d 1

L3UGKAB1001
1
L3UGKAB1001
2
İçinde yaşadığımız evren uzay olarak biliniyor.Bu nedenle
bütün noktaların kümesine uzay denir
L3UGKAB1001
3
Uzay geometri de
kullandığımız terimler...
ve genel açıklamalar...
L3UGKAB1001
4
Genel Açıklamalar:1
1-Aksiyom:Doğruluğunu ispatlamadan kabul ettiğimiz önerme
2-Teorem:İspatlanması gereken önermeler
3-Çokgensel Bölge: Bir çokgen ile içinin birleşimi
4-Boyut:Geometrik olarak uzunluk,alan ve hacim fikrini
yaratan kavram.Noktaya sıfır boyutlu, doğruya bir boyutlu,
düzleme iki boyutlu, cisme de üç boyutlu denir.
L3UGKAB1001
5
Genel Açıklamalar:2
.
d2
A’
K
P
L
D’
C’
B’
.
N
.M
E
D
1-Doğrusal olmayan K,L,M noktaları
P düzlemi içindedir
A
.F
C
B
d1
2-K,N,M noktaları doğrusaldır.
3-A,B,C noktaları ile A’,B’,C’ noktaları aynı düzlemde değildir.
4-A,B,C,F noktaları düzlemsel değildir.
5-F noktası E düzlemi içinde değildir.
6-d1 doğrusu E düzlemi içinde dir. d1 E dir.
7-d2 doğrusu E düzlemi içinde değildir. d1 E dir.
L3UGKAB1001
6
Elemanları bir düzlem içinde bulunan geometrik
şekillerin özelliklerini inceleyen geometriye
düzlem geometri denir.
Elemanlarının tümü aynı düzlemde bulunmayan
geometrik şekil ve cisimlerin özelliklerini
inceleyengeometriye uzay geometri denir.
L3UGKAB1001
7
1-Uzayda farklı iki noktadan bir tek doğru geçer
A
B
.
.
.K
Bir noktadan ise sonsuz sayıda doğru geçer...
L3UGKAB1001
8
2-Uzayda bir doğru üzerinde bulunmayan farklı
üç noktadan bir ve yalnız bir düzlem geçer.
.
A
B
.
C
.
P
Not:Düzlemlerin hiç kalınlığı yoktur.Uzunluk ve
genişlik olmak üzere iki boyutu vardır ve bir
düzlemde en az 3 nokta bulunur.
L3UGKAB1001
9
3-Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlemin
üzerindeyse,bu doğrunun bütün noktaları da
bu düzlem üzerindedir.
d
A
.
B
.
d
A
L3UGKAB1001
10
Uzayda bir doğru ile dışındaki bir noktadan
bir ve yalnız bir düzlem geçer.
C.
A
d
.
L3UGKAB1001
B
.
11
Uzayda kesişen farklı iki doğrudan bir ve yalnız
bir düzlem geçer.
A
Q
L3UGKAB1001
12
Farklı iki düzlemin ortak bir noktası varsa bir de
ortak doğruları vardır.
P
Q
A
L3UGKAB1001
13
1-Farklı iki düzlemin ortak bir noktası varsa
bu nokta ortak doğru üzerindedir.
2-Farklı iki düzlemin ortak bir noktası varsa
iki düzlemin yalnız bir ortak doğrusu vardır
L3UGKAB1001
bu
14
Düzlem
Ayırma
Aksiyomu.....
L3UGKAB1001
15
Bir d doğrusu,bir P düzleminin alt kümesi (d P) ise
d doğrusu P düzleminin d doğrusu dışındaki noktalarını
iki bölgeye (İki yarı düzleme) ayırır
d P ve
A P1, B P2 ise
P2
P1 P2 =  dir.
d
AB doğru parçası
P1 P2  d = P dir
d doğrusunu
B
keser
A
P
P1
Tanım:Bir nokta kümesinin her farklı iki noktasını birleştiren doğru
parçasının tüm noktaları,bu nokta kümesi içinde kalıyorsa,bu nokta
kümesine konveks ya da dış bükey nokta kümesi denir.
L3UGKAB1001
16
Uzay
Ayırma
Aksiyomu.....
L3UGKAB1001
17
Bir P düzlemi,uzayın P düzlemi dışındaki noktalarını iki
bölgeye (iki yarı uzaya) ayırır
L3UGKAB1001
18
Düzlemde verilen
iki doğrunun birbirlerine göre
konumları.......
L3UGKAB1001
19
1-Ortak iki noktaları varsa:
d1
A
.
B
.
d2
Ortak iki noktaları varsa d1 ile d2 doğruları çakışıktır.
d1  d2= d1 = d2
L3UGKAB1001
20
2-Ortak bir noktası varsa
d1
A
.
Ortak bir noktası varsa d1 ile d2 doğruları bir noktada
kesişir.d1  d2= { A }
L3UGKAB1001
21
3-Ortak noktaları yoksa
d1
Ortak bir noktası yoksa d1 ile d2 doğruları paraleldir.
d1  d2= ise d1 / / d2
L3UGKAB1001
22
Uzayda verilen
iki doğrunun
birbirlerine
göre konumları.....
L3UGKAB1001
23
Uzayda verilen iki doğru aynı düzlemde bulunuyorsa
1-Birbirleriyle çakışık olabilir,
2-Birbirine paralel olabilir,
3-Biri diğerini kesebilir.
4-Aynı düzlemde bulunmuyorlarsa:
d1
Tanım:Düzlemsel
olmayan doğrulara
Aykırı doğrular denir
d2
L3UGKAB1001
24
Bir dikdörtgenler prizmasında aykırı doğruları
gösterelim
D’
A’
C’
d1
B’
Siz de sınıfınızda:
a: Kesişen doğrular
b: Paralel doğrular
c: Aykırı doğruları
gösteriniz.
d2
D
A
’C’] = 
’C’]
[BC]

[B
[BC]
//
[B
C
’C’] = ,bu ayrıtlarda
[BC]

[D
B
aynı düzlemde değildir.
L3UGKAB1001
25
Uzayda
bir doğru ile bir düzlemin
birbirlerine göre
durumları......
L3UGKAB1001
26
1-d doğrusunun farklı iki noktası P düzlemi içinde olabilir.
.
A
d
.
B
P
Bu durumda d doğrusunun her noktası,P düzlemi içinde bulunur
{A,B}  d ve {A,B}  P ise
P  d = d ve d  P dir
L3UGKAB1001
27
2-d doğrusunun yalnız bir noktası P düzlemi içinde olabilir.
d
A
P
P  d = {A} dır
L3UGKAB1001
28
3-d doğrusunun tüm noktaları P düzlemi dışında olabilir.
d
.........
P
Bu durumda d doğrusu P düzlemine paraleldir
P  d = ise d / / P dir
L3UGKAB1001
29
Uzayda
iki düzlemin
birbirlerine göre
durumları......
L3UGKAB1001
30
1-P ve E düzlemleri çakışık olabilir.
P=E
EP
L3UGKAB1001
31
2-P ve E düzlemleri birbirine paralel olabilir.
P
E
P E =  ise P// E dir
L3UGKAB1001
32
3-P ve E düzlemleri kesişebilir.
B
P
A
E
P E = AB
L3UGKAB1001
33
Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa, bu noktadan
geçen ortak bir doğruları vardır.
Açıklama:Çakışık olmayan E ve P düzlemlerinin
ortak bir noktaları A olsun.A noktasından geçen
iki doğru d1 ve d2 olsun. d1 ve d2 doğruları üzerinde
P düzleminin farklı tarafında B ve C noktaları alalım.
BC doğrusunun P düzlemini kestiği nokta D ise,
D noktası hem P hem de E düzlemi içinde bulunur.
Öyleyse AD doğrusu her iki düzlemin ortak bir
doğrusudur.Bu AD doğrusuna P ve E düzlemlerinin
ara kesit doğrusu denir.
d2
P
Sonuçlar:
1-Farklı iki düzlemin en çok bir ortak doğrusu vardır.
2-Farklı iki düzlem kesişiyorsa bu düzlemlerin ara kesiti bir
doğrudur.
3-Farklı iki düzlemin ortak doğruları yoksa,ortak noktaları da
yoktur.
L3UGKAB1001
d1
B
A
D
C
E
34
Uzayda iki noktadan veya bir doğrudan geçen düzlemler:
d
A
Q
D
R
.
B
Sonuçlar:
1-Uzayda bir noktadan sonsuz sayıda
düzlem geçer,
2-Uzayda farklı iki noktadan sonsuz sayıda
düzlem geçer,
3-Uzayda bir doğrudan sonsuz sayıda
düzlem geçer
P
L3UGKAB1001
35
Şekildeki prizmada:
H
E
F
D
A
G 1-Prizmanın ABCD yüzü ile
BCFG yüzü birbirlerini kesen
düzlemlere örnektir.
C 2-[EF] ayrıtı,ABCD tabanına
paraleldir.
B
3-A,B,C,E noktaları aynı
düzlemde değildir.
4-[EF] ile [DC] ayrıtları birbirine paraleldir. [EF] ile [BC]
ayrıtlarından geçen doğrular birbirine aykırıdır.
L3UGKAB1001
36
UZAYDA
PARALEL
DOĞRULAR....
L3UGKAB1001
37
Tanım:Uzayda bir düzlem içinde bulunan ve birbirini
kesmeyen iki doğruya paralel doğrular denir.
d1d1
d2
d2
d1 ved2 P ise
d1d2 = ise
E
d1 // d2
P
Sonuç:Uzayda iki doğrunun birbirine paralel olması için
bu doğruların aynı düzlem içinde olmaları ve kesişmemeleri
gerekir.
L3UGKAB1001
38
Paralellik
Aksiyomu....
L3UGKAB1001
39
Bir doğru ile bu doğru dışında bir nokta verildiğinde, verilen
noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan bir tek doğru vardır.
Not:Bu aksiyom hem düzlem hem de uzay için geçerlidir.
k
Açıklama:Düzlemde d doğrusu dışında
d2
A

d1
d
B
x
ß
Herhangi bir nokta A olsun.A noktasından
d doğrusuna d1 ve d2 gibi iki paralel doğru
çizildiğini varsayalım.A noktasından geçen ve
B noktasında kesen k doğrusu çizilirse,
iki paralel doğruya üçüncü bir doğru kestiğinde
yöndeş açıların ölçüleri eşit olduğundan,
d1 // d ise x =  dır (yöndeş açılar) d2 // d ise x = ß dır (yöndeş açılar)
Buradan  = ß olduğu ve d1 ile d2 doğrularının çakışık olduğu görülür.
Sonuçlar:1Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir
paralel doğru çizilebilir.
2-Düzlemde,paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini de keser.
L3UGKAB1001
40
Aynı doğruya paralel olan iki doğru birbirine paraleldir.
İspat:
d1 // d3 ve d2 // d3 d1 // d2dir
d1
d2
d3
d1 ve d2 doğruları birbirine
E paralel değilse,E gibi bir
noktada kesişir.
Bu durumda E noktasından
d3 doğrusuna iki paralel
doğru çizilmiş olur.Bu da
mümkün değildir.
Paralellik aksiyomuna
aykırıdır. Öyleyse
d1 // d2 olur.
L3UGKAB1001
41
Uzayda,paralel iki doğrudan birini kesen bir düzlem, diğerini de keser.
d1 // d2 ise bu doğrular bir düzlem belirtir.Bu düzlem P olsun.
E
B
K
L
P
d1
d2
İspat: E düzlemi d1doğrusunu K
noktasında kesiyorsa P düzlemi ile
E düzleminin ara kesiti (PE= AB)olan
AB doğrusu K noktasından geçer,
AB doğrusu d2 doğrusunu kesmezse ,
K noktasından d2 doğrusuna iki paralel
çizilmiş olur.Bu durum paralellik
aksiyomuna aykırıdır.Buna göre
A
AB doğrusu d2 doğrusunu da L gibi bir noktada keser
AB doğrusu E düzleminin de bir doğrusu olduğundan, d1doğrusunu kesen
E düzlemi d2 doğrusunu da keser.
L3UGKAB1001
42
Uzayda
Paralel
Dogru ve Düzlemler.....
L3UGKAB1001
43
Uzayda,bir doğru ile bir düzlemin ortak noktaları yoksa,
doğru ile düzlem birbirine paraleldir denir.
d
P  d = ise d / / P dir
P
Sınıfınızın duvarları ve tavanının ara kesitleri tabana paraleldir.
L3UGKAB1001
44
Düzlemin dışındaki bir doğru,düzlem içindeki bir doğruya paralel ise,
düzleme de paraleldir.
Verilen:d1P , d  P ve d1// d ise
d1
İstenen: d1// P dir
P
E
İspat: d1// d olduğundan bu doğrular
d bir düzlem belirtir.Bu düzlem E düzlemi
olsun.P düzlemi ile E düzleminin
arakesiti d doğrusudur.. d1doğrusu
P düzlemini keserse,kesim noktası
ara kesit doğrusu üzerinde olur.
d1// d olduğundan d1 doğrusu P
düzlemini kesmez.Buna göre
d1// P
L3UGKAB1001
45
Bir d doğrusu,P düzlemine paralel ise,d doğrusundan geçen
düzlemlerin P düzlemi ile ara kesiti de d doğrusuna paraleldir.
Verilen:d // P ve E P = d1
d
İstenen:d // d1 dir
d1
P
E
İspat:d doğrusundan geçen ve P düzlemi
ile ara kesiti d1doğrusu olan düzlemlerden
biri E düzlemi olsun.d1 ile d doğrusu,
birbirlerine paralel değilse bir noktada
kesişirler.Bu durumda d doğrusu P
düzlemini de keser Bu durum verilenlere
aykırıdır.Buna göre
d // P olduğundan d // d1
L3UGKAB1001
46
Bir doğru,kesişen iki düzlemin her birine paralel ise, bu
düzlemlerin ara kesitlerine de paraleldir.
P
E
Verilen:d // P ,d // E ve P ve E düzlemlerinin
ara kesiti AB doğrusu ise
Ad
İstenen:d // AB dir
İspat: Uzayda bir d doğrusu P düzlemine
paralel iken,P düzlemi içindeki bir C noktasından
C
d doğrusuna çizilen paralel doğrunun tüm noktaları
P düzlemi içinde olur.Buna göre P ve E düzlemlerinin
ara kesiti olan AB doğrusu üzerindeki C noktasından
d1
d1 // d2 çizilirse d1 doğrusu hem P düzlemi, hem de
E düzlemi içinde olur.Öyleyse d1 doğrusu P ve E
B
düzlemlerinin ara kesiti olan AB doğrusu ile
çakışıktır. AB // d dir.
.
L3UGKAB1001
47
PARALEL
DÜZLEMLER....
L3UGKAB1001
48
Ortak noktaları olmayan iki düzleme paralel düzlemler denir.
E
P E =  ise P // E dir.
P
L3UGKAB1001
49
Bir A noktasında kesişen iki doğru bir P düzlemine paralelse,
bu doğruların belirttiği E düzlemine paraleldir.
Verilen:AC// P, AB // P ve AB ile AC nin
belirttiği düzlem E ise,
A B
İstenen:P // E dir.
E
P
. ..
C
İspat:P ile E düzlemleri kesişirse,ortak bir
doğruları olur.Bu doğru d doğrusu olsun.
Bu durumda d AC ve AB doğruları E
düzlemi içinde olacağından d doğrusu
AC ve AB doğrularından en az birini keser.
Kesmezse A noktasından d doğrusuna iki
paralel doğru çizilmiş olur.AC ve AB
doğrularından biri d doğrusunu keserse ,
P düzlemini de keser.Bu durumlar çelişkidir.
d
Çünkü AC // P ve AB // P dir. Öyleyse P // E olur.
L3UGKAB1001
50
Paralel iki düzlemden,birinin içindeki bir doğru diğer düzleme paraleldir.
Verilen:P// E ve d  P ise
İstenen:d//E dir.
d
P
A
E
İspat:d doğrusu E düzlemine paralel
değilse,A gibi bir noktada keser.
d  P olduğundan d doğrusu ile E düzleminin
ortak noktası , P düzleminin de bir noktası olur.
Bu durumda P ile E kesişir.
P//E olduğundan bu durum mümkün değildir.
d doğrusu E düzlemini kesmez .
Öyleyse d//E dir
L3UGKAB1001
51
1.Paralel iki düzlemden birinin içindeki her doğru,
diğer düzleme de paraleldir.
2.Kesişen iki doğru bir P düzlemine paralel ise,
bu doğruların belirttiği düzlem de P düzlemine
paraleldir.
3.Bir d doğrusu, P düzlemine paralel ise P düzlemi
içindeki her noktadan, d doğrusuna çizilen paralel
doğrular, P düzlemi içindedir.
L3UGKAB1001
52
Uzayda verilen bir düzleme,dışındaki bir noktadan bir tek paralel
düzlem çizilebilir.
P düzlemi dışında herhangi bir nokta A olsun
C
A
Q
P
E
D
A noktasından P düzlemine paralel çizilen,
AC ve AD doğrularının belirttiği E düzlemi ,
P düzlemine paralel olur.
A noktasından geçen ve P düzlemine paralel
olan ikinci bir Q düzleminin çizilebileceğini
varsayalım.A noktası E düzlemi içinde olduğundan
A noktasından P düzlemine çizilen paralel doğrular
Q düzlemi içinde de bulunur.
Öyleyse E ile Q düzlemleri çakışıktır.
Buna göre bir düzleme dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir tek düzlem
çizilir.
L3UGKAB1001
53
Aynı düzleme paralel olan iki düzlem birbirine paraleldir.
Verilen:P//Q ve Q// E ise
P
E
Q
d
İstenen:P//E dir.
P//Q ve Q// E ise P//E olur
Çünkü,P düzlemi E düzlemine paralel
değilse ,P ile Q düzlemleri kesişirler..
Bu durumdan P ve E düzlemlerinin
ortak bir noktası ve bu noktadan geçen
ortak bir doğruları olur.
Ayrıca ortak noktalarından geçen ve Q
düzlemine paralel olan iki düzlem çizilmiş
olur.
Bu durum çelişkidir.Çünkü bir düzleme dışındaki bir
noktadan bir tek düzlem çizilebilir.
P//E ve P// E// Q
L3UGKAB1001
54
Paralel iki düzlemden birini kesen bir doğru diğerini de keser.
Verilen:P//E ve Pd = {A} ise İstenen:d doğrusu E düzlemini de keser
d
İspat:d doğrusu E düzlemini kesmezse,
d// E olur.Bu durumda A  P olduğundan
A
d  P olur.Oysa d  P dir.
.
P
.
B
Çünkü,d doğrusu P düzlemini A noktasında
kesmektedir.Öyleyse d doğrusu P düzlemine
paralel olan E düzlemini de B gibi bir
noktada keser.
E
L3UGKAB1001
55
Paralel iki düzlemden birini kesen bir düzlem,diğerini de keser.
Verilen:P//E ve PQ = d ise İstenen:Q düzlemi E düzlemini de keser
Q
.
A
P
E
İspat: P//E ve PQ = d olsun Q düzlemi
E düzlemini kesmezse Q // E olur .Bu durumda
dA noktasından,E düzlemine P ve Q gibi
İki paralel düzlem çizilmiş olur.
d
Bu durum çelişkidir.Q düzlemi E düzlemine
paralel değildir.
P düzlemini kesen Q düzlemi E düzlemini de keser
L3UGKAB1001
56
Uzayda verilen paralel iki düzlemin üçüncü bir düzlemle ara
kesitleri birbirine paraleldir.
Verilen:P//E ve Q düzlemi ile bu düzlemlerin İstenen:MN // KL dir
ara kesitleri MN ve KL doğrularıdır.
Q
P
M
E
N
L
İspat:MN doğrusu,P düzlemi içindedir.
P//E olduğundan,MN ve KL doğruları
kesişmezler.Bu doğrular aynı zamanda
Q düzlemi içinde bulunduğundan,aykırı
iki doğru değildir.
Aykırı olmayan ve aynı düzlemde bulunan
doğrular birbirine paraleldir.
K
Öyleyse,MN // KL olur.
L3UGKAB1001
57
Üç Düzlemin
Birbirine Göre
Durumları....
L3UGKAB1001
58
Kesişen R ve Q düzlemleri ile bir P düzlemleri verilsin
d
R
1.Bu düzlemler bir doğru
boyunca kesişirlerse, ara kesitleri
Q
P
bir d doğrusudur.
R ve Q düzlemlerinin ara kesitleri
Q  R = d doğrusu iken,P düzlemi
d doğrusundan geçebilir.
Bu durumda;P,Q,R düzlemlerinin
bir ortak doğruları vardır.
P Q  R = d dir.
L3UGKAB1001
59
2.P,Q ve R düzlemlerinin ortak bir noktaları olabilir.
Q
d
R
Q  R = d ve
P d = {A} dır.
P
Bu durumda üç düzlemin
A gibi bir ortak noktaları
vardır.
P Q  R = {A}
L3UGKAB1001
60
3.İkişer ikişer kesişen düzlemlerin ara kesitleri birbirine
paralel olabilir.
P  R = AB,
d
P  Q =DC
R A
D
Q
R  Q = d ve
AB//DC// d dir.
P düzlemi,R ve Q düzlemlerinin
arakesiti olan d doğrusuna
paraleldir.
Bu üç düzlemin ortak noktaları
yoktur .Fakat ikişer ikişer
P
arakesitleri birbirlerine
C
paraleldir.
B
L3UGKAB1001
61
4.Düzlemlerden ikisi yada üçü birbirine paraleldir.
a) P// Q // R ise üç düzlemin ortak noktaları yoktur
b) P//Q iken R düzlemi bu düzlemleri kesebilir,bu durumda
ara kesitleri paraleldir.
b)
a)
R
B
P
P
A
Q
D
Q
C
R
P// Q // R
L3UGKAB1001
RP = AB
RQ = CD
P//Q ve
AB//CD dir
62
UZAYDA BİRBİRİNE
DİK DOĞRULAR
VE DÜZLEMLER....
L3UGKAB1001
63
Düzlemde birbirine dik doğrular
Tanım:Aynı düzlemde bulunan iki doğru arasındaki açının
ölçüsü 900 ise,bu doğrulara,birbirine dik doğrular denir.
m(AÔB) = 900 ise [OB [OA dır
d1
B.
o
.
A
P
L3UGKAB1001
64
UZAYDA BİRBİRİNE DİK DOĞRULAR
Uzayda bir d doğrusu verilsin,d doğrusunu kapsayan sonsuz çoklukta
düzlem vardır.Bunlardan ikisi P ve E düzlemleri olsun.d doğrusu
üzerindeki A noktasından düzlemlerin her biri içinde kalmak koşulu ile
birer tane dik doğru çizilebilir.
dAB, ABP , dAC, AC E
Sonuç:Uzayda verilen
bir doğruya üzerindeki
bir noktadan sonsuz
sayıda doğru çizilebilir.
d
C
B
A
P
E
L3UGKAB1001
65
Aykırı Doğrular
Arasındaki Açı ve Dik
Durumlu Doğrular…
L3UGKAB1001
66
Tanım:Aykırı iki doğru d1 ,d2 ve herhangi bir nokta da A olsun.
A noktasından AB // d1,AC// d2 çizilirse ,CAB açısına bu aykırı iki
doğru arasındaki açı denir.
d1
B
A

C
d2
L3UGKAB1001
67
Bir Doğrunun Bir Düzleme Dikliği
Tanım:Düzlemi kesen bir doğru düzlemin kesim noktasından
geçen her doğrusuna dik ise bu doğru düzleme de diktir denir.
d
n
r
P
Düzleme dik olan doğrunun
düzlem ile ara kesitine
(düzlemi kestiği noktaya)
dikme ayağı denir
dn, dr ve k ile d aykırı iki
doğru olduğundan d doğrusu
k doğrusu ile dik durumludur.
A
k
L3UGKAB1001
68
Teorem:Bir doğru bir düzlemi kesiyor ve kesim noktasından
geçen düzlemin iki doğrusuna dik ise bu doğru bu düzleme de
diktir.
d1 P , d2 P
d
d  d1, d1  d2 ve
d1d2 = {A} ise
d1
d2
d P dir
A
P
L3UGKAB1001
69
ORTA DİKME DÜZLEMİ
Tanım:Uzayda bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve
bu doğru parçasına dik olan düzleme,bu doğru parçasının orta
dikme düzlemi denir.
OC  P AB OC
CA= CB OA= OB ise
OC doğrusu [AB] nın
orta dikme doğrusu ve
P düzlemi de [AB] nın
orta dikme düzlemidir.
C
.
A
P
B
O
L3UGKAB1001
70
TEOREM:Uzayda verilen bir P düzlemine
a.Üzerindeki bir noktadan,
b.Dışındaki bir noktadan,bir tek dik doğru çizilebilir.
a.
b.
d
A
d1
A
d2
B
P
P
d1
L3UGKAB1001
d2
71
TEOREM:Uzayda paralel iki düzlemden birine dik olan bir doğru
diğer düzleme de diktir.
P// E d  P ise d  E
d
n
A
r
P
m
B
k
E
L3UGKAB1001
72
TEOREM:Uzayda paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem,
diğerine de diktir.
d1 // d2 ve P  d1 ise P  d2 dir
d1
d2
n
A
x
r
B
y
P
L3UGKAB1001
73
TEOREM:1-Uzayda verilen bir noktadan geçen ve verilen bir
doğruya dik olan bir ve yalnız bir düzlem vardır.
A noktası k doğrusu üzerinde bir nokta ise
A noktasından geçen ve k doğrusuna dik olan bir tek
düzlem vardır
TEOREM:2-Bir d doğrusuna farklı noktalarında dik olan
iki düzlem birbirine paraleldir.
Pd = {A}
Ed = {B} , Pd
Ed ise P // E dir.
L3UGKAB1001
74
TEOREM:Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir.
d1  P ve d2 P ise d1 // d2
d1
d2
A
B
P
Aynı doğruya dik olan ve aykırı olmayan iki doğru birbirine
paralel olduğundan d1 // d2
L3UGKAB1001
75
TEOREM:Aynı düzleme paralel olan iki düzlem birbirine paraleldir.
Q // P ve E // P ise Q // E dir.
d
Q // P ve d  P ise d Q
K.
E // P ve d  P ise d E
P
L.
Q
Aynı doğruya farklı noktalarda
dik olan iki düzlem birbirine
paralel olduğundan
Q// E olur
M.
E
L3UGKAB1001
76
DİKME VE EĞİKLER
BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA OLAN UZAKLIĞI
TANIM:Bir A noktasından d doğrusuna çizilen dikme AH ve H  d
ise AH doğru parçasının uzunluğuna A noktasının d doğrusuna
olan en kısa uzaklığı denir.
A
d
H
L3UGKAB1001
77
BİR NOKTANIN BİR DÜZLEME OLAN UZAKLIĞI:
Tanım:Bir P düzlemi ile bu düzlemin dışında bir A noktası verilsin.
A noktasından geçen ve P düzlemine dik olan bir doğrunun,
P düzlemini kestiği nokta H ise AH doğru parçasının uzunluğuna,
A noktasının P düzlemine olan uzaklığı denir.
A
Bu uzaklık AH  ile gösterilir.
[AH] na dikme H noktasına da
dikme ayağı denir.
H
P
L3UGKAB1001
78
BİR NOKTADAN BİR DÜZLEME ÇİZİLEN EĞİKLER
Tanım:Bir A noktasından geçen ve
verilen bir P düzlemini B noktasında
kesen d doğrusu,P düzlemine dik
değilse,[AB] na, ya da d doğrusuna eğik
B noktasına da eğik ayağı denir.
A
B
H
P
Teorem:Bir düzleme,dışındaki bir
noktadan dikme ve eğikler çizilirse;
a.Dikme eğiklerden kısadır
|AH| < |AB|, |AH| < |AC| |AH|<|AD|
b.Uzunlukları eşit olan eğiklerin ayakları
dikme ayağından eşit uzaklıktadır.
|AB|=|AC| ise |HB|=|HC|
c.Eğik ayağı,dikme ayağından daha
uzakta olan eğik,diğer eğiklerden
D
daha uzundur.
|AB|<|AD|
L3UGKAB1001
d
A
B
E
H
C
79
TEOREM:(ÜÇ DİKME TEOREMİ)
P düzlemi dışında alınan bir A noktasından,P düzlemine ve düzlem
içindeki bir d doğrusuna birer dikme çizildiğinde,iki dikme ayağını
birleştiren doğru,düzlem içindeki d doğrusuna diktir.
AB P , AC P ,A P ve d  P ise BC d dir.
A
1. AB P ve AC d , ise BC d dir.
d
B
2. AB P ve BC d , ise AC d dir.
C
P
3.AC d ve BC d ,ve AB BC ise AB P dir.
Bu koşullu önermelere üç dikme teoremleri denir.
L3UGKAB1001
80
İKİ DÜZLEMLİ AÇILAR:
TANIM:Kesişen iki düzlemin ara kesiti ile bu ara kesitin ayırdığı
iki yarı düzlemin birleşimine,iki düzlemli açı denir.
d
E
P
P ve E düzlemlerinin ara kesiti d doğrusu
ise,
P d  E kümesi iki düzlemli açıdır.
Bu iki düzlemli açı (P,d,E) ya da (P,E)
biçiminde gösterilir.
İki düzlemli bir açıda,düzlemlerin ara kesit
doğrusuna,
açının ayrıtı,
yarı düzlemlere de açının yüzleri denir.
L3UGKAB1001
81
ÖLÇEK AÇI
TANIM:İki düzlemli açının ara kesit doğrusuna dik olan bir düzlemin
iki düzlemli açı ile ara kesitlerinin belirttiği açıya,
iki düzlemli açının ölçek açısı denir.
d
P
Yandaki şekilde
[OA  d ve [OA  P
A
O
R
[OB  d ve [OB  E
B
ise
E
AOB ölçek açıdır.
L3UGKAB1001
82
KESİŞEN İKİ DÜZLEMİN ÖLÇEK AÇISINI ÇİZME
d
(P,d,E ) iki düzlemli açının d ayrıtı
üzerindeki A noktasından P ve E yarı
düzlemleri içinde kalmak üzere
d [AB , d [AC çizilirse oluşan BAC
açısı (P,d,E ) iki düzlemli açının
ölçek açısı olur.
.
B
P
L3UGKAB1001
A
.
C
E
83
DİK DÜZLEMLER:
TANIM:Kesişen iki düzlemin belirttiği iki düzlemli açılardan birinin
ölçek açısı dik ise,bu iki düzleme birbirine dik düzlemler denir.
D
[FD  E [FC  P iken
A
F
C
[FD  AB [FC  AB
ise
m(DFC) = 900
P
B
E
P E
Sınıftaki duvarlar,tavan ve taban düzlemlerine dik midir?
L3UGKAB1001
84
TEOREM:
Bir d doğrusu P düzlemine dik ise d doğrusundan geçen her
düzlem,P düzlemine de diktir.
d
F
d P ve
D
d  E ise
E  P dir
A
B
P
C
E
L3UGKAB1001
85
TEOREM:
P ve Q düzlemleri birbirine dik ise, P düzlemi içinde alınan bir
A noktasından Q düzlemine çizilen dik doğru,P düzlemi içindedir.
P
P  Q , AP ve AH Q ise
A
AH doğrusu P düzlemi
içindedir ve bu doğru
tektir.
C
H
Q
B
D
L3UGKAB1001
86
BİTTİ
L3UGKAB1001
87