T.C TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
TOPOLOJİK GRUPLAR ÜZERİNE
G.Gözde YILMAZGÜÇ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
TOPOLOJİ ANABİLİM DALI
Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Hülya İŞCAN
2011
EDİRNE
T.C
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
TOPOLOJİK GRUPLAR ÜZERİNE
G.Gözde YILMAZGÜÇ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
TOPOLOJİ ANABİLİM DALI
Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Hülya İŞCAN
2011
EDİRNE
T.C
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
TOPOLOJİK GRUPLAR ÜZERİNE
G. Gözde YILMAZGÜÇ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
TOPOLOJİ ANABİLİM DALI
Bu Tez …./…./2011 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Tarafından Kabul Edilmiştir.
Prof. Dr. Hülya İŞCAN
Yrd. Doç. Dr. Fitnat KARAALİ TELCİ
Danışman
Üye
Doç. Dr. Şaban AKTAŞ
Üye
i
ÖZET
Bu çalışmada topolojik gruplar üzerine çalışılmak amaçlanmıştır.
I. Bölümde, topolojik grup kavramı verilmiş ve bu gruplarla ilgili teoriler
incelenmiştir.
II. Bölümde, önce sınırlı topolojik gruplar çalışılmıştır. II. Bölümün ikinci
kısmında mixed topolojik gruplarla ilgili belirli teoriler ve sonular verilmiştir.
Özellikle alt uzaylar ve çarpım uzayları üzerindeki mixed topolojiler belirlenmiştir.
ii
ABSTRACT
In this work, it is aimed to research in topological groups.
In Chapter I, the concept of topological groups are given and the general
teories about these groups are investigated.
In Chapter II, firstly bounded topological groups are studied. In the second part
of Chapter II, certain theories and corollaries relative to mixed topological groups
are given. In particularly, mixed topologies on subspaces and product spaces are
determined.
iii
ÖNSÖZ
Bir yüksek lisans tez çalışması olan bu kitap sadece oluşumu aşamasında değil
öncesindeki süreçle birlikte benim için unutulmayacak anıların, derslerin,
sohbetlerin, paylaşımların, kimi zaman da hüzünlerin olduğu hayatımdan bir kesit
ve dolu dolu üç sene boyunca dertlerimi dinleyen, sıkıntımı paylaşan,
yaşadıklarından örnek aldığım sevgili hocam Prof. Dr. Hülya İŞCAN’ın her
satırında hakkı olduğunu düşündüğüm bir emek örneğidir. Aynı zamanda aldığım
ya da dinlemek için katılmış olduğum yüksek lisans dersleri ve hocamın ders
niteliğinde olan sohbetlerinin bu kitabı olduğu gibi beni de satır satır işlediğine
inanıyorum. Gerek kazandığım matematik bakış açısı gerekse bu kazanımın
getirdiği bilgi ve güven için sevgili hocam Prof. Dr. Hülya İŞCAN’a sonsuz
teşekkürlerimi sunuyorum. Bazı teoremler unutulabilir ama buradaki her satır için
harcanan emeğin unutulmayacağını, unutulmaması için yaşatılacağını biliyorum.
Sevinçlerin, hüzünlerin, başarıların, sıkıntıların yaşandığı bu yıllar içerisinde
yanımda olan, maddi manevi desteğini esirgemeyen sözlüm Müslüm Güzel’e ve
ailemize çok teşekkür ediyorum. Her zaman yanımda olduklarının, mutluluğumun
onları mutluluğu başarımın onların başarısı olduğunu biliyorum. Ayrıca sadece bu
tez çalışmasında değil tüm akademik hayatım boyunca bana katkısı olan, isimlerini
saymadığım hocalarım, arkadaşlarım ve akrabalarıma sevgi ve teşekkürlerimi
sunarım.
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET ……………………………………………………………………………. i
ABSTRACT ………………………………………………………………………ii
ÖNSÖZ …………………………………………………………………………...iii
İÇİNDEKİLER …………………………………………………………………...iv
GİRİŞ …………………………………………………………………………….. 1
I.BÖLÜM / TOPOLOJİK GRUPLAR ………………………………………... 3
1.1. Genel Kavramlar …………………………………………………………….. 3
1.2. Birimin Komşuluklar Sistemi ……………………………………………….. 11
1.3. Alt Gruplar ve Bölüm Grupları ……………………………………………… 15
1.4. Homomorfizmalar ve İzomorfizmalar ………………………………………. 24
1.5. Bağlantılı ve Tamamen Bağlantısız Gruplar ………………………………… 34
1.6. Yerel Özellikler ve Yerel İzomorfizma ……………………………………… 39
II.BÖLÜM / SINIRLI TOPOLOJİK GRUPLAR VE MIXED TOPOLOJİK
GRUPLAR ………………………………………………………………………... 44
2.1. Sınırlı Topolojik Gruplar ……………………………………………………. 44
2.2. Mixed Topolojik Gruplar …………………………………………………….. 51
KAYNAKLAR …………………………………………………………………… 64
ÖZGEÇMİŞ ………………………………………………………………………. 65
GİRİŞ
Bu tez çalışmasında, cebir ve topolojinin buluştuğu topolojik gruplar kavramı
ele alınarak, bu kavramın pekiştirilmesi ve bazı uygulamaları ile yeni sonuçlar
çıkartılması amaçlanmıştır.
Topolojik gruplar, sınırlı topolojik gruplar ve mixed topolojik gruplarla ilgili
bu çalışmada öncelikle topolojik grup tanımı ve bununla ilgili temel kavramlar
verildikten sonra cebir ve topolojinin ortak çalışabileceği teorilere yer verilmiştir.
Topolojik grup kavramı öncelikle Rus matematikçi L.S. Pontryagin tarafından
“Selected Works” adlı çalışmasında teorik olarak ele alınmıştır. Bu kavram ayrıca
Taqdir Hussain tarafından “Introduction to Topological Groups” başıklı kitabında
derinlemesine incelenmiştir. Topolojik gruplarla ilgili literatürde çok sayıda çalışma
bulunmamasına
rağmen
bu
kavramın
uygulamaları
ile
ilgili
makaleler
bulunmaktadır. Topolojik grup kavramının yerel özelliklerinden yola çıkıldığında
cebirsel topolojinin önemli bazı kavramları olan Lie grupları, Lie cebiri, grup
temsilleri gibi kavramların ortaya çıktığı görülür.
Bu çalışmanın ilk bölümünde topolojik grup kavramının temel özellikleri
incelenmiştir. Topolojik grup yapısı, bir grup ve o grup üzerindeki topolojinin grup
yapısıyla uyumlu olabilmesi durumunda ortaya çıkar. Uyumluluk, grup üzerindeki
işlemin ve bir elemanı tersine götüren dönüşümün sürekliliği ile açıklanır. Bir
topolojik grup, aynı zamanda bir grup olduğundan bir birim elemanı vardır. Birim
eleman üzerinden çalışılabilme avantajı özellikle yerel topolojik özelliklerin
araştırılmasında çok önemlidir. Ayrıca bu çalışmanın ilk kısmında, grup teorisindeki
alt grup, normal alt grup, bölüm grubu ve çarpım grubu yapıları topoloji göz önüne
alınarak topolojik gruplara taşınmıştır. Bunun yanı sıra, topolojik grupların sadece
cebirsel özellikleri değil bağlantılılık, kompaktlık, düzgünlük gibi topolojik
özellikleri de incelenmiştir.
Tezin ikinci bölümünde öncelikle sınırlı topolojik gruplar ele alınmış, Kazem
Haghnejad Azar’ın “Bounded Topological Groups” adlı çalışmasından yararlanılarak
sınırlı topolojik gruplarda bir topolojik grubun sınırlı olması, sınırlılığın analizdeki
1
sınırlılıkla ilişkisi, sınırlılığın kompaktlık, kapalılık ve bağlantılılık kavramları ile
ilişkileri incelenmiştir.
İkinci bölümün ikinci kısmında mixed topolojik gruplar ele alınmıştır. Bu
kısımda N.R.Das ve P.Das’ın “Mixed Topological Groups” adlı çalışmasından
yararlanılarak aynı grup üzerinde farklı iki topoloji kullanılarak belli amaçları
sağlayan yeni bir topolojik grup elde edilmiş ve bu topolojik grubun sağladığı
durumlar incelenmiştir. N.R.Das ve P.Das’ın bu çalışmaları ışığında 2.2.4. örneği
verilmiş, 2.2.7. ve 2.2.9. teoremlerinde alt uzayda ve çarpım uzaylarında mixed
topolojilerin nasıl oluşturulacağı kanıtlanmıştır.
2
I. BÖLÜM
TOPOLOJİK GRUPLAR
1.1. GENEL KAVRAMLAR
1.1.1. Tanım: G boştan farklı bir küme, “ ⋅ ” G üzerinde bir ikili işlem olsun.
i) Her a, b, c ∈ G için a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c sağlanır.
ii) Bir e ∈ G için her hangi bir a ∈ G elemanı alındığında a ⋅ e = e ⋅ a = a sağlanır.
iii) Her a ∈ G için a ⋅ a −1 = a −1.a = e olacak biçimde bir a −1 ∈ G vardır.
koşullarını sağlayan (G, ⋅) cebirsel yapısına bir grup denir.
1.1.2. Tanım: G boştan farklı bir küme, τ ⊆℘(G ) olsun.
Eğer;
i) ∅ ∈τ ve G ∈τ
ii) Her A, B ∈τ için A ∩ B ∈τ
iii) Her Ai ∈τ için
∪ A ∈τ
i
i∈I
koşulları sağlanıyorsa
τ
ailesine G üzerinde bir topoloji ve (G,τ ) ikilisine de
topolojik uzay denir.
1.1.3. Not: (G,τ ) bir topolojik uzay, a ∈ G olsun.
a elemanının komşuluklar ailesi B (a ) ile gösterilir.
B (a ) = { N ⊆ G ∃T ∈τ için a ∈ T ⊆ N } biçimindedir.
3
1.1.4. Tanım: (G,τ ) ve ( H , δ ) topolojik uzaylar ve f : G → H bir dönüşüm olsun.
Eger f dönüşümü;
i) Her B ∈ δ için f −1 ( B) ∈τ sağlanır.
ii) Her a ∈ G ve her V ∈ B ( f (a )) için f (U ) ⊆ V sağlayan bir U ∈ B (a ) vardır.
koşullarından birini sağlıyorsa f ’ye sürekli dönüşüm denir.
1.1.5. Tanım: (G,τ ) ve ( H , δ ) topolojik uzaylar ve f : G → H bir dönüşüm olsun.
f homeomorfizma ⇔ (i)
f , 1-1 ve örten
(ii) f sürekli
(iii) f −1 sürekli
olmasıdır.
1.1.6. Tanım:
Eğer;
i) (G, ⋅) bir gruptur.
ii) G bir topolojik uzaydır.
iii) ⋅ : G × G → G
(a, b) a.b
ve
ϕ :G → G
a a −1
dönüşümleri süreklidir.
koşulları sağlanıyorsa G kümesine bir topolojik gruptur denir.
(iii) koşulu aşağıdaki (a) ve (b) koşullarına denktir;
a) Her a, b ∈ G ve her W ∈ B (a.b) için U .V ⊆ W olacak biçimde bir U ∈ B (a ) ve
bir V ∈ B (b) vardır.
b) Her a ∈ G ve her V ∈ B (a ) için U −1 ⊆ V olacak biçimde bir U ∈ B (a ) vardır.
(a) ve (b) koşulları da aşağıdaki (c) koşuluna denktir;
4
c) Her a, b ∈ G ve her W ∈ B (a.b −1 ) için U .V −1 ⊆ W olacak biçimde U ∈ B (a ) ve
bir V ∈ B (b) vardır.
1.1.7. Önerme: G bir topolojik grup olsun. c ∈ G elemanı bir a ∈ G ve bir r ∈
için a r biçiminde yazılabiliyorsa W ∈ B (c) için U r ⊆ W sağlayan bir U ∈ B (a )
kümesi vardır.
Kanıt: c ∈ G
r∈
c∈G
∋
∋ ∃a ∈ G , ∃r ∈
c = a r olsun.
olması durumunda önermenin doğruluğu aşağıdaki gibi kanıtlanır.
∋ ∃a ∈ G , ∃r ∈
∋
c = a r olsun.
r = 1 durumunda,
∀W ∈ B (a1 ) için ∃W ∈ B (a ) ∋ W ⊆ W olduğundan önermenin koşulu sağlanır.
r = 2 durumunda,
∀W ∈ B (a 2 ) alınırsa 1.1.6. Tanımın (a) şıkkı kullanılarak ∃U ∈ B (a ) ∋ U .U ⊆ W
bulunur. Yani,
∀W ∈ B (a 2 ) için ∃U ∈ B (a) ∋ U 2 ⊆ W olduğundan önermenin ifadesi sağlanır.
r = k için önermenin ifadesi sağlansın. Bu durumda,
∀W ∈ B (a k ) için ∃U ∈ B (a) ∋ U k ⊆ W olacaktır.
r = k + 1 durumunda,
∀W ∈ B (a k +1 ) alınsın. a k +1 = a k .a biçiminde yazılabileceğinden ve 1.1.6. Tanımdan
∃U ∈ B (a) , ∃V ∈ B (a k )
∋ U .V ⊆ W bulunur. Buradan r = k durumundaki
varsayım kullanılırsa;
∀W ∈ B (a k +1 ) için ∃U ∈ B (a) ∋ U .U k ⊆ U .V ⊆ W olacaktır.
∴ c∈G
∋
∋ ∃a ∈ G , ∃r ∈
c = a r için, her W ∈ B (c) için U r ⊆ W
sağlayan bir U ∈ B (a ) kümesi vardır.
c∈G
∋ ∃a ∈ G , ∃r ∈
∋
c = a r olsun.
r < 0 ise c = (a −1 ) − r , a −1 ∈ G yazılabilir. − r > 0 olacağından yukarıdaki kanıtta a
yerine a −1 alınarak kanıt tamamlanır.
5
∴ c∈G
∋ ∃a ∈ G , ∃r ∈
∋
c = a r için, her W ∈ B (c) için U r ⊆ W
sağlayan bir U ∈ B (a ) kümesi vardır.
1.1.8. Önerme: G bir topolojik grup olsun.
Bir c ∈ G elemanı a1 , a2 ,..., an ∈ G , r1 , r2 ,..., rn ∈
olmak üzere c = a1r1 .a2 r2 ....an rn
biçiminde yazılırsa, her W ∈ B (c) için U1r1 .U 2 r2 ....U n rn ⊆ W
olacak biçimde
∃U i ∈ B (ai ) , i = 1, 2,..., n kümeleri vardır.
Kanıt: Her n ∈
için a1 , a2 ,..., an ∈ G , r1 , r2 ,..., rn ∈
olmak üzere
c = a1r1 .a2 r2 ....an rn elemanı için önermenin doğruluğu tümevarımla gösterilebilir.
n = 1 için
c = a1r1
olacaktır. 1.1.7. Önermeden her W ∈ B (c) için
∃U1 ∈ B (a1 ) ∋ U1r1 ∈ B (a1 ) olduğu görülür.
∴ n = 1 için önermenin ifadesi doğrudur.
n = k için önermenin ifadesi doğru olsun. Bu durumda,
her W ∈ B (c) için U1r1 .U 2 r2 ....U k rk ⊆ W olacak biçimde ∃U i ∈ B (ai ) , i = 1, 2,..., k
vardır.
n = k + 1 durumunda c = a1r1 .a2 r2 ....ak rk .ak +1rk +1 elemanını
c = (a1r1 .a2 r2 ....ak rk ).ak +1rk +1 biçiminde iki elemanın çarpımı olarak düşünülürse
1.1.6. Tanımdan her W ∈ B (c) için, U .V ⊆ W olacak biçimde
∃U ∈ B (a1r1 .a2 r2 ....ak rk ) , ∃V ∈ B (ak +1rk +1 ) vardır. Buradan n = k durumundaki
varsayım ve 1.1.7. Önerme kullanılarak U1r1 .U 2 r2 ....U k rk .U k +1rk +1 ⊆ U .V ⊆ W olacak
biçimde ∃U i ∈ B (ai ) , ∃U k +1 ∈ B (ak +1 ) bulunur.
∴ n = k + 1 için önermenin ifadesi doğrudur.
∴ Her n ∈
için a1 , a2 ,..., an ∈ G , r1 , r2 ,..., rn ∈
olmak üzere c = a1r1 .a2 r2 ....an rn
olmak üzere her W ∈ B (c) için U1r1 .U 2 r2 ....U n rn ⊆ W olacak biçimde ∃U i ∈ B (ai ) ,
i = 1, 2,..., n kümeleri vardır.
6
1.1.9. Önerme: G bir topolojik grup ve a ∈ G olmak üzere,
f :G → G
x x.a
,
f ':G → G
x a.x
ve ϕ : G → G
x x −1
biçiminde tanımlanan f , f ' ve ϕ dönüşümleri birer homeomorfizmadır.
Kanıt: Her x1 , x2 ∈ G için f ( x1 ) = f ( x2 ) ise x1.a = x2 .a dır. Buradan, G kümesinin
bir grup olduğu kullanılarak x1 = x2 olduğu görülür.
∴ f fonksiyonu 1-1’dir.
Her y ∈ G için ∃x = y.a −1 ∈ G ∋
f ( x) = f ( y.a −1 ) = ( y.a −1 ).a = y.(a −1 .a ) = y
olacağından f fonksiyonu örtendir.
Her W ∈ B ( f ( x)) = B ( x.a ) alınırsa 1.1.6. Tanımdan
∃U ∈ B ( x) , ∃V ∈ B (a )
kümeleri vardır.
f (U ) = U .{a}
U .V ⊆ W sağlayan
ve
a ∈V
olduğu
kullanılarak
f (U ) = U .{a} ⊆ U .V ⊆ W olacağı görülür. Bu durumda, her W ∈ B ( f ( x)) için
f (U ) ⊆ W sağlayan ∃U ∈ B ( x) , ∃V ∈ B (a ) kümesi vardır.
∴ f süreklidir.
f dönüşümü 1-1 örten olduğundan,
f −1 : G → G
y y.a −1
dönüşümü f ’nin ters fonksiyonudur ve sürekliliği f dönüşümünün sürekliliğine
benzer şekilde gösterilebilir.
∴ f homeomorfizmadır.
f ' dönüşümünün homeomorfizma olduğu
gösterilebilir.
7
f dönüşümününkine benzer şekilde
Her
x1 , x2 ∈ G
için
ϕ ( x1 ) = ϕ ( x2 )
ise
x1−1 = x2 −1
‘dir.
Buradan
x1.x1−1.x2 = x1.x2 −1.x2 eşitliğinden x1 = x2 olduğu görülür.
∴ ϕ fonksiyonu 1-1’dir.
Her y ∈ G için ∃x = y −1 ∈ G
∋ ϕ ( x) = ϕ ( y −1 ) = ( y −1 ) −1 = y olacağından ϕ
fonksiyonu örtendir. G topolojik grup olduğundan, ϕ süreklidir. ϕ = ϕ −1 olacağı
göz önüne alınarak ϕ −1 dönüşümü de süreklidir.
∴ ϕ homeomorfizmadır.
1.1.10. Tanım: G bir topolojik uzay olsun.
Her p, q ∈ G için,
g :G → G
p g ( p) = q
olacak biçimde bir g homeomorfizması varsa G topolojik uzayına homojendir
denir.
1.1.11. Sonuç: G bir topolojik grup ise her p, q ∈ G için,
g :G → G
p g ( p) = q
olacak biçimde bir
g
homeomorfizması vardır. Yani, G
topolojik grubu
homojendir.
Kanıt: G bir topolojik grup olsun.
Her p, q ∈ G verilsin. a = p.q −1 alınırsa 1.1.9. Önermede f : G → G biçiminde bir
x x.a
homeomorfizmanın tanımlanabileceği kullanılarak,
f ( p) = p.a = p.( p −1.q) = ( p. p −1 ).q = q olacaktır.
∴ G homojendir.
1.1.12. Not: Her topolojik grup homojen olduğundan bir topolojik grubun yerel
özellikleri tek bir noktası üzerinden incelenebilir. Bu yüzden e grubun birim elemanı
8
olmak üzere yerel özellikler için yalnızca e birim elemanı üzerinden çalışılması
yeterli olacaktır.
1.1.13. Önerme: G bir topolojik grup olsun. Eğer,
F
G ’nin kapalı bir alt kümesi, U
G ’nin açık bir alt kümesi, P G ’nin herhangi
bir alt kümesi ve a ∈ G ise F .a , a.F ve F −1 kapalı kümeler; U .P , P.U ve U −1
açık kümelerdir.
Kanıt: F kapalı bir küme ve 1.1.9. Önermedeki f : G → G dönüşümü
x x.a
homeomorfizma olduğundan f ( F ) = F .a kümesi de kapalıdır.
a.F kümesinin kapalılığı da f ' : G → G dönüşümünün homeomorfizma
x a.x
olması kullanılarak benzer biçimde gösterilir.
1.1.9. Önermedeki ϕ : G → G
x x −1
dönüşümünün bir homeomorfizma ve F
kümesinin kapalı olduğu kullanılarak ϕ ( F ) kümesi kapalıdır. Bu durumda,
ϕ ( F ) = {ϕ ( x) x ∈ F } = {x −1 x ∈ F } = F −1 kümesi kapalı küme olacaktır.
U açık bir küme ise benzer şekilde U .a , a.U ve U −1 kümelerinin de açık olduğu
gösterilir.
P G ’nin herhangi bir alt kümesi ve U G ’nin açık bir kümesi ise her a ∈ P için
U .a açık kümeler ve açık kümelerin bileşimi de açık olacağından
∪ (U .a) = U .P
a∈P
açık olacaktır. Benzer biçimde P.U kümesinin de açık olduğu gösterilebilir.
1.1.14. Örnek:
1) (
, + ) bir grup ve τ d1 her x, y ∈
için d1 ( x, y ) = x − y metriği ile
üzerine
kondurulmuş topoloji olsun.τ d2 , d 2 (( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )) = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2
biçiminde tanımlı d 2 metriği ile
×
üzerine kondurulmuş topoloji olsun.
9
+:
× →
ve
( x, y ) x + y
f:
→
x −x
, +)
dönüşümlerinin sürekliliği açıkça görüldüğünden (
τd
1
topolojisi ile bir
topolojik gruptur.
2) (
3) G =
,τ d ) topolojik grubu verildiğinde
n
bölüm grubu bir topolojik gruptur.
kümesi, x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ve y = ( y1 , y2 ,..., yn ) ∈ G için
x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn ) işlemi ile bir gruptur.
G , d ( x, y ) =
n
∑ (x − y )
i =1
i
2
i
metriği ile tanımlanan topoloji ile bir topolojik gruptur.
Bu topolojik grup kompakt olmayan, ikinci sayılabilme aksiyomunu sağlayan yerel
kompakt topolojik gruptur.
4) G bir grup ve üzerinde ayrık olmayan topoloji tanımlanmış olsun. G.G −1 = G
olduğundan topolojik grup tanımından süreklilik koşulu sağlanacaktır. O halde, G
bir topolojik gruptur. Bu topolojik uzay Hausdorff uzayı değildir.
5) G bir grup ve üzerinde ayrık topoloji tanımlanmış olsun. Her x, y ∈ G olmak
üzere, x. y −1 elemanının herhangi bir W komşuluğu için x elemanının bir { x} ve y
elemanının
{ y}
açık komşulukları vardır ve
{ x} .{ y}
−1
= { x. y −1} ⊆ W olacaktır. O
halde, G bir topolojik gruptur. Bu topolojik uzay Hausdorfftur.
1.1.15. Önerme: ( X ,τ ) bir topolojik uzay olsun.
( X ,τ ) uzayının düzgün olması için gerekli ve yeterli koşul her x ∈ X elemanının
her U
komşuluğu için V ⊆ U
sağlayan açık bir V
(Bourbaki,1966)
10
komşuluğu vardır.
1.1.16. Önerme: Her topolojik grup düzgündür.
Kanıt: (G, ⋅) grubu
τ
topolojisi ile bir topolojik grup olsun. İlk olarak teoremin
ifadesini e ∈ G birim elemanı için doğru olduğunu gösterelim.
Herhangi bir U ∈ B (e) alınsın. e = e.e −1 olduğundan U ∈ B (e.e−1 ) ve 1.1.6.
Tanım kullanılarak V .V −1 ⊆ U olacak biçimde bir V ∈ B (e) olduğu görülür.
∀p ∈ V alınsın. V ∈ B (e) olduğundan p.V ∈ B ( p ) olacaktır. Bu durumda,
p.V ∩ V ≠ ∅
∃a, b ∈ V
dır. O halde,
∃a, b ∈V
∋ p = a.b −1 olacağından
∋ p.b = a
bulunur ve buradan da
p ∈ V .V −1 olduğu görülecektir. V .V −1 ⊆ U
olduğundan V ⊆ U sonucuna ulaşılır.
∴ Önermenin ifadesi e ∈ G için doğrudur.
1.1.12. Notu göz önüne alınırsa her a ∈ G elemanının her U ∈ B (a ) komşuluğu için
V ⊆ U sağlayan bir V ∈ B (a ) komşuluğu vardır. Bir önceki önermeden, G düzgün
uzaydır.
1.2. BİRİMİN KOMŞULUKLAR SİSTEMİ
1.2.1. Tanım: X bir topolojik uzay, a ∈ X , Σ ⊆℘( X ) olsun.
a elemanını bulunduran her V açık kümesi için U ⊆ V olacak biçimde U ∈ Σ açık
kümelerinden oluşan Σ ailesine a ’nın bir tam komşuluklar sistemi denir.
1.2.2. Tanım:
G bir grup ve U ⊆ G olsun. U −1 = {a −1 a ∈ U } olmak üzere,
U = U −1 oluyorsa U kümesine simetriktir denir.
1.2.3. Önerme: Bir topolojik grubun birim elemanının simetrik kümelerden oluşan
bir komşuluklar sistemi vardır.
11
Kanıt: V ailesi birimin açık komşuluklarının bir sistemi olsun. e = e −1 olduğundan
herhangi bir V ∈ V kümesi için, e ∈ V −1 olacaktır. Ayrıca V açık küme olduğundan
ve 1.1.13. Önermeden V −1 de açık kümedir. Bu durumda V −1 kümesi e birim
elemanının açık bir komşuluğu olur. Buradan her V ∈ V kümesi için U = V ∩ V −1
kümesi de e ’nin açık bir komşuluğu olacaktır. U = V ∩ V −1 = U −1 olacağından U
kümeleri simetriktir. O halde her V kümesi için U ⊆ V sağlayan simetrik bir U
komşuluğu vardır. Ayrıca birim elemanın her komşuluğu bir V ∈ V kümesini
bulunduracağından U kümelerinin ailesi birim elemanın simetrik kümelerden oluşan
bir komşuluklar sistemidir.
1.2.4. Önerme: G bir topolojik grup ve U ailesi birimin komşuluklar sistemi olsun.
Her A ⊆ G için, A =
. ) = ∩ (U . A) eşitliği sağlanır.
∩ ( AU
U ∈U
U ∈U
Herhangi bir x ∈ A alınsın. Herhangi bir U ∈ U için, x.U −1 ∈ B ( x)
Kanıt:
olacağından A ∩ x.U −1 ≠ ∅ bulunur. Bu durumda, x.u −1 ∈ A olacak biçimde bir
u ∈U bulunur. O halde, x ∈ AU
. olur.
∴ A⊆
. )
∩ ( AU
(1)
U ∈U
Her hangi bir x ∈ ∩ ( AU
. ) elemanı alınsın. Her U ∈ U için x ∈ AU
. olacaktır.
U ∈U
Buradan, herhangi bir P ∈ B ( x) için P −1.x ∈ U olacağından x ∈ A.P −1.x bulunur.
Bu durumda, x = a. p −1.x olacak biçimde bir a ∈ A ve bir p ∈ P vardır. Buradan,
a. p −1 = e elde edilir. O halde, A ∩ P ≠ ∅ olacağından x ∈ A bulunur.
∴
. ) ⊆ A olur.
∩ ( AU
(2)
U ∈U
(1) ve (2) sonucundan A =
. )
∩ ( AU
elde edilir. Benzer biçimde, A =
U ∈U
∩ (U . A)
U ∈U
olduğu da gösterilir.
12
∴ Her A ⊆ G için, A =
. ) = ∩ (U . A) eşitliği sağlanır.
∩ ( AU
U ∈U
U ∈U
1.2.5. Teorem: G bir topolojik grup ise e birim elemanının,
i) Her U ∈ U için U simetriktir.
ii) Her U ∈ U için V 2 ⊆ U sağlayan bir V ∈ U vardır.
iii) Her U ∈ U ve her a ∈ G için a.V .a −1 ⊆ U sağlayan bir V ∈ U vardır.
koşullarını sağlayan bir U kapalı komşuluklar sistemi vardır.
Tersine, yukarıdaki koşulları sağlayan bir U süzgeç tabanı varsa, G üzerinde tek
şekilde tanımlı bir
τu
topolojisi vardır , G kümesi bu topoloji ile bir topolojik
gruptur ve U ailesi birimin komşuluklar sistemidir.
Kanıt:
G bir topolojik grup olduğundan birimin kapalı ve simetrik kümelerden oluşan bir
U temel komşuluklar sistemi vardır. O halde, (i) koşulu sağlanır.
e.e = e olduğundan ve topolojik grup tanımı kullanılarak her U ∈ U için
∃V ∈ U ∋ V .V ⊆ U olduğu görülür. O halde, (ii) koşulu sağlanır.
1.1.9. Önermede a −1 ∈ G için
f
ve a ∈ G için
f ' dönüşümlerinin
homeomorfizma olduğu göz önüne alınarak f ' f bileşkesi de bir homeomorfizma
dolayısıyla sürekli bir dönüşüm olur. Bu durumda, her U ∈ U ve her a ∈ G için
a.V .a −1 ⊆ U sağlayan bir V ∈ U kümesi vardır. O halde, (ii) koşulu sağlanır.
Tersine, U (i) - (iii) koşullarını sağlayan bir süzgeç tabanı olsun.
Her U ∈ U için (i) ve (ii) koşulları sağladığından ∃V ∈ U
∋ V .V −1 ⊆ U bulunur.
Buradan, her x ∈ V için x.x −1 ∈ V .V −1 ⊆ U dolayısıyla e ∈ U bulunacaktır.
Her U ∈ U ve her x ∈ G için x.U ve U .x kümeleri ailesi x elemanının bir temel
komşuluklar sistemini oluşturacak şekilde G üzerinde tek şekilde bir
τu
topolojisi
belirler. G ’nin bu topoloji ile bir topolojik grup olduğunun gösterilmesi için 2.1.2
Tanım (c) koşulunun sağlandığını göstermek yeterlidir.
13
Her W ∈ B ( x. y −1 ) kapalı komşuluğu alınırsa x −1.W . y ∈ B (e) kümesi kapalı bulunur.
Bu durumda,
V 2 ⊆ x −1.W . y
x −1.W . y ∈ U
olacaktır. Teoremin (ii) koşulu sağlandığından
olacak biçimde bir
V ∈U
vardır. Buradan
∃V ∈ U
için
( x.V ).(V . y −1 ) ⊆ W bulunur. Teoremin (i) koşulundan V kümesi simetriktir. O halde,
∃V ∈ U için ( x.V ).(V −1. y −1 ) = ( x.V ).( y.V ) −1 ⊆ W bulunur.
∴ ∀W ∈ B ( x. y −1 ) için ∃ xV
. ∈ B ( x) ve ∃ y.V ∈ B ( y ) ∋ ( x.V ).( y.V ) −1 ⊆ W
olur.
∴ G kümesi τ u topolojisi ile bir topolojik gruptur.
1.2.6. Tanım: G bir topolojik grup olsun. G ’nin yığılma noktası yoksa G topolojik
grubuna ayrıktır denir. Başka bir deyişle, herhangi bir elemanın sadece kendisini
içeren bir komşuluğu varsa G topolojik grubuna ayrıktır denir.
1.2.7. Tanım: G bir topolojik uzay ve a ∈ G olsun. G nin a elemanını bulunduran
açık kümelerden en az biri yalnızca a elemanını içeriyorsa a elemanına G nin
ayrık noktası denir.
1.2.8. Önerme: Bir G topolojik grubunun ayrık olması için gerekli ve yeterli koşul
birim elemanının G ’nin ayrık bir noktası olmasıdır.
Kanıt: Bir önceki tanım kullanılarak ayrık bir topolojik grubun her elemanı ayrık
nokta olacağından birim eleman da ayrık nokta olacaktır.
Tersine; e ∈ G birim elemanı G topolojik grubunun ayrık bir elemanı olsun.
Bu durumda, ∃U ∈ B (e) için (U − {e} ) ∩ G = ∅ olur. Buradan, U = {e} bulunur.
Herhangi bir a ∈ G alınırsa, ∃V = U .a = {a} ∈ B (a)
halde, a ∈ G ayrık noktadır.
∴ G topolojik grubu ayrıktır.
14
∋ (V − {a} ) ∩ G = ∅ dir. O
1.3. ALT GRUPLAR VE BÖLÜM GRUPLARI
1.3.1. Tanım: G bir topolojik grup ve H ⊆ G olsun.
H , G kümesinin bir alt grubu ise G kümesinin H üzerine indirgediği topolojiye
göre H bir topolojik gruptur. Bu H kümesine G ’nin topolojik alt grubu denir.
G bir topolojik grup ve N ⊆ G olsun.
N , G kümesinin normal alt grubu ve topolojik alt grubu ise N kümesine G
topolojik grubunun topolojik normal alt grubu denir.
1.3.2. Önerme: G bir topolojik grup ve H , G ’nin alt grubu ise,
i) H , G ’nin topolojik alt grubudur.
ii) H , G ’nin normal alt grubu ise H , G ’nin topolojik normal alt grubudur.
iii) H kümesi, G üzerindeki topolojiye göre açık küme ise H = H ’tır.
koşulları sağlanır.
Kanıt:
i) H kümesinin G ’nin bir alt grubu olduğu gösterilirse istenilen elde edilir.
Her a, b ∈ H alınsın. Her W ∈ B (a.b −1 ) için, G topolojik grup olduğundan
U .V −1 ⊆ W sağlayan bir U ∈ B (a ) ve bir V ∈ B (b) vardır. a, b ∈ H olduğundan
U ∩ H ≠ ∅ ve V ∩ H ≠ ∅ bulunur. Bu durumda ∃x ∈ U ∩ H ve ∃y ∈ V ∩ H
elemanları vardır. Buradan x. y −1 ∈ U .V −1 ⊆ W ve H , G ’nin alt grubu olduğundan
x. y −1 ∈ H bulunur. O halde, x. y −1 ∈ W ∩ H olacaktır. Bu da, a.b −1 ∈ H olduğunu
gösterir.
∴ ∀a, b ∈ H için a.b −1 ∈ H bulunur.
∴ H , G ’nin alt grubudur.
ii) H kümesinin G ’nin normal alt grubu olduğu gösterilirse önermenin ifadesi elde
edilecektir. Her a ∈ H ve her g ∈ G alınsın. Her W ∈ B ( g −1.a.g ) için, G topolojik
15
grup olduğundan V −1.U .V ⊆ W sağlayan bir U ∈ B (a ) ve bir V ∈ B ( g ) vardır.
g ∈ V olduğundan g −1.U .g ⊆ W bulunur. a ∈ H olduğundan U ∩ H ≠ ∅ dır. Bu
durumda,
∃x ∈ U ∩ H
H , G ’nin
normal
elemanı vardır. Buradan,
alt
grubu
olduğundan
g −1.x.g ∈ g −1.U .g ⊆ W
g −1.x.g ∈ H bulunur.
O
ve
halde,
g −1.x.g ∈ W ∩ H olacaktır. Bu da, g −1.x.g ∈ H olduğunu gösterir.
∴ ∀a ∈ H ve ∀g ∈ G için g −1.x.g ∈ H bulunur.
∴ H , G ’nin normal alt grubudur.
iii) H , G ’nin açık bir alt kümesi olsun.
H ⊆ H her zaman doğrudur.
Herhangi bir a ∈ H alınsın. H birim elemanı bulunduran açık bir küme olduğundan
a.H
kümesi de a elemanını bulunduran açık bir kümedir. Bu durumda,
a.H ∩ H ≠ ∅ olacaktır. ∃x ∈ a.H ∩ H elemanı vardır. x ∈ a.H , x ∈ H ve H bir
grup olduğundan a −1.x ∈ H ve x −1 ∈ H bulunur. Buradan da, (a −1.x).x −1 ∈ H
bulunur. Grubun özellikleri kullanılarak a ∈ H olduğu görülür. O halde, H ⊆ H
olur.
∴ H = H bulunur.
1.3.3. Önerme: G bir topolojik grup olsun.
H alt grubunun kapalı küme olması için gerekli ve yeterli koşul bir U ∈ B (e) kapalı
komşuluğu için H ∩ U ⊆ G kümesinin kapalı olmasıdır.
Kanıt: H G ’nin kapalı bir alt kümesi ise kapalı bir U ∈ B (e) komşuluğu için
H ∩ U G ’nin kapalı bir alt kümesi olur.
Tersine, ∃U ∈ B (e) kapalı komşuluğu için H ∩ U kapalı bir küme olsun.
U ∈ B (e) olduğundan ∃V ∈ B (e) ∋ V 2 ⊆ U olacaktır.
H kapalı bir alt küme olması için H ⊆ H olduğunun gösterilmesi yetecektir.
x∈ H
alınırsa, 1.3.2. Önermeden H kümesi de bir alt grup olacaktır. Böylece,
x −1 ∈ H ’dir.
16
Dolayısıyla, V .x −1 ∈ B ( x −1 ) komşuluğu için V .x −1 ∩ H ≠ ∅ bulunur. Buradan,
∃y ∈ V .x −1 ∩ H vardır.
Ayrıca, x ∈ H olduğundan H kümesinde x elemanına yakınsayan bir { xα }
ağı vardır. x.V ∈ B ( x) olduğundan ∀α ≥ α 0 için xα ∈ x.V sağlayan bir α 0 vardır.
y, xα ∈ H
ve
H
alt grup olduğundan
y.xα ∈ H ’dır. ∀α ≥ α 0
için
y.xα ∈ V .x −1.x.V = V 2 ⊆ U bulunur. Böylece, y.xα ∈ H ∩ U olur.
y.{ xα } → y.x olacağından ve H ∩ U kapalı olduğundan y.x ∈ H ∩ U bulunur.
Buradan, x = y −1. y.x ∈ H 2 = H olur. O halde, x ∈ H olacaktır.
∴ H kapalı bir alt gruptur.
1.3.4. Tanım: G bir topolojik grup ve H G ’nin alt grubu olsun.
Her x ∈ G için G
H
bölüm kümesi H .x sağ denklik sınıflarının kümesi ve
ϕ :G → G H
x H .x
doğal dönüşümü göz önüne alınsın. ϕ dönüşümünü sürekli kılan G
kümesi üzerindeki en ince topoloji bölüm topolojisidir. G
H
H
bölüm kümesine
üzerinde tanımlanan topoloji ile birlikte bölüm uzayı denir.
1.3.5. Teorem: G bir topolojik grup ve H G ’nin alt grubu olsun.
G
H
bölüm uzayı ve ϕ doğal dönüşüm olmak üzere, aşağıdakiler sağlanır:
i) ϕ örtendir.
ii) ϕ süreklidir.
iii) ϕ açık dönüşümdür.
iv) G
H
üzerindeki en ince topoloji bölüm topolojisidir.
17
bölüm
Kanıt: i) şıkkı açıktır.
ii) 1.3.4. Tanımdan sağlanır.
iii) U , G ’nin açık bir alt kümesi olsun.
Eğer ϕ −1 (ϕ (U )) kümesinin G ’de açık olduğu gösterilirse 1.3.4. Tanımdan ϕ (U )
açık bir küme olacaktır.
ϕ −1 (ϕ (U )) = {x ∈ G ϕ ( x) ∈ ϕ (U ) } = {x ∈ G H .x ∈ ϕ (U )} = H .U olur. Varsayımdan,
U , G ’nin açık bir kümesi ise H .U kümesi de açık olacaktır. O halde, ϕ −1 (ϕ (U ))
açık küme olur.
∴ ϕ (U ) açıktır.
∴ ϕ açık dönüşümdür.
iv)
υ
, ϕ ’yi sürekli kılan G
topoloji olsun. V kümesi
G ’de açık bir kümedir.
υ
H
üzerindeki bölüm topolojisinden farklı bir
topolojisine göre açık bir küme olsun. ϕ −1 (V ) kümesi
1.3.4. Tanımdan V kümesi bölüm topolojisinin bir
elemanıdır. Dolayısıyla
Bölüm topolojisi G
H
üzerinde ϕ ’yi sürekli kılan en ince topolojidir.
1.3.6. Önerme: G bir topolojik grup , H G ’nin alt grubu , ϕ doğal dönüşümü ve
A ⊆ G olsun.
{H .a a ∈ A} kümesinin G
H
’da açık olması için gerekli ve yeterli koşul
∪ H .a = H . A kümesinin G ’de açık olmasıdır.
a∈ A
Kanıt: D = {H .a a ∈ A} kümesi G
H
’da açık bir küme olsun.
ϕ doğal dönüşümü sürekli olduğundan,
ϕ −1 (D) = {x ∈ G ϕ ( x) = H .x ∈ D} = {x H .x = H .a}
= {x x ∈ H .a} = H .a
kümesi G ’de açık kümedir. Açık kümelerin bileşimleri de açık küme olacağından
H . A kümesi de açıktır.
18
∪ H .a = H . A kümesi G ’de açıktır.
∴
a∈ A
Tersine,
∪ H .a = H . A kümesi G ’de açık bir küme olsun. 1.3.5. Teoremden
a∈ A
ϕ açık dönüşümdür. Dolayısıyla,
ϕ ( H . A) = {ϕ ( x) x ∈ H . A} = {H .x x ∈ H . A } = {H .a a ∈ A }
kümesi de açık olacaktır.
1.3.7. Önerme: G bir topolojik grup , H G ’nin alt grubu ise G
H
bölüm uzayı
homojendir.
Kanıt: Her hangi x , y ∈ G
H
alınsın. Bu durumda, x = x.H ve y = y.H olacaktır.
α = y.x −1 olsun. Her x ∈ G H için,
→G
H
H
x fα ( x ) = α . x
fα : G
biçiminde bir dönüşüm tanımlansın. fα iyi tanımlıdır.
x, y ∈G
H
için, fα ( x ) = fα ( y ) olsun. Bu durumda, α .x = α . y olacaktır. α = y.x −1
olduğundan, y.x −1.x = y.x −1. y bulunur. Buradan da, y = y.x −1. y olur. Bu da,
x −1. y = e olduğunu gösterir. O halde, x = y bulunur.
fα birebirdir.
Her y ∈ G
(
)
H
için, bir α −1 = ( x. y −1 ) −1 ∈ G elemanı vardır ve α −1. y ∈ G
H
dır.
fα α −1. y = y olur. O halde, fα örtendir.
fα −1 : G
→G
H
H
−1
x fα ( x ) = α −1.x
dönüşümü fα ’nın tersidir.
fα ’nın açık olduğu gösterilirse, fα −1 dönüşümü de
benzer şekilde açık olacağından fα bir homeomorfizma olacaktır.
19
D = {H .u u ∈ U }
olduğundan ϕ −1 (D) = U
kümesi G
H
’da açık bir küme olsun. ϕ sürekli
kümesi G ’de açıktır. G bir topolojik grup olduğundan,
α .H .U kümesi de G ’de açık bir kümedir.
Buradan, ϕ açık dönüşüm ve
fα (D) = ϕ (α .H .U ) olduğundan fα (D) kümesi G
H
’da açık bir küme olarak
bulunur.
∴ fα açık dönüşümdür.
∴ G
H
bölüm uzayı homojendir.
1.3.8. Önerme: G bir topolojik grup , N G ’nin normal alt grubu olsun. G
N
bölüm grubu üzerindeki bölüm topolojisine göre,
→G
N
N
( x , y ) x. y −1
h :G
dönüşümü süreklidir.
Kanıt: Her hangi bir W * ∈ B ( x. y −1 ) komşuluğu alınsın. ϕ doğal dönüşümü sürekli
olduğundan ϕ −1 (W * ) ∈ B ( x. y −1 ) olacaktır. G bir topolojik grup olduğundan,
U .V −1 ⊆ ϕ −1 (W * ) sağlayan bir U ∈ B ( x) ve bir V ∈ B ( y ) komşulukları vardır.
Buradan, ϕ (U .V −1 ) ⊆ ϕ (ϕ −1 (W * )) ⊆ W * bulunur. ϕ dönüşümünün homeomorfizma
olduğu kullanılarak,
ϕ (U .V −1 ) = ϕ (U ).ϕ (V ) −1 ⊆ W *
sağlayan
bir
ϕ (U ) ∈ B ( x )
ve
ϕ (V ) ∈ B ( y )
komşulukları bulunur.
O halde, h dönüşümü süreklidir.
Bu durumda,
G
N
bölüm grubu üzerindeki bölüm topolojisi ile bir topolojik
gruptur.
20
1.3.9. Tanım: G bir topolojik grup , N G ’nin normal alt grubu olsun.
G
N
topolojik grubuna G topolojik grubunun N normal alt grubu ile topolojik
bölüm grubu denir.
1.3.10. Önerme: G topolojik grup, H < G ise G
Kanıt: G bir topolojik grup , H < G ve G
denklik sınıfları uzayı olsun. G
G
H
H
H
H
bölüm uzayı düzgündür.
bölüm kümesi H alt grubunun sağ
bölüm uzayı homojen olduğundan düzgünlüğü
kümesindeki birim olan H denklik sınıfı ile çalışılması yeterli olacaktır.
Her
hangi
bir
U * ∈ B(H )
V .V −1 ⊆ U sağlayan bir V ∈ B (e)
alınırsa,
U ∈ B ( e)
dir.
Buradan,
komşuluğu vardır. Eğer, V * ⊆ U * olduğu
gösterilirse düzgünlüğün birim eleman için ifadesi sağlanmış olacaktır.
x ∈ H .V
alınsın. x.V ∈ B ( x) olduğundan xV
. ∩ H .V ≠ ∅ bulunur. Bu
durumda, bir c ∈ x.V ∩ H .V elemanı vardır. Buradan, c = x.a = h.b olacak biçimde
a, b ∈ V ve h ∈ H vardır. x = h.b.a −1 ∈ H .V .V −1 ve V .V −1 ⊆ U olduğu kullanılarak
x ∈ H .U bulunur.
O halde, H .V ⊆ H .U bulunur.
ϕ ( H .V ) = {H .x x ∈ H .V } = {H .v ∃v ∈ V için x = h.v}
= {H .v v ∈ V } = V *
Benzer biçimde, ϕ ( H .U ) = U * olacaktır.
H .V ⊆ H .V göz önüne alınarak ϕ ( H .V ) ⊆ ϕ ( H .V ) olur. ϕ doğal dönüşümü
homeomorfizma olduğundan ϕ ( H .V ) kapalı kümedir. ϕ ( H .V ) kümesi ϕ ( H .V ) ’yi
kapsayan en küçük kapalı küme olduğundan ϕ ( H .V ) ⊆ ϕ ( H .V ) bulunur. Ayrıca,
H .V ⊆ H .U olduğu kullanılarak ϕ ( H .V ) ⊆ ϕ ( H .U ) olacağından ϕ ( H .V ) ⊆ ϕ ( H .U )
bulunur. O halde, V * ⊆ U * sağlanır.
21
∴ G
H
bölüm uzayı düzgündür.
1.3.11. Önerme: G bir topolojik grup , H G ’nin alt grubu olsun.
G yerel kompakt ise G
Kanıt:
H
bölüm uzayı da yerel kompakttır.
ϕ : G → G H doğal dönüşümü ve a ∈ G olsun. G yerel kompakt
olduğundan kapanışı kompakt olan bir U ∈ B (a ) komşuluğu vardır.
U kapalı ve kompakt bir küme ϕ dönüşümü sürekli olduğundan ϕ (U ) kompakttır.
G
H
bölüm uzayı Hausdorff uzay olduğundan ϕ (U ) kapalı bir küme olur.
U ⊆ U olduğundan ϕ (U ) ⊆ ϕ (U ) ve ϕ (U ) kümesi ϕ (U ) kümesini kapsayan en
küçük küme olduğundan ϕ (U ) ⊆ ϕ (U ) bulunur. Buradan ϕ (U ) kompakt, ϕ (U )
onun kapalı alt kümesi olduğundan ϕ (U ) kümesi de kompakt bulunur.
Her hangi bir a.H ∈ G
H
elemanı için U kompakt olan bir U ∈ B (a ) komşuluğu
olduğundan ϕ (U ) ∈ B (a.H ) kompakt komşuluğu bulunur.
∴ G
H
bölüm uzayı da yerel kompakttır.
1.3.12. Önerme: G bir topolojik grup , H
G ’nin kompakt alt grubu ve
ϕ : G → G H doğal dönüşüm olsun. Eğer, Q ⊆ G H kümesi kompakt ise ϕ −1 (Q)
kümesi kompakttır.
Kanıt:
∆ , ϕ −1 (Q) alt uzayının kapalı alt kümelerden oluşan sonlu arakesit
özelliğine sahip bir aile olsun. ∆* ailesi de ∆* = {ϕ ( F ) ⊆ Q F ∈ ∆} biçiminde
tanımlansın.
∆ ailesi sonlu arakesit özelliğine sahip olduğundan,
n
∩F ≠ ∅
i
i =1
22
, Fi ∈ ∆ sağlanır.
 n  n
Buradan, ∅ ≠ ϕ  ∩ Fi  ⊆ ∩ ϕ ( Fi ) olacaktır. Bu durumda, ∆* ailesi de sonlu
 i =1  i =1
arakesit özeliğine sahiptir. Q kompakt olduğundan, ∆* ailesinin keyfi arakesitleri de
boştan farklı olacaktır. Bu durumda, ∆* ailesindeki kümelerin ortak bir a.H kapanış
noktası vardır.
Her hangi bir U ∈ B (e) alınırsa, (a.H ).U kümesinde bulunan denklik
sınıflarını içeren U * ⊆ G
a.H ∈
H
kümesi açıktır ve a.H ∈ U * olacaktır. Sonuç olarak,
ϕ ( F ) ve
∩
ϕ ( F )∈∆
*
a.H ∈ U * olduğundan, her ϕ ( F ) ∈ ∆* için ϕ ( F ) ∩ U * ≠ ∅ olur. Yani,
F ∈ ∆ olmak üzere, F .U −1 ∩ a.H ≠ ∅ olacaktır. Bu durumda,
∆ ' = {F .U −1 ∩ a.H F ∈ ∆ , U ∈ B (e)} ailesi sonlu arakesit özelliğine sahiptir.
a.H denklik sınıfı H kompakt uzayı ile topolojik eş yapılı olduğundan a.H kümesi
de kompakt olur. ∆ ' ailesi sonlu arakesit özelliğine sahip olduğundan ∆ ' ailesindeki
kümelerin ortak bir a kapanış noktası vardır.
V ∈ B (e) alınsın. F .U −1 ∩ a.V ≠ ∅ bulunur. Buradan da, F ∩ a.V .U ≠ ∅
olur.
Her
hangi
bir
W ∈ B (e)
alınırsa,
∃U , V ∈ B (e) ∋ V .U ⊆ W
olacağından,
a.V .U ⊆ a.W buradan da F ∩ a.V .U ⊆ F ∩ aW
. bulunur. Bu durumda, F ∩ a.W ≠ ∅
olur.
O halde, a ∈ F olur. F kapalı küme olduğundan a ∈ F olacaktır.
Her F ∈ ∆ için a ∈ F bulunduğundan ∆ ailesinin keyfi arakesitleri boştan farklı
olur.
O halde, ϕ −1 (Q) kümesi kompakttır.
23
1.4. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR
1.4.1. Tanım: G ve G* iki topolojik grup ve g : G → G* bir dönüşüm olsun.
Eğer, g : G → G* bir grup homomorfizması ve sürekli bir dönüşüm ise g ’ye
bir homomorfizma denir.
Eğer g : G → G* homomorfizma ve açık dönüşüm ise g ’ye açıktır denir.
1.4.2. Tanım: G ve G ' iki topolojik grup ve f : G → G ' bir dönüşüm olsun.
Eğer, f : G → G ' bir grup izomorfizması ve bir topolojik eş yapı dönüşümü
(homeomorfizma) oluyorsa f ’ye izomorfizma denir.
Eğer G = G ' ise bu izomorfizmaya otomorfizma denir.
1.4.3. Önerme:
G
ve
G*
iki topolojik grup ve
g : G → G*
bir grup
homomorfizması olsun.
g dönüşümünün sürekli olması için gerekli ve yeterli koşul e* ∈ G* birim
elemanının her U * komşuluğu için g (U ) ⊆ U * olacak biçimde e ∈ G birim
elemanının bir U komşuluğu olmasıdır.
Kanıt: ⇒:
g : G → G* dönüşümü sürekli ise her a ∈ G noktasında sürekli
olacağından e ∈ G birim elemanı olmak üzere e ’de de süreklidir. Bu durumda,
her U * ∈ B ( g (e)) için g (U ) ⊆ U * sağlayan bir U ∈ B (e) komşuluğu vardır. g
dönüşümü bir grup homomorfizması olduğundan g (e) = e* olacaktır.
∴ Her U * ∈ B (e* ) için g (U ) ⊆ U * sağlayan bir U ∈ B (e) komşuluğu vardır.
⇐ : e* ∈ G* birim elemanının her U * komşuluğu için g (U ) ⊆ U * olacak biçimde
e ∈ G birim elemanının bir U komşuluğu olsun.
24
Her hangi bir a ∈ G elemanı için U * ∈ B ( g (a)) açık komşuluğu alınsın.
U * . ( g (a) )
Buradan,
−1
kümesi
açık
kümedir
ve
g (a ) ∈ U *
olduğundan
e* = g (a ). ( g (a ) ) ∈ U * . ( g (a ) ) olacaktır. O zaman, varsayımdan
−1
−1
U * . ( g (a ) ) ∈ B (e* )
−1
için
g (U ') ⊆ U * . ( g (a ) )
−1
sağlayan bir U ' ∈ B (e)
açık
komşuluğu vardır. U ' ∈ B (e) açık komşuluk olduğundan, U '.a ∈ B (a ) kümesi de
açık komşuluktur.
g bir grup homomorfizması olduğundan g (U '.a ) = g (U ').g (a ) dır.
(
g (U '.a) = g (U ').g (a) ⊆ U * . ( g (a) )
−1
) .g ( a ) = U
*
Buradan,
olur.
Her hangi bir a ∈ G elemanı için U * ∈ B ( g (a)) alındığında ∃V = U '.a ∈ B (a ) için
g (V ) ⊆ U * bulunur.
∴ g : G → G* dönüşümü süreklidir.
1.4.4. Önerme:
G
ve
G*
iki topolojik grup ve
g : G → G*
bir grup
homomorfizması olsun.
g dönüşümünün açık olması için gerekli ve yeterli koşul e ∈ G birim elemanının her
V komşuluğu için V * ⊆ g (V ) olacak biçimde e* ∈ G* birim elemanının bir V *
komşuluğu olmasıdır.
Kanıt: ⇒: g : G → G* dönüşümü açık ise her a ∈ G noktasında açık olma koşulu
sağlanacağından e ∈ G birim elemanı için de açık olma koşulu sağlanacaktır. Bu
durumda,
her V ∈ B (e) için V * ⊆ g (V ) sağlayan bir V * ∈ B (e* ) komşuluğu vardır. g
dönüşümü bir grup homomorfizması olduğundan g (e) = e* olacaktır.
∴ Her V ∈ B (e) için V * ⊆ g (V ) sağlayan bir V * ∈ B (e* ) komşuluğu vardır.
⇐ : e ∈ G birim elemanının her V komşuluğu için V * ⊆ g (V ) olacak biçimde
e* ∈ G* birim elemanının bir V * komşuluğu olsun.
25
Her hangi bir a ∈ G elemanı için V ∈ B (a ) açık komşuluğu alınsın. Buradan,
V .a −1 ∈ B (e) kümesi açık komşuluktur. O zaman, varsayımdan V * ⊆ g (V .a −1 )
sağlayan bir V * ∈ B (e* ) komşuluğu vardır. g bir grup homomorfizması olduğundan,
g (V .a −1 ) = g (V ). ( g (a ) )
−1
V * .g (a) ⊆ g (V .a −1 ).g (a) = g (V )
olacaktır. Buradan,
bulunur.
V * .g (a) ∈ B ( g (a)) olduğundan g (V ) ∈ B ( g (a )) olacaktır.
∴ Her a ∈ G ve her V ∈ B (a ) için g (V ) ∈ B ( g (a )) bulunur.
∴ g : G → G* dönüşümü açıktır.
1.4.5. Önerme: G topolojik grup, N G ve G
N
topolojik bölüm grubu olsun.
ϕ : G → G H doğal dönüşümü bir açık homomorfizmadır.
Kanıt: ϕ
doğal dönüşümü grup homomorfizması ve 1.3.5. Teoremden açık ve
sürekli bir dönüşüm olduğundan
ϕ :G → G H
doğal dönüşümü bir açık
homomorfizmadır.
1.4.6. Teorem: G , G* iki topolojik grup, g : G → G* dönüşümü açık homomorfizma
ve
N = Çek g
olmak üzere
N ∈ G* olsun. Bu durumda,
N G
olur ve
1.izomorfizma teoreminden elde edilen grup izomorfizması bir topolojik grup
izomorfizmasıdır.
Kanıt:
N = Çek g ise N G olacaktır.
ϕ : G → G N doğal dönüşüm olmak üzere, 1. izomorfizma teoreminden f g = ϕ
sağlayan bir tek f : G* → G
N
izomorfizması vardır. f dönüşümünün topolojik
grup izomorfizması olduğunu göstermek için homeomorfizma olduğunu göstermek
yeterlidir.
26
f dönüşümünün sürekli olduğunu göstermek için, herhangi bir a* ∈ G*
elemanı ve U * ∈ B ( f (a* )) komşuluğu alınsın. U * = { N .x x ∈ U , U ∈ B ( x)} olmak
üzere f (a* ) ∈ U * olduğundan f (a* ) = N .a olacak biçimde bir U ∈ B (a ) komşuluğu
vardır. Buradan, a ∈ U olduğundan ϕ (a ) = ( f g )(a ) = f ( g (a )) = N .a bulunur. O
halde, f (a* ) = N .a = f ( g (a)) olduğu görülür. f 1-1 bir dönüşüm olduğundan
g (a) = a* olacaktır. g açık dönüşüm olduğundan U ∈ B (a ) komşuluğu için
V * ⊆ g (U ) olacak biçimde bir V * ∈ B (a* ) komşuluğu vardır.
Bu durumda, herhangi bir x* ∈ V * için x* ∈ g (U ) olacaktır. O halde, x* = g ( x)
sağlayan bir x ∈U vardır. x ∈U olduğundan, f ( x* ) = f ( g ( x)) = ϕ ( x) = N .x ∈ U *
bulunur.
∴ ∀ U * ∈ B ( f (a* )) için f (V * ) ⊆ U * olacak biçimde bir V * ∈ B (a* ) komşuluğu
vardır.
Bu durumda, f : G* → G
N
dönüşümü sürekli bulunur.
f −1 dönüşümünün sürekli olduğunu göstermek için, herhangi bir N .a ∈ G
N
alınsın. f −1 ( N .a) = a* diyelim. ∀U * ∈ B (a* ) için g (a) = a* olmak üzere, g sürekli
bir dönüşüm olduğundan, g (V ) ⊆ U * olacak biçimde bir V ∈ B (a ) komşuluğu
vardır. Buradan, f ( g (V )) ⊆ f (U * ) bulunur.
f g = ϕ olduğundan ϕ (V ) ⊆ f (U * )
dir. Böylece f −1 (ϕ (V )) ⊆ f −1 ( f (U * )) bulunur. f 1-1 bir dönüşüm olduğundan ,
f −1 (ϕ (V )) ⊆ f −1 ( f (U * )) = U * biçiminde olacaktır. Ayrıca, V ∈ B (a ) ve ϕ doğal
dönüşümü açık olduğundan ϕ (V ) ∈ B ( N .a ) dir. O halde, ∀U * ∈ B (a* ) için
f −1 (ϕ (V )) ⊆ U * olacak biçimde ϕ (V ) ∈ B ( N .a ) komşuluğu vardır.
∴ f −1 dönüşümü süreklidir.
∴ f : G* → G
N
dönüşümü topolojik grup izomorfizmasıdır.
27
1.4.7. Önerme: G , G* iki topolojik grup olsun. g : G → G* dönüşümü açık
homomorfizma ve G* sadece Çek g = {eG } kümesini içeriyorsa g dönüşümü bir
topolojik grup izomorfizmasıdır.
Kanıt: Çek g = {eG } olduğundan, g dönüşümü 1-1’dir.
Ayrıca, N = Çek g = {eG } olduğundan G
1.4.6. Teoremden G
{eG }
N
=G
{eG }
≅ G olacaktır.
≅ G* olacaktır. Buradan, G ≅ G * bulunur.
∴ g : G → G* dönüşümü bir topolojik grup izomorfizmasıdır.
1.4.8. Önerme:
G , G* iki topolojik grup, f : G → G*
dönüşümü açık bir
homomorfizma ve Çek f = N ' olsun.
G* grubunun alt grupları ile G grubunun N ' kümesini kapsayan alt grupları
arasında aşağıdaki gibi bir birebir eşleme vardır:
Son olarak, eğer N ve N * birebir eşlenen iki alt grup ise G
N
≅G
*
N*
sağlanır.
Kanıt:
N * < G * olsun. çek f = N ' ile gösterilsin. Bu durumda, her x ∈ N ' için
f ( x) = eG* olur. Buradan x ∈ f −1 ( N * ) olacaktır. O halde, N ' ⊆ f −1 ( N * ) bulunur.
f bir grup homomorfizması ve N * < G * olduğundan f −1 ( N * ) kümesi de G
grubunun bir alt grubu olacaktır. f −1 ( N * ) = N ile gösterilecek olunursa, N * alt
grubuna karşılık bir N < G alt grubu bulunur.
N ' ⊆ N ve N < G olsun. f : G → G* dönüşümü grup homomorfizması
olduğundan N * = f ( N ) kümesi G* grubunun bir alt grubudur. O halde, G
grubunun N ' kümesini kapsayan her N alt grubu için bir N * alt grubu bulunur.
Eğer, N * G* ve ϕ : G* → G
*
N
*
doğal dönüşüm ise h = ϕ f : G → G
açık bir homomorfizma olur.
28
*
N*
{
} {
= {x ∈ G
= {x ∈ G
= {x ∈ G
Çek h = x ∈ G h( x) = N * = x ∈ G (ϕ f )( x) = N *
}
f ( x).N = N }
f ( x) ∈ N }
g ( f ( x)) = N *
*
*
*
= f −1 ( N * ) = N
Bu durumda, N G olacaktır. h : G → G
}
*
N*
bulunur.
açık homomorfizma ve φ : G → G
doğal dönüşüm olmak üzere, 1.4.6. Teoremden t h = φ sağlayan ∃!t : G
topolojik grup izomorfizması vardır. O halde, G
N
≅G
*
N*
*
N*
→G
N
N
bulunur.
1.4.9. Önerme: X ve Y topolojik uzay , A ⊆ X ve f : X → Y olsun.
f dönüşümü sürekli ise f ( A) ⊆ f ( A) sağlanır. (Bourbaki,1966)
1.4.10. Önerme: Kompakt bir uzayın her alt kümesi de konpakttır. (Bourbaki,1966)
1.4.11. Önerme: G bir topolojik grup olsun.
Eğer G grubunun birim elemanının kapanışı kompakt bir komşuluğu varsa G yerel
kompakttır.
Kanıt:
U kompakt olan bir U ∈ B (e) kümesi seçilsin. Herhangi bir p ∈ G
alınırsa, G topolojik grubu homojen olduğundan
g :G → G
p g ( p) = e
biçiminde
bir
g
U ∈ B (e) = B ( g ( p ))
homeomorfizması
için
vardır.
g
sürekli
∃V ∈ B ( p ) ∋ g (V ) ⊆ U bulunur.
olduğundan
Buradan,
bir
∃V ∈ B ( p ) ∋ g (V ) ⊆ U olacaktır. U kompakt ve g (V ) kapalı küme olduğundan
29
g (V ) kümesi de kompakttır. 1.4.9. Önerme ve 1.4.10. Önerme kullanılarak
g (V ) = g (V ) ve V kümesinin kompakt olduğu bulunur.
∴ Her p ∈ G için V kompakt sağlayan bir V ∈ B ( p ) vardır.
1.4.12. Önerme: G bir topolojik grup olsun. P ve Q G ’nin kompakt alt kümeleri
ise P.Q kümesi de kompakttır.
Kanıt: f : P × Q → P.Q
( x, y ) f ( x, y ) = x. y
biçiminde bir dönüşüm tanımlansın.
Her c ∈ P.Q için c = x. y olacak biçimde en az bir x ∈ P ve y ∈ Q vardır.
Herhangi bir W ∈ B (c) için c = x. y ve G ’nin topolojik grup olduğu kullanılarak
U .V ⊆ W olacak biçimde uygun U ∈ B ( x) ve V ∈ B ( y ) kümeleri vardır. Buradan
∃U × V ∈ B (( x, y )) ∋ f (U × V ) = U .V ⊆ W bulunur. O halde f süreklidir.
P ve Q kompakt olduğundan P × Q çarpım kümesi de kompakt olur. Kompakt bir
kümenin
sürekli
dönüşüm
altındaki
görüntüsü
de
kompakt
olduğundan
f ( P × Q) = P.Q kümesi de kompakt bir kümedir.
1.4.13. Tanım: G bir topolojik grup olsun.
Birim elemanın kapanışı kompakt olan bir komşuluğu varsa G topolojik grubuna
kompakt olarak üretilmiştir denir.
1.4.14. Teorem: G sayılabilir sayıda kompakt kümelerin bileşimi biçiminde
yazılabilen yerel kompakt bir topolojik grup, G* yerel kompakt topolojik grup ve
g : G → G* dönüşümü bir örten homomorfizma olsun. Bu durumda, g açık
dönüşümdür.
Kanıt: Herhangi bir U ∈ B (e) alınsın. G yerel kompakt topolojik grup olduğundan
e ∈ G elemanının F = V kompakt küme ve F .F −1 ⊆ U sağlayan bir V ∈ B (e)
komşuluğu vardır.
30
U ailesi G ’nin kompakt alt kümelerinin sayılabilir bir örtüsü olsun. Herhangi bir
E ∈ U ve x ∈ E için V .x kümelerinin ailesi E kompakt kümesini örter. Ayrıca, U
ailesi sayılabilir olduğundan i = 1, 2,... için ai ∈ G ve Fi = F .ai sağlayan Fi kümeleri
G ’yi örter.
Fi* = g ( Fi ) olsun. Bu durumda, g örten olduğundan i = 1, 2,... için Fi * kümeleri de
G* kümesini örter.
Şimdi, g ( F ) kümesinin G* uzayında hiçbir açık kümeyi kapsamadığı
düşünülürse,
Fi* = g ( Fi ) ve Fi = F .ai olduğundan Fi * kümelerinin hiçbiri G* uzayındaki açık bir
kümeyi içermez. W0* kümesi G* uzayındaki kapanışı kompakt bir komşuluk olsun.
Eğer, F1* hiçbir açık kümeyi bulundurmuyorsa W1* ⊆ W0* − F1* sağlayan kapanışı
kompakt bir W1* komşuluğu vardır.
Benzer biçimde, F2* kümesi için de
W2* ⊆ W1* − F2* sağlayan kapanışı kompakt bir W2* komşuluğu vardır. Wi * kümeleri
kompakt ve arakesitleri boştan farklı olduğundan boştan farklıdırlar ve
∪F
i
*
kümesi
i∈I
içerisinde bulunmazlar. Bu durum,
∪F
*
i
= G*
olmasıyla çelişeceğinden, g ( F )
i∈I
kümesi bir V * açık kümesini bulundurur. Buradan, a* ∈ V * elemanı için g (a) = a*
sağlayan bir a ∈ F vardır. Ayrıca, F .F −1 ⊆ U olduğundan F .a −1 ⊆ U olacaktır.
Buradan da, g ( F .a −1 ) ⊆ g (U ) olacağından g dönüşümünün homomorfizma olduğu
ve g (a) = a* eşitliği kullanılarak g ( F ).(a* ) −1 ⊆ g (U ) bulunur. Sonuç olarak,
V * ⊆ g ( F ) olduğu kullanılarak V * .(a* ) −1 ⊆ g ( F ).(a* ) −1 ⊆ g (U ) olacaktır. V * açık
küme olduğundan U * = V * .(a* )−1 kümesi de açıktır.
O halde, herhangi bir U ∈ B (e) komşuluğu için U * = V * .(a* ) −1 ⊆ g (U ) sağlayan bir
U * ∈ B (e* ) komşuluğu bulunur. 1.4.4. Önermeden g açık bir dönüşümdür.
31
1.4.15. Sonuç: G kompakt olarak üretilmiş bir topolojik grup, G* yerel kompakt bir
topolojik grup ve g : G → G* dönüşümü bir örten homomorfizma ise g dönüşümü
açık bir dönüşümdür.
Kanıt: G kompakt olarak üretilmiş bir topolojik grup olduğundan, V kompakt
olacak biçimde bir V ∈ B (e) vardır. U = V ∪ V −1 alınırsa, U = U −1 olacağından
U ∈ B (e) kapanışı kompakt olan ve G grubunu üreten simetrik bir komşuluk
olacaktır. O halde, G = U ∪ U 2 ∪ ... ∪ U n ∪ ... ve U n kümelerinin her biri kompakt
olacağından G sayılabilir sayıda kompakt kümelerin bileşimi biçiminde yazılabilir.
Ayrıca,
G*
yerel kompakt topolojik ve
g : G → G*
dönüşümü bir örten
homomorfizma olduğundan 1.4.14. Teoremden g açık bir dönüşümdür.
1.4.16. Önerme: G bir topolojik grup ve N G olsun.
G
N
bölüm grubu kompakt olarak üretilmiş ise G topolojik grubu da kompakt
olarak üretilmiştir.
ϕ :G → G N
Kanıt:
doğal dönüşümü göz önüne alınsın. G
kompakt olarak üretilmiş olduğundan G
N
bölüm grubu
N
topolojik grubunu üreten bir kapanışı
kompakt V * ∈ B (e* ) komşuluğu vardır. Bu durumda, V = ϕ −1 (V * ) ∈ B (e) komşuluğu
da G topolojik grubunu üretir. Ayrıca, V * kompakt ve kapalı bir küme olduğundan
( )
( )
ϕ −1 V * kümesi de kompakt ve kapalıdır. V * ⊆ V * olduğundan ϕ −1 (V * ) ⊆ ϕ −1 V *
bulunur. Ayrıca, ϕ −1 (V * ) kümesi ϕ −1 (V * )
kümesini kapsayan en küçük kapalı
( ) bulunur. O halde, V ⊆ ϕ (V ) olduğundan
küme olduğundan ϕ −1 (V * ) ⊆ ϕ −1 V *
−1
( )
ϕ −1 V * kompakt kümesinin kapalı alt kümesi V de kompakttır.
∴ G topolojik grubu kompakt olarak üretilmiştir.
32
*
1.4.17. Önerme: G sayılabilir sayıda kompakt kümenin bileşimi biçiminde
yazılabilen yerel kompakt bir topolojik grup, H < G ve N G olsun.
H .N ⊆ G
( H .N )
N
alt kümesi kapalı ise
≅ H
(H ∩ N )
H . N = N .H ,
H .N < G ,
H ∩N H
ve
sağlanır.
Kanıt: N G olduğundan her a ∈ G için a.N = N .a sağlanır. H ⊆ G olduğundan,
H . N = N .H
olacağı açıktır. H .N
kümesi G
grubunun cebirsel alt grubu
olduğundan aynı zamanda topolojik alt grubu da olur.
G yerel kompakt olduğundan
( H .N )
N
kümesi de yerel kompakttır.
ϕ : H .N → H .N N doğal dönüşümü göz önüne alınsın.
{
}
çek ϕ = x ∈ H .N ϕ ( x) = 0 = { x ∈ H .N x.N = N } = { x ∈ H .N x ∈ N }
= ( H .N ) ∩ N = N olarak bulunur. Bu durumda, çek ϕ |H = H ∩ N olacaktır.
Son
ϕ |H : H → (
olarak,
H .N )
N
dönüşümü
örten
çek ϕ |H = H ∩ N olduğundan 1. izomorfizma teoreminden
homomorfizma
( H .N )
N
≅ H
ve
(H ∩ N )
bulunur.
1.4.18. Örnek: (
, + ) ayrık topoloji ile topolojik grup, (
, + ) adi topoloji ile
topolojik grup olsun. Tanım kümesi üzerinde ayrık değer kümesi üzerinde adi
topoloji bulunan,
g:
→
x g ( x) = x
biçimindeki birim dönüşüm bir topolojik grup homomorfizmasıdır.
g dönüşümü birim dönüşüm olduğundan 1-1 ve örtendir. Ayrıca g dönüşümünün
bir grup homomorfizması olacağı açıktır.
∀S ∈ ℜ*
g −1 ( S ) ∈℘(
alınsın. Bu durumda,
) bulunur.
33
g −1 ( S ) = S ⊆
olacaktır. O halde,
∴ g sürekli dönüşümdür.
∴ g bir topolojik grup homomorfizmasıdır.
Diğer yandan, g dönüşümü açık bir dönüşüm olamayacağından topolojik
grup izomorfizması olamayacaktır.
1.5. BAĞLANTILI VE TAMAMEN BAĞLANTISIZ GRUPLAR
1.5.1. Tanım: Bir topolojik uzay ayrık iki açık kümesinin bileşimi biçiminde
yazılabiliyorsa bu uzay bağlantısız uzay denir. Aksi takdirde, uzaya bağlantılı uzay
denir.
1.5.2. Tanım: Bir topolojik uzayda bir elemanı bulunduran en büyük bağlantılı
kümeye o elemanının bileşeni denir.
1.5.3. Tanım: Bir topolojik uzayın herhangi bir x elemanının bileşeni {x} oluyorsa
bu uzaya tamamen bağlantısız uzay denir.
1.5.4. Önerme: G bir topolojik grup olsun.
N ⊆ G kümesi G ’deki birim elemanın bileşeni ise N kümesi G ’nin normal alt
grubudur.
Kanıt: ∀a, b ∈ N alınsın. N bileşen olduğundan bağlantılı bir kümedir. f : G → G ,
f ( x) = a.x −1 sürekli dönüşümü göz önüne alınırsa, N bağlantılı küme olduğundan
sürekli bir dönüşüm altındaki görüntüsü de bağlantılı olacaktır. O halde,
f ( N ) = a.N −1 kümesi de bağlantılıdır. a ∈ N olduğundan a.a −1 ∈ a.N −1 olacaktır. Bu
durumda, a.N −1 kümesi de e birim elemanını bulunduran bağlantılı bir kümedir. N
birim elemanının bileşeni yani birim elemanı bulunduran en büyük bağlantılı küme
olduğundan a.N −1 ⊆ N olarak bulunur. b ∈ N alındığından, a.b −1 ∈ a.N −1 ⊆ N olur.
∴ ∀a, b ∈ N için a.b −1 ∈ N olur.
34
O halde, N kümesi G grubunun bir alt grubudur.
Benzer biçimde, herhangi bir x ∈ G alınırsa, e ∈ N olduğundan e ∈ x.N .x −1 bulunur.
N bağlantılı küme olduğundan x.N .x −1 kümesi de bağlantılıdır. Buradan, x.N .x −1
kümesi birim elemanı bulunduran bağlantılı bir küme olarak bulunur. N elemanın
bileşeni olduğundan x.N .x −1 ⊆ N olacaktır. O halde, N grubu G grubunun normal
alt grubu olur.
Bir topolojik grubun birim elemanının bileşeni yalnızca birim
1.5.5. Önerme:
elemanını bulunduruyorsa bu topolojik grup tamamen bağlantısızdır.
Birimin bileşeni sadece birim elemanı bulunduruyorsa topolojik grubun
Kanıt:
homojenliğinden birimden farklı tüm elemanların bileşenleri de yalnızca kendisini
bulunduracağından topolojik grup tamamen bağlantısız olur.
1.5.6. Önerme: G bir topolojik grup, N birim elemanın bileşeni olsun.
G
N
bölüm uzayı tamamen bağlantısızdır.
N birimin bileşeni olduğundan 1.5.4. Önermeden
Kanıt:
normal alt grubudur. Bu durumda, G
gereğince G
N
N
N kümesi G ’nin
bir topolojik grup olacaktır. 1.5.5. Önerme
uzayının tamamen bağlantısız olduğunu göstermek için G
grubunun birim elemanın bileşeninin yalnızca
G
N
N
’deki birimi bulundurması
yeterlidir.
ϕ :G → G N
e ∈G
N
doğal dönüşümü göz önüne alınsın. P* ⊆ G
N
alt kümesi
birim elemanının bileşeni olsun. ϕ −1 ( P* ) = P ile gösterilsin.
ϕ |PP : P → P* dönüşümü açık dönüşüm mü?
*
P alt uzayında herhangi bir U açık kümesi alınsın. Bu durumda, U = V ∩ P
sağlayan
bir
V ⊆G
açık
35
kümesi
vardır.
Buradan,
ϕ (U ) = ϕ (V ∩ P ) ⊆ ϕ (V ) ∩ ϕ ( P) = ϕ (V ) ∩ ϕ (ϕ −1 ( P* )) sağlanır. ϕ : G → G N doğal
dönüşümü örten olduğundan ϕ (ϕ −1 ( P* )) = P* olacaktır.
ϕ (U ) = ϕ (V ) ∩ P* bulunur. V ⊆ G açık küme ve ϕ : G → G N doğal
O halde,
dönüşümü açık olduğundan, ϕ (U ) = ϕ (V ) ∩ P* kümesi de P* alt uzayında açık bir
kümedir.
O halde, ϕ |PP : P → P* dönüşümü açık bir dönüşüm olur.
*
P*
bileşenin birimden
farklı
elemanlar bulundurduğu
düşünülürse,
ϕ −1 ( P* ) = P kümesi de birim elemandan farklı bir eleman bulundurur. Bu durumda,
N ⊂ P olacaktır. Buradan, N birimi bulunduran en büyük bağlantılı küme
olduğundan P kümesi bağlantılı olamaz. O halde, P bağlantısıdır. Bu durumda,
A ∩ B = ∅ ve A ∪ B = P sağlayan boştan kümeden farklı A, B ⊆ P açık kümeleri
vardır. ϕ |PP : P → P* dönüşümü açık dönüşüm olduğundan, ϕ |PP ( A), ϕ |PP ( B) ⊆ P*
*
*
*
kümeleri de açık kümedir , ϕ |PP ( A) ∩ ϕ |PP ( B) = ∅ ve ϕ |PP ( A) ∪ ϕ |PP ( B ) = P*
*
*
*
*
sağlanır. Bu durumda, P* bağlantısız bir küme olarak bulunur. Bu durum, P*
kümesinin bileşen oluşuyla çelişir. O halde, P* bileşeninin birimden farklı bir
elemanı yoktur.
∴ G
N
bölüm uzayı tamamen bağlantısızdır.
1.5.7. Teorem: G bir topolojik grup olsun.
G bağlantılı ise G grubu birimin keyfi bir komşuluğu tarafından üretilir.
Kanıt: Herhangi bir U ∈ B (e) açık komşuluğu alınsın.
k
∪U
n
= V ile gösterilsin.
n =1
U açık küme olduğundan U n kümeleri de açık kümelerdir. Buradan bu kümelerin
bileşimleri olan V kümesi de açık olacaktır. V kümesinin kapalı bir küme olduğu da
gösterilirse, G bağlantılı olduğundan bağlantılı bir kümenin hem açık hem de kapalı
alt kümesi ya ∅ ya da uzayın kendisi olacağından V kümesi ya ∅ ya da G
36
kümesine eşittir. V kümesi birim elemanın komşulukların bileşimi olduğundan en
azından birim elemanı bulundurur. Bu durumda, V = G olacaktır.
Herhangi bir a ∈ V alınsın. Bu durumda, her W ∈ B (a ) komşuluğu için
V ∩ W ≠ ∅ olacaktır. e ∈ U olduğundan, a ∈ a.U −1 olacaktır ve U açık küme
olduğundan a.U −1 kümesi de açık kümedir. O halde, a.U −1 ∈ B (a) olacaktır.
Buradan, V ∩ a.U −1 ≠ ∅ bulunur.
O halde, bir b ∈ V ∩ a.U −1 elemanı vardır. b ∈ V olduğundan bir m ∈ {1, 2,..., k}
sayısı için b ∈ U m olacaktır. Ayrıca, b ∈ a.U −1 olduğundan b = a.(um +1 ) −1 sağlayan
bir um +1 ∈ U m +1 elemanı vardır. Bu durumda, a = b.um +1 = u1.u2 ....um .um +1 ∈ U m +1 ⊆ V
olacaktır.
∴ V ⊆ V bulunur.
∴ V kümesi kapalıdır.
k
Bu durumda, G = V = ∪U n bulunur.
n =1
G bağlantılı grubunun her elemanı birim elemanının keyfi bir komşuluğuna ait
elemanların sonlu çarpımları olarak yazılabilirler. O halde, G grubu birim
elemanının bir komşuluğu tarafından üretilir.
1.5.8. Tanım: G bir topolojik grup ise Z = { z ∈ G ∀x ∈ G için z .x = x.z} kümesine
G topolojik grubunun merkezi denir.
1.5.9. Önerme: G bir topolojik grup, Z kümesi G topolojik grubunun merkezi ise
Z kümesi G grubunun bir alt grubudur ve Z ’nin her alt grubu G grubunun normal
alt grubudur.
Kanıt: Herhangi bir z1 , z2 ∈ Z alınsın. z1 ∈ Z olduğundan her x ∈ G için z1.x = x.z1
dir.
Buradan, her x ∈ G için x −1.z1.x.z2 = z1.z2 bulunur.
37
z2 ∈ Z
olduğundan x.z2 = z2 .x olacağından her x ∈ G için x −1.z1.z2 .x = z1.z2
olacaktır.
O halde, z1.z2 ∈ Z bulunur.
Her hangi bir z ∈ Z alınsın. Bu durumda, her x ∈ G için x.z = z.x olacaktır.
Buradan, her x ∈ G için z −1.x.z.z −1 = z −1.z.x.z −1 bulunur. O halde, her x ∈ G için
z −1 .x = x.z −1 olacaktır.
O halde, z −1 ∈ Z dir
Bu durumda, Z kümesi G grubunun bir alt grubudur.
N kümesi Z grubunun herhangi bir alt grubu olsun.
Herhangi bir n ∈ N ve x ∈ G alınsın. N ⊆ Z olduğundan n ∈ Z dir. Bu durumda,
Z kümesi G grubunun merkezi olduğundan x.n = n.x eşitliği sağlanır. Buradan,
x.n.x −1 = n ve n ∈ N olduğundan x.n.x −1 ∈ N bulunur. O halde, N kümesi G
grubunun bir alt grubudur.
1.5.10. Teorem: G bir bağlantılı topolojik grup, N kümesi G grubunun normal alt
grubu ve Z kümesi G topolojik grubunun merkezi olsun.
N ayrık ise N ⊆ Z ’dir.
Kanıt: N ayrık olduğundan, her
a ∈ N için
( N − {a}) ∩ V = ∅
sağlayan bir
V ∈ B (a ) komşuluğu vardır. Bu durumda, her a ∈ N için N ∩ V = {a} sağalayan
bir V ∈ B (a ) komşuluğu bulunur. Ayrıca, a = e−1.a.e olduğundan U −1.a.U ⊆ V
sağlayan bir U ∈ B (e) komşuluğu vardır. Buradan, her u ∈U için u −1.a.u ∈ V
olacaktır.
a∈N
ve
N G
olduğundan
u −1.a.u ∈ N
olacaktır. O halde,
u −1.a.u ∈ V ∩ N olur. N ∩ V = {a} olduğundan her u ∈U için, u −1.a.u = a olacaktır.
Herhangi bir x ∈ G alınsın. G bir bağlantılı topolojik grup olduğundan,
1.5.7. Teorem kullanılacak olursa G ’nin her elemanı birim elemanın komşuluğu
olan U kümesinin elemanlarının sonlu tanesinin çarpımı olarak yazılabilir. O halde,
x = u1.u2 ...un sağlayan u1 , u 2 ,..., un ∈ U elemanları vardır.
Buradan, x −1.a.x = (u1.u2 ...un ) −1.a.(u1.u2 ...un ) olacaktır.
38
(
(
) )
G bir grup olduğundan, x −1.a.x = un −1... u2 −1. ( u1−1.a.u1 ) .u2 ...un
olacaktır. Her
u ∈U için, u −1.a.u = a olduğu göz önüne alındığında, her ui ∈ U , i = 1, 2,..., n için
ui −1.a.ui = a olacaktır. Buradan,
(
(
) )
x −1.a.x = un −1... u2 −1. ( u1−1.a.u1 ) .u2 ...un
(
= un −1... ( u2 −1.a.u2 ) ...un
= ( un −1...a...un )
)
= un −1.a.un = a
eşitliği bulunur.
O halde, herhangi bir x ∈ G için x −1.a.x = a bulunur.
∴ a ∈ Z olur.
Dolayısıyla, N ⊆ Z olur.
1.6. YEREL ÖZELLİKLER VE YEREL İZOMORFİZMA
1.6.1. Tanım: G ve G ' iki topolojik grup olsun. e ve e ' sırasıyla G ve G '
gruplarının birim elemanları olsun.
U ∈ B (e) ve U ' ∈ B (e ') için,
i) x. y ∈ U sağlayan x, y ∈ U elemanları için f ( x. y ) = f ( x). f ( y ) dir,
ii) x '. y ' ∈ U ' sağlayan x ', y ' ∈ U ' elemanları için f −1 ( x '. y ') = f −1 ( x '). f −1 ( y ') dir.
koşullarını sağlayan örten bir f : U → U ' dönüşümü varsa G ve G ' gruplarına
yerel izomorf topolojik gruplar denir.
1.6.2. Not: G ve G ' yerel izomorf topolojik gruplar ise 1.6.1. Tanımını sağlayan
f : U → U ' örten dönüşümü vardır ve aşağıdakiler sağlanır.
i) e.e = e olduğundan f (e.e) = f (e) ’dir. e = e.e ∈ U olduğundan 1.6.1. Tanım (i)
şıkkı kullanılırsa, f (e). f (e) = f (e) ∈ U ' olur. Buradan, f (e) = e ' olduğu da görülür.
39
ii)
x , x −1 ∈ U
x.x −1 = e
olsun.
olduğundan,
x.x −1 ∈ U
olacaktır. Buradan,
f ( x.x −1 ) = f (e) olacaktır. 1.6.1. Tanım (i) şıkkı kullanılarak f ( x). f ( x −1 ) = f (e)
olur. (i)’den
f ( e) = e '
f ( x). f ( x −1 ) = e '
olduğundan
olur. Buradan da,
f ( x −1 ) = ( f ( x))−1 bulunur.
1.6.3. Önerme: G bir topolojik grup, N G grubunun normal alt grubu olsun.
N ayrık ise G ile G
N
yerel izomorf topolojik gruplardır.
Kanıt: W ∩ N = {e} sağlayan bir W ∈ B (e) komşuluğu alındığında,
U −1.U ⊆ W sağlayan bir U ∈ B (e) komşuluğu vardır.
ϕ :G → G N
doğal dönüşümünü
kümesine kısıtlayarak
U
ϕ |U : U → G N
dönüşümü elde edilir.
U ∈ B (e) ve ϕ doğal dönüşümü sürekli olduğundan ϕ (U ) = U ' ∈ B (e ') olacaktır.
Her x, y ∈ U için ϕ ( x) = ϕ ( y ) ise x.N = y.N olacaktır. Buradan, y −1.x ∈ N ve N
bir grup olduğundan ( y −1.x)−1 = x −1. y ∈ N bulunur. Ayrıca, x, y ∈ U olduğundan
x −1. y ∈ U −1.U
olur. U −1.U ⊆ W olduğundan x −1. y ∈ W olacaktır. Buradan da
W ∩ N = {e} olduğundan x −1. y = e olur. Dolayısıyla, x = y bulunur.
O halde, ϕ |U : U → ϕ (U ) = U ' dönüşümü 1-1’dir.
x. y ∈ U sağlayan x, y ∈ U elemanları için,
ϕ |U ( x. y ) = ( x. y ).N = ( x.N ). y.N = ϕ |U ( x).ϕ |U ( y ) eşitliği 1.6.1. Tanım i) şıkkının
sağlandığını gösterir.
x '. y ' ∈ U ' sağlayan x ', y ' ∈ U ' elamanları alınsın. ϕ |U : U → ϕ (U ) = U '
dönüşümü örten olduğundan ϕ |U (a ) = x ' ve ϕ |U (b) = y ' sağlayan a, b ∈ U
elemanları vardır. Bu durumda, (ϕ |U ) ( x ') = a ve (ϕ |U ) ( y ') = b olacaktır.
−1
−1
Buradan da,
40
(ϕ | )
U
−1
( x '. y ') = (ϕ |U ) (ϕ |U (a ).ϕ |U (b))
−1
= (ϕ |U ) (a.N .b.N )
−1
= (ϕ |U ) (a.b.N )
−1
= (ϕ |U ) (ϕ |U (a.b))
−1
= a.b
= (ϕ |U ) ( x '). (ϕ |U ) ( y ')
−1
−1
eşitliği 1.6.1. Tanım (ii) şıkkının sağlandığını gösterir.
O halde, G ile G
N
kümeleri yerel izomorftur.
1.6.4. Önerme: G ve G ' iki topolojik grup olsun. e ve e ' sırasıyla G ve G '
gruplarının birim elemanları olsun.
1.6.1. Tanım (i) koşulunu sağlayan U ∈ B (e) ve U ' ∈ B (e ') komşulukları ve örten
bir f : U → U ' dönüşümü varsa 1.6.1. Tanım (i) ve (ii) koşullarını sağlayan
V ∈ B(e) ve V ' ∈ B(e ') komşulukları vardır.
Kanıt: 1.6.1. Tanım (i) koşulunu sağlayan U ∈ B (e) ve U ' ∈ B (e ') komşulukları
olsun.
U ∈ B (e) olduğundan V 2 ⊆ U sağlayan bir V ∈ B (e) komşuluğu vardır.
x. y ∈ V sağlayan x, y ∈ V elemanları alınsın. Bu durumda, x. y ∈V 2 ⊆ U olur.
x, e ∈ V ve y, e ∈ V olduğundan
olacaktır.
U ∈ B ( e)
x, y ∈ V 2 olur. V 2 ⊆ U olduğundan x, y ∈ U
komşuluğu
1.6.1.
Tanım
(i)
şıkkını
sağladığından
f ( x. y ) = f ( x). f ( y ) olur.
g = f |V : V → f (V ) = V '
dönüşümü
f :U → U '
dönüşümünün
kısıtlanışı
olduğundan g ( x. y ) = g ( x).g ( y ) eşitliği de sağlanacaktır.
O halde, (i) koşulu sağlayan V ∈ B (e) ve V ' ∈ B (e ') komşulukları vardır.
x '. y ' ∈V ' sağlayan x ', y ' ∈ V ' elemanları alınsın. f (V ) = V ' olduğundan f ( x) = x '
ve f ( y ) = y ' sağlayan x, y ∈ V elemanları vardır. Buradan da yukarıdakine benzer
biçimde, x, y ∈ U ve x. y ∈ U bulunur. 1.6.1. Tanım (i) koşulu sağlandığından
41
f ( x. y ) = f ( x). f ( y ) = x '. y '
eşitliği bulunur. Buradan,
f −1 ( f ( x. y )) = f −1 ( x '. y ')
eşitliği bulunacaktır. Bu durumda, x. y = f −1 ( x '). f −1 ( y ') = f −1 ( x '. y ') olur. x ', y ' ∈ V '
ve x, y ∈ V
elemanları için çalışıldığından g −1 ( x ').g −1 ( y ') = g −1 ( x '. y ') eşitliği
sağlanır.
O halde, (ii) koşulu sağlayan V ∈ B (e) ve V ' ∈ B (e ') komşulukları vardır.
1.6.5. Tanım: G bir topolojik uzay olsun. Belirli a, b, c ∈ G elemanları için,
i) a.b, (a.b).c, b.c, a.(b.c) ∈ G ise (a.b).c = a.(b.c) eşitliği sağlanır.
ii) a.b ∈ G ise her W ∈ B (a.b) için x ∈U , y ∈ V , x. y ∈ G ve x. y ∈ W sağlayan
U ∈ B (a ) ve V ∈ B (b) komşulukları vardır.
iii) a ∈ G iken e.a ∈ G ve e.a = a sağlayan e ∈ G elemanı G ’nin birim elemanıdır.
iv) a, b ∈ G eleman çifti için a.b ∈ G ve a.b = e ise a elemanına b elemanının sol
ters elemanı denir ve a = b −1 ile gösterilir. Eğer bir b elemanının sol ters elemanı
b −1 varsa her U ∈ B (b −1 ) için y −1 ∈ U sağlayan bir sol ters elemanı olan her y ∈ V
elemanı için bir V ∈ B (b) komşuluğu vardır,
koşullarını sağlayacak biçimde G uzayında a.b çarpımı tanımlı ise G kümesine
yerel grup denir.
1.6.6. Tanım: G bir yerel grup olsun.
Birim elemanın komşuluğuna G yerel grubunun bir parçası denir.
Ayrıca, bir yerel grubun her parçası kendi kendine bir yerel gruptur.
U kümesi G yerel grubunun bir parçası olsun. Bu durumda, a.b çarpımı G ’de
tanımlı ise U kümesinde de tanımlıdır, a.b ∈ U ve G ’nin birim elemanı e U
kümesinin de birim elemanıdır.
1.6.7. Tanım: G ve G ' iki yerel grup ve U ve U ' kümeleri sırasıyla G ve G '
yerel gruplarının parçaları olsun. Bir f : U → U ' homeomorfizması için,
i) a.b ∈ U ise f (a ). f (b) ∈ U ' ve f (a.b) = f (a ). f (b) sağlanır.
42
ii) e ve e ' sırasıyla U ve U ' kümelerinin birim elemanları olmak üzere f (e) = e '
eşitliği sağlanır.
iii) f : U → U ' dönüşümünün tersi f −1 dönüşümü i) ve ii) koşullarını sağlar,
koşullarını sağlayan f : U → U ' dönüşümüne G kümesinden G ' kümesine bir
yerel izomorfizma denir.
43
II. BÖLÜM
SINIRLI TOPOLOJİK GRUPLAR VE MIXED
TOPOLOJİK GRUPLAR
Bu bölüm sınırlı topolojik gruplar ve mixed topolojik gruplar başlıklı iki
kısma ayrılmıştır. İlk olarak, bir topolojik grubun sınırlı olması ile ilgili kavramlar ve
teoriler çalışılacaktır. Bu kısım çalışılırken Kazem Haghnejad Azar’ın “Bounded
Topological Groups” adlı çalışmasından, daha sonra iki topolojik grubun mixed
topoloji kavramını oluşturulan ikinci kısımda N.R.Das ve P.Das’ın “Mixed
Topological Groups” adlı çalışmasından yararlanılmıştır.
2.1. SINIRLI TOPOLOJİK GRUPLAR
Bu bölümde, bir topolojik grubun sınırlı alt kümeleri ve sınırlı kümelerin bazı
topolojik özellikler ile ilişkileri incelenecektir. Sınırlı kümelerin bir metriğe göre
sınırlı olması ile ilişkisi; sınırlılık, kompaktlık ve kapalılık ile ilgili teoremler ve
sonuçları çalışılacaktır.
Bu bölümde, bir kümenin tam kuvveti
E n = { x1.x2 ...xn
xi ∈ E , 1 ≤ i ≤ n}
biçiminde tanımlıdır.
Ayrıca, burada bir X topolojik uzayının hem açık hem de kapalı olan alt
kümelerinden oluşan bir tabanı varsa X topolojik uzayına O -boyutlu topolojik uzay
adı verilecektir.
2.1.1. Tanım: G bir topolojik grup ve E ⊆ G olsun.
G nin e birim elemanın her V komşuluğu için E ⊆ V n sağlayan bir n ∈
E kümesine G grubunun sınırlı alt kümesidir denir.
44
varsa
2.1.2. Önerme: G bir topolojik grup ve E ⊆ G olsun.
E sınırlı bir alt küme ise E
H
kümesi de sınırlıdır.
Kanıt: Her hangi bir V * ∈ B (e.H ) alınsın. ϕ : E → E
H
doğal dönüşümü sürekli ve
örten olduğundan ∃V ∈ B (e) ∋ ϕ (V ) = V * olacaktır.
E sınırlı bir küme olduğundan , E ⊆ V n0 sağlayan bir n0 ∈
ϕ ( E ) ⊆ ϕ (V n
0
vardır. Buradan,
) bulunur.
n
n
ϕ örten homomorfizma olduğundan, E H = ϕ ( E ) ⊆ ϕ (V ) = (V * ) elde edilir. O
0
halde, E
H
0
sınırlı bir kümedir.
2.1.3. Tanım: G bir grup, e G grubunun birim elemanı olsun.
Eğer g = d (e, g ) iken d ( g , g1 ) = g −1.g1 oluyorsa d metriğine G kümesi üzerinde
sol invariant metrik denir.
2.1.4. Teorem: G bir topolojik grup olsun. G sol invariant d metriğine göre
metriklenebiliyor ise G ’nin sınırlı bir topolojik grup olması için gerekli ve yeterli
koşul G kümesinin d metriğine göre sınırlı olmasıdır.
Kanıt: d sol invariant metrik olsun.
⇒ : G sınırlı topolojik grup olsun.
∀ε > 0 sayısı için,
(
)
d −1 0, ε ) = U × V sağlayan e birim elemanın U ve V komşulukları göz önüne
alınsın.
Bu durumda, W ⊆ U ∩ V sağlayan simetrik bir W ∈ B (e) komşuluğu vardır. G
sınırlı olduğundan
45
G ⊆ W n sağlayan bir n ∈
∃n ∈
sayısı vardır. W n ⊆ G her zaman doğru olduğundan
için G = W n bulunur.
W ⊆ U ∩V
olduğundan
(
W ⊆U
ve
W ⊆V
dir.
Dolayısıyla,
)
W × W ⊆ U × V = d −1 0, ε ) olacaktır.
(
)
Bu durumda, her ( x, y ) ∈ W × W için ( x, y ) ∈ d −1 0, ε ) dir. Bu durumda,
her ( x, y ) ∈ W × W için d ( x, y ) ∈ 0, ε ) olur. Buradan da, her ( x, y ) ∈ W × W için
d ( x, y ) < ε olduğu görülür.
∴ d (W × W ) < ε
olur.
∀x, y ∈ W 2 alınsın. Bu durumda, x = x1.x2 ve y = y1. y2 sağlayan ∃x1 , x2 , y1 , y2 ∈ W
elemanları vardır. Üçgen eşitsizliği kullanılarak,
d ( x, y ) = d ( x1.x2 , y1. y2 ) ≤ d ( x1.x2 , e) + d (e, y1. y2 ) ifadesi bulunur. d sol invariant
metrik olduğundan d ( x1.x2 , e) = d ( x2 , x1−1 ) ve d (e, y1. y2 ) = d ( y1−1 , y2 ) eşitlikleri
sağlanır.
W ∈ B (e) simetrik komşuluk ve x1 , y1 ∈ W olduğundan x1−1 , y1−1 ∈W bulunur. O
halde,
∀x, y ∈ W 2 için,
d ( x, y ) = d ( x1.x2 , y1. y2 ) ≤ d ( x1.x2 , e) + d (e, y1. y2 ) = d ( x2 , x1−1 ) + d ( y1−1 , y2 ) < ε + ε = 2ε
∴ d (W 2 × W 2 ) < 2ε
olur.
Benzer biçimde işlemler tekrarlandığında,
∀x, y ∈ W n için d (W n ,W n ) < n.ε olacaktır.
G = W n olduğundan d (G, G ) < n.ε bulunur.
∴ G kümesi d metriğine göre sınırlıdır.
⇐ : G , d metriğine göre sınırlı bir küme olsun. Bu durumda,
d (G × G ) < M sağlayan bir M > 0 gerçel sayısı vardır.
G nin sınırlı bir küme olduğu aşağıdaki gibi gösterilir.
46
∀U ∈ B (e) için, d −1 ([ 0, ε ) ) ⊆ U × U sağlayan bir
sağlayacak biçimde bir n ∈
ε >0
sayısı seçilirse n.ε > M
vardır.
d (G × G ) < M olduğundan G × G = d −1 ([ 0, M ) ) = d −1 ([ 0, n.ε ) ) ⊆ U n × U n
O halde, G = U n bulunur.
∴ G kümesi sınırlıdır.
2.1.5. Teorem: G topolojik grup ve H G olsun.
H ve G
H
sınırlı alt gruplar ise G grubu da sınırlıdır.
Her
Kanıt:
hangi
U ∈ B (e )
alınsın.
U ∩H =V
olsun.
Bu
durumda,
U ∩ H = V ∈ BH (e) olacaktır.
H ve G
(U H )
n
H
=G
kümeleri sınırlı olduğundan,
H
ve V m = H sağlayan n, m ∈
sayıları vardır.
∀x ∈ G alınsın.
x ∈ H ise, x ∈ V m ⊆ U m ⊆ U m .U n = U m + n
x ∉ H ise, x.H ∈ G
H
(
ve U
H)
n
=G
H
(
olduğundan x.H ∈ U
H)
n
olur. Buradan,
∃x1 , x2 ,..., xn ∈ U için x.H = x1.x2 ....xn .H sağlanır.
Bu eşitlik kullanılarak, x.h ∈ U n sağlayan bir h ∈ H olduğu görülür. Buradan,
x ∈ U n .H ⊆ U n .V m ⊆ U n .U m = U n + m bulunur.
∴ ∀x ∈ G için x ∈ U n + m bulunacağından G = U n + m elde edilir.
∴ G sınırlıdır.
2.1.6. Teorem: Yerel kompakt ve O − dimensional bir topolojik grup sınırsızdır.
Kanıt: G yerel kompakt, O − dimensional topolojik grup olsun.
G yerel kompakt olduğundan U kompakt , U ≠ G sağlayan bir U ∈ B (e) vardır.
47
G , O − boyutlu topolojik grup olduğundan U kümesi hem açık hem de kapalı olan
bir V ∈ B (e) komşuluğunu kapsar. O zaman,
V = V ⊆ U ⊆ U ve U kompakt olduğundan V kümesi de kompakt bulunur.
W .V ⊆ V sağlayan bir W ∈ B (e) komşuluğu vardır. W ∩ V = W0 olsun. Buradan,
W0 2 ⊆ W .V ⊆ V ⊆ U bulunur.
Tümevarım uygulanarak, her n ∈
için W0 n = W0 .W0 n −1 ⊆ W .V ⊆ V ⊆ U olduğu
görülür.
Buradan, W0 n ⊆ U olacaktır. U ≠ G olduğundan, W0 n ≠ G bulunur.
∴ G kümesi sınırlı değildir.
2.1.7. Önerme: G topolojik grup, E kümesi G nin sınırlı alt kümesi ise E kümesi
de sınırlıdır.
Kanıt: Her U ∈ B (e) için, V ⊆ U sağlayan bir V ∈ B (e) komşuluğu vardır.
E,
G ’nin sınırlı bir alt kümesi olduğundan bir n ∈
( )
Buradan, E ⊆ V n ⊆ V
n
için E ⊆ V n sağlanır.
olacaktır. V ⊆ U olduğu kullanılarak E ⊆ U n olduğu
görülür.
O halde, E sınırlı bir alt kümesidir.
2.1.8. Önerme: G sınırlı bir topolojik grup ise G bağlantılıdır ve G ’nin açık has
alt grubu yoktur.
Kanıt:
G sınırlı ise her V ∈ B (e) için V n = G sağlayan bir n ∈
vardır. Bu
durumda, bileşimleri G yi veren ayrık iki açık küme yoktur. O halde, G
bağlantılıdır.
U kümesi G ’nin açık has alt grubu olsun. Bu durumda,
48
e ∈ U olacağından U ∈ B (e) bulunur. G sınırlı olduğundan, U n = G sağlayan bir
n∈
vardır. U alt grup olduğundan U = U n olacaktır. Buradan, G = U bulunur. U
kümesi G ’nin has alt grubu idi. Çelişki.
∴ G ’nin açık has alt grubu yoktur.
2.1.9. Sonuç: Yerel kompakt bir topolojik grubun kapalı ve sınırlı her alt kümesi
kompakttır.
Bu grubun sınırlı her alt kümesinin kapanışı da kompakttır.
Kanıt: G topolojik grubu yerel kompakt olsun. Her V ∈ B (e) için U kompakt ve
U ⊆ V sağlayan U ∈ B (e) vardır. A kümesi kapalı ve sınırlı bir alt küme olsun. Bu
durumda, her V ∈ B (e) için A ⊆ V n sağlayan bir n ∈
vardır. Buradan, A
kümesinin de kompakt olduğu görülür.
E G nin sınırlı bir alt kümesi ise E kümesi kapalı olduğundan kompakttır.
2.1.10. Not: Her sınırlı topolojik grup kompakt değildir. Örneğin,
topolojik
grubu sınırlı ama kompakt değildir.
2.1.11. Teorem: Bir topolojik grupta birimin kompakt bileşeni sınırlıdır.
Kanıt: G bir topolojik grup, E birimin kompakt bir bileşeni olsun. 1.5.7.
Teoremden her U ∈ B (e)
∞
açık kümesi için
E ⊆ ∪U k
sağlanır. Buradan,
k =1
A = {U 1 , U 2 ,..., U n ,...}
ailesi E kümesinin bir açık örtüsü olur. E kompakt olduğundan A ailesinin
E ⊆ U 1 ∪ U 2 ∪ ... ∪ U n sağlayan,
{U ,U
1
2
,..., U n } biçiminde sonlu bir alt örtüsü
vardır. U 1 ∪ U 2 ∪ ... ∪ U n = U n olacağından her U ∈ B (e) için E ⊆ U n sağlayan bir
n∈
olduğu görülür.
49
O halde, E sınırlı bir alt kümedir.
2.1.12. Not: Yukarıdaki teoremden de anlaşılacağı gibi kompakt bir E kümesinin
sınırlı olması için gerekli koşulun E nin birimin bir bileşeni olmasıdır. Örneğin,
}
∃U = {0} ∈ B ({0})
n
{
= 0, 1,..., n − 1 ayrık topolojiye göre sınırlı değildir ama kompakttır.
sınırlı değildir.
n
için herhangi bir n ∈
alalım. n.{0} ≠
n
olduğundan
kümesi üzerindeki ayrık topolojinin 2n tane kümesi vardır.
n
n
kümesini örten herhangi bir açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü bulunacağı açıktır.
O halde,
n
kompakttır.
2.1.13. Teorem: G ve G ' topolojik gruplar ve π : G → G ' bir grup izomorfizması
olsun.
π sürekli ve E G nin sınırlı bir alt kümesi ise π ( E ) G ' grubunun sınırlı bir alt
kümesidir.
Kanıt: Her V ' ∈ B (e ') için π (e) = e ' olduğundan V ' ∈ B (π (e)) olur. π sürekli
olduğundan π −1 (V ') ∈ B (e) bulunur. E sınırlı olduğundan bir n ∈
E ⊆ (π −1 (V ') )
n
olacaktır.
π
nin
homomorfizma
olduğu
sayısı için
kullanılarak
E ⊆ π −1 ( (V ') n ) elde edilir. Buradan,
(
)
π ( E ) ⊆ π π −1 ( (V ') n ) ⊆ (V ') n olacağından π ( E ) sınırlı bir alt küme olur.
2.1.14. Tanım: G ve G ' topolojik gruplar, π : G → G ' bir dönüşüm olsun.
Eğer, G grubunun sınırlı her E alt kümesi için π ( E ) kümesi kompakt bir kümenin
alt kümesi oluyorsa π dönüşümüne kompakttır denir.
2.1.15. Teorem: G ve G ' topolojik gruplar, π : G → G ' sürekli bir grup
izomorfizması olsun.
Eğer, G ' yerel kompakt ise π dönüşümü kompakttır.
50
E G nin sınırlı bir alt kümesi olsun. 2.1.13. Teoremden π ( E ) kümesi
Kanıt:
sınırlıdır.
2.1.7. Önermeden π ( E ) kümesi de sınırlıdır. 2.1.9. Sonuçtan π ( E ) kompakttır.
π ( E ) ⊆ π ( E ) olduğu da kullanılarak π ( E ) kümesi kompakt bir kümenin alt kümesi
olacaktır.
∴ π dönüşümü kompakttır.
2.2. MIXED TOPOLOJİK GRUPLAR
Bir grup üzerinde farklı iki topoloji ile belirlenen iki topolojik grup varsa bu
topolojik gruplar yardımıyla yeni bir topolojik grup oluşturulabilir. Oluşturulan
topolojik grup “mixed topolojik grup” olarak adlandırılacaktır. Mixed topolojik grup;
bir topolojik grubun açık kümelerinden oluşan birim elemanın komşuluklar
ailesindeki kümelerin diğer topolojik grubun topolojisine göre kapanışlarını alarak
oluşturulan aile yardımıyla tek şekilde belirlenmektedir.
Bu bölümde, mixed topolojik grubun kurulması ile ilgili teorilerin yanında
topolojik kavramların mixed topolojik gruplara uygulandığı teoriler, örnekler ve
sonuçlar incelenmiştir. Öncelikle mixed topolojik grupların kuruluşu ve bazı
örnekleri incelenmiştir ayrıca N.R.Das ve P. Das’ın çalışmalarından faydalanılarak
2.2.4 örneği verilmiştir. Daha sonra biri diğerinden kaba (veya ince) iki topolojiye
sahip topolojik grupların mixed topolojisinin diğerleri ile kıyaslanabilir olması ilgili
bir teorem ve sonrasında en ince topoloji olan ayrık topoloji ve en kaba topoloji olan
ayrık olmayan topoloji kullanılarak bu teoremin bir uygulaması yapılmıştır. Son
olarak, N.R.Das ve P. Das’ın mixed topolojik gruplarda bölüm uzayı ile ilgili teoremi
çalışıldıktan sonra mixed topolojik gruplarda alt uzay ve çarpım uzayının elde
edilmesi ile ilgili 2.2.7. ve 2.2.9. teoremleri ispatlanmıştır.
51
2.2.1. Teorem: (G ,τ 1 ) ve (G,τ 2 ) iki topolojik grup olsun.
Nτ 2 = {V V birimin
τ 2 ’ye
göre açık komşuluğu} ailesi birimin temel
komşuluklar sistemi olsun. Nτ1 (τ 2 ) = { V
komşuluklarının
τ 1 ’e
τ1
τ 2 ’ye
V ∈ Nτ 2 } birimin
göre açık
göre kapanışlarını bulunduran aile ( G,τ 1 (τ 2 ) ) ’yi topolojik
grup yapan tek bir τ 1 (τ 2 ) topolojisi oluşturur.
Kanıt: G ∈τ 2 ve e ∈ G olduğundan G ∈ Nτ 2 dir ve
τ1
G = G olacağından
G ∈ Nτ1 (τ 2 ) bulunur. O halde, Nτ1 (τ 2 ) ≠ ∅ dır ve e ∉∅ olduğundan ∅ ∉ Nτ1 (τ 2 )
bulunur.
∀A, B ∈ Nτ1 (τ 2 ) ⇒ ∃VA , VB ∈ Nτ
2
∋ VA = A , VB = B
⇒ ∃VC ∈ Nτ
2
∋ VC ⊆ VA ∩ VB
⇒ ∃C = VC ∈ Nτ (τ ) ∋ VC ⊆ VA ∩ VB ⊆ VA ∩ VB
1 2
⇒ ∃C ∈ Nτ (τ )
1 2
∋ C ⊆ A ∩ B bulunur.
∴ Nτ1 (τ 2 ) ailesi G üzerinde bir süzgeç tabanıdır.
Bu süzgeç tabanının 1.2.5. Teoremin (i) , (ii) , (iii) koşullarını sağladığı aşağıdaki
gibi gösterilir.
i)
Her U ∈ Nτ1 (τ 2 ) alınsın ⇒ ∃V ∈ Nτ
2
∋ V =U
⇒ V = V −1 ∋ V = U
⇒ U = V = V −1
g :G → G
dönüşümü homeomorfizma olduğundan sürekli ve kapalı olup
x → x −1
( )
∀V ⊆ G için V −1 = g (V ) = g (V ) = V
−1
sağlanır. O halde, U = U −1 bulunur.
52
∴ Her U ∈ Nτ1 (τ 2 ) için U simetriktir.
ii)
Her A∈ Nτ1 (τ 2 )
⇒ ∃VA ∈ Nτ
⇒ ∃VB ∈ Nτ
2
⇒ ∃VB ∈ Nτ
∋ VA = A
2
∋ VB 2 ⊆ VA , VA = A
∋ (VB ) ⊆ VA , VA = A
2
2
⇒ B = VB ∈ Nτ1 (τ 2 )
∋
B2 ⊆ A
∴ ∀A ∈ Nτ1 (τ 2 ) için B = VB ∈ Nτ1 (τ 2 ) ∋ B 2 ⊆ A olur.
iii)
Her V ∈ Nτ1 (τ 2 ) ve
a ∈ G alınırsa
U = V sağlayan bir U ∈ Nτ
2
vardır.
1.2.5. Teoremden ∃U1 ∈ Nτ için U1 ⊆ a −1.U .a , U = V olacaktır. Buradan,
2
bir V1 = U1 ∈ Nτ (τ ) kümesi için, V1 = U1 ⊆ a −1.U .a ve U = V bulunur.
1 2
h : G → G , h( x) = a −1.x.a dönüşümünün sürekli ve kapalı olmasından her U ⊆ G
için h(U ) = h(U ) olduğunu biliyoruz. Böylece,
h(U ) = a −1.U .a = a −1.U .a = h(U )
eşitliğinden,
∃V1 ∈ Nτ (τ ) için V1 ⊆ a −1.U .a = a −1.V .a bulunur.
1 2
∴ ∀V ∈ Nτ1 (τ 2 ) ve a ∈ G için ∃V1 ∈ Nτ1 (τ 2 ) ∋
V1 ⊆ a −1.V .a olur.
∴ 1.2.5. Teorem koşulları sağlandığından Nτ1 (τ 2 ) ailesi ( G,τ 1 (τ 2 ) ) ’yi topolojik grup
kılan τ 1 (τ 2 ) ile tek şekilde belirli birimin temel komşuluklar sistemidir.
2.2.2. Tanım: 2.2.1. Teoremdeki gibi elde edilen topolojik gruba mixed topolojik
grup denir.
53
2.2.3. Teorem: (G ,τ 1 ) ve (G,τ 2 ) iki topolojik grup ve τ 1 ⊆ τ 2 ise
τ 1 ⊆ τ 1 (τ 2 ) ⊆ τ 2 ’dir.
(G ,τ 1 ) ve (G,τ 2 ) topolojik grupları kullanılarak (G,τ 1 (τ 2 )) mixed
Kanıt:
topolojik grubu elde edilir.
I : (G,τ 2 ) → (G,τ 1 (τ 2 )) birim dönüşümü göz önüne alınırsa,
∀V ∈ Nτ1 (τ 2 )
⇒ I −1 (V ) = V ⊇ V ∈ Nτ
2
⇒ I −1 (V ) = V ∈ Nτ
2
∴ Nτ1 (τ 2 ) ⊆ Nτ 2
∴
τ 1 (τ 2 ) ⊆ τ 2 bulunur.
(2.2.1)
{
}
Diğer taraf için, Nτ1 = U U ∈ B (e) ,U ∈τ 1′ olsun.
τ1 ⊆ τ 2
olduğundan ∀U ∈ Nτ için ∃V ∈ Nτ
1
2
∋ V ⊆U
Böylece, V ⊆ U bulunur. U kapalı olduğundan V ⊆ U olur.
∴ ∀U ∈ Nτ için ∃V ∈ Nτ1 (τ 2 ) ∋ V ⊆ U
1
∴
τ 1 ⊆ τ 1 (τ 2 )
bulunur.
(2.2.2)
∴ (2.2.1) ve (2.2.2)’den τ 1 ⊆ τ 1 (τ 2 ) ⊆ τ 2 bulunur.
2.2.4. Örnek:
i) τ 1 ayrık topoloji veya τ 2 ayrık olmayan topoloji ise
τ 1 (τ 2 ) = τ 2 ’dir.
(G ,τ 1 ) ayrık topolojik uzay, (G,τ 2 ) herhangi bir topolojik uzay olsun.
Nτ 2 = {U U ∈ B (e)}
{
} {
}
Nτ1 (τ 2 ) = U U ∈ Nτ 2 = U U ∈ Nτ 2 = Nτ 2
τ 1 (τ 2 ) = τ 2 bulunur.
(G ,τ 1 ) herhangi bir topolojik uzay, (G,τ 2 )
∴
54
ayrık olmayan topolojik uzay olsun.
Nτ 2 = {U U ∈ B (e)} = {G}
{
}
Nτ1 (τ 2 ) = U U ∈ Nτ 2 = {G} bulunur.
∴
τ 1 (τ 2 ) = τ 2
bulunur.
ii) τ 1 ayrık olmayan topoloji veya τ 2 ayrık topoloji ise
τ 1 (τ 2 ) = τ 1 ’dir.
Eşitlik yukarıdakine benzer şekilde gösterilebilir.
Bu iki örnek basit bir topolojik grup üzerinde uygulanacak olursa aşağıdakiler elde
edilir.
G = {i, −i,1, −1} kümesi ‘⋅ ’ işlemi ile bir gruptur.
τ = {∅, G, {1, −1} , {i, −i}} ailesi
G
üzerinde bir topolojidir. (G,τ , ⋅) bir topolojik gruptur.
τ 1 = τ , τ 2 = P (G) (τ 2 ayrık topoloji) olsun. τ 1 (τ 2 ) = τ 1 olduğunu görelim.
Nτ 2 = {{1} , {1, −1} , {1, i} , {1, −i} , {1, i, −i} , {1, −1, i} , {1, −1, −i} , G} ( 1 ’in τ 2 ’ye göre açık
komşulukları)
{
}
Nτ1 (τ 2 ) = U U ∈ Nτ 2 = {G, {1, −1}} ( Nτ 2 ’deki kümelerin τ 1 ’e göre kapanışları)
Nτ1 = {{1, −1} ,G} ( 1 ’in τ 1 ’ye göre açık komşulukları)
∴ Nτ1 (τ 2 )
τ1 = τ
= Nτ
1
∴
τ 1 (τ 2 ) = τ 1 bulunur.
,
τ 2 = {∅,G} (τ 2
ayrık olmayan topoloji) olsun.
τ 1 (τ 2 ) = τ 2
görelim.
Nτ 2 = {G} ( 1 ’in τ 2 ’ye göre açık komşulukları)
{
}
Nτ1 (τ 2 ) = U U ∈ Nτ 2 = {G} ( Nτ 2 ’deki kümelerin τ 1 ’e göre kapanışları )
∴ Nτ1 (τ 2 ) = Nτ 2
∴
τ 1 (τ 2 ) = τ 2 bulunur.
55
olduğunu
Aynı G kümesi üzerinde τ = {∅, G, {i}} topolojisini göz önüne alalım.
τ 1 = τ , τ 2 = P (G) (τ 2 ayrık topoloji) olsun. τ 1 (τ 2 ) = τ 1 oluyor mu?
Nτ 2 = {{1} , {1, −1} , {1, i} , {1, −i} , {1, i, −i} , {1, −1, i} , {1, −1, −i} , G} ( 1 ’in
τ 2 ’ye göre açık
komşulukları)
{
}
Nτ1 (τ 2 ) = U U ∈ Nτ 2 = {G, {1, −1, −i}} ( Nτ 2 ’deki kümelerin τ 1 ’e göre kapanışları )
Nτ1 = {G} ( 1 ’in τ 1 ’e göre açık komşulukları)
∴
τ 1 (τ 2 ) ≠ τ 2 bulunur.
(G,τ , ⋅) bir topolojik grup değildir. Eğer olsaydı, ayrık topoloji ile mixed topoloji
elde ettiğimizde yine kendisi çıkması gerekiyordu.
iii)
τ1 = τ 2
⇒
τ 1 (τ 2 ) = τ 1 = τ 2 ’ dir.
Nτ 2 = {U U ∈ B (e)}
{
Nτ1 (τ 2 ) = U U ∈ Nτ 2
}
Nτ 2 ’deki kümelerin τ 1 ’e göre kapanışı , τ 1 = τ 2 olduğundan τ 2 ’ye göre kapanışı ile
aynıdır.
O halde, Nτ1 (τ 2 ) = Nτ 2 bulunur.
∴
τ 1 (τ 2 ) = τ 2 = τ 1 ’ dir.
2.2.5. Teorem: (G ,τ 1 ) , (G,τ 2 )
τ1 ⊆ τ 2
sağlayan iki topolojik uzay olsun.
(G ,τ 1 ) T0 - uzayı ise (G,τ 1 (τ 2 )) uzayı da T0 - uzayıdır.
Kanıt: (G ,τ 1 ) T0 - uzayı olsun.
⇒ ∀x, y ∈ G ∋ x ≠ y için ∃U ∈τ 1 ∋ x ∈ U ve y ∉ U
⇒
τ1 ⊆τ1 (τ 2 )
∀x, y ∈ G ∋ x ≠ y için ∃U ∈τ 1 (τ 2 ) ∋ x ∈ U ve y ∉ U
∴ (G,τ 1 (τ 2 )) uzayı T0 - uzayıdır.
56
2.2.6. Teorem: (G ,τ 1 ) , (G,τ 2 ) ve (G,τ 1 (τ 2 )) topolojik gruplar ve G ’nin bir H
alt grubu için,
τˆ1 , τˆ2
ve
τ 1 ˆ(τ 2 )
aileleri G
H
üzerinde sırasıyla
τ1 , τ 2
ve
τ 1 (τ 2 )
topolojileri ile belirlenen bölüm topolojileri olsun. Bu durumda,
τ 1 ˆ(τ 2 ) = τˆ1 (τˆ2 )
(
eşitliği sağlanır.
φ : ( G,τ 1 (τ 2 ) ) → G H ,τ 1 (ˆτ 2 )
Kanıt:
)
doğal dönüşümünü sürekli kılan G
H
üzerindeki en ince topoloji τ 1 ˆ(τ 2 ) topolojisidir.
(
φ : ( G,τ 1 (τ 2 ) ) → G H ,τˆ1 (τˆ2 )
)
dönüşümün sürekli olduğu gösterilirse,
doğal dönüşümü göz önüne alınsın. Bu
τ 1 ˆ(τ 2 )
bu dönüşümü sürekli kılan en ince
topoloji olduğundan τˆ1 (τˆ2 ) ⊆ τ 1 (ˆτ 2 ) olacaktır.
∀A ∈ Nτˆ (τˆ
2)
1
birimin
τˆ1
alınırsa, ∃V .H ∈ Nτˆ
∋ A = V .H
τˆ1
olur. Burada , U .H
G
2
H
’daki
bölüm topolojisine göre açık komşulukları olmak üzere, 1.2.4.
τˆ1
Önermeden, V .H = ∩ (V .H ). (U .H ) biçiminde yazılır. Bu durumda,
τˆ1
φ −1 ( A) = φ −1 (V .H ) = φ −1 ∩ (V .H ). (U .H ) 
= φ −1 ∩ (V .U ).H 
= ∩ φ −1 (V .U ) .H 
= ∩ (V .U )
τ1
= V ∈ Nτ (τ )
1 2
olacaktır.
∴ ∀A ∈ Nτˆ (τˆ ) için φ −1 ( A) ∈ Nτ (τ
1
2
1
2)
(
olacağından φ : ( G,τ 1 (τ 2 ) ) → G
H
,τˆ1 (τˆ2 )
)
doğal dönüşümü süreklidir.
∴ τˆ1 (τˆ2 ) ⊆ τ 1 ˆ(τ 2 )
bulunur.
(2.2.3)
57
(
I: G
Tersine,
H
) (
,τˆ1 (τˆ2 ) → G
H
)
,τ 1 ˆ(τ 2 ) birim dönüşümünü göz önüne alınsın.
Bu dönüşümün sürekli olduğu gösterilirse, τ 1 ˆ(τ 2 ) ⊆ τˆ1 (τˆ2 ) olacaktır.
∀B ∈ N
alınsın. Bu durumda,
Önermeden
U birimin
τ1 ˆ(τ 2 )
τ 1 ’e
∃V ∈ Nτ (τ )
1 2
∋ B = V .H bulunur. 1.2.4.
göre açık komşuluğu olmak üzere,
V = ∩ (V .U )
olacaktır. O halde,
B = V .H = ( ∩ (V .U ) ) .H
= ∩ ( (V .U ) .H )
= ∩ (V .H ).(U .H )
τˆ
= V .H 1 ∈ Nτˆ (τˆ ) olur.
1 2
Buradan da, I −1 ( B) = B ∈ Nτˆ (τˆ ) bulunur.
1 2
∴ I birim dönüşümü süreklidir.
τ 1 ˆ(τ 2 ) ⊆ τˆ1 (τˆ2 )
∴
bulunur.
(2.2.4)
τ 1 ˆ(τ 2 ) = τˆ1 (τˆ2 )
(2.2.3) ve (2.2.4)’den
eşitliği gerçeklenir.
2.2.7. Teorem: (G ,τ 1 ) , (G,τ 2 ) ve (G,τ 1 (τ 2 )) birer topolojik grup ve G ’nin bir H
alt grubu için;
τ1
H
τ2
,
H
ve
(τ 1 (τ 2 ))H
aileleri sırasıyla
τ1
,
τ2
ve
τ 1 (τ 2 )
topolojilerinin H üzerine indirgediği alt topolojileri olsun. Bu durumda,
(τ 1 (τ 2 ))H = τ 1 (τ 2 )
H
Kanıt:
eşitliği sağlanır.
H
(
)
i : H , (τ 1 (τ 2 )) H → ( G,τ 1 (τ 2 ) ) içerme dönüşümünü sürekli kılan H
üzerindeki en kaba topoloji
(
(τ 1 (τ 2 ))H
topolojisidir.
)
i : H ,τ 1H (τ 2H ) → ( G,τ 1 (τ 2 ) ) içerme dönüşümü göz önüne alınsın. Bu
dönüşümün sürekli olduğu gösterilirse
topoloji olduğundan
(τ 1 (τ 2 ))H
(τ 1 (τ 2 )) H ⊆ τ 1 (τ 2
H
H
bu dönüşümü sürekli kılan en kaba
) olacaktır.
58
∀W ∈ Nτ (τ ) alalım ⇒ ∃V ∈ Nτ
2
1 2
∋ W =V
⇒ ∃V ∩ H ∈ Nτ
⇒ ∃V ∩ H ∈ Nτ
τ1
τ1
∋ W ∩ H =V ∩ H =V ∩ H
2H
∋ W ∩ H =V ∩ H
2H
τ1 H
τ1 H
∈ Nτ (τ )
1H
2H
⇒ i −1 (W ) = W ∩ H ∈ Nτ (τ )
1H 2 H
∴ i : ( H ,τ 1 (τ 2 ) ) → ( G,τ 1 (τ 2 ) ) içerme dönüşümü sürekli bulunur.
H
H
∴ (τ 1 (τ 2 ))H ⊆ τ 1 (τ 2
H
H
) olur.
(2.2.5)
Tersine,
(
I: G
H
) (
, (τ 1 (τ 2 ) ) H → G
∀W ∩ H ∈ Nτ (τ ) alınırsa,
1H 2 H
H
)
,τ 1H (τ 2H ) birim dönüşümü göz önüne alınsın.
∃V ∩ H ∈ Nτ
∋ W ∩ H =V ∩ H
2H
τ
I −1 (W ∩ H ) = W ∩ H = V 1 ∩ H ∈ N(τ (τ ))
1 2 H
Buradan da,
τ1H
olur.
olacak biçimde bir
∃V ∈ Nτ vardır.
2
∴ I birim dönüşümü süreklidir.
∴
τ 1 (τ 2
H
H
) ⊆ (τ 1 (τ 2 )) H bulunur.
∴ (2.2.5) ve (2.2.6)’den
(2.2.6)
(τ 1 (τ 2 ))H = τ 1 (τ 2 )
H
H
eşitliği gerçeklenir.
2.2.8. Önerme: I indeks kümesi olmak üzere, her i ∈ I için Gi kümeleri topolojik
grup olsun.
G = ∏ Gi kümesi üzerindeki çarpım topolojisi ile bir topolojik gruptur.
i∈I
59
Kanıt: G = ∏ Gi kümesinin topolojik grup olduğunu göstermek için,
i∈I
f :G×G → G
f ( x, y ) = x. y −1
,
biçiminde tanımlı dönüşümün sürekliliğini
göstermek yeterlidir.
Herhangi bir W ∈ B( x. y −1 ) komşuluğu alınsın. Bu durumda,
x. y −1 ∈ U ⊆ W
sağlayan bir U açık kümesi vardır. U kümesi G = ∏ Gi çarpım uzayının açık
i∈I
kümesi olduğundan, J = {iα | α = 1, 2,..., n} ⊆ I sonlu kümesi için i ∉ J ise U i = Gi
, i ∈ J ise U i ∈ B( xi . yi −1 ) açık komşuluk olmak üzere U = ∏ U i biçimindedir.
i∈I
i∈J
için
Gi
f i ( xi , yi ) = xi . yi −1
kümeleri
topolojik
grup
f i : Gi × Gi → Gi
olduğundan
dönüşümleri süreklidir. Bu durumda,
i∈J
,
olmak üzere
U i ∈ B( xi . yi −1 ) açık komşulukları için Ai .Bi−1 ⊆ U i sağlayan Ai ∈ B( xi ) ve Bi ∈ B( yi )
açık komşulukları vardır. i ∉ J olmak üzere Ai = Gi ve Bi = Gi olsun. A = ∏ Ai ve
i∈I
B = ∏ Bi ile gösterilsin. A = ∏ Ai ∈ B( x) ve B = ∏ Bi ∈ B( y ) olacaktır. Buradan
i∈I
i∈I
i∈I
da, A.B −1 = ∏ Ai .Bi−1 ⊆∏ U i = U bulunur.
i∈I
i∈I
O halde, G = ∏ Gi kümesi bir topolojik gruptur.
i∈I
2.2.9. Teorem:
(G ,τ 1 ) , (G,τ 2 ) ve (G,τ 1 (τ 2 )) topolojik gruplar olsun. G × G
üzerinde τ 1 ile elde edilen çarpım topolojisi P1 ,
τ2
ile elde edilen çarpım topolojisi
P2 ve τ 1 (τ 2 ) ile elde edilen çarpım topolojisi P12 ile gösterilirse,
P1 (P2 ) = P12 eşitliği sağlanır.
Kanıt: G × G üzerindeki çarpım topolojileri τ 1 ,τ 2 ve τ 1 (τ 2 ) topolojileri
yardımıyla elde edilmesi önce 2.2.1. şekilde gösterildiği gibi venn şemaları ile ifade
edilmiş daha sonra bu topolojiler elde edilmeye çalışılmıştır.
60
61
2.2.1. Şekil: G kümesi üzerindeki
τ1 , τ 2
ve
τ 1 (τ 2 )
topolojileri yardımıyla sırasıyla
G × G kümesi üzerinde P1 , P2 ve P12 çarpım topolojilerinin elde edilmesi Venn şemaları
S1 = {π i−1 (U ) U ∈τ 1 , i = 1, 2} = {T1 × G, G × T1 T1 ∈τ 1}
ailesini alt taban kabul eden en kaba topoloji π i izdüşüm fonksiyonlarını sürekli
kılan izdüşel topolojidir. Ayrıca,
i = 1, 2 için; x ∈ π i−1 (T1 ) ⇒ π i ( x) ∈ T1 ⇒ xi ∈ T1
olacaktır. Bu durumda,
i = 1 için π 1−1 (T1 ) = T1 × G ’dir.
i = 2 için π 2−1 (T1 ) = G × T1 ’dir.
B = {T1 × T1 T1 ∈τ 1} tabanı ile
B* = P1 = {∪ (T1 × T1 ) T1 ∈τ 1} çarpım topolojisi
bulunur.
Benzer şekilde, P2 = {∪ (T2 × T2 ) T2 ∈τ 2 } ve P12 = {∪ (T12 × T12 ) T12 ∈τ 1 (τ 2 )} çarpım
topolojileri bulunur.
π 1 ve π 2 izdüşüm fonksiyonlarını sürekli kılan G × G üzerindeki en kaba
topoloji P12 olduğundan π 1 : (G × G, P1 (P2 )) → (G,τ 1 (τ 2 )) ve
62
π 2 : (G × G, P1 (P2 )) → (G,τ 1 (τ 2 )) dönüşümlerinin sürekli olduğu gösterilirse
P12 ⊆ P1 (P2 ) olacaktır.
İlk olarak, π 1 : (G × G, P1 (P2 )) → (G,τ 1 (τ 2 )) izdüşüm fonksiyonu göz önüne
alınsın.
∀N ∈ Nτ (τ ) ⇒ ∃V ∈ Nτ ∋ N = V
1 2
2
⇒ ∃V × V ∈ NP2 ∋ N × N = V × V
⇒ ∃V × V ∈ NP2 ∋ N × N = V × V
⇒ ∃V × V ∈ NP2 ∋ N × N ∈NP1 ( P2 )
⇒ π 1−1 ( N ) = N × G ⊃ N × N ∈NP1 ( P2 )
⇒ π 1−1 ( N ) ∈NP1 ( P2 )
∴ π 1 süreklidir.
Benzer şekilde π 2 ’de süreklidir.
∴ P12 ⊆ P1 (P2 )
Tersine,
(2.2.7)
I : (G × G, P12 ) → (G × G, P1 (P2 )) birim dönüşümünün sürekli olduğu
gösterilirse P1 (P2 ) ⊆ P12 olduğu bulunur.
∀N × M ∈ NP1 ( P2 ) ⇒ ∃V × W ∈ NP2
⇒ ∃V ,W ∈ Nτ
⇒ ∃V ,W ∈ Nτ
∋ N × M = V ×W
τ1
2
∋ N × M = V ×W
τ1
2
P1
τ1
∋ N =V , M =W
τ1
⇒ N ∈ Nτ (τ ) , M ∈ Nτ (τ )
1 2
1 2
⇒ N × M ∈ NP12
⇒ I −1 ( N × M ) = N × M ∈ NP12
∴ I birim fonksiyonu süreklidir.
∴ P1 (P2 ) ⊆ P12
(2.2.8)
∴ (2.2.7) ve (2.2.8)’den P1 (P2 ) = P12 bulunur.
63
KAYNAKLAR
1. Azar K. H., 2010, Bounded Topological Groups,
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1003/1003.2876v1.pdf
2. Bourbaki N., 1966, “General topology”, Addison-Wesley Publishing
Company
3. Burago D., Burago Y. and Ivanov S., 2001, “A course in metric geometry”,
American Mathematical Society
4. Das N.R. and Das P., 1991, Mixed Topological Groups, Indian J. Pure appl.
Math., 22(4):323-329
5. Joseph J. Rotman, 1978, The Theory of Groups, Allyn and Bacon Series in
Advanced Mathematics.
6. Herstein I.N., 1975, Topics in Algebra 2nd edition, John Wiley and Sons
7. Karaçay T., 2009, “Genel topoloji”, Ttm, Kuban Matbaacılık Yayıncılık
8. McCartney G. , 2006, “Topology: An introduction with application to
topological groups”, Mc Graw Hill Publ.
9. Pontryagin L.S., 1986, “Selected works topological groups third edition”,
Gordon and Breach Science Publishers
10. Simmons G.F. ,1963, “Introduction to topology and modern analysis”,
McGraw-Hill Inc.
11. Taqdir Hussain,1966,“Introduction to the topological groups”, W.B. Saunders
Company
64
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER
Adı Soyadı: G.Gözde YILMAZGÜÇ
Uyruğu: T.C.
Doğum Tarihi ve Yeri: 02.11.1986, Fatih/İST.
E-mail: gozdeyilmazguc@hotmail.com
EĞİTİM DURUMU
İlkokul: Çapa Müfredat Laboratuar İlköğretim Okulu, 1997
Ortaokul: Abdülhak Hamit Müfredat Laboratuar İlköğretim Okulu , 2000
Lise: Sakıp Sabancı Anadolu Lisesi, 2004
Lisans: Trakya Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, 2008
Yüksek Lisans: Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 2011
Yabancı Dil: İngilizce
65