Baz Değişimi

Baz Değişimi
Bir sorun için uygun olan bir baz, bir diğeri için
uygun olmayabilir, bu nedenle bir bazdan
diğerine değişim için vektör uzayları ile çalışmak
ortak(genel) bir süreçtir. Bir baz, koordinat
sisteminin vektör uzayının genellemesi olduğu
için, bazdaki değişim R2 ve R3 ‘teki koordinat
eksenindeki değişim ile benzerdir.
KOORDİNAT MATRİSLERİ
S = {v1,v2,…,vn) V vektör uzayı için bir baz ise;
V’deki her bir vektör v, baz vektörünün doğrusal
bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir.
v=k1v1+k2v2+…+knvn
k1, k2,...,kn skalerleri S için v göreli(relative)
koordinatlardır ve vektör,
(v)s=(k1,k2,…,kn)
KOORDİNAT MATRİSLERİ
BAZ DEĞİŞİKLİĞİ
Vektör uzayı için eski baz B’den, yeni baz B` ye;
temel bazda bir değişiklik gerçekleştirirsek, v
vektörünün eski koordinat matrisi [v]B’yi yeni
koordinat matris (v)B` ile nasıl ilişkilendirebiliriz?
İki boyutlu uzaylar için bu problemi basitçe
çözebiliriz. n-boyutlu uzay için de çözüm
benzerdir.
BAZ DEĞİŞİKLİĞİ
B`={𝒖`𝟏 , 𝒖`𝟐 }
BAZ DEĞİŞİKLİĞİ
BAZ DEĞİŞİKLİĞİ
v’nin eski koordinatlarını bulmak için, eski baz B
açısından v ifade edilebilmelidir. Bunu yapmak
için, (4)’ün içine (2)’yi yerleştiririz:
v=k1(au1+bu2)+k2(cu1+du2)
veya
v=(k1a+k2c)u1+(k1b+k2d)u2
BAZ DEĞİŞİKLİĞİ
BAZ DEĞİŞİKLİĞİ
BAZ DEĞİŞİKLİĞİ
B ={𝒖`𝟏,𝒖`𝟐,…𝒖`𝒏}
`
BAZ DEĞİŞİKLİĞİ
GEÇİŞ MATRİSLERİ
ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR
Tanım: A nxn matris olsun. Ax, x’in skaler
çarpımı ise Rn’deki sıfırdan farklı x vektörü A’nın
özvektörü olarak tanımlanır.
Ax=λx
λ, A’nın özdeğeridir ve x, λ’ya karşılık gelen A’nın
özvektörüdür.
Not: Eğer x  0 şartını istemezsek, x=0 ise her λ
reel sayısı için A(0)=0=λ0 yazılabileceğinden λ bir
özdeğer ve 0 vektörü bir özvektör olur.
ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR
• Örnek: A:V→V lineer dönüşümü Ax=2x
şeklinde tanımlansın. Bu durumda tek özdeğer
λ=2’dir ve A’nın λ’ya karşılık gelen özvektörleri
sıfırdan farklı bütün vektörlerdir.
Örnekten anlaşılacağı gibi λ özdeğerine farklı
birçok özvektör karşılık gelebilir, özvektörler
tek değildir.
ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR
nxn A matrsinin özdeğerini bulmak için Ax=λx’yı
Ax=λInx
ya da
(λIn-A)x=0
olarak yazılabilir. λ'nın özdeğer olması için, bu
eşitliğin
sıfırdan
farklı
çözümü
olması
gerekmektedir. Sıfırdan farklı çözümün olmasıda
sade ve sadece
Det(λIn-A)=0
şartının sağlanması ile olur.
ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR
A=
 a11
a
 21


 an1
a12
a22
an 2
... a1n 
... a2 n 


ann 
  a11 a12
 a
  a22
21

 In  A 


 an 2
 an1
nxn tipinde bir matris olsun. O zaman
a1n 
a2 n 


  ann 
Matrisinin determinantına A’nın karakteristik
polinomu denir. Det(λIn-A)=0 denkleminede
A’nın karakteristik denklemi denir.
ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR
Teorem: A nxn matris ve λ gerçek bir sayı ise,
aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
• λ, A’nın özdeğeridir.
• (λI-A)x=0 eşitliğinin kolay olmayan bir çözümü
vardır.
• Rn de sıfırdan farklı x vektörü vardır, öyleki Ax=λx
• λ, Det(λI-A)=0 karakteristik denkleminin bir
çözümüdür.
ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR
λ özdeğerine karşılık gelen A’nın özdeğerleri,
sıfırdan farklı vektörlerle Ax=λx i sağlar. λ ya
karşılık gelen özvektörler, (λIn-A)x=0 ın çözüm
uzayında sıfırdan farklı vektörlerdir.Bu çözüm
kümesine özuzay adı verilmektedir.
Teorem : Eğer k pozitif bir tamsayı, λ A
matrisinin özdeğeri ve x özvektöre karşılık
geliyorsa; λk, Ak’nın özdeğeridir ve x özvektöre
karşılık gelir.