C.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi Fen Bilimleri Dergisi (2003)Cilt 24 Sayı 1 Çoğul-Değerli Fonksiyonların Almost D-Süreklilikleri Üzerine Metin AKDAĞ ve Savaş TEMİZİŞLER Cumhuriyet Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü 58140 Sivas E-posta: makdag@cumhuriyet.edu.tr Received;07.02.2003, Accepted;04.04.2003 Y Özet: Bu çalışmada bir topolojik uzay üzerindeki Fσ ve Gδ kümelerden yararlanılarak 2 üzerinde D + ve D − topolojileri tanımlandı. Bilinen Vietoris topolojileri ile karşılaştırılarak D + ≤ V + ve D − ≤ V − olduğu görüldü. Daha sonra F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu için a-D-ü.y.s. ve a-Da.y.s. olması tanımları verildi ve denk koşulları veren teoremler ifade ve ispat edildi. Bu sürekliliklerin daha zayıf tipleri olan w-D-ü.y.s., w-D-a.y.s. tanımları çoğul-değerli fonksiyonların bu tür süreklilikleri için karakterizasyonlar verildi. Anahtar Kelimeler: Çoğul-değerli fonksiyonlar, D-Süreklilik. On the Almost D-Continuity of Multifunctions Abstract: In this paper, we study upper ( lower ) almost D-continuous of multifunctions and obtain some characterizations and some basic properties of such a multifunction. Also we give some comparisions with upper ( lower ) D-continuity and weakly upper ( lower ) D-continuty. Keywords: Multifunction, D-continuity 1 1. Giriş ve Bazı Tanımlar Tek değerli fonksiyonların zayıf süreklilikleri ile ilgili çalışmalar 1922 yılında H.Blumberg ile başladı [1] . 1966 yılında T.Husain [ 2] ve 1968 de Singal and Singal [3] tek değerli fonksiyonların almost sürekliliklerini tanımladılar ve çalıştılar. Bu çalışmamıza örnek olan tek değerli fonksiyonların sürekliliği 1922 yılında J.K.Kohli tarafından tanımlandı [ 4] . Bu makale üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde makalede geçen kavramlar ve önceki çalışmalar özetlenmektedir. İkinci bölümde bir topolojik uzay üzerindeki Fσ ve Gδ kümelerden yararlanılarak 2Y üzerinde D + ve D − topolojileri tanımlandı. Bilinen Vietoris topolojileri ile karşılaştırılarak D + ≤ V + ve D − ≤ V − olduğu görüldü. Daha sonra F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu için D-ü.y.s. ve D-a.y.s. olması tanımları verildi. Çoğul-değerli fonksiyonların bu tür süreklilikleri için karakterizasyonlar araştırıldı. Son olarak bu makalede geçen süreklilik türleri arasındaki ilişkiler incelendi. X , Y topolojik uzaylar ve F , X ’den Y ’ye bir çoğul-değerli fonksiyon, A⊆ X , B ⊆ Y olsun. { } F ( A) = ∪ F ( x ) x ∈ A , F − ( B) = { x F ( x) ∩ B ≠ ∅} , F # ( A) = { y F − ( y ) ⊆ A} ve F + ( B) = { x F ( x) ⊆ B} kümelerine sırasıyla A ’nın F altındaki büyük görüntüsü, B ’nin F altındaki büyük ters görüntüsü A ’nın F altındaki küçük görüntüsü, B ’nin F altındaki küçük ters görüntüsü denir (Ponomarev, 1964 [5] ). X , Y topolojik uzaylar ve F , X ’den Y ’ye bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Her B ⊂ Y kapalı alt kümesi için F − ( B ) , X ’in kapalı alt kümesi oluyorsa F ’ye üstten yarı süreklidir veya kısaca ü.y.s. dir denir, her A ⊂ Y açık alt kümesi için F − ( A) , X ’in açık alt kümesi oluyorsa F ’ye alttan yarı süreklidir veya kısaca a.y.s. dir denir, F çoğul-değerli fonksiyonu ü.y.s. ve a.y.s. ise F ’ye süreklidir denir.(Long and Herrington, 1975 [6] ) X , Y topolojik uzaylar ve F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. G ( F ) , F ’nin grafiği olmak üzere her bir ( x, y ) ∈ X × Y − G ( F ) için (U × V ) ∩ G ( F ) = ∅ (U × V ) ∩ G (F ) = ∅ olacak şekilde X içinde x noktasının bir U , Y içinde y noktasının bir V komşuluğu varsa F ’ye grafiği kapalıdır (kuvvetli kapalıdır) denir. 2 (Y ,τ ) bir topolojik uzay olsun. Y kümesi üzerindeki τ topolojisinden yararlanılarak 2Y kümesi üzerinde çeşitli topolojiler tanımlanabilir. Bunlardan ikisini şöyle tanımlayacağız. G ∈ τ olmak üzere (G ) = { A ⊂ Y A ∩ G ≠ ∅} ve 〈G〉 = { A ⊂ Y A ⊂ G} küme ailelerini tanımlayalım. 2Y kümesi üzerinde {(G ) G ∈τ } ailesini taban kabul eden topolojiye alt Vietoris topoloji, {〈G〉 G ∈τ } ailesini alt taban kabul eden topolojiye üst Vietoris topoloji denir. Bu topolojiler sırasıyla V − ve V + ile gösterilir. Ayrıca 2Y üzerinde V = V − ∨ V + topolojisine de Vietoris topoloji denir (Michael, 1951 [7]). X , Y topolojik uzaylar ve F : X → Y çoğul-değerli bir fonksiyon olsun. F fonksiyonunun a.y.s.(ü.y.s., sürekli) olması için gerekli ve yeterli koşul X ’den 2Y − {∅} ’ye tanımlı olan ve F ’ye karşılık gelen f tek-değerli fonksiyonunun V − (V + , V ) topolojisine göre sürekli olmasıdır [8]. ( X , τ ) bir topolojik uzay olsun. Bir A ⊆ X için A nın her açık örtüsünün kapanışları A ’yı örten bir sonlu altörtüsü varsa, A ’ya quasi Hkapalıdır denir. Eğer X uzayının kendisi quasi H-kapalı ise uzaya quasi Hkapalıdır denir. Eğer X uzayı hem quasi H-kapalı hem de Hausdorff ise uzaya H-kapalıdır denir [9]. X uzayının bütün kapalı alt kümeleri quasi Hkapalı ise uzaya C-kompakt uzay denir [10]. X uzayında her x∈ X noktasının quasi H-kapalı olan bir U açık komşuluğu varsa uzaya yerel Hkapalı uzay denir. Bir X uzayında her farklı x, y noktaları için x ∈ U , y ∈ V ve U ∩ V = ∅ olacak biçimde U ve V açık kümeleri varsa X uzayına Uryshon uzay denir (Singal and Arya, 1969 [11]). ( X , τ ) bir topolojik uzay o o ve A ⊆ X olsun. Eğer A = A ( A = A) ise A ’ya regüler kapalı (regüler açık) küme denir. Her bir x ∈ X ve x noktasını bulundurmayan her bir A regüler kapalı kümesi için x ∈ U , A ⊆ V ve U ∩ V = ∅ olacak şekilde U , V açık kümeleri varsa ( X , τ ) ’ya hemen hemen regüler (almost regüler) uzay denir [11] (Dorsett, 1982 [10]). Her bir x ∈ X ve x noktasını bulundurmayan her bir A yarı kapalı kümesi için x ∈ U , A ⊆ V ve U ∩ V = ∅ olacak şekilde U , 3 V yarı açık kümeleri varsa ( X , τ ) ’ya yarı regüler (semiregular) uzay denir. 2. 2Y Üzerinde D + , D − Topolojileri Bu bölümde bir topolojik uzaydaki Fσ ve Gδ -kümelerinden yararlanarak 2Y üzerinde iki yeni topoloji tanımlayacağız. Öncelikle Fσ küme ve Gδ -küme tanımlarını verelim. Tanım 2.1: (Eisenberg, 1974 [12]) (A) ( X , τ ) bir topolojik uzay ve A ⊂ X olsun. Eğer A kümesi sayılabilir tane kapalı kümenin birleşimine eşit ise A ’ya X ’de bir Fσ ∞ küme denir. Sembolik olarak A = U Fn , Fn ∈ τ K ise A bir Fσ -kümedir. (B) ( X , τ ) bir n =1 topolojik uzay ve A ⊂ X olsun. Eğer A kümesi sayılabilir tane açık kümenin keşimi ∞ olarak yazılabiliyor ise A ’ya X ’de bir Gδ -küme denir. Sembolik olarak A = IU n , n =1 U n ∈ τ ise A bir Gδ -kümedir. Önerme 2.1: (Y ,τ ) bir topolojik uzay olmak üzere β1 = {2Y \(V ) V , kapalı Gδ küme} ve β 2 = {2Y \ < V > V , kapalı Gδ -küme} ∪ {∅} aileleri sırasıyla 2Y üzerinde farklı iki topoloji için taban ve alt taban olurlar. İspat: (i) V = ∅ bir kapalı Gδ -kümedir ve (V ) = ∅ olacağından 2Y \(V ) = 2Y ∈ β1 olur. (ii) 2Y − (V1 ) , 2Y \(V2 ) ∈ β1 olsun. 2Y \(V1 ) ∩ 2Y \(V2 ) = 2Y \(V1 ∪ V2 ) ve (V1 ∪ V2 ) kapalı Gδ -küme olacağından β1 , 2Y üzerinde bir topoloji için taban olur. β 2 ’nin de alt taban oluşu benzer biçimde gösterilir. Önermedeki β1 ve β 2 ailelerinin taban ve alt taban olduğu topolojileri sırasıyla D + ve D − ile gösterelim. Önerme 2.3: ( X , τ ) bir topolojik uzay olmak üzere 2Y üzerindeki D + , D − , V + ve V − topolojileri arasında aşağıdaki ilişkiler vardır. a) D + ≤ V + 4 b) D − ≤ V − İspat:(a) 2Y − (V ) ∈ β1 olsun. Burada V kapalı Gδ -kümedir. 2Y − (V ) = < Y \V > olduğundan ve Y \V ⊂ Y açık bir küme olduğundan < Y \V > ∈ V + olur. O halde D + ≤ V + dir. (b) Benzer biçimde 2Y − < V >= (Y \V) olduğundan D − ≤ V − dir. Tanım 2.4:[14] F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon ve x0 ∈ X olsun. F ( x0 ) ∩ V = ∅ olan bir Y \V açık Fσ -kümesi için x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ V = ∅ gerektirmesini sağlayan en az bir U x0 ⊂ X açık kümesi varsa, F ’ye x0 ∈ X noktasında D-üstten yarı sürekli veya kısaca D-ü.y.s. denir. Teorem 2.5: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonunun x0 ∈ X ’de D-ü.y.s. olması için gerekli ve yeterli koşul F ’ye karşı gelen her x ∈ X için f ( x) = F ( x) biçiminde tanımlı f : X → (2Y , D + ) tek değerli f fonksiyonunun x0 ∈ X ’de sürekli olmasıdır. İspat (⇒): V , kapalı Gδ -küme, f ( x0 ) ∈ 2Y \ (V ) olsun. f ( x0 ) ∈< Y \ V > ve f ( x0 ) ⊂ Y \ V olur. O halde f ( x0 ) = F ( x0 ) olduğundan F ( x0 ) ∩ V = ∅ olur. Y \V açık Fσ -küme ve F , D-ü.y.s. olduğundan x0 ’ı bulunduran bir U x0 ⊂ X açık kümesi x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ V = ∅ x ∈ U x0 ⇒ f ( x) ∉ V yani olacak f ( x) ∈ 2Y \ (V ) şekilde olur. vardır. Böylece Bu durumda f : X → (2Y , D + ) fonksiyonu x0 ∈ X de sürekli olur. (⇐): f , x0 ’da sürekli olsun. F ( x0 ) ∩ V = ∅ olan Y \ V açık Fσ -kümesi alalım. F ( x0 ) ⊂ Y \ V ⇒ F ( x0 ) ∈< Y \V >⇒ F ( x0 ) ∈ 2Y \ (V ) olur. olduğundan f ( x0 ) ∈ 2Y \ (V ) olur. f ( x) = F ( x) f , x0 ’da sürekli olduğundan en az bir U x0 ⊂ X açık kümesi vardır öyle ki x ∈ U x0 ⇒ f ( x) ∈ 2Y \ (V ) dir. Buradan F ( x) ∈< Y \ V > ise F ( x) ⊂ Y \ V ve F ( x) ∩ V = ∅ olur. Her x ∈ U x0 için elde edilir. Böylece F , D-ü.y.s olur. Önerme 2.6: Y , bir C-kompakt, regüler ve Hausdorff uzay olsun. F : X → Y kuvvetli kapalı grafikli bir çoğul-değerli fonksiyon ise F , D-ü.y.s. dir. 5 İspat : Kabul edelim ki G ( F ) kuvvetli kapalı olsun. K ⊂ Y tümleyeni açık Fσ -küme ve x ∉ F − (K ) olsun. F ( x) ∩ K = ∅ tur. ( x, y ) ∉ G ( F ) ’tir. G ( F ) kuvvetli kapalı olduğundan {V kümeleri vardır öyle ki F (U y ( x)) ∩ Vy = ∅ tur. y y∈K Her için x ∈ U y ( x) , y ∈ Vy açık y∈K } ailesi K ’nın bir açık örtüsünü oluşturur. K tümleyeni açık Fσ -küme olduğundan kapalıdır ve uzay C-kompakt olduğundan K quasi H-kapalı kümedir. y1 , y2 ,…, yn ∈ K n noktaları vardır öyle ki K ⊂ UVyi dir. Her i için V y ’ye karşı gelen U yi ( x) ’ler i i =1 n için U = IU yi ( x ) olsun. x ∈U ve U ⊂ X açıktır. Ayrıca her i için i =1 F (U yi ( x)) ∩ Vyi = ∅ olduğun- dan n K ⊂ UVyi olduğundan n F (U ) ∩ Vyi = ∅ ve F (U ) ∩ UVyi = ∅ tur. i=1 F + ( F (U )) ∩ F − ( K ) = ∅ dır ve U ⊂ F + ( F (U )) i =1 olduğundan U ∩ F − ( K ) = ∅ tur. Sonuç olarak x ∈ U ⊂ X − F − ( K ) olur. Buradan X − F − ( K ) açık ve F − ( K ) kapalıdır. Böylece F , X ’de D-ü.y.s. olur. Tanım 2.7:[13] X, Y topolojik uzaylar, F : X → Y bir çoğul değerli fonksiyon ve x0 ∈ X olsun. F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ ve Y − V kapalı Gδ -küme olan bir V kümesi için x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ V ≠ ∅ gerektirmesini sağlayan en az bir U x0 ⊂ X açık kümesi varsa F ’ye x0 ∈ X noktasında D-alttan yarı sürekli veya kısaca D-a.y.s. denir. Önerme 2.8: X , Y topolojik uzaylar, F : X → Y bir çoğul değerli fonksiyon olsun. F ’nin x0 ∈ X ’de D-a.y.s. olması için gerekli ve yeterli koşul F ’ye karşı gelen f : X → (2Y , D − ) tek-değerli fonksiyonu- nun x0 ∈ X ’de sürekli olmasıdır. İspat: Teorem 2.5. e benzer olarak yapılır. 6 3. Çoğul Değerli Fonksiyonların Almost D-Üstten ve Alttan Sürekliliği Tanım 3.1: (Kohli, 1992 [4]) ( X , τ ) bir topolojik uzay ve β , ( X , τ ) topolojik uzayının bütün açık Fσ alt kümelerinin ailesini göstersin. İki açık Fσ kümenin kesişimi bir açık Fσ -küme olduğundan β ailesi X üzerinde bir τ ∗ topolojisi için bir taban olur. Açıkça τ ∗ ⊂ τ olur. Özellikle ( X , τ ) kompakt, sayılabilir kompakt, lindelöf, bağlantılı veya ayrılabilir ise bu durumda ( X , τ ∗ ) ’da öyledir. Ek olarak eğer X ’deki her bir tek nokta kümesi bir Gδ küme ise bu durumda ( X , τ ) T 1 -uzay olduğunda ( X , τ ∗ ) ’da T 1 -uzaydır. Tanım 3.2 :(Heldermann, 1981 [14]) ( X , τ ) bir topolojik uzay ve x ∈ X olsun. x ’i içeren her bir U açığı için x ∈ V ⊂ U olacak şekilde X ’in bir V açık Fσ -alt kümesi varsa ( X , τ ) uzayına D-regüler uzay denir. Tanım 3.3: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyon olsun. F ( x0 ) ∩ V = ∅ olan her V o kapalı Gδ -kümesi için x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ V = ∅ gerektirmesini sağlayan x0 ’ın bir U x0 açık komşuluğu varsa F x0 ’da almost D-üstten yarı süreklidir denir ve bu durum kısaca almost D-ü.y.s. biçiminde ifade edilir. Önerme 3.4: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu x0 noktasında almost Dü.y.s. olması için gerekli ve yeterli koşul f : X → (2Y , D + ) , f ( x) = F ( x) tek değerli fonksiyonunun almost sürekli olmasıdır. İspat (⇒): F , x0 noktasında almost D-ü.y.s. olsun. G kapalı bir Gδ -küme olmak üzere f ( x0 ) ∈ 2Y \ (G ) alalım. Bu durumda f ( x0 ) ∈< Y \ G > olur. Buradan f ( x0 ) = F ( x0 ) ⊂ Y \G elde edilir. Y \G açık Fσ -küme ve F , almost Dü.y.s. olduğundan x0 ’ın öyle bir o U x0 açık komşuluğu vardır ki o x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ Y − G gerektirmesi sağlanır. Buradan f ( x) = F ( x) ∈ < Y − G > o o ve f ( x) ∈ 2Y − (G ) dir. Dolayısıyla f (U x0 ) ⊂ 2Y − (G) ve böylece f , x0 ’da almost süreklidir. 7 (⇐): F ( x0 ) ⊂ V , f ( x0 ) = F ( x0 ) ∉ (V ) V açık Fσ -küme ⇒ f ( x0 ) ∈ 2Y \(V ) . f, olsun. Bu durumda x0 ’da sürekli olduğundan x0 ’ı o bulunduran bir U x0 açık kümesi vardır öyle ki f (U x0 ) ⊂ 2 \(V ) . Buradan Y o o x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∈ 2 \(V ) olur. Böylece x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∉ (V ) ⇒ F ( x) ⊂< Y\V > . Y Teorem 3.5: X bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay, F : X → Y çoğuldeğerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir. a) F , x0 ’da almost D-ü.y.s.dir. 0 0 b) F ( x0 ) ⊂ V olan her V açık Fσ -kümesi için x0 ∈ F + (V ) dir. 0 c) F ( x0 ) ⊂ V olan her regüler açık Fσ -kümesi için x0 ∈ F + (V ) dir. d) F ( x0 ) ⊂ V olan her regüler açık Fσ -kümesi için x ∈ U x0 ⇒ F ( x0 ) ⊂ V gerektirmesini sağlayan x0 ’ın bir U x0 açık komşuluğu vardır. e) x0 ’a yakınsayan her (aλ ) λ∈∆ ⊂ X ağı ve F ( x0 ) ⊂ V olan her V regüler açık Fσ -kümesi için λ ≥ λ0 iken F (aλ ) ⊂ V olan en az bir λ0 ∈ ∆ vardır. İspat : (a)⇒(b): F , x0 ’da hemen her yerde D-ü.y.s. olsun. F ( x0 ) ⊂ V olan bir V açık F σ -kümesini alalım. Tanım 3.1.5.’den x0 ’ın bir açık U x0 o komşuluğu vardır öyle ki x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V sağlanır. Bu durumda F + ’nın 0 o tanımından x ∈ U x0 ⇒ x ∈ F V elde edilir ki bu da x0 ∈ F + (V ) + 0 olması demektir. (b)⇒(c): V , F ( x0 ) ⊂ V olan bir regüler açık Fσ -küme olsun. V regüler o açık olduğundan 0 V =V dir. O halde (b)’de bunu yerine yazarsak 0 0 x0 ∈ F + (V ) = F + (V ) elde edilir. [ ] (c)⇒(d): V , F ( x0 ) ⊂ V olan bir regüler açık Fσ -küme olsun. (c)’den 8 x0 ∈ F + (V ) 0 dir. U x0 = F + (V ) 0 dersek x ∈ U x0 ⇒ x ∈ F + (V ) olur. Buradan x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V olur. (d)⇒(a): F ( x0 ) ⊂ V olan açık Fσ -küme V olsun. V , açık Fσ -küme ve o V o da açık Fσ -kümedir. Buradan F ( x0 ) ⊂ V kapalı olduğundan V olur. o (d)’den x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V gerektirmesini sağlayan x0 ’ın bir açık U x0 o komşuluğu vardır. V = V olduğundan da F , x0 ’da hemen her yerde D-ü.y.s. olur. (d)⇒(e): (aλ ) λ∈∆ ⊂ X , x0 ’a yakınsayan bir ağ olsun. V , F ( x0 ) ⊂ V olan bir regüler açık Fσ -küme olsun. (d)’den x0 ’ın x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V gerektirmesini sağlayan bir U x0 komşuluğu vardır. (c)⇔(d) olduğundan 0 U x0 = F + (V ) alınabilir. (aλ ) → x0 ∈ U x0 olduğundan en az bir λ0 ∈ ∆ vardır 0 öyle ki her λ ≥ λ0 için aλ ∈ F + (V ) ⊆ F + (V ) olduğundan aλ ∈ F + (V ) ve F (aλ ) ⊂ V elde edilir. Böylece λ ≥ λ0 için F (aλ ) ⊆ V olur. (e)⇒(d): Kabul edelim ki (d) doğru olmasın. G regüler açık Fσ kümesi için, x0 ’ı bulunduran her U ⊂ X açık kümesinde öyle ki au ∈ U vardır ki F (au ) ⊄ G olur. ϑx0 = {U ⊂ X x0 ∈ UveUaçık } ve Ω = {(au , U ) U ∈ ϑx0 ve F (au ) ⊄ V } olsun. “ (au ,U ) ≤ (au, ,U , ) ⇔ U , ≤ U ” koşulu ile Ω ’yi yönlendirelim. Φ : (Ω, ≤) → X , Φ ( au , U ) = au X üzerinde x0 ’a yakınsayan bir ağdır. Ancak her bütün (au ,U ) ∈ Ω ’ler için F (au ) ⊄ V olur. Bu ise hipotezle çelişir. O halde (d) doğrudur. Teorem 3.6., Teorem 3.7., Teorem 3.8. ve Teorem 3.9.’in ispatı Teorem 3.5.’in ispatına benzer olduğundan yapılmayacaktır. Teorem 3.6: X bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay ve F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir. a) F , almost D-ü.y.s. dir. 9 0 0 b) V ⊂ Y açık Fσ -kümesi için F (V ) ⊂ F + V dir. + c) V ⊂ Y regüler açık Fσ -kümesi için F + (V ) açıktır. 0 d) V ⊂ Y açık Fσ -kümesi için F + V açıktır. o e) H ⊂ Y kapalı Gδ -kümesi için F − ( H ) ⊂ F − ( H ) ’dır. f) H ⊂ Y regüler kapalı Gδ -kümesi için F − ( H ) kapalıdır. Teorem 3.7: X bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay, F : X → Y bir çoğuldeğerli fonksiyon olsun. Aşağıdakiler denktirler. a) F , x0 ’da almost D-ü.y.s.dir. 0 + 0 b) F ( x0 ) ⊂ V olan her açık küme için x0 ∈ F (V ) dir. 0 c) F ( x0 ) ⊂ V olan her regüler açık küme için x0 ∈ F + (V ) dir. d) F ( x0 ) ⊂ V olan her regüler açık küme için x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V gerektirmesini sağlayan açık bir U x0 komşuluğu vardır. e) x0 ’a yakınsayan her (aλ ) λ∈∆ ⊂ X ağı ve F ( x0 ) ⊂ V olan her regüler açık V kümesi için λ ≥ λ0 iken F (aλ ) ⊂ V olacak şekilde en az bir λ0 ∈ ∆ vardır. Teorem 3.8: X herhangi bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay, F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir. a) F , almost D-ü.y.s. dir. 0 + 0 b) Her V ⊂ Y açık kümesi için F (V ) ⊂ F V dir. + c) Her V ⊂ Y regüler açık kümesi için F + (V ) açıktır. o d) Her V ⊂ Y açık kümesi için F + V açıktır. 10 o e) Her V ⊂ Y kapalı kümesi için F − V ⊂ F − (V ) dir. f) Y ’nin regüler kapalı her V alt kümesi için F − (V ) kapalıdır. Teorem 3.9: X herhangi bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay olsun. F : X →Y bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir. a) F , almost D-ü.y.s.’dir. 0 0 b) Her V ⊂ Y açık kümesi için F (V ) ⊂ F + V dir. + c) Her V ⊂ Y regüler açık kümesi için F + (V ) ⊂ X açıktır. o d) F ( x0 ) ⊂ V olan her V ⊂ Y açık kümesi için x0 ’ın x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V gerektirmesini sağlayan bir U x0 açık komşuluğu vardır. e) x0 ’a yakınsayan her (aλ ) λ∈∆ ⊂ X ağı ve F ( x0 ) ⊂ V olan her regüler açık V kümesi için λ ≥ λ0 için F (aλ ) ⊂ V olacak şekilde en az bir λ0 ∈ ∆ vardır. 11 4.Çoğul-Değerli Fonksiyonların Almost D-Alttan Yarı Süreklilikleri Bu bölümde çoğul-değerli fonksiyonların almost D-a.y.s. olması tanımlanarak bu sürekliliğe denk koşullar verildi. F : X →Y Tanım 4.1: bir çoğul-değerli fonksiyon, F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ ile o tümleyeni kapalı Gδ -küme olan her V kümesi için x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ V ≠ ∅ gerektirmesini sağlayan bir U x0 ⊂ X açık kümesi varsa F ’ye x0 ∈ X ’de almost D-alttan yarı süreklidir denir ve bu durum kısaca F x0 ’da almost Da.y.s. biçiminde ifade edilir. Teorem 4.2: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonunun x0 ∈ X ’de almost Da.y.s. olması için gerekli ve yeterli koşul f : X → (2Y , D − ) her x ∈ X için f ( x) = F ( x) biçiminde tanımlı f , tek-değerli fonksiyonunun almost sürekli olmasıdır. İspat (⇒): F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyonu x0 ∈ X ’de almost D-a.y.s. olsun. x0 ∈ X f ( x0 ) ∈ 2Y − < G >∈ β 2 için alalım. 2Y − < G >= (Y − G ) ve F ( x0 ) = f ( x0 ) olduğundan F ( x0 ) ∈ (Y − G ) ’dir. Buradan F ( x0 ) ∩ (Y − G ) ≠ ∅ ve Y − (Y − G ) = G kapalı Gδ -kümedir. F , x0 ’da almost D-a.y.s. olduğundan o x0 ’ın x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ Y − G ≠ ∅ gerektirmesini sağla- yan açık bir U x0 0 komşuluğu vardır. 0 0 (Y − G ) = (Y − G ) = 2 Y − < G > ve 0 f ( x) = F ( x) ∈ 2Y − < G > o olduğundan x ∈ U x0 ⇒ f ( x) ∈ 2 − < G > Y olur. O halde f, x0 ’da almost süreklidir. (⇐): f : X → (2Y , D − ) tek-değerli fonksiyonu x0 ’da almost sürekli, F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ ve Y − V , kapalı Gδ -küme olsun. Buradan (V ) = 2Y − < Y − V >∈ β 2 olur. f, f ( x0 ) = F ( x0 ) ∈ x0 ’da almost sürekli olduğundan x0 ’ın o x ∈ U x0 ⇒ f ( x) ∈ 2 − < Y − V > gerektirmesini sağlayan açık bir U x0 komşuluğu Y 12 0 o vardır. Buradan x ∈ U x0 ⇒ f ( x) = F ( x) ∈ V , F ( x) ∩ V ≠ ∅ olur. F , x0 ’da almost D-a.y.s. dir. Aşağıdaki Teorem 4. 3., Teorem 4. 4., Teorem 4. 5., Teorem 4. 6. ve Teorem 4. 7.’nin ispatları Teorem 3. 7’nin ispatına benzer olduğundan yapılmayacaktır. Teorem 4.3: X herhangi bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay, F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir. a) F , almost D-a.y.s.’dir. o o b) Fσ -açık her V ⊂ Y kümesi için F (V ) ⊂ F − (V ) dir. − c) Fσ -açık her V ⊂ Y regüler açık kümesi için F − (V ) ⊂ X açıktır. o d) Fσ -açık her V ⊂ Y kümesi için F − V ⊂ X açıktır. o e) Gδ -kapalı her H ⊂ Y kümesi için F + ( H ) ⊂ F + ( H ) olur. f) H , kapalı Gδ , regüler kapalı küme ise F + ( H ) ⊂ X kapalıdır. Teorem 4.4: X , herhangi bir topolojik uzay, Y D-regüler ve semiregüler uzay ve F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Aşağıdakiler eşdeğerdir a) F , almost D-a.y.s. dir. o b) Her V ⊂ Y açık kümesi için F − V ⊂ X açıktır. c) Her V ⊂ Y regüler açık kümesi için F − (V ) ⊂ X açıktır. o d) Fσ -açık her V ⊂ Y açık kümesi için F − V ⊂ X açıktır. o e) Her H ⊂ Y kapalı kümesi için F + ( H ) ⊂ F + ( H ) olur. f) Her H ⊂ Y regüler kapalı kümesi için F + ( H ) ⊂ X kapalıdır. Teorem 4.5: F : X →Y X , herhangi bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay ve bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler 13 eşdeğerdir. a) F , x0 ’da almost D-a.y.s. dir. 0 0 b) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan Fσ -açık her V kümesi için x0 ∈ F − (V ) dir. c) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan Fσ -açık her regüler V açık kümesi için x0 ∈ 0 F − (V ) dir. d) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan açık Fσ her regüler açık V kümesi için x0 ’ın x ∈ U x0 ⇒ F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ gerektirmesini sağlayan bir U x0 açık komşuluğu vardır. e) x0 ’a yakınsak olan her (a λ ) λ∈∆ ağı ve F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan açık Fσ her regüler açık V kümesi için λ ≥ λ0 iken F (aλ ) ∩ V ≠ ∅ olacak şekilde en az bir λ0 ∈ ∆ vardır. Teorem 4.6: X , herhangi bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay, F : X → Y çoğul-değerli bir fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir. a) F , x0 ’da almost D-a.y.s.dir. 0 0 b) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan her V ⊂ Y açık kümesi için x0 ∈ F − (V ) dir. c) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan her V ⊂ Y regüler açık kümesi için x0 ∈ F − (V ) 0 dir. d) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan her V ⊂ Y regüler açık kümesi için x0 ’ın x ∈ U x0 ⇒ F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ gerektirmesini sağlayan bir U x0 açık komşuluğu vardır. e) x0 ’a yakınsak olan her (aλ )λ∈∆ ağı ve F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan her V ⊂ Y regüler açık kümesi için en az bir λ0 ∈ ∆ vardır öyle ki her λ ≥ λ0 için F (aλ ) ∩ V ≠ ∅ olur. Teorem 4.7: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu D-a.y.s. ise almost D-a.y.s. dir. İspat: F , D-a.y.s. olsun. Bir x ∈ X için F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan bir V açık Fσ - 14 kümesini alalım. F D-a.y.s. olduğundan z ∈ U x iken F ( z ) ∩ V ≠ ∅ olan X içinde x ’i bulunduran bir U x açık kümesi vardır. V açık ve her z ∈ U x için o F ( z ) ∩ V ≠ ∅ olduğundan öyle ki F ( z ) ∩ V ≠ ∅ olur. Bu F ’nin x ∈ X ’de almost D-a.y.s. olmasını verir. x ∈ X keyfi olduğun-dan F , X üzerinde almost D-a.y.s. olur. Teorem 4.8: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu D-ü.y.s. ise almost D-ü.y.s. dir. İspat : F D-ü.y.s. olsun. Bir x ∈ X için F ( x) ⊂ V olan bir V açık Fσ kümesini alalım. F D-a.y.s. olduğundan z ∈ U x iken F ( z ) ⊂ V olan X içinde x ’i bulunduran bir U x açık kümesi vardır. V açık ve her z ∈ U x için F ( z ) ⊂ V o olduğundan öyle ki F ( z ) ⊂ V olur. Bu F ’nin x ∈ X ’de almost D-ü.y.s. olmasını verir. x ∈ X keyfi olduğundan F , X üzerinde almost D-ü.y.s. olur. Sonuç 4.9: Y , C-kompakt ve Hausdorff uzay olsun. Eğer F : X →Y fonksiyonu kuvvetli kapalı grafikli ise F , almost D-ü.y.s.dir. İspat : F , kuvvetli kapalı grafikli olduğundan Önerme 2.6’dan F , Dü.y.s.dir. Teorem 4.8. den de F , almost D-ü.y.s.dir. Teorem 4.10: Y , C-kompakt, Hausdorff ve kapalı kümeleri Gδ -küme olan uzay ve F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu nokta kompakt ise aşağıdakiler eşdeğerdir. a) F , almost D-ü.y.s.dir. b) G(F), kuvvetli kapalıdır. c) F , D-ü.y.s.dir. Teorem 4.11: Y , regüler ve kapalı kümeleri Gδ -kümelerden oluşan uzay olsun. Bu durumda F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu almost D-a.y.s.dir.⇔ F , a.y.s.dir. İspat (⇒): F , bir x 0 ∈ X ’de almost D-a.y.s. olsun. V , F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan bir açık küme olsun. y ∈ F ( x0 ) ∩ V alalım. Bu durumda y ∈ F ( x0 ) ve y ∈ V dir. Y , regüler uzay olduğundan y ∈ G ⊂ G ⊂ V olan bir açık G ⊂ Y kümesi vardır. Dolayısıyla y ∈ F ( x0 ) ∩ G ≠ ∅ dır. Y − G , kapalı Gδ -küme ve F , x 0 ’da almost 15 o D-a.y.s. olduğundan x 0 ’ın x ∈ U x0 ⇒ F ( x0 ) ∩ G ≠ ∅ gerektirmesini sağlayan 0 bir açık U x0 ⊂ X komşuluğu vardır. Buradan G ⊂ V olduğundan x ∈ U x0 iken F ( x) ∩ V ≠ ∅ olur. Dolayısıyla F , x0 ’da a.y.s.dir. x 0 ∈ X keyfi olduğundan F , X üzerin- de a.y.s. olur. (⇐): F , a.y.s. olduğundan ∀ V ⊂ Y açığı için F − (V ) ⊂ X açıktır. V , açık Fσ -küme olduğunda F − (V ) ’de açık olur. O halde F , D-a.y.s. dir. Dolayısıyla Teorem 4.7’den F , almost D-a.y.s. dir. Teorem 4.12: X , herhangi bir topolojik uzay, Y , regüler ve kapalı alt kümeleri Gδ -küme olan uzay olsun. F : X → Y nokta parakompakt bir çoğuldeğerli fonksiyon olsun. Bu durumda F almost D-ü.y.s. dir ⇔ F ü.y.s. dir. İspat (⇒): F , herhangi bir x 0 ∈ X ’de almost D-ü.y.s. ve V , F ( x0 ) ⊂ V olan bir açık küme olsun. y ∈ F ( x0 ) için { y} ⊂ V dir. Y regüler uzay olduğundan y ∈ Gy ⊂ Gy ⊂ V Gy ⊂ Y açık kümesi vardır. Buradan F ( x0 ) ⊂ U olan en az bir Gy ⊂ y∈F ( x0 ) { U Gy ⊂ V olur. F ( x0 ) parakompakt oldu- ğundan, y∈F ( x0 ) } ϑ = G y y ∈ F (x0 ) { } örtüsünün F ( x0 ) ’ı örten yerel sonlu bir γ = Ty y ∈ F ( x0 ) inceliği vardır. Buradan U Ty = T dersek F ( x0 ) ⊂ T ⊂ T ⊂ U Gy ⊂ V y∈F ( x0 ) y∈F ( x0 ) olur. Y − T , kapalı ve dolayısıyla kapalı Gδ -kümedir. F , almost D-ü.y.s. o olduğundan x0 ’ın x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ T ⊂ T ⊂ V gerektirmesini sağlayan bir U x0 ⊂ X açık komşuluğu vardır. O halde F , x0 ’da ü.y.s.dir. x0 ∈ X keyfi olduğundan F , X üzerinde ü.y.s. dir. (⇐): F , ü.y.s. olduğundan ∀ V ⊂ Y kapalısı için F − (V ) ⊂ X kapalıdır. V , kapalı Gδ -küme olduğunda F − (V ) ’de kapalı olur. O halde F , D-ü.y.s. dir. Dolayısıyla Teorem 4.8’den F , almost D-ü.y.s. dir. 16 5. Çoğul Değerli Fonksiyonların Zayıfça D-Üstten (Alttan) Yarı Süreklilikleri Tanım 5.1: F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon ve x0 ∈ X olsun. a) F ( x0 ) ⊂ V olan V ⊂ Y açık kümesi için her x ∈ U x0 iken F ( x) ⊂ V olacak şekilde en az bir U x0 ⊂ X açık komşuluğu varsa F ’ye x0 ’da zayıfça üstten yarı sürekli denir. b) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan V ⊂ Y açık kümesi için her x ∈ U x0 iken F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olacak şekilde en az bir U x0 ⊂ X açık komşuluğu varsa F ’ye x0 ’da zayıfça alttan yarı sürekli denir. c) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ ile tümleyeni kapalı Gδ -küme olan her V kümesi için x ∈ U x0 için F ( x) ⊂ V gerektirmesini sağlayan x0 ’ın U x0 ⊂ X açık komşuluğu varsa F ’ye x0 ’da zayıfça D-ü.y.s. denir. d) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ ile tümleyeni kapalı Gδ -küme olan her V kümesi için x ∈ U x0 için F ( x) ∩ V ≠ ∅ gerektirmesini sağlayan x0 ’ın U x0 ⊂ X açık komşuluğu varsa F ’ye x0 ’da zayıfça D-a.y.s. denir. Önerme 5.2: F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. a) F , D-ü.y.s. ise zayıfça D-ü.y.s. dir. b) F , almost D-ü.y.s. ise zayıfça D-ü.y.s. dir. c) F , D-a.y.s. ise zayıfça D-a.y.s. dir. d) F , almost D-a.y.s. ise zayıfça D-a.y.s. dir. İspat : Tanımlardan açıktır. Tanım 5.3: ( X , τ ) bir topolojik uzay olsun. θ ⊂ τ için ∩θ ∈ τ oluyorsa bu uzaya doymuş uzay denir. Önerme 5.4: X doymuş uzay, Y regüler ve Hausdorff uzay, F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyonu nokta kompakt olsun. F , D-ü.y.s. ise zayıfça ü.y.s. dir. İspat : F , D-ü.y.s, nokta kompakt ve herhangi bir x0 ∈ X alalım. F ( x0 ) ⊂ V (V ⊂ Y ) açık küme olsun. Y Hausdorff ve F ( x0 ) kompakt ve F ( x0 ) ⊂ V 17 olduğundan F ( x0 ) ⊂ W ⊂ W ⊂ V olan en az bir W kapalı Gδ -kümesi vardır. Ayrıca her y ∉ W için Y , regüler ve Hausdorff uzay olduğundan, en az bir y ∈ H y ⊂ Y açık ve W ⊂ Fy ⊂ Y kapalı kümeleri vardır öyle ki H y ∩ Fy = ∅ tur. W ⊂ Fy olduğundan, W ∩ H y = ∅ tur. Diğer yandan y ∈ H y açığı için Y regüler olduğundan en az bir G y ⊂ Y açığı vardır. Buradan y ∈ G y ⊂ G y ⊂ H y olur ve G y kapalı Gδ -kümedir. Buradan F ( x0 ) ⊂ W ⊂ Y − G y tümleyeni kapalı Gδ -kümedir. F ,D-ü.y.s. olduğundan x0 ’ın F (U y ) ⊂ Y − G y olan bir U y ⊂ X açık komşuluğu vardır. X uzayı doymuş olduğundan U x0 = IU denirse, y y∉W U x0 açık ve F (U x0 ) ⊂ W ⊂ V olur. Böylece F , x0 ’da zayıfça ü.y.s. dir. x0 ∈ X keyfi olduğundan F , X üzerinde zayıfça ü.y.s. dir. Önerme 5.5: X ve Y uzayları regüler ve F , X ’den Y ’ye açık, kapalı ve tek nokta kapalı dönüşüm ise F , zayıfça D-ü.y.s. dir. İspat : Kabul edelim ki F , x0 ∈ X ’de zayıfça D-ü.y.s. olmasın. Bu durumda F ( x0 ) ⊂ V koşulunu sağlayan ve kapalı Gδ -küme olan V ⊂ Y kümesi vardır, x0 ’ı bulunduran her U açık kümesi için F (U ) ⊄ V olur. Buradan her U ∈ nx0 için F (U ) ∩ (Y − V ) ≠ ∅ dur. Ayrıca F kapalı dönüşüm olduğundan F (U ) ⊂ Y kapalıdır. Böylece {F (U ) ∩ (Y − V ) } U ∈ nx0 ailesi, Y − V ’nin kapalı alt kümelerinden oluşan ve içleri sonlu arakesit özelliğine sahip olan bir ailedir. Gerçekten en az bir n 0 ∈N 0 n0 I F (U ) ∩ (Y − V ) için i =∅ olsaydı, i =1 0 I [F (U )] n0 i ∩ (Y − V ) =∅ i=1 I[ n0 i =1 0 ] olup 0 I [F (U )] n0 i ⊂V olurdu. Buradan i=1 0 0 0 n0 n0 n0 F (U i ) = I F( U i ) ⊂ V ve F (IU i ) ⊂ V ve F (IU i ) ⊂ V elde ederiz. i =1 i =1 i =1 0 n0 n0 U i ’ler açık ve F açık dönüşüm olduğun- dan F IU i = F (IU i ) ⊂ V dir. i =1 i =1 18 Bu ise F ’nin x0 da zayıfça D-ü.y.s. olmasını verir. Öyleyse kabulümüz ile çelişki doğar. Y uzayı D-regüler uzay olduğundan I F (U ) ∩ (Y − V ) ≠ ∅ U ∈nx0 y ∈Y olur. Bir I için y∈ F (U ) ∩ (Y − V ) dir. F ( x0 ) ⊂ V olduğundan U ∈nx0 y ∈ F ( x0 ) dır. Buradan F − ( y ) ∩ { x0 } = ∅ ve x0 ∉ F − ( y ) olur. X uzayı regüler ve F − ( y ) kapalı olduğundan en az bir U1 , U 2 ⊂ X açık kümeleri x0 ∈ U1 , F − ( y ) ⊂ U 2 ve U1 ∩ U 2 = ∅ olacak şekilde vardır. U1 ∩ F − ( y ) = ∅ olur. Sonuç olarak y ∉ F (U1 ) olur ki y ∈ I F (U ) ∩ (Y − V ) oluşu ile çelişir. Bu çelişkiye U ∈nx0 F , x0 ’da zayıfça D-ü.y.s. olmasın demekle düştük. O halde F , x0 ’da zayıfça D-ü.y.s. dir. F : X →Y çoğul-değerli bir fonksiyon olsun. Her x∈ X için F ( x) = F ( x) ile F : X → Y bir yeni fonksiyon tanımlayalım. Önerme 5.6: F : X → Y zayıfça D-ü.y.s. ise F : X → Y zayıfça D-ü.y.s. dir. İspat : x ∈ X ve F ( x) ⊂ W olduğundan Y − W tümleyeni kapalı Gδ -küme olsun. F ( x) = F ( x) ⊂ W olduğundan, bir x ∈ U x ⊂ X Buradan F (U ) ⊂ W ise F ( x) ⊂ W olduğundan, dir. F , zayıfça D-ü.y.s. açık kümesi vardır öyle ki F (U ) ⊂ W F (U ) ⊂ W tır. F (U ) = U F ( x) = U F (U ) ⊂ x∈U dir. F (U ) x∈U olduğundan F (U ) ⊂ W tır ve böylece F , x ∈ X ’de zayıfça D-ü.y.s. dir. Kaynaklar [1] H. Blumberg, New Properties Of All Real Functions, Trans. Amer. Math. Soc. 24 (1922), 113-128. [2] T. Husaın, Almost Continuous Mapping, Proae.Math. 10 (1966), 1-7 [3] C.T.R. Borgers, A Study Of Multivalued Functions, Pasific. J. Math., 23 (1967), 45-1461. [4] M.K. Sıngal and Sıngal, Almost Continuous Mappings, Yokohama Math. J., 16, (1968), 63-73. 19 [5] J.K.Kohlı, D-Continuous Functions, D-Regular Spaces and D-Hausdorff Spaces, Bull. Cal. Math. Soc. 84 (1992), 39-46. [6] V.I. Ponomarev, A New Space Of Closed Sets and Multivalued Continuous Mappings Of Bicompacta, Amer. Math. Soc. 38 (1964),95-118. [7] P.E. Long and L.L. Herrıngton, Functions With Strongly-Closed Graphs, Boll. U.M.I. (Italy) (4), 12, (1975), 381-384. [8] E. Mıchael, Topologies On Spacies Of Subsets, Trans. Amer. Math. Soc., 71 (1951), 152-182. [9] G. Choquet, Convergence, Grenoble Universıty Annalles, 23 (1947), 57112. [10] Y. Küçük, M. Akdağ, 2 Y -Üzerinde Çeşitli Topolojiler Ve Çoğul-Değerli Fonksiyonların H-Süreklilikleri, IV. Ulusal Matematik Sempozyumu Bildiri Özetleri Kitapçığı, 1991. [11] C. Dorset, Semi-regular spaces, Soochow J. Math. vol 8, 1982, 45-53. [12] M.K. Sıngal and S.P. Arya, On Almost-Regular Spaces, Glasnik Matematicki, (24), 4, (1969), 89-99. [13] M. Eısenberg, Topology, Holt Rinehart and Winston, Inc. 1974. [14] M. Akdağ, On The Upper Lower D-Continuous Multifunctions, Appl. Math. E-Notes, 1 (2001), 104-110. [15] N.C. Heldermann, Developability and Some New Regularity Axioms, Canad, J. Math. 33-641,1981. [16] Y. Küçük, M. Akdağ, Çoğul-Değerli Fonksiyonların H-Almost Süreklilikleri Üzerine, C. Ü. Fen-Edb. Fak., Fen Bil. Dergisi, Sayı:15, Kasım 1993. 20