Fizik 101: Ders 10 Ajanda İş Dünya yüzeyinde çekim kuvvetinden dolayı yapılan iş Örnekler: Sarkaç, eğik düzlem, serbest düşme Değişken kuvvetçe yapılan iş Yay Yay ve sürtünmeli problemler 3 boyutta değişken kuvvetçe yapılan iş Newton’un çekim yasası Korunumlu kuvvetler & potansiyel enerji 1. ARASINAV 03.11.2012 SAAT 8:30 SINAV YERLERİ FİZİK PANOSUNDA İLAN EDİLECEKTİR. Sabit kuvvet r yolu boyunca etki eden sabit bir kuvvetin yaptığı iş, W: W = F r = F r cos() = Fr r F Fr r Sabit Kuvvetlerin Toplamı FNET = F1 + F2 olsun ve yer değiştirme S. Her bir kuvvetin yaptığı iş: W1 = F1 r W2 = F2 r WNET = W1 + W2 = F1 r + F2 r = (F1 + F2 ) r WNET = FNET r F1 FTOT r F2 Sabit kuvvet... W = F r İş sıfırdır eğer = 90o. T T iş yapmaz! v v N N iş yapmaz İş & Kinetik Enerji Teoremi: {Cismin yaptığı net İŞ} = {cismin kinetik enerjisindeki değişim} WF = K = 1/2mv22 - 1/2mv12 v1 v2 F m x WF = Fx Yerçekimiyle yapılan iş: m mg r j y m Yerçekimiyle yapılan iş... W NET = W1 + W2 + . . .+ Wn = F r 1+ F r2 + . . . + F rn = F (r1 + r 2+ . . .+ rn) = F r = F y m r1 y r3 Wg = -mg y Sadece y’ye bağlı, yoldan bağımsız! rn r mg r2 j Değişen Kuvvetin Yaptığı iş: (1D) Kuvvetin sabit olduğu durumda kolayca W = F x yazabiliriz. F F - x grafiğinde alttaki alan: Wg x x Değişken kuvvetlerde işe denk gelen alanı bulmak için integre ederiz: dW = F(x) dx. F(x) x2 W F ( x )dx x1 x1 dx x2 Değişen Kuvvet için İş/KE Teoremi x2 W F dx x1 x2 m x1 v2 dv dx dt mv v1 F ma m dv dt dv dx dv dv = = v dx (zincir kuralı) dt dt dx dv dx dx v2 m v dv v1 1 1 1 m (v22 v12 ) m v22 m v12 ΔKE 2 2 2 1-D Değişen Kuvvet Örnk: Yay Hooke yasasından biliyoruz ki: Fx = -kx. F(x) x1 x2 x Durgun pozisyon -kx F = - k x1 F = - k x2 Yay... x1 den x2 pozisyonuna gidene kadar yay tarafından yapılan iş Ws : x1 den x2 ye kadar F(x) - x grafiğinin altındaki alandır. F(x) Durgun pozisyon x1 x2 x Ws -kx Ders 10, Soru 2 İş & Enerji Sürtünmesiz bir yüzeyde kayan bir kutu bir ucundan sabitleştirilmiş ve durgun halindeki bir yaya çarpar ve x1 kadar sıkıştırır. Eğer kutunun ilk hızı 2 katına çıkartılır ve kütlesi yarıya düşürülürse, kutu yayı x2 kadar sıkıştırmaktadır. x1 ve x2 arasındaki bağ nedir? (a)x 2 x1 (b) x 2 x 2 1 (c) x 2 x 2 1 x Ders 10, Soru 2 Çözüm v1 x1 m1 m1 x v Ders 10, Soru 2 Çözüm m k v2 x2 m2 m2 Problem: Yay sistemi Bir yay (yay sabiti k) d mesafesi kadar geriliyor ve kütlesi m olan bir cisim ucuna iliştiriliyor. Sistem sürtünmesiz ise kütle serbest bırakıldığında yayın durgun pozisyonuna gelince enerjisi ne olur? Durgun pzsyn m m Gergin pzsyn (hareketsiz) d m v m vr Bırakıldıktan sonra Durgun pzsyna dönüş Problem: Yay sistemi m Gergin pzsyn (hareketsiz) d m Durgun pzsyn vr i Problem: Yay sistemi KE teoremini kullanarak: 1 kd 2 2 Wnet = WS = K. 1 mv r 2 2 vr d m k m Gergin pzsyn (hareketsiz) d m Durgun pzsyn vr i Problem: Yay sistemi Şimdi zemin ile kütle arasında bir sürtünme olsun. Kütlenin yaptığı toplam iş: yay tarafından yapılan iş WS (öncekiyle aynı) ve sürtünme kuvvetinden dolayı yapılan iş Wf. r m Gergin pzsyn (hareketsiz) d m vr f = mg Durgun pzsyn i Problem: Yay sistemi r m Gergin pzsyn (hareketsiz) d m vr f = mg Durgun pzsyn i 3 Boyutta Değişken Kuvvetin yaptığı İş: F kuvvetiyle r kadar sonsuz küçüklükte yer değiştirmek için yapılan iş dWF : F dW = F.r Değişken bir kuvvetin etkisiyle yapılan büyük yer r değiştirmeden dolayı yapılan iş sonsuz küçük yer değiştirme işlerinin toplamı (integrasyonu) ile elde edilir. WTOP = F.r 3 Boyutta Değişken Kuvvetin yaptığı İş: Newton’un çekim kuvveti 3 Boyutta Değişken Kuvvetin yaptığı İş: ^ ^ ^ .(dR r + Rd ) dWg = Fg.dr = (-GMm / R2 r) dWg = (-GMm / R2) dR (çünkü r^.^ = 0, r^.r^ = 1) ^ dR Rd Fg d R M dr m r^ 3 Boyutta Değişken Kuvvetin yaptığı İş: Newton’un çekim kuvveti l dWg integre edilerek bütün yer değiştirmeyle yapılan işi buluruz: R2 R2 Wg = dWg = (-GMm / R2) dR = GMm (1/R2 - 1/R1) R1 R1 Fg(R2) R2 Fg(R1) R1 M m 3 Boyutta Değişken Kuvvetin yaptığı İş: Newton un çekim kuvveti Yapılan iş sadece R1 ve R2 bağlı, yoldan bağımsızdır. 1 1 Wg GMm R2 R1 m R2 R1 M Newton un çekim kuvveti Dünya yüzeyine yakın: Farz edelim ki R1 = RE ve R2 = RE + y R2 R1 RE y RE GM y Wg GMm GMm m 2 R y R R R1R2 E E E GM 2 g RE ne öğrenmiştik: Yani: Wg = -mgy m RE+ y RE M Korunumlu Kuvvetler: Genel olarak yapılan iş yoldan bağımsız ama ilk ve son konumu arasındaki mesafeye bağlı ise bu işi yapan kuvvet korunumlu’dur. 1 1 Gravitasyon korunumlu bir kuvvettir: Wg GMm R R 2 1 Yer yüzeyine yakın gravitasyon: Wg mgy Yaylar korunumlu kuvvet yaratır: Ws 1 k x22 x12 2 Korunumlu Kuvvetler: Korunumlu bir kuvvetin yaptığı iş yoldan bağımsızdır! W2 W1 = W2 Dolayısıyla kapalı bir yolda yapılan toplam iş 0’dır. W1 W2 WNET = W1 - W2 = W1 - W1 = 0 W1 Potansiyel Enerji Herhangi bir korunumlu kuvvet F için aşağıdaki gibi potansiyel fonksiyonu U tanımlayabiliriz: W = F.dr = -U Korunumlu kuvvetin yaptığı iş potansiyel enerji fonksiyonundaki değişimin tersine eşittir. r2 Yani: F.dr r2 U = U2 - U1 = -W = - r1 r1 U1 U2 Gravitasyon Potansiyel Enerjisi Kütlesi m olan bir cismin dünya yüzeyine yakın gravitasyon alanında y yer değiştirmesi için yaptığı iş: Wg = -mg y Bu cismin potansiyel enerjisindeki değişim: U = -Wg = mg y j m y Wg = -mg y Gravitasyon Potansiyel Enerjisi Dünya yüzeyi yakınında U değişimi: U = -Wg = mg y = mg(y2 -y1). Dolayısıyla U = mg y + U0 burada U0 is keyfi bir sabittir. Keyfi sabitin U0 bulunması bize kolaylık sağlar. Zira öyle bir seçim yaparız ki U = 0. j m y2 y1 Wg = -mg y Özetle... Tekrar Dünya yüzeyinde çekim kuvvetinden dolayı yapılan iş Örnekler: Sarkaç, eğik düzlem, serbest düşme Değişken kuvvetçe yapılan iş Yay Yay ve sürtünmeli problemler 3 boyutta değişken kuvvetçe yapılan iş Newton’un çekim yasası Korunumlu kuvvetler & potansiyel enerji