BÖLÜM-7 7.1 İLERLEYEN DALGALAR Dalga kavramı titreşim

BÖLÜM-7
7.1
İLERLEYEN DALGALAR
Dalga kavramı titreşim hareketi yapan bir fiziksel niceliğin maddi ortamda veya
boşlukta yayılması olarak tanımlanabilir. Günlük yaşantımızda her zaman
karşılaştığımız su dalgaları, ses dalgaları, ışık dalgaları, radyo dalgaları vardır. Bu
bölümde esnek ortamdaki mekanik dalgalar ve boşlukta yayılan elektromanyetik
dalgalar incelenecektir. Dalga konularını işlerken sık sık karşılaşacağımız bazı
kavramlar ve sınıflamalar aşağıda özetlenmiştir.
Mekanik dalgalar:
Mekanik dalgalar esnek ortamın denge konumu etrafında salınması sonucu oluşur.
Ortamın içinde birbirlerine komşu noktalar arasındaki esneklik kuvvetinden dolayı
etki bir noktadan diğerine aktarılır. Sonuç olarak mekanik dalgalar, maddenin
kendisi yer değiştirmeden, hareketin yer değiştirmesi sonucu oluşurlar ve enerjinin
madde içinde bir noktadan diğerine iletilmesini sağlarlar. Mekanik dalgaların
iletilmesi için maddi bir ortam gereklidir.
Elektromanyetik dalgalar:
Elektromanyetik dalgalar boşlukta ve maddesel ortamda yayılabilirler. Tüm
elektromanyetik dalgalar boşlukta aynı hızla hareket ederler. Elektromanyetik
⃗ ) alan
dalgalarda titreşen fiziksel nicelik birbirine dik elektrik (𝐸⃗ ) ve manyetik (𝐵
vektörleridir (Şekil-7.1). İleriki konularda elektromanyetik dalgalara daha
yakından bakacağız.
Şekil-7.1 Elektromanyetik dalganın şematik gösterimi.
1
Dalga hareketini mekanik dalgalar (ip veya teldeki dalgalar, ses dalgaları, su
dalgaları, vb.) ve elektromanyetik dalgalar (ışık dalgaları, mikrodalgalar, radyo
dalgaları vb.) olarak sınıflarken, dalgaların temel fiziksel özellikleri dikkate alındı.
Dalgalar başka özellikleri de dikkate alınarak sınıflandırılmaktadır.
Enine dalgalar:
Eğer dalgayı taşıyan ortam parçacıklarının hareketi, dalganın ilerleme (yayılma)
doğrultusuna dik ise, bu dalgalara enine dalgalar adı verilir. Örneğin, gerilim
altındaki yatay ip bir ucundan titreşebilen esnek metal bir şerit ucuna bağlanır ve
metal şerit titreştirilirse ipte enine dalgalar oluşur ve oluşan dalgalar ip boyunca
ilerler (Şekil-7.2). İp üzerindeki P noktasının yatay konumunun değişmediğine
dikkat ediniz. Daha sonra inceleyeceğimiz elektromanyetik dalgalar da enine
dalgalardır.
Şekil-7.2 Gerilmiş ipte oluşan enine dalgalar.
Boyuna dalgalar:
Eğer mekanik dalgayı taşıyan parçacıkların titreşim doğrultusu dalganın yayılma
doğrultusu ile aynı ise bu dalgalara boyuna dalgalar denir. Örneğin gerilim
altında yatay durumdaki helezon yay, bir ucundan tutulup periyodik olarak ilerigeri hareket ettirilirse boyuna dalgalar oluşur ve oluşan dalgalar yay boyunca
ilerler (Şekil-7.3). Gaz içindeki ses dalgaları da boyuna dalgalardır.
2
Şekil-7.3 Helezon bir yayda oluşan boyuna dalgalar.
Su dalgaları:
Bazı dalgalar ise, hem enine hem de boyuna hareketlerden oluşur. Örneğin su
yüzeyindeki dalgalarda su parçacıkları, su dalgaları hareket ettikçe ileri-geri ve
yukarı-aşağı (enine ve boyuna) hareket ederek, derin sularda dairesel, sığ sularda
eliptik yörüngeler izlerler (Şekil-7.4). Su bulunduğu noktadaki ileri-geri hareketini
komşu su kütlelerine taşıyarak dalga hareketini oluşturur. Boyuna hareket, kendine
eşlik eden enine hareketi de beraberinde taşır. Şekilde görüldüğü gibi yüzeyden
aşağı inildikçe dalganın etkisinin azaldığına dikkat ediniz. Şekil-7.4’de derin
sulardan kıyıya yaklaşan dalganın davranışı verilmiştir. Su derinliği azaldıkça
dalga boyunun küçüldüğü, dalga yüksekliğinin arttığı görülmektedir. Bu sonuç sığ
sularda dalga hızının daha küçük olması demektir. Şekil-7.4b’de ise kıyıya
yaklaşan bir dalganın kırılmasını gösterir bir resim verilmiştir.
Şekil-7.4 (a) Su dalgalarının derin sulardan kıyıya yaklaşırken davranışı. (b) Derin
sulardan gelen dalganın kıyıya yaklaşırken kırılmasını gösterir bir resim.
Bir, iki ve üç boyutlu dalgalar:
Dalgalar enerji yaydıkları boyutların sayısına göre bir, iki ve üç boyutlu dalgalar
olarak da sınıflandırılırlar. İp ve yay boyunca hareket eden dalgalar tek boyutludur.
3
Havuzdaki durgun suya bir çakıl taşının düşmesi ile suyun yüzeyinde oluşan
dalgalar iki boyutludur (Şekil-7.5). Küçük bir kaynaktan radyal yönde yayılan ses
dalgaları veya ışık dalgaları üç boyutludur.
Şekil-7.5 Suda oluşturulan iki boyutlu dalgalar. Şeklin altında, düz çizgi
boyunca, kağıt düzlemine dik kesitin grafiği verilmiştir.
Periyodik dalgalar:
Bir kaynak eşit zaman aralıkları ile eşit dalgalar üretiyorsa oluşan dalgalara
periyodik dalgalar denir. Eğer ipteki atma hareketi periyodik ise, periyodik dalga
katarı meydana gelir. Dolaysıyla ipteki her bir noktanın hareketi periyodiktir.
Periyodik dalgaların en çok karşılaşılanı, basit harmonik dalgalardır (Şekil-7.6).
Bu ders kapsamında esas olarak periyodik dalgalarla ilgileneceğiz.
Şekil-7.6 BHH’in oluşturduğu periyodik dalgalar.
4
Dalga cephesi ve ışın:
Üç boyutlu bir atma düşünelim. Verilen bir anda aynı etki altında kalan
noktalardan geçen bir yüzey tanımlayabiliriz. Zaman ilerledikçe bu yüzey atmanın
nasıl yayıldığını gösterecek şekilde hareket eder. Periyodik dalgada titreşim
fazının aynı olduğu tüm noktaların birleştirilmesiyle oluşan yüzeylere dalga
cepheleri adı verilir. Bir dalga cephesinin üzerinde tüm noktalarda geçen
dalgaların fazı birbirine eşit olduğu gibi birbirini tekrarlayan dalga cepheleri
üzerindeki fazlar da aynıdır. Bir faz için kendini tekrarlayan dalga cepheleri
arasındaki uzaklık dalganın dalga boyuna eşit olur. Eğer ortam homojen ve
izotropik ise dalganın yayılma yönü daima dalga cephesine diktir. Dalganın
hareket yönünü gösteren ve dalga cephelerine dik olan çizgilere ise ışın adı
verilir. Şekil-7.7a’de şematik olarak dalga cephesi ve ışınlar gösterilmiştir.
Şekil-7.7 Dalga cephesi ve ışınlar.
Düzlem dalgalar:
Eğer etkiler sabit bir yönde yayılıyorsa, oluşan dalgalara düzlem dalgalar denir
yani dalga cepheleri düzlemlerdir (Şekil-7.7b).
Küresel dalgalar:
Diğer basit bir durum küresel dalgalardır. Bu durumda dalga noktasal kaynaktan
çıkarak bütün yönlere yayılır. Dalga cepheleri küre yüzeyleridir. Işınlar noktasal
kaynaktan çıkan radyal yöndeki çizgilerdir (Şekil-7.8).
5
Şekil-7.8. Küresel dalga cephesi ve radyal ışınlar.
7.2
İLERLEYEN DALGLAR VE NORMAL MODLAR
Bir ucu sabit uzun bir ipin diğer ucunun istenilen mod frekansında basit harmonik
hareket yapacak şekilde düşey olarak titreştirilerek belli bir modu elde edilebilir.
Eğer ipin ucu periyodik olarak titreştirilirse oluşan dalga 𝑥 ‘in sinüzodial bir
fonksiyonu şeklinde davranır (Şekil-7.9).
Şekil-7.9 Uzun bir ip üzerinde ilerleyen dalganın meydana getirilmesi.
Bu dalga ipin bağlı ucuna (𝑥 = 𝐿) ulaştığı zaman yansıma olayı ortaya çıkar ve
ipin üzerindeki herhangi bir noktanın hareketi iki zıt yönde hareket eden dalgaların
bileşkesi şeklinde olur. Yansıyan dalga dışarıdan titreştirilen uca ulaştığı zaman,
eğer frekans (𝑓), ipin uzunluğu (𝐿), ipin birim uzunluk başına kütlesi () ve ipteki
gerilme (𝑇) uygun ilişki içinde olurlarsa ip üzerinde tam olarak istenilen modda bir
duran dalga oluşur. Bundan sonra ip bir normal mod karakteristiğinde titreşmeye
devam eder. Yani her bir nokta BHH yaparak enine titreşir ve belli düğüm
noktaları sürekli olarak durgunluğunu muhafaza eder. Şekil-7.10'da dört kararlı
mod için şematik çizim ve deneysel fotoğraflar verilmiştir. Buna benzer bir deneyi
Fizik Lab-I dersinde yaptığınızı hatırlayınız.
6
Şekil-7.10 Gerilmiş bir ipte ilk dört modun şekli. (a) Şematik çizim ve (b)
deneysel fotoğraflar. Burada N düğüm (node) ve A karın (anti node) noktalarını
göstermektedir.
Gerilmiş bir ipin normal modlarının analizi daha önceki konularda verilmişti. Her
iki ucu bağlı 𝐿 uzunluğundaki bir ipin, sonsuz sayıda normal moda sahip
olabileceğini ve n’inci modun
𝑛𝜋𝑥
𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 (
𝐿
) 𝑐𝑜𝑠 ω𝑛 𝑡
(7.1)
𝑛 = 1,2,3. ..
(7.2)
ifadesi ile verilebileceğini görmüştük. Burada
ω𝑛 =
𝑛𝜋𝑣
𝐿
=
𝑛𝜋 𝑇
𝐿
1⁄
2
(𝜇)
n’inci modun frekansı, T ipteki gerilim kuvveti, 𝜇 ipin boyca kütle yoğunluğu
olduğunu tekrar hatırlatalım.
Şimdi Eşitlik-7.1)’i değişik bir biçime ifade etmek için
sin(𝐴 + 𝐵) + sin(𝐴 − 𝐵) = 2𝑠𝑖𝑛
(𝐴+𝐵)+(𝐴−𝐵)
2
𝑐𝑜𝑠
(𝐴+𝐵)−(𝐴−𝐵)
2
= 2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵
(7.3)
trigonometrik özdeşliğinden yararlanacağız. Bu özdeşlik kullanılarak 𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡)’i
𝑛𝜋𝑥
1
𝑛𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑥
𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 (
− 𝜔𝑛 𝑡) + 𝑠𝑖𝑛 (
+ 𝜔𝑛 𝑡)]
) 𝑐𝑜𝑠 ω𝑛 𝑡 = 𝐴𝑛 [𝑠𝑖𝑛 (
𝐿
2
𝐿
𝐿
(7.4)
7
şeklinde yazabiliriz. Böylece iki ucu bağlı ipin enine titreşimlerinin n’inci modu
için
1
𝑛𝜋𝑥
2
𝐿
𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 (
1
𝑛𝜋𝑥
2
𝐿
− ω𝑛 𝑡) + 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 (
+ ω𝑛 𝑡)
(7.5)
yazabiliriz. Burada 𝜔𝑛 yerine (7.2)’de verilen ifade kullanılırsa n’inci mod için
1
𝑛𝜋
2
𝐿
𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 [
𝑇
1
𝑛𝜋
𝑇
(𝑥 − √µ 𝑡)] + 2 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 [ 𝐿 (𝑥 + √µ 𝑡)]
(7.6)
𝑇
ifadesi elde edilir. Dalganın ilerleme (yayılma) hızı için 𝑣 = √ ifadesinin geçerli
µ
olduğunu biliyoruz. Bunu (7.6) ifadesinde kullanılırsak
1
𝑛𝜋
2
𝐿
𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 [
1
𝑛𝜋
2
𝐿
(𝑥 − 𝑣𝑡)] + 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 [
(𝑥 + 𝑣𝑡)]
(7.7)
yazılabilir. İki ucu bağlı bir ip üzerinde oluşan n’inci mod için 𝜆𝑛 = 2𝐿/𝑛 veya
𝐿=
𝑛𝜆𝑛
2
olduğunu hatırlayalım. Bu değer 7.7 ifadesine yerine konulursa
1
2𝜋
1
2𝜋
𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 [ (𝑥 − 𝑣𝑡)] + 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 [ (𝑥 + 𝑣𝑡)]
2
𝜆𝑛
2
𝜆𝑛
⏟
⏟
𝑦𝐼 (𝑥,𝑡)
(7.8)
𝑦𝐼𝐼 (𝑥,𝑡)
elde edilir. Bu ifade, 𝑥 ekseni üzerinde zıt yönlerde ilerleyen iki sinüs dalgasının
toplamını ifade eder. Bu ifadede sağdaki birinci terimi ele alalım:
1
2𝜋
2
𝜆𝑛
𝑦𝐼 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 [
(𝑥 − 𝑣𝑡)]
(7.9)
Bu fonksiyon maksimumlar arası 𝜆𝑛 (=dalga boyu) olan ve soldan sağa doğru
ilerleyen bir sinüs dalgasıdır. Şimdi 𝑥 ve 𝑡 ’nin belli değerlerine karşılık gelen
𝑦’nin herhangi bir değerine dikkatimizi yoğunlaştıralım. 𝑡’den kısa bir süre sonra
(∆𝑡) 𝑦’nin aynı değeri nerede alabileceğine bakalım. Yaklaşık yer değiştirme ∆𝑥
ise
𝑦𝐼 (𝑥, 𝑡) = 𝑦𝐼 (𝑥 + ∆𝑥, 𝑡 + ∆𝑡)
(7.10)
olmalıdır (Şekil-7.11).
8
Şekil-7.11. Pozitif x yönünde ilerleyen dalganın 𝑡 ve 𝑡 + ∆𝑡 anındaki görüntüsü
Bu durumda Denklem (7.9)’den
𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋
𝜆𝑛
(𝑥 − 𝑣𝑡)] = 𝑠𝑖𝑛 (
2𝜋
𝜆𝑛
[(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑣(𝑡 + ∆𝑡)]) = 𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋
𝜆𝑛
(𝑥 − 𝑣𝑡) +
2𝜋
𝜆𝑛
(∆𝑥 − 𝑣∆𝑡)]
(7.11)
yazılır. Bu eşitliğin olabilmesi için
∆𝑥 − 𝑣∆𝑡 = 0
(7.12)
olmalıdır. Buradan
𝑣=
∆𝑥
(7.13)
∆𝑡
yazabiliriz. Bu ifade bize, Şekil-7.11’de görüldüğü gibi Denklem (7.8)’in sağ
tarafındaki birinci terimin pozitif 𝑥 yönünde 𝑣 hızı ile hareket eden bir dalgayı
temsil ettiğini gösterir.
Benzer şekilde ikinci terim ise
1
2𝜋
2
𝜆𝑛
𝑦𝐼𝐼 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 [
(𝑥 + 𝑣𝑡)]
(7.14)
negatif 𝑥 yönünde 𝑣 hızı ile hareket eden bir dalgaya karşılık gelir.
7.3 BİR YÖNDE İLERLEYEN DALGALAR
Bundan önceki kesimde iki ucundan bağlı gerilmiş bir ipin titreşimlerinin bir
normal modunun, hareket yönleri zıt olmak üzere, birbirinin tamamen aynısı olan
iki ilerleyen sinüs dalgasının basit toplamı olarak verildiğini gördük.
9
Şimdi bir ucu sabit ve toplam uzunluğu dalga boyuna göre oldukça büyük olan
(𝐿 ≫ 𝜆) gerilmiş bir ipi göz önüne alalım. İpin uzun seçilmesinin nedeni bağlı
uçtan yansıma etkisi başlamadan yeterince gözlem zamanı sağlamaktır.
𝑥 = 0 noktasından itibaren sağa doğru ilerleyen dalga,
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋
λ
(𝑥 − 𝑣𝑡)]
(7.15)
ifadesiyle verilir. Bu dalganın meydana getirilmesi belli bir 𝑓 frekansı ve 𝐴 genliği
ile ipin sol ucunun ( 𝑥 = 0 noktası) BHH yapacak şekilde aşağı-yukarı
titreştirilmesiyle olur.
Herhangi bir anda (𝑡 = 𝑡0 ) ipin görünümü
𝑦(𝑥, 𝑡0 ) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
ifadesine uyar. Burada 𝜑0 =
2𝜋
2𝜋𝑣𝑡0
𝜆
λ
(𝑥 − 𝑣𝑡0 )] = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋𝑥
λ
− 𝜑0 ]
(7.16)
dalganın bir anlık görünümünü belirleme
amacına yönelik sabit bir açıdır.
İpin 𝑥 = 0 ’daki ucu 𝑡 = 𝑡1 anına kadar durgun, 𝑡 = 𝑡1 ile 𝑡 = 𝑡2 arasında
sinüzoidal olarak titreşip, 𝑡 = 𝑡2 anından sonra yeniden durgun kalması
durumunda ipin görünümü 𝑥 = 𝑥1 ve 𝑥 = 𝑥2 noktaları arasında sınırlandırılmış bir
sinüs dalga katarı şeklinde olacaktır (Şekil-7.12).
Şekil-7.12. Belli bir bölgeye sıkışmış dalga katarı.
İp üzerinde 𝑥 = 0 noktasından çok uzaklarda dalga katarının ön ucu 𝑡 = 𝑡1 ’de
titreşime başlaması, dalga katarının arka ucu 𝑡 = 𝑡2 ’de titreşimin bitmesine
karşılık gelir. Böylece
𝑥1 − 𝑥2 = 𝑣(𝑡2 − 𝑡1 )
(7.17)
ifadesi yazılabilir. Bu durum, dalganın yayılması ile ilgili oldukça önemli bir
sonucu göstermektedir: Sabit v hızı ile ip boyunca dalganın yayılması, belli bir
10
noktadaki uzanımdaki değişimin, göz önüne alınan herhangi bir zaman aralığında
başka bir noktaya taşınması anlamına gelir.
Dalga hareket ettikçe, ip üzerindeki her nokta denge konumu etrafında BHH
yaparak aşağı-yukarı salınır. Bir sinüzoidal dalga bir ortamdan geçerken,
ortamdaki her parçacık aynı frekansla basit harmonik hareket yapar. Bu durumda
+x ekseni yönünde v hızı ile ilerleyen  dalga boyuna sahip bir dalga fonksiyonu
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋
λ
(𝑥 − 𝑣𝑡)] = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − ω𝑡)
(7.18)
ifadesi ile verilir.
Burada 𝑘𝑥 − ω𝑡 niceliği faz olarak adlandırılır. Bu nicelik (7-8) denkleminde
açısal bir rol oynar ve her zaman radyan cinsinden ölçülür. Herhangi bir x ve t için
değeri, o nokta ve anda sinüzoidal periyodun hangi kısmının gerçekleştiğini
belirler.
7.4 DALGA VE PARÇACIK HAREKETİ
Enine dalganın ip boyunca hareketi ile ip üzerindeki bir parçacığın enine
hareketinin arasındaki farka dikkat ediniz. Parçacığın hareketi ipin doğrultusuna
dik (enine) iken, dalga sabit v hızıyla ipin doğrultusunda hareket eder. Bir tam
dalga deseninin boyu, bir tepe ile bir sonraki tepe veya bir çukur ile sonraki çukur
ya da herhangi bir nokta ile bir tur sonra o noktaya denk gelen nokta arasındaki
uzaklıktır. Başka bir deyişle ardışık aynı fazlı noktalar arası uzaklıktır. Bu uzaklığa
dalga boyu denir ve  ile gösterilir. Dalga deseni (ortam değişmediği sürece) sabit
𝑣 hızı ile hareket eder ve bir periyotluk (𝑇) zamanda bir dalga boyu () kadar
ilerler. Buna göre dalganın ilerleme hızı 𝑣 = 𝜆/𝑇 veya 𝑓 = 1/𝑇 olduğu için
𝑣 = 𝜆𝑓
(7.19)
dir. Yani dalganın ilerleme hızı dalga boyu ve frekansın çarpımına eşittir. Frekans
periyodik dalganın tümünün bir özelliğidir çünkü ipin tüm noktaları aynı frekansla
salınır. Dalga hızı ortamdan ortama değişir ve o ortamın özellikleri tarafından
11
belirlenir. Daha sonraki kesimlerde dalga hızının frekansa bağlı olduğu durumlara
da değineceğiz.
7.5
DALGA DENKLEMİ
Şimdi 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋
𝜆
(𝑥 − 𝑣𝑡)] ifadesi ile verilen bir boyutta ilerleyen
dalganın diferansiyel denklemini yazalım. Bu diferansiyel denklem, 𝑡 ve 𝑥’e göre
𝑦 yer değiştirmesinin kısmi türevleri arasında bir ilişki olacaktır. Bir yönde
ilerleyen dalgaların yer değiştirme ifadesinden,
𝜕𝑦
𝜕𝑥
=
2𝜋
λ
𝐴𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋
λ
(𝑥 − 𝑣𝑡)] ve
𝜕𝑦
𝜕𝑡
=−
2𝜋𝑣
λ
𝐴𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋
λ
(𝑥 − 𝑣𝑡)]
(7.20)
ifadeleri elde edilir. Bu dalganın diferansiyel denklemini,
𝜕𝑦
𝜕𝑥
1 𝜕𝑦
=−
(7.21)
𝑣 𝜕𝑡
şeklinde yazabilirmiyiz? Bunu yazmamızı engelleyen herhangi bir neden yoktur.
Fakat yazılan ifade sadece pozitif x yönünde ilerleyen dalgalara uygulanabilir.
Negatif x-ekseni yönünde ilerleyen dalgaların yer değiştirme ifadesinin,
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋
(𝑥 + 𝑣𝑡)]
λ
(7.22)
şeklinde olduğunu biliyoruz. Bu ifadenin x ve t’ye göre birinci türevi alınırsa
𝜕𝑦
𝜕𝑥
=
2𝜋
λ
𝐴𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋
λ
𝜕𝑦
(𝑥 + 𝑣𝑡)] ve
𝜕𝑡
=
2𝜋𝑣
λ
𝐴𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋
λ
(𝑥 + 𝑣𝑡)]
(7.23)
elde edilir. Bu durumda diferansiyel denklem
𝜕𝑦
𝜕𝑥
=
1 𝜕𝑦
(7.24)
𝑣 𝜕𝑡
olacaktır. İki yön için elde edilen denklemler birbirinden işaret olarak farklıdır.
Şimdi her iki yönde ilerleyen dalgaların
𝜕2 𝑦
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑦
𝜕𝑡 2
2𝜋 2
𝜕2 𝑦
𝜕2 𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑡 2
ve
2
2𝜋
= − ( λ ) 𝐴𝑠𝑖𝑛 [ λ (𝑥 − 𝑣𝑡)] ve
2𝜋𝑣 2
= −(
λ
2𝜋
) 𝐴𝑠𝑖𝑛 [ λ (𝑥 − 𝑣𝑡)] ve
𝜕2 𝑦
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑦
𝜕𝑡 2
türevlerini hesaplarsak,
2𝜋 2
2𝜋
= − ( λ ) 𝐴𝑠𝑖𝑛 [ λ (𝑥 + 𝑣𝑡)]
2𝜋𝑣 2
= −(
λ
2𝜋
) 𝐴𝑠𝑖𝑛 [ λ (𝑥 + 𝑣𝑡)]
(7.25)
(7.26)
elde ederiz. Bunları karşılaştırırsak
12
𝜕2 𝑦
𝜕𝑥 2
=
1 𝜕2 𝑦
(7.27)
𝑣 2 𝜕𝑡 2
sonucunu elde ederiz. Bu sonuç herhangi bir yönde hareket eden, herhangi bir
dalga boyuna sahip sinüs dalgası için geçerli olan diferansiyel denklemdir. Bu
ifadenin, 6. Bölümde incelenen gerilmiş ip ya da lineer geri çağırıcı kuvvetlere
maruz kalan bir boyutta sürekli sistemlerin normal modlarını bulmamıza yarayan
hareket denklemi ile aynı olduğuna dikkat ediniz.
Denklem (7.27) sadece enine dalgalar göz önüne alınarak elde edildi. Benzer
şekilde elastik bir çubuk boyunca ilerleyen boyuna dalgalar için ise
𝜕2 ξ
𝜕𝑥 2
=
1 𝜕2 ξ
(7.28)
𝑣 2 𝜕𝑡 2
denklemini yazabiliriz.
İleriki konularada elektromanyetik dalgaların da aynı formda diferansiyel
denklemlerle ifade edileceklerini göreceğiz.
NOT:
 +x yönünde ilerleyen dalgayı 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋
λ
(𝑥 − 𝑣𝑡)] fonksiyonu ile
veya kompleks üstel fonksiyon kullanarak 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑒
𝑖[
2𝜋
λ
(𝑥−𝑣𝑡)]
şeklinde
temsil edebiliriz.
 –x yönünde ilerleyen dalgayı ise 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑐𝑜𝑠 [
ile veya
2𝜋
λ
(𝑥 + 𝑣𝑡)] fonksiyonu
kompleks üstel fonksiyon kullanarak 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑒
𝑖[
2𝜋
λ
(𝑥+𝑣𝑡)]
şeklinde de temsil edebiliriz.
7.6 ÖZEL ORTAMLARDA DALGA HIZLARININ HESAPLANMASI
7.6.1 Gerilmiş ipte (ya da telde) dalga hızı
a)
Boyca kütle yoğunluğu µ = 0,5 𝑔/𝑚 olan ipin 𝑇 = 100 𝑁’luk bir
kuvvetle gerildiğini farz edelim. Böyle bir ipte dalga hızı
𝑣 = √ 𝑇/𝜇
13
bağıntısı ile verildiğini biliyoruz. Verilen sayısal değerleri kullanarak hız değeri
için
𝑣=√
𝑇
100
=√
≅ 447 𝑚/𝑠
µ
0,5𝑥10−3
elde edilir.
Eğer µ = 1 𝑘𝑔/𝑚 olan bir halat aynı değerde bir kuvvetle gerilirse hız
b)
değeri
𝑣 = 10 𝑚/𝑠
olur. Halat kalınlığı (boyca kütle yoğunluğu) arttıkça hız değerinin küçüldüğüne
dikkat ediniz.
7.6.2 Katı çubuklarda boyuna dalga hızı
Bir çubuğun uzunluğu boyunca hareket eden dalgaların 𝑣 hızı, Young modülü (Y)
ve çubuğun yoğunluğu (𝜌) cinsinden
𝑌
𝑣=√
𝜌
ifadesi ile verilir. Aşağıdaki çizelgede bazı katı maddelerin Young modülü,
yoğunluğu ve deneysel ve teorik dalga hızları verilmiştir.
Tablo 7.1. Bazı maddelerin Young modülleri ve bu maddeler içinde ses hızları.
Madde
Alüminyum
Granit
Kurşun
Nikel
Pyrex
Gümüş
𝑌 (N/m2)
6x1010
5x1010
1,6x1010
21,4x1010
6,1x1010
7,5x1010
 (kg/m3)
2,7x103
2,7x103
11,4x103
8,9x103
2,25x103
10,4x103
𝑣 = √𝑌/𝜌 (m/s)
4700
4300
1190
4900
5200
2680
𝑣(m/s) (Deneysel)
5100
5000
1320
4970
5500
2680
7.6.3 Sıvı dolu borularda ses hızı
Bir sıvının elastik özelliği, gazlarda olduğu gibi, hacim modülü B ile karakterize
edilir. katılara göre daha fazla sıkışabilirler (yoğunlukları çok küçük olduğu
sürece). Bu nedenle sıvılarda ses hızı katılardakine göre daha düşüktür. Suyun
14
hacmi, 500 atm’lik ( 1 𝑎𝑡𝑚 ≅ 105 𝑁/𝑚2 ) bir basıncın uygulanmasıyla %2,3
civarında azalır. Bu değerler kullanılırsa hacim modülü için.
𝐵=
𝑃
∆𝑉/𝑉
=
500x105
0,023𝑉/𝑉
=
500
23
x108
𝑁
𝑚2
= 2,2x109 Pascal (kısaca Pa)
değeri bulunur. Suyun yoğunluğu 𝜌 ≅ 103 𝑘𝑔/𝑚3 dir. Bu durumda su içinde ses
dalgasının hızı,
𝑣=√
𝐵
2,2x109
√
=
≅ 1483 𝑚/𝑠
𝜌
103
olarak elde edilir.Fizik Lab. III dersinde sıvılarda ses hızı ölçümü yapacaksınız.
7.6.4 Gaz ile dolu borularda ses hızı
Gazlarda ses hızının
𝑣=√
𝛾𝑃
𝜌
ile verildiğini daha önce tartışmıştık. Burada 𝛾 = 𝐶𝑝 ⁄𝐶𝑉 olup tek atomlu gazlar
için 1,67; iki atomlu gazlar için 1,40 olduğunu biliyoruz. Hava yaklaşık iki atomlu
gazlardan
oluşmuştur.
𝑃 = 1 𝑎𝑡𝑚 ≅ 105
𝑁
𝑚2
Havanın
yoğunluğu
𝜌ℎ𝑎𝑣𝑎 ≅ 1,2
𝑘𝑔
𝑚3
ve
basıncı
alınabilir. Bu durumda havada ses hızı için
𝑣=√
𝛾𝑃
1,40𝑥1𝑥105
=√
≅ 341 𝑚/𝑠
𝜌
1,2
sonucunu elde ederiz.
İdeal gazlarda ses hızı için
𝛾𝑅𝑇
𝑣=√
𝑀
ifadesinin kullanıldığını biliyoruz. Örneğin hava için oda sıcaklığında
(𝑇 = 20 ℃ = 293 𝐾) ses hızı için
𝑣=√
1,4x8,314x293
≅ 343 𝑚/𝑠
0,03895
elde ederiz. Burada 𝛾 = 𝐶𝑝 ⁄𝐶𝑉 ≅ 1,40, 𝑅 = 8,314 J/mol. K ve
𝑀 = 0,03895 kg/mol alınmıştır.
15
7.7
ÜST ÜSTE GELME (Süperpozisyon)
Şimdi herhangi bir ortamda üst üste gelmiş iki dalganın durumunu inceleyelim.
Bunun için önce genlikleri eşit ve dalga boyları az farklı iki dalganın her ikisinin
de pozitif 𝑥 yönünde hareket ettikleri oldukça basit bir durumu göz önüne alalım.
Bu dalgaların,
𝑦1 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋
𝑦2 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
λ1
2𝜋
λ2
(𝑥 − 𝑣𝑡)]
(7.29a)
(𝑥 − 𝑣𝑡)]
(7.29b)
ifadeleri ile tanımlanabildiğini biliyoruz. Bu iki dalganın toplamı bileşke yer
değiştirmeyi verecektir. Böylece,
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1 (𝑥, 𝑡) + 𝑦2 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋
λ1
(𝑥 − 𝑣𝑡)] + 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋
λ2
(𝑥 − 𝑣𝑡)] (7.30)
elde edilir. Her iki dalga aynı 𝑣 hızında olduğu için bileşke dalga da 𝑣 hızı ile
hareket eder.
Üst üste gelmenin şekli t = 0 alınarak rahat bir şekilde görülebilir. Bu durumda
2𝜋𝑥
𝑦(𝑥, 0) = 𝐴 [𝑠𝑖𝑛 (
λ1
2𝜋𝑥
) + 𝑠𝑖𝑛 ( λ )]
2
(7.31)
yazılabilir.
Böyle üst üste gelmiş dalgalarla ilgili çalışmalarda dalga boyunun tersine karşılık
gelen ve dalga sayısı olarak adlandırılan 𝑘 (=
olmaktadır. Bazı kitaplarda 𝑘 =
2𝜋
𝜆
2𝜋
𝜆
) niceliğini kullanmak uygun
niceliği açısal dalga sayısı (angular wave
number veya circular wave number) olarak adlandırılmaktadır. Bu tanımlamada k,
2𝜋 uzunluğunda (m cinsinden) kaç tane dalga boyu olacağını söyler (Tam sayı
olması gerekmez). Dalga sayısının birimi rad/m olarak alınır (Bazı kitaplarda
dalga sayısının birimi m-1 olarak alınmaktadır).
16
ÖNEMLİ NOT:
1
French’in kitabında dalga sayısı 𝑘 = şeklinde tanımlıdır. Çoğu kitapta dalga
𝜆
sayısı
2𝜋
𝑘=
(7.32)
𝜆
şeklinde tanımlanmıştır. Biz bu ders kapsamında yaygın kullanım olan 𝑘 =
2𝜋
𝜆
tanımlamasını tercih edeceğiz.
Bu durumda (7.31) denklemi
𝑦(𝑥, 0) = 𝐴[𝑠𝑖𝑛𝑘1 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑘2 𝑥]
(7.33)
şeklinde yazılabilir. Bu bağıntı trigonometrik özdeşlik kullanılarak,
𝑘1 −𝑘2
𝑦 (𝑥, 0) = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠
⏟ (
𝑥) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑘1 +𝑘2
2
𝑚𝑜𝑑ü𝑙𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛 𝑧𝑎𝑟𝑓𝚤
2
𝑥)
(7.34)
şeklinde ifade edilebilir. Şekil-7.13’de genlikleri aynı, frekansları birbirine çok
yakın iki dalga (y1(x,0) ve y2(x,0)) ve bunların toplamı (y(x,0)=y1(x,0)+y2(x,0))
gösterilmiştir.
Şekil-7.13 Genlikleri aynı, frekansları birbirine yakın iki dalganın üst üste gelmesi.
Eşitlik-7.30’u tekrara yazalım,
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1 (𝑥, 𝑡) + 𝑦2 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋
λ1
(𝑥 − 𝑣𝑡)] + 𝐴𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋
λ2
(𝑥 − 𝑣𝑡)]
Bu ifadenin 𝑥 = 0’daki değeri için
𝑦(0, 𝑡) = −𝐴 [𝑠𝑖𝑛
2𝜋𝑣𝑡
λ1
+ 𝑠𝑖𝑛
2𝜋𝑣𝑡
λ2
]
(7.35)
17
yazabiliriz. Burada 𝜔1 =
2𝜋𝑣
𝜆1
ve 𝜔2 =
2𝜋𝑣
𝜆2
titreşimlerin açısal frekansıdır. Bu ifade
𝑦(0, 𝑡) = −𝐴[𝑠𝑖𝑛𝜔1 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛𝜔2 𝑡] = −2𝐴𝑐𝑜𝑠
𝜔1 −𝜔2
2
𝑡𝑠𝑖𝑛
𝜔1 +𝜔2
2
𝑡
(7.36)
şeklinde yazılabilir. Bu sonuç açıkça vuru olayını temsil eder. Kaynak, ortamda
konuma bağlı bir bozulma yaratırken (Eşitlik-7.34’ye bakınız.), burada zamana
bağlı bir bozulma elde edilir.
Bu örnekteki dalgaları ses dalgası gibi düşünebiliriz. Bu durumda genlik
değişimleri ritim (vuru) denen ses gücünde değişimlere neden olur. Ses gücünün
değişim frekansına ritim frekansı denir. Ritim frekansı birkaç Hz ise onu ses
tonunda duraklama veya vuruş gibi duyarız.
7.8 DALGA ATMASI (Puls)
Kısa süreli tek bir dalgaya atma (puls) denir (Türkçe kaynaklarda “puls”
sözcüğünün karşılığı olarak “atım” veya ”atma” kullanılmaktadır). Tek bir atma
Şekil-7.14'daki gibi elin yukarı-aşağı hızlı bir hareketi ile gerilmiş bir ip üzerinde
oluşturulabilir.
Şekil-7.14 Gerilmiş ip üzerinde bir dalga atması.
El bir uçtan ipi yukarı doğru hızla çekerse son bölüm komşu bölümlere iliştirilmiş
olduğundan bunlar da yukarı doğru bir kuvvet hisseder ve yükselme hareketine
başlarlar. İpin birbirini izleyen bölümleri yükselirken dalga tepesi ip boyunca
dışarıya doğru hareket eder. Bu esnada ipin ucu elle başlangıç pozisyonuna geri
döndürülmüştür. İpin peş peşe tepe pozisyonuna ulaşan bölümleri bitişik
bölümlerden gelen gerilmeyle tekrar aşağı doğru çekilir. Dolaysıyla, ilerleyen bir
dalga atması oluşur. Atmanın hızı hareketi süresince sabittir. Böylece herhangi bir
18
anda ip üzerinde sadece sınırlı bir bölgede bozulma vardır. Bu bölgenin önü ve
arkası hareketsizdir. Eğer atma hareketini bozacak bir engele rastlamamış ise
hareketi süresince şeklini korur. Bir atma çok sayıda frekans içerebilir. Burada bu
konuya girmeyeceğiz.
Durgun bir suya düşen bir damlanın oluşturduğu atma da benzer şekilde oluşur ve
ilerler (Şekil-7.15).
Şekil-7.15 Durgun suya düşen bir damlanın yarattığı atmanın yayılması.
7.8.1 Sabit şekle sahip dalga atmalarının hareketi
Sabit bir şekle sahip bir atmanın soldan sağa doğru hareket ettiğini farz edelim.
Burada ilerleyen bir dalga atmasını temsil etmek için Şekil-7.16’deki gibi bir
Gaussian fonksiyonu seçeceğiz (Siz başka bir fonksiyon seçebilirsiniz).
Şekil-7.16 Gaussian fonksiyon şeklinde dalga pulsu.
Gaussian fonsiyonu
𝑥2
𝑦 = 𝑓(𝑥) =
−
𝐴𝑒 𝑎2
(7.37)
şeklinde yazılabilir. Burada 𝐴, Gaussian fonksiyonunun yüksekliği, 𝑎 ise
genişliğinin ölçüsüdür. Şekil-7.16’daki iki Gaussian’nın biçimi de aynıdır ancak
19
sağdaki Gaussian x-ekseninde b kadar daha sağdadır Başka bir deyişle 𝑥 yerine
(𝑥 − 𝑏) aldığımızda Gaussian fonksiyonu 𝑏 kadar sağa doğru ilerlemiş olur.
Şimdi 𝑥 değişkenini 𝑥 − 𝑣𝑡 ile değiştirelim. Burada 𝑡 zaman 𝑣 ise bir sabit olsun.
Bu durumda
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒 −(𝑥−𝑣𝑡)
2 ⁄𝑎 2
(7.38)
yazabiliriz. Bu fonksiyon Gaussian şeklinde bir atmanın sağa doğru 𝑣 hızı ile
hareketini temsil eder (Şekil-7.17).
2 ⁄𝑎 2
Şekil-7.17 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒 − (𝑥−𝑣𝑡)
Gaussian fonksiyonunun 𝑥 ’e göre
değişiminin farklı zamanlarda çizimi. Zaman aralığı 𝛿𝑡 dir.
Şimdi 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) fonksiyonu ile tanımlı +x yönünde ilerleyen bir dalga atması
düşünelim. Bu fonksiyonun 𝑡 = 0 anındaki değeri 𝑓(𝑥) dir. Şekil-7.18'de 𝑓(𝑥 −
𝑣𝑡) fonksiyonun 𝑡 = 0 ve 𝑡 = 𝑡 anındaki çizimi verilmiştir.
Şekil-7.18 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) dalga fonksiyonu ile tanımlanan sağa doğru (+x
yönünde) ilerleyen dalga. (a) 𝑡 = 0 anında, (b) 𝑡 = 𝑡 anında.
20
𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) fonksiyonu ile tanımlı dalga atması sağa doğru 𝑣 hızı ile, ilk biçimini
koruyarak, ilerlemektedir. Bu özellik dalgalar için önemli bir karakteristiktir, yani
dalga biçimini koruyarak ilerler.
Sola doğru (-x yönünde) ilerleyen bir dalgayı ise 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) fonksiyonu ile temsil
edebiliriz. Bu fonksiyonun 𝑡 = 0 anındaki değeri 𝑔(𝑥) dir. Şekil-7.19 'de 𝑔(𝑥 +
𝑣𝑡) fonksiyonun 𝑡 = 0 ve 𝑡 = 𝑡 anındaki çizimi verilmiştir.
Şekil-7.19 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) dalga fonksiyonu ile tanımlanan sola doğru (-x
yönünde) ilerleyen dalga. (a) 𝑡 = 0 anında, (b) 𝑡 = 𝑡 anında.
İp üzerinde soldan-sağa ve sağdan-sola ilerleyen iki dalga varsa ipin şeklini
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡)
(7.39)
fonksiyonu ile tanımlamak mümkündür.
Şimdi
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡)
(7.40)
ifadesini yeniden ele alalım ve bu fonksiyonun dalga denklemini sağladığını
gösterelim.
Burada 𝑥 − 𝑣𝑡 = 𝑢 diyerek aşağıdaki türevleri yazmak mümkündür:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥 2
=
𝑑 2 𝑓 𝜕𝑢
𝜕𝑢
=
𝑑𝑓 𝜕𝑢
(7.41a)
𝑑𝑢 𝜕𝑥
𝑑𝑓 𝜕2 𝑢
𝑑 2 𝑓 𝜕𝑢 2
𝑑𝑓 𝜕2 𝑢
( ) (𝜕𝑥 ) + 𝑑𝑢 (𝜕𝑥 2 ) = 𝑑𝑢2 (𝜕𝑥 ) + 𝑑𝑢 (𝜕𝑥 2 )
𝑑𝑢2 𝜕𝑥
(7.41b)
Burada
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 1 ve
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
=0
(7.41c)
olduğundan
21
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥 2
=
𝑑2𝑓
(7.42)
𝑑𝑢2
yazılır. Benzer şekilde
𝜕𝑓
=
𝜕𝑡
𝜕2 𝑓
𝜕𝑡 2
Burada
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= −𝑣 ve
𝜕2 𝑢
𝜕𝑡 2
=
𝑑𝑓 𝜕𝑢
(7.43a)
𝑑𝑢 𝜕𝑡
𝑑 2 𝑓 𝜕𝑢 2
𝑑𝑓 𝜕2 𝑢
( ) + 𝑑𝑢 ( 𝜕𝑡 2 )
𝑑𝑢2 𝜕𝑡
(7.43b)
= 0 olduğundan
𝜕2 𝑓
𝜕𝑡 2
= 𝑣2
𝑑2𝑓
𝑑𝑢2
(7.44)
yazabiliriz. Burada (7.42) ve (7.44) eşitliklerinden
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥 2
=
1 𝜕2 𝑓
𝑣 2 𝜕𝑡 2
(7.45)
yazabiliriz.
Benzer işlemleri 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) fonksiyonu için de yaparsak
𝜕2 𝑔
𝜕𝑥 2
=
1 𝜕2 𝑔
𝑣 2 𝜕𝑡 2
(7.46)
sonucunu elde ederiz. (7.45) ve (7.46) denklemlerinden
𝜕2 (𝑓+𝑔)
𝜕𝑥 2
=
1 𝜕2 (𝑓+𝑔)
𝑣2
𝜕𝑡 2
(7.47)
yazabiliriz. 𝑦 = 𝑓 + 𝑔 olduğuna göre
𝜕2 𝑦
𝜕𝑥 2
=
1 𝜕2 𝑦
𝑣 2 𝜕𝑡 2
(7.48)
yazabiliriz. Bu sonuç 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) fonksiyonunun da dalga
denkleminin bir çözümü olduğunu söyler.
7.8.2 Dalga atmalarının üst üste gelmesi (Süperpozisyon)
Bir ortamda zıt yönde hareket eden dalga atmaları karşılaştıktan sonra birbirlerini
geçerek hareketlerine devam ederler. Bu olay bir üst üste gelme (süperpozisyon)
olayıdır. Şekil-7.20'de bir ip üzerinde zıt yönde ilerleyen iki dalga atmasının
davranışları şematik ve deneysel olarak gösterilmiştir.
Şekil-7.20a’da biçimleri farklı ancak pozitif işaretli iki dalga atması birbirlerini
geçerken genlikler toplanarak artmış ve daha sonra dalga atmaları ilk biçimlerini
koruyarak yollarına devam etmişlerdir. Şekil-7.20b’de ise biçimleri farklı iki zıt
22
işaretli dalga atması birbirlerini geçerken bir anda ip üzerinde iki atmanın
genlikleri toplanarak azalmış gibi davranmış ve daha sonra dalga atmaları ilk
biçimlerini koruyarak yollarına devam etmişlerdir. Bu süreçte sanki dalga atmaları
hafızalarındaki bilgileri korumuş gibi davranmışlardır. Atmalar birbirlerinin
içinden geçerken enine yer değiştirmeler birbirlerinin etkilerini azaltır veya
arttırırken enine hızlar toplanır. Bu anda sistemin tüm enerjisi bu hızlardan
kaynaklanan kinetik enerjidir.
Şekil-7.20 (a) Biçimleri farklı pozitif işaretli iki dalga atmasının üst üste gelmesi;
(b) Biçimleri farklı zıt işaretli iki dalga atmasının üst üste gelmesi. Üsten aşağı
doğru ardışık zamanlardaki görüntüler verilmiştir.
7.9 DAĞILMA (Dispersiyon)
Bazı sürekli ortamlarda sinüzoidal dalganın hızı frekansa bağlıdır. Hızın frekansla
değişimi dağılma (dispersiyon) olarak adlandırılır. Bazı kitaplarda dağılım
sözcüğü de kullanılmaktadır. Bir kompleks dalganın bileşiminde bulunan farklı
sinüzoidal dalgalar biraz farklı hızlarla hareket ederler. Bunun sonucu olarak,
kompleks bir dalga, içinde hareket ettiği dağıtıcı (dispersif) ortamda şekil
değiştirir. Fakat korunumlu olmayan kuvvetler (sürtünme gibi) yoksa saf bir sinüs
dalgası şekil değiştirmez.
23
Genelde bir ip üzerindeki dalgalarda, kısa dalga boylu (yüksek frekanslı) saf
sinüzoidal dalgalar, uzun dalga boylu dalgalara nazaran, daha küçük hızlarda
hareket ederler. Bu durum dağılma (dispersiyon) olayına bir örnektir.
Dağılma olayı görünür bölgedeki elektromanyetik dalgalarda da gözlemlenir.
Işığın boşluktaki hızı tüm dalga boyları için aynı olmasına rağmen, her dalga boyu
saydam bir madde içinde farklı hıza sahiptir. Örneğin cam içindeki kırmızı ışığın
hızı, mavi ışığın hızından daha büyüktür. Bu nedenle bir maddenin kırılma indisi
dalga boyuna bağlı olur. Dalga hızının ve kırılma indisinin dalga boyuna göre
değişmesi dağılma olayına tipik bir örnektir. Bir beyaz ışığın bir prizmadan geçtiği
zaman değişik renklere ayrıldığını biliyoruz (Şekil-7.21). Şekildeki renk bantlarına
spektrum denir. Fizik Lab-III dersinde bu deneyi yapacaksınız.
Şekil-7.21 Beyaz ışığın cam prizmadan geçerken dağılması.
Şekil-7.22’de bir camın (N-BK7) kırılma indisinin dalga boyuna bağlı değişimi
verilmiştir. Bu grafiğe göre dalga boyu arttıkça kırma indisi (𝑛) azalır. Kırılma
indisinin (𝑛) azalması hızın (𝑣) artması ile mümkündür. Yani dalga boyu arttıkça
hız da artmaktadır. Bu nedenle kırmızı ışığın cam içindeki hızı, mavi ışığınkinden
büyük olacaktır (Şekil-7.21).
24
Şekil-7.22 N-BK7 camının kırma indisinin dalga boyuna bağlı değişimi.
Bir maddenin kırılma indisi (n) optikte çok önemli bir rol oynar. Tanım olarak
kırılma indisi, ışığın boşluktaki hızının (c) söz konusu madde içindeki hızına (v)
oranıdır:
𝑛=
𝑐
(7.49)
𝑣
Işık madde içinde her zaman boşluktakinden daha yavaş ilerler, dolaysıyla boşluk
haricinde her maddenin kırılma indisi birden büyüktür (n>1). Kırılma indisi iki
hızın oranı olduğundan birimi yoktur. Bir malzemedeki kırılma indisi ne kadar
büyük olursa dalga hızı o kadar küçük olacaktır. Şekil-7.23’de havadan cam ara
yüzeyine gelen ışının yansıması ve kırılması gösterilmiştir. Gelen, yansıyan,
kırılan ve normalin aynı düzlemde olduğuna dikkat ediniz. Şekildeki 𝜃1 açısına
gelme açısı, 𝜃2 açısına ise kırılma açısı adı verilir. Burada 𝜃1 ve 𝜃2 açılarının
sinüsleri oranı, iki ortamın kırılma indisinin ters oranına eşittir:
sin 𝜃1
sin 𝜃2
=
𝑛2
𝑛1
(7.50)
veya
𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2
(7.51)
Bu deneysel sonuç Snell yasası olarak bilinir (W. Snell 1591-1626).
25
Şekil-7.23 Havadan cam ara yüzeyine gelen ışının yansıması ve kırılmasının
şematik gösterimi.
Bir boyutlu dalgalarda dağılma, başlangıçta birbiri üstüne binmiş farklı dalga
boylarına sahip uzun fakat sınırlı dalga katarlarının zaman ilerledikçe
ayrılmalarına karşılık gelir. Aynı zamanda hafifçe farklı hızlardaki saf sinüs
dalgalarının bir karışımından meydana gelen her bir bireysel dalga katarı zamanın
ilerlemesi ile bozulmaya ve dağılmaya uğrar.
7.10 FAZ VE GRUP HIZI
Dağılma olayını daha somut tartışmak için, bir ip boyunca aynı yönde ilerleyen
dalga boyları hafifçe farklı iki sinüzoidal dalga için ortaya çıkacak durumu göz
önüne alalım. Basitlik olsun diye bu iki dalganın genliklerinin eşit olduğunu kabul
edelim. Bu iki dalga
𝑦1 = 𝐴1 𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝑥 − ω1 𝑡)
(7.52a)
𝑦2 = 𝐴1 𝑐𝑜𝑠(𝑘2 𝑥 − ω2 𝑡)
(7.52b)
ifadeleri ile tanımlanabilir (𝑘1 =
2𝜋
𝜆1
ve 𝑘2 =
2𝜋
𝜆2
). Burada 𝜔1 ve 𝜔2 frekanslarının
çok az farklı olduğunu kabul edeceğiz ( 𝜔1 ≈ 𝜔2 ) . Bu iki dalganın üst üste
gelmesiyle
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴1 𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝑥 − 𝜔1 𝑡) + 𝐴1 𝑐𝑜𝑠(𝑘2 𝑥 − 𝜔2 𝑡)
(7.53a)
veya
𝑦 = 2𝐴1 𝑐𝑜𝑠 [
𝑘2 −𝑘1
2
𝑥−
𝜔2 −𝜔1
2
𝑡] 𝑐𝑜𝑠 [
𝑘2 +𝑘1
2
𝑥−
𝜔2 +𝜔1
2
𝑡]
(7.53b)
26
yazabiliriz. Bu sonucu daha önceden de biliyoruz. Ancak burada ortamın dağıtıcı
(dispersif) oluşu nedeniyle her iki dalga farklı hızlara sahiptir. Burada
𝑣1 = ω1 ⁄𝑘1 ve 𝑣2 = ω2 ⁄𝑘2
𝑘0 =
𝑘2 +𝑘1
2
ve ω0 =
ω2 +ω1
2
(7.54)
(7.55)
diyelim; 𝑘0 ve 𝜔0 dalga sayılarının ve frekansların ortalama değerleridir.
Başlangıçta 𝜔1 ile 𝜔2 arasındaki farkın küçük olduğunu kabul etmiştik. Bu
nedenle 𝑘1 ile 𝑘2 arasındaki fark da küçük olacaktır. Burada
∆𝑘 =
𝑘2 −𝑘1
2
ve ∆ω =
𝜔2 −𝜔1
2
(7.56)
alalım. Bunları (7.53b) denkleminde kullanırsak
𝑦 = 2𝐴1 𝑐𝑜𝑠(𝑥Δ𝑘 − 𝑡Δω) cos(𝑘0 𝑥 − 𝜔0 𝑡)
(7.57)
yazabiliriz. Bu denklemi
𝐴(𝑥, 𝑡) = 2𝐴1 𝑐𝑜𝑠(𝑥Δ 𝑘 − 𝑡Δω)
(7.58)
𝑦 = 𝐴(𝑥, 𝑡) cos(𝑘0 𝑥 − 𝜔0 𝑡)
(7.59)
alarak yeniden
formunda yazabiliriz. Bu ifadeden iki karakteristik hız tanımlayabiliriz.Bunlardan
birisi, ortalama 𝑘0 dalga sayısına ait olan bir tepe noktasının hareketinin hızına
karşı gelen faz hızı (𝑣𝑓 ), diğeri ise hareket süresince grup hızı (𝑣𝑔 ) adı verilen
modülasyon zarfının hızıdır.
Dalga hızı, fazı verilen bir nokta (ip üzerindeki dalganın belli bir tepe noktası
gibi) ile yan yana kalabilmek için dalga boyunca hareket etmemiz gereken hızdır.
Pozitif x-ekseni yönünde hareket eden dalga için bunun anlamı fazın
(𝑘0 𝑥 − 𝜔0 𝑡) = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 olmasıdır. Zamana (t) göre türev alınarak
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣𝑓 =
𝜔0
𝑘0
(7.60)
elde edilir ve 𝑣𝑓 faz hızı olarak adlandırılır. Faz hızı ile daha önce tanımladığımız
dalga hızının aynı olduğu açıktır.
27
Bu dalganın genliği denklem (7.58) ile verilen 𝐴(𝑥, 𝑡) ifadesi tarafından modüle
edilir. Dispersif bir ortamda modüle edilmiş bir dalganın yayılması çeşitli zaman
dilimlerinde Şekil-7.24’de verilmiştir.
Şekil-7.24 Modüle edilmiş 𝑦(𝑥, 𝑡) dalgasının dispersif bir ortamda
yayılması.
 Modüle olmuş 𝑦(𝑥, 𝑡) dalgasının 𝑥 ’e göre davranışı eşit 𝛿𝑡 zaman
aralıklarında art arda çizilmiştir.
 Modüle olmuş dalga sürekli çizgi ile modülasyon nedeniyle oluşan zarf ise
kesikli çizgi ile gösterilmiştir.
 Zarf eğrisi üzerinde seçilen  işaretli nokta ve dalga üzerinde seçilen 
işaretli noktanın zamanla ilerlemesi, sırasıyla, grup ve faz hızını temsil
etmektedir. Bu örnekte 𝑣𝑓 > 𝑣𝑔 olduğu görülmektedir.
Bu şekil dikkatle incelendiğinde zarf eğrisinin (Kesikli çizigiler ile gösterilenler)
de ilerlediği görülür. Zarf eğrisinin ilerleme hızına grup hızı denir ve 𝑣𝑔 ile
gösterilir. Grup hızı 𝑣𝑔 genelde faz hızından
𝑣𝑓
farklı değerdedir. Şekil-7.24’da
28
zarf eğrisi üzerinde bir nokta seçelim ( işareti ile gösterilmiştir), aynı zamanda
modüle dalganın üzerinde bir nokta seçelim ( işareti ile gösterilmiştir). Zaman
ilerledikçe bu iki noktanın birbirine göre konumları değişmektedir. Eğer 𝑣𝑓 ile 𝑣𝑔
eşit olsaydı, bu iki noktanın birbirine göre konumları değişmezdi.
Şekil-7.24’de

işaretli nokta modülasyon genliğinin hep aynı değerini
göstermektedir yani bu noktalar için 𝐴(𝑥, 𝑡) sabittir. 𝐴 (𝑥, 𝑡) = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 ş𝑎𝑟𝑡𝚤
𝑥∆ 𝑘 − 𝑡∆ω = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡
(7.61)
olması ile mümkündür. Her iki tarafın zamana (t) göre türevi alınarak
∆𝑘
yazabiliriz. Burada
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− ∆ω = 0 veya
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
∆ω
(7.62)
∆𝑘
grup hızıdır:
𝑣𝑔 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
∆𝜔
∆𝑘
=
𝜔2 −𝜔1
(7.63)
𝑘2 −𝑘1
Dispersif bir ortamda 𝜔 açısal hızı dalga sayısının fonksiyonu olduğundan 𝑣𝑔 ’yi
𝑣𝑔 =
𝜔(𝑘2 )−𝜔(𝑘1 )
(7.64)
𝑘2 −𝑘1
formunda yazabiliriz. Burada 𝑓(𝑥) fonksiyonunun Taylor serisine açınımın
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) +
(𝑥−𝑎) 𝑑𝑓
1!
( )𝑥=𝑎 +
(𝑥−𝑎)2 𝑑 2 𝑓
𝑑𝑥
(
2!
)
𝑑𝑥 2 𝑥=𝑎
+⋯
(7.65)
olduğunu hatırlayalım ve bunu kullanarak
𝜔(𝑘0 ± ∆𝑘) = 𝜔(𝑘0 ) ± (∆𝑘)(
yazabiliriz. Burada ∆𝑘 =
𝑘2 −𝑘1
2
𝑑ω
𝑑𝑘
)𝑘=𝑘0 +
(∆𝑘)2 𝑑 2 ω
2!
(
)
+…
𝑑𝑘 2 𝑘=𝑘0
(7.66)
olup 𝑘0 ’a göre küçüktür. Bu nedenle (7.66)
ifadesinin ilk iki terimi ile yetinebiliriz. Bu durumda
𝜔(𝑘0 ± ∆𝑘) ≅ 𝜔(𝑘0 ) ± (∆𝑘)(
𝑑ω
)
𝑑𝑘 𝑘=𝑘0
(7.67)
yazabiliriz.
𝑘0 + ∆𝑘 =
𝑘0 − ∆𝑘 =
𝑘2 +𝑘1
2
𝑘2 +𝑘1
2
+
−
𝑘2 −𝑘1
2
𝑘2 −𝑘1
2
= 𝑘2
(7.68a)
= 𝑘1
(7.68b)
değerlerini (7.67) ifadesinde yerlerine yazarak
29
𝜔(𝑘2 ) = 𝜔(𝑘0 ) + (∆𝑘)(
𝜔(𝑘1 ) = 𝜔(𝑘0 ) − (∆𝑘)(
𝑑ω
)
𝑑𝑘 𝑘=𝑘0
(7.69a)
𝑑ω
)
𝑑𝑘 𝑘=𝑘0
(7.69b)
elde ederiz. Buradan
𝑑ω
𝜔(𝑘2 ) − 𝜔(𝑘1 ) = 2(∆𝑘)(
)
𝑑𝑘 𝑘=𝑘0
(7.70a)
veya
𝜔(𝑘2 ) − 𝜔(𝑘1 ) = 2
𝑘2 −𝑘1 𝑑ω
𝑑ω
= (𝑘2 − 𝑘1 ) (
( 𝑑𝑘 )
2
𝑘=𝑘0
)
𝑑𝑘 𝑘=𝑘0
(7.70b)
veya
𝜔(𝑘2 )−𝜔(𝑘1 )
𝑑ω
=(
𝑘2 −𝑘1
)
(7.70c)
𝑑𝑘 𝑘=𝑘0
Bu son ifadede sol taraf (7.64) denklemi ile tanımlı olan 𝑣𝑔 grup hızıdır. Sonuç
olarak grup hızı için
𝑑ω
𝑣𝑔 = (
)
(7.71)
𝑑𝑘 𝑘=𝑘0
ifadesi elde edilir.
Burada sadece iki tek renkli (monokromatik) dalganın üst üste gelmesi ile grup ve
faz hızı ifadelerini elde ettik. Ancak çok daha fazla sayıda tek renkli dalgaların üst
üste gelmesi durumunda da bu ifadelere ulaşmak mümkündür. Sonuç olarak,
Faz hızı için:
𝑣𝑓 =
Grup hızı için:
𝑣𝑔 =
𝜔
(7.72)
𝑘
𝑑ω
(7.73)
𝑑𝑘
yazabiliriz.
𝑣𝑔 =
𝑑𝜔
𝑑𝑘
ifadesi ile tanımlanan grup hızı ifadesine yeniden bakalım. 𝜔 = 𝑘𝑣𝑓
olduğunu biliyoruz (𝜔 = 2𝜋𝑓 =
𝑣𝑔 =
yazabiliriz. 𝑘 =
2𝜋
𝜆
𝑑𝜔
𝑑𝑘
=
2𝜋𝑣𝑓
𝜆
𝑑(𝑘𝑣𝑓 )
𝑑𝑘
= 𝑘𝑣𝑓 𝑣𝑒 𝑣𝑓 = 𝜆𝑓). Bu durumda
= 𝑣𝑓 + 𝑘
𝑑𝑣𝑓
𝑑𝑘
= 𝑣𝑓 + 𝑘
𝑑𝑣𝑓 𝑑λ
𝑑λ 𝑑𝑘
(7.74)
olduğuna göre
𝑑λ
𝑑𝑘
=−
2𝜋
𝑘2
=−
2𝜋 1
𝑘 𝑘
=−
λ
𝑘
(7.75)
30
yazabiliriz. Bunu denklem (7.74)’de yerine yazarak,
𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 + 𝑘
𝑑𝑣𝑓
𝑑λ
λ
(− 𝑘) = 𝑣𝑓 − λ
𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 − λ
𝑑𝑣𝑓
𝑑λ
𝑑𝑣𝑓
𝑑λ
(7.76)
elde ederiz. Bu ifadelere göre değişik koşullarda grup ve faz hızlarını
karşılaştıralım.
i)
Genel olarak
𝑑𝑣𝑓
𝑑𝜆
pozitiftir. Bu durumda
𝑣𝑓 > 𝑣𝑔
olur. Bu duruma normal dağılım (dispersiyon) denir (Şekil-7.25a).
Örneğin, Şekil-7.24’da başlangıçta  işaretli nokta  işaretli noktanın önündedir.
Ancak zaman ilerledikçe  işaretli nokta öne geçmektedir.
ii)
Bazı durumlarda
𝑑𝑣𝑓
𝑑𝜆
negatiftir. Bu durumda
𝑣𝑓 < 𝑣𝑔
olur. Bu duruma anormal dağılım denir (Şekil-7.25b).
iii)
Eğer dispersiyon yok ise
𝑑𝑣𝑓
𝑑𝜆
= 0 ve dolaysıyla 𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 olacaktır.
Şekil-7.25 Bir dalga grubunun ardışık t1, t2 ve t3 zamanlarında görünümü.
(a)Normal dağılım (𝑣𝑓 > 𝑣𝑔 ). (b) Anormal dağılım (𝑣𝑓 < 𝑣𝑔 ).
7.11 DALGA PAKETİ
Pozitif x-ekseni yönünde ilerleyen bir sinüzoidal düzlem dalgayı (plane wave) göz
önüne alalım. Düzlem dalga tüm uzaya yayılmış bir dalgadır.
ψ(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − ω𝑡)
(7.77)
31
Burada 𝑘 =
2𝜋
𝜆
dalga sayısı,  açısal frekanstır (𝜔 = 𝑣𝑘 = 2𝜋𝑓).
Sonlu bir bölgede genliği olup diğer bölgelerde genliği sıfır olan dalgaya “dalga
paketi” denir. Düzlem dalganın genliğini bir Gauss eğrisiyle modüle edersek bir
dalga paketi oluşturabiliriz:
2
ψ(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒 − 𝑏𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
(7.78)
Bu fonksiyonun grafiği Şekil-7.26'daki gibi olacaktır.
Şekil-7.26 Bir dalga paketi.
Daha kullanışlı diğer bir yol ise, çok sayıda farklı dalga boyunda düzlem dalgalar
alıp bunları öyle uygun genliklerle toplarız ki (süperpozisyon), küçük bir bölge
hariç, diğer yerlerde birbirlerini yok ederler. Bu ders kapsamında dalga paketi
kavramına daha fazla zaman ayırmayacağız.
7.12 MEKANİK DALGALARDA ENERJİ VE GÜÇ
Mekanik dalgalar ortam parçacıklarının yer değiştirmesi sonucu oluştuğundan,
hareket enerjisi yani kinetik enerjileri vardır. Kütle, dalganın ilerleme sürecinde
dalga ile birlikte taşınmaz. İlerleyen şey, art arda gelen kütlelerin birbirlerine
aktardığı enerjidir. Dolayısıyla dalga bir enerji taşıyıcısıdır. Şimdi 𝑇 gerilimi
altında bir ipin, 𝑑𝑥 kadarlık bir parçası 𝑑𝑦 kadar enine yer değiştirme yaptığında,
𝑑𝑥 elemanının herhangi bir andaki kinetik enerjisini hesaplayalım (Şekil-7.27).
32
Şekil-7.27 Enine dalga taşıyan gerilmiş bir ipin diferansiyel bir parçasının
görünümü.
Gerilmiş ipin homojen olduğunu ve boyca kütle yoğunluğunun 𝜇 olduğunu kabul
edeceğiz Bu durumda dx diferansiyel elemanın kütlesi 𝑑𝑚 = 𝜇 𝑑𝑥 olacaktır. Bu
elemanın enine hareketi nedeniyle hızı ise 𝑢 =
𝜕𝑦
𝜕𝑡
dir (Bu enine 𝑢 hızı ile dalganın
ilerleme hızı v’yi karıştırmamanız gerekir).
Bu durumda 𝑑𝑥 elemanının kinetik enerjisi için
1
𝜕𝑦 2
𝑑𝐾 = (𝜇 𝑑𝑥) ( )
2
𝜕𝑡
(7.79)
yazabiliriz.
Dalganın potansiyel enerjisini, göz önüne alınan küçük ip parçasının düzgün olan
ilk konumuna göre deformasyondan sonra boyundaki uzamayı hesaplayarak
yazabiliriz. İpin boyundaki uzama miktarı ile T gerilim kuvvetinin çarpımı
deformasyon için yapılan işe eşittir (İpin boyunda küçük değişimler olması
durumunda T geriliminin sabit alınabileceğini daha önceki bölümlerde
tartışmıştık). Böylece göz önüne alınan diferansiyel ip parçası için potansiyel
enerji
𝑑𝑈 = 𝑇(𝑑𝑠 − 𝑑𝑥)
(7.80)
olacaktır. Burada (𝑑𝑠 − 𝑑𝑥) , diferansiyel elemanın enine 𝑑𝑦 kadar çekilmesi
nedeniyle boyunda oluşacak değişimdir. Yay elemanı ds için
𝑑𝑠 =
√𝑑𝑥 2
+
𝑑𝑦 2
1⁄2
𝜕𝑦 2
= [1 + ( ) ]
𝜕𝑥
𝑑𝑥
(7.81)
yazabiliriz (Bir eğrinin diferansiyel yay elemanı). Burada
33
(1 + 𝑥)𝛼 = 1 + 𝛼𝑥 +
𝛼(𝛼−1)
2!
𝑥2 +
𝛼(𝛼−1)(𝛼−2)
3!
𝑥3 + ⋯
(7.82)
Binom serisini kullanarak
1⁄2
𝜕𝑦 2
[1 + (𝜕𝑥 ) ]
1 𝜕𝑦 2
≅1+ ( )
2 𝜕𝑥
(7.83)
yazabiliriz. Daha yüksek mertebeden terimlerin katkısı ihmal edilebilecek kadar
küçüktür. (7.83) ifadesini (7.81)′de kullanırsak,
1 𝜕𝑦 2
𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 + ( ) 𝑑𝑥
2 𝜕𝑥
veya
1 𝜕𝑦 2
𝑑𝑠 − 𝑑𝑥 = ( ) 𝑑𝑥
2 𝜕𝑥
(7.84)
yazabiliriz. Bu sonucu (7.80) denkleminde kullanırsak, 𝑑𝑥 diferansiyel elemanının
𝑑𝑦 kadar enine yer değişimi nedeniyle oluşacak potansiyel enerji için
1
𝜕𝑦 2
𝑑𝑈 = 𝑇 ( ) 𝑑𝑥
2
𝜕𝑥
(7.85)
sonucunu elde ederiz.
Kinetik enerji yoğunluğu olarak adlandıracağımız birim uzunluk başına kinetik
enerji ifadesini ise bir boyutlu bir ortam için,
𝐾𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢 =
𝑑𝐾
𝑑𝑥
𝜕𝑦 2
1
= 𝜇( )
2
𝜕𝑡
(7.86a)
Benzer şekilde potansiyel enerji yoğunluğu ise,
𝑃𝑜𝑡𝑎𝑛𝑠𝑖𝑦𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢 =
𝑑𝑈
𝑑𝑥
1
𝜕𝑦 2
= 𝑇( )
2
𝜕𝑥
(7.86b)
ifadeleri ile verilir. (Burada yapılan hesaplamaları 6. Bölümde Örnek-11
probleminde yaptığımızı hatırlayınız.)
Daha önce ip üzerinde ilerleyen bir dalgayı
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 ± 𝑣𝑡) = 𝑓(𝑧)
(7.87)
34
ifadesi ile tanımlamıştık. Burada 𝑣 = (𝑇/𝜇)1/2 dalganın yayılma hızıdır. Bu
ifadenin x ve t’ye göre türevlerini
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑡
şeklinde yazabiliriz ( 𝑓 ′ (𝑧) =
𝑑𝑓
𝑑𝑧
= 𝑓 ′ (𝑧)
(7.88a)
= ±𝑣𝑓 ′ (𝑧)
(7.88b)
). Bu değerleri (7.86a) ve (7.86b) ifadelerinde
yerine yazarsak enerji yoğunlukları için
𝑑𝐾
𝑑𝑥
𝑑𝑈
𝑑𝑥
=
1
2
µ𝑣 2 [𝑓 ′ (𝑧)]2
1
1
2
2
= 𝑇[𝑓 ′ (𝑧)]2 =
(7.89a)
µ𝑣 2 [𝑓 ′ (𝑧)]2
(7.89b)
ifadelerini elde ederiz. Bu ifadeler kinetik ve potansiyel enerji yoğunluklarının eşit
olduğunu söyler.
Şimdi bu sonuçları
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
(7.90)
ile tanımlı +x- ekseni boyunca ilerleyen bir dalgaya uygulayalım. Bu dalganın
enine hızı 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)/𝜕𝑡 'ye eşittir. Enine hızı 𝑢(𝑥, 𝑡) ile gösterirsek
𝑢(𝑥, 𝑡) =
𝜕𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
= −𝐴ω𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − ω𝑡)
(7.91)
yazabiliriz. Enine hızın maksimum değeri 𝐴𝜔'ya eşittir. Bunu 𝑢0 ile gösterelim
(𝑢0 = 𝐴𝜔) . İp üzerinde seçilen 𝑑𝑥 elemanının kütlesi 𝑑𝑚 = 𝜇𝑑𝑥 olacaktır. Bu
küçük parçanın kinetik enerjisi
1
𝜕𝑦 2
1
𝑑𝐾 = 𝜇𝑑𝑥 ( ) = 𝜇𝐴2 𝜔2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)𝑑𝑥
2
𝜕𝑡
2
(7.92)
olacaktır. Buradan bir dalga boyu (𝜆) kadar uzunluğunda ipin kinetik enerjisi için
1
λ
1
𝜆1
2
2
𝐾 = 𝜇𝐴2 𝜔2 ∫0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑥 − ω𝑡)𝑑𝑥 = 𝜇𝐴2 𝜔2 ∫0 (1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥
− 𝜔𝑡))𝑑𝑥
⏟
2
1
𝐾 = 𝜇𝜔2 𝐴2 λ
4
𝐵𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑙𝑒𝑛
𝑘𝑎𝑡𝑘𝚤=0 𝑑𝚤𝑟.
(7.93)
35
sonucunu elde ederiz. Bir dalga boyu içinde toplam kinetik enerji sabittir.
Benzer şekilde λ uzunluğundaki kısmın potansiyel enerjisini de hesaplayabiliriz:
1
𝜕𝑦 2
1
𝑑𝑈 = 𝑇 ( ) 𝑑𝑥 = 𝜇𝑣 2 [𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − ω𝑡)]2 𝑑𝑥
2
𝜕𝑥
2
1
λ
1
1
2𝜋 2
𝑈 = 𝜇𝑣 2 𝐴2 𝑘 2 ∫0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑥 − ω𝑡)𝑑𝑥 = 𝜇𝑣 2 𝐴2 𝑘 2 = 𝜇(λ𝑓)2 𝐴2 ( )
2
4
4
λ
1
𝑈 = 𝜇𝜔2 𝐴2 λ
4
(7.94)
yazılabilir. Eşitlik (7.93) ve (7.94)’den bir dalga boyu içinde, toplam kinetik
enerjinin, toplam potansiyel enerjiye eşit olduğu görülür. Bu durumda bir dalga
boyu içindeki mekanik enerji için
1
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 = 𝜇𝜔2 𝐴2 λ
2
(7.95)
yazabiliriz. Mekanik enerjinin, genliğin karesi ve frekansın karesi ile orantılı
olduğuna dikkat ediniz.
Şekil-7.30'da bir dalga boyluk bölgede, uzanımın (𝑦), enine hızın (u), kinetik
enerjinin (𝑑𝐾) ve potansiyel (𝑑𝑈) enerjinin 𝑥'e bağlı değişimi verilmiştir.
Şekil-7.28 (a) Belli bir anda, ilerleyen bir sinüs dalgasının bir dalga boyluk ( )
kısmında uzanımın 𝑥'e göre değişimi. (b) Enine dalga hızının (∂y/∂t) 𝑥'e göre
değişimi. (c) İp üzerinde 𝑑𝑥 uzunluğundaki elemanın kinetik enerjisinin (𝑑𝐾) 𝑥′e
göre değişimi. (d) İp üzerinde 𝑑𝑥 uzunluğundaki elemanın potansiyel enerjisinin
(𝑑𝑈) 𝑥'e göre değişimi.
36
7.13 DALGA TARAFINDAN TAŞINAN ENERJİ
İp boyunca hareket eden sinüzoidal bir dalga oluşturmak için oldukça uzun bir ipin
ucundan enine titreştirmek gerekir. Bu titreştirme işi sisteme sürekli bir enerji
vermek demektir. İpin her yeni  uzunluğu için daha önce hesapladığımız
1
𝐸 = 𝜇𝜔2 𝐴2 λ
(7.96)
2
kadarlık enerji sisteme temin edilmelidir. Dolaysıyla bu enerjiye eşit bir iş, ipin sol
ucuna uygulanan kuvvet tarafından sağlanmalıdır (Şekil-29). Şimdi bu söylenenin
nasıl doğrulandığını görelim.
Şekil-7.29 F dış kuvveti ile gerilmiş bir üzerinde sinüzoidal bir dalganın
meydana getirilmesi.
Sağa doğru 𝑣 hızı ile ilerleyen
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − ω𝑡)
(7.97)
dalgasını ele alalım. İpin 𝑥 = 0 'daki ucu F gibi bir dış kuvvetin etkisinde kalsın. 𝑇
gerilimine eşit olan dış kuvvet (𝐹) , şekilde görüldüğü gibi ipe teğet olarak
uygulanmalıdır. F kuvvetinin enine hareket yönündeki bileşeni için,
𝜕𝑦
𝐹𝑦 = −𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ −𝑇𝑡𝑎𝑛𝜃 ≅ −𝑇 ( )
𝜕𝑥
𝑥=0
yazabiliriz. Eşitlik-7.97’daki fonksiyonun
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(7.98)
türevini alarak,
= 𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
yazabiliriz. Bunu (7.98) ifadesini yerine yazarak
𝐹𝑦
(7.99)
için
𝐹𝑦 = −𝑇𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)|𝑥=0 = −𝑇𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
(7.100)
37
ifadesi elde edilir. Şimdi 𝐹𝑦 kuvvetinin 𝑥 = 0’ da 𝑑𝑦 kadar yer değiştirmesi
durumda yapılan diferansiyel işi için
𝑑𝑊 = 𝐹𝑦 𝑑𝑦
(7.101)
𝑊 = ∫ 𝐹𝑦 𝑑𝑦 = − ∫ 𝑇𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠ω𝑡 𝑑𝑦
(7.102)
ve buradan toplam iş için
yazabiliriz. Eşitlik-7.97 ile tanımlı fonksiyonun sol ucunda (x=0) dy diferansiyeli
için 𝑑𝑦 = −𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑑𝑡 yazabiliriz. Bunu (7.102)'de yerine yazarsak
𝑊 = ∫ 𝑇𝐴𝑘𝐴𝜔 𝑐𝑜𝑠 2 𝜔𝑡 𝑑𝑡
(7.103)
elde ederiz. Bu integrali 𝑡 = 0 ile 𝑡 = 𝑇𝑝 arasında alalım (İpteki gerilimi T harfi ile
gösterme alışkanlığımıza devam edebilmek için periyodu 𝑇𝑝 ile gösterdik).
𝑇
𝑇 1
1
2
2
𝑊 = 𝑇𝐴2 𝑘ω ∫0 𝑝 𝑐𝑜𝑠 2 ω𝑡 𝑑𝑡 = 𝑇𝐴2 𝑘𝜔 ∫0 𝑝 (1 + cos 2𝜔𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑇𝐴2 𝑘𝜔𝑇𝑝 =
1
2
𝜇𝑣 2 𝐴2
2𝜋
λ
𝜔
2π
𝜔
1
(2𝜋)2
2
λ
= 𝜇(λ𝑓)2 𝐴2
1
(2𝜋𝑓)2
2
λ
= 𝜇λ2 𝐴2
1
= 𝜇𝜔2 𝐴2 λ
2
veya
1
𝑊 = 𝜇𝜔2 𝐴2 λ
(7.104)
2
yazabiliriz. Bu iş, bir periyotluk sürede sisteme sağlanan enerjidir. Birim zamanda
sisteme verilmesi gereken enerji yani güç (P) için ise
𝑃=
𝑊
𝑇𝑝
=
𝑊
1⁄𝑓
1
1
2
2
= 𝑊𝑓 = 𝜇𝜔2 𝐴2 λ𝑓 = 𝜇𝜔2 𝐴2 𝑣
1
𝑃 = 𝜇𝜔2 𝐴2 𝑣
2
(7.105)
yazabiliriz. Buradan iş yapma hızının yani gücün (𝑃) , dalga hızı 𝑣 ile ip
üzerindeki birim uzunluk başına toplam enerjinin ( 𝑊λ = 12 𝜇𝜔2 𝐴2 ) çarpımı olduğu
anlaşılır.
Sonuçlar:
 Enerji kaynakta alıkonamaz, 𝑣 dalga hızına eşit bir hız ile ortam içinde bir
noktadan diğerine aktarılır.
 Burada ortamın dağıtıcı (dispersif) olmadığını varsayıyoruz. Eğer ortam
dağıtıcı ise enerji grup hızı ile taşınır.
38
 İpin belli bir kısmı dalga hareketine başlamış ise bu parçanın enerjisi
değişmeden kalır.
 Bu sonuçlar bir ipte ilerleyen dalgalar için bulunmuş olsa da enerjinin taşınma
hızının, gücün veya enerji yoğunluğunun, genlik ve frekansının karesiyle doğru
orantılı olması bütün dalgaların genel bir özelliğidir.
 Duran dalgaların enerji yoğunluğunun genliğe ve frekansa bağımlılığı, ilerleyen
dalgaların toplam enerji yoğunluğunun genliğe ve frekansa bağımlılığı ile
aynıdır. Ancak, uzayda ilerlemedikleri için, duran dalgalarla güç aktarılamaz.
39
7.14 ELEKTROMANYETİK DALGALAR
Temel fizik derslerinden elektrik ve manyetizma konuları işlenirken, zamanla
⃗ ) bir elektrik alan (𝐸⃗ ) kaynağı gibi davrandığını; benzer
değişen manyetik alanın (𝐵
şekilde zamanla değişen elektrik alanın da bir manyetik alan ürettiğini
görmüştünüz. Elektrik veya manyetik alanlardan bir tanesi zamana göre
değişmeye başlayınca etrafını etkiler ve civarında diğer tür bir etkilenme alanı
oluşturur. Bütün bu olayları tek bir teoride birleştiren Maxwell (James Clerk
Maxwell, 1831-1879) bir bölgede zamanla değişen elektrik ve manyetik alanlar
nedeniyle elektromanyetik bir bozulmanın uzayda bir bölgeden diğerine
ilerleyebilmesinin mümkün olduğu fikrini ileri sürmüştür. Bu tür bozulmalara
elektromanyetik dalga denir. Elektromanyetik dalgalar boşlukta da yayılabilen
enine dalgalardır.
7.14.1 Maxwell denklemlerinin integral biçimi
Elektrik alan ve manyetik alan ve bunların kaynakları arasındaki bağıntılar
Maxwell denklemleri olarak bilinen dört denklem ile verilmektedir. Maxwell
denklemleri elektromanyetizmanın bütünü için temel denklemleridir. Boşlukta
Maxwell denklemlerinin integral biçimleri aşağıda toplu halde verilmiştir.
𝑞
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 =
1) ∮𝐴 𝐸.
𝜀
0
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = 0
2) ∮𝐴 𝐵.
⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = −
3) ∮𝐶 𝐸.
𝜕 𝜙𝐵
için Gauss yasası
(7.106a)
⃗⃗⃗
𝐵
için Gauss yasası
(7.106b)
Faraday Yasası
𝑑𝑡
4) ∮𝐶 ⃗⃗⃗
𝐵. 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜀0
⃗⃗⃗
𝐸
𝜕 𝜙𝐸
𝑑𝑡
(7.106c)
= 𝜇0 (𝐼 + 𝐼𝐷 ) Genelleştirilmiş Amper yasası (7.106d)
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = 𝑞 )
 Maxwell denklemlerinin birincisi ( ∮𝐴 𝐸.
𝜀
0
𝐸⃗ ’nin kapalı bir yüzey
üzerinden integralini içerir. Bu denklem basitçe elektrik alan için Gauss
yasasıdır ve herhangi bir kapalı yüzey üzerinden integralinin,
1
𝜀0
ile yüzey
içindeki net q yükünün çarpımına eşit olduğunu ifade eder.
40
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = 0), manyetik alanlar için Gauss yasasına benzer bir
 İkinci denklem (∮𝐴 𝐵.
⃗ ’nin kapalı bir yüzey üzerinden yüzey integralinin daima sıfır
bağıntıdır ve 𝐵
olduğunu ifade eder. Bu ifadenin anlamı, manyetik alan kaynağı gibi davranan
manyetik monopollerin var olamayacağıdır.
 Üçüncü denklem ( ∮𝐶 ⃗⃗⃗𝐸. 𝑑𝑙 = − 𝜕𝑑𝑡𝜙𝐵 ) Faraday yasasıdır ve değişen bir manyetik
akının bir indüksiyon elektrik alanına neden olduğunu ifade eder. Eğer
değişken bir manyetik alan varsa varsa, (7.106c) denklemindeki çizgi integral
sıfırdan farklıdır, yani değişen manyetik akıdan kaynaklanan 𝐸⃗ alanının
korunumlu olmadığını gösterir. Bu çizgi integralinin kapalı bir eğri üzerinden
alınması gerektiğini biliyoruz.
 Dördüncü denklem (∮𝐶 ⃗⃗⃗𝐵. 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜀0 𝜕𝑑𝑡𝜙𝐸) yer değiştirme (deplasman) akımını
da kapsayan Amper yasasıdır. 𝐼 iletkenlik akımı(I=Ic) ve 𝐼𝐷 = 𝜀0
𝑑 𝜙𝐸
𝑑𝑡
yer
değiştirme akımı manyetik alan kaynağı gibi davranır. Burada 𝜙𝐸 elektrik
akısıdır.
Yukarıda verilen denklemler boş uzaydaki elektrik ve manyetik alan için
geçerlidir. Ortamda bir malzeme varsa, denklemlerde boşluktaki
𝜀0
dielektrik
geçirgenliği ve 𝜇0 manyetik geçirgenliği yerine, ortamın 𝜀 dielektrik geçirgenliği
ve μ manyetik geçirgenliğini kullanmak gerekir. 𝜅 = 𝜀⁄𝜀0 𝑣𝑒 𝜅𝑚 = 𝜇⁄𝜇0 ,
sırasıyla, bağıl dielektrik ve bağıl manyetik geçirgenlik katsayısı olarak bilinir.
Birçok malzeme için 𝜅𝑚 sabittir ve yaklaşık 1’e eşittir, ancak 𝜅 frekansın
fonksiyonudur. Bu konular elektrik ve manyetizma derslerinde daha ayrıntılı ele
alınacaktır.
7.14.2 Maxwell denklemlerinin diferansiyel biçimi
Maxwell denklemleri, çoğu kez (7.106)’da verilen integral biçimlerinden daha
kullanışlı olan diferansiyel biçimleri ile verilmektedir. Maxwell denklemlerinin
diferansiyel biçimlerini elde etmek için matematik derslerinde gördüğünüz, (i)
Diverjans teoremi ve (ii) Stokes teoremi olarak bilinen iki integral teorimden
yararlanacağız. Bu iki teorem aşağıda özetlenmiştir (Ayrıntılı bilgi için
41
“Mathematical methods in the physical sciences, Boas M.L.” kitabına
bakabilirsiniz).
7.14.3 Diverjans teoremi
Üç boyutlu uzayda kapalı bir 𝐴 yüzeyi ele alalım. Kapalı yüzey tarafından
kuşatılan 𝑉 hacminde tanımlı bir 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) vektör alanı olsun. 𝐹 vektörünün
bileşenlerinin kısmi türevleri sürekli ise
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
𝐹 . 𝑑𝐴 = ∫𝑉 ∇.
𝐹 𝑑𝑉
∮𝐴 ⃗⃗⃗
(7.107)
integral eşitliği yazılabilir ve diverjans teoremi olarak bilinir. Bu teorem bir 𝐹
vektör fonksiyonunun bir yüzey üzerindeki integrali ile diverjansının bu yüzeyin
kuşatmış olduğu hacim üzerinden integrali arasında bir bağlantı kurar.
⃗ ’ye del işlemcisi denilir ve dik koordinat sisteminde,
Buradaki ∇
⃗=𝚤
∇
𝜕
𝜕𝑥
+𝑗
𝜕
𝜕𝑦
⃗
+𝑘
𝜕
(7.108)
𝜕𝑧
şeklinde tanımlıdır. Bu işlemcinin 𝐹 vektör fonksiyonuna uygulanması
⃗ . 𝐹 = 𝜕𝐹𝑥 + 𝜕𝐹𝑦 + 𝜕𝐹𝑧
∇
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(7.109)
𝜕𝑧
ifadesi ile verilir ve buna 𝐹 ’nin diverjansı denilir.
7.14.4 Stokes teoremi
𝐹 vektör alanının kapalı bir yol boyunca çizgi integrali yerine, 𝐴 yüzeyi üzerinde
𝑟𝑜𝑡 𝐹’nin integarli alınabilir ve bu Stokes teoremi olarak bilinir.
⃗ × 𝐹 . 𝑑𝐴
∮C 𝐹 . 𝑑𝑙 = ∫𝐴 𝑟𝑜𝑡 𝐹 . 𝑑𝐴 = ∫𝐴 ∇
(7.110)
⃗ × 𝐹 ’ye 𝐹 vektör alanının rotasyonel’i veya curl (dönel)’ü denir
Burada 𝑟𝑜𝑡 𝐹 = ∇
ve dik koordinat sisteminde,
𝚤
𝑗
⃗
𝑘
⃗ × 𝐹 = det | 𝜕
𝑟𝑜𝑡 𝐹 = curl𝐹 = ∇
𝜕
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝐹𝑧
|
(7.111a)
veya
42
⃗ ×𝐹 =(
𝑟𝑜𝑡 𝐹 = ∇
𝜕𝐹𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝐹
) 𝚤 + ( 𝜕𝑧𝑥 −
𝜕𝑧
𝜕𝐹𝑧
𝜕𝐹𝑦
) 𝑗 + ( 𝜕𝑥 −
𝜕𝑥
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑦
⃗
)𝑘
(7.111b)
şeklinde yazılır.
7.14.5 Maxwell denklemlerinin diferansiyel biçimlerinin türetilmesi
Şimdi yukarıda verilen iki integral teoremini kullanarak Maxwell denklemlerinin
boş uzaydaki diferansiyel biçimlerini elde edeceğiz.
 Diverjans teoremini (7.107) Gauss yasasına (7.106a) uygulayalım:
𝑞
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = ∫ ∇
⃗ . 𝐸⃗ 𝑑𝑉 =
∮𝐴 𝐸.
𝑉
𝜀
0
(7.112)
Burada q elektrik yükünü, 𝜌 yük yoğunluğunun hacim integrali olarak yazabiliriz:
𝑞 = ∫𝑉 𝜌 𝑑𝑉
(7.113)
Bunu (7.112) denkleminde kullanırsak
⃗ . 𝐸⃗ 𝑑𝑉 = 1 ∫ 𝜌 𝑑𝑉
∫𝑉 ∇
𝜀 𝑉
0
(7.114)
elde ederiz. Bu eşitliğin her iki tarafında da aynı V hacmi üzerinde alınan
integraller bulunmaktadır. Hacimlerin büyüklükleri ve şekilleri ne olursa olsun
bunun doğru olabilmesi için integrantların eşit olması gerekir:
⃗ . 𝐸⃗ =
∇
𝜌
𝜀0
(7.115)
Bu eşitlik (7.106a) ile verilen Gauss teoreminin diferansiyel biçimidir. Bu bağıntı
Maxwell’in diferansiyel biçimindeki birinci denklemidir.
 Maxwell denklemlerinin ikincisi olan ∮𝐴 ⃗⃗⃗
𝐵. 𝑑𝐴 = 0 eşitliği de aynı şekilde
incelenirse
⃗ .𝐵
⃗ =0
∇
(7.116)
bulunur. Bu Maxwell’in diferansiyel biçimindeki ikinci denklemidir.
 Şimdi Stokes teoremini, Maxwell denklemlerinin üçüncüsüne (denklem
(7.106c)) uygulayalım:
⃗ 𝑥𝐸.
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = − 𝜕𝜙𝐵
∮𝐶 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 = ∫𝐴 ∇
𝑑𝑡
(7.117)
⃗ . 𝑑𝐴 olduğundan,
Manyetik akı 𝜙𝐵 = ∫𝐴 𝐵
43
𝜕
⃗ 𝑥𝐸.
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = − ∫ 𝐵
⃗ . 𝑑𝐴
∫𝐴 ∇
𝑑𝑡 𝐴
(7.118)
yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafındaki integraller aynı A yüzeyi üzerinden
alınan integrallerdir. Bu eşitliğin herhangi bir yüzey için geçerli olması için
integrantların eşit olması gerekir:
⃗
⃗ × 𝐸⃗ = − 𝜕𝐵
∇
(7.119)
𝜕𝑡
Bu sonuç Maxwell’in diferansiyel biçimindeki üçüncü denklemidir.
 Maxwell’in (7.106d) ile verilen
𝐵. 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜀0
∮𝐶 ⃗⃗⃗
𝑑𝜙𝐸
𝑑𝑡
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 yazabiliriz. Bunu kullanarak
denkleminde elektrik akısı için 𝜙𝐸 = ∫𝐴 𝐸.
𝑑
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴
𝐵. 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜀0 ∫𝐴 𝐸.
∮𝐶 ⃗⃗⃗
𝑑𝑡
(7.120)
ifadesini elde ederiz. İletim akımı I’yı 𝐽 akım yoğunluğu cinsinden yazılabilir:
𝐼 = ∫𝐴 ⃗𝐽. 𝑑𝐴
(7.121)
Bu işlemler sonunda Maxwell’in dördüncü denklemi,
𝑑
⃗⃗⃗ + 𝜀0 𝜕𝐸⃗ ). 𝑑𝐴
𝐵. 𝑑𝑙 = 𝜇0 ∫𝐴 ⃗𝐽. 𝑑𝐴 + 𝜇0 𝜀0 ∫𝐴 ⃗⃗⃗
𝐸. 𝑑𝐴 = 𝜇0 ∫𝐴(𝐽
∮𝐶 ⃗⃗⃗
𝑑𝑡
𝜕𝑡
(7.122)
şeklinde yazılabilir. Burada Stokes teoremini kullanarak
⃗ ×𝐵
⃗ . 𝑑𝐴
𝐵. 𝑑𝑙 = ∫𝐴 ∇
∮𝐶 ⃗⃗⃗
(7.123)
yazabiliriz. Bu eşitliğin sol tarafı için Eşitlik-7.122’deki değerini kullanarak
⃗⃗⃗ + 𝜀0
⃗ ×𝐵
⃗ . 𝑑𝐴 = 𝜇0 ∫ (𝐽
∫∇
𝐴
𝐴
𝜕𝐸⃗
). 𝑑𝐴
𝜕𝑡
yazabiliriz. Bu eşitliğin her iki tarafındaki integraller aynı A yüzeyi üzerinden
alınan integrallerdir. Bu eşitliğin herhangi bir yüzey için geçerli olması için
eşitliğin iki tarafındaki integrantlarının birbirlerine eşit olmaları gerekir. Buradan
⃗
⃗ ×𝐵
⃗ = 𝜇0 𝐽 + 𝜇0 𝜀0 𝜕𝐸
∇
𝜕𝑡
(7.124)
yazabiliriz. Bu Maxwell’in diferansiyel biçimindeki dördüncü denklemidir.
44
Aşağıda Maxwell denklemlerinin integral ve diferansiyel biçimleri bir arada
verilmiştir.
BOŞ UZAYDA MAXWELL DENKLEMLERİ
1
İntegral Biçimi
𝑞
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 =
∮ 𝐸.
𝜀0
𝐴
2
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = 0
∮ 𝐵.
𝐴
3
⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = −
∮ 𝐸.
𝐶
4
Diferansiyel Biçimi
𝜌
⃗∇. 𝐸⃗ =
𝜀0
⃗∇. 𝐵
⃗ =0
𝜕𝜙𝐵
𝑑𝑡
⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜀0
∮𝐶 𝐵.
⃗ × 𝐸⃗ = −
∇
𝜕𝜙𝐸
𝑑𝑡
⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡
⃗ ×𝐵
⃗ = 𝜇0 𝐽 + 𝜇0 𝜀0
∇
𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡
Özetleyecek olursak:
 Maxwell denklemlerine göre duran nokta bir yük statik 𝐸⃗ elektrik alanı
⃗ manyetik alanı üretmez. Öte yandan sabit hızla hareket eden bir
üretirken, 𝐵
⃗ alanlarının her ikisini de üretir.
yüklü parçacık 𝐸⃗ ve 𝐵
 Bir yüklü parçacığın elektromanyetik alan üretebilmesi için ivmelenmesi
gerektiği Maxwell denklemleri kullanılarak gösterilebilir.
 Maxwell denklemlerinin önemli bir sonucu da, ivmelendirilen her yüklü
parçacığın elektromanyetik dalga ışımak zorunda olmasıdır.
 Bir yüklü parçacığın elektromanyetik dalga ışımasını sağlamasının bir yolu,
parçacığa bir harmonik salınım hareketi yaptırmaktır. Fizik-Lab III dersinde
yansımalı klaystronda bir elektromanyetik dalganın (mikrodalga) nasıl
üretildiğini inceleyeceksinz.
Elektromanyetik dalgalar dalga boyunun ve frekansının çok geniş bir spektrumunu
(tayfını) içerir. Bu elektromanyetik tayf radyo ve TV vericisi, görünür ışık, kızıl
ötesi ve mor ötesi ışınlar, X-ışınları ve gama ışınlarının tamamını içerir.
Elektomanyetik dalgaların 1 Hz ile 1024 Hz frekans aralığında yayıldığı fark
edilmiştir. Elektomanyetik tayfın en çok karşılaşılan kısmı Şekil-7.30’de yaklaşık
dalga boyu ve frekans değerleri için gösterilmiştir.
45
Şekil 7.30 Elektromanyetik dalga tayfı.
7.14.6 Elektromanyetik dalga denklemi
Serbest yükün ve akımın olmadığı uzay bölgesinde (𝜌 = 0 ve 𝐼 = 0) Maxwell
denklemlerini
i.
⃗ . 𝐸⃗ = 0
∇
ii.
⃗ .𝐵
⃗ =0
∇
iii.
⃗ × 𝐸⃗ = − 𝜕𝐵
∇
iv.
⃗ ×𝐵
⃗ = 𝜇0 𝜀0 𝜕𝐸
∇
⃗
𝜕𝑡
⃗
𝜕𝑡
şeklinde yazabiliriz. Şimdi (iii) ve (iv) denklemlerinin her iki tarafının t’ye göre
türevlerini alarak
⃗⃗
2⃗
⃗∇ × ∂𝐸 = − 𝜕 𝐵2
∂t
𝜕𝑡
⃗
2𝐸
⃗
∂t
𝜕𝑡 2
⃗ × ∂𝐵 = 𝜇0 𝜀0 𝜕
∇
yazabiliriz. Burada
⃗
∂𝐵
∂t
yerine (iii) eşitliğindeki
𝜕2 𝐸⃗
𝜕𝑡 2
=𝜇
1
0 𝜀0
(7.125a)
⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡
(7.125b)
⃗ × 𝐸⃗ değerini yazarak
= −∇
⃗∇ × (−∇
⃗ × 𝐸⃗ ) = − 1 ⃗∇ × (∇
⃗ × 𝐸⃗ )
𝜇 𝜀
0 0
(7.126a)
elde ederiz.
46
Benzer şekilde (7.125a) denkleminde
⃗⃗⃗
𝜕𝐸
𝜕𝑡
yerine (iv)eşitliğindeki
𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡
=
1
𝜇0 𝜀0
⃗ ×𝐵
⃗
∇
değerini yazarak
⃗
𝜕2 𝐵
𝜕𝑡 2
⃗ ×(
= −∇
1
𝜇 0 𝜀0
⃗ ×𝐵
⃗)=−
∇
1
𝜇0 𝜀0
⃗ × (∇
⃗ ×𝐵
⃗)
∇
(7.126b)
elde ederiz.
Her hangi bir 𝐴⃑ vektörel alan için
⃗⃑x(∇
⃗⃑x𝐴⃑ ) = ∇
⃗⃑(∇
⃗⃑. 𝐴⃑ ) − ∇2 𝐴⃑
∇
(7.127)
yazıldığını biliyoruz (“Mathematical methods in the physical sciences, Boas M.L.”
kitabına bakabilirsiniz). Burada
⃗⃑ ∂
⃗∇⃑= 𝚤⃑ ∂ + 𝑗⃑ ∂ + 𝑘
∂x
∂y
∂z
(7.128)
⃗⃑
∇2 𝐴⃑ = ∇2 𝐴𝑥 𝚤⃑ + ∇2 𝐴𝑦 𝑗⃑ + ∇2 𝐴𝑧 𝑘
(7.129)
ve
dir. Buradaki ∇2 𝐴⃑’ye vektör Laplasyen (vector Laplacian ) denir. (7.127) ifadesini
⃗⃑ ve 𝐸⃗⃑ vektörleri için kullanırsak
(7.126a) ve (7.126b) ifadesindeki 𝐵
∂2 𝐸⃗⃑
∂t2
⃗⃑
∂2 𝐵
∂t2
= −µ
1
0 𝜀0
= −µ
1
0 𝜀0
⃗∇⃑x(∇
⃗⃑x𝐸⃗⃑ ) = − 1 [∇
⃗⃑(∇
⃗⃑. 𝐸⃗⃑ ) − ∇2 𝐸⃗⃑ ]
µ 𝜀
(7.130a)
⃗⃑x(∇
⃗⃑x𝐵
⃗⃑ ) = − 1 [∇
⃗⃑(∇
⃗⃑. 𝐵
⃗⃑ ) − ∇2 𝐵
⃗⃑ ]
∇
µ 𝜀
(7.130b)
0 0
0 0
elde ederiz.
⃗⃑. ⃗E⃑ = 0 ve ∇
⃗⃑. B
⃗⃑ = 0 olduğunu hatırlarsak
Burada ∇
∂2 𝐸⃗⃑
∂t2
⃗⃑
∂2 𝐵
∂t2
sonuçlarını elde ederiz. Burada 𝑐 =
=
=
1
µ 0 𝜀0
1
µ 0 𝜀0
1
√µ0 𝜀0
∇2 𝐸⃗⃑
(7.131a)
⃗⃑
∇2 𝐵
(7.131b)
değeri elektromanyetik dalganın
boşluktaki hızıdır. 𝜀0 ≃ 8.85x10−12 C 2 ⁄N. m2 ve µ0 = 4πx10−7 N⁄A2 değerlerini
kullanarak c hızı için c ≃ 3x108 m⁄s değerini elde ederiz.
Şimdi (7.131a) ve (7.131b) denklemini yeniden
∇2 𝐸⃗⃑ =
⃗⃑ =
∇2 𝐵
1 ∂2 𝐸⃗⃑
𝑐 2 ∂t2
⃗⃑
1 ∂2 𝐵
𝑐 2 ∂t2
(7.132a)
(7.132b)
47
şeklinde yazabiliriz. Bu iki denklem daha önce elde ettiğimiz dalga denklemleri ile
aynı matematiksel formdadır ve elektromanyetik dalga denklemleri olarak bilinir.
Burada
⃗
∇2 𝐸⃗⃑ = (∇2 𝐸𝑥 )𝚤 + (∇2 𝐸𝑦 )𝑗 + (∇2 𝐸𝑍 )𝑘
(7.133a)
⃗
⃗⃑ = (∇2 𝐵𝑥 )𝚤 + (∇2 𝐵𝑦 )𝑗 + (∇2 𝐵𝑍 )𝑘
∇2 𝐵
(7.133b)
olduğunu biliyoruz (“Mathematical methods in the physical sciences, Boas M.L.”
kitabına bakabilirsiniz).
⃗⃑ ’nin her ikisi de dalganın
Elektromanyetik dalgalar enine dalgalardır. 𝐸⃗⃑ ve 𝐵
⃗⃑ vektörleri birbirlerine de diktir.
yayılma doğrultusuna diktir. Aynı zamanda 𝐸⃗⃑ ve 𝐵
⃗⃑ vektörel çarpımının yönündedir.
Dalganın yayılma yönü 𝐸⃗⃑ 𝑥𝐵
Şimdi (7.133a) ve (7.133b) dalga denklemlerini kullanarak elektrik alanı 𝑦
doğrultusunda, manyetik alanı 𝑧 doğrultusunda olan ve +𝑥 -ekseni yönünde
yayılan elektromanyetik dalganın denklemini yazalım:
∂
𝐸⃗⃑ alanı 𝑦 doğrultusunda olduğu için
2𝐸
⃗⃑
∂t2
türevinin sadece
∂2 𝐸𝑦
∂t2
bileşeni olacaktır.
∇2 𝐸⃗⃑ vektörünün sadece ∇2 𝐸𝑦 bileşeni olacaktır çünkü
⃗
(∇2 𝐸𝑥 ) 𝚤 + (∇2 𝐸𝑦 )𝑗 + ⏟
(∇2 𝐸𝑍 ) 𝑘
∇2 𝐸⃗⃑ = ⏟
0
0
2
∇2 𝐸𝑦 =
2
2
∂ 𝐸𝑦
∂ 𝐸𝑦
∂ 𝐸𝑦
+
+
∂x 2
∂y 2
∂z 2
olduğunu biliyoruz. 𝐸𝑦 'nin 𝑦 ve 𝑧'e göre türevleri sıfır olmak zorundadır. Çünkü
dalganın x-ekseni yönünde yayıldığını söyledik. Bu durumda
∂2 𝐸𝑦
∇ 𝐸𝑦 =
∂x 2
2
olacaktır. Benzer şekilde
∂2 𝐵𝑧
∇ 𝐵𝑧 =
∂x 2
2
olacaktır.
48
Bu iki sonucu kullanarak söylenen özelliklerdeki elektromanyetik dalganın
(elektrik alanı 𝑦 doğrultusunda, manyetik alanı 𝑧 doğrultusunda olan ve +𝑥-ekseni
yönünde yayılan ) denklemi için
∂2 𝐸𝑦
∂x2
∂2 𝐵𝑧
∂x2
=
=
1 ∂2 𝐸𝑦
c2 ∂t2
1 ∂2 𝐵𝑧
c2 ∂t2
(7.134a)
(7.134b)
yazabiliriz. Farklı yönlerde yayılan elektromanyetik dalgalar için bu işlemi sizin
de yapınız önerilir.
7.14.7 Sinüzoidal elektromanyetik dalgalar
Sinüzoidal elektromanyetik dalgalar daha önce incelediğimiz gerilmiş bir sicim
üzerindeki sinüzoidal enine mekanik dalgalarla birebir benzerlik gösterir. Bir
⃗⃑ alanları uzayın her noktasında zamanın
sinüzoidal elektromanyetik dalgada 𝐸⃗⃑ ve 𝐵
ve konumun sinüzoidal fonksiyonudur.
Daha önce bir sicim üzerindeki dalgalar için yaptığımız gibi, elektromanyetik
dalgaları dalga fonksiyonları olarak tanımlayabiliriz. Bir sicim boyunca +x
yönünde ilerleyen bir enine dalga için dalga fonksiyonunun
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
(7.135)
şeklinde yazılabildiğini biliyoruz. Burada 𝑦(𝑥, 𝑡) herhangi bir t anında sicim
üzerindeki x-koordinatlı bir noktanın denge konumuna göre enine yer
değiştirmesidir. A niceliği dalganın genliği,  açısal frekansı ve k dalga sayısıdır.
⃗⃑ manyetik alan vektörünün z𝐸⃗⃑ elektrik alan vektörünün y-bileşeni 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) ve 𝐵
bileşeni 𝐵𝑧 (𝑥, 𝑡) olsun.(Şekil-7.33). Burada 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) ve 𝐵𝑧 (𝑥, 𝑡) herhangi bir t
anında elektrik ve manyetik alan vektörlerinin x-eksenine göre enine yer
değişimleridir. (7.134a) ve (7.134b) dalga denklemlerinin çözümü için
𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐸0 cos(𝑘𝑥 − ω𝑡)
(7.136a)
𝐵𝑧 (𝑥, 𝑡) = 𝐵0 cos(𝑘𝑥 − ω𝑡)
(7.136b)
49
yazabiliriz. Burada 𝐸0 ve 𝐵0 elektrik ve manyetik alanların maksimum değerleri
veya genlikleri, 𝜔 açısal frekansı ve 𝑘 dalga sayısıdır. Dalga fonksiyonlarını
vektörel olarak da yazabiliriz;
𝐸⃗⃑ (𝑥, 𝑡) = 𝑗𝐸0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
(7.137a)
⃗ 𝐵0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
⃗⃑ (𝑥, 𝑡) = 𝑘
𝐵
(7.137b)
⃗ ,+z yönünde birim vektörü, 𝑘(= 2𝜋) ise dalga sayısını
UYARI:Burada 𝑘
𝜆
gösterdiğine dikkat ediniz.
Şekil-7.31'de +𝑥 ekseni yönünde ilerleyen doğrusal kutuplanmış bir sinüzoidal
elektromanyetik dalgayı göstermektedir.
Şekil-7.31 Bir sinüzoidal düzlem elektromanyetik dalganın elektrik ve
manyetik alan bileşenleri ve yayılma yönünün şematik gösterimi.
⃗⃑ alanları birbiriyle uyum içinde (aynı fazda) salınmaktadırlar, yani 𝐸⃗⃑ ve 𝐵
⃗⃑
𝐸⃗⃑ ve 𝐵
⃗⃑
aynı anda maksimum veya sıfırdırlar. Ayrıca eğer 𝐸⃗⃑ vektörü +𝑦 yönünde ise 𝐵
⃗⃑ vektörü
vektörü +𝑧 yönündedir; benzer şekilde 𝐸⃗⃑ vektörü −𝑦 yönünde ise 𝐵
−𝑧 yönündedir. Bu tür dalgalar 𝑦𝑧 −düzlemine paralel olan bütün düzlemlerde
aynı alanlara sahiptir ve düzlem dalgalar olarak tanımlanır. Dolaysıyla, elektrik ve
⃗⃑ = 0 dir. Şimdi (7.132a) ve (7.132b) dalga
manyetik alanlar birbirine diktir ve 𝐸⃗⃑ . 𝐵
denklemlerinin genel çözümleri için
50
⃗⃑. 𝑟⃑ − 𝜔𝑡)
𝐸⃗⃑ = 𝐸⃗⃑0 cos(𝑘
(7.138a)
⃗⃑ . 𝑟⃑ − 𝜔𝑡)
⃗⃑ = 𝐵
⃗⃑0 cos(𝑘
𝐵
(7.138b)
yazabiliriz.
7.14.8 Elektromanyetik dalgalarda enerji
⃗⃑ alanlarının bulunduğu boş uzay bölgesinde 𝑢 toplam enerji yoğunluğunun
𝐸⃗⃑ ve 𝐵
(𝐽⁄𝑚3 ) aşağıdaki bağıntıyla verildiğini biliyoruz:
1
1 𝐵2
2
2 𝜇0
𝑢 = 𝜀0 𝐸 2 +
(7.139)
⃗⃑'nin büyüklükleri arasındaki
Boşluktaki elektromanyetik dalgalar için 𝐸⃗⃑ ve 𝐵
bağıntının ise
𝐵=
𝐸
𝑐
= √𝜀0 𝜇0 𝐸
(7.140)
bağıntısıyla verilir. Denklem (7.139) ve (7.140) birleştirilince, boşluktaki bir
elektromanyetik dalganın 𝑢 toplam enerji yoğunluğunu aşağıdaki şekilde ifade
edebiliriz.
1
1
2
2𝜇0
𝑢 = 𝜀0 𝐸 2 +
2
(√𝜀0 𝜇0 𝐸) = 𝜀0 𝐸 2
(7.141)
Bu denkleme göre, boşlukta elektromanyetik dalganın 𝐸⃗⃑ elektrik alanındaki enerji
⃗⃑ manyetik alanındaki enerji yoğunluğuna eşittir. Elektromanyetik
yoğunluğu, 𝐵
dalgada, elektrik alanın 𝐸 büyüklüğü konumun ve zamanın bir fonksiyonudur. Bu
nedenle 𝑢 toplam enerji yoğunluğu da konum ve zamana bağlıdır.
7.14.9 Elektromanyetik enerji akışı ve Poynting vektörü
Elektromanyetik dalgalar bir bölgeden diğerine enerji aktaran dalgalardır. Bu
enerji aktarımını, dalganın ilerleme doğrultusuna dik bir yüzey için, birim
zamanda birim kesit alana aktarılan enerji veya birim alandaki güç cinsinden
tanımlayabiliriz.
Enerji akışı ile elektrik ve manyetik alan arasındaki ilişkiyi anlamak için,
x-eksenine (yayılma doğrultusu) dik olan ve herhangi bir zamanda dalga
51
cephesiyle örtüşen bir durgun düzlem düşünelim. Bir 𝑑𝑡 zamanından sonra dalga
cephesi düzlemin sağına doğru 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑑𝑡 mesafesi kadar ilerler. Bu durgun
düzlem içinde bir 𝐴 yüzey alanını ele alırsak (Şekil-7.32), bu alanın sağında
bulunan uzaydaki enerjinin yeni konumuna ulaşmak için 𝐴 alanından daha
önceden geçmiş olması gerekir.
Şekil-7.32 Poynting vektörü
Söz konusu bölgenin 𝑑𝑉 hacmi, 𝐴 taban alanı ile 𝑐 𝑑𝑡 mesafesinin çarpımına
eşittir. Bu hacim bölgesindeki 𝑑𝑈 enerjisi, 𝑢 enerji yoğunluğu ile 𝑑𝑉 hacminin
çarpımına eşittir:
𝑑𝑈 = 𝑢𝑑𝑉 = (𝜀0 𝐸 2 )(𝐴 𝑐 𝑑𝑡)
(7.142)
Bu enerji 𝐴 alanından 𝑑𝑡 zamanı içinde geçer. Birim zamanda ve birim alandan
geçen enerji akışı 𝑆 olarak tanımlanır. S için aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:
𝑆=
𝑑𝑈 ⁄𝑑𝑡
= 𝜀0 𝑐𝐸 2
𝐴
(7.143)
Bu denklemi yeniden
𝑆=
𝜀0
√ 𝜀0 𝜇 0
𝐸2 =
√ 𝜀0 𝜇 0
𝜇0
𝐸2 =
𝐸(√𝜀0 𝜇0 𝐸)
𝜇0
(7.144)
veya
𝑆=
1
𝜇0
𝐸𝐵
(7.145)
şeklinde yazabiliriz. 𝑆 'nin birimi "birim zamanda birim alandan geçen enerji"
veya “birim alandan geçen güç” olarak tanımlanır. SI birim sisteminde 𝑆 'nin
birimi 𝑊 ⁄𝑚2 'dir. Enerji akış hızının büyüklüğünü ve yönünü birlikte açıklayan bir
niceliği tanımlayabiliriz:
𝑆⃑ =
1
𝜇0
⃗⃑
𝐸⃗⃑ × 𝐵
(7.146)
52
𝑆⃑ vektörüne İngiliz fizikçi John Poynting'in (1832-1914) anısına Poynting vektörü
denir. Vektör yönü Şekil-7.32'de görüldüğü gibi dalga yayılma yönü ile aynıdır. 𝐸⃗⃑
⃗⃑ birbirine dik olduklarından
ve 𝐵
𝑆 = |𝑆⃑| =
1
𝜇0
⃗⃑|𝑠𝑖𝑛𝜃
|𝐸⃗⃑ ||𝐵
ve 𝜃 = 900 olduğundan
𝑆=
1
𝜇0
𝐸𝐵
(7.147)
yazılır. Herhangi bir kapalı yüzeyden geçen toplam enerji akışı (yani güç, P) 𝑆⃑’nin
yüzey üzerinden integraline eşittir:
𝑃 = ∮ 𝑆⃑. 𝑑𝐴
(7.148)
7.14.10 Poynting vektörünün ortalaması
Sinüzoidal ve diğer karmaşık elektromanyetik dalgalar için, herhangi bir noktadaki
elektrik ve manyetik alan ve dolayısıyla Poynting vektörü zamanla değişir. Tipik
elektromanyetik dalgaların frekansları çok yüksek olduğundan, Poynting
vektörünün zamanla değişimi çok hızlıdır. Bu nedenle onun ortalamasına bakmak
daha uygundur.
𝑆 ’nin ortalama değerinin herhangi bir noktadaki büyüklüğüne o noktadaki
ışımanın şiddeti denir. Eşitlik (7.137a) ve (7.137b) eşitlikleri ile tanımlı bir
elektromanyetik dalganın şiddet ifadesini 7.137a ve b ifadeleri ile tanımlı dalga
için çıkaralım:
𝑆(𝑥, 𝑡) =
1
𝜇0
⃗ (𝑥, 𝑡) =
𝐸⃗ (𝑥, 𝑡) × 𝐵
1
𝜇0
⃗ 𝐵0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]
[𝑗𝐸0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)] × [𝑘
1
𝑆(𝑥, 𝑡) = [ 𝐸0 𝐵0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)] 𝚤
𝜇0
(7.149)
𝑆(𝑥, 𝑡) daima dalganın ilerleme yönündedir. Poynting vektörünü yeniden
𝑆(𝑥, 𝑡) =
1
2𝜇0
𝐸0 𝐵0 [1 + cos 2(𝑘𝑥 − 𝑡)]𝚤
(7.150)
şeklinde yazabiliriz. Bunun tam bir devir üzerinden ortalamasını alarak
𝑆𝑜𝑟𝑡 = 𝑆𝑜𝑟𝑡 𝚤 =
1
2𝜇0
𝐸0 𝐵0 𝚤
(7.151)
53
elde edilir ( cos2(𝑘𝑥 − 𝑡) ’in bir periyod üzerinden ortalaması sıfırdır). Bir
sinüzoidal dalga için 𝑆 ’nin ortalama değerinin büyüklüğü (dalganın 𝐼 şiddeti)
𝑆’nin maksimum değerinin yarısıdır. Burada 𝐸0 = 𝑐𝐵0 ve 𝜖0 𝜇0 =
1
𝑐2
bağıntılarını
kullanarak, şiddeti birkaç eşdeğer biçimde ifade edebiliriz:
𝐼 = 𝑆𝑜𝑟𝑡 =
𝐸0 𝐵0
2𝜇0
=
𝐸02
1
2𝑐𝜇0
𝜀
1
= √ 0 𝐸02 = ( 𝜀0 𝐸02 ) 𝑐
2 𝜇
2
0
(7.152)
Bu ifade herhangi bir yönde yayılan elektromanyetik dalga için de geçerlidir.
7.14.11 Madde içindeki elektromanyetik dalgalar
Elektromanyetik dalgalar maddesel ortamda da yayılırlar (hava, su, cam içinde
yayılan ışığı biliyorsunuz). Burada elektromanyetik dalgaların iletken olmayan
yani dielektrik ortamlarda yayılmasına değineceğiz.
Boşlukta ilerleyen elektromanyetik dalgalar için kullandığımız yöntemi takip
ederek, madde içinde ilerleyen elektromanyetik dalgaların 𝑣 hızını bulabiliriz;
𝑣=
1
√𝜀𝜇
=
1
1
√κκ𝑚 √𝜀0 𝜇0
=
𝑐
√κκ𝑚
(7.153)
Burada  maddenin göreceli elektrik geçirgenlik sabiti ya da dielektrik sabiti, 𝜀 ise
dielektrik geçirgenliğidir (𝜀 = 𝜅𝜀0 ). 𝜅𝑚 dielektriğin göreceli manyetik geçirgenlik
sabiti, 𝜇’de manyetik geçirgenliğidir (𝜇 = 𝜅𝑚 𝜇0 ). Yalıtkan malzemelerin çoğu için
𝜅𝑚 ’nin değeri 1 civarındadır (iletken ferromanyetik malzemeler hariç). 𝜅𝑚 ≅ 1
olduğu durumlarda, dalganın malzame içindeki hızı
𝑣=
1
1
√κκ𝑚 √𝜀0 𝜇0
=
𝑐
(154)
√κ
olur. Dielektrik malzemeler için 𝜅 değeri her zaman 1’den büyük olduğundan
(boşluk için 𝜅 = 1 ) elektromanyetik dalgaların dielektrik ortamlardaki hızı
boşluktaki hızından daima
1
√𝜅
oranında küçüktür (𝑣 < 𝑐). Boşluktaki c hızı ile
maddesel ortamdaki v hızı arasındaki oran optikte malzemenin n kırma indisi
olarak bilinir. 𝜅𝑚 ≅ 1 olduğu durumlarda
𝑐
= 𝑛 = √κ 𝑚 κ ≅ √ κ
dir. Bazı malzemelerin 20‘de  dielektrik sabitleri Tablo-7.2’de verilmiştir.
(155)
𝑣
54
Tablo-7.2. Bazı malzemelerin 20‘de  dielektrik sabitleri.
Malzeme
Vakum (boşlu)
Hava (1 atm)
Hava (100 atm)
Teflon
Polietilen
Benzen
Mika

1
1,00059
1,0548
2,1
2,25
2,28
3-6
Malzeme
Polivinil klorür
Pleksiglas
Cam
Neopren
Germanyum
Gliserin
Su

3,18
3,40
5-10
6,7
16
42,5
80,4
Maddenin dielektrik sabiti statik elektrik alanlarda ölçüldüğünden, Tablo-7.2’de
verilen  değerlerini bu denklemde kullanamayız. Alanlar hızla salındığından
düzgün alanlarda oluşan elektrik dipollerin kısa bir süre içinde yönlerini yeniden
ayarlamaları mümkün değildir. Hızla değişen alanlardaki  değerleri genelde
Tablo-7.2’de verilen değerlerden çok küçüktür. Örneğin suyun  katsayısı Tablo7.1’de 80,4 olarak veriliyor, fakat görünür ışık frekans aralığında sadece 1,80
civarında değerler alır. Bu nedenle, dielektrik sabiti  aslında frekansın bir
fonksiyonudur.
55
ÖRNEK-1
𝑦 ve 𝑥 cm , 𝑡 s olmak üzere ip üzerinde +x yönünde ilerleyen enine bir dalga
𝑦 = 0,3𝑠𝑖𝑛(0,5π𝑥 − 50𝜋𝑡)
ifadesine uymaktadır.
a) Bu dalganın genliği (A), dalga boyu (), dalga sayısı (k=2/), frekansı (f),
periyodu (T) ve dalga hızını (v) bulunuz.
b) İp üzerinde bir parçacığın maksimum enine hızını bulunuz.,
Çözüm:
a) İp üzerinde ilerleyen bir dalgayı tanımlayan fonksiyonun
𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
ile verildiğini biliyoruz. Verilen fonksiyonu bu ifade ile karşılaştırılırsa
Genlik: 𝐴 = 0,3 𝑐𝑚
2𝜋
Dalga sayısı: 𝑘 = = 0,5𝜋 ≅ 1,57 rad/m
Dalga boyu: 𝜆 =
𝜆
2𝜋
𝑘
=
2𝜋
0,5𝜋
= 4 𝑐𝑚
Frekans: 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 50𝜋 ⇒ 𝑓 = 25 𝐻𝑧
1
Periyot: 𝑇 = = 0,04 𝑠
25
Hız: 𝑣 = 𝜆𝑓 = 4𝑥25 = 100 𝑐𝑚/𝑠
b) İp üzerinde ilerleyen dalganın enine hızı
𝑣𝑒𝑛𝑖𝑛𝑒 =
𝑑𝑦
= −𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑑𝑡
(𝑣𝑒𝑛𝑖𝑛𝑒 )𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔 = 𝐴 × 2𝜋𝑓 = 0,3 × 2𝜋 × 25 = 15𝜋 ≅ 47 𝑐𝑚/𝑠
ÖRNEK-2
Bir dalga 20 Hz’lik frekans ve 80 m/s’lik bir hıza sahiptir.
a) Bu dalga üzerinde 30 ° ’lik (
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑𝑦𝑎𝑛 ) bir faz farkına sahip iki nokta
arasındaki uzaklık ne kadardır?
b) Bu dalgada 0,01 s’lik bir zaman farkı bir noktaya ulaşan iki yer değiştirme
arasındaki faz farkı ne kadardır? (French-p7.4)
Çözüm:
a) +x ekseni yönünde ilerleyen dalgayı
56
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 2𝜋𝑓𝑡)
fonksiyonu ile gösterebiliriz. Bu dalganın fazı sinüsün argümanıdır yani
𝐹𝑎𝑧 = 𝑘𝑥 − 2𝜋𝑓𝑡
dir.
𝐹𝑎𝑧1 = 𝑘𝑥1 − 2𝜋𝑓𝑡
𝐹𝑎𝑧2 = 𝑘𝑥2 − 2𝜋𝑓𝑡
𝐹𝑎𝑧 𝑓𝑎𝑟𝑘𝚤 = 𝐹𝑎𝑧2 − 𝐹𝑎𝑧1 = 𝑘(𝑥2 − 𝑥1 ) =
2𝜋
𝜋
(𝑥2 − 𝑥1 ) =
𝜆
6
𝑥2 − 𝑥1 = 𝜆/12
𝑣 = 𝜆𝑓 olduğundan
𝑥2 − 𝑥1 =
𝑣
12𝑓
yazabiliriz. Verilen değerler kullanılarak
𝑥2 − 𝑥1 =
80
1
= ≅ 0.33 𝑚
12 × 20 3
elde edilir.
b) Belirli bir noktada yani x=sabit olma durumunda faz farkı için
𝐹𝑎𝑧 𝑓𝑎𝑟𝑘𝚤 = 𝐹𝑎𝑧2 − 𝐹𝑎𝑧1 = (𝑘𝑥 − 2𝜋𝑓𝑡2 ) − (𝑘𝑥 − 2𝜋𝑓𝑡1 )
= 2𝜋𝑓(𝑡1 − 𝑡2 )
𝐹𝑎𝑧 𝑓𝑎𝑟𝑘𝚤 = 𝐹𝑎𝑧2 − 𝐹𝑎𝑧1 = 2𝜋 × 20 × (0,01) = 0,4𝜋 radyan
veya
𝐹𝑎𝑧 𝑓𝑎𝑟𝑘𝚤 = 𝐹𝑎𝑧2 − 𝐹𝑎𝑧1 = 72°
yazabiliriz.
ÖRNEK-3
Bir pulsun (atmanın) uzun bir ip üzerinde bir uçtan diğerine 0,1 s’de ulaştığı
gözlemlenmiştir. İp üzerindeki gerilme (T), ipin kütlesi ihmal edilebilen
sürtünmesiz bir makaradan geçirilmesi ve ucuna ipin kütlesinin (𝑚𝑖𝑝 ) 100 katı bir
ağırlık (𝑚 = 100𝑚𝑖𝑝 ) asılması ile temin edilmiştir.
a) İpin uzunluğu nedir?
b) Üçüncü normal modu tanımlayan fonksiyon nedir?
(French-p7.6)
57
Çözüm:
İpteki gerilim mg ağırlığına eşit olacağından
𝑇 = 𝑚𝑔 = 100𝑚𝑖𝑝 𝑔
yazabiliriz. İpin boyca kütle yoğunluğuna 𝜇 dersek
𝑚𝑖𝑝 = 𝜇𝐿
yazılır.
𝑇 = 𝑚𝑔 = 100𝑚𝑖𝑝 𝑔 = 100𝜇𝐿𝑔
İpteki dalga hızının
𝑣 = √𝑇/𝜇
ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Buradan
𝑇 = 𝜇𝑣 2 = 100𝜇𝐿𝑔 ⇒ 𝑣 2 = 100𝐿𝑔
ve
𝑣 = 𝐿/𝑡
olduğundan
𝐿2
𝑡2
= 𝑣 2 = 100𝐿𝑔 ⇒ 𝐿 = 100𝑔𝑡 2 = 100 × 10 × 10−2 = 10 𝑚
𝐿 = 10 𝑚
elde edilir.
b) İki ucu bağlı ipte n’inci modun
𝑛𝜋𝑥
) 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑡
𝐿
𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛 =
𝑛𝜋 𝑇
𝐿
1⁄
2
(𝜇)
𝑛 = 1,2,3. ..
ifadesi ile tanımlı olduğunu biliyoruz (Ders notlarına bakınız). 3. Mod için
1⁄
2
3𝜋 𝑇
3 =
( )
𝐿 𝜇
3𝜋 100𝜇𝐿𝑔
=
(
)
𝐿
𝜇
1⁄
2
=
3𝜋
1
(100𝐿𝑔) ⁄2
𝐿
58
3 =
3𝜋
10
1
(100 × 10 × 10) ⁄2 = 30𝜋 𝑠 −1
Bu değer kullanılarak 3’cü modu tanımlayan fonksiyon için
3𝜋𝑥
𝑦3 (𝑥, 𝑡) = 𝐴3 𝑠𝑖𝑛 (
) 𝑐𝑜𝑠 30𝜋𝑡
10
yazılır.
ÖRNEK-4
Gerilmiş bir ipin bir ucu (x=0), t=0’dan başlamak üzere 0,1 s süresince 0,5 m/s’lik
sabit bir hız ile enine hareket etmekte olup takip eden 0,1 s sonra bu uç normal
konumuna gelmekte ve tekrar aynı süre için sabit hız ile enine hareket etmektedir.
Bu durumda bileşke dalga pulsu 4 m/s’lik bir hız ile hareket eder.
a) t=0,4 s ve t=0,5 s arasında ipin görünüşünü çiziniz.
b) t=0,4 s için x’e karşılık enine hızı çiziniz. (French-p7.10)
Çözüm:
a) İpin bir ucundan başlayan puls (atma) 0,1 s içinde enine 0,1x0,5=0,05 m hareket
eder. Bu süre içinde yatayda ise 0,1x4=0,4 m ilerler. Bunu takip eden sürede ise
düşeyde zıt yönde 0,05 m yol alınırak normal konuma gelirken, yatayda 0,4 m kadar
daha ilerlemiş olur. Bu durumda atmanın şekli aşağıdaki gibi çizilebilir (Şekil-1).
Şekil-1
İpin sol ucundan başlayan atmanın ön ucu t=0,4 s sonra
𝑥ö𝑛 = 𝑣. 𝑡 = 4 × 0.4 = 1,6 𝑚
ve arka uç ön uçtan 0,8 m daha geride olacağından (puls genişliği)
𝑥𝑎𝑟𝑘𝑎 = 𝑥ö𝑛 − 𝑃𝑢𝑙𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑖ş𝑙𝑖ğ𝑖 = 1,6 − 0,8 = 0,8 𝑚
olacaktır. Bu durumda atmanın t=0,4 s sonraki hali aşağıdaki gibi çizilebilir (şekil-2).
59
Şekil-2
İpin sol ucundan başlayan atmanın ön ucu t=0,5 s sonra
𝑥ö𝑛 = 𝑣. 𝑡 = 4 × 0.5 = 2,0 𝑚
ve arka ucu ise
𝑥𝑎𝑟𝑘𝑎 = 𝑥ö𝑛 − 𝑃𝑢𝑙𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑖ş𝑙𝑖ğ𝑖 = 2,0 − 0,8 = 1,2 𝑚 olacaktır. Bu durumda atmanın
t=0,5 s sonraki hali aşağıdaki gibi çizilebilir (Şekil-3).
Şekil-3
b) Şekil-2’den faydalanarak enine hızın konuma bağlı davranışının aşağıdaki
gibi olacağını söyleyebiliriz (Şekil-4):
𝑣𝑦 =
𝑣𝑦1 =
𝑣𝑦2 =
0,05
× 4 = 0,5 𝑚/𝑠 , 0,8𝑚 ≤ 𝑥 < 1,2𝑚
0,4
−0,05
0,4
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑥
=
= 𝐸ğ𝑖𝑚 ×
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡
𝜕𝑡
× 4 = −0,5 𝑚/𝑠 , 1,2𝑚 < 𝑥 ≤ 1,6𝑚
Şekil-4
60
ÖRNEK-5
Profili t=0 anında 𝜓(𝑦, 0) =
3
2𝑦 2 +1
fonksiyonu ile verilen bir atmayı,
a) 𝑣 = 2 𝑚/𝑠 hızı ile +y yönünde ilerleyen bir puls olarak ifade ediniz.
b) Bu pulsun t=0 ve t=1 s anında y’ye karşı grafiğini çiziniz.
Çözüm:
a) +y yönünde ilerleyen bir pulsu
𝜓(𝑦, 𝑡) = 𝑓(𝑦 − 𝑣𝑡)
formunda yazabiliriz. Eğer 𝜓(𝑦) =
3
2𝑦 2 +1
ifadesinde y yerine 𝑦 − 𝑣𝑡 = 𝑦 − 2𝑡
yazacak olursak +y yönünde 2 m/s hızı ile ilerleyen bir puls elde ederiz.
𝜓(𝑦, 𝑡) =
3
2(𝑦 − 2𝑡)2 + 1
b) Bu pulsun
𝑡 = 0 anında
𝜓1 (𝑦, 𝑡) =
𝑡 = 1 𝑠 anında
𝜓2 (𝑦, 𝑡) =
3
2𝑦 2 +1
3
2(𝑦−2)2 +1
fonksiyonları ile tanımlıdır. Bu fonksiyonların (Pulsların) grafiği aşağıda
verilmiştir.
61
ÖRNEK-6
Homojen bir kesit alanına sahip bir U borusu göz önüne alınız (Şekil-1). Borudaki
sıvı kolunun uzunluğu yaklaşık l olsun. Borudaki sıvının titreştiğini düşünürsek,
borunun kollarındaki sıvı
𝑑𝑦
𝑑𝑡
hızı ile denge konumuna göre ∓𝑦 arasında titreşir.
Şekil-1
a) Sıvının potansiyel ve kinetik enerjilerinin toplamını yazınız ve buradan
titreşimlerin periyodunun 𝜋√2𝑙/𝑔 olduğunu gösteriniz.
b) Bu şekildeki U borularının yan yana gelmelerinin bir su dalgasının tepe ve
çukur noktalarının arka arkaya gelmeleri olarak düşünebileceğinizi
farzediniz (Şekil-1’e bakınız). a-şıkkındaki sonuçları alarak ve yanyana
gelen U boruları şeklinden hareketle bulunan 𝜆 ≅ 2𝑙 şartını da kullanarak su
üzerindeki dalgaların dalga hızının yaklaşık olarak (𝑔𝜆 )1/2 /𝜋 olduğunu
gösteriniz.(Sıvının sadece küçük bir kesrinin U borusunun kollarında
olduğunu varsayınız. Başka bir deyişle U borusundaki sıvı dolu kısmın
uzunluğunu şekildeki l uzunluğuna eşit alabilirsinzi.)
c) Okyanusta 500 m dalga boyuna sahip dalgaların hızını hesaplamak için bşıkkının tam sonucu olan 𝑣 = (𝑔𝜆/2𝜋 )1/2 değerini kullanınız.
French-p7.20
Çözüm:
Şekildeki U borusunun sol tarafındaki koldaki sıvı sütunu y kadar aşağı inince
diğer koldaki sıvı sütunu aynı miktarda yükselecektir. y kadarlık sıvı sütununun
kütlesi 𝑚𝑦 = 𝜌𝐴𝑦 olacaktır. Burada 𝜌 sıvının özkütlesi, A borunun kesit alanıdır.
Bu kadar sıvı y kadar yukarıda olmaktan dolayı potansiyel enerji için
𝑈 ≅ 𝑚𝑦 𝑔𝑦 = 𝜌𝐴𝑦𝑔𝑦 = 𝜌𝐴𝑔𝑦 2
yazabiliriz.
62
Bu olay sırasında sıvı sütunu düşey kolda y kadar yükselirken tüm sıvı v hızı ile
hareket edecektir. Bu durumda kinetik enerji için
𝐾=
1
1
𝑑𝑦
𝑚𝑣 2 = (𝜌𝐴𝑙)( )2
2
2
𝑑𝑡
yazılabilir (U borusundaki sıvı dolu kısmın uzunluğunu yaklaşık şekildeki l
uzunluğuna eşit alınmıştır. Düşey kollardaki sıvı yüksekliği l’ye göre küçük
olduğu söyleniyor. ).
Toplam enerji için
1
𝑑𝑦 2
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 = (𝜌𝐴𝑙) ( ) + 𝜌𝐴𝑔𝑦 2
2
𝑑𝑡
Toplam enerjinin korunduğunu kabul edersek
𝜕𝐸
=0
𝜕𝑡
olacaktır. Buradan
1
𝑑𝑦 𝑑 2 𝑦
𝑑𝑦
2(𝜌𝐴𝑙)
+ 2𝜌𝐴𝑔𝑦
=0
2
2
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
veya
1
𝑑2𝑦
2(𝜌𝐴𝑙) 2 + 2𝜌𝐴𝑔𝑦 = 0
2
𝑑𝑡
veya
𝑑 2 𝑦 2𝑔
+
𝑦=0
𝑑𝑡 2
𝑙
veya 𝜔2 =
2𝑔
𝑙
alarak
𝑑2 𝑦
+ 𝜔2 𝑦 = 0
𝑑𝑡 2
yazabiliriz. Bu denklem BHH’in denklemidir. Bu nedenle U borusunun
kollarındaki sıvı BHH yapacaktır. Hareketin periyodu 𝜔2 =
2𝑔
𝑙
ifadesinden
kolayca bulunur:
𝜔=√
2𝑔
𝑙
⇒
𝑇 = 2𝜋√
𝑙
2𝑔
= 𝜋√
2𝑙
𝑔
Sonuç olarak periyot için
2𝑙
𝑇 = 𝜋√
𝑔
63
elde edilir.
b) Sıvının düşey koldaki yüksekliği toplam uzunluğun küçük bir kesri
olduğunu kabul ediniz dendiği için U borusunun yatay uzunluğu yaklaşık
l’ye eşit alınabilir. Bu durumda Şekil-2’den dalga boyu için
𝜆 ≅ 2𝑙
alınabilir. Buradan
𝑣 = 𝜆𝑓 =
𝜆
=
𝑇
𝜆
𝜋√
2𝑙
𝑔
=
𝜆 𝑔
1 𝜆2 𝑔
1 𝜆2 𝑔
1
√ = √
≅ √
≅ √𝑔𝜆
𝜋 2𝑙
𝜋 2𝑙
𝜋 𝜆
𝜋
𝑣≅
1
√𝑔𝜆
𝜋
elde edilir.
c) Okyanustaki dalgalar için v’nin gerçek ifadesinin
𝑣 = √𝑔𝜆/2𝜋
olduğunu kabul ederek
𝑣 = √9,8 × 500/2𝜋 ≅ 28 𝑚/𝑠
sonucu bulunur. Bu hızı
𝑣 ≅ 100 𝑘𝑚/𝑠𝑎𝑎𝑡
olarak yazabiliriz. Okyanustaki dalganın oldukça hızlı hareket ettiğine dikkat
ediniz.
ÖRNEK-7
Gerilmiş bir ipin bir ucu 𝜏 zamanı süresince 𝑢𝑦 sabit hızı ile enine hareket ediyor
ve takip eden 𝜏 süresi sonunda bu uç −𝑢𝑦 hızı ile başlangıç noktasına geliyor. Bu
olayın sonunda ip üzerinde v hızı ile hareket eden üçgensel bir puls oluşuyor. Bu
pulsun kinetik ve potansiyel enerjilerini hesaplayınız ve bu enerjilerin toplamının
ipin ucunu süren kuvvetin yapmış olduğu işe eşit olduğunu gösteriniz. Frenchp7.23
Çözüm:
Üçgensel bir pulsun oluşması için 2𝜏 kadar bir süre geçmesi gerekli (Şekil-1).
64
Şekil-1
Şimdi oluşan bu pulsu hareketini ele alalım. Pulsun genliği 𝐴 = 𝑢𝑦 𝜏 ve genişliği
𝑥 = 2𝑣𝜏 olacaktır. Bu pulsun şeklini
𝐴
𝑥,
𝑣𝜏
𝑦(𝑥) = {
𝐴
2𝐴 − 𝑥,
𝑣𝜏
0 ≤ 𝑥 < 𝑣𝜏
𝑣𝜏 ≤ 𝑥 < 2𝑣𝜏
fonksiyonu ile tanımlayabiliriz. Bu puls +x ekseni yönünde ilerlediği için
𝐴
(𝑥 − 𝑣𝑡),
𝑣𝜏
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) = {
𝐴
2𝐴 − (𝑥 − 𝑣𝑡),
𝑣𝜏
0 ≤ 𝑥 < 𝑣𝜏
𝑣𝜏 ≤ 𝑥 < 2𝑣𝜏
yazabiliriz.
Kinetik enerji için
1
𝜕𝑦 2
𝑑𝐾 = 𝜇 ( ) 𝑑𝑥
2
𝜕𝑡
ifadesini biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız). Buradan
𝑣𝜏
2𝑣𝜏
1
𝜕𝑦 2
𝜕𝑦 2
𝐾 = 𝜇 [∫ ( ) 𝑑𝑥 + ∫ ( ) 𝑑𝑥]
2
𝜕𝑡
𝜕𝑡
0
𝑣𝜏
𝑣𝜏
2𝑣𝜏
1
𝐴 2
𝐴 2
𝐾 = 𝜇 [∫ (− ) 𝑑𝑥 + ∫ ( ) 𝑑𝑥]
2
𝜏
𝜏
0
𝑣𝜏
2𝑣𝜏
1 𝐴 2 𝑣𝜏
1 𝐴 2
𝐴 2
𝐾 = 𝜇 ( ) [∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥] = 𝜇 ( ) [𝑣𝜏 + 𝑣𝜏] = 𝜇 ( ) [𝑣𝜏]
2 𝜏
2 𝜏
𝜏
0
𝑣𝜏
𝜇𝐴2
𝐾=
𝑣
𝜏
elde edilir.
Potansiyel enerji için
1 𝜕𝑦 2
𝑑𝑈 = 𝑇 ( ) 𝑑𝑥
2 𝜕𝑥
ifadesini biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız). Buradan
65
𝑣𝜏
2𝑣𝜏
1
𝜕𝑦 2
𝜕𝑦 2
𝑈 = 𝑇 [∫ ( ) 𝑑𝑥 + ∫ ( ) 𝑑𝑥]
2
𝜕𝑥
𝜕𝑥
0
𝑣𝜏
𝑈=
𝑣𝜏
2𝑣𝜏
1
𝐴 2
𝐴 2
𝑇 [∫ ( ) 𝑑𝑥 + ∫ (− ) 𝑑𝑥]
2
𝑣𝜏
𝑣𝜏
0
𝑣𝜏
2𝑣𝜏
1
𝐴 2 𝑣𝜏
𝑈 = 𝑇 ( ) [∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 ]
2 𝑣𝜏
0
𝑣𝜏
𝐴 2
𝑈 = 𝑇 ( ) 𝑣𝜏
𝑣𝜏
𝑇
Burada 𝑣 = √ olduğunu hatırlarsak potansiyel enerji için
𝜇
𝑈=
𝜇𝐴2
𝑣
𝜏
yazarız. Sistemin mekanik enerjisi
𝐸 =𝐾+𝑈 =
2𝜇𝐴2
𝑣
𝜏
olacaktır.
Bu ipi titreştiren kuvvetin yaptığı işi hesaplayalım. Burada ipe etki eden enine
kuvvetin 𝐹𝑦 = 𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ 𝑇𝑡𝑎𝑛𝜃 ≅ 𝑇 (𝜕𝑦
) ifadesi ile verildiğini biliyoruz (Ders notlarına
𝜕𝑥
bakınız). Bu durumda dy kadar yerdeğiştirme durumunda yapılan diferansiyel iş
için
𝑑𝑊 = 𝐹𝑦 𝑑𝑦 = 𝑇
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝜕𝑥
yazabiliriz. Yapılan toplam iş için
𝐴
𝑊 = 𝑇 [∫
0
0
𝐴
0
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝐴
𝐴
𝑑𝑦 + ∫
𝑑𝑦] = 𝑇 [∫
𝑑𝑦 + ∫ − 𝑑𝑦]
𝜕𝑥
𝑣𝜏
𝐴 𝜕𝑥
0 𝑣𝜏
𝐴
𝐴
𝑊 = 𝑇 [∫
0
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
2𝑇𝐴
𝑑𝑦 + ∫
𝑑𝑦] = 𝑇 [2 ∫
𝑑𝑦] =
𝐴
𝑣𝜏
𝑣𝜏
0 𝑣𝜏
0 𝑣𝜏
𝑊=
2𝑇𝐴2 2𝑣 2 𝜇𝐴2 2𝜇𝐴2
=
=
𝑣
𝑣𝜏
𝑣𝜏
𝜏
𝑊=
2𝜇𝐴2
𝑣
𝜏
sonucu elde edilir. Buradan
𝑊=𝐸=
2𝜇𝐴2
𝑣
𝜏
olduğu görülür.
66
RNEK-8
Young modülü Y, kesit alanı S ve yoğunluğu  olan bir çubuk üzerinde
𝜉 = 𝜉0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) ifadesine uyan bir boyuna sinüzoidal dalgayı göz önüne
alınız. Eğer çubuk üzerindeki zor, sadece dalga yüzünden ise bu durumda kinetik
enerji yoğunluğunun
𝑑𝑈
𝑑𝑥
1
𝑑𝐾
𝑑𝑥
1
𝜕𝜉 2
= 𝜌𝑆 ( )
2
𝜕𝑡
ve potansiyel enerji yoğunluğunun
𝜕𝜉 2
= 𝑌𝑆 ( ) ile verildiğini gösteriniz. Bir dalga boyluk bölgede kinetik ve
2
𝜕𝑥
potansiyel enerjilerin
1
4
(𝜌𝑆𝜆)𝑢02 ile verileceğini gösteriniz. Buradaki 𝑢0
𝜕𝜉
maksimum parçacık hızıdır ( ). French-p7.24
𝜕𝑡
1
Not: French’in kitabında dalga sayısı 𝑘 = olarak tanımlanmıştır bu nedenle
𝜆
dalga fonksiyonu 𝜉 = 𝜉0 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑘(𝑥 − 𝑣𝑡) şeklinde verilmiştir. Bu ders notlarında
2𝜋
dalga sayısı için 𝑘 = tanımı kullanılmıştır. Bu nedenle dalga fonksiyonu olarak
𝜆
𝜉 = 𝜉0 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) alınmıştır. Ancak bu ayrıntının problemin çözümünde bir
önemi yoktur.
Çözüm:
Kinetik enerji yoğunluğu:
Çubuk üzerinde dx uzunluğunda bir diferansiyel dilim seçelim. Bu dilim içindeki
kütle
𝑑𝑚 = 𝜌𝑆𝑑𝑥
olacaktır. Bu dilimin boyuna titreşimi nedeniyle hızı
𝜕𝜉
𝜕𝑡
olacaktır. Bu durumda bu elemanın kinetik enerjisi için
𝑣=
𝑑𝐾 =
1
𝜕𝜉 2
(𝜌𝑆𝑑𝑥) ( )
2
𝜕𝑡
yazabiliriz. Birim uzunluğun kinetik enerjisi yani kinetik enerji yoğunluğu için
𝑑𝐾 1
𝜕𝜉 2
= 𝜌𝑆 ( )
𝑑𝑥 2
𝜕𝑡
yazabiliriz.
67
Potansiyel enerji yoğunluğu:
Young modülü tarifini hatırlayacak olursanız (Ders notlarına bakınız)
𝑌=
𝑍𝑜𝑟
𝐹 ⁄𝑆
=
𝑍𝑜𝑟𝑙𝑎𝑛𝑚𝑎 ∆𝑙⁄𝑙0
Burada S çubuğun kesit alanı, 𝑙0 çubuğun serbest durumdaki uzunluğu, ∆𝑙 ise
kuvvet uygulandıktan sonra çubuğun boyundaki uzama miktarıdır (∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙0 ).
Bu tanımdan F için
𝐹 = 𝑌𝑆
∆𝑙
𝑙0
yazılır. F kuvvetinin etkisinde çubuğun boyu 𝑙0 ’dan 𝑙 ’ye değiştiğinde çubukta
depolanan potansiyel enerji değişimi, bu kuvvetin yaptığı işe eşit olacaktır.
𝑙
𝑙 − 𝑙0
𝑌𝑆 𝑙
𝑌𝑆 1 2
∆𝑈 = 𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝑙 = ∫ 𝑌𝑆
𝑑𝑙 =
∫ (𝑙 − 𝑙0 )𝑑𝑙 =
[ 𝑙 − 𝑙0 𝑙]
𝑙0
𝑙0 𝑙0
𝑙0 2
𝑙0
𝑙0
𝑙0
𝑙
𝑙
=
𝑌𝑆 1 2
1
𝑌𝑆 1 2
1
1 𝑌𝑆 2
[𝑙 − 2𝑙0 𝑙 + 𝑙02 ]
[ 𝑙 − 𝑙0 𝑙 − 𝑙02 + 𝑙02 ] =
[ 𝑙 − 𝑙0 𝑙 + 𝑙02 ] =
𝑙0 2
2
𝑙0 2
2
2 𝑙0
=
1 𝑌𝑆
1 𝑌𝑆
1 ∆𝑙
1
(𝑙 − 𝑙0 )2 =
(∆𝑙)2 = 𝑌𝑆 ∆𝑙 = 𝐹∆𝑙
2 𝑙0
2 𝑙0
2
𝑙0
2
elde ederiz. Aşağıdaki şekli dikkate alırsak
∆𝑙 yerine 𝑑𝜉 ve 𝑙0 yerine 𝑑𝑥 alabiliriz. Bu durumda potansiyel enerjideki
diferansiyel değişim için
𝜕𝜉
2
1
𝑑𝜉
1 (𝑑𝜉)2 1 (𝜕𝑥 𝑑𝑥)
1
𝜕𝜉 2 (𝑑𝑥)2 1
𝜕𝜉 2
𝑑𝑈 = 𝑌𝑆
𝑑𝜉 = 𝑌𝑆
= 𝑌𝑆
= 𝑌𝑆 ( )
= 𝑌𝑆 ( ) 𝑑𝑥
2 𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
2
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
𝜕𝑥
Birim uzunluğun potansiyel enerjisi yani potansiyel enerji yoğunluğu için
𝑑𝑈 1
𝜕𝜉 2
= 𝑌𝑆 ( )
𝑑𝑥 2
𝜕𝑥
yazabiliriz. Bir dalga boyu içindeki kinetik ve potansiyel enerjinin hesabı için
ve
𝜕𝜉
𝜕𝑥
𝜕𝜉
𝜕𝑡
türevlerine ihtiyaç vardır:
68
𝜉 = 𝜉0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝜉
𝜕𝑡
𝜕𝜉
𝜕𝑥
𝜕𝜉
= 𝜉0 𝜔 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) ⇒ ( )2 = 𝜉02 𝜔2 𝑠𝑖𝑛2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑡
𝜕𝜉
= −𝜉0 𝑘 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) ⇒ ( )2 = 𝜉02 𝑘 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑥
Bir dalga boyluk bölgede kinetik enerji:
𝜆
1
𝜕𝜉 2
1
𝐾 = ∫ 𝜌𝑆 ( ) 𝑑𝑥 = 𝜌𝑆𝜉02 𝜔2 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)𝑑𝑥
𝜕𝑡
2
0 2
0
𝜆
𝐾=
𝜆
1
1
𝜌𝑆𝜉02 𝜔2 ∫ [1 − cos 2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]𝑑𝑥
2
0 2
1
1
𝐾 = 𝜌𝑆𝜉02 𝜔2 𝜆
2
2
1
𝐾 = 𝜌𝑆𝜆𝑢02
4
Burada 𝑢0 =
𝜕𝜉
|
𝜕𝑡 𝑚𝑎𝑥
= 𝜉0 𝜔 dır.
Bir dalga boyluk bölgede potansiyel enerji:
𝜆
1
𝜕𝜉 2
1
𝑈 = ∫ 𝑌𝑆 ( ) 𝑑𝑥 = 𝑌𝑆𝜉02 𝑘 2 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)𝑑𝑥
𝜕𝑥
2
0 2
0
𝜆
𝑈=
𝜆
1
1
𝑌𝑆𝜉02 𝑘 2 ∫ [1 − cos 2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]𝑑𝑥
2
0 2
1
1
𝑌𝑆𝜉02 𝑘 2 𝜆
2
2
1
𝑈 = 𝑌𝑆𝜆𝜉02 𝑘 2
4
𝑈=
𝑣 = √𝑌/ ⇒ 𝑌 = 𝜌𝑣 2 = 𝜌
𝜔2
𝑘2
değerini yerine yazarak
1 𝜔2
1
𝑈 = 𝜌 2 𝑆𝜆𝜉02 𝑘 2 = 𝜌𝑆𝜆𝜉02 𝜔2
4 𝑘
4
1
𝑈 = 𝜌𝑆𝜆𝑢02
4
elde ederiz.
69
ÖRNEK-9
Yoğunluğu 𝜌 ve yüzey gerilimi T olan bir sıvıda yüzey dalgalarının faz hızı
𝑔𝜆 2𝜋𝑇 1/2
𝑣𝑓 = [ +
]
2𝜋
𝜆𝜌
ifadesi ile veriliyor. Burada 𝜆 dalga boyu, g yerçekim ivmesidir.
a) Yüzey dalgalarının grup hızını (𝑣𝑔 ) bulunuz.
b) Faz hızı (𝑣𝑓 ) minimumken dalga boyunu (𝜆) bulunuz.
c) 𝑣𝑓 ’nin minimum değerini ve buna karşı gelen 𝑣𝑔 değerini elde ediniz.
Çözüm:
a) 𝑣𝑓 =
𝜔
𝑘
ve 𝑣𝑔 =
𝑑𝜔
𝑑𝑘
olduğunu biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız).
Buradan
𝑔𝜆 2𝜋𝑇 1/2
𝑔
2𝜋𝑇 1/2
𝑔 𝑘𝑇 1/2
𝜔 = 𝑘𝑣𝑓 = 𝑘 [ +
] = 𝑘[
+
] = 𝑘[ + ]
2𝜋
𝜆𝜌
2𝜋/𝜆
𝜆𝜌
𝑘
𝜌
1/2
𝑘3𝑇
𝜔 = [𝑔𝑘 +
]
𝜌
yazabiliriz.
−
𝑑𝜔 1
𝑘3𝑇
𝑣𝑔 =
= [𝑔𝑘 +
]
𝑑𝑘 2
𝜌
𝑣𝑔 =
1
2
𝑘2𝑇
(𝑔 + 3
)
𝜌
2𝜋 2
) 𝑇
𝑔 + 3 𝜆𝜌
=
2𝜋 3 1/2
(
) 𝑇
2𝜋
2 [𝑔
+ 𝜆𝜌 ]
𝜆
(
𝑘2𝑇
𝑔+3 𝜌
1/2
𝑘3𝑇
2 [𝑔𝑘 + 𝜌 ]
𝑔+
𝑣𝑔 =
12𝜋 2 𝑇
𝜌𝜆2
1/2
2[
2𝜋𝑔 8𝜋 3 𝑇
+
]
𝜆
𝜌𝜆3
elde ederiz.
b) 𝑣𝑓 ’nin minimum değerinde
𝑑𝑣𝑓
𝑑𝜆
= 0 ve
𝑑 2 𝑣𝑓
𝑑𝜆2
> 0 olmalıdır (Bir fonksiyonun
minimum olma kriteri).
𝑣𝑓 ’nin minimum olduğu yerde (𝑣𝑓 )2 de minimum olacağı için (𝑣𝑓 )2 ’yi minimum
yapacak değeri aramak daha kolay olacaktır.
70
𝑣𝑓2 =
𝑔𝜆 2𝜋𝑇
+
2𝜋
𝜆𝜌
𝑑𝑣𝑓2
𝑔 2𝜋𝑇
=
−
=0
𝑑𝜆
2𝜋 𝜆2 𝜌
olmalıdır. Buradan
𝜆 = 2𝜋 [
𝑇 1/2
]
𝜌𝑔
𝑑 2 𝑣𝑓2 4𝜋𝑇
= 3 >0
𝑑𝜆2
𝜆 𝜌
𝑇 1/2
olduğunu görmek zor değildir. Buradan 𝜆 = 2𝜋 [𝜌𝑔]
değerinde 𝑣𝑓 ’nin değeri
minimum olacağını söyleyebiliriz. 𝜆’nin bu değeri faz hızı için verilen ifadede
yerine yazılarak
1/2
𝑣𝑓
𝑚𝑖𝑛
𝑇 1/2
𝑔2𝜋 [𝜌𝑔]
2𝜋𝑇
=
+
2𝜋
𝑇 1/2
2𝜋 [𝜌𝑔] 𝜌
[
]
1/2
1/2
𝑣𝑓
𝑚𝑖𝑛
= 𝑔[
𝑇
]
𝜌𝑔
[
𝑇
+
[
𝑇 1/2
] 𝜌
𝜌𝑔
]
1/2
𝑣𝑓
𝑇𝑔 1/2
𝑇𝑔 1/2
= [[ ] + [ ] ]
𝜌
𝜌
𝑚𝑖𝑛
1/2
𝑣𝑓
𝑚𝑖𝑛
𝑣𝑓
𝑇 1/2
elde ederiz. 𝜆 = 2𝜋 [ ]
𝜌𝑔
𝑇𝑔 1/2
= [2 [ ] ]
𝜌
𝑚𝑖𝑛
𝑇𝑔 1/4
= √2 [ ]
𝜌
değerini grup hızını veren ifadede yerine yazarak 𝑣𝑓 ’yi
minimum yapan 𝜆 değerinde 𝑣𝑔 grup hızının değerini buluruz.
𝑔+
𝑣𝑔 =
𝑔+
12𝜋 2 𝑇
𝜌𝜆2
1/2
2𝜋𝑔 8𝜋 3 𝑇
2[
+
]
𝜆
𝜌𝜆3
=
12𝜋 2 𝑇
𝑇 1/2
𝜌(2𝜋 [𝜌𝑔] )2
1/2
2
2𝜋𝑔
8𝜋 3 𝑇
1/2 +
𝑇
𝑇 1/2
2𝜋 [𝜌𝑔]
𝜌(2𝜋 [𝜌𝑔] )3
[
]
71
𝑣𝑔 =
4𝑔
1/2
𝜌𝑔 1/2
𝜌𝑔 1/2
2 [𝑔 [ 𝑇 ] + 𝑔 [ 𝑇 ] ]
𝑇𝑔 1/4
𝑣𝑔 = √2 [ ]
𝜌
elde ederiz.
ÖRNEK-10
Sodyum lambasının sarı ışığının dalga boyu 𝜆1 = 589,00 𝑛𝑚 ve 𝜆2 = 589,59 𝑛𝑚
olan iki bileşeni vardır. Özel bir camın bu dalga boylarına karşı kırma indisi 𝑛1 =
1,6351 ve 𝑛2 = 1,6350 dir.
a) Bu iki dalganın cam içindeki faz hızlarını belirleyiniz.
b) Sodyum ışığının dar bir pulsunun camdan geçerken hızını belirleyiniz.
Sonuçları ışığın boşlukta yayılma hızı c ( ≅ 2,99792 × 108 𝑚/𝑠) cinsinden
veriniz. (George C. King)
Çözüm:
a) Faz hızını kırma indisi tanımından bulabiliriz:
𝑐
𝑛=
𝑣𝑓
Buradaki 𝑣𝑓 faz hızıdır.
𝑐
𝑐
=
= 0,61158𝑐
𝑛1 1,6351
𝑐
𝑐
=
=
= 0,61162𝑐
𝑛2 1,6350
𝑣𝑓1 =
𝑣𝑓2
b) Işık pulsu cam içinde grup hızı ile yayılır (Ders notlarına bakınız).
Faz hızı için:
𝑣𝑓 =
Grup hızı için:
𝑣𝑔 =
𝜔
𝑘
𝑑ω
𝑑𝑘
(7.72)
(7.73)
ifadelerini biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız)
𝑣𝑔 =
𝑑𝜔
𝑑𝑘
ifadesi ile tanımlanan grup hızı ifadesine yeniden bakalım.
𝜔 = 2𝜋𝑓 =
2𝜋𝑣𝑓
𝜆
= 𝑘𝑣𝑓
yazılabilir. Bu durumda
72
𝑣𝑔 =
yazabiliriz. 𝑘 =
2𝜋
𝜆
𝑑𝜔
𝑑𝑘
=
𝑑(𝑘𝑣𝑓 )
𝑑𝑘
tanımından λ =
𝑑λ
= 𝑣𝑓 + 𝑘
2𝜋
𝑘
=−
𝑑𝑘
𝑑𝑣𝑓
𝑑𝑘
= 𝑣𝑓 + 𝑘
𝑑𝑣𝑓 𝑑λ
𝑑λ 𝑑𝑘
(7.74)
yazılırsa
2𝜋
𝑘2
=−
2𝜋 1
𝑘 𝑘
=−
λ
(7.75)
𝑘
elde edilir. Bu sonuç (7.74) eşitliğinde kullanılırsa grup hızı için
𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 + 𝑘
ifadesini yazabiliriz. Burada
𝑑𝑣𝑓
𝑑λ
=
𝑑𝑣𝑓
𝑑λ
𝑑𝑣𝑓 𝑑𝑛
𝑑𝑛 𝑑λ
λ
(− 𝑘) = 𝑣𝑓 − λ
𝑑𝑣𝑓
𝑑λ
değeri kullanılarak
𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 − λ
𝑑𝑣𝑓 𝑑𝑛
𝑑𝑛 𝑑λ
yazılır.
𝑣𝑓 =
𝑐
𝑛
⇒
𝑑𝑣𝑓
𝑑n
=−
𝑐
𝑛2
=−
𝑣𝑓
𝑛
olduğundan
𝑑𝑣𝑓 𝑑𝑣𝑓 𝑑𝑛
𝑣𝑓 𝑑𝑛
=
=−
𝑑λ
𝑑𝑛 𝑑λ
𝑛 𝑑λ
yazılır. Bunu grup hızı ifadesinde yerine yazarak
𝑑𝑣𝑓
𝑣𝑓 𝑑𝑛
= 𝑣𝑓 − λ(−
)
𝑑λ
𝑛 𝑑λ
λ 𝑑𝑛
𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 [1 +
]
𝑛 𝑑λ
𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 − λ
elde ederiz.
Sodyum lambasından çıkan sarı ışığın cam içindeki faz hızı için iki bileşenin faz
hızları ortalamsı alınabilir:
𝑣𝑓 =
𝑣𝑓1 + 𝑣𝑓2 0,61158𝑐 + 0,61162𝑐
=
≅ 0,61160𝑐
2
2
Sodyum lambasından çıkan sarı ışığın cam içindeki dalga boyu için iki bileşenin
dalga boylarının ortalamsı alınabilir:
λ=
λ1 + λ2 589,00 + 589,59
=
≅ 589,295 𝑛𝑚
2
2
Benzer şekilde sodyum lambasından çıkan sarı ışığın cam içindeki kırma indisi
için iki bileşenin kırma indisi ortalamsı alınabilir:
𝑛=
𝑛1 + 𝑛2 1,6351 + 1,6350
=
≅ 1,63505
2
2
Bu değerler kullanılarak
73
𝑑𝑛 = 𝑛2 − 𝑛2 = 1,6350 − 1,6351 = −0,0001
𝑑λ = λ2 − λ1 = 589,59 − 589,001 = 0,59 𝑛𝑚
yazabiliriz. Bu değerler
𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 [1 +
λ 𝑑n
]
𝑛 𝑑λ
ifadesinde kullanılarak grup hızı için
𝑣𝑔 = 0,61160c [1 +
589,295 (−0,0001)
]
1,63505
0,59
𝑣𝑔 = 0,61160c[1 − 0,06109] = 0,61160c[0,93891]
𝑣𝑔 ≅ 0,5742c
sonucu elde edilir.
ÖRNEK-11
Boşlukta bir düzlem elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeni aşağıdaki
şekilde tanımlıdır:
𝐸𝑥 = 0
𝐸𝑦 = 0,50𝑐𝑜𝑠[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]
𝐸𝑥 = 0
Burada tüm niceliklerin birimi SI-birim sistemindedir.
a) Bu elektromanyetik dalganın kutuplanmasını, dalga sayısını, dalga boyunu,
frekansını belirleyiniz.
b) Bu dalganın mayetik alan bileşenini belirleyiniz.
Çözüm:
a)
Verilen elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeni y-ekseni doğrultusundadır
ve dalga
+x yönünde yayılmaktadır. Bu nedenle verilen dalga y-ekseni
doğrultusunda doğrusal kutuplu (veya xy-düzleminde düzlemsel) kutupludur.
Bu özellikte bir elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeni için
𝐸𝑦 = 𝐸0 𝑐𝑜𝑠[𝑘𝑥 − 𝜔𝑡]
yazıldığını biliyoruz. Bu ifade ile verilen fonksiyon karşılaştırılırsa
𝑘=
2𝜋
𝜆
2𝜋
= 2,09 𝑟𝑎𝑑/𝑚 ⇒ 𝜆 = 2,09 ≅ 3,01 𝑚
74
𝜔 = 2,09𝑐 = 2,09 × 3 × 108 ⇒ 2𝜋𝑓 = 2,09 × 3 × 108 ⇒ 𝑓 =
2,09×3×108
2𝜋
≅ 1 × 108 𝐻𝑧
b)
⃗
⃗ × ⃗E = − 𝜕𝐵 ifadesinden faydalanarak dalganın 𝐵
⃗ manyetik alan bileşenini
∇
𝜕𝑡
belirleyebiliriz.
⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡
⃗ ×E
⃗ = −|
= −∇
𝚤
𝑗
⃗
𝑘
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
0
𝐸𝑦
0
|=−
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥
⃗ = 0,50 × 2,09𝑠𝑖𝑛[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑘
⃗
𝑘
⃗
𝜕𝐵
⃗
= 0,50 × 2,09𝑠𝑖𝑛[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑘
𝜕𝑡
0,50 × 2,09
⃗ 𝑑𝑡 =
⃗
⃗ = ∫ 0,50 × 2,09𝑠𝑖𝑛[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑘
𝐵
𝑐𝑜𝑠[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑘
2,09𝑐
⃗ =
𝐵
0,50 × 2,09
1
⃗ = 10−8 𝑐𝑜𝑠[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑘
⃗
𝑐𝑜𝑠[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑘
8
2,09 × 3 × 10
6
elde edilir.
ÖRNEK-12
Boşlukta bir düzlem elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeni aşağıdaki
şekilde tanımlıdır:
𝐸𝑥 = 0
𝐸𝑦 = 0,50𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]
𝐸𝑧 = 0,50𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]
Burada tüm fiziksel nicelikler SI-birim sistemindedir.
a) Bu elektromanyetik dalganın dalga boyunu, frekansını, kutuplanmasını ve
dalga vektörünü belirleyiniz.
b) Bu dalganın mayetik alan bileşenini belirleyiniz.
Çözüm:
a) Verilen elektromanyetik dalga pozitif x-ekseni yönünde yayılmaktadır. Elektrik
alan bileşenleri y-z düzleminde aynı faz ve aynı genlikli olduklarından y-ekseni
(veya z-ekseni) ile 45 derece açı yapacak şekilde olduklarından 𝑦 = 𝑧 doğrusu
boyunca doğrusal kutupludur. Verilen elektrik alan bileşenlerinini
𝐸𝑦 = 𝐸0 𝑐𝑜𝑠[𝑘𝑥 − 𝜔𝑡]
𝐸𝑧 = 𝐸0 𝑐𝑜𝑠[𝑘𝑥 − 𝜔𝑡]
75
şeklinde yazıldığını biliyoruz. Bu ifade ile verilen fonksiyonlar karşılaştırılırsa
2𝜋
2𝜋

𝑘=

𝜔 = 0,419𝑐 = 0,419 × 3 × 108 ⇒ 2𝜋𝑓 = 0,419 × 3 × 108 ⇒
𝜆
= 0,419 𝑟𝑎𝑑/𝑚 ⇒ 𝜆 = 0,419 ≅ 15 𝑚
𝑓 = 0,419 × 3 × 108 /2𝜋 ≅ 2 × 107 𝐻𝑧
 Verilen ifadeye göre dalga +x yönünde ilerlemektedir. Bu nedenle dalga
vektörü 𝚤 birim vektörü yönünde olacaktır. Bu nedenle
𝒌 = 𝑘𝚤 = 0,419𝚤 𝑟𝑎𝑑/𝑚
⃗ birim vektörü değildir).
olur (Buradaki k vektörü +z yönündeki 𝑘
b)
⃗
⃗∇ × ⃗E = − 𝜕𝐵
𝜕𝑡
⃗ manyetik alan bileşenini
ifadesinden faydalanarak dalganın 𝐵
belirleyebiliriz.
𝚤
⃗
𝜕𝐵
⃗ × ⃗E = − || 𝜕
= −∇
𝜕𝑡
𝜕𝑥
0
𝑗
𝜕
𝜕𝑦
𝐸𝑦
𝑘⃗
𝜕𝐸𝑦
𝜕 | 𝜕𝐸𝑧
| = 𝜕𝑥 𝑗 − 𝜕𝑥 𝑘⃗
𝜕𝑧
𝐸𝑧
Buradan
𝜕𝐸
𝜕𝐸
⃗ = ∫ [ 𝑧 𝑗 − 𝑦 𝑘⃗ ] 𝑑𝑡 = 0,50 × 0,419 ∫[−𝑠𝑖𝑛[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑗 + 𝑠𝑖𝑛[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑘⃗ ]𝑑𝑡
𝐵
𝜕𝑥
𝜕𝑥
⃗ =
𝐵
0,50 × 0,419
⃗]
[−𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑗 + 𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑘
0,419𝑐
⃗]
⃗ = 0,17 × 10−8 [−𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑗 + 𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑘
𝐵
elde edilir. Başaka bir deyişle manyetik alan vektörünün bileşenleri
𝐵𝑥 = 0
𝐵𝑦 = −0,17 × 10−8 𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]
𝐵𝑧 = 0,17 × 10−8 𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]
ifadeleriyle tanımlanır.
76