Doğrusal Demet Işıksallığı (Linear Beam Optics)

Doğrusal Demet Işıksallığı
(Linear Beam Optics)
Fatma Çağla Öztürk
İçerik
• Giriş
• Manyetik alan içerisindeki yüklü taneciklerin
hareketi
• Eş – zamanlı hareket eden bir koordinat
sisteminde hareket denklemi
• Demet yönlendiren mıknatıslar
• Geleneksel demirsel mıknatıslar (ferromagnet)
• Süperiletken mıknatıslar
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
2
Doğrusal Demet Işıksallığı (Optiği)
• Hızlandırıcılar inşa edilirken, temsili
parçacık gezingeleri;
– Doğrusal hızlandırıcılarda  düz
bir çizgi
– Dairesel hızlandırıcılarda  düz
kısımların kıvrımlarla
birleştirilmesi
ile oluşturulan sabit gezingeler
olarak kabul edilmektedir.
• Parçacık demeti içerisindeki bazı
parçacıkların gezingeleri her zaman
belirli bir uyuşmazlığa sahiptir.
Dolayısıyla, ölçüm yapılmadığı
takdirde bu parçacıklar vakum
odasının duvarlarına çarparak
kaybedilebilmektedir.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
3
Doğrusal Demet Işıksallığı (Optiği)
• Amaç: parçacık gezingesini düzeltmek (genellikle keyfi bir eğri)
ve parçacığı olması gereken yörüngesine yönlendirmek!
Elektromanyetik Alan
F  eE  v  B   p
Lorentz kuvveti
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
e: parçacığın yükü
(elektron)
v: parçacığın hızı
4
Doğrusal Demet Işıksallığı (Optiği)
• Göreceli (relativistik) hızlarda; elektrik ve manyetik alan E = cB
ise aynı etkiye sahiptir.
– Örneğin;
B = 1 Tesla => E = 3.108 Vm-1 olur. Günümüzdeki teknolojilerle, normal
iletken demir baskın mıknatıslarla 1 Tesla mıknatıssal alan elde etmek
kolay iken 3.108 Vm-1 lik bir elektriksel alan değeri teknik limitlerin
dışında olmaktadır!
• Sonuç: parçacık hızlandırıcılarında mıknatıslar demeti
yönlendirmek için kullanılırken, elektrik alanlar sadece düşük
enerjilerde ya da parçacıkları yüklerine göre ayırmakta
kullanılmaktadır!
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
5
Demet Işıksallığı hakkında…
• Courant ve Snyder tarafından geliştirilmiş ve
demet ışıksallığı olarak adlandırılmıştır.
• Demet yönlendirmesi ve odaklanmasının
temellerini açıklamaktadır.
• Daha fazla bilgi; Cern Accelerator School (CAS)
notlarında da bulunabilir!
http://cas.web.cern.ch/cas/
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
6
Mıknatıssal alan içerisindeki yüklü
taneciklerin hareketi
• Parçacıkların, gezingelerindeki hareketlerini tanımlamak için
kartezyen (dik) bir koordinat sistemi tanımlanır  K (x,z,s)
• Parçacık demetinin, s eksenine paralel olarak ilerlediği
düşünülür.
• Mıknatıssal alanın sadece enine bileşenleri mevcuttur.
– B = B (Bx, Bz, 0)
• Boyuna düzlemde hareket eden bir parçacık için mıknatıssal
alan merkezcil kuvvet ile Lorentz kuvvetinin birbirini
dengelemesi olarak ifade edilmektedir.
v2
Fx  evs Bz  m  Fr
R
23.07.2012
1
e
 Bz x, s, z 
Rx, z, s  p
p  mvs
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
7
Mıknatıssal alan içerisindeki yüklü
taneciklerin hareketi
• Parçacık demetinin enine boyutları parçacık gezingesi yayının
yarıçapıyla kıyaslandığında küçük olduğundan, mıknatıssal alanı
temsili gezinge civarında seriye açabiliriz:
dBz
1 d 2 Bz 2 1 d 3 Bz 3
Bz x   Bz 0 
x
x 
x  ....
2
3
dx
2! dx
3! dx
• Denklemi e/p ile çarparsak…
e
1
1
1
Bz x    kx  mx2  ox 3  ....
p
R
2!
3!
1/R  iki kutuplu
k x dört kutuplu
mx2  altı kutuplu
• Elde etmiş olduğumuz bu denklem, demet çevresindeki
mıknatıssal alanın çok kutupluluk terimlerinin toplamı şeklinde
ifade edilebileceğini göstermektedir.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
8
Mıknatıssal alan içerisindeki yüklü
taneciklerin hareketi
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
9
Mıknatıssal alan içerisindeki yüklü
taneciklerin hareketi
• Demet yönlendirilmesinde, çok kutupluluk terimlerinin en
düşük ikisinden söz edilirse (iki kutuplu ve dört kutuplu
terimler)  doğrusal demet ışıksallığı
– Çünkü; tek eğici kuvvet ya sabittir (R eğme yarıçapından içeri giren iki
kutupluluk alanı) ya da ideal yörüngeden enine yer değiştirmeyle
saparak doğrusal olarak artmaktadır (dört kutupluluk gücü k ile
tanımlanan dört kutupluluk alanı).
• Yüksek mertebeli çok kutupluluk terimleri (altı kutuplu, sekiz
kutuplu vb…) ise, ya istenmeyen kutup hataları ya da alan
düzeltmeleri için tanımlanmaktadır.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
10
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
gezinge
parçacık
yörünge
Şekil 2: Yörüngeye göre demet hareketini tanımlayan, eş
hareketli koordinat sistemi
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
11
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
Şekil 2: Dik (kartezyen) K (x,z,s) koordinat sisteminin z – ekseni
etrafında dönmesi
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
12
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
• Demet yönlendirmesinin sadece yatay eksende olduğunu
düşünüyoruz. Dolayısıyla, koordinat sistemi z – ekseni
etrafında dönüyor!
– ŞEKİL 2
• Başlangıçta, x – s düzleminde demeti sabit kabul ediyoruz.
Dolayısıyla, başlangıçta bu sabit sistemin birim vektörleri x0A
ve s0A iken, dönme açısı ϕ olur. Dönen sistemin birim
vektörleri ise;
ds0
ϕ ye göre
  x0
türetilirse…
x0  x0 A cos   s0 A sin 
d
s0   x0 A sin   s0 A cos 
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
dx0
 s0
d
13
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
ds  Rd
d 1 ds

dt R dt
Birim vektörlerin zamana göre türevleri;
x0 
dx d 1
 ss0
d dt R
Parçacığın konum vektörü olan r yi
yazalım;
ds0 d
1
s0 
  sx0
d dt
R
r  r0  xx0  zz0
z0  0
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
14
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
• Hareket denklemini elde edebilmek için ayrıca r nin birinci ve
ikinci dereceden türetilmiş haline de ihtiyaç duyulur;
x

r  xx0  zz0  1   ss0
 R
 
2
x  s 2 
x 

r   x  1    x0  zz0   xs  1  s s0
 R 
R
  R R
• Parçacıklar mıknatıs yapısı içerisinden geçerken, s konumları
zamana (t) bağlı olarak belirlenebilmektedir. Dolayısıyla,
zamana bağlı türevleri, s konumu ile değiştirebiliriz.
dx ds
x 
 xs
ds dt
x  xs  xs  xs 2  xs
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
15
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
• Elde etmiş olduğumuz bu denklemleri r eşitliklerimizde yerine
yazarsak;
x

r  xsx0  zsz0  1   ss0
 R
 2
2
x  s 2 
x 


r   xs  xs  1    x0  z s 2  z s z0   xs 2  1  s s0
 R R
 R 
R



• Bu denklem eş-hareketli koordinat sisteminde parçacık
gezinge vektörü r nin genel ifadesidir.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
16
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
• Lorentz kuvveti formülünde, p  mr ile yer değiştirip, v  r
yazarsak, saf mıknatıssal alan içerisindeki parçacığın hareket
denklemini elde etmiş oluruz.
r 
e
r  B 
m
• Mıknatıssal alanın, enine bileşenlerinin sıfırdan farklı
olduğunu düşünerek,
 

x
  1   sBz 
R
 


e
e 
x
r  r  B    1   sBx 
m
m 
R





x
s
B

z
s
B
z
x 





23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
17
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
• Parçacıklar göreceli hızlarda hareket ettikleri için, mıknatıssal
alanın parçacıkların boyuna hızına etkisi ihmal edilmektedir.
Dolayısıyla, sadece enine bileşenler olan x ve z yi göz önünde
bulunduruyoruz.
• Gezinge vektörü r için elde etmiş olduğumuz türevli
denklemleri kullanarak,
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
18
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
• Denklemleri basitleştirmek için, parçacıkların hızlarının
mıknatıssal alanda çok yavaş değiştiğini düşünürsek; s  0
Şekilden de görüldüğü üzere, v  s
basit geometrik kurallar yardımıyla;
Parçacık gezingesi
yörünge
Dolayısıyla enine bileşenlerin söz
konusu olduğu hareket denklemleri;
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
19
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
• Ayrıca, parçacıkların çok iyi tanımlanmış bir momentuma
sahip olduklarını da düşünerek,
p  p0  p
• Dolayısıyla,
•
Burada Δp << p0 dır.
şeklinde yazabiliriz.
e
1
1
1
Bz  x  
 kx  mx2  ox 3  ....
p
R
2!
3!
denkleminden hareketle
manyetik alanı 1/R iki kutuplu gücü ve k dört kutuplu gücü
şeklinde, sadece doğrusal bileşenler cinsinden
tanımlayabiliriz.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
20
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
• Parçacıkların sadece yatay düzlemde yansıtıldığını düşünerek
(örneğin; sadece yatay olarak etki eden iki kutuplu alanların
var olduğu durum);
• Burada k nın işareti keyfidir ve k < 0 ise dört kutuplu
odaklayıcı, k > 0 ise dört kutuplu dağıtıcı bir mıknatıssal alan
var olmaktadır.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
21
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
• Momentum ve dört kutuplu gücü cinsinden elde edilen
eşitlikleri hareket denklemlerinde yerine yazıp, basitlik
açısından p0 = p alırsak;
• Bu eşitliklerde; parantezleri açık halde yazıp, kareli terimleri
veya x,z ve Δp/p cinsinden terimleri ihmal edersek, bir
hızlandırıcı içerisinde yer alan mıknatıs yapısı içerisinde
meydana gelen mıknatıssal alandan geçen parçacığın doğrusal
hareket denklemini elde etmiş oluruz.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
22
Eş-hareketli koordinat sisteminde
hareket denklemi
• Bu eşitlikler doğrusal demet ışıksallığının temelini oluşturan
eşitlikler olarak kabul edilmektedir.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
23
Haftaya…
• Demet yönlendiren mıknatıslar
• Geleneksel demirsel mıknatıslar (ferromagnet)
• Süperiletken mıknatıslar
=)
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
24
Doğru yolu bulan
bir grup masum
hızlandırıcı
fizikçisiyiz…
Destek olan
herkese
TEŞEKKÜRLER… 
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK, F. C.
25