oren3002 statik ve mukavemet - Karadeniz Teknik Üniversitesi

Karadeniz Teknik Üniversitesi
Orman Endüstri Mühendisliği Bölümü
OREN3002
STATİK VE MUKAVEMET
Yrd.Doç.Dr. Kemal ÜÇÜNCÜ
Trabzon - 2017
1
1. Bölüm
STATİK
ders notları
2
1. TEMEL KAVRAMLAR
3
1.1. Mekanik Biliminin Dalları
 Cisimlerin kuvvetler etkisinde dengesini ve hareketlerini
inceleyen bilim dalına mekanik denir.
 Mekanik cisimler; maddesel nokta, rijit cisim, elastik cisim,
plastik cisim ve akışkanlar (sıvı ve gazlar)’dır.
 Mekanik, eğer sadece maddesel nokta ve rijit cisim modelini
inceliyorsa buna mühendislik mekaniği denir.
 Bunun dışında incelediği cisim modeline uygun isimler verilir.
Örneğin; elastisite, plastisite, hidromekanik, aerodinamik,
elektromekanik gibi.
4
 Mekanik, kuvvet etkisindeki cisimlerin durağan ve hareket
koşullarını inceleyen bilim dalıdır. Mekaniğin alt dalları Şekil
1.1’de gösterilmiştir.
Şekil 1.1. Mekaniğin alt dalları
5
1.1.1. Statik
 Denge halinde bulunan sabit durağan sistemlerin üzerindeki
kuvvet ve momentleri inceler.
 Sistem hareket halinde olsa bile üzerinde ivme değerleri
yoktur.
 İvmenin olmadığı yerde atalet kuvvetleri olmayacağından
sistem statik kuralları ile incelenir.
 Statik bilimine ait ilk prensipler ve kanunlar kaldıracın
bulunması ile başlamıştır.
 Archimedes denge kanunu ve kaldıraca ait ilk formülleri
yazmıştır.
 Günümüze kadar Galile, Stevinus, Varignon, Newton,
D’Alembert, Langrange ve Hamilton gibi birçok bilim adamı bu
konuda çalışmışlardır.
6
 Statik, uzama, kısalma, eğilme, hareket, hız vb. gibi cismin
fiziksel davranışı ile uğraşmaz, dengelenmiş kuvvetler ve
bunun geometrisi araştırılır.
 Gerçekte kuvvet etkisi altında cisimler bir miktar da olsa şekil
değiştirirler. Bu şekil değiştirmeler ya çok küçük olduklarından
denge şartlarının incelenmesinde göz önüne alınmaz ya da
cismin şekil değiştirmediği kabul edilir.
 Kısaca, statik bilimi rijit cisimlerin kuvvet ve boyutları
arasındaki etkileşimi inceler.
7
1.1.2. Mukavemet
 Mukavemet, mühendislik yapılarının kendilerine etkiyen çok
çeşitli yükler altında görevlerini yapacak şekilde
boyutlandırılması sorununa cevap veren bir temel
mühendislik bilimidir.
Boyutlandırma Koşulları:
• Güvenlik (emniyet) koşulu
• Ekonomik olma koşulu
• Yapılacak göreve uygun olma koşulu
 Çelişkili gibi görünen emniyet koşuluyla ekonomik olma
koşullarını aynı zamanda ve her birisini en büyük ölçüde
yerine getirebilme sanatı ise, yalnız mukavemetin değil,
mühendislik mesleğinin amacı olarak nitelendirilebilir.
8
1.2. Malzemelerin Özellikleri
 Statik ve mukavemet, malzemelerin yüklenmeleri ve
boyutlandırılmaları ile ilgili çalışma yaparlar. Bu bakımdan
malzemelerin temel özellikleri bilinmelidir.
• Homojenlik (Homogeneity): Cismin fiziksel özelliklerinin
koordinatlardan bağımsız olması özelliğine denir.
• Heterojenlik (Heterogeneity): Cismin fiziksel özelliklerinin
koordinatlara bağımlı olması özelliğine denir.
• İzotropi (Isotropy): Cismin fiziksel özelliklerinin doğrultudan
bağımsız olması özelliğine denir.
• Anizotropi (Anizotropy): Cismin fiziksel özelliklerinin
doğrultuya bağımlı olması özelliğine denir.
• Higroskopi (Hygroscopy): Bir maddenin çevresindeki ortamdan
su moleküllerini çekme ve tutma yeteneğidir.
9
1.3. Statiğin Temel Kavramları
 Uzayda, kuvvetler etkisi altındaki cisimlerin denge koşullarını
inceler. Yukarıdaki tanımdan da açıkça görüldüğü üzere
statikte aşağıdaki temel kavramlar vardır;
1) Kuvvet
2) Cisim
3) Atalet
4) Uzay
10
1.3.1. Kuvvet
 Kuvvet, hareketin nedeni olarak düşünülen fiziksel etkenin
matematik modelidir.
 Kuvvetin elemanları;
– uygulama noktası (etki noktası),
– doğrultusu,
– yönü ve
– şiddeti ile karakterize edilir.
 Bu özelliklere sahip büyüklükler vektörel büyüklüklerdir.
 Kuvvet, tatbik edildiği cisimlerin bulundukları konumları
değiştirmeye çalışan fiziksel bir etki olarak tanımlanabilir.
 Kuvvet gibi ısı akışı, hız, ivme birer vektörel büyük iken,
sıcaklık ve kütle skaler büyüklüktür.
11
 Eğer bir cisim ip, zincir vb. ile bir yere Şekil 1.2’de görüldüğü
gibi asılmış ise yer çekimi etkisi ile ipi veya zinciri, düşey
doğrultuda ağırlığı kadar bir kuvvetle aşağı doğru çekmektedir.
Kuvvet B noktasından etki etmektedir. Yönü aşağı ve
doğrultusu AB’dir.
Şekil 1.2. Kuvvet etkisi
12
1.3.2. Cisim
 Uzayda yer kaplayan her şey cisim olarak adlandırılır. Cisimler
çeşitli şekillerde (katı, sıvı, gaz vb.) olabilir. Davranışları çeşitli
şekillerde modellenebilir. Mekanikte cisimler davranışına göre,
rijit, elastik, elasto-plastik, vizkoelastik cisim olarak adlandırılır.
Statikte ise cisimler rijit olarak kabul edilir. Yani cisimler kuvvet
etkisi altında hiç şekil değiştirmezler.
 Statikte cisimler iki ana idealleştirmeyle tanımlanırlar:
a) Maddesel nokta (Parçacık): Maddesel nokta olarak
dikkate alınabilen cismin kütlesi bir noktada toplanmış
olarak kabul edilir.
b) Rijit cisim: Kuvvetler etkisinde boyutları değişmediği
kabul edilen, çok sayıda maddesel noktanın bileşimi olan
ideal bir cisimdir.
13
1.3.3. Atalet
 Atalet, maddenin, hareketteki
gösterme özelliğidir.
değişikliğe
karşı
direnç
1.3.4. Uzay
 Uzay, fiziksel olayların meydana geldiği geometrik bir bölgedir.
İncelenen problemin türüne göre uzay bir boyutlu, iki boyutlu
ve üç boyutlu olabilir.
14
1.4. Trigonometri
 Şekil 1.3’deki dik üçgende aşağıdaki trigonometrik bağıntılar
geçerlidir.
Dik üçgende:
Şekil 1.3. Dik üçgen
Şekil 1.4. Bir dikme indirilmiş üçgen
15
Şekil 1.5’de gösterilen herhangi bir üçgen sinüs ve kosinüs
teoremleri geçerlidir. A,B,C kenar uzunluklar, a, b, c ise kenarın
karşısındaki açılardır.
Kosinüs teoremi
Şekil 1.5. Herhangi bir üçgen
Sinüs teoremi
16
2. STATİĞİN TEMEL İLKELERİ
17
2.1. Temel İlkeler
 Elamenter mekanik, deneylerden elde edilen dört temel ilkeye
dayanır. Bu ilkeler statik için de geçerlidir;
1) Newton kanunları
2) Paralelkenar ilkesi
3) Süperpozisyon ilkesi
4) Genel çekim ilkesi
18
2.1.1. Newton Kanunları
a) Newton’un 1. Kanunu: Denge İlkesi
 Denge halindeki kuvvetlerin etkisinde bir maddesel nokta, ya
sabit durur ya da doğrusal hareket eder.
 Bir rijit cisme etkiyen iki kuvvetin dengede olabilmeleri için
tesir çizgilerinin aynı, şiddetlerinin eşit ve yönlerinin zıt olması
gerekir. Örneğin F1 = − F2 ise şekildeki kuvvetler dengede
olurlar.
Şekil 2.1. Denge ilkesi
19
b) Newton’un 2. Kanunu
 Bir maddesel noktanın ivmesi, uygulanan bileşke kuvvetin
büyüklüğü ile doğru orantılıdır. İvme, kuvvet ile aynı doğrultu
ve yöndedir.
F=ma
20
c) Newton’un 3. Kanunu: Etki-Tepki Prensibi
 Birbirlerine değen iki cismin değme noktalarında etki ve tepki
kuvvetleri aynı şiddette, aynı tesir çizgisi üzerinde ve zıt
yöndedirler.
 Temas halindeki cisimlerin temas noktasındaki etki ve tepki
kuvvetleri aynı doğrultuda ve şiddette, fakat zıt yönlüdür.
Şekil 2.2. Etki – tepki ilkesi
 Statikte, harekete karşı tamamıyla
serbest olmayan cisimlerin denge
şartlarını incelemek zorunda
kalırız. Cismin herhangi bir
doğrultu ve yöndeki serbest
hareketine engel olan şeye bağ,
orada doğan kuvvete de bağ
kuvveti denir.
21
2.1.2. Paralelkenar İlkesi
 Bir cismin herhangi bir noktasına etkiyen iki kuvvetin etkisi, bir
paralel kenarın köşegeni ile gösterilen tek bir kuvvetin etkisine
denktir. Bu kuvvete bileşke kuvvet denir.
Şekil 2.3. Paralelkenar ilkesi
22
Vektörel olarak bu toplam
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
şeklinde tanımlanabilir.
Şekil 2.4. Bileşke kuvvet
Eğer iki vektör arasındaki açı γ ise bileşkenin şiddeti aşağıdaki
gibi hesaplanır.
𝑐 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛾
Buna kosinüs kanunu denir. Kuvvetlerin toplanmasında sinüs
kanunu da kullanılır.
23
 Bunun tersi de doğrudur: bir kuvvet yerine doğrultuları belli iki
kuvvet alınabilir. Bu kuvvetlere “bileşenler” adı verilir. Verilen
bir kuvveti verilen iki doğrultuda belli iki kuvvete
(bileşenlerine) ayırmak için de kullanılabilir.
Şekil 2.5. Bileşke kuvvet hali
24
2.1.3. Süperpozisyon İlkesi
 Bir rijit cismin bir noktasına etkiyen bir kuvvetin yerine, aynı
tesir çizgisi üzerinde, aynı şiddet, doğrultu ve yönde, fakat
başka bir noktaya etkiyen bir kuvvet konulursa, rijit cismin
denge ve hareketinde bir değişiklik olmaz. Bu durum şekil
2.7’de gösterilmiştir.
Şekil 2.7. Süperpozisyon ilkesi
25
 Bir rijit cisim, bir takım kuvvetlerin etkisi altında dengede ise,
aralarında dengede olan diğer birtakım kuvvetlerin eklenmesi
veya çıkarılması ile cismin dengesi bozulmaz.
Şekil 2.8. Dengede cisim
 Denge ilkesi ve süperpozisyon ilkeleri birleştirilerek, rijit
cisim statiğinde kuvvetin bir kayan vektör olduğu, yani aynı
tesir çizgisi üzerinde, aynı şiddet, doğrultu ve yönde başka
bir noktaya etkiyen bir kuvvet olarak göz önüne alınabileceği
görülebilir.
26
2.1.4. Newton’un Gravitasyon Kanunu: Genel Çekim İlkesi
 Kütleleri M ve m olan iki maddesel nokta karşılıklı olarak eşit
ve zıt yönlü F ve –F kuvvetleri ile Şekil 2.9’da görüldüğü gibi
birbirini çeker. Cisimler arasındaki bu çekime Newton’un
gravitasyon kanunu denir ve aşağıdaki bağıntı ile ifade edilir.
Şekil 2.9. Gravitasyon kanunu
27
 Gravitasyonal kuvvetler, her cisim çifti arasında mevcuttur.
Yeryüzü üzerinde, ölçülebilen tek gravitasyonal kuvvet, yerin
çekiminden ileri gelen kuvvettir.
F=ma
Mn
F=G 2
d
denklemlerinin birleşiminden, düşen cismin kütlesi birbirini
götürerek, g ivmesi aşağıdaki bağıntı ile belirlenebilir.
𝐺𝑀
𝑔= 2
𝑑
28
 Yeryüzüne göre g’nin değeri, ekvatorda 9.78 m/s2, 450’lik
enlemde 9.81 m/s2 ve kutuplarda 9.83 m/s2 olarak
bulunmuştur. Çoğu mühendislik problemlerinde, g’nin değeri
9.81 m/s2 olarak almak uygundur.
 Bir cismin kütlesini, genel çekim kanunuyla hesaplamak
mümkündür. Cismin ağırlığının değeri, W ise ve cisim g ivmesi
ile düştüğüne göre F = m a genel denklemine benzer olarak
aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
𝑊 =𝑚𝑔
29
2.2. Statiğin Temel İlkelerinden Çıkarılabilecek Sonuçlar
1) Üç kuvvet etkisindeki bir cismin dengede olabilmesi için bu
üç kuvvetin aynı noktada kesişmesi gerekir.
2) Kuvvet kayan bir vektördür. Yani doğrultu ve yönü
değişmemek şartıyla kuvvet kaydırılabilir
 Üç vektörün etki ettiği bir cismin dengede olabilmesi için bu
üç vektörün “kapalı kuvvetler üçgeni” oluşturması gerekir.
Şekil 2.10. Kuvvetler üçgeni
30
2.3. Statik Problemlerinde Çözüm Uygulamaları
Bileşke aranması: Kuvvetler sisteminde kuvvetlerin sayısını
azaltmak hesaplarda önemli kolaylıklar sağlar. Eğer kuvvetler
sistemi bir tek kuvvete indirgenebilirse bu kuvvet aranan bileşke
olur.
Bileşenlere ayırma: Bazı durumlarda bir kuvvetin kendisi yerine
belirli doğrultulardaki bileşenlerinin kullanılması daha elverişli
olabilir. Bu durumda bileşenlere ayırma problemi ile
karşılaşılabilir.
Denge problemi: Kuvvetler sisteminin dengede olması için
sağlaması gereken koşulların incelenmesidir. Statik problemleri
incelenirken, problemdeki cisimlerin hepsi için, her birine etkiyen
kuvvetleri açıkça gösteren ayrı ayrı diyagramlar çizilmelidir.
31
 Dengesi incelenecek olan sistemin ya da cismin üzerine
etkiyen bütün kuvvetlerin gösterildiği diyagramlara serbest
cisim diyagramları (SCD) denir.
 Bu diyagramların elde edilebilmesi için;
a) incelenecek olan cisim bağlarından ve diğer cisimlerden
ayrılır,
b) bağlardan ve diğer cisimlerden ayrılan cismin serbest cismi
üzerine uygulanan kuvvetler gösterilir,
c) serbest cisim birkaç parçadan oluşuyorsa, tüm cismin SCD’de,
bu parçaların birbirlerine uyguladığı kuvvetler göz önüne
alınmamalıdır,
d) bilinen dış kuvvetler şiddet ve doğrultularıyla SCD’de çizilir,
e) bağ kuvvetleri (mesnet tepkileri veya mesnet reaksiyonları)
de, bağın özelliğine göre SCD’de cisim üzerine etkilidir.
32
3. VEKTÖRLER VE VEKTÖREL İŞLEMLER
33
3.1. Vektörler
 Vektörler, mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte
kullanılan matematiksel büyüklüklerdir.
 Çevremizdeki büyüklükler; alan, hız, hacim, kütle vb.
genellikle iki şekilde adlandırılır;
• Skaler büyüklükler,
• Vektörel büyüklükler.
34
Skaler: Sadece fiziki büyüklüğü olan sıcaklık, kütle, alan, hacim,
uzunluk gibi değerlere skaler denir. Pozitif veya negatif olabilir.
Vektör: Fiziki büyüklüğü (şiddeti) yanında, yönü ve doğrultusu
olan konum, hız, ivme, kuvvet ve moment gibi değerler vektör
olarak adlandırılır. Vektör, yönlenmiş bir doğru parçasıyla temsil
edilir. Vektörel ifadeleri skalerden ayırmak için ya üzerinde bir ok
v veya alt çizgi v olarak gösterilirler.
 Vektörler kendi doğrultusunda kaydırılabiliyorsa bunlara kayan
vektör başlangıç noktası sabit ise böyle vektörlere de bağlı
vektörler denir.
 Skaler büyüklükler için geçerli olan dört işlem (toplama,
çıkarma, çarpma bölme) ve diğer matematiksel (türev,
integral) işlemler, vektörler için de vektörlere has yöntemlerle
yapılabilmektedir.
35
 Vektörel büyüklükler: Hız, ivme ve kuvvet gibi hem yönü, hem
doğrultusu, hem de şiddeti olan büyüklüklere vektör adı
verilir. Örneğin kuvvet bir vektörel büyüklüktür.
 Bir F vektörünün şiddeti F ile, yönü ve doğrultusu 𝐹 ile
simgelenir. Şekil 3.1’deki vektör doğrultusu üzerindeki A (XA,
YA) ve B (XB, YB) iki nokta olup, bu noktalar koordinatlarıyla
verilmişlerdir; dolayısıyla vektörün doğrultusu belirlidir.
Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir.
Şekil 3.1
36
 Vektörleri aşağıdaki şekilde gruplandırılır:
a) Sabit vektör
b) Serbest vektör
c) Kayan vektör
d) Birim vektör
e) Eşit vektörler.
f) Negatif vektör.
37
Sabit vektör: Uygulama noktası sabit olan vektör. Mukavemette
sabit vektörler kullanılır.
Serbest vektör: Yönü ve şiddeti korunmak şartı ile uzayda
serbestçe hareket ettirilebilen vektörler.
Kayan vektör: Aynı doğrultu üzerinde olmak koşulu ile istenilen
noktaya uygulanabilir. Statikteki kuvvetler kayan vektörlerdir.
Statikte kuvvetlerin kayan vektörler olduğu süperpozisyon ve
denge ilkeleri yardımıyla gösterilebilir.
38
Birim vektör: Vektörel işlemlerin kolaylaştırılmasında birim vektör
tanımlanmıştır. Bu vektörler sırasıyla x, y, z eksenleri boyunca i, j, k
olarak bilinir. Bu vektörlerin boyları bir birimdir. Şekil 3.2’de görüldüğü
gibi, bir skaler ile bir vektörün çarpımı şeklinde ifade edilir.
Şekil 3.2. Birim vektör
Şekil 3.3. Vektörün bileşenleri ve
birim vektör
39
Eşit vektörler: Aynı yön ve büyüklükte olan vektörlerdir.
Negatif vektör: Verilen bir vektörle aynı büyüklükte ama ters
yönde olan vektördür.
Şekil 3.4. Negatif vektör
40
3.2. Vektörel İşlemler
Şekil 3.5
41
 Bilinen iki vektör A ve B olsun. Bu iki vektörün toplamına R
diyelim. Paralel kenar kanunu vasıtasıyla şekil 3.6’da bu
toplam R = A + B şeklinde verilir. A ve B, vektörlerin boylarını
gösterdiğine göre vektörlerin toplamı geometrik olarak şekil
3.6’daki gibi verilebilir.
Şekil 3.6. İki vektörün toplamının geometrik gösterimi
42
 Bu vektörlerin arasındaki açı θ ise toplamın şiddeti şu şekilde
yazılabilir. Vektörün şiddeti iki çizgi arasında (mutlak değer)
gösterilir.
R =
A2 + B2 ∓ 2 A B cos θ
B vektörü ile R vektörünün yaptığı açı şu şekilde yazılabilir.
A sin θ
α = arctan
B + A cos θ
43
 Vektörlerin toplanması için dört temel metot vardır:
a) Paralel kenar metodu
b) Üçgen metodu
c) Poligon metodu
d) Analitik metot
 İlk iki metot genellikle iki vektörün toplanmasında diğer iki
metot ise ikiden çok vektörün toplanması durumunda
kullanılır.
44
a) Paralel kenar metodu
 Bir noktada kesişen iki vektör bir paralel kenara tamamlanırsa
vektörlerin kesim noktasından geçen köşegen o vektörlerin
toplamına eşittir. Paralel kenara tamamlama ölçekli bir çizimle
yapıldığında köşegenin boyu ölçülerek bileşke kuvvetin şiddeti
bulunabileceği gibi cebirsel olarak da bileşke kuvvetin şiddeti
ve yönü hesaplanabilir.
• Bir üçgende bileşke kuvvet aşağıdaki gibi yazılabilir.
R = A2 + B2 + 2 A B cos θ 1/2
45
• Dik üçgende aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.
𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝐵 + 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝛼 = 𝑡𝑎𝑛
−1
𝐴 sin 𝜃
𝐵 + 𝐴 cos 𝜃
46
Ayrıca yukarıdaki formüllerden şu özel durumlar söylenebilir.
• θ = 0o ise; iki vektör çakışıktır.
• θ = 90o ise; iki vektör birbirine diktir. Bu durumda şunlar
yazılabilir.
R = A2 + B2
1/2
A
α=
B
• θ =180o ise; iki vektör aynı doğrultuda, ama yönleri zıttır.
tan−1
• R = A + B ise; α = 0o ve B > A veya α = 180o ve B < A
olur.
47
• Aynı uygulama çizgisi olan iki kuvvetin bileşkesi:
Şekil 3.7
Paralelkenar kuralı:
Şekil 3.8
48
• Grafik metodu:
Şekil 3.9
• Sinüs ve kosinüs kuralı:
Şekil 3.10
49
Şekil 3.11. Üçgen metodunun uygulanması
50
c) Poligon metodu
 Bu metot üçgen metodun genişletilmiş halidir. İkiden fazla
vektörün toplanması için kullanılan geometrik bir toplama
metodudur.
 Bilinen üç vektör A,B,C olsun vektörlerden birini çizdikten
sonra diğer vektörleri kendi yön ve doğrultusuna sadık kalarak
çizilen ilk vektörün uç noktası ile diğer vektörün başlangıcı
birleştirilir.
 Aynı işlem sonraki vektör içinde uygulanır.
 İlk çizilen vektörün başlangıç noktası ile son çizilen vektörün
bitim noktası birleştirilirse R bileşke kuvveti; şiddet ve yön
olarak bulunmuş olur.
51
 Burada işlem sırası ve vektörlerin birbirini kesmesi önemli
değildir. Şekil 3.12’de üç vektör için metodun uygulanışı
gösterilmiştir.
Şekil 3.12. Poligon metodu
52
d) Analitik metot
 Bir
vektörü
(birbirine
dik
doğrultularda) kartezyen koordinat
sisteminde iki bileşene ayırmak
mümkündür.
 Vektörün eksenlerden birisi ile yaptığı
açı θ ise, vektör sin(θ) ve cos(θ) ile
çarpılarak
dik
koordinatlardaki
izdüşümü bulunabilir.
 Şekil 3.13’de görüldüğü gibi vektör x
ve y eksenleri yönünde bileşenlere
ayrılabilir.
Şekil 3.13. Bir vektörün
bileşenlere ayrılması
53
 Bir kuvvet için yapılan bileşenlere ayırma birden fazla vektör
içinde yapılabilir. Sonra bu bileşenler cebirsel olarak
toplanırlar. Bütün vektörlerin x yönündeki bileşenleri Rx ve y
yönündeki bileşenleri Ry olmak üzere bu işlemler birden çok
kuvvet için yapılmış ise,
54
55
4. KUVVET VE MOMENT
56
4.1. Kuvvet
Bir cismin şeklini veya hızını değiştiren ve başka cisimler
tarafından uygulanan fiziksel etkiye kuvvet denir.
Kuvvetin etkisi ile cisimde hız veya şekil değişimi görülebilir.
Kuvvet doğrultu yön ve bir şiddet içerdiğinden vektörle
gösterilebilir.
Yalnız aynı vektörle gösterilmesine rağmen kuvvet cismin
farklı yerlerine uygulandığında fiziksel etkisi farklı olur.
Bundan dolayı kuvvet özellikle rijit cisim mekaniğinde vektör
ve etki doğrusu ile birlikte düşünülmelidir.
57
 Bir cismi hareket ettiren veya hareketini değiştiren etkiye
kuvvet denir
Şekil 4.1. Kuvvet ve etkisi
58
 Kuvvetin iki etkisinden söz edilebilir;
a) Duran bir cismi hareket ettirmek.
b) Hareket halindeki cismi durdurmak, denge durumu.
 Bir cismi hareket ettirmek için hareket yönünde bir kuvvet
uygulanır.
 Hareket halindeki bir cismi durdurmak için aynı doğrultuda,
aynı şiddette ve ters yönde bir kuvvet uygulanmalıdır.
 Kuvvetin etkisi, kuvvetin şiddetine, doğrultusuna, yönüne ve
uygulama noktasına göre değişiklik gösterir.
 Buna göre kuvveti tam olarak tanımlayabilmek için bu
değerlerin bilinmesi gereklidir.
59
 Kuvvetin, böyle bir doğru parçası ve ok ucu ile gösterilmesine
vektör denir.
Şekil 4.2
60
Kuvvetin Temel İlkeleri
• Kuvvetin yönü ;
– Soldan sağa artı (+),
– Sağdan sola eksi (—),
– Yukardan aşağıya artı (+),
– Aşağıdan yukarıya eksi (—) olarak işaretlenir.
Şekil 4.3
61
 Bir kuvvetin uygulama noktası, kendi doğrultusu üzerinde
başka yerlere taşınabilir. Ancak kuvvetin tesiri değişmez. Yeter
ki yeni uygulama noktası eskisine bağlı kalsın.
 Bir kuvvet sisteminde;
• Eşit şiddette,
• Aynı doğrultuda,
• Fakat ters yönde iki kuvvet birbirini dengede tutar.
Şekil 4.4
62

•
•
•
Bir kuvvet, cisme etki yapınca;
Cisim etki yapan kuvvete eşit,
Onunla aynı doğrultuda,
Fakat, ters yönde bir kuvvetle tepki gösterir (Etkiye Tepki
Prensibi).
 Örneğin, duvara atılan yumruk elimizin acımasına yol açar.
Yumruk ne denli etkili ise, duvarın tepkisi de o denli fazla
olacaktır; acıma hissi artacaktır. Buna göre, tepki etkiye eşit,
fakat onunla ters yöndedir.
63
Bileşen ve Bileşke Kuvvetlerin Bulunması
 Bir cismi birden fazla kuvvet etkilediğinde, onların yaptığı
etkinin aynısını yapabilecek tek kuvvete bileşke kuvvet denir
ve R ile gösterilir. Cisme etki yapan kuvvetlere, bileşen kuvvet
adı verilir F veya P ile gösterilir.
Şekil 4.5
Şekil 4.6
Bileşen ve bileşke kuvvetler grafik yöntem veya hesap
yöntemi ile bulunabilir.
64
Dengeleyici Kuvvet:
 Bileşkeye eşit şiddette, onunla ters yönde olan kuvvete
dengeleyici denir. Denge kuvvetini bulmak için, bileşkenin
yönünü değiştirmek yeter.
Şekil 4.7
65
Hesap Yöntemi
 Kesişen iki kuvvetin bileşkesini hesap yöntemi ile bulmak için,
trigonometrik formüllerden faydalanalım. Hesap yöntemi ve
grafik yöntemi ile bulunan sonuçlar karşılaştırılarak problemin
doğruluğunu sağlayalım.
 Bileşkenin hesaplanmasında Cosinüs formülü (Trigonometri)
uygulanır.
a) a = 0o ise, bileşen kuvvetler toplanarak bileşke kuvvet bulunur.
Şekil 4.8
66
b) a = 1800 ise sağa giden kuvvetler (+) sola gidenler ise (- )
alınarak toplanır.
Şekil 4.9
67
c) a = 90° ise Pisagor teoreminden yararlanarak sonuca
ulaşılabiliriz.
Bileşke kuvvet
𝑅 = 𝐹12 + 𝐹22
formülü ile hesaplanır (cos90o = 1).
Şekil 4.10
68
d) a < 90° ise 𝑅 = 𝐹12 + 𝐹22 + 2 𝐹1 𝐹2 𝐶𝑜𝑠 𝛼
formülü ile hesaplanır.
Şekil 4.11
69
Şekil 4.12
70
4.2. Moment
 Bir düzlem (B) içerisindeki kuvvetin momenti, moment
merkezine göre (O), kuvvetin şiddetinin moment merkezi ile
kuvvetin uygulandığı nokta arasındaki mesafenin (OA)
çarpımına eşittir.
 Dönme merkeziyle (O), kuvvet (P) arasındaki dik uzaklığa
kuvvet kolu (a) denir.
Şekil 4.13
71
Kısaca ;
 Kuvvet ile kuvvet kolunun çarpımına, kuvvetin “ Döndürme
Etkisi ” veya Moment adı verilir. Moment M sembolü ile
gösterilir.
 Örnek olarak; P kuvvetini Y ekseni etrafında dönüyormuş gibi
farz edersek ;
• Kuvvet = P,
• Kuvvet kolu = a (OA) olarak alınırsa,
• Buradan Moment (Döndürme Etkisi)
• Moment = Kuvvet (P) x kuvvet kolu (a) olduğundan
• M = P x a veya
• M = P (kg) x a (cm) = kg cm olarak hesaplanabilir.
 Bu da O noktasına göre;
ΣMO = P x a olarak formüle edilebilir.
72
 Örnek olarak; Şekilde A noktasındaki bir sondaj borusunu
döndürerek çakmak isteyen ekibin uygulaması gereken kuvveti
hesaplamak istersek; A noktasına göre moment;
 Cismi etkileyen kuvvetler (n) adetse;
ΣMA = P1 a1 + P2 a2 + P3 a3 + … + Pn an
Burada ;
ΣMA = A noktasına göre moment
(kgm)
ΣM = Toplam moment
F1
= A noktasına etki yapan
(döndürmeye çalışan) kuvvet (kg)
a1 = Kuvvetin A noktasına olan dik
uzaklığı (m)
Şekil 4.14
73
 Kuvvet birimini kilogram (kg) ve kuvvet kolunu metre (m) ile
gösterirsek, moment birimi kilogram metre (kgm) olur.
 Kuvvet kolu santimetre (cm) ise, moment birimi kgcm’dir.
Bunun gibi tm, tcm’de moment birimi olarak yazılabilir.
 Cisim hareket etmezse yani sistem dengede ise ;
ΣMo = 0 olur. Durgun hal (Denge durumu)
 Momentin işaretinin belirlenmesinde kuvvetin dönüş
istikametine bakılır. Cismi, saat ibresi yönünde döndürecek
şekilde etki yapıyorsa (+) pozitif, saat ibresinin tersi istikamette
döndürecek etki yapıyorsa (-) negatif işaretli olarak alınır.
74
Varignon teoremi
1- Bir noktada kesişen birden fazla kuvvetin bileşkesinin herhangi
bir dönme merkezine göre momenti, aynı noktaya göre
bileşen momentlerinin cebirsel toplamına eşittir.
R d = P 1 a + P2 b – P3 c
Not: Momentlerin yönlerine özellikle dikkat edilmelidir.
2- Bir paralel kuvvetler sistemi bileşkesinin herhangi bir dönme
merkezine göre momenti, aynı noktaya göre bileşen
momentlerinin cebirsel toplamına eşittir.
75
5. RİJİT CİSİMLERİN DENGESİ
76
 Denge, hem ivmeli hareketle cismin ötelenmesini önlemek
için kuvvetlerin dengesini, hem de cismin dönmesini önlemek
için momentlerin dengesini gerektirir.
Şekilde cisme, kuvvet ve moment (kuvvet
çifti) vektörleri etkilemektedir.
Bu kuvvetler, yerçekimi, elektriksel,
manyetik veya temas kuvvetlerinden
dolayı olabilir.
İç kuvvetlerin toplamı sıfırdır, çünkü cisim
içindeki parçacıklar arasındaki iç kuvvetler,
Newton’un üçüncü kanununa göre eşit,
Şekil 5.1
fakat zıt yönlü doğrusal çiftler şeklindedir,
yani dengededir.
77
 Bir cisme etki eden kuvvet ve moment çifti sistemi, cismin
herhangi bir O noktasına eşdeğer bir bileşke kuvvet ve bileşke
moment çiftine indirgenebilir.
 Bu bileşke kuvvet ve moment çiftinin ikisi de sıfıra eşitse,
cismin dengede olduğu söylenebilir.
Şekil 5.2
78
 Bu denklemler, bir rijit cismin dengede olması için, cisim
üzerine etkiyen bütün dış kuvvetlerin toplamının ve dış
kuvvetlerin bir noktaya göre momentleri toplamının sıfıra eşit
olması gerektiğini ifade eder.
 Bu iki şart, sadece gerek değil, denge için ayrıca yeter
koşuldur.
 Bunu göstermek için, bir başka nokta olan A’ya göre moment
alalım:
Şekil 5.3
79
Varsayım:
 Denge denklemleri uygulanırken, cismin rijit kaldığı, şekil
değiştirmediği kabul edilmektedir.
 Gerçekte ise, yüklere maruz kalan cisimler deforme olur.
Bununla birlikte, beton ve çelik gibi oldukça rijit olan
malzemelerde bile durum böyledir.
 Ancak, birçok mühendislik uygulamasında denge denklemleri
uygulanırken, cismin rijit olduğu kabulü yapılır.
 Cisim şekil değiştirse bile, bu şekil değişiminin kuvvetlerin
doğrultusunu ve moment kollarının sabit bir referans eksenine
göre değişmediği kabul edilir.
80
İki Boyutlu Denge
 Aynı düzlemdeki kuvvetler ve bu düzleme dik momentlerin
dengesi sözkonusudur.
 Bu tür sistemlere iki boyutlu kuvvet sistemleri denir.
 Şekildeki uçak, merkezden geçen eksene göre simetrik olduğu
için, tekerleklerde oluşan kuvvetler T ve T, 2T olarak
gösterilmiştir.
Şekil 5.4
81
Serbest Cisim Diyagramları (SCD)
 Denge denklemlerinin başarıyla uygulanması için, cisim
üzerine etkiyen bilinen ve bilinmeyen bütün dış kuvvetlerin
cisim üzerinde gösterilmesi gerekir.
 Bunun için serbest cisim diyagramı çizilmelidir.
 Bu diyagram cismi, çevresinden izole edilmiş veya serbest
kalmış bir şekilde ana hatlarını, yani bir “serbest cismi”
gösteren bir taslaktır.
82
 Serbest cisim diyagramını çizmek için:
1) Cisim üzerine etkiyen dış kuvvetler, bilinen ve bilinmeyen tüm
kuvvetler cisim üzerinde gösterilir. Bu kuvvetler: cisme etkiyen
dış kuvvetler, reaksiyon/mesnet kuvvetleri ve cismin ağırlığıdır.
2) Bilinen kuvvetler/momentler bilinen şiddet ve yönleriyle
gösterilmelidir. Bilinmeyen kuvvetler/momentlerin yön ve
şiddetleri harflerle gösterilmelidir
3) Bir x-y koordinat ekseni oluşturulmalı ve bilinmeyen kuvvetler,
bu eksenlerdeki bile şenlerine ayrılarak gösterilmelidir.
4) Cismin boyutları belirtilmelidir (bu boyutlar momentler
bulunurken kullanılacaktır).
83
Dış ve İç kuvvetler
 Bir rijit cisim parçacıkların birleşimi olduğundan, üzerine hem
dış hem de iç yükler etki eder. Ancak cismin serbest cisim
diyagramında iç kuvvetler gösterilmez. İç ve dış kuvvetler
daima eşit, fakat zıt yönlü doğrusal çiftler şeklinde ortaya
çıkar ve bu nedenle cisim üzerindeki net etkileri sıfırdır.
 Motora etkiyen tüm iç kuvvetler (bulon, vida vb. kuvvetleri)
birbirlerini dengeler. Sadece zincir kuvvetleri ve motor ağırlığı
serbest cisim diyagramında gösterilir.
Şekil 5.5
84
6. MESNETLER VE MESNET REAKSİYONLARI
85
 Bir mesnet cismin verilen bir doğrultuda ötelenmesini
engelliyorsa, cisim üzerinde sözkonusu doğrultuda bir kuvvet
ortaya çıkar.
 Aynı şekilde, cismin dönmesi engelleniyorsa, cisim üzerinde
bir kuvvet çifti momenti uygulanır.
86
6.1. Kayıcı Mesnetler
 Sadece kirişin düşey doğrultuda ötelenmesini önler, tekerlek
kiriş üzerinde sadece bu doğrultuda bir kuvvet uygular.
 Sadece bilinmeyen bir reaksiyon sağlar ve hareket yönüne
pozitif bir açı ile etki eder.
 Böylece kayıcı mesnetler, bir doğrultuda lineer harekete ve
dönmeye müsaade ederler.
 Kuvvet mesnetten kirişe etkiyor şeklinde gösterildi (yani cisim
üzerinde).
 Mesnet serbestçe döndüğü için ve yatay yönde hareket
edebildiği için o yönlerde mesnet kuvvetleri oluşmaz.
87
Şekilden anlaşılacağı üzere, y yönünde yer değiştirme yoktur
yani sıfırdır ama yönünde bir tepki kuvveti RAy meydana gelir.
Şekil 6.1. Kayıcı mesnet
88
6.2. Sabit Mesnetler
 Tek noktada sabitlenmiş mesnetler yatay ve düşeyde iki
reaksiyon verir dolayısıyla iki yönde cismin hareketine engel
olur. Fakat dönmeyi sağlar.
Şekil 6.2. Sabit mesnet
89
6.3. Ankastre (Konsol) Mesnetler
 Yönü ve şiddeti bilinmeyen iki reaksiyon ve momenti sağlar
(toplam üç bilinmeyen).
 Bu mesnet kirişin hem ötelenmesine, hem de dönmesine
engel olur.
 Böyle bir mesnet iki doğrultuda lineer hareketi ve bir eksen
etrafında dönmeyi engeller.
Şekil 6.3. Ankastre mesnet
90
Şekil 6.4. Kayar ve sabit mesnetin birlikte uygulanması
91
7. AĞIRLIK MERKEZİ
92
 Cismin ağırlığı önemli mertebedeyse bu sorularda belirtilir.
 Cisim üniformsa (aynı malzemeden yapıldıysa) ağırlık merkezi
cismin geometrik merkeziyle çakışır.
 Cisim üniform değilse, veya karmaşık bir geometriye sahipse
bu durumda ağırlık merkezi verilecektir.
 Herhangi bir sistemin kuvvet analizi yapılacağı zaman, gerçek
duruma en yakın analitik veya idealize modeli düşünülmelidir.
 Bunun için mesnet tipleri, malzeme davranışı ve cismin
boyutları uygun bir şekilde seçilmelidir.
 Kompleks durumlarda birden fazla modelin analiz edilmesi
gerekebilir.
93
Şekil 7.1
Şekil 7.2
94
95
Analizde İzlenecek yol:
1- Serbest Cisim Diyagramının Çizilmesi:
 Cisim üzerine etkiyen tüm dış kuvvetler ve kuvvet çifti
momentlerinin gösterilmesi gereklidir.
 Bu vektörlerin büyüklükleri ve oluşturulan bir x-y eksen
takımına göre belirlenen doğrultuları belirtilmelidir.
 Kuvvetlerin momentlerinin hesaplanması için gerekli olan
cismin boyutları da serbest cisim diyagramına dahil edilir.
 Bilinmeyenler belirlenir.
 Etki çizgisi bilinen ancak büyüklüğü bilinmeyen bir kuvvet veya
kuvvet çifti momentinin yönü varsayım ile belirlenebilir.
96
2- Denge Denklemlerinin Uygulanması:
 Bütün denklemleri aynı anda çözmek zorunda kalmamak için
iki bilinmeyen kuvvetin etki çizgilerinin kesişme noktasında yer
alan bir O noktasına göre M0 = 0 moment denklemi uygulanır
(ki bu bilinmeyen kuvvetlerin O noktasına göre momentleri
sıfır olsun).
 Oluşturulan x-y eksenleri kullanılarak Fx = 0 ve Fy = 0 denge
denklemleri uygulanır.
 Denge denkleminin çözümü sonucunda negatif bir skaler
çıkarsa, sözkonusu kuvvet veya momentinin yönünün, serbest
cisim diyagramında varsayılanın tersine olduğu anlaşılır.
97
8. KAFES SİSTEMLERİ VE KİRİŞLER
98
8.1. Düzlem Kafes Kiriş Sistemleri
 Aynı düzlem içinde birbirlerine uç noktalarından bağlanarak bir rijit
yapı oluşturan çubuklar topluluğuna düzlem kafes sistemi denir.
 Uç noktalarından bağlanma şekli pratik uygulamalarında kaynaklı
birleştirme şeklinde olmasına karşı hesaplamalarda sürtünmesiz
silindirik mafsallı kabul edilir.
 Ayrıca çubuklar uç noktaları dışında yüklenmemiş kabul edilir.
 Böylece çubuklarda oluşacak iç kuvvetler çubuk doğrultusunda
alınabilir.
 Kafes kiriş sistemlerinin yapım kolaylığı ucuzluğu ve hafifliği
dolayısıyla bir çok yerde uygulama alanı vardır.
 Tren köprüleri, vinç kolları ve kuleleri , gezer köprülü vinçler , yüksek
gerilim hattı direkleri , radyo verici antenleri, depo ve çiftlik çatı
kirişleri gibi alanlarda uygulamalarına rastlanır.
 Kafes sisteminde uç noktalarının birleşme yerlerine düğüm noktaları
denir.
99
8.1.1. Basit Kafes Sistemi
 Üç çubuktan oluşan kafes sistemi bir basit kafes sistemidir.
 Bu sistem üç çubuk ve üç düğüm noktası içerir.
 Bu sisteme eklenecek iki çubuk düğüm noktası sayısını bir
artırır.
 Böylece oluşturulacak m sayıdaki çubuk ve n sayıdaki düğüm
noktasından oluşan kafes sistemi de bir basit kafes sistemidir.
Bir basit kafes sisteminde m = çubuk sayısı n = düğüm
noktası sayısı olmak üzere
2n = m + 3
olur.
100
Şekil 8.1. Basit kafes sistemi
101
Şekil 8.2. Çeşitli çatı kafes sistemi örnekleri
Şekil 8.3. Çeşitli köprü kafes sistemi örnekleri
102
8.1.2. Düğüm Noktaları Metodu İle Kafes Sisteminin Analizi
 Kafes sisteminin her bir düğüm noktası için 2 denklem yazılır.
 n tane düğüm noktalı bir kafes sisteminde 2n denklem
yazılacağından 2n sayıda bilinmeyen çözülebilir.
 Toplam çubuk sayısı 2n-3 ve mesnetlerden de 3 bilinmeyen
geleceğine göre denklem sayısı yeterli olur.
 Ayrıca sistem bütün bir rijit cisim gibi alınıp dengesi
düşünüldüğünde 3 denklem daha yazılabilir.
 Bundan dolayı düğüm noktaları metodu ile fazladan elde
edilen 3 denklem sonuçların kontrolu için kullanılabilir.
 Bir kafes sisteminde çubuk kuvvetlerini bulmadan önce sistem
bütün bir rijit cisim olarak göz önüne alınıp mesnet tepkileri
bulunabilir.
103
 Daha sonra düğüm noktalarının dengesi düşünülerek en fazla
iki bilinmeyen içerecek şekilde düğüm noktası seçip işleme
başlanır.
 Çubuklardan düğüm noktalarına gelen kuvvetler çubuk
doğrultularında alınır.
 Düğüm noktalarındaki kuvvetlerle çubuklardaki kuvvetler etki
tepki ilkesine göre birbirinin tam zıttıdır.
 Bir düğüm noktasındaki bilinmeyenler çözüldüğünde bu
düğüm noktasına çubuklarla direk bağlı diğer düğüm
noktalarında da birer tane bilinmeyen azalacağından en fazla
iki bilinmeyen içeren düğüm noktalarını bulmak kolaylaşır.
104
Şekil 8.4. Kafes sisteminin analizi
105
8.1.3. Özel Düğüm Noktaları
 Bir düğüm noktasında 4 tane çubuk şekildeki gibi ikişer ikişer
aynı doğrultuda ise burada oluşturulacak kuvvet poligonu
paralel kenar olur.
 Bundan dolayı aynı doğrultudaki çubuklara etki eden
kuvvetlerin şiddeti birbirine eşit, yönü birbirinin zıttı olur.
Şekil 8.5. Özel düğüm noktaları
106
 Üç çubuktan oluşan bir düğüm noktasında çubuklardan ikisi
aynı doğrultuda diğeri farklı doğrultuda yerleştirilmiştir.
 Ayrıca bir P kuvveti bu düğüm noktasına farklı doğrultudaki
çubuğun doğrultusunda uygulandığında yine bu 4 kuvvet
üzerine kurulan poligon paralel kenar şeklinde olur.
 Paralel kenarın karşılıklı kenarlarının uzunlukları birbirine eşit
olacağından farklı doğrultudaki çubuk kuvvetinin şiddeti P
kuvvetine eşit olur.
 Eğer bu P kuvveti kaldırılırsa farklı doğrultudaki çubuğun
kuvveti sıfır olur.
107
Şekil 8.6
İki çubuktan oluşan düğüm noktalarında iki çubuk aynı
doğrultuda ise bunlara etki eden kuvvetlerin şiddetleri
birbirine eşit, yönleri birbirine zıttır.
Böyle bir düğüm noktasına başka bir P kuvveti etki ediyorsa
bunun şiddeti sıfır olmalıdır.
İki çubuktan oluşan düğüm noktasındaki çubuklar farklı
doğrultularda ise bu çubuklardaki kuvvetler sıfırdır.
108
Şekil 8.7
109
• Aşağıda gösterilen kafes sisteminde BM ve FI çubuk kuvvetleri
sıfırdır.
• FI çubuk kuvveti sıfır olduğu için FJ çubuk kuvveti de sıfırdır.
Şekil 8.8
110
8.1.4. Kesim Metodu İle Kafes Sisteminin Analizi
 Tüm sistemin analizi yerine çubuklardan bazılarına gelen
kuvvetler hesaplanacağı zaman kesim metodu daha pratiktir.
 Bu metotta kafes sistemi hesabı istenen çubuktan geçen ve
bilinmeyen üç çubuktan fazla çubuk içermeyecek şekilde bir
çizgi ile ikiye ayrılır.
 Ayrılan taraflardan birinde yazılacak olan
denklemleri ile üç bilinmeyen çözülebilir.
111
Şekil 8.9
112
9. SÜRTÜNME
113
9.1. Sürtünme Kavramı
 İki yüzey birbirleriyle temasta ise biri ötekine göre hareket
etmek isteyince sürtünme kuvveti denen teğetsel kuvvetler
ortaya çıkar. Bu kuvvetler şiddetçe sınırlıdır.
 Yeteri kadar kuvvetin etkimesi halinde harekete mani
olamazlar.
 İki tür sürtünme vardır.
1) Kuru Sürtünme (Cloumb)
2) Sıvı Sürtünme (Yağlanmış mekanizmalarda)
• Bu derste kuru sürtünme incelenir.
114
9.2. Kuru Sürtünme ve Kanunları
 Bir cismin diğer bir cisim üzerinde kaymaya başladığı ana
kadar ki sürtünmeye statik sürtünme denir.
 Bir cisim diğer bir cisim üzerinde hareket halindeyken söz
konusu olan sürtünmeye kinetik sürtünme denir.
Şekil 9.1
115
1. Sürtünme katsayısı normal kuvvetten bağımsızdır. Fakat
sürtünme kuvveti normal kuvvetle doğru orantılıdır.
f = μN
2. Sürtünme katsayıları değerleri sadece yüzeylerin tabiatına
bağlıdır. Dayanma, yüzeyinin biçim ve büyüklüğünden
bağımsızdır.
3. Kinetik sürtünme katsayısı statik sürtünme katsayısından
küçüktür.
4. Küçük hızlarda sürtünme hıza bağlı değildir. Fakat yüksek
hızlarda sürtünme azalır.
116
 Bir cisim yatay bir yüzeyle temasta ise dört farklı durum ortaya çıkar.
Bunlar;
1. Cisme etkiyen kuvvet onu temas yüzeyi boyunca hareket etmeye
zorlamaz.
( fs ) sürtünme kuvveti yoktur.
Şekil 9.2
117
2. Etkiyen kuvvetler, cismi temas yüzeyi boyunca harekete zorlar
fakat hareket ettirecek kadar büyük değildir. Meydana gelen
sürtünme kuvveti statik dengeden çözülebilir.
fs = μsN kullanılamaz.
Şekil 9.3
118
3. Hareketin başlangıcı etkiyen dış kuvvetler sürtünme kuvvetinin
max. (fs) değerine ulaşmıştır. Sürtünme kuvveti N normal
kuvvetiyle beraber diğer kuvvetleri dengelemektedir.
fm = μs.N
kullanılabilir.
 fm, her zaman hareketin ters yönündedir.
Şekil 9.4
119
4. Cisme etkiyen kuvvetler tesirinde kaymaktadır. Artık denge
denklemi uygulanmaz.
fs = Fk
Fk: Kinetik sürtünme kuvveti
fk = μk.N
Şekil 9.5
120
Sürtünme katsayıları ve sürtünme açıları
Şekil 9.6
121
9.3. Sürtünme Ve Sürtünme Katsayısı
 Şekillerde gösterildiği gibi eğim açısı θ olan bir eğik düzlem
üzerine bırakılan bir cismin θ nın belli değerlerine kadar
dengede kaldığı bilinir.
 Aynı şekilde yatay düzlem üzerine bırakılan bir cisme yatay
doğrultuda bir P kuvveti uygulanırsa P’nin belli değerlerine
kadar cismin dengede kaldığı bilinir.
 Bütün bunların nedeni temas eden yüzeyler doğrultusunda
tepki kuvvetlerinin oluşmasıdır.
 Bu kuvvetlere sürtünme kuvvetleri denir.
122
Şekil 9.7
123
 Sürtünme kuvvetinin maksimum değeri birbirlerine temasta
olan cisimlerin cinslerine ve temas yüzeylerinin özelliklerine
bağlıdır.
 Dengede kalmak şartıyla θ’nın en büyük değerinin tanjantına
sürtünme katsayısı denir ve μ ile gösterilir.
124
Tablo 9.1. Bazı cisim çiftlerinde statik sürtünme katsayıları
Kinetik sürtünme katsayıları statik sürtünme katsayısının yaklaşık 0.75’ine eşittir.
125
9.4. Mesnetlerdeki Sürtünmeler
• Mesnetlerde temas yüzeyi belli ise sürtünme kuvveti bu
yüzeye teğettir. Eğer mesnet mafsal şeklinde ve temas yüzeyi
bilinmiyorsa ise sürtünme momenti göz önüne alınarak işlem
yapılabilir.
Şekil 9.8
126
9.5. Halat Veya Kayış Kasnak Sürtünmesi
• Kayış kasnak sistemlerinde düz kayış yerine daha çok kesiti V
şeklinde olan V kayışları kullanılır.
Şekil 9.9
127
Şekil 9.10
V kayışlı kayış kasnak sistemlerinde kayışın her iki yan yüzeyinde temas
olduğundan diferansiyel elemanda sürtünme kuvvetinin iki katı alınır.
Normal kuvvet yerine 2dNsin β/2 alınarak düz kayış için yapılan işlemler
tekrar edilirse
formülü bulunur.
128