Anahtar Kavramlar - SABİS
advertisement
Yedinci Bölüm Hipotez Testleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; - Hipotez testleri kavramları öğrenecek Test istatistiğinin ne olduğunu öğrenecek Anlamlılık seviyesi ve güven aralığını öğrenecek I. Tip ve II. Tip hataları öğrenecek Verilerin normal dağılıma uyup, uymadığını test etmeyi öğreneceksiniz Anahtar Kavramlar H0 – Null Hipotez HA – Alternatif Hipotez Kuyruk testleri Anlamlılık seviyesi α I. Tip ve II. Tip hata Komolgov Smirnov testi Shapiro Wilk testi İçindekiler 1. 2. 3. 4. 5. Hipotez testleri Test İstatistiği Anlamlılık seviyesi ve güven aralığı I. Tip ve II. Tip hata Verilerin normal dağılıma uyup, uymadığının testi 1. Hipotez Testleri 2 Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Hipotez testi, daha önce belirlenmiş bir ana kütle parametresinin genellikle ortalamasının, elde edilen örneklem kütlenin parametresi, genellikle ortalaması ile karşılaştırılıp, test edilmesidir. Eğer örneklem istatistiği test edilen parametrik değere yakın ise hipotez doğru olarak kabul edilir. Fakat örneklem istatistiği test edilen parametrik değerden çok farklı ise hipotez doğru olarak kabul edilmez, ret edilir. Hipotez testini uygulamak için önce sıfır hipotezin ve alternatif hipotezin belirlenmesi gerekmektedir. Sıfır hipotez genellikle H0 şeklinde gösterilir ve test edilecek parametrik değeri (µ0) ifade eder. Sıfır hipotez aynı zamanda hipotezde belirlenen parametrik değerle, gerçekleşen değer arasında fark yoktur ilkesine dayanır. Örneğin, Türkiye’nin kişi başına milli geliri ile bir sıfır hipotez kurmak istersek bunu net bir rakam vererek yapmamız gerekecektir. H0 = Türkiye’de kişi başına milli gelir ortalama 9,000 Dolardır. Alternatif hipotez genellikle Ha ile gösterilir ve sıfır hipotezin ret edilmesi durumunda kabul edilecek değeri ifade eder. Yukarıdaki örnekteki sıfır hipotezin alternatif hipotezi Türkiye’de kişi başına milli gelirin 9,000 Dolar olmadığı şeklindedir. H0 = µ = µ0: H0 = µ = 9,000 Dolar Ha = µ ≠ µ0: Ha = µ ≠ 9,000 Dolar 2. Test İstatistiği Bir hipotezin ancak iki sonucu olabilir: sıfır hipotez kabul edilebilir veya kabul edilmez. Hipotezleri test edebilmek için, önceden sıfır hipotezin hangi değerde kabul veya ret edileceğini belirleyecek bir rakam tespit etmek gerekir. Bu değer genellikle kritik değer veya tablodan bakıldığı için tablo değeri olarak adlandırılır. Eğer hesaplanan test istatistiği, bu kritik değerden daha küçükse sıfır hipotez ret edilir. Oluşturulan hipotez testinin tek veya çift kuyruklu olarak adlandırılması alternatif hipotezin oluşturulma biçimine bağlıdır. Eğer alternatif hipotez aşağıdaki gibi ise soldan tek kuyruklu test söz konusudur. H0 = µ = k Ha = µ < k soldan tek kuyruklu test Sıfır hipotezde ana kütlenin ortalaması k’ya eşit (k herhangi bir sayı), alternatif hipotez ise k’dan küçüktür. Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci H0 Kabul Alanı H0 Ret Alanı Eğer alternatif hipotezde ana kütlenin ortalaması k’dan büyük olarak belirlenirse, bu sefer sağdan kuyruk testi söz konusudur. H0 = µ = k Ha = µ > k sağdan tek kuyruklu test H0 Kabul Alanı H0 Ret Alanı Eğer alternatif hipotezde ret alanı iki eşit parçaya bölünmüş ise, çift kuyruklu test söz konusudur. Çift kuyruklu testte alternatif hipotezde eşitsizlik söz konusudur. H0 = µ = k 3 4 Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Ha = µ ≠ k çift kuyruklu test H0 Kabul Alanı H0 Ret Alanı H0 Ret Alanı 3. Anlamlılık Seviyesi ve Güven Aralığı Anlamlılık seviyesi sıfır hipotezi ret etmek için temel olan istatistiksel bir standarttır. Hipotez testinde α aynı zamanda anlamlılık seviyesini gösterir. Anlamlılık seviyesinin amacı, örnek istatistiği ile hipotezde yer alan ana kütle parametresi arasında gözlenen farklılıklara temel oluşturması ve farklılıkların tesadüfümü oluştuğu yoksa istatistiksel olarak önemli mi olduğu hakkında karar verirken esas alınmasıdır. Seçilen anlamlılık seviyesi α örneklem dağılımında kabul ve ret bölgelerinin belirlenmesini sağlar. Genellikle tercih edilen anlamlılık seviyesi 0,05 veya 0,01 gibi düşük değerler olabileceği gibi 0,10 ve üstü değerler de kullanılabilir. Anlamlılık derecesi ile yakından ilgili bir diğer kavramda güven aralığıdır. %5 anlamlılık seviyesi, %95 güven aralığını ifade etmektedir. Yani test ettiğimiz değer %95 güven aralığında kalıyorsa sıfır hipotez ret edilmez. Fakat geriye kalan %5’lik alan içerisinde kalıyorsa sıfır hipotez ret edilir. Bu durum aşağıdaki gibi gösterilebilir. Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci H0 kabul alanı 0,95 Yukarıdaki şekilde 0,0025 değeri 0,05’in yarı yarıya iki eşit parçaya bölünmesinden elde edilmiştir. +-1,96 değeri ile Z Tablosu diye adlandırılan Tablodan 0,025 değerine karşılık gelen Tablo değeridir. Hesaplanan test istatistiği değerimiz +1,96’dan büyük, -1,96’dan küçükse H0 ret edilir ama test istatistiği değeri -1,96 ile +1,96 değerleri arasında ise H0 kabul edilir. Örnek: Bir firmanın ürettiği elektrik süpürgelerinin yılda 46 Kwh enerji tükettiği iddia edilmektedir. Rastgele seçilen 12 evdeki elektrik süpürgelerinin ortalama yılda 42 Kwh tükettiği ve bu değerin standart sapmasının 11,9 Kwh olduğu hesaplanmıştır. 0,05 anlamlılık seviyesinde, bu durum ortalama olarak elektrik süpürgelerinin 46 Kwh’dan az harcadığını ortaya koyar mı? Popülasyonun normal dağıldığını varsayalım. H0 = µ = 46 Kwh Ha = µ < 46 Kwh sol taraflı test α = 0,05 Test istatistik değeri T = (ẍ - µ0)/s/√n H0 eğer n-1 = 12-1 = 11 serbestlik derecesi için T < -t0,05 ret edilir. 11 serbestlik derecesi t0,05 soldan için Tablo değeri -1,796’dır. ẍ = 42, s = 11,9 ve n = 12. Buradan hesaplanan T değeri = (42 – 46)/11,9/√12 = 1,16 > -1,796. Ho ret edilmez. 5 6 Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci 4. I. Tip ve II. Tip Hata I. Tip hata doğru olan bir sıfır hipotezin reddedilmesidir. α ile gösterilir. II. Tip hata doğru olmayan bir sıfır hipotezin kabul edilmesidir. β ile gösterilir. Doğru kabul etme ihtimali, I tip hatayı (anlamlılık seviyesini) tamamlayan kısım kadardır. Eğer anlamlılık seviyesi 0,05 ise doğru bir sıfır hipotezi kabul etme ihtimali 1,00 – α = 1 0,05 = 0,95’tir. Aynı şekilde yanlış bir sıfır hipotezi reddetme ihtimali II. Tip hatayı tamamlayan kısımdır (1 – β). Aşağıdaki gibi özetlenebilir. Karar Sıfır Hipotez Doğru Sıfır Hipotez Yanlış Sıfır hipotezi kabul Doğru kabul (1 – α) II. Tip Hata (β) Sıfır hipotezi ret I. tip hata (α) Doğru ret (1-β) I. Tip ve II. Tip hataların meydana gelmesini önlemek çoğu zaman mümkündür. Anlamlılık seviyesini kendimiz belirlediğimiz için I. Tip hata yapma ihtimalini kontrol altına alabiliriz. II. Tip hatayı kontrol etmenin yolu da uygun örneklem büyüklüğü seçmektir. Eğer örneklem büyüklüğü sabit ise I. Tip hatanın meydana gelme ihtimalini azaltmak, II. Tip hatanın meydana gelme ihtimalini arttırır. I. Tip hatanın oluşmasının meydana getireceği olumsuzluk II. Tip hatanın meydana getireceği olumsuzluktan nispeten büyükse anlamlılık seviyesi düşük belirlenmelidir. Örnek: Bir tekstil firmasında çalışan işçilerin ortalama saat ücretleri ana kütle ortalamasından en fazla 10 TL sapma gösterecek şekilde %95 güven aralığı içinde tahmin edilmek istenior. Geçmiş verielre dayanarak işletme için hesaplanan standart sapmanın 50 TL olduğu biliniyor. Bu durumda örneklem büyüklüğü ne olmalıdır? Öncelikle %95 güven aralığı için z değerinin ne olduğu bulunmalıdır. Normal dağılım şartlarına göre aşağıda da görüldüğü gibi z tablosunda arayacağımız alan 0,475’tir. Bu alanı veren z değeri 1,96’dır. Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci 0,0475 0,0475 0,025 0,025 N = (Z2σ2)/(X - µ)2 N = (1,96)2(50)2/(10)2 N = (3,8416)(2500)/100 N = 96,04 = 96 6. Verilerin Normal Dağılıma Uyup Uymadığının testi İstatistiksel olarak normal dağılıma uyma birçok istatiksel testin ön şartıdır. Pek çok istatistiksel analizin ön şartı verilerin normal dağılıma uyması veya normal dağılıma yakın olması gerekmektedir. Verilerin dağılımının normal dağılıma uyu uymadığı görsel veya matematiksel olarak test edilebilir. Görsel testte, görsel grafiklerle örneğin Histogram veya detrended normallik grafiği normallik testi yapılırken, matematiksel testler Komolgov Smirnov veya Shapiro Wilks testidir. Örnek: Aşağıda İMKB 100 endeksinin aylık değeri bağımlı değişken olarak, aylık hazine bonosu faiz oranları da bağımsız değişken olarak verilmiştir. Bu dağılımların normale uyup, uymadığını araştıralım. 7 8 Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci İMKB 100 Endeks Hazine Bonosu İMKB 100 Endeks Hazine Bonosu Değerleri Faiz oranları Değerleri Faiz oranları 2635,14 92,26 19206,00 34,36 2265,94 137,29 16206,00 40,47 2196,38 141,34 14446,00 44,82 2597,91 145,19 13870,00 35,59 2568,16 130,21 13132,06 33,44 3890,83 124,80 11350,30 36,04 4554,07 103,82 13538,44 38,00 5354,03 100,57 8747,68 41,00 5069,22 100,46 9437,21 41,01 4950,21 111,50 10685,07 64,93 5805,45 102,88 8791,60 124,21 5018,28 115,17 8022,72 193,71 6071,12 112,09 12367,36 130,42 6509,92 109,21 10879,83 82,19 8459,48 94,63 11204,24 88,38 15208,78 94,64 9914,61 95,02 16715,00 38,20 9878,88 92,63 15946,00 42,09 7625,87 87,39 15920,00 39,21 11633,93 79,32 SPSS ana menüden Analyze > Descriptive Statistics > Explore seçeneği seçilir. Dependent kısmına İMKB 100 endeksi ve label cases by kısmına da hazine bonosu değişkenleri yerleştirilir. Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Daha sonra sağda bulunan statistics kutucuğu seçilir ve descriptives ve outliers kısımları işaretlenir ve continue tuşuna basılır. Sonra yine sağda bulunan Plots butonuna basılır. Boxplot kısmından Factors levels together, descriptives kısmından Histogram işaretlenir. Son olarak da Normality Plots with test kutucuğu işaretlenir ve continue tuşuna basılır. 9 10 Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci En son OK tuşuna basılır ve SPSS output penceresinden aşağıdaki çıktılar elde edilir. Case Processing Summary Cases Valid N imkb Missing Percent 38 100,0% N Total Percent 0 ,0% N Percent 38 100,0% IMKB verilerinde toplam 38 veri kullanılmıştır. Hiçbir kayıp değer – missing value yoktur. Descriptives Statistic imkb Mean 9280,8874 95% Confidence Interval for Lower Bound 7729,0176 Mean Upper Bound 10832,7571 5% Trimmed Mean 9186,7981 Median 9114,4050 Variance Std. Deviation 22291164,434 4721,35197 Std. Error 765,90443 Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Minimum 2196,38 Maximum 19206,00 Range 17009,62 Interquartile Range Skewness Kurtosis 8177,17 ,189 ,383 -,963 ,750 Yukarıdaki Tabloda bağımlı değişken IMKB endeksine göre tanımlayıcı istatistikler görülmektedir. Bu tabloya göre 38 verinin aritmetik ortalamasının 9280,88, standart sapmasının 4721,35 olduğu görülmektedir. %95 güvenler, dağılımın alt ve üst limitlerin yani güven aralığının 7729,01 ile 10832,75 arasında olduğu görülmektedir. Tahmini yapılan büyüklüğün arasında kalacağı alanın hesaplanmasına güven aralığı denmektedir. Serinin ortanca (medyan) değeri 9114,40’dır ve seriyi iki eşit parçaya bölmektedir. Serinin minimum değerinin 2196,38 ve maksimum değerinin 19206,00 olduğu da yukarıdaki tabloda raporlanmıştır. İstatistiki dağılımlarda en çok kullanılan dağılım normal dağılımdır ve günlük hayatta veya doğadaki pek çok dağılım normal dağılıma uymaktadır. Normal dağılım sürekli bir dağılımdır ve ana kütlesi µ, standart sapması s’dir. Normal dağılım simetriktir ve çan eğrisine benzer. Tam simetrik bir dağılımda tepe değerinin ortancası ve aritmetik ortalaması birbirine eşittir. Tablodaki bir diğer önemli tanımlayıcı istatistik basıklık (kurtosis) ve çarpıklık (skewness) ölçüleridir. Bu değerler verilerin normal dağılıp, dağılmadığını göstermektedir. Tam bir normal dağılımda aritmetik ortalama, mod ve medyan birbirine eşit olacak ve çarpıklık katsayısı (skewness) 0 olacaktır. Çarpıklık arttıkça mod ve aritmetik ortalama birbirinden uzaklaşacaktır. Eğer, ortalama medyandan büyükse, birim değerlerin dağılımı sağa (pozitif) çarpık olur. Eğer ortalama medyandan küçükse gözlemlerin dağılımı sola (negatif) çarpıklık olur. Çarpıklık katsayısı + ∞, - ∞ arasında değer alır ama bu katsayı +-3 aralığında ise dağılım normal farz edilir. Yukarıdaki tabloda yer alan çarpıklık katsayısı 0,189’dur. Çarpıklık katsayısı kendi standart hatasına bölünerek standartlaştırılır ve bu değer anlamlılık seviyesine göre Z tablosu değerleri ile karşılaştırılıp, dağılımın normal olup olmadığına karar verilir. Tablodaki çarpıklık katsayısı 0,189 ve standart hatası 0,383 olduğuna göre bu değerin standart hali 0,189/0,383 = 0,477 olarak hesaplanacaktır. %5 anlamlılık seviyesinde Z Tablo değeri 1,96’dır. 0,477 değeri +1,96 ve -1,96 arasında kaldığına göre %5 anlamlılık seviyesinde IMKB verilerinin dağılımı normal bir dağılımdır 11 12 Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci diyebiliriz. Bu değerin pozitif çıkması verilerin sağa çarpık olduğunu gösterir. Ayrıca veri setinin aritmetik ortalamasının medya’nından büyük olması da verilerin sağa çarpık olduğunun diğer bir göstergesidir. Basıklık (curtosis) normal dağılımda eğrinin ne kadar dik veya basit olduğunu gösterir Tam bir çan eğrisinde basıklık katsayısı 0’dır. Basıklık katsayısı pozitif ise eğri normale göre daha diktir. Negatif ise normale göre daha basıktır. Yukarıdaki tabloda basıklık katsayısı -0,963’tür. Dikliğin standart hatası 0,750’dir. Diklik katsayısı standart hataya bölündüğünde -0,963/0,750 = - 1,284 değeri çıkar. Bu değer -1,96 ile +1,96 değerleri arasında kaldığı için dik olmadığı söylenebilir. Bir veri setinin normal dağılıma uyup, uymadığı görsel olarak grafikler yardımı ile de gözlemlenebilir. En çok kullanılan grafik histogram’dır. Aşağıda histogram grafiği verilmiştir. Yukarıdaki histogram’da bize IMKB serisinin tam simetrik olmadığını ve sağa çarpık olduğunu göstermektedir. Verilerin normallik analizi yapılırken normal ihtimal grafiği’de kullanılır. Eğer örneklem normal dağılan bir yığından alındıysa, değerlerin bir doğru üzerine veya etrafına toplanması gerekmektedir. Aşağıda verilen normal dağılım grafiğine bakıldığında verilerin doğru üzerine ve çok yakınına dağıldığı için normal dağıldığını söyleyebiliriz. Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Verilerin normalliğinin gözlemlenmesi için bir diğer görsel araçta trendsiz normallik grafiğidir. IMKB 100 endeksinin trendsiz normallik grafiği aşağıda verilmiştir. Eğer veriler normal dağılıyorsa, sıfır çizgisi etrafında gözlemlerin rastgele dağılması bir fonksiyon biçimi oluşturmaması gerekmektedir. Yukarıda grafikten de görüleceği gibi verilerin dağılımı normale yakındır ve gözlemler 0 çizgisi üzerinde rastgele dağılmıştır. 13 14 Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Normalliği test etmede kullanılan bir diğer görsel yöntemde saplı kutu grafiğidir. Aşağıda IMKB 100 endeksinin saplı kutu grafiği verilmiştir. Saplı kutu grafiği serinin merkezi eğilimi ve yaygınlığı ile ilgili bilgi verir. Eğer ortanca çizgisi merkezin altında ise dağılım pozitif çarpık, üstünde ise negatif çarpıktır. Tam ortada yer alması durumunda ise normal dağılıma uyduğu söylenebilir. Yukarıdaki kutu grafiğine baktığımızda kutunun hafiften aşağıda doğru olması, veri setinin sağa çarpık olduğunun bir göstergesidir. Kutunun dışında herhangi bir değer olmadığı için uç değer yoktur. Matematiksel olarak verilerin normal dağılıp, dağılmadığının testide KomolgovSimirnov ve Shapiro-Wilks testleri ile yapılabilmektedir. Gözlem sayısı 29’dan az olduğunda Shapiro-wilks, 29’dan fazla olduğunda Komolgov-Smirnov testi kullanılmaktadır. Veri sayımız 38 olduğu için Komolgov – Simirnov testini kullanacağız. Aşağıda SPSS’ın verdiği test sonuçları tablo halinde verilmiştir. Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Tests of Normality Kolmogorov-Smirnova Statistic imkb df ,094 Shapiro-Wilk Sig. 38 Statistic ,200* df ,960 Sig. 38 ,197 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. H0 = Verilerin dağılımı normale uyar Ha = Verilerin dağılımı normal dağılıma uymaz %5 anlamlılık seviyesinde her iki test için IMKB 100 endeks verilerinin sig. (anlamlılık) değeri 0,200 ve 0,197’dir. Her iki değerde 0,05’ten büyük olduğu için H0 hipotezi kabul edilir. Yani verilerin normal dağılıma uyduğu söylenebilir. Örnek: Aşağıda 18 işçinin fazla mesai süreleri verilmiştir. Normal dağılıma uyup, uymadığını tespit edelim. İşçi Mesai (Saat) İşçi Mesai (Saat) 1 1 10 5 2 3 12 3 3 4 13 4 4 2 14 3 5 5 15 1 6 3 16 1 7 4 17 4 8 2 18 3 9 1 Analyze > Desriptive > Explore menüsü takip edilir. Mesai Zaman [mesai] değişkeni Dependent List’ine ve işçi no [isçi.no] değişkeni Label Cases By kutucuğuna sağ oklar yardımı ile aşağıdaki gibi taşınır. 15 16 Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Sağda yer alan Plots menüsü açılır ve Normality Plots with Tests kutucuğu tıklanır ve Steam and Leaf kaldırılıp, yerine Histogram seçilir. Continue ve Ok tuşlarına basılır. Aşağıda yer alan çıktılar elde edilir. Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Case Processing Summary Cases Valid N Mesai Zaman Missing Percent 17 N 100,0% Total Percent 0 ,0% N Percent 17 100,0% 17 örnek analize dahil edilmiştir. Descriptives Statistic Mesai Zaman Mean 2,8824 95% Confidence Interval for Lower Bound 2,1811 Mean Upper Bound 3,5836 5% Trimmed Mean 2,8693 Median 3,0000 Variance Std. Deviation 1,36393 1,00 Maximum 5,00 Range 4,00 Interquartile Range 2,50 Kurtosis ,33080 1,860 Minimum Skewness Std. Error -,097 ,550 -1,081 1,063 Temel tanımlayıcı istatisitkler yukarıda verilmiştir. Ortalama ve ortalamanın %95 güven aralığında aralık değeri, medyan, varyans, standart sapma, minimum, maksimum değerler, aralık ve çeyrek aralıklar verilmiştir. Skewness verinin simetrik dağılıp, dağılmadığının bir göstergesidir. Simetrik dağılan bir verinin skewness değeri 0’dır. Simetrik olmayan sağ yaslı bir veri de yani büyük değerlerin ağırlıkta olduğu bir veride positif skewness vardır. Simetrik olmayan sola yaslı bir veride, yani küçük değerlerin ağırlıkta olduğu bir veride negatif skewness katsayısı vardır. Mesai saatleri verisinde skewness katsayısı -0,097’dir yani sola yaslı bir veridir. Kurtosis verinin bir gauss dağılımına uyup, uymadığını belirler. Gauss dağılımının kurtosis değeri 0’dır. Daha düz bir dağılım negatif kurtosis değerine sahiptir. Gauss dağılımından daha dik bir dağılım pozitif kurtosis değerine sahiptir. Bizim örneğimizde kurtosis değeri -1,081 olduğuna göre daha yatık bir dağılımdan söz edebiliriz. 17 18 Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Tests of Normality Kolmogorov-Smirnova Statistic Mesai Zaman ,181 df Shapiro-Wilk Sig. 17 ,140 Statistic df ,902 Sig. 17 ,073 a. Lilliefors Significance Correction Normallik testinde her iki testinde significance değeri (p değeri) 0,05’ten büyük olduğu için H0 hipotezi kabul edilir. Yani veriler normal dağılmıştır denebilir. Histogram grafiği de bu normalliği doğrular niteliktedir. Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Box Plot’da normal bir dağılımı gösterir niteliktedir. Kutumuz kuyruklarla eşit dağılmış ve ortalamıştır. Normallik dağılımı grafiği de verilerin genelde normal dağılım doğrusu çevresinde dağıldığını göstermektedir. 19 20 Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırma ve Bilimsel Araştırma Süreci Değerlendirme Soruları 1. 2. 3. 4. Hipotez testleri ne demektir açıklayınız. Test istatistiği nasıl hesaplanır açıklayınız. I. Tip ve II. Tip hata nedir açıklayınız. Komolgov Smirnov testi nasıl yorumlanır açıklayınız.. Kaynakça Spiers, N., Manktelow, B. Ve Hewitt, M. J.(2009), Practical Statistics Using SPSS, National Institude for Health Research NHS, England. Field, A. (2005), Discovering Statistics using SPSS, SAGE, London. Kalaycı, Ş. (2006), SPSS Uygulamalaı Çok değişkenli İstatistik Teknikleri, Asil Yayın Dağıtım
