JEODEZİ (METEOROLOJİ MÜHENDİSLİĞİ)

METEOROLOJİ MÜHENDİSLERİ İÇİN
JEODEZİ
Doç.Dr. Ersoy ARSLAN
5.1- GİRİŞ
Saat dairesi =
Deklinasyon
Dairesi
KGK
90-
t
a
90-
h
Gök
meridyeni
a
z
q
Z

S
Düşey
daire


Gök Ekvatoru
Gök Ufku
N
GGK
Şekil : 5.1 - Astronomik üçgen

Yerküre üzerinde A , B ve Kuzey Kutup (veya Güney
Kutup) noktalarının oluşturduğu üçgen bir küresel
üçgendir. Bu üçgenin kenarları, küresel coğrafi enlemi
A , küresel coğrafi boylamı A olan A noktası ile
Kuzey Kutup arasında kalan kenarı meridyen dairesi
üzerinde (90-A), enlemi B , boylamı B olan B
noktası ile Kuzey Kutup arasında meridyen üzerinde
(90-B), A ve B noktaları arasında büyük daire yayı
üzerinde SAB dir. Bu üçgenin açıları, Kuzey Kutup
noktasında A noktasından ve B noktasından geçen
meridyenler arasındaki  = B - A boylam farkı; A
noktasında, bu noktadan geçen meridyenle A ve B
noktalarını birleştiren büyük daire yayı arasındaki 
açısı (bu açı SAB kenarının azimutudur) ve
B
noktasında, bu noktadan geçen meridyenle SAB kenarı
arasında kalan  açısıdır. Bu açı SBA kenarının
azimutunun 360 den farkına eşittir.
KK
90-B

Greenwich
B
90-A
SAB
B
A
A
A
B
Ekvator
GK
Şekil : 5.2 – Yerküre üzerinde A , B ve KK noktalarının
oluşturduğu küresel üçgen

Gök küre üzerinde Astronomik üçgen ve
yerküre üzerinde iki noktanın ve kuzey kutup
(veya güney kutup) noktasının oluşturduğu
üçgen bir küresel üçgendir ve bu üçgenin
çözümünde Küresel Trigonometri kuralları
geçerlidir. Bu nedenle astronomik üçgen
çözümlerine geçmeden önce küresel
trigonometri ve küresel üçgen ile ilgili bazı
tanım ve kavramların bilinmesi gerekmektedir.
Bunlar kısaca aşağıda verilmektedir.
5.2- KÜRESEL ÜÇGEN VE TRİGONOMETRİK
BAĞINTILAR
5.2.1- Temel Kavramlar
a) Bir küre yüzünün, bu kürenin merkezinden geçen bir düzlemle ara
kesitine büyük daire denir
b) Bir küre yüzünde iki noktayı birleştiren en kısa yol, bu noktalardan
geçen ve yarım daireden küçük olan kesimi olarak bir büyük daire
yayıdır (Şekil 5.3). O halde bu büyük daire yayının merkez açısı c, her
zaman c  180° dir.
Küre yüzünde büyük ve küçük daireler
c) Küre üzerinde iki nokta, bir
küre çapının küreyi deldiği iki
nokta ise, bu noktaları
birleştiren en kısa yol yarım
dairedir ve sonsuz sayıdadır. Bu
yarım dairelerden ikisinin
oluşturduğu şekle “küre
dilimi” ya da “ikigen” denir.
Küre dilimlerini oluşturan
düzlemlerin arasındaki açı a
ise, kürenin tüm alanı 4r2
olduğuna göre, bir ikigenin alanı
(Şekil 5.4)
4r 2 0
0 2
D
  2 0 r (5.1)
0
360

eşitliği ile verilmiştir.
Burada r = kürenin yarıçapı,
180
0
 
= (Ro derece) dir

d) Kürenin bir
büyük dairesine dik
olan küre çapının
küreyi deldiği
noktalar, o büyük
dairenin
kutuplarıdır.
( Şekil: 5.5).
Küre yüzünde aynı büyük daire üstünde olmayan A,
B, C gibi üç noktayı birbirleri ile en kısa yoldan
birleştiren büyük daire yaylarının oluşturduğu kapalı
şekle “EULER küresel üçgeni” denir.
Bu üç noktayı birleştiren ve merkez
açısı 180° den küçük olan büyük
daire yayları küresel üçgenin
kenarlarıdır.
Küresel üçgenin kenarlarını içine
alan düzlemler arasındaki açılar,
küresel üçgenin açılarıdır.
Üçgenin A, B ve C noktalarında iç
ve dış açı olmak üzere böyle iki açı
vardır. Üçgenin kenarları yarım
daire yayından (kenarlara karşılık
merkez açıları 180° den) büyük
olamayacağına göre, bir küresel
üçgenin iç açıları da 180°den büyük
olamaz.
Bu durumda Euler üçgeni, kenarları
yarım daire yayından küçük ve iç
açıları 180° den küçük olan küresel
üçgendir. Bundan böyle, küresel
üçgen denince Euler üçgeni
kastedilmiş olacaktır. (Şekil : 5.6).
Bir küresel üçgenin kenarları, her kenarın merkez açısı büyüklüğü ile,
açı cinsinden ifade edilir.
Bir kenar açı derecesi cinsinden verilmiş olup uzunluk biriminde ifade
edilmek istenirse,
2r 0 
a a
0
360
 a0 0
ve (5.2) den a  0 r

(5.3)
eşitliği ile bulunur.
Üçgen kenarı uzunluk biriminden verilmişse, (5.3) den

a 0
0
(5.4)
a  
r
ile açı derecesi cinsinden elde edilir.
Açı, grad cinsinden ifade ediliyorsa,
 2r g a
a
a  gr
400

(5.5)
g
olur. Burada

200
 g
(Ro grad) dır.
(5.6)
f) Bir küresel üçgenin A, B
ve C noktalarından geçen
küre çaplarının
uzantılarının küreyi
deldiği noktalarla ikinci
bir A', B', C' üçgeni
meydana gelir. Bu üçgene
A, B, C üçgeninin “taban
üçgeni” denir ve bu iki
üçgenin küre simetrili açı
ve kenarları birbirlerine
eşittir. Böylece alanları da
birbirlerine eşit olacaktır
(Şekil : 5.7).
Bir küresel üçgenin alanı: (Şekil : 5.7 den),
ABC üçgeninin alanı
F
F
r2
F
r2


(      )
(      180 )

         180
Böylece
ve (5.2) ile
F
r2


(5.7) elde edilir.
Küresel Fazlalık (Ekses) adını alır.
F
(5.8) ve  (ekses)  2  olur.
r










Bu açıklamalara göre bir EULER üçgeninde:
Üçgen açıları, , ,   180 ve 3x180 = 540 ile
++  540 olur.
O halde (8) den 0   < 540- 180
0   < 360 olacaktır.
 = 0 olursa, açıların toplamı ++ = 180 olur.
Böylece
180< ++  540 olur.
(5.10)
 = 360 için yarım küre alanıdır. O halde küresel
üçgen alanı en çok yarım küre alanı, bu halde kenarların
toplamı da en çok 360 olur.
Yani
a, b, c  180 (e maddesine bakınız)
ve
0 < a+b+c  360 dir. (5.11)

Bir küresel üçgenin A, B
ve C köşeleri ile M küre
merkezinin oluşturduğu
şekle “üç yüzlü” denir.


Bir üç yüzlünün iç yüzlerine M merkezinde dik olan küre
yarıçaplarının küre yüzündeki uçları küresel üçgeni
oluştururlar. Bu üçgene A,B,C üçgeninin “kutupsal” ya da
“bütünler” üçgeni denir.
ABC küresel üçgeni ile bunun bütünleri olan (ABC)
küresel üçgeni elemanları arasında şu bağıntılar vardır:
a    180
a    180
b    180
b    180
c    180
c    180

5.2.2- Küresel Üçgen Teoremleri
Bir küresel üçgenin üçü kenar ve üçü de açı olmak üzere
altı elemanı vardır. Küresel trigonometri bu elemanlar
arasındaki bağıntıları inceler. Küresel trigonometride
dört temel teorem vardır. Küresel üçgenlerin çözümü
için gerekli eşitlikler bu dört temel teoremden
yaralanılarak çıkarılırlar. Bu teoremler ispatsız olarak
aşağıda kısaca verilecektir. Bunlara ilişkin ayrıntılı
bilgiler Küresel Trigonometri kitaplarında mevcuttur.

1- Sinüs Teoremi:
Küresel üçgenin kenarları büyük daire
yaylarından oluşmaktadır ve değerleri bu yayı
gören merkez açı ile ifade edilir. Buna göre
kenarları sırası ile a, b, c ve açıları , ,  olan
bir küresel üçgende bu elemanlar arasında
sin a sin b sin c


 M  sabit
sin  sin  sin 
bağıntısı vardır. Bu bağıntı küresel üçgende
sinüs teoremi olarak adlandırılır. M sabit değeri
küresel üçgenin modülü olarak adlandırılır.

2- Kosinüs Teoremi:
a) Kenar Kosinüs Teoremi
cos a  cos b cos c  sin bsin c cos
cos b  cos a cos c  sin a sin c cos 
cos c  cos a cos b  sin a sin b cos 

b) Açı Kosinüs Teoremi
cos    cos  cos   sin  sin  cos a
cos    cos  cos   sin  sin  cos b
cos    cos  cos   sin  sin  cos c

3- Sinüs-Kosinüs Teoremi:
sin(1)cos(2)  cos(5) sin(3)  sin(5) cos(3)cos(4)
Kenarlarından başlanarak küresel üçgenin elemanları saat ibresi
yönünde numaralanırsa yukarıdaki eşitlik uygulanarak
sin a cos   cos c sin b  sin c cos b cos 

gibi üç eşitlik elde edilir.
Yine kenarlardan başlanarak bu defa saat ibresinin ters yönünde
numaralanırsa yukarıdaki eşitlik uygulanarak
sin a cos   cos b sin c  sin b cos c cos 
gibi üç eşitlik daha elde edilir.

Küresel üçgen elemanları bu defa açılardan
başlanarak önce saat ibresi yönünde, sonra da
saat ibresinin ters yönünde numaralanacak olursa
yine yukarıdaki eşitlik uygulanarak
sin  cos b  cos  sin   sin  cos  cos a
gibi 6 eşitlik daha elde edilir.
4- Dört Parça (ya da Kotanjant) Teoremi:
cos(3)cos(2)  sin(3)cot(1)  sin(2)cot(4)

Bir küresel üçgenin elemanları kenardan başlanarak saat
ibresi yönünde numaralanırsa yukarıdaki eşitlikle 3 eşitlik ve
saat ibresinin ters yönünde numaralanırsa 3 eşitlik daha
olmak üzere
cos c cos   sin c cot b  sin  cot 

gibi toplam 6 eşitlik elde edilir.
Bu dört temel teoremden yararlanılarak birçok bilim adamı
tarafından küresel üçgenlerin çözümünü kolaylaştıran daha
değişik eşitlikler türetilmiştir. Bu eşitlikler genellikle eşitliği
türeten bilim adamının ismi ile adlandırılırlar. Örneğin
Neper eşitlikleri, Delambre-Mollweide formülleri gibi. Bu
eşitliklerle ilgili ayrıntılı bilgi küresel trigonometri
kitaplarında bulunabilir.
5.2.3- Küresel üçgenin özellikleri
Bir küresel üçgenin açı ve kenarlarının 180 den büyük
olamayacağı gibi bazı özellikleri daha önce söylendi.
Elemanlar arasında bunlara benzer daha bazı özellikler
vardır ki, üçgen çözümlerinde büyük önem taşırlar. Bunlar
sıra ile :
a) Bir küresel üçgende iki kenarın toplamı üçüncü kenardan
büyüktür. Yani,
b + c > a, a + c > b, a + b > c
b) Bir küresel üçgende üç kenarın toplamı 360 den küçüktür.
Yani,
a + b + c < 360
c) Bir küresel üçgenin iki açısının toplamı üçüncü açının 180
ile toplamından küçük, 180 den farkından büyüktür.
Yani,
180-  <  +  < 180+ 

d) Bir küresel üçgende eşit kenar karşısında eşit açı, eşit açı karşısında eşit
kenar bulunur.
Yani,
a = b ise  = 
 =  ise a = b
e) Bir küresel üçgende büyük kenar karşısında büyük açı bulunur. Yani,
a > b ise  > 
f) Bir küresel üçgende iki kenarın toplamı 180 den büyük ya da küçükse,
bu kenarlar
karşısındaki kenarlar da aynı özelliği taşırlar. Yani,
a + b  180 ise  +   180
a + b  180 ise  +   180
g)   1 (     ) denirse, açıların  dan farkları -90 ile +90
2
arasındadır. Yani,
 =  -  ,
  =  -  ,  =  - 
olmak üzere
-90 <  < +90 , -90 <  < +90 , -90 <  < +90
dır.
5.2.4- Küresel üçgen halleri

1)
2)
3)
4)
5)
6)
Bir küresel üçgenin a, b, c kenarları ve , ,  açıları olmak üzere altı
elemanı vardır. Bu elemanlardan herhangi üçü biliniyorsa, diğer üç
elemanı bunlara bağlı olarak bulunabilir. Verilen elemanlara göre altı
durum vardır. Bunlar aşağıdaki gibi sıralanabilir.
Verilen elemanlar:
Üç kenar a, b, c (K.K.K) (Kenar, Kenar, Kenar)
Üç açı , ,  (A.A.A) (Açı, Açı, Açı)
Bu üçgenin kutupsalının üç kenarı biliniyor demektir. Yeni bir durum
sayılmaz.
Iki kenar ve aralarındaki açı, örneğin a, , b (K.A.K) (Kenar; Açı,
Kenar)
Bir kenar ve bu kenara komşu açılar, örneğin , c,  (A.K.A) (Açı,
Kenar, Açı)
Bu üçgenin kutupsalının üç kenarı biliniyor demektir. Yeni bir durum
sayılmaz.
Iki kenar ve bu kenarlardan birisi karşısındaki açı, örneğin a, b, 
veya , a, b (K.K.A)=(A.K.K)
Iki açı ve bu açılardan birisi karşısındaki kenar. Örneğin , , a veya
b, , , (A.A.K)=(K.A.A)
5.3 - ASTRONOMİK ÜÇGEN ÇÖZÜMLERİ
Gök cismi (güneş) meridyenin batısında iken oluşan astronomik
üçgen Şekil 5.10 a’ da, ve güneş meridyenin doğusunda iken oluşan
astronomik üçgen Şekil 5.10 b’ de görülmektedir.
Saat dairesi =
Deklinasyon
Dairesi
KGK
t
a
90-
a
z
q
h
Gök
meridyeni
Gök
meridyeni
Düşey
daire

a
90-
z
q


S
t
a
Z
Z
S
Düşey
daire

Gök Ufku
h


Gök Ekvatoru
Saat dairesi =
Deklinasyon
Dairesi
KGK
90-
90-
Gök Ekvatoru
Gök Ufku
N
N
GGK
a)Yıldız (Güneş) batıda
GGK
Yıldız (Güneş) doğuda


Şekil : 5.10 - Yıldız meridyenin batısında ve
doğusunda iken oluşan astronomik üçgenler
Güneşin meridyenin doğusunda ve batısında
olduğu zamanlarda oluşan ve yukarıda gök küre
üzerinde gösterilen astronomik üçgenler basit
olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir (Şekil 5.11 ab).
KGK
KGK
t
t
90-
t
90-
S
Düşey
Daire
90-
90-
q
q
z = 90-h
a
a
Z
z = 90-h
S
Düşey
Daire
Z
a
Saat Dairesi
Meridyen
a) Yıldız (Güneş) batıda
Meridyen
Saat Dairesi
b) Yıldız (Güneş) doğuda
Şekil : 5.11 - Yıldız meridyenin batısında ve doğusunda iken oluşan
astronomik üçgenler


Elemanları yukarda tanımlanan ve Şekil 5.10 ve 5.11’de
gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen
olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum
ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik
üçgen için de geçerlidir.
Astronomik üçgen için de altı üçgen hali vardır.
Astronomik üçgenin verilen veya ölçülen elemanları
yukarıda ayrıntılı olarak açıklanan hallerden hangisine
uyuyorsa verilen eşitlikler kullanılarak çözüm yapılır.
Astronomik üçgenin verilen elemanlarına göre bu altı
hal ve çözümleri özet olarak aşağıda gösterilmiştir.

1.Hal :

Verilenler: , t, 
Arananlar: z, a
Çözüm:
cos z  sin  sin   cos  cos  cos t
eşitliğinden z zenit uzaklığı,
sin  sin t
sin a 
sin z
veya
cot  sin t sec 
tan a  
1  tan  cot  cos t
eşitliğinden a azimutu hesaplanır.


2.Hal :
Verilenler: z, t, 
Arananlar: , a
Çözüm:
tan M 
tan 
cos t
cos(1  M ) 
eşitliğinden M hesaplanır,
cos z sin M
sin 
eşitliğinden (1-M) ve 1 = (1-M) + M) ile 1 bulunur.
cos z sin M
cos( M   2 ) 
sin 
eşitliğinden (M - 2) ve 2 = M - (M - 2) ile 2 bulunur.
sin  sin t
sin a 
sin z

3.Hal :

Verilenler: , , z
Arananlar: a, t
Çözüm:
cos t 
cos z
 tan  tan 
cos  cos 
eşitliğinden t saat açısı,
 sin 
cos a 
 tan  cot z
cos  sin z
eşitliğinden a azimutu hesaplanır.

4.Hal :

Verilenler: , z, a
Arananlar: t
Çözüm:
tan t 
sin a
cos  cot z  sin  cos a
eşitliğinden t saat açısı hesaplanır.

5.Hal :

Verilenler: , z, a
Arananlar: , t
Çözüm:
sin N  sin z sin a
sin 
sin M 
cos N
eşitliğinden N,
eşitliğinden M hesaplanır,
tan(   M )  cos a tan z
eşitliğinden ( -M) ve  = ( -M) + M) ile  bulunur.
sin a sin z
sin t 
cos 
eşitliğinden t saat açısı hesaplanır.

6.Hal :

Verilenler: a, , 
Arananlar: t, z
Çözüm:
tan M   cos a cot 
eşitliğinden M hesaplanır,
sin 
cos( z  M ) 
cos M
sin 
eşitliğinden (z -M) ve z = (z -M) + M) ile z bulunur.
sin a sin z
sin t 
cos 
eşitliğinden t saat açısı hesaplanır (güney yıldızları için).
GÜNEŞİN DOĞUŞ VE BATIŞI

Güneşin doğuşu ve batışında zenit uzaklığının 90, birinci
düşey daireden geçişinde azimutunun 90 veya 270,
yıldızların elongasyonda oldukları anda paralaktik açılarının
90 veya 270 olması nedeniyle oluşan astronomik üçgenler
küresel dik üçgendir. Bu durumlarda oluşan astronomik
üçgenlerin çözümü için gerekli eşitlikler Neper kuralı ile
kolaylıkla çıkarılabilir.
Bölüm (4.6- Görünebilirlik, Doğuş ve Batış) da, güneşin
(yıldızın) doğuş-batıştaki azimutunu hesaplamak için
sin a D , B  cos  sin t
ve saat açısı için ise
cos t D ,B   tan  tan 
eşitlikleri verilmiştir.
veya
cos a D , B 
sin 
cos 





Güneşin deklinasyonundaki günlük değişim ihmal edilecek
olursa güneşin doğuş ve batışında oluşan astronomik
üçgenlerin meridyene göre simetrik oldukları varsayılabilir.
Buna göre güneşin doğuş ve batışındaki azimutları ve saat
açıları aşağıdaki gibi hesaplanır.
Doğuştaki azimut yukarıdaki eşitlikle bulunun değere eşittir.
Yani aDoğuş = aD,B dir.
Batıştaki azimut ise eşitlikle bulunan aD,B değerinin 360
dereceden farkına eşittir, yani
aBatış = 360- aD,B dir.
Doğuştaki saat açısı yukarıdaki eşitlikle bulunun tD,B
değerinin 360 dereceden farkına eşittir, yani
tDoğuş = 360- tD,B dir.
Batıştaki saat açısı ise yukarıdaki eşitlikle bulunan tD,B
değerine eşittir, yani tBatış = tD,B dir.


Yeryüzü üzerindeki bir gözlem yerinde gündüz ve gece
sürelerini hesaplamak için yukarıda verilen saat açısı
eşitliği kullanılır. Hesaplan saat açısı tD,B açı
birimindedir. Hesaplar derece biriminde yapılmış ise bu
değer 15’e bölünerek zamana dönüştürülür ve iki katı
alınırsa gözlem yeri için gündüz süresi bulunur. Bunun
24 saaten farkı alınarak gece süresi hesaplanır.
Gündüz süresi = 2 tD,B /15 saat
ve
Gece süresi = 24 - Gündüz süresi dir.
Z
Gök
meridyeni
Saat dairesi =
Deklinasyon
Dairesi
KGK
90-
t'
a
Saat dairesi =
Deklinasyon
Dairesi
KGK
90-
a
90-
Z=90
Z
Gök
meridyeni
Z=90
q

Düşey
daire
90-
t
q


Düşey
daire

S
S


Gök Ekvatoru
Gök Ekvatoru
Gök Ufku
N
GGK
Şekil 5.12 - Güneşin doğuşu
Gök Ufku
N
GGK
Şekil 5.13 - Güneşin batışı
Gök
meridyeni
Gök Ufku
90-
Gök Ekvatoru
KGK
t
t'
90-
90-
Düsey
daire
S
Batis
Saat dairesi =
Deklinasyon
Dairesi
a
a
Z=90
Z
Z=90
S
Dogus
Günesin günlük
yörüngesi
Şekil 5.14 - Güneşin doğuşu ve batışı (Gök kürenin zenitten görünüşü)