NÖNÜ ÜNVERSTES - Prof. Dr. İlhan İÇEN

İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ
Fen-Ed. Fakültesi-Matematik Bölümü-Topoloji I Final Sınav Soruları
29.12.2015
Prof.Dr. İlhan İÇEN
Adı Soyadı:
Numarası:
İmzası:
S.1)
Açık yuvar, açık küme, bir kümenin kapanışı, açık dönüşüm kavramlarını tanımlayarak, Π X
izdüşüm fonksiyonunun kapalı olamayacağına dair örnek veriniz. (15p.)
(𝑋, 𝑃(𝑋)) ayrık topolojik uzay ve (𝑌, 𝜏) sonlu tümleyenler topolojisine sahip uzay olmak
üzere 𝑓: (𝑋, 𝑃(𝑋)) ⟶ (𝑌, 𝜏) fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz .(10p.)
S.2)
(Y, d’) bir metrik, f, X den Y ye bire-bir fonksiyon ise d(x,y) = d’(f(x), f(y)) X üzerinde bir
metriktir. Gösteriniz. (10 p.)
−3, 𝑥 < 0
S.4) (ℝ, 𝒰) standart topolojik uzay olmak üzere 𝑓(𝑥) = { 𝑥
şeklinde tanımlı
𝑒 , 𝑥≥0
𝑓: (ℝ, 𝒰) ⟶ (ℝ, 𝒰) fonksiyonu sürekli midir ? (15 p.)
S.3)
S.5)
𝑋 = {1,2,3,4,5} ve 𝑌 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} olmak üzere 𝑓: 𝑋 ⟶ 𝑌 fonksiyonu 𝑓(1) = 𝑓(2) = 𝑎 ,
𝑓(3) = 𝑏 , 𝑓(4) = 𝑐 , 𝑓(5) = 𝑑 şeklinde tanımlansın.
a) 𝑋 üzerindeki topoloji ayrık topoloji ise 𝜏𝑓 bölüm topolojisini bulunuz. (10 p.)
b) 𝑋 üzerindeki topoloji kaba topoloji ise 𝜏𝑓 bölüm topolojisini bulunuz. (10 p.)
S.6)
S.7)
Her kapalı yuvarın kapalı küme olduğunu ispatlayınız. (15 p.)
𝑋 = {𝑎, 𝑏} , 𝜏1 = {𝑋, ∅, {𝑎}} ve 𝑌 = {𝑥, 𝑦} , 𝜏2 = {𝑌, ∅, {𝑥}} olmak üzere 𝑋 × 𝑌 üzerindeki
çarpım topolojisi 𝜏ç = 𝜏1 × 𝜏2 yi bulunuz.(15 p.)
(Cevap için arka sayfayı kullanınız)