REEL VE SİMETRİK MATRİSLERİN ÖZDEĞERLERİ VE

REEL VE SİMETRİK MATRİSLERİN ÖZDEĞERLERİ VE ÖZVEKTÖRLERİ
𝑛 × 𝑛 tipinden bir 𝐴 matrisinin bütün elemanları reel ise 𝐴 matrisi kompleks özdeğere sahip
olabilir. Şimdi 𝐴 ‘nın özdeğerlerinin reel sayılar olduğu önemli bir özel duruma göz atacağız.
Eğer 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ise (veya denk olarak 𝐴 = 𝐴𝑡 ) ise 𝑛 × 𝑛 tipinden 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] matrisine simetriktir
denir. Yani 𝐴 ‘nın satır ve sütunlarını değiştirdiğimizde yine aynı 𝐴 matrisini elde ediyoruz
demektir. Denk olarak 𝐴 matrisi esas köşegenine göre 𝑎𝑖𝑗 ‘lerin simetrikleri olan 𝑎𝑗𝑖 ‘lere eşittir.
Örneğin 2 × 2 tipinden aşağıdaki matris simetriktir.
−3 4
[
]
4 9
ve 3 × 3 tipinden;
1 0
[0 8
−5 2
−5
2]
−4
matrisi simetriktir. Bu matriste
𝑎13 = 𝑎31 = −5, 𝑎12 = 𝑎21 = 0, 𝑎23 = 𝑎32 = 2 ‘dir. Terminolojiye uygun olarak 𝐴 ‘nın bütün
elemanları reel sayı ise 𝐴 matrisine reel matris diyeceğiz.
Teorem 1.7
Reel ve simetrik bir matrisin özdeğerleri reel sayılardır.
̅̅̅̅̅̅̅̅
Teoremi ispatlamadan önce 𝑎 + 𝑖𝑏 kompleks sayısının eşleniğinin 𝑎 − 𝑖𝑏 olduğunu 𝑎
+ 𝑖𝑏
şeklinde gösterildiğini hatırlayalım. Bir 𝑧 sayısının reel olması için gerek ve yeterli şart 𝑧 = 𝑧̅
‘dir. Ayrıca;
(𝑎 + 𝑖𝑏)(𝑎 − 𝑖𝑏) = 𝑎2 + 𝑏 2
bir reel sayısır. Yani 𝑧 reel veya kompleks olsun, 𝑧. 𝑧̅ daima reel bir sayıdır. Eşleniğinin eşleniği
kendisine eşittir.
(𝑧̿) = 𝑧
ve
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏
ise;
(𝑧̿) = (𝑎 − 𝑖𝑏) = 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑧
dir. Karesel olması gerekmeyen bir matrisin eşleniği her bir matris elemanının eşleniği alınarak
yazılır ve 𝐴 matrisinin eşleniği 𝐴̅ ile gösterilir. 𝐴 bir (reel matris ise her bir elemanı eşleniğine
eşittir.) 𝐴 = 𝐴̅ olur. Tersini alarak 𝐴̅ = 𝐴 ise 𝐴 ‘nın her bir elemanı eşleniğine eşit olmalıdır.
Yani bir reel sayıdır. Dolayısıyla 𝐴 bir reel matristir. Bir matrisin transpozunun eşleniği matrisin
eşleniğinin transpozudur. Yani;
̅̅̅𝑡 ) = (𝐴)𝑡
(𝐴
dir. (𝐴𝑡 ) ‘yi elde etmek için birinci olarak 𝐴 ‘nın satır ve sütunlarının yerleri değiştirilir, daha
sonra her bir matris elemanındaki 𝑖 ‘lerle – 𝑖 ‘leri değiştiririz.
(𝐴)𝑡 ‘yi elde etmek için birinci olarak 𝐴 ‘nın satır ve sütunlarının yerleri değiştirili, daha sonra
her bir matris elemanındaki 𝑖 ‘lerle – 𝑖 ‘leri yer değiştirip sonra satır ve sütunları yer değiştiririz.
Bu iki işlem herhangi bir sırada yapılabilir. Aynı sonucu verir.
Örneğin;
1−𝑖
𝐴=[ 2
2𝑖
𝑖
3 + 4𝑖 ]
6+𝑖
olsun.
1−𝑖
𝐴𝑡 = [
𝑖
2
3 + 4𝑖
2𝑖
]
6+𝑖
dir.
1+𝑖
(𝐴𝑡 ) = [
−𝑖
2
3 − 4𝑖
−2𝑖
]
6−𝑖
olur. Aynı zamanda;
1+𝑖
𝐴=[ 2
−2𝑖
−𝑖
3 − 4𝑖 ]
6−𝑖
olur.
𝑡
(𝐴) = [
1+𝑖
−𝑖
2
3 − 4𝑖
−2𝑖
] = (𝐴𝑡 )
6−𝑖
dir. (1.4) denkleminden 𝐴 ‘nın transpozu ve eşleniği veya ters sırada yazılacak matrisi 𝐴𝑡 ile
göstereceğiz. Şimdi gerekli bilgileri verdikten sonra teoremi ispatlayalım.
Teorem 1.7
𝐴 matrisi 𝑛 × 𝑛 tipinden reel ve simetrik olsun. 𝐴 ‘nın bir özdeğerini 𝜆’nın bir reel olduğunu
göstermek istiyoruz. 𝜆 ‘ya karşılık gelen 𝐴 ‘nın bir özvektörü;
𝑥1
𝑋=[⋮]
𝑥𝑛
𝑡
olsun. 𝐴𝑋 = 𝜆𝑋 ‘dir. Bur denklemi sol taraftan 1 × 𝑛 tipinden 𝑋 = [𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ] matrisi ile
çarparsak;
𝑡
𝑡
𝑡
𝑋 𝐴𝑋 = 𝑋 𝜆𝑋 = 𝜆𝑋 𝑋
(1.5)
𝑡
elde edilir. 𝑋 𝑡 matrisi 1 × 𝑛 tipinden ve 𝑋 matrisi 𝑛 × 1 tipinden olduğundan 𝑋 𝑋 1 × 1
tipinden matristir.
𝑥1
𝑋 𝑋 = [𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ] = [ ⋮ ] = [𝑥1 𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑥]
𝑥𝑛
𝑡
𝑡
olur. Her bir 𝑗 için 𝑥𝑗 𝑥𝑗 reel sayı olduğundan 𝑋 𝑋 1 × 1 tipinden bir reel matristir. 1 × 1 tipinde
𝑡
𝑋 𝐴𝑋 matrisine bakarsak eşleniği;
𝑡
𝑡
𝑡
𝑋 𝐴𝑋 = (𝑋 ) 𝐴𝑋 = 𝑋 𝐴 𝑋 = 𝑋 𝑡 𝐴𝑋
(1.6)
dir. Bir reel matris olduğundan 𝐴 = 𝐴 olduğunu hatırlayalım, 𝑋 𝑡 𝐴𝑋 1 × 1 tipinden bir matristir.
Dolayısıyla matris transpozuna eşittir. Bölüm 1.3 ‘teki Teorem 1.6 ‘nın 2 ve 3 şıklarından;
𝑡
𝑡
𝑡
𝑋 𝑡 𝐴𝑋 = (𝑋 𝑡 𝐴𝑋) = 𝑋 𝐴𝑡 (𝑋 𝑡 )𝑡 = 𝑋 𝐴𝑋
(1.7)
elde edilir. Çünkü 𝐴 simetrik olduğundan 𝐴𝑡 = 𝐴 ‘dır. (1.6) denkleminin birinci kısmından ve
(1.7) denkleminin ikinci kısmından;
𝑡
𝑡
𝑋 𝐴𝑋 = 𝑋 𝐴𝑋
𝑡
sonucu bulunur. Yani 𝑋 𝐴𝑋 1 × 1 tipinden bir reel matristir. Şimdi (1.5) denklemine tekrar göz
𝑡
𝑡
atarsak, 𝑋 𝐴𝑋 matrisi reel ve 𝑋 𝑋 matrisi de reel olduğundan (1.5) denklemi 𝜆 ‘nın bir reel
sayı olmasını sağlar. Dolayısıyla teorem ispatlanmış olur.
Şüphesiz herhangi bir 𝜆 özdeğerine reel özvektörleri karşılık getirebiliriz. Çünkü özvektörler
(𝜆𝐼𝑛 − 𝐴)𝑋 = 0 sisteminin çözümleridir. 𝜆𝐼𝑛 − 𝐴 reel matrisinin elemanlarına uygulanan
aritmetik işlemler ile elde edilirler.
Sonuç olarak bir reel simetrik matris reel özdeğer ve özvektöre sahip olur. Bir reel simetrik
matrisin özvektörlerinin bir başka özelliğini belirtelim. Bir reel özvektör ℝ𝑛 ‘de bir vektör
olarak düşünebileceğimiz 𝑛 × 1 tipinden bir matristir. Bu ise bize 𝑛 boyutlu uzayda kullanılan
reel özvektörlerin geometrik ifadesini sağlama imkanı verir.
Teorem 1.8
𝐴 matrisi reel ve simetrik bir matris olsun. Bu takdirde 𝐴 ‘nın farklı özdeğerlerine karşılık gelen
özvektörler ortogonaldir.
İspat:
𝐴 matrisinin sırasıyla farklı özdeğerleri 𝜆 ve 𝜇 olsun ve başlangıç sırasıyla;
𝑥1
𝑦1
⋮
𝑋 = [ ] ve 𝑌 = [ ⋮ ]
𝑥𝑛
𝑦𝑛
özvektörlerine karşılık gelsin. 𝑌 ile 𝑋 ‘in iç çarpımının sıfır olduğunu göstereceğiz (𝑌 ve 𝑋 ‘i
ℝ𝑛 ‘de vektör olarak düşünüyoruz.) Yani;
< 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 >. < 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 > = 0
olduğunu göstereceğiz. 𝐴𝑋 = 𝜆𝑋 ve 𝐴𝑌 = 𝜇𝑌 ‘dir.
𝜆𝑋 𝑡 𝑌 = (𝜆𝑋)𝑡 𝑌 = (𝐴𝑋)𝑡 𝑌
= 𝑋 𝑡 𝐴𝑡 𝑌 = 𝑋 𝑡 (𝐴𝑌) = 𝑋 𝑡 (𝜇𝑌) = 𝜇𝑋 𝑡 𝑌
olur. 𝜆 − 𝜇 ≠ 0 olduğundan 𝑋 𝑡 𝑌 = 0 olur. Yani;
𝑥1 𝑦1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 0
dir. Fakat bu, 𝑛 boyutlu bu uzaydaki < 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 > ve < 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 > vektörlerin noktasal
çarpımıdır ve dolayısıyla bu iki vektör ortogonaldir. ℝ𝑛 ‘de bir vektör kümesini alalım. Eğer
kümedeki her bir vektör kümedeki diğer her bir vektöre ortogonal ise bu kümeye karşılıklı
ortogonaldir denir. Teorem 1.8 ‘den bir reel simetrik matrisin farklı özdeğerlerine karşılık gelen
özvektörler karşılıklı ortogonaldir.
Örnek 1.16
3 0 −2
𝐴=[ 0 2 0 ]
−2 0 0
olsun. 𝐴 reel ve simetrik bir matristir. 𝐴 ‘nın özdeğerleri 2, −1 ve 4 ‘tür. Bunlara karşılık gelen
özvektörler ise;
0 1
2
[1] , [0] ve [ 0 ]
0 2
−1
dir. ℝ3 ‘de vektörler olarak göz önüne alınan bu vektörler karşılıklı ortogonaldir. Şimdi sonraki
bölümde verilecek olan bir özelliğe dikkat çekelim. Örnek 1.16 ‘daki özvektörlerin biri
(listedeki birincisi) bir birim uzunluğuna sahiptir diğerlerinin uzunluğu √5 ‘dir sıfırdan farklı
bir skaler ile bir özvektörü çarparsak bir diğer özvektör bulunur. 1/√5 ile diğer iki özvektörü
çarparsak,
2/√5
0 1/√5
[1] , [ 1 ] ve [ 1 ]
0 2/√5
−1/√5
özvektörleri elde edilir. Bu özvektörler ℝ3 ‘deki karşılıklı ortogonal birim vektörleri oluşturur.
Ayrıca sütunları bu özvektörler olan bir 𝑄 matrisi alırsak;
0
1
2
√5
0
1
0
−
[
√5
√5]
𝑄= 1
√5
0
2
olur. 𝑄, 𝐴 ‘yı köşegenleştirir fakat aynı zamanda 𝑄 −1 = 𝑄 𝑡 özelliğine sahiptir. Böyle matrise
ortogonal matris adı verilir.
Sonraki
bölümde
bir
reel
simetrik
matrisin
daima
ortogonal
matris
ile
nasıl
köşegenleştirilebileceğini göreceğiz.
Örnek 1.17
𝐴=[
6 1
]
1 4
Reel ve simetrik matrisin özdeğerlerini bulunuz. Her bir özdeğere karşılık gelen özvektörü
bulunuz. Noktasal çarpımı kullanarak farklı özdeğerlere karşılık gelen özvektörlerin karşılıklı
ortogonal olup olmadıklarını kontrol ediniz.
Çözüm:
Bu soruyu yapabilmek için ilk önce özdeğerleri ve bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri
bulmalıyız.
|𝐴 − 𝜆𝐼2 | = |6 − 𝜆
1
1
|=0
4−𝜆
ifadesinden özdeğerler 𝜆1 = 5 + √2 ve 𝜆2 = 5 − √2 olarak bulunur. Şimdi bunlara karşılık
gelen özvektörleri bulalım.
𝜆1 = 5 + √2 özdeğerine karşılık gelen özvektör [
−𝑘
] (𝑘 ≠ 0) olarak bulunur.
(−1 + √2)𝑘
−𝑚
𝜆2 = 5 − √2 özdeğerine karşılık gelen özvektör ise [(1 +
] (𝑚 ≠ 0) olarak bulunur.
√2)𝑚
𝜆1 ve 𝜆2 özdeğerlerine karşılık gelen farklı özvektörler sırasıyla 𝑘 = 1 ve 𝑚 = 1 değerleri için;
[
−1
−1
] ve [
]
(−1 + √2)
1 + √2
olarak bulunabilir. Buradan yola çıkarak;
⟨−1, −1 + √2⟩. ⟨−1,1 + √2⟩ = 2 ≠ 0
olduğundan bu iki özvektör karşılıklı ortogonal değildirler.
Örnek 1.18
4 −2
𝐴=[
]
−2 1
Reel ve simetrik matrisin özdeğerlerini bulunuz. Her bir özdeğere karşılık gelen özvektörlerin
karşılıklı ortogonal olup olmadıklarını kontrol ediniz.
Çözüm:
Bu işlemi yapabilmek için ilk önce özdeğerleri ve bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri
bulmalıyız.
|𝐴 − 𝜆𝐼2 | = |4 − 𝜆
−2
−2
|=0
1−𝜆
ifadesinden özdeğerler 𝜆1 = 0 ve 𝜆2 = 5 olarak bulunur. Şimdi bunlara karşılık gelen
özvektörleri bulalım.
𝜆1 = 0 özdeğerine karşılık gelen özvektör [
𝑘
] (𝑘 ≠ 0) olarak bulunur.
2𝑘
𝜆2 = 5 özdeğerine karşılık gelen özvektör ise
[
−2𝑚
] (𝑚 ≠ 0) olarak bulunur.
𝑚
𝜆1 ve 𝜆2 özdeğerlerine karşılık gelen farklı özvektörler 𝑘 = 1 ve 𝑚 = 1 değerleri için;
1
−2
[ ] ve [ ]
2
1
olarak bulunabilir. Buradan yola çıkarak;
⟨1,2⟩. ⟨−2,1⟩ = 0
olduğundan bu iki özvektör karşılıklı ortogonaldirler.
Örnek 1.19
0 1 0
𝐴 = [1 −2 0]
0 0 3
Reel ve simetrik matrisin özdeğerlerini bulunuz. Her bir özdeğere karşılık gelen özvektörü
bulunuz. Noktasal çarpımı kullanarak farklı özdeğerlere karşılık gelen özvektörlerin karşılıklı
ortogonal olup olmadıklarını kontrol ediniz.
Çözüm:
Bu işlemi yapabilmek için ilk önce özdeğerleri ve bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri
bulmalıyız.
−𝜆
|𝐴 − 𝜆𝐼3 | = | 1
0
1
−2 − 𝜆
0
0
0 |
3−𝜆
ifadesinden özdeğelrer 𝜆1 = −1 + √2, 𝜆2 = −1 − √2 ve 𝜆3 = 3 olarak bulunur. Şimdi bunlara
karşılık gelen özvektörleri bulalım.
−𝑘
𝜆1 = −1 + √2 özdeğerine karşılık gelen özvektör [(−1 + √2)𝑘] (𝑘 ≠ 0) olarak bulunur.
0
−𝑚
𝜆2 = −2 − √2 özdeğerine karşılık gelen özvektör [−(1 + √2)𝑚] (𝑚 ≠ 0) olarak bulunur.
0
0
𝜆3 = 3 özdeğerine karşılık gelen özvektör ise [0] (𝑛 ≠ 0) olarak bulunur.
𝑛
𝜆1 , 𝜆2 ve 𝜆3 özdeğerlerine karşılık gelen farklı özvektörler sırasıyla 𝑘 = 1, 𝑚 = 1 ve 𝑛 = 1
değerleri için;
−1
−1
0
[−1 + √2] , [−1 − √2] ve [0]
1
0
0
olarak bulunabilir. Buradan yola çıkarak tüm ikişerli noktasal iç çarpımlarını hesaplarsak hepsi
sıfır çıkar. Bu ise bunların karşılıklı ortogonal olduklarını gösterir.