katı cisim dinamiği

58
KATI CİSİM DİNAMİĞİ
A) KATI CİSİMLER
B) DÖNMELER
C) MATRİSLER YOLUYLA VEKTÖR İŞLEMLERİ
D) EULER AÇILARI VE EULER TEOREMİ
E) SONSUZ KÜÇÜK DÖNMELER
F) HIZ VE İVME
G) KATI CİSİM HAREKET DENKLEMLERİ
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A ) KATI CİSİMLER
Noktasal olmayıp, uzayda yer tutan Katı Cisimlerin dinamiği uygulamada çok önemlidir. Katı
cisim, 'kendisini oluşturan tüm noktasal unsurlar arasındaki uzaklıkların sabit olduğu yapı'
olarak tanımlanır. Bunun matematik ifadesi: tüm i , j çiftleri için
ri  rj
 Sabit
olması demektir. Bir yapının uzaydaki konumunu belirlemek için kaç tane koordinata gerek
olduğu temel bir sorudur. Bu sayı 'Serbestlik Derecesi' olarak adlandırılır ve f ile
gösterilir. Katı cisim kısıtlamaları olmayan, Akışkanlar Mekaniği benzeri konularda N
parçacığın 3 N serbestlik derecesi vardır ve
N   için bu sayının üst sınırı yoktur.
Katı cisimlerin özel durumunu anlamak için adım adım gitmek yararlı olur. Tek parçacığın
serbestlik derecesi
r1  r2
f  3 olacaktır. İki parçacıkta
f  2*3  6
ile başlanır ama
 Sabit kısıtı bu sayıyı 5 'e indirir. Bu sisteme bir üçüncü parçacık eklersek
f  5 3  8
olur ama
r2  r3
 Sabit
ve
r3  r1
 Sabit
kısıtları bu
sayıyı 6 'ya indirir. Bundan sonra eklenen her parçacık 3 yeni serbestlik derecesi yanı sıra
3 de kısıt getireceği için
f 'in üst sınırı 6 olacaktır. 6 tane koordinatın akılcı bir biçimde
59
seçiminde önce 'Kütle Merkezi'
RCM ile ilk 3 'ü aradan çıkartılır. Geri kalan 3 koordinatı
seçmeden önce 3-Boyutlu uzayda dönmeleri incelemek gerekir.
B ) DÖNMELER
Dönmelerin matematiksel incelenmesinde somut matris cebri, soyut işlemlerden daha
kullanışlıdır. Başlangıç noktası : Sabit bir nokta etrafında dönmede merkezden uzaklığın
 x
r   y
 
 z 
değişmezliği olacaktır :
R
: 3 3
dönme matrisi
RT
rT
r T r   r T
 rT r
x2  y2  z2  x 2  y 2  z 2
RT R

1
Rr
 r
 r T
bulunur.
olmak üzere
denklemi 'Transpoze' edilerek
RT R r
,
olduğu görülür.
RT
 x
r    y 
 
 z 
ve
ile verilen 'Dönme'
, yani
olabilmesi için gerekli şartın

R 1
sağlayan matrisler 'Ortogonal'
olarak adlandırılır : iki ortogonal matrisin çarpımının da ortogonal olduğu ve
Determinantların 1 olacağı kolayca gösterilir. Dönme işleminin özel bir durumu olan
Özdeşlik'te determinant +1 olduğu için tüm
R
matrislerinde bu şart aranır.
Determinantı +1 olan 3  3 ortogonal matrisler SO(3) olarak adlandırılan bir 'Grup'
oluştururlar. SO(3) grubunun her kartezyen yön için bir SO(2) alt grubu vardır. Örnek
olarak : x-ekseni etrafında açısıyla dönme :
R x  
0
1
 0 cos 

0 sin 
0 
 sin  

cos  
 SO(3)
ve
60
R  
cos 
 
 sin 
 sin  
cos  
 SO(2)
. Dönme matrislerini 'Üstel' biçimde
cos 
 sin 

yazmak ileride hesap kolaylığı sağlayacağı için
 sin  
 exp  i
cos  
L
denkleminden, 'Jeneratör' olarak adlandırılan ve Hermitsel olan
elde edilir.(1)
L 
0 i 
 

i 0 
SO(2) 'nin tek parametreli ve tek jeneratörlü olmasına karşın SO(3) 'ün 3
parametresi ve 3 jeneratörü vardır, doğal olarak bu jeneratörler :
L
x
0 0 0 
 0 0 i 


0 i 0 
L
;
 0 0 i
  0 0 0


 i 0 0
y
L L
ile verilirler. Bu matrislerin sağladığı
L L L L
y
z
z
y
 i
L
x
,
x
L L
z
x
y
L
;
 Ly
 Lx
L
z
L
x
z
 0 i 0
  i 0 0


 0 0 0
 i
 i
L
L
y
,
z
komütasyon
bağıntıları kuantum matematiğinin habercisi gibidir.
C ) MATRİSLER YOLUYLA VEKTÖR İŞLEMLERİ
Dönmeleri incelerken kullanılacak matematik yapı olarak vektörler yetersiz kalır. Soyut
düzeyde 'Kuaternion'lar, somut olarak da matris cebiri kullanmak gerekir. Ancak sonsuz
küçük dönmelerin vektör karakterinden de yararlanılır. Sonsuz küçük bir açının vektör
davranışını görmek için xy-düzleminde
  tan 1  
x
y
bağıntısından
 d 
d 
1
2
1 y
x2
x dy  y dx
x dy  y dx

2
x
x2  y2
r  dr
rˆ  dr

r2
r
genellemesi yapılır. Bu denklemden
sonsuz küçük açının düzleme dik bir vektör olduğu ve ismine uygun olarak
(açı)klığın, boyutsuz bir sonuç elde etmek için
r 'ye
r
yönüne dik bir
bölündüğü görülmektedir.
61
Vektörlerin çarpımlarını matris işlemlerine indirgemek hesaplarda kolaylık ve tutarlılık sağlar.
İki vektörün
A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz
işlemi olarak yazarken 'Son Çarpan'
'İşlem'
A    Ax
Ay
 Ay Bz  Az B y 


A  B   Az Bx  Ax Bz 
 Ax By  Ay Bx 
Az 
 Bx 
B   By 
 
 Bz 
'Skalar Çarpım' ifadesini bir matris
olarak korunup, 'İlk Çarpan' ve
biçiminde ifade edilir.
 Bx 
'Vektör Çarpımı'nda ise 'Son Çarpan' gene B   By 
 
 Bz 
olarak korunup, 'İlk Çarpan' ve 'İşlem' için
 0

A    Az
  Ay
 Az
0
Ax
Ay 

 Ax 
0 
kullanılır.
D ) EULER AÇILARI VE EULER TEOREMİ
Katı cismin uzaydaki konumunu saptamak için gerekli 6 koordinatın 3 tanesi kütle merkezi
olarak seçilmişti. Geri kalan 3 koordinatı gözümüzde canlandırmak için uzayda sabitlenmiş
bir 'Uzay' koordinat sistemine ek olarak cismin kendisine has ve temel yönleri zamana göre
değişebilen bir 'Cisim' koordinat sistemi olduğu düşünülür. Hesap kolaylığı açısından ve
genellikten ayrılmadan, bu iki sistem eşmerkezsel kabul edilebilir. Cisim koordinatları, Uzay
koordinatlarının aksine zamanın fonksiyonu olarak değişecektir. Bu iki koordinat sistemi
arasındaki dönüşümün 3 parametreli olacağını görmek zor değildir. Fiziksel yaklaşımla: iki
sistem arasındaki ilişki belli bir eksen etrafında dönme olduğu için eksen birim vektörü
n̂ 'den iki , dönme açısı  'den de bir parametre gelir. Matematiksel yaklaşım ise SO(3)
grubunun 3 tane SO(2) alt grubu oluşundan yararlanır. Uygulamada tercih edilen yol
matematiksel yaklaşıma daha yakındır ve 'Euler Açıları' olarak adlandırılan
 ,  ,  
kullanılır. İki koordinat sistemi arasındaki genel dönüşüm 3 adımda sağlanır:
62
i) Önce z-ekseni etrafında

açısıyla,

ii) Sonra 'yeni' x-ekseni etrafında
açısıyla,
 açısıyla döndürme:
iii) En sonra da 'yepyeni' z-ekseni etrafında
R
 exp( i
R

L )
L )
exp( i
z
x
R   R   R  
z
x

R   R   R   
R  

R   R   R   
R  

R   R   R   
x
z
R
R
z
z
x
x
z
z
z
z
özdeşlikleri kullanılarak önce

R   R   R    R   R  

R   R   R  
x
z
x
x
z
x
z
z
, sonra da

R   R   R    R   R   R    R  

R   R   R  
R
z
AB
x
z
 exp( i
Lx Lz
Ancak
için
x
z
ifadesinden
z
R  
z
L )
exp( i

R
z
z
x
z
L )
exp( i
z

Lz Lx
BA 
z
z
z
elde edilir. Bu da
L )
x
exp( i
L 
z
)
demektir.
ve
exp( A) exp(B)  exp(B) exp( A)
tek bir üstel ifadeye indirgenemez. Ancak sonsuz küçük açılarla işlem
yapıldığında
exp d A exp d B  exp d A  d B
sağlanır.
olduğu
63
Euler Teoremi: Bir nirengi noktasına ( mesela kütle merkezi ) sahip bir katı cismin en genel
hareketinin o noktadan geçen bir eksen etrafında dönme olacağını öngörür. Bunun bir adım
sonrası da katı cismin en genel hareketinin Öteleme + Dönme olmasıdır.(2) Euler teoreminin
ispatı tamamen matematiksel olup, matris ve reel katsayılı cebirsel denklemlerin özellikleri
kullanılır:
*)
R
 SO(3) Ortogonal, dolayısıyla Reel ve Üniter'dir,
*) Üniter matrislerin özdeğerleri Ünimodüler'dir, yani

 1 sağlarlar,
*) 3  3 reel bir matrisin özdeğerleri, 3. Derece bir cebirsel denklem olan 'Karakteristik
Denklem'in kökleridir,
*) 3, tek bir sayı olduğu için karakteristik denklemin en az bir reel kök vardır,
*) Reel katsayılı cebirsel denklemlerde eğer
*) Ortogonal matrisler
*) Dolayısıyla
Bu teorem

bir kök ise
Det R  1 sağlar, bu da
Spektrum R 
R  , , 

1,
*
da bir köktür,
1 2 3  1 demektir,
exp i  , exp  i 
Rnˆ  

olur.
geçişinin öngördüğü eksen ve açıyı
belirlemeye yarar. Bir dönme'de aynı kalan özvektör, eksen yönünü vereceği için
  1 'e karşılık gelen normalize özvektör, dönme ekseni n̂ 'i verir.
R  , , 
1

0
0


 R     0 exp i 
0

nˆ
0
0
exp i  
diyagonalleştirme
işleminde 'İz' aynı kalacağı için de
1  2 cos   Tr
 Tr R   1 

2


R    cos1 
bulunur.
64
E ) SONSUZ KÜÇÜK DÖNMELER
Artık uygulamaya geçip 'Uzay' ve 'Cisim' koordinatları arasındaki ilişki ele alınabilir. Sonsuz
küçük d açısı ile dönme, yukarıda elde edilen
kullanılarak
dR

R d  1  d R 
 0

  d z
 d 
y

 0

dR
  z
dt
 
 y
d  z
0
dx
z
0
x
exp i
d y 

d  x 
0 
Lx , L y , Lz 
temsilleri
Ld   1  i L  d 

biçimini alır ve
y 

x 
0 
elde edilir, bunun da
'
 
temsili olduğu görülür. Çok önemli bir ilke : Doğrusal bir 'İtme'
' işleminin matris
x  x  uot
, özel
bir Galileo dönüşümüdür ve sistemi belli bir çerçeveden, aynı doğa yasaların geçerli olduğu
başka bir çerçeveye taşır. Açısal 'İtme'
    o t
ise sistemi aynı yasaların
geçerli olmadığı, ivmelenmiş bir çerçeveye taşıdığı için bu geçişte Newton yasalarının geçerli
olması ancak bazı 'Sanal Kuvvetler' eklenerek sağlanır.
F ) HIZ VE İVME
Newton yasalarının geçerli olduğu 'Uzay' koordinat sistemi ile bu sisteme göre sabit açısal
hız
o
ile dönmekte olan 'Cisim' koordinat sistemi arasındaki ilişkinin 'Konum'
vektörüne uygulanmasını
zamana göre türevi
rU 
d rU

dt
Rnˆ  
R
rC
denklemi ile gösterelim. Bu ifadenin
d rC
dR

rC 
dt
dt
R
d rC
 o  rC
dt
65
R
ile verilir, ancak
d rU

dt
R
o
 o
olduğu için
 d rC

 dt  o  rC 
 vU 
R v
C
 o  rC 
olarak yazılır. Bir türev daha alarak, 'İvme' ifadesi
aU 
d vU

dt

R
R a
C
 o  v C   o 
v
 o  rC 
C
 aC  2 o  v C + o  o  rC  
olur.
Dinamiğe doğrudan etkili olmayan, sadece koordinat eksenlerinin yönlerini belirleyen
rU  rC
R 'den kurtularak, kısaca
vU  v C  o  rC ve
,
aU  aC  2 o  v C + o  o  rC 
2 o  v C
ifadesi 'Coriolus İvmesi' ,
o  o  rC 
yazılır.
ise 'Merkezcil İvme'
olarak adlandırılır. Cisim sisteminde yer alan bir gözlemci
aC   2 o  v C + o  o  rC 
Kendi etrafında
o
7.3 105
radyan / saniye
'Sanal İvme'lerini hissedecektir.
açısal hızla dönen dünyamız bu
ivmelerin gözlenmesi için ideal bir ortamdır.
Yönler için
r̂
: Yukarı
;
ˆ
: Güney
 xˆ 
sin  cos  cos  cos 
 yˆ    sin  sin cos  cos 
 

ˆ
z
 sin 
 cos 
 

ˆ : Doğu
;
 sin  
cos  

0 
o  o zˆ  o cos  rˆ  sin  ˆ

 rˆ 
 ˆ
 
ˆ 
 
seçimi yapıp,

bağıntılarını kullanarak önce Coriolis
kuvvetini inceleyelim : İstanbul enleminde(3), Güney'e doğru,
hızının üç katı hızla atılan bir yatay mermiye etki eden kuvvet
v o  103
m / s , ses
66



2mo cos  rˆ  sin  ˆ  v oˆ   2mo v o cos  ˆ  sin  rˆ
Bu ifadenin
r̂
için göz ardı edilir.

ile verilir.
bileşeni, aynı yöndeki yer çekimi kuvvetine göre küçük ( < % 1 ) olduğu
ˆ
, yani Batı yönündeki kuvvet ise 10 km uzaktaki bir hedefte 5 m
bir sapmaya sebep olur. Aynı şartlarla Doğu'ya atılan bir mermi de aynı ölçüde Güney'e
sapacaktır. D uzaklığında bir hedefe vo hızı ile gönderilen bir merminin sapma miktarı
s 
o
vo
D 2 cos 
ile verilir.
Kuzey yarıkürede genel kural sağa sapmaktır ve bu
yüzden alçak basınç bölgelerine yönelen rüzgarlar saat yönü tersine bir dönme hareketi
oluştururlar. Coriolis sapmasının ilginç ve pratik bir uygulaması 'Foucault Sarkacı'dır : uzun
bir ipin ucundaki kütle yatay düzlemde salınım yaparken, sonsuz küçük bir
dt
zaman
aralığındaki açısal sapması
d 
Yana sapma

o v cos  dt 
v  dt 
Boyuna mesafe
Gün boyunca toplam açısal sapma ise
o 
2
 o cos   dt 
ile verilir.
2
   2 cos 
1 Gün
olacaktır. Yüksekten düşen cisimlerde de Coriolus sapması gözlenir; bu problemdeki hız
değişken olduğu için çözüm biraz daha zordur.
H
yüksekliğinden serbest düşüşte

v  g t   rˆ  , o  o cos  rˆ  sin  ˆ
 a  2 o g t sin  ˆ
iki kere integrali alınarak Coriolis sapması
a 2
s 

2
8 H3
9 g
bulunur.
 


geçerlidir. Bu ivmenin zamana göre
2H
g
kullanılarak
67
 o  o  rC 
Merkezkaç ivmesi
ise

aC  o2 R cos sin ˆ + sin 2 rˆ

aynı yöndeki yer çekimi ivmesine göre çok küçük
göz ardı edilir.
güneye doğru
sonucunu verir.
r̂
yönündeki ivme,
 o2 R


0.4
%
 g



olduğu için gene
ˆ yönündeki bileşen, uzun bir ipe bağlı kütlenin gerçek dik r̂ yönünden
o2 R
g
sin cos
açısal sapma yapmasını öngörür.
G ) KATI CİSİM HAREKET DENKLEMLERİ
dp
 F
dt
Noktasal bir parçacık için geçerli
v p  0
Açısal Momentum :
dp
 F
dt
r
olduğu için,
L  rp
ile vektörel çarpımı,
d r  p
dp

 r F
dt
dt
ve Tork :
dL
 
dt
benzeri
r
bağıntısının
  r F
denklemini verir.
tanımları ile
elde edilir.
dL  r   dm  v 
 dm  r    r 
bağıntısının açık yazılışı
 dLx 
 dL  
 y
 dLz 

 y2  z2
 dm    xy
  xz
 dm  r    r    r 
2
 xy
x2  z2
 yz
 xz 
 yz 
x 2  y 2 
 x 
 
 y
z 
ifadesinin integrali alınarak 'Eylemsizlik Momenti' matris elemanları :
I
xx
  dm  y 2  z 2  ,
I
yy
  dm  x 2  z 2  ,
I
zz
  dm  x 2  y 2 
68
I
xy

I
yx
   dm xy ,
I
 I xx
 Lx 
L   I
 yx
 y
 I zx
 Lz 
olmak üzere,
ulaşılır. Genelde
I
 I
1
xz

I
I xy
I yy
I zy
   dm xz ,
zx
I xz 

I yz 
I zz 
 x 
 
 y
z 
olmadığı için
L
I
yz

 L 

ve
I
zy
I
   dm yz
sonucuna
aynı yönde değildir.
I
matrisinin 'Simetrik' , yani 'Reel' ve 'Hermitsel' olması özdeğerlerinin reel , özvektörlerinin
de birbirine dik oluşunu sağlar. Özvektörlerin aynı zamanda pozitif olduğunu anlamak için
Kinetik Enerji ifadesini beklemek gerekecektir. Dönme ifade eden ve 'Asal Eksen Dönüşümü'
adı verilen bir benzerlik dönüşümü ile
I
I
bundan sonra genellikten ayrılmadan
matrisi diyagonal hale getirilebilir, dolayısıyla
 I1
 0

 0
0
I2
0
0
0

I 3 
ve
Lk  I k k
olduğu kabul edilecektir. Katı cismi oluşturan sonsuz küçük unsurların Kinetik Enerjisi
dE 
E 
dm 2
dm
  dL
v 
v    r  
2
2
2
L
2

T I 
dinamiği problemleri,
2
I
1
ifadesinin integrali alınarak
I112  I 222  I 332

2
, I2 , I3

sonucuna ulaşılır. Katı Cisim
değerlerine göre :
*)
I1  I 2  I 3
: SO(3) Simetrik Topaç ( Küre Simetrisi )
*)
I1  I 2  I 3
: SO(2) Simetrik Topaç ( Silindir Simetrisi )
*)
I1  I 2 , I 3  0
: 2-Boyutlu Topaç
*)
I1  I 2  I 3
: Asimetrik Topaç
olarak sınıflandırılır. Çözümlere gelince : SO(3) simetrisi olan problemler hesap
gerektirmeyecek kadar basittir; açısal momentum bileşenleri ayrı ayrı korunur,
L
ve
69

sabit ve paraleldir. Öteki uçtaki Asimetrik Topaç probleminde ise lineer olmayan
diferansiyel denklemlerin genel ve analitik çözümü, zahmetine değmeyecek ölçüde
karmaşıktır.(4) Simetrik Topaç probleminin ise matematiği kolay, fiziği zengindir. Açısal hız'ın
bir bileşeninin sabit oluşu denklemleri lineer yapar ve kolayca çözüme varılır.
dL
 L
dt
ve
Lk  I k k
d x
I I
 3 2  y z ,
dt
I1
denklemleri
I 2  I1
başlangıç noktası alınarak varılan
dy
d z
I I
I I
 2 1 x  y
 1 3 z x ,
dt
I3
dt
I2
özel durumunda
d x
I I
 3 1  y z ,
dt
I1
dy
dz
I I
 0
 1 3 z x ,
dt
dt
I1
Çözümü en kolay olan 3. denklem
z  zo
: Sabit
tanımıyla
d x
  y
dt
göre birer türevi daha alınarak,
,
dy
   x
dt
d 2x
   2 x
2
dt
sonucunu verir. Bunun diğer
 
iki denkleme yerleştirilmesi sonucu elde edilen denklemler
biçimini alır.
I 3  I1
zo
I1
biçimini alırlar. Bunların zamana
,
d 2y
  2  y
2
dt
elde
edilir. Sonucu yazmadan önce ileride 'Başlangıç Koşulu' aşamasında yararlı olacak bir
özdeşliği elde etmek gerekir :
denklemlerinden
d x
  y
dt
d
 
 0 
dt
,
d  2 
dt
dy
   x ,
dt
 0
dz
 0
dt
olduğu açıktır. Bunun anlamı
 z 'ye ek olarak  2 ve  2  z2  x2   y2 'nin de sabit oluşudur. Böylece
  2  zo2 cos  t 
 x 


     2   2 sin  t  
z0
 y



z 
zo



 L2  L2zo cos  t 
 Lx 


 L    L2  L2 sin  t  
z0
 y


L
 Lz 
zo


70
sonucu elde edilir.

vektörünün yatay bileşeninin bir daire çizmesi olayı 'Presesyon'
olarak adlandırılır ve çocuk oyuncaklarından, dünyamıza kadar dönen pek çok cisimde
gözlenir.(5) Somut bir örnek olarak dünyanın çekim alanında, uç noktası sabit bir topaçın
hareketini inceleyelim :
M kütlesi düzgün dağılmış H yüksekliğinde , R yarıçaplı bir koninin kütle merkezi uç
noktadan 3H
4 uzaktır ve ana eksen etrafında dönme için eylemsizlik momenti ise
dL
3
MR 2 ile verilir.
   DCM  Mg   zˆ 
10
dt
L
3
M R 2o
10

DCM
3 H
4
bağıntılarından elde edilen
denklemi yukarıdaki probleme benzer biçimde çözülür ve
 L2  L2zo cos  t 
 Lx 


 L    L2  L2 sin  t  
z0
 y


L
 Lz 
zo


elde edilir.
;
dL
5Hg

zˆ  L
dt
2 R 2o
 
5Hg
2 R 2o
olmak üzere
71
PROBLEMLER
A  B  C   B  A C   C  A B
C.1 )
özdeşliğini vektör ve işlemlerin matris
temsillerini kullanarak elde edin.
R
D.1 )
3 3
 exp(i
L )
z
exp(i
L )
x
exp(i
L
z
)
ifadesinin
temsilini oluşturun.
D.2 ) Toplam dönme açısının, Euler açıları cinsinden

   
 
cos    cos 
 cos  
2
 2 
2
olarak verildiğini gösterin.
F.2 ) 2-Boyutta genel hareket :
r  r rˆ , rˆ   cos  , sin   , ˆ 
ve
d
 
dt
koordinatlarda
,
d
d 2
 

dt
dt 2
v ve a
  sin  ,
cos  
bağıntılarını
tanımlarını kullanarak 2-Boyutlu Polar
ifadelerini oluşturun, tüm terimleri adlandırıp, yorumlayın.
G.1 ) Ucundan sürtünmesiz bir menteşe ile duvara bağlı,
m
kütleli,
uzunluğunda
düzgün bir çubuğun yatay durumdan dikey konuma düşme zamanını hesaplayın.
İpucu :
24 g
 4
2 1
72
G.2 ) Düzgün dağılımlı, 2-Boyutlu bir 45o dik üçgenin kütle merkezi etrafındaki
I
1
, I2 , I3

G.3 )
 a,0,0
;
0, a,2a 
;
0,2a, a 
 0,0,0
etrafındaki
I
1
kütlesinin
değerlerini ve 'Asal Eksenler'ini hesaplayın. (Goldstein)
, I2 , I3
noktalarında yer alan üç eşit m

değerlerini ve 'Asal Eksenler'ini
hesaplayın. (Goldstein)
G.4 ) Larmor frekansı : dI elektrik akımını taşıyan r yarıçaplı bir halka'nın Magnetik
Dipol Momenti d  
 dI * Alan nˆ
ile verilir.
M kütlenin benzer dağıldığı bir yapı için
alanla etkileşmesi
  B
 

hızıyla dönen, Q elektrik yükü ve
Q
L
2M
olduğunu gösterin. Magnetik
ile verilen bir magnetik momentin presesyon
hareketinin açısal hızını hesaplayın.
5) Açısal hız bileşenlerinin, Euler açıları ve zamana göre türevleri cinsinden
x   cos    sin  sin 
 y   sin    sin  cos 
z   cos   
Ile verildiğini gösterin.
73
EKLER VE NOTLAR
(1) En kestirme yol :


cos 
 sin 

 sin  
 exp  i
cos  
L 
denklemine
işlemi uygulamaktır.
 0
(2) Chasles teoremi.
(3)

ise
90o +
açısının 'Enlem' olmayıp, kuzey yarıkürede
90o 
Enlem , Güney yarıkürede
Enlem olduğu unutulmamalıdır.
(4) Dünyamızın dönme ekseninin presesyon periodu yaklaşık 25 800 yıldır ; bu da
mevsimlerin 5 Yüzyılda 1 haftalık kayması, yani 12 900 yıl sonra bugün Ocak ayında
yaşadığımız soğukların Temmuz ayına taşınması demektir.
(5) Çözümler Eliptik fonksiyon bilgisi gerektirir.