Slayt 1

11.10.2011
VEKTÖRLER
Koordinat Sistemleri
Kartezyen (dik) koordinatlar:
KONULAR:
• Koordinat sistemleri
• Vektör ve skaler nicelikler
• Bir vektörün bileşenleri
• Birim vektörler
Bir noktayı temsil
etmenin en uygun
olduğu koordinat
sistemini kullanırız.
Birbirine dik eksenlerle
ifade edilir.
Orijin kesim noktasıdır.
2-boyutta her nokta
(x, y) koordinatıyla
belirtilir
Kutupsal Koordinatlar:
Noktayı;
kartezyen koordinat sisteminde (x, y),
kutupsal koordinat sistemi (r, ) ile
gösteriyoruz.
Şekildeki üçgenden,
kutupsal koordinatları kartezyen
koordinatlara bağlayan denklemler:
x  r cos 
y  r sin 
Kartezyen koordinatları kutupsal
koordinatlara bağlayan denklemler:
tan 
y
x
r  x2  y 2
Skaler ve Vektör Nicelikler
Vektör gösterimi

• Elle yazıldığında, ok kullanılır:
A
• Basılı metinde, kalın yazılıyor: A
• Sadece bir vektörün büyüklüğü yazılıyorsa, italik harfle A veya
gösterilir. A
ile
Skaler: Büyüklük
Sadece büyüklüğü belli olan nicelikler olup, uygun birimli bir sayı ile
belirtilebilir ve yönü yoktur.
ÖRNEK: Kütle, zaman, sıcaklık, öğrenci sayısı gibi
Vektör: Büyüklük ve Yön
Doğrultusu, yönü, başlangıç noktası ve büyüklüğü belli olan nicelikler olup,
oklarla gösterildiğinde okun uzunluğu büyüklüğe karşılık gelir.
ÖRNEK: hız, ivme, yerdeğiştirme, kuvvet gibi
Bir parçacığın keyfi bir yol boyunca A dan
B ye hareketi (noktalı çizgi).
Yeredeğiştirme bir vektördür.
1
11.10.2011
Vektörlerin toplanması
•
•
•
•
Vektörler toplandığında yönler dikkate alınmalıdır
Birimler aynı olmalıdır
Grafik yöntemler
Cebirsel yöntemler
Toplamanın grafik (üçgen) yöntemi:
• Vektörler (yön ve büyüklük
değiştirilmeden) kuyruktan-uca çizilir
• Bileşke, A nın başlangıcından son
vektörün ucuna çizilir
• Bileşke R vektörünün boyu ve açısı ölçülür
Vektörlerin toplanması (Grafik olarak)
  
A B  C
• Vektörler kuyruktan-uca eklenir

C

B

A
– Uzunluğu gerçek büyüklüğe dönüştürmek için ölçek çarpanı kullanılır
Örnek (vektörlerin toplanması)
Bir araba 20 km kuzeye ve şekildeki gibi kuzeyden batıya 60° açıyla
35 km gidiyor.
Arabanın bileşke yerdeğiştirmesinin büyüklüğü ve yönü!!
Vektör toplamda paralel kenar kuralı
Vektör toplamanın
değişme özelliği
• Vektörlerin
eklenme sırası
sonucu etkilemez
A+ B = B +A
Sadece 20 ve 35 ‘i toplayarak bileşke vektörü elde edemeyiz!
2
11.10.2011
Bir vektörün negatifi
Vektörlerin çıkarılması
A vektörünün negatifi, A vektörüyle toplandığında
sonucu sıfır eden vektör olarak tanımlanır.
A ve –A vektörleri aynı büyüklükte fakat zıt
yöndedirler
A – B işlemi, A vektörü
ile toplanan – B
vektörü olarak
tanımlanır
A - B = A + (-B)
A + (-A) = 0
A
-A
Bir vektörün bileşenleri
x-y düzlemindeki herhangi bir
A vektörü, Ax ve Ay dik
bileşenleri ile temsil edilebilir:
A  Ax  Ay
Ax  A cos 
Ay  A sin 
A vektörünün büyüklüğü:
A  Ax  Ay
2
2
A vektörünün yönü:
 Ay 

 Ax 
  tan 1 
3
11.10.2011
Birim vektörler
Bir A vektörünün birim vektörlerle gösterimi:
• Birim vektör, büyüklüğü 1 olan boyutsuz bir vektördür
A = Axi + Ayj
• Birim vektörler verilen bir yönü belirtmede kullanılırlar
• i, j, k; x-, y- and z-doğrultularını gösteren birim vektörlerdir
• i, j, k koordinat sisteminde dik vektörler takımı oluştururlar
A = Axi + Ayj + Azk (3 boyutta)
ˆi  x
• Yön bilgisi taşır ĵ  y
k̂  z
• Birim büyüklüktedir
iˆ  1
• Boyutsuzdur

v  vxiˆ  v y ˆj
Hız vektörü
Hız vektörünün
hız bileşeni
x yönündeki
birim vektör
Birim vektörleri
kullanarak vektörlerin
toplanması
Birim vektörleri
kullanarak vektörlerin
toplanması
R nin büyüklüğü:
Hesaplamak istediğimiz: R = A + B
Şekilden:
R  Rx  Ry  ( Ax  Bx ) 2  ( Ay  By ) 2
2
2
R = (Axi + Ayj) + (Bxi + Byj)
R = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j
R = Rxi + Ryj
olduğundan
R vektörü ile x-ekseni arasındaki  açısı:
R nin bileşenleri:
Rx = Ax + Bx
Ry = Ay + By
 Ry   Ay  By 

tan     
 Rx   Ax  Bx 
3-boyutta z-ekseni ve k birim vektörü ilave edilir
4
11.10.2011
Örnek
Örnek:
Verilen hız vektörünün büyüklük ve yönünü bulun:
Aşağıdaki vektörlerin toplamını bulun:
v = (vx ,vy) = (-5,-3) m/s

A  12m  ˆi  5m  ˆj

B  2m  ˆi  5m  ˆj
  
C AB

 
vy=-3m/s
v  (5 ms ) 2  (3 ms ) 2  5.8 ms

 12m  ˆi  5m  ˆj  2m  ˆi  5m  ˆj
 (12m  2m)ˆi  (5m  5m)ˆj
 14m  ˆi
y
f
vx=-5m/s
 5
f  tan    59
 3
1
v
x
Not: f -x,-y kısmındadır, bu nedenle
 = 59° +180° =239°
Skaler çarpım
Vektörlerde Nokta veya Skaler çarpım
   
A  B  A B cos f  Ax Bx  Ay By  Az Bz
• Bir vektörün bir skalerle çarpımı:

cA  (cAx )iˆ  (cAy ) ˆj
f , vektörler arası açıdır (başlangıçları bir araya
konduğunda)
• Örnek:

A  (3m)iˆ  (5m) ˆj

3 A  (9m)iˆ  (15m) ˆj
B
Hatırlatma: cos(f) = cos(-f)
   
A B  B  A
f
A
5
11.10.2011
Nokta çarpım: Fizik anlamı
Bir vektörün diğeri boyunca ne kadar olduğunun
ölçüsüdür.
B
f
 
f  0  A  B  A B
 
f  90  A  B  0
A
 
A  B  AB cos f  A( B cos f )
Örnek: A ve B vektörleri arasındaki f açısını bulunuz:

A  (3 m) iˆ  (2 m) ˆj

B  (3 m)iˆ  (1 m) ˆj
Çözüm:
f için çözersek:

A  (3m) 2  (2m) 2  13 m

B  (3m) 2  (1m) 2  10 m
 
A  B  A B cos f
 
A B
 cos f
AB
 
 A B 

f  cos 1 

 AB 
 
A  B  (3m)(3m)  (2m)(1m)  7m2


 7 m2
  128

13
m
10
m


f  cos 1 
“Çapraz” veya Vektör Çarpım
Örnek:
A ve B nin vektör çarpımını bulun
Vektörleri çarpmanın diğer yolu…
 
A  B  ...
 iˆ ˆj kˆ 


det  Ax Ay Az   ( Ay Bz  By Az )iˆ  ( Ax Bz  Bx Az ) ˆj


B B B
 ( Ax By  Bx Ay )kˆ
 x y z

A  (12 m) iˆ  (23 m) ˆj  0kˆ

B  (31 m)iˆ  (18 m) ˆj  0kˆ
 iˆ
ˆj
23

 31 18


 
A  B  det  12
 
Sadece büyüklük… A  B  AB sin f
Sadece xydüzleminde
kˆ 
0   (23  0  18  0)iˆ

0   (12  0  (31)  0) ĵ

 (12 18  (31)  23)k̂
 (929 m2 )kˆ
xy-düzlemine
dik
6
11.10.2011
Birim vektörlerin çarpımları
ˆj  ˆj  0
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  ˆj  iˆ
iˆ iˆ  0
iˆ  ˆj  kˆ
ˆj  iˆ  kˆ
+
+
iˆ
kˆ
ˆj
kˆ  kˆ  0
kˆ  iˆ  ˆj
iˆ  kˆ   ˆj
Bileşenlerle çarpılabilir, ancak
genelde daha fazla zaman alır
ve hata yapma ihtimali artar
Axiˆ  By ˆj  Ax By kˆ
+
Vektör çarpımda yön
Sağ el kuralı
• Parmaklarınızı ilk vektör
doğrultusunda yöneltin
• Orta parmağınızı ikinci vektör
yönünde bükün
• Bunlara dik başparmak vektör
çarpımın yönünü gösterir
Vektör çarpımın özellikleri
• Vektör çarpımı, A ve B ile oluşan düzlem
yüzeyine diktir
 
 
• Antisimetriktir
A  B  B  A
Vektörlerin çarpımı
• Nokta Çarpım
– Sonuç skalerdir
– Bir vektrörün diğerine
izdüşümü
 
A  B  AB cos f
• Vektör çarpım
– Sonuç vektördür
– Sonuç vektörü her iki
vektöre diktir
 
A  B  AB sin f
7