ise a ≡ b şeklinde bir bağıntı tanımlanır. Bunun bir
denklik bağıntısı olduğunu görmek oldukça kolaydır. Ayrıca, bu denklik bağıntısı şu
özellikleri sağlar: Eğer a ≡ b ve c ≡ d ise a + c ≡ b + d , ve ∀ α ∈ K için a ≡ b ise
α a ≡ α b dir. Bu denklik bağıntısı X E bölüm kümesi ile gösterilir ve a ‘nın temsil
ettikleri de (a) denklik sınıfı biçiminde ifade edilir. Bu durumda aşağıda tanımlanan
toplama ve skalerle çarpma işlemleri ile X E bir vektör uzayıdır:
( a ) + (b ) = ( a + b ) , α ( a ) = (α a ) .
Her zaman olduğu gibi böyle bir durumda gösterilmesi gereken şey bu tanımların
temsil eden kullanımlarının bağımsız olduğudur, örneğin, eğer (a)=( a′ ) ve (b ) = (b′)
ise ( a ) + (b) = ( a + b) = ( a ′ + b′) = ( a ′) + (b′) olduğu gösterilmelidir.
X E lineer
uzayına X modül E ’nin bölüm uzayı denir.
Tanım 2.1.3: X bir vektör uzayı olsun. ∀x, y ∈ X ve α ∈ K için aşağıdaki
koşulları sağlayan reel değerli x → x fonksiyonuna X üzerinde bir norm denir.
(N1 ) x ≥ 0 ve x = 0 ancak ve ancak x = 0 iken,
(N 2 ) α x = α x ,
(N 3 ) x + y ≤ x + y .
6
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
⋅
Üzerinde
(X,
.
Serkan ÖKTEN
normu ile tanımlı olan X lineer uzayına normlu vektör uzay denir ve
) biçiminde gösterilir.
Örnek 2.1.3: Örnek 2.1.2 ’deki Vn ( ¡ ) ¡ üzerinde bir vektör uzayıdır.
Vn ( ¡ ) üzerinde norm şu şekilde tanımlanır. ∀ x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈Vn ( ¡ ) için
1
 n
2
x = x12 + x22 + ... + xn2 =  ∑ xi2  .
 i =1 
Gerçekten de (N1 ) , (N 2 ) ve (N 3 ) koşulları kolaylıkla doğrulanabilir. Böylece,
(V ( ¡ ) ,
n
) bir normlu vektör uzayıdır.
.
Örnek 2.1.4: Örnek 2.1.2 ’den C [ a, b ] , ¡ üzerinde bir vektör uzayıdır.
f ∈ C [ a, b ] ’nin normu ise aşağıdaki şekilde tanımlanır:
f = max f ( x ) .
x∈C [ a ,b ]
Gerçekten de (N1 ) , (N 2 ) ve (N 3 ) koşulları kolaylıkla doğrulanabilir. Böylece,
( C [ a, b ] ,
.
) bir normlu vektör uzayıdır.
Vektör uzayların normu doğal olarak aşağıdaki gibi tanımlanan bir metrik
meydana getirir:
Tanım 2.1.4: Bir X kümesi üzerinde, aşağıdaki koşulları sağlayan
( x, y ) → d ( x, y )
fonksiyonuna bir metrik (veya bir uzaklık fonksiyonu) denir.
∀x, y, z ∈ X için,
( D1 ) d ( x, y ) ≥ 0 ,
( D2 ) d ( x, y ) = 0
ancak ve ancak x = y ise,
( D3 ) d ( x, y ) = d ( y, x ) ,
( D4 ) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( y, z ) .
7
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
Üzerinde bir d metriği ile birlikte tanımlanan X kümesine metrik uzay denir ve
( X,d )
ile gösterilir.
Örnek 2.1.5: X boş olmayan bir küme ve d reel değerli bir fonksiyon olsun,
0, x = y,
d ( x, y ) = 
1, x ≠ y.
Bu durumda d, X üzerinde bir metriktir, bu metriğe discrete metrik denir.
Örnek 2.1.6: Vn ( ¡ ) ’de, reel değerli bir d fonksiyonu şöyle tanımlansın,
∀ x = ( x1 , x2 ,..., xn ) , y = ( y1 , y2 ,..., yn ) ∈Vn ( ¡ ) için,
d ( x, y ) = max { xi − yi : i = 1, 2,..., n} .
Böylece, (Vn (¡ ), d ) bir metrik uzaydır.
{
}
Örnek 2.1.6: C [ a, b ] ’de d ( f , g ) = max f ( x ) − g ( x ) : x ∈ [ a, b] olsun. Bu
durumda ( C [ a, b ] , d ) bir metrik uzaydır.
Eğer
(X,
.
)
bir normlu vektör uzayı ise, d ( x, y ) = x − y
bir metrik
tanımlar. Böylece bir normlu lineer uzay tanımlanan d metriği ile daima bir metrik
uzay gibi değerlendirilebilir.
Bir metrik uzayda (ve dolayısıyla bir normlu vektör uzayında), dizilerin
yakınsaklığı, Cauchy dizileri ve tamlık aşağıdaki şekilde tanımlanır.
Tanım 2.1.5: { xn } , ( X , d ) metrik uzayında bir dizi olsun. Eğer ∀ε > 0 ve
∀n ≥ N için d ( xn , x ) < ε olacak biçimde bir N = N (ε ) tam sayısı varsa
{ xn }
dizisine, x noktasına yakınsıyor denir.
Tanım 2.1.6: { xn } , ( X , d ) metrik uzayında bir dizi olsun. Eğer ∀ε > 0 ve
∀m , n ≥ N için d ( xn , xm ) < ε olacak biçimde bir N = N ( ε ) tam sayısı varsa { xn }
dizisine bir Cauchy dizisi denir.
Her yakınsak dizi bir Cauchy dizisidir.
8
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
Tanım 2.1.7: X ’deki her bir Cauchy dizisi bir noktaya yakınsıyor ise ( X , d )
metrik uzayına tamdır denir.
Tanım 2.1.8: Eğer bir ( X , .
) normlu lineer uzayı bir metrik uzay gibi tam
ise, buna bir Banach uzayı denir.
(V (¡),
Örnek 2.1.8: Örnek 2.1.3 deki
n
.
)
normlu lineer uzayı aynı
zamanda bir Banach uzayıdır.
Örnek 2.1.9: Örnek 2.1.4 ( C [ a, b ] , .
)
normlu lineer uzayı aynı zamanda
bir Banach uzayıdır.
Tanım 2.1.9: ( X1 , d1 ) ve ( X 2 , d 2 ) iki metrik uzay olsun. X 1 ’den X 2 ’ye
tanımlı f fonksiyonu ∀x, y ∈ X1 için,
d 2 ( f ( x ), f ( y ) ) = d1 ( x, y )
eşitliğini sağlıyor ise f ’e bir izometri denir. Eğer X 1 ’den X 2 ’ye örten bir izometri
var ise ( X1 , d1 ) ve ( X 2 , d 2 ) metrik uzaylarına izometriktirler denir.
İzometrinin bir uygulaması da kimi kümelerde metrik tanımlamak için bir
metot olarak önerilir. ( X 2 , d 2 ) bir metrik uzay, X 1 bir küme ve f, X 1 ’den X 2 ’ye
bire-bir ve örten bir fonksiyon olsun. Eğer ∀x, y ∈ X1 için d1 ( x, y ) = d 2 ( f ( x), f ( y ) )
ise ( X1 , d1 ) bir metrik uzaydır.
Tanım 2.1.10: X bir lineer uzay olsun. X × X ’den K ’ya tanımlı, aşağıdaki
koşulları sağlayan, skaler değerli,
( x, y ) → ( x y )
fonksiyonuna X lineer uzayı
üzerinde bir iç çarpım denir.
∀x, y, z ∈ X ve α ∈ K için, kompleks eşlenik ( x y ) şeklinde gösterilirken,
( I1 ) ( x y ) ≥ 0 , ( x y ) = 0
ancak ve ancak x = 0 ise sağlanabilir,
( I2 ) ( x y ) = ( y x ) ,
( I3 ) ( x + y z ) = ( x z ) + ( y z ) ,
9
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
( I 4 ) (α x y ) = α ( x y ) .
Üzerinde bir ( ⋅ ⋅) iç çarpımı tanımlı olan X vektör uzayına bir iç çarpım uzayı
(
)
(veya pre-Hilbert uzayı) denir ve X , ( ⋅ ⋅) biçiminde gösterilir.
(
)
( x x)
Teorem 2.1.1: Eğer X , ( ⋅ ⋅) bir iç çarpım uzayı ise x =
X üzerinde
bir norm tanımlar.
Teorem 2.1.2: Eğer
(x y) ≤
( X , ( ⋅ ⋅) )
bir iç çarpım uzayı ise ∀x, y ∈ X için
x y dir, eşitlik ancak ve ancak x ve y lineer bağımsız iken sağlanır.
Teorem 2.1.2 ’deki eşitsizlik Schwartz eşitsizliği, Cauchy eşitsizliği, CauchySchwartz eşitsizliği veya Cauchy-Bunyakovski-Schwartz eşitsizliği olarak da bilinir.
(
)
Teorem 2.1.3: Eğer X , ( ⋅ ⋅) bir iç çarpım uzayı ise ( ⋅ ⋅) iç çarpımı X × X
’de sürekli bir fonksiyondur.
Teorem 2.1.1 ’den biliniyor ki bir iç çarpım uzayı, x =
( x x)
şeklinde
tanımlanan norm ile birlikte, bir normlu lineer uzay gibi göz önüne alınabilir. Bu
norm ( ⋅ ⋅) iç çarpımın verdiği norm olarak adlandırılır.
Tanım 2.1.11: Eğer bir iç çarpım uzayı iç çarpımdan elde edilen norma göre
tam ise bu uzay bir Hilbert uzayı olarak adlandırılır.
Örnek 2.1.10: Vn ( ¡ ) vektör uzayında bir iç çarpım, her x = ( x1 , x2 ,K , xn ) ,
y = ( y1 , y2 ,K , yn ) ∈Vn ( ¡ ) için
( I1 ) − ( I 4 )
( x x) = x y
1 1
+ x2 y2 + K + xn yn şeklinde tanımlansın.
koşullarının sağlandığı kolaylıkla görülebilir ve iç çarpımdan aynı Örnek
2.1.3 ’deki gibi bir norm elde edilebilir. Böylece (Vn ( ¡ ) , ⋅
uzayıdır.
10
)
bir reel Hilbert
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
Örnek 2.1.11: C [ a, b ] vektör uzayında, bir iç çarpım, ∀f , g ∈ C [ a, b ] için
b
( f g ) = ∫ f ( x) g ( x)dx
şeklinde tanımlansın. Bu durumda
( C [ a, b ] , (⋅ ⋅ ) )
bir iç
a
çarpım uzayıdır fakat tam değildir ve böylece bir Hilbert uzayı değildir.
Teorem 2.1.4: Eğer
(X,
.
)
normlu vektör uzayı bir iç çarpım uzay ise
norm Paralelkenar Kuralını sağlar, ∀x, y ∈ X için,
(
x+ y + x− y = 2 x + y
2
2
2
2
).
Ayrıca Paralelkenar Kuralı bir normlu lineer uzayda sağlanıyor ise bu uzay
bir iç çarpım uzayıdır.
Tanım 2.1.12: C, bir X vektör uzayının bir alt kümesi olsun. Eğer x, y ∈ C ve
t ∈ [ 0,1] için tx + (1 − t ) ∈ C oluyorsa C ’ye konveks denir.
Tanım 2.1.13: Eğer E, X lineer uzayının bir alt kümesi ise, E ’yi içeren en
küçük A konveks kümesine E ’nin konveks kabuğu denir ve conv E şeklinde
gösterilir.
Teorem 2.1.5: : Eğer E, X lineer uzayının bir alt kümesi ise,
n

conv E =  z : z = ∑ ai xi , ai ≥ 0,

i =1
n
∑a
i =1
i

= 1, xi ∈ E 

dir.
Tanım 2.1.14: X, K üzerinde bir lineer uzay ve E, X ’in bir alt kümesi olsun.
(1) Eğer E = − E = {− x : x ∈ E} ise E ’ye simetriktir denir.
(2) Eğer her x ∈ E için t ≤ t x iken t x ∈ E olacak biçimde bir t x > 0 varsa E
’ye absorbing (veya absorbent) denir.
(3) Eğer tE = {tx : x ∈ X , t ∈ K , t ≤ 1} ⊂ E ise E ’ye balanced denir.
(4) Eğer tE + (1 − t ) E = {tx + (1 − t ) y : x, y ∈ E, t ∈ [ 0,1]} ⊂ E ise E ’ye affine
denir.
11
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
(5) Eğer E = {tx + (1 − t ) y : x, y ∈ E , t ∈ R} ise E ’ye x ve y ’den geçen doğru
denir.
(6) Eğer E = {tx + (1 − t ) y : x, y ∈ E , t ∈ [ 0,1]} ise E ’ye x ve y ’yi birleştiren
doğru parçası denir.
Örnek 2.1.13: X = ¡ 2 = {( x1 , x2 ) : x1 , x2 ∈ ¡} ve E = {( x1 , x2 ) : x12 + x22 = 1}
alınsın. X ’in simetrik ve absorbing olduğu kolaylıkla görülür. Açıkça, E konveks
değildir.
Örnek 2.1.14: X, bir kompakt Hausdorf uzayı ve C ( x ) , X ’deki tüm reel
değerli fonksiyonların kümesi olsun. Bu durumda C ( x ) açıkça konveks ve balanced
olur.
X, K üzerinde bir lineer uzay olsun. X üzerindeki fonksiyonların önemli bir
sınıfı aşağıdaki tanımla ele alınır.
Tanım 2.1.15: Aşağıdaki koşulları sağlayan reel değerli
p: X → ¡
fonksiyonuna yarı-norm denir:
(1) p ( x ) ≥ 0
(2)
p( x + y ) ≤ p( x) + p ( y )
(3) Her x, y ∈ X ve her α ∈ ¡ için p(α x ) = α p( x)
Eğer, p ( x) = 0 ancak ve ancak x = 0 , olursa yarı-norma, norm denir.
Eğer X, K üzerinde bir vektör uzayı ve p, X üzerinde bir yarı-norm ise
B p (0,1) = { x : p ( x) < 1} kümesi açıkça konveks, simetrik, balanced ve absorbing olur.
Aşağıdaki teorem balanced, absorbing ve yarı-norm olan konveks kümeler
arasındaki ilişkiyi verir.
Teorem 2.1.6: X, K üzerinde bir vektör uzayı ve E kümesi X ’in bir alt
kümesi olsun. E kümesi aşağıdaki koşulları sağlasın:
(a) E konveks,
(b) E balanced ve absorbing.
12
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
Bu durumda X üzerindeki pE ( x) = inf {t > 0 : x ∈ tE} şeklinde tanımlı pE fonksiyonu
aşağıdaki özellikleri sağlar.
(1)
pE ( x ) ≥ 0 ,
(2)
pE ( x + y ) = pE ( x) + pE ( y ) ,
(3)
pE (α x) = α pE ( E ) ,
(4)
{ x : pE ( x) < 1} ⊂ E ⊂ { x : pE ( x) ≤ 1}
Tanım 2.1.16: X ≠ ∅ bir küme olsun. X ’in bir alt kümeler topluluğu τ ile
gösterilsin. Eğer τ aşağıdaki koşulları sağlarsa τ ’ya X üzerinde bir topoloji denir.
(1) X ∈ τ , ∅ ∈ τ ,
(2) τ ’nun herhangi bir ailesinin birleşimi yine τ ’dadır,
(3) Eğer O1 ,K , Om ∈τ ise O1 ∩ O2 ∩ K ∩ Om ∈τ
( X ,τ )
ikilisine bir topolojik uzay denir. Kısaca X ’e bir topolojik uzay denir. τ ’nun
elemanlarına ise açık küme denir.
Tanım 2.1.17: Bir x ∈ X için, x ∈ O olacak biçimde O ∈τ kümesini içeren
X ’in herhangi bir alt kümesine x ’in komşuluğu denir. Burada O açık kümeyi
gösterir.
Tanım 2.1.18: X 1 ve X 2 iki topolojik uzay ve f : X 1 → X 2 tanımlı bir
fonksiyon olsun. Eğer f ( x1 ) ’in herhangi bir N 2 komşuluğu için, x1 ∈ N1 iken
f ( x1 ) ∈ N 2 olacak biçimde x1 ’in bir N1 komşuluğu var ise o zaman f fonksiyonu x1
noktasında süreklidir denir.
Tanım 2.1.19: X, K üzerinde bir vektör uzayı olsun. X üzerindeki bir τ
topolojisine göre + : X × X → X ve ⋅ : K × X → X fonksiyonları sürekli ise bu X
uzayına topolojik vektör uzayı veya lineer topolojik uzay denir. Bu koşullar altında
τ ’ya X üzerinde bir lineer topoloji denir.
Tanım 2.1.20: X topolojik vektör uzayı üzerinde bir lineer topoloji alınsın.
Eğer 0 (sıfır) ’ın her komşuluğu 0 ’ın bir konveks komşuluğunu içeriyorsa bu lineer
topolojiye yerel konveks topoloji denir.
13
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
Teorem 2.1.7: Eğer X, K cismi üzerinde bir yerel konveks uzay ise o zaman
X ’in topolojisi, yarı-normların bir ( pi )i∈I ailesi tarafından belirlenir.
2.2 2-Norm
Tanım 2.2.1: X bir vektör uzayı ve ⋅, ⋅ , X × X üzerinde tanımlı reel değerli
bir fonksiyon olsun. x, y , z ∈ X ve α ∈ R olmak üzere,
(2N1): x, y ≥ 0 , x, y = 0 ancak ve ancak x ve y lineer bağımlıysa,
(2N2): x, y = y , x ,
(2N3): α x, y = α x, y ,
(2N4): x, y + z ≤ x, y + x, z ,
koşullarını sağlayan ⋅, ⋅ fonksiyonuna 2-norm ve
( X , ⋅, ⋅ )
ikilisine de 2-normlu
lineer uzay veya 2-normlu vektör uzay yada kısaca 2-normlu uzay denir. ⋅, ⋅
negatif olmayan bir fonksiyondur.
Örnek 2.2.1: X = ¡ 3 ve x = ( x1 , x2 , x3 ) , y = ( y1 , y2 , y3 ) iken X üzerinde 2norm
i
x, y = x × y = det  x1
y
 1
şeklinde tanımlansın. Bu durumda
( X , ⋅, ⋅ )
j
x2
y2
k
x3 
y3 
ikilisinin bir 2-normlu uzaydır.
Gerçekten:
(2N1): x, y ∈ X ve x ile y lineer bağımlı olsun, bu durumda bir k ∈ ¡ için
y = kx olur, yani y = ( y1 , y2 , y3 ) = ( kx1 , kx2 , kx3 ) dir. Böylece,
i
x, y = x × y = det  x1
y
 1
j
x2
y2
k
 i

x3  = det  x1
 kx
y3 
 1
14
j
x2
kx2
k 
x3  = 0
kx3 
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
elde edilir.
Şimdi x, y = 0 olsun. Bu durumda,
i
x, y = x × y = det  x1
y
 1
k
x3  = 0
y3 
j
x2
y2
olduğundan k ∈ ¡ için y = kx olmalıdır. Böylece x ile y lineer bağımlı olurlar.
(2N2): x, y ∈ X olsun,
i
x, y = x × y = det  x1
y
 1
k
x3 
y3 
j
x2
y2
i
= − det  y1
x
 1
i
= det  y1
x
 1
j
y2
x2
k
y3 
x3 
k
y3 
x3 
j
y2
x2
= y × x = y, x .
(2N3): x, y ∈ X ve α ∈ ¡ olsun,
j
k 
 i

α x, y = α x × y = det  α x1 α x2 α x3 
 y
y2
y3 
 1
i
= α det  x1
y
 1
j
x2
y2
k
x3 
y3 
i
= α det  x1
y
 1
j
x2
y2
k
x3 
y3 
15
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
= α x, y .
(2N4): x, y , z ∈ X olsun,
 i
x, y + z = x × ( y + z ) = det  x1
y +z
 1 1
k 
x3 
y3 + z3 
j
x2
y 2 + z2
i
= det  x1
y
 1
j
x2
y2
k
i

x3  + det  x1
z
y3 
 1
i
≤ det  x1
y
 1
j
x2
k
i

x3  + det  x1
z
y3 
 1
y2
j
x2
z2
j
x2
z2
k
x3 
z3 
k
x3 
z3 
≤ x, y + x, z .
( X , ⋅, ⋅ )
Sonuç olarak, (2N1)-(2N4) koşulları sağlandığından,
ikilisi bir 2-
normlu uzaydır.
Örnek 2.2.2: [ 0,1] aralığı üzerinde derecesi ≤ n olan reel polinomların kümesi
Pn ile gösterilsin. Pn bilinen toplama ve skaler ile çarpma işlemleri ile reel sayılar
üzerinde bir lineer vektör uzayıdır.
{ x1 , x2 ,..., x2 n } [ 0,1]
’de ayrık, sabitlenmiş
noktalar olsun ve Pn üzerinde 2-norm,
2n
f , g = ∑ f ( xk ) .g ′ ( xk ) − f ′ ( xk ) .g ( xk )
k =1
biçiminde tanımlansın. Bu durumda
( P , ⋅, ⋅ )
n
ikilisinin bir 2-normlu uzaydır.
Gerçekten:
(2N1): f , g ∈ Pn olsun. f ve g lineer bağımlı ise, g = kf olur. Bu durumda
g ′ = kf ′ dir.
2n
f , g = ∑ f ( xk ) .g ′ ( xk ) − f ′ ( xk ) .g ( xk )
k =1
16
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
2n
= ∑ f ( xk ) .kf ′ ( xk ) − f ′ ( xk ) .kf ( xk ) = 0
k =1
Şimdi f , g = 0 alınsın. g ≠ 0 olsun,
2n
f , g = ∑ f ( xk ) .g ′ ( xk ) − f ′ ( xk ) .g ( xk ) = 0
k =1
olur. Buradan her k = 1, 2,..., 2 n için
f ( xk ) .g ′ ( xk ) − f ′ ( xk ) .g ( xk ) = 0
elde
edilir.
Böylece,
sol
taraf
f ( x ) g ′ ( x ) − f ( x )′ g ( x ) = P ( x )
biçiminde
gösterilirse, P ( x ) polinomunun 2n tane sıfırı (kökü) vardır. Oysa bu polinom 2n-1
inci
f

g
derecedendir.
O
halde P ( x ) = 0
olur.
fg ′ − f ′g = 0 .
Öte
yandan
′ f ′g − fg ′
f
= k (sabit) olur. Buradan f = kg olur ve
= 0 olduğundan
 =
2
g
g

böylece f ile g lineer bağımlı olurlar.
(2N2): f , g ∈ Pn olsun.
2n
f , g = ∑ f ( xk ) .g ′ ( xk ) − f ′ ( xk ) .g ( xk )
k =1
2n
= ∑ − ( f ′ ( xk ) .g ( xk ) − f ( xk ) .g ′ ( xk ) )
k =1
2n
= ∑ g ( xk ) . f ′ ( xk ) − g ′ ( xk ) . f ( xk )
k =1
= g, f
(2N3): f , g ∈ Pn ve α ∈ ¡ olsun.
2n
α f , g = ∑ α f ( xk ) .g ′ ( xk ) − α f ′ ( xk ) . g ( xk )
k =1
2n
= ∑ α ( f ( xk ) .g ′ ( xk ) − f ′ ( xk ) . g ( xk ) )
k =1
=α
2n
∑ ( f ( x ) .g ′ ( x ) − f ′ ( x ) .g ( x ) )
k =1
k
k
17
k
k
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
= α f ,g
(2N4): f , g , h ∈ Pn olsun.
f , g + h = ∑ f ( xk ) . ( g ( xk ) + h ( xk ) )′ − f ′ ( xk ) .( g ( xk ) + h ( xk ) )
2n
k =1
2n
= ∑ f ( xk ) .g ′ ( xk ) + f ( xk ) .h′ ( xk ) − f ′ ( xk ) .g ( xk ) − f ′ ( xk ) .h ( xk )
k =1
2n
= ∑ ( f ( xk ) .g ′ ( xk ) − f ′ ( xk ) .g ( xk ) ) + ( f ( xk ) .h′ ( xk ) − f ′ ( xk ) .h ( xk ) )
k =1
2n
2n
k =1
k =1
≤ ∑ ( f ( xk ) . g ′ ( xk ) − f ′ ( xk ) . g ( xk ) ) + ∑ f ( xk ) .h′ ( xk ) − f ′ ( xk ) .h ( xk )
≤ f , g + f ,h
Sonuç olarak, (2N1)-(2N4) koşulları sağlandığından, ( Pn , ⋅, ⋅
)
ikilisi bir 2-
normlu uzaydır.
Örnek 2.2.3: ( X , ⋅, ⋅
) ikilisi bir 2-normlu uzay olsun,
x, y , z ∈ X için,
x + z , y + z ≤ x, y + y, z + z , x
dir. Bunun gösterilmesi için 2-norm ’un (2N4) özelliğini kullanmak yeterli olacaktır.
x + z , y + z ≤ x, y + z + z , y + z
≤ x, y + x, z + z , y + z , z
= x, y + y , z + z , x
Örnek 2.2.4: X = ¡ 3 olsun. x = ( a1 , b1 , c1 ) , y = ( a2 , b2 , c2 ) X ’in elemanları
iken
x, y = b1c2 − b2 c1 + a1c2 − a2 c1 + a1b2 − a2 b1
biçiminde tanımlanan fonksiyonun bir 2-normdur. Gerçekten:
(2N1): x, y ∈ X olsun. Eğer bazı α reel sayıları için y = α x ise,
x, y = b1 (α c1 ) − (α b1 ) c1 + a1 (α c1 ) − (α a1 ) c1 + a1 (α b1 ) − (α a1 ) b1
= α ( b1c1 − b1c1 ) + α ( a1c1 − a1c1 ) + α ( a1b1 − a1b1 )
= 0.
18
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
Tersine, eğer x, y = 0 ise x ile y ’nin lineer bağımsızlığı gösterilmelidir.
Eğer
x, y = 0 ise b1c2 − b2 c1 + a1c2 − a2c1 + a1b2 − a2b1 = 0 olur. Mutlak değer
negatif olmadığından b1c2 − b2 c1 = 0 , a1c2 − a2c1 = 0 ve a1b2 − a2b1 = 0 olmalıdır. Eğer
c2 ≠ 0 ise a1 = ( c1 c2 ) a2 , b1 = ( c1 c2 ) b2 ve c1 = ( c1 c2 ) c2 olur. Burada α = c1 c2
alınırsa x = α y olur. Eğer c2 = 0 ise cebirsel işlemlerin sonucu olarak ya
x = ( a1 , b1 , 0 ) ve y = ( 0, 0, 0 ) ya da x = ( ( b1 b2 ) a2 , ( b1 b2 ) b2 ,0 ) ve y = ( a2 , b2 , 0 )
olur. Sonuç olarak x ile y lineer bağımlıdır.
(2N2): x, y ∈ X olsun.
x, y = b1c2 − b2 c1 + a1c2 − a2 c1 + a1b2 − a2b1
= b2 c1 − b1c2 + a2 c1 − a1c2 + a2 b1 − a1b2
= y, x .
(2N3): x, y ∈ X ve λ ∈ ¡ olsun.
x, y = b1 ( λ c2 ) − ( λb2 ) c1 + a1 ( λ c2 ) − ( λ a2 ) c1 + a1 ( λ b2 ) − ( λ a2 ) b1
= λ ( b1c2 − b2 c1 ) + λ ( a1c2 − a2c1 ) + λ ( a1b2 − a2b1 )
= λ ( b1c2 − b2 c1 + a1c2 − a2c1 + a1b2 − a2b1 )
= λ x, y .
(2N4): x, y , z ∈ X ve z = ( a3 , b3 , c3 ) olsun.
x, y + z = b1 ( c2 + c3 ) − ( b2 + b3 ) c1 + a1 ( c2 + c3 ) − ( a2 + a3 ) c1
+ a1 ( b2 + b3 ) − ( a2 + a3 ) b1
= ( b1c2 − b2 c1 ) + ( b1c3 − b3 c1 ) + ( a1c2 − a2c1 ) + ( a1c3 − a3 c1 )
+ ( a1b2 − a2b3 ) + ( a1b3 − a3b1 )
≤ b1c2 − b2c1 + b1c3 − b3c1 + a1c2 − a2c1 + a1c3 − a3c1
+ a1b2 − a2b3 + a1b3 − a3b1
= x, z + y , z .
Sonuç olarak, (2N1)-(2N4) koşulları sağlandığından, ( Pn , ⋅, ⋅
normlu uzaydır.
19
)
ikilisi bir 2-
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Serkan ÖKTEN
20
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
3. 2-BANACH UZAYI
3.1 Cauchy Dizisi
Tanım
3.1.1:
{ xn } ,
2-normlu
X
uzayında
bir
dizi olsun.
Eğer
lim xn − xm , y = 0 ve lim xn − xm , z = 0 olacak biçimde X ’de lineer bağımsız iki
m , n →∞
m , n →∞
y ve z vektörü varsa { xn } dizisine y ve z ’ye göre bir Cauchy dizisi denir.
Teorem 3.1.1: X bir 2-normlu vektör uzay olsun.
i)
Eğer { xn } X ’de a ve b ’ye göre bir Cauchy dizisi ise
{ x , a } ve { x , b }
n
n
reel Cauchy dizileridir.
ii)
Eğer { xn } ve
{ yn }
X ’de a ve b ’ye göre Cauchy dizileri ve {α n } bir
reel Cauchy dizisi ise
{ xn + yn }
ve {α n xn } dizileri de X ’de Cauchy
dizileridir.
İspat:
i) (2N4) özelliğinden,
xn , a = ( xn − xm ) + xm , a
≤ xn − xm , a + xm , a
elde edilir. Buradan
xn , a − xm , a ≤ xn − xm , a
olur. Benzer olarak,
xm , a − xn , a ≤ xn − xm , a
veya
− xn − xm , a ≤ xn , a − xm , a
olur. Böylece
21
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
xn , a − xm , a ≤ xn − xm , a
elde edilir. Hipoteze göre { xn } bir Cauchy dizisi olduğundan
xn , a − xm , a ≤ lim xn − xm , a = 0
lim
m , n →∞
olur ve böylece
{ x ,a }
n
m , n →∞
bir reel Cauchy dizisidir. Benzer şekilde
{ x ,b }
n
de bir
reel Cauchy dizisidir.
ii)
( xn + yn ) − ( xm + ym ) , a
= ( xn − xm ) + ( yn − ym ) , a
≤ xn − xm , a + yn − ym , a
bulunur. Burada limite geçildiğinde hipotezden sağ taraf 0 bulunur. Bu yüzden sol
tarafında limiti 0 olur. Benzer işlemlerle
lim
m , n →∞
( xn + yn ) − ( xm + ym ) , b
=0
bulunur. Bu yüzden tanımdan dolayı { xn + yn } dizisi X ’de bir Cauchy dizisidir.
Şimdi {α n xn } dizisini inceleyelim,
α n xn − α m xm , a = (α n xn − α n xm ) + (α n xm − α m xm ) , a
≤ α n xn − α n xm , a + α n xm − α m xm , a
= α n xn − xm , a + α n − α m xm , a
≤ k1 xn − xm , a + k 2 α n − α m
burada
{α n }
ve
{ x ,a }
n
reel Cauchy dizileri olduğundan sınırlıdırlar. Bundan
dolayı önce α n ≤ k1 ve xm , a ≤ k2 yazıldı. Ayrıca, yine Cauchy dizileri olmaları
nedeniyle xn − xm , a → 0 ve α n − α m → 0 olur ve böylece sağ taraf 0 olur. O halde
lim α n xn − α m xm , a = 0
m , n →∞
elde edilir. Benzer olarak,
lim α n xn − α m xm , b = 0
m , n →∞
bulunur. Bu yüzden {α n xn } , X ’de bir Cauchy dizisidir.
22
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
Tanım 3.1.2: { xn } , 2-normlu X uzayında bir dizi olsun. Eğer her y ∈ X için
lim xn − x, y = 0 olacak biçimde bir x ∈ X varsa, { xn } ’e yakınsak dizi denir. Eğer
n →∞
{ xn } , x ’e yakınsıyor ise
xn → x şeklinde yazılır ve { xn } ’in limiti x ’dir denir.
3.2 2-Banach Uzayı
Tanım 3.2.1: Bir lineer 2-normlu uzayda her Cauchy dizisi yakınsak ise bu
uzaya 2-Banach uzayı denir.
Teorem 3.2.1: Herhangi bir 2-normlu X uzayında
i)
xn → x ve yn → y ise xn + yn → x + y dir,
ii)
xn → x ve α n → α ise α n xn → α x dir,
iii)
dimX ≥ 2 , xn → x ve xn → y ise x = y dir.
İspat:
i)
( xn + yn ) − ( x + y ) , a
= ( xn − x ) + ( yn − y ) , a
≤ xn − x, a + yn − y, a → 0.
Böylece xn + yn → x + y olur.
ii)
α n xn − α x, a = α n xn − α n x + α n x − α x, a
≤ α n xn − α n x, a + α n x − α x, a
= α n xn − x, a + α n − α x, a
≤ k xn − x, a + α n − α x, a .
Burada lim xn − x, a = 0 ve lim α n − α = 0 olduğundan eşitsizliğin sol tarafı da 0
n →∞
n →∞
olur. Böylece α n xn → α x olur.
23
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
iii)
x − y, a = ( xn − y ) − ( xn − x ) , a
≤ xn − y, a + − ( xn − x ) , a .
Burada xn → x ve xn → y olduğundan her a ∈ X için x − y, a =0 olur. Böylece
her a ∈ X için x − y ve a lineer bağımlı olurlar. dim X ≥ 2 olduğundan x − y nin
bütün a ∈ X
vektörleriyle lineer bağımsız olabilmesi için tek yol x − y = 0
olmasıdır.
Örnek 3.2.1: ¡ 3 , üç boyutlu Öklid uzayını göstersin. x, y ∈ ¡ 3 olacak
biçimde x = ai + bj + ck ve y = di + ej + fk alalım. ¡ 3 ’de 2-norm,
i
x, y = x × y = det  a
d

j
b
e
k
c 
f 
= ( bf − ce ) i + ( cd − af ) j + ( ae − db ) k
= ( bf − ce ) + ( cd − af

2
)2 + ( ae − db )2 
biçiminde tanımlansın. Bu durumda ( ¡3 , ⋅, ⋅
)
1
2
ikilisinin bir 2-Banach uzayı olduğu
gösterilsin.
Örnek 2.2.1 ’den x, y fonksiyonunun bir 2-norm ve ( E3 , ⋅, ⋅
)
’nin bir 2-
normlu uzay olduğu biliniyor. Şimdi bu 2-normlu uzaydaki her Cauchy dizisinin
yakınsak olduğu gösterilsin.
xn = ani + bn j + cn k
lim
m , n →∞
( xn − xm ) × y
= 0 ve
¡ 3 ’de bir Cauchy dizisi olsun. Böylece ¡ 3 ’de
lim
m , n →∞
( xn − xm ) × z
= 0 olacak biçimde lineer bağımsız
olan y = di + ej + fk ve z = pi + qj + rk vektörleri vardır.
birer Cauchy dizisi oldukları gösterilsin.
24
{an } , {bn }
ve {cn } ’in
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
 i
( xn − xm ) × y = det  an − am
 d

j
bn − bm
e
k 

cn − cm 
f 
=   f ( bn − bm ) − e ( cn − cm )  +  d ( cn − cm ) − f ( an − am ) 

2
2
1
2
2
+ e ( an − am ) − d ( bn − bm )   .

Böylece lim
m , n →∞
( xn − xm ) × y
= 0 ancak ve ancak
α : lim  f ( bn − bm ) − e ( cn − cm )  = 0,
m , n→∞
β : lim  d ( cn − cm ) − f ( an − am )  = 0,
m , n →∞
γ : lim e ( an − am ) − d ( bn − bm )  = 0,
m ,n →∞
olması ile mümkündür.
( xn − xm ) × z
=   r ( bn − bm ) − q ( cn − cm )  +  p ( cn − cm ) − r ( an − am ) 

2
1
2
2
+  q ( an − am ) − p ( bn − bm )   .

Böylece lim
m , n →∞
( xn − xm ) × z
= 0 ancak ve ancak
δ : lim  r ( bn − bm ) − q ( cn − cm )  = 0,
m ,n →∞
ε : lim  p ( cn − cm ) − r ( an − am )  = 0,
m ,n →∞
ζ : lim  q ( an − am ) − p ( bn − bm )  = 0,
m , n→∞
olması ile mümkündür.
δ ’da her iki taraf − f ile çarpılırsa,
lim  − rf ( bn − bm ) + qf ( cn − cm )  = 0
m , n →∞
ve α ’da her iki taraf r ile çarpılırsa,
lim  rf ( bn − bm ) − re ( cn − cm ) = 0
m , n →∞
elde edilir. Taraf tarafa toplanırsa,
lim ( qf − re )( cn − cm ) = 0
m , n →∞
25
2
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
bulunur.
β ’da her iki taraf r ile çarpılırsa,
lim  rd ( cn − cm ) − rf ( an − am ) = 0
m , n →∞
ve ε ’da her iki taraf − f ile çarpılırsa,
lim  − pf ( cn − cm ) + rf ( an − am ) = 0
m , n →∞
elde edilir. Bu son ikisinin taraf tarafa toplanmasıyla,
lim ( rd − pf )( cn − cm )  = 0
m , n →∞
bulunur.
Şimdi {cn } ’in bir Cauchy dizisi olmadığı varsayılsın. Bu durumda qf = re
ve rd = pf olur, buradan
r q p
= =
olur ki bu durum, x ile y lineer bağımsız
f e d
olduğundan imkansızdır. Sonuç olarak {cn } bir Cauchy dizisidir.
Benzer yaklaşım ve işlemlerle {an } ve {bn } de birer Cauchy dizileridir.
Reel sayıların tamlığından dolayı lim an = a , lim bn = b ve lim cn = c olacak
n →∞
n →∞
n →∞
biçimde a, b ve c reel sayıları vardır.
x = ai + bj + ck alalım. xn → x olsun. w = si + tj + uk ¡ 3 ’ün bir elemanı
olsun.
j
k 
 i

lim ( xn − x ) × w = lim det  an − a bn − b cn − c 
n →∞
n →∞
 s
t
u 

= lim  u ( bn − b ) − t ( cn − c )  +  s ( cn − c ) − u ( an − a ) 
n →∞ 
2
2
+ t ( an − a ) − s ( bn − b )  

1
2
=0
olur. Çünkü lim an = a , lim bn = b ve lim cn = c dir. Böylece ( ¡3 , ⋅, ⋅
n →∞
n →∞
n →∞
uzayıdır.
26
2
) bir 2-Banach
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
Örnek 3.2.3: Rasyonel sayılar üzerinde, tüm katsayıları rasyonel olan, üç
Q 3 ’de ⋅, ⋅ ’u Örnek 3.2.1 ’deki gibi
boyutlu Öklid vektör uzayı Q 3 olsun.
n
tanımlansın. xn = ∑10
k =0
− k ( k +1)
2
i alınsın. xn − xm , i = 0 dır. Gerçekten n > m için,
n
xn − xm = ∑ 10
− k ( k +1)
2
k =0
− k ( k +1)
2
i
k =0
n
∑ 10
=
m
i − ∑ 10
− k ( k +1)
2
i
k = m +1
o halde,
xn − xm =
n
∑
10
− k ( k +1)
2
k = m +1
olur.Böylece,
i

 n
− k ( k +1)
xn − xm , i = det  ∑ 10 2
 k = m +1


1

j k

0 0  = 0.


0 0 
Bu yüzden lim xn − xm , i = 0 dır.
n , m →∞
i

 n
− k ( k +1)
xn − xm , j = det  ∑ 10 2
 k = m+1


0

j k

0 0


1 0 
− k ( k +1)
 n

=  ∑ 10 2  .k = xn − xm k = xn − xm
 k =m +1



o halde,
lim xn − xm , j = lim xn − xm = lim
n , m →∞
n , m →∞
n , m →∞
= lim 10
−( m +1)( m + 2 )
2
n , m →∞
27
n
∑
10
− k ( k +1)
2
k = m +1
+ K + 10
− n( n +1)
2
=0
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
olur. Böylece lim xn − xm , j = 0 elde edilmiş oldu. i ve j Q 3 ’de lineer bağımsız
n , m →∞
olduğundan
{ xn }
Q 3 ’de bir Cauchy dizisi olur. Varsayılsın ki xn → x olacak
biçimde bir x = ai + bj + ck ∈ Q 3 olsun. Böylece lim xn − x, j = 0 olur, çünkü
n , m →∞
i
j
k 

 n − k ( k +1)


2
lim xn − x, j = lim det ∑ 10
− a −b −c 
 k =0

n →∞
n →∞




0
1
0


1
2
  n − k ( k +1)
2

2
= lim   ∑ 10 2 − a  + c  = 0

n →∞  


  k =0

n
dır. Burada açıkça c = 0 olmalıdır. Böylece lim ∑ 10
n →∞
n
∑10
− k ( k +1)
2
= 1+
k =0
− k ( k +1)
2
= a olur. Buradan,
k =0
1
1
+ 3 +K+
10 10
1
10
n ( n +1)
2
n

yazıldığında açıkça görülür ki ∑ 10 − k ( k +1)  dizisi reel sayılarda bir irrasyonel sayıya
 k =0

yakınsar. Bu durumda a bir irrasyonel sayı olmalıdır. Q 3 rasyonel sayılar üzerinde
tanımlandığından bu durum imkansızdır. Böylece Q 3 bir 2-Banach uzayı değildir.
Gähler (1964) göstermiştir ki, B, bazı {e1 , e2 } olan bir 2-normlu vektör uzayı
ise a, b ∈ B için a = α1e1 + α 2e2 ve b = β1e1 + β 2 e2 iken 2-normun,
a, b = α1β 2 − α 2 β1 . e1 , e2
(*)
biçiminde tanımlanır.
Teorem 3.2.2: Üzerinde tanımlandığı cisim tam olan 2 boyutlu her 2-normlu
vektör uzayı bir 2-Banach uzayıdır.
İspat: B, bazı {e1 , e2 } olan bir 2-normlu vektör uzayı olsun. { xn } B ’de bir
Cauchy dizisi olsun. Böylece B ’de lim xn − xm , a = 0 ve
m , n →∞
28
lim xn − xm , b = 0
m , n →∞
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
olacak biçimde lineer bağımsız a ve b vektörleri vardır. xn = xn1e1 + xn 2 e2 ,
a = a1e1 + a2 e2 ve b = b1e1 + b2e2 olsun. Böylece (*) ’dan,
xn − xm , a = ( xn1 − xm1 ) e1 + ( xn 2 − xm 2 ) e2 , a1e1 + a2 e2
= a2 ( xn1 − xm1 ) − a1 ( xn 2 − xm 2 ) . e1 , e2
olur. Benzer olarak yine (*) ’dan,
xn − xm , b = b2 ( xn1 − xm1 ) − b1 ( xn 2 − xm 2 ) . e1 , e2
yazılır. Bu ifadelerde e1 ile e2 lineer bağımsız olduklarından e1 , e2 ≠ 0 dır. Böylece,
lim a2 ( xn1 − xm1 ) − a1 ( xn 2 − xm 2 ) = 0
m , n →∞
ve
lim b2 ( xn1 − xm1 ) − b1 ( xn 2 − xm 2 ) = 0
m , n →∞
elde edilir. Burada,
lim  a2 ( xn1 − xm1 ) − a1 ( xn 2 − xm 2 ) = 0
m , n →∞
ve
lim b2 ( xn1 − xm1 ) − b1 ( xn 2 − xm 2 )  = 0
m , n →∞
olur. Birinci eşitlik b2 ile çarpılırsa,
lim  a2b2 ( xn1 − xm1 ) − a1b2 ( xn 2 − xm 2 ) = 0
m , n →∞
ve ikinci eşitlik de − a2 ile çarpılırsa,
lim  − a2b2 ( xn1 − xm1 ) + a2b1 ( xn 2 − xm 2 )  = 0
m , n →∞
elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tafra toplandığında,
lim ( a2b1 − a1b2 )( xn 2 − xm 2 ) = 0
m , n →∞
29
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
olur. Burada a2b1 − a1b2 = 0 olması halinde
a1 b1
olacaktır ki bu durum a ile b ’nin
=
a2 b2
lineer bağımsız olmasından dolayı imkansızdır. Bu durumda
lim xn 2 − xm 2 = 0
m , n →∞
olacaktır ve bundan dolayı { xn 2 } bir reel Cauchy dizisidir. Ayrıca,
lim  a2 ( xn1 − xm1 ) − a1 ( xn 2 − xm 2 ) = 0
m , n →∞
ve
lim b2 ( xn1 − xm1 ) − b1 ( xn 2 − xm 2 )  = 0
m , n →∞
eşitliklerinde, birinci eşitlik b1 ile çarpılırsa,
lim  a2b1 ( xn1 − xm1 ) − a1b1 ( xn 2 − xm 2 )  = 0
m , n →∞
ve ikinci eşitlik de − a1 ile çarpılırsa,
lim  − a1b2 ( xn1 − xm1 ) + a1b1 ( xn 2 − xm 2 ) = 0
m , n →∞
elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tafra toplandığında,
lim ( a2b1 − a1b2 )( xn1 − xm1 ) = 0
m , n →∞
olur. Burada a2b1 − a1b2 ≠ 0 olduğundan
lim xn1 − xm1 = 0 olacaktır ve bundan
m , n →∞
dolayı { xn1} de bir reel Cauchy dizisidir.
{ xn1}
ve { xn 2 } reel Cauchy dizileri olduklarından lim xn1 = y1 ve lim xn 2 = y2
n →∞
n →∞
olacak biçimde y1 ve y2 reel sayıları vardır. x = y1e1 + y2 e2 olsun. xn → x olduğunu
varsayalım. c = c1e1 + c2 e2 B ’nin bir elemanı olsun. Böylece (*) kullanılırsa,
lim xn − x, c = lim ( xn1 − y1 ) e1 + ( xn 2 − y2 ) e2 , c1e1 + c2 e2
n →∞
n →∞
= lim c2 ( xn1 − y1 ) − c1 ( xn 2 − y2 ) . e1 , e2
n →∞
olur. Burada lim xn1 = y1 ve lim xn 2 = y2 olduğundan dolayı lim xn − x, c = 0 olur.
n →∞
n →∞
n →∞
Böylece xn → x olur. Bu durumda B bir 2-Banach uzayıdır.
30
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
Teorem 3.2.3: B, bir 2-normlu vektör uzayı olsun. Eğer lim xn − xm , d = 0
m , n →∞
ise, o zaman
{x
n
− x, d
} dizisi her
x ∈ B için yakınsak bir dizidir.
İspat:
xn − x, d = xn − xm + xm − x, d
≤ xn − xm , d + xm − x, d
olur ve buradan,
xn − x, d − xm − x, d ≤ xn − xm , d
( ∗1 )
elde edilir. Benzer olarak,
xm − x, d − xn − x, d ≤ xn − xm , d
veya
− xn − xm , d ≤ xn − x, d − xm − x, d
( ∗2 )
olur ve böylece ( *1 ) ve ( *2 ) ’den,
xn − x, d − xm − x, d
≤ xn − xm , d
bulunur. Burada lim xn − xm , d = 0 olduğundan,
m , n →∞
xn − x, d − xm − x, d = 0
lim
m , n →∞
olur. Bunun sonucu olarak
yüzden
{x
n
− x, d
{x
n
− x, d
}
dizisi bir gerçel Cauchy dizisi olur ve bu
} dizisi yakınsak bir dizidir. Bu yakınsaklık
x ’den bağımsızdır.
Teorem 3.2.4: Eğer lim xn − x, d = 0 ise lim xn , d = x, d dir.
n →∞
n →∞
İspat:
xn , d = xn − x + x, d
≤ xn − x, d + x, d
olur ve buradan,
xn , d − x, d ≤ xn − x, d
elde edilir. Benzer olarak,
31
(*)
3. 2-BANACH UZAYI
Serkan ÖKTEN
x, d − xn , d ≤ xn − x, d
veya
− xn − x, d ≤ xn , d − x, d
(** )
bulunur. Böylece (*) ve (** ) ’dan,
xn , d − x, d
≤ xn − x, d
elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafının limiti alındığında, lim xn − x, d = 0
n →∞
olduğundan,
lim
n →∞
olur. Böylece lim xn , d = x, d
n →∞
xn , d − x, d
=0
bulunur. Ek olarak eğer hipotezde d = x alınırsa
lim xn , x = x, x = 0 olduğu görülür.
n →∞
32
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
4.1 Sınırlı Lineer 2-Fonksiyonel
Tanım 4.1.1: A ve C, 2-normlu bir vektör uzayının lineer manifoldları olsun
Tanım kümesi A × C olan reel değerli bir fonksiyona bir 2-fonksiyonel denir.
Tanım 4.1.2: F, tanım kümesi A × C olan bir 2-fonksiyonel olsun. Eğer F,
i)
F ( a + c, b + d ) = F ( a, b ) + F ( a, d ) + F ( c, b ) + F ( c, d ) ,
ii)
α , β cismin elemanları olmak üzere F (α a, β b ) = αβ F ( a, b ) ,
koşullarını sağlıyorsa F ’ye bir lineer 2-fonksiyonel denir.
Tanım 4.1.3: F, tanım kümesi D ( F ) olan bir lineer 2-fonksiyonel olsun. Her
( a, b ) ∈ D ( F )
için F ( a, b ) ≤ K a, b olacak biçimde bir K reel sayısı var ise F ’ye
sınırlıdır denir. Eğer F sınırlı ise F ’nin normu,
{
}
F = inf K : F ( a, b ) ≤ K a, b , ∀ ( a, b ) ∈ D ( F )
biçiminde tanımlanır. Eğer F sınırlı değil ise F = +∞ biçiminde tanımlanır.
Örnek 4.1.1: B, bazı
{e1 , e2 }
olan bir 2-normlu vektör uzayı olsun.
a = α1e1 + α 2 e2 ve b = β1e1 + β 2e2 iken F ( a, b ) = α1β 2 − α 2 β1 biçiminde tanımlansın.
Ayrıca c = v1e1 + v2 e2 ve d = δ1e1 + δ 2 e2 olsun.
F ( a + c, b + d ) = (α1 + v1 )( β 2 + δ 2 ) − (α 2 + v2 )( β1 + δ1 )
= α1β 2 + α1δ 2 + v1β 2 + v1δ 2 − α 2 β1 − α 2δ1 − v2 β1 − v2δ1
= (α1 β 2 − α 2 β1 ) + (α1δ 2 − α 2δ1 ) + ( v1β 2 − v2 β1 ) + ( v1δ 2 − v2δ1 )
= F ( a, b ) + F ( a, d ) + F ( c, b ) + F ( c, d )
dir.
F (α a, β b ) = αα1ββ 2 − αα 2 ββ1
= αβ (α1β 2 − α 2 β1 )
= αβ F ( a, b )
33
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
dir. Böylece F, bir lineer 2-fonksiyoneldir.
Bazı {e1 , e2 } olan bir 2-normlu vektör uzayında 2-norm,
a, b = α1β 2 − α 2 β1 . e1 , e2
biçiminde olduğu bilinmektedir. Buradan,
α1β 2 − α 2 β1 =
1
a, b
e1 , e2
olur ve
F ( a, b ) = α1β 2 − α 2 β1
eşitliğinde yerine yazılırsa
1
a, b
e1 , e2
F ( a, b ) =
elde edilir. K ≥
1
olduğundan F, sınırlı bir lineer 2-fonksiyoneldir.
e1 , e2
Örnek 4.1.2: ( E3 , ⋅, ⋅
)
Örnek 3.2.1 ’de tanımlanan 2-Banach uzayı olsun.
F ( x, y ) = x g y biçimine tanımlansın. Burada g , vektör analizindeki skaler çarpımı
göstermektedir. F bir sınırsız lineer 2-fonksiyoneldir. Gerçekten:
F ( a + c, b + d ) = ( a + c )g( b + d )
= agb + a gd + cgb + cg d
= F ( a, b ) + F ( a, d ) + F ( c, b ) + F ( c, d )
dir.
F (α a, β b ) = α ag β b
= αβ ( agb )
= αβ F ( a, b )
dir.
x = ai + bj + ck
ve
F ( x, y ) = ad + be + cf
y = di + ej + fk
dir.
için
xg y = ad + be + cf
x, y = x × y = ( bf − ce ) + ( cd − af

2
34
dir. Buradan
)
1
2
2
+ ( ae − db )  2

4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
olduğundan sınırlılık sağlanacak biçimde bir K ≥ 0 sayısı bulunamaz. a , a ’nın
(
uzunluğunu gösteriyor iken G ( x, y ) = x y − xg y
2
2
a b − agb = a × b
2
2
2
)
1
2 2
biçiminde tanımlanan G ise
2
olduğundan dolayı bir sınırlı lineer 2-fonksiyoneldir. Gerçekten:
G ( x, y ) = x y − xy
2
2
= (a + b + c
2
2
2
1
2 2
)( d
2
+e + f
2
2
) − ( ad + be + cf )
1
2 2
= a 2 d 2 + a 2 e 2 + a 2 f 2 + b 2 d 2 + b 2 e 2 + b 2 f 2 + c 2 d 2 + c 2 e2 + c 2 f 2
− a d − b e − c f − 2adbe − 2adcf − 2becf
2
2
2 2
2
2
1
2
= a 2 e 2 + a 2 f 2 + b 2 d 2 + b 2 f 2 + c 2 d 2 + c 2 e2 − 2adbe − 2adcf − 2becf
1
2
dir.
2
x, y = x × y = ( bf − ce ) + ( cd − af

)
1
2
+ ( ae − db )  2

2
1
= b 2 f 2 + c 2 e 2 − 2bfce + c 2 d 2 + a 2 f 2 − 2cdaf + a 2 e 2 + d 2b 2 − 2aedb  2
dir. Böylece G ( x, y ) = x, y = 1. x, y olup K = 1 dir.
Lemma 4.1.1: Eğer F, bir sınırlı lineer 2-fonksiyonel ve ( a, b ) ∈ D ( F ) iken
a ile b lineer bağımlı ise F ( a, b ) = 0 dır.
İspat: F sınırlı olduğundan her ( x, y ) ∈ D ( F ) için F ( x, y ) ≤ F x, y dir. a
ile b lineer bağımlı olduğundan a, b = 0 dir. Böylece
F ( a, b ) ≤ F .0 = 0
olur. Böylece F ( a, b ) = 0 olarak bulunur.
Teorem 4.1.1: F, tanım kümesi D ( F ) olan bir sınırlı lineer 2-fonksiyonel
olsun.
35
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
{
}
F = sup F ( x, y ) : x, y = 1, ( x, y ) ∈ D ( F )
 F ( x, y )

= sup 
: x, y ≠ 0, ( x, y ) ∈ D ( F )
 x, y

dir.
{
}
İspat: A = sup F ( x, y ) : x, y = 1, ( x, y ) ∈ D ( F ) olsun. Her ( x, y ) ∈ D ( F )
için,
F ( x, y ) ≤ F x, y
olduğundan
A≤ F
(*)
olur. Varsayalım x, y ≠ 0 olsun. Burada,
x
, y =1
x, y
olduğundan
 x

F 
, y  ≤ A
 x, y

dir. Böylece her
( x, y ) ∈ D ( F )
için
x, y ≠ 0 iken F ( x, y ) ≤ A x, y
dir. Eğer
x, y = 0 ise tanımdan dolayı x ile y lineer bağımlıdır ve Lemma 4.1.1 ’den dolayı
F ( x, y ) = 0 olur. Böylece her ( x, y ) ∈ D ( F ) için F ( x, y ) ≤ A x, y dir ve buradan
F ≤A
(** )
dır. O zaman (*) ve (** ) ’dan F = A bulunur.
 F ( x, y )

C = sup 
: x, y ≠ 0, ( x, y ) ∈ D ( F )  olsun. F ’in tanımından, her
 x, y

( x, y ) ∈ D ( F )
için x, y ≠ 0 iken
36
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
F ( x, y )
x, y
Serkan ÖKTEN
≤ F
dir. Böylece her iki tarafın sup ’u alındığında
C≤ F
( *1 )
elde edilir. Lemma 4.1.1 ve C ’nin tanımından her
( x, y ) ∈ D ( F )
için
F ( x, y ) ≤ C x, y olur. Böylece
F ≤C
( *2 )
dir. O halde ( *1 ) ve ( *2 ) ’den F = C olur. Sonuç olarak F = A = C bulunur.
Tanım 4.1.4: F, bir lineer 2-fonksiyonel ve ( a, b ) ∈ D ( F ) olsun. Verilen bir
ε > 0 için a − c, b < δ ve c, b − d < δ veya a − c, d < δ ve a, b − d < δ iken
F ( a, b ) − F ( c, d ) < ε olacak biçimde bir δ > 0 var ise F,
( a, b )
’de süreklidir
denir. Eğer F tanım kümesinin her bir noktasında sürekli ise F süreklidir denir.
Teorem 4.1.2: ⋅, ⋅ bir sürekli 2-fonksiyoneldir.
İspat:
a, b = ( a − c ) + c, b
≤ a − c, b + c, b
= a − c, b + c, ( b − d ) + d
≤ a − c, b + c, b − d + c, d
olur. Buradan
a, b − c, d ≤ a − c, b + c, b − d
elde edilir. Ayrıca
c, d = c, ( d − b ) + b
≤ c, d − b + c, b
= c, d − b + ( c − a ) + a, b
≤ c, d − b + c − a, b + a, b
37
(*)
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
olur. Buradan ise
c, d − a, b ≤ a − c, b + c, b − d
elde edilir. Bu ifade düzenlenir ise
a, b − c, d ≥ −  a − c, b + c, b − d 
(**)
olur. Böylece (*) ile (**) ’dan ve mutlak değer tanımından
a, b − c, d
bulunur. Şimdi
c, b − d < δ =
ε >0
verildiğinde
≤ c, b − d + a − c, b
δ=
ε
2
seçilirse Tanım 4.1.4 ’e göre
ε
ε
ve a − c, b < δ = iken
2
2
a, b − c, d ≤
ε ε
+ =ε
2 2
bulunur. Böylece ⋅, ⋅ süreklidir.
Teorem 4.1.3: F, tanım kümesi D ( F ) olan bir lineer 2-fonksiyonel olsun.
Eğer F, ( 0, 0 ) ’da sürekli ise D ( F ) ’in her noktasında süreklidir.
İspat: F lineer olduğundan F ( 0, 0 ) = 0 dır. F, ( 0, 0 ) ’da sürekli olduğundan
herhangi bir
F ( c, d ) <
( c, d ) ∈ D ( F )
için verilen bir ε > 0 sayısı için
c, d < δ
iken
ε
olacak biçimde bir δ > 0 vardır. ( a, b ) ∈ D ( F ) olsun. Bu durumda
2
a − x, b < δ ve x, b − y < δ iken
F ( a, b ) − F ( x, y ) = F ( a, b ) − F ( x, b ) + F ( x, b ) − F ( x, y )
≤ F ( a, b ) − F ( x, b ) + F ( x, b ) − F ( x, y )
= F ( a − x, b ) + F ( x, b − y )
≤
ε ε
+ =ε
2 2
olur. Böylece F, ( a, b ) ’de süreklidir.
38
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
Teorem 4.1.4: F bir lineer 2-fonksiyonel olsun. F süreklidir ancak ve ancak F
sınırlıdır.
İspat: F ’in sürekli olduğu kabul edilsin. Bu durumda ( a, b ) ∈ D ( F ) için
a, b < δ iken F ( a, b ) < 1 olacak biçimde bir δ > 0 vardır. ( c, d ) ∈ D ( F ) için c ve
 c δ 
d lineer bağımsız iken 
, d  ele alınsın.
 c, d 2 
c δ
1 δ
δ
,d =
c, d =
2
c, d 2
c, d 2
 c δ 
2
olur. Böylece F 
, d  < 1 dir. Buradan F ( c, d ) < c, d olur. Bu durumda
 c, d 2 
δ


a, b < δ n iken F ( a, b ) <
1
olacak biçimde bir δ n vardır. c ile d lineer bağımlı ise
n
c, d = 0 < δ n olur ve böylece F ( c, d ) = 0 dır. Böylece F sınırlıdır.
F ’in sınırlı olduğu kabul edilsin. Her
( x, y ) ∈ D ( F )
için F ( x, y ) < K x, y
olacak biçimde bir K ≥ 0 sayısı vardır. Verilen bir ε > 0 için δ =
ε
olsun.
K +1
x, y < δ iken
F ( x, y ) ≤ K x, y < K
ε
<ε
K +1
dir. Böylece F, ( 0, 0 ) ’da süreklidir ve Teorem 4.1.3 ’den dolayı F süreklidir.
Tanım 4.1.5: B, bir 2-Banach uzayı ve B* , tanım kümesi B × B olan tüm
sınırlı lineer 2-fonksiyonellerin kümesi olsun. F , G ∈ B* için:
i)
Her ( a, b ) ∈ B × B için F ( a, b ) = G ( a, b ) ise F = G dir,
ii)
( F + G )( a, b ) = F ( a, b ) + G ( a, b ) ,
iii)
(α F )( a, b ) = α F ( a, b ) ,
olarak tanımlanır.
39
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
Teorem 4.1.5: Tanım 4.1.3 ve Tanım 4.1.5 ’e göre ( B* , .
) Banach
uzayıdır.
İspat:
( F + G )( a + c, b + d ) = F ( a + c, b + d ) + G ( a + c, b + d )
= F ( a, b ) + F ( a, d ) + F ( c, b ) + F ( c, d )
+ G ( a, b ) + G ( a, d ) + G ( c, b ) + G ( c, d )
= ( F ( a, b ) + G ( a , b ) ) + ( F ( a , d ) + G ( a , d ) )
( F + G )(α a, β b ) = F (α a, β b ) + G (α a, β b )
= αβ F ( a, b ) + αβ G ( a, b )
= αβ ( F ( a, b ) + G ( a, b ) )
= αβ ( F + G )( a, b )
ve
( F + G )( a, b ) = F ( a, b ) + G ( a, b )
≤ F ( a , b ) + G ( a, b )
≤ F a, b + G a , b
=( F + G
) a, b .
O halde F + G ∈ B* ve F + G ≤ F + G dir. Benzer olarak α F ∈ B* dır. Böylece
B* bir vektör uzayıdır. . , B* üzerinde bir norm tanımlar çünkü:
1) Eğer F = 0 ise F = 0 , eğer F = 0 ise F = 0 dır.
{ Fn } ,
2)
αF = α F .
3)
F +G ≤ F + G .
B* ’da bir Cauchy dizisi olsun. Böylece
lim Fn − Fm = 0
m , n →∞
ve
Fn ( a, b ) − Fm ( a, b ) ≤ Fn − Fm a, b
40
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
dir. O zaman her ( a, b ) ∈ B × B için { Fn ( a, b )} bir reel Cauchy dizisidir.
F ( a, b ) = lim Fn ( a, b ) biçiminde tanımlansın.
n →∞
F ( a + c, b + d ) = lim Fn ( a + c, b + d )
n →∞
= lim Fn ( a + c, b + d )
n →∞
= lim  Fn ( a, b ) + Fn ( a, d ) + Fn ( c, b ) + Fn ( c, d ) 
n →∞
= lim Fn ( a, b ) + lim Fn ( a, d ) + lim Fn ( c, b ) + lim Fn ( c, d )
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
= F ( a, b ) + F ( a, d ) + F ( c, b ) + F ( c, d ) .
Ayrıca,
F (α a, β b ) = lim Fn (α a, β b )
n →∞
= lim αβ Fn ( a, b )
n →∞
= αβ lim Fn ( a, b )
n →∞
= αβ F ( a, b ) .
Bu yüzden F, bir lineer 2-fonksiyoneldir.
Fn − Fm ≤ Fn − Fm
olduğundan
{F }
n
bir reel Cauchy dizisidir. Bu durumda
{ F } sınırlıdır. Böylece
n
her n için Fn ≤ K olacak biçimde bir K reel sayısı vardır.
F ( a, b ) = lim Fn ( a, b )
n →∞
= lim Fn ( a, b )
n→∞
≤ lim Fn
n →∞
( a, b )
≤ K ( a, b )
bulunur. O zaman F ∈ B* olur. Varsayalım a, b ≠ 0 olsun. Verilen bir ε > 0 için
m, n > N iken
Fm − Fn < ε olacak biçimde bir N sayısı vardır. Bu yüzden, her
m, n > N için
41
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
Fm ( a, b ) − Fn ( a, b ) ≤ Fm − Fn a, b
≤ a, b ε
olur. F ( a, b ) = lim Fn ( a, b ) olduğundan
n →∞
FM ( a, b ) − F ( a, b ) < ε a, b
olacak biçimde bir M = M ( a, b ) > N sayısı vardır. Bu yüzden her n > N için
Fn ( a, b ) − F ( a, b ) ≤ Fn ( a, b ) − FM ( a, b ) + FM ( a, b ) − F ( a, b )
≤ ε a, b + ε a, b
= 2 a, b ε
dur. Eğer a, b = 0 ise a ile b lineer bağımlı olacağından Lemma 4.1.1 ’den
Fn ( a, b ) = 0 = F ( a, b )
olur ve böylece
Fn ( a, b ) − F ( a, b ) ≤ 2 a, b ε
olur. Sonuç olarak her ( a, b ) ∈ D ( F ) ve her n > N için
Fn ( a, b ) − F ( a, b ) ≤ 2 a, b ε
dir. Bu yüzden
Fn ( a, b ) − F ( a, b ) ≤ Fn − F a, b ≤ 2 a, b ε
bulunur. Buradan her n > N için Fn − F ≤ 2ε dur. Böylece ( B* , .
)
bir Banach
uzayıdır.
Sıradaki teorem, “ B* lineer bağımlılığa göre bir 2-Banach uzayıdır”
ifadesinin anlamını açıklayacaktır. Burada B* , bir 2-Banach uzayı olmanın, F ve G
lineer bağımlı iken F , G = 0 koşulu hariç, tüm koşullarını sağlar. Başka deyişle F
ve G lineer bağımlı olmasına rağmen F , G ≠ 0 olabilir.
42
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
Teorem 4.1.6: ( B* , ⋅, ⋅ ) , lineer bağımlılığa göre, F , G = F G iken bir 2Banach uzayıdır.
İspat: Teorem 4.1.5 ’den B* ’ın bir vektör uzayı olduğu biliniyor. ⋅, ⋅
fonksiyonu, B* üzerinde lineer bağımlılığa göre bir 2-norm tanımlar çünkü:
1) Eğer
F , G = 0 ise F = 0 veya G = 0 dır; böylece F ve G lineer
bağımlıdır. Fakat F = 0 veya α = 0 olmadıkça F , α F sıfır olamaz.
2)
F , G = F G = G F = G, F .
3)
F ,α G = F α G = F
α
G = α F,G .
4) Teorem 4.1.5 ’den G + H ≤ G + H . Böylece,
F,G + H = F G + H
≤ F
(G
+ H
)
= F G + F H
= F,G + F, H .
{ Fn } , ( B* , ⋅, ⋅ )
’da
bir
Cauchy
dizisi
olsun.
Böylece
B*
’da
lim Fn − Fm , G = 0 ve lim Fn − Fm , H = 0 olacak biçimde lineer bağımsız G ve
m , n →∞
m , n →∞
H elemanları vardır. Teorem 4.1.5 ’deki aynı yaklaşımlarla, { Fn } , ( B* , .
yakınsak dizidir ve bundan dolayı
( B , ⋅, ⋅ )
*
) ’de bir
uzayında da yakınsaktır. Böylece
( B , ⋅, ⋅ ) , lineer bağımlılığa göre bir 2-Banach uzayıdır.
*
Eğer
( B , ⋅, ⋅ ) ,
bağımsız iken
zaman ( B* , ⋅, ⋅
*
F ile G lineer bağımlı iken F , G = 0 ve F ile G lineer
F,G = F G
olacak biçimde yeniden tanımlanacak olursa, o
) uzayı,
F,G + H ≤ F,G + F, H
43
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
özelliği, F ile G lineer bağımlı ve F ile H lineer bağımsız olması koşullarının göz
önüne alınması halinde daima doğru olmaması dışında 2-Banach uzayının
özelliklerini sağlar.
Ayrıca belirtilmeli ki Gähler (1964), eğer ( L, .
)
uzayı bir lineer normlu
uzay ise o zaman L üzerinde bir 2-norm tanımlanabileceğini ispatlamıştır. Bununla
beraber L bir Banach uzayı olmadığı zaman L ’nin bir 2-Banach uzayı olup olmadığı
ispat gerektirir.
Notasyon: B bir 2-normlu vektör uzay ve b ∈ B olsun. [b ] sembolü, b
tarafından doğrulmuş lineer manifoldu gösterir.
Sıradaki teorem fonksiyonel analizdeki Hahn-Banach teoreminin benzeridir.
Teorem 4.1.7: B bir 2-Banach uzayı ve M ile [b ] , B ’de lineer manifoldlar
olsunlar. F, tanım kümesi M × [b ] olan bir sınırlı lineer 2-fonksiyonel olsun. Bu
durumda aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde, tanım kümesi B × [b ] olan H gibi
bir lineer 2-fonksiyonel vardır:
i)
ii)
Her ( a, α b ) ∈ M × [b ] için H ( a, α b ) = F ( a, α b ) .
H = F .
İspat: g ∈ B − M olsun. N = {α + β g : α ∈ M , β keyfi} olsun. a′ ve a′′ M
’nin elemanları olsunlar.
F ( a′, b ) − F ( a′′, b ) = F ( a′ − a′′, b )
≤ F a′ − a′′, b
= F
≤ F
( a′ + g ) − ( a′′ + g ) , b
( a′ + g ) , b + F a′′ + g , b
dır. Bu yüzden
(1)
− F a′′ + g , b − F ( a′′, b ) ≤ F a′ + g , b − F ( a′, b )
dir. a′ ve a′′ , M ’de değişkenler olsunlar. Böylece
44
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
S = sup {− F a′′ + g , b − F ( a′′, b )}
a ′′∈M
≤ inf { F a′ + g , b − F ( a′, b )} = I
a ′∈M
dir. r sayısı S ≤ r ≤ I koşulunu sağlayan herhangi bir sayı olsun. a′ = a′′ = a alınsın.
Bu durumda (1) eşitsizliği,
− F a + g , b − F ( a, b ) ≤ r ≤ F a + g , b − F ( a, b )
olur. Burada her terime F ( a, b ) eklenirse
− F a + g , b ≤ r + F ( a, b ) ≤ F a + g , b
elde edilir. Böylece
F ( a, b ) + r ≤ F a + g , b
(2)
bulunur.
G fonksiyonu, N × [b ] üzerinde,
G ( a + β g , α b ) = α F ( a, b ) + αβ r
biçiminde tanımlansın.
G ( a1 + β1 g + a2 + β 2 g , α1b + α 2b ) = G ( ( a1 + a2 ) + ( β1 + β 2 ) g , (α1 + α 2 ) b )
= (α1 + α 2 ) F ( a1 + a2 , b ) + (α1 + α 2 )( β1 + β 2 ) r
= α1F ( a1 , b ) + α1 F ( a2 , b )
+ α 2 F ( a1 , b ) + α 2 F ( a2 , b )
+ α1β1r + α1β 2 r + α 2 β1r + α 2 β 2 r
= (α1F ( a1 , b ) + α1β1r ) + (α1F ( a2 , b ) + α1β 2 r )
+ (α 2 F ( a1 , b ) + α 2 β1r ) + (α 2 F ( a2 , b ) + α 2 β 2 r )
= G ( a1 + β1 g , α1b ) + G ( a2 + β 2 g , α1b )
+ G ( a1 + β1 g , α 2b ) + G ( a2 + β 2 g , α 2 b ) .
G (δ ( a + β g ) , εα b ) = G (δ a + δβ g , εα b )
= αε F (δ a, b ) + αεδβ r
= εδ (α F ( a, b ) + αβ r )
= εδ G ( a + β g , α r ) .
45
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
Böylece G, F ’nin genişletilmişi olan, bir lineer 2-fonksiyoneldir. Gerçekten, β ≠ 0
iken (2) ’de a yerine
a
yazılırsa,
β
a
a 
F  ,b + r ≤ F
+ g, b
β
β 
elde edilir. Burada eşitsizliğin her iki tarafı β ile çarpılırsa, tüm β ’lar için
F ( a, b ) + β r ≤ F a + β g , b
(*1 )
bulunur.
G ( a + β g , α b ) = α F ( a, b ) + αβ r
= α F ( a, b ) + β r
olur ve burada (*1 ) ’den dolayı
G ( a + β g,α b) ≤ α F a + β g , b
= F a + β g ,α b
(*2 )
bulunur. Böylece G sınırlıdır ve G ≤ F dir. Çünkü:
{
G = inf K : G ( a + β g , α b ) ≤ K a + β g , α b
dir.
(*2 )
eşitsizliğinden K = F
}
olur. Böylece inf ’den dolayı G ≤ F
olur.
Bununla beraber G ’nin N × [b ] üzerindeki tanımında β = 0 alınırsa, o zaman
M × [b ] üzerinde,
G ( a + 0 g , α b ) = α F ( a, b ) + α 0r
G ( a, α b ) = F ( a, α b )
olduğundan dolayı G = F ve dolayısıyla G = F olur.
Şimdi ise N, bir lineer manifold ve G, tanım kümesi N × [b ] olan sınırlı bir
lineer 2-fonksiyonel iken
ancak ve ancak
{ N , G}
N ⊂ N ′ ve
ikilisi göz önüne alınsın.
G = G′
46
{ N , G} < { N ′, G′}
dir
olacak biçimde G ′ , G ’nin bir
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
genişletilmişidir. T, {M , F } < { N , G} olacak biçimde
{ N , G}
’nin bir sınıfı olsun.
Burada T, “<” bağıntısı ile kısmi olarak sıralıdır. L, T ’nin bir sıralı alt kümesi olsun.
K=
UN
N ∈L
için L, T ’de bir maksimal elemana sahiptir ve I ( a, α b ) fonksiyoneli, G,
a ’yı kapsayan bir N ∈ L üzerinde tanımlı iken, G ( a, α b ) ’ye eşittir. Böylece Zorn
Lemmasına göre T, { A, H } biçiminde bir maksimal eleman içerir. A = B değil ise, H
yukarıdaki savlarla B ’de tanımlı olacak biçimde genişletilebilir.
Sonuç 4.1.1: B, bir 2-Banach uzayı ve M ve [b ] ise B ’de birer lineer
manifold olsunlar. F, tanım kümesi [b ] × M olan bir sınırlı lineer 2-fonksiyonel
olsun. Bu durumda
1) Her ( β b, a ) ∈ [b ] × M için H ( β b, a ) = F ( β b, a )
2)
H = F
koşullarını sağlayan ve tanım kümesi
[b ] × B
olan bir sınırlı lineer 2-fonksiyonel H
vardır.
Teorem 4.1.8: B, bir 2-Banach uzayı ve a ile b B ’nin lineer bağımsız
elemanları olsunlar. Bu durumda tanım kümesi
fonksiyonel F ve tanım kümesi
[ a] × B
[b ] × B
olan bir sınırlı lineer 2-
olan bir sınırlı lineer 2-fonksiyonel G vardır
öyle ki F = G = 1 ve F ( a, b ) = F a, b = G ( a, b ) dir.
İspat: F , [ a ] × [b ] üzerinde
F (α a, β b ) = αβ a, b
olarak tanımlansın.
F (α a + va, β b + δ b ) = F ( (α + v ) a, ( β + δ ) b )
= (α + v )( β + δ ) a, b
= (αβ + αδ + v β + vδ ) a, b
= αβ a, b + αδ a, b
+ vβ a, b + vδ a, b
47
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
= F (α a , β b ) + F (α a , δ b )
+ F ( va, β b ) + F ( va, δ b )
ve
F (δα a, εβ b ) = (δε )(αβ ) a, b
= δε F (α a, β b )
dir.
F (α a, β b ) = αβ a, b = 1. α a, β b
dir. Böylece F bir sınırlı lineer 2-fonksiyoneldir ve F = 1 dir. Teorem 4.1.7 ile F,
[b ] × B
’ye genişletilebilir. Benzer yaklaşımlar G içinde doğrudur.
Teorem 4.1.9: ( B, ⋅, ⋅ ) , {ei }i =1 bazı ile n-boyutlu bir 2-normlu vektör uzayı
n
olsun. F ∈ B∗ olsun. Bu durumda,
n
 n
 n
F  ∑ α i ei , ∑ β j e j  = ∑ (α i β j − α j β i )F ( ei , e j )
j =1
 i =1
 ii, <j =j1
dir.
İspat: B∗ , tanım kümesi B × B olan sınırlı lineer 2-fonksiyoneller uzayı
olduğundan F, bir sınırlı lineer 2-fonksiyoneldir. Bu durumda
0 = F ( ei + e j , ei + e j ) = F ( e j + ei ) + F ( ei + e j )
olduğundan buradan
F ( ei , e j ) = − F ( e j , ei )
dir.
n
 n

F  ∑ α i ei , ∑ β j e j  = F (α1e1 + ... + α n en , e1β1 + ... + en β n )
j =1
 i =1

= α1β1F ( e1 , e1 ) + ... + α1β n F ( e1 , en )
+ α 2 β1 F ( e2 , e1 ) + ... + α 2 β n F ( e2 , en )
+ ... + α n β1 F ( en , e1 ) + ... + α n β n F ( en , en )
48
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
= ∑∑ α i β j F ( ei , e j )
n
n
i =1 j =1
=
∑ (α β
n
i , j =1
i< j
i
j
− α j β i ) F ( ei , e j )
olur. Bu durum
F ( a, b ) = − F ( b, a )
olmasını gerektirir.
B2 , bazı {e1 , e2 } olan bir 2-Banach uzayını, B2* ise tanım kümesi B2 × B2
olan sınırlı lineer 2-fonksiyonellerin kümesini göstersin.
Sonuç 4.1.2: Eğer F ∈ B2* ise o zaman
F =
F ( e1 , e2 )
e1 , e2
dir.
İspat:
F (α1e1 + α 2 e2 , β1e1 + β 2 e2 ) = α1β 2 − α 2 β1 F ( e1 , e2 )
=
=
F ( e1 , e2 )
e1 , e2
F ( e1 , e2 )
e1 , e2
α1β 2 − α 2 β1 e1 , e2
α1e1 + α 2 e2 , β1e1 + β 2 e2
dir. Bu yüzden
F =
F ( e1 , e2 )
e1 , e2
olur.
Sonuç 4.1.3: Eğer F ∈ B2* − {0} ise o zaman F ( a, b ) , B2 üzerinde bir 2norm tanımlar.
49
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
İspat:
(2N1):
F (α1e1 + α 2e2 , β1e1 + β 2e2 ) = α1β 2 − α 2 β1 F ( e1 , e2 )
ifadesinin sıfıra eşit olabilmesi için gerek ve yeter koşul α1e1 + α 2 e2 ve β1e1 + β 2 e2
ifadelerinin lineer bağımlı olmasıdır. Bu durumda
α1 α 2
=
β1 β 2
olur ve böylece
α1β 2 − α 2 β1 = 0 dır.
(2N2): Teorem 4.1.9 ’un sonucundan F ( a, b ) = − F ( b, a ) olduğu biliniyor. Bu
durumda
F ( a, b ) = − F ( b, a )
= − 1 F ( b, a )
= F ( b, a )
elde edilir.
(2N3):
F ( a, β b ) = β F ( a, b )
= β F ( a, b )
(2N4):
F ( a, b + c ) = F ( a, b ) + F ( a, c )
≤ F ( a, b ) + F ( a, c )
Sonuç olarak, (2N1)-(2N4) koşulları sağlandığından, F ( a, b ) , B2 üzerinde
bir 2-norm tanımlar.
Sonuç 4.1.4: F ∈ B2* − {0} olsun.
( a b ) = F ( e , a ) F ( e , b ) + F ( a , e ) + F ( b, e )
1
1
2
2
bağıntısı B2 üzerinde bir iç çarpım tanımlar.
İspat: a = α1e1 + α 2e2 ve b = β1e1 + β 2 e2 olsun. Teorem 4.1.9 ’dan
50
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
( a b ) = F ( e , a ) F ( e , b ) + F ( a , e ) + F ( b, e ) = ( α β
1
1
2
2
1 1
+ α 2 β2 )
(*)
olduğundan dolayı ( ⋅ ⋅) fonksiyonu bir iç çarpım tanımlar. Gerçekten:
F ( e1 , a ) F ( e1 , b ) = F (1e1 + 0e2 , α1e1 + α 2 e2 ) F (1e1 + 0e2 , β1e1 + β 2 e2 )
= (1α 2 − 0α1 )(1β 2 − 0β1 )
= α 2 β2
F ( a, e2 ) F ( b, e2 ) = F (α1e1 + α 2 e2 , 0e1 + 1e2 ) F ( β1e1 + β 2 e2 , 0e1 + 1e2 )
= (α11 − α 2 0 )( β11 − β 2 0 )
= α1β1
dir. Bu durumda
F ( e1 , a ) F ( e1 , b ) + F ( a, e2 ) + F ( b, e2 ) = (α1 β1 + α 2 β 2 )
olur. Şimdi ise (*) bağıntısının iç çarpımın özelliklerini sağladığı gösterelim:
( I1 ) : ( a a ) ≥ 0 , ( a a ) = 0
(a a) = α
2
1
ancak ve ancak a = 0 olmalıdır. Gerçekten:
+ α 22 ≥ 0 dır. a = 0 ise α1 = α 2 = 0 olur ve böylece ( a a ) = ( 0 0 ) = 0 olur.
( I2 ) : ( a b ) = ( b a ) olduğu açıktır.
( I3 ) : ( a + b c ) = ( a c ) + ( b c )
olmalıdır. Burada c = (γ 1 , γ 2 ) olsun.
( a + b c ) = F ( e , a + b ) F ( e , c ) + F ( a + b, e ) F ( c , e )
1
1
2
= (α 2 + β 2 ) γ 2 + (α1 + β1 ) γ 1
2
(*1 )
olur.
( a c ) = (α γ
+ α 2γ 2 )
(b c ) = ( β γ
+ β 2γ 2 )
1 1
1 1
olduğundan
( a c ) + ( b c ) = (α γ
1 1
+ α 2γ 2 ) + ( β1γ 1 + β 2γ 2 )
= (α1 + β1 ) γ 1 + (α 2 + β 2 ) γ 2
(*2 )
elde edilir. Böylece (*1 ) ve (*2 ) ’den ( a + b c ) = ( a c ) + ( b c ) olur.
51
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
( I 4 ) : (α a b ) = α ( a b )
Serkan ÖKTEN
olmalıdır. Gerçekten:
( α a b ) = F ( e , α a ) F ( e , b ) + F ( α a, e ) F ( b , e )
1
1
2
2
= αα1β1 + αα 2 β 2
= α (α1β1 + α 2 β 2 )
= α ( a b)
olur.
Sonuç olarak ( I1 ) - ( I4 ) özellikleri sağlandığından (*) bağıntısı B2 üzerinde
bir iç çarpım tanımlar.
Sonuç 4.1.5: Eğer F ( e1 , e2 ) = 1 ise ( ⋅ ⋅) çarpımına göre {e1 , e2 } , B2 ’nin bir
ortanormal bazıdır.
İspat: x = x1e1 + x2e2 olsun.
x =
(x x)
1
2
2 2
=   F ( e1 , x ) +  F ( x , e2 ) 


1
2
2
=   F (1e1 + 0 e2 , x1e1 + x2 e2 ) +  F ( x1e1 + x2 e2 , 0 e1 + 1e2 )  2


1
2
2
=  x22 F ( e1 , e2 ) + x12 F ( e1 , e2 )  2


1
1
=  x22 + x12  2 F ( e1 , e2 ) =  x22 + x12  2
olduğundan iddianın doğruluğu görülür.
Sonuç 4.1.6: ( B2 , ⋅, ⋅
)
(
)
bir 2-Banach uzayı ve B2 , (⋅ ⋅) bir gerçel iç çarpım
uzayı olsun. Eğer
F ( a, b ) = ( a e1 )( b e2 ) − ( a e2 )( b e1 )
biçiminde tanımlanır ise bu durumda F ( a, b ) ∈ B2* dır.
İspat: a = α1e1 + α 2e2 ve b = β1e1 + β 2 e2 olsun.
52
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
F ( a, b ) = ( a e1 )( b e2 ) − ( a e2 )( b e1 )
= (α1e1 + α 2e2 e1 )( β1e1 + β 2e2 e2 ) − (α1e1 + α 2 e2 e2 )( β1e1 + β 2 e2 e1 )
= α1 ( e1 e1 ) + α 2 ( e1 e2 )  β1 ( e1 e2 ) + β 2 ( e2 e2 )
− α1 ( e1 e2 ) + α 2 ( e2 e2 )   β1 ( e1 e1 ) + β 2 ( e1 e2 )
= α1β1 ( e1 e1 )( e1 e2 ) + α1β 2 ( e1 e1 )( e2 e2 )
+ α 2 β1 ( e1 e2 )( e1 e2 ) + α 2 β 2 ( e1 e2 )( e2 e2 )
− α1β1 ( e1 e2 )( e1 e1 ) − α1 β 2 ( e1 e2 )( e1 e2 )
− α 2 β1 ( e2 e2 )( e1 e1 ) − α 2 β 2 ( e2 e2 )( e1 e2 )
(
= (α1 β 2 − α 2 β1 ) ( e1 e1 )( e2 e2 ) − ( e1 e2 )
= (α1 β 2 − α 2 β1 )
= a, b
2
)
( e e )( e e ) − ( e e )2 
1 1
2 2
1 2

e1 , e2 
e1 , e2
F ( e1 , e2 )
e1 , e2
olur. Böylece Sonuç 4.1.2 ’ye uygun olarak F, bir sınırlı lineer 2-fonksiyoneldir ve
F =
F ( e1 , e2 )
e1 , e2
dir.
Aşağıdaki sonuç fonksiyonel analizdeki Paralellik Kanununa benzerdir.
Sonuç 4.1.7: ( B2 , ⋅, ⋅
) uzayında
2
2
2
2
x + y , z + x − y , z = 2  x, z + y , z 


dir.
İspat: x = x1e1 + x2e2 , y = y1e1 + y2e2 ve z = z1e1 + z2 e2 olsun.
x + y , z = ( x1 + y1 ) z 2 − ( x2 + y2 ) z1
2
2
e1 , e2
2
= ( x1 z2 − x2 z1 ) + ( y1 z2 − y2 z1 )  e1 , e2
2
x − y, z = ( x1 − y1 ) z2 − ( x2 − y2 ) z1
2
2
e1 , e2
2
= ( x1 z2 − x2 z1 ) − ( y1 z 2 − y2 z1 ) e1 , e2
2
53
2
2
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
olur. Bu durumda,
2
2
2
2
x + y , z + x − y, z = 2 ( x1 z2 − x2 z1 ) + ( y1 z2 − y2 z1 )  e1 , e2


2
2
= 2  x, z + y , z 


2
olur.
Teorem 4.1.10: ( B2 , .
) bir Banach uzayı olsun. 2-norm
a, b =
 f (a) g (a) 
1
sup det 

2 f , g∈FB2
 f (b ) g (b) 
biçiminde tanımlansın. Burada FB2 , normu ≥ 1 olan sınırlı lineer fonksiyonların
kümesidir. Bu durumda ( B2 , ⋅, ⋅
İspat: Gähler (1964),
) bir 2-Banach uzayıdır.
( B , ⋅, ⋅ )
’nin bir 2-normlu vektör uzay olduğunu
2
göstermiştir.
{an } = {an1e1 + an 2e2 }
dizisi ( B2 , ⋅, ⋅
)
uzayında bir Cauchy dizisi olsun. Cauchy
dizisi tanımından, lim an − am , c = 0 ve lim an − am , d = 0 olacak biçimde B2
m , n →∞
m , n →∞
’de lineer bağımsız c = c1e1 + c2e2 ve d = d1e1 + d 2e2 elemanları vardır. Yani,
1
sup f ( an − am ) g ( c ) − f ( c ) g ( an − am ) = 0
m , n →∞ 2
lim
ve
lim
m , n →∞
1
sup f ( an − am ) g ( d ) − f ( d ) g ( an − am ) = 0
2
dır. Bu durumda her f , g ∈ FB2 için:
(
lim ( an1 − am1 ) f ( e1 ) + ( an 2 − am 2 ) f ( e2 ) g ( c )
m , n →∞
)
− ( an1 − am1 ) g ( e1 ) + ( an 2 − am 2 ) g ( e2 )  f ( c ) = 0
olur. Bu ifade düzenlenirse,
(1)
lim ( an1 − am1 ) ( f ( e1 ) g ( c ) − g ( e1 ) f ( c ) )
m , n→∞
+ ( an 2 − am 2 ) ( f ( e2 ) g ( c ) − g ( e2 ) f ( c ) ) = 0
54
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
olur. Benzer olarak,
lim ( an1 − am1 ) ( f ( e1 ) g ( d ) − g ( e1 ) f ( d ) )
(2)
m , n →∞
+ ( an 2 − am 2 ) ( f ( e2 ) g ( d ) − g ( e2 ) f ( d ) ) = 0
bulunur. Burada (1) numaralı denklem
( f ( e ) g ( d ) − g ( e ) f ( d ))
2
2
ve (2) numaralı
denklem ( f ( e2 ) g ( c ) − g ( e2 ) f ( c ) ) ile çarpılır ve daha sonra (1) ’den (2) çıkarılırsa
(  f (e ) g ( d ) − g ( e ) f ( d )  f ( e ) g ( c ) − g ( e ) f ( c )
2
2
1
1
−  f ( e2 ) g ( c ) − g ( e2 ) f ( c )   f ( e1 ) g ( d ) − g ( e1 ) f ( d )
)
×  lim ( an1 − am1 )  = 0
 m ,n →∞

lim ( an1 − am1 ) ≠ 0 olduğu kabul edilsin. Bu durumda son eşitlikten
elde edilir.
m , n →∞
lim ( an1 − am1 ) teriminin katsayısı sıfır olmalıdır. İfade düzenlenirse,
m , n →∞
( g (e ) f ( e ) − f ( e ) g ( e )) f ( c ) g ( d ) = ( g ( e ) f ( e ) − f ( e ) g ( e )) f ( d ) g (c )
1
2
1
2
1
2
1
2
(*)
olur. g ( e1 ) f ( e2 ) − f ( e1 ) g ( e2 ) = 0 kabul edilsin. Bu durumda lineerlikten
f ( g ( e2 ) e1 − g ( e1 ) e2 ) = 0
olur.
0 ≠ e1 , e2
 f ( e1 ) g ( e1 ) 
1
sup det 

2 f , g∈FB2
 f ( e2 ) g ( e2 ) 
1
= sup f ( e1 ) g ( e2 ) − f ( e2 ) g ( e1 )
2 f , g∈FB2
=
olduğundan f ( e1 ) g ( e2 ) − f ( e2 ) g ( e1 ) ≠ 0 olacak biçimde f, g vardır. Bu durumda
(*) ’dan
f (c) g (d ) = f (d ) g (c)
bulunur. Buradan ise,
f ( g (d ) c − g (c) d ) = 0
55
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
olur. Böylece buradan c ve d ’nin lineer bağımlılığı çıkar. Bu ise kabul ile çelişir.
Sonuç olarak
lim ( an1 − am1 ) = 0
m , n →∞
olur, yani {an1} bir gerçel Cauchy dizisi olur. Benzer olarak
{an 2 }
’de bir gerçel
Cauchy dizisi olur. b1 = lim an1 , b2 = lim an 2 ve a = b1e1 + b2 e2 olsun. Her b ∈ B2 için
n→∞
n →∞
lim an − a, b = 0 dır. Gerçekten lim an1 = b1 ve lim an 2 = b2 olduğundan
n →∞
n →∞
n →∞
1
lim an − a, b = lim sup f ( an − a ) g ( b ) − f ( b ) g ( an − a )
n →∞
n →∞ 2
1
= lim sup ( an1 − b1 )  f ( e1 ) g ( b ) − g ( e1 ) f ( b ) 
n →∞ 2
+ ( an 2 − b2 )  f ( e2 ) g ( b ) − g ( e2 ) f ( b )  = 0
bulunur. Yani lim an = a ∈ B2 dir.
n →∞
Teorem 4.1.11:
dolayı
(B , . )
*
[ f , g]F = F ( f , g )
bir
( B , ⋅, ⋅ )
2
bir 2-Banach uzayı olsun. Teorem 4.1.5 ’den
2-Banach
uzayıdır.
f ,g∈B
eşitliği ile tanımlansın. Bu durumda
[ f , g] ,
olan bir sınırlı lineer fonksiyoneldir ve
[ f , g]
≤ f ,g
dir.
İspat:
[ f , g ] ( F + G ) = ( F + G )( f , g )
= F ( f ,g)+G( f ,g)
= [ f , g ] F + [ f , g ]G
ve
[ f , g ] (α F ) = (α F )( f , g )
= αF ( f , g)
= α [ f , g]F
56
olsun
ve
[ f , g] ,
tanım kümesi B*
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
Serkan ÖKTEN
dir. Ayrıca
[ f , g]F
= F ( f ,g)
≤ F . f ,g
dir. Bu yüzden [ f , g ] [ f , g ] , tanım kümesi B* olan bir sınırlı lineer fonksiyoneldir
ve
[ f , g]
≤ f ,g
dir.
57
4. SINIRLI LİNEER 2-FONKSİYONELLER
58
Serkan ÖKTEN
5. DİĞER ÇALIŞMALAR
Serkan ÖKTEN
5. DİĞER ÇALIŞMALAR
5.1 Genelleştirilmiş 2-Normlu Uzaylarda Hahn-Banach Teoremi
Tanım 5.1.1: X ve Y birer reel vektör uzayı olsun. X × Y ’nin boştan farklı
bir
alt
kümesi
D
ile
Dx = { y ∈ Y : ( x, y ) ∈ D}
gösterilsin
öyle
ki
her
x∈ X ,
y ∈Y
için
D y = { x ∈ X : ( x, y ) ∈ D} kümeleri sırasıyla Y ve X
uzaylarının lineer alt uzaylarıdır.
Aşağıdaki koşulları sağlayan, ⋅, ⋅ : D → [ 0, ∞ ) fonksiyonuna D üzerinde bir
genelleştirilmiş 2-norm denir:
(1) Her α reel sayısı ve her ( x, y ) ∈ D için x, α y = α x, y = α x, y ;
(2)
x ∈ X , y , z ∈ Y iken ( x, y ) , ( x, z ) ∈ D için x, y + z ≤ x, y + x, z ;
(3)
x, y ∈ X , z ∈ Y iken ( x, z ) , ( y , z ) ∈ D için x + y , z ≤ x, z + y , z ;
D kümesine 2-normlu küme denir. Özel olarak, eğer D = X × Y ise ⋅, ⋅
fonksiyonuna X × Y üzerinde genelleştirilmiş bir 2-norm ve ( X × Y , ⋅, ⋅
)
ikilisine de
bir genelleştirilmiş 2-normlu uzay denir. Eğer X = Y ise genelleştirilmiş 2-normlu
uzay
( X × X , ⋅, ⋅ ) , ( X , ⋅, ⋅ )
biçiminde gösterilir.
X =Y
olması durumda,
D −1 = {( y , x ) : ( x, y ) ∈ D} iken D = D −1 olur ve her ( x, y ) ∈ D için x, y = y, x dir.
Burada ⋅, ⋅ fonksiyonu, bir genelleştirilmiş simetrik 2-norm ve D kümesi, bir
simetrik 2-normlu küme olarak adlandırılır.
Gähler ’in 2-norm tanımı hatırlanırsa, x, y = 0 ancak ve ancak x ile y lineer
bağlıdır, bu ifade Gähler ’in yaklaşımı ile Lewandoska ’nın yaklaşımı arasındaki en
önemli farktır.
Örnek 5.1.1: X,
olsun. Bu durumda ( X , ⋅, ⋅
⋅
1
ve
) ikilisi,
⋅
2
gibi 2 yarı-norma sahip bir reel vektör uzayı
x, y ∈ X için
59
5. DİĞER ÇALIŞMALAR
Serkan ÖKTEN
x, y = x 1 y
2
biçiminde tanımlanan 2-norm ile bir genelleştirilmiş 2-normlu uzaydır. Gerçekten:
1)
x, y ∈ X için,
x, α y = x 1 α y
2
= x1α y
2
=α x1 y
2
= αx 1 y
2
= α x, y
2)
x, y , z ∈ X için,
x, y + z = x 1 y + z
2
≤ x 1( y 2 + z
2
)
= x1 y 2+ x1 z
2
= x, y + x, z
3)
x, y , z ∈ X için,
x + y, z = x + y 1 z
2
≤ ( x 1 + y 1) z
2
= x1 z 2+ y1 z
2
= x, z + y, z
Böylece ( X , ⋅, ⋅
) ikilisi, bir genelleştirilmiş 2-normlu uzaydır.
Örnek 5.1.2: X, bir reel iç çarpım uzayı olsun. X, her x, y ∈ X için,
x, y = ( x y )
biçiminde tanımlı 2-norm ile bir genelleştirilmiş simetrik 2-normlu uzaydır.
Gerçekten:
1)
x, y ∈ X için,
x, α y = ( x α y )
= α (x y)
60
5. DİĞER ÇALIŞMALAR
Serkan ÖKTEN
= α (x y)
ve
α x, y = (α x y )
= α ( x y)
= α (x y)
dir. Böylece x, α y = α x, y olur.
2)
x, y , z ∈ X için,
x, y + z = ( x y + z )
= ( x y) + ( x z)
≤ ( x y) + ( x z )
= x, y + x, z
3)
x, y , z ∈ X için,
x + y, z = ( x + y z )
= (x z)+ ( y z)
≤ ( x z) + ( y z)
= x, z + y , z
Böylece X, bir genelleştirilmiş simetrik 2-normlu uzaydır.
Örnek 5.1.3: s, tüm reel sayı dizilerinin lineer uzayı olsun.
Bu durumda
∞


D = ( x, y ) ∈ s × s : x, y = ∑ xn yn < ∞ 

n=1

kümesi bir simetrik 2-normlu küme ve ⋅, ⋅ : D → [ 0, ∞ ) fonksiyonu da D üzerinde
bir genelleştirilmiş simetrik 2-normdur. Gerçekten:
1)
x = { xn } , y = { yn } ∈ s için,
61
5. DİĞER ÇALIŞMALAR
Serkan ÖKTEN
∞
x, α y = ∑ xn α yn
n =1
∞
= ∑ xn α yn
n =1
∞
= ∑ α xn yn
n =1
= α x, y
2)
x = { xn } , y = { yn } , z = { zn } ∈ s için,
∞
x, y + z = ∑ xn yn + zn
n =1
∞
≤ ∑ xn
n =1
(y
n
+ zn
∞
∞
n =1
n =1
)
= ∑ xn yn + ∑ xn zn
= x, y + x, z
3)
x = { xn } , y = { yn } , z = { zn } ∈ s için,
∞
x + y , z = ∑ xn + yn zn
n =1
∞
≤ ∑ ( xn + yn ) zn
n =1
∞
∞
n =1
n =1
= ∑ xn zn + ∑ yn zn
= x, z + y, z
Böylece ⋅, ⋅ fonksiyonu, D üzerinde bir genelleştirilmiş simetrik 2-norm olur.
Tanım 5.1.2: X, bir reel vektör uzayı, D ⊆ X × X kümesi, bir 2-normlu
küme ve Y, bir normlu uzay olsun. F : D → Y operatörü,
i)
Her
a, b, c, d ∈ X
F ( a + c, b + d ) = F ( a, b ) + F ( a, d ) + F ( c, b ) + F ( c, d )
a, c ∈ D b ∩ D d .
62
için
öyle
ki
5. DİĞER ÇALIŞMALAR
Serkan ÖKTEN
ii) Her α , β ∈ ¡ ve her ( a, b ) ∈ D için F (α a, β b ) = αβ F ( a, b ) .
koşullarını sağlıyor ise bu operatöre 2-lineer denir.
Tanım 5.1.3: X, bir reel vektör uzayı, D ⊆ X × X kümesi, bir 2-normlu
küme ve Y, bir normlu uzay F : D → Y bir operatör olsun. Eğer ( a, b ) ∈ D iken
F ( a, b ) ≤ K a, b olacak biçimde bir pozitif K sayısı varsa F ’e sınırlıdır denir.
Burada
{
}
F = inf K > 0 : F ( a, b ) ≤ K a, b , ( a, b ) ∈ D
sayısına
2-lineer
F
operatörünün normu denir.
Örnek 5.1.4: Örnek 5.1.1 ’deki ( X , ⋅, ⋅
) uzayı ele alınsın ve
F:X×X →¡
operatörü F ( x, y ) = ( x y ) biçiminde tanımlansın. a, b, c, d ∈ X için,
F ( a + c, b + d ) = ( a + c b + d )
= (a + c b) + (a + c d )
= ( a b ) + (c b ) + ( a d ) + ( c d )
= F ( a, b ) + F ( c, b ) + F ( a, d ) + F ( c, d )
olur. α , β ∈ ¡ olmak üzere,
F ( α a , β b ) = (α a β b )
= αβ ( a b )
= αβ F ( a, b )
olur. Böylece F, bir 2-lineer operatördür.
F ( x, y ) = F ( x, y )
= (x y)
= 1. x, y
dir. Burada F = 1 olur ve böylece F, sınırlıdır. Sonuç olarak F, bir sınırlı 2-lineer
operatördür.
Teorem 5.1.1: ( X , ⋅, ⋅
)
bir genelleştirilmiş 2-normlu uzay ve M, X × X ’in
bir lineer alt uzayı olsun. Eğer F0 , M üzerinde bir reel sınırlı 2-lineer fonksiyonel ise,
63
5. DİĞER ÇALIŞMALAR
Serkan ÖKTEN
o zaman F0 ’ın X × X üzerine genişlemesi olan bir F, reel sınırlı fonksiyoneli vardır
öyle ki, her ( a, b ) ∈ M için,
F ( a, b ) = F0 ( a, b ) ve F = F0
dir.
İspat: Eğer M = X × X veya F0 = 0 ise bu durumda F = F0 alınır, aksi
halde genelliği kaybetmeksizin F0 = 1 kabul edilsin. F0 ’ın normu 1 olan bütün
genişlemelerinin A ailesi göz önüne alınsın, yani L, X × Y ’nin M ’yi kapsayan bir alt
uzayı ve G, G : L → ¡ olacak biçimde bir sınırlı 2-lineer operatör iken bütün ( G , L )
ikililerinin kümesi ele alınsın öyle ki, her ( a, b ) ∈ M için,
G ( a, b ) = F0 ( a, b ) ve G = 1
dir. A, ≤ bağıntısı ile şu şekilde kısmi sıralıdır: ( G1 , L1 ) , ( G2 , L2 ) ∈ A verildiğinde
( G1 , L1 ) ≤ ( G2 , L2 )
olması için gerek ve yeter koşul G2 ’nin G1 ’in genişlemesi
olmasıdır, yani L1 ⊆ L2 , her
( a, b ) ∈ L1
için G2 ( a, b ) = G1 ( a, b ) ve
G2 = G1
olmasıdır.
A ailesi boş değildir, çünkü ( F0 , M ) ∈ A dır. T, A ’nın lineer olarak, sıralı bir
alt kümesi olsun. L% =
U
( G , L )∈T
L olarak tanımlansın. Açıkça görülür ki L% , X × X için
M ’yi kapsayan bir reel lineer alt uzaydır. G% operatörü ise
G% : L% → ¡ ,
G% ( a, b ) = G ( a, b ) şeklinde tanımlanıyor, burada G, ( a, b ) ’yi içeren bir L ile ikili
oluşturur ve ( G , L ) ∈ T dir. G% operatörü iyi tanımlıdır, çünkü, eğer Li ve L j ’nin
her ikisi de
( a, b )
(G , L ) ≤ (G , L )
j
j
i
i
’yi kapsıyorlarsa o zaman, ya
( Gi , Li ) ≤ ( G j , L j )
veya
olduğundan Gi ( a, b ) = G j ( a, b ) olur. Görüldüğü üzere G% , L%
üzerinde bir sınırlı 2-lineer operatördür, yani her G ’nin bir genişlemesidir ve G = 1
dir. Böylece T zinciri için bir üst sınır olan
64
(G% , L% )
ikilisi oluşmuş oldu. Zorn
5. DİĞER ÇALIŞMALAR
Lemmasına göre A ’nın bir
Serkan ÖKTEN
( F , Lm ) ∈ A
maksimal elemanı vardır. İspatın
tamamlanması için Lm = X × X olduğunu göstermek yeterlidir. Varsayalım ki karşıt
olarak
( a0 , b0 ) ∈ X × X \ Lm
olsun.
Bu
durumda
L′ = Lm + ¡ ( a0 , b0 ) = {a + ta0 , b + t ′b0 : ( a, b ) ∈ Lm ve t , t ′ ∈ ¡} lineer uzayı göz önüne
alınsın. ( a, b ) ∈ Lm ve γ ∈ ¡ için, F ′ : L′ → ¡ fonksiyonu,
F ′ ( a + ta0 , b + t ′b0 ) = F ( a, b ) − tt ′γ
biçiminde tanımlansın. Burada ( a, b ) ∈ Lm ve γ ∈ ¡ öyle seçilsin ki F ′ = 1 olsun.
F ′ = 1 olması, ( a, b ) ∈ M ve γ ∈ ¡ için,
F ( a, b ) − tt ′γ ≤ a + ta0 , b + t ′b0
(1)
olmasını sağlar. Burada t , t ′ ∈ ¡ iken ( a, b ) ’nin yerine ( −ta, −t ′b ) alınsın ve (1)
eşitsizliğinin her iki tarafı tt ′ ile bölünsün. Bu durumda
F ( a, b ) − γ ≤ a − a0 , b − b0
(2)
bulunur. F 2-lineer olduğundan, γ ’nın
F ( a, b ) − a − a0 , b − b0 ≤ γ ≤ F ( a, b ) + a − a0 , b − b0
eşitsizliğini sağlayacak biçimde seçilmesiyle (2) numaralı ve dolayısıyla (1) numaralı
eşitsizlikler sağlanır. Görüldüğü üzere her ( a, b ) ∈ M için γ vardır çünkü
F ( a, b ) − a − a0 , b − b0 ≤ F ( a, b ) + a − a0 , b − b0
eşitsizliği elde edildi. Böylece ( F ′, L′ ) ∈ A , ( F , Lm ) ≠ ( F ′, L′ ) ve ( F , Lm ) ≤ ( F ′, L′ )
olduğu ispat edilmiş oldu. Bu durum ( F , Lm ) ’nin A ’nın maksimal elemanı olması
ile çelişir. Bu çelişki Lm ≠ X × X
kabul edilerek elde edildi. Bu durumda
Lm = X × X olur ve ispat tamamlanır.
65
5. DİĞER ÇALIŞMALAR
Serkan ÖKTEN
Teorem 5.1.2: x0 , y0 vektörleri, genelleştirilmiş ( X , ⋅, ⋅
) 2-normlu uzayında
x0 , y0 ≠ 0 koşulunu sağlayan iki vektör olsun. Bu durumda bu uzay üzerinde
tanımlı ve
F ( x0 , y0 ) = x0 , y0 ve F = 1
olacak biçimde bir reel sınırlı 2-lineer F fonksiyoneli vardır.
İspat: M lineer uzayı
M = ¡ ( x0 , y0 ) = {( tx0 , t ′y0 ) : t , t ′ ∈ ¡}
olarak tanımlansın. M üzerinde F0 fonksiyoneli aşağıdaki gibi tanımlansın:
F0 : M → ¡; F0 ( tx0 , t ′y0 ) = tt ′ x0 , y0
Açıktır ki F0 , F0 ( x0 , y0 ) = x0 , y0 özelliğini sağlayan bir 2-lineer fonksiyoneldir,
üstelik bir ( x, y ) ∈ M için
F ( x, y ) = tt ′ x0 , y0
= tx0 , t ′y0
= x, y
olduğundan görülür ki F0 , bir sınırlı lineer 2-fonksiyoneldir ve F0 = 1 dir.
Son teorem, F0 ’ın genişlemesi olan, tüm uzay üzerinde tanımlı, bir sınırlı 2lineer fonksiyonel F ’in varlığını göstermek için uygulanır ve aynı F0 ’ın normu gibi
norm alınırsa, F = 1 olur.
Yukarıdaki teoremin bir sonucu olarak aşağıdaki sonuç yazılabilir.
Sonuç 5.1.1: Eğer X, trivial olmayan uzaysa (yalnızca sıfır vektöründen
ibaret değilse) bu uzay üzerinde sıfır olmayan bir sınırlı 2-lineer fonksiyoneller var
olmalıdır.
66
KAYNAKLAR
COZBAS, S., MUSTUTA, C., Extension of Bilinear Fonctionals And Best
Approximation, Studia Unv., Babes-Bolyai Math., 43, No.2 (1998),1-13.
ELUMALAI, E., RAVİ, R., On Remotal Points of Pairs of Sets In Linear 2-Normed
Spaces, Bull Cal. Math. Soc., 86, (1994), 63-68.
FRANİĆ, I., An Extension Theorem For A Bounded Linear 2-Fonctionals And
Applications, Math. Japonica 40, No.1 (1994), 79-85.
FREESE, R., CHO, Y., Geometry of Linear 2-Normed Spaces, Nova Science
Publishers, 2001.
GÄHLER, S., Lineare 2-Normite Raume, Math. Nachr., 28 (1964), 1-43.
HAASER, N. B., SULLIVAN, J. A., Real Analysis, Dover Pablications Inc., New
York, 1991.
LEWANDOWSKA, Z., MOSLEHIAN, M. S., MOGHADDAM, A. S., HahnBanach Theorem In Generalized 2-Normed Spaces, Communications In
Mathematical Analysis, Vol. 1. No.2 (2006) 109-113.
RUDİN, W., Functional Analysis, Tata McGraw-Hill Publishing Com. Ltd., New
Delhi, 1976.
WHİTE, A., 2-Banach Spaces, Math. Nachr., 42 (1969), 43-60
67
ÖZGEÇMİŞ
1981 yılında Adana ’da doğdu. İlk ve orta öğrenimini Adana ’da tamamladı. 1999
yılında Ege Üniversitesi Matematik Bölümünü kazandı. 2004 yılında üniversite öğrenimimi
tamamladı. 2005 yılında Çukurova Üniversitesinde Orta Öğretim Alan Öğretmenliği Tezsiz
Y.L. programına girip 2007 yılında tamamladı. Ayrıca 2004 yılından itibaren çeşitli özel
kurumların üniversite hazırlık bölümlerinde Matematik öğretmeni olarak çalıştı. 2008 yılında
Çukurova Üniversitesi Matematik Bölümünde yüksek lisans programına girdi.
68