fourier dönüşümü sunu

FOURİER DÖNÜŞÜMÜ
VE HIZLI FOURİER
DÖNÜŞÜMÜ
FOURIER DÖNÜŞÜMÜ
Fourier dönüşümü, birbiriyle bir integral dönüşümü altında ilişkili olan iki uzay arasındaki
dönüşümdür. Bir başka deyişle, bir olay bu uzayların her ikisinde de gözlenebilir. Örneğin
kartezyen koordinatlarda konum değişkeni x olan bir fonksiyonun Fourier dönüşümü, gözlenen
olayı değişkeni 1/x ile orantılı olan bir uzaya taşır.
1.Fourier Dönüşümünün Elde Edilişi:

a0
nx
nx
f ( x) 
  (a n cos
 bn sin
)
2 n 1
T
T
1
nx
f ( x). cos
.dx

T T
T
T
ve a n 
,
bn 
1
T
T
 f ( x). sin
T
nx
.dx
T
olduğunu biliyoruz. Bu durumda T olduğunda Fourier Serisi yerini Fourier integrallerine bırakıyor.
Eğer f(x) ve f’(x)parçalı sürekli fonksiyonlar ve,


f ( x) dx  
ise;


1. f ( x)   ( A( ). cos x  B( ). sin x)d
0
2. A( )  1


 f (u). cos u.du

3.

1
B( ) 
 f (u). sin u.du


2. ve 3.’ü 1.’de yerine koyarsak;

F ( ) 
 f (u )e
 i u
f(u)’nun Fourier dönüşümü (1)denir.
du

F (u ) 
1
2

 F ( )e
ix
d
Ters Fourier dönüşümüdür.(2)

2.Özel Durumlar:
tek  A( )  0
a. f(x)
F ( x) 
2



0
0
 sin xd   f(u)sin u.du

Fs ( )   f(u)sin u.du
0
f ( x) 
2


 F ( ) sin xd
s
0
Fourier-Sin Dönüşümü
çift  B( )  0
b. f(x)
f ( x) 
2



0
0
 cos x.d   f(u)cos u.du

Fc ( )   f(u)cos u.du
0
Fourier-Cos Dönüşümü

f ( x)   Fc ( )cosx.d
0
HIZLI FOURİER DÖNÜŞÜMÜ
Mikroişlemci hızları arttıkça Sayısal Fourier dönüşümü algoritması büyük sayıdaki data
değerlerini değerlendirme açısında cazipliğini koruyabilir. Ancak düşük hızlardaki işlemciler için
yüksek sayıda datayı işleme sokmak , sayısal Sayısal Fourier dönüşümü algoritması için
oldukça zamana ihtiyaç duyulacağından pek tercih edilmez. Ölçüm sayısının çok sayıda olduğu
işlemlerde hızlı Fourier dönüşümü tercih edilmelidir.
y (t )  0.5  sin( 2 *  * 3.125 * t )  cos( 2 *  * 9.25 * t )
ÖRNEK:
fonksiyonu ile değişen ve periyodu
T=3.2 sn olan bir işaretin fft komutu yardımıyla harmonik analizi yapın.y(t) fonksiyonundan
periyot boyunca eşit zaman aralıklarında nt=64 adet örnek alınmaktadır.
ÇÖZÜM: y (t) değişimi şekil 1.1. de görülmektedir. Verilen problemi çözen MATLAB programı
aşağıda gösterilmiştir.